控制理论第4章
现代控制理论习题解答(第四章)
第四章 控制系统的稳定性3-4-1 试确定下列二次型是否正定。
(1)3123212322212624)(x x x x x x x x x x v --+++= (2)232123222126410)(x x x x x x x x v ++---= (3)312321232221422410)(x x x x x x x x x x v --+++= 【解】： （1）04131341111,034111,01,131341111<-=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数不定。
(2)034101103031,0110331,01,4101103031<-=--->=--<-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=P二次型函数为负定。
(3)017112141211003941110,010,1121412110>=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数正定。
3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。
312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=【解】：312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=x c b a x T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1112121110212111,011,0111111>---->>c b a b aa 满足正定的条件为：⎪⎩⎪⎨⎧++>+>>1111111114410ca b c b a b a a3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=【解】： （1）设22215.05.0)(x x x v +=⎩⎨⎧≠≤==-=--=+=)0(0)0(0222221212211)(x x x x x x x x x x x x x v为半负定。
《现代控制理论》第三版课件_第4章
e λ1t z10 λ2t e z 20 z (t ) = λnt e z n0
ˆ C11 ˆ C 21 y (t ) = ˆ C m1 ˆ C12 ˆ C
λt ˆ C1n e 1 z10 ˆ e λ2t z 20 C2n ˆ e λnt z n 0 C mn
J = diag{λ1 , λ2 , , λn }
[ p1
p2
λ1 0 pn ] 0
0 λ2 0
0 0 = A [p 1 λn
p2 pn ]
J1 0 J = P −1 AP = 0
0 J2 0
λ j 0 0 0
零空间（核空间）
n
4-5 状态向量的线性变换
x = Ax + Bu y = Cx + Du
x = Pz
ˆ ˆ = P −1 APz + P −1 Bu = Az + Bu z ˆ y = CPz + Du = Cz + Du
状态向量的线性变换不影响系统的状态能控 性、能观性和传递函数阵，也不影响系统矩 阵的特征值和系统平衡状态的稳定性。
[
p j 2 p jq
]
( λ j I − A) p j1 = 0
Pj = p j1
[
p j2
p jq
]
( λ j I − A) p j 2 = − p j1 ( λ j I − A) p j 3 = − p j 2 ( λ j I − A) p jq = − p j ( q −1)
( λ j I − A) p j1 = 0 ( λ j I − A) p j 2 = − p j1 ( λ j I − A) p j 3 = − p j 2
自动控制理论第四章
若用一个复数G（jω）来表示，则有 指数表示法: G（jω）=∣G（jω）∣· j∠G（jω）=A（ω）· j e e 幅角表示法: G（jω）=A(ω)∠ (ω) G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。 当ω是一个特定的值时，可以在复平面上用一个 向量去表示 G （ jω）。向量的长度为 A(ω)，向量与 正实轴之间的夹角为 (ω)，并规定逆时针方向为正， 即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。 可由图4.3表示。
对输出求拉氏反变换可得
c(t ) ( K1e
p1t
K 2e
p2t
Kne
pn t
) (K c e
jt
K c e )
jt
系统的输出分为两部分，第一部分为指数瞬态分量， 对应特征根为单根时的响应；第二部分为稳态分量， 它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统 所有的特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋 于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳 态分量为：
r（t）
sint 线 性 定 Asin（ωt+）
Css（t） t
常系统
图4-2，线性系统及频率响应示意图
4.1.2频率特性
一、基本概念 对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出 的幅值比A与相位差 只与系统的结构、参数及输入正 弦信号的频率ω有关。在系统结构、参数给定的前提下， 幅值比 A与相位差 仅是ω的函数，可以分别表示为A （ω）与（ω）。 若输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化，则 系统输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的 变化而变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同 性能，这种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。
现代控制理论-复习第四章
即可能有多个平衡状态.
例4.1 x1 x1 x2 x1 x2 x23
x1 0
x1
x2
x23
0
因此该系统有三个平衡状态
0 xe1 0
0
xe2
1
0 xe3 1
在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用 ‖x‖表示，则：
S( )
x1
x
若平衡状态xe是稳定的，即当t无限增大时，状态轨迹不超
过 ，s(且 最) 终收敛于xe，则称平衡状态xe渐近稳定。
3.大范围渐近稳定
x f (x,t)
在整个状态空间中，对所有初始状态x0出发的轨迹都 具有渐近稳定，则系统的平衡状态xe是大范围渐近稳定的 。
注： （1）由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收 敛于xe，因此系统只能有一个平衡状态，这也是大 范围渐近稳定的必要条件。
3、二次型标量函数v(x)的定号性判据
（1）v(x)正定的充要条件是：P阵的所有各阶主子行
列式均大于零，即
1 p11 0,
2
p11 p21
p12 0, p22
,
p11 n
pn1
p1n 0
pnn
（2）v(x)负定的充要条件是：P阵的各阶主子式满足
（2）对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只 有一个唯一的平衡状态xe = 0。所以若线性定常系 统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。
（3）对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡 点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定 。
4. 不稳定
如果对于某个实数ε> 0和任一实数δ> 0，在球 域S(δ)内总存在一个初始状态x0，使得从这一初始 状态出发的轨迹最终将超出球域S(ε)，则称该平衡 状态是不稳定的。
现代控制理论第4章答案
现代控制理论第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质：（1）222123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- （2）222123122313()4262v x x x x x x x x x x =++---解：（1）由已知得[]11231231232311232311()31122111113211112x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-+------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥---⎣⎦110∆=-<，2112013-∆==>-，31111711302411112--∆=--=-<--- 因此()Q x 是负定的 （2）由已知得[][]112312312323112323()433111143131x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=---+---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦110∆=>，2113014-∆==>-，3111143160131--∆=--=-<--因此()Q x 不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：11122122a a xx a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。
解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A 的特征值均具有负实部。
即：111221222112211221221()0a a I A a a a a a a a a λλλλλ---=--=-++-= 有解，且解具有负实部。
即：1122112212210a a a a a a +<>且方法（2）：系统的原点平衡状态0e x =为大范围渐近稳定，等价于T A P PA Q +=-。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
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6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
现代控制理论(12-17讲：第4章知识点)
0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 x y x 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
MIMO系统，n=5，r=5，独立特征向量为2， C阵对应列 (1、4列)，线性无关, 故系统状态完全能观。
4-4 线性定常离散系统的能控性和能观性
故系统是不能观测的。
y 3 2 0 x
18
例2：判定如下系统的能观性。
1 0 3 x x 7 u 0 3
0 0 1 y x 0 u 1 1
故系统是能观测的。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
解： n=3、 r=1 有
0 2 8 Q c B AB A 2 B 0 0 0 1 3 11
显然：
rankQc 2( n)
4
故系统是不能控的。
3、能控性判据之二 (1)、系统特征值互异的情况：
若线性定常系统： Ax + Bu , 具有n个互不相同的 x 特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非 奇异变换后的状态方程式：
C 1 1 rankQo rank 1 n CA 5 5
故系统是不能观测的.（detQo=0）
16
例2：判定如下系统的能观性。
2 1 1 x x 1 u 1 3
1 0 y x 1 0
b1 0
故系统状态不可控。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
(2)、系统具有重特征值的情况： 若线性定常系统： Ax + Bu , 具有重特征值，且 x 每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则其状态完全能 控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的Jordan规范形：
自动控制原理第4章
p 26.6
3
自动控制理论
14
4-2 根轨迹绘制的基本法则
八、根之和 若 n-m2 ，闭环极点之和 = 开环极点之和 = 常数
p ,
i 1 i i 1 i
n
n
nm2
表明：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而 另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能 维持闭环极点之和为常数。
1 G ( s) H ( s) 0 Q( s) AP( s), P( s) 1 A 0 1 G1 ( s) H1 ( s) Q( s ) P( s ) 等效开环传递函数 G1 ( s ) H1 ( s ) A Q( s)
注意：此等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相 同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。
180o根轨迹
( s z ) ( s p ) (2k 1)
j 1 i 1
(2k 1)180, (k 0,1,2,)
一、根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
简要证明如下：
由模值条件
1 * K
(s z
j 1 n i 1
解：开环传递函数有二个极点，一个零点，此类有零点的二 阶系统的根轨迹其复数部分为一个圆，圆心在开环零点处， 半径为零点到分离点的距离。
自动控制理论 21
4-4 系统的性能分析
此系统的分离点：
d1 1.17, d1 6.83
K 2
*
j
利用幅值条件可求得两个分离 点处的根轨迹增益
j 1 j i 1 i
(k 0,1,2,)
K*
s p sz
j 1 i 1 m
n
现代控制理论-07(第4章Lyapunov稳定性理论)
−1 ⎤ 1 + ( s + 1) ( s + 2) ⎥ ⎥ −1 2 ⎥ + ( s + 1) ( s + 2) ⎥ ⎦
q ⎤ ⎡ 2e −t − e−2t ⎡ ⎢Ψ ⎥ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ −2e−t + 2e−2t ⎣
e−t − e−2t ⎤ ⎡ q0 ⎤ ⎥⋅⎢ ⎥ −e−t + 2e−2t ⎥ ⎣Ψ 0 ⎦ ⎦
dΨ = −VC = −Cq. dt
dq Ψ = iL = , dt L
电路无外界的能量输入, 同时电路中没有耗能元件, 所以电路总能量W恒定不变.
W = WL + WC = ∫ 0
Ψ
Cq 2 iL (τ1 )dτ1 + ∫ VC (τ 2 )dτ 2 = + ≡ W0 . 0 2L 2
q
Ψ2
从上述式子的最后一个等号看出系统的轨迹是 一个椭圆, 见图4.2.
Ψ2
= 0.
16
Ψ
q
图4.3 例4.2.2状态方程相图
图4.3表明, 从原点很小的领域出发的轨迹能保持在 原点附近, 并能逐渐趋向于原点, 或者说是渐近稳 定的. 17
例4.2.3 图4.1所示的电路中, 设电感是线性的, 电 vC = q3 − q , 阻 R = 0 , 而电容具有非线性的库伏特性 则状态方程是 dq Ψ
dq Ψ = iL = , dt L
此电路中电阻是耗能元件, 所以电路总能量是不断 减少的.为简单起见, 设C=2, R=3, L=1, 再令初始状 态为 (Ψ 0 , q0 ) . dq =Ψ ,
dt
dΨ = −2q − 3 . Ψ dt
14
利用拉普拉斯反变换求解上述方程, 先求预解矩阵
《自动控制理论(第版)》邹伯敏课件第4章
i1
n
n
s n pl s n1
pl
l 1
l 1
3、用分子除以分母得
GsH s
K0
s nm
n l 1
pl
m i 1
zi s nm1
2020/5/4
第四章 根轨迹法
14
自动控制理论
当s 时,
令某系统的开环传递函数为W s
s
K0
A
nm
K0
snm
n
m
s nm1
A
1 W s 0,有n m条根轨迹分支,它们是由实轴上s σA点出发的射线,
图4-4 一阶系统
2020/5/4
图4-5 图4-4系统的等增益轨迹和根轨迹
第四章 根轨迹法
6
自动控制理论
结论：
根轨迹就是s 平面上满足相角条件点的集合。由于相角条件是绘制根轨迹 的基础，因而绘制根轨迹的一般步骤是：
➢找出s 平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线 ➢根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K值
例4-4
已知GsH s
ss
K0
4s 2
4s
20
求根的分离点
图4-12 例4-4的根轨迹
解：1）有4条根轨迹分支,它们的始点分别为0，-4，-2±j4
2） 渐近线与正实轴的夹角
2k 1 , 3 , 5 , 7 , k 0,1,2,3
4
44 4 4
渐近线与实轴的交点为
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-A
422 4 第四章
规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点
闭环特征方程：
n
m
s pl K 0 s zi 0
l 1
自动控制理论例题集锦-第4章
以行列辅助方程 根据以上所计算根轨迹参数，绘制根轨迹如图4-3所示。
图4-3
例4 已知系统的开环传递函数为
1. 绘制时系统的根轨迹图。确定闭环共轭复数极点具有阻尼比时的
闭环传递函数。
2. 绘制时系统的根轨迹图。确定系统输出无衰减振荡分量时的闭环
传递函数。Leabharlann 解:1. 绘制时系统的根轨迹图。
系统的开环传递函数为
根据以上所计算根轨迹参数，绘制根轨迹如图4-1所示。
2. 确定的取值范围。
与分离点相应的可由模值条件求得
由如图4-1可知，使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式的的取值范
围为。
图4-1
解:
系统的开环传递函数为 1. 系统有三个开环极点：，没有开环零点。将开环零、极点标在平 面上。
2. 根轨迹的分支数。 特征方程为三阶，故有三条根轨迹分支。3条根轨迹分支分别起始 于开环极点，，终止于开环无限零点。 3. 实轴上的根轨迹。 实轴上的根轨迹为整个负实轴。 4. 渐近线的位置与方向。 渐近线与实轴的交点 渐近线与正实轴的夹角 5. 分离点和分离角。 根据分离点公式 解得，不在根轨迹上，故无分离点。 6. 根轨迹的起始角。 7. 与虚轴的交点。 将代入系统闭环特征方程 实部、虚部为零 解得；。 根据以上所计算根轨迹参数，绘制根轨迹如图4-2所示。
渐近线与正实轴的夹角 ⑤ 分离点。 解得。因为在实轴的根轨迹区段上，故是分离点。是否为分离点， 应看其是否满足相角条件。 可见满足相角条件，故是分离点。同样也是分离点。 ⑥ 根轨迹的起始角。 ⑦ 与虚轴的交点。 系统闭环特征方程为 列写劳斯表 令，解得。 以行列辅助方程 根据以上所计算根轨迹参数，绘制根轨迹如图4-6所示。 由图4-7所示所示根轨迹知当时，闭环极点均位于左半平面，系统 稳定。 2. 由图可见，在整个从0→∞的根轨迹上，对于为任何值时，没有 四个闭环极点均为实数的情况，故该系统不存在不振荡的单调运动过 程。
现代控制理论第四章习题答案
第4章“线性系统的能控性与能观性”习题与解答4.1 判断下列系统的能控性。
1) u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 01112121 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321111001342100010u u x x x x xx3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321020011 10030013u u x x x x xx解：1) 由于该系统控制矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01b ，系统矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A ，所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101 0111Ab 从而系统的能控性矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1011Ab bU C 显然有[]n Ab bU C ===2rank rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
2)由于该系统控制矩阵为100111B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=342100010A 则有，0101001001 01112431117AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 20100111001 111724317115A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而系统的能控性矩阵为21001110111171117115C U BABA B -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==--⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦有n U C ==3rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
3)由于该系统控制矩阵为110020B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=10030013A 则有，3101133030 00000012020AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 23103399030 0000012020A B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是，系统的能控性矩阵为21133990000002220C U BABA B ---⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可知n U C <=2rank不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。
现代控制理论 第四章 李雅普诺夫稳定性理论
p11 p11 0, p21
p12 p22
0, ,
p 0
30
2.如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则
V ( x) x Px
T
是正半定的。
3.如果矩阵P的奇数阶主子行列式为负值， T 偶数阶主子行列式为正值，则 V ( x) x Px 是负定的。 即:
p11 p12 p1n p11 p12 n (1) p11 0, (1) 0, , (1) p21 p22
16
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据
Ax x(0) x0 t 0 x
1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：
Re(i ) 0
Re( i ) 0
i 1,2, n i 1,2, n
17
19
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1
令
f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x x f ( xe )
x x xe
f A T x
x xe
则线性化系统方程为： x
Ax
20
结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ，则非线性系 统在xe 处是渐近稳定的，与 g ( x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0 , Re( j ) 0 , i j 1,, n 则非线性系统不稳定。 3) 若Re(i ) 0，稳定性与g ( x) 有关，
9
4.2 李雅普诺夫稳定性的定义
1.李雅普诺夫意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一 个实数 ( , t0 ) 0 满足
现代控制理论-第四章
二.可观标准型
• 可控系统： x Ax Bu • 特征方程： I A n an1n1 a1 a0 • 通过变换矩阵将系统化成可控标准型
a2 a3 a1 a a3 a4 2 a3 a4 a5 1 T 1 an 1 1 0 0 0 1
A T 1 AT 0 1 A 0 0
3t
te 3t x1 (0) t e 3(t ) e 3t x2 (0) 0 0
3t t
(t )e 3( t ) 0 u ( )d e 3( t ) 1
x1 (t ) e x1 (0) te x2 (0) (t )e 3(t )u ( )d
二.能观性
第二节 线性系统的能控、能观性判据
• • • • • • 一.能控性判据 设系统为： x Ax Bu, y Cx 1.秩判据 Qc B AB A2 B An1B 若rank[Qc]=n，即 I A 0 满秩，则系统可控。 2.对角规范型矩阵 若A是对角阵，且B阵中无全为零的一行，则系统可 控。反之为零一行所对应的状态不可控。 • 3.约当规范型矩阵 • 若A是约当阵，且B阵中与每个约当块最后一行相对 应的行的元素不全为零，则系统可控。反之为零一 行所对应的状态不可控。
0
x2 (t ) e x2 (0) e 3(t )u ( )d
3t 0
t
y (t ) x1 (t ) e x1 (0) te x2 (0) (t )e 3( t )u ( )d
3t 3t 0
t
• 可见：1.两个状态变量中均有输入的作用，可控 • 2.输出中有两个状态变量的出台，输出可以反映初始状态，可测
自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹分析
q 0，2， 1 … ， G(S ) H (S ) 180(2q 1), 以上条件是判断复平面上某点是否在系统根 轨迹上的充要条件。
一、绘制 根轨迹的 条件
• 系统开环传递函数通常可以写成两种因子形式，即 时间常数表达式和零极点表达式。 （1）时间常数表达式： （2）零极点表达式：
jω ∞
如果系统的开环增益K（根轨迹
增益K1）从0向变化时，系统闭环 曲线，如图所示。 这样获得的曲线称为K1从0向变
K=0 × 特征根在复平面上的变化情况绘制为 -1
K K=0.25 K=0 × K ∞ σ
化时系统的根轨迹。
定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化
参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描
nm
当q=0时，求得的渐进线倾角最小，q增大，倾角值将重 复出现，而独立的渐进线只有（n－m）条．
（2）渐近线与实轴的交点坐标为：
a
p
i 1
n
i
zj
j 1
m
nm
在计算时，考 虑到共轭复数极点、 零点的虚部总是相 互抵消，只须把开 环零、极点的实部 代入即可．
K1 【例4-3】设系统的开环传递函数为：G(S ) H (S ) S (S 1)(S 2)
幅值条件改写
jω ∞
j )
(s z (s
i 1 j 1 n
m
K
pi )
1 K1
K=0 × -1 K
K=0.25 K=0 ×
σ
当 K1 0 ，必有Ｓ＝ 当 K1 ，必有Ｓ＝
pi ，即起点是开环极点。∞
zj
，即终点是开环零点。
但在控制系统中，总有n>m，所以根轨迹从n个开环极点处 起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将趋 于无穷远处。
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Im
[s]
Im
[s]
（-1，j0）
ω=+∞ ω=0 Re ω
ω=+∞
（-1，j0）
ω=0 Re
ω
(a) m=0
(b) m=2
图4.2 开环幅相频率特性曲线
4．对数幅相频率特性稳定判据
❖ 该判据是按开环传递函数的对数幅相频率特性（波德图） 来判断闭环系统是否稳定。
❖根据开环状态下稳定和不稳定两种情况进行。
3．奈魁斯特稳定判据（奈氏判据）
（1）开环状态下是稳定的
开环传递函数特征方程在[S]平面右半部无极点，即m=0。
闭环状态下稳定的充分和必要条件是：开环幅相频率特性
G(s)H(s)曲线不包围[S]平面上的（-1，j0）点。
（2）开环状态下是不稳定的
开环传递函数的特征方程在[S]平面右半部有m个极点。
平面左半部，即闭环系统特征方程的根均具有负实部
❖系统的稳定判据 1.解方程稳定判据 2.劳斯稳定判据 3.奈魁斯特稳定判据 4.对数幅相频率特性稳定判据等
1．解方程稳定判据（求解闭环传递函数特征方程法）
Xi(s)
k
Xo(s)
s(Ts 1)
图4.1 系统传递框图
其系统闭环传递函数为
k
G(s) Xo (s) s(Ts 1) Xi (s) 1 k
决于特征方程的根
❖系统稳定的充分和必要条件 是闭环系统的特征方程的根均具有负实部。
4.1 系统的稳定性
系统的稳定性分为大范围内稳定和小范围内稳定 ❖大范围内稳定 指如果系统受到扰动后，不论它的初始偏 差多大，都能以足够的精度恢复到初始平衡状态。 ❖小范围内稳定 指如果系统受到扰动后，只有当它的初始 偏差小于某一定值时，才能在取消扰动后恢复到初始平衡状 态。
第4章 控制系统的稳定性及其分析
❖ 4.1 系统的稳定性 ❖ 4.2 系统的稳定性判据
❖ 4.3 系统的稳定裕量 ❖ 4.4 液压仿形刀架控制系统的
综合分析与计算
4.1 系统的稳定性
系统的稳定性是指在使它偏离稳定状态的扰动作用终止后 ，返回原来稳定状态的性能，即系统抗干扰的程度
❖线性系统的稳定性 系统自身的固有特性，它和系统的输入信号无关，仅取
k Ts2 s k
s(Ts 1)
特征方程为
Ts2 s k 0
特征方程的根为
1 1 4Tk
s1.2
2T
可见，此系统两个根均具有负实部，所以系统稳定。
求解三阶以上特征方程非常困难。
2．劳斯稳定判据
❖劳斯稳定判据 利用闭环系统特征方程的系数来进行稳定性判断
（1）稳定的必要条件 闭环系统特征方程的各项系数均为正实数值
式中各项可写成行列式
sn s n 1 sn2 sn3
M s1 s0
an an 1 b1 c1 M
an 2 a n3
b2 c2 M
MM
MM
an 4 L an5 L b3 L c3 L M M M
b1
1
an1
an an1
an2 an an an3
b2
1 a n 1
an a n 1
an4 an5
❖线性的稳定系统必须在大范围和小范围内都稳定。 ❖而非线性系统或者是线性化后的非线性系统只是在小范围 内稳定，而在大范围内却不稳定。
4.2 系统的稳定性判据
控制系统的稳定性的判断是针对闭环系统而言，线性系统 的稳定性与输入信号无关
❖控制系统稳定的必要和充分条件 闭环传递函数的全部极点（即特征方程的根）均位于[s]
闭环状态下稳定的充分和必要条件是：
当 从- 到+ 时，开环幅相频率特性G(s)H(s)曲线逆 时针方向包围（-1，j0）点m周。
如果 从0到 时，开环幅相频率特性曲线应逆时针方 向包围（-1，j0）点应为 m 周。
2
图4.2(a)和(b)分别是在开环下稳定和不稳定的状态下，
而 取值为0到 ，判断其系统是否稳定，经判断两系统
b3
1
an1
an an1
an6 an7
c1
1 b1
a n 1 b1
an3 b2
c2
1 b1
a n 1 b1
an5 b3
给定一闭环系统的特征方程为 s3 3s2 2s k 0 ,
求当k等于何值时系统才稳定。
必要条件的判断， k>0
充分条件的判断
特征方程的劳斯行列表为
s 3 an 1
s 2 an1 3
➢某一系统的波德图如图4.3所示， 该系统m=0，从图中可见正负穿 越各一次，则系统稳定。
L(ω)
0
ω
()
-180o (-)
ω
(+)
图4.3 开环对数幅相频率特性曲线
① 可进行稳定性判断。 ② 可判断不稳定情况下有几个正实部根，即有几个
极点在[S]平面右半部。 ③ 可求控制系统的增益，即放大系数K。
3．奈魁斯特稳定判据（奈氏判据）
❖ 奈氏判据是按开环传递函数的幅相频率特性（奈氏图或称 极坐标图）来判断闭环系统是否稳定。 ❖根据系统开环状态下稳定和不稳定两种情况进行。
s5 an 1 an2 2 an4 -11
s4
an1 -2 an3 4 an5 -10
s3
b1=4 b2=-16 0
s2
c1=-4 c2=-1一列变换三次符号，即说明有三个极点在[S]
平面右半部。第一列中的符号变换次数即为正实部根数
劳斯稳定判据的功能：
1
s
b1
so
c1
an2 2 an3 k
b1
1 3
1 3
2 k6
k
3
>0
c1 k
b1 0 , c1 0
0k 6
闭环系统的特征方程为s5-2s4+2s3+4s2-11s-10=0,判断系统是否稳定，
如若不稳定有多少个极点在[S]平面的右半部。
必要条件的判断没有满足，此系统不稳定。 劳斯阵列表为
L(ω)
0
ω
()
-180o (-)
ω
(+)
图4.3 开环对数幅相频率特性曲线
4．对数幅相频率特性稳定判据
（1）开环状态下是稳定的 闭环状态下稳定的必要和充分条件：
在对数幅频特性曲线 L() 0 频 率范围内，相频特性曲线 () 在 线上的正负穿越次数之差 为零。(由 线下方向上穿越 为正穿越，由 线上方向下穿 越为负穿越)。
（2）稳定的充分条件 劳斯阵列的第一列中所有项都具有正号
劳斯阵列
如闭环系统的特征方程为
an s n an1s n1 a1s a0 0
劳斯行列表
sn s n 1 sn2 sn3
M s1 s0
an an 1 b1 c1 M
an 2 a n3
b2 c2 M
MM
MM
an 4 L an5 L b3 L c3 L M M M