_学年高中数学第一章三角函数1.1_1.1.2弧度制练习新人教A版必修4

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高中数学人教A版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制答案和解析

高中数学人教A 版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )A ．143πB ．143π-C ．718πD ．718π-3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A ．403π B ．203π C ．2003πD ．4003π4．把114π-表示成θ＋2kπ(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．34π-B ．4π-C ．4π D ．34π 5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A ．2π B ．3π C D6．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( )A ．B ．C ．D ．二、双空题 7．12rad ＝________度，________ rad ＝－300°.8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．三、填空题9．已知圆心角为60的扇形，其半径为3，则该扇形的面积为___． 10．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad .四、解答题 11．已知α＝2 000°.(1)把α写成2kπ＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．12．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．13．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .参考答案1．D 【解析】【详解】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度， D 的说法错误，很明显ABC 的说法正确. 本题选择D 选项. 2．B 【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为73-×2π＝143π-. 本题选择B 选项.点睛：一定要注意角的正负，特别是表的指针所成的角为负角. 3．A 【解析】24042401803ππ==，所以弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π. 本题选择A 选项. 4．A 【解析】令－114π＝θ＋2kπ(k ∈Z )，则θ＝－114π－2kπ(k ∈Z )．取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－34π，|θ|＝34π； k ＝－2时，θ＝54π，|θ|＝5344ππ>；k ＝0时，θ＝－114π，|θ|＝11344ππ>. 本题选择A 选项. 5．C【解析】试题分析：设圆内接正方形的边长为a，所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角为2lrα===C.考点：弧长公式.6．C【解析】分析：分k为偶数和k为奇数讨论，即可得到答案.详解：由集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈，当k为偶数时，集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈与{|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈与{53|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第三象限；所以集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈中表示的角的范围为选项C，故选C.点睛：本题考查了角的表示，其中分k为偶数和k为奇数两种讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7．1553π-【解析】由题意有：180151212π==，53003001803ππ-=-⨯=-.8．180π1【解析】(1)因为|α|＝1°＝180π，l＝1，所以1180180lrπαπ===米.(2)因为l ＝1，|α|＝1，所以1lr α==米.9．32π 【分析】现将60转化为弧度制，然后利用扇形面积公式计算扇形面积. 【详解】60转化为弧度制是π3，故扇形的面积为2211π3π32232r α=⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查弧度制和角度制的相互转化，考查扇形的面积公式，属于基础题. 10．6π-【解析】由题意可知，一小时时针顺时针旋转：3603012=，据此可得时针转过的弧度为：301806rad ππ-=-. 11．(1)10109αππ=+；(2)469π.【解析】试题分析：(1)由题意首先将2 000°化为360°的整数倍，然后转化为弧度制可得10109αππ=+； (2)由题意可知θ＝2kπ＋109π，k ∈Z ，结合角的范围可知，取2k =，此时469πθ=.试题解析：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋π，k ∈Z ，又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋π＝.12．(1)5|22,612k k k Z ππθπθπ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭；(2)|,62k k k Z ππθπθπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭. 【解析】试题分析：(1)与330°角的终边相同的角的弧度制为6π-，且57512π=，据此可得终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为5|22,612k k k Z ππθπθπ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭； (2)由题意可知：730,21066ππ==，则终边在直线AB 上的角为α＝kπ＋6π，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝kπ＋2π，k ∈Z ，故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为|,62k k k Z ππθπθπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.试题解析：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，而75°＝75×＝，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.(2)如题图②，因为30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝kπ＋，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝kπ＋，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.点睛：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合：{}{}|2,|360,S k k Z k k Z ββαπββα==+∈==+⨯∈.即任何一个与角a 的终边相同的角都可以表示为角α与周角的整数倍的和.13．103π；503π⎛ ⎝⎭. 【解析】试题分析：由题意可知△AOB 是等边三角形，所以α＝∠AOB ＝3π.则弧长l ＝103π，由扇形面积公式可得其面积为50=3S 扇形π，据此计算可得弓形的面积为5032π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 试题解析：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，所以α＝∠AOB ＝60°＝. 所以弧长l ＝a ·r ＝×10＝，所以S 扇形＝lr ＝××10＝，又S △AOB ＝·AB ·5＝×10×5＝，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50.点睛：在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．。

人教a版必修4学案：1.1.2弧度制(含答案)

1.1.2 弧度制自主学习知识梳理 1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______．23.我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)．对点讲练知识点一角度制与弧度制的换算例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π12化成角度．回顾归纳将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可．变式训练1 将下列角按要求转化： (1)300°＝________rad ；(2)－22°30′＝________rad ； (3)8π5＝________度．知识点二利用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.回顾归纳在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用．变式训练2 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．知识点三弧长、扇形面积的有关问题例3 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？回顾归纳灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．变式训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.课时作业一、选择题 1．与30°角终边相同的角的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z } C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π6，k ∈Z 2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C.2sin 1D ．2sin 1 4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9二、填空题6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．7．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝________.8．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.三、解答题9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．10. 如右图，已知扇形OAB 的中心角为4，其面积为2 cm 2，求扇形的周长和弦AB 的长．1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad(3)|α|＝lr终边的旋转方向正数负数 0解半径为r ，圆心角n °的扇形弧长公式为l ＝n πr180，扇形面积公式为S 扇＝n πr2360.∵l 2πr ＝|α|2π，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π，∴S 扇＝12|α|r 2.∴S 扇＝12|α|r 2＝12lr .对点讲练例1 解 (1)∵112°30′＝112.5°＝⎝⎛⎭⎫2252° ＝2252×π180＝5π8. (2)－7π12＝－7π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－105°.变式训练1 (1)5π3 (2)－π8(3)288例2 解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300° ＝－5×360°＋300°.∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．变式训练2 －10π＋7π4解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋7π4.例3 解设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2. 变式训练3 解设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad. 课时作业 1．D 2.A3．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.]4．D [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．]5．B [设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsinπ6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.] 6．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝30π＝α·r ＝6π5r ，∴r ＝25.7.7π3或10π3解析－7π6＋7π2＝14π6＝7π3，－7π6＋9π2＝20π6＝10π3. 8．－11π3，－5π3，π3，7π3解析由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝7π3， π3－2π＝－5π3，π3－4π＝－11π3. 9．解 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－34π≤α≤2k π＋3π4，k ∈Z .(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z .10．解设AB 的长为l ，半径OA ＝r ，则S 扇形＝12lr ＝2，∴lr ＝4， ①设扇形的中心角∠AOB 的弧度数为α，则|α|＝lr ＝4，∴l ＝4r ， ② 由①、②解得r ＝1，l ＝4.∴扇形的周长为l ＋2r ＝6 (cm)，如图作OH ⊥AB 于H ，则AB ＝2AH ＝2r sin 2π－42＝2r sin(π－2)＝2r sin 2(cm)．。

高中数学第一章三角函数练习(无答案)新人教A版必修4(2021年整理)

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【课堂练习】
1．比较4o与4rad角的大小
2．若两个角的差为1弧度，它们的和为1°,则这两个角的大小分别为___________.
003§1。2.1 任意角的三角函数(一)
【典型例题】
例1．已知角α的终边过点（2a,－3a）（a≠0)，求sina、cosa、tana的值.
变式：已知角终边上一点，且，求cosa的值．
第一章三角函数
§1。1.1任意角
【典型例题】
例1．写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式—3600≤β＜7200的元素β写出来：
（1)60°；（2)—21°；(3）－843o10′
变式：在0°到360°范围内, 找出与-2046°24′角终边相同的角，并判断它是第几象限的角？
例2．若是第二象限角，则，分别是第几象限的角？
【课堂练习】
1．证明:函数的一个周期为．
2．已知函数f(x+2)=f(x)，且xÎ［0，1］时，f（x）=2x，求f(log26）的值.
§1.4.2 正、余弦函数的性质（二）(总第10课时)
【典型例题】
例1．判断下列函数的奇偶性。
（1）y=sin（）；（2）．
例2．求下列函数的单调增区间
（1） ;（2）y= sin( ）．
变式：求的单调减区间.
例3．求下列函数的最值
（1)y=2sin(2x+ )(xÎ[0, ]；（2）y=cos2x-4sinx+5．
【课堂练习】
1．已知函数y=sin(x+j）(0<j〈p)的图象关于y轴对称，求j的值。
2．比较sin1与sin2的大小．【提示：放在同一个单调区间上】

新版高中数学人教A版必修4习题：第一章三角函数1-1-2

1.1.2弧度制课时过关·能力提升基础巩固1下列各式正确的是()AC.3°答案:B2下列表述中,错误的是()A.“度”与“弧度”是角的两种不同的度量单位B.0°=0 radC.不论是用角度制还是用弧度制来度量角,它们都与圆的半径长短无关D.对同一角而言,所在圆的半径越长,角的弧度数也就越大答案:D3下列各式正确的是()A.cos 3.7°<cos 3.8°B.sin 5.1>sin 2.7°C.tan 46°>tan 44D.tan 1.23<tan 1.22解析:借助于计算器,有cos3.7°≈0.9979>cos3.8°≈0.9978,所以A项不正确;sin5.1≈-0.9258<sin2.7°≈0.0471,所以B项不正确;tan46°≈1.0355>tan44≈0.0177,所以C项正确;tan1.23≈2.8198>tan1.22≈2.7328,所以D项不正确.答案:C4已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是()A.2B.sin 2 C解析:由题意知,扇形半径r所以该圆心角所对弧长为l=2r答案:C5已知α=A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:α=α的终边在第三象限.答案:C6下列各对角中,终边相同的是()A∈Z) B.C.解析:∵C.答案:C7用弧度制表示与30°角终边相同的角(包括30°角)的集合为. 答案:8把-900°化为弧度为.解析:-900°=-900答案:-5π9若扇形的周长是16 cm,圆心角是2 rad,则扇形的面积是 cm2.解析:设扇形的半径是r cm,弧长为l cm,l=8,r=4.则扇形的面积答案:1610。

高中数学人教A版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制(1) 答案和解析

高中数学人教A 版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列命题中，正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径长的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角2．1920︒转化为弧度数为（）A ．163B ．323C ．163πD ．323π 3．296π是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 4．若一圆弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数是A ．3πB ．23πCD ．25．集合P ＝{x |2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z}，Q ＝{α|－4≤α≤4}．则P ∩Q ＝( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π}二、填空题6．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________．7．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．8．若角α的终边与85π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与4α的终边相同的角有________．三、解答题9．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k ∈Z ,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且,22ππγ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 10．如图，动点,P Q 从点()4,0A 出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒转3π弧度，点Q 按顺时针方向每秒转6π弧度，求,P Q 第一次相遇时所用的时间及,P Q 点各自走过的弧长.11．如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．参考答案1．D【解析】逐一考查所给的命题：A . 弧度制表示角度，则1弧度不是1度的圆心角所对的弧B . 弧度制表示角度，1弧度不是长度为半径长的弧由弧度的定义可知选项C 说法错误，D 说法正确.本题选择D 选项.2．D【解析】已知180°对应π弧度，则1920︒转化为弧度数为1920321803ππ=. 本题选择D 选项.3．B【解析】 295466πππ=+，则296π与56π终边相同，它是第二象限角. 本题选择B 选项.4．C【解析】试题分析：设圆半径为r ，所以由弧度制定r÷故选C ．考点：本题主要考查角度制与弧度制的概念及其互化．点评：牢记概念，并注意两种度量制度的转化．5．B【解析】令k ＝0，±1，在数轴上标注出P 与Q 如图所示，可知选B.6．{α|2kπ<α<2kπ＋π，k ∈Z }【解析】由题意结合终边相同的角的表示方法可知终边落在x 轴上方的角的集合为{α|2kπ<α<2kπ＋π，k ∈Z }.7．3【解析】设圆的半径为R ，弧长为l ，此时l R α=则变换之后的半径为12R ，弧长为32l ，该弧所对的圆心角为332'12l l RR α==，则'3αα=，即该弧所对的圆心角是原来的3倍. 8．29719,,,510510ππππ 【详解】由题意可知：()825k k Z αππ=+∈，则()2425k k Z αππ=+∈，当0k =时，245απ=；当1k =时，9410απ=；当2k =时，745απ=；当3k =时，19410απ=；而当4k =时，[]120,245αππ=∉；当1k =-时，[]10,2410αππ=-∉；综上可得：终边与4α的终边相同的角有29719,,,510510ππππ. 点睛：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合： {}{}|2,|360,S k k Z k k Z ββαπββα==+∈==+⨯∈.即任何一个与角α的终边相同的角都可以表示为角α与周角的整数倍的和.9．(1)()14329αππ=+-⨯,α是第四象限角；(2)49γπ=-. 【解析】试题分析：(1)由题意－800°＝－3×360°＋280°，而280°＝149π，据此可得：()14329αππ=+-⨯,α是第四象限角；(2)由题意结合(1)的结论可知γ＝2kπ＋149π，k ∈Z ，结合题意，则取k ＝－1得49γπ=-. 试题解析： (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π，∴α＝－800°＝＋(－3)×2π. ∵α与角终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2kπ＋，k ∈Z .又γ∈，∴－<2kπ＋<，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋＝－. 10．,P Q 第一次相遇时所用的时间为4s .P 点走过的弧长为163π，Q 点走过的弧长为83π. 【分析】设出两点相遇时间，用两点所走过的弧长之和为2π建立方程，解方程求得时间，进而求得,P Q 两点所走过的弧长.【详解】依题意知圆的半径为4，设,P Q 第一次相遇时所用的时间是ts ，则236t t πππ+-⨯=.解得4t =，即,P Q 第一次相遇时所用的时间为4s . P 点走过的弧长为416433ππ⨯=，Q 点走过的弧长为28433ππ⨯=. 【点睛】本小题主要考查角速度有关计算，考查方程的思想，属于基础题.11．12π-【解析】试题分析：角度制转化为弧度制，12023π=，据此可得弧长AB 为4π，由扇形面积公式求得扇形的面积为12π，由几何关系可得△ABO 的面积为，据此可知弓形ACB 的面积为12π-试题解析：∵120°＝π＝π，∴l＝6×π＝4π，∴AB的长为4π.∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×3＝9.∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.∴弓形ACB的面积为12π－9.点睛：在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．。

【金版学案】2022-2021学年高一数学人教A版必修4练习：1.1.2 弧度制

第一章三角函数三角函数1．1任意角和弧度制1．1.2弧度制1．理解并把握弧度制的定义，理解1弧度的定义，能娴熟进行弧度与角度的互化．2．理解弧度制表示的弧长、扇形面积公式，能运用弧长、扇形面积公式计算．基础梳理一、弧度制的概念1．弧度制：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．2．正角、零角、负角的弧度数．(1)正角的弧度数是一个正数；(2)零角的弧度数是零；(3)负角的弧度数是一个负数．思考应用1．肯定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？解析：由弧度定义，肯定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是确定的，与圆的半径大小无关．二、角度制与弧度制的互化角度制与弧度制的换算：由于周角所对的弧是整个圆周，其长为2π·r，所以周角的弧度数是2π，但周角又等于360°，所以360°＝2π，所以180°＝π，故得：1°＝π180rad，1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57.3°＝57°18′.附：完成常用角的弧度角度换算表：2．如何理解在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系？解析：在角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角．由于角度制是六十进位制，而弧度制是十进位制，故在弧度制下，争辩问题更加便利．三、弧长公式与扇形面积公式1．角度制：半径为R ，圆心角为n °的扇形中，圆心角所对的弧长l 和面积S 分别为：弧长l ＝n π·r 180，扇形的面积S ＝n π·r2360．2．弧度制：半径为R ，圆心角为α rad 的扇形中，圆心角所对的弧长l 和面积S 分别为：弧长l ＝|α|r ，扇形的面积S ＝12l ·r ＝12|α|·r 2．练习：扇形弧长为π，面积为π，圆的半径是2．解析：弧长l ＝π.∵S 扇＝12lr ＝π，∴12×πr ＝π，即r ＝2，∴圆的半径为2. 思考应用3．依据扇形的面积公式和弧长公式，在弧长，面积，圆心角，半径四个量中，可以知道几个量就可以求出其他的量？解析：只需知道两个量就可以求出其他量．例如：已知扇形的弧长为π，面积为π，则可求所在圆的半径R 和圆心角α.由l ＝|α|·r ，得π＝|α|·r ⇒|α|＝πr ，又由S ＝12|α|·r 2，得π＝12|α|·r 2，将|α|＝πr 代入得π＝12·πr ·r 2，解得r ＝2.自测自评1．下列说法正确的是(A )A ．1弧度角的大小与圆的半径无关B ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大C ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等D ．用弧度表示的角都是正角解析： ∵1 rad ＝180°π＝57.3°＝57°18′，其大小与圆的半径无关．2．某扇形的面积为1 cm 2，周长为4 cm ，那么该扇形圆心角的弧度数为(B ) A ．2° B ．2 C ．4° D ．4 解析： ∵4＝|α|·r ＋2r ⇒r ＝42＋|α|，且1＝12|α|·r 2，∴1＝12|α|·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4|α|＋22，解得|α|＝2，故选B. 3. 若将钟表拨慢30分钟，则时针转了多少度？多少弧度？分针转了多少度？多少弧度？解析：钟表拨慢30分钟，按逆时针方向旋转，为正角．时针转了30×360°12×60＝15°，表示15°，π12弧度；分针转了30×360°60，表示180°，π弧度．4．(1)将－300°化为弧度是－53π；(2)将85π化为度数是288°．解析：(1)－300°＝－300×π180＝－5π3；(2)85π＝85×180°＝288°.基础提升1．下列四个命题中，不正确的一个是(D ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2．－2912π所在的象限是(D )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限解析：－2912π＝－2π－512π.∵－512π是第四象限角，∴－2912π是第四象限角． 3．将－1 485°化成2k π＋α，(0≤α<2π，k ∈Z)的形式是(D ) A ．－8π＋π4 B ．－8π－7π4C ．－10π－π4 D ．－10π＋7π44．若α＝－2，则α的终边落在(C ) A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：∵－π<－2<－π2，∴α的终边在第三象限．故选C.5．已知半径为1的扇形面积为38π，则扇形的圆心角为(C )A.316πB.38πC.34πD.32π 6．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是(A)A ．A ＝B B ．A BC ．BA D ．以上都不对解析：B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π＋π2，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋32π，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z ＝A.故选A. 7．地球赤道的半径是6 370 km ，赤道上1′所对的弧长为1海里，则1海里大约是________km(精确到0.01 km)．解析：∵1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160°＝160×π180弧度，∴l ＝α·R ＝160×π180×6 370≈1.85 km.答案：1.85巩固提高8．把下列角化成α＋2k π(0≤α＜2π，k ∈Z)的形式，写出终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角．(1)－46π3；(2)－1 395°； (3)－20.解析：(1)－46π3＝2π3＋(－8)·2π，它是其次象限角．终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈Z . (2)－1 395°＝45°＋(－4)·360°＝π4＋(－4)·2π，它是第一象限角．终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝π4＋2k π，k ∈Z . (3)－20＝(8π－20)＋(－4)·2π.而3π2＜8π－20＜2π，∴－20是第四象限角．终边相同的角的集合为{α|α＝(8π－20)＋2k π，k ∈Z}．9．若α是其次象限角，则－α、π＋α、π－α、π2＋α分别是第几象限的角？解析：∵α为其次象限角， ∴－α与α的终边关于x 轴对称． ∴－α是第三象限的角．∵π＋α的终边是由α的终边绕O 沿逆时针旋转π弧度得到，∴π＋α是第四象限角．－α的终边可看成由α的终边关于x 轴对称，－α是第三象限，再将－α的终边绕O 按逆时针方向旋转180°到第一象限，故π－α是第一象限．易知π2＋α是第三象限．10．已知扇形的周长为30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解析：S ＝12lr ＝12×(30－2r )×r ＝－r 2＋15r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －1522＋2554当r ＝152时，S max ＝2254，此时θ＝L r ＝30－2rr ＝2(rad)．故半径为152 cm ，圆心角为2弧度时，扇形面积最大，最大面积为2254 cm 2.11．一条弦的长度等于半径r ，求： (1)这条弦所对的劣弧长；(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积．分析：由已知推断圆心角的大小为π3，然后用公式求解．解析：(1)半径为r 的⊙O 中，弦AB ＝r ，则△OAB 为等边三角形，∠AOB ＝π3，则弦AB 所对的劣弧长为π3r .(2)S △OAB ＝12AB ·OD ＝12r ·32r ＝3r 24，S 扇形OAB ＝12lr ＝12·πr3·r ＝π6r 2，∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △OAB ＝π6r 2－34r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－34r 2.1．角度与弧度的互化．(1)角度与弧度互化时，留意换算公式的应用．设一个角的弧度数为α，角度为n °，则α(rad)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180απ°，n °＝n ·π180(rad)．(2)假如角度制n 是以“度、分、秒”形式给出的，要先把n 化成以“度”为单位的十进制表示．2．弧长公式、扇形面积公式的应用．在扇形的有关问题中，要充分揭示图形的性质及联系，在圆心角、半径、弧长、面积这些量中，只要知道其中两个量，便可求出其他的量，留意与扇形中其他量的联系．如弦心距、弦的一半与半径构成直角三角形等．。

2020-2021学年高中数学第一章三角函数 1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4

2020-2021学年高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4年级：姓名：1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)内容标准学科素养1.理解任意角的三角函数的定义并利用定义求值．2.结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号．3.掌握三角函数诱导公式一.提升数学运算运用直观想象授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]知识点一任意角的三角函数阅读教材P11～12，思考并完成以下问题(1)使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.那么sin α、cos α、tan α如何用x，y或r表示？提示：sin α＝|PM||OP|＝yr，cos α＝|OM||OP|＝xr，tan α＝|PM||OM|＝yx.(2)对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？为什么？提示：不变．三角形相似，对应边成比例．(3)当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.(4)如果α的终边OP在第二象限且|OP|＝1，P(x，y)，sin α，cos α，tan α的表示变化吗？提示：不变．仍是sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦 x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0) 三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.三角函数定义域 sin α R cos α Rtan α α≠k π＋π2，k ∈Z知识点二阅读教材P 13，思考并完成以下问题根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ (1)当α的终边在第一象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y >0，cos α＝x >0，tan α＝y x >0 (2)当α的终边在第二象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y >0，cos α＝x <0，tan α＝y x<0. (3)当α的终边在第三象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x <0，tan α＝yx>0.(4)当α的终边在第四象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x >0，tan α＝yx<0.知识梳理口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三诱导公式一阅读教材P 14，思考并完成以下问题当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？提示：sin 390°＝sin(360°＋30°)， sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)，故30°、390°、－330°终边相同．知识梳理诱导公式一sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中k ∈Z .(1)当α的终边在y 轴正半轴时，P (0，1)，则α＝π2＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝sin π2＝1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝cos π2＝0．(2)当α的终边在y 轴负半轴时，P (0，－1)，则α＝32π＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝sin 32π＝－1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝cos 32π＝0．(3)当α的终边在x 轴正半轴时，P (1，0)，则α＝2k π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋0)＝sin 0＝0． cos α＝cos(2k π＋0)＝cos 0＝1． tan α＝tan(2k π＋0)＝tan 0＝0.(4)当α的终边在x 轴负半轴时，P (－1，0)，则α＝2k π＋π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋π)＝sin π＝0． cos α＝cos(2k π＋π)＝cos π＝－1． tan α＝tan(2k π＋π)＝tan π＝0．[自我检测]1．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D2．α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则sin α＝______，cos α ＝________．答案：35 －45授课提示：对应学生用书第8页探究一任意角的三角函数的定义及应用[教材P 12例1、例2]方法步骤：(1)确定终边上点的坐标．(2)应用定义求值．角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值[例1] (1)已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解析] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)，此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1，3)，此时sin θ＝3（－1）2＋32＝31010， tan θ＝3－1＝－3.(2)已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．[解析] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值[例2] 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．[解析] 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，。

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必修4目录第一章:三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角(1课时)1.1.2弧度制(1课时)1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数(2课时)1.2.2同角三角函数的基本关系(1课时)1.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的诱导公式(2课时)1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(1课时)1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2课时)1.4.3正切函数的性质与图象(1课时)1.5函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象1.5函数y＝Asin(ωx＋ϕ)的图象(2课时)1.6三角函数模型的简单应用1.6三角函数模型的简单应用(2课时)第二章:平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.1向量的物理背景与概念 2.1.2向量的几何表示(1课时)2.1.3相等向量与共线向量(1课时)2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义2.2.2向量减法运算及其几何意义(1课时) 2.2.3向量数乘运算及其几何意义(1课时)2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示(1课时) 2.3.3平面向量的坐标表示 2.3.4平面向量共线是坐标表示(1课时)2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义(1课时)2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(1课时)2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法(1课时)2.5.2向量在物理中的应用举例(1课时)第三章:三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式(1课时)3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1课时)3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式(1课时)3.2简单的三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换(3课时)。

2019_2020学年高中数学第一章三角函数1.2.4同角三角函数的基本关系(2)练习(含解析)新人教A版必修4

第6课时同角三角函数的基本关系(2)对应学生用书P11知识点一化简问题1．当2k π－π4≤α≤2k π＋π4(k ∈Z )时，化简1－2sin αcos α＋1＋2sin αcos α的结果是( )A ．2sin αB ．－2sin αC ．2cos αD ．－2cos α 答案 C解析当2k π－π4≤α≤2k π＋π4(k ∈Z )时，sin α＋cos α>0，cos α－sin α>0， ∴1－2sin αcos α＋1＋2sin αcos α＝sin α－cos α2＋sin α＋cos α2＝|sin α－cos α|＋|sin α＋cos α|＝cos α－sin α＋sin α＋cos α＝2cos α．2．化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α．解原式＝1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α ＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α＝sin 2α1＋cos 2α－sin 4αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23．3．已知－2<x <0，sin x ＋cos x ＝5，求下列各式的值．(1)sin x －cos x ； (2)1cos 2x －sin 2x ．解 (1)∵sin x ＋cos x ＝15，∴(sin x ＋cos x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝－2425．∵(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝4925，又－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，∴sin x －cos x <0， ∴sin x －cos x ＝－75．(2)解法一：由已知条件及(1)，可知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，∴1cos 2x －sin 2x ＝11625－925＝257．解法二：由已知条件及(1)，可知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，∴1cos 2x －sin 2x ＝1cos x ＋sin x cos x －sin x＝115×75＝257． 4．已知tan α＝3，求下列各式的值： (1)sin 2α－2sin αcos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α； (2)34sin 2α＋12cos 2α．解 (1)原式的分子、分母同除以cos 2α，得原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223． (2)原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1 ＝34×9＋129＋1＝2940．知识点三证明问题5．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan α＝sin α＋cos α．证明 1sin α＋1cos α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝sin α＋cos α·cos αsin α＋sin α·sin αcos α＋cos α＝sin α＋cos α·1tan α＋sin αtan α＋cos α＝sin α(1＋tan α)＋cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan α． 6．求证：1－2sin2x cos2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan2x1＋tan2x ．证明左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin2x cos2xcos 22x －sin 22x ＝cos2x －sin2x2cos2x －sin2x cos2x ＋sin2x＝cos2x －sin2x cos2x ＋sin2x ＝1－tan2x1＋tan2x＝右边． ∴原等式成立．对应学生用书P12一、选择题1．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( )A ．23 B ．－23 C ．13 D ．－13答案 B解析由sin θ＋cos θ＝43，得1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－1－2sin θcos θ＝－23． 2．已知sin α－cos α＝2，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1 答案 A解析将等式sin α－cos α＝2的两边平方，整理得1＋2sin αcos α＝0，即sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝0，∴(sin α＋cos α)2＝0，∴sin α＋cos α＝0，∴sin α＝－cos α．由已知得cos α≠0，∴tan α＝sin αcos α＝－1．故选A ．3．下列结论能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．tan α＝2且cos αsin α＝13C ．tan α＝1且cos α＝22D ．sin α＝1且tan α·cos α＝12答案 C解析同角三角函数的基本关系式是指同一个角的不同三角函数值之间的关系，这个角可以是任意角，利用同角三角函数的基本关系即得C 成立．4．若π<α<3π2，1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α的化简结果为( )A ．2tan αB ．－2tan αC ．2sin αD ．－2sin α 答案 D解析 ∵π<α<3π2，∴sin α<0．原式＝1－cos α21－cos 2α＋1＋cos α21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝－2sin α，故选D ．5．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B．－cos160° C ．±cos160° D．±|cos160°| 答案 B解析 ∵cos160°<0，∴原式＝|cos160°|＝－cos160°．二、填空题6．若2cos α＋sin α＝5，则1tan α＝________．答案 2解析将已知等式两边平方，得4cos 2α＋sin 2α＋4sin αcos α＝5(cos 2α＋sin 2α)，化简得4sin 2α－4sin αcos α＋cos 2α＝0，即(2sin α－cos α)2＝0，则2sin α＝cos α，故1tan α＝2． 7．若cos 2x ＋cos x ＝1，则sin 4x ＋sin 2x 的值等于________．答案 1解析 ∵cos 2x ＋cos x ＝1，∴cos x ＝1－cos 2x ＝sin 2x ， ∴sin 4x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋cos x ＝1．8．若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝________．答案165解析原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1＝2＋12－1＋14＋1＝165．三、解答题9．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值．解由cos α－sin α＝－55，得1－2sin αcos α＝15， ∴2sin αcos α＝45，∴(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcosα＝1＋45＝95．又0<α<π2，∴sin α＋cos α＝355，与cos α－sin α＝－55联立，解得sin α＝255，cos α＝55，∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝2sin αcos α－cos α＋11－sin αcos α＝cos α2sin αcos α－cos α＋1cos α－sin α＝55×45－55＋1－55＝5－95． 10．已知关于x 的方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，求实数m 的值．解设直角三角形的一个锐角为β，因为方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0中，Δ＝4(m ＋1)2－4×4m ＝4(m －1)2≥0，所以当m ∈R 时，方程恒有两实根．又因为sin β＋cos β＝m ＋12，sin βcos β＝m4，所以由以上两式及sin 2β＋cos 2β＝1，得1＋2×m 4＝m ＋122，解得m ＝±3．当m ＝3时，sin β＋cos β＝3＋12>0， sin β·cos β＝34>0，满足题意，当m ＝－3时，sin β＋cos β＝1－32<0，这与β是锐角矛盾，舍去．综上，m ＝3．周周回馈练对应学生用书P13一、选择题 1．给出下列说法：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，角的大小与角所在扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析对于①，150°是第二象限角，390°是第一象限角，但150°<390°，错误；对于②，三角形的内角还可能为90°，是y 轴非负半轴上的角，错误；显然③正确；对于④，α与β的终边还可以关于y 轴对称，错误；对于⑤，θ还可以是x 轴非正半轴上的角，错误．2．下列各式正确的是( )A ．π2＝90B ．π18＝10° C．3°＝60π D ．38°＝38π答案 B解析 A 中，π2＝90°，故错误；B 中，π18＝10°，故正确；C 中，3°＝3×π180＝π60，故错误；D 中，38°＝38×π180＝19π90，故错误．3．若角α的终边经过点P (sin780°，cos(－330°))，则sin α＝( ) A ．32 B ．12 C ．22D ．1 答案 C解析因为sin780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin60°＝32，cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos30°＝32，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，sin α＝22． 4．扇形的圆心角为150°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．5π4 B ．π C．3π3 D ．23π29答案 A解析 ∵150°＝5π6，∴S ＝12×5π6×(3)2＝5π4，故选A ．5．若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是( ) A ．β＝α＋90° B ．β＝α±90°C ．β＝α＋k ·360°＋90°(k ∈Z )D ．β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z ) 答案 D解析如图1，角α与β终边互相垂直，β＝α＋90°．如图2，角α与β终边互相垂直，α＝β＋90°．由终边相同角的表示方法知：角α与β终边互相垂直，则有β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z )．6．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( ) A ．45 B ．35 C ．25 D ．15 答案 B解析因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1．又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α．又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋169sin 2α＝1，所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35．二、填空题7．将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于________．答案 60°解析按顺时针方向旋转，角度减少，即90°－30°＝60°．8．已知|cos θ|＝－cos θ且tan θ<0，则代数式lg (sin θ－cos θ)________0．(填“>”“<”)答案 >解析由|cos θ|＝－cos θ，得cos θ≤0．又∵tan θ<0，∴角θ的终边在第二象限．∴sin θ>0，cos θ<0．由三角函数线可知sin θ－cos θ>1．∴lg (sin θ－cos θ)>0．9．已知tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，且3π<α<7π2，则cos α＋sin α＝________．答案－ 2解析 ∵tan α·1tan α＝k 2－3＝1，∴k ＝±2，而3π<α<7π2，则tan α＋1tan α＝k ＝2，得tan α＝1，则sin α＝cos α＝－22，∴cos α＋sin α＝－2．三、解答题10．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．解 (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成．故满足条件的角的集合为α3π4＋2k π<α<4π3＋2k π，k ∈Z ． (2)若将终边为OA 的一个角改写为－π6，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为α－π6＋2k π<α≤5π12＋2k π，k ∈Z ． (3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad 而得到，所以满足条件的角的集合为αk π≤α≤π2＋k π，k ∈Z ．(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为α2π3＋k π<α<5π6＋k π，k ∈Z ． 11．若0<α<β<π2，试比较β－sin β与α－sin α的大小．解如图，在单位圆中，sin α＝MP ，sin β＝NQ ，弧AP 的长为α，弧AQ 的长为β，则弧PQ 的长为β－α．过P 作PR ⊥QN 于R ，连接PQ ，则MP ＝NR ．所以RQ ＝sin β－sin α<PQ <PQ ＝β－α．所以β－sin β>α－sin α．12．(1)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求 cos α＋2πcos 4π＋αtan 22π＋αtan 6π＋αsin 2π＋αsin 8π＋α的值；(2)已知sin(4π＋α)＝2sin β，3cos(6π＋α)＝2cos(2π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求α和β的值．解 (1)由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35．由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45．当cos α＝45时，tan α＝－34；当cos α＝－45时，tan α＝34．所以原式＝cos α·cos α·tan 2α·tan αsin α·sin α＝tan α＝±34． (2)因为sin(4π＋α)＝2sin β，所以sin α＝2sin β．①因为3cos(6π＋α)＝2cos(2π＋β)，所以3cos α＝2cos β．②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2，所以cos 2α＝12，即cos α＝±22．又0<α<π，所以α＝π4或α＝3π4．又0<β<π，当α＝π4时，由②得β＝π6；当α＝3π4时，由②得β＝5π6．所以α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6．。

人教版高中数学A版必修4习题第一章三角函数 (整合)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A ．3 B ．6 C ．18D ．36解析： ∵l ＝αr ，∴6＝1×r .∴r ＝6. ∴S ＝12lr ＝12×6×6＝18.答案： C2．设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： ∵α是第三象限角， ∴π＋2k π＜α＜3π2＋2k π，k ∈Z .∴π2＋k π＜α2＜3π4＋k π，k ∈Z . ∴α2在第二或第四象限．又∵⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2＜0.∴α2是第二象限角．答案： B3．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析： ∵角θ的终边过(4，－3)， ∴cos θ＝45.∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45.答案： B4．tan ⎝⎛⎭⎫－353π的值是( ) A ．－33B. 3 C ．－ 3D.33解析： tan ⎝⎛⎭⎫－353π ＝－tan ⎝⎛⎭⎫12π－π3＝tanπ3＝ 3. 答案： B5．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析： ∵cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝cos A ＝12.答案： B6．设α为第二象限角，则sin αcos α·1sin 2α－1＝( ) A ．1 B ．tan 2α C ．－tan 2α D ．－1解析： sin αcos α·1sin 2α－1＝sin αcos α·cos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α， ∵α为第二象限角，∴cos α＜0，sin α＞0. ∴原式＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 答案： D7．函数y ＝sin x2是( )A ．周期为4π的奇函数B ．周期为π2的奇函数C．周期为π的偶函数D．周期为2π的偶函数解析；∵y＝sin x2，∴T＝2π12＝4π.∵sin⎝⎛⎭⎫－x2＝－sinx2，∴y＝sinx2是奇函数．答案： A8．若tan α＝2，则13sin2α＋cos2α的值是()A．－59 B.59C．5 D．－5解析：13sin2α＋cos2α＝13sin2α＋cos2αsin2α＋cos2α＝13tan2α＋1tan2α＋1＝13×2＋12＋1＝59.答案： B9．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()A.3π4 B.π4C．0 D．－π4解析：y＝sin(2x＋φ)――→向左平移π8个单位y＝sin⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x＋π8＋φ＝sin⎝⎛⎭⎫2x＋π4＋φ.∵函数为偶函数，∴π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝kπ＋π4，k∈Z，令k＝0，得φ＝π4.答案： B10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的周期为T ，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是( )A ．A ＝3，T ＝2πB ．B ＝－1，ω＝2C ．T ＝4π，φ＝－π6D ．A ＝3，φ＝π6解析：由题图可知T ＝2⎝⎛⎭⎫4π3＋2π3＝4π，A ＝12(2＋4)＝3，B ＝－1. ∵T ＝4π，∴ω＝12.令12×43π＋φ＝π2，得φ＝－π6. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．化简1－2sin 4cos 4＝________．解析：原式＝sin 24＋cos 24－2sin 4cos 4＝（sin 4－cos 4）2＝ |sin 4－cos 4|.而sin 4＜cos 4，所以原式＝cos 4－sin 4. 答案： cos 4－sin 412．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为2，则ω＝________．解析： ∵0＜ω＜1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，∴ωx ∈⎣⎡⎦⎤0，ωπ3⎣⎡⎦⎤0，π2，∴f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，∴sinωπ3＝22，∴ωπ3＝π4，ω＝34. 答案： 3413．函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3－x 恒成立，设g (x )＝3cos(ωx ＋φ)＋1，则g ⎝⎛⎭⎫π3＝________.解析： ∵f⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3－x ，∴函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)关于直线x ＝π3对称，即f ⎝⎛⎭⎫π3＝±3.∴h (x )＝3cos(ωx ＋φ)关于⎝⎛⎭⎫π3，0对称，即h ⎝⎛⎭⎫π3＝0.∴g ⎝⎛⎭⎫π3＝h ⎝⎛⎭⎫π3＋1＝1. 答案： 114．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，若将A ，B 两点的距离d (cm)表示成时间t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0，60]．解析：秒针1 s 转π30弧度，t s 后秒针转了π30t 弧度，如图所示sin πt 60＝d25，所以d ＝10 sin πt60.答案： 10sinπt 60三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知tan(π－α)＝2，计算3sin 2（π－α）－2cos 2（π－α）＋sin （2π－α）cos （π＋α）1＋2sin 2α＋cos 2α.解析：原式＝3sin 2α－2cos 2α＋sin αcos α1＋2sin 2α＋cos 2α＝3sin 2α－2cos 2α＋sin αcos α3sin 2α＋2cos 2α＝3tan 2α－2＋tan α3tan 2α＋2.∵tan(π－α)＝－tan α＝2，∴tan α＝－2，代入上式，得原式＝47.16．(本小题满分12分)作出下列函数在[－2π，2π]上的图象：(1)y ＝1－13cos x ；(2)y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2.解析： (1)描点⎝⎛⎭⎫0，23，⎝⎛⎭⎫π2，1，⎝⎛⎭⎫π，43，⎝⎛⎭⎫3π2，1，⎝⎛⎭⎫2π，23，连线可得函数在[0，2π]上的图象，关于y 轴作对称图形即得函数在[－2π，2π]上的图象，所得图象如图所示．(2)由于y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2＝|cos x |，所以只需作出函数y ＝|cos x |，x ∈[－2π，2π]的图象即可．而函数y ＝|cos x |，x ∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y ＝cos x ，x ∈[－2π，2π]的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方的方法得到，所得图象如图实线所示．17．(本小题满分12分)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解析： (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0，于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.18．(本小题满分14分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|⎭⎫＜π2的一段图象如图所示． (1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？解析： (1)A ＝3，2πω＝43⎝⎛⎭⎫4π－π4＝5π，ω＝25.由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋φ过⎝⎛⎭⎫π4，0，得sin ⎝⎛⎭⎫π10＋φ＝0，又|φ|＜π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x －π10.(2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎡⎦⎤25（x ＋m ）－π10＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数(m ＞0)，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2，k ∈Z . ∵m ＞0，∴m min ＝3π2. 故把f (x )的图象向左至少平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．。

必修4第一章三角函数同步练习及答案

第一章三角函数§1.1 任意角和弧度制一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( ) (A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( ) (A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z} (C){α|α=k ·180°，k ∈Z} (D){α|α=k ·90°，k ∈Z}3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( ) (A) α+β=π （B) α-β=2π(C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( )(A)3π (B)32π (C)3 (D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π(B)－3π (C)6π (D)－6π *6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( ) (A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个二.填空题7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 . 8. -1223πrad 化为角度应为 . 9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的倍. *10.若角α是第三象限角，则2α角的终边在，2α角的终边在 . 三.解答题11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ *14.如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.§.任意角的三角函数一.选择题1.函数y =|sin |sin x x +cos |cos |x x +|tan |tan x x的值域是 ( )(A){-1，1} (B){-1，1，3} (C) {-1，3} (D){1，3} 2.已知角θ的终边上有一点P （-4a ,3a )（a ≠0）,则2sin θ+cos θ的值是 ( )(A) 25 (B) -25 (C) 25或 -25 (D) 不确定3.设A 是第三象限角，且|sin2A |= -sin 2A ,则2A是 ( ) (A) 第一象限角 (B) 第二象限角 (C) 第三象限角 (D) 第四象限角4. sin2cos3tan4的值 ( ) (A)大于0 (B)小于0 (C)等于0 (D)不确定5.在△ABC 中,若cos A cos B cos C <0，则△ABC 是 ( )(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角或钝角三角形*6.已知|cos θ|=cos θ, |tan θ|= -tan θ,则2θ的终边在 ( )(A)第二、四象限 (B)第一、三象限 (C)第一、三象限或x 轴上 (D)第二、四象限或x 轴上二.填空题 7.若sin θ·cos θ＞0, 则θ是第象限的角;8.求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 133π= ;9.角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为 ;*10.设M =sin θ+cos θ, -1<M <1,则角θ是第象限角. 三.解答题11.求函数y =lg(2cos x的定义域。

新版高中数学人教A版必修4习题：第一章三角函数 1.2.2

1.2.2同角三角函数的基本关系课时过关·能力提升基础巩固1已知cos α则等于A解析:sin2α=1-cos2α答案:A2已知α为锐角,sin α则等于A解析:∵α为锐角,∴cosα-∴tanα答案:D3化简- 的结果为A.cos 190B.sin 190C.-sin 190D.-cos 190解析:原式190|=-sin190.答案:C4已知在△ABC中,tan A=则的值是A解析:∵tan A=且A是△ABC的内角,∴A是钝角.A= A.又sin2A+cos2A=1,A=答案:B-则的值为5若A.-2B.2 C解析:---解得tanα=答案:D6若sin θ=则解析:∵sinθ=θ>0,∴θ是第三象限角,∴cosθ<0,则cosθ=---答案:7已知sin x=2cos x,则sin2x=.解析:∵sin x=2cos x,∴sin2x=4cos2x.∴sin2x=4(1-sin2x).解得sin2x答案:8已知A为锐角,且lg(1+cos A)=m,l-则的值为答案:-9求证-证明左边----右边左边=右边.故原式成立.10已知2cos2α+3cos αsin α-3sin2α=1.求下列各式的值: (1)tan α;(2--解(1)2cos2α+3cosαsinα-3sin2α则即4tan2α-3tanα-1=0.解得tanα=或tanα=1.(2)原式----当tanα=时,原式当tanα=1时,原式能力提升1已知tan α>0,且sin α+cos α<0,则()A.cos α>0B.cos α<0C.cos α=0D.cos α符号不确定解析:∵tanα即sinα与cosα符号相同.又sinα+cosα<0,则cosα<0.答案:B2若α∈[0,2π),且--则角的取值范围是AC解析:由已知--=|sinα|+|cosα|=sinα-cosα,∴sinα≥0,cosα≤0.又α∈[0,2π),∴α∈答案:B3若非零实数m,n满足tan α-sin α=m,tan α+sin α=n,则cos α等于()A--C-解析:已知条件中的两等式联立,得-解得tanα-则cosα-答案:A★4已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ则的值为A解析:由sin4θ+cos4θ得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ∴sin2θcos2θ∵θ是第三象限角,sinθ<0,cosθ<0,∴sinθcosθ答案:A5化简sin2α+sin2β-sin2αcos2β-sin2αsin2β的结果为.解析:原式=(sin2α-sin2αcos2β)+(sin2β-sin2αsin2β)=sin2α(1-cos2β)+sin2β(1-sin2α)=sin2αsin2β+sin2βcos2α=sin2β(sin2α+cos2α)=sin2β.答案:sin2β6已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦,则实数m的值为.答案:7已知sin θ=a sin φ,tan θ=b tan φ,其中θ为锐角,求证:cos θ--证明由题意知a右边----整理,得右边--θ|.因为θ为锐角,所以右边=cosθ=左边.★8已知sin α+cos α其中求的值解∵sinα+cosα∴(sinα+cosα)2即1+2sinαcosα∴sinαcosα=∵0<α<π,且sinαcosα<0,∴sinα>0,cosα<0.∴sinα-cosα>0.又(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα∴sinα-cosα。

新人教A版高一数学必修四第一章三角函数1.1.2弧度制

[归纳升华] 角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数.
1．将下列角度与弧度进行互化： (1)5611π；(2)－71π2 rad；(3)10°；(4)－855°.
解析： (1)5611π＝5611×180°＝15 330°；
2．5 弧度的角的终边所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：因为32π<5<2π，因此 5 弧度的角的终边在第四象限．
答案： D
3．扇形圆心角为 216°，弧长为 30π，则扇形半径为________．
解析： 216°＝216×1π80＝6π5 ，l＝α·r＝6π5 r＝30π，∴r＝25. 答案： 25
(3)如图所示，扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的圆心角 α 的弧度数及弦 AB 的长．
[边听边记] (1)由公式|α|＝rl，可知圆的半径变为原来的 2 倍，弧长也变为原来的 2 倍时，圆心角大小不变；但扇形面积 S＝12lr，故面积变为原来的 4 倍．
(2)设扇形的弧长为 l，半径为 r，则 l＋2r＝40，则 S＝12lr＝12(40－2r)r＝20r －r2，所以 r＝10 时，扇形面积最大，此时 l＝40－2r＝20，圆心角的弧度数 α＝rl ＝2100＝2.
π (2)如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－ 6 ，
而 75°＝75×1π80＝51π2 ，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
θ|
2kπ－π6 ＜θ＜2kπ＋51π2 ，k∈Z.

高中数学第一章三角函数 1.1.2 弧度制课后习题新人教A版必修4(2021年整理)

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1。

2 弧度制1。

时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为（）A。

π B.—π C.πD。

-π解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是-4π—×2π=—π。

答案：B2。

（2016·青海西宁第十四中学期中）若α=-3，则角α的终边在(）A.第一象限B。

第二象限C。

第三象限 D.第四象限解析:因为—π<-3〈-，所以α=-3的终边在第三象限。

答案：C3。

将-表示成θ+2kπ(k∈Z）的形式,使｜θ｜最小的θ的值是()A。

-B。

-C。

D.解析:∵-=—2π—,∴θ=-.答案：A4。

已知集合A={α|2kπ≤α≤（2k+1)π，k∈Z｝，B=｛α｜—4≤α≤4},则A∩B等于()A.｛α|-4≤α≤4｝B.{α｜0≤α≤π｝C.｛α|—4≤α≤—π或0≤α≤π}D.⌀解析：当k=0时,A={α|0≤α≤π｝，此时A∩B={α｜0≤α≤π}；当k=—1时，A=｛α｜—2π≤α≤-π},此时A∩B={α｜-4≤α≤—π},故所求集合A∩B=｛α｜0≤α≤π或—4≤α≤—π｝。

答案：C5.若角α的终边在如图所示的阴影部分,则角α的取值范围是（)A.B.C.D。

高中数学第一章三角函数 1.1.2 弧度制练习(含解析)新人教A版必修4(2021年整理)

1.1。

2 弧度制一、选择题:1。

与角错误!π终边相同的角是（)A．错误!π B．2kπ－错误!π（k∈Z)C．2kπ－103π(k∈Z） D．(2k＋1）π＋错误!π(k∈Z)【答案】C【解析】选项A中错误!＝2π＋错误!π,与角错误!π终边相同，故A错；2kπ－错误!π，k∈Z，当k＝1时,得［0，2π)之间的角为错误!π，故与错误!π有相同的终边，B错；2kπ－错误!π，k∈Z，当k＝2时，得[0，2π)之间的角为错误!π,与错误!π有相同的终边,故C 对；（2k＋1）π＋错误!π,k∈Z，当k＝0时,得[0，2π）之间的角为错误!π，故D错．2.若α是第三象限的角，则π－错误!是( ）A．第一或第二象限的角 B．第一或第三象限的角C．第二或第三象限的角 D．第二或第四象限的角【答案】B【解析】因为α为第三象限的角，所以有2kπ＋π〈α〈2kπ＋错误!π,k∈Z，kπ＋π2〈错误!〈kπ＋错误!π，k∈Z，－kπ－错误!π<－错误!〈－kπ－错误!,k∈Z，故－kπ＋错误!〈π－错误!<－kπ＋错误!，k∈Z。

当k为偶数时,π－错误!在第一象限；当k为奇数时，π－α2在第三象限，故选B．3。

设扇形的周长为8 cm,面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】设扇形半径为r，弧长为l，由题意得错误!解得错误!则圆心角α＝错误!＝2 rad。

故选B4．－错误!的角是（)A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【答案】D【解析】因为－错误!＝－错误!－4π，所以－错误!与－错误!的终边相同，为第四象限的角．故选D。

5. 圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（)A．错误! cm2B．错误! cm2C．π cm2D．3π cm2【答案】B【解析】15°＝错误!，则S＝错误!｜α｜r2＝错误!×错误!×62＝错误!(cm2)．故选B。

_学年高中数学第一章三角函数1.1_1.1.2弧度制练习新人教A版必修4

高中数学人教A版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制 答案和解析

人教a版必修4学案：1.1.2弧度制(含答案)

高中数学 第一章 三角函数练习(无答案)新人教A版必修4(2021年整理)