2020版高考数学(文)新创新一轮复习通用版讲义：第七章第二节二元一次不等式(组与简单的线性规划问题

突破点一 二元一次不等式[基本知识]1．二元一次不等式(组)表示的平面区域以上简称为“直线定界，特殊点定域”．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(2)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P (m,1)在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝________.答案：62．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域的面积为________．答案：363．观察如图所示的区域，它对应的不等式组是____________________________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0[典例感悟]1．(2019·贵阳期中)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y表示的平面区域为( )解析：选B 因为不等式组中两个不等式均未带等号，所以排除A ，又不等式y <－3x ＋12表示的平面区域为直线y ＝－3x ＋12的左下方部分，不等式x <2y 表示的平面区域为直线x ＝2y 的左上方部分，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 表示的平面区域为选项B 所表示的区域，故选B. 2．(2019·河南豫北联考)关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，x ＋y －4≤0表示的平面区域的面积为( )A ．3B ．52C ．2D ．32解析：选C 平面区域为一个直角三角形ABC ，其中A (3,1)，B (2,0)，C (1,3)，所以面积为12|AB |·|AC |＝12×2×8＝2，故选C.3．(2019·清远质量检测)设变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x＋y≥2，y≥3x－6，若满足条件的点P(x，y)表示的平面区域为M，则区域M表示的几何图形的周长是()A．6 3 B．32＋10C．2 D．9解析：选B在坐标系中画出可行域△ABC，A(2,0)，B(1,1)，C(3,3)，用两点间距离公式可求得AB＝2，AC＝10，BC＝22，则周长为32＋10，故选B.[方法技巧]解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．[提醒]求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．突破点二简单的线性规划问题[基本知识]1．线性规划中的基本概念2.在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即[提醒] 求线性目标函数最值应注意的问题求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值，应注意以下两点：(1)若b >0，则截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值．(2)若b <0，则截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(2)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( ) 答案：(1)√ (2)× 二、填空题1．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则2x ＋y 的最小值为________．答案：－122．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________． 答案：93．(2019·北京朝阳区模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．答案：12[全析考法]考法一 线性目标函数的最值[例1] (1)(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．(2)(2018·北京高考)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________． [解析](1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z 2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z 2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6. (2)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示． 设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.[答案] (1)6 (2)3 [方法技巧]求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．考法二 非线性目标函数的最值[例2] (1)(2019·江西五市联考)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4，若点P (2a ＋b,3a －b )在该不等式组所表示的平面区域内，则b ＋2a －1的取值范围是( )A ．[－12，－7]B ．⎣⎡⎦⎤－7，－92 C.⎣⎡⎦⎤－12，－92 D ．[－12，－2](2)(2019·唐山模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －5≤0，x ＋y －4≤0，3x ＋y －10≥0，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．[解析] (1)因为点P (2a ＋b,3a －b )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4所表示的平面区域内，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ≥1，3a －b ≥2，2a ＋b ＋3a －b ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥1，3a －b ≥2，5a ≤4，其表示的平面区域是以A ⎝⎛⎭⎫45，－35，B ⎝⎛⎭⎫45，25，C ( 35，－15)为顶点的三角形区域(包括边界)．b ＋2a －1可看作是可行域内的点与点M (1，－2)连线的斜率， 所以k MB ≤b ＋2a －1≤k MC ，即－12≤b ＋2a －1≤－92.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图所示． 因为z ＝x 2＋y 2表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，当区域内的点与原点的连线与直线3x ＋y －10＝0垂直时，z ＝x 2＋y 2取得最小值，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|3×0＋0－10|32＋122＝10，垂足为点(3,1)，在平面区域内，所以z ＝x 2＋y 2的最小值为10. [答案] (1)C (2)10 [方法技巧]非线性目标函数最值问题的常见类型及求法[例3] (1)(2019·合肥质检)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－3≤3x －y ≤－1，－1≤x ＋y ≤1，若z ＝ax ＋y 有最大值52，则a 的值为( )A ．2B ．52C ．－2D ．－52(2)(2019·淮北月考)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，3x －y ≤3，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－6,2]B ．(－6,2)C ．[－3,1]D ．(－3,1)[解析] (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－3≤3x －y ≤－1，－1≤x ＋y ≤1所表示的平面区域如图中阴影部分所示．z ＝ax ＋y 有最大值52，即直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距有最大值52，由图可知当直线y ＝－ax ＋z 经过点A 时，z 取得最大值52，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝－3，x ＋y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝32，所以A ⎝⎛⎭⎫－12，32，代入ax ＋y ＝52，得a ＝－2.故选C. (2)作出约束条件所表示的平面区域，如图所示．将z ＝ax ＋2y 化成y ＝－a 2x ＋z 2，当－1<－a 2<3时，直线y ＝－a 2x ＋z2的纵截距仅在点(1,0)处取得最小值，即目标函数z ＝ax ＋2y 在点(1,0)处取得最小值，解得－6<a <2，故选B.[答案] (1)C (2)B [方法技巧]求解线性规划中含参问题的2种基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围．(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．[集训冲关]1.[考法一]若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －4≥0，则x ＋2y 的最大值为( )A.132 B ．6 C ．11 D ．10解析：选C 法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋2y ＝0，平移该直线，当直线经过点B (3,4)时，x ＋2y 取得最大值，即(x ＋2y )max ＝3＋2×4＝11，故选C.法二：设z ＝x ＋2y ，由题易知，目标函数z ＝x ＋2y 的最大值只能在可行域的三个顶点处取得，由题知三条直线的交点分别为⎝⎛⎭⎫32，52，(3,4)，(2,2)，当x ＝32，y ＝52时，z ＝132；当x ＝3，y ＝4时，z ＝11；当x ＝2，y ＝2时，z ＝6，所以z max ＝11，故选C.2.[考法二]已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤95，6B ．⎝⎛⎭⎫－∞，95 C ．(－∞，3]∪[6，＋∞)D ．(3,6]解析：选A 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易知可行域的三个顶点的坐标分别为(1,3)，(1,6)，⎝⎛⎭⎫52，92，y x表示可行时，yx 取域内的点(x ，y )与原点连线的斜率，观察图象可知，当(x ，y )＝(1,6)得最大值，最大值为6，当(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫52，92时，y x 取得最小值，最小值为95，故y x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤95，6，故选A.3.[考法三]如图，目标函数z ＝kx ＋y 的可行域为四边形OABC (含边界)，A (1,0)，C (0,1)，若B ⎝⎛⎭⎫34，23为目标函数取得最大值的最优解，则k 的取值范围是________．解析：直线z ＝kx ＋y 的斜率为－k ，平移直线y ＝－kx ＋z ，因为B ⎝⎛⎭⎫34，23为目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的最优解，∴k AB ≤－k ≤k BC ，又∵k AB ＝－83，k BC ＝－49，∴－83≤－k ≤－49⇒49≤k ≤83.答案：⎣⎡⎦⎤49，834.[考法三]若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤6，y ≥k ，且z ＝3x ＋y 的最小值为－8，则k ＝________.解析：目标函数z ＝3x ＋y 可化为y ＝－3x ＋z ，要使目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为－8，则平面区域位于直线y ＝－3x ＋z 的右上方，即3x ＋y ＝－8，作出不等式组对应的平面区域，如图，是一个封闭的三角形，则目标函数经过点A (k ，k )时，目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为－8，代入得－8＝4k ，解得k ＝－2.答案：－2突破点三 线性规划的实际应用[典例] (2019·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元[解析] 设分别生产甲、乙两种产品为x 桶，y 桶，利润为z 元，则根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y .作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线L ：300x ＋400y ＝0，然后把直线向可行域平移，可得当x ＝0，y ＝6时，z 最大，其值为2 400，故选C. [答案] C [方法技巧]解线性规划应用题的一般步骤[针对训练](2019·衡水中学模拟)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨，现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料，产生的利润为12 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为7 000元．那么可产生最大的利润是________元．解析：设x ，y 分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，工厂的总利润z ＝12 000x ＋7 000y .由约束条件得可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝10，18x ＋15y ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以最优解为A (2，2)，则当直线12 000x ＋7 000y －z ＝0过点A (2,2)时，z 取得最大值38 000，即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润为38 000元．答案：38 000[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·宝鸡期中)在3x ＋2y <6表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(3,0) B ．(1,3) C ．(0,3)D ．(0,0)解析：选D 分别把四个选项的坐标代入3x ＋2y <6，经验证坐标(0,0)符合要求，故选D. 2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C.3．(2019·陕西部分学校摸底检测)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则2x ＋y 的最小值为( )A ．－12B ．0C ．1D ．32解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，作出直线y ＝－2x ，平移该直线，当直线经过点A ⎝⎛⎭⎫－12，12时，z ＝2x ＋y取得最小值，最小值为－12，故选A.4．(2019·合肥一中等六校联考)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥|x |，x －2y ＋4≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A.43 B ．－43C ．12D ．0解析：选C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易得当该直线经过点A (4,4)时，2x ＋y 取得最大值，为12，故选C.5．(2019·西宁检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z＝x ＋y 经过点A 时，z 取得最大值，此时A (k ，k )，所以2k ＝6，即k ＝3，所以B (－6,3)，当直线z ＝x ＋y 经过点B 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为－6＋3＝－3.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2018·南昌调研)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．4解析：选C作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝32x ，平移该直线，当直线经过C (1,0)时，在y 轴上的截距最小，z 最大，此时z ＝3×1－0＝3，故选C.2．(2019·赤峰期末)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －1≤0，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝2x ·4y 的最大值为( )A ．8B ．16C ．32D ．64解析：选C 由z ＝2x ·4y 得z ＝2x＋2y，设m ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12m ，平移直线y ＝－12x ＋12m ，由图象可知当直线y ＝－12x ＋12m 经过点A 时，直线y ＝－12x ＋12m 的截距最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即A (3,1)，此时m 最大，为m ＝3＋2＝5，此时z 也最大，为z ＝2x ＋2y ＝25＝32，故选C.3．(2019·西安模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为( )A ．－2B ．－23C ．－125D ．2－47解析：选C作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125，故选C.4．(2019·嘉兴期末)已知点A (2，－1)，点P (x ，y )满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，y －1≤0，x －2y ≤4，O 为坐标原点，那么OA ―→·OP ―→的最小值是( )A ．11B ．0C ．－1D ．－5 解析：选D画出满足约束条件的平面区域，如图所示．又由OA ―→·OP ―→＝(2，－1)·(x ，y )＝2x －y .令目标函数z＝2x －y .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，y －1＝0，解得B (－2,1)，z ＝2x －y 在点B 处取得最小值z min ＝2×(－2)－1＝－5，故选D.5．(2019·嘉兴第一中学模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，3x ＋y <3，x ＋y >a 表示的平面区域是一个三角形区域(不包括边界)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，34 B ．⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，32 D ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞解析：选C作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，要使可行域为三角形区域(不包括边界)，则需点A 在直线x ＋y ＝a 的右上方．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，3x ＋y ＝3可得A ⎝⎛⎭⎫34，34，所以34＋34>a ，即a <32.故选C. 6．(2019·郑州模拟)已知直线y ＝k (x ＋1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，3x －y ≥0，x >0，y >0表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎝⎛⎦⎤0，32 D ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析：选C 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(不包括直线y ＝0)，直线y ＝k (x ＋1)过定点(－1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，过点(－1,0)与(1,3)的直线的斜率是32，根据题意可知0<k ≤32，故选C.7．(2019·太原模拟)已知点M ，N 是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0，x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0内的两个动点，a ＝(1,2)，则MN ―→·a的最大值为( )A ．2 5B ．10C ．12D ．14解析：选B ⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0，x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则MN ―→·a ＝(ON ―→－OM ―→)·a ＝ON ―→·a －OM ―→·a ＝x 2＋2y 2－(x 1＋2y 1)，设z ＝x ＋2y ，平移直线x ＋2y ＝0，易知当直线经过点A (4,4)时，z取得最大值，最大值是12，当直线经过点B (2,0)时，z 取得最小值，最小值为2，所以MN ―→·a 的最大值为10，故选B.8．(2019·石家庄模拟)实数x ，y 满足|x ＋1|≤y ≤－12x ＋1时，目标函数z ＝mx ＋y 的最大值等于5，则实数m 的值为( )A ．－1B ．－12C ．2D ．5解析：选B 实数x ，y 满足|x ＋1|≤y ≤－12x ＋1时，表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A (－1,0)，B (0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1，y ＝－12x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3， ∴C (－4,3)．目标函数z ＝mx ＋y ，∴y ＝－mx ＋z ，当m >12时，直线过点B 时，z 取得最大值5，不成立，舍去；当0<m <12时，直线过点C 时，z 取得最大值5，∴－4m ＋3＝5，∴m ＝－12不成立，舍去；当m ＝0或12时，易验证z 的最大值不可能等于5；当m <0时，直线过点C 时，z 取得最大值5，∴－4m ＋3＝5，∴m ＝－12成立．故选B.9．(2018·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x ＋y ＝2，解得A (4，－2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＋y ＝6，解得B (2,2)． 将函数y ＝－13x 的图象平移可知，当目标函数的图象经过A (4，－2)时，z min ＝4＋3×(－2)＝－2； 当目标函数的图象经过B (2,2)时，z max ＝2＋3×2＝8. 答案：－2 810．(2019·林州一中调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x 4＋y 4≤1，y ≥2－x 2，则z ＝⎝⎛⎭⎫122x －y的最小值为________．解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x 4＋y 4≤1，y ≥2－x 2表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，y ＝x ＋2得点B (1,3)．作出直线2x －y ＝0，对该直线进行平移，可以发现当该直线经过点B 时，(2x －y )max ＝2×1－3＝－1，此时z min ＝2.答案：211．(2019·淮北十校联考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0，x ＋2y －14≤0，2x ＋y －10≤0，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：x 2＋y 2表示可行域内的点P (x ，y )到原点的距离的平方，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点O 作OA 垂直直线x ＋y －6＝0，垂足为A ，易知点A 在可行域内，所以原点到直线x ＋y －6＝0的距离d ，就是点P (x ，y )到原点距离的最小值，由点到直线的距离公式可得d ＝612＋12＝32，所以x 2＋y 2的最小值为d 2＝18. 答案：1812．(2019·湖南五市联考)某工厂制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工来完成两道工序，已知木工平均4个小时做一把椅子，8个小时做一张书桌，该工厂每星期木工最多有8 000 个工作时；漆工平均2个小时漆一把椅子，1个小时漆一张书桌，该工厂每星期漆工最多有1 300个工作时．若做一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，生产一个星期该工厂能获得的最大利润为________元．解析：设一个星期能生产椅子x 把，书桌y 张，利润为z 元，可得约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8 000，2x ＋y ≤1 300，x ∈N ，y ∈N ，利润z ＝15x ＋20y ，画出不等式组所表示的平面区域(图略)，可知在点(200,900)处z 取得最大值，此时z max ＝21 000元．答案：21 00013．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，还要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划的投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问：投资人对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？最大盈利额是多少？解：设投资人对甲、乙两个项目分别投资x 万元、y 万元，盈利为z 万元，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，3x ＋y ≤18，z ＝x ＋0.5y .x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当直线y ＝－2x ＋2z 过点M 时，在y 轴上的截距最大，这时z 也取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝10，3x ＋y ＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，即M (4,6)，z max ＝1×4＋0.5×6＝7.故投资人投资甲项目4万元，投资乙项目6万元，才能使可能的盈利最大，最大盈利额为7万元． 14．某人有一套房子，室内面积共计180 m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15 m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元．装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，每天才能获得最大的房租收益？解：设隔出大房间x 间，小房间y 间，获得的收益为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1 000x ＋600y ≤8 000，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝200x ＋150y ，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点所示．由图可知，当直线z ＝200x ＋150y 过点A ⎝⎛⎭⎫207，607时，z 取得最大值， ∵A 点的坐标不是整数，而x ，y ∈N ，∴点A 不是最优解．由图可知，使目标函数取得最大值的整数点一定分布在可行域的右上侧，这些整数点有(0,12)，(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,6)，(5,5)，(6,3)，(7,1)，(8,0)，分别代入z ＝200x ＋150y ，逐一验证，可得取整数点(0,12)和(3,8)时，z max ＝1 800，∴应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间，才能获得最大收益．。