【2013房山二模】北京房山区2013届高三第二次模拟考试 文科数学

房山区2013年高考第二次模拟试卷数 学 （文科）本试卷共4页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.若﹁p ∨q 是假命题，则 A. p ∧q 是假命题 B. p ∨q 是假命题 C. p 是假命题D. ﹁q 是假命题2.下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A. 1y x =- B. tan y x =C. 2y x=-D. 3y x =3.为了得到函数lg10xy =的图象，只需把函数lg y x =的图象上 A. 所有点向右平移1个单位长度 B. 所有点向下平移1个单位长度C. 所有点的横坐标缩短到原来的110（纵坐标不变） D. 所有点的纵坐标缩短到原来的110（横坐标不变）4.设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则2-a b 等于A. 4B. 5C.5.执行如图所示的程序框图．则输出的所有点(,)x y A.都在函数1y x =+的图象上 B.都在函数2y x =的图象上 C.都在函数2xy =的图象上 D.都在函数12x y -=的图象上6.已知,M N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是C. D.1727.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的表面积为 A．9+B. 18+C. 18+D. 98.定义运算a c x ax cy b d y bx dy +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，称x a y b '⎡⎤⎡=⎢⎥⎢'⎣⎦⎣ c d ⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为将点(),x y 映到点(),x y ''的 一次变换.若x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝2p ⎡⎢⎣ 1q -⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦把直线y x =上的各点映到这点本身，而把直线3y x =上的各点映到这点关于原点对称的点.则,p q 的值分别是A. 3,3p q ==B. 3,2p q ==-C. 3,1p q ==D. 1,1p q ==二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在复平面内，复数(2)i i -对应的点的坐标为 . 10.已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 11.数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且3a 是19a a ,的等比中项，则数列{}n a 的通 项公式n a = .12.实数,a b 满足25a b +=，则ab 的最大值为.俯视图侧（左）视图正（主视图）13.抛物线2:2C y px =的焦点坐标为1(,0)2F ，则抛物线C 的方程为 ，若点P 在抛物线C 上运动，点Q 在直线50x y ++=上运动，则PQ 的最小值等于 .14.对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设'()f x 是函数()y f x =的导数，''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若32111()1326f x x x x =-++，则该函数的对称中心为 ，计算1232012()()()()2013201320132013f f f f ++++= .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数()sin()(00)f x x ωϕωϕ=+><<π,的最小正周期为π，且图象过点1(,)62π. （Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间.16.（本小题满分14分）如图,ABCD 是正方形， DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，22===AF DA DE .(Ⅰ) 求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ) 求证：//AC 平面BEF ；(Ⅲ) 求四面体BDEF 的体积.17.（本小题满分13分）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5，一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4．将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ． （Ⅰ）求事件3b a =的概率；（Ⅱ）求事件“点(,)a b 满足22(5)9a b +-≤”的概率．FEDCBA18.（本小题满分13分）已知函数()(2)e x f x ax =-在1x =处取得极值. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在[],1m m +上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意12,[0,2]x x ∈，都有12|()()|e f x f x -≤.19.（本小题满分14分）已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a）的焦点坐标为(，离心率为3．直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*12()nn nS a n a +=∈N ，其中11,0n a a =≠． （Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设数列{}n b 满足(21)(21)1n bn a --=，n T 为{}n b 的前n 项和，试比较n T 与2log 的大小，并说明理由．房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案数 学 （文科） 2013.05一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1A 2D 3B 4D 5C 6B 7A 8B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. (1,2) 10. 4,73- 11. n12.25813. 22,y x =14. 1(,1),20122三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15（本小题满分13分）（Ⅰ）由最小正周期为π可知 22==Tπω， ………………2分由1()62f π=得 1sin()32πϕ+=，又0ϕπ<<，333πππϕπ<+<+所以 536ππϕ+=2πϕ=， ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()sin(2)cos 22f x x x π=+=所以()cos 2sin[2()]cos 2sin 242g x x x x x ππ=⋅-+=1sin 42x = …………………………………………………………………9分解24222k x k ππππ-≤≤+得(Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈ ……………………………12分 所以函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈. …………………………………………………13分16（本小题满分14分）因为D BD DE =⋂ …………………3分所以AC ⊥平面BDE . …………………4分 (Ⅱ)证明：设ACBD O =，取BE 中点G ，连结OG FG ,， 所以，OG //=12DE . …………………5分 因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=OG ， …………………6分 从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //. ………………7分 因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF , …………………8分 所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . ……………………9分 （Ⅲ）解：因为DE ⊥平面ABCD所以 AB DE ⊥ 因为正方形ABCD 中，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面ADEF . …………………11分 因为DE AF //,22===AF DA DE ，所以DEF ∆的面积为122ED AD ⨯⨯=， 所以四面体BDEF 的体积=⨯=∆AB S DEF 3143. ……………14分17（本小题满分13分）（Ⅰ）由题可知a 的取值为0,1,2,3,4,5，b 的取值为6,7,8,9 基本事件空间：Ω={(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,6),(2,7),(2,8),}(2,9),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9)共计24个基本事件 ……………………3分 满足3b a =的有(2,6),(3,9)共2个基本事件所以事件3b a =的概率为212412= ……………………7分（Ⅱ）设事件B=“点（a,b ）满足22(5)9a b +-≤” 当8b =时，0a =满足22(5)9a b +-≤当7b =时，0,1,2b =满足22(5)9a b +-≤ 当6b =时，0,1,2b =满足22(5)9a b +-≤所以满足22(5)9a b +-≤ 的有(0,6),(0,7),(0,8),(1,6),(1,7),(2,6),(2,7)， 所以7()24P B =……………………13分18（本小题满分13分）（Ⅰ）'()(2)(2)x x x f x ae ax e ax a e =+-=+- ……………1分由已知得'(1)0f =即(22)0x a e -= ……………2分 解得：1a = …………………………3分 当1a =时，在1x =处函数()(2)x f x x e =-取得极小值，所以1a = （Ⅱ）()()2xf x x e =-， ()()'()+21xxxf x e x e x e =-=-.所以函数()f x 在(),1-∞递减，在()1,+∞递增. ……………………4分 当1m ≥时，()f x 在[],1m m +单调递增，min ()()f x f m =m e m )2(-=.………………………5分当01m <<时，11m m <<+()f x 在[],1m 单调递减，在[]1,1m +单调递增，min ()(1)f x f e ==-.…………………………6分当0m ≤时，+11m ≤，()f x 在[],1m m +单调递减，1min ()(1)(1).m f x f m m e +=+=-…………………………7分综上 ()f x 在[],1m m +上的最小值min 1(2),1,(),01,(1),0.m m m e m f x e m m e m +⎧-≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知()()2xf x x e =-， ()()'()+21xxxf x e x e x e =-=-.令'()0f x = 得1x =因为(0)2,(1)e,(2)0f f f =-=-= 所以max min ()0,()e f x f x ==- ……………11分所以，对任意12,[0,2]x x ∈，都有12max min |()()|()()e f x f x f x f x -≤-=………………………………………13分19（本小题满分14分）（Ⅰ）由ce a==，2=c ，222c b a += 得3=a ，1=b ， 所以椭圆方程是：1322=+y x ……………………4分（Ⅱ）设),(11y x P ，),(22y x Q 则211+=kx y ，222+=kx y将2+=kx y 代入1322=+y x ，整理得0912)13(22=+++kx x k （*） 则121222129,3131k x x x x k k +=-=++ ………………………7分 以PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则PD QD ⊥，即0PD QD ⋅=PD QD ⋅=11221212(1,)(1,)(1)(1)x y x y x x y y +⋅+=+++121212()1x x x x y y =+++++21212(1)(21)()5k x x k x x =+++++21214031k k -+==+． ………………………………12分解得67=k ，此时（*）方程0>∆，所以 存在67=k ，使得以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ． ……14分20（本小题满分13分）（Ⅰ）由于11211222S a a a a ===，21232222()3S a a a a a +=== ………………2分 （Ⅱ）由已知可知112n n n S a a +=，故111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++=-=-．因为10n a +≠，所以22n n a a +-=*()n ∈N ． ………………4分于是 2112(1)21m a m m -=+-=-，222(1)2m a m m =+-=，所以 n a n =*()n ∈N ． ………………6分（Ⅲ）2log n T >…………………………………………7分要比较n T与2log 22,log (21)n n T a +的大小由(21)(21)1n bn a --=，得(21)(21)1,n b n --=2221n b n n =-，故22log 21n nb n =-． …………………………………………8分从而 1222462log 13521n n n T b b b n ⎛⎫=+++=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭．2246222log 13521n n T n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭222462log 13521n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭因此22log (21)n n T a -+222462log 13521n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭2log (21)n -+ 22224621log log 1352121n n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅+ ⎪-+⎝⎭ 2224621log []1352121n n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-+⎝⎭． 设224621()1352121n f n n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-+⎝⎭， 则22462221(1)135212123n n f n n n n +⎛⎫+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-++⎝⎭， 故22(1)2122(22)()2321(23)(21)f n n n n f n n n n n ++++⎛⎫=⋅=⎪++++⎝⎭224841483n n n n ++=>++， 又()0f n >，所以(1)()f n f n +>．所以对于任意 *n ∈N 都有4()(1)13f n f ≥=>，从而222log (21)log ()0n n T a f n -+=>．所以*22log (21)n n T a n >+∈N ，．即 2log n T >……………………………………………13分。