天津市第一中学届高三数学上学期第二次月考试卷文(含解析)【含答案】

2015-2016学年天津一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（）
A．﹣B．C．2 D．1
2．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）
A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1
C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1
3．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
4．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）
A．8 B．4 C．1 D．
5．在△ABC中，若，则△ABC是（）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形
6．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
7．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n=a n+1﹣a n（n∈N*）．若则b2=﹣4，b5=2，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．11
8．已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有，则函数的零点个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
11．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n= ．
12．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），则λ= ．
13．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且
=， =，则•的值为．
14．设a+b=2，b＞0，则的最小值为．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供75g的碳水化合物，60g的蛋白质，60g的脂肪，100g食物A含有12g的碳水化合物，8g的蛋白质，16g的脂肪，花费3元；而100g食物B含有12g的碳水化合物，16g的蛋白质，8g的脂肪，花费4元．
（Ⅰ）根据已知数据填写下表：
（Ⅱ）列车每天食用食物A和食物B所满足的不等式组；
（Ⅲ）为了满足营养学家指出的日常饮食要求，并且花费最低，每天需要食用食物A和食物B个多少g？
16．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC 的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求BE与平面PAC所成的角．
18．设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）
（Ⅰ）证明：数列{b n}为等比数列；
（Ⅱ）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n2}的前n项和S n．
19．已知数列{a n}中，a1=a，a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，且2S n=n（3a1+a n），n∈N*．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅲ）若T n是数列{b n}的前n项和，且对一切n∈N*都成立，求实数m取值范围．
20．已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．
2015-2016学年天津一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（）
A．﹣B．C．2 D．1
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【专题】计算题．
【分析】利用两个复数代数形式的除法法则化简复数z为，再由纯虚数的定义可得2x ﹣1=0，且x+2≠0，由此求得实数x的值．
【解答】解：∵ ==是纯虚数，∴2x﹣1=0，且x+2≠0，∴x=，
故选B．
【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法法则的应用，属于基础题．
2．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）
A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1
C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1
【考点】命题的否定；全称命题．
【专题】简易逻辑．
【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定．
【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题．
3．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
【考点】对数值大小的比较．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．
【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，
即a＞1，b＜0，0＜c＜1，
∴a＞c＞b，
故选：C
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．4．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）
A．8 B．4 C．1 D．
【考点】基本不等式；等比数列的性质．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值
【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，
，
当且仅当即时“=”成立，
故选择B．
【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．
5．在△ABC中，若，则△ABC是（）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形
【考点】正弦定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】先由正弦定理得求出sinA•cosA=sinB•cosB，利用倍角公式化简得sin2A=sin2B，因a≠b，进而求出，A+B=．
【解答】解：由正弦定理得，
∴sinA•cosA=sinB•cosB，
∴sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π，但a≠b，
∴2A≠2B，A+B=，即△ABC是直角三角形．
故选A
【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
6．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题．
【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．
【解答】解：∵，
只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．
故选A．
【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．
7．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n=a n+1﹣a n（n∈N*）．若则b2=﹣4，b5=2，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．11
【考点】数列递推式．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的通项公式可得b n=a n+1﹣a n=2n﹣8，再利用“累加求和”：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，即可得出．
【解答】解：设等差数列{b n}的公差为d，∵b2=﹣4，b5=2，
∴，解得b1=﹣6，d=2，
∴b n=﹣6+2（n﹣1）=2n﹣8．
∴b n=a n+1﹣a n=2n﹣8，
∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
=[2（n﹣1）﹣8]+[2（n﹣2）﹣8]+…+（2﹣8）+3
=+3
=n2﹣9n+11．
∴a8=82﹣9×8+11
=3．
故选：B．
【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有，则函数
的零点个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．
【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】将函数=0，转化为xf（x）=﹣，然后利用函数和导数之间的关系研究函数g（x）=xf（x）的单调性和取值范围，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由=0，得xf（x）=﹣，
设 g（x）=xf（x），
则g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵x≠0时，有，
∴x≠0时，，
即当x＞0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，
此时g（x）＞g（0）=0，
当x＜0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，
此时g（x）＞g（0）=0，
作出函数g（x）和函数y=﹣的图象，（直线只代表单调性和取值范围），由图象可知函数
的零点个数为1个．
故选：B．
【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）
9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是30
【考点】程序框图．
【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的S值．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，
得出该程序运行后输出的是
S=12+22+32+42=30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案．
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为108+3π．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由三视图可知，该几何体是两个四棱柱和一个圆柱的组合体，代入圆柱和棱柱的体积公式，进而可得答案．
【解答】解：由三视图可知，该几何体是两个四棱柱和一个圆柱的组合体，
两个四棱柱的体积均为：（2+2+2）×（2+2+2）×1.5=54，
圆柱的体积为：π××3=3π，
故组合体的体积V=54×2+3π=108+3π，
故答案为：108+3π
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．
11．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n= 2n﹣1 ．
【考点】等比关系的确定．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由a n+1=2a n+1得a n+1+1=2（a n+1），从而判断出数列{a n+1}是以2为首项、公比的等比数列，代入等比数列的通项公式求出a n．
【解答】解：由题可得，a n+1+1=2（a n+1），则=2，
又a1=1，则a1+1=2，所以数列{a n+1}是以2为首项、公比的等比数列，
所以a n+1=2•2n﹣1=2n，则a n=2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式，以及构造法求数列的通项公式，是常考的题．
12．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），则λ= ﹣3 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由向量的坐标加减法运算求出（），（﹣）的坐标，然后由向量垂直的坐标运算列式求出λ的值．
【解答】解：由向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），得
，
由（）⊥（﹣），得
（2λ+3）×（﹣1）+3×（﹣1）=0，
解得：λ=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了平面向量的坐标加法与减法运算，考查了数量积判断两个向量垂直的条件，是基础的计算题．
13．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且
=， =，则•的值为．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．
【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，
∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，
∵=， =，
∴•
=（+）•（
+）=（+
）•（
+
）
=
•+
•+
•
+
•
=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120° =1+=，
故答案为：
【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．
14．设a+b=2，b ＞0，则的最小值为
．
【考点】基本不等式． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】由题意得
代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a
的范围求出式子的最小值． 【解答】解：∵a+b=2，∴， ∴
=
，
∵b＞0，|a|＞0，∴≥1（当且仅当b 2=4a 2时取等号），
∴
≥
1，
故当a ＜0时，的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供75g的碳水化合物，60g的蛋白质，60g的脂肪，100g食物A含有12g的碳水化合物，8g的蛋白质，16g的脂肪，花费3元；而100g食物B含有12g的碳水化合物，16g的蛋白质，8g的脂肪，花费4元．
（Ⅰ）根据已知数据填写下表：
（Ⅱ）列车每天食用食物A和食物B所满足的不等式组；
（Ⅲ）为了满足营养学家指出的日常饮食要求，并且花费最低，每天需要食用食物A和食物B个多少g？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】综合题；数形结合；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．
【解答】解：（Ⅰ）根据已知数据填写下表：
（Ⅱ）设每天食用xg食物A，yg食物B，那么，即；
（Ⅲ）作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
考虑总成本为z=，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=
取得最小值．
当直线z=经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．
解方程组，得M的坐标为x=500，y=125，
所以z min=20．
答：每天食用食物A为500g，食物B为125g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为20元．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
16．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，
∴sinA==，
∵B=A+．
∴sinB=sin（A+）=cosA=，
由正弦定理知=，
∴b=•sinB=×=3．
（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞
∴cosB=﹣=﹣，
sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，
∴S=a•b•sinC=×3×3×=．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．
17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC 的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求BE与平面PAC所成的角．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）利用线面平行的判定定理去证明．（2）利用面面垂直的判定定理去证明．（3）利用定义或向量法求直线与平面所成的角．
【解答】解：（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MF，
∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线．
∴ME∥CD，ME=CD．
又∵F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD，∴ME∥FB，且ME=FB．
∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF．
∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，
∴DF⊥PA．连接BD，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．
∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．
∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．
∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．
（3）连结BD交AC于O，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC．
∴OB⊥OE，即OE是BE在平面PAC上的射影．
∴∠BEO是BE与平面PAC所成的角．
∵O，E，分别是中点，∴OE=AP=1，OD===1，
∴Rt△BOE为等腰直角三角形，∴∠BEO=45°，
即BE与平面PAC所成的角的大小为45°．
【点评】本题主要考查线面平行和面面垂直的位置关系的判定，要求熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理．综合性较强．
18．设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）
（Ⅰ）证明：数列{b n}为等比数列；
（Ⅱ）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n2}的前n项和S n．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）利用等比数列的定义证明即可；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）求得a n，b n，再利用错位相减求数列{a n b n2}的前n项和S n．
【解答】（Ⅰ）证明：由已知得，b n=＞0，
当n≥1时， ===2d，
∴数列{b n}为首项是，公比为2d的等比数列；
（Ⅱ）解：f′（x）=2x ln2
∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为y﹣=ln2（x﹣a2），
∵在x轴上的截距为2﹣，
∴a2﹣=2﹣，∴a2=2，
∴d=a2﹣a1=1，a n=n，b n=2n，a n b n2=n4n，
∴T n=1•4+2•42+3•43+…+（n﹣1）•4n﹣1+n•4n，
4T n=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，
∴T n﹣4T n=4+42+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1=，
∴T n=．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题．
19．已知数列{a n}中，a1=a，a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，且2S n=n（3a1+a n），n∈N*．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅲ）若T n是数列{b n}的前n项和，且对一切n∈N*
都成立，求实数m取值范围．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【专题】综合题；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（Ⅰ）由2S n=n（3a1+a n），S1=a1=a，能求出a=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故．所以．由此能求出a n．
（Ⅲ）当n≥2时，．由b1=2，知T n= =，由此能够求出对一切n∈N*都成立时，实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=n（3a1+a n），S1=a1=a，
∴2a=4a，
所以a=0．…..
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴．
∴．
∴（n﹣1）a n+1=na n．
∴当n≥2时，．
∴，…，，
∴．
∴a n=2（n﹣1），n≥2．
∵a1=a=0满足上式，
∴a n=2（n﹣1），n∈N*．…..
（Ⅲ）当n≥2时，．…..
又b1=2，
∴T n=b1+b2+…+b n=…..
==
所以．…..
因为对一切n∈N*都成立，
即对一切n∈N*都成立．
∴．…..
∵，当且仅当，即n=1时等号成立．
∴．
∴
∴．…..
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
20．已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】开放型；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；
（Ⅱ）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程g（x）=f′（x0）（x﹣x0），构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数得到对于任意实数x，
有F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，求出方程g（x）=a的根，由g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，得到x2≤x2′．
同理得到x1′≤x1，则可证得．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=4x﹣x4，可得f′（x）=4﹣4x3．
当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减．
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）证明：设点p的坐标为（x0，0），则，f′（x0）=﹣12，
曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），
令函数F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），
则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．
∵F′（x0）=0，∴当x∈（﹣∞，x0）时，F′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，
∴F（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
∴对于任意实数x，F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，设方程g（x）=a的根为x2′，可得．∵g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（x2′），
因此x2≤x2′．
类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=4x，
对于任意的x∈（﹣∞，+∞），有f（x）﹣h（x）=﹣x4≤0，即f（x）≤h（x）．
设方程h（x）=a的根为x1′，可得，
∵h（x）=4x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（x1′）=a=f（x1）≤h（x1），
因此x1′≤x1，
由此可得．
【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．。