高一数学2.3幂函数

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高一数学上册幂函数知识点

高一数学上册幂函数知识点幂函数是一种常见的函数形式，由于其在数学和实际问题中的广泛应用，掌握幂函数的知识点对高一学生来说至关重要。

本文将介绍高一数学上册幂函数的主要知识点，包括定义、性质以及解题方法等。

1. 幂函数的定义幂函数是指形如f(x) = x^a的函数，其中a为常数，x为自变量。

在幂函数中，底数x通常为正实数，指数a可以是正数、负数或零。

2. 幂函数的图像与性质（1）当指数a为正数时，幂函数的图像呈现递增的趋势。

若指数a大于1，则曲线斜率较大；若指数a介于0到1之间，则曲线斜率较小。

（2）当指数a为负数时，幂函数的图像呈现递减的趋势。

（3）当指数a为零时，幂函数的图像为一条水平直线。

3. 幂函数的基本性质（1）定义域：对于幂函数f(x) = x^a，其定义域为所有使得x^a有意义的实数x。

（2）值域：幂函数值域的范围可以是整个实数轴，或者是一个区间，具体取决于底数的正负和指数的奇偶性。

（3）对称性：当指数a为奇数时，幂函数关于原点对称；当指数a为偶数且底数x为正数时，幂函数关于y轴对称。

4. 幂函数的运算法则（1）幂函数的加法：若f(x) = x^a 和 g(x) = x^b 为幂函数，则它们的和函数是h(x) = x^a + x^b。

（2）幂函数的乘法：若f(x) = x^a 和 g(x) = x^b 为幂函数，则它们的乘积函数是h(x) = (x^a)(x^b) = x^(a+b)。

（3）幂函数的倒数：若f(x) = x^a 为幂函数，则其倒数函数是g(x) = 1/f(x) = 1/(x^a) = x^(-a)。

5. 幂函数的解题方法（1）求函数的定义域：根据幂函数的定义，求解所有使得x^a 有意义的实数x即可得到函数的定义域。

（2）求函数的值域：根据底数的正负和指数的奇偶性，可以确定函数的值域范围。

（3）求函数的性质与图像：通过计算函数的导数、二阶导数等信息，可以推断函数的增减性、凹凸性和图像的特征。

高一数学知识点：幂函数知识点_知识点总结

高一数学知识点：幂函数知识点_知识点总结在高一数学的学习中，幂函数是一个重要的知识点。

它不仅在数学理论中有着关键的地位，也在解决实际问题中发挥着重要作用。

接下来，让我们一起深入了解幂函数的相关知识。

一、幂函数的定义一般地，形如\（y ＝x^α\）（＼（α\）为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

这里需要注意的是，＼（α\）可以是有理数，也可以是无理数。

例如，＼（y ＝ x^2\），＼（y ＝ x^｛＼frac{1}｛2}｝＼），＼（y ＝ x^｛ 1}＼）等都是幂函数。

二、幂函数的图像幂函数的图像因其指数\（α\）的不同而具有不同的特征。

当\（α ＞ 0\）时：1、＼（α ＞ 1\）函数\（y ＝x^α\）在\（0, ＋∞）＼）上单调递增，且增长速度越来越快；在\（（∞， 0)＼）上函数无定义。

其图像类似于“一撇”，经过点\（（1, 1)＼）和\（（0, 0)＼）。

2、＼（0 ＜α ＜ 1\）函数\（y ＝x^α\）在\（0, ＋∞）＼）上单调递增，且增长速度越来越慢；在\（（∞，0)＼）上函数无定义。

其图像类似于“上凸”的曲线，经过点\（（1, 1)＼）和\（（0, 0)＼）。

当\（α ＜ 0\）时：函数\（y ＝x^α\）在\（（0, ＋∞）＼）上单调递减，且曲线向\（x\）轴、＼（y\）轴无限接近，但永不相交。

在\（（∞， 0)＼）上函数无定义。

其图像类似于“下凸”的曲线，经过点\（（1, 1)＼）。

特别地，当\（α ＝ 0\）时，函数\（y ＝ x^0 ＝ 1\）（＼（x ≠0\）），是一条平行于\（x\）轴的直线（去掉点\（（0, 1)＼））。

三、幂函数的性质1、定义域幂函数的定义域与其指数\（α\）有关。

当\（α\）为正整数时，定义域为\（R\）；当\（α\）为分数时，要考虑分母的奇偶性以及根号下式子的非负性来确定定义域。

2、值域幂函数的值域也与指数\（α\）有关。

高一数学《幂函数》PPT课件

根据n, m, p的取值不同，图像形状各异。
03
幂函数运算规则与技巧
同底数幂相乘除法则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变，指数相加。公式：a^m × a^n = a^(m+n)
同底数幂相除
底数不变，指数相减。公式：a^m ÷ a^n = a^(m-n)
举例
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7；3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3^3
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
计算圆的面积
$S=pi r^2$，$r$为圆半径，利用幂函数表示圆的面积与半径关系。
增长率、衰减率问题中应用
细菌增长模型
假设细菌以固定比例增长，则细菌数量与时间关系可用幂函数表
示。
放射性物质衰变
放射性物质衰变速度与剩余质量之间的关系可用幂函数描述。
投资回报计算
投资回报率与时间关系可用幂函数表达，用于预测未来收益。
利用积的乘方法则进行化简
如(ab)^n = a^n × b^n
举例
化简(x^2y)^3 ÷ (xy^2)^2，结果为x^4y
04
幂函数在生活中的应用举例
面积、体积计算中应用
计算正方形面积
$S=a^2$，其中$a$为正方形边长，利用幂函数表示面积与边长关系。

高一数学幂函数知识点归纳大全

高一数学幂函数知识点归纳大全在高一数学学科中，幂函数是重要的一个知识点。

幂函数是指形如y = ax^n的函数，其中a和n是实数，且a≠0，n≠0。

一、幂函数的定义及性质幂函数的定义就是函数的定义，即y = ax^n，其中a称为幂函数的底数，n称为指数。

幂函数的性质有以下几点：1. 当n为正整数时，幂函数表示乘方运算，例如y = 2x^3表示x的3次方。

2. 当n为负整数时，幂函数表示倒数，例如y = 2x^-2表示x的倒数的平方。

3. 当n为分数时，幂函数表示根式，例如y = 2x^(1/2)表示x的平方根。

4. 当n为零时，幂函数表示常数函数，即y = a，其中a为常数。

二、幂函数图像特征1. 当a>0且n为正偶数时，幂函数的图像开口向上，且对称于y轴。

2. 当a>0且n为正奇数时，幂函数的图像开口向上，且不对称于y 轴。

3. 当a<0且n为正偶数时，幂函数的图像开口向下，且对称于y轴。

4. 当a<0且n为正奇数时，幂函数的图像开口向下，且不对称于y 轴。

三、幂函数的变换幂函数可以通过平移、伸缩、翻转等变换得到其他函数形式。

1. 平移：平移是指将函数的图像沿x轴或y轴方向上下左右移动。

例如，对于函数y = 2x^3，将x坐标减2，可以得到y = 2(x-2)^3，实现了向右平移2个单位。

2. 伸缩：伸缩是指将函数的图像沿x轴或y轴方向上下左右拉长或缩短。

例如，对于函数y = 2x^3，将x坐标扩大为原来的2倍，可以得到y = 2(2x)^3，实现了横向的伸缩。

3. 翻转：翻转是指将函数的图像沿x轴或y轴方向上下左右翻转。

例如，对于函数y = 2x^3，将函数的图像上下翻转，可以得到y = -2x^3，实现了关于x轴的翻转。

四、幂函数的应用1. 金融领域：在复利计算中，幂函数常被用于计算投资收益和贷款利息。

2. 自然科学领域：幂函数经常出现在自然界的现象中，如物体的自由落体运动中，下落距离与时间的关系可以用幂函数表示。

幂函数知识点高一必修一

幂函数知识点高一必修一幂函数是高中数学中的一个重要概念，它在解决实际问题和理论推导中都有广泛应用。

在高一必修一的数学课程中，学生将首次接触到幂函数的概念和相关知识。

本文将从定义、性质、图像和应用等方面进行介绍，帮助学生更好地理解和掌握幂函数。

一、幂函数的定义幂函数是形如$f(x)=x^a$的函数，其中$x$是自变量，$a$是常数且$a$可以为有理数、整数或实数。

当$a$为有理数时，幂函数的定义域是实数集；当$a$为整数时，幂函数的定义域可以是正实数集、负实数集或者零；当$a$为实数时，幂函数的定义域可以是正实数集和零集。

二、幂函数的性质1. 定义域：幂函数的定义域取决于指数的取值范围，通常为实数集或者特定的数集。

2. 奇偶性：当指数$a$为整数且为偶数时，幂函数是偶函数；当指数$a$为整数且为奇数时，幂函数是奇函数；当指数$a$为实数且为非整数时，幂函数既不是奇函数也不是偶函数。

3. 单调性：当指数$a>0$时，幂函数是增函数；当指数$a<0$时，幂函数是减函数。

4. 对称轴：当指数$a$为整数且为偶数时，幂函数的对称轴为$y$轴；当指数$a$为整数且为奇数时，幂函数没有对称轴。

三、幂函数的图像根据幂函数的性质可以推断出其图像的一些特点。

1. 当指数$a>1$时，幂函数的图像在原点左侧逐渐趋近于$x$轴且斜率逐渐增大；在原点右侧逐渐上升但斜率趋于0。

2. 当指数$a=1$时，幂函数的图像为直线$y=x$。

3. 当指数$0<a<1$时，幂函数的图像在整个定义域上单调递减，并且在$x$轴上趋于无穷。

4. 当指数$a=0$时，幂函数的图像为常数函数$y=1$。

5. 当指数$a<0$时，幂函数的图像在整个定义域上单调递减，但在$x$轴右侧逐渐趋近于0。

综上所述，幂函数的图像呈现出不同的形态和趋势，具体取决于指数的取值范围。

四、幂函数的应用幂函数在实际问题中有广泛的应用，尤其在自然科学和工程技术领域。

高一数学人必修件第三章幂函数

分式型幂函数
要点一
函数形式
$y = x^a/b$ 或 $y = a/(x^b)$，其中 $b neq 0$
要点二
图像特点
根据 $a$ 和 $b$ 的取值不同，图像可能呈现出不同的形状和特点
要点三
性质
分式型幂函数的性质比较复杂，与 $a$ 和 $b$ 的取值密切相关。一般来说，当 $b > 0$ 时，函数图像在 $x > 0$ 和 $x < 0$ 的区域内分别单调递增或递减；当 $b < 0$ 时，函数图像在 $x > 0$ 和 $x < 0$ 的区域内分别单调递减或递增。此外，分式型幂函数可能具有渐近线、拐点等特性。
。
易错点二
混淆幂的运算性质。在运用幂的运算性质时，需特别注意底数和指数的变化规律，避免出现混淆
。
避免逐步推导求解。同时，多做相关练习题，加深对知识点的
理解和记忆。
拓展延伸：多元幂函数初步了解
多元幂函数的定义
形如$z=x^ay^b$（$a,b$为常数）的函数称为二元幂函数。类似地，可以定义三元及更多元的幂函数。
三次幂函数
函数形式
$y = ax^3$，其中 $a neq 0$
图像特点
一个关于原点对称的曲线
性质
比例系数 $a$ 决定了曲线的形状和走向，当 $a > 0$ 时，函数在整个定义域内单调递增；当 $a < 0$ 时，函数在整个定义域内单调递减。此外，三次幂函数具有拐点，即函数图像从凹到凸或从凸到凹的点。
指数型幂函数与对数的关系体现在：当且仅当a>1时，函数y=a^x在定义域内单调增加；当0<a<1时，函数y=a^x在定义域内单调减少。

高一必修一幂函数的知识点

高一必修一幂函数的知识点高一必修一：幂函数的知识点高一数学课程中，幂函数是一个重要的学习内容。

幂函数是一种常见的函数形式，在生活和工作中有广泛的应用。

幂函数的研究是数学中的重要课题，掌握了幂函数的知识，对于理解数学的其他分支，如微积分等，具有重要的意义。

本文将重点介绍高一必修一中幂函数的知识点，帮助同学们更好地理解和应用幂函数。

一、幂函数的定义和性质幂函数是形如y = ax^n (a ≠ 0, n为整数)的函数，其中a称为底数，n称为指数。

幂函数的图象一般呈现出曲线的形式，其性质包括：1. 定义域和值域：当指数n为正整数时，定义域为全体实数集，值域为(0, +∞)；当指数n为负整数时，定义域为非零实数集，值域为(0, +∞)与(-∞, 0)的并集，并具有一至多个零点；当指数n为零时，定义域为整个实数集，值域为{1}。

2. 奇偶性：当指数n为奇数时，幂函数关于y轴对称；当指数n为偶数时，幂函数关于原点对称。

3. 单调性：当指数n为正数时，幂函数在整个定义域上是递增的；当指数n为负数时，幂函数在定义域的两侧是递减的。

4. 极限性质：当x无限趋近于正无穷时，幂函数的值也趋近于正无穷；当x无限趋近于负无穷时，幂函数的值的符号取决于指数的奇偶性。

二、幂函数与图像的关系幂函数的图像是通过对幂函数的底数进行相同倍数的拉伸或压缩得到的。

具体来说，我们可以通过以下几个方面了解幂函数与图像的关系。

1. 底数a的变化对图像的影响：当底数a大于1时，幂函数的图像被压缩，曲线变得更陡峭；当底数a小于1时，幂函数的图像被拉伸，曲线变得更平缓。

2. 指数n的变化对图像的影响：当指数n为正数时，幂函数的图像在y轴上方增长，形成上升的曲线；当指数n为负数时，幂函数的图像在y轴下方增长，形成下降的曲线。

3. 圆形与直线的比较：幂函数的图像与圆的曲线相似，但在其特定区间内，幂函数的图像会出现与直线相切的情况，这时幂函数的曲线呈现出直线的性质。

高一幂函数

高一幂函数幂函数是数学中常见的一种函数形式，其表达式可以写作f(x) = x^n，其中n为指数，也可以是整数、分数或负数。

在高一阶段，我们将会学习到一些关于幂函数的基本性质和应用。

一、幂函数的定义与性质幂函数的定义域一般为实数集R，即所有实数x都可以作为幂函数的自变量。

而幂函数的值域则取决于指数n的奇偶性。

当n为奇数时，幂函数的值域也为实数集R；当n为偶数时，幂函数的值域则为非负实数集[0, +∞)。

幂函数的图像特点也与指数n的奇偶性密切相关。

当n为正整数时，幂函数的图像呈现出单调递增或单调递减的特点，且经过原点(0,0)；当n为负整数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上单调递增，而在第二象限和第四象限上单调递减；当n为分数时，幂函数的图像则具有更加复杂的形状。

二、幂函数的应用1. 金融领域中的利息计算在金融领域中，我们常常会遇到复利计算的问题。

而复利计算中的利息增长往往可以用幂函数来表示。

例如，如果我们存款10000元，年利率为5%，那么每年的本息总额可以表示为f(n) =10000*(1+0.05)^n，其中n表示存款的年限。

通过计算幂函数的值，我们可以得到每年的本息总额。

2. 自然科学中的物理规律在自然科学的研究中，我们经常会遇到一些与幂函数相关的物理规律。

例如，牛顿的万有引力定律就是一个幂函数的应用。

该定律表明，两个物体之间的引力与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。

这可以用幂函数来表示为f(r) = G*m1*m2/r^2，其中G为万有引力常数，m1和m2分别为两个物体的质量，r为它们之间的距离。

通过计算幂函数的值，我们可以得到它们之间的引力大小。

3. 经济学中的增长模型在经济学研究中，幂函数也被广泛应用于描述经济增长模型。

例如，柯布-道格拉斯生产函数就是一种幂函数模型，用于描述劳动力和资本对产出的贡献。

该模型可以表示为Y = A*K^α*L^β，其中Y表示产出，A表示全要素生产率，K表示资本，L表示劳动力，α和β分别为资本和劳动力的弹性系数。

2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数课件新人教A版必修1

(A)2
(B)1
(C) 1 2
(D)0
解析:(1)因为函数 f(x)=ax2a+1+b+1 是幂函数,
所以
a b
1, 1
0,
即
a b

1, 1,
所以 a+b=0,故选 D.
(2)(2018·福建龙岩期中)若函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且图象与坐
标轴无交点,则f(x)( )
.
24
解析:(2)因为幂函数 f(x)=xa 的图象过点( 1 , 1 ), 24
所以( 1 )a= 1 ,解得 a=2, 24
所以 loga8=log28=3. 答案:(2)3
题型二幂函数的图象 [例 2] (1)与下列幂函数对应的图象序号正确的一组是( )
a.y=x5;b.y=
x
4 3
;c.y=
(A)是偶函数
(B)是奇函数
(C)是单调递减函数 (D)在定义域内有最小值
解析:(2)幂函数f(x)=(m2-m-1)xm的图象与坐标轴无交点,可得m2-m1=1,且m≤0,解得m=-1,则函数f(x)=x-1,所以函数是奇函数,在定义域上不是减函数,且无最值,故选B.
易错警示
(1)幂函数解析式的结构特征:①解析式是单项式;②幂指数为常数, 底数为自变量,系数为1. (2)幂函数y=xα的图象与坐标轴无交点,则α≤0,而不是α<0.
3
2
(4)4. 15
,3.

8
2 3
和(-1.9)
3 5
.
2
2
解:(4)因为幂函数 y= x 5 在(0,+∞)上为增函数,且 4.1>1,所以 4.15 >1,

高一数学知识点幂函数

高一数学知识点幂函数幂函数是数学中的一种基本函数，也是高一数学中的重要内容。

幂函数的定义可以简单地表示为f(x) = x^a，其中，a为实数且不为零。

在这个函数中，x为自变量，a为幂指数，f(x)为因变量。

幂函数的图像表现出不同的特征，这取决于幂指数a的值。

当a为正数时，幂函数的图像呈现上升的形态，随着自变量x的增加，因变量f(x)也随之增加。

当a为负数时，幂函数的图像则呈现下降的形态，随着自变量x的增加，因变量f(x)逐渐减小。

当a为零时，幂函数的图像则变为一条水平的直线。

幂函数还具备以下几个重要的性质：对称性、单调性、奇偶性和最值。

首先，幂函数具有对称性。

在幂函数f(x) = x^a中，如果幂指数a是一个偶数，则函数的图像关于y轴对称；如果幂指数a是一个奇数，则函数的图像关于原点对称。

其次，幂函数具有单调性。

当幂指数a是正数时，幂函数是递增的，即当x1 < x2时，f(x1) < f(x2)；当幂指数a是负数时，幂函数是递减的，即当x1 < x2时，f(x1) > f(x2)。

再次，幂函数具有奇偶性。

当幂数a是偶数时，幂函数是偶函数，即f(x) = f(-x)；当幂数a是奇数时，幂函数是奇函数，即f(x) = -f(-x)。

最后，幂函数具有最值。

当幂指数a为正时，幂函数的最小值发生在自变量x = 0的位置；当幂指数a为负时，幂函数的最大值也发生在自变量x = 0的位置。

幂函数在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在物理中，强度随距离变化的关系可以用幂函数来表示；在经济学中，成本随产量变化的关系也可以用幂函数来描述。

在高一的学习中，同学们不仅需要掌握幂函数的定义以及图像特征，还需要能够应用幂函数解决实际问题。

因此，对幂函数的深入理解和运用至关重要。

通过对幂函数的学习和掌握，我们能够更好地理解数学中的指数运算及其应用。

同时，幂函数也为我们打开了更广阔的数学世界的大门，为我们理解和掌握更高级的函数提供了基础。

高一第一册数学(2.3)

设x∈R，求函数y=x（4－x）的最大值。
2.3（1）平均值不等式及其应用
习题

设a、b为正数，且a＋2b=1，比较ab与的值的大小。
2.3（1）平均值不等式及其应用
习题
证明：
（1）周长为常数的所有矩形中正方形的面积最大。
（2）面积相同的所有矩形中正方形的周长最小。
2.3（1）平均值不等式及其应用
表示两点A与B、A与C、C与B之间的距离。
这个事实是下述不等式称为三角不等式的来源。
定理
对任意的实数a、b，有
|a＋b|≤|a|＋|b|，
且等号当且仅当ab≥0时成立。
2.3（2）三角不等式
习题
设a、b为实数，求证：|a＋b|＋|a－b|≥2|a|。
2.3（2）三角不等式
习题
设a、b为实数，求证|a|－|b|≤|a－b|，并指出等号成立的条件。
2022
高一数学第一册
第1章
集合与逻辑
第2章
等式与不等式
第3章
幂、指数与对数
第4章
幂函数、指数函
数与对数函数
第5章
函数的概念、性
质及应用
第2章等式与不等式
2.3 基本不等式及其应用
2.3（1）平均值不等式及其应用
（2）三角不等式
2.3（1）平均值不等式及其应用
定义
对于正数a、b，称
a＋b
是a，b的算术平均值，
习题

设x＞0，证明x＋x ≥2，并指出等号成立条件。
2.3（1）平均值不等式及其应用
习题
b
a
设ab＞0，证明 a＋ b≥2，并指出等号成立的条件。
2.3（1）平均值不等式及其应用

高中数学2.3幂函数 (2)

α 为指数底数
y 幂值幂值
知识点2 幂函数的图象及性质观察图形,回答下列问题:
问题1:观察上述图象.在第一象限,它们有何特点? 问题2:这些图象有何对称性?奇偶性如何?
【总结提升】 1.幂函数y=xα 在第一象限内的图象特征 (1)指数大于1,在第一象限为抛物线型(下凸). (2)指数等于1,在第一象限为上升的射线(去掉端点). (3)指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(上凸). (4)指数等于0,在第一象限为水平的射线(去掉端点). (5)指数小于0,在第一象限为双曲线型.
2.3 幂函数
【知识提炼】 1.幂函数的概念函数_y_=_x_α_叫做幂函数,其中自变量是_x_,_α__是常数.
2.幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象:
(2)幂函数的性质:
幂函数 y=x
y=x2
y=x3
1
y x2
y=x-1
定义域 _R_
_R_
_R_ [_0_,_+_∞__)__ _(_-_∞__,_0_)_∪__(_0_,_+_∞__)_
3.如图,图中曲线是幂函数f(x)=xα 在第一象限内的大致图象,已知
α
取-2,-
1,
2
1 2
,2四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的α
的值依次
为
.
【解题探究】1.典例1中的函数y=
m
xn
的定义域和值域分别是什么?
提示:由图象可以看出,定义域是全体实数,而值域是非负数,由此可得
m是偶数,n是奇数.
53
5
3
(2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的，
又 2 3，所以( 2)1 ( 3)1.

高一数学必修1 幂函数-ppt

(1,1)
(1,1)
知识应用：
例2.比较下列各组数的大小：解后反思
1
1
< (1)1.32 ____1.4 2
(2)0.26 1 _>____ 0.27 1 (3)(5.2)2 _>____(5.3)2
两个数比较大小时，何时用幂函数模型，何时用指数函数模型？
1
(4)0.7 2 __>___ 0.72
例3、证明幂函数 f (x) x 在[0,+∞)上是增函数．
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
(
x1
x2 )( x1
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因为x1 x2 0, x1 x2 0,
除了作差，还有没有其它方
另附：
y x
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
α>1
0<α<1
α<0
2
4
-2
-1
y=f(x)
1.5 1
0.5
- 0.5 -1
- 1.5 -2 3
2.5 2
1.5 1
y=x3
1
2
3
y=x2
3
2 y=x-1
1
-4
-2
-1
-2
-3 6
2
4
6
5
4
3 y=x -2
2
0.5 1
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2.若幂函数y＝f(x)的图象经过点(3, 27 )

高中数学 2.3幂函数检测题(含解析)新人教版必修1-新人教版高一必修1数学试题

2.3 幂函数一、填空题1.在函数222123y y x y x x y x x=,=,=+,=中,幂函数的个数为_______个. 解析显然,根据幂函数定义可知,只有21y x=是幂函数. 答案 12. 在幂函数y ＝x 4，y ＝x 14，y ＝x －3，y ＝x －12，y ＝x －2中，是奇函数的有____________；是偶函数的是____________；没有奇偶性的是________．解析由幂函数的性质容易得出答案.答案 y ＝x －3y ＝x 4；y ＝x －2y ＝x 14；y ＝x －123.设a =0.1270b ,=.128c ,=log 30.7,则a ，b ，c 的大小关系是________．解析∵幂函数12y x =在(0),+∞上是增函数,∴0<a <b .∵log 30.7<0,∴c <a <b .答案 c <a <b4．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________. 解析 ∵f (x )＝k ·x α是幂函数，∴k ＝1.又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12.∴k ＋α＝1＋12＝32. 答案 325．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为________．解析当α＝1,3时，y ＝x α的定义域为R 且为奇函数，符合要求；当α＝－1时，y ＝1x的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，不符合要求；当α＝12时，y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，不符合要求．答案 1,36．已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g (x )的图象上，则f (2)＋g (－1)＝________.解析设f (x )＝x m ，g (x )＝x n ，则由2＝(2)m 得m ＝2，由14＝(－2)n ，得n ＝－2，所以f (2)＋g (－1)＝22＋(－1)－2＝5.答案 57.幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为________．解析由m 2－2m －3＜0，得－1＜m ＜3，又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2.∵m 2－2m －3为偶数，经验证m ＝1符合题意．答案 18.已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.解析由题意，设y ＝f (x )＝x α，，则2＝(2)α，得α＝2，设y ＝g (x )＝x β，则12＝(－2)β，得β＝－2，由f (x )＝g (x )，即x 2＝x －2，解得x ＝±1.答案 ±19．给出关于幂函数的以下说法：①幂函数的图象都经过(1,1)点；②幂函数的图象都经过(0,0)点；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；④幂函数的图象不可能经过第四象限；⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数．其中正确的说法有________．解析命题①显然正确；只有当α>0时幂函数的图象才能经过原点(0,0)，若α<0，则幂函数的图象不过原点，故命题②错误；函数y ＝x 12就是一个非奇非偶函数，故命题③错误；由于在y ＝x α(α∈R )中，只要x >0，必有y >0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故命题④正确，命题⑤也正确；幂函数y ＝x 3在(－∞，0)上是递增函数，故命题⑥错误．因此正确的说法有①④⑤.答案 ①④⑤10 .若1122(1)(32)a a --+<-,则a 的取值X 围是. 解析令12()f x x -=,则f (x )在(0),+∞上是减函数,故得10320132a a a a +>,⎧⎪->,⎨⎪+>-,⎩解得3232a <<. 答案32()32, 11．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，函数y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n ＞0时是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n ＜0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的是________．解析幂函数y ＝x n ，当n <0时，不过(0,0)点，①错误；当n ＝0时，y ＝x n 中x ≠0，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，(0，＋∞)上是增函数，④错．答案 ②⑤12.若函数f (x )=1212020(3)0x x x x x -⎧,>,⎪⎪-,=,⎨⎪⎪+,<,⎩则f (f (f (0)))=.解析f (f (f (0)))=f (f (-2))=f (12(23)-+)12(1)11f -===.答案113．设函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增函数，则实数a 的取值X 围是________．解析 a ＝0显然成立．a ≠0时，二次函数对称轴为x ＝－1a ，所以a ＜0且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0，综上，得－14≤a ≤0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 二、解答题14．幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不经过原点，某某数m 的值．解析因为函数是幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，∴m 2－3m ＋2＝0，∴m ＝1或m ＝2.当m ＝1或m ＝2时，函数的图象都不经过原点，所以m ＝1或m ＝2.15.方程2210mx mx ++=有一根大于1,另一根小于1,某某数m 的取值X 围.解析:令2()21f x mx mx =++,当m >0时,f (1)=3m +1<0,即13m <-,舍去. 当m <0时,3m +1>0,即13m >-. ∴103m -<<. 16．已知函数y ＝415－2x －x 2.(1)求函数的定义域、值域；(2)判断函数的奇偶性；(3)求函数的单调区间．解析这是复合函数问题，利用换元法．令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t .(1)由15－2x －x 2≥0，得－5≤x ≤3，故函数的定义域为[－5,3]，∴t ＝16－(x ＋1)2∈[0,16]，∴函数的值域为[0,2]．(2)∵函数的定义域为[－5,3]，不关于原点对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．(3)∵函数的定义域为[－5,3]，对称轴为x ＝－1，∴x ∈[－5，－1]时，t 随x 的增大而增大；x ∈(－1,3]时，t 随x 的增大而减小．又∵函数y ＝4t 在t ∈[0,16]时，y 随t 的增大而增大，∴函数y ＝415－2x －x 2的单调增区间为[－5，－1]，单调减区间为(－1,3]．17.不等式2(2)2(2)a x a -+-x -4<0对一切x ∈R 恒成立,求a 的取值X 围是. 解析当a -2=0,即a =2时,-4<0恒成立;当20a -≠时,2204(2)16(2)0a a a -<,⎧⎨∆=-+-<,⎩解之得-2<a <2.∴a 的取值X 围是22a -<≤.18．f (x )＝－x 2＋ax ＋12－a 4在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值．解析 f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋12－a 4＋a 24. ①当a 2∈[0,1]，即0≤a ≤2时，f (x )max ＝12－a 4＋a 24＝2，则a ＝3或a ＝－2，不合题意． ②当a 2＞1时，即a ＞2时，f (x )max ＝f (1)＝2⇒a ＝103.③当a 2＜0时，即a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝2⇒a ＝－6. 综上，f (x )在区间[0,1]上的最大值为2时a ＝103或－6.。

高一数学知识点幂函数知识点知识点总结

高一数学知识点幂函数知识点知识点总结高一数学知识点─ 幂函数知识点总结幂函数是数学中的一种基本函数类型，在高一数学课程中占据重要地位。

幂函数的表达形式为$f(x) = ax^b$，其中$a$和$b$为常数（$a \neq 0$）。

一、幂函数的定义域和值域幂函数$f(x) = ax^b$的定义域为实数集，即$(-\infty, +\infty)$。

幂函数的值域则取决于$a$和$b$的取值范围。

当$b > 0$时，幂函数的值域为$(0, +\infty)$。

此时，函数图像从第三象限逐渐上升到第一象限。

当$b < 0$时，幂函数的值域为$(-\infty, 0)$。

此时，函数图像从第一象限逐渐下降到第三象限。

二、幂函数的对称性幂函数的对称性可以分为以下两种情况：1. 当$b$为偶数时，幂函数$f(x) = ax^b$关于$y$轴对称。

即对于任意$x$都有$f(-x) = f(x)$。

2. 当$b$为奇数时，幂函数$f(x) = ax^b$关于原点对称。

即对于任意$x$都有$f(-x) = -f(x)$。

三、幂函数的增减性与极值幂函数$f(x) = ax^b$的增减性与$b$的正负性相关。

1. 当$b > 0$时，幂函数在定义域上是递增函数。

随着$x$的增大，函数值也随之增大。

2. 当$b < 0$时，幂函数在定义域上是递减函数。

随着$x$的增大，函数值反而减小。

对于幂函数$f(x) = ax^b$而言，只有$b > 0$且$a > 0$时，才会存在极大值；只有$b < 0$且$a < 0$时，才会存在极小值。

四、幂函数的图像特征对于幂函数$f(x) = ax^b$，根据参数$a$和$b$的取值范围，其图像可以表现出不同的特征。

1. 当$a > 0$，$b > 1$时，函数图像呈现上升的指数形态。

2. 当$a < 0$，$b > 1$时，函数图像呈现下降的指数形态。

高一数学知识点幂函数知识点总结

高一数学知识点幂函数知识点总结幂函数是数学中的一种基本函数形式，它的形式为f(x) = x^a，其中a为常数。

在高一数学中，学习幂函数是非常重要的一部分，本文将对高一数学知识点中的幂函数进行总结和归纳。

一、幂函数的定义和性质幂函数可用 y = x^a 表示，其中a为常数。

以下是幂函数的一些基本性质：1. 自变量的取值范围：幂函数的自变量x可以是任意实数。

当a为正偶数时，幂函数定义域为正实数集；当a为负偶数时，幂函数定义域为负实数集；当a为奇数时，幂函数的定义域为全体实数集。

2. 定义域和值域：因为幂函数的定义域为全体实数集，所以其值域也是全体实数集。

3. 奇偶性：当a为正偶数时，幂函数是偶函数；当a为负偶数时，幂函数是奇函数；当a为奇数时，幂函数既不是偶函数也不是奇函数。

4. 单调性：若a>0，则幂函数在定义域上是递增函数；若a<0，则幂函数在定义域上是递减函数。

5. 图像特点：幂函数的图像一般存在一个不可见的特殊点(0,0)，当a>0时，图像在第一象限中单调递增，通过点(1,1)；当a<0时，图像在第四象限中单调递增，通过点(1,1)；当a为负偶数时，图像经过点(-1,1)。

二、幂函数的图像与变换1. 幂函数的基本图像：以y = x^2为例，当x取非负实数时，幂函数是递增曲线，在定义域上图像呈现开口向上的抛物线；当x取负实数时，幂函数的图像和x轴关于y轴对称。

2. 幂函数的图像平移：对于幂函数y = x^a，其中a为常数，在x轴向右平移c个单位长度的函数为y = (x-c)^a，表示为：f(x) --> f(x+c)。

3. 幂函数的图像伸缩：对于幂函数y = x^a，其中a为正常数，可以进行垂直方向的伸缩，即在y轴方向上缩放一定倍数。

若倍数k > 1，函数为y = kx^a；若0 < k < 1，函数为y = kx^a。

三、幂函数与指数函数的关系指数函数与幂函数是密切相关的，两者具有相似的性质。