【最高考系列】(教师用书)2016届高考数学一轮总复习第七章推理与证明课时训练理

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2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件：7-4直接证明与间接证明

第三十九页，编辑于星期六：点十八分。
•失误与防范 1．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的． 2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论 P，再说明所要证明的数学问题成立.
【师说点拨】用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的．
第三十四页，编辑于星期六：点十八分。
第七章常用逻辑用语、推理与证明
第一页，编辑于星期六：点十八分。
第四节直接证明与间接证明
第二页，编辑于星期六：点十八分。
考纲导学 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分
析法和综合法的思考过程、特点． 2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的
思考过程、特点.
第三页，编辑于星期六：点十八分。
第二十四页，编辑于星期六：点十八分。
证明：(1)∵a＋b＝1，
∴1＋1＋ 1 ＝a＋b＋a＋b＋a＋b a b ab a b ab
＝1＋ba＋1＋ab＋a＋ abb≥2＋2
ba·ab＋aa＋＋bb2 2
＝2＋2＋4＝8(当且仅当 a＝b＝12时，等号成立)．
第二十五页，编辑于星期六：点十八分。
∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．答案：B
第八页，编辑于星期六：点十八分。
3．设 a，b，c∈(－∞，0)，则 a＋1b，b＋1c，c＋1a(

2016届高考数学一轮复习课件第七章不等式、推理与证明7.5

考情概览
知识梳理
知识梳理
知识梳理
核心考点
核心规律
4
双击自测
2.间接证明
反证法:假设原命题不成立 (即在原命题的条件下,结论不成立),经过
正确的推理,最后得出矛盾 ,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的
证明方法.
第四页，编辑于星期五：二十点三十八分。
第七章
7.5
直接证明与间接证明
考情概览

,n∈N+,其中
2 +c
bn=
c 为实数.若 c=0,且 b1,b2,b4 成等比数列,证
明:Snk=n2Sk(k,n∈N+).
关闭
(-1)
d.
2

-1
由 c=0,得 bn= =a+ d.

2
证明:由题意得,Sn=na+
因为 b1,b2,b4 成等比数列,所以22 =b1b4,

即 +
考点二
知识梳理
核心考点
核心考点
核心规律
考点三
方法总结 1.用综合法证明是从已知条件出发,逐步推向结论,综合
法的适应范围是:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证没
有限制条件的等式或不等式.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条
件逐步逼近结论的题型.
2.综合法往往以分析法为基础,是分析法的逆过程.
2
2
3
2
=a + d ,化简得 d2-2ad=0.
因为 d≠0,所以 d=2a.
因此,对于所有的 m∈N+,有 Sm=m2a.
从而对于所有的 k,n∈N+,有 Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.

高考数学大一轮复习第七章不等式、推理与证明、数学归纳法7.4基本不等式及其应用教案(含解析)

§7.4 基本不等式及其应用考情考向分析主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档．1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(a ≥0，b ≥0)(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充要条件．( × )(3)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × ) (4)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 有相同的成立条件．( × )(5)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )题组二教材改编2．[P88T4]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________．答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 3．[P89例1]若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m 2.答案 25解析设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， ∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1时等号成立)．因为x ，1x同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的充要条件． 5．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________. 答案 3 解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是________．答案 5解析由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12x y，即y ＝2x ＝1时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.题型一利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )。

2016年新课标名师导学一轮复习文科数学课件同步测试卷推理与证明

可以推测，m－n＋p＝_9_6_2_．
【解析】由归纳得 m＝29＝512. p＝2×52＝50. 令 α＝0，由⑤得出 n＝－400， ∴m－n＋p＝962.
第十二页，编辑于星期五：二十一点五十五分。
9．定义一种运算“*”，对于 n∈N*，满足以下运算性质：
①2*2＝1；②(2n＋2)*2＝(2n*2)＋3. 则 2 016*2 的数值为 3 022 ．
…
第三页，编辑于星期五：二十一点周期的函数，则 f4n＋1(x)＝f1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝f2(x)＝－sin x， f4n＋3(x)＝f3(x)＝－cos x，f4n＋4(x)＝f4(x)＝sin x. 因为 2 015 被 4 除余 3，所以 f2 015(x)＝－cos x.
第四页，编辑于星期五：二十一点五十五分。
3．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2
041，…，则 72 015 的末两位数字是( B )
A．01
B．43
C．07 D．49
【解析】∵72＝49，73＝343，74＝2 401，75 ＝16 807，76＝117 649，77＝823 543，….
21)＝－23bn. 又 λ≠－18，∴b1＝－(λ＋18)≠0，由上式知
bn≠0，
第十九页，编辑于星期五：二十一点五十五分。
∴bbn＋n 1＝－23(n∈N*)．故当 λ≠－18 时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列． (3)当 λ≠－18 时，由(2)得 bn＝－(λ＋18)·－23 n－1，于是 Sn＝－35(λ＋18)·1－－23n. 当 λ＝－18 时，bn＝0，从而 Sn＝0，Sn>－12 恒成立．当 λ≠－18 时，要使对任意正整数 n，都有 Sn> －12，

【教育专用】高考数学一轮复习第七章推理与证明学案7

第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理1. 已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，类比这些等式，若6＋a b ＝6ab(a ，b 均为正数)，则a ＋b ＝________．答案：41解析：观察等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，第n 个应该是n ＋1＋n ＋1（n ＋1）2－1＝(n ＋1)n ＋1（n ＋1）2－1，则第5个等式中a ＝6，b ＝a 2－1＝35，a ＋b ＝41.2. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体PABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________．答案：127解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若存在正整数m ，n(m<n)，使得S m ＝S n ，则S m ＋n ＝0.类比上述结论，设正项等比数列{b n }的前n 项积为T n .若存在正整数m ，n(m<n)，使T m ＝T n ，则T m ＋n ＝________．答案：1解析：因为T m ＝T n ，所以b m ＋1b m ＋2…b n ＝1，从而b m ＋1b n ＝1，T m ＋n ＝b 1b 2…b m b m ＋1…b n b n ＋1…b n ＋m －1b n ＋m ＝(b 1b n ＋m )·(b 2b n ＋m －1)…(b m b n ＋1)·(b m ＋1b n )＝1.4. 观察下列等式： 21＋2＝4；21×2＝4；32＋3＝92；32×3＝92；43＋4＝163；43×4＝163；…，根据这些等式，可以得出一个关于自然数n 的等式，这个等式可以表示为________________．答案：n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n∈N *)解析：由归纳推理得n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1＋（n 2＋n ）n ＝（n ＋1）2n ， n ＋1n×(n ＋1)＝（n ＋1）2n ，所以得出结论n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n∈N *)． 5. 设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体PABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体PABC 的体积为V ，则r ＝________．答案：3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：由类比推理可知r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.1. 归纳推理(1) 归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理． (2) 归纳推理的思维过程大致如图实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论(3) 归纳推理的特点① 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围．② 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③ 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2. 类比推理(1) 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理．(2) 类比推理的思维过程大致如图观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论3. 演绎推理(1) 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2) 主要形式是三段论式推理． (3) 三段论的常用格式为 M — P(M 是P)① S_—_M(S 是M)② S — P(S 是P)③ 其中，①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断．[备课札记], 1 归纳推理), 1) 观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……据此规律，第n 个等式可为________________．答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析：等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个等式有4项，第3个等式有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特征：第1个等式有1项，第2个等式有2项，第3个等式有3项，故第n 个等式有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n.变式训练观察下列三角形数阵： 1 13 15 17 19 111 113 115 117 119 ……按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为______．答案：1243解析：前15行共有15×（15＋1）2＝120(个)数⇒所求为a 122＝12×122－1＝1243., 2 类比推理), 2) 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积S △ABC ＝12(a ＋b ＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________________”．答案：V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r解析：三角形面积类比为四面体的体积⇒三角形的边长类比为四面体四个面的面积⇒内切圆半径类比为内切球半径⇒二维图形中的12类比为三维图形中的13⇒得出结论．运用分割法思想，设四面体ABCD 的内切球的球心为O ，连结OD ，OA ，OB ，OC ，将四面体分成四个三棱锥，则V ABCD ＝V OABC ＋V OABD ＋V OBCD ＋V OACD ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r.备选变式（教师专享）设a ，b ，c 是直角三角形的三边长，斜边上的高为h ，c 为斜边长，则给出四个命题：① a ＋b>c ＋h ；② a 2＋b 2<c 2＋h 2；③ a 3＋b 3>c 3＋h 3；④ a 4＋b 4<c 4＋h 4.其中真命题是________(填序号)，进一步类比得到的一般结论是____________________．答案：②④ a n ＋b n <c n ＋h n (n∈N *) 解析：在直角三角形ABC 中，a ＝csin A ，b ＝ccos A ，ab ＝ch ，所以h ＝csin Acos A ．于是a n ＋b n ＝c n (sin n A ＋cos n A)，c n ＋h n ＝c n (1＋sin n Acos nA)．a n ＋b n －c n －h n ＝c n (sin n A ＋cos n A －1－sin n Acos n A)＝c n (sin n A －1)(1－cos nA)＜0，所以a n ＋b n ＜c n ＋h n., 3 演绎推理), 3) 设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n∈N *)；②b n ≤M (n∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界” 数列．(1) 若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2) 判断(1)中的数列{S n }是否为“特界” 数列，并说明理由．解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋9n.(2) {S n }为“特界”数列．理由如下：由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝（S n ＋2－S n ＋1）－（S n ＋1－S n ）2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }满足条件①；而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }满足条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列．变式训练数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n∈N *)．证明：(1) 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2) S n ＋1＝4a n .证明：(1) ∵ a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ，∴ (n ＋2)S n ＝n(S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n＋1)S n .故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(2) 由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，所以S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n≥2)，即S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n≥2)．又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .1. (2017·课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息推断，下列结论正确的是________．(填序号)① 乙可以知道四人的成绩； ② 丁可以知道四人的成绩； ③ 乙、丁可以知道对方的成绩； ④ 乙、丁可以知道自己的成绩．答案：④解析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，故选④.2. (2016·全国Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__________．答案：1和3 解析：由题意可知丙不拿2和3.若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.3. (2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ① 男学生人数多于女学生人数； ② 女学生人数多于教师人数；③ 教师人数的两倍多于男学生人数．(1) 若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________； (2) 该小组人数的最小值为________．答案：(1) 6 (2) 12解析：设男学生数，女学生数，教师数分别为a ，b ，c ，则2c>a>b>c ，a ，b ，c ∈N *. (1) 8>a>b>4⇒b max ＝6.(2) c min ＝3，6>a>b>3⇒a ＝5，b ＝4⇒a ＋b ＋c ＝12.4. 已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形： a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A(s ，t)表示第s 行的第t 个数，则A(11，12)＝________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 解析：该三角形数阵每行所对应元素的个数为1，3，5，…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A(11，12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112. 5. 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，……，依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．答案：(3×2n －3)(n∈N *)解析：从分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图中有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律，n 级分形图中的线段条数为(3×2n －3)(n∈N *)．1. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，有11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则运用归纳推理得到第11行第2个数(从左往右数)为________．答案：1110解析：由“莱布尼茨调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为110，第11行的第一个数为111，则第11行的第二个数为110－111＝1110.2. 有一个游戏，将标有数字1，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为____，____，____，____．答案：4 2 1 3解析：由于4个人预测不正确，其各自的对立事件正确，即甲：乙、丙没拿到3；乙：甲、丙没拿到2；丙：甲没拿到1；丁：甲没拿到3.综上，甲没拿到1，2，3，故甲拿到了4，丁拿到了3，丙拿到了1，乙拿到了2.3. 观察下列等式： 13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，则第n 个等式为________．答案：13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22 解析：因为13＝12，13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，由此可以看出左边是连续的自然数的立方和，右边是左边的连续的自然数的和的平方，照此规律，第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22. 4. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上通过画点或用小石子来表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1) b 2 018是数列{a n }的第________项； (2) b 2k －1＝________．(用k 表示)答案：(1) 5 045 (2) 5k （5k －1）2解析：(1) a n ＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2，b 1＝4×52＝a 4，b 2＝5×62＝a 5，b 3＝9×（2×5）2＝a 9，b 4＝（2×5）×112＝a 10，b 5＝14×（3×5）2＝a 14，b 6＝（3×5）×162＝a 15，…b 2 018＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182×5⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182×5＋12＝a 5 045.(2) 由(1)知b 2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝5k （5k －1）2.5. 某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是__________．(填序号)① 今天是周六；② 今天是周四； ③ A 车周三限行；④ C 车周五限行．答案：②解析：因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以今天不是周三；因为B 车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，所以①错误，②正确．因为B 车昨天限行，即B 车周三限行，所以③错误．因为从今天算起，A 、C 两车连续四天都能上路行驶，所以④错误．1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新的结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路和方法．2. 合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想．3. 演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论，数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．4. 合情推理仅是符合情理的推理，得到的结论不一定正确，而演绎推理得到的结论一定正确(在前提和推理形式都正确的前提下)．[备课札记]第2课时直接证明与间接证明(对应学生用书(文)、(理)104～105页)了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单问题．① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.② 了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．1. 已知向量m ＝(1，1)与向量n ＝(x ，2－2x)垂直，则x ＝________．答案：2解析：m ·n ＝x ＋(2－2x)＝2－x.∵ m ⊥n ，∴ m ·n ＝0，即x ＝2.2. 用反证法证明命题“如果a>b ，那么3a>3b ”时，假设的内容应为______________．答案：3a ＝3b 或3a<3b解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即3a ＝3b 或3a<3b. 3. 6－22与5－7的大小关系是______________．答案：6－22>5－7解析：由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为42>40，所以6－22>5－7成立．4. 定义集合运算：A·B＝{Z|Z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B}，设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{sin α，cos α}，则集合A·B 的所有元素之和为________．答案：0解析：依题意知α≠k π＋π4，k ∈Z .① α＝k π＋3π4(k∈Z )时，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫22，－22，A ·B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，22，－22； ② α＝2k π或α＝2k π＋π2(k∈Z )时，B ＝{0，1}，A ·B ＝{0，1，－1}； ③ α＝2k π＋π或α＝2k π－π2(k∈Z )时，B ＝{0，－1}，A ·B ＝{0，1，－1}；④ α≠k π2且α≠k π＋3π4(k∈Z )时，B ＝{sin α，cos α}，A ·B ＝{0，sin α，cosα，－sin α，－cos α}．综上可知，A ·B 中的所有元素之和为0.5. 设a ，b 为两个正数，且a ＋b ＝1，则使得1a ＋1b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．答案：(－∞，4]解析：∵ a＋b ＝1，且a ，b 为两个正数，∴ 1a ＋1b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝4.要使得1a ＋1b≥μ恒成立，只要μ≤4.1. 直接证明(1) 定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法． (2) 一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒A ⇒B ⇒C ⇒…⇒本题结论．(3) 综合法① 定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．② 推证过程已知条件⇒…⇒…⇒结论(4) 分析法① 定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止．这种证明方法称为分析法．② 推证过程结论⇐…⇐…⇐已知条件2. 间接证明(1) 常用的间接证明方法有反证法、正难则反等． (2) 反证法的基本步骤① 反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．② 归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.,1 直接证明(综合法和分析法)), 1) 对于定义域为[0，1]的函数f(x)，如果同时满足： ① 对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0； ② f(1)＝1；③ 若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f(x 1＋x 2)≥f(x 1)＋f(x 2)成立，则称函数f(x)为理想函数．(1) 若函数f(x)为理想函数，求证：f(0)＝0；(2) 试判断函数f(x)＝2x(x∈[0，1])，f(x)＝x 2(x∈[0，1])，f(x)＝x (x∈[0，1])是否为理想函数？(1) 证明：取x 1＝x 2＝0，则x 1＋x 2＝0≤1，∴ f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴ f (0)≤0. 又对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0，∴ f (0)≥0.于是f(0)＝0.(2) 解：对于f(x)＝2x ，x∈[0，1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②， ∴ f(x)＝2x(x∈[0，1])不是理想函数．对于f(x)＝x 2，x ∈[0，1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.对任意的x 1，x 2∈[0，1]，x 1＋x 2≤1，f(x 1＋x 2)－f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋x 2)2－x 21－x 22＝2x 1x 2≥0，即f(x 1＋x 2)≥f(x 1)＋f(x 2)．∴ f(x)＝x 2(x∈[0，1])是理想函数．对于f(x)＝x (x∈[0，1])，显然满足条件①②. 对任意的x 1，x 2∈[0，1]，x 1＋x 2≤1，有f 2(x 1＋x 2)－[f(x 1)＋f(x 2)]2＝(x 1＋x 2)－(x 1＋2x 1x 2＋x 2)＝－2x 1x 2≤0，即f 2(x 1＋x 2)≤[f(x 1)＋f(x 2)]2.∴ f(x 1＋x 2)≤f(x 1)＋f(x 2)，不满足条件③. ∴ f(x)＝x (x∈[0，1])不是理想函数．综上，f(x)＝x 2(x∈[0，1])是理想函数，f(x)＝2x(x∈[0，1])与f(x)＝x (x∈[0，1])不是理想函数．备选变式（教师专享）设首项为a 1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，q 为非零常数，已知对任意正整数n ，m ，S n ＋m ＝S m ＋q mS n 总成立．求证：数列{a n }是等比数列．证明：因为对任意正整数n ，m ，S n ＋m ＝S m ＋q mS n 总成立，令n ＝m ＝1，得S 2＝S 1＋qS 1，则a 2＝qa 1.令m ＝1，得S n ＋1＝S 1＋qS n ①，从而S n ＋2＝S 1＋qS n ＋1 ②，②－①得a n ＋2＝qa n ＋1(n≥1)，综上得a n ＋1＝qa n (n≥1)，所以数列{a n }是等比数列．, 2) 已知m>0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 证明：因为m>0，所以1＋m>0，所以要证原不等式成立，只需证明(a ＋mb)2≤(1＋m)(a 2＋mb 2)，即证m(a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b)2≥0，而(a －b)2≥0显然成立，故原不等式得证．变式训练已知函数f(x)＝3x－2x ，试求证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f （x 1）＋f （x 2）2≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 证明：要证明f （x 1）＋f （x 2）2≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，只要证明（3x 1－2x 1）＋（3x 2－2x 2）2≥3x 1＋x 22－2·x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22－(x 1＋x 2)≥3x 1＋x 22－(x 1＋x 2)，即证明3x 1＋3x 22≥3x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2，由于x 1，x 2∈R 时，3x 1>0，3x 2>0,由基本不等式知3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2显然成立，故原结论成立．, 2 间接证明(反证法)), 3) 设{a n }是公比为q 的等比数列． (1) 推导{a n }的前n 项和公式；(2) 设q≠1，求证：数列{a n ＋1}不是等比数列．(1) 解：设{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，因为{a n }是公比为q 的等比数列，所以当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1.当q≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， ①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n， ②①－②得，(1－q)S n ＝a 1－a 1q n，所以S n ＝a 1（1－q n）1－q ，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2) 证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k∈N *，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，因为a 1≠0，所以2q k ＝q k －1＋q k ＋1.因为q≠0，所以q 2－2q ＋1＝0，所以q ＝1，这与已知矛盾．所以假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．变式训练已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． (1) 解：当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2) 证明：反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p<q<r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p＋1 ①.因为p<q<r ，所以r －q ，r －p∈N *.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．1. 用反证法证明命题“a，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，假设的内容是____________．答案：a ，b 中没有一个能被5整除解析：“至少有n 个”的否定是“最多有n －1个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除．2. 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＜c ，b ＜c ，1a ＋9b＝1.若以a ，b ，c 为三边构造三角形，则c 的取值范围是________．答案：(10，16)解析：要以a ，b ，c 为三边构造三角形，需要满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，而a<c ，b<c ，所以a ＋b>c 恒成立．而a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥16，∴ c<16.又1a >1c ，1b >1c ，∴ 10c <1a ＋9b＝1，∴ c>10，∴ 10<c<16.3. 已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a＋ 2.因为a>0，故只需要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需要证4⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．4. 若f(x)的定义域为[a ，b]，值域为[a ，b](a<b)，则称函数f(x)是[a ，b]上的“四维光军”函数．(1) 设g(x)＝12x 2－x ＋32是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b 的值．(2) 是否存在常数a ，b(a>－2)，使函数h(x)＝1x ＋2是区间[a ，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解：(1) 由题设得g(x)＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为直线x ＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3.因为b>1，所以b ＝3. (2) 假设函数h(x)＝1x ＋2在区间[a ，b] (a>－2)上是“四维光军”函数，因为h(x)＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝b ，h （b ）＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾，故不存在．1. 用反证法证明结论“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”，应假设______________．答案：三角形的三个内角都大于60°解析：“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”，其否定为“三角形的三个内角都大于60°”．2. 凸函数的性质定理：如果函数f(x)在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数y ＝sinx 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．答案：332解析：∵ f(x)＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)，∴ f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，∴ sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.3. 定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)－f(x 2)|≤k|x 1－x 2| 成立，则称函数f(x)在定义域D 上满足利普希茨条件．若函数f(x)＝x (x≥1)满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为________．答案：12解析：若函数f(x)＝x (x≥1)满足利普希茨条件，则存在常数k ，使得对定义域[1，＋∞)内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)－f(x 2)|≤k|x 1－x 2| 成立，设x 1>x 2，则k≥x 1－x 2x 1－x 2＝1x 1＋x 2.而0<1x 1＋x 2<12，所以k 的最小值为12.4. 设函数f(x)＝x 3＋11＋x ，x ∈[0，1]．求证：(1) f(x)≥1－x ＋x 2；(2) 34＜f(x)≤32.证明：(1) 因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x ，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f(x)≥1－x ＋x 2.(2) 由0≤x≤1得x 3≤x ，故f(x)＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32，所以f(x)≤32.由(1)得f(x)≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924＞34，所以f(x)＞34. 综上，34＜f(x)≤32.5. 已知数列{a n }满足a 1＝12，3（1＋a n ＋1）1－a n ＝2（1＋a n ）1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n≥1)，数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n≥1)．(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 求证：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．(1) 解：由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n .又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.故1－a 2n ＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1⇒a 2n ＝1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n －11－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. b n ＝a 2n ＋1－a 2n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. (2) 证明：用反证法证明．假设数列{b n }中存在三项b r ，b s ，b t (r<s<t)按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只能有2b s ＝b r ＋b t 成立．即2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫23s －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫23r －1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫23t －1，两边同乘3t －121－r，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s.由于r<s<t ，则上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．[备课札记]第3课时数学归纳法(对应学生用书(理)106～107页)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1. (选修22P 94习题7改编)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n∈N *，n>1)时，第一步应验证________．答案：1＋12＋13<2解析：∵ n∈N *，n>1，∴ n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13.2. (选修22P 90练习3改编)用数学归纳法证明不等式“2n >n 2＋1对于n≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取为________．答案：5解析：当n≤4时，2n ≤n 2＋1；当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，所以n 0应取为5.3. (选修22P 103复习题13改编)在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n(2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为________________．答案：a n ＝1（2n －1）（2n ＋1）解析：当n ＝2时，13＋a 2＝(2×3)a 2，∴ a 2＝13×5；当n ＝3时，13＋115＋a 3＝(3×5)a 3，∴ a 3＝15×7；当n ＝4时，13＋115＋135＋a 4＝(4×7)a 4，∴ a 4＝17×9；故猜想a n ＝1（2n －1）（2n ＋1）.4. (选修22P 103复习题14改编)比较n n ＋1与(n ＋1)n (n∈N *)的大小时会得到一个一般性的结论，用数学归纳法证明这一结论时，第一步要验证________．答案：当n ＝3时，n n ＋1＝34＞(n ＋1)n ＝43解析：当n ＝1时，n n ＋1＝1＞(n ＋1)n ＝2不成立；当n ＝2时，n n ＋1＝8＞(n ＋1)n＝9不成立；当n ＝3时，n n ＋1＝34＞(n ＋1)n ＝43，结论成立．5. (选修22P 105本章测试13改编)已知a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 2，a 3，a 4，a 5的值分别为________________．由此猜想a n ＝________．答案：37，38，39，310 3n ＋5解析：a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37＝32＋5，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38＝33＋5，a 4＝39＝34＋5，a 5＝310＝35＋5，a 1＝31＋5＝12，符合以上规律．故猜想a n ＝3n ＋5.1. 由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2. 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n 取第1个值n 0时，命题成立；然后假设当n ＝k(k∈N *，k ≥n 0)时命题成立；证明当n ＝k ＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下： (1) 归纳奠基：证明取第一个自然数n 0时命题成立；(2) 归纳递推：假设n ＝k(k∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3) 由(1)(2)得出结论．[备课札记], 1 证明等式), 1) 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n （2n ＋2）＝n 4（n ＋1）(n∈N *)．证明：① 当n ＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝18，右边＝14（1＋1）＝18，左边＝右边，所以等式成立．② 假设n ＝k(k∈N *)时等式成立，即有 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＝k 4（k ＋1），则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＋12（k ＋1）[2（k ＋1）＋2]＝k 4（k ＋1）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝k （k ＋2）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝（k ＋1）24（k ＋1）（k ＋2）＝k ＋14（k ＋2）＝k ＋14（k ＋1＋1）. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②可知，对于一切n∈N *等式都成立．变式训练用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n∈N *)．证明：① 当n ＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．② 假设当n ＝k(k∈N *)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n∈N *均成立．, 2 证明不等式), 2) 用数学归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (1)2>1(n∈N *且n>1)．证明：① 当n ＝2时，12＋13＋14＝1312>1成立．② 设n ＝k 时，1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2>1成立．由于当k>1时，k 2－k －1>0，即k(2k ＋1)>k 2＋2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1（k ＋1）2＝(1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2)＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k >1＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k>1＋1k （2k ＋1）＋1k （2k ＋1）＋…＋1k （2k ＋1）－1k ＝1＋2k ＋1k （2k ＋1）－1k＝1.综合①②可知，原不等式对n∈N *且n>1恒成立．备选变式（教师专享）用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n∈N *，n ≥2)．证明：① 当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．② 假设n ＝k 时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k.当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1k （k ＋1）＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，命题成立．由①②知原不等式对n∈N *，n ≥2恒成立．, 3 数列问题), 3) 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n∈N *)． (1) 计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2) 证明(1)中的猜想．(1) 解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴ a 1＝1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴ a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴ a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，∴ a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n∈N *)．(2) 证明：① 当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．② 假设n ＝k(k≥1且k∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，所以2a k ＋1＝2＋a k .所以a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知猜想a n ＝2n－12n －1(n∈N *)成立．变式训练在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n∈N *，λ>0)． (1) 求a 2，a 3，a 4；(2) 猜想{a n }的通项公式，并加以证明．解：(1) a 2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，a 3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a 4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.(2) 由(1)可猜想数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n. 下面用数学归纳法证明：① 当n ＝1，2，3，4时，等式显然成立，② 假设当n ＝k(k≥4，k ∈N *)时等式成立，即a k ＝(k －1)·λk ＋2k，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝λa k ＋λk ＋1＋(2－λ)2k ＝λ(k －1)·λk ＋λ2k ＋λk ＋1＋2k ＋1－λ2k＝(k －1)λk ＋1＋λk ＋1＋2k ＋1＝[(k ＋1)－1]λk ＋1＋2k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，猜想成立．由①②知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n (n∈N *，λ>0)．, 4 综合运用), 4) 设集合M ＝{1，2，3，…，n}(n ∈N ，n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .(1) 分别求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6的值；(2) 猜想T nS n关于n 的表达式，并加以证明．解：(1) 当n ＝3时，M ＝{1，2，3}，S 3＝1，T 3＝2，T 3S 3＝2；当n ＝4时，M ＝{1，2，3，4}，S 4＝4，T 4＝2＋2＋3＋3＝10，T 4S 4＝52，T 5S 5＝3，T 6S 6＝72.(2) 猜想T n S n ＝n ＋12.下面用数学归纳法证明：① 当n ＝3时，由(1)知猜想成立．② 假设当n ＝k(k≥3)时，猜想成立，即T k S k ＝k ＋12，而S k ＝C 3k ，所以T k ＝k ＋12C 3k .则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C 3k ＋1，而当集合M 从{1，2，3，…，k}变为{1，2，3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，(k －1)个k ，所以T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k(k －1) ＝k ＋12C 3k ＋2(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2k )＝k ＋12C 3k ＋2(C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k －22C 3k ＋1＋2C 3k ＋1＝k ＋22C 3k ＋1＝（k ＋1）＋12S k ＋1，即T k ＋1S k ＋1＝（k ＋1）＋12. 所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立．综上所述，猜想成立．备选变式（教师专享）已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线． (1) 分别求出凸四边形，凸五边形，凸六边形的对角线的条数； (2) 猜想凸n 边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．解：(1) 凸四边形的对角线条数为2条；凸五边形的对角线条数为5条，凸六边形的对角线条数为9条．(2) 猜想：f(n)＝n （n －3）2(n≥3，n ∈N *)．证明如下：当n ＝3时，f(3)＝0成立；设当n ＝k(k≥3)时猜想成立，即f(k)＝k （k －3）2，则当n ＝k ＋1时，考察k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1，①k 边形A 1A 2…A k 中原来的对角线都是k ＋1边形中的对角线，且边A 1A k 也成为k ＋1边形中的对角线；②在A k ＋1与A 1，A 2，…，A k 连结的k 条线段中，除A k ＋1A 1，A k ＋1A k 外，都是k ＋1边形中的对角线，共计有f(k ＋1)＝f(k)＋1＋(k －2)＝k （k －3）2＋1＋(k －2)＝k 2－3k ＋2k －22＝k 2－k －22＝（k ＋1）（k －2）2＝（k ＋1）（k ＋1－3）2(条)，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．综上，得f(n)＝n （n －3）2对任何n≥3，n ∈N *都成立．1. (2017·苏锡常镇二模)已知f n (x)＝C 0nx n －C 1n(x －1)n＋…＋(－1)k C k n (x －k)n＋…＋(－1)n C n n (x －n)n ，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n.(1) 试求f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的值；(2) 试猜测f n (x)关于n 的表达式，并证明你的结论．解：(1) f 1(x)＝C 01x －C 11(x －1)＝x －x ＋1＝1，f 2(x)＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x 2－2x ＋1)＋(x 2－4x ＋4)＝2，f 3(x)＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6. (2) 猜想：f n (x)＝n ！.证明：① 当n ＝1时，猜想显然成立；② 假设n ＝k 时猜想成立，即f k (x)＝C 0k x k －C 1k (x －1)k ＋C 2k (x －2)k ＋…＋(－1)k C k k (x －k)k＝k ！，则n ＝k ＋1时，f k ＋1(x)＝C 0k ＋1x k ＋1－C 1k ＋1(x －1)k ＋1＋C 2k ＋1(x －2)k ＋1＋…＋(－1)k ＋1C k ＋1k ＋1(x －k －1)k ＋1＝xC 0k ＋1·x k －(x －1)C 1k ＋1(x －1)k ＋(x －2)C 2k ＋1(x －2)k ＋…＋(－1)k (x －k)C k k ＋1(x －k)k＋(－1)k ＋1C k ＋1k ＋1(x －k －1)k ＋1＝x[C 0k ＋1x k －C 1k ＋1(x －1)k ＋C 2k ＋1(x －2)k ＋…＋(－1)k C k k ＋1·(x －k)k]＋[C 1k ＋1(x －1)k －2C 2k ＋1(x －2)k ＋…＋(－1)k ＋1·kC k k ＋1(x －k)k ]＋(－1)k ＋1C k ＋1k ＋1(x －k －1)k ＋1＝x[C 0k x k －(C 0k ＋C 1k )(x －1)k ＋(C 1k ＋C 2k )(x －2)k ＋…＋(－1)k (C k －1k ＋C k k )(x －k)k]＋(k ＋1)[C 0k (x －1)k －C 1k (x －2)k ＋…＋(－1)k ＋1C k －1k (x －k)k ]＋(－1)k ＋1C k ＋1k ＋1(x －k －1)k ＋1＝x[C 0k x k －C 1k (x －1)k ＋C 2k (x －2)k ＋…＋(－1)k C k k (x －k)k ]－x[C 0k (x －1)k －C 1k (x －2)k＋…＋(－1)k －1C k －1k (x －k)k ＋(－1)k C k k (x －k －1)k ]＋(k ＋1)[C 0k (x －1)k －C 1k ·(x －2)k ＋…＋(－1)k＋1C k －1k (x －k)k ＋(－1)k C k k (x －k －1)k]＝xk ！－xk ！＋(k ＋1)k ！＝(k ＋1)！. ∴ 当n ＝k ＋1时，猜想成立．综上所述，猜想成立．2. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…. (1) 求a 1，a 2；(2) 猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．解：(1) 当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2) 由题设知(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0. ①由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，….下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ) n＝1时已知结论成立.(ⅱ) 假设n ＝k(k∈N *)时结论成立，即S k ＝k k ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．综上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．3. 已知x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1x 2…x n ＝1.求证：(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x n )≥(2＋1)n.证明：(数学归纳法)① 当n ＝1时，2＋x 1＝2＋1，不等式成立．② 假设n ＝k 时不等式成立，即(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k )≥(2＋1)k成立．则n ＝k ＋1时，若x k ＋1＝1，则命题成立；若x k ＋1>1，则x 1，x 2，…，x k 中必存在一个数小于1，不妨设这个数为x k ，从而(x k －1)(x k ＋1－1)<0，即x k ＋x k ＋1>1＋x k x k ＋1.同理可得x k ＋1<1时，x k ＋x k ＋1>1＋x k x k ＋1.所以(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k )(2＋x k ＋1) ＝(2＋x 1)(2＋x 2)…[2＋2(x k ＋x k ＋1)＋x k x k ＋1] ≥(2＋x 1)(2＋x 2)…[2＋2(1＋x k x k ＋1)＋x k x k ＋1]＝(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k x k ＋1)(2＋1)≥(2＋1)k ·(2＋1)＝(2＋1)k ＋1. 故n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②及数学归纳法原理知原不等式成立．4. 已知函数f 0(x)＝x(sin x ＋cos x)，设f n (x)为f n －1(x)的导数，n ∈N *. (1) 求f 1(x)，f 2(x)的表达式；(2) 写出f n (x)的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1) 因为f n (x)为f n －1(x)的导数，所以f 1(x)＝f 0′(x)＝(sin x ＋cos x)＋x(cos x －sin x)＝(x ＋1)cos x ＋(x －1)(－sin x)，同理，f 2(x)＝－(x ＋2)sin x －(x －2)cos x.(2) 由(1)得f 3(x)＝f 2′(x)＝－(x ＋3)cos x ＋(x －3)sin x ，把f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)分别改写为f 1(x)＝(x ＋1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋(x －1)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，f 2(x)＝(x ＋2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π2＋(x －2)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π2，f 3(x)＝(x ＋3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π2＋(x －3)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π2，猜测f n (x)＝(x ＋n)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2＋(x －n)·cos(x ＋n π2) (*)．下面用数学归纳法证明上述等式．① 当n ＝1时，由(1)知，等式(*)成立； ② 假设当n ＝k 时，等式(*)成立，即f k (x)＝(x ＋k)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x －k)cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2.则当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x)＝f k ′(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x ＋k)cos(x ＋k π2)＋cos(x ＋k π2)＋(x －k)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＝(x ＋k ＋1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋[x －(k ＋1)]⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＝[x ＋(k ＋1)]sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k ＋12π＋[x －(k ＋1)]·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k ＋12π，即当n ＝k ＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n∈N *时，f n (x)＝(x ＋n)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋n π2＋(x －n)cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2成立．1. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15. (1) 求a 1，a 2，a 3的值；(2) 求数列{a n }的通项公式．解：(1) 由题意知S 2＝4a 3－20，∴ S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20. 又S 3＝15，∴ a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8. 又S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7， ∴ a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3. 综上知，a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2) 由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明． ① 当n ＝1时，结论显然成立；② 假设当n ＝k(k≥1)时，a k ＝2k ＋1，则S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝k[3＋（2k ＋1）]2＝k(k ＋2)．又S k ＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，∴ k(k ＋2)＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，解得2a k ＋1＝4k ＋6， ∴ a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知，∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1. 2. 由下列式子： 1>12； 1＋12＋13>1； 1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32；1＋12＋13＋…＋115>2； …猜想第n 个表达式，并用数学归纳法给予证明．解：可以猜得第n 个式子是1＋12＋13＋14＋…＋12n －1＞n2(n≥1，n ∈N )．用数学归纳法证明如下：① 当n ＝1 时，1>12；② 假设当n ＝k(n≥1，n ∈N )时，命题成立，即1＋12＋13＋14＋…＋12k －1>k2.当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1>k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1,\s\do4(2k ))＞k 2＋12·2k ＋12·2k ＋…＋12·2k ,\s\do4(2k )) ＝k 2＋2k2·2k ＝k 2＋12＝k ＋12. 所以，对一切n≥1，n ∈N 命题都成立．3. 已知f(n)＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g(n)＝32－12n2，n ∈N *.(1) 当n ＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系； (2) 猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．解：(1) 当n ＝1时，f(1)＝1，g(1)＝32－12×12＝1，所以f(1)＝g(1)；当n ＝2时，f(2)＝1＋123＝98，g(2)＝32－12×22＝118，所以f(2)<g(2)；当n ＝3时，f(3)＝1＋123＋133＝251216，g(3)＝32－12×32＝139，所以f(3)<g(3)． (2) 由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明． ① 当n ＝1时，不等式显然成立．② 假设当n ＝k(k∈N *)时不等式成立．即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2，那么，当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝f(k)＋1（k ＋1）3<32－12k 2＋1（k ＋1）3.因为12（k ＋1）2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k 2－1（k ＋1）3＝k ＋32（k ＋1）3－12k 2＝－3k －12（k ＋1）3k2＜0，所以f(k ＋1)<32－12（k ＋1）2＝g(k ＋1)．由①②可知，对一切n∈N *，都有f(n)≤g(n)成立．4. 已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝12·a n ·(4－a n )，n ∈N .(1) 求a 1，a 2；(2) 证明：a n <a n ＋1<2，n ∈N .解：(1) a 0＝1，a 1＝12a 0·(4－a 0)＝32，a 2＝12·a 1(4－a 1)＝158.(2) 用数学归纳法证明：。

2016届高考数学一轮复习课件第七章不等式、推理与证明7.3

2
1
1
1
∴ 1+
1 + ≥9,当且仅当 a=b= 时,等号成立.

2
1
1
1 1
1
+
1
2
(方法二) 1 +
1 + =1+ + + =1+
+ =1+ ,

2
+
1
1
∵a,b 为正数,a+b=1,∴ab≤
= ,当且仅当 a=b= 时,等号成立.
2
4
2
1
2
1
于是 ≥4, ≥8,当且仅当 a=b= 时,等号成立.
第六页，编辑于星期五：二十点三十七分。
第七章
基本不等式及其应用
7.3
考情概览
知识梳理
知识梳理
双击自测
知识梳理
核心考点
1
2
3
学科素养
7
4 5
3.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(
)
A.a2+b2>2ab
B.a+b≥2
1

1

2

C. + >
D. + ≥2
关闭
(a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号.
2
2
2 +
+ 2
(3)
≥
(a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号.
2
2

(4) + ≥ 2 (a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号.

高中数学一轮复习课件：第七章不等式、推理与证明(必修5、选修1-2)7-4

2．数列 2,5,11,20，x,47，…中的 x 等于( ) A．28 B．32 C．33 D．27
[解析] 从第 2 项起每一项与前一项的差构成公差为 3 的等差数列，所以 x＝20＋12＝32.故选 B.
[答案] B
3．(选修 1－2P30 练习 T1 改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表达式是( )
[对点训练] 1．(2019·山东日照模拟)对于实数 x，[x]表示不超过 x 的最大整数，观察下列等式： [ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3； [ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[ 7 ]＋[ 8 ]＝10； [ 9 ]＋[ 10 ]＋[ 11 ]＋[ 12 ]＋[ 13 ]＋[ 14 ]＋[ 15 ] ＝21； … 按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为________．
主干知识梳理 Z
主干梳理精要归纳
1．合情推理
[知识梳理]
2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知 1 个白圈分形为 2
个白圈 1 个黑圈，1 个黑圈分形为 1 个白圈 2 个黑圈，把题图(2)
中的树形图的第 1 行记为(1,0)，第 2 行记为(2,1)，第 3 行记为(5,4)，
第 4 行的白圈数为 2×5＋4＝14，黑圈数为 5＋2×4＝13，所以第

(五年高考真题)2016届高考数学复习第七章第五节推理与证明理

第五节推理与证明考点一合情推理与演绎推理1．(2014·北京，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A．2人B．3人C．4人D．5人解析学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙．一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B.答案 B2．(2012·江西，6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76 C．123 D．199解析利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123.答案 C3．(2011·江西，7)观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )A．3125 B．5625 C．0625 D．8125解析由观察易知55的末四位数字为3125，56的末四位数字为5625，57的末四位数字为8125，58的末四位数字为0625，59的末四位数字为3125，故周期T＝4.又由于2 011＝502×4＋3，因此52 011的末四位数字是8125.答案 D4．(2015·山东，11)观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41;C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1 ＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________．解析观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1，第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1.答案 4n －15．(2015·福建，15)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．解析 (ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5. 答案 56．(2013·陕西，14)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________．解析左边共n 项，每项的符号为(－1)n ＋1，通项为(－1)n ＋1·n 2.等式右边的值符号为(－1)n ＋1，各式为(－1)n ＋1(1＋2＋3＋…＋n )＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2，∴第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n ＋1·n （n ＋1）2.答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n （n ＋1）27．(2013·湖北，14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2，五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ， …… ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________.解析由题中数据可猜想：含n 2项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公差是－12的等差数列，因此N (n ，k )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（k －3）12n 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（k －3）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝k －22n 2＋4－k 2n .故N (10，24)＝11n 2－10n ＝11×102－10×10＝1000. 答案 1 0008．(2014·陕西，14)观察分析下表中的数据：．解析三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2. 答案 F ＋V －E ＝29．(2013·福建，15)当x ∈R ，|x |<1时，有如下表达式： 1＋x ＋x 2＋…＋x n＋…＝11－x .两边同时积分得：12⎰1d x ＋12⎰x d x ＋12⎰x 2d x ＋…＋12⎰x n d x ＋…＝12⎰11－xd x ，从而得到如下等式： 1×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋1n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋…＝ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C 0n ×12＋12C 1n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋13C 2n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋1n ＋1C n n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝________.解析由C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n，两边同时积分得： C 0n12⎰1d x ＋C 1n12⎰x d x ＋C 2n12⎰x 2d x ＋…＋C n n12⎰x n d x＝12⎰(1＋x )nd x ，12C 0n ＋12C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋13C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋1n ＋1C n n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1 ＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1（1＋x ）n ＋1120 ＝1n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋1－1n ＋1 ＝1n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－1. 答案 1n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－1 10．(2012·陕西，11)观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个不等式为___________________________________________．解析先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋12＋13＋14＋15＋16<116.答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<11611．(2012·湖北，13)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3 443，94 249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99；3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则 (1)4位回文数有________个；(2)2n ＋1(n ∈N ＋)位回文数有________个．解析 (1)2位回文数均是不为0的自然数，故有9个；而对于3位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，而对于中间一数可含有0，故有10种，因此3位回文数有90种；对于4位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，对于中间两数则可含有0，故有10种，因此也有90种；(2)经归纳可得2n ＋1位回文数有9×10n个．答案 (1)90 (2)9×10n12．(2011·山东，15)设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f [f 1(x )]＝x3x ＋4， f 3(x )＝f [f 2(x )]＝x7x ＋8， f 4(x )＝f [f 3(x )]＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f [f n －1(x )]＝________. 解析由f (x )＝x x ＋2(x >0)得，f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2， f 2(x )＝f [f 1(x )]＝x 3x ＋4＝x（22－1）x ＋22，f 3(x )＝f [f 2(x )]＝x 7x ＋8＝x（23－1）x ＋23，f 4(x )＝f [f 3(x )]＝x15x ＋16＝x（24－1）x ＋24，……∴当n ≥2且n ∈N *时，f n (x )＝f [f n －1(x )]＝x（2n－1）x ＋2n.答案x（2－1）x ＋213．(2013·重庆，22)对正整数n ，记I n ＝{1，2，…，n }，P n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎪m k m ∈I n ，k ∈I n . (1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是．．整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．解 (1)当k ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k |m ∈I 7中有3个数与I 7中的3个数重复，因此P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A ∪B ＝P n ⊇I n ，不妨设1∈A ，则因1＋3＝22，故3∉A ，即3∈B .同理6∈A ，10∈B ，又推得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾．再证P 14符合要求，当k ＝1时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k |m ∈I 14＝I 14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B 1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14.当k ＝4时，集⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k |m ∈I 14中除整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，32，52，…，132，可分解为下面两稀疏集的并：A 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，52，92，112，B 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，72，132. 当k ＝9时，集⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k |m ∈I 14中除正整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，43，53…，133，143，可分解为下面两稀疏集的并：A 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，43，53，103，133，B 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，73，83，113，143.最后，集C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k |m ∈I 14，k ∈I 14，且k ≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3，则A 和B 是不相交的稀疏集，且A ∪B ＝P 14. 综上，所求n 的最大值为14. 注：对P 14的分拆方法不是唯一的．考点二直接证明与间接证明1．(2014·山东，4)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．答案 A2．(2013·四川，15)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”，例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点，现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．解析由“中位点”可知，若C 在线段AB 上，则线段AB 上任一点都为“中位点”，C 也不例外，故①正确；对于②假设在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如图所示，点P 为斜边AB 中点，设腰长为2，则|PA |＋|PB |＋|PC |＝32|AB |＝32，而若C 为“中位点”，则|CB |＋|CA |＝4<32，故②错；对于③，若B ，C 三等分AD ，若设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1，则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故③错；对于④，在梯形ABCD中，对角线AC与BD的交点为O，在梯形ABCD内任取不同于点O的一点M，则在△MAC中，|MA|＋|MC|>|AC|＝|OA|＋|OC|，同理在△MBD中，|MB|＋|MD|>|BD|＝|OB|＋|OD|，则得，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|>|OA|＋|OB|＋|OC|＋|OD|，故O为梯形内唯一中位点，④是正确的．答案①④3.(2012·陕西，18)(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．(1)证明法一如图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，则a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b)＋μ(a·n)，因为a⊥b，所以a·b＝0.又因为a⊂π，n⊥π，所以a·n＝0.故a·n＝0，从而a⊥c.法二如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.∵PO⊥π，a⊂π，∴直线PO⊥a.又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b＝P，∴a⊥平面PAO.又c⊂平面PAO.∴a⊥c.(2)解逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．4．(2012·福建，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34 cos 2α＝34. 5．(2011·全国，20)设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝∑k ＝1nb k ，证明：S n <1.(1)解由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列．又11－a 1＝1，故11－a n＝n . 所以a n ＝1－1n.(2)证明由(1)得b n ＝1－a n ＋1n＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1，S n ＝∑k ＝1nb k=1nk =∑⎝⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝1－1n ＋1<1.考点三数学归纳法1．(2015·江苏，23)已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．解 (1)f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：1)若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；2)若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－13，结论成立；3)若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－23，结论成立；4)若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋k ＋13，结论成立； 5)若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (x )＋2＝k ＋2＋k －12＋k 3＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋（k ＋1）－13，结论成立； 6)若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1 ＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．2．(2014·陕西，21)设函数f (x )＝ln (1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式；(2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．解由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)． (1)由已知，g 1(x )＝x1＋x ，g 2(x ) ＝g (g 1(x ))＝x1＋x1＋x 1＋x ＝x1＋2x ， g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x1＋nx . 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx . 那么，当n ＝k ＋1时， g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x1＋kx 1＋x 1＋kx＝x 1＋（k ＋1）x，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln (1＋x )≥ax 1＋x恒成立．设φ(x )＝ln (1＋x )－ax1＋x(x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln (1＋x )≥ax 1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )＜0，∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减，∴φ(a －1)<φ(0)＝0，即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln (1＋x )≥ax1＋x 不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋n n ＋1，n －f (n )＝n －ln (n ＋1)，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln (n ＋1)．证明如下：法一上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln (n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln (1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln (k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln (k ＋1)＋1k ＋2<ln (k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln (k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．法二上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln (n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln (1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1. 故有ln 2－ln 1>12， ln 3－ln 2>13， ……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln (n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．法三如图，⎠⎛0nxx ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋n n ＋1是图中所示各矩形的面积和．∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝⎠⎛0n (1－1x ＋1)d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证．3．(2014·重庆，22)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)．(1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1，再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列，故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．法二 a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1， a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1.下面用数学归纳法证明上式：当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1.则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1 ＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)法一设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14. 下面用数学归纳法证明加强命题a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1. 故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14. 法二设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)．①当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1. 即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立，故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)．②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，有a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1，由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2，a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立，所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14.③ 又由①、②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2，所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1.解得a 2n ＋1>14.④ 综上，由②、③、④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．。

【最高考系列】(教师用书)2016届高考数学一轮总复习第七章推理与证明课堂过关理

第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理(对应学生用书(文)、(理)93～94页)1. 已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，类比这些等式，若6＋a b ＝6ab(a 、b 均为正数)，则a ＋b ＝________．答案：41解析：观察下列等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，第n 个应该是n ＋1＋n ＋1（n ＋1）2－1＝(n ＋1)n ＋1（n ＋1）2－1，则第5个等式中：a ＝6，b ＝a 2－1＝35，a ＋b ＝41.2. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体PABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.答案：127解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若存在正整数m 、n(m<n)，使得S m ＝S n ，则S m ＋n ＝0.类比上述结论，设正项等比数列{b n }的前n 项积为T n .若存在正整数m 、n(m<n)，使T m ＝T n ，则T m ＋n ＝________.答案：1解析：因为T m ＝T n ，所以b m ＋1b m ＋2…b n ＝1，从而b m ＋1b n ＝1，T m ＋n ＝b 1b 2…b m b m ＋1…b n b n ＋1…b n ＋m －1b n ＋m ＝(b 1b n ＋m )²(b 2b n ＋m －1)…(b m b n ＋1)²(b m ＋1b n )＝1.4. (选修12P 29练习题3(2)改编)观察下列等式： 21＋2＝4；21³2＝4；32＋3＝92；32³3＝92；43＋4＝163；43³4＝163；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n 的等式，这个等式可以表示为______________________．答案：n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n³(n ＋1)(n∈N *)解析：由归纳推理得n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1＋（n 2＋n ）n ＝（n ＋1）2n ， n ＋1n³(n ＋1)＝（n ＋1）2n ，所以得出结论n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n³(n ＋1)(n∈N *)． 5. 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体PABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体PABC 的体积为V ，则r ＝________．答案：3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：由类比推理可知r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.1. 归纳推理(1) 归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理． (2) 归纳推理的思维过程大致如图实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论(3) 归纳推理的特点① 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．② 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③ 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2. 类比推理(1) 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理．(2) 类比推理的思维过程观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论3. 演绎推理(1) 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2) 主要形式是三段论式推理． (3) 三段论的常用格式为 M — P(M 是P)① S －M(S 是M)② S — P(S 是P)③ 其中，①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断．[备课札记]题型1 归纳推理例1 在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足. (1) 求a 1，a 2，a 3；(2) 由(1)猜想数列{a n }的通项公式； (3) 求S n .解：(1) 当n ＝1时，S 1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，即a 21－1＝0，解得a 1＝±1.∵ a 1>0，∴ a 1＝1；当n ＝2时，S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，即a 22＋2a 2－1＝0.∵ a 2>0, ∴ a 2＝2－1.同理可得，a 3＝3－ 2.(2) 由(1)猜想a n ＝n －n －1.(3) S n ＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n. 变式训练已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n∈N *)，则a 3＝________，a 1²a 2²a 3²…²a 2 007＝________．答案：－123解析：(解法1)分别求出a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，可以发现a 5＝a 1，且a 1²a 2²a 3²a 4＝1，故a 1²a 2²a 3²…²a 2 007＝a 2 005²a 2 006²a 2 007＝a 1²a 2²a 3＝3.(解法2)由a n ＋1＝1＋a n1－a n，联想到两角和的正切公式，设a 1＝2＝tan θ，则有a 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ，a 3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ，a 4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋θ，a 5＝tan(π＋θ)＝a 1，….则a 1²a 2²a 3²a 4＝1，故a 1²a 2²a 3²…²a 2 007＝a 2 005²a 2 006²a 2 007＝a 1²a 2²a 3＝3.题型2 类比推理2 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．答案：a 38解析：在已知的平面图形中，中心O 到两边的距离相等(如图1)，即OM ＝ON.四边形OPAR是圆内接四边形，Rt △OPN ≌Rt △ORM ，因此S 四边形OPAR ＝S 正方形OMAN ＝14a 2.同样地，类比到空间，如图2.两个棱长均为a 的正方体重叠部分的体积为18a 3.备选变式（教师专享）在Rt △ABC 中，两直角边的长分别为a ，b ，直角顶点C 到斜边的距离为h ，则易证1h2＝1a 2＋1b2.在四面体SABC 中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，点S 到平面ABC 的距离为h ，类比上述结论，写出h 与a ，b ，c 之间的等式关系并证明．解：类比得到：1h 2＝1a 2＋1b 2＋1c2.证明：过S 作△ABC 所在平面的垂线，垂足为O ，连结CO 并延长交AB 于D ，连结SD ，∵ SO ⊥平面ABC ，∴ SO ⊥AB.∵ SC ⊥SA ，SC ⊥SB ，∴ SC ⊥平面ABS ，∴ SC ⊥AB ，SC ⊥SD ，∴ AB ⊥平面SCD ，∴ AB ⊥SD.在Rt △ABS 中，有1SD 2＝1a 2＋1b 2，在Rt △CDS 中，有1h 2＝1SD2＋1c 2＝1a 2＋1b 2＋1c2. 题型3 演绎推理, 3) 设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n∈N *)；②b n ≤M (n∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界” 数列．(1) 若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2) 判断(1)中的数列{S n }是否为“特界” 数列，并说明理由．解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋9n.(2) 由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝（S n ＋2－S n ＋1）－（S n ＋1－S n ）2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }适合条件①，而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20.即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列．备选变式（教师专享）设数列{}a n 满足a 1＝0且11－a n ＋ 1 －11－a n＝ 1.(1) 求{}a n 的通项公式；(2) 设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝k ＝1n b k ，证明：S n <1.(1)解：由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列．又11－a 1＝1，故11－a n ＝n.所以a n ＝1－1n . (2) 证明：由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1²n ＝1n －1n ＋1，1. 对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3³3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S 1＝59；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n 步，所得图形的面积S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫59n .若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n 步，所得几何体的体积V n ＝________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13n解析：将棱长为1的正方体分割成3³3³3＝27个全等的小正方体，拿去分别与中间小正方体的六个面重合的6个小正方体和分别与中间小正方体有1条棱重合的12个小正方体，则余下的9个小正方体体积V 1＝13，第二步，将余下的9个小正方体作同样的操作，则余下的9³9个小正方体的体积V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132，所以到第n 步，所得几何体的体积V n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . 2. 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3，32＝1＋3＋5，42＝1＋3＋5＋7，…； 23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，….根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝________．答案：11解析：由归纳推理可知，m ＝6，p ＝5，∴ m ＋p ＝11. 3. (2014²泰州期末)已知在等差数列{a n }中，若m ＋2n ＋p ＝s ＋2t ＋r ，m 、n 、p 、s 、t 、r∈N *，则a m ＋2a n ＋a p ＝a s ＋2a t ＋a r .仿此类比，可得到等比数列{b n }中的一个正确命题：若m ＋2n ＋p ＝s ＋2t ＋r ，m 、n 、p 、s 、t 、r∈N *，则________．答案：b m (b n )2b p ＝b s (b t )2b r解析：由类比推理将加法换成乘法，乘法换成乘方即得结论．4. 已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形： a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A(s ，t)表示第s 行的第t 个数，则A(11，12)＝________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 解析：该三角形数阵每行所对应元素的个数为1，3，5…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A(11，12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112. 5. 观察下列等式：(1＋1)＝2³1，(2＋1)(2＋2)＝22³1³3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23³1³3³5，…照此规律，第n 个等式可为________．答案：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n＋n)＝2n³1³3³5³…³(2n －1)解析：观察规律可知，左边为n 项的积，最小项和最大项依次为(n ＋1)，(n ＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n ，则第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n＋n)＝2n³1³3³5³…³(2n －1)．1. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，有11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则运用归纳推理得到第11行第2个数(从左往右数)为________． 112 1213 16 13 14 112 112 1415 120 130 120 15 …答案：1110解析：由“莱布尼茨调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为110，第11行的第一个数为111，则第11行的第二个数为110－111＝1110.2. 若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列{nT n }为等比数列，公比为________．答案：q解析：T n ＝b n 1q n （n －1）2，n T n ＝b 1(q)n －1.3. 已知结论：在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2.若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM＝________．答案：3解析：由题意知，O 为正四面体的外接球，内切球球心，设正四面体的高为h ，由等体积法可求得内切球半径为14h ，外接球半径为34h ，所以AOOM＝3.4. 若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点分别为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a2＋y 0yb2＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线的切点分别为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是____________．答案：x 0x a 2－y 0y b2＝1解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 0(x 0，y 0)，则过P 1、P 2的切线方程分别是x 1x a2－y 1yb2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1.因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1. 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a2－y 0y b 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0xa2－y 0yb 2＝1.1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新的结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路和方法．2. 合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想．3. 演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论，数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．4. 合情推理仅是符合情理的推理，他得到的结论不一定真，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．请使用课时训练(A )第1课时(见活页)．[备课札记]第2课时直接证明与间接证明(对应学生用书(文)、(理)95～96页)1. 已知向量m ＝(1，1)与向量n ＝(x ，2－2x)垂直，则x ＝________．答案：2解析：m ²n ＝x ＋(2－2x)＝2－x.∵ m ⊥n ，∴ m ²n ＝0，即x ＝2.2. 用反证法证明命题“如果a>b ，那么3a>3b ”时，假设的内容应为______________．答案：3a ＝3b 或3a<3b解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即3a ＝3b 或3a<3b. 3. 6－22与5－7的大小关系是______________．答案：6－22>5－7解析：由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为42>40，所以6－22>5－7成立．4. 定义集合运算：A²B＝{Z|Z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B}，设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{sin α，cos α}，则集合A²B 的所有元素之和为________．答案：0解析：依题意知α≠k π＋π4，k ∈Z .①α＝k π＋3π4(k∈Z )时，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫22，－22，A ²B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，22，－22；②α＝2k π或α＝2k π＋π2(k∈Z )时，B ＝{0，1}，A ²B ＝{0，1，－1}；③α＝2k π＋π或α＝2k π－π2(k∈Z )时，B ＝{0，－1}，A ²B ＝{0，1，－1}；④α≠k π2且α≠k π＋3π4(k∈Z )时，B ＝{sin α，cos α}，A ²B ＝{0，sin α，cos α，－sin α，－cos α}．综上可知A²B 中的所有元素之和为0.5. 设a 、b 为两个正数，且a ＋b ＝1，则使得1a ＋1b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．答案：(－∞，4]解析：∵ a＋b ＝1，且a 、b 为两个正数，∴ 1a ＋1b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ²a b ＝4.要使得1a ＋1b≥μ恒成立，只要μ≤4.1. 直接证明(1) 定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法． (2) 一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理 A B C … 本题结论．(3) 综合法① 定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．② 推证过程已知条件 … … 结论(4) 分析法① 定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法称为分析法．② 推证过程结论 … … 已知条件2. 间接证明(1) 常用的间接证明方法有反证法、正难则反等． (2) 反证法的基本步骤① 反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．② 归谬——从反设和已知出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.题型1直接证明(综合法和分析法), 1) 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1，2，3，…)，证明：(1) 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2) S n ＋1＝4a n .证明：(1) ∵ a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1，2，3，…)，∴ (n ＋2)S n ＝n(S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，∴ S n ＋1n ＋1＝2²S nn ，即S n ＋1n ＋1S n n＝2，∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列．(2) 由(1)知：S n ＋1n ＋1＝4²S n －1n －1(n≥2)，于是S n ＋1＝4²(n ＋1)²S n －1n －1＝4a n (n≥2)．又a 2＝3S 1＝3，∴ S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4a 1，∴ 对一切n∈N *，都有S n＋1＝4a n ., 2) 设a 、b 、c 均为大于1的正数，且ab ＝10，求证：log a c ＋log b c ≥4lgc.证明：(分析法)由于a>1，b>1，c>1，故要证明log a c ＋log b c ≥4lgc ，只要证明lgc lga ＋lgclgb≥4lgc ，即lga ＋lgb lga ²lgb ≥4，因为ab ＝10，故lga ＋lgb ＝1.只要证明1lgalgb≥4，由于a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0<lgalgb ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lga ＋lgb 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即1lgalgb ≥4成立．所以原不等式成立．变式训练设首项为a 1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，q 为非零常数，已知对任意正整数n 、m ，S n ＋m ＝S m ＋q mS n 总成立．求证：数列{a n }是等比数列．证明：因为对任意正整数n 、m ，S n ＋m ＝S m ＋q mS n 总成立，令n ＝m ＝1，得S 2＝S 1＋qS 1，则a 2＝qa 1.令m ＝1，得S n ＋1＝S 1＋qS n ①，从而S n ＋2＝S 1＋qS n ＋1 ②，②－①得a n ＋2＝qa n ＋1(n≥1)．综上得a n ＋1＝qa n (n≥1)，所以数列{a n }是等比数列．题型2 间接证明(反证法), 3) 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1) 求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2) 设b n ＝S n n(n∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1) 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴ d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n(n ＋2)．(2) 证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)．∴ (q 2－pr)＋2(2q －p －r)＝0.∵ p ，q ，r ∈N *，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r)2＝0.∴ p＝r ，与p≠r 矛盾．∴ 数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．备选变式（教师专享）求证：y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b(a ，b ，c 是互不相等的实数)，三条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点．证明：假设这三条抛物线全部与x 轴只有一个交点或没有交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4b 2－4ac≤0，Δ2＝4c 2－4ab≤0，Δ3＝4a 2－4bc≤0，三式相加，得a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc≤0.则(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2≤0.∴ a ＝b ＝c 与已知a ，b ，c 是互不相等的实数矛盾，∴ 这三条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点．1. (2014²山东)用反证法证明命题“设a 、b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________．答案：方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根解析：“方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．2. 已知a 、b 、c∈(0，＋∞)且a ＜c ，b ＜c ，1a ＋9b＝1，若以a 、b 、c 为三边构造三角形，则c 的取值范围是________．答案：(10，16)解析：要以a 、b 、c 为三边构造三角形，需要满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，而a<c ，b<c ，所以a ＋b>c 恒成立．而a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥16，∴ c<16.又1a >1c ，1b >1c ，∴ 10c <1a ＋9b＝1，∴ c>10，∴ 10<c<16.3. (2014²北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同，数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有________人.答案：3解析：假设A ，B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的．因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即 3位学生的成绩分别为(优秀，不合格)，(合格，合格)，(不合格，优秀)时满足条件．4. 设函数f(x)＝2x ＋ax ＋1(a≠2)．(1) 用反证法证明：函数f(x)不可能为偶函数；(2) 求证：函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减的充要条件是a>2.证明：(1) 假设函数f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，即－4＋a －1＝4＋a3，解得a ＝2，这与a≠2矛盾，所以函数f(x)不可能是偶函数．(2) 因为f(x)＝2x ＋a x ＋1，所以f′(x)＝2－a（x ＋1）2.① 充分性：当a>2时，f ′(x)＝2－a（x ＋1）2<0，所以函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减；② 必要性：当函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减时，有f ′(x)＝2－a（x ＋1）2≤0，即a≥2，又a≠2，所以a>2.综合①②知，原命题成立．1. 已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．答案：c n ＋1＜c n解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，∴ c n 随n 的增大而减小．∴ c n ＋1＜c n .2. 一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为τ1，τ2，τ3，τ4，则τ1，τ2，τ3，τ4的大小关系为________．答案：τ4＞τ2＞τ3＞τ1解析：在图(1)中，设图形所在的矩形长为a ，宽为b ，则其周率为2（a ＋b ）a 2＋b2，由不等式的性质可知2（a ＋b ）a 2＋b2≤22；在图(2)中设大圆的半径为R ，则易知外边界长为πR ，而内边界恰好为一个半径为R2的小圆的周长πR ，故整个边界长为2πR ，而封闭曲线的直径最大值为2R ，故周率为π；图(3)中周长为直径的三倍，故周率为3；图(4)中设各边长为a ，则整个边界的周长为12a ，直径为23a ，故周率为23，故四个周率大小τ4＞τ2＞τ3＞τ1.3. 定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)－f(x 2)|≤k|x 1－x 2| 成立，则称函数f(x)在定义域D 上满足利普希茨条件．若函数f(x)＝x (x≥1)满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为________．答案：12解析：若函数f(x)＝x (x≥1)满足利普希茨条件，则存在常数k ，使得对定义域[1，＋∞)内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)－f(x 2)|≤k|x 1－x 2| 成立，设x 1>x 2，则k≥x 1－x 2x 1－x 2＝1x 1＋x 2.而0<1x 1＋x 2<12，所以k 的最小值为12.4. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：① sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；② sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③ sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④ sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤ sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解： (1) 选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2) (解法1)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°²cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.(解法2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos （60°－2α）2－sin α(cos30°²cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°²sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34. 5. 如图，已知半径为r 的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相互垂直且交点为P.(1) 若四边形ABCD 中的一条对角线AC 的长度为d(0<d<2r)，求四边形ABCD 面积的最大值；(2) 当点P 运动到什么位置时，四边形ABCD 的面积取得最大值，最大值为多少？解：(1) 因为对角线互相垂直的四边形ABCD 面积S ＝|AC|²|BD|2，而|AC|＝d 为定长，则当|BD|最大时，S 取得最大值．由圆的性质，垂直于AC 的弦中，直径最长，故当且仅当BD 过圆心M 时，四边形ABCD 面积S 取得最大值，最大值为dr.(2) 设圆心M 到弦AC 的距离为d 1，到弦BD 的距离为d 2，MP ＝d.则|AC|＝2r 2－d 21，|BD|＝2r 2－d 22，且d 2＝d 21＋d 22.可得S ABCD ＝2r 2－d 21²r 2－d 22＝2r 4－（d 21＋d 22）r 2＋d 21d 22.又d 21d 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫d 21＋d 2222，当且仅当d 1＝d 2时等号成立．∴ S ABCD ≤2r 4－d 2r 2＋d 44＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪r 2－d 22，当且仅当d 1＝d 2时等号成立．∵ 点P 在圆内运动，∴ 当点P 和圆心M 重合时d ＝0，此时d 1＝d 2，四边形的面积最大，且最大值S max ＝2r 2.1. 分析法的特点是从未知看已知，逐步靠拢已知，综合法的特点是从已知看未知，逐步推出未知．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较烦；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2. 反证法是从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，说明结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法．适宜用反证法证明的数学命题：①结论本身是以否定形式出现的一类命题；②关于唯一性、存在性的命题；③结论以“至多”“至少”等形式出现的命题；④结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题．请使用课时训练(B )第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时数学归纳法(对应学生用书(理)97～98页)1. 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n∈N *，n>1)时，第一步应验证________．答案：1＋12＋13<2解析：∵ n∈N *，n>1，∴ n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13.2. (选修22P 88练习题3改编)用数学归纳法证明不等式“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取为________．答案：5解析：当n≤4时，2n ≤n 2＋1；当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，所以n 0应取为5.3. 设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋13n －1(n∈N *)，则f(k ＋1)－f(k)＝________.答案：13k ＋13k ＋1＋13k ＋2解析：f(k ＋1)－f(k)＝1＋12＋13＋14＋…＋13（k ＋1）－1－(1＋12＋13＋14＋…＋13k －1)＝13k ＋13k ＋1＋13k ＋2. 4. 利用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1314时，由k 递推到k ＋1时左边应添加的因式是________．答案：12k ＋1－12（k ＋1）解析：f(k ＋1)－f(k)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2－(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＝12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－12（k ＋1）. 5. 已知a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 2，a 3，a 4，a 5的值分别为________________，由此猜想a n ＝________．答案：37、38、39、310 3n ＋5解析：a 2＝3a 1a 1＋3＝3³1212＋3＝37＝32＋5，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38＝33＋5，a 4＝39＝34＋5，a 5＝310＝35＋5，猜想a n ＝3n ＋5.1. 由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2. 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n 取第1个值n 0时，命题成立；然后假设当n ＝k(k∈N，k≥n 0)时命题成立；证明当n ＝k ＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： (1) 归纳奠基：证明凡取第一个自然数n 0时命题成立；(2) 归纳递推：假设n ＝k(k∈N，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3) 由(1)(2)得出结论．[备课札记]题型1 证明等式1 (2014²陕西)设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf ′(x)，x ≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．令g 1(x)＝g(x)，g n ＋1(x)＝g(g n (x))，n ∈N *，求证：g n (x)＝x 1＋nx.证明：(数学归纳法)① 当n ＝1时，g 1(x)＝x1＋x ，结论成立．② 假设n ＝k 时结论成立，即g k (x)＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x)＝g(g k (x))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx＝x1＋（k ＋1）x，即结论成立．由①②可知，结论对所有n∈N *均成立．变式训练用数学归纳法证明： 1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n∈N )．证明：① 当n ＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．② 假设当n ＝k(k∈N)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，上式表明当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n∈N均成立．题型2 证明不等式, 2) (2014²南通二模)各项均为正数的数列{x n }对一切n∈N *均满足x n＋1x n ＋1＜2.证明： (1) x n ＜x n ＋1；(2) 1－1n＜x n ＜1.证明：(1) ∵ x n ＞0，x n ＋1x n ＋1＜2，∴ 0＜1x n ＋1＜2－x n ，∴ x n ＋1＞12－x n，且2－x n ＞0.∵ 12－x n －x n ＝x 2n －2x n ＋12－x n ＝（x n －1）22－x n≥0. ∴ 12－x n ≥x n ，∴ x n ≤12－x n＜x n ＋1，即x n ＜x n ＋1. (2) 下面用数学归纳法证明：x n ＞1－1n.① 当n ＝1时，由题设x 1＞0可知结论成立；② 假设n ＝k 时，x k ＞1－1k，当n ＝k ＋1时，由(1)得，x k ＋1＞12－x k ＞12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＝k k ＋1＝1－1k ＋1.由①②可得，x n ＞1－1n.下面先证明x n ≤1.假设存在自然数k ，使得x k ＞1，则一定存在自然数m ，使得x k ＞1＋1m.因为x k ＋1x k ＋1＜2，x k ＋1＞12－x k ＞12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＝m m －1，x k ＋2＞12－x k ＋1＞12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m －1＝m －1m －2，…，x k ＋m －1＞m －（m －2）m －（m －1）＝2，与题设x k ＋1x k ＋1＜2矛盾，所以x n ≤1.若x k ＝1，则x k＋1＞x k ＝1，根据上述证明可知存在矛盾．所以x n ＜1成立．备选变式（教师专享）已知x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1x 2…x n ＝1，求证：(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x n )≥(2＋1)n.证明(数学归纳法)：(ⅰ) 当n ＝1时，2＋x 1＝2＋1，不等式成立．(ⅱ) 假设n ＝k 时不等式成立，即(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k )≥(2＋1)k成立．则n ＝k ＋1时，若x k ＋1＝1，则命题成立；若x k ＋1>1，则x 1，x 2，…，x k 中必存在一个数小于1，不妨设这个数为x k ，从而(x k －1)(x k ＋1－1)<0，即x k ＋x k ＋1>1＋x k x k ＋1.x k ＋1<1同理可得，所以(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k )(2＋x k ＋1) ＝(2＋x 1)(2＋x 2)…[2＋2(x k ＋x k ＋1)＋x k x k ＋1] ≥(2＋x 1)(2＋x 2)…[2＋2(1＋x k x k ＋1)＋x k x k ＋1] ＝(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k x k ＋1)(2＋1)≥(2＋1)n (2＋1)＝(2＋1)k ＋1. 故n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(ⅰ)(ⅱ)知原不等式成立．题型3 数列问题3 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，….(1) 求a 1，a 2；(2) 猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．解：(1) 当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12；当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2) 由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.①由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，….下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ) n＝1时已知结论成立.(ⅱ) 假设n ＝k(k∈N *)时结论成立，即S k ＝k k ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．备选变式（教师专享）(2014²镇江期末)已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1²(1＋a n )＝1.(1) 试计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2) 猜想|a n ＋1－a n |与115⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1(其中n∈N *)的大小关系，并证明你的猜想．解：(1) 由已知计算得a 2＝35，a 3＝58，a 4＝813，a 5＝1321.(2) 由(1)得|a 2－a 1|＝115，|a 3－a 2|＝140，|a 4－a 3|＝1104，|a 5－a 4|＝1273，而n 分别取1，2，3，4时，115⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1分别为115，275，4375，81 875，故猜想|a n ＋1－a n |≤115⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1.下面用数学归纳法证明以上猜想：① 当n ＝1时，已证； ② 当n ＝k≥1时，假设|a k ＋1－a k |≤115⎝ ⎛⎭⎪⎫25k －1，对n∈N *：由a 1＝23，a n ＋1＝11＋a n ，得a n >0，∴ 0<a n ＋1＝11＋a n<1，且0<a 1＝23<1，∴ 0<a n <1，∴ 12<a n ＋1＝11＋a n <1，且12<a 1＝23<1，∴ 12<a n <1.则当n ＝k ＋1时，∵ (1＋a k ＋1)(1＋a k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋a k (1＋a k )＝2＋a k >2＋12＝52， ∴ |a k ＋2－a k ＋1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11＋a k ＋1－11＋a k ＝|a k ＋1－a k |（1＋a k ＋1）（1＋a k ）≤115⎝ ⎛⎭⎪⎫25k －1（1＋a k ＋1）（1＋a k ）≤115⎝ ⎛⎭⎪⎫25k －125＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫25k.∴ 当n ＝k≥1时，结论成立．由①和②知，以上猜想成立．题型4 综合运用, 4) 若函数f(x)＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过点P(4，5)，Q n (x n ，f(x n ))的直线PQ n 与x 轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤x n ＜x n ＋1<3.证明：① 当n ＝1时，x 1＝2，f(x 1)＝－3，Q 1(2，－3)．∴ 直线PQ 1的方程为y ＝4x －11，令y ＝0，得x 2＝114，因此，2≤x 1＜x 2＜3，即n ＝1时结论成立．② 假设当n ＝k 时结论成立，即2≤x k ＜x k ＋1＜3.∴ 直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f （x k ＋1）－5x k ＋1－4(x －4)．又f(x k ＋1)＝x 2k ＋1－2x k ＋1－3，代入上式，令y ＝0，得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1. 由归纳假设，2<x k ＋1<3，x k ＋2＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3；x k ＋2－x k ＋1＝（3－x k ＋1）（1＋x k ＋1）2＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2.∴ 2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n ，2≤x n <x n ＋1<3. 备选变式（教师专享）(2014²无锡期末)已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．(1) 分别求出凸四边形，凸五边形，凸六边形的对角线的条数； (2) 猜想凸n 边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．解：(1) 凸四边形的对角线条数为2条；凸五边形的对角线条数为5条；凸六边形的对角线条数为9条．(2) 猜想f(n)＝n （n －3）2(n≥3，n ∈N *)．证明如下：当n ＝3时，f(3)＝0成立；设当n ＝k(k≥3)时猜想成立，即f(k)＝k （k －3）2，则当n ＝k ＋1时，考察k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1，① k 边形A 1A 2…A k 中原来的对角线也都是k ＋1边形中的对角线，且边A 1A k 也成为k ＋1边形中的对角线；② 在A k ＋1与A 1，A 2，…，A k 连结的k 条线段中，除A k ＋1A 1，A k ＋1A k 外，都是k ＋1边形中的对角线，共计有f(k ＋1)＝f(k)＋1＋(k －2)＝k （k －3）2＋1＋(k －2)＝k 2－3k ＋2k －22＝k 2－k －22＝（k ＋1）（k －2）2＝（k ＋1）（k ＋1－3）2，即猜想对n ＝k ＋1时也成立．综上，得f(n)＝n （n －3）2对任何n≥3，n ∈N *都成立．1. 用数学归纳法证明“12＋22＋32＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)(n∈N *)”，当n ＝k ＋1时，应在n ＝k 时的等式左边添加的项是________．答案：(k ＋1)2解析：[12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2]－(12＋22＋…＋k 2)＝(k ＋1)2.2. 用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n∈N *)”时，第一步验证的表达式为________．答案：21＋1≥12＋1＋2(或22≥4或4≥4也算对)解析：当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2.3. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是____．答案：假设n ＝2k －1(k∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1(k∈N *)正确解析：因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题先假设n ＝2k －1(k∈N *)正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1(k∈N *)正确．4. (2014²苏锡常镇二模)如图，圆周上有n 个固定点，分别为A 1，A 2，…，A n (n∈N *，n ≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n .(1) 写出a 2，a 3，a 4的值；(2) 写出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1) a 2＝6，a 3＝6，a 4＝18.(2) a n ＝2n ＋2²(－1)n.(*)证明如下：① 当n ＝2时，a 2＝6，符合(*)式．② 假设当n ＝k 时，(*)式成立，即a k ＝2k ＋2²(－1)k成立，那么n ＝k ＋1时，因为A 1有3种标法，A 2有2种标法，…，A k 有2种标法，A k ＋1若仅与A k 不同，则有2种标法：一种与A 1数不同，符合要求，有a k ＋1种；一种与A 1数相同，不符合要求，但相当于k 个点的标法总数，有a k 种．则有3³2k ＝a k ＋1＋a k .∴ a k ＋1＝－a k ＋3³2k ＝－2k －2²(－1)k ＋3³2k ＝2k＋1＋2(－1)k ＋1.即n ＝k ＋1时，(*)式也成立．由①②知(*)式成立，即证．1. (2014²沈阳模拟)已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n∈N *)，用数学归纳法证明f(2n)>112时，则f(2k ＋1)－f(2k)等于________．答案：12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1解析：∵ f(2k ＋1)＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋1k ＋1＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1，f(2k)＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋1k ＋1＋…＋12k ，∴ f(2k ＋1)－f(2k)＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.2. 用数学归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2＞1(n∈N *且n ＞1)．证明：①当n ＝2时，左边＝12＋13＋14＝1312＞1，∴ n ＝2时不等式成立；②假设当n ＝k(k≥2)时不等式成立，即1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＞1，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋1＋…＋1k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋…＋1（k ＋1）2 ＝1k ＋1k ＋1＋…＋1k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋…＋1（k ＋1）2－1k＞1＋(2k ＋1)²1k 2＋1－1k ＝1＋k 2＋k －1k （k 2＋1）＞1. 综上，对于任意n∈N *，n>1不等式均成立，原命题得证．3. 已知函数f(x)＝－x 3＋ax 在(－1，0)上是增函数． (1) 求实数a 的取值范围A ；(2) 当a 为A 中最小值时，定义数列{a n }满足：a 1∈(－1，0)，且2a n ＋1＝f(a n )，用数学归纳法证明a n ∈(－1，0)，并判断a n ＋1与a n 的大小．解：(1) ∵ f′(x)＝－3x 2＋a≥0即a≥3x 2在x∈(－1，0)恒成立，∴ A ＝[3，＋∞) (2) 用数学归纳法证明：a n ∈(－1，0)． (ⅰ) n＝1时，由题设a 1∈(－1，0)；(ⅱ) 假设n ＝k 时，a k ∈(－1，0)，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12f(a k )＝12(－a 3k ＋3a k )，由(1)知：f(x)＝－x 3＋3x 在(－1，0)上是增函数，又a k ∈(－1，0)，所以12[－(－1)3＋3³(－1)]＝－1<a k ＋1＝12f(a k )＝12(－a 3k ＋3a k )<0，综合(ⅰ)(ⅱ)得：对任意n∈N *，a n ∈(－1，0)．a n ＋1－a n ＝12(－a 3n ＋3a n )－a n ＝－12a n (a n －1)(a n ＋1)因为a n ∈(－1，0)，所以a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .4. (2014²江苏)已知函数f 0(x)＝sinx x(x ＞0)，设f n (x)为f n －1(x)的导数，n ∈N *.(1) 求2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值； (2) 证明：对任意的n∈N *，等式|nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4|＝22都成立．(1) 解：由已知，得f 1(x)＝f′0(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sinx x ′＝cosx x －sinx x 2，于是f 2(x)＝f′1(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cosx x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫sinx x 2′＝－sinx x －2cosx x 2＋2sinx x 3，所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4π2，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π＋16π3.故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1. (2) 证明：由已知，得xf 0(x)＝sinx ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x)＋xf′0(x)＝cosx ，即f 0(x)＋xf 1(x)＝cosx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，类似可得2f 1(x)＋xf 2(x)＝－sinx ＝sin(x ＋π)，3f 2(x)＋xf 3(x)＝－cosx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π2，4f 3(x)＋xf 4(x)＝sinx ＝sin(x ＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x)＋xf n (x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n∈N *都成立．① 当n ＝1时，由上可知等式成立．② 假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x)＋xf k (x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2.因为[kf k －1(x)＋xf k (x)]′＝kf′k －1(x)＋f k (x)＋xf′k (x)＝(k ＋1)f k (x)＋xf k ＋1(x)，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2² ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（k －1）π2，所以(k ＋1)f k (x)＋xf k ＋1(x)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（k ＋1）π2.因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合①②可知等式nf n －1(x)＋xf n (x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n∈N *都成立．令x ＝π4，可得nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin(π4＋n π2)(n∈N *)．所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22(n∈N *)．1. 数学归纳法是专门证明与整数有关命题的一种方法，分两步，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两步缺一不可．2. 运用数学归纳法时易犯的错误：①对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错；②没有利用归纳假设；③关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性和规范性．请使用课时训练（A）第3课时（见活页）[备课札记]。

【名师金典】(教师用书)2016版高考数学大一轮复习第七章立体几何

第七章立体几何第一节空间几何体的结构、三视图和直观图[考情展望] 1.以三视图为命题背景，考查空间几何体的结构特征.2.利用空间几何体的展开，考查空间想象能力.3.以选择题、填空题的形式考查．一、多面体的结构特征1．棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．2．棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．3．棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形．侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反之，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．二、旋转体的形成1．三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．2．三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．四、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为1.45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原来的一半．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝2 4S原图形，S原图形＝22S直观图．1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( ) A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等【答案】 B2．如图7－1－1，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )图7－1－1A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】 C3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图7－1－2所示的一个正方形，则原来的图形是( )图7－1－24．若某几何体的三视图如图7－1－3所示，则这个几何体的直观图可以是( )图7－1－3【答案】 B以是( )图7－1－4【答案】 D6．(2013²湖南高考)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A.32 B ．1 C.2＋12D. 2【答案】 D考向一 [111] 空间几何体的结构特征下列结论中正确的是( )A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【答案】 D规律方法1 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．考向二 [112] 几何体的三视图(1)(2014²湖北高考)在如图7－1－5所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②(2)(2014²课标全国卷Ⅰ)如图7－1－6，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( ) A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱(3)(2014²北京高考)某三棱锥的三视图如图7－1－7所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．图7－1－7【答案】(1)D (2)B (3)2 2规律方法 2 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．对点训练(1)如图7－1－8是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )图7－1－8A B C D(2)(2014²江西高考)一几何体的直观图如图7－1－9，下列给出的四个俯视图中正确的是( )图7－1－9【答案】(1)B (2)B考向三 [113] 空间几何体的直观图如图7－1－10所示，四边形A′B′C′D′是一水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，求这个平面图形的实际面积．图7－1－10【尝试解答】根据斜二测直观图画法规则可知该平面图形是直角梯形，且AB＝6，CD＝4保持不变．由于C′B′＝2A′D′＝2 2.所以CB＝4 2.故平面图形的实际面积为12³(6＋4)³42＝20 2.规律方法3 由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴，y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．对点训练 (1)已知正△ABC 的边长为a ，则△ABC 水平放置的直观图△A ′B ′C ′的面积为．图7－1－11(2)如图7－1－11所示，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．6B ．8C ．2＋3 2D ．2＋2 3【答案】 (1)616a 2(2)B易错易误之十二画三视图忽视边界线及其实虚 —————————— [1个示范例] ——————(2012²陕西高考)将正方体(如图7－1－12(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图7－1－12(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为( )图7－1－12【解析】还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．此处易出现两种错误：①是忽视B1C也是边界而误选D；②是虽然注意了B1C也是边界线，但忽视了其不可视而误选C.【防范措施】(1)在确定边界线时，要先分析几何体由哪些面组成，从而可确定边界线，其次要确定哪些边界线投影后与轮廓线重合，哪些边界线投影后与轮廓线不重合，不重合的是我们要在三视图中画出的．(2)在画三视图时，首先确定几何体的轮廓线，然后再确定面与面之间的边界线，再根据是否可视确定实虚．————————[1个防错练] ———————一个正方体截去两个角后所得几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图7－1－13所示，则其俯视图为( )正(主)视图侧(左)视图图7－1－13A B C D【解析】由题意得正方体截去的两个角如图所示，故其俯视图应选C.【答案】 C课时限时检测(三十八) 空间几何体的结构、三视图和直观图(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2013²四川高考)一个几何体的三视图7－1－14图如图7－1－14所示，则该几何体可以是( )A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【答案】 D2．下列命题中正确的个数是( )①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】 A3．给出下列三个命题：①相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱；②各侧面都是正方形的四棱柱是正方体；③底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正棱锥．其中正确的命题有( ) A．1个 B．2个C．3个 D．0个【答案】 D4．已知某一几何体的正视图与侧视图如图7－1－15所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有( )图7－1－15A．①②③④ B．②③④⑤C．①②④⑤ D．①②③⑤【答案】 A5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图7－1－16所示，则该几何体的侧视图为( )图7－1－16【答案】 D6．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图7－1－17所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这个平面图形的面积为( )图7－1－17A.14＋24 B ．2＋22C.14＋22D.12＋ 2 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．如图7－1－18所示正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的主视图(又称正视图)是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图(又称左视图)的面积为．图7－1－18【答案】 8 38．如图7－1－19是水平放置的△ABC (AD 为BC 边上的中线)的直观图，试按此图判定原△ABC 中的四条线段AB ，BC ，AC ，AD ，其中最长的线段是，最短的线段是．图7－1－19【答案】 AC BC9．已知一几何体的三视图如图7－1－20所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号) ．图7－1－20①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．【答案】 ①③④⑤三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)如图7－1－21所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求△ABC 的面积．图7－1－21【解】如图所示，△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，作C ′D ′∥A ′B ′交y ′轴于点D ′，则C ′，D ′到x ′轴的距离为32a .∵∠D ′A ′B ′＝45°，∴A ′D ′＝62a ，由斜二测画法的法则知，在△ABC 中，AB ＝A ′B ′＝a ，AB 边上的高是A ′D ′的二倍，即为6a ，∴S △ABC ＝12a ²6a ＝62a 2. 11．(12分)用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，从两个角度观察得到的图形如图，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是多少？图7－1－22【解】搭成该几何体最少需要小正方体6块，按如图所示摆放．12．(13分)如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．图7－1－23(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；【解】 (1)如图．(2)所求多面体的体积，V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4³4³6－13³⎝ ⎛⎭⎪⎫12³2³2³2＝2843(cm 3)．第二节空间几何体的表面积与体积[考情展望] 1.与三视图相结合考查柱、锥、台、球的体积和表面积.2.以选择题与填空题形式考查．一、旋转体的表(侧)面积1．V 柱体＝Sh . 2．V 锥体＝13Sh .3．V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．4．V 球＝43πR 3(球半径是R )．求几何体体积的两种重要方法1．割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．2．等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为( )A ．48(3＋3)B ．48(3＋23)C ．24(6＋2)D ．144【答案】 A2．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图7－2－1所示，则其侧面积．．．等于( )图7－2－1A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．6【答案】 D3．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS D.233πS【答案】 A4．母线长为1的圆锥的侧面展开图的面积是23π，则该圆锥的体积为( )A.2281πB.881π C.4581π D.1081π 【答案】 C5．(2014²浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图7－2－2所示，则此几何体的表面积是( )图7－2－2A．90 cm2B．129 cm2C．132 cm2D．138 cm2【答案】 D6．(2013²辽宁高考)某几何体的三视图如图7－2－3所示，则该几何体的体积是．图7－2－3【答案】16π－16考向一 [114] 空间几何体的表面积(1)(2014²重庆高考)某几何体的三视图如图7－2－4所示，则该几何体的表面积为( )图7－2－4A．54 B．60 C．66 D．72(2)(2014²山东高考)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为．【答案】(1)B (2)12规律方法 1 1.解答本题的关键是根据三视图得到几何体的直观图，弄清几何体的组成．2．在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．3．以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．对点训练(2013²重庆高考)某几何体的三视图如图7－2－5所示，则该几何体的表面积为( )图7－2－5A．180 B．200 C．220 D．240【答案】 D考向二 [115] 空间几何体的体积(1)(2013²课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图7－2－6所示，则该几何体的体积为( )图7－2－6A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π(2)(2012²山东高考)如图7－2－7，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为．图7－2－7【答案】 (1)A (2)16规律方法2 1.解答本题(2)的关键是转换顶点，转换顶点的原则是使底面面积和高易求．一般做法是把底面放在已知几何体的某一个面上．2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法．3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”．对点训练 (1)(2014²辽宁高考)某几何体三视图如图7－2－8所示，则该几何体的体积为( )图7－2－8A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4(2)(2014²山东高考)三棱锥P ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE 的体积为V 1，P ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝ .【答案】 (1)B (2)14考向三 [116] 球与多面体已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．【答案】 13规律方法3 1.解答本题的关键是确定球心、圆锥底面圆心与两圆锥顶点之间的关系，这需要根据球的对称性及几何体的形状来确定．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．对点训练 (2013²课标全国卷Ⅰ)如图7－2－9，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3【答案】 A思想方法之十七补形法破译体积问题某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的几何问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．—————————— [1个示范例] ——————已知某几何体的三视图如图7－2－10所示，则该几何体的体积为( )图7－2－10A.8π3 B ．3π C.10π3D ．6π【解析】由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，所以V ＝34³π³12³4＝3π.————————— [1个对点练] ———————已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形．若PA ＝26，则△OAB 的面积为．【解析】如图所示，线段PC 就是球的直径，设球的半径为R ，因为AB ＝BC ＝23，所以AC ＝2 6.又PA ＝26，所以PC 2＝PA 2＋AC 2＝24＋24＝48，所以PC ＝43，所以OA ＝OB ＝23，所以△AOB 是正三角形，所以S ＝12³23³23³32＝3 3.【答案】 3 3课时限时检测(三十九) 空间几何体的表面积与体积(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图7－2－11，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为( )图7－2－11A.π4 B.π2 C.2π2 D.2π4【答案】 B2．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( )A.72π B ．56π C ．14π D ．64π【答案】 C3．下图7－2－12是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是( )图7－2－12A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π【答案】 A4．如图7－2－13所示，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1—ABC 1的体积为( )图7－2－13A.312 B.34 C.612D.64【答案】 A5．点A 、B 、C 、D 在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2AB ＝6，则该球的体积为( )A ．323πB ．48πC ．643πD ．163π【答案】 A6．(2013²湖北高考)一个几何体的三视图如图7－2－14所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )图7－2－14A．V1<V2<V4<V3B．V1<V3<V2<V4C．V2<V1<V3<V4D．V2<V3<V1<V4【答案】 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．一个几何体的三视图如图7－2－15所示，则该几何体的表面积为．图7－2－15 【答案】388．(2013²福建高考)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图7－2－16所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是．图7－2－16【答案】12π9．圆锥的全面积为15π cm2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为cm3.【答案】2573π三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．【解】在底面正六边形ABCDEF 中，连接BE 、AD 交于O ，连接BE 1，则BE ＝2OE ＝2DE ，∴BE ＝6，在Rt △BEE 1中，BE 1＝BE 2＋E 1E 2＝23，∴2R ＝23，则R ＝3，∴球的体积V 球＝43πR 3＝43π，球的表面积S 球＝4πR 2＝12π.11．(12分)如图7－2－17，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．图7－2－17(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．【解】 (1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q —A 1D 1P 的组合体．由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得PA 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积S ＝5³22＋2³2³2＋2³12³(2)2＝(22＋42)(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12³(2)2³2＝10(cm 3)．12．(13分)如图7－2－18，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F —ABCD 的体积．图7－2－18(1)求V (x )的表达式； (2)求V (x )的最大值．【解】 (1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且FA ⊥AD ， ∴FA ⊥平面ABCD .∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x ， ∴FA ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)， ∴S ▱ABCD ＝CD ²BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ²FA ＝23x 4－x 2(0＜x ＜2)．(2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2＝23－ x 2－2 2＋4. ∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43.第三节空间点、直线、平面之间的位置关系[考情展望] 1.本节以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力.2.以棱柱、棱锥为依托考查异面直线所成角.3.考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．一、平面的基本性质三个公理的应用1．公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内．2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．二、空间点、直线、平面之间的位置关系1．位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，无公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，无公共点.2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.1．下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】 C2．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b ( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线【答案】 C3．若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交【答案】 B4．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面【答案】 B5．(2013²课标全国卷Ⅱ)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l【答案】 D6．如图7－3－1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是．图7－3－1【答案】90°考向一 [117] 平面的基本性质及应用如图7－3－2，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H 分别在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.图7－3－2(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)设EG 与FH 交于点P . 求证：P 、A 、C 三点共线．【尝试解答】 (1)∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD . ∴EF ∥GH .∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈共面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点．又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P 、A 、C 三点共线．规律方法1 证明点、线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．(3)反证法：可以假设这些点和直线不在同一个平面内，然后通过推理，找出矛盾，从而否定假设，肯定结论.对点训练如图7－3－3，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点，求证：图7－3－3(1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．【证明】 (1)如图，连结CD 1，EF ，A 1B ， ∵E ，F 分别是AB 和AA1的中点， ∴EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B .又∵A 1D 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形． ∵A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1确定一个平面，设为平面α. ∴E ，F ，C ，D 1∈α，即E ，C ，D 1，F 四点共面． (2)由(1)知，EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，∴四边形CD 1FE 是梯形．∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，如图所示，则P ∈CE ⊂平面ABCD ，且P ∈D 1F ⊂平面A 1ADD 1，∴P ∈平面ABCD 且P ∈平面A 1ADD 1. 又∵平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点．考向二 [118] 空间两条直线的位置关系(1)如图7－3－4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行(2)在图7－3－5中，G、N、M、H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有．(填上所有正确答案的序号)图7－3－5【答案】(1)D (2)②④规律方法2 1.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．对点训练如图7－3－6所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：图7－3－6①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为 (注：把你认为正确的结论序号都填上)．【答案】 ③④考向三 [119] 异面直线所成的角(1)(2015²宁波模拟)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为( )A.13B.23C.15D.25 【答案】 D(2)(2015²镇江模拟)已知三棱锥A BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．【尝试解答】如图，取AC 的中点P .连结PM ，PN ，又点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补角)．则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， ①若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或其补角)．又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 和MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 和MN 所成的角为30°.综上，直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.规律方法3 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.对点训练直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【答案】 C思想方法之十八构造模型判断空间线面位置关系由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系，故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系，显得直观、易判断．减少了抽象性与空间想象，构造时注意其灵活性．—————————— [1个示范例] ——————已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n .其中所有正确的命题是( ) A ．①④ B ．②④ C ．①D ．④【解析】借助于长方体模型来解决本题．对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m ⊥α，α∥β可得m ⊥β，因为n ∥β，所以过n 作平面γ，且γ∩β＝g ，如图(4)所示，所以n 与交线g 平行，因为m ⊥g ，所以m ⊥n .【答案】 A——————————— [1个对点练] ————。

高考数学一轮总复习数学推理与证明题经典题目

高考数学一轮总复习数学推理与证明题经典题目数学推理与证明题是高考数学中的一种重要题型，对学生的逻辑思维和推理能力提出了较高的要求。

在高考中，这类题目常常考查学生的分析和推理能力，对于学生而言，掌握一定的解题技巧和方法是非常重要的。

本文将为大家介绍一些经典的高考数学推理与证明题，帮助大家加深对这一题型的理解和应对能力。

一、数列推导与证明题数列是高考数学中经常出现的题型，其推导与证明题目主要考查学生的数学归纳法和推理能力。

下面我们来看一个经典的数列推导与证明题。

例题1: 已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+1/n，证明该数列单调递增。

解析: 首先我们将证明该数列是递增的，即an+1≥an。

当n=1时，根据题目条件有a2=a1+1/1=3/1=3，显然3≥2，满足条件。

假设当n=k时，an+1≥an成立，即ak+1≥ak。

当n=k+1时，根据题目条件有a(k+1)+1=a(k+1)+1/(k+1)=ak+1+1/(k+1)。

由假设条件可得a(k+1)+1≥ak+1+1/(k+1)≥ak+1。

综上所述，根据数学归纳法，可证明该数列是递增的。

通过这个例子，我们可以看到数学归纳法在数列推导与证明题中的重要性。

在解这类题目时，我们要善于利用归纳法的思想，合理运用数学推理的方法。

二、平面几何推理与证明题平面几何推理与证明题是高考数学中的又一个重要考点，其解题过程需要注意严谨的逻辑推理和几何图形的分析。

下面我们来看一个经典的平面几何推理与证明题。

例题2: 在平面直角坐标系xOy中，点A(a，0)，B(b，0)与C(0，c)所构成的三角形ABC为正三角形，证明ab=3c²。

解析: 首先我们知道如果三角形ABC为正三角形，则其三个内角均为60°。

利用点A、B和C的坐标可以得到三条边的长度分别为√((a-b)²+c²)，|a-b|和√(a²+b²)。

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.1 等式性质与不等式性质考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a b ⇔b <a ；性质2 传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3 可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4 可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5 同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6 同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7 同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．常用结论1．若ab >0，且a >b ⇔1a <1b . 2．若a >b >0，m >0⇒b a a >0，m >0⇒b a >b ＋ma ＋m .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则b >a .( × )(3)若x >y ，则x 2>y 2.( × )(4)若1a >1b ，则b <a .( × )教材改编题1．设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式不正确的是( )A ．12a <12b B.1a >1bC.a ＋2b ＋2>ab D ．ac 3<bc 3答案 D解析因为y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增，所以12a <12b ，A 正确；因为y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以1a >1b ，B 正确；因为a ＋2b ＋2－a b ＝2b －ab ＋2b >0，所以a ＋2b ＋2>ab ，C 正确；当c ＝0时，ac 3＝bc 3，所以D 不正确．2．已知M ＝x 2－3x ，N ＝－3x 2＋x －3，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 M －N ＝(x 2－3x )－(－3x 2＋x －3)＝4x 2－4x ＋3＝(2x －1)2＋2>0，∴M >N .3．已知－1<a <2，－3q D ．p ≥q答案 B解析 p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b ＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b ＝b 2－a 2b －a ab ＝b －a 2b ＋aab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( ) A ．a e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c N解析方法一 M －N ＝e 2 021＋1e 2 022＋1－e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021＋1e 2 023＋1－e 2 022＋12e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021＋e 2 023－2e 2 022e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021e －12e 2 022＋1e 2 023＋1>0. ∴M >N .方法二令f (x )＝e x ＋1e x ＋1＋1＝1e e x ＋1＋1＋1－1e e x ＋1＋1＝1e ＋1－1e e x ＋1＋1，显然f (x )是R 上的减函数，∴f (2 021)>f (2 022)，即M >N .思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1 (1)已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b ，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0. ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝21－ab1＋a 1＋b >0，∴M >N .(2)e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________．答案 e π·πe <e e ·ππ解析 e π·πe e e ·ππ＝e π－eππ－e ＝⎝⎛⎭⎫eππ－e ，又0<eπ<1,0<π－e<1，∴⎝⎛⎭⎫eππ－e <1，即e π·πee e ·ππ<1，即e π·πe <e e ·ππ.题型二不等式的性质例2 (1)(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是() A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a a >b >0，则a c －a <bc －bD ．若a >b >c >0，则a b >a ＋c b ＋c 答案 D 解析对于A 选项，当c ＝0时，显然不成立，故A 选项为假命题；对于B 选项，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a b c －b ＝12，故C 选项为假命题；对于D 选项，由于a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c＝a b ＋c －b a ＋c b b ＋c ＝ac －bc b b ＋c＝a －b c b b ＋c>0，即a b >a ＋c b ＋c ，故D 选项为真命题． (2)若1a <1b<0，则下列不等式正确的是________．(填序号) ①1a ＋b <1ab ； ②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b； ④ln a 2>ln b 2.答案 ①③解析由1a <1b <0，可知b <a <0. ①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab，即①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b<0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确； ④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域 (0，＋∞)上单调递增，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．教师备选若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C ．a |c |>b |c | D.a c 2＋1>bc 2＋1答案 D解析对于A ，若a >0>b ，则1a >1b ，故A 错误；对于B ，取a ＝1，b ＝－2，则a 20，又a >b ，所以a c 2＋1>bc 2＋1，故D 正确．思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2 (1)(2022·珠海模拟)已知a ，b ∈R ，满足ab <0，a ＋b >0，a >b ，则() A.1a <1b B.b a ＋a b >0C ．a 2>b 2D ．a <|b |答案 C解析因为ab <0，a >b ，则a >0，b <0，1a >0，1b <0，A 不正确；b a <0，a b <0，则b a ＋a b <0，B 不正确；又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，C正确；由a>－b>0得a>|b|，D不正确．(2)设a>b>1>c>0，下列四个结论正确的是________．(填序号)①1ac>1bc；②ba c>ab c；③(1－c)a<(1－c)b；④log b(a＋c)>log a(b＋c)．答案③④解析由题意知，a>b>1>c>0，所以对于①，ac>bc>0，故1ac<1bc，所以①错误；对于②，取a＝3，b＝2，c＝1 2，则ba c＝23，ab c＝32，所以ba c<ab c，故②错误；对于③，因为0<1－c<1，且a>b，所以(1－c)a<(1－c)b，故③正确；对于④，a＋c>b＋c>1，所以log b(a＋c)>log b(b＋c)>log a(b＋c)，故④正确．题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.(2)已知3<a <8,4<b <9，则a b的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，2解析 ∵4<b <9，∴19<1b <14，又3<a <8，∴19×3<a b <14×8，即13<a b<2. 延伸探究若将本例(1)中条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. 教师备选已知0<β<α<π2，则α－β的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵0<β<π2，∴－π2<－β<0，又0<α<π2，∴－π2<α－β<π2，又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<π2. 思维升华求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)已知a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，则c a的取值范围是( ) A ．－3<c a<－1 B ．－1<c a <－13 C ．－2<c a<－1 D ．－1<c a <－12 答案 A解析因为a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b ＝－2a －c ，因为a >b >c ，所以－2a －c <a ，即3a >－c ，解得c a>－3，将b ＝－2a －c 代入b >c 中，得－2a －c >c ，即a <－c ，得c a <－1，所以－3<c a <－1. (2)已知1<a 13，∴13<ab <1.综上所述，a －b 的取值范围为(－2,0)；a b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.课时精练1．已知a >0，b >0，M ＝a ＋b ，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为() A ．M >NB ．M <NC ．M ≤ND ．M ，N 大小关系不确定答案 B解析 M 2－N 2＝(a ＋b )－(a ＋b ＋2ab )＝－2ab <0，∴M <N .2．已知非零实数a ，b 满足a b 2，故A 不成立；若⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，a a b ，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确．3．已知－3<a <－2,31，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是() A ．n >m >p B ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n答案 B解析由a >1知，a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，而2a －(a ＋1)＝a －1>0，即2a >a ＋1，∴a 2＋1>2a >a ＋1，而y ＝log a x 在定义域上单调递增，∴m >p >n .5．已知a ，b ∈R ，则“|a |>|b |”是“a b >1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析不妨令a ＝1，b ＝0，故|a |>|b |不能推出a b >1，若a b >1，故a ，b 同号，若a ，b 都大于0，则a >b >0，从而|a |>|b |；若a ，b 都小于0，则a |b |，故a b >1能推出|a |>|b |，从而“|a |>|b |”是“a b >1”成立的必要不充分条件．6．(2022·济宁模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式恒成立的是() A ．xy >yz B ．xy >xzC ．xz >yzD ．x |y |>|y |z答案 B解析因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，y 的符号无法确定，对于A ，因为x >0>z ，若y <0，则xy <0<yz ，故A 错误；对于B ，因为y >z ，x >0，所以xy >xz ，故B 正确；对于C ，因为x >y ，z <0，所以xz <yz ，故C 错误；对于D ，因为x >z ，当|y |＝0时，x |y |＝|y |z ，故D 错误．7．设a ，b ，c ，d 为实数，且a >b >0>c >d ，则下列不等式正确的是( )A ．c 2>cdB ．a －c 0 答案 D解析因为a >b >0>c >d ，所以a >b >0,0>c >d ，对于A ，因为0>c >d ，由不等式的性质可得c 2<cd ，故选项A 错误；对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则a －c ＝3，b －d ＝3，所以a －c ＝b －d ，故选项B 错误；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝－2，bd ＝－2，所以ac ＝bd ，故选项C 错误；对于D ，因为a >b >0，d <c <0，则ad <bc ，所以c a >d b，故c a －d b>0，故选项D 正确． 8．若0<a <1，b >c >1，则( )A.⎝⎛⎭⎫b c a <1B.c －a b －a >c b C ．c a －1c >1，∴b c>1. ∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0＝1，故选项A 错误；对于B ，若c －a b －a >c b，则bc －ab >bc －ac ，即a (c －b )>0，这与0<a <1，b >c >1矛盾，故选项B 错误；对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0.∵b >c >1，∴c a －1>b a －1，故选项C 错误；对于D ，∵0<a <1，b >c >1，∴log c a <log b a ，故选项D 正确．9．已知M ＝x 2＋y 2＋z 2，N ＝2x ＋2y ＋2z －π，则M ________N ．(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .10．(2022·宜丰模拟)若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2.其中正确的不等式的序号为________．答案 ①④解析因为1a <1b<0，所以b <a <0，故③错误；所以a ＋b <0<ab ，故①正确；所以|a |<|b |，故②错误；所以b a >0，a b >0且均不为1，b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ＝1时，等号成立，所以b a ＋a b>2，故④正确． 11．若0<a 1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12，即a <2ab <12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.∵12<b <1， ∴(a 2＋b 2)－b ＝[(1－b )2＋b 2]－b ＝2b 2－3b ＋1＝(2b －1)(b －1)<0，即a 2＋b 2<b ，综上可知a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 12．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－3π2，π2 解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2， ∴－3π2<2α－β<3π2. 又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2. 故－3π2<2α－β<π2.13．(2022·长沙模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则下列不等式恒成立的是( )A ．c <bB ．b ≤1C ．b ≤aD ．a <c 答案 D解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，两式相减得2b ＝2a 2＋2，即b ＝a 2＋1，∴b ≥1.又b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a .而c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，从而c ≥b >a .14．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d d >c >a解析由题意知d >c ①，②＋③得2a ＋b ＋d <2c ＋b ＋d ，化简得a <c ④，由②式a ＋b ＝c ＋d及a <c 可得到，要使②成立，必须b >d ⑤成立，综合①④⑤式得到b >d >c >a .15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则c a的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0，所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >c a. 所以⎩⎨⎧ 2c a <－1，c a >－2，解得－2<c a <－12. 即c a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案 ①6 ②12解析设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z均为正整数．①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.。

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域不包括边界Ax＋By＋C≥0包括边界不等式组各个不等式表示的平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，在异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )教材改编题1．某校对高三美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45 C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”， ∴x ≥95，y >380，z >45.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1<0，x ＋y －3≥0表示的区域(阴影部分)是( )答案 D解析将点(0,0)代入x －y ＋1<0不成立，则点(0,0)不在不等式x －y ＋1<0所表示的平面区域内，将点(0,0)代入x ＋y －3≥0不成立，则点(0,0)不在不等式x ＋y －3≥0所表示的平面区域内，所以表示的平面区域不包括原点，排除A ，C ；x －y ＋1<0不包括边界，用虚线表示，x ＋y －3≥0包括边界，用实线表示，故选D. 3．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 92解析根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当目标函数z ＝x ＋2y 经过点⎝⎛⎭⎫32，32时，z 取最大值为92.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域例1 (1)(2022·新乡模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －y ≥1，y ＋1≥0表示的平面区域的面积为______．答案 3解析画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A (1,1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，即B (0，－1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即C (3，－1)， S △ABC ＝12×|3－0|×|1－(－1)|＝3.(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x >m 表示的平面区域为三角形，则实数m 的取值范围为____________．答案 (－∞，3)解析根据题意，先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝x ＋1，可得A (3,4)，要使不等式组表示的平面区域为三角形，只需m <3，所以m 的取值范围为(－∞，3)．教师备选已知点A (3,0)，B (－3,2)，若直线ax －y －1＝0与线段AB 总有公共点，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，13 B ．(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－13，1 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[1，＋∞) 答案 B解析因为直线ax －y －1＝0与线段AB 总有公共点，所以点A 和点B 不同在直线的一侧，所以(3a －0－1)(－3a －2－1)≤0，解得a ≤－1或a ≥13.即a 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞. 思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先作出满足条件的平面区域，然后判断其形状．(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先作出满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1 (2022·西安模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≥2，3x ＋y ≤5所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋2分成面积相等的两个部分，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，B (0,5)，因为直线y ＝kx ＋2过定点C (0,2)，所以C 点在可行域内，要使直线y ＝kx ＋2将可行域分成面积相等的两部分，则直线y ＝kx ＋2必过线段AB 的中点D .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，解得⎝⎛⎭⎫32，12，即A ⎝⎛⎭⎫32，12，所以AB 的中点D ⎝⎛⎭⎫34，114，将D 的坐标代入直线y ＝kx ＋2，得114＝34k ＋2，解得k ＝1.题型二求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值例2 (2021·浙江)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －y ≤0，2x ＋3y －1≤0，则z ＝x －12y 的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－12 D.110答案 B解析作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝2x 并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －1＝0，x ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以A (－1,1)，z min ＝－1－12＝－32.命题点2 求非线性目标函数的最值例3 (1)如果点P (x ，y )在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，则y ＋1x －2的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－2，－13 B.⎣⎡⎦⎤－2，－32 C.⎣⎡⎦⎤－2，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，2 答案 A解析作出点P (x ，y )所在的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，y ＋1x －2表示动点P 与定点Q (2，－1)连线的斜率．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.于是k QE ＝1＋11－2＝－2，k QF ＝0＋1－1－2＝－13.因此－2≤y ＋1x －2≤－13.(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0，则(x －1)2＋y 2的最小值为( )A ．1 B.45 C.255 D ．2答案 B解析结合题意作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，而(x －1)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与(1,0)的距离的平方，又(1,0)到直线2x －y ＝0的距离为25，故(x －1)2＋y 2的最小值为45.命题点3 求参数值或取值范围例4 已知k >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y －3≤0，y ≥k x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则k 等于( )A ．3B ．5 C.12 D.14答案 A解析由不等式组知可行域只能是图中△ABC 内部阴影部分(含边界)所示，作直线l ：2x ＋y ＝0，平移直线l ，只有当l 过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最小值，易知B (2，－k )， ∴4－k ＝1，解得k ＝3. 教师备选1．(2022·六安模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，y －2≥0，x ＋y －5≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 C解析不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，向上平移过点C 时，z ＝2x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即C (3,2)，所以z ＝2x ＋y 的最大值为2×3＋2＝8. 2．已知实数x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最大值为________．答案 10解析根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x 2＋y 2是指可行域内的动点(x ，y )与定点(0,0)之间的距离的平方，由图可知，点P 到原点O 的距离的平方最大，又因为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以P (1,3)，故z max ＝12＋32＝10.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝________.答案 3解析作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝a ，解得⎩⎨⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，∴A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12.①当a ＝0时，A ⎝⎛⎭⎫－12，12，x ＝z 无最小值，不满足题意； ②当a <0时，由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za，要使z 最小，则直线y ＝－1a x ＋za 在y 轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；③当a >0时，由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za，由图可知，当直线过点A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，此时，－1a ≥－1，即a ≥1，此时z ＝a －12＋a ·a ＋12＝a 2＋2a －12＝7.即a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或a ＝－5(舍)．思维升华常见的三类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by . (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a.跟踪训练2 (1)已知A (1,2)，点B (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，2x －y －2≤0，x ≥1，则OA →·OB →的取值范围是________．答案 [1,5]解析作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，2x －y －2≤0，x ≥1的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．设z ＝OA →·OB →，则z ＝x ＋2y ，将z ＝x ＋2y 化为y ＝－12x ＋z 2，由图象可得，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (1,2)时，z 取最大值，最大值为5.当直线y ＝－12x ＋z2过点C (1,0)时，z 取最小值，最小值为1.∴OA →·OB →的取值范围是[1,5]．(2)(2022·平顶山模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，y －2≥0，x －1≥0，则z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值是______．答案 52解析作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1，其中k ＝y ＋1x ＋1表示可行域内点P (x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －5＝0，y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即C (3,2)，由图可得k min ＝k CQ ＝2＋13＋1＝34，所以z min ＝1＋2×34＝52.(3)(2022·金华模拟)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a 的值为________．答案－1或2解析作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作直线l ：y －ax ＝0，在z ＝y －ax 中，y ＝ax ＋z ，a 是斜率，z 是纵截距，直线向上平移，z 增大，因此要使最大值的最优解不唯一，则直线l 与AB 或AC 平行，所以a ＝－1或a ＝2.题型三实际生活中的线性规划问题例5 (2022·新乡模拟)快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员．某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如下表：体积(立方分米/件)重量(千克/件)快递员工资(元/件)甲批快件 20108乙批快件102010快递员小马接受派送任务，小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为250千克，小马一次送货可获得的最大工资额为( ) A ．150元 B ．170元 C ．180元 D ．200元答案 B解析设一次派送甲批快件x 件、乙批快件y 件，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤350，10x ＋20y ≤250，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤35，x ＋2y ≤25，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，小马派送完毕获得的工资z ＝8x ＋10y (元)，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝35，x ＋2y ＝25，解得x ＝15，y ＝5，所以目标函数在点M (15,5)处取得最大值，故z max ＝8×15＋10×5＝170(元)．所以小马一次送货可获得的最大工资额为170元．教师备选某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为( ) A ．180 000元 B ．216 000元 C ．189 000元 D ．256 000元答案 B解析设生产产品A 为x 件，产品B 为y 件，获利z 元． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y ，作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．将z ＝2 100x ＋900y 化为y ＝－73x ＋z900，由图象可得，当直线y ＝－73x ＋z900过点M 时，在y 轴上的截距最大，即z 最大．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.3y ＝90，5x ＋3y ＝600，得M (60,100)，∴z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)， ∴利润最大为216 000元．思维升华解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解—— 解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将线性规划问题的答案还原为实际问题的答案．跟踪训练3 某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售．现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为( ) A ．2 400元 B ．2 560元 C ．2 816元 D ．4 576元答案 B解析设甲型车x 辆，乙型车y 辆，运送这批水果的费用为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤y ≤4，24x ＋30y ≥180，x ∈N ，y ∈N目标函数z ＝320x ＋504y ，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N ，y ∈N ，0≤x ≤8，0≤y ≤4，24x ＋30y ≥180所表示的平面区域，如图所示的阴影部分(含边界)．作直线320x ＋504y ＝0，并平移，结合实际情况分析可得当直线过整点(8,0)时，z 取得最小值，即z min ＝8×320＋0×504＝2 560(元)．课时精练1．将不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋y <0表示的平面区域记为F ，则属于F 的点是( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)答案 C解析将点(1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧1≥0，2>0，故不在区域F 内，将点(－1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧－1<0，0＝0，故不在区域F 内，将点(－1，－1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3≥0，－2<0，故在区域F 内，将点(1，－1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧5≥0，0＝0，故不在区域F 内．2．(2022·合肥质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥0，x －y ≥0围成的封闭图形的面积是( )A ．12B ．6C ．9D ．15 答案 C解析作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝0，x －y ＝0得A (3,3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，x ＋y ＝0得B (3，－3)，所以可行域的面积为12×3×6＝9.3．(2021·全国乙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，x －y ≤2，y ≤3，则z ＝3x ＋y 的最小值为( )A ．18B ．10C ．6D ．4 答案 C解析方法一 (数形结合法)作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝－3x ，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时，直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上的截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即点A 的坐标为(1,3)．从而z ＝3x ＋y 的最小值为3×1＋3＝6.方法二 (代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z 的大小即可．易知直线x ＋y ＝4与y ＝3的交点坐标为(1,3)，直线x ＋y ＝4与x －y ＝2的交点坐标为(3,1)，直线x －y ＝2与y ＝3的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z ＝3x ＋y 可得z 的值分别为6,10,18，所以比较可知z min ＝6.方法三 (巧用不等式的性质)因为x ＋y ≥4，所以3x ＋3y ≥12. ① 因为y ≤3，所以－2y ≥－6.②于是，由①＋②可得3x ＋3y ＋(－2y )≥12＋(－6)，即3x ＋y ≥6，当且仅当x ＋y ＝4且y ＝3，即x ＝1，y ＝3时不等式取等号，易知此时不等式x －y ≤2成立． 4．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )答案 C解析 (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，即不等式表示的区域是同时在两直线的上方部分或同时在两直线的下方部分，只有选项C 符合题意．5．(2022·长沙模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤1，则z ＝2x －y 的取值范围是( )A ．[0,3]B ．[1,3]C ．[－3,0]D ．[－3，－1]答案 A解析作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤1表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，即B (1，－1)，化目标函数z ＝2x －y 为y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过原点时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，为2×0－0＝0；当直线y ＝2x －z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值，为2×1－(－1)＝3， ∴z ＝2x －y 的取值范围是[0,3]．6．一小商贩准备用50元钱在某批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元．该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为( ) A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件 C ．甲4件，乙5件 D ．甲2件，乙6件答案 D解析设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 件，利润为z 元，由题意⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋7y ≤50，x ，y ∈N ，z ＝x ＋1.8y ，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，结合实际情况，显然当y ＝－59x ＋59z 经过整点A (2，6)时，z 最大．7．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －6≤0，x ＋y －1≥0，2x －y ＋1≥0，则z ＝y －1x ＋1的最大值是( )A.127 B.12 C ．1 D ．2答案 A解析作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝y －1x ＋1表示可行域中的点(x ，y )与点P (－1,1)的连线的斜率，由图可知z ＝y －1x ＋1的最大值在A 点取得，由⎩⎪⎨⎪⎧x －6＝0，2x －y ＋1＝0，得A (6,13)，所以z max ＝13－16＋1＝127.8．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是( )A ．最多可以购买4份一等奖奖品B ．最多可以购买16份二等奖奖品C ．购买奖品至少要花费100元D ．共有20种不同的购买奖品方案答案 D解析设获得一等奖和二等奖的人数分别为x ，y (x ，y ∈N *)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤200，3x ≤y ，x ≥2，作出该不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图可知，2≤x ≤4,6≤y ≤16，故x 可取2,3,4，故最多可以购买4份一等奖奖品，最多可以购买16份二等奖奖品，购买奖品至少要花费2×20＋6×10＝100(元)，故A ，B ，C 正确；当x ＝2时，y 可取6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16，共有11种，当x ＝3时，y 可取9,10,11,12,13,14，共6种，当x ＝4时，y 可取12，共1种，故共有11＋6＋1＝18(种)，故D 不正确．9．已知点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方，则实数b 的取值范围是________．答案 (－∞，－3)解析因为点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方，所以1＋2＋b <0，解得b <－3. 10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －2≥0，x －3y ＋6≥0，则2y4x 的最小值为________．答案 18解析画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，2y 4x ＝2y －2x，若使2y －2x 最小，需y －2x 最小．令z ＝y －2x ，则y ＝2x ＋z ， z 表示直线在y 轴上的截距，根据平移知，当x ＝3，y ＝3时，z ＝y －2x 有最小值为－3，则2y 4x 的最小值为2－3＝18. 11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4≥0，x ＋y －1≥0，x ≤1，若直线y ＝k (x －1)将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为________．答案－4解析画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (1,6)，B (1,0)，C (－1,2)．由于直线y ＝k (x －1)过定点B (1,0)且将可行域分成面积相等的两部分，所以当直线y ＝k (x －1)过线段AC 的中点D (0,4)时，△ABD 和△BCD 的面积相等，此时k ＝k BD ＝4－00－1＝－4.12．现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边．如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件衣服锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利________元．答案 780解析设每天安排电脑机和普通机各x ，y 台，则一天可获利z ＝12×8x ＋10×6y ＝96x ＋60y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤15，12x ＋10y ≥100，0<x ≤7，0<y ≤5，画出可行域(图略)，可知当目标函数经过(5,5)时，z max ＝780.13．(2022·郑州模拟)已知M (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≤1所表示的平面区域内的任意一点，且M (x ，y )满足x 2＋y 2≤a ，则a 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．9 D ．10 答案 D解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≤1所表示的可行域，如图中的阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，y ＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，即点A (－3,1)，同理可得B (3,1)，C (0，－2)，且OA ＝OB ＝10，OC ＝2，x 2＋y 2的几何意义为原点O 与可行域内的点M (x ，y )的距离的平方，由图可知，当点M 与点A 或点B 重合时，OM 取最大值，故x 2＋y 2的最大值为10， ∴a ≥10，即a 的最小值为10.14．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ≥a ，x ≤y ，且z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍，则a 等于( ) A.34 B.56 C.65 D.43 答案 B解析根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线l ：y ＝2x ，平移直线l ，由图可知，当直线经过点D 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z ＝2x －y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝y ，可得D (1,1)，所以z ＝2x －y 的最大值是1；当直线经过点B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z ＝2x －y 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝a ，可得B (a ,2－a )，所以z ＝2x －y 的最小值是3a －2，因为z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍，所以6a －4＝1，解得a ＝56.15．实数对(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，且目标函数z ＝kx －y 当且仅当x ＝3，y ＝1时取最大值，则k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－12，1 D ．(－∞，1]答案 C解析作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (1,2)，B (4,2)，C (3,1)，由z ＝kx －y ，将直线l ：y ＝kx －z 进行平移可得直线在y 轴上的截距为－z ，因此直线在y 轴上截距最小时，目标函数z 达到最大值．因为当且仅当l 经过点C (3,1)时，目标函数z 达到最大值，所以直线l 的斜率应介于直线AC 的斜率与直线BC 的斜率之间， k AC ＝1－23－1＝－12，k BC ＝2－14－3＝1，所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. 16．(2022·宜春模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则2y 2－xy x 2的最小值是________．答案－18解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，k ＝yx 的几何意义为可行域内的点到原点的斜率，由图象可知，OA 的斜率最大，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，x ＋2y －6＝0得A (2,2)， ∴0≤k ≤1，∴2y 2－xy x 2＝2⎝⎛⎭⎫y x 2－y x＝2k 2－k ＝2⎝⎛⎭⎫k －142－18≥－18⎝⎛⎭⎫当且仅当k ＝14时，取到最小值.。

(新课标)高考数学大一轮复习-第七章不等式及推理与证明 7 一元二次方程根的分布专题研究课件文

答案 0<m<1 解析令 2x＝t 转化为关于 t 的一元二次方程有两个不同的正实根．
5．求实数 m 的范围，使关于 x 的方程 x2＋2(m－1)x＋2m＋ 6＝0.
(1)有两个实根，且一个比 2 大，一个比 2 小； (2)有两个实根 α，β ，且满足 0<α<1<β<4； (3)至少有一个正根．
解得－75<m<－54.
(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：
Δ≥0， ①有两个正根，此时可得2f（（0m－）－2>10），>0，
m≤－1或m≥5，
即m>－3，
∴－3<m≤－1.
m<1，
②有一个正根，一个负根，此时可得 f(0)<0，得 m<－3. ③有一个正根，另一根为 0，此时可得62＋（2mm－＝10），<0， ∴m＝－3. 综上所述，得 m≤－1.
3．已知方程 4x2＋2(m－1)x＋(2m＋3)＝0(m∈R)有两个负根，求 m 的取值范围．
答案 [11，＋∞)
解析
Δ＝4（m－1）2－4×4（2m＋3）≥0，依题意有－（m－1）<0，
2m＋3>0，
∴m≥11.
4．若方程 4x＋(m－3)·2x＋m＝0 有两个不相同的实根，求 m 的取值范围．
【定理 5】 k1<x1<k2≤p1<x2<p2
a>0，
a<0，
ff（（kk12））><00，，或ff（（kk12））<>00，， f（p1）<0， f（p1）>0，
f（p2）>0 f（p2）<0.
此定理可直接由定理 4 推出，请读者自证．

高考数学一轮复习第七章数列、推理与证明第37课合情推理与演绎推理教师用书

第37课合情推理与演绎推理[最新考纲]1．合情推理2.(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．( )(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是________．①归纳推理； ②类比推理； ③演绎推理；④以上都不是．② [类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理．]3．(教材改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________．a n ＝n 2 [a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.]4．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于________．①大前提错误导致结论错误； ②小前提错误导致结论错误； ③推理形式错误导致结论错误； ④大前提和小前提错误导致结论错误．① [“指数函数y ＝a x是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]5．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．A [由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.](1)数列12，3，3，4，4，4，…，m ＋1，m ＋1，…，m ＋1，…的第20项是________．(2)(2016·山东高考)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； … 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. (1)57 (2)43n (n ＋1) [(1)数列m m ＋1在数列中是第1＋2＋3＋…＋m ＝m m ＋2项，当m＝5时，即56是数列中第15项，则第20项是57.(2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．][规律方法] 1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．2．归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质； (2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．[变式训练1] (1)(2017·如皋市高三调研一)观察下列等式： 12＝1； 32＝2＋3＋4； 52＝3＋4＋5＋6＋7； 72＝4＋5＋6＋7＋8＋9＋10；92＝5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13；…n 2＝100＋101＋102＋…＋m ，则n ＋m ＝________. 【导学号：62172200】(2)下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是__________．(1)497 (2)n n ＋2(n ∈N ＋) [(1)观察所给等式，得：第2个等式右边为自然数2到4的和，左边为3平方；第3个等式右边为自然数3到7的和，左边为5平方；…故第n 个等式右边为n 起共2n －1个自然数的和，左边为2n －1的平方．∴第100个等式为：100＋101＋102＋…＋299＝n 2＝1982；所以n ＝198，m ＝299，n ＋m ＝497.(2)由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ，所以总个数为n n ＋2(n∈N ＋)．](1)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫b n ＝12a n n 也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为________．①d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn；②d n ＝c 1·c 2·…·c nn ；③d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nn；④d n ＝nc 1·c 2·…·c n .(2)(2017·贵州六校联考)在平面几何中，△ABC 的∠C 的平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AE BE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图371)，DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________________．图371(1)④ (2)AE EB ＝S △ACDS △BCD[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故d n 的表达式为d n ＝nc 1·c 2·…·c n .法二：若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －2d ，∴b n ＝a 1＋n －2d＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·qn n －2，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·qn －12，即{d n }为等比数列，故选④.(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD.][规律方法] 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键．2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．[变式训练2] 给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”； ④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”．其中类比结论正确的有________．(填序号) ①② [类比结论正确的有①②.]数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nS n (n ∈N ＋)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n . 【导学号：62172201】 [证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)[规律方法] 演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据是：如果集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．[变式训练3] 如图372所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．图372[证明] (1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提) 所以DF ∥EA .(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提)所以ED ＝AF .(结论) 上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒ 四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF .[思想与方法]1．合情推理的过程概括为从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．[易错与防范]1．在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严谨性，书写格式的规范性．课时分层训练(三十七)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理________．(填序号)①结论正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④全不正确．③[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]2．如图373，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是________．图373144 [由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144.]3．某种树的分枝生长规律如图374所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________. 【导学号：62172202】图37455 [因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.]4．给出下面几个推理：①由“6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7，…”得到结论：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和；②由“三角形内角和为180°”得到结论：等腰三角形内角和为180°；③由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；④由“a2＋b2≥2ab(a，b∈R)”推得：sin 2x≤1.其中是演绎推理的序号是________．②④[演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提、小前提和结论，演绎推理是从一般到特殊的推理，根据以上特点，可以判断②④是演绎推理．易得①是归纳推理，③是类比推理．故答案为②④.]5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①由“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②由“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③由“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；④由“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”．以上结论正确的是________．(填序号)①②[因为向量运算满足交换律、乘法分配律，向量没有除法，不能约分，所以①②正确，③错误．又因为|a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|，所以④错误．] 6．把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝a2＋b22(其中a，b为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝__________.a2＋b2＋c22[由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径为a2＋b2＋c22.]7．(2017·徐州模拟)观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为__________．1＋122＋132＋142＋152＋162<116[左边的式子的通项是1＋122＋132＋…＋1n＋2，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.]8．给出以下数对序列：(1,1)；(1,2)(2,1)；(1,3)(2,2)(3,1)；(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)；…记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝________.(m，n－m＋1) [由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．]9．(2017·泰州模拟)如图(1)若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N 1、N 2，则三角形面积之比S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为________________．(1) (2)图375VO P 1Q 1R 1VO P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2[考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1OR 1Q 1及三棱锥P 2OR 2Q 2的底面面积之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2，故体积之比为VO P 1Q 1R 1VO P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2.]10．在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________. 【导学号：62172203】丙 [如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合．所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙．]二、解答题11．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．[解] 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.12．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明. 【导学号：62172204】[解] f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3 ＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3 ＝x 1＋3＋x 2＋3x 1＋3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3x 1＋3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋2×3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋23＝33. B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·南京模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝bn －ma n －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N ＋)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N ＋)，则可以得到b m ＋n ＝________.n －m d nc m[设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1，a m ＋n ＝nb －ma n －m，所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m.] 2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3 [法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解] (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30° ＝1－14＝34. (2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋－2α2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. 4．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明． [解] 类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a 2x 2－b 2. 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．。

(五年高考真题)2016届高考数学复习第七章第五节推理与证明理

答案 B2．(2012·江西，6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76 C．123 D．199解析利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123。

答案 C3．(2011·江西，7)观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )A．3125 B．5625 C．0625 D．8125解析由观察易知55的末四位数字为3125，56的末四位数字为5625，57的末四位数字为8125，58的末四位数字为0625，59的末四位数字为3125，故周期T＝4。

又由于2 011＝502×4＋3，因此52 011的末四位数字是8125。

答案 D4．(2015·山东，11)观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41;C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1 ＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________．解析观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1，第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1。

2016届高考数学一轮复习课件第七章不等式、推理与证明7.4

三棱锥,圆对应球,面积对应体积等等;(2)找对应元素的对应关系,如:两条边
(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等.
第十六页，编辑于星期五：二十点三十七分。
7.4
第七章
合情推理与演绎推理
考情概览
考点一
考点二
核心考点
核心考点
知识梳理
学科素养
考点三

对点练习
如图所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为
(1)找出两类事物之间的相似性或
一致性;
(2)用一类事物的性质去推测另一
类事物的性质,得出一个明确的命
题(猜想)
第三页，编辑于星期五：二十点三十七分。
第七章
7.4
合情推理与演绎推理
考情概览
知识梳理
知识梳理
知识梳理
核心考点
学科素养
4
双击自测
2.演绎推理
(1)演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们
……
可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=
1
2
.
关闭
1
2
N(n,k)=akn2+bkn(k≥3),其中数列{ak}是以为首项, 为公差的等差数列.
1
1
数列{bk}是以为首项,- 为公差的等差数列.
2
2
2
1 000
则
N(n,24)=11n -10n,当 n=10 时,N(10,24)=11×102-10×10=1 000.
2.在进行类比推理时,要从本质上去类比,只从一点表面现象去类比,就
会犯机械类比的错误.
3.应用三段论解决问题时,要明确什么是大前提、小前提,如果大前提与

高考一轮数学课时训练教师用书第七章推理与证明

第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理1. 观察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出第n 个式子的结论为____________________________．答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 解析：各等式的左边是第n 个自然数到第3n －2个连续自然数的和，右边是中间奇数的平方，故得出结论：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.2. 若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S nn ＝a 1＋(n－1)·d2，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则__________________________________．答案：数列{n T n }为等比数列，且通项为n T n ＝b 1(q)n －13. 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cosx )′＝－sinx ，由归纳推理得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝____________．答案：－g(x)解析：由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)． 4. 在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，点D 是点A 在BC 边上的射影，则AB 2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是点A 在平面BCD 内的射影，且点O 在平面BCD 内，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，△BDC 三者面积之间的关系为__________．答案：S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BDC 解析：如图所示，依题意作出四面体ABCD.连结DO ，并延长交BC 于点E ，连结AO 、AE ，则易知AO ⊥DE ，BC ⊥AO.由DA ⊥平面ABC ，得DA ⊥BC ，又DA ∩AO ＝A ，所以BC ⊥平面AED ，所以DE ⊥BC ，AE ⊥BC.又易知△AED 为直角三角形，其中∠DAE ＝90°，AO 为斜边ED 上的高，所以由射影定理得AE 2＝EO·ED.又S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·EO ，S △BDC ＝12BC ·DE ，所以AE ＝2S △ABC BC ，EO ＝2S △BOC BC ，DE ＝2S △BDC BC.由AE 2＝EO·ED ，得S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BDC .5. 已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1(m>n>0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sinA ＋sinC sinB ＝1e.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是____________________________________．答案：在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m>0，n>0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率是e ，则|sinA －sinC|sinB ＝1e解析：由正弦定理和椭圆定义sinA ＋sinC sinB ＝AB ＋BC AC ＝2a 2c ，类比双曲线应有|AB －BC|AC ＝|sinA －sinC|sinB ＝1e.6. 将正奇数排列如图形式，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，若a ij ＝2 009，则i ＋j ＝________．13 57 9 1113 15 17 19…答案：60 解析：根据正奇数排列的正三角图表知，2 009是第1 005个奇数，应排在i 行(其中i ∈N *)，则1＋2＋3＋…＋(i －1)＝i （i －1）2＜1 005①，且1＋2＋3＋…＋i ＝i （i ＋1）2＞1 005②；验证i ＝45时，①②式成立，所以i ＝45；第45行第1个奇数是2×44×452＋1＝1 981，而1 981＋2(j －1)＝2 009，∴ j ＝15；所以，2 009在第45行第15个数，则i ＋j ＝60.7. 设函数f(x)＝xx ＋2(x>0)，观察：f 1(x)＝f(x)＝x x ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x 3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x 7x ＋8，f 4(x)＝f(f 3(x))＝x15x ＋16，….根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N ＋且n ≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝________．答案：x（2n －1）x ＋2n解析：观察知四个等式等号右边的分母为x ＋2，3x ＋4，7x ＋8，15x ＋16，即(2－1)x ＋2，(4－1)x ＋4，(8－1)x ＋8，(16－1)x ＋16，所以归纳出f n (x)＝f(f n －1(x))的分母为(2n －1)x ＋2n ，故当n ∈N ＋且n ≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝x（2n－1）x ＋2n. 8. 如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n(n ≥2)行的第2个数为__________．答案：n 2－2n ＋3解析：第n(n ≥2)行的第2个数为3＋3＋5＋7＋…＋[2(n －2)＋1]＝3＋n －2）×2n 2＝n 2－2n ＋3.9. 已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，点G 是△ABC 外接圆的圆心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若点M 是△BCD 的三边中线交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AOOM＝__________”．答案：3解析：如图，设四面体ABCD 的棱长为a ，则由M 是△BCD 的重心，得BM ＝32a ，AM ＝63a ，设OA ＝R ，则OB ＝R ，OM ＝63a －R ，于是由R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫63a －R 2，解得R ＝64a ，所以AOOM ＝64a 63a －64a ＝3.10. 老师布置了一道作业题“已知圆C 的方程是x 2＋y 2＝r 2，求证：经过圆C 上一点M(x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2”，聪明的小明很快就完成了，完成后觉得该题很有意思，经过认真思考后大胆猜想出如下结论：若圆C 的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则经过圆C 上一点M(x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2.你认为小明的猜想正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．解：小明的猜想正确．(证法1)若x 0≠a ，y 0≠b ，则因圆C 的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，M(x 0，y 0)是圆C 上一点，所以直线MC的斜率为k 1＝y 0－bx 0－a.设过M(x 0，y 0)的切线斜率为k ，因为直线MC 与切线l 垂直，所以k ＝－1k 1＝－x 0－a y 0－b，所以过M(x 0，y 0)的切线l 方程为y －y 0＝－x 0－ay 0－b(x －x 0)，整理得(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝(x 0－a)2＋(y 0－b)2.又点M(x 0，y 0)在圆C 上，所以有(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2，故此时过M(x 0，y 0)的圆C 的切线方程为(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2.若x 0＝a 或y 0＝b(同时成立不合题意)，则切线的斜率不存在或为0，可直观看出|y 0－b|＝r 或|x 0－a|＝r ，此时切线方程分别为y ＝y 0或x ＝x 0，适合(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2.综上所述，过M(x 0，y 0)的圆C 的切线方程为(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2.(证法2)设P(x ，y)为切线上任一点，则PM →＝(x 0－x ，y 0－y)，CM →＝(x 0－a ，y 0－b)．又PM →⊥CM →，所以PM →·CM →＝0，即(x 0－x)(x 0－a)＋(y 0－y)(y 0－b)＝0.又(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2，化简得(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2为所求切线．11. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．(1) 求出f(5)的值；(2) 利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n ＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3) 求n ≥2时，1f （1）＋1f （2）－1＋1f （3）－1＋…＋1f （n ）－1的值．解：(1) f(5)＝41.(2) 因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…，由上式规律，所以得出f(n ＋1)－f(n)＝4n.f(n ＋1)－f(n)＝4n f(n ＋1)＝f(n)＋4n f(n)＝f(n －1)＋4(n －1)＝f(n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f(n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f(1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2－2n ＋1.(3) 当n ≥2时，1f （n ）－1＝12n （n －1）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，所以1f （1）＋1f （2）－1＋1f （3）－1＋…＋1f （n ）－1＝1＋12·(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n)＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n.第2课时直接证明与间接证明1. 用反证法证明命题：“已知a ，b ∈N ，若ab 可被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”时，应反设________________成立．答案：a 、b 都不能被5整除解析：由反证法的定义得，反设即否定结论．2. 设a ＞b ＞0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m 、n 的大小关系是____________．答案：m<n解析：(分析法)a －b<a －b b ＋a －b>a a0. 3. 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________．答案：2n解析：因为数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1.因为数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n ·a n ＋2＋a n ＋a n ＋2a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1a n (1＋q 2－2q)＝0q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n.4. 已知函数f(x)满足：f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则f 2（1）＋f （2）f （1）＋f 2（2）＋f （4）f （3）＋f 2（3）＋f （6）f （5）＋f 2（4）＋f （8）f （7）＝________．答案：16解析：根据f(a ＋b)＝f(a)·f(b)得f(2n)＝f 2(n)，又f(1)＝2，则f （n ＋1）f （n ）＝2，故f 2（1）＋f （2）f （1）＋f 2（2）＋f （4）f （3）＋f 2（3）＋f （6）f （5）＋f 2（4）＋f （8）f （7）＝2f （2）f （1）＋2f （4）f （3）＋2f （6）f （5）＋2f （8）f （7）＝16.5. 对实数a 和b ，定义运算“”：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b>1，设函数f(x)＝(x 2－2)(x －x 2)，x ∈R .若函数y＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，－34 解析：画出函数图象可知实数c 的取值范围是(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，－34. 6. 已知两个非零向量a 与b ，定义a b ＝|a ||b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＋b ＝(－3，6)，a －b ＝(－3，2)，则a b ＝________．答案：6解析：a ＝(－3，4)，b ＝(0，2)，a ·b ＝|a ||b |·cos θ＝5×2×cos θ＝8，cos θ＝45，所以sin θ＝35，a b ＝5×2×35＝6.7. 对于一切实数x ，不等式x 2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是____________．答案：[－2，＋∞)解析：当x ＝0时不等式成立；用分离参数法得a ≥－⎝⎛⎭⎫|x|＋1|x|(x ≠0)，而|x|＋1|x|≥2，∴ a ≥－2. 8. 如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是____________．答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a (a －b)2(a ＋b)＞0a ≥0，b ≥0且a ≠b.9. 设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中，a 、b 、c 均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．证明：设f(x)＝0有一个整数根k ，则ak 2＋bk ＝－c.①∵ f(0)＝c ，f(1)＝a ＋b ＋c 均为奇数，∴ a ＋b 为偶数，当k 为偶数时，显然与①式矛盾；当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．10. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9. (1) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式；(2) 设数列{b n }的通项公式为b n ＝a na n ＋t，问是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m ∈N *)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 13＝34，3a 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋8d ＝17，a 1＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2) 假设存在正整数t.由(1)知b n ＝2n －12n －1＋t.要使b 1，b 2，b m 成等差数列，则需2b 2＝b 1＋b m ，即2×33＋t ＝11＋t ＋2m －12m －1＋t，整理得m ＝3＋4t －1.当t ＝2时，m ＝7；当t ＝3时，m ＝5；当t ＝5时，m ＝4. 故存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列．11. 是否存在两个等比数列{a n }，{b n }，使得b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列？若存在，求{a n }，{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．证明：假设存在两个等比数列{a n }，{b n }使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列．设{a n }的公比为q 1，{b n }的公比为q 2，则b 2－a 2＝b 1q 2－a 1q 1，b 3－a 3＝b 1q 22－a 1q 21，b 4－a 4＝b 1q 32－a 1q 31.由b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成等差数列得⎩⎪⎨⎪⎧2（b 1q 2－a 1q 1）＝b 1－a 1＋（b 1q 22－a 1q 21），2（b 1q 22－a 1q 21）＝b 1q 2－a 1q 1＋（b 1q 32－a 1q 31），即⎩⎪⎨⎪⎧b 1（q 2－1）2－a 1（q 1－1）2＝0， ①b 1q 2（q 2－1）2－a 1q 1（q 1－1）2＝0. ② ①×q 2－②得a 1(q 1－q 2)(q 1－1)2＝0，由a 1≠0得q 1＝q 2或q 1＝1.ⅰ) 当q 1＝q 2时，由①②得b 1＝a 1或q 1＝q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾． ⅱ) 当q 1＝1时，由①②得b 1＝0或q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾．综上所述，不存在两个等比数列{a n }，{b n }使得b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列．第3课时数学归纳法1. 利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N * ”时，从“n ＝k ”变到 “n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________________．答案：（2k ＋1）（2k ＋2）k ＋1解析：由题意知，n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k)；当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1＋k ＋1); 从而增加两项为(2k ＋1)(2k ＋2)，减少一项为(k ＋1)．2. 若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k ＋1)与f(k)的递推关系式是________________．答案：f(k ＋1)＝f(k)＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)23. 若数列{a n }的通项公式a n ＝1（n ＋1）2，记c n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算c 1、c 2、c 3的值，推测c n ＝________．答案：n ＋2n ＋1解析：c 1＝2(1－a 1)＝2×⎝⎛⎭⎫1－14＝32，c 2＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2×⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－19＝43，c 3＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2×⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－19×⎝⎛⎭⎫1－116＝54，由归纳推理得c n ＝n ＋2n ＋1. 4. 用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n(n ∈N *，n ＞1)”时，由n ＝k(k ＞1)不等式成立，推证n ＝k＋1时，左边应增加的项数是________．答案：2k解析：增加的项数为(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k ＋1－2k ＝2k .5. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上________．答案：(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2解析：∵ 当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴ 当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.6. 观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，则可归纳出____．答案：1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1(n ∈N *) 解析：1＋122<32，即1＋1（1＋1）2<2×1＋11＋1；1＋122＋132<53，即1＋1（1＋1）2＋1（2＋1）2<2×2＋12＋1，归纳出1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1(n ∈N *)．7. 用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取________．答案：8解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.8. 在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n(2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．答案：a n ＝1（2n －1）（2n ＋1）解析：当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3，即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4，即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163.∴ a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9，故猜想a n ＝1（2n －1）（2n ＋1）.9. 数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1) 计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2) 猜想通项公式a n ，并用数学归纳法证明．解：(1) a 1＝1，a 2＝32，a 3＝74，a 4＝158.(2) 猜想a n ＝2n －12n －1.证明：① 当n ＝1时，a 1＝1猜想显然成立； ② 假设当n ＝k(n ≥1且n ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝2k －12k －1，S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k －a k ，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－(2k －a k )，∴ a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k，∴ 当n ＝k ＋1时猜想成立．综合①②，当n ∈N *时猜想成立． 10. (2015·南通期末)设a n 是满足下述条件的自然数的个数：各数位上的数字之和为n(n ∈N *)，且每数位上的数字只能是1或2.(1) 求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2) 求证：a 5n －1(n ∈N *)是5的倍数．(1) 解：当n ＝1时，只有自然数1满足题设条件，所以a 1＝1；当n ＝2时，只有11，2两个自然数满足题设条件，所以a 2＝2；当n ＝3时，有111，21，12三个自然数满足题设条件，所以a 3＝3；当n ＝4时，有1111，112，121，211，22五个自然数满足题设条件，所以a 4＝5. 综上所述，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5.(2) 证明：设自然数X 的各位数字之和为n ＋2，由题设可知，X 的首位为1或2两种情形．当X 的首位为1时，则其余各位数字之和为n ＋1，故首位为1的各位数字之和为n ＋2的自然数的个数为a n ＋1；当X 的首位为2时，则其余的各位数字之和为n ，故首位为2的各位数字之和为n ＋2的自然数的个数为a n ，所以各位数字之和为n ＋2的自然数为a n ＋1＋a n ，即a n ＋2＝a n ＋1＋a n . 下面用数学归纳法证明：a 5n －1是5的倍数．(ⅰ) 当n ＝1时，a 4＝5，所以a 4是5的倍数，命题成立； (ⅱ) 假设n ＝k 时，命题成立，即a 5k －1是5的倍数．则a 5k ＋4＝a 5k ＋3＋a 5k ＋2＝2a 5k ＋2＋a 5k ＋1＝2(a 5k ＋1＋a 5k )＋a 5k ＋1＝3a 5k ＋1＋2a 5k ＝3(a 5k ＋a 5k －1)＋2a 5k ＝5a 5k ＋3a 5k －1.因为5a 5k 是5的倍数，a 5k －1是5的倍数，所以5a 5k ＋3a 5k －1是5的倍数，即a 5k ＋4是5的倍数．所以n ＝k ＋1时，命题成立．由(ⅰ)(ⅱ)可知，a 5n －1(n ∈N *)是5的倍数．11. (2015·苏锡常镇一模)若存在n 个不同的正整数a 1，a 2，…，a n ，对任意1≤i ＜j ≤n ，都有a i ＋a ja i －a j∈Z ，则称这n 个不同的正整数a 1，a 2，…，a n 为“n 个好数”． (1) 请分别为n ＝2，n ＝3构造一组“好数”；(2) 证明：对任意正整数n(n ≥2)，均存在“n 个好数”．(1) 解：当n ＝2时，取a 1＝1，a 2＝2，因为2＋11－2＝－3∈Z ，当n ＝3时，取a 1＝2，a 2＝3，a 3＝4，则a 1＋a 2a 1－a 2＝－5∈Z ，a 2＋a 3a 2－a 3＝－7∈Z ，a 1＋a 3a 1－a 3＝－3∈Z ，即a 1＝2，a 2＝3，a 3＝4可构成三个好数．(2) 证明： ① 由(1)知当n ＝2、3时均存在．② 假设命题当n ＝k(k ∈Z )时，存在k 个不同的正整数a 1，a 2，…，a k ，其中a 1＜a 2＜…＜a k ，使得对任意1≤i<j ≤k ，都有a i ＋a ja i －a j∈Z 成立，则当n ＝k ＋1时，构造k ＋1个数A ，A ＋a 1，A ＋a 2，…，A ＋a k ，…，(*)其中A ＝1×2×3×…×a k ，若在(*)中取到的是A 和A ＋a i (i ≤k)，则A ＋A ＋a i A －A －a i＝－2Aa i －1∈Z ，所以成立．若取到的是A ＋a i (i ≤k)和A＋a j (j ≤k)，且i ＜j ，则A ＋a i ＋A ＋a j A ＋a i －A －a j ＝2A a i －a j ＋a i ＋a j a i －a j ，由归纳假设得a i ＋a ja i －a j∈Z .又a j －a i ＜a k ，所以a j －a i 是A的一个因子，即2Aa i －a j ∈Z ，所以A ＋a i ＋A ＋a j A ＋a i －A －a j ＝2A a i －a j ＋a i ＋a j a i －a j∈Z ，所以当n ＝k ＋1时也成立．所以对任意正整数n(n ≥2)，均存在“n 个好数”．。

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第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理1. 一个同学在电脑中打出如下图形(○表示空心圆，●表示实心圆)：○●○○●○○○●○○○○，若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2014个圆中实心圆的个数为________．答案：61解析：将这些圆分段处理，第一段两个圆，第二段三个圆，第三段四个圆，…可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2014个圆中实心圆的个数，因此，找到第2014个圆所在的段数很重要，由2＋3＋…＋62＝2＋622×61＝1952<2014，而2＋3＋…＋63＝2＋632×62＝2015>2014，因此，共有61个实心圆．2. 已知f 1(x)＝sinx ＋cosx ，f n ＋1(x)是f n (x)的导函数，即f 2(x)＝f′1(x)，f 3(x)＝f′2(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N *，则f 2 014(x)＝________．答案：cosx －sinx解析：f 2(x)＝f′1(x)＝cosx －sinx ；f 3(x)＝f′2(x)＝－sinx －cosx ；f 4(x)＝f′3(x)＝－cosx ＋sinx ；f 5(x)＝f′4(x)＝sinx ＋cosx ，则其周期为4，即f n (x)＝f n ＋4(x)．f 2014(x)＝f 2(x)＝cosx －sinx.3. 已知32＋27＝2327，33＋326＝33326，34＋463＝43463，…，3 2 014＋mn＝2 0143m n ，则n ＋1m 2＝__________．答案：2 014解析：由题意对于32＋27＝2327，此时n ＝7，m ＝2，所以n ＋1m 2＝7＋122＝2；对于33＋326＝33326，此时m ＝3，n ＝26，所以n ＋1m 2＝26＋132＝3；对于34＋463＝43463，此时m ＝4，n ＝63，所以n ＋1m 2＝63＋142＝4；发现：m 的值是等号左边根号下和式前面的数，而n ＋1m2化简后的结果就是m 的值，所以32 014＋m n ＝2 014·3m n 中的m 即为2014，所以此时n ＋1m2＝2 014.4. 在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB⊥AC，点D 是点A 在BC 边上的射影，则AB 2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是点A 在平面BCD 内的射影，且点O 在平面BCD 内，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，△BDC 三者面积之间的关系为__________．答案：S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BDC解析：如图所示，依题意作出四面体ABCD.连结DO ，并延长交BC 于点E ，连结AO 、AE ，则易知AO⊥DE，BC ⊥AO.由DA⊥平面ABC ，得DA⊥BC，又DA∩AO＝A ，所以BC⊥平面AED ，所以DE⊥BC，AE ⊥BC.又易知△AED 为直角三角形，其中∠DAE＝90°，AO 为斜边ED 上的高，所以由射影定理得AE 2＝EO·ED.又S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·EO ，S △BDC ＝12BC ·DE ，所以AE ＝2S △ABC BC ，EO ＝2S △BOC BC ，DE ＝2S △BDC BC.由AE 2＝EO·ED，得S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BDC .5. 已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m>n>0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sinA ＋sinC sinB ＝1e.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是________________________________________________________________________．答案：在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B 在双曲线x2m2－y 2n 2＝1(m>0，n>0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率是e ，则|sinA －sinC|sinB ＝1e解析：由正弦定理和椭圆定义sinA ＋sinC sinB ＝AB ＋BC AC ＝2a 2c ，类比双曲线应有|AB －BC|AC＝|sinA －sinC|sinB ＝1e.6. 已知数列{a n }是正项等差数列，若b n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n1＋2＋3＋…＋n，则数列{b n }也为等差数列．类比上述结论，已知数列{c n }是正项等比数列，若d n ＝________，则数列{d n }也为等比数列．答案：(c 1·c 22·c 33·…·c nn )11＋2＋3＋…＋n解析：由等差数列{a n }的a 1＋2a 2＋…＋na n 的和，则等比数列{c n }可类比为c 1·(c 2)2·…·(c n )n 的积；对a 1＋2a 2＋…＋na n 求算术平均值，所以对c 1·(c 2)2·…·(c n )n求几何平均值，所以类比结果为(c 1·c 22·c 33·…·c nn )11＋2＋3＋…＋n.7. 设函数f(x)＝xx ＋2(x>0)，观察：f 1(x)＝f(x)＝x x ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x 3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x7x ＋8，f 4(x)＝f(f 3(x))＝x 15x ＋16，…. 根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N ＋且n≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝________．答案：x（2n －1）x ＋2n解析：观察知四个等式等号右边的分母为x ＋2，3x ＋4，7x ＋8，15x ＋16，即(2－1)x＋2，(4－1)x ＋4，(8－1)x ＋8，(16－1)x ＋16，所以归纳出f n (x)＝f(f n －1(x))的分母为(2n－1)x ＋2n，故当n∈N ＋且n≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝x （2n －1）x ＋2n .8. 如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n(n≥2)行的第2个数为__________．答案：n 2－2n ＋3解析：第n(n≥2)行的第2个数为3＋3＋5＋7＋…＋[2(n －2)＋1]＝3＋n －2）×2n2＝n 2－2n ＋3.9. (2014·新课标全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为__________．答案：A解析：由于甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A 城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A 城市．10. 老师布置了一道作业题“已知圆C 的方程是x 2＋y 2＝r 2，求证：经过圆C 上一点M(x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2”，聪明的小明很快就完成了，完成后觉得该题很有意思，经过认真思考后大胆猜想出如下结论：若圆C 的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则经过圆C 上一点M(x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2.你认为小明的猜想正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．解：小明的猜想正确．(证法1)若x 0≠a ，y 0≠b ，则因圆C 的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，M(x 0，y 0)是圆C 上一点，所以直线MC 的斜率为k 1＝y 0－bx 0－a.设过M(x 0，y 0)的切线斜率为k ，因为直线MC 与切线l 垂直，所以k ＝－1k 1＝－x 0－ay 0－b，所以过M(x 0，y 0)的切线l 方程为y －y 0＝－x 0－ay 0－b(x －x 0)，整理得(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y－b)＝(x 0－a)2＋(y 0－b)2.又点M(x 0，y 0)在圆C 上，所以有(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2，故此时过M(x 0，y 0)的圆C 的切线方程为(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2.若x 0＝a 或y 0＝b(同时成立不合题意)，则切线的斜率不存在或为0，可直观看出：|y 0－b|＝r 或|x 0－a|＝r ，此时切线方程分别为y ＝y 0或x ＝x 0，适合(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2.综上所述，过M(x 0，y 0)的圆C 的切线方程为(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2.(证法2)设P(x ，y)为切线上任一点，则PM →＝(x 0－x ，y 0－y)，CM →＝(x 0－a ，y 0－b)．又PM →⊥CM →，所以PM →·CM →＝0，即(x 0－x)(x 0－a)＋(y 0－y)(y 0－b)＝0.又(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2，化简得(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2为所求切线． 11. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．(1) 求出f(5)的值；(2) 利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n ＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3) 求n≥2时1f （1）＋1f （2）－1＋1f （3）－1＋…＋1f （n ）－1的值．解：(1) f(5)＝41.(2) 因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…，由上式规律，所以得出f(n ＋1)－f(n)＝4n.f(n ＋1)－f(n)＝4n f(n ＋1)＝f(n)＋4n f(n)＝f(n －1)＋4(n －1)＝f(n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f(n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f(1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2－2n ＋1.(3) 当n≥2时，1f （n ）－1＝12n （n －1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，所以1f （1）＋1f （2）－1＋1f （3）－1＋…＋1f （n ）－1＝1＋12·(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n.第2课时直接证明与间接证明1. 在用反证法证明命题“已知a ，b ，c ∈(0，2)，求证a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)不可能都大于1”时，先假设__________________________．答案：假设a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)都大于1 解析：“不可能都大于1”的否定是“都大于1”．2. 设a ＞b ＞0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m 、n 的大小关系是____________．答案：m<n解析：(分析法)a －b<a －b b ＋a －b>a a0.3. 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________．答案：2n解析：因为数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1.因为数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1) a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n ·a n ＋2＋a n ＋a n ＋2 a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1 a n (1＋q 2－2q)＝0 q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n.4. 已知函数f(x)满足：f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则f 2（1）＋f （2）f （1）＋f 2（2）＋f （4）f （3）＋f 2（3）＋f （6）f （5）＋f 2（4）＋f （8）f （7）＝________．答案：16解析：根据f(a ＋b)＝f(a)·f(b)得f(2n)＝f 2(n)，又f(1)＝2，则f （n ＋1）f （n ）＝2，故f 2（1）＋f （2）f （1）＋f 2（2）＋f （4）f （3）＋f 2（3）＋f （6）f （5）＋f 2（4）＋f （8）f （7）＝2f （2）f （1）＋2f （4）f （3）＋2f （6）f （5）＋2f （8）f （7）＝16.5. 对实数a 和b ，定义运算“ ”：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1，设函数f(x)＝(x 2－2) (x－x 2)，x ∈R .若函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34 解析：画出函数图象可知实数c 的取值范围是(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34. 6. 已知两个非零向量a 与b ，定义a b ＝|a ||b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＋b ＝(－3，6)，a －b ＝(－3，2)，则a b ＝________．答案：6解析：a ＝(－3，4)，b ＝(0，2)，a ·b ＝|a ||b |·cos θ＝5×2×cos θ＝8，cos θ＝45，所以sin θ＝35，a b ＝5×2×35＝6.7. 对于一切实数x ，不等式x 2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是____________．答案：[－2，＋∞)解析：当x ＝0时不等式成立；用分离参数法得a≥－⎝⎛⎭⎪⎫|x|＋1|x|(x≠0)，而|x|＋1|x|≥2，∴ a ≥－2.8. 如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是____________．答案：a≥0，b ≥0且a≠b解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a (a －b)2(a ＋b)＞0 a ≥0，b ≥0且a≠b.9. 设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)中，a 、b 、c 均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．证明：设f(x)＝0有一个整数根k ，则ak 2＋bk ＝－c.①∵ f(0)＝c ，f(1)＝a ＋b ＋c 均为奇数，∴ a ＋b 为偶数，当k 为偶数时，显然与①式矛盾；当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n∈Z )，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na＋a ＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．10. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x ＜c 时，f(x)＞0.(1) 证明：1a 是f(x)＝0的一个根；(2) 试比较1a与c 的大小；(3) 证明：－2＜b ＜－1.(1) 证明：∵ f(x)的图象与x 轴有两个不同的交点，∴ f(x)＝0有两个不等实根x 1，x 2.∵ f(c)＝0，∴ x 1＝c 是f(x)＝0的根．又x 1x 2＝c a ，∴ x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴ 1a是f(x)＝0的一个根．(2) 解：假设1a ＜c ，又1a ＞0，由0＜x ＜c 时，f(x)＞0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾， ∴ 1a ≥c.∵ 1a ≠c ，∴ 1a＞c. (3) 证明：由f(c)＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴ b ＝－1－ac. 又a ＞0，c ＞0，∴ b ＜－1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22＜x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a ＜1a.又a ＞0，∴ b ＞－2，∴ －2＜b ＜－1.11. 数列{a n }中，a 1＝32，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1.(1) 求证：1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1；(2) 设S n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n，n>2，证明：S n <2.证明：(1) (证法1)要证1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，只要证1a n ＋1－1＝1a n －1－1a n ＝1a n （a n －1），只要证a n ＋1－1＝a n (a n －1)，只要证a n ＋1＝a 2n －a n ＋1，根据已知条件，得证．(证法2)∵ a n ＋1＝a 2n －a n ＋1＝a n (a n －1)＋1， ∴ a n ＋1－1＝a n (a n －1)，∴ 1a n ＋1－1＝1a n （a n －1）＝1a n －1－1a n . ∴ 1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1. (2) 由(1)知，1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，∴ S n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n ＋1－1＝1a 1－1－1a n ＋1－1＝2－1a n ＋1－1. ∵ a n ＋1－a n ＝a 2n －2a n ＋1＝(a n －1)2≥0，且a 1＝32>1，∴ a n ＋1>a n >1，∴ 2－1a n ＋1－1<2，即S n <2.第3课时数学归纳法(理科专用)1. 利用数学归纳法证明“(n＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n＝k”变到 “n＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________．答案：（2k ＋1）（2k ＋2）k ＋1解析：由题意知，n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)…(k＋k)；当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)…(k＋1＋k ＋1); 从而增加两项为(2k ＋1)(2k ＋2)，且减少一项为(k ＋1)．2. 凸n 边形有f(n)条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f(n ＋1)为________．答案：f(n)＋n －1解析：增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n ＋1)＝f(n)＋1＋n ＋1－3＝f(n)＋n －1.3. 若数列{a n }的通项公式a n ＝1（n ＋1）2，记c n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算c 1、c 2、c 3的值，推测c n ＝________．答案：n ＋2n ＋1解析：c 1＝2(1－a 1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝32，c 2＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝43，c 3＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝54，由归纳推理得c n ＝n ＋2n ＋1.4. 用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n(n∈N *，n ＞1)”时，由n ＝k(k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．答案：2k解析：增加的项数为(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k ＋1－2k ＝2k.5. 用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n （2n 2＋1）3时，由 n ＝k 的假设到证明 n ＝k ＋1 时，等式左边应添加的式子是________．答案：(k ＋1)2＋k 2解析：分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k ＋1)2＋k 2.6. 观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，则可归纳出____．答案：1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1(n∈N *) 解析：1＋122<32，即1＋1（1＋1）2<2×1＋11＋1；1＋122＋132<53，即1＋1（1＋1）2＋1（2＋1）2<2×2＋12＋1，归纳出1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1(n∈N *)．7. 用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n∈N *)成立，其初始值至少应取________．答案：8解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.8. 已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n －1＝3n (na －b)＋c 对一切n∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为____________．答案：a ＝12，b ＝c ＝14解析：∵ 等式对一切n∈N *均成立，∴ n ＝1、2、3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3（a －b ）＋c ，1＋2×3＝32（2a －b ）＋c ，1＋2×3＋3×32＝33（3a －b ）＋c ，整理得 ⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14.9. (2014·陕西模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n －a n (n∈N *)． (1) 计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2) 猜想通项公式a n ，并用数学归纳法证明．解：(1) a 1＝1，a 2＝32，a 3＝74，a 4＝158.(2) 猜想a n ＝2n－12n －1，证明：① 当n ＝1时，a 1＝1猜想显然成立；② 假设当n ＝k(n≥1且n∈N *)时，猜想成立，即a k ＝2k－12，S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k －a k ，那么，n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－(2k －a k )，∴ a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k， ∴ 当n ＝k ＋1时猜想成立．综合①②，当n∈N *时猜想成立．10. (2014·东城区期末)已知数列{a n}满足关系式a n＋1＝na n＋2，n∈N*，且a1＝2.求证：n＋1≤a n<n＋1＋1.证明：用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝2，满足1＋1≤a1<1＋1＋1，不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，k＋1≤a k<k＋1＋1成立，则当n＝k＋1时，a k＋1＝ka k ＋2>kk＋1＋1＋2＝k＋1＋1，a k＋1＝ka k＋2≤kk＋1＋2.下面用分析法证明：kk＋1＋2<k＋2＋1.要证kk＋1＋2<k＋2＋1，只需证k＋k＋1<(k＋1)k＋2，只需证(k＋k＋1)2<[(k＋1)k＋2]2，只需证2k＋1>0，此式显然成立．所以kk＋1＋2<k＋2＋1.从而k＋1＋1<a k＋1＝ka k ＋2≤kk＋1＋2<k＋2＋1，即当n＝k＋1时，原不等式也成立．由①②，知对一切n∈N*，n＋1≤a n<n＋1＋1.11. 在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．当n＝2、3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，并给出证明．解：由已知得a3＝70，a4＝180.所以n＝2时，a2n－a n－1a n＋1＝－500；当n＝3时，a2n－a n－1a n＋1＝－500.猜想：a2n－a n－1a n＋1＝－500(n≥2)．下面用数学归纳法证明：①当n＝2时，结论成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即a2k－a k－1a k＋1＝－500，将a k－1＝3a k－a k＋1代入上式，可得a2k－3a k a k＋1＋a2k＋1＝－500.则当n＝k＋1时，a2k＋1－a k a k＋2＝a2k＋1－a k(3a k＋1－a k)＝a2k＋1－3a k a k＋1＋a2k＝－500.故当n＝k＋1时结论成立．根据①，②可得a2n－a n－1a n＋1＝－500(n≥2)成立．。

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