第十三章 应力与应变分析

第十三章应力与应变分析

一、内容提要

1. 三向应力状态

在一平衡物体内任意位置上取单元体，这里仅讨论主应力状态时得情形（图13.1a）。假设三个主应力为已知，求单元体内任意斜截面ABC上的应力（即一点任一方向上的

应力。斜截面截出的四面体如图13.1b所示，设斜截面的法线为N，法线与x、y、z坐

与应力状态的概念相似，在受力构件内，应变不但随点的位置而变化，而且在同一

点也随方向而改变。即一点的应变与点的位置和方向都有关系。同一点不同方向的应变分量之间应满足微单元体在线弹性小变形条件下的几何关系。一点的应变状态即指通过一点不同方向上的应变的情况。

⑵ 应变分析

平面应力状态下，已知一点的应变分量x ε、y ε、xy γ，欲求与水平方向成逆时针α角方向上的线应变和切应变，可根据弹性小变形的几何条件，分别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量x ε、y ε、xy γ在此方向上引起的线应变αε及切应变αγ（图13.3），在

()212x y εεε⎡=+⎢⎣

若主应变1ε方向与x 轴得夹角为0α，则有

0tan 2xy

x y

γαεε=-

- （13.6） 3. 应变得测量与应力的计算

在实验应力分析中，常常使用应变仪来测量受力构件表面上某点处的应变，然后运用应力、应变分析的知识，就可以确定构件的应力情况。在应变测量中，由于切应变xy γ不易测量，所以一般先测定测点处沿几个方向的线应变，利用测定的结果，根据公式（13.3）、公式（13.5）和公式（13.6）就可进行应变分析，确定测点的主应变。如图13.5

所示直角应变花，可测出三个方向上的应变0εo 、45εo 和90εo ，利用公式（13.5）和公式（13.6）,

得主应变的大小和方向为

()

1090212εεεε⎫=+⎬⎭o

o

（13.8）

450900090

2tan 2εεεαεε--=

-o o

o

o

（13.9）

()1060120213εεεεε⎫=++⎬⎭o

o

o

（13.12）

601200090120)tan 22εεαεεε-=

--o o o o o

（13.13）

若测点为二向应力状态，同理可解出两个主应力为

1060120

2()3(1)E σεεεσν⎫=++±⎬-⎭o

o

o

（13.14）

主应力的方向由（13.13）式确定。

二、基本要求

1．掌握平面应变状态分析的解析法

2. 掌握通过某点测量的应变值来确定该点主应变、主应力的大小及方向的方法。 三、典型例题分析

例题13.1(习题13.7)

用直角应变花测得受力构件表面某点处的应变值为：6026710ε-=-⨯o ，

64557010ε-=-⨯o

，6907910ε-=⨯o

。若材料为Q235钢，200GPa E =，0.3ν=，

[]160MPa σ=。试计算测点主应力的大小与方向，并用第三强度理论校核强度。

解：由公式（13.11）计算主应力的大小为

1090396666()2(1)20010(26779)10102(10.3)51.06MPa

26.861077.9210104.78MPa

E εεσσν--+⎫=±=⎬-⎭⨯-+⨯±=⨯-⎧-⨯±⨯=⎨

-⎩o

o

20σ=

由公式（13.9）计算主应变的方向，也即主应力的方向

450900090

22(570)26779

tan 2 2.7526779

εεεαεε---+-=

=

=---o o

o

o

0270250α=o o 或 ，035125α=o o 或

由第三强度理论可得

[]r31351.06(104.78)155.84MPa σσσσ=-=--=≤

满足强度条件

例题13.2(习题13.8)

用等角应变花测得受力构件表面某点处的应变值为：6040010ε-=⨯o ，

66030010ε-=-⨯o

，612025010ε-=⨯o

。若材料为Q235钢，200GPa E =，0.3ν=，

[]160MPa σ=。试计算测点主应力的大小与方向，并用第四强度理论校核强度。

解：由公式（13.14）计算主应力的大小为

106012039

6666()3(1)20010(400300250)103(10.3)1098.8MPa

33.331065.4710=3E σεεεσν--⎫=++±=⎬-⎭⨯-+⨯±

⨯-=

⨯±⨯-o

o

o

2.14MPa

⎧⎨

⎩

20σ=

由公式（13.13）计算主应变的方向，也即主应力的方向

601200090120)tan 2 1.122εεαεεε-=

=

=---o o o o o

0248.25α=-o o 或131.74 ，024.1365.87α=-o o 或

由第四强度理论可得

r4σ=

=

[]610118.2MPa σ=≤ 满足强度条件。

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