专题06平面向量-2020年高考数学(文)二轮专项习题练(原卷版)

合集下载

2020年高考数学二轮限时训练三角函数、平面向量2理

第三部分：三角函数、平面向量（2）（限时：时间45分钟，满分100分）一、选择题1 . (2020 年湖北高考)设 a = (1 , - 2) , b = ( — 3,4) , c = (3,2)，则(a + 2b) • c =()A . ( — 15, 12)B . 0 C.— 3 D . — 11 【解析】•/ a + 2b = ( — 5,6),•••(a + 2b) • c = ( — 5,6) • (3,2) =— 15 + 12=— 3.【答案】 C2 .如图，已知正六边形 P 1P 2P 3P4RR ，下列向量的数量积中最大的是 ( )【解析】利用数量积的几何意义，向量 P 1P 3、P 1P 4、P 1P 5、PR 中，P 1P 3在向量P 1P 2方向上的投影最大，故 P 1F 2 • P 1P 3最大.【答案】 A3. （2020年江安质检）设A （a,1） , B （2 , b ） , C （4,5）为坐标平面上三点， 0为坐标原点.若0A 与0B 在0C 方向上的投影相同，则 a 与b 满足的关系式为（） A . 4a — 5b = 3 B . 5a — 4b = 3C. 4a + 5b = 14 D . 5a + 4b = 12【答案】 A1 1 3 一【解析】O A • O C 由已知得 —— |O ©0E • O C |O © 4a + 58+ 5b ,41 — .41， •- 4a — 5b = 3. C.P 1P 2 • P P D.P 1P 2 • P1R4 .已知a= 3, 2si n a , b =，cos a, ?，且a与b平行，则锐角a的值为（）A. 8B. n6nC.〒D. 4n 3" 【解析】•• ■ a // b , 13^ 1—一 2sin a •石 COS a= 0,3 2 21 1即 ---- s in 2 2 2a = 0 ,• Sin 2 a= 1. 又••• 0<a< n 2,••• 0<2a <n,【答案】 C5. （2020年汤阴模拟）在厶ABC 中，（B ~C + B^A ） •AC = |A ~C|2，则三角形ABC 的形状一定是（）A .等边三角形B •等腰三角形 C.直角三角形 D •等腰直角三角形【解析】由(B"C + B A ) •A'C = |A"C|2,得 A T C • (B ~C + B^A — A_C) = 0, 即 A T C • (B ~C + B ^ + CA )= o ,2B T = 0,AA C ±B A ，•/A = 90° 【答案】 C、填空题【解析】a •b = |a||b| cos 0,— 3 = 3X 2X cos 0, 即卩 1 cos 0=— 2又•0€ [0 ,n ] ,「.0 =2n3 . 6 .（201 1年上海春招）已知|a| = 3,|b| = 2,若a •b =— 3，则a 与b 夹角的大小为【答案】 n则 2 a= — , •a n ~4'••AC 2n 3【解析】对于A , AC + A 乍=AC + CD = AD = 2B C ，故A 正确.1 —对于 B,vA D = A B + B C + C D = A B + ^A D + A F ,1• 2A D =A B + A F ，•••A E = 2A B + 2A "F ，故 B 正确.对于 C,VA c ・A~D = I A E I IA "C|COS / DAC= |A ~D| •3|A "B|cos 303 =^lA B||A D| , AD •A B = |A D| • |A B |cos Z DAB=|A ~D||A E|cos 601 _= 2|A _B||A D|.故 C 不正确.对于 D,v (A D •A F)E F = |A D||A F |cos 60 ° •E F ,1 =2|A D||A F| •E F , AD(A F •E F)—> —> —> =AD • |A F ||E F |cos 120=(-2E^) • |AP| • ADI •(—弓7 . （2020年江西高考）如图，正六边形 ABCDE 中，有下列四个命题:—> —> —>A . AC + AF = 2BCB . A "D = 2AB + 2A "?C. A _C •AD = A D •A 'B —> —> —> —> —> —>D. (A D •A F)E F = AD(A F •E F)其中真命题的代号是.（写出所有真命题的代号）AB=2|A 1D| • |A •E "F ，故D 正确.【答案】 A B D8. (2020年淮安模拟)△ ABC 内接于以 O 为圆心的圆，且 30" + 4O B — 5O C = 0,则/C【解析】•/ 30" + 4013 — 5O C = 0,••• 3O 1 + 4O B = 5OC ,—1 2 —12 —1 —1 —1 2 • 9OA + 16OB + 24OA •O B = 25OC .又 O A 2= O —B 2 = O C 2,又 30A + 4OB = 5OC , •••点 C 在劣弧 AB 上，C = 135°.【答案】135°三、解答题9 •已知| a| = 1, |b| = .2 a 与b 的夹角为0.(1)若 a // b 求 a • b ;⑵若a — b 与a 垂直，求0.【解析】(1) ••• a / b ,「.0= 0 或 n,• a • b = | a|| b|cos 0= 1 x ：2 x cos 0=± '2.⑵•「(a — b)丄 a ,「. a •( a — b) = 0,2 即 a — a •b = 0,• 1 — 1 x ■'2cos 0= 0,二 cos 0=孑.nT0 € [0 ,n ] ,「・0=才.10.已知向量 O A = (3 , — 4) , O —B = (6 , — 3),OC = (5 — m — (3 + m)).(1)若点A 、B 、C 不能构成三角形，求实数 m 应满足的条件；⑵ 若厶ABC 为直角三角形，求实数 m 的值.【解析】 (1)已知向量 O 11 = (3 , — 4) , O B = (6 , — 3) , O C = (5 — m — (3 + m)), 若点A B 、C 不能构成三角形，则这三点共线，• OALOB.VA I B = (3,1) , A T C = (2 - m,1 - m),1故知3(1 —m)= 2 - m「•实数m=㊁时，满足条件.⑵由题意，△ ABC为直角三角形，①若/A为直角，则A E丄AC,• 3(2 —m)+ (1 —m)= 0，解得m= 4.②若/B 为直角，B C = ( — 1 —m, —m),3则A"B ±B C , • 3( — 1 —m) + ( —m)= 0,解得m= —③若/C为直角，则B C ±A C ,• (2 —m)( — 1 —m)+ (1 —m)( —m)= 0,解得m=号5。

2020年高考数学二轮专题训练—平面向量

平面向量一、选择题：本大题共15题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则AB =u u u r （）A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4） 2 若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比λ的值为A.－13B. －15C. 15D. 133、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ．若AC =u u u r a ，BD =u u u r b ，则AF =u u u r （） A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a b D ．1233+a b 4、设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r 2,AF FB =u u u r u u u r 则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与BC uuu rA.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直5、已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=u u u r u u u r ，则OC =u u u r （）A ．2OA OB -u u u r u u u r B ．2OA OB -+u u u r u u u rC ．2133OA OB -u u u r u u u rD ．1233OA OB -+u u u r u u u r 6、平面向量a r ，b r 共线的充要条件是（） A. a r ，b r 方向相同 B. a r ，b r 两向量中至少有一个为零向量C. R λ∃∈， b a λ=r rD. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r7、在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （）A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 8、已知两个单位向量a r 与b r 的夹角为135︒，则||1a b λ+>r r 的充要条件是A.2)λ∈B.(2,0)λ∈-C.(,0)(2,)λ∈-∞+∞UD.(,2)(2,)λ∈-∞+∞U9、若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r , 则BC =u u u r （）A ．（1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）10、已知平面向量，(2,)b m =-r ，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--11、设a r =(1，－2), b r =(－3,4),c=(3,2)，则(2)a b c +⋅r r r =A.(15,12)-B.0C.－3D.－1112、已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r 垂直，则λ是（）A. －1B. 1C. －2D. 2 13、设平面向量(3,5),(2,1),2______==--=则a b a bA ．(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3) 14、已知两个单位向量a r 与b r 的夹角为3π，则a b λ+r r 与a b λ-r r 互相垂直的充要条件是（） A ．3λ=3λ=B ．12λ=-或12λ= C ．1λ=-或1λ= D ．λ为任意实数二．填空题：本大题共7小题。

专题06 平移、旋转问题(原卷版)

决战2020年中考典型压轴题大突破模块二中考压轴题几何变换综合专题考向导航在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了动手操作题。

动手操作题是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题。

这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念。

此类试题的显著特点是以动手为基础的手脑并用的形式，有助于创新能力的培养和实践能力的提高，改变了以往一只笔一张纸的学习方式，是新课程改革的基本理念之，在中考中越来越受到关注。

常见的有折叠、旋转和平移操作。

操作型问题是指通过动手测量作图(象)、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情合理和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准，特别强调发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想因此，实验操作问题将成为今后中考的热点题型。

专题06 旋转类问题方法点拨旋转类问题证明问题，既体现此类题型的动手能力、又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明。

精典例题（2019•大同二模）综合与实践问题情境：如图1，在数学活动课上，老师让同学们画了等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，并连接CE，BD．操作发现：（1）当等腰Rt△ADE绕点A旋转，如图2，勤奋小组发现了：①线段CE与线段BD之间的数量关系是．②直线CE与直线BD之间的位置关系是．类比思考：（2）智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图3，若△ABC与△ADE都为直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AC＝2AB，AE＝2AD，请你写出CE与BD的数量关系和位置关系，并加以证明．拓展应用：（3）创新小组在（2）的基础上，又作了进一步拓展研究，当点E在直线AB上方时，若DE ∥AB，且AB=√5，AD＝1，其他条件不变，试求出线段CE的长．（直接写出结论）【点睛】（1）如图2中，延长BD交AC于点O，交EC于H．证明△EAC≌△DAB（SAS），即可解决问题．（2）结论：CE＝2BD，CE⊥BD．如图3中，延长BD交AC于点O，交EC于点H．证明△ABD∽△ACE，即可解决问题．（3）如图4中，当DE∥AB时，设DE交AC于H，易证AC⊥DE．求出EH，CH，理由勾股定理即可解决问题．巩固突破1．（2019•邓州市二模）阅读材料如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EDF＝90°，且点D在AB边上，AB、EF 的中点均为O，连接BF、CD、CO，显然，点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，所以BF＝CD．解决问题：（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转到图②的位置，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠ACB＝∠EDF＝α，BF与CD之间的数量关系如何（用含α的式子表示出来）？请直接写出结果．2．（2019•中原区校级四模）问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC ＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重台时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．3．（2019•宛城区二模）【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．【观察猜想】观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（2）【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明：否则写出新的结论并说明理由．（3）【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝4，BC＝8，请直接写出线段AP长的取值范围．4．（2019•中原区校级三模）等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝4√2，E为AC中点，以CE为斜边作如图所示等腰直角三角形CED．（1）观察猜想：如图1所示，过D作DF⊥AE于F，交AB于G，线段CD与BG的关系为；（2）探究证明：如图2所示，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过D作DF⊥AE于F，过B作DE的平行线与直线FD交于点G，（1）中结论是否成立？请说明理由；（3）拓展延伸：如图3所示，当E、D、G共线时，直接写出DG的长度．5．（2019•金水区校级模拟）如图，△ABC与△CDE为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEC＝90°，连接AD，取AD中点P，连接BP，并延长到点M，使BP＝PM，连接AM、EM、AE，将△CDE绕点C顺时针旋转．（1）如图①，当点D在BC上，E在AC上时，AE与AM的数量关系是，∠MAE＝；（2）将△CDE绕点C顺时针旋转到如图②所示的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）若CD=12BC，将△CDE由图①位置绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜360°），当ME=√62CD时，请直接写出α的值．6．（2019•镇平三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．7．（2019•葫芦岛模拟）在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，作∠ABC的平分线交AC于点D，∠MDN＝135°，将∠MDN绕点D旋转，使∠MDN的两边交直线BA于点E，交直线BC于点F．（1）当∠MDN绕点D旋转到如图①的位置时，请直接写出三条线段AE，CF，AD的数量关系；（2）当∠MDN绕点D旋转到如图②的位置时，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）若BC＝2+√2，当∠CDF＝15°时，请直接写出线段CF的长度．8．（2019•北辰区二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点点A（3，4）点B（6，0）．（Ⅰ）如图①，求AB的长；（Ⅱ）如图②，把图①中的△OAB绕点B顺时针旋转，使点O的对应点M恰好落在OA延长线上，N 是点A旋转后的对应点．①求证：BN∥OM；②求点N的坐标；（Ⅲ）点C是OB的中点，点D为线段OA上的动点在△OAB绕点B顺时针旋转过程中，点D的对应点是P，求线段CP长的取值范围（直接写出结果）9．（2019•南岗区四模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，线段AB的两个端点的坐标分别为A （0，a ），B （b ，0），且a ＞0，b ＜0，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ．（1）如图1，用a ，b 表示点C 的坐标；（2）如图2，连接BC 并延长交y 轴于点D ，点E 在x 轴上，连接CE ，DE ，且BE ＝CE ，求证：∠BDE ＝45°；（3）如图3，在（2）条件下，过点D 作BD 的垂线DF ，点F 在第一象限内，连接BF 交CE 于点G ，若BG ：BC ：DF ＝3：3：4，BF ＝17，求AO 的长．10．（2019•洛阳三模）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，D ，E 两点分别是AC ，CB 上的点，且CD ＝6，DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 顺时针旋转一周，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，AD EB = ；②当α＝90°时，AD EB= ．（2）拓展探究请你猜想当△CDE 在旋转的过程中，AD EB 是否发生变化？根据图2证明你的猜想．（3）问题解决在将△CDE 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，当AD ＝2√13时，BE ＝，此时α＝．11．（2019•碑林区校级二模）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°）至△AB′C′的位置．问题探究：（1）如图1，当旋转角为60°时，连接C′C与AB交于点M，则C′C＝，CM＝．（2）如图2，在（1）条件下，连接BB′，延长CC′交BB′于点D，求CD的长．问题解决：（3）如图3，在旋转的过程中，连线CC′、BB′，CC′所在直线交BB′于点D，那么CD的长有没有最大值？如果有，求出CD的最大值：如果没有，请说明理由．12．（2019•洛阳二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC 的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．（1）问题发现当α＝0°时，CEBD=；β＝°．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，CEBD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．13．（2019•苏家屯区二模）已知：如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDE＝90°，点F是AE的中点，连接DF，CF．（1）如图1，点D，E分别在AB，BC边上，填空：CF与DF的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转45°得到图2，请判断（1）中CF与DF的数量关系和位置关系是否仍然成立，如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转90°得到图3，如果BD＝2，AC＝3√2，请直接写出CF的长．14．（2019•博罗一模）有一块含30°角的直角三角板OMN，其中∠MON＝90°，∠NMO＝30°，ON＝2√3，将这块直角三角板按如图所示位置摆放．等边△ABC的顶点B与点O重合，BC边落在OM上，点A恰好落在斜边MN上，将等边△ABC从图1的位置沿OM方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与斜边MN交于点E，F（如图2所示），设△ABC平移的时间为t（s）（0＜t＜6）．（1）等边△ABC的边长为；（2）在运动过程中，当时，MN垂直平分AB；（3）当0＜t＜6时，求直角三角板OMN与等边△ABC重叠部分的面积S与时间t之间的函数关系式．15．（2019•海州区一模）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝6，DE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请求出相应的BF的长．16．（2019•建昌一模）已知：点A、B在∠MON的边OM上，作AC⊥OM，BD⊥OM，分别交ON于C、D两点．（1）若∠MON＝45°．①如图1，请直接与出线段AB和CD的数量关系．②将△AOC绕点O逆时针旋转到如图2的位置，连接AB、CD，猜想线段AB和CD的数量关系，并证明你的猜想．（2）若∠MON＝α（0°＜α＜90°），如图3，请直接写出线段OC、OD、AB之间的数量关系．（用含α的式子表示）17．（2019•南漳模拟）在四边形ABCD 中，点E 为AB 边上的一点，点F 为对角线BD 上的一点，且EF ⊥AB ．（1）若四边形ABCD 是正方形①如图1，直接写出AE 与DF 的数量关系；②将△EBF 绕点B 逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE ，DF ，猜想AE 与DF 的数量关系并说明理由；（2）如图3，若四边形ABCD 为矩形，AB BC =√22，其它条件都不变，将△EBF 绕点B 顺时针旋转α（0o＜α≤90o ）得到△E 'BF '（E 、F 的对应点分别为E '、F '点），连接AE '、DF '，请在图3中画出草图，并判定AE′DF′的值是否随着α的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出AE′DF′的值．18．（2019•徐州一模）将一副直角三角尺按图1摆放，其中∠C ＝90°，∠EDF ＝90°，∠B ＝60°，∠F ＝45°，等腰直角三角尺的直角边DF 恰好垂直平分AB ，与AC 相交于点G ，BC ＝4√3cm ．（1）求DG 的长；（2）如图2．将△DEF 绕点D 按顺时针方向旋转，直角边DF 经过点C ，另一直角边DE 与AC 相交于点H ，分别过点H ，D 作AB ，BC 的垂线，垂足分别为点M ，N ．猜想HM 与CN 之间的数量关系，并证明；（3）如图3，在旋转的过程中，若△DEF 两边DE ，DF 与△ABC 两边AC ，BC 分别交于K 、T 两点，则KT 的最小值为．19．（2019•太原一模）综合与实践数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题．动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．将三角形纸片ABC进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将△ABC沿折痕DE剪开，然后将△DEC绕点D逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C的对应点分别是点F，G，射线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N，线段DG与边AC交于点P．数学思考：（1）求DC的长；（2）在△DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题：①如图2，当GF∥BC时，求AM的长；②如图3，当GF经过点B时，AM的长为；③当△DEC绕点D旋转至DE平分∠FDG的位置时，试在图4中作出此时的△DFG和射线GF，并直接写出AM的长．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）11/ 11。

高考数学平面向量专题复习(含答案)(2020年九月整理).doc

22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量，
（1）求证：且；
（2）设向量，，且，求实数t的值．
23、已知，设．
（1）求的解析式并求出它的周期T．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求△ABC的面积.
24、已知为圆 : 上一动点，圆心关于轴的对称点为 ,点分别是线段 , 上的点，且 , 。
4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则（）
A． B． C． D．
5、在平行四边形中，，若是的中点，则（）
A. B. C. D.
6、已知向量，且，则（）
A. B. C. D.
7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则 ( )
A. B.1 C. D. 3
(2) 若x， y在[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为，满足的基本事件的结果为．
画出图形如图，正方形的面积为，阴影部分的面积为，
故满足的概率为．
22、（1）证明：，所以，因为，所以；
（2）因为，所以，
由（1）得：
所以，解得．
23、解析：（1）
...........4分
三、简答题
19、已知平面直角坐标系中，向量，，且 .
（1）求的值；（2）设，求的值．
20、已知向量＝(sin ，cos ﹣2sin )，＝(1，2)．
（1）若 ∥ ，求的值；
（2）若，0＜＜，求的值．
21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若在区间[1,6]内取值，求满足的概率.
15、

2020年高考数学试题分项版—平面向量(原卷版)

2020年高考数学试题分项版——平面向量（原卷版）一、选择题1．(2020·全国Ⅲ理，6)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935 C.1735 D.19352．(2020·新高考全国Ⅰ，7)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB → 的取值范围是( )A ．(－2,6)B ．(－6,2)C ．(－2,4)D ．(－4,6)3．(2020·新高考全国Ⅱ，3)若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CB →等于( )A ．2CD →－CA →B ．2CA →－CD →C ．2CD →＋CA → D ．2CA →＋CD →4．(2020·全国Ⅱ文，5)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b5．(2020·全国Ⅲ文，6)在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若AC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线二、填空题1．(2020·全国Ⅰ理，14)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________.2．(2020·全国Ⅱ理，13)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________.3．(2020·北京，13)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________.4.(2020·天津，15)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB→＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．5.(2020·江苏，13)在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP ＝9，若P A →＝mPB →＋⎝⎛⎭⎫32－m PC →(m 为常数)，则CD 的长度是________．6．(2020·浙江，17)已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤2，设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是________．7．(2020·全国Ⅰ文，14)设向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1,2m－4)，若a⊥b，则m＝________.。

2020年高考专题训练专题06有机化学实验与合成(原卷版)

06．有机化学实验与合成可能用到的相对原子质量：H-1C-12 N-14O-16 F-19Na-23Al-27Si-28S-32 K-39Cr-52Fe-56Cu-64Br-80Ag-108第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(此题共20 小题，每题 2 分，共 40 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目求的 )1．甲烷中混有乙烯，欲除掉乙烯获得纯净的甲烷，挨次经过的洗气瓶中盛放的试剂最好为()A ．澄清石灰水、浓硫酸B ．KMnO 4酸性溶液、浓硫酸C．溴水、浓硫酸D．浓硫酸、 KMnO 4酸性溶液2．对于实验室制备乙烯的实验，以下说法正确的选项是()A ．反响物是乙醇和过度的3mol/L 硫酸的混淆液B．温度计插入反响液面以下，以便控制温度在140℃C．反响容器 ( 烧瓶 )中应加入少量碎瓷片D．反响完成先熄灭酒精灯再从水中拿出导管3．一个学生做乙醛的复原性实验时，取1mol ·L-1的 CuSO4溶液和 0.5mol L·-1的 NaOH 溶液 1mL ，在一支干净的试管内混淆后，向此中又加入0.5mL40% 的乙醛，加热至沸腾，结果无红色积淀出现。

实验失败的原由可能是 ()A ．未充足加热B．加入乙醛太少C．加入 NaOH 溶液的量不够D．加入 CuSO4溶液的量不够4．为除掉括号内杂质，以下相关试剂和操作方法不正确的选项是()A ．苯 (苯酚 )：稀 NaOH 溶液，分液B ．乙醇 (乙酸 )： KOH 溶液，分液C．乙烷 (乙烯 )：溴水，洗气D．苯 (溴 )：稀 NaOH 溶液，分液5．为了鉴识己烯、甲苯和丙醛，能够使用以下试剂组中的()A ．新制 Cu(OH) 2悬浊液与溴水B ．KMnO 4酸性溶液和溴水C．银氨溶液及KMnO 4酸性溶液D．新制 Cu(OH) 2悬浊液与银氨溶液6．以下配制银氨溶液的操作中，正确的选项是()A ．在干净的试管中加入1~2 mL AgNO 3 溶液，再加入过度浓氨水，振荡，混淆平均B．在干净的试管中加入1~2 mL 稀氨水，再逐滴加入2% AgNO 3 溶液至过度C．在干净的试管中加入D ．在干净的试管中加1~2 mL AgNO2% AgNO 3溶液3 溶液，再逐滴加入浓氨水至过度1~2 mL ，逐滴加入2%稀氨水，边滴边振荡，至积淀恰巧溶解时为止。

2020年高考数学(文)二轮专项复习专题06 平面向量

专题06 平面向量平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用．§6－1 向量的概念与运算【知识要点】1．向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量c b a ,,,自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量．(2)向量的模：向量的长度，记作：|||,|a向量的夹角：两个非零向量a ，b ，作b a ==,，则(AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作：〈a ，b 〉零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0单位向量：模为1，方向任意的向量，与a 共线的单位向量是：)0(||=/±a a a(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量．相反向量：长度相等，方向相反的向量．向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量．记作a ∥b向量垂直；〈a ，b )＝90°时，向量a 与b 垂直，规定：0与任意向量垂直． 2．向量的几何运算(注意：运算法则、运算律)(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则． (2)减法：三角形法则． (3)数乘：记作：λ a ．它的长度是：｜λ a ｜＝｜λ ｜·｜a ｜它的方向：①当λ ＞0时，λ a 与a 同向 ②当λ ＜0时，λ a 与a 反向 ③当λ ＝0时，λ a ＝0 (4)数量积：①定义：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉其物理背景是力在位移方向所做的功． ②运算律：1．(交换律)a ·b ＝b ·a2．(实数的结合律)λ (a ·b )＝(λ a )·b ＝a ·(λ b ) 3．(分配律)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ③性质：设a ，b 是非零向量，则：a ·b ＝0⇔a ⊥ba 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜ a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜特殊地：a ·a ＝｜a ｜2或a a a ⋅=||夹角：||||,cos b a ba b a ⋅>=<|a ·b |≤|a | |b |3．向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)加法：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)减法：a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)数乘：λ a ＝(λ x 1，λ y 1) (4)数量积：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 (5)若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a(6)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a(7)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(||y y x x AB -+-=(8)a 在b 方向上的正射影的数量为22222121||,cos ||y x y y x x ++=>=<⋅b b a b a a 4．重要定理(1)平行向量基本定理：若a ＝λ b ，则a ∥b ，反之：若a ∥b ，且b ≠0，则存在唯一的实数λ 使得a ＝λ b (2)平面向量基本定理：如果e 1和e 2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2使a ＝a 1e 1＋a 2e 2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) 则：a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=2121y y x x b a【复习要求】1．准确理解相关概念及表示，并进行简单应用；2．掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；3．熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题．【例题分析】例1 向量a 、b 、c 是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有( )个 (1)(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直， (2)若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ， (3)(a ·b )c ＝a (b ·c )， (4)a ·b ≤｜a ｜｜b ｜ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，所以c (b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直；(2)假命题．a ·c ＝b ·c ≠a ＝b ；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a 与向量b 都是与向量c 垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a 、b 这两个向量不相等；(3)假命题．(a ·b )c ≠a (b ·c )，实际上(a ·b )c 是与向量c 方向相同或相反的一个向量，a (b ·c )是与a 方向相同或相反的一个向量，向量a 、c 的方向可以不同，左右两边的向量就不等；(4)真命题．a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉，且cos 〈a ，b 〉≤1，所以a ·b ≤｜a ｜｜b ｜．解答：选C ．【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识；(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质．例2 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．)37,97(B ．)97,37(--C ．)97,37(D ．)37,97(--【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解．解：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m ，2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )；又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，则有37,97-=-=n m 故选择D 【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法．例3 (1)已知向量)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===，且A 、B 、C 三点共线，求实数k 的值．(2)已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，求实数k 的值．【分析】(1)向量a 与b (b ≠0)共线⇔存在实数m 使a ＝m b ．当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．(2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题． a ·b ＝0⇔a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0解：(1)∵)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===, ∴)5,4(),7,4(-+=--=k CB k AB , ∵A 、B 、C 三点共线，∴CB AB //，即(4－k )(－5)－(4＋k )(－7)＝0，解得：⋅-=32k (2)由(k a －2b )⊥a ，得(k a －2b )·a ＝k a 2－2b ·a ＝2k －2·(2－3)＝0，所以k ＝－1．【评析】①向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数m 使a ＝m b ；当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等量关系成立．②利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行，以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合．例4 已知：｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，求：①a ·b ；②(2 a ＋b )·b ；③｜2a ＋b ｜；④2 a ＋b 与b 的夹角θ 的余弦值【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2a a a a a a ⋅⋅=⇒=||||2，若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a解：①∵｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝5； ②(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b ·b ＝10＋25＝35； ③;6125201644)2(|2|222=++=++=+=+⋅⋅b b a a b a b a④⋅==++=++>=+<⋅⋅⋅⋅6161756135||)2()2(|||2|)2(,2cos 2b b a b b a b b a b b a b b a【评析】向量的数量积是一个非常好的工具，利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式．例5 已知向量a ＝(sin θ ，cos θ －2sin θ )，b ＝(1，2)． (Ⅰ)若a ∥b ，求tan θ 的值；(Ⅱ)若｜a ｜＝｜b ｜，0＜θ ＜π，求θ 的值．【分析】已知向量的坐标和平行关系与模长，分别用坐标公式刻画．解：(Ⅰ)因为a ∥b ，所以2sin θ ＝cos θ －2sin θ ，于是4sin θ ＝cos θ ，故41tan =θ． (Ⅱ)由｜a ｜＝｜b ｜知，sin 2θ ＋(cos θ －2sin θ )2＝5，所以1－2sin2θ ＋4sin 2θ ＝5．从而－2sin2θ ＋2(1－cos2θ )＝4，即sin2θ ＋cos2θ ＝－1，于是22)4π2sin(-=+θ又由0＜θ ＜π知，49π4π24π<+<θ，所以45π4π2=+θ，或47π4π2=-θ因此2π=θ，或43π=θ．例6 设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) (A)－2(B)22-(C)－1(D)21-【分析】由向量的模长以及夹角，考虑从数量积的运算寻找解决问题的突破口解：∵a ，b ，c 是单位向量，∴(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 221〉,〈cos 121-≥+-=⋅⋅c b a故选D ．例7 在△ABC ，已知23||.||32BC ==⋅，求角A ，B ，C 的大小．【分析】熟悉向量的数量积的形式，再结合三角公式来解决问题解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c由||||32⋅⋅=得bc A bc 3cos 2=，所以23cos =A 又A ∈(0，π)，因此6π=A 由23||||3BC AC AB =⋅得23a bc =，于是43sin 3sin sin 2==⋅A B C 所以43)sin 23cos 21(sin ,43)6π5sin(sin =+=-⋅⋅C C C C C ，因此02cos 32sin ,3sin 32cos sin 22=-=+⋅C C C C C ，即0)3π2sin(=-C由6π=A 知6π50<<C ，所以34π3π2,3π<--C ，从而03π2=-C ，或π3π2=-C ，即6π=C ，或32π=C ，故 6π,32π,6π===C B A ，或⋅===32π,6π,6πC B A【评析】向量往往是一步工具性的知识应用，继而转化为三角函数、不等式、解三角形等知识，因此，熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质，以及灵活选择合适的公式非常必要．练习6－1一、选择题1．平面向量a ，b 共线的充要条件是( ) A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ ∈R ，b ＝λ aD ．存在不全为零的实数λ 1，λ 2，λ 1a ＋λ 2b ＝02．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λ a ＋b 与a 垂直，则λ 是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．23．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且2=，则顶点D 的坐标为( ) A ．)27,2(B ．)21,2(-C ．(3，2)D ．(1，3)4．设△ABC 的三个内角A ，B ，C ，向量)cos 3,(cos ),sin ,sin 3(A B B A ==n m ，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( ) A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 二、填空题5．设a ＝(2k ＋2，4)，b ＝(8，k ＋1)，若a 与b 共线，则k 值为______． 6．已知向量),3(),2,1(m =-=，若⊥，则 m ＝______． 7．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MN MP 21=，则P 点坐标为______． 8．已知a 2＝1，b 2＝2，(a －b )·a ＝0，则a 和b 的夹角是______．三、解答题9．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB 相等，其中A (1，2)，B (3，2)，求实数x 的值．10．已知向量a 与b 同向，b ＝(1，2)，a ·b ＝10．(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a ．11．若向量a 与b 的夹角为60°，｜b ｜＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，求向量a 的模．§6－2 向量的应用【知识要点】1．向量的基本概念与运算与平面几何联系解决有关三角形的形状、解三角形的知识； 2．以向量为载体考查三角函数的知识；3．在解析几何中用向量的语言来表达平行、共线、垂直、中点以及定比分点等信息，实际上还是考查向量的运算方法与公式．【复习要求】会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．例1若AB CA CA BC BC AB ·==⋅⋅，求证三角形ABC 是正三角形，【分析】给出的是一个连等的等式，考虑移项进行向量的运算，进而得到正三角形的某些判定的结论．证明0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅，即与BC 边上的中线垂直，所以AB ＝AC ，同理BC ＝BA ，可以得到该三角形是等边三角形；例2 已知四边形ABCD 中，若⋅⋅⋅⋅===，判断四边形ABCD 的形状．【分析】已知向量的数量积的对称式，可以从运算和几何意义上分别研究．解答1从几何意义上设k ====⋅⋅⋅⋅若k ＞0，则∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 都是钝角，与四边形内角和为360°矛盾，舍；同理k ＜0时，也不可能，故k ＝0，即四边形ABCD 为矩形．解答2从运算上，0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅ 同理；0)()(=+=-=-⋅⋅⋅⋅ 于是BC AD //，同理CD AB //，得到四边形ABCD 是平行四边形；∴02)()(==+=-=-⋅⋅⋅⋅⋅ ∴BC AB ⊥，∴四边形ABCD 为矩形．【评析】利用数量积解决三角形的形状时，常常涉及向量的夹角问题，注意向量的数量积的正负对向量夹角的约束，另外，一些对称式告诉我们几何图形应该具有一个规则的形状，不因为改变字母而变化形状，我们可以直观判断形状．例3 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量)1,3(-=m ，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，求角A ，B 的大小．【分析】在三角形中，借助垂直向量的条件可以得到A 角的三角方程，从而求出三角形的内角A ，已知的等式左右两边是边的齐次式，可以借助三角形的正弦定理、三角公式等知识求三角形的其余内角．解：∵ 0sin cos 3=-=⊥⋅∴A A n m n m ，即3tan =A ，∴三角形内角;3π=A ∵a cosB ＋b cos A ＝c sinC ，∴sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，即sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin C ＝1，,2π=C ∴⋅=6πB 【评析】向量的知识经常被用在三角形或者解析几何等知识里，结合相关的知识点进行考查，常见的有中点的表达(比如221OM AM 、AM +===等都说明M 是AB 中点)、定比分点的表达、平行(或共线)或垂直的表达等，要注意分析并积累向量语言表达的信息．例4 已知△ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)．(1)若0=⋅，求c 的值；(2)若c ＝5，求sin ∠A 的值．【分析】(1)利用点的坐标求向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式转化为代数问题进行运算求解即可．(2)向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，我们不仅可以数形结合，还可以利用解三角形的其他知识，如①利用数量积⋅求出cos A 进而求sin A ；②余弦定理正弦定理解：(1))4,3(),4,3(--=--=c 由0=⋅AC AB 可得－3(c －3)＋16＝0解得325=c (2)[法一]当c ＝5时，可得AB ＝5，52=AC ，BC ＝5，△ABC 为等腰三角形，过B 作BD ⊥AC 交AC 于D ，可求得52=BD 故,552sin ==ABBD A[法二].cos ||||),4,2(),4,3(A ⋅=-=--=Θ⋅=∈=+-=⨯∴∴∴552sin ],π,0[,55cos 166cos 525A A A A Θ 【评析】向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，使用时不仅可以数形结合，还可以和解三角形的其他知识——余弦定理、正弦定理一起来解决有关三角形的问题．例 5 若等边△ABC 的边长为32，平面内一点M 满足3261+=，则 =⋅MB MA ______．解析：建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0，0)，)3,3(),0,32(B A ，利用向量坐标运算，求得)21,233(M ，从而求得)25,23(),21,23(--=-=MB MA ，运用数量积公式解得为－2．另外，还可以通过向量的几何运算求解．解：),3265()6131()()(--=--=⋅⋅⋅ 660cos 3232,32||||=⨯===⋅⋅ο，得到.2-=⋅MB MA【评析】注意向量有两套运算公式，有坐标时用代数形式运算，没有坐标时用向量的几何形式运算，同时注意向量在解三角形中的几何运用，以及向量的代数化手段的重要性．例6 已知向量a ＝(cos a ，sin a )，b ＝(cos β ，sin β )，c ＝(－1，0) (Ⅰ)求向量b ＋c 的长度的最大值；(Ⅱ)设4π=α，且a ⊥(b ＋c )，求cos β 的值．【分析】关于向量的模一方面有坐标的计算公式和平方后用向量的数量积运算的公式，另一方面有几何意义，可以数形结合；解：(1)解法1：b ＋c ＝(cos β －1，sin β )，则｜b ＋c ｜2＝(cos β －1)2＋sin 2β ＝2(1－cos β )．∵－1≤cos β ≤1，∴0≤｜b ＋c ｜2≤4，即0≤｜b ＋c ｜≤2．当cos β ＝－1时，有｜b ＋c ｜＝2，所以向量b ＋c 的长度的最大值为2．解法2：∵｜b ｜＝1，｜c ｜＝1，｜b ＋c ｜≤｜b ｜＋｜c ｜＝2 当cos β ＝－1时，有｜b ＋c ｜＝(－2，0)，即｜b ＋c ｜＝2， b ＋c 的长度的最大值为2．(2)解法1：由已知可得b ＋c ＝(cos β －1，sin β )，a ·(b ＋c )＝cos α cos β ＋sin α sin β －cos α ＝cos(α －β )－cos α ． ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos(α －β )＝cos α ．由4π=α，得4πcos )4πcos(=-β，即).(4ππ24πZ ∈±=-k k β ∴4ππ2+=k β或β ＝2k π，(k ∈Z )，于是cos β ＝0或cos β ＝1．解法2：若4π=α，则)22,22(=a ，又由b ＝(cos β ，sin β )，c ＝(－1，0)得,22sin 22cos 22)sin ,1(cos )22,22()(-+=-⋅=+⋅ββββc b a ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β (cos β －1)＝0∴sin β ＝1－cos β ，平方后sin 2β ＝(1－cos β )2＝1－cos 2β ，化简得cos β (cos β －1)＝0 解得cos β ＝0或cos β ＝1，经检验，cos β ＝0或cos β ＝1即为所求例7 已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角,3π=C 求△ABC 的面积．【分析】已知向量的坐标和位置关系，考虑用坐标运算入手，结合三角形的条件解决问题证明：(1)∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即Rbb R a a 22⋅⋅=，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形．解(2)由题意可知m ⊥p ，m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab ，由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)∴33πsin 421sin 21===⋅⋅C ab S 例8 已知向量)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos xx x x -==b a ，其中].2π,0[∈x(1)求a ·b 及｜a ＋b ｜；(2)若f (x )＝a ·b －2λ ｜a ＋b ｜的最小值是23-，求λ 的值．【分析】只要借助向量的数量积以及模的坐标公式代入，继而转化为三角函数与函数的有关知识．解：(1)x xx x x 2cos 2sin 23sin2cos 23cos =-=⋅b a ]2π,0[,cos 22cos 22)(||2∈=+=+=+x x x b a b a或]2π,0[,cos 22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos||22∈=+=-++=+x x x x x x x b a (2)f (x )＝a ·b －2λ ｜a ＋b ｜＝cos2x －4λ cos x ＝2cos 2x －4λ cos x －1＝2(cos x －λ )2－2λ 2－1∵],1,0([cos ]2π,0[x x ∴∈①当λ ≤0时；f (x )的最小值是－1，不可能是23-，舍； ②当0＜λ ＜1时，f (x )的最小值是23122-=--λ，解得;21=λ③当λ ≥1时，f (x )的最小值是2341-=-λ，解得185<=λ，舍；∴⋅=21λ【评析】向量的知识经常和三角函数、函数、不等式等的知识联系在一起进行考查，向量仅仅是一步坐标运算，继而转化为其他知识，因此使用公式时要准确，为后续解题做好准备．练习6－2一、选择题1．若为a ，b ，c 任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( ) A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b D ．(a ·b )c ＝a (b ·c ) 2．设)31,(cos ),sin ,23(αα==b a ，且a ∥b ，则α 的值是( ) A ．)(,4ππ2Z ∈+=k k α B ．)(,4ππ2Z ∈-=k k α C ．)(,4ππZ ∈+=k k α D ．)(,4ππZ ∈-=k k α3．在△ABC 中，b a ==,，且a ·b ＞0，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形4．已知：△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且=++，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上二、填空题5．若向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，且a 与b 的夹角为3π，则｜a ＋b ｜＝______． 6．已知向量a ＝(cos θ ，sin θ )，向量)1,3(-=b ，则｜2a －b ｜的最大值是______． 7．若)1,2(),3,1(x ==b a ，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，则x ＝______．8．已知向量)5,3(),6,4(==OB OA ，且//,⊥，则向量＝______ 三、解答题9．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，｜b ｜＝1，求｜a ＋2b ｜．10．P 在y 轴上，Q 在x 轴的正半轴上，H (－3，0)，M 在直线PQ 上，,0=⋅23-=．当点P 在y 轴移动时，求点M 的轨迹C 方程．11．已知向量a ＝(sin θ ，1)，2π2π),cos ,1(<<-=θθb (1)若a ⊥b ，求θ ；(2)求｜a ＋b ｜的最大值．习题6一、选择题1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2 a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4) 2．给出下列五个命题： ①｜a ｜2＝a 2；②aba b a 2=⋅；③(a ·b )2＝a 2·b 2； ④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；其中正确命题的序号是( )A ．①②③B ．①④C ．①③④D ．②⑤3．函数y ＝2x ＋1的图象按向量a 平移得到函数y ＝2x ＋1的图象，则( ) A ．a ＝(－1，－1) B ．a ＝(1，－1) C ．a ＝(1，1) D ．a ＝(－1，1) 4．若a 2＝1，b 2＝2，(a －b )·a ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 5．已知在△ABC 中，,⋅⋅⋅==则O 为△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心二、填空题6．已知p ＝(1，2)，q ＝(－1，3)，则p 在q 方向上的正射影长为______； 7．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①．2=+ ②．AF AB AD 22+= ③．AB AD AD AC ⋅⋅=④．)()(⋅=⋅其中真命题的代号是______(写出所有真命题的代号)．8．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若y x +=，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______．9．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(1，1)，若向量b ⊥(a ＋λ b )，则实数λ 的值______；若b ba aa a c )(⋅⋅-=，则向量a 与c 的夹角为______；10．已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝4，a ·b ＝－2，则｜a ＋b ｜＝______．三、解答题11．已知).1,3(),3,1(-==b a(1)证明：a ⊥b ；(2)若k a －b 与3a －k b 平行，求实数k ；(3)若k a －b 与k a ＋b 垂直，求实数k ．12．设向量a ＝(cos23°，cos67°)，b ＝(cos68°，cos22°)，u ＝a ＋t b ，(t ∈R )．(1)求a ·b(2)求u 的模的最小值．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，.73tan =C(1)求cos C ； (2)若25=⋅，且a ＋b ＝9，求c ．14．已知函数f (x )＝kx ＋b 的图象与x ，y 轴相交于点A ，B ，j i j i ,(22+=，分别是与x ，y 轴正半轴同方向的单位向量)函数g (x )＝x 2－x －6，(1)求k ，b 的值；(2)当x 满足f (x )＞g (x )时，求函数)(1)(x f x g +的最小值．15．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若f (x )＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围．专题06 平面向量参考答案练习6－1一、选择题1．D 2．A 3．A 4．C 二、填空题5．3或－5 6．4 7．)23,1(-- 8．45° 三、解答题9．由已知)0,2(==AB a ，所以⎩⎨⎧=--=+043232x x x ，得x ＝－1．10．(1)由已知设a ＝(λ ，2λ )且λ ＞0，a ·b ＝λ ＋4λ ＝10，λ ＝2，所以a ＝(2，4)； (2)(b ·c )a ＝(2－2)a ＝0． 11．6．练习6－2一、选择题1．D ． 2．C ． 3．C ． 4．D ．二、填空题5．7 6．4 7．－6或9 8．)214,72(- 三、解答题9．32 由已知｜a ｜＝2，｜a ＋2b ｜2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴32|2|=+b a .10．解答：设M (x ，y )，∵M 在直线PQ 上, ),0,32(),2,0(,23x Q y P --=∴ ∵)2,(),2,3(,0y y x y+=-==⋅ ∴02323.=-yy x ，即y 2＝4x ．(除原点．) 11．解：(Ⅰ)若a ⊥b ，则sin θ ＋cos θ ＝0，由此得)2π2π(1tan <<--=θθ，所以;4π-=θ(Ⅱ)由a ＝(sin θ ，1)，b ＝(1，cos θ )得)cos (sin 23)cos 1()1(sin ||22θθθθ++=++=+b a,)4πsin(223++=θ当1)4πsin(=+θ时，｜a ＋b ｜取得最大值，即当4π=θ时，｜a ＋b ｜最大值为.12+习题6一、选择题1．B 2．B 3．A 4．B 5．D二、填空题 6．2107．①、②、④ 8．2 9．λ ＝－3；90° 10．21 三、解答题11．(2)k ＝±3；(3)k ＝±1． 12．答案：(1)22=⋅b a ，(2)22||min =u13．解答：(1)∵73tan =C ，∴73cos sin =C C ，又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1 解得⋅±=81cos C ∵tan C ＞0，∴C 是锐角． ∴⋅=81cos C(2)∵20,25cos ,25===⋅∴∴ab C ab ．又∵a ＋b ＝9 ∴a 2＋2ab ＋b 2＝81．∴a 2＋b 2＝41．∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36．∴c ＝6．14．略解：(1)由已知得)0,(k b A -，B (0，b )，则),(b k b AB =，于是.2,2==b kb∴k ＝1，b ＝2．(2)由f (x )＞g (x )，得x ＋2＞x 2－x －6，即(x ＋2)(x －4)＜0，得－2＜x ＜4，521225)(1)(2-+++=+--=+x x x x x x f x g由于x ＋2＞0，则3)(1)(-≥+x f x g ，其中等号当且仅当x ＋2＝1，即x ＝－1时成立∴)(1)(x f x g +的最小值是－3． 15．略解：解法1：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f '(x ＝－3x 2＋2x ＋t ．若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x )≥0．∴f '(x )≥0⇔t ≥3x 2－2x ，在区间(－1，1)上恒成立，考虑函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为31=x ，开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5．而当t ≥5时，f '(x )在(－1，1)上满足f ′(x )＞0，即f (x )在(－1，1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5．解法2：依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，f '(x )＝－3x 2＋2x ＋t ．若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x )≥0． ∵f '(x )的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当f '(1)＝t －1≥0，且f '(－1)＝t －5≥0时，f '(x )在(－1，1)上满足f '(x )＞0，即f (x )在(－1，1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5．。

2020年高三二轮练习数学(文)周测卷卷三平面向量周测专练Word版含解析

11. 如图， P 为△AOB 所在平面上一点，向量 OA a,OB b ，且 P 在线段 AB 的垂
5. 设为两个非零向量 a 、 b 的夹角，对任意实数 t ， | b at |的最小值为 1〔
〕
A. 假设确定，那么 |a |唯一确定
B. 假设确定，那么 |b | 唯一
确定
C. 假设 |a | 确定，那么唯一确定
1 y
xy
xy
4
13
42. 解： (1) 证明：因 (a＋b) ·a（－ b)＝ |a|2－|b|2＝ (cos 2α＋sin 2α)－＋＝0，
44
所以 a＋ b 与 a－b 垂直．
(2) 由 | 3a＋b|＝ |a－ 3b|，两边平方得 3|a|2＋ 2 3a·＋ｂ|b|2＝ |a| 3a·ｂ＋ 3| b|2，
14. 设 O 为 ABC 的外心，假设 xOA yOB zOC 0 ， C 为 ABC 的内角，那么
cos2C ___________.〔用数 x, y, z表示〕
15. 如图，在△ ABC 中， AN = 1 NC ,P 是 BN 上的一点，假设 AP =m AB + 2 AC ，
3
11
那么实数 m 的值为 ___________.
〔 A〕圆
〔 B〕椭圆
〔C 〕抛物线
〔 D〕双
曲线
9. 设 ABC, P0 是边 AB 上一定点，满足 P0B 1 AB ，且对于边 AB 上任一点 P ，恒有
4
3. 设 O为坐标原点，点 M 坐标为 (3,2) ，假设点 N ( x, y) 满足不等式组：
x0 y0
,当3 s 5 x ys y 2x 4

2020年高考数学平面向量专题复习（含答案）

2020年高考数学平面向量专题复习（含答案）2020年高考数学平面向量专题复习(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2020年高考数学平面向量专题练习一、选择题1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（）A. B. C. D.2、向量,，若，且，则x＋y的值为（）A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或13、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A．B．C．2 D．44、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则（）A．B． C．D．5、在平行四边形中，，若是的中点，则（）A. B. C. D.6、已知向量，且，则（）A. B. C. D.7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( )A. B.1 C. D. 38、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为A． B． C．5 D．109、下列命题中正确的个数是（）⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则A．0 B．1 C．2 D．310、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（）二、填空题11、已知向量与的夹角为120°,且,则____.12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________.13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________.14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为__________.15、已知向量与的夹角为120°，，，则________.16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若，则__________．17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为.18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。

若(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为。

三、简答题19、已知平面直角坐标系中，向量，，且.（1）求的值；（2）设，求的值．20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)．（1）若∥，求的值；（2）若，0＜＜，求的值．21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若在区间[1,6]内取值，求满足的概率.22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量，（1）求证：且；（2）设向量，，且，求实数t的值．23、已知，设．（1）求的解析式并求出它的周期T．（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求△ABC的面积. 24、已知为圆:上一动点，圆心关于轴的对称点为,点分别是线段,上的点，且 , 。

2020届高考数学(文)二轮总复习专题训练：1.7.3平面向量 Word版含答案

1.7.3 平面向量一、选择题1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D.0解析：因为a ∥b ，所以m 2＝2，解得m ＝－2或m ＝ 2. 答案：C2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B.2 C.3D.5解析：∵|a ＋b |＝10，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝10.① 又∵|a －b |＝6，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝6.② ①－②，得4a ·b ＝4，即a ·b ＝1. 答案：A3．(2019·西安三模)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，x )，若a ＋b 与a 垂直，则x 的值为( ) A ．7 B.－7 C.12D.－12解析：a ＋b ＝(3，x ＋1)，∵a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝6＋x ＋1＝0，∴x ＝－7. 答案：B4．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析：∵A (1,3)，B (4，－1)，∴AB →＝(3，－4)．又∵|AB →|＝5，∴与AB →同向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：A5．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19B.13C.1D.3解析：由题意可知，AN →＝13NC →，所以AC →＝4AN →.又AP →＝mAB →＋29AC →，即AP →＝mAB →＋89AN →，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋89＝1，解得m ＝19.答案：A6．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3 解析：由|a ＋b |＝|a －b |可知a ⊥b ，设AB →＝b ，AD →＝a ，作矩形ABCD ，可知AC →＝a ＋b ，BD →＝a －b ，设AC 与BD 的交点为O ，结合题意可知OA ＝OD ＝AD ，∴∠AOD ＝π3，∴∠DOC ＝2π3.又向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD →的夹角，故所求夹角为2π3.答案：D7．(2019·沙坪坝区校级期中)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量c ＝λa ＋b ，则实数λ＝( )A ．－2 B.－1 C.1D.2解析：如图所示，建立直角坐标系．取小正方形的边长为1，则a ＝(1,1)，b ＝(0，－1)，c＝(2,1)．∵向量c ＝λa ＋b ，∴(2,1)＝λ(1,1)＋(0，－1)，∴2＝λ，1＝λ－1，实数λ＝2.答案：D8．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C ．－322D.－3152解析：∵A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，∴AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，因此cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝31010，∴向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|·cos〈AB →，CD →〉＝5×31010＝322.答案：A9．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22B.12 C ．0D.－1解析：∵a ⊥b ，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos 2θ－1＝0.∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝0. 答案：C10．已知向量a 是与单位向量b 夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t ，|t a －b |的最小值是( ) A ．0 B.12 C.32D.1解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12|a |，∴|t a －b |＝t 2a 2－2t a ·b ＋b 2＝t 2a 2－t |a |＋1. 设x ＝t |a |，x >0， ∴|t a －b |＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34＝32.故|t a －b |的最小值为32. 答案：C11．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A.23 B.－23C.56D.－56解析：由已知得向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，则3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，解得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.答案：B12．在△ABC 中，已知|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.269解析：因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0，因为E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109.答案：B 二、填空题13．已知向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m ＝__________.解析：由向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，得a ·b ＝－24＋3m ＝0，∴m ＝8. 答案：814．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝ . 解析：由a ＝(－2，－6)，得|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝210×10×cos 60°＝10.答案：1015．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝ . 解析：∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. 答案：3 216．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为 . 解析：如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得 λ＝2.答案：2。

2020高考数学--平面向量及其运用专题训练

【2020高考数学】平面向量及其运用专题训练一．单选题（每题5分，共60分）1．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-u u u r u u u r ，则OC =u u u r（）A.1233AB AC -+u u u r u u u rB.2133AB AO -u u u r u u u r C.1233AB AC -u u u r u u u r D.2133AB AC -+u u ur u u u r2．已知向量()sin ,3a θ=r ，()1,cos b θ=r ，||3πθ…，则a b -r r 的最大值为（）A.2B.5C.3D.53．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．若向量(),cos m a A =-r ，()cos ,2n C b c =-r，且0m n ⋅=r r，则角A 的大小为（）A.6π B.4π C.3πD.2π4．在ABC ∆中，43BC BD =u u u r u u u r ，F 为AD 中点，则BF =u u u r（）A.2736AC AB -u u u r u u u rB.3788AC AB -u u u r u u u rC.3188AC AB --u u u r u u u rD.3988AC AB -u u u r u u u r 5．已知向量a r 与b r不共线，且0a b =≠r r ，则下列结论中正确的是（）A.向量a b +r r 与a b -r r垂直 B.向量a b -r r与a r 垂直C.向量a b +r r 与a r垂直D.向量a b +r r 与a b -r r共线6．若两个非零向量a r ，b r 满足2a b a b a +=-=r r v v v ，则向量a b +r v 与a b -r v 的夹角是（）A.6πB.2πC.23πD.56π 7．()()1,2,,4a b k ==r r ，若//a b r r，则下列结论中正确的是（）A.6k=- B.2k = C.6k = D.2k =-8．在ABC ∆中，若M 是线段BC 的中点，点P 在线段AM 上，满足：1,2AM PA PM ==-u u u r u u u u r，则()PA PB PC⋅+u u u r u u u r u u u r 等于（）. A.49B.43C.43-D.49-9．在平面直角坐标系：xOy 中，设A 、B 、C 是圆221x y +=上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则22(3)λμ+-的取值范围是（）A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.2,13⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,2D.()2,∞+10．若向量1(tan15,)cos75a =︒︒r，(1,sin 75)b =︒r ，则a b ⋅=r r （）A.1B.2C.4D.811．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(sin cos )03b c A A +-=，263b =，2c =，则A =（） A.12πB.512πC.4π D.3π 12．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若sin cos a B b A =且2224b c a +-=，则ABC ∆的面积为（） A.1B.2C.12D.2二．填空题（每题5分，共20分）13．已知||5,(2,1)==r r a b ，且//a b r r ，则向量a r 的坐标是____.14．已知向量(sin ,cos )a θθ=r ，()R θ∈，且()a b a +⊥r r r ，则b r 在a r的方向上的投影为_______．15．已知1,2a b ==r r ，且()()2a b a b λλ+⊥-r r r r ，a r 与b r 的夹角60︒，则实数λ=____________16．在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，2AG BG =，4BC =，则ABC ∆面积的最大值为____三．解答题（17题10分，其余12分每题，共70分） 17．已知()()2,2,1,1a m b m =-=+r r（1）若2m =，求a r 与b r的夹角；（2）若()()a b a b +⊥-r r r r，求实数m 的值18．已知函数23()cos sin 3cos 2f x x x x =⋅+-． ()1求函数()f x 的单调递增区间；()2在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()2f A =，3a =， 4.b =求ABC △的面积．19．如图，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，cos sin 0b A a B -=.（1）求A ；（2）若AB AD ⊥，22AC =，5CD =，求AD 的长.20．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos cos b cB C=．（1）证明：B C =；（2）若3b =，ABC ∆的面积为34，求a 的值．21．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b B c C a A c B +=+.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若43cos 7B =，73a =，求ABC ∆的面积S 的值.22．平面内有向量(1,7)OA =u u u r ，(5,1)OB =u u u r ，(2,1)OC =uuu r（其中O 为坐标原点），点P 是直线OC 上的一个动点.（1）若//u u u r u u u r PA PB ，求OP uuu r的坐标；（2）当PA PB ⋅u u u r u u u r取最小值时，求cos APB ∠的值.【2020高考数学】平面向量及其运用专题训练一．单选题（每题5分，共60分） 1．【答案】A【解析】Q ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-u u u r u u u r，如图所示：由22AO DO OD =-=u u u r u u u r u u u r，且D 为BC 的中点，所以O 为AD 的三等分点靠近点D ，且2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，∴()2133AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，又2133BO BD BA =+u u u r u u u r u u u r ，从而2OD OB OC =+u u u r u u u r u u u r ，即AO OB OC =+u u u r u u u r u u u r ，所以OC AO OB AO BO =-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()13AB AC +u u ur u u u r +2133BD BA +u u u r u u u r =()()111123333333BC AC AB AC AB AB AC BA AB AC AB --+++=++-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A 2．【答案】B【解析】()sin 1,3cos a b θθ-=--rr由已知可得222||(sin 1)(3cos )54sin 3a b πθθθ⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭r r ，因为||3πθ…，所以2033ππθ+剟，所以当3πθ=-时，2||a b -r r 的最大值为505-=，故||a b -r r 的最大值为5 .3．【答案】B【解析】由0m n =r rg得， 0(,cos )(cos ,2)cos (2)cos a A C b c a C b c A =--=--g ，由正弦定理得，sin cos 2sin cos sin cos 0A C B A C A -+=，化为sin()2sin cos 0A C B A +-=，即sin 2sin cos 0B B A -=，由于sin 0B ≠，∴2cos 2A =，又()0,A π∈∴4A π=，故选：B ． 4．【答案】B 【解析】如图所示：1111322224BF BA BD AB BC =+=-+⨯u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，又因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以3788BF AC AB =-u u u r u u u r u u u r ．答案选B 5．【答案】A【解析】因为a b =r r ，()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=r r r r r r r r ,所以向量a b +r r 与a b -r r垂直.当(1,0)a =r ，(0,1)b =r 时0a b =≠r r ，但向量a b -r r与a r 不垂直、向量a b +r r 与a r 不垂直、向量a b +r r 与a b-r r 不共线故选：A. 6．【答案】C【解析】将2a b a b a +=-=r r v v v 平方得：22222224a a b b a a b b a +⋅+=-⋅+=r r r r v v v v v ，解得：2203a b b a ⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩rr r r .222()()1cos ,42||||a b a b a b a b a b a a b a b +⋅--<+->===-+-r r r v v v r r v vr r vv v . 所以向量a b +r v 与a b -rv 的夹角是23π. 7．【答案】B【解析】因为a =r（1，2），b =r（k ，4），a r∥b r，所以4＝2k ，解得k ＝2；故选：B ． 8．【答案】D【解析】如图所示：根据平行四边形法则得到PB PC PD +=u u u r u u u r u u u r，且,,,A P M D 共线()PA PB PC PA PD PA PD ⋅+=⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2121,2=333AM PA PM PA PM PD ==-∴==u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，，49PA PD-⋅=-u u u r u u u r故选：D9．【答案】D【解析】由已知可得，11OB OC-≤⋅<u u u r u u u r∵OC OA OBλμ=+u u u r u u u r u u u r，∴OC OB OAμλ-=u u u r u u u r u u u r两边同时平方可得，2212OB OCλμμ=-⋅+u u u r u u u r设()222(3)26102f OB OCμλμμμμ=+-=-+-⋅u u u r u u u r2228102(2)22μμμ>-+=-+≥∴()2fμ>即22(3)2λμ+->故选D10．【答案】C【解析】Q向量1(tan15,)cos75a=︒︒r，(1,sin75)b=︒r，∴22sin75sin15cos15sin15cos152 tan154cos75cos15sin15sin15cos15sin30a b︒︒︒︒+︒⋅=︒+=+===︒︒︒︒⋅︒︒r r. 故选：C.11．【答案】A【解析】由3(sin cos )03b c A A +-=及正弦定理得：3sin sin (sin cos )03B C A A +-=，且A B C π++=，所以3sin()sin sin cos sin 03A C A C A C ++-=，即3sin cos sin sin 03A C A C +=，因为sin 0A >，tan 3C =-，23C π∴=，由2623sin sin sin 32b c B C B =⇒=，2sin 2412B B A BC πππ⇒=⇒=⇒=--=．故选：A 12．【答案】A【解析】由sin cos sin sin sin cos tan 14a Bb A A B B A A A π=⇒=⇒=⇒=，又由22244cos 222b c a A bc bc+-=⇒=⇒=，∴1sin 12S bc A ==．二．填空题（每题5分，共20分） 13．【答案】(25,5) 或(25,5)-- 【解析】设(,)a x y =r，因为||5,(2,1)==r r a b ，且//a b r r ，所以222025x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得255x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或255x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，因此向量a r的坐标是(25,5) 或(25,5)--. 故答案为(25,5) 或(25,5)-- 14．【答案】1-【解析】已知向量(sin ,cos )a θθ=r ，()R θ∈，得22sin cos 1a θθ=+=r ，且()a b a +⊥r r r ，所以2()0a b a a a b +⋅=+⋅=r r r r r r，得1a b ⋅=-r r ，则b r 在a r的方向上的投影为111a b a⋅-==-r rr .故答案为：-1 15．【答案】-13±【解析】()()2a b a b λλ+⊥-r r r r ，所以()()20a b a b λλ+⋅-=r r r r即()2222220220a a b b λλλλλλ+-⋅-=⇒-+-=∴=r r r r -13±故答案为：-13± 16．【答案】122【解析】设D 为BC 的中点，DG ＝x ，由重心性质得，AG ＝2x ，BG ＝12AG ＝2x ；设∠BGD ＝θ，则由余弦定理得，4＝2x 2+x 2﹣22•x 2•cos θ， ∴cos θ＝223422x x-；又S △BDG ＝12•2x •x •sin θ＝22x 2sin θ； ∴2ABC S ∆＝()2244341818x x x ⎡⎤-⎢⎥⋅-⎢⎥⎣⎦＝﹣94（x 4﹣24x 2+16），当x 2＝12时，2ABC S ∆取得最大值为288；则△ABC 面积的最大值为122．故答案为：122四．解答题（17题10分，其余12分每题，共70分） 17．已知()()2,2,1,1a m b m =-=+r r（1）若2m =，求a r 与b r的夹角；（2）若()()a b a b +⊥-r r r r，求实数m 的值【答案】（1）310arccos10；（2）1m = 【解析】（1）m ＝2时，a =r （0，2），b =r （1，3），a r 与b r 的夹角的余弦值631010210a b a b ⋅==r r r r ，又a r 与br 的夹角范围为[0,)π，所以a r 与b r 的夹角为arccos 31010；（2）a b +=r r （m ﹣1，m +3），a b -=r r （m ﹣3，1﹣m ），又（a b +r r ）⊥（a b -r r ），所以（m ﹣1）（m ﹣3）+（m +3）（1﹣m ）＝0，即﹣6m +6＝0，解得m ＝1．18．已知函数23()cos sin 3cos 2f x x x x =⋅+-． ()1求函数()f x 的单调递增区间；()2在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()2f A =，3a =， 4.b =求ABC △的面积．【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦；k Z ∈；（2）42+ 【解析】()1函数()2313cos sin 3cos sin2cos2sin 22223f x x x x x x x π⎛⎫=⋅+-=+=+ ⎪⎝⎭ 令222232k x k πππππ-≤+≤+，得51212k x k ππππ-≤≤+， ()f x ∴的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦；k Z ∈； ()2由()12f A =，即1sin 232A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ABC △是锐角三角形，5236A ππ∴+=可得4A π= 余弦定理：222222432cos 2242b c a c A bc c +-+-===⨯⨯，即24270(0)c c c -+=> 解得：221c =+ABC △的面积1sin 422S bc A ==+．19．如图，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，cos sin 0b A a B -=.（1）求A ；（2）若AB AD ⊥，22AC =，5CD =，求AD 的长.【答案】（1）4A π=.（2）1或3.【解析】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得sin cos sin sin 0B A A B -=， sin 0B ≠Q ，tan 1A ∴=，因为()0,A π∈，所以4A π=.（2）AB AD ⊥Q ，且4BAC π∠=，4CAD π∴∠=，在ACD ∆中，22AC =，5CD =，4CAD π∠=.由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠，即22582222AD AD =+-⨯⨯⨯，解得：1AD =或3AD =.AD ∴的长为1或3.20．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos cos b cB C =．（1）证明：B C =；（2）若3b =，ABC ∆的面积为34，求a 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，见解析【解析】（1）易得cos cos sin cos sin cos sin()0b C c B B C C B C B =⇒=⇒-=，显然B C =．（2）由（1）知3b c ==，∴131sin sin 30242S bc A A A ︒==⇒=⇒=或150°当30A ︒=时，75B C ︒==，sin 326sin 2b A a B -== 当150A ︒=时，15B C ︒==，3262a +=21．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b B c C a A c B +=+. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若43cos 7B =，73a =，求ABC ∆的面积S 的值.【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）1332S =.【解析】(Ⅰ)∵由正弦定理2sin sin sin abcR A B C ===， ∴有sin 2aA R =，sin 2bB R =，sin 2cC R =，则sin sin sin sin b B c C a A c B +=+可化为2222bcabb c a c R R R R ⋅+⋅=⋅+⋅，即222b c a bc +=+，即222a b c bc =+-，又∵余弦定理2222cos a b c bc A =+-， ∴1cos 2A =，由()0,A π∈，得3A π=；(Ⅱ)由（Ⅰ）知，3A π=，则3sin 2A =，1cos 2A =， ∵43cos 7B =，()0,B π∈， ∴21sin 1cos 7B B =-=，∴()3431113sin sin 272714C A B =+=⨯+⨯=，由正弦定理得，1373sin 1413sin 32a C c A ⨯===，∴111133sin 73132272S ac B ==⨯⨯⨯=. 22．平面内有向量(1,7)OA =u u u r ，(5,1)OB =u u u r ，(2,1)OC =uuu r （其中O 为坐标原点），点P 是直线OC 上的一个动点.（1）若//u u u r u u u r PA PB ，求OP uuu r 的坐标；（2）当PA PB ⋅u u u r u u u r 取最小值时，求cos APB ∠的值.【解析】因为点P 是直线OC 上的一个动点，(2,1)OC =uuu r ，所以可设(2,)=u u u r OP x x ，因为(1,7)OA =u u u r ，(5,1)OB =u u u r ，所以(12,7)=-=--u u u r u u u r u u u r PA OA OP x x ，(52,1)=-=--u u u r u u u r u u u r PB OB OP x x ，（1）因为//u u u r u u u r PA PB ，所以(12)(1)(7)(52)0-----=x x x x ，解得178=x ，所以1717,48⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u rOP ；（2）因为(12,7)=--u u u r PA x x ，(52,1)=--u u u r PB x x ，所以22(12)(52)(7)(1)520125(2)8⋅=--+--=-+=--u u u r u u u r PA PB x x x x x x x ，显然，当2x =时，PA PB ⋅u u u r u u u r 取最小值，此时(3,5)=-u u u r PA ，(1,1)=-u u u r PB ，所以35417cos 179252PA PBAPB PA PB ⋅--∠===-+⋅⋅uur uu ruu r uu r。

2020届高考数学(文)二轮复习专题过关检测(二)平面向量Word版含答案

专题过关检测（二）平面向量1．(2018 ·全国卷Ⅱ ) 已知向量 a ，b 知足 |a| ＝ 1，a · b ＝－ 1，则 a ·(2 a － b) ＝() A ． 4B ． 3C ． 2D ． 0分析：选 Ba ·(2 a － b) ＝ 2a 2－ a ·b ＝ 2|a| 2－ a · b.∵ |a| ＝ 1， a · b ＝－ 1，∴原式＝ 2×12＋ 1＝ 3.2．已知在平面直角坐标系中，点―→ ―→A (0,1) ，向量 AB ＝ ( －4，－ 3) ， BC ＝( － 7，－ 4) ，则点 C 的坐标为 ()A ． (11,8)B ． (3,2)C ． ( －11，－ 6)D ． ( － 3,0)分析：选 C设 C ( x ，y ) ，∵在平面直角坐标系中，点―→A (0,1) ，向量 AB ＝ ( － 4，－ 3) ，―→ ―→ ―→ ―→x － 0＝－ 11，解得 x ＝－ 11，BC ＝ ( －7，－ 4) ，∴ AC ＝ AB ＋ BC ＝ ( － 11，－ 7) ，∴y － 1＝－ 7，y ＝－ 6，故 C ( － 11，－ 6) ．3．(2020―→ ―→ ―→届高三·广州调研 ) 已知△ ABC 的边 BC 上有一点 D 知足 BD ＝ 4 DC ，则 AD 可表示为 ()―→ 1―→ 3―→ ―→ 3―→ 1―→A ． AD ＝4 AB ＋4 AC B ． AD ＝4 AB ＋4 ACC ．―→＝ 4―→＋ 1―→D ． ―→ ＝ 1―→ ＋ 4―→AD5 AB 5 ACAD5 AB 5 AC―→ ―→ ―→ 1―→―→ ―→ ―→ ―→ 1―→ ―→分析：选 D由于 BD ＝4 DC ，因此 DC ＝ 5 BC ，故 AD ＝ AC ＋ CD ＝ AC － 5 BC ＝ AC － 1 ( ―→ －―→) ＝ 1―→＋ 4 ―→ ，应选 D.5 AC AB 5 AB 5 AC4．(2019 ·广州检测 )a ，b 为平面向量，已知a ＝(2,4) ， a － 2b ＝ (0,8)，则 a ，b 夹角的余弦值等于 ()43A ．－B ．－55 3 4 C. 5D. 5分析：选 B 设 b ＝ ( x ， y ) ，则有 a － 2b ＝(2,4) － (2 x, 2y ) ＝(2 － 2x, 4－ 2y ) ＝(0,8) ，因此2－2x ＝ 0，解得x ＝ 1，故 b ＝ (1 ，－ 2) ， |b| ＝ 5，|a| ＝ 2 5， cos 〈 a ， b 〉4－2y ＝ 8，y ＝－ 2，· b 2－ 83＝| a || b |＝5× 2 5＝－ 5，应选B.a―→ ―→ ―→ ―→ABCD 为 ()5．在四边形 ABCD 中， AB ＝ DC ，且 AC · BD ＝ 0，则四边形 A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形分析：选 B ―→ ―→由于 AB ＝ DC 即一组对边平行且相等，―→ · ―→＝0 即对角线相互垂直，因此该四边形为菱形．AC BDABCD―→―→ ―→―→ ―→λ 的值为6．若向量 BA ＝ (1,2) ， CA ＝(4,5) ，且 CB ·(λ BA ＋ CA ) ＝ 0，则实数()9 A ． 3B ．－ 25C ．－ 3D ．－ 3分析：选 C ∵向量―→＝ (1,2) ， ―→＝ (4,5) ，BACA―→ ―→ ―→ ―→ ―→∴ CB ＝ CA ＋ AB ＝ CA － BA ＝ (3,3) ，―→ ―→λ BA ＋ CA ＝ ( λ＋ 4,2 λ＋ 5) ．―→ ―→ ―→又 CB ·(λ BA ＋ CA ) ＝ 0，∴ 3( λ＋ 4) ＋ 3(2 λ＋ 5) ＝ 0，解得 λ＝－ 3.―→ ，点 C ( － 1,0) ， D (4,5) ―→ ―→)7．已知 AB ＝ (2,1) ，则向量 AB 在 CD 方向上的投影为 (3 2 B ．－3 5A ．－23 2C.2D ．3 5分析：选 C―→ ―→ 8．在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD 的中点， BE 与 AC 的交点为 F ，若 AB ＝ a ， AD ＝―→b ，则向量 BF ＝ ()1 21 2A. a ＋ bB ．－ a － b333312 1 2C ．－ 3a ＋ 3bD. 3a － 3b分析：选 C ―→ ＝ ―→ ―→ ＝ ―→ － 1―→ ―→ 1 ―→ ＋ ―→1 2 BF ＋ CF BC ＝ AD － (AB AD) ＝－ a ＋ b.BC3 AC3 339．若非零向量 a， b 知足 a⊥ (2a ＋b) ，且 a 与 b 的夹角为2π，则| a|＝()3 | b|1 1A. 2B. 43C. 2 D． 2分析：选 B ∵a⊥ (2a ＋b) ，且 a 与 b 的夹角为2π3，2 2 1∴ a·(2 a＋ b) ＝2a ＋ a· b＝ 2|a| － |a||b| ＝ 0.21又 |a | ≠0， |b | ≠0，∴ 2|a| ＝2|b| ，∴|a|＝1，应选 B. |b| 410．(2018 ·全国卷Ⅰ―→) ) 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝(3―→ 1 ―→1―→3―→A. 4 AB－4 ACB.4AB－4AC3―→ 1 ―→1―→3―→C.4AB＋4ACD.4AB＋4AC―→ ―→ ―→ 1―→1―→11 ―→分析：选 A 法一：作出表示图如下图．EB ＝ ED＋DB＝2 AD＋2 CB＝2×2( AB ―→ 1 ―→ ―→ 3 ―→ 1―→＋ AC)＋2( AB－ AC)＝4 AB－4 AC.应选A.π法二：不如设△ ABC为等腰直角三角形，且∠A＝2， AB＝ AC＝1.成立如下图的平面直角坐标系，1 1 1 1 ―→―→则 A(0,0)，B(1,0) ，C(0,1) ，D 2，2 ，E 4，4 .故AB＝ (1,0) ， AC―→ 1 1 3 1 ―→3―→1―→＝(0,1) ，EB＝ (1,0) －4，4 ＝4，－4 ，即EB＝4 AB－4 AC.11．(2020 届高三·安徽五校联考―→ ―→ ―→) 已知O是△ABC内部一点，且知足OA＋OB＋OC＝―→ ―→3，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为 ( )0，又AB·AC＝ 23A. 2 B． 3C ．1D ．2分析：选 C―→ ―→―→ ―→―→―→由 AB · AC ＝23，∠ BAC ＝60°，可得 AB · AC ＝ |AB | ·| AC |cos ∠ 1 ―→ ―→3，因此 | ―→ ―→△ABC1 ―→―→BAC ＝ 2 | AB || AC | ＝2 AB || AC | ＝43，因此 S ＝ 2|AB || AC | ·sin ∠ BAC―→ ―→ ―→△ OBC1△ABC＝3，又 OA ＋ OB ＋ OC ＝ 0，因此 O 为△ ABC 的重心，因此 S ＝ 3S ＝ 1，应选 C.―→ ―→―→ 12．在△ ABC 中，∠ A ＝120°， AB · AC ＝－ 3，点 G 是△ ABC 的重心，则 | AG | 的最小值是()2 6 A. B.3325C.3D. 3分析：选 B设 BC 的中点为 D ，由于点 G 是△ ABC 的重心，―→ 2―→ 2 1―→ ―→1 ―→ ―→因此 AG ＝3 AD ＝3×2( AB ＋ AC ) ＝3( AB ＋ AC )，再令|―→|＝， | ―→ | ＝，AB c AC b则 ―→ ―→b ·c ＝ 6， AB · AC ＝ bc cos 120 °＝－ 3?―→21―→| 2―→ ―→―→ | 212＋ 2－6)1 (22 因此 |AG|＝(|AB ＋ 2AB ·＋ |AC )＝ (c b ≥ bc－6) ＝，因此9AC99 3―→6| AG |≥ 3 ，当且仅当 b ＝c ＝ 6时取等号．应选 B.13．(2019 ·石家庄质检 ) 已知向量 a ＝( x, 2) ， b ＝ (2,1) ， c ＝ (3,2 x ) ，若 a ⊥ b ，则 |b＋ c | ＝ ________.分析：∵ a ⊥ b ， a ＝ (x, 2) ， b ＝ (2,1) ，∴ 2 ＋2＝ 0，∴ x ＝－ 1，∴ c ＝ (3 ，－ 2) ，∴ bx＋c ＝ (5 ，－ 1) ，∴ |b ＋ c| ＝ 26.答案：2614．已知向量a ，b 知足 a ＝ (1 ，3) ，|b|＝ 1，|a ＋ b| ＝3，则a ，b 的夹角为________．分析：由题意得|a|＝ 1＋ 3＝ 2，由于 |a ＋ b| ＝3，因此a 2＋ 2a ·b ＋b 2＝ 3，设 a ，b 的夹角为 α ，则 4＋1＋2×2×1×cosα＝ 3，因此 cos α ＝－1，因此 α＝2π.232π答案： 315．在△ ABC 中，N 是 AC 边上一点且―→ 1 ―→―→ ―→ 2 ―→AN ＝ NC ，P 是 BN 上一点，若 AP ＝ mAB ＋9 AC ，2则实数的值是 ________．m分析：如图，由于 ―→ ＝ 1―→，因此 ―→ ＝ 1―→ ，因此 ―→＝ ―→＋ 2―→＝ ―→＋ 2 ―→ .AN2 NCAN3 ACAP mAB9 AC mAB3 AN21由于 B ， P ， N 三点共线，因此 m ＋ 3＝ 1，则 m ＝ 3.1答案： 316．在矩形 ABCD 中， AB ＝ 2，AD ＝ 1. 边 DC 上的动点 P ( 包括点 D ，C ) 与 CB 延伸线上的动―→ ―→ ―→ ―→点 Q ( 包括点 B ) 知足 | DP | ＝ | BQ | ，则 PA · PQ 的最小值为 ________．分析：以点 A 为坐标原点，分别以 AB ， AD 所在直线为 x 轴， y 轴成立如下图的平面直角坐标系，设 P ( x, 1) ， Q (2 ， y ) ，由题意知 0≤ x ≤2，－ 2≤ y ≤0.―→ ―→ ∵| DP | ＝| BQ | ，∴ | x | ＝ | y | ，∴ x ＝－ y .―→ ―→ ∵ PA ＝ ( － x ，－ 1) ， PQ ＝ (2 － x ， y －1) ，∴―→· ―→＝－ (2 － ) － ( y －1) ＝ x 2－2 －＋ 1＝ x 2 －＋ 1＝PA PQxxx yx1 2 3x －＋，241―→ ―→3∴当 x ＝ 2时，PA· PQ 获得最小值，为 4.3答案： 4。

【2020最新】数学高考通用版二轮专题复习专题检测：(三)平面向量-含解析

教学资料范本【2020最新】数学高考通用版二轮专题复习专题检测：（三）平面向量-含解析编辑：__________________时间：__________________一、选择题1．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb.若b⊥c，则实数k 的值等于( )A ．－B ．－53C ．D ．32 解析：选 A 因为c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k ＝－.2．(20xx·贵州适应性考试)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2,3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A.B ．－25C. D ．－35 解析：选 B 法一：a ＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2,3)，因为a ＋λb 与c 共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a ＋λb＝μc，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝65，λ＝－25.法二：a ＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2,3)，由a ＋λb 与c 共线可知＝，解得λ＝－.3．(20xx 届高三·云南11校跨区调研)已知平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b|＝2，则|3a ＋b|等于( )A ．13＋6B ．25 C. D ．34解析：选D 依题意得a2＝2，a·b＝×2×cos 45°＝2，|3a ＋b|＝＝＝＝.4．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝( )A.＋B.＋12AD―→C.＋D.＋34AD―→解析：选B 因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＋＋\f(1,2)))＝＋.5．(20xx·成都二诊)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是( )A. B.5π6C. D.3π4解析：选 A 法一：因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos ＝3，所以|a＋2b|＝，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos ＋2×＝＋＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为.法二：(特例法)设a＝(1,0)，b＝＝，则(a＋2b)·b＝·＝，|a＋2b|＝＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为.6．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )A. B．3152C．－D．－3152解析：选A 由题意知＝(2,1)，＝(5,5)，则在方向上的投影为||·cos〈，〉＝·,||)＝.7．(20xx·安徽二校联考)在边长为1的正三角形ABC中，D，E 是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于( )A. B.29C. D.13解析：选C 法一：因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BD＝DE＝CE＝，在△ABD中，AD2＝BD2＋AB2－2BD·AB·cos 60°＝2＋12－2××1×＝，即AD＝，同理可得AE＝，在△ADE中，由余弦定理得cos∠DAE＝AD2＋AE2－DE22AD·AE＝＝，所以·＝||·||cos∠DAE＝××＝.法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A，D，E，所以＝，＝，所以·＝·＝－＋＝.8．(20xx·东北四市模拟)已知向量＝(3,1)，＝(－1,3)，＝m －n (m>0，n>0)，若m＋n＝1，则||的最小值为( )A. B.102C. D.10解析：选 C 由＝(3,1)，＝(－1,3)，得＝m－n＝(3m＋n，m－3n)，因为m＋n＝1(m>0，n>0)，所以n＝1－m且0<m<1，所以＝(1＋2m,4m－3)，则||＝＝20m2－20m＋10＝ (0<m<1)，所以当m＝时，||min＝.9．已知向量m，n的模分别为，2，且m，n的夹角为45°.在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，＝2，则||＝( )A．2 B．22C．4 D．8解析：选B 因为＝2，所以点D为边BC的中点，所以＝(＋)＝2m－2n，所以||＝2|m－n|＝2＝2 ＝2.10．(20xx届高三·湘中名校联考)若点P是△ABC的外心，且＋＋λ＝0，C＝120°，则实数λ的值为( )A． B．－12C．－1 D．1解析：选C 设AB中点为D，则＋＝2.因为＋＋λ＝0，所以2＋λ＝0，所以向量，共线．又P是△ABC的外心，所以PA＝PB，所以PD⊥AB，所以CD⊥AB.因为∠ACB＝120°，所以∠APB＝120°，所以四边形APBC是菱形，从而＋＝2＝，所以2＋λ＝＋λ＝0，所以λ＝－1.11．已知Rt△AOB的面积为1，O为直角顶点，设向量a＝,||)，b＝,||)，＝a＋2b，则·的最大值为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选 A 如图，设A(m,0)，B(0，n)，∴mn＝2，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，＝a＋2b＝(1,2)，＝(m－1，－2)，＝(－1，n－2)，·＝5－(m＋2n)≤5－2＝1，当且仅当m＝2n，即m＝2，n＝1时，等号成立．12．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( ) A．－ B.18C. D.118解析：选B 如图所示，―→＝＋.AF又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以＝，―→＝＋＝，DF所以＝＋.又＝－，则·＝＋\f(3,4)))·(－)―→＝·－2＋2－·AB＝2－2－·.又||＝||＝1，∠BAC＝60°，故·＝－－×1×1×＝.二、填空题13．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且))＝3))，当＝x＋y时，则x－y＝________.解析：∵＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，∴x－y＝－2.答案：－214．已知a，b是非零向量，f(x)＝(ax＋b)·(bx－a)的图象是一条直线，|a＋b|＝2，|a|＝1，则f(x)＝________.解析：由f(x)＝a·bx2－(a2－b2)x－a·b的图象是一条直线，可得a·b＝0.因为|a＋b|＝2，所以a2＋b2＝4.因为|a|＝1，所以a2＝1，b2＝3，所以f(x)＝2x.答案：2x15．(20xx·天津高考)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．解析：法一：＝＋＝＋23BC ―→＝＋(－)＝＋.又·＝3×2×＝3，所以·＝＋\f(2,3)))·(－＋λ)＝－2＋·＋λ2＝－3＋3＋λ×4＝λ－5＝－4，解得λ＝.法二：以点A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，不妨假设点C在第一象限，则A(0,0)，B(3,0)，C(1，)．由＝2，得D ，由＝λ－，得E(λ－3，λ)，则·＝·(λ－3，λ)＝(λ－3)＋×λ＝λ－5＝－4，解得λ＝.答案：31116．定义平面向量的一种运算a⊙b＝|a＋b|·|a－b|·sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a与b的夹角，给出下列命题：①若〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝a2＋b2；②若|a|＝|b|，则(a＋b)⊙(a－b)＝4a·b；③若|a|＝|b|，则a⊙b≤2|a|2；④若a＝(1,2)，b＝(－2,2)，则(a＋b)⊙b＝.其中真命题的序号是________．解析：①中，因为〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝|a＋b|·|a－b|＝a2＋b2，所以①成立；②中，因为|a|＝|b|，所以〈(a＋b)，(a －b)〉＝90°，所以(a＋b)⊙(a－b)＝|2a|·|2b|＝4|a||b|，所以②不成立；③中，因为|a|＝|b|，所以a⊙b＝|a＋b|·|a－b|·sin〈a，b〉≤|a＋b|·|a－b|≤＝2|a|2，所以③成立；④中，因为a＝(1,2)，b＝(－2,2)，所以a＋b＝(－1,4)，sin〈(a＋b)，b〉＝，所以(a＋b)⊙b＝3××＝，所以④不成立．故①③正确．答案：①③。

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》真题汇编附解析

【高中数学】高考数学《平面向量》练习题(1)一、选择题1．已知点1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，过原点O 且倾斜角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，则椭圆C的离心率为（）A 1B ．2C ．12D ．2【答案】A 【解析】【分析】由1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，在12Rt MF F V 中，求出2MF ，1MF ，,a c 的关系，求出离心率可得选项. 【详解】将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即12121||2MF MF OM F F c ⊥==，.又60MOF ∠=︒，∴2MF c =，1MF =，∴2a c =+，∴1ce a==. 故选:A. 【点睛】考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系，属于中档题.2．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（）A ．,,M N P 三点共线B ．,,M N Q 三点共线C ．,,N P Q 三点共线D ．,,M P Q 三点共线【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r所以()2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r ,因为5MN a b =+u u u u r rr ,所以MN NQ =u u u u r u u u r由平面向量共线定理可知,MN u u u u r与NQ uuu r为共线向量,又因为MN u u u u r 与NQ uuur 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线.故选: B 【点睛】本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3．已知向量a v ，b v 满足a b a b +=-r rv v ，且||3a =v ，||1b =r ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为（） A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π 【答案】B 【解析】【分析】对a b a b +=-v v v v 两边平方，求得0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .画出图像，根据图像确定b v 与a b-v v 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.【详解】因为a b a b +=-v v v v ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+v v v v v v v v ，即0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .如图，设AB a =u u u v v ，AD b =u u u v v，则向量b v 与a b -v v 的夹角为BDE ∠，因为tan 3BDA ∠=，所以3BDA π∠=，23BDE π∠=.故选B.【点睛】本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.4．下列说法中说法正确的有（）①零向量与任一向量平行；②若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r④||||||a b a b +≥+r r r r ；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则A ，B ，C为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥【答案】A 【解析】【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r，故②错误；对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r不共线，故③错误；对于④：a b a b +≥+r r r r，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．5．在平行四边形OABC 中，2OA =，OC =6AOC π∠=，动点P 在以点B 为圆心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则43λμ+的最大值为（）A ．2+B ．3+C ．5+D ．7+【答案】D 【解析】【分析】先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，再求出7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r的最大值为.【详解】如图所示，由2OA =，6AOC π∠=，由余弦定理得24+3221,12AC AC =-⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o , ∴圆B 与AC 相切于点A ，又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；∴()43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6BAD π∠=,所以22333333,,(2)()1322222AD DB OB =⨯==∴=++=, 所以72cos 13213BOA ∠==, 所以1327213OB OA ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ，因为BP OA ⋅u u u r u u u r的最大值为32cos023⨯⨯=o ，∴43λμ+的最大值是723+. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．1613【答案】C 【解析】【分析】先计算出16a b r r⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b⋅r rr 可得【详解】()4,3a =r Q ，()5,12b =-r，4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r，则向量a r 在b r方向上的投影为1613a b b⋅-=r rr ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r的夹角为θ，向量a r 在b r 方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b⋅r rr7．已知单位向量a r ，b r 的夹角为3π，(),c a b R μλμ+=λ+∈r u u r u u r ，若2λμ+=，那么c r 的最小值为（）A BC D 【答案】D 【解析】【分析】利用向量的数量积的运算公式，求得12a b ⋅=r r ，再利用模的公式和题设条件，化简得到24c λμ=-u r ，最后结合基本不等式，求得1λμ≤，即可求解．【详解】由题意，向量,a b r r 为单位向量，且夹角为3π，所以11cos 11322a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=r r r r ，又由(),c a b μλμ=λ+∈R r u u r u u r，所以()22222222()4c a b a b λμλμλμλμλμλμλμλμ=+=++⋅=++=+-=-u r r r r r ，因为,R λμ+∈时，所以222()122λμλμ+⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，当且仅当λμ=时取等号，所以23c ≥u r ，即c ≥u r故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向量的数量积和模的计算公式，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．8．已知向量,a b r r 满足||23a =r ，||4=r b ，且()4a b b +⋅=r r r，则a r 与b r的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D 【解析】【分析】由()4a b b +⋅=r r r ，求得12a b ⋅=-r r ，再结合向量的夹角公式，求得3cos ,2a b 〈〉=-r r ，即可求得向量a r 与b r的夹角．【详解】由题意，向量,a b r r 满足||23a =r，||4=r b ，因为()4a b b +⋅=r r r ，可得2164a b b a b ⋅+=⋅+=r r r r r，解得12a b ⋅=-r r ，所以3cos ,2||||234a b a b a b ⋅〈〉===-⨯r rr r r r ，又因a r 与b r 的夹角[0,]π∈，所以a r 与b r的夹角为56π. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．9．如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v（）A ．43AD BE +u u uv u u u vB ．53AD BE +u u uv u u u vC ．4132AD BE +u u uv u u u vD ．5132AD BE +u u uv u u u v【答案】B 【解析】【分析】利用向量的加减运算求解即可【详解】据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．故选B ．【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题10．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u ur u u u r 的最小值为（） A ．1- B ．3-C ．12-D ．32-【答案】A 【解析】【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解．【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r，故223131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r223322122x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当32x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.故选：A ．【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11．已知ABC V 为直角三角形，,6,82C BC AC π===，点P 为ABC V 所在平面内一点，则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为（）A ．252-B ．8-C ．172-D ．1758-【答案】A 【解析】【分析】根据,2C π=以C 点建系, 设(,)P x y ,则22325()=2(2)222PC PA PB x y ⎛⎫⋅+-+-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,即当3=2=2x y ，时,取得最小值.【详解】如图建系，(0,0), (8,0), (0,6)C A B ,设(,)P x y ，(8,)PA x y =--u u u r ，(,6)PB x y =--u u u r，则22()(,)(82,62)2826PC PA PB x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-u u u r u u u r u u u r22325252(2)2222x y ⎛⎫=-+--≥- ⎪⎝⎭.故选:A. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示及其应用,根据所求关系式运用几何意义是解题的关键,属于中档题.12．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225+=8λμ，则双曲线的离心率为（）A ．23B 35C ．322D ．98【答案】A 【解析】【分析】先根据已知求出,u λ，再代入225+=8λμ求出双曲线的离心率. 【详解】由题得双曲线的渐近线方程为b y x a =±，设F(c,0)，则2(,),(,),(,),bc bc b A c B c P c a a a-因为(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，所以2(,)((),())b bc c u c u a aλλ=+-.所以,,bu c u cλλ+=-= 解之得,.22b c c bu c cλ+-==因为225+=8λμ，所以225()(),228b c c b c e c c a +-+=∴=∴= 故答案为A 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v求出,u λ.13．已知向量m =r(1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r，且m r ⊥n r，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（）A ．12B ．2C ．D ．﹣2【答案】B 【解析】【分析】根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案. 【详解】因为向量m =r (1，cosθ)，n =r(sinθ，﹣2)，所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r因为m r ⊥n r ，所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.14．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v（）A ．23-B ．43-C ．83-D ．2-【答案】D 【解析】【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．【详解】在边长为2的等边三角形ABC 中，若13AE AC =u u u r u u u r，则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）•12（AC AB +u u ur u u u r ）＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12（AC AB +u u ur u u u r ）1123AC =u u u r （2AB -u u u r 223AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．15．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π∠=，若23BD BC =u u u v u u u v ，则AD BD ⋅=u u u v u u u v（） A ．229B ．229-C ．169D ．89-【答案】A 【解析】【分析】本题主要是找到两个基底向量AB u u u v ，AC u u u v ，然后用两个基底向量表示AD u u u v ，BD u u u v，再通过向量的运算即可得出结果．【详解】解：由题意，画图如下：则：()22223333BD BC AC AB AB AC ==-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 2233AD AB BD AB AB AC =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1233AB AC =+u u u v u u u v . ∴12223333AD BD AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22242999AB AC AB AC =-⋅+⋅-⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 24249cos 999AB AC BAC =-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠u u u v u u u v 82423cos 993π=-+-⋅⋅⋅ 229=. 故选A ．【点睛】本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．16．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（）A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-【答案】A【解析】【分析】依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求出E 的坐标，求出边CD所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，()0,0A ∴，(B，(C ，()5,0D因为点E 在线段CB的延长线上，设(0E x ，01x < AE BE =Q()()2220031x x +=-解得01x =-()1,3E ∴-()4,3C Q ，()5,0D CD ∴所在直线的方程为353y x =-+因为点M 在边CD 所在直线上，故设(),353M x x -+ (),353AM x x ∴=-+u u u u r()1,343E x M x -=--u u u r()()()3433531AM ME x x x x --∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-242660x x =-+-23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝当134x =时()max 714AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选：A【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.17．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r ，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．13 B．3- C．3- D ．13- 【答案】D【解析】【分析】根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.【详解】//a b ∴r r1cos tan sin 3ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.18．已知向量()1,3a =-v ，()3,b m =v ，若a b ⊥v v ，则2a b +v v 等于（）A ．10B ．16 C．D．【答案】C【解析】【分析】先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值，得出向量b r 的坐标，并计算出向量2a b +r r ，最后利用向量模的坐标运算得出结果．【详解】 ()1,3a =-r Q ，()3,b m =r ，a b ⊥r r ，则1330a b m ⋅=⨯-=r r ，得1m =，()3,1b ∴=r ，则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ，因此，2a b +==r r C.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．19．在四边形ABCD 中,若12DC AB =u u u r u u u r ,且|AD u u u r |=|BC uuu r |,则这个四边形是( ) A ．平行四边形 B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形【解析】由12DC AB =u u u r u u u r 知DC ∥AB ,且|DC|=12|AB|,因此四边形ABCD 是梯形.又因为|AD u u u r |=|BC uuu r |,所以四边形ABCD 是等腰梯形.选C20．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（）A ．12B ．C ．24D ．【答案】C【解析】【分析】设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MFMF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.【详解】解：设1MF m =，2MF n =， ∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，∴24m n a -==，122F F c ==∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ， ∴12MF MF ⊥，∴222440m n c +==，∴()2222m n m n mn -=+-，即2401624mn =-=，∴12mn =，解得6m =，2n =，设2NF t =，则124NF a t t =+=+，在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，解得6t =， ∴628MN =+=，∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=.【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。

高考文数真题训练11 平面向量(原卷版)

专题11 平面向量1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是 A ．a +2bB ．2a +bC ．a –2bD ．2a –b2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线3．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4-D ．()4,6-4．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π65．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．506．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +7．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．08．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A1 BC ．2D ．29．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．010．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设向量(1,1),(1,24)m m =-=+-a b ，若⊥a b ，则m = . 11．【2020年高考天津】如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．12．【2020年高考北京】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．13．【2020年高考浙江】已知平面单位向量1e ，2e 满足122||-≤e e 设12=+a e e ，123=+b e e ，向量a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值是_______．14．【2020年高考江苏】在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ▲ ．15．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．16．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.17．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．18．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.19．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.20．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________． 21．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 22．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________．23．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________．。

2022年高考数学痛点问题训练《专题06 如何拿捏平面向量基本定理的应用》(原卷版)

专题06 如何拿捏平面向量基本定理的应用1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，一对实数λ1，λ2，使a ＝ .其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2. 向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理:a 是一个非零向量,若存在一个实数λ使得 ,则向量b 与a 共线. (2)性质定理:若向量b 与非零向量a 共线,则存在唯一一个实数λ,使得 .(3)已知OA⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ为常数),则A ,B ,C 三点共线的充要条件是 . 3. (1)PA⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =0⇔P 为△ABC 的重心; (2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇔D 是△ABC 中BC 边的中点; (3)PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗ ⇔P 为△ABC 的垂心;(4)(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇔|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⇔O 为△ABC 的外心4.平面几何的中位线，平行线成比例，相似三角形等几何性质要求熟练掌握.第二步,把基底e 1,e 2,待求向量m 的坐标分别表示出来; 第三步,设m =x e 1+y e 2;第四步,根据向量e 1,e 2,m 的坐标列出相应的方程组,求出x ,y ,从而得到结果温馨提醒零向量和共线向量不能作基底,基向量通常选取确定整个几何图形的从同一顶点出发的两边所对应的向量[例](1)在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.14a +12bB.12a +14b C.23a +13bD.13a +23b(2)已知半径为2的扇形AOB 中， 120AOB ∠=︒， C 是OB 的中点， P 为弧AB 上任意一点，且OP OA OC λμ=+，则λμ+的最大值为（）A. 2B.C. D. (3)在△ABC 中,点H 是边BC 上异于端点B ,C 的一点,M 是AH 的中点,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= .一、单选题1．（2020·广东高三月考（理））在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，4AM MC =，P 为AD 的中点，则MP = （） A ．43510a b + B ．4354a b + C ．43510a b -- D ．1344a b -- 2．（2020·天津高三期末）在梯形ABCD 中，已知//AB CD ，2AB CD =，2DM MC =，2CN NB =，若AM AC AN λμ=+，则11λμ+=（）A ．1312B ．6413 C ．3512-D ．4013-3．（2019·安徽高三月考（文））在ABC △中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+= A ．2 B ．2- C ．12 D ．12-4．（2020·山西高三月考（文））如图，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（）A ．23B ．25C ．16D ．345．（2019·河南南阳中学高三月考（文））如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的值为（）A ．89B ．49C ．83D ．436．（2019·河北辛集中学高三期中（文））如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，对角线,AC DB 相交于点O ，若,AD a AB b ==，则OC =（）A ．36a b- B ．36a b + C ．233a b + D ．233a b - 7．（2019·内蒙古高三月考（理））在正方形ABCD 中，点O 为ABC ∆内切圆的圆心，若AO xAB yAD =+，则xy 的值为（）A BC ．14D ．128．（2020·四川省南充高级中学高三月考（理））已知平面向量OA 、OB 、OC 为三个单位向量，且0OA OB ⋅=，若OC xOA yOB =+（,x y ∈R ），则x y +的最大值为（）A ．1B C D ．29．（2019·湖北高三月考）O 为ABC ∆所在平面内的一点，满足0OA OB OC ++=，若OA AB BC λμ=+，则（）A ．13λ=-，23μ=-B ．23λ=-，13μ=- C ．13λ=，23μ= D ．23λ=，13μ=10．（2019·全国高三（文））设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-，则OC =（）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AO - C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+11．（2019·济南市济钢高级中学高三月考）在ABC ∆中，点D 在边BC 上，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，且有2BD DC =，2AE EB =，3DF FA =，则EF =（）A ．1136AB AC -+ B ．71126AB AC -+ C ．11612AB AC -+D ．51123AB AC -+ 12．（2019·湖南高三月考（文））在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，则BF =（）A ．1324AD AB - B ．3142AB AD - C ．4132AB AD -D ．1324AB AD +二、填空题13．（2020·内蒙古高三月考（理））如图，在等腰梯形ABCD 中，12DC AB =，BC CD DA ==，DE AC ⊥于点E ，如果选择向量AB 与CA 作基底，则DE 可用该基底表示为______.14．（2019·山东高三期中）ABC ∆中，D 为AC 上的一点，满足13AD DC =．若P 为BD 上的一点，满足()0,0AP mAB nAC m n =+>>，则mn 的最大值为_________；41m n+的最小值为_________．。