《1.3.3 导数的实际应用》教学案3
教学设计3：1.3.3导数的实际应用
1.3.3 导数的实际应用教学目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 知识链接知识点 生活中的最优化问题 1．最优化问题的概念在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题． 2．解决最优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )． (2)求导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．(4)依据实际问题的意义给出答案． 题型探究类型一 平面几何中的最值问题例1 如图所示，在二次函数f (x )＝4x －x 2的图象与x 轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD ，求这个矩形面积的最大值．解 设点B 的坐标为(x,0)，且0<x <2， ∵f (x )＝4x －x 2图象的对称轴为x ＝2， ∴点C 的坐标为(4－x,0)， ∴|BC |＝4－2x ，|BA |＝f (x )＝4x －x 2.∴矩形面积为y ＝(4－2x )(4x －x 2)＝16x －12x 2＋2x 3， ∴y ′＝16－24x ＋6x 2＝2(3x 2－12x ＋8)， 令y ′＝0，解得x ＝2±233，∵0<x <2，∴x ＝2－233.∵当0<x <2－233时，y ′>0，函数为单调增函数；当2－233<x <2时，y ′<0，函数为单调减函数，∴当x ＝2－233时，矩形面积取到最大值y max ＝3293.反思与感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值． 跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积．解 (1)由题干图知BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ， 则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．(2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.所以当θ＝π3时，S 取得最大值，S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.类型二 立体几何中的最值问题例2 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3 立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．解 (1)因为容器的体积为64π3 立方米，所以4πr 33＋πr 2l ＝64π3，解得l ＝643r 2－4r 3.所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝⎛⎭⎫643r 2－4r 3＝128π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2. 所以y ＝⎝⎛⎭⎫128π3r －8πr 23×3＋4πr 2×4 ＝128πr＋8πr 2.又l ＝643r 2－4r3>0⇒0＜r <432，所以定义域为(0,432)．(2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2，所以令y ′>0，得2<r <432； 令y ′<0，得0<r <2.所以当r ＝2 米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l ＝83米．反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．(2)解决立体几何中的最值问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程． 跟踪训练2 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)由PO 1＝2 m 知，O 1O ＝4PO 1＝8 m. 因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)； 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． (2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ， 则0<h <6，O 1O ＝4h m ．连接O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝36， 即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h <6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)． 令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)． 当0<h <23时，V ′>0，V 是单调增函数； 当23<h <6时，V ′<0，V 是单调减函数． 故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大． 类型三 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10)时，W ′<0， 所以当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6，当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x×2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7 x ，即x ＝1009时，W max ＝38，综上可得，当x ＝9时，W 取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减由上表可知，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 命题角度2 费用(用材)最省问题例4 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a 元/km 和5a 元/km ，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解 如图，由题意知，只有点C 位于线段AD 上某一适当位置时，才能使总费用最省， 设点C 距点D 为x km ，则BC ＝BD 2＋CD 2＝x 2＋402，又设总的水管费用为y 元，依题意有y ＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0<x <50)． ∴y ′＝－3a ＋5axx 2＋402.令y ′＝0，解得x ＝30，在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x ＝30 km 处取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20 (km)． ∴供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解 (1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元. 达标检测1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A ．4 B ．6 C ．4.5 D ．8 【答案】A【解析】设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋1 024x ，∴S ′(x )＝2x －1 024x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，判断知当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数，y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( ) A ．9千台 B ．8千台 C ．6千台 D ．3千台【答案】C【解析】构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，由y ′＝0，得x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．3．将一段长100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 【答案】100π4＋π【解析】设弯成圆形的一段铁丝长为x ，则另一段长为100－x . 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π⎝⎛⎭⎫x 2π2＋⎝⎛⎭⎫100－x 42(0<x <100)． 因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x 8，令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.所以在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π4＋πcm 时，面积之和最小． 4．某厂生产某种产品x 件的总成本(单位：元)为C (x )＝1 200＋275x 3，且产品单价的平方与产品件数x 成反比，若生产100件这样的产品，单价为50元，则要使总利润最大，产量应 定为________件． 【答案】25【解析】设产品单价为a 元，因为产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k (k 为比例系数)．由题意知，k ＝250 000， 则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x .设总利润为y 元，则y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，则y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25， 当x ∈(0,25)时，y ′>0， 当x ∈(25，＋∞)时，y ′<0， 所以当x ＝25时，y 取得最大值．故要使总利润最大，产量应定为25件．5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(单位：万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(单位：万元)与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 【答案】5【解析】依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x (k 1>0)，每月库存货物的运费y 2＝k 2x (k 2>0)，其中x 是仓库到车站的距离(单位：千米)， 于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45.令y ′＝0，得x ＝5(x ＝－5舍去)，此点即为最小值点． 故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．。
导数的实际应用教案
导数的实际应用教案一、教学目标1. 理解导数的基本概念和计算方法。
2. 掌握导数在实际问题中的应用，如速度、加速度、优化问题等。
3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 导数的基本概念和计算方法2. 导数在速度和加速度中的应用3. 导数在优化问题中的应用4. 实际案例分析与练习三、教学重点与难点1. 重点：导数的基本概念、计算方法和实际应用。
2. 难点：导数在优化问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解导数的基本概念、计算方法和实际应用。
2. 案例分析法：分析实际案例，引导学生运用导数解决实际问题。
3. 练习法：通过练习题，巩固所学知识。
五、教学准备1. 教案、PPT、教学用具。
2. 练习题及答案。
3. 实际案例素材。
第一章：导数的基本概念1.1 导数的定义1.2 导数的计算方法1.3 导数的几何意义第二章：导数在速度和加速度中的应用2.1 速度与加速度的导数关系2.2 匀加速运动的速度与位移2.3 非匀加速运动的速度与位移第三章：导数在优化问题中的应用3.1 优化问题的基本概念3.2 函数的极值与最值3.3 实际优化问题的求解方法第四章：实际案例分析与练习（一）4.1 案例一：物体运动的瞬时速度与加速度4.2 案例二：曲线切割面积的最优化4.3 练习题与解答第五章：实际案例分析与练习（二）5.1 案例一：商品折扣的最优化5.2 案例二：生产成本的最优化5.3 练习题与解答六、导数在物理问题中的应用6.1 牛顿运动定律与导数6.2 动力学方程与导数6.3 能量守恒与导数七、导数在经济问题中的应用7.1 边际分析与导数7.2 成本分析与导数7.3 利润最大化与导数八、导数在生物问题中的应用8.1 种群增长与导数8.2 药物浓度与时间的关系8.3 生物酶活性与温度关系九、导数在其他领域中的应用9.1 图像处理中的导数应用9.2 信号处理中的导数应用9.3 气候变化与导数10.1 导数在实际应用中的重要性10.2 导数与其他数学概念的联系10.3 实际应用案例的进一步探讨重点和难点解析六、导数在物理问题中的应用6.1 牛顿运动定律与导数：理解牛顿运动定律中的加速度概念，以及如何通过导数表示加速度。
2019高中数学第1章导数及其应用1.3.3导数的实际应用学案新人教B版
1.3.3 导数的实际应用1．学会解决实际问题的基本方法，注意首先通过分析、思考、总结、联想，建立问题涉及的变量之间的函数关系式，然后根据实际意义确定定义域．2．学会利用导数求解实际问题，感受导数在解决实际问题中的作用．求实际问题中的最值的主要步骤(1)列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )； (2)求函数的导数f′(x )，解方程________；(3)比较函数在区间______和使f′(x )＝0的点的取值大小，最大(小)者为最大(小)值．(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间．【做一做1－1】内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的边长为( )． A ．R 2和32R B ．55R 和455R C ．45R 和75R D ．以上都不对 【做一做1－2】面积为S 的所有矩形中，其周长最小的是________．如何求解实际应用题？剖析：解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题．就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论；然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验，其思路如下：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系； (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．值得注意的是：在实际问题中，有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f′(x )＝0的情形，如果函数在这个点有极大(小)值，那么不与端点值比较也可以知道这就是最大(小)值．这里所说的也适用于开区间或无穷区间．题型一 利用导数求实际问题的最小值【例题1】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 分析：根据题设条件构造函数关系，再应用导数求最值．反思：解答一道应用题重点要过三关：事理关(需要读懂题意，知道讲的是什么事件)；文理关(需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系)；数理关(要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，进而借助数学知识进行解答)．对于这类问题，往往因忽视了数学语言和普通语言的转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．题型二 利用导数求实际问题的最大值【例题2】如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD ＝2x ，梯形面积为S .(1)求面积S 以x 为自变量的函数关系式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．分析：建立坐标系，求出椭圆方程，表示出梯形的面积，应用导数求最值．反思：本题的关键是建立直角坐标系，得到椭圆方程x 2r 2＋y 24r2＝1(y ≥0)，进而得到梯形面积S ＝2(x ＋r )·r 2－x 2.利用导数法解决实际问题，当遇到在定义区间内只有一个点使f′(x )＝0的情形时，若函数在这一点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．题型三 易错辨析 易错点：在运用导数解决实际问题的过程中，常常因为忽略实际问题中函数的定义域而造成结果求解错误．解决问题的主要措施为：在准确理解题意的基础上，正确建模，在实际问题的定义域范围内求出问题的最优解．【例题3】某厂生产一种机器，其固定成本(即固定投入)为0.5万元．但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售收入(单位：万元)函数为R (x )＝5x －12x 2(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)．(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？错解：(1)y ＝R (x )－C (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫5x －12x 2－(0.5＋0.25x )＝－12x 2＋194x －12(0≤x ≤5)． (2)y′＝－x ＋194，令y′＝0，得x ＝194＝4.75，∴4.75必为最大值点．∴年产量为475台时，工厂利润最大．1将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )． A ．2和6 B ．4和4C ．3和5D ．以上都不对 2用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )．A ．6 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm3某车间要靠墙壁盖一间长方形小屋，现有砖只够砌20 m 长的墙壁，则应围成长为________ m ，宽为________ m 的长方形才能使小屋面积最大．4做一个容积为256的方底无盖水箱，当它的高为________时，最省材料． 答案：基础知识·梳理(2)f′(x )＝0 (3)端点【做一做1－1】B 设矩形的一边长为x ，则另一边长为2R 2－x 2，周长l ＝2x ＋4R 2－x 2(0＜x ＜R )，∴l ′＝2－4xR 2－x2，令l ′＝0，得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去)，当0＜x ＜55R 时，l ′＞0；当55R ＜x ＜R 时，l ′＜0，所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即矩形周长最大时边长为55R 和455R . 【做一做1－2】以S 为边长的正方形 设矩形的一边长为x ，则另一边长为Sx，周长f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋S x ，f′(x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－S x2，令f′(x )＝0，得x ＝S ，易知当x ＝S 时，f (x )有极小值，也就是最小值．典型例题·领悟【例题1】解：(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5，又C (0)＝8，∴k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用C 1(x )＝6x ，从而隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10) (2)f′(x )＝6－2 400x ＋2，令f′(x )＝0，即2 400x ＋2＝6，得x 1＝5，x 2＝－253(舍去)，当0＜x ＜5时，f′(x )＜0，当5＜x ＜10时，f′(x )＞0，故5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70，即当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．【例题2】解：(1)依题意，以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系(如图所示)，则点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标y 满足方程x 2r 2＋y 24r2＝1(y ≥0)，即y ＝2r 2－x 2(0＜x ＜r )．S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )·r 2－x 2，其定义域为{x |0＜x ＜r }．(2)记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2)，0＜x ＜r ，则f′(x )＝8(x ＋r )2(r －2x )． 令f′(x )＝0，得x ＝12r .因为当0＜x ＜r2时，f′(x )＞0；当r2＜x ＜r 时，f′(x )＜0， 所以f (12r )是f (x )的最大值．因此，当x ＝12r 时，S 也取得最大值，最大值为f12r ＝332r 2.故梯形面积S 的最大值为332r 2.【例题3】错因分析：实际问题中，该厂生产的产品数量不一定在500台之内(含500台)，应有x ＞5的情况，错解忽视了此种情况，就出现了错误．正解：(1)利润y ＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫5x －x 22－＋0.25x x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫5×5－522－＋0.25xx ＞，＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋4.75x －x，12－0.25x x ＞(2)0≤x ≤5时，y ＝－12x 2＋4.75x －0.5，∴当x ＝4.75时，y max ≈10.78(万元)；当x ＞5时，y ＝12－0.25x ＜12－0.25×5＝10.75(万元)． ∴年产量是475台时，工厂所得利润最大． 随堂练习·巩固1．B 设其中一个数为x ，则另一个数为8－x ，y ＝x 3＋(8－x )3，0≤x ≤8，y′＝3x2－3(8－x )2，令y′＝0即3x 2－3(8－x )2＝0，得x ＝4.当0≤x ＜4时，y′＜0；当4＜x ≤8时，y′＞0.所以当x ＝4时，y 最小．2．B 设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3，由题意，得V ＝x (48－2x )2(0＜x ＜24)，V ′＝12(24－x )(8－x )．令V ′＝0，则在区间(0,24)内有解x ＝8，故当x ＝8时，V 有最大值．3．10 5 设长为x m ，宽为y m ，则x ＋2y ＝20，y ＝10－x2.S ＝x ·y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2＝10x－x 22，S ′＝10－x ，令S ′＝0，得x ＝10，∴x ＝10，y ＝5.4．4 设方底无盖水箱的底面边长为a ，高为h ，则V ＝a 2h ＝256，即h ＝256a2.用料最省，即表面积最小．S 表＝S 底＋S 侧＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a 256a 2＝a 2＋1 024a .S ′＝2a －1 024a2.令S ′＝0，得2a －1 024a 2＝0，解得a ＝8，此时h ＝25664＝4.。
高中数学新人教版B版精品教案《1.3.3 导数的实际应用》
课题：《生活中的优化问题举例》（教学设计）教材：普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2（人教A版）第一章《导数及其应用》第节顺义区第二中学任小磊一、教学目标：１、知识与技能：了解生活中常见的优化问题能够将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的基本思路进一步提高学生应用数学知识解决实际问题的能力２、过程与方法：经历将生活中的优化问题转化为数学中的最值问题，使学生在自主探究与合作交流中体会数学建模的过程，从而更好的理解和掌握数学建模的基本思想运用图形计算器绘制函数图像，通过图像解决相关问题，使学生感受函数图像的直观与便捷３、情感、态度与价值观：提高学生数学知识的应用意识，激发学生学习数学的兴趣二、教学重点：利用导数解决生活中的优化问题．三、教学难点：把优化问题转化为数学中的求函数最值问题四、教学方法：启发、引导、讨论、小组合作五、教学资源：多媒体、几何画板、图形计算器、实物投影六、教学过程：教师引导：题目对海报的设计提出了新的要求，如何用数学语言描述出来？ 解：222x ≤+ 且8.164x256≥+ 解得函数8x256x 4)x (s ++=的定义域为[]20,10结合例1 的求解过程可知，函数在[]20,10为增函数，因此，当10x =是函数的最小值点思考2 ：若要求海报四周空白面积为144 dm 2, 你能提供几种设计海报的方案？教师引导：四周空白面积对应前面数学问题中的哪个量？解：解方程1448x256x 4=++ 解得：32x 或2x ==因此,在满足条件下，有两种设计海报的方案思考3：如果我们不用导数工具，直接观察函数的图像，你能回答前面几个问题吗？ 教师引导学生用函数图像解释上述问题三、总结反思：解决优化问题的基本思路（步骤）学生谈体会，总结解题步骤图像的能力培养学生养成在解题后归纳总结的学习习惯四、课堂小结:1、总结解决优化问题的一般步骤，强调关键步骤2、引导学生谈本节课的收获五、布置作业：课本：37页习题组1、2、6题 六、板书设计：§生活中的优化问题举例总结步骤： 例题： 思考1：思考2：利用导比较极值建立数学模型 写出函数解析式优化问题得到最优解答案得到函数的极值，最值还原问读题、审题 找出已知、未知。
教学设计1：3.3.3 导数的实际应用
3.3.3 导数的实际应用【教材分析】（一）三维目标（1）知识与技能使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；（2）过程与方法提高将实际问题转化为数学问题的能力（3）情感、态度与价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
（二）教学重点利用导数解决生活中的一些优化问题。
（三）教学难点利用导数解决生活中的一些优化问题。
（四）教学建议本节课解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需要先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式。
一般来说，对于实际问题还需要注明变量的取值范围。
【教学过程】一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128xdm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++>。
课件3：1.3.3导数的实际应用
值点又是函数的最大值点． 答案：6
5．某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件， 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品 件数与商品单价的降低值 x(单位：元，0≤x≤30)的平方 成正比，已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
[活学活用] 甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速 度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元) 关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝19 1200v4－1160v3＋ 15v， (1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此 时运输成本的最小值．
[类题通法] 利润问题相关的变量比较多，如：成本、固定投入、生 产投入、产品价格、销售量、利润等，正确寻找这些变量间 的关系，准确写出函数解析式是解决问题的关键．
[活学活用]
某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产
品的价格p(元/吨)之间的关系式为p＝24
200－
1 5
x2，且生产x
解：(1)若商品降价 x 元，则多卖的商品数为 kx2 件，由题 意知 24＝k·22，得 k＝6. 若记商品在一个星期的获利为 f(x)， 则依题意有 f(x)＝(30－x－9)·(432＋6x2) ＝(21－x)(432＋6x2)， 所以 f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]． (2)根据(1)有 f′(x)＝－18x2＋252x－432 ＝－18(x－2)(x－12)．
20-21版：1.3.3 导数的实际应用（创新设计）
1.3.3 导数的实际应用
4
故当 x＝2c时,f(x)有最大值 f(2c)＝c42,即两个正数的积不大于这 两个正数的和的平方的14.
a＋b2 若设这两个正数分别为 a,b,则有 4 ≥ab(a>0,b>0),即
a＋b 2 ≥ ab(a,b>0),当且仅当 a＝b 时等号成立.
1.3.3 导数的实际应用
1.3.3 导数的实际应用
11
又设当船的速度为每小时 v 海里时,航行 1 海里所需的总费用 为 q 元,那么每小时所需的总费用是 0.006v3＋96(元),而航行 1 海里所需时间为1v小时,所以,航行 1 海里的总费用为： q＝1v(0.006v3＋96)＝0.006v2＋9v6(v>0).
第一章——
1.3.3 导数的实际应用
学习目标
1.通过实例体会导数在解决实际问题中的作用. 2.能利用导数解决实际问题. 3.提高学生综合运用导数知识解题的能力,培养化归转化的 意识.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 课前预习 2 课堂互动 3 课堂反馈
自主学习，积淀基础 题型剖析，互动探究 自主反馈，检测成效
1.3.3 导数的实际应用
14
解 设广告的高和宽分别为x cm,y cm, y－25
则每栏的高和宽分别为 x－20 cm, 2 cm,
其中x>20,y>25. y－25
两栏面积之和为 2(x－20)· 2 ＝18 000,
由此得 y＝1x8－02000＋25(x>20). 广告的面积 S＝xy＝x1x8－02000＋25＝1x8－00200x＋25x(x>20),
1.3.3 导数的实际应用
15
人教B版选修2-2高中数学1.3.3《导数的实际应用》word教案
1.3.3导数的实际应用【教学目标】利用导数解决实际问题中的最优化问题，掌握建立数学模型的方法，形成求解优化问题的思路和方法.【教学重点】实际问题中的导数应用 【教学难点】数学建模一、课前预习：1.利用导数求函数极值和最值的方法：2.自主学习教材31页例1、例2，总结利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：例1 有一块边长为a 的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形的边长应为多少？例2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面的高的平方与宽的积成正比，要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系)(x f y =；（2）求函数的导数)(/x f ，解方程0)(/=x f ；（3）比较函数在区间端点和使0)(/=x f 的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值。
二、课上学习：1.已知某厂生产x 件产品的成本为240120025000x x c ++=（元）。
（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？三、课后练习：1．圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径怎样选择，才能使所用材料最省？海报版面尺寸的设计3．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，它的版心面积为1282dm ，上下两边各空2dm ，左右两边各空1dm ，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？4．如图：用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为2m a ，为使所用材料最省，底宽应为多少？高考连接：1.（20XX 年高考（重庆理））设函数()f x 在R 上可导,其导函数为(1)()y x f x '=-的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f2.（20XX 年高考（陕西理））设函数()x f x xe =,则A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点3.（20XX 年高考（山东理））设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”是 “函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知函数c bx ax x x f +++=23)(，下列结论中错误的是( )A.0)(,00=∈∃x f R xB.函数)(x f y =的图象是中心对称图形C.若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间(－∞,0x )单调递减D.若0x 是)(x f 的极值点，则0)(0='x f5.(2013·广东卷) 若曲线x kx y ln +=在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________．6.(2013·江西卷)设函数()f x 在(0，＋∞)内可导，且x x e x e f +=)(，则=')1(f ________.7.(2013·北京卷)设L 为曲线C ：x xy ln =在点(1，0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．8.(2013·重庆卷)设x x a x f ln 6)5()(2+-=，其中R a ∈，曲线)(x f y =在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0，6)．(1)确定a 的值；(2)求函数()f x 的单调区间与极值．9.（20XX 年高考（福建理））已知函数2()()x f x e ax ex a R =+-∈.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)试确定a 的取值范围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .10.（20XX 年高考（北京理））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.11.（20XX 年高考（安徽理））(本小题满分13分)设1()(0)x xf x ae b a ae =++> (I)求()f x 在[0,)+∞上的最小值;(II)设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =;求,a b 的值.。
导数的实际应用教案
1.3.3 导数的实际应用【学习要求】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【学法指导】1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的 最佳方案 _或最佳策略 ．这些都是最优化问题． 2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的数学模型 ．写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f(x)，然后再利用导数研究函数的最值 . 题型一 面积、体积的最值问题 例1 如图所示，现有一块边长为a 的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？解 设截下的小正方形边长为x ，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a －2x ，高为x ，于是V(x)＝(a －2x)2x,0<x<a 2.即V(x)＝4x 3－4ax 2＋a 2x,0<x<a 2. 实际问题归结为求V(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2上的最大值点．为此，先求V(x)的极值点． 在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2内，V′(x)＝12x 2－8ax ＋a 2.令V′(x)＝0，即令12x 2－8ax ＋a 2＝0.解得x 1＝16a ，x 2＝12a(舍去)． x 1＝16a 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2内，x 1可能是极值点．且当0<x<x 1时，V′(x)>0；当x 1<x<a 2时，V′(x)<0. 因此x 1是极大值点，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2内，x 1是唯一的极值点，所以x ＝x 1＝16a 是V(x)的最大值点． 即当截下的正方形边长为16a 时，容积最大． 小结 求几何体的面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，选择适当的量建立关于面积或体积的目标函数，然后利用导数求解．跟踪训练1 已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．解 如图，设矩形边长AD ＝2x(0<x<2)，则AB ＝y ＝4－x 2(y>0)，则矩形的面积S ＝2x(4－x 2)(0<x<2)，即S ＝8x －2x 3，S′＝8－6x 2，令S′＝0，解得x 1＝233，x 2＝－233(舍去)． 当0<x<233时，S′>0；当233<x<2时，S′<0； ∴当x ＝233时，S 取得最大值，此时S 最大值＝3239，即矩形边长分别为433，83时，矩形面积最大． 题型二 强度最大、用料最省问题例2 横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？解 如图所示，设断面宽为x ，高为h ，则h 2＝d 2－x 2.横梁的强度函数f(x)＝kxh 2(k 为强度系数，k>0)，所以f(x)＝kx(d 2－x 2)，0<x<d.在开区间(0，d)内，令f′(x)＝d(d 2－3x 2)＝0.解方程d 2－3x 2＝0，得两个根x ＝±33d ，其中负根没有意义，舍去． 当0<x<33d 时，f′(x)>0；当33d<x<d 时，f′(x)<0. 因此，在区间(0，d)内只有一个极大值点x ＝33d.所以f(x)在x ＝33d 取最大值，就是横梁强度的最大值．此时h ＝d 2－x 2＝63d.即当宽为33d ，高为63d 时，横梁的强度最大． 小结 最大流量、最大强度、最大功率等，要注意不同的问题背景，计算式子也会有相应的区别．要结合问题本身的特点，根据题目的条件(或是已知的式子)进行．为了解决问题，可能要引入多个字母，在求导的过程中，一定要分清哪些是变量，哪些是常量，只有这样才能保证有的放矢． 跟踪训练2 挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m 2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？解 如图，设半圆的半径为r ，矩形的高为h ，则截面积S ＝2rh ＋πr 22＝20， 截面周长C ＝2r ＋2h ＋πr＝2r ＋20－πr 22r ＋πr＝2r ＋20r －πr 2＋πr ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π2r ＋20r ，记C(r)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π2r ＋20r ，则C′(r)＝2＋π2－20r 2. 令C′(r)＝0，得r ＝2104＋π时，周长C 最小．即宽为4104＋π时，截面周长最小，用料最省． 题型三 省时高效、费用最低问题例3 如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B 的距离是150 km.在岸边距点B300 km 的点A 处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A 与B 之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50 km ，船时速为30 km ，试在岸边选一点C ，先将军需品用火车送到点C ，再用轮船从点C 运到海岛，问点C 选在何处可使运输时间最短？解 设点C 与点B 的距离为x km ，则运输时间T(x)＝1502＋x 230＋300－x 50，0≤x≤300. 因为(1502＋x 2)′＝x 1502＋x 2，所以T′(x)＝x 301502＋x 2－150.令T′(x)＝0，则有5x －31502＋x 2＝0， 5x ＝31502＋x 2，25x 2＝9(1502＋x 2)．解此方程，得x ＝±9×15024＝±3×1504＝±112.5.舍去负值，取x ＝x 0＝112.5. 因为T(0)＝15030＋30050＝11，T(300)≈11.2，T(112.5)＝1502＋112.5230＋187.550＝10，而10是11,11.2和10中的最小者，所以x ＝x 0＝112.5是最小值点．所以点C 选在与点B 的距离为112.5 km 处，运输时间最省．小结 路程最短、运输费用最省问题，实质就是路程、时间、速度三者的关系问题，建立在时间与速度的基础上产生路程，根据路程产生运输费用最少或是油耗最小．本题运算较麻烦，重点训练复合函数的求导法则．跟踪训练3 如图所示，设铁路AB ＝50，BC ＝10，现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？解 设M 为AB 上的一点，且MB ＝x ，于是AM 上的运费为2(50－x)，MC 上的运费为4102＋x 2，则由A 到C 的总运费为p(x)＝2(50－x)＋4100＋x 2(0≤x≤50)．p′(x)＝－2＋4x 100＋x2，令p′(x)＝0，解得x 1＝1033，x 2＝－1033(舍去)． 当x<1033时，p′(x)<0；当x>1033时，p′(x)>0，∴当x ＝1033时，取得最小值． 即当在离点B 距离为1033的点M 处修筑公路至C 时，货物运费最省． 题型四 利润最大问题例4 某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x －9)·(432＋kx 2)＝(21－x)·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k·22，于是有k ＝6，所以f(x)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x∈[0,30]．(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f(x)与f′(x)的变化状态如下表：故x ＝12时，f(x)达到极大值．因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．小结 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练4 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x<6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，所以a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x<6. 从而，f′(x)＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：由上表可得，x ＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x ＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.课堂练习：1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为 ( A )A ．4B ．6C ．4.5D ．8解析 设底面边长为x ，高为h ，则V(x)＝x 2·h＝256，∴h＝256x2， ∴S(x)＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S′(x)＝2x －4×256x 2.令S′(x)＝0，解得x ＝8，∴h＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为多少？解：依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x<0.048 6)，则y′＝0.097 2kx －3kx 2.令y′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)．当0<x<0.032 4时，y′>0；当0.032 4<x<0.048 6时，y′<0. 所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升， 依题意得h(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x≤120)， h′(x)＝x 640－800x 2＝x 3－803640x2(0<x≤120)．令h′(x)＝0，得x ＝80.因为当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； 当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，所以当x ＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．课堂小结：1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)找关系：分析实际问题中各量之间的关系；(2)列模型：列出实际问题的数学模型；(3)写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(4)求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(5)比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(6)结论：根据比较值写出答案．2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。
高中数学新人教版B版精品教案《1.3.3 导数的实际应用》
导数的综合应用北师大四附中李淑芳一、教学背景分析1、教学内容分析：本节课教材选自人教A版数学选修2-2第一章第三小节，本节课是在前面学习过导函数的计算和用导函数会求函数的极值最值的基础作上，对导数的综合运用。
本教学设计面向高考，注重能力提升，突出低起点、小台阶、层层递进，通过将证明曲线在切线上方的几何问题，转化为代数不等式问题，进一步转化为运用导数研究函数的单调性或最值问题，培养学生化归与转化的能力，来提高学生数形结合分析问题和解决问题的能力，感悟数形结合、由一般到特殊再由特殊到一般的思想和方法。
通过切点附近曲线上函数值和切线上函数值的大小比较，让学生体会近似计算的思想。
本节内容学习对提高学生分析问题解决问题有着质的飞越，对后面学习用导数解决函数的综合问题具有重要的意义与作用。
2、学生情况分析:学生已经掌握了导数的概念和导数的计算，运用导数会求函数的单调区间极值和最值, 但如何将曲线的位置关系转化为函数不等式问题，学生有一定困难。
二、教学目标及重点难点1、教学目标: 根据教材的具体内容和学生的认知心理，确定教学目标如下：①会运用导数求曲线的切线方程和极值，会运用导数探究曲线之间的位置关系，会利用代数不等式比较函数值的大小。
②通过将证明曲线在切线上方的几何问题，转化为代数不等式问题，进一步转化为运用导数研究函数的单调性或最值问题，培养学生化归与转化的能力，来提高学生数形结合分析问题和解决问题的能力，体会数形结合、由一般到特殊再由特殊到一般的思想和方法。
通过切点附近曲线上函数值和切线上函数值的大小比较，让学生体会近似计算的思想。
③在应用导数研究函数问题时，培养学生规范的书写习惯，提升学生的数学运算和逻辑推理的数学素养。
2、教学重点：导数的综合应用3、教学难点：运用导数解决函数问题时问题的化归与转化三、教学方式：讲练结合法：通过课堂典型例题的讲授和板书，让学生进一步落实导数的几何意义和函数极值的求法，规范学生的解题步骤，陪养学生良好地解题习惯。
人教版高中选修(B版)1-13.3.3导数的实际应用教学设计
人教版高中选修(B版)1-13.3.3导数的实际应用教学设计
一、教学目标
1.了解导数的概念和定义，掌握求导数的基本方法；
2.学习导数的实际应用——求函数在某一点的切线方程和极值问题；
3.培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
二、教学重难点
1.理解导数的实际含义和应用；
2.掌握求解函数在某一点的切线方程和极值问题的方法。
三、教学内容及安排
1. 导数的实际应用
（1）求函数在某一点的切线方程
1.利用导数的定义求解切线斜率；
2.利用已知导数或导函数求解切线斜率；
3.利用点斜式求解切线方程。
（2）极值问题
1.利用导数判定函数极值；
2.利用求导法求解函数极值；
3.引入拉格朗日中值定理，深化对函数极值的理解。
2. 教学方法
1.讲解法：通过教师讲解，引导学生理解导数的概念和定义，掌握求导
数的基本方法；
2.案例分析法：通过分析实际问题，引导学生理解导数的实际应用；
3.解题讲解法：通过解题的方式，引导学生掌握求解切线方程和极值问
题的方法。
四、教学评价
1.通过课堂练习检查学生掌握情况，通过评价实际应用的实验情况，检
查学生数学建模能力的提高情况；
2.给学生布置一定量的练习题目和实际问题，并进行评价。
五、教学反思
1.教学中注重基本概念与方法，让学生掌握基本技能，为后续的深入学
习打好基础；
2.在教学过程中，应尽可能考虑到实际应用的问题，注重培养学生的数
学建模能力；
3.在教学结束后，应及时组织学生进行复习和讨论，及时发现和纠正问
题，提高教学效果。
学案6：1.3.3 导数的实际应用
1.3.3 导数的实际应用课堂导学三点剖析 一、利润最值例1 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为p =24 200-51x 2，且生产x 吨的成本为R =50 000+200x 元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？ 温馨提示用导数解应用题，求最值一般方法是求导，使导数等于0，求y ′=0的根，求出最值点，最后写出解答. 二、生活中的优化问题例2 已知某厂生产x 件产品的成本为c =25 000+200x +401x 2(元). （1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？三、导数在生活中优化问题的应用例3 如图所示，水渠横断面为等腰梯形.（1）若渠中流水的横断面积为S，水面的高为h，当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？（2）若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a，当水渠侧边倾斜角Φ多大时，水流的横断面积为最大？各个击破类题演练1已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时（8＜v≤v0）.若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v=12千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？变式提升1某种型号的电器降价x成（1成为10%），那么销售数量就增加mx成（m∈R+）.(1)某商店此种电器的定价为每台a元，则可以出售b台.若经降价x成后，此种电器营业额为y元，试建立y 与x 的函数关系，并求m =45时，每台降价多少成其营业额最大？类题演练 2 用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱.问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？变式提升2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？类题演练3 如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积成反比.现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？变式提升3 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？参考答案例1 解：每月生产x 吨时的利润为 f (x )=(24 200-51x 2)x -(50 000+200x )=-51x 3+24 000x -50 000(x ≥0)， 由f ′(x )=53-x 2+24 000=0，解得x 1=200，x 2=-200（舍去）.因f (x )在［0，+∞)内只有一个点x =200使f ′（x ）=0， 故它就是最大值点，且最大值为 f (200)=-51(200)3+24 000×200-50 000=3 150 000. 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.例2 解：本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解. （1）设平均成本为y 元，则y =4020025000401200250002x x x xx ++=++(x ＞0)， y ′=4025000)4020025000(2x x x x +-='++. 令y ′=0，得x 1=1 000，x 2=-1 000(舍去). 当在x =1 000附近左侧时，y ′＜0； 在x =1 000附近右侧时，y ′＞0； 故当x =1 000时，y 取得极小值.由于函数只有一个点使y ′=0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品.(2)利润函数为L =500x -(25 000+200x +402x )=300x -25 000-402x .∴L ′=(300x -25 000-402x )′=300-20x.令L ′=0，得x =6 000，当x 在6 000附近左侧时，L ′＞0； 当x 在6 000附近右侧时L ′＜0，故当x =6 000时，L 取得极大值.由于函数只有一个使L ′=0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产6 000件产品.例3 解：（1）依题意，侧边BC =h ·（sin θ）-1，设下底AB =x ，则上底CD =x +2h cot θ， 又S =21（2x +2h cot θ）h =(x +h cot θ)h ，∴下底x =Sh -h cot θ， ∴横断面被水浸湿周长 l =2S 2cos +(-cot )=-+sin sin Φsin θθθθh h h s h h h (0＜θ＜π2). ∴l ′Φ=22-2cos +sin sin θθθh h.令l ′θ=0，解得cos θ=21，∴θ=π3.根据实际问题的意义，当θ=π3时，水渠横断面被水浸湿的周长最小. （2）设水渠高为h ，水流横断面积为S ，则 S =21（a +a +2a cos θ）·h =21(2a +2a cos θ)·a sin θ=a 2(1+cos Φ)·sin θ(0＜θ＜π2).∴S ′=a 2［-sin 2θ+(1+cos θ)cos θ］=a 2(2cos Ф-1)(cos Φ+1). 令S ′=0，得cos θ=21或cos θ=-1（舍），故在（0，π2）内，当θ=π3时，水流横断面积最大，最大值为S =a 2(1+cosπ3)sin π3=434.类题演练 1 解：设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k (k ＞0)，则y 1=kv 2，当v =12时，y 1=720. ∴720=k ，122，得k =5.设全程燃料费为y ，由题意y =81000820021-=-•v v v y ∴2222)8(160001000)8(1000)8(2000--=---='v v v v v v v y .令y ′=0，∴v =16.∴当v 0≥16时，v =16时全程燃料费最省；当v 0＜16时，即v ∈(8，v 0)时y ′＜0，即y 在（8，v 0］上为减函数，∴当v =v 0时，y min =8100002-v v .综上，当v 0≥16时， v =16千米/时全程燃料费最省，为32 000元；当v 0＜16时，则v =v 0时全程燃料费最省，为8100002-v v .变式提升 1 解：由条件知降价后的营业额为y =a (1-x )b (1+mx )=ab ［-mx 2+(m -1)x +1］.∴当m =45时，y =ab (45-x 2+41x +1). ∴y ′=ab (25-x +41).令y ′=0，∴x =101，即x =101时，y max =8081ab ，即降价0.1成时，营业额最大.类题演练 2 解：设水箱底边长为x cm ，则水箱高为 h =60-2x(cm). 水箱容积V =V （x ）=x 2h =60x 2-23x(0＜x ＜120)(cm 3). V ′(x )=120x -23x 2. 令V ′（x ）=0，得x =0(舍)或x =80.当x 在（0，120）内变化时，导数V ′（x ）的正负如下表：因此在x =80处，函数V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是函数V （x ）的最大值. 将x =80代入V （x ），得最大容积 V =802×60-2803=128 000 (cm 3). 答：水箱底边长取80 cm 时，容积最大.其最大容积为128 000 cm 3.变式提升2 解：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，则表面积S =2πRh +2πR 2，由V =πR2h ，得h =2R V π，则S （R ）=2πR ·2RV π+2πR 2=R V 2+2πR 2.令S ′(R )=R V 2+4πR =0，得R 而h =2R Vπh =2R ，所以当罐的高与底直径相等时，所用材料最省.类题演练3 解：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k ＞0为比例系数.依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小. 根据题设，有4b +2ab +2a =60(a ＞0，b ＞0) 得b =aa+-230(0＜a ＜30)， 于是y =ab k =2230)2(230a a a k aa a k -+=+-， ∵y ′=222)30()2300)(2()30(a a a a k a k ---+--=0时，a =6或a =-10（舍去）. 由于本题只有一个极值点，故a =6，b =3为所求. 变式提升3 解：设∠BCD =θ，则BC =θsin 40，CD =40·cot θ(0＜θ＜2π)， ∴AC =50-40cot θ.设总的水管费用为f (θ).依题意，有f (θ)=3a (50-40·cot θ)+5a ·θsin 40=150a +40a ·θθsin cos 35-.∴f ′(θ)=40a ·θθθθθθθ22sin cos 5340sin ))(sin cos 35(sin )cos 35(-•='--'-a . 令f ′(θ)=0，得cos θ=53.根据问题的实际意义，当cos θ=53时，函数取得最小值，此时，sin θ=53，∴cot θ=43.∴AC =50-40cot θ=20(km)，即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.。
1.3.3导数的实际应用
1.3.3 导数的实际应用一、学习目标：1、了解利用导数解决最优化问题的步骤；2、会利用导数求解有关函数的最值的实际问题。
二、知识梳理1、最优化问题在经济生活中，为使经营利润、生产效率，或为使用力、用料、消耗等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题．2.解决实际应用问题的步骤：读题(文字语言)⇒建模(数学语言)⇒求解(数学应用)⇒反馈(检验作答).三、典型例题题型一面积、体积的最值问题例1：有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器。
为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？跟踪训练1：等腰三角形的周长是2p,它围绕底边旋转一周成一几何体，问三角形的各边长分别是多少时，几何体的体积最大？题型二强度最大、用料最省、费用最低问题例2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？题型三利润最大问题例3某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？四、课后练习1、某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产()A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台2、将长为72厘米的铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，问铁丝应怎样截法？3、做一个容积为216mL的圆柱形封闭容器，高与底面直径为何值时，所用材料最省？4、如图所示，设铁路AB ＝50，BC ＝10，现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？5、在等腰梯形ABCD 中，设上底40CD = ，腰40AD =，问AB 多长时，等腰梯形的面积最大？（提示：设A θ∠= ）。
学案8：1.3.3 导数的实际应用
1.3.3 导数的实际应用情景导入低碳生活(lowcarbon life)可以理解为减少二氧化碳的排放，就是低能量、低消耗、低开支的生活．低碳生活节能环保，势在必行．现实生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长． 如何使汽油的使用效率最高？知识链接1.求可导函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤(1)求f (x )在开区间(a ，b )内所有使________＝0的点．(2)计算函数f (x )在区间内使______＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为______，最小的一个为______．2．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定是函数的最大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f (x )＝1x在区间[－1,1]上有最值．( ) 教学预习一、最优化问题在经济生活中，为使经营利润最大，生产效率最高或为使用料最省，消耗最少等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这都是最优化问题．注意：(1)最优化问题有时也可以称为最值问题，解决与函数最值有关的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系式，并确定函数的定义域．(2)解决最优化问题的方法很多，如判别式法、基本不等式法、线性规划的方法及利用函数的性质法等．不少最优化问题可以化为求函数的最值问题，而导数方法是解决这类问题的有效方法．即学即练1 货车欲以x km/h 的速度行驶到130km 远的某地．按交通法则，车辆行驶速度的允许范围是50≤x≤100.假设汽油的价格为2元/L，而汽车耗油的速率是(2＋x2360)L/h，司机的工资是14元/h，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？二、利用导数解决生活中优化问题的步骤(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)，再根据实际问题确定函数y ＝f(x)的定义域．(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0，求出定义域内所有的实数根．(3)通过单调性确定出函数的最值点及最值．注意：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；(2)在解决实际最优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围，即函数的定义域．即学即练2 将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截能使正方形与圆的面积之和最小？三、解决最优化问题的类型与注意问题1．利用导数解决最优化问题的基本思路：在日常生活、生产建设和科技活动中，做一件事总要付出一定的代价，也总想取得一定的效果，在付出代价一定的条件下，我们总想取得最好的效果；在预期效果确定的情形下，我们总想只付出最小的代价．2．生活中的最优化问题常见类型存在以下几类：(1)利润最大问题，首先要找到销售价格、销售数量，由此可得销售收入，然后看单件成本及总成本，最后求得产生利润函数．(2)用料最省问题，主要考虑几何体的侧面积，当然，要结合具体问题，看看上方有没有盖，下方有没有底，这些细节往往隐含在问题之中．用料最省往往也会以工程造价最低(不同的面造价会不同，实际问题可能要分开计算)的形式与大家见面．(3)容积最大问题．此类问题实际上是体积问题，首先要明白条件的给出方式，可能会将重要条件(比如：多面体的长、宽、高；旋转体的底面半径、高等)隐藏在表面积之中，其次，要注意几何体的特征，当几何体不规范时，可能还要进行“割”与“补”的技术处理．(4)效率最大问题．首先要清楚效率是如何求出的：效率＝产量时间，然后要紧紧抓住产量与生产时间，通过这个比产生结论．(5)增长率(最大或最小)问题．首先要抓住增长率＝现产量原产量－1，然后逐步求出原产量与现产量，最后得出结论．(6)运输费用最省问题．其实此类问题就是路程、时间、速度三者的关系问题，建立在时间与速度的基础上产生路程，根据路程产生运输费用最少或是油耗最小．即学即练3 某单位用木料制作如图所示框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积为8m 2，问x ，y 分别为多少(精确到0.001m)时用料最省？命题方向1 费用最省问题例1 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v≤ v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v＝12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？注意解决费用最省问题，也是导数的一个重要应用．解决这类问题，首先要选取合适的量为自变量，并确定其取值范围，然后将费用表示为自变量的函数，再利用导数求最值，使问题得到解决．跟踪训练1 统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为y＝1128000x3－380x＋8(0≤x≤120)，已知甲、乙两地相距100km.(1)当汽车以40 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？命题方向2 面积、体积最大问题例2 已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长．方法总结本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长．跟踪训练2 某村庄似修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V平方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．命题方向3 实际应用问题例3 水库的蓄水量随时间而变化．现用t表示时间，以月为单位，年初为起点．根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)＝{(−t2+14t−40)e 14t+50，0<t≤10，4(−10)(3t−41)+50,10<t≤12.(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期．以i表示第i月份(i＝1,2，…，12)，问一年内哪几个月份是枯水期？(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e＝2.7计算)．方法总结本题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题的能力．跟踪练习3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m m，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x m的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640 m 时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？参考答案知识链接1.(1)f ′(x ) (2)f ′(x ) 最大值 最小值2.(1)× (2)√ (3)×即学即练1 解：汽车运行的时间为130x h ，耗油量为130x ·(2＋x 2360)L ，耗油费用为2·130x·(2＋x 2360)元，司机的工资为14·130x元． 故这次行车的总费用为y ＝2·130x ·(2＋x 2360)＋14·130x ＝130(x 180＋18x )，所以y ′＝130(1180－18x 2)． 令y ′＝0，解得x ＝1810或x ＝－1810(舍去)．因为50≤x ≤100，所以x ＝1810≈57km/h.故最经济的车速为57km/h ，最低费用为130×(1810180＋181810)≈82.2元． 即学即练2 解：设弯成圆的一段铁丝长为x (0<x <100)，则另一段长为100－x ，从而正方形的边长为100－x 4，圆的半径r ＝x 2π， 记正方形与圆的面积之和为S ， 所以S ＝π(x 2π)2＋(100－x 4)2＝x 24π＋10000－200x ＋x 216(0<x <100)， 则S ′＝x 2π＋x －1008.令S ′＝x 2π＋x －1008＝0，解得x ＝100π4＋π. 当0<x <100π4＋π时，S ′<0；当100π4＋π<x <100时，S ′>0. 所以当x ＝100π4＋π，即弯成圆的一段铁丝长为100π4＋πcm 时， 正方形与圆的面积之和最小．即学即练3 解：依题意，有xy ＋12·x ·x 2＝8， 所以y ＝8－x 24x ＝8x －x 4(0<x <42)． 于是框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2·2x 2＝(32＋2)x ＋16x ，l ′＝32＋2－16x2. 令l ′＝0，即32＋2－16x2＝0， 解得x 1＝8－42，x 2＝42－8(舍去)．当0<x <8－42时，l ′<0；当8－42<x <42时，l ′>0.所以当x ＝8－42时，l 取得最小值，此时，x ＝8－42≈2.343(m)，y ≈2.828(m)．即当x 约为2.343m ，y 约为2.828m 时，用料最省．命题方向1 费用最省问题例1 解：设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k ，则y 1＝kv 2.当v ＝12时，y 1＝720，∴720＝k ·122解得k ＝5，∴y 1＝5v 2.∴全程的燃料费y ＝y 1·200v －8＝1000v 2v －8(8<v ≤v 0)． y ′＝2000v (v －8)－1000v 2(v －8)2＝1000v 2－16000v (v －8)2. 令y ′＝0得v ＝16或v ＝0(舍去)．所以函数v ＝16时取得极值，并且是极小值．当v 0≥16时，v ＝16使y 最小．即全程燃料费最省．当v 0<16时，可得y ＝1000v 2v －8在(8，v 0]上递减， 即当v ＝v 0时，y min ＝1000v 20v 0－8. 综合上述得：若v 0≥16，当v ＝16km/h 时，全程燃料费最省；若8<v 0<16，则当v ＝v 0时，全程燃料费最省．跟踪训练1 解：(1)当x ＝40 km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5 h ， 要耗油⎝⎛⎭⎫1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(L)． ∴当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5L.(2)当速度为x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了100xh ，设耗油量为h (x ) L ，依题意得 h (x )＝⎝⎛⎭⎫1128000x 3－380x ＋8×100x ＝11280x 2＋800x －154，h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0≤x ≤120)． 令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数．∴当x ＝80时，h (x )取得极小值．此时h (x )＝⎝⎛⎭⎫1128000×803－380×80＋8×54＝454＝11.25(L)． ∴当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L. 命题方向2面积、体积最大问题例2 解：设矩形边长AD ＝2x ，则|AB |＝y ＝4－x 2.∴矩形面积为S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)，即S ＝8x －2x 3.所以S ′＝8－6x 2.令S ′＝0，解得x 1＝23，x 2＝－23(舍去)． 当x <23时，S ′>0；当x >23时，S ′<0. 所以当x ＝23时，S 取得最大值， 此时，S 最大＝3239，y ＝83. 即矩形的边长分别为433，83时，矩形的面积最大． 跟踪训练 2 解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又根据题意200πrh ＋160πr 2＝12000π， 所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)． 因为r >0，又由h >0可得r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)， 所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)． 令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．∴当r ＝5时，V (r )＝V (5)＝200π(m 3)，此时h ＝8，即函数在该点取得最大值，故当r ＝5，h ＝8时，蓄水池的体积最大.命题方向3 实际应用问题例3 解：(1)①当0<t ≤10时，V (t )＝(－t 2＋14t －40) ＋50<50，化简得t 2－14t ＋40>0.解得t <4或t >10.又0<t ≤10，故0<t <4.②当10<t ≤12时，V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋50<50，化简得(t －10)(3t －41)<0.解得10<t <413. 又10<t ≤12，故10<t ≤12.综上得0<t <4或10<t ≤12.故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月．(2)由(1)易知，V (t )的最大值只能在(4,10)内达到．由(1)知V ′(t )＝ (－14t 2＋32t ＋4)＝－14(t ＋2)(t －8) 令V ′(t )＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去)．当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表：由上表，V (t )故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米．跟踪练习3 解：(1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝m x－1， 所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数，当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数．所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9， 故需新建9个桥墩才能使y 最小.。
人教B版高中数学选修2-2 1-3-3 导数的实际应用 教案
1.3.3 导数的实际应用一、教学目标1．知识和技能目标(1)研究使经营利润最大、用料最省、生产效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；(2)提高将实际问题转化为数学问题的能力．2．过程和方法目标通过学习使经营利润最大、用料最省、生产效率最高等优化问题，体会数学建模的方法和导数在解决实际问题中的作用．3．情感态度和价值观目标通过对生活中优化问题的探究过程，感受数学的应用价值，提高学习数学的兴趣，提高将实际问题转化为数学问题的能力．二、教学重点.难点重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用导数解决生活中的一些优化问题．三、学情分析学生已经初步学习了运用导数去研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。
本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力,让学生体会导数的工具作用。
四、教学方法师生互动探究式教学五、教学过程1．最优化问题生活中经常遇到求__________、__________、________等问题，这些问题通常称为最优化问题．2．用导数解决最优化问题的基本思路知识应用，深化理解题型一 面积、体积的最值问题例1、请你设计一个包装盒，如图1-3-9，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．图1-3-9(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【自主解答】 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm. 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.总结：1．解决面积、体积最值问题的思路要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．2．解决优化问题时应注意的问题(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f (x )在给定区间内只有一个极值点或函数f (x )在开区间上只有一个点使f ′(x )＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较． 题型二 用料最省、成本(费用)最低问题例2、位于A ，B 两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图1-3-11所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短．图1-3-11【自主解答】 设CD ＝x km ，则CE ＝(3－x )km. 则所需电线总长l ＝AC ＋BC ＝1＋x 2＋ 1.52＋－x2(0≤x ≤3)，从而l ′＝x1＋x 2－3－x 1.52＋－x2.令l ′＝0，即x1＋x 2－3－x 1.52＋－x2＝0，解得x ＝1.2或x ＝－6(舍去)．因为在[0,3]上使l ′＝0的点只有x ＝1.2，所以根据实际意义，知x ＝1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE 之间离点D 的距离为1.2 km 处时，所需电线总长最短． 总结：1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． 2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 六、当堂检测1．某箱子的体积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝⎛⎭⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为( ) A ．30 B ．40 C ．50D ．602．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为() A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．4．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台．5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思。
导数的实际应用教案
导数的实际应用教案第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以帮助我们理解函数的增减性、极值等性质。
1.2 导数的计算方法介绍导数的计算规则：常数函数的导数为0，幂函数的导数等。
讲解导数的运算法则：导数的四则运算、复合函数的导数等。
1.3 导数的应用解释导数在实际应用中的意义：例如，求解物体的速度、加速度等问题。
举例说明导数在实际问题中的应用：如优化问题、物理运动问题等。
第二章：导数与函数的增减性2.1 引入增减性的概念解释函数的单调递增和单调递减：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
2.2 利用导数判断函数的极值解释函数的极值概念：函数在某一点的导数为0，且在该点附近导数符号发生变化的点。
讲解如何利用导数判断函数的极值：通过导数的正负变化来确定函数的极大值和极小值。
2.3 应用实例分析举例说明如何利用导数判断函数的增减性和极值：如函数f(x) = x^3的增减性和极值分析。
第三章：导数与曲线的切线3.1 切线方程的导数表示解释切线的概念：函数在某一点的导数即为该点处的切线斜率。
推导切线方程的一般形式：y y1 = m(x x1)，其中m为切线斜率，(x1, y1)为切点坐标。
3.2 利用导数求解曲线的切线讲解如何利用导数求解曲线的切线：求出切点坐标，求出切线的斜率，写出切线方程。
3.3 应用实例分析举例说明如何利用导数求解曲线的切线：如函数f(x) = x^2的切线求解。
第四章：导数与函数的单调性4.1 单调性的定义与性质解释函数的单调性：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
强调单调性的重要性：单调性可以帮助我们理解函数的变化趋势。
4.2 利用导数判断函数的单调性讲解如何利用导数判断函数的单调性：通过导数的正负来确定函数的单调递增或递减区间。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 1.3.3 导数的实际应用》
导数的实际应用教学设计主要内容：本节是高三复习课《导数的应用》的第一课时，根据考纲要求，引导学生复习利用导数讨论函数的单调性、极值、最值等。
并利用导数研究三次函数的图像与性质，一方面培养学生分析问题、解决问题的能力，另一方面有关函数零点在导数中的应用考点分析：导数是高中数学的重要内容之一，也是高考的热点，每年的高考题中导数必出，而它又往往与解析几何、不等式、平面向量、三角函数等知识交汇，以压轴题的身份出现，所以这部分内容应引起我们的高度重视。
学生情况分析：此前学生已复习过导数的概念、几何意义、导数的运算等。
课前要求学生对利用导数讨论函数的单调性、极值、最值等概念进行预习。
教学目标：知识教学点：经过学习，学生能利用导数研究函数的图像、单调性、极值、最值等，掌握解题通法。
能力训练点：渗透数形结合的思想、分类讨论的思想、转化化归的思想等。
德育渗透点：培养学生严谨的学习态度，勇于探索敢于质疑的学习精神。
教学重点：1函数零点在导数中的应用2隐零点问题处理方法教学难点：1函数零点在导数中的应用2隐零点问题处理方法教法引导、练习法等学法：讨论、数形结合、转化与化归等教具准备：多媒体辅助教学教学过程设计一、课前学案希望你带着以下的问题学习。
1、本节课你学会了哪些知识点？掌握了哪些技能？2、你在学习的过程中，用到了哪些数学思想和方法？3、你是否能积极参与课堂，能善于思考，能勇于质疑，能条理的表达思考过程？（设计说明：让学生在听课的过程中学会小结，有意识养成小结的习惯，从而帮助学生理清知识结构，并从知识、能力、学习态度三方面给予有效引导。
）二、引言导数是高中数学的重要内容之一，也是高考的热点，每年的高考题中导数必出，而它又往往与解析几何、不等式、平面向量、三角函数等知识交汇，以压轴题的身份出现，所以这部分内容应引起我们的高度重视。
导数作为工具是一道亮丽的风景线。
那么，在高考中，“导数的应用”重点考查什么呢？重点考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，以及利用导数在零点中的应用导数的应用很广泛，今天我们的学习，主要导数中的零点和隐零点问题复习和总结。
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《1.3.3 导数的实际应用》教学案3
教学目标：
1. 通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值．
2. 通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．
一、知识扫描：
1．生活中的优化问题常见类型：费用最少省问题；利润最大问题；面积、体积最大问题.
2．导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大(小)值问题，一般应先建立好目标函数后，把问题转化为上一节研究的内容。
二、例题选讲：
例1. 在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
例2．某种圆柱形饮料罐的容积一定，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？
例3．在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r ，电动势为E ，当外电阻R 多大时，才能
使电动率最大？最大电功率是多少？
例4．强度分别为a ，b 的两个光源A ，B 间的距离为d ，试问：在连结两光源的线段AB 上，何处照度最小？试就a =8，b =1，d =3时回答上述问题.(照度与光的强度成正比，与光源距离
的平方成反比)
例5．在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为()C x ，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为()R x ，()()R x C x -称为利润函数，记为()P x .
(1) 如果632
()100.00351000C x x x x -=-++，那么生产多少单位产品时，边际成本()C x '最低？
(2) 如果()5010000C x x =+，产品的单价1000.01p x =-，那么怎样定价可使利润最大？
三、课内练习：
1.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高为____________ 2．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。
所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为___________
3.在半径为r 的半圆内作一个内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其上底长为___________
4．把长60cm 的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时矩形的面积最大？
【归纳反思】
1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是：
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()y f x =；
(2)求函数的导数()f x '，解方程()0f x '=；
(3)比较函数在区间端点和使()0f x '=的点的数值的大小，得到最大(小)值.
2.解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1) 在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；
(2) 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点()0f x '=的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大(小)值.
(3) 在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要确定出函数关系中自变量的定义区间.
四、巩固提高：
1． 内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为________
2． 有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为_______
3．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为_________
3． 若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为_______
5.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27 ，且用料最省，则圆柱的底面半径为
6．在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时它的面积最大.
7．把长100cm 的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？
8．做一个容积为3256m 的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？
9．有一隧道是既是交通拥挤地段，又是事故多发地段.为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距()d m 正比于车速(/)v km h 的平方与自身长()l m 的积，且车距不得小于半个车身长，而当车速为60(/)km h 时，车距为1.44个车身长.在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道的车流量最大？
*10. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为
(12-x)2万件
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).。