2014年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷〔精品解析版〕

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2014年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷
一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）
1．（6分）已知实数a，b满足a2+b2＝1，则a4+ab+b4的最小值为（ ）
A．﹣ B．0 C．1 D．
2．（6分）已知函数y＝|8﹣2x﹣x2|和y＝kx+k（k为常数），则不论k为何常数，这两个函数
图象的交点个数恒为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（6分）将1，2，3，4，5，6，7，8，这八个数分别填写于一个圆周的八等分点上，使得
圆周上任意两个相邻位置的数之和为质数，如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那
么不同的填法有（ ）
A．4种 B．8种 C．12种 D．16种
4．（6分）三个等圆O1、O2、O3有公共点M，点A、B、C是其他交点，则点M是△ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
5．（6分）如图，已知平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、AD上的点，EF与对角线
AC交于点P．若＝，＝（a、b、m、n均为正数），则的值为（ ）

A． B． C． D．
6．（6分）如图，记二次函数y＝﹣x2+1的图象与x轴正半轴的交点为A，将线段OA分成n
等份．设分点分别为P1，P2，…，Pn﹣1．过每个分点作x轴的垂线，分别与该图象交Q1，
Q2，…，Qn﹣1再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2…，这样就有S1＝

，S2＝，…；记W＝S1+S2+…+Sn﹣1，当n越来越大时，W最接近的常数是（ ）

大家拿到考卷后，先看是不是本科考试的试卷，再清点试卷页码是否齐全，检查试卷有无破损或漏印、重印、字迹模糊不清等情况。如果发现问题，要及时报告监考老师处理。：．从前向后，先易后难。通常试题的难易分布是按每一类题型从前向后，由易到难。因此，解题顺序也宜按试卷题号从小到大，从前至后依次解答。当然，有时但也不能机械地按部就班。中间有难题出现时，可先跳过去，到最后攻它或放弃它。先把容易得到的分数拿到手，不要“一条胡同走到黑”，总的原则是先易后难，先选择、填空题，后解答题。．规范答题，分分计较。数学分、卷，第卷客观性试题，用计算机阅读，一要严格按规定涂卡，二要认真选择答案。第卷为主观性试题，一般情况下，除填空题外，大多解答题一题设若干小题，通常独立给分。解答时要分步骤（层次）解答，争取步步得分。解题中遇到困难时，能做几步做几步，一分地争取，也可以跳过某一小
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A． B． C． D．
二、填空题.（每小题7分，共42分）
7．（7分）设a是正实数，若函数y＝（x可取任意实数）
的最小值为10，则a＝ ．
8．（7分）今年3月12日植树节活动中，某单位的职工分成两个小组植树，已知他们植树
的总数相同，均为100多棵，如果两个小组人数不等，第一组有一人植了6棵，其他每
人都植了13棵；第二组有一人植了5棵，其他每人都植了10棵，则该单位共有职工
人．
9．（7分）如图，已知直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为

（﹣4，﹣2），C为双曲线y＝（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC面积为6，
则点C的坐标为 ．

10．（7分）某广场地面铺满了边长为36cm的正六边形地砖，现在向上抛掷半径为6的
圆碟，圆碟落地后与地砖间的间隙不相交的概率大约是 ．
11．（7分）50个同样大小的立方体木块堆砌成如图所示的形状，现在从前、后、左、右和
上面五个方向朝这堆木块喷漆，则有 块木块完全喷不到漆．

12．（7分）满足25{x}+[x]＝25的所有实数x的和是 （其中[x]表示不大于x的最大
整数，{x}＝x﹣[x]表示x的小数部分）．
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三、解答题.（共5大题，计72分，写出必要的推算或演算步骤）
13．（14分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a2﹣a＝0（a＞0）．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于a＝1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α
1

和β1，α2和β2，…，α2010和β2010，α2011和β2011．试求（++…++）

+（++…++）的值．
14．（15分）如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CB，对角线AC与BD交于O，
∠ACD＝60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点．
（1）求证：△PQS是等边三角形；
（2）若AB＝8，CD＝6，求△PQS的面积；
（3）若△PQS与△AOD的面积比为4：5，求CD：AB的值．

15．（14分）如图，以锐角△ABC的边AB为直径作半圆⊙O交边BC、CA于点E、F．过
点E、F分别作⊙O的切线得交点P．求证：CP⊥AB．

16．（14分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南
θ（cosθ＝）方向300km的海面P 处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，
台风侵袭范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时
后该城市开始受到台风的侵袭？侵袭的时间有多少小时？
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17．（15分）如图1，A、D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，
以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围
成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线
段OEFGHI所示．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．
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2014年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）
1．【考点】7F：基本不等式及其应用．
【解答】解：∵a2+b2＝1，∴可设a＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．
∴a4+ab+b4＝cos4θ+cosθsinθ+sin4θ＝（cos2θ+sin2θ）2﹣2sin
2θcos2
θ+cosθsinθ

＝+1
＝，
当sin2θ＝﹣1时，上式取得最小值为0．
故选：B．
【点评】本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式、二次函数的单调性，考查了
转化方法，属于中档题．
2．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
【解答】解：函数y＝8﹣2x﹣x2中，令y＝0，解得：x＝﹣4或2．
则二次函数与x轴的交点坐标是（﹣4，0）和（2，0）．则函数的图象如图．
一次函数y＝kx+k（k为常数）中，令y＝0，解得：x＝﹣1，故这个函数一定经过点（﹣
1，0）．
经过（﹣1，0）的直线无论k为何常数，都是2个交点．
故选：B．

【点评】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象，正确作出二次函数的答题图象，
确定一次函数比经过（﹣1，0），利用数形结合思想是解题关键．
3．【考点】D3：计数原理的应用．
【解答】解：∵相邻两数和为奇质数，则圆周上的数奇偶相间，
∴8的两侧为3，5，而7的两侧为4，6，
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∴剩下两数1，2必相邻，且1与4，6之一邻接，
考虑三个模块【4，7，6】，【5，8，3】，【1，2】的邻接情况，得到4种填法．
故选：A．
【点评】本题主要考查了质数与合数的定义，考查计数原理的应用．
4．【考点】L%：三角形五心．
【解答】解：如图所示，
可知点M是△ABC的垂心，
故选：C．

【点评】本题考查了学生的作图能力，属于基础题．
5．【考点】N3：平行线分线段成比例定理．
【解答】解：过点E作EG∥AD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥EG∥BC，AD＝BC，
∴，△AEO∽△ABC，△APF∽△OPE，

∴，，，
∵
∴令AE＝ax，BE＝bx，AF＝my，DF＝ny，
∴，

∴EO＝，

∴，
∴AP（a+b）bm+AP（m+n）ab+AP（m+n）a2＝PC（a+b）am，
∴AP（bm+an+am）（a+b）＝PC（a+b）am，
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∴，
∴C答案正确，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比
例定理的运用．
6．【考点】3V：二次函数的性质与图象．
【解答】解：由题意，W＝S1+S2+…+Sn﹣1，当n越来越大时，可看成积分．
×＝×（﹣+1﹣0）＝．
故选：B．
【点评】本题考查了积分的定义，属于基础题．
二、填空题.（每小题7分，共42分）
7．【考点】41：有理数指数幂及根式．
【解答】解：原式＝+表示P（x，0）到两点M（3a，a），
N（﹣a，﹣2a）的距离之和．
当且仅当点P在线段MN上时取得最小值10，
∴|MN|＝＝10，a＞0，解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了两点之间的距离公式的应用，考查了转化方法，考查了推理能力与
计算能力，属于中档题．
8．【考点】57：函数与方程的综合运用．
【解答】解：设一组x人，二组y人，x，y均为正整数，
100＜6+13（x﹣1）＜200，
100＜5+10（y﹣1）＜200，
100＜13x﹣7＜200，
100＜10y﹣5＜200，
108＜13x＜207，
106＜10y＜205，
9≤x≤15
11≤y≤20，