2019中考数学第一轮复习 第4章第17讲 解直角三角形(共23张PPT)

c
边分别为a，b，
a
c
c
tanA＝⑤___b_；
tanB＝⑥___b_
a
考点 3 解直角三角形的应用
在视线与水平线所成的锐角中，
仰角、俯角
视线在水平线上方的角叫①__仰 角__，视线在水平线下方的角叫
②__俯角__．如图
坡面的铅直高度h和水平宽度l的
坡度(坡比)、比叫③__坡度(坡比)__，用字母i
2
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5 3 . ∴CD＝CM－MD＝15－5 3
技法点拨►解答此类题目的关键是根据题意建立三角形，利用所学 的三角函数的关系进行解答．
变式运用►2.[2018·崂山区一模]已知，如图，在 △ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝ 1，
A.10 3米B.10米C.20 3米D. 20 3 米 3
A 在Rt△ABD和Rt△ABC中，BC= AB ，BD= AB ，
tan60
tan30
由DC＝DB－CB＝20米，可得20＝ AB - AB ，
tan30 tan60
，得出AB＝10 3 米.
得分要领►解答实际问题时，注意把实际问题转化为数学问题， 要正确地画出示意图，构造出直角三角形，通过解直角三角形去求 解．在这个过程中，特别要注意数形结合思想和转化思想的运用．
1
∴CD＝ 2 AD＝6海里． 由勾股定理得AC＝ 122 -62 6 3 ≈10.392>8， 即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
技法点拨►应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为 解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角 形．当两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是 解答此类题的基本思路．
得分要领►解答锐角三角函数问题时，可利用以下几种方法求解： (1)准确根据三角函数的概念求值； (2)运用参数法求三角函数值； (3)运用转化手段求三角函数值； (4)通过构造直角三角形求三角函数值．
命题点2 解直角三角形及其应用
1．如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处 观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测 灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近 位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到 sin68°＝0.9272，sin46°＝0.7193，sin22°＝0.3746， sin44°＝0.6947)( B ) A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63
真题全练 命题点1 锐角三角函数
猜押预测►1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA 的值是( )A
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4 435 5
2.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A， B，C均在格点上，则tanA的值是( D )
A. 5 B. 10 C.2D. 1
【思路分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BM的长度，然 后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．
解：过点B作BM⊥FD于点M.如图． 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，BC＝10 3 ， ∴∠ABC＝30°，AC＝10. ∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°， ∴BM＝BC·sin30°＝10 3 ×1 =5 3 ，CM＝BC·cos30°＝15.
典型例题运用 类型1锐角三角函数
【例1】 [2018·遂宁期末]在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，
那么1 sinA的值是( A. 13 B. 10 C. 3
)B D. 3
2
10
3
2
B ∵tanA＝BC ＝ 1 ，∴设BC＝x，AC＝3x，由勾股定理，
AC
3
得AB＝ x，10sinA＝
＝BC
∠A′DE，∴∠BDE＝∠BDC′＋∠A′DE＝ 2 90°.在Rt△BCD中，BD＝BC÷cos30°＝4÷
×180°＝
38 3 23
(cm)，
在Rt△BDE中，DE＝BD·tan30°＝8 3 3 8 (cm)
3 33
4．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30° ，朝物体AB方向前进20米到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则 物体AB的高度为( A )
3
AD＝2，求BC的长．
解：∵在△ABC中，AD是BC边上的高， ∠C＝45°，sinB＝ 1， AD＝2，
3 AD 1，AD tan 45, AB 3 CD
∴AB＝6，CD＝2，∴BD＝4 2， ∴BC＝BD＋CD＝4 2 +2.
类型3 直角三角形的应用(利用仰角和俯角解决实际问题)
【例3】如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测 角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树 顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB.
2．如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向
匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40
分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与
灯塔A的距离是( D )
A．20海里
B．40海里
C. 20 3 海里 D. 40 3 海里
3
3
D
由题意，知∠B＝30°，∠C＝30°，BC＝60×
B 如图，过点P作PA⊥MN于点A，MN＝30×2＝ 60(海里)．∵∠MNC＝90°，∠CNP＝46°， ∴∠MNP＝∠MNC＋∠CNP＝136°.∵∠BMP＝68°， ∴∠PMN＝90°－∠BMP＝22°.∴∠MPN＝180°－ ∠PMN－∠PNM＝22°.∴∠PMN＝∠MPN.∴MN＝PN＝ 60海里．∵∠CNP＝46°，∴∠PNA＝44°.∴PA＝ PN·sin∠PNA＝60×0.6947≈41.68(海里)．
A. 8 cmB.2 3cmC.2 2cmD.3cm 3
A ∵△ABC是直角三角形，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°－
30°＝60°.∵沿折痕BD折叠点C落在斜边上的点C′处， ∴DE∠折B叠DC点＝A∠ 落在BDDCC′′，的∠延C长BD线＝上∠的AB点D＝A′12 处∠，A1B∴C＝∠3A0D°E＝.∵沿
2 3
＝40(海里)，作AD⊥BC于点D，则DC＝DB＝20海
里．在Rt△ADC中，AC＝ CD 20 40 （3 海里）
cos30 3 3
2
3．如图1是一个直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4cm，将其折 叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图2，再将2沿DE折 叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图3，则折痕DE的长 为( A )
Байду номын сангаас
AB
. 10
10
技法点拨►已知一个角的一种锐角三角形函数值，求另 外的三角函数值时，一般通常设参数“x”，列出关于参 数的方程求解．
变式运用►1.△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ 2 2，则
tanA的值是( A )
3
A.2 2B. 2C.2 3D. 3
类型2 解直角三角形 【例2】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF， ∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，BC＝10 3 ，试求CD 的长．
【思路分析】设BC＝x米，用x表示出AB的长，利用坡度的定义 得到BD＝BE，进而列出x的方程，求出x的值即可．
【自主解答】 设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－
∠EAC＝50°，AB＝
BC BC tan50 1.2
5BC 6

5x 6
.
在Rt△EBD中，∵i＝DB∶EB＝1∶1，∴BD＝BE.∴CD＋BC＝AE
【思路分析】设AG＝x，分别在Rt△AFG和Rt△ACG 中，表示出CG和GF的长度，然后根据DE＝10m，列 出方程即可解决问题．
技法点拨►解决仰角和俯角的问题时，通常作水平方向(或竖直 方向)的高线转化为直角三角形中的问题，通过解直角三角形 解决．
类型4 直角三角形的应用(利用坡度和坡角解决实际问题) 【例4】为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加 高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE 的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示，已知AE＝4米， ∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC. (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)
【思路分析】过点A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD，∠CAB的度数， 求出∠BAD和∠ABD，根据等边对等角得出AD＝BD＝12，根据含 30°角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可．
【自主解答】如图，过点A作AC⊥BD于点C，则AC的长是点A到 BD的最短距离，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°， ∴∠BAD＝60°－30°＝30°，∠ABD＝90°－60°＝30°， ∴∠ABD＝∠BAD，∴BD＝AD＝12海里． ∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
55
2
3.在△ABC中，若|sinA－ 2 |+ ( 3 - cosB )2
2
2
＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是( C )
A．75° B．90° C．105° D．120°
4.[2018·滨州一模]在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2 ，
3
则sinA等于( C )
A. 2 10 B. 3 10 C. 2 13 D. 3 13 10 10 13 13
坡角
表示；坡面与水平线的夹角α 叫 坡角，i＝tanα h＝ .如图
l
指北或指南方向线与目标方向线
所成的小于90°的水平角，叫做