图簇h(G_(m(r,n+1))~(SP))的伴随多项式的因式分解及其补图的色等价性
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
１
ｈ （ Ｇ ｔ ＿ ｌ （ ｍ＋ １ ） Ｋ １ ＝ ｈ Ⅱ 卜 （ Ｇ ） ｈ （ ㈣） （ ｍ ｈ （ Ｇ ） ） （ ｍ＋ １ ） Ｋ １ ＝ ｈ （ Ｇ ） ｈ （ ） （ ｍ， Ｐ ）
，
引理 ８
设 Ｇ是 Ｐ阶连 通 的 对 称 图 ， Ｐｔ ＞２ ， Ｐ ≥ｉ ≥１ ；
ｖ ｉ ∈ｖ （ Ｇ ） ； ｒ ≥１ ； ｍ≥２
设 Ｇ是 ｎ阶图， 若图 Ｇ的生成 子图 Ｍ的每个分支都是
完全 图 ， 则称 Ｍ是 Ｇ的理想 子图 ， 用 Ｎ（ Ｇ ， Ｋ ） 表示 图 Ｇ的具
有ｋ 个分 支的理想子图 的个数 ，则 图的色多项式 可 以表示
为［ Ｉ 】 ， 设 Ｇ是 ｎ阶图 ，
而证 明了在不 同条件下这类图的补 图的色等价性．
关键词 ：色多项式 ； 伴随 多项式 ； 因式分解 ； 色等价性
中图 分 类 号 ： ０１ ５ ７ ． ５ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ２ ６ ０ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ７ — ０ ０ ０ １ — ０ ４
第２ ９卷 第 ７期（ 上）
２ ０ １ ３年 ７月
赤 峰 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｉ ｆ ｅ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ｇ．
引理 ３ 圈， 则有
设 Ｐ 和 Ｃ 分别表示 具有 ｎ个 顶点 的路和
㈩ ＝ ｋ ∑ （ ： ｋ ） ｎ ；
（ ｉ ｉ ｃ ＝ ｋ ∑ ｝ （ ： ｋ ） ｎ
引理 ４ 目 设 Ｇ是 任意 图 ， 则 ｈ （ Ｇｔ ＿ ｌ ｋ ， ｘ ） ＝ ｈ （ Ｇ ， ｘ ） ｈ “ （ ｋ ， Ｘ ）
＝ ｘ ａ ｈ （ Ｇ ， ｘ ） ．
本文将 图 Ｇ ０ Ｐ ） 推广 到 ｈ （ Ｇ
＋ １ ］
） ， 并证 明了图簇 ｈ （ Ｇ ｓ Ｐ ） ｒ ， ＋ １ ］
的伴 随多项式 的伴随等价 ， 据此讨论 了 ｈ （ Ｇ ｍ （ ｒ ） 类 图簇 的伴 随多项式 的因式分解问题 ，给出并证 明了它们 的补 图的色 等价 图的结构特征．
１ 预 备 知识
引理 ５ ｔ ￣ （ ｉ ） 图 Ｇ与 Ｈ是伴 随等价的 当且仅 当 与 订
式色等价 的 ； （ ｉ ｉ ） 图 Ｇ是伴 随唯一 的当且仅当 色唯一的． 引理 ６ 设Ｓ 。 是ｎ ＋ ｌ 阶的星图， 则ｈ （ Ｓ 叶 ｂ ｘ ） ＝ ｘ ｈ （ ｓ ＋ 】 （ ｒ Ｉ 引理 ７ ［ ７ 】 设 Ｇ是 Ｐ阶连 通的对称 图 ， ｐｉ ＞２ ， Ｐ ≥ｉ ≥１ ；
奇数 ， 并且 ｉ ｎ ， ｎ ∈Ｎ ， ｍ≥１ ， ｎ ≥１ ， 则有
ｈ （ Ｇ Ｓ 伫 ） ＝ ｈ （ ｃ ｓ
１ ） 珊
（ ＿ １ Ｃ ｓ ： ） ｈ （ Ｃ ｓ ） … ｈ （ ｃ ｓ ： ）
引理 ２ ｐ 】 设 图 Ｇ有 ｋ个分 支 Ｇ ， Ｇ ２ ， …， Ｇ 则 ｈ （ Ｇ ， Ｘ ） ＝ ｈ
Ｐ （ Ｇ ， ） ＝ ２ ｂ （ Ｇ ， ｋ ） （ ｋ
ｋ＝ １
（ １ ）
Ｖ ｉ Ｖ ｊ ∈Ｅ （ Ｇ） ； ｒ ≥１ ；
ｎ ＝ ｌ ｖ （ Ｇ ） ｌ ？， 其 中（ ） ＝ （ 一 １ ） （ 一 ２ ） …（ 一 ｋ ＋ １ ） ． 定义 １ ［ ３ １ 设 Ｇ是 ｎ阶图， 则多项式
引理 １ Ｏ 设ｔ ≥１的任意 自然数而 ｑ ≥３ 是给定 的正
称为 图 Ｇ的伴 随多项式并且简记为 ｈ （ Ｇ ） ．
引理 １ ＿ 引 设Ｕ ＶＥＥ ｆ Ｇ １ 且ｕ ｖ不属于 Ｇ的任何三角形 ， 则
ｈ （ Ｇ ， ｘ ） ＝ ｈ （ Ｇ — ｕ ｖ ， ｘ ） ＋ ｘ ｈ （ Ｇ 一 ｛ ｕ ， ｖ ｝ ， ｘ ）
ｈ （ Ｇ ） ＝ ｈ ｒ （ Ｇ … ｈ Ｇ （ ｉ ） ）
＋
引理 ９ 设 ｍ， ｎ ∈Ｎ ， ｍ≥ １ ， ｎ ≥１ ， 则 有
ｈ （ Ｇ ， ｘ ） ＝ ∑Ｎ （ Ｇ ， Ｋ ） ｘ ｋ ｎ ： Ｉ ｖ （ Ｇ ） ｌ
ｋ＝１
（ ２ ）
ｈ （ Ｇ ｓ ） ＝ ｈ （ ｍ ｓ ｎ ） ｈ （ ｃ 。 】 ｌ Ｉ ｊ
Ｖｏ １ ． ２ ９Ｎｏ ． ７
Ｊ ｕ １ ． ２ ０ １ ３
图簇 ｈ （ Ｇ ｍ Ｓ Ｐ （ ｒ） 的伴随多项式的因式分解及其补图的色等价性 ）
宝 音
（ 青海民族 大学 蒙学系，青海
摘
西宁 ８ １ ０ ０ ０ ７ ）
，
要 ：本文利用 图的伴 随多项式的性质及其伴随分解的图论 方法， 讨 论 了ｈ （ Ｇ ｓ Ｐ ） 型 图的伴 随 多项式的 因式分解 进
（ Ｇ － ， ｘ ） ｈ （ Ｇ ｚ ， ｘ ） …ｈ （ Ｇ ｘ ） ．
定义 ２ 设 Ｇ是 Ｐ阶连 通图 ，把 Ｓ 中的第 ｍ个顶 点 分别与图 Ｔ ｒ Ｇ 中的 Ｔ ｒ ｎ Ｇ（ 其中记号及其对应的图簇均见文［ ２ 】 ）
我们仅考 虑简单图 ， 用 ｖ（ Ｇ） 和 Ｅ （ Ｇ） 分 别表示 Ｇ的顶 点集和边集 ， 百表示图 Ｇ的补 图 ， Ｇ Ｌ Ｊ Ｇ ２ 表示 图 Ｇ 。 与Ｇ ２ 和 的点不重并． Ｎ Ｇ表示 Ｎ个 图 Ｇ的点不重 并．未加说 明的记 号和术语 均来 自文ｌ ｌ ＿ ． 设ｐ （ Ｇ， Ａ） 是 图 Ｇ的色多项式 ， 称图Ｇ 与 Ｈ是色 等价 的 ， 若 Ｐ （ Ｇ， ） ＝ Ｐ （ Ｈ， ） ； 称 图 Ｇ是 色唯一 的， 若从 Ｐ （ Ｈ， ） ＝ Ｐ （ Ｇ， ） 推 出图 Ｈ与 Ｇ同构 ， 记为 Ｈ
ｈ （ Ｇ ｔ ＿ ｌ （ ｍ＋ １ ） Ｋ １ ＝ ｈ Ⅱ 卜 （ Ｇ ） ｈ （ ㈣） （ ｍ ｈ （ Ｇ ） ） （ ｍ＋ １ ） Ｋ １ ＝ ｈ （ Ｇ ） ｈ （ ） （ ｍ， Ｐ ）
，
引理 ８
设 Ｇ是 Ｐ阶连 通 的 对 称 图 ， Ｐｔ ＞２ ， Ｐ ≥ｉ ≥１ ；
ｖ ｉ ∈ｖ （ Ｇ ） ； ｒ ≥１ ； ｍ≥２
设 Ｇ是 ｎ阶图， 若图 Ｇ的生成 子图 Ｍ的每个分支都是
完全 图 ， 则称 Ｍ是 Ｇ的理想 子图 ， 用 Ｎ（ Ｇ ， Ｋ ） 表示 图 Ｇ的具
有ｋ 个分 支的理想子图 的个数 ，则 图的色多项式 可 以表示
为［ Ｉ 】 ， 设 Ｇ是 ｎ阶图 ，
而证 明了在不 同条件下这类图的补 图的色等价性．
关键词 ：色多项式 ； 伴随 多项式 ； 因式分解 ； 色等价性
中图 分 类 号 ： ０１ ５ ７ ． ５ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ２ ６ ０ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ７ — ０ ０ ０ １ — ０ ４
第２ ９卷 第 ７期（ 上）
２ ０ １ ３年 ７月
赤 峰 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｉ ｆ ｅ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ｇ．
引理 ３ 圈， 则有
设 Ｐ 和 Ｃ 分别表示 具有 ｎ个 顶点 的路和
㈩ ＝ ｋ ∑ （ ： ｋ ） ｎ ；
（ ｉ ｉ ｃ ＝ ｋ ∑ ｝ （ ： ｋ ） ｎ
引理 ４ 目 设 Ｇ是 任意 图 ， 则 ｈ （ Ｇｔ ＿ ｌ ｋ ， ｘ ） ＝ ｈ （ Ｇ ， ｘ ） ｈ “ （ ｋ ， Ｘ ）
＝ ｘ ａ ｈ （ Ｇ ， ｘ ） ．
本文将 图 Ｇ ０ Ｐ ） 推广 到 ｈ （ Ｇ
＋ １ ］
） ， 并证 明了图簇 ｈ （ Ｇ ｓ Ｐ ） ｒ ， ＋ １ ］
的伴 随多项式 的伴随等价 ， 据此讨论 了 ｈ （ Ｇ ｍ （ ｒ ） 类 图簇 的伴 随多项式 的因式分解问题 ，给出并证 明了它们 的补 图的色 等价 图的结构特征．
１ 预 备 知识
引理 ５ ｔ ￣ （ ｉ ） 图 Ｇ与 Ｈ是伴 随等价的 当且仅 当 与 订
式色等价 的 ； （ ｉ ｉ ） 图 Ｇ是伴 随唯一 的当且仅当 色唯一的． 引理 ６ 设Ｓ 。 是ｎ ＋ ｌ 阶的星图， 则ｈ （ Ｓ 叶 ｂ ｘ ） ＝ ｘ ｈ （ ｓ ＋ 】 （ ｒ Ｉ 引理 ７ ［ ７ 】 设 Ｇ是 Ｐ阶连 通的对称 图 ， ｐｉ ＞２ ， Ｐ ≥ｉ ≥１ ；
奇数 ， 并且 ｉ ｎ ， ｎ ∈Ｎ ， ｍ≥１ ， ｎ ≥１ ， 则有
ｈ （ Ｇ Ｓ 伫 ） ＝ ｈ （ ｃ ｓ
１ ） 珊
（ ＿ １ Ｃ ｓ ： ） ｈ （ Ｃ ｓ ） … ｈ （ ｃ ｓ ： ）
引理 ２ ｐ 】 设 图 Ｇ有 ｋ个分 支 Ｇ ， Ｇ ２ ， …， Ｇ 则 ｈ （ Ｇ ， Ｘ ） ＝ ｈ
Ｐ （ Ｇ ， ） ＝ ２ ｂ （ Ｇ ， ｋ ） （ ｋ
ｋ＝ １
（ １ ）
Ｖ ｉ Ｖ ｊ ∈Ｅ （ Ｇ） ； ｒ ≥１ ；
ｎ ＝ ｌ ｖ （ Ｇ ） ｌ ？， 其 中（ ） ＝ （ 一 １ ） （ 一 ２ ） …（ 一 ｋ ＋ １ ） ． 定义 １ ［ ３ １ 设 Ｇ是 ｎ阶图， 则多项式
引理 １ Ｏ 设ｔ ≥１的任意 自然数而 ｑ ≥３ 是给定 的正
称为 图 Ｇ的伴 随多项式并且简记为 ｈ （ Ｇ ） ．
引理 １ ＿ 引 设Ｕ ＶＥＥ ｆ Ｇ １ 且ｕ ｖ不属于 Ｇ的任何三角形 ， 则
ｈ （ Ｇ ， ｘ ） ＝ ｈ （ Ｇ — ｕ ｖ ， ｘ ） ＋ ｘ ｈ （ Ｇ 一 ｛ ｕ ， ｖ ｝ ， ｘ ）
ｈ （ Ｇ ） ＝ ｈ ｒ （ Ｇ … ｈ Ｇ （ ｉ ） ）
＋
引理 ９ 设 ｍ， ｎ ∈Ｎ ， ｍ≥ １ ， ｎ ≥１ ， 则 有
ｈ （ Ｇ ， ｘ ） ＝ ∑Ｎ （ Ｇ ， Ｋ ） ｘ ｋ ｎ ： Ｉ ｖ （ Ｇ ） ｌ
ｋ＝１
（ ２ ）
ｈ （ Ｇ ｓ ） ＝ ｈ （ ｍ ｓ ｎ ） ｈ （ ｃ 。 】 ｌ Ｉ ｊ
Ｖｏ １ ． ２ ９Ｎｏ ． ７
Ｊ ｕ １ ． ２ ０ １ ３
图簇 ｈ （ Ｇ ｍ Ｓ Ｐ （ ｒ） 的伴随多项式的因式分解及其补图的色等价性 ）
宝 音
（ 青海民族 大学 蒙学系，青海
摘
西宁 ８ １ ０ ０ ０ ７ ）
，
要 ：本文利用 图的伴 随多项式的性质及其伴随分解的图论 方法， 讨 论 了ｈ （ Ｇ ｓ Ｐ ） 型 图的伴 随 多项式的 因式分解 进
（ Ｇ － ， ｘ ） ｈ （ Ｇ ｚ ， ｘ ） …ｈ （ Ｇ ｘ ） ．
定义 ２ 设 Ｇ是 Ｐ阶连 通图 ，把 Ｓ 中的第 ｍ个顶 点 分别与图 Ｔ ｒ Ｇ 中的 Ｔ ｒ ｎ Ｇ（ 其中记号及其对应的图簇均见文［ ２ 】 ）
我们仅考 虑简单图 ， 用 ｖ（ Ｇ） 和 Ｅ （ Ｇ） 分 别表示 Ｇ的顶 点集和边集 ， 百表示图 Ｇ的补 图 ， Ｇ Ｌ Ｊ Ｇ ２ 表示 图 Ｇ 。 与Ｇ ２ 和 的点不重并． Ｎ Ｇ表示 Ｎ个 图 Ｇ的点不重 并．未加说 明的记 号和术语 均来 自文ｌ ｌ ＿ ． 设ｐ （ Ｇ， Ａ） 是 图 Ｇ的色多项式 ， 称图Ｇ 与 Ｈ是色 等价 的 ， 若 Ｐ （ Ｇ， ） ＝ Ｐ （ Ｈ， ） ； 称 图 Ｇ是 色唯一 的， 若从 Ｐ （ Ｈ， ） ＝ Ｐ （ Ｇ， ） 推 出图 Ｈ与 Ｇ同构 ， 记为 Ｈ