运筹学19_库存论

- 年购买费 (Purchasing cost)， Cp 。与价格和订货数量有关。
- 年缺货损失费(Shortage cost)，Cs。反映失去销售机会带来 的损失、信誉损失以及影响生产造成的损失。它与缺货多少、 缺货次数有关。
若以TC表示年库存总费用，则 TC= Ch + Co + Cp + Cs对库存进 行优化的目标就是要使TC最小。
- 仓储空间费用。要维持库存必须建造仓库、配备设备，还 有供暖、照明、修理、保管等开支。这是维持仓储空间的 费用。
- 物品变质和陈旧。在闲置过程中，物品会发生变质和陈旧， 如金属生锈，药品过时，油漆褪色，鲜货变质。
- 税收和保险。
• 随库存量增加而下降的费用
- 订货费。订货费与发出订单活动和收货活动有关，包括评 判要价、谈判、准备订单、通讯、收货检查等，它一般与 订货次数有关，而与一次订多少无关。
Pt
2
⎪⎩ Q , t , t 1 , t 2 , t 3 ≥ 0
由约束条件消去变量Q，t1，t2得无条件极值
min TC (t, t3 )
=
1 2Pt
ChD(P
−
D )t32
+
1 2Pt
Cb D ( P
−
D )(t
−
t3 )2
+
Co t
对t, t3求导，得最优解
t* = 2Co Ch + Cb
Ch D
• 边供应边需求，不允许缺货的经济批量模型
• 模型特征：物资的供应不是成批的，而以速率P (P>D) 均匀连续 的进行供应，存储量逐渐补充，不允许缺货。
Q＝Dt＝Pt 1 (P－D) t 1
存储量
o t1 t
时间
t1 为一个供货周期 t 内的生产时间，产量为Q =P t1=Dt，显然 t1<t存。
库存为零时开始生产, 存量以速率(P-D)增加，产量达到 Dt 时停止生
2t
存储费为： Ch (P − D)t1t3 2t
存储量 Q=Dt Q1＝(P－D)t1
O
q=(P－D)t2
t2 t1 t t3
时间
在 t－t3 内，生产量等于缺货量(需求量)，即 (t－t3)D = t2P，最 大缺货量为(P－D) t2，t 内平均缺货量等于图中存量小于零对应
三角形的面积(累计存量)除以t，即： (P − D)(t − t3 )t2
- 调整准备费。加工零件一般需要准备图纸、工艺和工具， 需要调整机床、安装工艺装备。这些活动需要的费用。如 果花费一次调整准备费，多加工一些零件，则分摊在每个 零件上的调整准备费就少。但扩大加工批量会增加库存。
- 购买费和加工费。采购或加工的批量大，可能会有价格折 扣。
- 生产管理费。加工批量大，为每批工件做出安排的工作量 就会少。
Cb
P P−D
Q * = Dt * = 2C oD C h +C b
Ch
Cb
TC*=
2C hC o D
Cb C h +Cb
P P −D
P −D P
t3* =
2C o C hD
Cb Ch +Cb
P P −D
最大存储量
Q1＝(P
− D )t1
=
D (P − D )t 3 P
=Ch
D
t
2 1
2
∫ 缺货费用：C b
t2 (Dx )dx
0
=Cb
Dt22 2
• 一个周期内的总费用：
Co
+C h
D
t
2 1
2
+Cb
Dt22 2
• 单位时间内的总费用：
TC
Co +Ch =
D
t
2 1
2
+Cb
Dt22 2
t
S = Dt1 ⇒ t1 = S D , Q = Dt ⇒ t = Q D ,
产，然后存量以速率 D 减少，直至存量为零时又开始生产。
在t 内的最高存储量为(P – D)t1 ，平均存储量为( P – D)t1 / 2, 生
产量Q=Dt=Pt1 , 存储费为Ch(P-D)t1t/2, 订货手续费为Co, 则在 t 内
的总费用为
Co
+
C
h
(P
− 2
D
)t1t
从而在计划期内的平均总费用最小的存储模型为
min T C = C o + C h (P − D )t1
t
2
Q = Dt
Q = Pt1 Q ,t ,t1 ≥ 0
消去变量 t 与 t1, 得无条件极值问题
min T C (Q ) = C oD + C h (P − D )Q
Q
2P
求极值，可得最优解为
Q * = 2C oD P Ch P −D
t * = Q * = 2C o
模型二
• 瞬时供货，允许缺货的经济批量模型
• 模型特征：当存量降到零时，不一定非要立即补充，允许一段 时间缺货，但到货后应将缺货数量马上全部补齐，即延迟交付， 其他特征同模型一。在周期 t 内的初始存储量为 S，最大缺货 量为 Dt-S，订货量为 Q ，t1为存储量非负的时间周期，t2为缺 货周期(即存储量为负数的时间周期)。 存储量 S=Dt1
0 S-Dt
-D Q=Dt t2
t1
t
Dt-S=Dt2
时间
存储量 S=Dt1
0 S-Dt
-D Q=Dt t2
t1
t
Dt-S=Dt2
时间
考虑一个周期 t 内的成本项目：
订购费用：一个周期订购一次，发生订购费用Co
∫ 存储费用：C h
(S t1
0
− Dx )dx
=Ch
⎛ ⎜⎝
S
t
1
−
1 2
D
t
2 1
⎞ ⎟⎠
提纲
• 库存论的基本概念 • 确定性经济订货量模型 • 随机库存模型
模型一
• 瞬时供货，不允许缺货的经济批量模型 • 模型特征：供货速率为无穷大，不允许缺货，提前期为零，每
次订货手续费不变，单位时间内存储费不变需求速率D为均匀 连续的，每次订货量不变，以周期 t 循环订货。
存储量
Q
Ot
时间
最优存储策略：求使单位时间总费用最小的订货批量Q*以及订 货周期 t*。
• 库存的存在也具有一定弊端：占用大量资金，产生 一定的库存成本，掩盖了企业生产经营中存在的问 题等
库存的种类
• 原材料和外购件库存 • 半成品库存及在制品库存 • 成品库存 • 备品、备件、工具、工艺装备库存
与库存有关的费用
• 库存量增加而上升的费用
- 资金成本。库存资源本身有价值，占用了资金。这些资金 本可以用于其它活动来创造新的价值，库存使这部分资金 闲置起来，造成机会损失。
Q1＝(P－D)t1
O
时间
q=(P－D)t2
t2 t1 t t3
t - t3 是缺货周期，t1+t2 是生产时间，P(t1+t2)=Dt，Pt1=Dt3，
故最高存储量为(P－D)t1。
存储量 Q=Dt Q1＝(P－D)t1
O
q=(P－D)t2
t2 t1 t t3
时间
t 内的平均存储量等于图中存量大于零对应三角形的面积 (累计存量)除以t ，即： (P − D)t1t3
−
1 2
Dt 2
⎞ ⎟⎠
=Ch
Qt 2
Ch为存储费率，即单位货物在单位时间内的存储费 从而，单位时间内的总存储费为
C
h
Qt 2
t
=
C
h
Q 2
单位时间内总成本最小的存储模型为：
minT C
(Q
) =Co
D Q
+C h
Q 2
Q = Dt
Q ≥ 0, t ≥ 0
其中 Co为每次订购发生的订购费用。
对Q求导得： −C o
D
C hD
Cb
q ∗ = Q * − S ∗ = 2C oD
Ch
Cb C h +Cb
( ) T C * = T C Q ∗ ,S ∗ =
2C hC oD
Cb Ch +Cb
模型二的特点
与模型一比较，模型二有如下特点： (1) 订货周期延长，订货次数减少：
Ch + Cb > 1 Cb
(2) 订货量增加： (3) 总费用减少：
t* = 2Co Ch + Cb > 2Co
ChD
Cb
ChD
Q* = 2Co D Ch + Cb > 2Co D
Ch
Cb
Ch
Cb < 1 Ch + Cb
TC* =
2ChCo D
Cb < Ch + Cb
2ChCo D
(4)
将模型一中不允许缺货看作Cb→∞时， 的最优解与模型一的最优解一致.
Ch + Cb Cb
→1
，模型二
例2：
• 某公司原先采用不允许缺货的EOQ公式确定订货批量，现 考虑改用允许缺货策略。已知该公司的需求为D=800件/年， 每次订货费用Co=150元，存储费率Ch=3元/(件·年)，缺货费 率Cb=20元/(件·年)。
• (1) 计算采用允许缺货后所节约的费用；
• (2) 若要求缺货数量不超过总供货量的15%，因供应不及时 使任何一名顾客等待补足的时间不超过3周，此时，前面的 允许缺货下的最优订货策略是否适用？
D Q2
+C h
1 2
=
0
最优订货量： Q ∗ = 2CoD
Ch
Q ∗ = 2C oD Ch
t ∗ = Q ∗ = 2C o D ChD
( ) T C ∗ =T C
Q∗
=
C
o
D Q∗
+C h
Q∗ 2
=
2C hCoD
由n=1/t 可得，单位时间内最优订货次数为
n∗
=
1 t∗
=
ChD 2C o
每年总费用 ChQ/2: 每年库存持有成本
Ch
50
t ∗ = 2C o = 2 ×170 ≈ 0.082(年) = 30(天 ) C hD 1000 × 50
T C ∗ = 2C hC oD + C D = 2 × 50 ×170 ×1000 + 500 ×1000 ≈ 504123(元)
最优存储策略为：每隔一个月进货1次，全年进货12次，每次 进货82吨，总成本为504123元。
3
20
S ∗ = 2Co D
Cb = 2 ×150 × 800
Ch Cb + Ch
3
Q∗ − S∗ Q∗
=
39 303
= 12.9%
< 15%
20 = 264 20 + 3
t
∗ 2
=
Q∗ − S∗ D
=
39 800
× 52
=
2.535 (周) < 3(周)
所以上述允许缺货下的最优订货策略适用。
模型三
P
D ChD P −D
TC*=
2C hC oD
P −D P
由 Q=Pt1 得到一个周期的生产时间
t1*
=
Q* P
=
2C o D Ch
1 P (P − D )
模型四
• 边供应边需求，允许缺货的经济批量模型 • 模型特征：允许缺货，到货后要补充缺货量，其余特征同模型三。
设 t 为生产周期。 存储量
Q=Dt
库存论
李田 华东理工大学商学院
2014年春季学期
提纲
• 库存论的基本概念 • 确定性经济订货量模型 • 随机库存模型
百度文库 提纲
• 库存论的基本概念 • 确定性经济订货量模型 • 随机库存模型
库存
• 库存是为了满足未来需要，而暂时处于闲置状态的 资源
• 其作用在于：防止生产中断，稳定作用，分摊订货 费用，改善服务质量，防止短缺等
2t
缺货费为： Cb (P − D)(t − t3 )t2 2t
一次准备成本为A，则使单位时间内总费用最小的存储模型为
min
TC
=
1 2t
Ch (P
−
D )t1t3
+
1 2t
Cb (P
−
D )(t
−
t3 )t2
+
Co t
⎧ Q = Dt
s.t.
⎪⎪ ⎨ ⎪
Pt D
1
(t
= −
Dt 3 t3 ) =
Q − S = Dt 2 ⇒ t 2 = (Q − S ) D
TC
(Q ,S
)
=Co
D Q
+C h
S2 2Q
+Cb
(Q − S
2Q
)2
对此二元函数求极值，可得最优解为
Q * = 2C oD C h + C b
Ch
Cb
S∗ =
2C oD Ch
Cb
C
＋
h
C
b
t * = Q ∗ = 2C o C h + C b
• 库存总费用，计算库存总费用一般以年为时间单位， 年库存费用包括以下4项：
- 年维持库存费 (Holding cost)，Ch 。维持库存所必需的费用。 包括资金成本、仓库及设备折旧、税收、保险、陈旧化损失 等。这部分费用与物品价值和平均库存量有关。
- 年补充订货费 (Reordering cost)， Co 。与全年发生的订货次 数有关，一般与一次订多少无关。
在[0, t]周期内，存储量不断发生变化，当存量降到零时，应立即 补充整 个 t 内的需求量 Dt ，因此订货量为 Q=Dt, 最大存量为 Q， 然后以速率 D下降，在[0, t] 内存量是 t 的函数 y =Q - Dt。
周期[0, t] 内的存储费：
∫ C h
t (Q
0
− Dx
)dx
=Ch
⎛⎜⎝Q t
CoD /Q:每年订货成本
Q*
订货量Q
例1：
某企业全年需某种材料1000吨，单价为500元/吨，每吨年保管费 为50元，每次订货手续费为170元，求最优存储策略。
解：计划期为一年，已知D =1000 ，Ch=50 ，Co=170 ，C=500 。
Q ∗ = 2C oD = 2 ×1000 ×170 ≈ 82(吨)
• (1) 允许缺货后节约的费用
ΔTC =
2CoCh D ⎜⎜⎛⎝1 −
Cb Cb + Ch
⎟⎟⎞⎠
=
2 ×150 × 3 × 800 ⎜⎜⎛⎝1 −
20 20 +
3
⎟⎟⎞⎠
≈
57
.276
• (2)
Q ∗ = 2Co D Cb + Ch = 2 ×150 × 800 20 + 3 = 303
Ch
Cb