高中物理竞赛_话题7：变质量系统的运动

话题7：变质量系统的运动
一、变质量系统运动方程的推导
设t 时刻，本体质量为m ，速度为v 。

质量为m ∆，速度为u 的微粒。

经过t ∆时间后两者合并，质量为()m m ∆+,共同速度为()v v ∆+，则系统动量的改变是
()()()P m m v v mv mu ∆=+∆+∆-+∆
如果系统受到合外力F 作用，忽略上式中m v ∆∆，则得到
()P m v u v m F t ∆=∆--∆=∆
由此得到质量并入时的运动方程
()dm ma u v F dt
--= (1)
式中a 是加速度，()u v -是m ∆相对
m 的相对速度。

同样讨论得到分出质量时的方程完全相同。

讨论：
(1)方程中，外力F 是两者受到的合外力。

微粒对本体的作用力是
()dm
u v dt
-。

(2)当u v =时,方程在形式上与牛顿第二定律一样，但质量仍然是变化的。

(3)当0u =时,方程变成()dv dm d mv m
v F dt dt dt
-==这与牛顿第二定律一样。

(4)方程是在0m ∆>条件下推导的，但对0m ∆<同样成立。

二、示例分析
例1、一条线密度为λ、长度l 的松散型链条，堆放在光滑地面上，链条一端系有质量为M 的物体，使此系统由静止出发，以恒定的加速度a 竖直上升，求作用在上端的作用力F 。

【解1】这是质量并入的变质量运动。

但可以不用“一般公式”，直接通过分析得到结果。

如图，设上升的高度用坐标x 表示。

则升高的部分质量是
∆
v
∆
m M x λ=+ (1)
其动量是
()P mv M x v λ==+ (2)
该段受到的力包括F 与该段的重力
()mg M x g λ=+，两者方向相反。

利用P F t ∆=∆，首先利用(2)求出动量的改变是
[]()()()M x x v v M x v
P t t
λλ++∆+∆-+∆=∆∆ M v x v xv x v
t
λλλ∆+∆+∆+∆∆=
∆
v v x M x v t t t
λλ∆∆∆=++∆∆∆
2Ma xa v λλ=++ (3)
利用了关系
v a t ∆=∆,x
v t
∆=∆，按照牛顿定律 P
F mg t
∆=+∆ (4)
以及基本关系 2
12
x at =,v at = (5)
把 (3)(5)代入(4),求出作用力是
21
()(3)2
F M a g a g a t λ=+++ (6)
【解2】利用变质量公式求解。

()dm
ma u v F dt
-
-= 其中本体质量(已经离开地面部分)是:m M x λ=+,加速度就是a 。

微粒并入前的速度
0u =,系统受到的力是外力与重力的合成()F mg F M x g λ-=-+。

另外变质量公式中的dm dx v dt dt λλ==，而v at =，以及关系21
2
x at =。

于是求出 22
1()()(3)2
F M x a v M a g a g a t λλλ=++=+++
例2、细绳长为l ,质量为M ，用手提起一端处于竖直状态，然后松手自由下落，求细绳全部落地时对地面的压力。

【解1】这是变质量问题的的质量分离的过程。

但可以通过分析得出结果。

设顶端下落的距离为x ,讨论继续在空中的一段绳子的运动。

该段的质量是:()M
m l x l
=-,速度则是v gt =，其动量为 ()M
P mv l x v l
==
- (1) 经过t ∆时间后，绳子长度缩短x ∆，在空中的部分其速度为
()v g t t '=+∆
动量变为为
[]()()M
P l x x g t t l
'=
-+∆+∆ (2) 由此求出动量的改变为
()M
P P P Mg t l x t t x g
'∆=-=∆-
∆+∆ (3) 该段绳子受到自身重力以及地面支持力F 的作用，按照
()dP M
l x g F dt l
=-- (4) 注意到 212x gt =,dx
gt dt
=
利用以上(3) (4) 求出绳子受到地面的支持力为
22
M F g t l
=
(5)
全部落地时，用时间为t =
(5)求出落地时的支持力为 2F Mg = (6)
绳子对地面的压力则是3Mg 。

【解2】选择将要落地的一段绳子x ∆作为研究对象。

设顶端的下落位移为x ,
速度则为
v 。

这段将要落地的细绳的动量为
M
P l
=
∆(1) 在很短时间t ∆落地，动量变为零。

忽略自身重力，仅受到地面支持力作用。

存在关系
2P M
F gx t l
∆=
==∆ (2) 当全部落地时，x l =，代入(2)中求出
2F Mg = (3)
绳子对地面的压力则是
3N F Mg Mg =+= (4)
【解3】利用变质量公式求解，质量分离过程公式仍然成立。

()dm
ma u v F dt
-
-= (1) 当绳子顶端下落x 后，本体质量是：()M
m l x l
=
- 其速度则是v gt =，加速度为g ，变质量公式中的0u =,而
dm M v dt l ==系统受力包括自身重力以及地面的支持力：
()M
l x g F l
-- 把以上各量代入(1)中同样求出
F =进而当x l =时，求出2F Mg =- 绳子对地面的压力则是
3N F Mg Mg =+=
例3、一根
m
l
μ=的链条，被一向上的作用力F 垂直地拎起一端，现放落到桌面上。

求桌面上一端的高度h （h 是该链条自由悬挂段的长度）所满足的运动方程。

解：此为变质量物体运动问题，要列出运动方程，试分析t t t →+∆时链条的运动状态，如图所示。

t 时刻的动量为1P hv μ=
t t +∆时刻的动量为()2()P h h v v hv μμ=-∆+∆+∆
在t t +∆时刻，有h ∆长度的链条落在桌面上。

它落到桌面的速度近似为v ，并非等于零。

事实上，由于链条只能承受拉力而不能承受压力，因此在落地过程中h ∆段与h h -∆段之间没有力的作用。

因此，h ∆段相对于
h h -∆段的相对速度应为零。

所以
21P P P h v μ∆=-=∆
()h v vhg F t μ∆=-∆
故得 F
a g h
μ=
- 例4、一个沙漏（古代的一种计时器）置于一个盘秤上，初始时瓶中的所有沙子都放在上面的容器中，瓶的质量为M ，瓶中沙子的质量为m 。

在
0t =时，沙开始释放流入下面的容器，沙子以质量变化率为常数
dm dt λ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
离开上面的容器。

画出（并定性标明）一个图，给出在0t ≥的全部时间内秤的读数。

解：沙漏原理如图()a 所示，其内秤的读数随时间的变化关系如图()b 所示。

分析如下：
设沙子自上面容器下落全部到达下面容器的底部，下落高度均为
h ,沙子自由下落为h ，速度变为
v
所花时间1t =
(1)沙子开始下落直至沙子开始碰到下面容器底部之前，设10t t ≤≤，显然，这段时间
内盘秤读数是：
1()W M m g tg λ=+-
v
1
212
(M ()M m g ++()M m g +-()
b
10t t ≤≤=
(2)沙子刚开始碰到下面容器底部直到沙子全部离开上面容器那一瞬时2t （这里假设21t t >），在这段时间内沙子对容器的作用力可分为两部分，一部分是承受沙子的重力，它
等于()a 中1t t =时的情况；另一部分是单位时间内下落到下面容器底部的沙子受容器底部
作用力的反力，其中大小为dm
v dt
⋅
= [
]21()()W M m g t g M m g λ=+-+=+
12m
t t t λ
≤≤=
(3)沙子刚刚全部离开上面容器直到刚全部到达下面容器底部止。

显然，这段时间内
盘秤的读数是
()3222W W t t g W t g λλ=+-=+⋅∆⋅
2312t t t t t ≤≤=+ 10t t ≤∆≤
(4)沙子全部到达底部以后，盘秤的读数是
4()W m M g =+ 123t t t t ≥+=。