高一数学下学期期中试题无答案(2)word版本
河南省南阳市2023-2024学年高一下学期4月期中质量评估数学试题
河南省南阳市2023-2024学年高一下学期4月期中质量评估数学试题一、单选题1．与角20244'-o 终边相同的角是（ ） A ．4044'-oB ．2244'-oC ．31556'oD ．67556'o2．已知()1,2A ，()4,3B ，(),6C x ，若AB AC ∥u u u r u u u r，则x =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．133．在扇形AOB 中，2AOB ∠=，弦2AB =，则扇形AOB 的面积是（ ） A ．1sin1B ．()21sin1 C ．sin1D ．()2sin14．在梯形ABCD 中，90BAD CDA ∠=∠=︒，5AD =，则AD BC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．25B ．15C ．10D ．55．在ABC V 与111A B C △中，已知11111π,3AB A B x BC B C C C =====，若对任意这样两个三角形,总有111ABC A B C ≅△△，则（ ）A ．30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．(x ∈C ．)x ∞∈+D ．)32x ∞⎧⎫∈+⋃⎨⎬⎩⎭6．小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为G u r，两人手臂上的拉力分别为1F u u r ，2F u u r ，且12F F =u u r u u r ，1F u u r 与2F u u r 的夹角为θ，下列结论中正确的是（ ）A ．θ越小越费力，θ越大越省力B ．始终有122G F F ==ru u r u u rC ．当2π3θ=时，1F G =u u r r D ．当π2θ=时，1F G =u u r r7．若π,,0,2αβθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且c o s t a n αα=，cos ββ=，cos sin θθ=，则α，β，θ的大小是（ ）A ．αθβ<<B ．αβθ<<C ．βαθ<<D ．βθα<<8．已知()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<<.其部分图象如下图，则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1-B ．C ．12-D ．二、多选题9．下列等式恒成立的是（ ） A ．()sin πsin αα+=B ．πcos sin 2αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．3πsin cos 2αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭D ．()tan πtan αα+=-10．已知向量()1,2a =r，2b =r ，a b +=r r ）A ．a r 在b r 上的投影数量是12-B ．b r 在a r 上的投影向量是⎛ ⎝⎭C ．a r 与b rD ．()4a b b +⊥r r r11．设函数f x =A sin ωx +φ （其中0A >，0ω>，π0ϕ-<<），若()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π5ππ266f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭）A ．2A =B ．23ω=C ．π2ϕ=-D ．当π3π,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x ⎡∈-⎣ 12．在ABC V 中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，则（ ）A ．ABC V 的周长是5B ．BCC ．BCD ．BC三、填空题13．若[]0,2πx ∈，满足条件sin cos 0x x +>的x 的集合是.14．将函数1sin 22y x =的图象上各点向左平移π3个单位长度，再把横坐标缩短为原来的13，得到的图象的函数解析式是.15．已知5πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭19πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭. 16．在ABC V 中，D 为BC 边上的任一点，若1cos 3B =，22AB AD BD DC =+⋅，则sin C =.四、解答题17．如图，以Ox 为始边作角α与π0π2ββα⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点Q 的坐标为x ⎛ ⎝⎭.(1)求2sin 5cos 3sin 2cos ββββ+-的值；(2)若OP OQ ⊥，求P 的坐标.18．如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为AB 中点，点N 在BD 上，3BN BD =.(1)设AD a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，用a r ，b r 表示向量u u u rNC ； (2)求证：M ，N ，C 三点共线.19．（1）已知()1,0A -，()0,2B ，求满足5AB AD ⋅=u u u r u u u r，210AD =u u u r 的点D 的坐标；（2）设a r ，b r 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c r 与a b +r r 共线，求b c +r r 的最小值.20．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =-. (1)求C ；(2)若5b =，c =ABC V 的面积.21．已知()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在5,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，且对任意的x ∈R ，都有()512f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 解析式；(2)若函数()()()g x f x m m =-∈R 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个零点1x ，2x ，求()12f x x +的值.22．已知a ，b ，c 分别为ABC V 中角A ，B ，C 的对边，G 为ABC V 的重心，AD 为BC 边上的中线.(1)若ABC V 60CGD ∠=o ，1CG =，求AB 的长； (2)若GB GC ⊥，求cos BAC ∠的最小值.。
2022-2023学年湖南省长沙市高一下学期期中数学试题2【含答案】
2022-2023学年湖南省长沙市高一下学期期中数学试题一、单选题1．若复数满足，则的虚部是（ ）z 5z =z AB ．CD．【答案】B【分析】根据复数的概念，即可得出答案.【详解】根据复数的概念可知，的虚部为.5z =故选：B.2．若，，，的夹角为，则等于（ ）3a = 4b = ab135︒a b ⋅A ．B ．CD ．--2【答案】B【分析】根据数量积的定义，即可得出答案.【详解】由已知可得，.cos13534a b a b ⎛⋅=︒=⨯⨯=-⎝ 故选：B.3．在中，点D 是AB 的中点，则（ ）ABC A ．B ．12CD AB AC=+12CD AB AC=-+C ．D ．12CD AB AC=--12CD AB AC=- 【答案】D【分析】根据向量的加法和减法运算即可.【详解】因为点D 是AB 的中点，所以12AD AB=所以1122CD CA AD CA A AB AB C=+=+=-故选：D.4．设，则“”是“”的（ ）．θ∈R ππ1212θ-<1sin 2θ<A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】，但，不满足 ，所以πππ||012126θθ-<⇔<<1sin 2θ⇒<10,sin 2θθ=<ππ||1212θ-<是充分不必要条件，选A.【解析】 充要条件【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若，则是的充分条件，若，则p q ⇒p q q p ⇒是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则p q p q ⇔p q A B ⊆是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，A B BA ⊆AB A B =A B 若是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不A B A B B A A B 充分条件.5．如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正111 ABC A B C -111A B C 确的是（ ）A ．直线与直线是异面直线B ．直线与直线AE 是共面直线1CC 1B E 1CC C ．直线AE 与直线是异面直线D ．直线AE 与直线是共面直线11B C 1BB 【答案】C【分析】根据异面直线的判定定理求解即可.【详解】由于与均在平面内，不是异面直线，故A 错误；1CC 1B E 11BCC B平面，平面，点不在直线上，所以和是异面直线，故B 错1CC ⋂ABC C =AE ⊂ABC C AE 1CC AE 误；平面， 平面，点不在直线上，则与是异面直线，AE ⋂11BCC B E =11B C ⊂11BCC B E 11B C AE 11B C 故C 正确；平面， 平面，点不在直线上，则与是异面直线，故AE ⋂11BCC B E =1B B ⊂11BCC B E 1B B AE 1B B D 不正确.故选：C【点睛】方法点睛：判断两条直线是否为异面直线，第一两条直线平行或相交，则两条直线共面，第二若一条直线与一个平面相交于一点，那么这条直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线，这是判断两条直线是异面直线的方法，要根据题目所提供的线线、线面关系准确的做出判断.6．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R ，球冠的高为h ，则球冠的面积．已知该灯笼的高为46cm ，圆柱的高为3cm ，圆柱的底面圆直径为30cm ，则围成该灯笼2S Rh π=所需布料的面积为（）A ．B ．C ．D ．22090cm π22180cmπ22340cmπ22430cmπ【答案】B【分析】由勾股定理求出，则，分别求出两个球冠的表面积、灯笼中间球面的表R 205cm h R =-=面积、上下两个圆柱的侧面积即可求出围成该灯笼所需布料的面积.【详解】由题意得，得，，222466=152R -⎛⎫- ⎪⎝⎭25cm R =25205cm h =-=所以两个球冠的表面积之和为，224500cm S Rh ππ==灯笼中间球面的表面积为．2245002000cm R πππ-=因为上下两个圆柱的侧面积之和为，22303180cm ππ⨯⨯=所以围成该灯笼所需布料的面积为．220001802180cm πππ+=故选：B.7．若，，，，则（ ）π02α<<02βπ<<3cos()5αβ+=π5sin 413β⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 4α⎛⎫+=⎪⎝⎭A B ．C ．D ．3256653665【答案】C【分析】由已知，结合角的范围，即可得出，.然后根据两角差余弦4sin()5αβ+=π12cos 413β⎛⎫-= ⎪⎝⎭公式，即可得出答案.【详解】因为，，所以，π02α<<02βπ<<0παβ<+<所以，.4sin()5αβ+==又，所以.πππ444β-<-<π12cos 413β⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以，()ππcos cos 44ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππcos cos sin sin 44αββαββ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.312455651351365=⨯+⨯=故选：C.8．已知，，，平面区域为由所有满足的点组成()1,1A -()4,0B ()2,2C D AP AB AC λμ=+(),P x y 的区域（其中，），若区域的面积为，则的最小值为（ ）1a λ<≤1b μ<≤D 8a b +A ．B ．C ．D ．46810【答案】A【分析】作图得出区域D ，然后根据向量关系得出，)1EF BN a ==-，然后表示出，根据和的关系可得出，)1EH CM b ==-()()411EFH S a b =-- EFH △EFGH ，进而得出，根据“1”的代换，即可得出答案.()()111a b --=111a b +=【详解】如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得，AN a AB=，AM b AC=作，，，，//CF AN //BH AM //NG AM //MG AN 则四边形，，均为平行四边形.ABEC ANGM EFGH 由题意可知:点组成的区域D 为图中的四边形及其内部.(),P x y EFGH 因为，，，()3,1AB =()1,3AC =()2,2BC =-，，，AC =BC =所以，，，)1EF BN a ==-)1EH CM b ==-所以，.3cos 5AC AB CAB AC AB⋅∠=== 又，则.π0sin CAB ≤∠≤4sin 5CAB ∠=所以，.))114sin 11225EFH S EF EH CAB a b =⨯⨯⨯∠=--⨯ ()()411a b =--因为四边形的面积，EFGH 28EFH S S == 所以，即，()()111a b --=111a b +=，()11a b a b a b ⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭22224b a a b ++≥=+=当且仅当时取等号.2ba ==的最小值为4.a b ∴+故选：A.二、多选题9．在中，已知，，则角的值可能为（ ）ABC a =b =45B =A A ．B ．C ．D ．3012060150【答案】BC【分析】根据正弦定理求出，再根据可得结果.sin A a b >【详解】由正弦定理得，得sin sin a b A B =sin sin a B A b ==因为，且，所以或.a b >0180A << 60A = 120A =故选：BC.10．下列说法中正确的是（ ）A ．若，则//,//a b b c //a cB ．单位向量，则()()1,0,0,1i f ==345i f -=C ．若点为的重心，则G ABC 0GA GB GC ++=D ．当时，使成立的的取值范围为0πx <<tan 1x <-x π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】若可判断A ；由坐标向量的模长公式可判断B ；由重心的向量表示可判断C ；由0b = 在的单调性可判断D.tan y x =()0,x π∈【详解】对于A ，若，则不一定平行，故A 不正确；0b = ,a c对于B ，单位向量，则，()()1,0,0,1i f ==()343,4i f -=-则，故B 正确；345i f -==对于C ，分别取，，中点，，则，BC AC AB D ,E F 2GB GC GD +=为的重心，，，故C 正确；G ABC 2GD AG ∴= 20GA GB GC GA GD ∴++=+=对于D ，当时，在单调递增，且，02x π<<tan y x =tan 0x >当时，在单调递增，且，π2x π<<tan y x =tan 0x <，所以，故D 正确.3πtan 1tan4x <-=π3π24x <<故选：BCD.11．已知表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是（ ）,a b ,,αβγA ．若，且，则,a b αγβγ== //a b //αβB ．若相交，且都在外，，则,a b ,αβ//,//,//,//a b a b ααββ//αβC ．若，且，则//,//a b αβ//a b //αβD ．若，则,//,a a b αβαβ⊂= //a b 【答案】BD【分析】根据线线、线面、面面平行的判定与性质定理，结合平面的基本性质进行判断.【详解】A ：若，且，则可能相交、平行，错误；,a b αγβγ== //a b ,αβB ：若相交，且都在外，，由面面平行的判定可得，正确；,a b ,αβ//,//,//,//a b a b ααββ//αβC ：若，且，则可能相交、平行，错误；//,//a b αβ//a b ,αβD ：若，由线面平行的性质定理得，正确.,//,a a b αβαβ⊂= //a b 故选：BD 12．已知函数，且，，则下列结论正确的是（ ）()x x xf x a b c =+-(),,0,a b c ∈+∞()20f =A ．B ．102f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()30f <C ．在上单调递减D ．最小值为()f x R ()()11f f -5-【答案】ABD【分析】由已知可得，则可知函数在R 上递减.然后即可判断222+=a b c ()1x xa b g x c c ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 、B 项；取特殊值，即可说明C 项；换元可得，，，代入化简可cos a c θ=sin b c θ=π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得.令，可得，()()()sin cos 11sin cos 11sin cos f f θθθθθθ+⎛⎫-=+-⋅- ⎪⎝⎭sin cos 1t θθ++=π14t θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭代入整理可得.进而根据的取值范围，结合单调性，即可得出答案.()()2114f f t t ⎛⎫-=-++ ⎪⎝⎭t【详解】因为，所以.()22220a b c f +-==222+=a b c 因为，则，，所以，.(),,0,a b c ∈+∞0a c <<0b c <<01a c <<01b c <<对于A 项，因为，，故，在R 上递减.01a c <<01b c <<xa y c ⎛⎫= ⎪⎝⎭xb yc ⎛⎫= ⎪⎝⎭由，()1xx x xxxa f x abc c b c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣+⎦=-令，则在R 上递减，()1x xa b g x c c ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x 且，所以，，()20g =()1202g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭()()3<20g g =且，则，恒成立，0c >x ∀∈R 0xy c =>所以，故A 项正确；1211022f c g ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B 项，由A 知，，，所以，故B 项正确；()()3<20g g =0c >()()333<0f c g =对于C 项，取，，，则，所以C 错误；3a =4b =5c =()1122f f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭对于D 项，因为，222+=a b c 令，，，cos a c θ=sin b c θ=π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则.()()()11111cos sin cos sin f f c c c c c c θθθθ⎛⎫-=+-⋅+-= ⎪⎝⎭()sin cos sin cos 11sin cos θθθθθθ+⎛⎫+-⋅- ⎪⎝⎭令，则，，sin cos 1t θθ++=()()2112sin cos 22t t t θθ---==sin cos 1t θθ+=-且.πsin cos 114t θθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭因为，则，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以，故，πsin 4θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦(π12,14t θ⎛⎫=++∈+ ⎪⎝⎭可得.()()()()1112122t f f t t t ⎡⎤⎢⎥--=-⋅-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()21224t t t t t -⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭设，，()2g t t t =+(2,1t ∈又在上单调递增，且，，()2g t tt =+(2,1()23g =(11g =故，即，()(21g t t t ⎤=+∈-⎦213t t ⎛⎫⎡⎤-+∈-- ⎪⎣⎦⎝⎭所以，所以D 正确.()())21145f f t t ⎛⎫⎡-=-++∈- ⎪⎣⎝⎭故选:ABD.三、填空题13．命题“，都有”的否定是___________.x ∀∈R 210x x +>＋【答案】，有x ∃∈R 210x x ++≤【分析】由命题的否定的定义求解．【详解】题“，都有”的否定是：．x ∀∈R 210x x +>＋2,10x R x x ∃∈++≤故答案为：．2,10x R x x ∃∈++≤14．复数的模为__________.1i1i -=+z 【答案】1【分析】根据复数的除法运算，化简得出，即可得出答案.i z =-【详解】由已知可得，，()()()21i 1i2i i 1i 1i 1i 2z ---====-++-所以，.1z =故答案为：.115．已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为20π__________．【答案】10π【分析】先求出半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系，即可得到侧面积表达式，然后用基本不等式即可求解最大值.【详解】解：设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，母线为l ，由题意可知，，24π20πR R =⇒=又圆柱的两个底面的圆周都在球面上，则满足，22252l r R ⎛⎫+== ⎪⎝⎭而圆柱的侧面积，，2πS rl =0l >因为，当且仅当，即时等号成立，22222l l r r lr ⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭2l r =r =l =所以，，5lr ≤2π10πS rl =≤故答案为：10π16．在凸四边形中，，，，则长度的范围ABCD 2AB =72A B C ∠=∠=∠=︒144D ∠=︒BC __________.【答案】)1【分析】平移CD 到，延长，交于点，可得.设，根据角度关1AC ,AD BC 2C 12BC BC BC <<1BC x =系可推得，根据相似可得出，求解即可得出答案.21ABC ABC ∽ △222x x +=【详解】如图，平移CD 到，延长，交于点，1AC ,AD BC 2C 则，172AC B BCD B ∠=∠=∠=︒所以，且，118027236C AB ∠=︒-⨯︒=︒12BC BC BC <<所以.21723636C AC ∠=︒-︒=︒又，22118036C C AB B C AB ∠=︒-∠-∠=︒=∠所以.1212C C AC AB ===设，1BC x =在和中，有，，2ABC △1ABC 21C C AB ∠=∠B B ∠=∠所以，21ABC ABC ∽ △所以，即，21BC AB AB BC =222x x +=整理可得，解得（舍去负值），2240x x +-=1x =-所以，1x =-11BC =-21BC =所以.11BC -<<+故答案为：.)1-+【点睛】思路点睛：根据平移，得出的两个边界，然后根据已知角，得出三角形相似，进而得BC 出关系式，即可得出答案.四、解答题17．已知棱长为1的正方体中．1111ABCD A B C D -（1）证明：平面；1//D A 1C BD （2）求三棱锥的体积．111B A B C -【答案】（1）证明见解析；（2）．16【分析】（1）证明，再由线面平行的判定定理证明；11//AD BC （2）根据三棱锥体积公式计算即可.【详解】证明：（1）在棱长为1的正方体中，，且 1111ABCD A B C D -11//B C A D ∴11AB C D =所以四边形为平行四边形11ABC D 11//D A BC ∴又平面，平面，1BC ⊂1C BD 1AD ⊄1C BD平面；1//D A ∴1C BD （2）由正方体易知，三棱锥的高为，111B A B C -1BB 所以111111111111113326A B C B A B C V S BB -==⨯⨯⨯⨯=⨯=．18．已知向量，，其中.33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ x ∈R (1)当时，求x 值的集合；a b ⊥(2)，求.π2x =a b-【答案】(1)ππ|,42k x x k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z (2)2a b -= 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，即可推得，求解即可得出答案；cos 20x =（2）代入，求出的坐标，然后得出的坐标，根据模的运算，即可得出答案.π2x =,a b a b - 【详解】（1）由已知可得，所以，0a b ⋅= 33cos cos sin sin 2222x xx x -3cos cos 2022x x x ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭所以，所以，π2π,2x k k =+∈Z ππ,42k x k =+∈Z 所以x 值的集合为.ππ|,42k x x k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z （2）当时，所以，，π2x=3π3πcos ,sin 44a ⎛⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝ππcos ,sin 44b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，，(a b -=所以.2a -= 19．已知函数的部分图象如图所示．()2sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<(1)求的解析式；()f x (2)若函数，求在区间上的最大值和最小值．()()sin g x f x x =()g x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1)()π2sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)0【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到，进而得到的解析式；,ωϕ()f x （2）根据三角恒等变换化简，进而分析在区间上的最大值和最小值.()g x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由图象可知：，3ππ2π4144T ωω⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭将点代入得，π,24⎛⎫⎪⎝⎭()y f x =πππ2sin 22π444f k ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π0π4ϕϕ<<∴=∴()π2sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）())π()()sin sin cos sin 2cos 2sin 24g x f x x x x x x x x ⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭由得π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πππ2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦当时，即；ππ244x -=-()min 0,0x g x ==当时，即ππ244x -=()max π,4x g x ==20．某环保组织自2022年元旦开始监测某水域水葫芦生长的面积变化情况，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2022年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水域水葫芦生长的面积为n （单位：），二月底测得水葫芦2m 的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积y （单位：）与224m 264m 2m 时间x （单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是(0,1)xy na n a =>>，记2022年元旦最初测量时间x 的值为0．12(0,0)y px n p n =+>>(1)根据本学期所学，请你判断哪个函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；(2)该水域中水葫芦生长面积在几月份起是元旦开始研究时其生长面积的60倍以上？（参考数据：，）lg 20.3010≈lg30.4771≈【答案】(1)第一个函数模型满足要求，(01)，xy na n a =>>278()83xy =⋅(2)5月份【分析】（1）由指数函数与幂函数的增长速度判断函数模型，再由待定系数法求得解析式；（2）建立并求解函数不等式，通过对数运算性质求值.【详解】（1）因为两个函数模型，在上都是增(0,1)xy na n a =>>12(00)，y px n p n =+>>(0)+∞，函数．随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数x (01)，xy na n a =>>12(00)，y px n p n =+>>值增加得越来越慢．因为在该水域中水葫芦生长的速度是越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，所以第一个函数模型满足要求．(01)，xy na n a =>>由题意知，解得，所以．232464na na ⎧=⎨=⎩83278a n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩278()83x y =⋅（2）由，解得，27827()60838x ⋅>⨯83log 60x >又，故，83lg601lg2lg3 1.7781log 60 4.283lg2lg30.4259lg 3++==≈≈-5≥x 所以该水域中水葫芦生长面积在5月份起是元旦开始研究时其生长面积的60倍以上．21．在锐角中，角的对边分别是，，，若ABC ,,A B C a b c 2cos cos c b Ba A -=(1)求角的大小；A (2)若，求中线长的范围（点是边中点）.2a =AD D BC 【答案】(1)π3A =(2)【分析】（1）根据条件，利用正弦定理进行边角转化，可得到，从而求出结果；1cos 2A =（2）先利用向量的中线公式得到，再利用正、余弦定理及条件求出的范围，进24||24AD bc =+ bc 而求出结果.【详解】（1）因为，由正弦定理可得：2cos cos c b Ba A -=2sin sin sin C B A -cos cos B A =即，所以()2sin sin cos sin cos C B A A B -⋅=⋅，()2sin cos sin cos cos sin sin sin(π)sin C A A B A B A B C C=+=+=-=因为，所以，所以，因为，所以.π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0C >1cos 2A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =（2）由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，π3A =2a =2221cos 22b c a A bc +-==224b c bc +=+因为点D 是边BC 中点，所以，两边平方可得:2AD AB AC =+，224||AD AB = 2||2AC AB AC++⋅222cos b c bc A =++⋅所以，2224||AD b c bc =++ 424bc bc bc =++=+因为，又，，2(2sin )(2sin )4sin sin bc R B R C R B C =⋅=22πsin sin 3a R A ===2π3B C=-所以,162π81cos28π4sin()sin )sin(2)3332363C bc C C C C -=-=+=-+又因为为锐角三角形， 所以，，得到，ABC 2ππ032B C <=-<π02C <<ππ62C <<所以，由的图像与性质知，，ππ5π2(,)666C -∈sin y x =π1sin(2),162C ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦所以，所以，得到8,43bc ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦228424,123AD bc ⎛⎤=+∈⎥⎝⎦2724,33AD bc ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦ 故.AD ⎛∈ ⎝ 22．已知函数（，且）满足.()log sin 4a f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭0a >1a ≠1(4)(2)2f f =-(1)求a 的值；(2)求证：在定义域内有且只有一个零点，且.()f x 0x 02sin 40522x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭+<【答案】(1)；4a =(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得，即求；1log 4log 22a a =+（2）分类讨论结合对数函数的性质、正弦函数的性质及零点存在定理可得函数在定义域内有()f x 且只有一个零点，利用对数的运算可得，再利用对勾函数的性质即得.0x 02sin 400012x x x x π+=+【详解】（1）因为，1(4)(2)2f f =-所以，1log 4sin log 2sin22a a ππ+=+-即，1log 4log 22a a =+解得.4a =（2）由题意可知函数的图象在上连续不断.4()log sin4f x x xπ=+(0,)+∞①当时，因为与在上单调递增，2(]0,x ∈4log y x =sin4y xπ=(0,2]所以在上单调递增.()f x (0,2]又因为，4111log sin sin sin sin 0,(1)sin22882864f f πππππ⎛⎫=+=-=-<=> ⎪⎝⎭所以.1(1)02f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭根据函数零点存在定理，存在，使得，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00f x =所以在上有且只有一个零点.()f x (0,2]0x ②当时，，所以，(2,4]x ∈4log 0,sin4x x π>≥4()log sin4f x x x π=+>所以在上没有零点.()f x (2,4]③当时，，所以，(4,)x ∈+∞4log 1,sin14x x π>≥-4()log sin4f x x x π=+>所以在上没有零点.()f x (4,)+∞综上所述，在定义域上有且只有一个零点.()f x (0,)+∞0x 因为，即.()0400log sin 04f x x x π=+=040sinlog 4x x π=-所以，402sin log 4000001124,,12x x x x x x x π-⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭又因为在上单调递减，1y x x =+1,12⎛⎫⎪⎝⎭所以，00115222x x +<+=即.02sin 40522x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭+<【点睛】关键点点睛：对分类讨论时，①当时，函数与在上单x 2(]0,x ∈4log y x =sin4y xπ=(0,2]调递增，结合零点存在定理可得函数有且只有一个零点；②当时，函数没有(2,4]x ∈()0f x >()f x 零点；③当时，函数没有零点.(4,)x ∈+∞()0f x >()f x。
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。
浙江省杭州高级中学2013-2014学年高一下学期期中数学试题 Word版缺答案
杭高2013学年第二学期期中考试高一数学试卷注意事项： 1．本试卷考试时间为90分钟，满分为100分。
2．本试卷考试过程中不得使用计算器，答案一律做在答卷页上.一．选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1．在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =A ．B ．CD 2．ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知sin 1B =，向量p ()a b =，，(12)=，，若q p //，则角A 的大小为 A ．6π B ．3π C ．2π D ．32π 3．设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ,则||a b +=A B C ．25 D ．104．ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，()0BA BC AC +⋅=，则ABC ∆一定是A ．直角三角形B ．等边三角形C ．非等边锐角三角形D ．钝角三角形5．已知数列}{n a 为等比数列,274=+a a ,865-=⋅a a ,则101a a +的值为A ．7B ．5-C ．5D ．7- 6．已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-= A ．13 B ．13- C ．23 D ．23- 7．已知正项数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋2)a n ＋12－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，则它的通项公式为A ．an ＝1n ＋1 B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝n ＋12D ．a n ＝n 81的等腰直角三角形拼在一起，C ．2D ．22+9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足0,01817<>S S ,则17172211,,,a S a S a S 中最大的项为A ．66a SB ．77a SC ．88a SD ．99a S 10．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则b a =A ．12B ．1C ．32D ．52二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填在题中的横线上） 11． 50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于_____________.12．在等差数列{a n }中，a 1＝－7,74a =-，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为_______.13．公比q 不为1的等比数列{}n a 满足*212()n n n a a a n +++=∈N ，则q =_______.14．已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则⋅=_______.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列,则{}n a 的通项公式n a =_______.16．圆O 的半径为2,ABC ∆是其内接三角形, 3BC =,则22AC AB -的最大值为_______. 17．设等比数列的公比为q ,其前n 项的积为n T ,并且满足条件11a >,9910010a a ->.99100101a a -<-, 给出下列结论：① 01q <<；② 9910110a a -<；③100T 的值是n T 中最大的； ④ 使1n T >成立的最大自然数等于198.其中正确的结论是_______.三．解答题（本大题共4小题，共42分，要写出详细的解答过程或证明过程）18．（本小题满分8分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =（1）求角C 的大小；（2cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角A 的大小． 19．（本小题满分10分）设{}n a 是各项都为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，3513a b +=，5321a b +=.（1）求数列}{n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数{}n n a b 列前n 项和n T .20．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 向量()()()B A B A m --=→sin ,cos ，()B B n sin ,cos -=→,且53-=⋅→→n m ． （1）求sin A 的值； （2）若a =5b =,求角B 的大小及向量BA −−→在BC −−→方向上的投影．21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程 220()n n x x b n N *-+=∈的两根，且11a =．（1）求证：数列123n n a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求n S ； （3）问是否存在常数λ，使得0n n b S λ->对任意n N *∈都成立，若存在，求出λ的取值范围; 若不存在，请说明理由． 杭高2013学年第二学期期中考试高一数学答卷页 一．选择题（本大题共10小题，每小题3 分，共30分）11． 12． 13． 14． 15． 16． 17.试场号_________座位号________班级_________ 姓名____________学号_________………………………………装……………………………………订………………………线………………………………………。
高一数学下学期期中考试试卷含答案(word版)
高一年级第二学期期中考试试题数学第1卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题12题,每小题5分,共60分) 1. 若0a b <<,则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．2ab b < C ．||||a b < D ．2a ab > 2. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1356a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．103. 在ABC ∆中, a =b =o45B =,则A 为（ ）A ．o60或o120 B ．o60 C ．o30或o150 D ．o304. 公差下为0的等差数列{}n a 中, 12a =,且248,,a a a 成等比数列,数列{}n a 的前n 项和为n S ，则8S =（ ）A ．72B ．56 C. 36 D ．285. 在ABC ∆中, o o 45,60AB A B ===,则BC =（ ）A ．3-B C. 2 D ．3+ 6. 不等式组2(2)01x x x +⎧>⎨<⎩的解集为（ ）A ．(2,1)--B ．(1,0)- C. (0,1) D ．(1,)+∞7. 已知不等式210ax bx --≥的解集是11[,]23--,则不等式20x bx a --<的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,2)(3,)-∞+∞ C. 11(,)32 D ．11(,)(,)32-∞+∞ 8. 设{}n a 是由正数组成的等比数列, n S 为其前n 项和,已知241a a =,37S =,则5S 等于（ ） A ．152 B ．314 C. 334 D ．1729. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,1cos ,7,65A a c ===,则b =（ ） A ．8B ．7 C. 6 D ．510. 已知0,0x y >>,且2x y +=,则14x y+的最小值是（ ） A ．72 B ．4 C. 92D ．5 11. 设ABC ∆的三内角A B C 、、成等差数列, sin sin sin A B C 、、成等比数列,则这个三角形的形状是（ ） A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形12. 如图所示,为测一树的高度,在地上选取A B 、两点,从A B 、两点分别测得望树尖的仰角为oo30,45，且A B 、两点之间的距离为60m ,则树的高度为（ ）A ．(30303)m +B ．(30153)m + C. (15303)m + D ．(1533)m +第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题4题,每小题5分,共20分) 13. 不等式2340x x --+>的解集为 ． 14. ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知,13A b π==,其面积为3,则a = ．15. 若对任意1x >,不等式2471x x a x -+≥-恒成立,则实数a 的取值范围是 ． 16. 两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作11a =,第2个五角形数记作25a =,第3个五角形数记作312a =,第4个五角形数记作422a =,……,若按此规律继续下去,则n a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列{}n a 满足1210a a +=,432a a +=. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==,问：6b 与数列{}n a 的第几项相等?18.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且32,cos 5a B ==. (1)若4b =,求sin A 的值；(2)若ABC ∆的面积4ABC S ∆=,求,b c 的值.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12n n S a =-+. (I)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若21log n n b a +=，且数列{}n b 的前n 项和为n T ,求12111nT T T +++. 18. 如图,在ABC ∆中, ACB ∠为钝角, 2,2AB BC ==,6A π=,D 为AC 延长线上一点,且31CD =+.(1)求BCD ∠的大小；(2)求BD 的长及ABC ∆的面积.21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12323n a a a na ++++*(1)2()n n S n n N =-+∈(1)求23a a ，的值；(2)求证：数列{+2}n S 是等比数列； (3)设814=2n n n b S -+,数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足0n T >的最小自然数n 的值.22.已知函数2()1()f x mx mx m R =--∈ (1)当0m >,解关于x 的不等式()23f x x <-(2)对于[1,3]x ∈,()1f x m x >-+-,恒成立,求m 的取值范围.第二学期高一年级期中考试数学答案第1卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题12题,每小题5分,共60分)二、填空题(本大题4题,每小题5分,共20分)13. (4,1)-(,2]-∞ 16. 232n n na -=三、解答题(本大题6题,共70分) 17. 解析:(1)设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=,所以2d =.又因为1210a a +=,所以1210a d +=,故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.(2)设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以12,4q b ==.所以61642128b -=⨯=.18. 解:(1)3cos 05B =>,且0B π<<, 4sin 5B ∴==.由正弦定理得sin sin a bA B=， 42sin 25sin 45a B A b ⨯∴===. (2) 1sin 42ABC S ac B ∆==，142425c ∴⨯⨯⨯=.5c ∴=.由余弦定理得2222cos b b c ac B =+-，b ∴===19.解:(I)当1n =时, 11112a S a ==-+解得11a = 当2n ≥时, 1n n n a S S -=-=1(12)(12)n n a a --+--+ 整理得，12n n a a -=即12nn a a -= 故数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,故通项公式为12n n a -= (Ⅱ) 212log log 2nn n b a n +===，于是前n 项和为12n n T b b b =+++=(1)122n n n ++++=， 从而1222(1)1n T n n n n ==-++ 故121112212n T T T ⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭2222231n n ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭222111n n n =-=++ 20.(1)在ABC ∆中,因为2,,6AB A BC π===由正弦定理可得sin sin ABBCACB A=∠，即21sin sin 62ACB π===∠ 所以sin 2ACB ∠=. 因为ACB ∠为钝角, 所以34ACB π∠=,所以4BCD π∠-； (2)在BCD ∆中,由余弦定理可知222BDCB DC =+2cos CB DC BCD -⋅⋅∠,即2221)BD =---21)cos4π⨯,整理得2BD =.在ABC ∆中,由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅,即222222cos6AC AC π=+-⨯⨯⨯,整理得220AC -+=,解得1AC =±。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含解析
数学试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.【详解】.故选：A2. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（ ）AB. C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由斜二测画法的规则得到平面图形，即可得到原图形的面积.【详解】依题意不妨令直观图如下所示：.()21i (1i)+-22i-22i--22i+22i-+()()21i 1i +-()()221i 12i i =+-+()2i 1i 22i =-+=-1则还原直观图为原图形，如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，，所以原图形面积为故选：B3. 已知在中，，则（ ）A.B.C.或D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理计算可得.【详解】由正弦定理，即又，所以或.故选：C4. 已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】1O A ''=O B ''=1OA O A ''==2OB O B ''==1⨯=ABC π2,6AB AC C ===B =π43π4π43π4π2sin sin c b C B=2πsin 6=sin B =5π06B <<π4B =3π4B =4π6π8π16π【分析】根据圆柱的表面积公式计算可得.【详解】依题意圆柱的底面半径，高，所以圆柱的表面积.故选：B5. 已知正方形的边长为，点满足，则（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 8【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系并写出各点坐标，根据题意求相应向量的坐标，再根据数量积的坐标运算进行求解即可.【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2，则，，，可得，点满足，所以．故选：C.6. 以下说法正确的是（ ）A. 是平面外的一条直线，则过且与平行的平面有且只有一个B. 若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等，则这两个平面平行C. 平面内不共线的三点到平面的距离相等，则D. 空间中三点构成边长为2的正三角形，则与这三点距离均为1的平面恰有两个【答案】D 【解析】【分析】当与相交时，不存在过且与平行的平面，即可判断A ；举例说明即可判断1r =2h =222π2π2π12π126πS r rh =+=⨯+⨯⨯=ABCD 2P ()12AP AC AD =+ AP AC ⋅=u u u r u u u rABCD ()0,0A ()2,2C ()0,2D ()()2,2,0,2AC AD ==P ()()11,22AP AC AD =+= 12226AP AC ⋅=⨯+⨯=a αa ααβα//β,,A B C a αa αBC ；满足条件的平面有两个，且在的异侧，即可判断D.【详解】A ：当与相交时，不存在过且与平行的平面，故A 错误；B ：三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行，故B 错误；C ：当与相交时，也存在平面内不共线的三点到平面的距离相等，故C 错误；D ：空间中三点构成边长为2的正三角形，与这三点距离均为1的平面恰有两个，且这两个平面分别在的异侧，故D 正确.故选：D7. 已知满足，则的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理结合平面向量数量积化简得，再利用基本不等式求解．【详解】已知满足，设、、对应的边分别为，，，则，即，则，当且仅当时取等号，即故选：D ．8. 已知正四棱锥的内切球半径为，则当四棱锥的体积最小时，它的高为（ ）ABC a αa ααβαβ,,A B C ABC ABC 345CA CB BA BC AB AC ⋅+⋅=⋅cos A 35452221123a b c =+ABC 345CA CB BA BC AB AC ⋅+⋅=⋅AB AC BC c b a 222222222345222a b c a c b b c a ab ac bc ab ac bc+-+-+-⨯⨯+⨯⨯=⨯2221123a b c =+222221223cos 22b cb c a A bc bc ++-==≥=221223b c =cos A P ABCD -r P ABCD -A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】设正四棱锥底面边长为2a ，，高为h ，根据正四棱锥的结构特征结合三角形相似推出，表示出棱锥的体积，结合导数确定棱锥体积最小时，由此即可求得答案.【详解】如图，设正四棱锥的底面的中心为F ，内切球球心为O ，则O 在四棱锥的高上，设内切球与侧面相切于点G ，设E 为的中点，连接，则G 在上，且，则∽，设正四棱锥的底面边长为2a ，，高为h ，则，故四棱锥的体积为，则，当时，，V 在上单调递减，当时，，V 在上单调递增，故时，V 取得最小值，此时，的3r 4r 5rP ABCD -()a r ≠2222a rh a r =-a =P ABCD -PFPBC BC PE PE OG PE ⊥Rt PGO Rt PFE△P ABCD -()a r >r a =2222a rh a r =-P ABCD -222422224428333a h a a r r a V a r a r==⨯=⨯--()32222282(2)3r a a r V a r -=-'⨯r a <<0V '<()r a >0V '>),∞+a =3244r h r r==故选：C二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 以下关于向量的说法正确的有（ ）A. B. 若，则C. D. 若，则【答案】BC 【解析】【分析】由平面向量数量积的运算，结合向量共线及垂直逐一判断即可．【详解】对于选项A ，当，，均为非零向量时，不妨设，，则，，即选项A 错误；对于选项B ，若，两边平方化简得，则，即选项B 正确；对于选项C ，，即选项C 正确；对于选项D ，若，若，则与的位置关系无法确定，即选项D 错误．故选：BC ．10. 已知为复数，，则以下说法正确的有（ ）A.B. ()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ a b a b +=- 0a b ⋅= 3||a a a a ⋅⋅=a //,b b //c a //cabca b ⊥ //b c ()0a b c ⋅⋅= ()0a b c ⋅⋅≠||||a b a b +=-40a b ⋅= 0a b ⋅=3||||a a a a ⋅⋅=//,//a b b c0b =a c12,z z 120z z ≠1122||||||z z z z =1212||||||z z z z +=+C.互为共轭复数D. 若，则的最大值为6【答案】ACD 【解析】【分析】利用复数代数形式的四则运算，结合复数模、共轭复数的意义计算判断AC ；举例说明判断B ；利用复数的几何意义求出最大值判断D.【详解】设复数，对于A ，，，A 正确；对于B ，取，则，B 错误；对于C，，，互为共轭复数，C 正确；对于D ，在复平面内，是表示复数的点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆，是上述圆上的点与复数对应点的距离，而点，的最大值为，D 正确.故选：ACD11. 如图，在菱形中，分别为的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（ ）1122,z z z z 1||1z =1|34i |z -+222212121211212212,,,,,R,00i i ,z x z x x y y y x y y x y x =+=≠++∈+≠111112212122112222222222222222i (i)(i)i i (i)(i)z x y x y x y x x y y x y x y z x y x y x y x y x y ++-+-===+++-++1212||||||z z z z ====12i,i z z ==-1212||||||20,z z z z +==+111122121212212222222222222212i (i)(i)i i (i)(i)x y x y x y x x z y y x y x y x y x y x y x y x y z --++-===+--+++1121221121212122122222222222222222()i i z x x y y x y x y x x y y x y x y z x y x y x y x y +-+-=-=+++++1122,z z z z 1||1z =1z 11|34i ||(34i)|z z -+=--34i -(3,4)-(3,4)-5=1|34i |z -+516+=ABCD ,M N ,BC CD ABCD AC D ABCA. 平面B. 异面直线与所成角为定值C. 设菱形边长为，当二面角为时，三棱锥的外接球表面积为D. 若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则的取值范围是【答案】ABC 【解析】【分析】据题意，证得，证得平面，可判定A 正确；证得平面，证得，得到，可判定B 正确；取的中心，设外接球的球心为，根据球的截面圆的性质，求得外接球半径为，可判定C 正确；分为直角和钝角时，结合在线段的关系，结合，可判定D 错误．【详解】对于A ，∵，分别为菱形的边，的中点，∴，又平面，平面，∴平面，故A 正确；对于B ，取中点，连接，如图，则，，平面，∴平面，而平面，∴，∴，即异面直线与所成的角为90°，B 正确；MN //ABDAC MN ABCD ,60a CDA ∠= D AC B --120 D ABC -27π3a AD BC ABC ∠π0,4⎛⎫⎪⎝⎭//MN BD //MN ABD AC ⊥BDO AC BD ⊥AC MN ⊥,ABC BCD 12,O O O R =ABC ∠H CB DB DO OB <+M N ABCD BC CD //MN BD MN ⊄ABD BD ⊂ABD //MN ABD AC O ,DO BO ,DO AC BO AC ⊥⊥BO DO O = ,BO DO ⊂BDO AC ⊥BDO BD ⊂BDO AC BD ⊥AC MN ⊥MN AC对于C ，取的中心，设外接球的球心为，连接平面，平面，连接，并延长交于点，因为的边长为，可得，则，又因为，当二面角为时，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，即外接球半径为，所以外接球的表面积为，所以C 正确；对于D ，过作，垂足为，若为锐角，在线段上；若为直角，则与重合；若为钝角，则在线段的延长线上，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，因为，所以平面，因为平面，所以，若为直角，与重合，所以，在中，因为，所以不可能成立，即为直角不可能成立；若为钝角，在线段的延长线上，则在菱形中，为锐角，由于立体图中，所以立体图中一定小于平面图中的，所以为锐角，，故点在线段上与H 在线段的延长线上矛盾，,ABC BCD 12,O O O 1OO ⊥ABC 2OO ⊥BCD 1BO 1BO AC E ABCa BE a=11,BO O E ==60CDA ∠=︒D AC B --120︒160∠=︒OEO 1OEO 111tan 602OO O E a ==1OO BOB ==R =2274ππ3S R a ==A AH BC ⊥H ABC ∠H BC ABC ∠HB ABC ∠H CB AD BC AH BC ⊥BC⊥AHD HD ⊂AHD CB HD ⊥ABC ∠H B CB BD ⊥CBD △CB CD =CB BD ⊥ABC ∠ABC ∠H CB ABCD DCB ∠DB DO OB <+DCB ∠DCB ∠DCB ∠CB HD ⊥H BC CB因此不可能是钝角；综上,的取值范围是，所以D 错误．故选：ABC .【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若复数满足，则的虚部为__________.【答案】1【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，即可求得答案.【详解】由，得，故的虚部为1，故答案为：113. 已知向量，则与夹角相同的单位向量为__________.【答案】或．【解析】【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示及模长得x ,y 的关系式即可求解．【详解】设与、夹角相同的单位向量，ABC ∠ABC ∠π0,2⎛⎫⎪⎝⎭z ()1i 13i z +=+z ()1i 13i z +=+()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-++====+++-z ()()2,1,2,1a b ==- a b ､(1,0)(1,0)-ab (,)e x y =，因为，所以或．故答案为：或．14. 如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为__________.【解析】【分析】在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，设在平面的射影为，连接，则即为直线与平面所成角，在平面上的射影为，求出点的轨迹，再结合平面几何的性质即可得解．【详解】如图所示，在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，易知四边形是菱形，设在平面的射影为，由正三棱锥可知，点是△的外心，，则，=0y =221x y +=1x ==1x -(1,0)(1,0)-a 1111ABCD A B C D -P 11BA C 1B P =1D P 11BAC 1111ABCD A B C D -11112222A B C D A B C D -12C D 12A D 1B 11BA C 1O 2O P 12D PO ∠1D P 11BA C 1D 211D AC 2O P 1111ABCD A B C D -11112222A B C D A B C D -12C D 12A D 211D A BC 1B 11BA C 1O 111B A BC -1O 11BA C 1111A B BC A C ===11212BA C S ==由，得，所以，再结合，得，从而的轨迹是（平面上）以为圆心，为半径的圆，记为圆，同理，在平面（即平面上的射影为的外心，连接，则在平面上的射影为，进而即为直线与平面所成角，记，则，其中为定值，而对于，由圆的几何知识可知，当运动到线段且与圆相交时，取得最小值，记相交于Q ,易知，则，此时．． 【点睛】关键点点睛:本题考查空间中点的轨迹及线面角，关键111111B A BC B A B C V V --=2311111332B O a ⋅=⨯⨯11B O =1B P =1O P ==P 11BA C 1O r =1O 1D 211D AC 11)BA C 2O 211D A C △2O P 1D P 11BA C 2O P 12D PO ∠1D P 11BA C 12D PO θ∠=122tan D O O P θ=1211D O B O ==2O P P 1211O O AC ⊥1O 2O P 1211,O O AC 1213O Q O Q ===212O P O O r =-==tan θ=是确定在平面上的轨迹为圆.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知复数，且是实数.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）或， （2）【解析】【分析】（1）首先化简，根据为实数得到，再由余弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可得，即可得到，再根据复数乘方法则计算可得.【小问1详解】因为，所以，因为是实数，所以，则，所以或，，解得或，.【小问2详解】当，时，若为偶数，则若为奇数，则，所以；的P 11BA C ()sin i cos21,R z θθθ=++∈2i z-θ3z ππ3k θ=+2ππ3k θ=+Z k ∈3i z =2i z -2i z -1cos 22θ=-sin θz ()sin i cos21z θθ=++()()2i 2sin i cos21i 2sin i 2cos 21z θθθθ⎡⎤-=++-=++⎣⎦2i z -2cos 210θ+=1cos 22θ=-22π2π3k θ=+42π2π3k θ=+Z k ∈ππ3k θ=+2ππ3k θ=+Z k ∈ππ3k θ=+Z k ∈k ππsin sin πsin 33k θ⎛⎫=+==⎪⎝⎭k ππsin sin πsin 33k θ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭sin θ=同理当，时，，又，所以当，则；当，则；故.16. 如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足.（1）若，证明：平面；（2）连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围.【答案】（1）证明见解析2ππ3k θ=+Z k ∈sin θ=1cos 22θ=-sin θ=1i 2z =+323111i i i 222z ⎫⎫⎫=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭11i i 22⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭sin θ=1i 2z =+323111i i i 222z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11i i 22⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3i z =ABCD A B C D -''''2,,E F ,A B B C ''''GB G B B λ=''12λ=//EG D AC 'BD M BD //D M 'EFG 1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D M '（2）【解析】【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证；（2）求出和时的长度，即可得到的取值范围.【小问1详解】连接，因为为的中点，当时即，所以为的中点，所以，又且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】当时为的中点，连接交于点，连接，连接交于点，取的中点，连接、，因为分别为的中点，所以，则为的中点，所以，又且，所以为平行四边形，所以，所以，又平面，平面平面，平面，所以，所以和重合，A B 'G BB '//EG A B '//A B D C ''//EG D C '12λ=1λ=D M 'D M 'A B 'E A B ''12λ=12B G B B ''= G BB '//EG A B '//A D BC ''=A D BC ''A D CB ''//A B D C ''//EG D C 'EG ⊄D AC 'D C '⊂D AC '//EG D AC '12λ=G BB 'B D ''EF H H G A C ''B D ''1O BD 2O 1BO 2D O ',E F ,A B B C ''''//EF A C ''H 1B O '1//HG BO 21//BO D O '21BO D O '=21O BD O '12//BO D O '2//GH D O '//D M 'EFG D DBB '' EFG GH =D M '⊂D DBB ''//D M GH 'M 2O又，此时，当时与点重合，在上取点使得，连接，由前述说明可知为的中点，则，又，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，所以综上可得当时，求长度的取值范围为.17. 设三个内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）设为锐角三角形，是边的中点，求的取值范围.【答案】（1）BD==D M =='1λ=G B DB M 14DM DB =D M 'H 1B O '34D H D B '''=34BM DB =D H BM '=//D B BD ''D HBM '//D M HB 'HB ⊂EFG D M '⊄EFG //D M 'EFG D M ='1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D M 'ABC ,,A B C ,,a b c ()22cos sin sin sin b A C c B C b +=+A c ABC = D AC DB AC ⋅π3A =（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，转化求解即可．（2）由正弦定理求解的范围，结合向量的数量积，推出的表达式，然后求解范围即可．【小问1详解】因为，所以利用正弦定理可得，又为三角形内角，，所以，可得，因为，所以；【小问2详解】；，则，又为锐角三角形，则，得，则，故,，即，二次函数的开口向下，对称轴为，,3(3,)8-A AC AC 2(2cos sin )sinsin b A C c BC b +=+2sin (2cos sin )sin sin sin sin B A C C BC B +=+B sin 0B >22cos sin sin sin 1A C C C +=+1cos 2A =(0,π)A ∈π3A =c =π3A=sin sin abA B==1πsin 2233sin sin 2tan C C C b C C C ⎫⎛⎫+⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭====ABC π022ππ032C B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩ππ62C <<tan C >32tan b C =211π()||||cos223DB AC CA AB AC AC AB AC ⋅=+⋅=-+⋅ 2211|22AC AC b =-+=- ()212f b b =-+b =在单调递减，故的取值范围,，即．18.如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，.（1）证明：平面平面；（2）若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）设，连接，即可证明、，从而得到平面，即可得证；（2）过点作交于点，即可证明平面，则即为与平面所成的角，即可求出作交于点，连接，即可证明平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.【小问1详解】设，连接，因为为正方形，所以且为的中点，又，所以，()f b DB AC ⋅ (f f 3(3,)8-P ABCD -2PB PD =PBD ⊥PAC 1PA =PA ABCD π4P BC A --AC BD O = OP AC BD ⊥OP BD ⊥BD ⊥PAC P PH AC ⊥AC H PH ⊥ABCD PAH ∠PA ABCD AH PH ==H HE BC ⊥BC E PE BC⊥PHE PEH ∠P BC A --AC BD O = OP ABCD AC BD ⊥O BD PB PD =OP BD ⊥又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】在平面中过点作交于点，因为平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，所以即为与平面所成的角，即，又，所以，过点作交于点，连接，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以即为二面角的平面角，又，所以因为为正方形，所以，则，所以，解得，又平面，平面，所以，AC OP O = ,AC OP ⊂PAC BD ⊥PAC BD ⊂PBD PBD ⊥PAC PAC P PH AC ⊥AC H BD ⊥PAC PH ⊂PAC BD PH ⊥AC BD O = ,AC BD ⊂ABCD PH ⊥ABCD PAH ∠PA ABCD π4PAH ∠=1PA =AH PH ==H HE BC ⊥BC E PE PH ⊥ABCD BC ⊂ABCD PH BC ⊥PH HE H =I ,PH HE ⊂PHE BC ⊥PHE PE ⊂PHE BC PE ⊥PEH ∠P BC A --AC ==CH ==ABCD AB BC ⊥//AB HE CH EHAC AB =2EH =32EH =PH ⊥ABCD EH ⊂ABCD PH EH ⊥所以，所以所以二面角.19. 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数.（1）已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；（2）证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱；（3）已知正多面体各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.【答案】（1） （2）证明见解析（3）的PE ===sin PEH ∠==P BC A --2n e f -+=n e f 12,6e f ==8n =n 36n -906,12,30【解析】【分析】（1）设此足球有个正五边形，分别得顶点与棱数，再利用欧拉公式解得的值.（2）当凸多面体每个面均为三角形时，棱数最多，此时棱数与面数有关系.（3）设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，根据欧拉公式列出表达式，再由得不等式，分类取值即可.【小问1详解】设足球有个正五边形，则有个正六边形，足球的顶点，棱数，由欧拉公式得，解得，即此足球中有个面为正五边形，所以此足球的棱数.【小问2详解】由个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么相当于每一个面尽可能均为三角形，当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此时，即，又，即，解得，故个顶点的凸多面体，至多有条棱.【小问3详解】设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，则此多面体棱数，，即，由欧拉公式，得，所以，即，即，所以，m m 32e f =p q 220q p qp +->m 32m -()56323m m n +-=()56322m m e +-=()()5632563232232m m m m +-+--+=12m =12()5632902m m e +-==n 32f e =23f e =2n e f -+=223e n e -+=36e n =-n 36n -p q 22qf pn e ==,3p q ≥pn f q =2n e f -+=422q n q p qp=+-220q p qp +->1112q p +>1111112236p q >-≥-=6p <当时，，所以，，；当时，，所以，，；当时，，所以，，；综上：棱数可能为.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，讨研得点与棱、点与面、棱与面的数量之间的关系，从而得解.3p =6q <3,4,5q =4,8,20n =6,12,30e =4p =4q <3q =6n =12e =5p =103q <3q =12n =30e =6,12,30。
吉林省部分名校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷
吉林省部分名校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷一、单选题1．十棱锥共有（ ）A ．10个顶点B ．20个顶点C ．10条棱D ．20条棱 2．复数2i 7i +的实部与虚部之和为（ ）A ．8-B ．6-C ．8D ．63．已知向量a r ，b r 的夹角为θ，1a =r ，b =r 6a b ⋅=-r r ，则θ=（ ）A ．π6B ．π3 C ．2π3 D ．5π64．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“2a b >”是“()sin 2sin A A C >+”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，O A B '''V 表示水平放置的OAB △根据斜二测画法得到的直观图，O A ''在x '轴上，A B ''与x '轴垂直，且O A ''AB =（ ）A B ．4 C ．D ．6．若复数()9(1i)2i z m m =+++∈R ，且z ∈R ，则m =（ ）A ．-32B ．-16C ．16D ．327．设向量()21,log OA x =u u u r ，()1,1OB =-u u u r ，当4x >时，cos ,OA OB u u u r u u u r 的取值范围是（ ）A ．⎝⎭B ．⎤⎥⎝⎦C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭ 8．已知圆锥的轴截面为,PAB P V 为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为12π，若60APB ∠=︒，则该圆锥的体积为（ ）A． B． C． D．二、多选题9．若11i z =-，222z i =-，322i z =+，4z 在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，D ．若四边形ABCD 为平行四边形，则（ ）A ．413i z =+B．14z z +=C ．222i z =--D ．31z z 为纯虚数 10．下列命题是真命题的是（ ）A ．空间中，4条不同的直线可能确定4个不同的平面B ．在四面体ABCD 中，E 为BC 的中点，则直线AE 与CD 异面C ．若一个平面内有3个不共线的点到另一个面的距离相等，则这两个平面平行D ．正方体各面所在平面将空间分成27个部分11．若△ABC 的内心与外心分别为N ，O ，且4AB =，5BC =，6AC =，则（ ）A．OA =B ．点N 到ABC ．向量BA u u u r 在向量BC u u u r 上的投影向量为110BC u u u r D ．2ABC BCA ∠=∠三、填空题12．在复数范围内，方程()()2150x x -+=的解集为.13．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为体积为.14．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，0AB BC ⋅=u u u r u u u r ，3AD AB ==，BC AB >，M ，N 分别为边AB ，BC 上的动点，且2MN =，则DM DN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为.四、解答题15．设ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 且向量(,),(,sin )m a b n A B ==u r r 满足//m n u r r .(1)求A ；(2)若3a b ==，求BC 边上的高h .16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，点I 在棱PA 上（不与端点重合），E ，F 分别是PD ，AC 的中点.(1)证明：//EF 平面PBC .(2)若平面PAB ⋂平面EFI l =，证明：//EF l .17．在平行四边形ABCD 中，[]12,3,cos ,,,0,13AB AD BAD AF FD DE DC λλ==∠===∈u u u r u u u r u u u r u u u r .(1)若1,3AE λ=与BF 交于点,N AN xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，求xy 的值； (2)求BE FE ⋅u u u r u u u r的取值范围.18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，112AA =.点M ，N 分别在棱1CC ，1DD 上，且13CM D N ==，直线1AA I 平面BMN E =.(1)请指出点E的位置（不需要说明理由），并求平面四边形BMNE的周长；(2)求几何体ABCDMNE的体积V.19．某农户有一块半径为20米的圆形菜地，为防止菜地被小鸟破坏，准备在菜地中扎两个稻草人.设该圆形菜地的圆心为,,O A B两点为稻草人，C为该圆形菜地边缘上任意一点，要求O为AB的中点.(1)若π1,sin64OBC BCO∠∠==，求OA；(2)设22,y CA CB OA a=+=，试将y表示为a的函数；(3)若同时要求该农户在该菜地边缘上任意一点C处观察稻草人时，观察角度ACB∠的最大值不小于π3，试求,A B两个稻草人之间的距离的最小值.。
高一下学期数学期中考试试卷含答案(word版)
高一下学期期中考试数学试卷第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若a ，b ，c ∈R ，a b >，则下列不等式成立的是（ ） A.11a b< B.22a b > C.a c b c >D.2211a bc c >++2.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4A π=，23C π=，c =，则a =（ ）B. C. D.3.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3625a a +=，540S =，则数列{}n a 的公差d =（ ） A.4B.3C.2D.14.已知圆C （C 为圆心，且C 在第一象限）经过()0,0A ，()2,0B ，且ABC △为直角三角形，则圆C 的方程为（ ）A.()()22114x y -+-= B.((222x y +=C.()()22125x y -+-=D.()()22112x y -+-=5.在ABC △中，三条边分别为a ，b ，c ，若4a =，5b =，6c =，则三角形的形状（ ） A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定6.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线sin 0bx y B c --=与sin sin 0x A ay C ++=的位置关系是（ ） A.平行 B.重合C.垂直D.相交但不垂直7.在ABC △中，D 是AC 边上一点，AB BD ⊥，30A ∠=︒，45C ∠=︒，312CD -=，则AB 的值为（ ）3 6368.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1432a a ⋅=，2312a a +=，则下列说法错误的是（ ） A.2q = B.数列{}2n S +是等比数列C.8510S =D.数列{}lg n a 是公差为2的等差数列9.函数()log 41a y x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中m ，n 均大于0，则12m n+的最小值为（ ） A.2B.6C.56+D.1010.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为222x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A.2517217D.3211.若直线0x y m +-=与曲线()22y x x =-+没有公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A.32,4⎡⎤⎣⎦B.((),324,-∞+∞C.3⎡⎣D.((),12,-∞+∞12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-，不等式21211n a t at n +<+-+（*n N ∈）恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A.(][),22,-∞-+∞ B.(][),21,-∞-+∞C.(][),12,-∞-+∞D.[]2,2-第二部分非选择题（90分）二.填空题13.在等比数列{}n a 中，已知1232a a a ++=，2344a a a ++=，则8910a a a ++=______. 14.已知圆C 的方程为224x y +=，则过点()2,1P 且与圆C 相切的直线l 的方程______.15.若ABC △的两边长分别为2和3，其夹角的余弦为23，则其外接圆的面积为______. 16.给出以下三个结论：①若数列{}n a 的前n 项和为31nn S =+（*n ∈N ），则其通项公式为123n n a -=⋅（*n ∈N ）；②锐角三角形ABC 中，sin cos A B >；③若正实数x ，y 满足244x y xy ++=，且不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 其中正确的是______（把你认为正确的序号全部写上） 二、解答题17.（10分）根据条件求下列圆的方程：（1）求经过()6,5A ，()0,1B 两点，并且圆心在直线31090x y ++=上的圆的方程；（22y x =上，被直线0x y -=截得的弦长为的圆方程.18.（12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且cos 2a b C -=. （1）求B ∠的值； （2）若4a =，cos 10C =，求ABC △的面积.19.（12分）已知不等式()210x a x a -++≤的解集为A . （1）若2a =，求集合A ；（2）若集合A 是集合{}42x x -≤≤的真子集，求实数a 的取值范围.20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-（*n ∈N ）.数列{}n b 是首项为1a ，公差不为零的等差数列，且1b ，3b ，11b 成等比数列. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式. （2）若n n nb c a =，数列{}n c 的前项和为n T ，若对于任意*n ∈N 不等式n T m <恒成立，求实数m 的取值范围.21.（12分）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：[)[)3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.（Ⅰ）当[]200,300x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？22.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知以点()21,C a a -（0a >）为圆心的圆过原点O ，不过圆心C 的直线20x y m ++=（m ∈R ）与圆C 交于M ，N 两点，且点26,55F ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点. （Ⅰ）求m 的值和圆C 的方程；（Ⅱ）若Q 是直线2y =-上的动点，直线QA ，QB 分别切圆C 于A ，B 两点，求证：直线AB 恒过定点； （Ⅲ）若过点()0,P t （01t ≤<）的直线L 与圆C 交于D ，E 两点，对于每一个确定的t ，当CDE △的面积最大时，记直线l 的斜率的平方为u ，试用含t 的代数式表示u ，并求u 的最大值.数学答案1.若a ，b ，c ∈R ，a b >，则下列不等式成立的是（ D ） A.11a b< B.22a b > C.a c b c >D.2211a bc c >++ 2.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4A π=，23C π=，33c =，则a =（ C ） A.2B.22C.32D.423.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3625a a +=，540S =，则数列{}n a 的公差d =（ B ） A.4B.3C.2D.14.已知圆C （C 为圆心，且C 在第一象限）经过()0,0A ，()2,0B ，且ABC △为直角三角形，则圆C 的方程为（ D ） A.()()22114x y -+-= B.()()22222x y -+-=C.()()22125x y -+-=D.()()22112x y -+-=5.在ABC △中，三条边分别为a ，b ，c ，若4a =，5b =，6c =，则三角形的形状（ A ） A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定6.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线sin 0bx y B c --=与sin sin 0x A ay C ++=的位置关系是（ C ） A.平行 B.重合C.垂直D.相交但不垂直7.在ABC △中，D 是AC 边上一点，AB BD ⊥，30A ∠=︒，45C ∠=︒，312CD -=，则AB 的值为（ C ）A.2B.28.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1432a a ⋅=，2312a a +=，则下列说法错误的是（ D ） A.2q = B.数列{}2n S +是等比数列C.8510S =D.数列{}lg n a 是公差为2的等差数列9.函数()log 41a y x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中m ，n 均大于0，则12m n+的最小值为（ C ）A.2B.6C.5+D.10【分析】因为直线横过定点A ，设(),A x y ，则41x +=，即3x =-，所以1y =-.又知道A 在直线上，得到m ，n 满足的关系，代入即可.【解答】解：设A 点坐标为(),x y ，依题意41x +=，即3x =-，所以1y =-，即A 点坐标为()3,1--，又知道A 点在直线10mx my ++=上，所以310m n --+=，即31mn n +=，所以()121263555m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当m =，2n =时，等号成立，故选：C. 10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为222x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ B ）A.D.3【解析】解：设点A 关于直线4x y +=的对称点(),A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ，根据题意，A C 'A '的坐标，A A'的中点为3,22a b+⎛⎫⎪⎝⎭，直线AA'的斜率为1，故直线AA'为3y x=-，由34223a bb a+⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，联立得故4a=，1b=，所以224117A C'=+=，故2172A C'-=-，故选：B.11.若直线0x y m+-=与曲线()22y x x=--+没有公共点，则实数m的取值范围是（ D ）A.32,4⎡⎤-⎣⎦ B.()(),324,-∞-+∞C.32,32⎡⎤-+⎣⎦ D.()(),122,-∞-+∞【解析】解：由()22y x x=--+等价变形得：()()22121x y++-=（2y≤），曲线()22y x x=--+表示以()1,2-为圆心，半径为1的下半圆，作出曲线()22y x x=--+，以及直线0x y m+-=，由直线和圆()()22121x y++-=相切，即1212md-+-==，解得12m=-或12m=+（舍去），当直线通过()0,2时，020m+-=，即2m=，可得12m<-或2m>时，直线0x y m+-=与曲线()22y x x=--+没有公共点，故选：D.12.已知正项数列{}n a的前n项和为n S, 11a>，且2632n n nS a a=++.若对于任意实数[]2,2a∈-，不等式21211n a t at n +<+-+（*n N ∈）恒成立，则实数t 的取值范围为（ A ） A.(][),22,-∞-+∞ B.(][),21,-∞-+∞C.(][),12,-∞-+∞D.[]2,2-【解答】解：由2632n n n S a a =++， 当1n =时，2111632a a a =++.解得12a =，当2n ≥时，2111632n n n S a a ---=++，两式相减得()2211633n n n n n a a a a a --=+-+，整理得()()1130n n n n a a a a --+--=，由0n a >，所以10n n a a -+>，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是以2为首项，3为公差的等差数列，所以()1231132n a n n +=++-=+，所以132133111n a n n n n ++==-<+++， 因此原不等式转化为2213t at +-≥对于任意的[]2,2a ∈-，*n N ∈恒成立，化为：2240t at +-≥，设()224f a t at =+-，[]2,2a ∈-，可得()20f ≥且()20f -≥，即有222020t t t t ⎧+-≥⎪⎨--≥⎪⎩，即1221t t t t ≥≤-⎧⎨≥≤-⎩或或，可得2t ≥或2t ≤-，则实数t 的取值范围是(][),22,-∞-+∞故选：A.二.填空题13.在等比数列{}n a 中，已知1232a a a ++=，2344a a a ++=，则8910a a a ++=256.14.已知圆C 的方程为224x y +=，则过点()2,1P 且与圆C 相切的直线l 的方程2x =和34100x y +-=.15.若ABC △的两边长分别为2和3，其夹角的余弦为23，则其外接圆的面积为94π. 16.给出以下三个结论：①若数列{}n a 的前n 项和为31nn S =+（*n ∈N ），则其通项公式为123n n a -=⋅（*n ∈N ）；②锐角三角形ABC 中，sin cos A B >；③若正实数x ，y 满足244x y xy ++=，且不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 其中正确的是②③（把你认为正确的序号全部写上）16.对于①，数列{}n a 的前n 项和为31nn S =+（*n ∈N ），1131n n S --∴=+（2n ≥），1113323n n n n n n a S S ---∴=-=-=⋅（2n ≥），又114a S ==，∴通项公式为123,24,1n n n a n -⎧⋅≥=⎨=⎩，①错误；②正确对于③，正实数x ，y 满足244x y xy ++=，可得244x y xy +=-，∴不等式()222234x y a a xy +++≥恒成立，即()2442234xy a a xy -++≥恒成立， 变形可得()222214234xy a a a +≥-+恒成立，即2221721a a xy a -+≥+恒成立，0x >，0y >，2x y ∴+≥4244xy x y ∴=++≥+即2220-≥≥2≤-可得2xy ≥，要使2221721a a xy a -+≥+恒成立，只需22217221a a a -+≥+恒成立，化简可得22150a a +-≥，即()()3250a a +-≥，解得3a ≤-或52a ≥， ∴实数a 的取值范围是(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，③正确.综上，正确的命题是②③.二、解答题17.（10分）根据条件求下列圆的方程：（1）求经过()6,5A ，()0,1B 两点，并且圆心在直线31090x y ++=上的圆的方程；（22y x =上，被直线0x y -=截得的弦长为的圆方程.【解析】解：（1）()6,5A ，()0,1B 两点中点为()3,3，由题意知线段AB 的垂直平分线方程为32150x y +-=，∴由3215031090x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得73x y =⎧⎨=-⎩，圆心()7,3C -，半径r AC == ∴所求圆的方程为()()227365x y -++=；（2）设圆的方程为()()2210x a y b -+-=，圆心(),C a b 在直线2y x =上，2b a ∴=.由圆被直线0x y -=截得的弦长为将y x =代入()()2210x a y b -+-=，得()22222100x a b x a b -+++-=，设直线y x =交圆C 于()11,A x y ，()22,B x y ，则AB === 所以()21212416x x x x +-=，12x x a b +=+，2212102a b x x +-=， ()()22221016a b a b ∴+-+-=，即2a b -=±，又2b a =，24a b =⎧∴⎨=⎩或24a b =-⎧⎨=-⎩， ∴所求圆的方程为()()222410x y -+-=或()()222410x y +++=.18.（12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos 2a b C -=. （1）求B ∠的值；（2）若4a =，cos C =，求ABC △的面积.【解答】解：（1）法一：由正弦定理得sin sin cos 2A C B C -=，()sin sin cos 2B C C B C +-=，sin cos cos sin sin cos 2B C B C C B C +-=，即cos sin 02B C C -=，sin cos 2C B C ∴=； sin 0C ≠，cos 2B ∴=， ()0,B π∈，4B π∴= （1）法二：由余弦定理得22222a b c a b ab+--=⋅化简得222b ac =+，222cos 22c a b B ac +-∴== ()0,B π∈，4B π∴=（2）由cos 10C =，得sin 10C == ABC △中，()4sin sin sin cos cos sin 2102105A B C B C B C =+=+=+= 由正弦定理sin sin b a B A=，得4 sin 4sin 225a b B A =⋅=⨯=，11sin 4122210ABC S ab C ==⨯⨯=△ 19.（12分）已知不等式()210x a x a -++≤的解集为A .（1）若2a =，求集合A ；（2）若集合A 是集合{}42x x -≤≤的真子集，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}12x x ≤≤；（2）[]4,2.（1）由题意，当2a =时，不等式()210x a x a -++≤，即2320x x -+≤， 即()()120x x --≤，解得12x ≤≤，所以集合{}12A x x =≤≤（2）由()210x a x a -++≤，可得()()10x x a --≤，当1a <时，不等式()()10x x a --≤的解集为{}1x a x ≤≤由集合A 是集合{}42x x -≤≤的真子集可得4a ≥-，所以41a -≤<，当1a =时，不等式()()10x x a --≤的解集为{}1x x =满足题意.当1a >时，不等式()()10x x a --≤的解集为{}1x x a ≤≤，由集合A 是集合{}42x x -≤≤的真子集，可得2a ≤，所以12a <≤，综上可得：42a -≤≤，即实数a 的取值范围为[]4,2-20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-（*n ∈N ）.数列{}n b 是首项为1a ，公差不为零的等差数列，且1b ，3b ，11b 成等比数列.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式.（2）若n n nb c a =，数列{}n c 的前项和为n T ，若对于任意*n ∈N 不等式n T m <恒成立，求实数m 的取值范围.【解答】解：（1）22n n S a =-（*n ∈N ），可得11122a S a ==-，解得12a =， 2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，即为12n n a a -=，可得数列{}n a 为首项和公比均为2的等比数列，即有2nn a =，*n ∈N ； 数列{}n b 是首项为1a ，公差d 不为零的等差数列，且1b ，3b ，11b 成等比数列.可得21113b b b =，即为()()2221022d d +=+，解得3d =， 又12b =，可得31n b n =-，*n ∈N ； （2）()1312nn n n b c n a ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭ ()11112583124162n n T n ⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪⎝⎭ ()11111125831248322n n T n +⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪⎝⎭ 两式相减可得()1111111331241622n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1111114213311212n n n +-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⋅--⋅ ⎪⎝⎭-， 化简可得()15352nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭， 即有5n T <，m 大于等于5.21.（12分）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：[)[)3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.（Ⅰ）当[]200,300x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【解答】解：（Ⅰ）当[)200,300x ∈时，该项目获利为S ，则()22112002008000040022S x x x x ⎛⎫=--+=-- ⎪⎝⎭， ∴当[)200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利当300x =时，S 取得最大值5000-，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；（Ⅱ）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩ 当[)120,144x ∈）时，()211202403y x x =-+所以当120x =时，y x取得最小值240； 当[)144,500x ∈时，1800002002002002y x x x =+-≥= 当且仅当1800002x x =，即400x =时，y x取得最小值200. 因为240200>，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.22.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知以点()21,C a a -（0a >）为圆心的圆过原点O ，不过圆心C 的直线20x y m ++=（m ∈R ）与圆C 交于M ，N 两点，且点F 26,55F ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点. （Ⅰ）求m 的值和圆C 的方程；（Ⅱ）若Q 是直线2y =-上的动点，直线QA ，QB 分别切圆C 于A ，B 两点，求证：直线AB 恒过定点； （Ⅲ）若过点()0,P t （01t ≤<）的直线L 与圆C 交于D ，E 两点，对于每一个确定的t ，当CDE △的面积最大时，记直线l 的斜率的平方为u ，试用含t 的代数式表示u ，并求u 的最大值. 【解答】（Ⅰ）解：由题意，26152215CF a k a -==--，即2210a a --=，解得1a =（0a >）. ∴圆心坐标为()0,1，半径为1，由圆心到直线20x y m ++=的距离d ===0m =或2m =-， 点26,55F ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线20x y m ++=上， 2m ∴=-.故2m =-，圆C 的方程为()2211x y +-=； （Ⅱ）证明：设(),2Q t -，则QC 的中点坐标为1,22t ⎛⎫-⎪⎝⎭， 以QC 为直径的圆的方程为22219224t t x y +⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2220x y tx y +-+-=.联立()22221120x y x y tx y ⎧+-=⎪⎨+-+-=⎪⎩，可得AB 所在直线方程为：320tx y -+=. ∴直线AB 恒过定点20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）解：由题意可设直线l 的方程为y kx t =+，CDE △的面积为S ， 则11sin sin 22S CD CE DCE DCE =⋅⋅∠=∠， ∴当sin DCE ∠最大时，S 取得最大值. 要使sin 2DCE π∠=，只需点C 到直线l的距离等于2，2=，整理得：()222110k t =--≥，解得12t ≤-.①当0,12t ⎡∈-⎢⎣⎦时，sin DCE ∠最大值是1，此时22241k t t =-+，即2241u t t =-+.②当1t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，,2DCE ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭. sin y x ∴=是,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的减函数，.当ACB ∠最小时，sin ACB ∠最大. 过C 作CF DE ⊥于F ，则12DCF DCE ∠=∠，∴当ACD ∠最大时，ACB ∠最小. sin CD CAD CA ∠=，且0,2CAD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， ∴当CD 最大时，sin CAD ∠取得最大值，即CAD ∠最大. CD CP ≤，∴当CP l ⊥时，CD 取得最大值CP .∴当ABC △的面积最大时，直线l 的斜率0k =，0u ∴=.综上所述，2241,20,12t t t u t ⎧⎡-+∈⎪⎢⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪∈- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩当0,12t ⎡∈-⎢⎣⎦时，0t =时u 取得最大值1；当12t ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，0u =. 所以u 的最大值是1.。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
2023—2024学年度第二学期北京市高一数学期中考试试卷（答案在最后）一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.11πsin3的值为（）A.2B.2-C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】11πππsin sin 4πsin 3332⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭.故选：A2.下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.tan y x =C.cos 2y x =D.sin 2y x=【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的最小正周期公式和函数奇偶性对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为：2π2π1T ==，故A 不正确；对于B ，tan y x =的最小正周期为：ππ1T ==，tan y x =的定义域为ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，令()tan f x x =，则()()()tan tan f x x x f x -=-=-=-，所以tan y x =为奇函数，故B 不正确；对于C ，cos 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，令()cos 2g x x =的定义域为R 关于原点对称，则()()()cos 2cos 2g x x x g x -=-==，所以cos 2y x =为偶函数，故C 正确；对于D ，sin 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，sin 2y x =的定义域为R ，关于原点对称，令()sin 2h x x =，则()()()sin 2sin 2h x x x h x -=-=-=-，所以sin 2y x =为奇函数，故D 不正确.故选：C .3.设向量()()3,4,1,2a b ==- ，则cos ,a b 〈〉=（）A.5-B.5C.5-D.5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量()()3,4,1,2a b ==-，则cos ,5||||a b a b a b ⋅〈〉==.故选：D4.在△ABC 中，已知1cos 3A =，a =，3b =，则c =（）A.1B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可【详解】因为在△ABC 中，1cos 3A =，a =，3b =，所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2112963c c =+-⨯，得2230c c --=，解得3c =，或1c =-（舍去），故选：D5.函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0A >，0ω>，0ϕπ<<)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（）A.()3sin 42f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.3()3sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.3()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可.【详解】由函数图象可知函数的最大值为3，所以3A =，由函数图象可知函数的最小正周期为4(62)16⨯-=，因为0ω>，所以24(62)168ππωω⨯-==⇒=，所以()3sin 8f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：(2)3f =，即3sin 32()2()4424k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ⎛⎫+=⇒+=+∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，因为0ϕπ<<，所以令0k =，所以4πϕ=，因此()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：C6.函数ππ()sin(2),[0,]62f x x x =+∈的最大值和最小值分别为（）A.11,2-B.31,2-C.1,12- D.1,1-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】由π[0,2x ∈，得ππ7π2[,666x +∈，则当ππ262x +=，即π6x =时，max ()1f x =，当π7π266x +=，即π2x =时，min 1()2f x =-，所以所求最大值、最小值分别为11,2-.故选：A7.已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= （）A.2B.2- C.1 D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据给定信息，利用向量数量的运算律，结合数量积的定义计算得解.【详解】依题意，π3π|||2,||2,,,,,44a b c a b b c a c ===〈〉=⊥〈〉= ，因此3π||||cos2(242a c a c ⋅==⨯-=-，0b c ⋅= ，所以()2a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=-.故选：B8.在ABC 中，已知cos cos 2cos a B b A c A +=，则A =（）A.π6B.π4C.π3 D.π2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求出即得.【详解】在ABC 中，由cos cos 2cos a B b A c A +=及正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，则sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =，而sin 0C >，因此1cos 2A =，而0πA <<，所以π3A =.故选：C9.已知函数()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω，则“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】以π3x ω+为整体结合正弦函数的性质可得12ω>，进而根据充分、必要条件分析判断.【详解】因为π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且0ω>，则ππππ,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上既不是增函数也不是减函数，则2πππ33ω+>，解得12ω>，又因为()1,+∞1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的必要不充分条件.故选：B.10.如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.[]1,2-B.[]0,2 C.[]0,4 D.[]1,4-【答案】D 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，分点P 在CD 上，点P 在BC 上，点P 在AB 上，点P 在AD 上，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()0,2,2,2A B ，当点P 在CD 上时，设()(),002Px x ≤≤，则()(),2,2,2PA x PB x =-=--，所以()()224133,4PA PB x x x ⎡⎤⋅=-+=-+∈⎣⎦ ；当点P 在BC 上时，设()()2,02P yy ≤≤，则()()2,2,0,2PA y PB y =-=-，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；当点P 在AB 上时，设()(),202Px x ≤≤，则()(),0,2,0PA x PB x ==-，所以()()22111,0PA PB x x x ⎡⎤⋅=-=--∈-⎣⎦ ；当点P 在AD 上时，设()()0,02P y y ≤≤，则()()0,2,2,2PA y PB y=-=--，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；综上：PA PB ⋅的取值范围是[]1,4-.故选：D二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知圆的半径为2，则60 的圆心角的弧度数为__________；所对的弧长为__________.【答案】①.π3##1π3②.2π3##2π3【解析】【分析】利用度与弧度的互化关系，弧长计算公式求解即可.【详解】60 的圆心角的弧度数为ππ601803⨯=；所对的弧长为π2π233⨯=.故答案为：π3；2π312.已知向量()2,3a =- ，(),6b x =- .若//a b ，则a =r __________，x =__________.【答案】①.②.4【解析】【分析】利用坐标法求出向量的模，再根据向量共线的坐标表示求出x .【详解】因为向量()2,3a =- ，所以a == ，又(),6b x =- 且//a b ，所以()326x =-⨯-，解得4x =.；4.13.若函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，则A =__________；将函数()f x 的图象向左至少平移__________个单位，得到函数2sin y x =的图象.【答案】①.1②.π3##1π3【解析】【分析】利用零点的意义求出A ；利用辅助角公式化简函数()f x ，再借助平移变换求解即得.【详解】函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，得ππsin 033A =，解得1A =；则π()sin 2sin()3f x x x x =-=-，显然πππ(2sin[()]2sin 333f x x x +=+-=，所以()f x 的图象向左至少平移π3个单位，得到函数2sin y x =的图象.故答案为：1；π314.设平面向量,,a b c 为非零向量，且(1,0)a = .能够说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题的一组向量,b c的坐标依次为__________.【答案】(0,1),(0,1)-（答案不唯一）【解析】【分析】令向量,b c 与向量a 都垂直，且b c ≠即可得解.【详解】令(0,1),(0,1)b c ==- ，显然0a b a c ⋅==⋅，而b c ≠ ，因此(0,1),(0,1)b c ==- 能说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题，所以向量,b c的坐标依次为(0,1),(0,1)-.故答案为：(0,1),(0,1)-15.已知函数()2cosπ1xf x x =+，给出下列四个结论：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 有无数个零点；③函数()f x 的最大值为1；④函数()f x 没有最小值.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③【解析】【分析】根据偶函数的定义判断①，令()0f x =求出函数的零点，即可判断②，求出函数的最大值即可判断③，根据函数值的特征判断④.【详解】函数()2cosπ1xf x x =+的定义域为R ，又22cos(π)cos π()()()11x x f x f x x x --===-++，所以()2cosπ1xf x x =+为偶函数，故①错误；令2cos ππ1()0cos π0ππ(Z)(Z)122x f x x x k k x k k x ==⇒=⇒=+∈⇒=+∈+，所以函数()f x 有无数个零点，故②正确；因为cos π1x ≤，当ππ(Z)x k k =∈，即(Z)x k k =∈时取等号，又因为211x +≥，当且仅当0x =时取等号，所以有21011x <≤+，当且仅当0x =时取等号，所以有2cos π11x x ≤+，当且仅当0x =时取等号，因此有()2cos π11xf x x =≤+，即()()max 01f x f ==，故③正确；因为()2cosπ1xf x x =+为偶函数，函数图象关于y 轴对称，只需研究函数在()0,∞+上的情况即可，当x →+∞时2101x →+，又1cosπ1x -≤≤，所以当x →+∞时()0f x →，又()()max 01f x f ==，当102x <<时cos π0x >，210x +>，所以()0f x >，当1322x <<时1cos π0x -≤<，210x +>，所以()0f x <，当1x >时212x +>，0cos π1x ≤≤，所以()12f x <，又()112f =-，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 为连续函数，所以()f x 存在最小值，事实上()f x 的图象如下所示：由图可知()f x 存在最小值，故④错误.故答案为：②③三､解答题（本大题共6小题，共85分）16.在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--.（1）求tan θ，tan2θ的值；（2）求πsin ,cos ,cos 4θθθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）tan 2θ=，4tan 23θ=-（2）sin 5θ-=，cos 5θ=，π10cos 410θ⎛⎫+=⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由三角函数的定义求出tan θ，再由二倍角正切公式求出tan 2θ；（2）由三角函数的定义求出sin θ，cos θ，再由两角和的余弦公式计算可得.【小问1详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以2tan 21θ-==-，则222tan 224tan 21tan 123θθθ⨯===---.【小问2详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以sin 5θ-==，cos 5θ==，所以πππcos cos cos sin sin 444θθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2520555210221⎛⎫- =⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭.17.已知平面向量,,2,3,a b a b a == 与b的夹角为60 ，（1）求22,,a b a b ⋅；（2）求(2)(3)a b a b -⋅+的值：（3）当x 为何值时，xa b -与3a b +rr 垂直.【答案】（1）4，9，3；（2）4-；（3）3013x =.【解析】【分析】（1）利用数量积的定义计算即得.（2）利用数量积的运算律计算即得.（3）利用垂直关系的向量表示，数量积的运算律求解即得.【小问1详解】向量,,2,3,a b a b a == 与b 的夹角为60 ，所以2222|4,|9,3||||c |os 0|6a a b b a b a b ===⋅=== .【小问2详解】依题意，2222(2)(3)2352233534a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=⨯-⨯+⨯=- .【小问3详解】由()(3)0xa b a b -⋅+= ，得223(31)4273(31)13300xa b x a b x x x -+-⋅=-+-=-= ，解得3013x =，所以当3013x =时，xa b - 与3a b +r r 垂直.18.已知函数()sin2cos2f x x x =+.（1）求(0)f ；（2）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（3）求函数()f x 的单调递增区间.【答案】（1）1；（2）π，ππ,Z 82k x k =+∈；（3）()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）代入计算求出函数值.（2）（3）利用辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的图象与性质求解即得.【小问1详解】函数()sin2cos2f x x x =+，所以(0)sin0cos01f =+=.【小问2详解】函数π())4f x x =+，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，解得ππ,Z 82k x k =+∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为ππ,Z 82k x k =+∈.【小问3详解】由πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，得3ππππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.19.在△ABC 中，7a =，8b =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（1）求A ∠；（2）求ABC 的面积．条件①：3c =；条件②：1cos 7B =-．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）选①②答案相同，3A π∠=；（2）选①②答案相同，ABC 的面积为【解析】【分析】（1）选①，用余弦定理得到cos A ，从而得到答案；选②：先用余弦定理求出3c =，再用余弦定理求出cos A ，得到答案；（2）选①，先求出sin 2A =，使用面积公式即可；选②：先用sin sin()C A B =+求出sin C ，再使用面积公式即可.【小问1详解】选条件①：3c =．在△ABC 中，因为7a =，8b =，3c =，由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；选条件②：1cos 7B =-由余弦定理得：222249641cos 2147a cbc B ac c +-+-===-，解得：3c =或5-（舍去）由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；【小问2详解】选条件①：3c =由（1）可得sin 2A =．所以ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=选条件②：1cos 7B =-．由（1）可得1cos 2A =．因为sin sin[()]C A B =π-+sin()A B =+sin cos cos sin A B A B=+11()72=-+⨯3314=，所以ABC 的面积11sin 7822S ab C ==⨯⨯=．．20.已知函数()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.（1）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的在[]0,π上单调递减区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）32（2）π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再代入计算可得；（2）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到ππ3π2232x ≤+≤，解得即可；（3）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【小问1详解】因为()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ππcos2cos2cossin 2sin 33x x x =++3cos2sin 222x x =+1cos2sin 222x x ⎫=+⎪⎪⎭π23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2π3266332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】当[]0,πx ∈时ππ7π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令ππ3π2232x ≤+≤，解得π7π1212x ≤≤，所以函数()f x 的在[]0,π上的单调递减区间为π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问3详解】当[]0,x m ∈时，πππ2,2333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，所以π2π23π3m ≤<+，解得5π4π63m ≤<，即m 的取值范围为3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为π3的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR ，其中P 在 BC 上，PQ AB ⊥，垂足为Q ，PR AC ⊥，垂足为R ，设π0,3PAB α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭；（1）求PQ ，PR （用α表示）；（2）当P 在BC 上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时α的值.【答案】（1）60sin PQ α=，π60sin 3PR α⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）三角形绿地的最大面积是平方米，此时π6α=【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数表示出PQ 、PR ；（2）依题意可得2π3QPR ∠=，则1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠ ，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质求出最大值.【小问1详解】在Rt PAQ 中，π0,3PAB ∠α⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，60AP =，∴sin 60sin PQ AP αα==（米），又π3BAC ∠=，所以π3PAR α∠=-，在Rt PAR 中，可得πsin 60sin 3PR PAR AP α⎛⎫==-⎪⎝⎭∠（米）.【小问2详解】由题可知2π3QPR ∠=，∴PQR 的面积1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠1π2π60sin 60sin sin 233αα⎛⎫=⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭πsin3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33ααα⎛⎫=- ⎪⎝⎭112cos 222αα⎫=+-⎪⎪⎭π1sin 262α⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，526πππ,66α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴当ππ262α+=，即π6α=时，PQR 的面积有最大值即三角形绿地的最大面积是π6α=.。
天津市第一中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题
天津市第一中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数3i 12i 1z -=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．0 B C D ．2 2．下列四式不能化简为AD u u u r 的是（ ）A ．MB AD BM +-u u u r u u u r u u u u r B ．()()AD BM BC CM +-+u u u r u u u u r u u u r u u u u r C ．()AB CD BC ++u u u r u u u r u u u r D ．OC OA CD -+u u u r u u u r u u u r3．已知向量()()2,2,,3a b x ==-r r ，则“3x <”是“a r 与b r 的夹角为钝角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．圆锥SO 中，S 为圆锥顶点，O 为底面圆的圆心，底面圆O 半径为3，侧面展开图面积为，底面圆周上有两动点,A B ，则SAB △面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．D ．65．已知向量,,a b c r r r 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()c a b ⋅-=r r r （ ）A ．1-B ．1C ．7-D ．76．若复数2i z =+，且z 和2z 在复平面内所对应的点分别为P ，Q ，O 为坐标原点，则cos POQ ∠=（ ）A ．B ．CD 7．柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为4π3，则此正八面体的表面积为（ ）AB C ．D ．8．已知OA =u u u r ，OB u u u r 且OA u u u r ，OB u u u r 的夹角为5π6，则AB u u u r 在OB u u u r 上的投影向量为（ ）A ．u u rB u u rC ．32OB -u u u rD ．32OB u u u r 9．如图，四边形ABCD 是直角梯形，其中AB ＝1，CD ＝2，AD ⊥DC ，O 是AD 的中点，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点P ．以AD 为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）①圆台的母线长为3；②③将圆台的母线延长交DA 的延长线于点H ，则得到的圆锥的高为④点P 的轨迹的长度是3π．A ．1B ．2C ．3D ．410．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为4的正六边形ABCDEF ，内部圆的圆心为该正六边形的中心O ，圆O 的半径为2，点P 在圆O 上运动，则PE OF ⋅u u u r u u u r 的最小值为（ ）A ．-8B ．-4C ．0D ．4二、填空题11．若复数z 满足()12i 1i z ⋅-=+，则z =．12．设向量,a b r r 的夹角的余弦值为13-，且|2||3|6a b ==r r ，则|2|a b +=r r ． 13．在ABC V 中，5AB =，π4C =，且tan 3A =，则AB 边上的高h =. 14．我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC 和BOD 均是以2为半径的半圆，平面AOC 和平面BOD 均垂直于平面ABCD ，用任意平行于帐篷底面ABCD 的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形．类比利用祖暅原理求半球的体积的计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱和一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为．15．已知平行四边形ABCD 的面积为23πBAD ∠=，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且56AF AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ=，AF u u u r 的最小值为. 16．ABC V 中，2sin cos 22B AC -=，则B ∠的范围是．三、解答题17．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠=o ．(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求()sin B C -的值．18．已知tan 2α=，tan()3αβ-=，,(0,π)αβ∈．(1)求cos 2α；(2)求2αβ-．19．已知ABC V 中，A B C ∠∠∠、、所对的边分别是a b c 、、，AB 边上的中线2CO =，设mu r=（2sin C ，，n r =（cos 2C ，22cos 1C -），且0m n ⋅=u r r ，若动点P 满足2sin AP AOθ=⋅u u u r u u u r 2cos AC θ+⋅u u u r (R)θ∈．(1)求角C 的集合；(2)求()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r 的最小值；(3)若c 且t a n 1C >，S 为ABC V 的面积，求cos S A B 的最大值及此时,A B 的值．20．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足cos sin 0a C C b c --=． (1)求角A ；(2)若a =ABC V 周长的最大值；(3)求2bc ab ac a --的取值范围．。
高一下学期期中考试数学试题(解析版)
【解析】
【分析】由已知得 在 中利用正弦定理求得 在 中利用余弦定理即可得解.
【详解】在 中已知
在 中
由正弦定理得
在 中
利用余弦定理知 .
故答案为：
16.如图四棱锥 的底面四边形ABCD为正方形四条侧棱 点E和F分别为棱BC和PD的中点.若过A､E､F三点的平面与侧面PCD的交线线段长为 则该四棱锥的外接球的体积为___________.
【小问1详解】
如图：
在 上取一点N使得 连接CNEN则 则
又∵ ∴四边形 是平行四边形
∴ 且 ．
同理四边形DNEA是平行四边形∴ 且
又 且 ∴ 且
∴四边形CNEB是平行四边形
∴ 且
∴ 且
∴四边形 平行四边形从而BE F四点共面；
【小问2详解】
由(1)知 平面 平面
∴ 平面 ①
取BG中点为I连接 则G是 H是 ∴ ∥HG
【详解】解：由 得
即 正确；
令 满足 但不满足 错误；
令
则
又 正确；
正确．
故选：ACD．
10.下列说法正确的是（）
A.对于任意两个向量 若 且 与 同向则
B.已知 为单位向量若 则 在 上的投影向量为
C.设 为非零向量则“ ”是“存在负数 使得 ”的必要不充分条件
D. 则 与 的夹角是锐角
【答案】BC
的最小值为
所以 的长度范围是
故选：B
二､多选题：本题共4小题每小题5分共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分部分选对的得2分有选错的得0分.
9.已知 且 ．下列说法正确的是（）
A.若 则 B.若 则
C. D.
河南省灵宝市第五高级中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题 Word版无答案
一、选择题（每小题5分，共60分）1．化简0sin 600的值是（ ）A ．0.5B ．0.5-CD ．-2．函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（ ） A ．52π B ．25π C ．π2 D ．π5 3．02120sin 等于（ ）A ．23±B ．23 C ．23- D ．21 4．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（ ）A ．0B ．4π C.2π D.π5．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A.43- B.34- C.43 D.34 6．设α角属于第二象限，且2cos 2cos αα-=，则2α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（ ）． A ．231+-B ．231+- C ．231- D ． 231+8．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724- 9．4tan 3cos 2sin 的值（ ）A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在10．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（ ） A.2π B.4π- C.4π D.34π 11．函数2cos 3cos 2++=x x y 的最小值为（ ）A ．2B ．0C ．1D ．612．将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=- 二、填空题（每小题5分，共20分）13．与02002-终边相同的最小正角是_______________。
江西省赣州市厚德外国语学校2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题 Word版无答案
高一下学期期中考试数学试题考试时间：120分钟， 总分：150分一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知(1,2)a =,(2,3)b x =-且a ∥b ,则x = （ ）A 、－3B 、34-C 、0D 、342．已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则a 等于 （ ）A 、4 B、、、3．已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9＝2，则S 13＝( )A ．11B ．12C ．13D ．不确定4．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．1925．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c ＝( ) A.3∶1∶1 B ．2∶1∶1 C.2∶1∶2 D ．3∶1∶16．如果12,,,a x x b 成等差数列，12,,,a y y b 成等比数列，那么1212x x y y +等于（ ） A 、a b a b +- B 、b a ab - C 、ab a b + D 、a b ab+ 7．若)()(),1,2(),4,3(x -⊥+-==且,则实数x =（ ）A 、23B 、223C 、323D 、423 8．在ΔABC 中,060,43=∠==BAC ,则=⋅ ( )A 、6B 、4C 、-6D 、-49．等比数列前n 项和为S n 有人算得S 1=8,S 2=20,S 3=36,S 4=65, 后来发现有一个数算错了，错误的是 （ ）A 、S 1B 、S 2C 、S 3D 、S 410．在数列{a n }中，若a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋n ln nC ．12＋ln nD ．12＋n ln n二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.12．等差数列{a n }中，a 1>0，S 3＝S 10，则当S n 取最大值时n 的值是________．13．已知A （1，3），B （4， -1），与向量AB uu u r 同方向的单位向量是 .14. 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x－y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n等于 . 15.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 .三、解答题：本大题共6小题，70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．(本小题满分10分)已知向量121232,4a e e b e e =-=+，其中1e ＝(1,0)，2e ＝(0,1)．(1)求 ,a b ⋅ ||,a b + (2) a 与b 的夹角的余弦值．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知边c =10, 又知cos 4cos 3A bB a ==，求边a 、b 的长.18．(本小题满分12分)公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，且S 8＝32，求S 10的大小．19．(本小题满分12分)某海轮以30海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C 点，求P ，C 间的距离．20．(本小题满分13分) 设n S 为数列{n a }的前项和,已知01≠a ,211n n a a S S -=⋅,∈n N *(Ⅰ)求1a ,2a ,并求数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)求数列{n na }的前n 项和.21．(本小题满分14分)△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列且cos B ＝35.(1)求cos A sin A ＋cos C sin C 的值；(2)设BA →·BC →＝3，求a ＋c 的值．。
江苏省扬州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
江苏省扬州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．在△ABC 中，已知8,30,105a B C ===o o ，则b 等于（ ）A ．323B ．4 3 C．D ．4 22．若cos 21π2cos 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则cos sin αα+=（ ）AB ． 22C ．14D ．123．复数2i1i z +=-，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A．z B ．z 的共轭复数为31i 22+C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在平面内的对应点位于第一象限41cos20-︒的值为（ ） A ．8B ．8-C ．4D ．−45．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为S ，222,44a S b c ==+-，则△ABC 外接圆的面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．πD ．2π6．已知梯形ABCD 中，//,3,3AD BC BF FC AH HF ==u u u r u u u r u u u r u u u r，且BH BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ的值为（ ）A ．364B ．564C ．764D ．9647．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos C －2c cos B ＝a ，且B＝2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形8．在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =2 3，102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=（ ） A ．18B ．17C ．16D ．15二、多选题9．计算下列几个式子，结果为 3的是（ ） A．tan 25tan3525tan35+︒︒︒︒B ．()2sin35cos 25sin55cos65︒︒+︒︒C ．2πtan6π1tan 6- D ．1tan151tan15+︒-︒10．已知向量()1,3a =r ，()2,4b =-r ，则下列结论正确的是（ ）A ．()a b a +⊥r r rB．2a b +r rC ．向量a 与向量b的夹角为34πD ．b 在a 的投影向量是()1,311．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =△ABC满足sin :sin :sin A B C =，且ABCS =△，请判断下列命题正确的是（ ）A ．△ABC周长为5B ．3C π=C ．△ABCD ．△ABC 中线CD的长为2三、填空题12．已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=u u u r u u u r.13sin αα+，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()s i n co s c o s s i n B C B C b c C+⎫+=⎪⎭，π3B =，则2a c +的最大值为.四、解答题15．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中(a =r(1)若4c =r ，且//c a r r，求c 的坐标；(2)若1b =r ，且()52a b a b ⎛⎫+⊥- ⎪⎝⎭r r r r ，求a与b 的夹角θ 16．m 为何实数时，复数()()()22i 3i 121i z m m =+-+--满足下列要求：（1）z 是纯虚数；（2）z 在复平面内对应的点在第二象限； 17．已知π1tan 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求2sin 22cos 1tan ααα++的值；(2)若π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin β=αβ+的值.18．已知向量()cos ,sin a αα=r ，12b ⎫=-⎪⎪⎝⎭r ，π02α<<. (1)若a b ⊥r r 时，求sin 21cos 2αα+的值；(2)若a b -=r r 2πsin 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.19．请欣赏：上图所示的毕达格拉斯树画是由图（ⅰ）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra 做出来的图片，其中四边形ABCD ，AEFG ，PQBE 都是正方形.如果改变图（ⅰ）中AEB ∠的大小，会得到更多不同的“树形”.(1)在图（ⅰ）中，AB =2，1AE =，且AE AB ⊥，求AQ ；(2)在图（ⅱ）中，AB =2，1AE =，设()0180EAB θθ∠=︒<<︒，求2AQ 的最大值.。
四川省内江市第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版无答案
内江六中2023--2024学年（下）高2026届半期考试数学试题考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 选择题（满分60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设平面向量，则A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ）A. 2B. C. D. 3. 在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点，设，，则（ ）A B. C. D. 4. 若，，则（ ）A.B. C.D.5. 已知，则向量的夹角为（ ）A. B. C.D. 6. 在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（ ）A. B.C. D.7. 在△ABC 中，若，则△ABC 是（ ）A 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形..()()3,5,2,1a b ==- 2a b -=()7,3()7,7()1,7()1,312z i =-z 2i2-2i-ABC D BC 4BD CD =E AB AB a =AC b = ED =1455a b + 3144a b +5463a b-+ 5564a b-+ tan 2α=tan 8(2)αβ+=tan()αβ+=101735-256173,1,2a b a b ==-= ,a b3060120150ABC 32AD DC = P BD 25AP t AB AC =+t 13-1323-232sin sin cos 2CA B =8. 已知函数在区间上单调递增，则下列选项中错误的是（ ）A. 函数两个零点最小距离为，则B. 若，则C. 若，则D. 若，且函数在区间有唯一零点，则二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.）A.B.C.D. 10. 已知向量，则（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则向量与向量D. 若，则向量在向量上的投影向量为11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）的()()0()sin f x x ωϕω=+>π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭()12y f x =-π32ω=π3ϕ=-504ω<≤5π012f ⎛⎫>⎪⎝⎭π2π063f f ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6ϕ=()f x [0,π]1,16ω⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦+︒︒tan 21tan 24tan 21tan 24︒+︒+︒︒1tan151tan15+︒-︒2cos 15sin15cos 75︒︒-︒()(),1,4,2a x b ==a b∥2x =a b ⊥12x =3x =ab=1x -ba()ππ)02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭A. 的表达式可以写成B.的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数C. 的对称中心，D. 若方程在上有且只有6个根，则12. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，且只有一解，则b 的取值范围为C. 若，且为锐角三角形，则周长的取值范围为D. 若为锐角三角形，，则AC 边上的高的取值范围为第Ⅱ卷非选择题（满分90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在中，已知，则角为_________.14. 函数，的最大值是______．15. 如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为_________________.()f x ()24fx x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 3π8()π14g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ,182k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈()1f x =()0,m 5π13π,24m ⎛⎫∈⎪⎝⎭2cos cos c B b C a +=π3A =ABC π4A =ABC (]0,1π3A =ABC ABC (1⎤⎦ABC 2AC =ABC 222c a b ab =+-C sin y x x =[]0,πx ∈,A B ,A B 30 45 ,A B 20m m16. 已知向量，满足，，且，若向量与的夹角为30°，则的最大值是___________.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17 设复数，其中.（1）若是纯虚数，求的值；（2）所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.18. 已知函数．（1）把化为的形式，并求的最小正周期；（2）求的单调递增区间以及对称中心．19. 在中，，，边，上的点，满足，，为中点．（1）设，求实数，的值；（2）若，求边的长．20. 在第六章平面向量初步中我们学习了向量加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和向量积.的a →b →1a →=b = 32a b ⋅=- - a c b c -||c →()22276i z a a a a =+-+-+R a ∈z a z a ()22cos cos sin f x x x x x =+-()f x sin()y A x ωϕ=+()f x ()f x ABC 6BC =60ACB ∠=︒AB BC M N 13BM MA = 2BN NC =P AC NM CB CA λμ=+u u u r u u r u u rλμ8BP NM ⋅=-AC（又称为“·乘”，“×乘”）．向量与的向量积记作：．其中的运算结果是一个向量，其方向垂直于向量与所在平面，它的长度．现在我们定义一种运算规则“”．设平面内两个非零向量而，元的夹角为，规定示．试求解下列问题：（1）已知向量，满足，，，求的值；（2）已知向量，，，求的最小值．21. 为了丰富同学们的课外实践活动，某中学拟对生物实践基地（△ABC 区域）进行分区改造．△BNC 区域为蔬菜种植区，△CMA 区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，△MNC 区域规划为学生自主栽培区．△MNC 的周围将筑起护栏．已知m ，m ，，，设．（1）若m ，求护栏的长度（△MNC 的周长）；（2）试用表示△MNC 的面积，并研究△MNC 的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．22. 在锐角中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足．（1）求证：；（2）若，求a 边的范围；（3）求的取值范围．a b a b ⨯ a b ⨯ a bsin a b a b θ⨯= ⊗θ||||sin m n m n θ≡⊗=r r r ra b (2,1)a = 2b = 4a b ⋅= a b ⊗ 12,cos sin a αα⎛⎫= ⎪⎝⎭r 21,sin cos b αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭r π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭a b ⊗ 20AC =40AB =60BAC ∠=︒30MCN ∠=︒ACM θ∠=10AM =θABC 22a b bc -=2A B =1b =112sin tan tan A B A-+。
天津市第二耀华中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
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三、解答题 17．在三棱锥 P—ABC 中，PA⊥面 ABC，AB⊥AC，AP=AC=2，AB=1，
(1)求三棱锥 P—ABC 的侧面积；
(2)求点 A 到平面 PBC 的距离.
18．已知
VABC
的内角
A,
B,
C
所对的边分别为
a,
b,
c
，向量
ur m
=
(a,
3b)
与
r n
rr ar× b | b |2
×
r b
计算即得.
【详解】根据平面向量的投影向量的规定可得:
向量
ar
在向量
r b
上的投影向量为：
ar
cosáar,brñ ×
r br b
，即
r ar× |b
r b |2
×
r b
，
因
ar
=
(
0,1)
,
r b
=
(
-1,1)
，则
r a
×
r b
=
1，
|
r b
|=
2
，则向量
ar
在向量
3 2
=
3，
所以四棱锥 A1 - B1C1CB 的体积VA1-B1C1CB =VABC-A1B1C1 -VA1-ABC =3 3 - 3 =2 3 . 故选：A. 7．D
【解析】运用余弦定理，求得 cos B ，再由向量的数量积的定义，即可得到所求值．
【详解】解：由于 AB = 7 ， BC = 5 ， CA = 6 ，
A． 2 3
B． 2 10
C． 4 2 3
D． 4 6
上海市宝山区罗店中学2017-2018学年高一下学期期中数学试题缺答案
2017学年度第二学期期中测试高一数学一、填空题（每小题3分，共36分）1、在ABC ∆中，已知6,1,3π===B b a ,则c =______ 2、已知54cos ,0,2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈θπθ，则θ2tan =______ 3、若),(,0),sin(sin 3cos 3ππϕϕ-∈>+=+A x A x x ,则ϕ=_____4、已知532cos ,54)cos(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+απαπ，则点)2sin ,2(cos ααP 在第_____象限5、在ABC ∆中，已知43sin ,6,4===B b a ，则A =______6、函数]0,[,62sin 2ππ-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 的单调递减区间是___________7、关于x 的方程m m x x --=-464cos 3sin 有解，则实数m 的取值范围是_________8、函数x x x f 2sin 2242sin )(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π的最小正周期是_______ 9、函数x x x x f 2cos 4cos sin 3)(-=的最大值为_______10、已知函数b x A y ++=)sin(ϕω的最大值为4,最小值为0，最小正周期是2π,直线12π=x 是其图像的一条对称轴.若20,0,0πϕω<<>>A ，则函数解析式为___________11、设函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2πx y 的图像关于点)0,(0x P 成中心对称，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,20πx ，则0x =_____ 12、对于函数⎩⎨⎧<≥=)cos sin (,cos )cos sin (,sin )(时当时当x x x x x x x f 给出下列四个命题：①该函数的值域为]1,1[-②当且仅当)(2Z k k x ∈=π时,该函数取得最大值1③该函数是以π为最小正周期的周期函数 ④当且仅当)(2322Z k k x k ∈+<<+ππππ时，0)(<x f上述命题中，假命题的序号是______二、选择题（每小题4分，共16分)13、已知等腰三角形顶角的余弦值为54，则底角的正切值为（ ）A 、31-B 、31C 、3D 、3-14、当],0[π∈x 时，若关于x 的方程m x x =+cos 3sin 有且仅有一个实根，则实数m 的取值范围是（ ）A 、)[3,3-B 、[]3,3-C 、[]}2{3,3 -D 、)[}2{3,3 - 15、三角形的三边长分别为c b a 、、，若222c b a =+，则该三角形的形状为（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、无法判断16、定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数，又是周期函数,若)(x f 的最小正周期是π，且当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，x x f sin )(=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛35πf 的值为（ ）A 、23-B 、23C 、21-D 、21三、解答题（8分+8分+10分+10分+12分=48分）17、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=ππθθ,2,32cos ，求θθθsin cos 2sin 2-的值18、已知函数)||,0)(sin(πϕϕω<>+=A x A y 的一段图像如图所示，求函数的解析式19、在ABC ∆中，已知6,2,45==︒=c a A ，求B20、已知函数22sin 2sin 4)(2-+=x x x f（1）求)(x f 的最小正周期(2）写出)(x f 的单调区间(3)写出)(x f 的对称中心的坐标,及对称轴的方程21、在直角三角形ABC 中,3,1,2===BC AB B π，点N M 、分别在边AB 和AC 上（M 与B 不重合）,将AMN ∆沿MN 翻折，AMN ∆变为MN A '∆，使顶点A '落在边BC 上（A '与B 不重合），设θ=∠AMN（1）若3πθ=，求线段AM 的长度(2）用θ表示线段AM 的长度(3)求线段N A '长度的最小值攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。
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江西省吉安县2016-2017学年高一数学下学期期中试题（无答案）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．数列{}n a 的前几项为11121,3,,8,222
，则此数列的通项可能是（ ） A ．542n n a -= B ．322n n a -= C ．652n n a -= D ．1092
n n a -= 2．若函数()cos(2)f x x ϕ=+是奇函数，则可取一个值为（ ）
A ．
B ．2π-
C ．4
π D ． 3．等差数列{}的前项和为，若3531=++a a a ，则的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．,a b 是任意实数，且a b >，则下列结论正确的是（ ）
A ．22a b >
B ．1b a <
C ．1lg()lg a b a b
->- D ．44a b --< 5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos2sin A A =，2bc =，则ABC ∆的面积为（ ） A. 12B. 14
C. D. 6．《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日穿（第一天
挖）一尺，小鼠也日穿一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）. 问何日（第
几天）两鼠相逢（ ）
A. B. C. D.
7．在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c
c a B 22cos
2+=，则△ABC 的形状为（ ）
A ．等腰三角形或直角三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
8．已知△ABC 中，满足2b =，60B =︒的三角形有两解，则边长的取值范围是（ ）
A. 22a <<
B.122
a <<
C.2a <<
2a <<9．已知函数1)4cos(2)(++=ωπ
ωx x f 在)8,0(π上是减函数，则的最大值为 （ ）
A. B. C.D.
10．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（ 0,0,||2A πωϕ>><
）
的部分图像如图所示,与轴交于、两点，与轴交于
点，其一条对称轴与轴交于点，且 PA PC == PB BC =．则=)2017(f （ ） A. 3- B.C. D.
11．已知数列{}n a 的前项和为，11=a ，对任意的*∈N n 都有n n a n S +=22，则=20S （ ）
A. 200
B. 210
C. 220
D. 230
12．已知ABC ∆中，4=AB ，且AC BC 3=，则ABC ∆面积的最大值为
（ ） A. B. C. D. 34
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13．不等式21030
x x x -≥--的解集是. 14．已知2tan =α，则=⎪⎭⎫
⎝⎛-απ222017sin . 15．设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≥-≤--0,00023y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为，则
b
a 11+的最小值为. 16．已知等边三角形ABC 的边长为，点、分别为BC AB ,的中点，且AE 和CD 相交于点，点为边AC 上一点，且)10(<<=λλAC AH ，当1=⋅时，实数的值为.
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分10分)
已知等差数列{}n a 的前项和为，且13451,a S S S =+=.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11+⋅=
n n n a a b ，求数列{}n b 的前项和.
18．(本小题满分12分)
已知函数2()2f x ax bx a =+-+．
（Ⅰ）若关于的不等式()0f x >的解集是(1,3)-，求实数,a b 的值；
（Ⅱ）若2,0b a =>，解关于的不等式()0f x >．
19．(本小题满分12分)
设ABC △的三内角、、的对边分别是、、，且()()()sin sin sin sin 0b B C c a A C -+-+=.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若a =
sin C B =
，求ABC △的面积.
20．(本小题满分12分)
已知(2cos ,2sin )a x x =，(sin(),cos())66b x x ππ
=--，函数()cos ,f x a b =<>. （Ⅰ）求函数()f x 零点；
（Ⅱ）若ABC △的三内角、、的对边分别是、、，且()1f A =,求
b c a
+的取值范围.
21．(本小题满分12分) 某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员(0)x x >户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为33()50
x a -（0a >）万元。
（Ⅰ）在动员户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数的最大值.
.
22．(本小题满分12分)
已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(4444
1111321+=---- ，且3,121==b b ，令()n n n b a c ⋅+=1，求数列{}n c 的前项和.。