九年级数学上册第四章图形的相似4.5相似三角形判定定理的证明导学案无答案新版北师大版
2020九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件教案 (新版)北师大版
（3）结论：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
简单地说，两角对应相等的两个三角形相似。
几何语言:∵∠A′=∠A,∠B′=∠B,∴△ABC∽△A′B′C′
课中作业
若∠A=70°，∠C=65°，∠A1=70°，∠B1=35°△ABC△A1B1C1相似吗？
（修改人：）
板书设计：
1.两角对应相等的两个三角形相似。
2.平行于三角形一边的直线和三角形的两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
教学反思：
在开始实验前，请学生先猜测实验结果，并说明自己的理由；在实验过程中了解学生思想的变化；在实验结束并进行理论分析后，再运用树状图来计算事件发生的概率，由此可见帮助学生澄清一些错误认识，发展他们正确的随机直觉。整个课堂气氛活跃，学生兴趣盎然，每个学生都积极参与，动手动脑，收获很大。
环
节
三
如图，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，△ADE与△ABC相似吗？为什么？
课中作业
思考：如下图，点A、B、D与点A、C、E分别在一条直线上，如果DE∥BC，△ADE与△ABC相似吗？为什么？
课后作业设计：
如图（1），AE与BD相交于C，要使△ABC∽△DEC，需要条件．
如图（2）要使△ABC∽△ACD，需要条件．如图（3）要△使ABE∽△ACD，需要条件．
教学难点
掌握相似三角形判定定理1及其应用．
教学明用白纸遮住了3个三角形的一部分，你能画出这三个三角形吗？
教学过程
教学环节
课堂合作交流
二次备课
（修改人：）
环
节一
探究一
如图，已知△ABC，和线段A′B′,在线段A′B′同侧画 ，使∠A′=∠A,∠B′=∠B,交点C′
九年级数学上册 4.5 相似三角形判定定理的证明学案 (新版)北师大版
相似三角形判定定理的证明【学习目标】1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法．2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理．【学习重点】掌握相似三角形的三个判定定理．【学习难点】通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程．情景导入生成问题我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．自学互研生成能力知识模块一相似三角形判定定理的证明先阅读教材P99－101的内容，然后完成下面的填空：如图，已知△ABC和△A1B1C1，∠A＝∠A1，ABA1B1＝ACA1C1，求证：△ABC∽△A1B1C1.证明的主要思路是，在边AD上截取AD＝A1B1，作DE∥BC，交AC于E，在△ABC中构造△ADE∽△ABC，再通过比例式得AE＝A1C1，证△A1B1C1≌△ADE，从而得到△A1B1C1∽△ABC.1．证明：两角分别相等的两个三角形相似，见教材P99－100页．2．证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，见教材P100－101页．3．证明：三边成比例的两个三角形相似，见教材P101－102页．知识模块二相似三角形判定定理的应用解答下列各题：1．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①ABA′B′＝BCB′C′；②BCB′C′＝ACA′C′；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有( C)A．1组B．2组C．3组D．4组2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试证明：△ABF∽△EAD.证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAF＝∠AED.∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.典例讲解： 已知，如图，D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE＝∠ABD ，∠BCE ＝∠BAD，连接DE.求证：△DBE∽△ABC.分析：由已知条件∠ABD＝∠CBE，∠DBC 公用，所以∠DBE＝∠ABC，要证的△DBE 和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决． 证明：在△CBE 和△ABD 中，∠CBE ＝∠ABD，∠BCE ＝∠BAD，∴△CBE ∽△ABD ，∴BC AB ＝BE BD ，即：BC BE ＝AB BD.在△DBE 和△ABC 中，∠CBE ＝∠ABD ，∴∠CBE ＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠DBE ＝∠ABC 且BC BE ＝AB BD，∴△DBE ∽△ABC.对应练习：1．教材P 102页习题4.9的第1题．答：相似．证明：△ABC 为等边三角形．∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.又∵AE＝BF ＝CD ，∴AD ＝FC ＝EB ，则△AED≌△CDF≌△BFE.∴ED＝DF ＝EF.△EDF 为等边三角形．∴△DEF∽△ABC.2.教材P 102页习题4.9的第3题．证明：∵BE 为∠DBC 平分线，∴∠DBE ＝∠EBC.又∵AE＝AB ，∴∠ABE ＝∠AEB，∠ABE ＝∠ABD＋∠DBE＝∠ABD＋∠EBC，∠AEB ＝∠EBC＋∠C，∴∠ABD ＝∠C，∠A ＝∠A，∴△ABD ∽△ACB.则AB AC ＝AD AB .∵AB ＝AE ，∴AE AC＝AD AE，即AE 2＝AD·AC. 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 相似三角形判定定理的证明知识模块二 相似三角形判定定理的应用检测反馈 达成目标1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E.求证：△ABD∽△CBE.证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD ∽△CBE.2．如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，求证：△ABD∽△CBA.证明：∵AB＝2，BD ＝1，DC ＝3，∴AB 2＝4，BD ·BC ＝1×(1＋3)＝4.∴AB 2＝BD·BC.即AB BC ＝BD BA.而∠ABD＝∠CBA.∴△ABD∽△CBA.3．教材P 102页习题4.9的第4题．解：设t 秒后△PBQ 与△ABC 相似，①△PBQ ∽△ABC ，则BP BA ＝BQ BC ，即8－2t 8＝4t 16，解得t ＝2s .②当△PBQ ∽△CBA ，BP BC ＝BQ BA ，即8－2t 16＝4t 8，解得t ＝0.8s .答：0.8s 或2s 时，△QBP 与△ABC 相似． 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 5相似三角形判定定理的证明习题课件 (新版)北师大版
1.相似三角形的判定方法一: (1)_两__角分别_相__等__的两个三角形相似. (2)应用格式:∵∠A_=_∠D,∠B_=_∠E, ∴△ABC_∽__△DEF.
2.相似三角形的判定方法二:
(1)_两__边__成比例且夹角_相__等__的两个三角形相似. (2)应用格式:_AD__BE___AD_CF___,∠A_=_∠D, ∴△ABC_∽__△DEF.
由(1)知△ABD∽△CAE,∴∠E=∠D=90°,
在Rt△AEC中,EC2=AC2-AE2=a( 12-a)2 8 a2 ,
39
在Rt△BEC中, B C E C 2 B E 28 a2 (3 a 1 a )2 23 a .
9
3
【想一想】 在示范题2(2)的条件下,连接CD,此时四边形ABDC是什么特殊的 四边形? 提示:平行四边形. ∵AC∥BD,AC=BD, ∴四边形ABDC是平行四边形.
【备选例题】已知四边形ABCD、四边形DCFE、四边形EFHG都是 边长为1的正方形,则∠1+∠2+∠3是多少度?
【解析】由题意知AC= 2 ,CF=1,CH=2, 所以 CF AC ，
AC CH
又∠ACF=∠HCA,所以△ACF∽△HCA,
所以∠2=∠CAH,又因为∠1=∠3+∠CAH,
所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠CAH+∠1-∠CAH=2∠1=90°.
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年3月1日 星期二2022/3/12022/3/12022/3/1
九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明教案1新版北师大版
4.5相似三角形判定定理的证明一、教学目标1．知识目标：①了解相似三角形判定定理②会证明相似三角形判定定理2．能力目标：掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力二、教学过程分析1.复习提问相似三角形的判定方法有哪些？答：（1）两角对应相等，两三角形相似.（2）三边对应成比例,两三角形相似.（3）两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.2.探究学习，得出新知探究1如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，那么，△ABC ∽△A′B′C′.如何证明呢？应用1已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.解： ∵ ∠ A = ∠ A,∠ABD =∠C,∴ △ABD ∽ △ACB ,∴ AB : AC =AD : AB,∴ AB 2= AD · AC.∵ AD =2, AC =8,∴ AB =4.探究2如果∠B =∠B 1 ， 那么，△ABC ∽△A 1B 1C 1.应用2 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠ACD ，AB =6，BC =4，AC =5，CD =7 ，求AD 的长.1 1111,AB BC k A B B C ==2探究3如果那么，△ABC ∽△A ′B ′C ′.应用3 画一画任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论.3： 例题学习例1. 弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P . 求证:PA ·PB =PC ·PD . ,AB BC AC A B B C A C ==''''''证明:连接AC 、BD.∵∠A 、∠D 都是CB 所对的圆周角,∴ ∠A =∠D.同理: ∠C =∠B.∴△PAC ∽△PDB.即PA·PB =PC·PD .4.课时小结一、相似三角形判定定理的证明1.两角对应相等，两三角形相似.2.三边对应成比例,两三角形相似.3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 二、相似三角形判定定理的应用5.课后作业.PA PC PD PB∴=。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 5 相似三角形判定定理的证明教案 北师大版
节一
探究新知
已知△ABC.
1.画△DEF，使得
2.比较∠A与∠D的大小，由此，能判断△ABC与△DEF相似吗？为什么？
判定方法四：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
几何语言：在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC∽△DEF
课中作业
当时候，你能判断△ABC与△DEF相似吗？
（修改人：）
板书设计：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；
几何语言：∵∴△ABC∽△A′B′C′
教学反思：
1.本节课我们学习了哪些知识？
2.在对应关系不明确时，要注意分类讨论；
3.有条理的写出解题过程是我们必须要掌握的基本能力、
相似三角形判定定理的证明
课题
课时安排
共（1）课时
课程标准
探索得出两个三角形有三边对应成比例，进一步解决与三角形相似有关的问题。
学习目标
通过对比和猜想，探索得出两个三角形有三边对应成比例，即可判断两个三角形相似的方法．
能够选择适当的方法判定两个三角形相似，进一步解决与三角形相似有关的问题。
教学重点
三角形相似的条件3的探索与应用
已知：如图，，试说明：∠BAD=∠BCE
环
节
三
例2、下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（）
A、△ABC中，AB＝8，AC＝4，∠A＝105o，△A′B′C′中，A′B′＝16，
B′C′＝8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∠A′＝100°
B、△ABC中，AB＝18，BC＝20，CA＝35，△A′B′C′中，A′B′＝36，B′C′＝40，C′A′＝70
150.北师大版九年级数学上册4.5 相似三角形判定定理的证明-导学案
4.5 相似三角形判定定理的证明学习目标：1、进一步复习巩固相似三角形的判定定理.2、能灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.学习重点：灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.预设难点：灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.【预习案】一、链接回忆相似三角形的判定定理的内容：定理1可简单说成： . 定理2可简单说成： . 定理3可简单说成： .直角三角形相似的特殊判定定理： .二、导读1、想一想：判定一般的两个三角形相似有几种方法？判定两个直角三角形相似有几种方法？2、想一想如何根据已知条件来选择三角形相似的判定方法？【探究案】1、如图，点D 为△ABC 的AB 边一点（AB>AC ）,下列条件不一定能保证△ACD ∽△ABC 的是（ ）．A.∠ADC=∠ACBB.∠ACD=∠BC..DC ADAD AC D BC AC AC AB==2、已知：如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE ，请认真研究图形与所给条件，然后回答：图中是否存在相似的三角形？若存在，请加以说明；若不存在，请说明理由．3、已知△ABC ，△DCE ，△EFG 是三个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG•在同一直线上，且AB=3，BC=1，连接BF ，分别交AC ，DC ，DE 于P ，Q ，R ．求证：△BFG ∽△FEG ，尝试用不同的方法证明.【训练案】1、下列图形不一定相似的是（）．A、有一个角是120°的两个等腰三角形B、有一个角是60°的两个等腰三角形C、两个等腰直角三角形D、有一个角是45°的两个等腰三角形2、如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，且BD=a，BC=b，当AC与a，b满足什么关系时，△ACB∽△CBD？3、顺次连接三角形三边中点所得的小三角形与原三角形相似吗？试证明.初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第五节相似三角形判定定理的证明
三角形相似
转化证明
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业2 补充:
∴PPCF
=
PE PC
.
∴
PC2=PE·PF.∵
PC=PB，∴
BP2=PE·PF.
感悟新知
知1－练
2-1. 如图在四边形ABCD中，AB=AD.AC与BD交于点E. ∠ADB=∠ACB. 求证：AD2=AC·AE.
感悟新知
证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE. 又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB. 又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB. ∴AABC＝AAEB.又∵AB＝AD，∴AADC＝AADE. ∴AD2＝AC·AE.
判定定理3是利用判定定理2证明的，体现了数学的 转化思想.
感悟新知
知1－练
例 1 如图4-5-1，在四边形ABDC中，AB∥CD，AC⊥CD，
AC=CD，AB= 14CD，E是AC的中点，试说明△ABE∽ △CED. 解题秘方：紧扣相似三角形的三种判定
方法，结合已知条件解决 问题.
感悟新知
知1－练
(1)求证： △ADF∽△DEC； 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C＋∠B＝180°， ∠ADF＝∠DEC. ∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B， ∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.
知1－练
感悟新知
知1－练
(2)若AB=8，AD=6 3，AF=4 3，求AE的长.
外一点, 且∠1=∠2，∠3=∠4， 则△ABC与△DBE是 否相似？说明理由.
感悟新知
解：△ABC 与△DBE 相似，理由如下： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△BAD∽△BCE. ∴BBAC＝BBDE，即BBDA＝BBCE. ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DBC. ∴∠ABC＝∠DBE.∴△ABC∽△DBE.
北师大版九年级上册数学4.5 相似三角形判定定理的证明导学案
4.5 相似三角形判定定理的证明学习目标了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力。
学习重点相似三角形判定定理的证明过程学习难点相似三角形判定定理的证明过程教学内容及过程一．旧知回顾1.相似三角形的定义、性质、相似比。
2.平行线分线段成比例定理及推论：3.相似三角形的判定定理。
二．探究新知（一）自主学习定理1 两角分别相等的两个三角形相似。
温馨提示：证明文字命题的步骤，引导学生进行画图，写出已知，求证，并写出证明过程第一步：学生根据文字命题画图，第二步：根据图形和文字命题写出已知，求证。
已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。
求证: △ABC∽△A’B’C’。
第三步：写出证明过程。
（分析现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角形的定义，我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等，下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可。
根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC内部或外部构造平行线，从而构造出与△A′B′C′全等的三角形。
）证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。
过点D作AC的平行线，交BC于点F,则__________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。
∴____________∵DE∥BC，DF∥AC∴四边形DFCE是平行四边形。
∴DE=CF∴____________∴____________而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C,∴____________∵∠A=∠A’, ∠ADE=∠B’, AD=A’B’,∴△____≌△____∴△ABC∽△A’B’C’.现在，我们已经有两种判定三角形相似的方法，用这两种判定三角形相似的方法可以证明其他判定定理。
4.5相似三角形判定定理的证明(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对相似三角形判定定理的理解存在一些挑战。首先，他们在识别对应边和对应角时遇到了困难，这说明我们在教学中需要更多地强调这一点，可能通过更多的图形示例和实际操作来加强学生的直观感受。
我还注意到，当涉及到实际应用问题时，学生们在将理论知识应用到解决问题上显得有些犹豫不决。这可能是因为我们平时在教学中缺乏将理论联系实际的机会。因此，我计划在未来的课程中，引入更多的生活实例，让学生看到数学知识是如何在现实世界中发挥作用的。
-能够运用相似三角形的性质和判定定理进行简单的几何证明。
举例：通过比较两个具体的三角形，强调在判定相似时，必须满足两边对应成比例且夹角相等的条件。讲解AA和SAS判定方法时，结合图形示例，让学生直观感受定理的应用。
2.教学难点
-难点一：理解“对应”的概念，即在相似三角形判定中，如何识别哪两边和哪个角是对应的。
4.5相似三角形判定定理的证明（教案）
一、教学内容
本节内容选自教材第四章第五节“相似三角形的判定定理的证明”。内容包括：
1.探索并理解“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的定理；
2.掌握运用“AA”（两个角相等）和“SAS”（两边对应成比例且夹角相等）判定两个三角形相似的方法；
3.通过具体例题，学会运用相似三角形的判定定理解决实际问题；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版九年级数学上册 4.5：相似三角形判定定理的证明 导学案(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章 4.5相似三角形判定定理的证明导学案一、预习目标相似三角形的判定：1．相似三角形的定义．2．如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．3．如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．4．如果两个三角形的两条边成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．5．如果一条直线平行于三角形的一边，那么所截得的三角形与原三角形相似．6．两个直角三角形，如果一条直角边与一条斜边对应成比例，那么这两个三角形相似．7．如图，用“∽”表示下列基本图形中的相似三角形．二、课堂精讲精练【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上．(1)已知：AC＝4，BC＝2，∠CBD＝∠A，求BD的长；(2)取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：△CEF∽△BAD.解：(1)∵∠CBD＝∠A，∠BCD＝∠ACB，∴△CBD∽△CAB.∴CD CB ＝CB CA ，即CD 2＝24. ∴CD ＝1.∴在Rt △BCD 中，BD ＝CD 2＋BC 2＝ 5.(2)证明：∵E ，F 分别AB ，BD 的中点，∠ACB ＝90°， ∴CF ＝12BD ，CE ＝12AB ，EF ＝12AD.∴CF BD ＝EF AD ＝CE AB ＝12. ∴△CEF ∽△BAD.【跟踪训练1】如图，在▱ABCD 中，AC ＝CD.点E ，F 分别为边BC ，CD 上的两点，且∠EAF ＝∠CAD ，求证：(1)∠D ＝∠ACB ； (2)△ADF ∽△ACE ； (3)AE ＝EF.证明：(1)∵AC ＝CD ， ∴∠D ＝∠CAD.∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴BC ∥AD. ∴∠ACB ＝∠CAD. ∴∠D ＝∠ACB.(2)∵∠EAF ＝∠CAD ，∴∠EAC ＝∠DAF. 又∵∠D ＝∠ACB ，∴△ADF ∽△ACE. (3)∵△ADF ∽△ACE ， ∴AD ∶AF ＝AC ∶AE.∵∠EAF ＝∠CAD ， ∴△EAF ∽△CAD. ∴∠EFA ＝∠D.∴∠EAF ＝∠EFA.∴EA ＝EF.【例2】如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝24，BC ＝12，点E 沿BC 边从点B 开始向点C 以每秒2个单位长度的速度运动；点F 沿CD 边从点C 开始向点D 以每秒4个单位长度的速度运动．如果E ，F 同时出发，用t(0≤t ≤6)表示运动的时间．(1)当t 为何值时，△CEF 是等腰直角三角形？(2)当t 为何值时，以点E ，C ，F 为顶点的三角形与△ACD 相似？解：(1)当CE ＝CF 时，△CEF 是等腰直角三角形， ∴4t ＝12－2t ，解得t ＝2.(2)①当△ECF ∽△ADC 时，则CE AD ＝CFCD ，即12－2t 12＝4t24，解得t ＝3. ②当△FCE ∽△ADC 时，则CE CD ＝CF AD ，即12－2t 24＝4t 12，解得t ＝65. 综上所述，当t 的值为65或3时，以点E ，C ，F 为顶点的三角形与△ACD 相似．【跟踪训练2】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm.点P 从点A 出发，沿AB 边以2 cm/s 的速度向点B 匀速移动；点Q 从点B 出发，沿BC 边以1 cm/s 的速度向点C 匀速移动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t s.(1)当PQ ∥AC 时，求t 的值；(2)当t 为何值时，△PBQ 的面积等于245cm 2.解：(1)由题意，得BQ ＝t cm ，AP ＝2t cm. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ， AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝10(cm)． ∴BP ＝(10－2t)cm. ∵PQ ∥AC ， ∴BP BA ＝BQ BC ，即10－2t 10＝t 6. 解得 t ＝3011.(2)过点Q 作QE ⊥AB 于点E ，则∠QEB ＝∠C ＝90°. ∵∠B ＝∠B ，∴△BQE ∽△BAC. ∴BQ BA ＝QE AC ，即t 10＝QE 8.解得 QE ＝45t. ∴S △PBQ ＝12BP ·QE ＝245.即12·(10－2t)·45t ＝245. 解得t 1＝2，t 2＝3. ∵0＜t ＜5，∴当t 的值为2或3时，△PBQ 的面积等于245 cm 2.三、课堂巩固训练1．如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 相交于点E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交PD 于点F ，AD 交PC 于点G ，则下列结论中错误的是(A)A ．△CGE ∽△CBPB ．△APD ∽△PGDC ．△APG ∽△BFPD ．△PCF ∽△BCP2．如图，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，当△ACP ∽△PDB 时，∠APB 的度数为(B)A ．100°B ．120°C ．115°D ．135°3．如图，在四边形ABCD 中，已知∠A ＝∠CBD ，AB ＝15，AD ＝20，BD ＝18，BC ＝24，则CD的长为1085．4．如图，ABCD 是平行四边形，点E 在边BC 延长线上，连接AE 交CD 于点F ，如果∠EAC ＝∠D ，试问：AC ·BE 与AE ·CD 是否相等？解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠D ＝∠B ，AB ＝CD. ∵∠EAC ＝∠D ， ∴∠EAC ＝∠B.∵∠E ＝∠E ，∴△ACE ∽△BAE. ∴AC ∶AB ＝AE ∶BE.即AC ·BE ＝AE ·AB. ∵AB ＝CD ， ∴AC ·BE ＝AE ·CD. 四、课堂总结1．判断两个三角形是否相似，首先看角的相等，哪个角与哪个角对应；再看边是否成比例，通常两个三角形相似，小边与小边比，大边与大边比，剩余两边相比，若比值相等，就相似，若比值不等，就不相似．2．证明等积式时，一般情况下将其转化为比例式，看比例式中的四条线段能否构成相似三角形的对应边，若直接找不到相似三角形时，可通过“中间比”过渡．3．找中间比一般要由图形和已知条件来确定，常从以下两方面入手找中间比：①把相等线段与同一线段的比当作中间比；②把相等线段和相等线段的比当作中间比．。
2020九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件教案 (新版)北师大版
第四章：图形的相似环节一探究一如图，已知△ABC，和线段A′B′,在线段A′B′同侧画'''A B C，使∠A′=∠A, ∠B′=∠B,交点C′（1）点C′是否在格点上？（2）△ABC与△A′B′C′是否相似？（3）结论：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
简单地说，两角对应相等的两个三角形相似。
几何语言:∵∠A′=∠A, ∠B′=∠B, ∴△ABC∽△A′B′C′课中作业若∠A=70°，∠C=65°，∠A1=70°，∠B1=35°△ABC△A1B1C1相似吗？环节二探究二如图，直线DE∥BC，试找出下列图形中的相似三角形，并说明理由。
归纳：平行于三角形一边的直线和三角形的两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
几何语言：∵DE∥BC∴△ABC∽△ADE课中作业如图, 在△ABC中, E是AB上一点,在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点E DCBAEDCBA的三角形与△ABC相似,你能在图上画出来吗？环节三如图，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，△ADE与△ABC相似吗？为什么？课中作业思考：如下图，点A、B、D与点A、C、E分别在一条直线上，如果DE∥BC，△ADE与△ABC相似吗？为什么？课后作业设计：如图（1）， AE与BD相交于C，要使△ABC∽△DEC，需要条件．如图（2）要使△ABC∽△ACD，需要条件．如图（3）要△使ABE∽△ACD，需要条件．（修改人：）。
九年级数学上册 4.5 相似三角形判定定理的证明学案(无
4.5 相似三角形判定定理的证明 学习目标：1、进一步复习巩固相似三角形的判定定理.2、能灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.学习重点：灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.预设难点：灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.【预习案】一、链接回忆相似三角形的判定定理的内容：定理1可简单说成： . 定理2可简单说成： . 定理3可简单说成： .直角三角形相似的特殊判定定理： .二、导读1、想一想：判定一般的两个三角形相似有几种方法？判定两个直角三角形相似有几种方法？2、想一想如何根据已知条件来选择三角形相似的判定方法？【探究案】1、如图，点D 为△ABC 的AB 边一点（A B>AC ）,下列条件不一定能保证△ACD ∽△ABC 的是（ ）．A.∠ADC=∠ACBB.∠ACD=∠BC..DC ADAD AC D BC AC AC AB==2、已知：如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE ，请认真研究图形与所给条件，然后回答：图中是否存在相似的三角形？若存在，请加以说明；若不存在，请说明理由．3、已知△ABC ，△DCE ，△EF G 是三个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG•在同一直线上，且AB=3，BC=1，连接BF ，分别交AC ，DC ，DE 于P ，Q ，R ．求证：△BFG ∽△FEG ，尝试用不同的方法证明.【训练案】1、下列图形不一定相似的是（）．A、有一个角是120°的两个等腰三角形B、有一个角是60°的两个等腰三角形C、两个等腰直角三角形D、有一个角是45°的两个等腰三角形2、如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，且BD=a，BC=b，当AC与a，b满足什么关系时，△ACB∽△CBD？3、顺次连接三角形三边中点所得的小三角形与原三角形相似吗？试证明.。
九年级数学上册第四章图形的相似5相似三角形判定定理的证明1_1
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知识(zhī shi)技能
2．已知：如图， AD DE AE ． AC AB BC
求证：AB = AE.
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知识(zhī shi)技能
3．已知：如图，在△ABC 中，D 是 AC 上一点(yī diǎn)，∠ CBD 的平 分线交 AC 于点E，且 AE = AB．求证：AE2 = AD ·AC．
4.5 相似三角形判定 定理 的证明 (dìnglǐ)
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回顾与复习
相似三角形的判定(pàndìng)方法: 两角对应相等(xiāngděng)，两三角形相似. 三边对应成比例(bǐlì),两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将 对它们进行证明．
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内容(nèiróng)总结
4.5 相似(xiānɡ sì)三角形判定 定理的证明。4.5 相似(xiānɡ sì)三角形判定
No 定理的证明。 三边对应成比例,两三角形相似(xiānɡ sì).。 三边对应成比例,两三角形相似
(xiānɡ sì).。 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(xiānɡ sì).。在上两节中，我们探索了 三角形相似(xiānɡ sì)的条件，稍候我们将对它们进行证明．。定理 两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似(xiānɡ sì).。∴ AB =4.。又∠B=∠ACD，。△ABC∽△DCA，。（1）∠ABC＝∠CDB。 问题解决
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九年级数学上册 第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件第1课时 相似三角形和判定定理1教案 (新
4 探索三角形相似的条件第1课时相似三角形和判定定理11．理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理1.2．初步掌握相似三角形判定定理1的应用．重点理解相似三角形的定义和相似三角形的判定定理1.难点相似三角形判定定理1的理解及应用．一、情境导入教师：请同学们都拿出文具盒中的三角板，观察它们与老师手中的木制三角板有什么关系？学生：它们对应角相等，对应边成比例．二、探究新知1．相似三角形的定义教师：根据上面的关系，以及相似多边形的定义，你能说出相似三角形的定义吗？引导学生得出：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．2．相似三角形的判定定理1教师：若给定两个三角形，你有什么办法来判定它们是否相似？能否类比两个三角形全等的条件，来寻找判定两个三角形相似的条件呢？如果可以，我们可以从哪些条件开始找呢？(1)教师：任意画一个△ABC，使∠ABC满足下面给定的条件之一．与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？①使∠ABC＝60°；②使∠ABC＝90°；③使∠ABC＝120°；④使∠ABC＝∠α.学生合作交流，引导得出结论：如果两个三角形只有一个角对应相等时，不能判定两个三角形相似．(2)教师：如果有两个角对应相等的两个三角形，能否判定这两个三角形相似？与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′ ，使△ABC和△A′B′C′满足下列条件之一．比较你们所画的三角形，∠C 与∠ C′相等吗？对应边的比相等吗？三角形相似吗？①使得∠A，∠A′都等于30°，∠B 和∠ B′都等于60°；②使得∠A，∠A′都等于30°，∠B 和∠ B′都等于90°；③使得∠A，∠A′都等于30°，∠B 和∠ B′都等于120°；④使得∠A，∠A′都等于α，∠B 和∠ B′都等于β.引导学生得出相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．三、举例分析例1 判断下列说法是否正确．(1)所有的等腰三角形都相似；(2)所有的等腰直角三角形都相似；(3)所有的等边三角形都相似；(4)所有的直角三角形都相似；(5)有一个角是120°的两个等腰三角形相似；(6)有一个角是60°的两个等腰三角形相似；学生举手回答，教师点评．例2 (课件出示教材第89页例1)学生独立完成，指名汇报，教师点评．四、练习巩固1．教材第90页“随堂练习”第1，2题．2．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )A．0个B．1个C．2个D．3个五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．什么是相似三角形？3．相似三角形的判定定理1的内容是什么？六、课外作业教材第90页习题4.5第1～3题．本节课是探索三角形相似的条件的第一课时——相似三角形和判定定理1，是初中数学学习的重点内容之一，对学生的能力培养与训练有着重要的地位．在课堂上，通过类比、观察等方式，让学生自行总结相似三角形的定义，再通过合作交流、画图等方式，让学生探讨出相似三角形的判定定理1，并且学会运用定理，培养学生分析观察能力和总结能力．在教学过程中，以学生为主体，教师引导学生自主探究，合作交流，认知新的知识，培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，提高学生的学习兴趣．。
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4.5相似三角形判定定理的证明
学习目标
1.了解相似三角形判定定理
2.会证明相似三角形判定定理
3.掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
教学过程
（一）预习题
1.相似三角形的判定方法有哪些？
（二）合作探究
探究1．如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，
那么，△ABC ∽△A′B′C′.
如何证明呢？
应用1
已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
探究2
如果∠B =∠B1，
那么，△ABC∽△A1B1C1.
应用2已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，求AD 的长.
探究3
如果
那么，△ABC∽△A′B′C′.
三、课时小结
1.相似三角形判定定理的证明
2.相似三角形判定定理的应用
四、课后反思
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
,
AB BC AC
A B B C A C
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