2014年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷〔精品解析版〕

2014年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷

一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）

1．（6分）已知实数a，b满足a2+b2＝1，则a4+ab+b4的最小值为（）A．﹣B．0C．1D．

2．（6分）已知函数y＝|8﹣2x﹣x2|和y＝kx+k（k为常数），则不论k为何常数，这两个函数图象的交点个数恒为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．（6分）将1，2，3，4，5，6，7，8，这八个数分别填写于一个圆周的八等分点上，使得圆周上任意两个相邻位置的数之和为质数，如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（）

A．4种B．8种C．12种D．16种

4．（6分）三个等圆O1、O2、O3有公共点M，点A、B、C是其他交点，则点M是△ABC

的（）

A．外心B．内心C．垂心D．重心

5．（6分）如图，已知平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、AD上的点，EF与对角线AC交于点P．若＝，＝（a、b、m、n均为正数），则的值为（）

A．B．C．D．

6．（6分）如图，记二次函数y＝﹣x2+1的图象与x轴正半轴的交点为A，将线段OA分成n 等份．设分点分别为P 1，P2，…，P n﹣1．过每个分点作x轴的垂线，分别与该图象交Q1，Q2，…，Q n﹣1再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2…，这样就有S1＝

，S2＝，…；记W＝S1+S2+…+S n﹣1，当n越来越大时，W最接近的常数是（）

A．B．C．D．

二、填空题.（每小题7分，共42分）

7．（7分）设a是正实数，若函数y＝（x可取任意实数）的最小值为10，则a＝．

8．（7分）今年3月12日植树节活动中，某单位的职工分成两个小组植树，已知他们植树的总数相同，均为100多棵，如果两个小组人数不等，第一组有一人植了6棵，其他每人都植了13棵；第二组有一人植了5棵，其他每人都植了10棵，则该单位共有职工人．

9．（7分）如图，已知直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y＝（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC面积为6，则点C的坐标为．

10．（7分）某广场地面铺满了边长为36cm的正六边形地砖，现在向上抛掷半径为6的圆碟，圆碟落地后与地砖间的间隙不相交的概率大约是．

11．（7分）50个同样大小的立方体木块堆砌成如图所示的形状，现在从前、后、左、右和上面五个方向朝这堆木块喷漆，则有块木块完全喷不到漆．

12．（7分）满足25{x}+[x]＝25的所有实数x的和是（其中[x]表示不大于x的最大整数，{x}＝x﹣[x]表示x的小数部分）．

三、解答题.（共5大题，计72分，写出必要的推算或演算步骤）

13．（14分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a2﹣a＝0（a＞0）．

（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；

（2）若对于a＝1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，…，α2010和β2010，α2011和β2011．试求（++…++）+（++…++）的值．

14．（15分）如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CB，对角线AC与BD交于O，∠ACD＝60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点．

（1）求证：△PQS是等边三角形；

（2）若AB＝8，CD＝6，求△PQS的面积；

（3）若△PQS与△AOD的面积比为4：5，求CD：AB的值．

15．（14分）如图，以锐角△ABC的边AB为直径作半圆⊙O交边BC、CA于点E、F．过点E、F分别作⊙O的切线得交点P．求证：CP⊥AB．

16．（14分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ（cosθ＝）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？侵袭的时间有多少小时？

17．（15分）如图1，A、D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．

2014年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）

1．【考点】7F：基本不等式及其应用．

【解答】解：∵a2+b2＝1，∴可设a＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．

∴a4+ab+b4＝cos4θ+cosθsinθ+sin4θ＝（cos2θ+sin2θ）2﹣2sin2θcos2θ+cosθsinθ

＝+1

＝，

当sin2θ＝﹣1时，上式取得最小值为0．

故选：B．

【点评】本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式、二次函数的单调性，考查了转化方法，属于中档题．

2．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．

【解答】解：函数y＝8﹣2x﹣x2中，令y＝0，解得：x＝﹣4或2．

则二次函数与x轴的交点坐标是（﹣4，0）和（2，0）．则函数的图象如图．

一次函数y＝kx+k（k为常数）中，令y＝0，解得：x＝﹣1，故这个函数一定经过点（﹣1，0）．

经过（﹣1，0）的直线无论k为何常数，都是2个交点．

故选：B．

【点评】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象，正确作出二次函数的答题图象，确定一次函数比经过（﹣1，0），利用数形结合思想是解题关键．

3．【考点】D3：计数原理的应用．

【解答】解：∵相邻两数和为奇质数，则圆周上的数奇偶相间，

∴8的两侧为3，5，而7的两侧为4，6，