2021年高考文科数学总复习(第十一章 第4节)推理算法复数讲义
高考数学一轮复习 第11章 算法、复数、推理与证明 11.5 数学归纳法课件 理
11.5 数学归纳法
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基础知识过关
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[知识梳理] 数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步 骤进行： 1．(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成 立； 2．(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证 明当 n＝ k＋1 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的 所有正整数 n 都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．
(2)假设 n＝k 时等号成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1 －21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k，
则当 n＝k＋1 时， 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2＝k＋1 1 ＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2
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＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋1 1＋2k＋1 2. 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
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方法技巧 数学归纳法证明等式的思路和注意点
1．思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”， 弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值 n0 是多少．
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∴f(n)≥f(1)＝12，
∵
不
等
式
n＋1 1＋
1 n＋2
＋
n＋1 3＋
…
＋
1 2n>a(n
∈
N*)
恒成
立，∴a<12，故 a 的取值范围为－∞，12
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高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明第1讲算法初步讲义理
1．算法的含义与程序框图(1)算法：算法是指按照□01一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．(2)程序框图：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．在程序框图中，一个或n个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．(3)算法框图的图形符号及其功能2．三种基本逻辑结构及相应语句续表1．概念辨析(1)一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构(选择结构)和循环结构．()(2)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．()(3)在算法语句中，X＝X＋1是错误的．()(4)输入语句可以同时给多个变量赋值．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)根据给出的程序框图(如图)，计算f(－1)＋f(2)＝()A．0 B．1 C．2 D．4答案 A解析 f (－1)＝4×(－1)＝－4，f (2)＝22＝4，∴f (－1)＋f (2)＝－4＋4＝0. (2)计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )a ＝1b ＝3a ＝a ＋bb ＝a －bPRINT a ，b ENDA ．1,3B ．4,1C ．0,0D ．6,0 答案 B解析 读程序可知a ＝1＋3＝4，b ＝4－3＝1.(3)已知输入实数x ＝12，执行如图所示的流程图，则输出的x 是( )A ．25B ．102C ．103D ．51 答案 C解析 输入x ＝12，经过第一次循环得到x ＝2×12＋1＝25，n ＝2，经过第二循环得到x ＝2×25＋1＝51，n ＝3，经过第三次循环得到 x＝2×51＋1＝103，n ＝4，此时输出x ，故选C.(4)按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为( )A ．k ≥16B ．k ＜8C ．k ＜16D ．k ≥8 答案 A解析 程序运行过程中，各变量的值如下表所示：故退出循环的条件应为k≥16，故选A.题型一顺序结构和条件结构1．阅读如图所示程序框图．若输入x为3，则输出的y值为()A．24 B．25 C．30 D．40答案 D解析a＝32－1＝8，b＝8－3＝5，y＝8×5＝40. 2．(2017·江苏高考)下图是一个算法流程图．若输入x的值为116，则输出y的值是________．答案 －2解析 输入x ＝116，116≥1不成立，执行y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2.输出y 的值为－2.条件探究 将举例说明2中“输入x ”改为“输出y ”，求输入的x 的值． 解 略应用顺序结构与条件结构的注意点(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)条件结构：利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足.定义运算a ⊗b 的结果为执行如图所示的程序框图输出的S ，则⎝⎛⎭⎫2cos 5π3⊗⎝⎛⎭⎫2tan 5π4的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－1 答案 A解析 由程序框图可知，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a －b ，a ≥b ，b a ＋1，a <b ，因为2cos 5π3＝1,2tan 5π4＝2,1<2，所以⎝⎛⎭⎫2cos 5π3⊗⎝⎛⎭⎫2tan 5π4＝2×(1＋1)＝4.题型 二 循环结构角度1 由程序框图求输出(输入)结果1．(2019·烟台模拟)执行如图所示的程序框图，输出的n 值为( )A ．6B ．7C ．8D ．12 答案 C解析 由程序框图可知，第一次循环：S ＝13，n ＝2；第二次循环：S ＝13＋⎝⎛⎭⎫132，n ＝3；第三次循环：S ＝13＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133，n ＝4；……第六次循环：S ＝13＋…＋⎝⎛⎭⎫136＝1－17292<10082017，n ＝7； 第七次循环：S ＝13＋…＋⎝⎛⎭⎫137＝1－121872>10082017，n ＝8. 故终止循环，输出n ＝8.故选C.角度2 完善程序框图2．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4答案 B解析 由S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，知程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．因此在空白框中应填入i ＝i ＋2，选B.角度3 逆向求解问题3．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 假设N ＝2，程序执行过程如下： t ＝1，M ＝100，S ＝0，1≤2，S ＝0＋100＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝2，2≤2，S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝3，3＞2，输出S ＝90＜91.符合题意． ∴N ＝2成立．显然2是最小值．故选D.1．循环结构程序框图求输出结果的方法解决此类问题最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体的过程中：第一，要明确是当型循环结构还是直到型循环结构，根据各自特点执行循环体；第二，要明确框图中的累加变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化； 第三，要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体． 2．程序框图补全问题的求解方法 (1)先假设参数的判断条件满足或不满足；(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止； (3)根据此时各个变量的值，补全程序框图.1．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n －2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >1000？和n ＝n ＋1B ．A >1000？和n ＝n ＋2C ．A ≤1000？和n ＝n ＋1D ．A ≤1000？和n ＝n ＋2 答案 D解析 因为题目要求的是“满足3n －2n ＞1000的最小偶数n ”，所以n 的叠加值为2，所以内填入“n ＝n ＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n ，所以内填入“A ≤1000？”．故选D.2．(2018·洛阳三模)定义[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[0.6]＝0，[2]＝2，[3.6]＝3，下图的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》．执行该程序框图，则输出a ＝( )A ．9B ．16C ．23D ．30 答案 C解析 由程序框图得k ＝1，a ＝9，a －3·⎣⎡⎦⎤a 3＝0≠2；k ＝2，a ＝16，a －3·⎣⎡⎦⎤a 3＝1≠2；k ＝3，a ＝23，a －3·⎣⎡⎦⎤a 3＝2，a －5·⎣⎡⎦⎤a 5＝3，退出循环体，所以输出a ＝23，故选C. 3．(2018·东北三省四市模拟)庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题．现用程序框图描述．如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝⎛⎭⎫1516，6364，则输入的n 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 答案 C解析 第一次循环得S ＝12，k ＝2；第二次循环得S ＝34，k ＝3；第三次循环得S ＝78，k ＝4；第四次循环得S ＝1516，k ＝5；第五次循环得S ＝3132∈⎝⎛⎭⎫1516，6364，k ＝6，此时满足题意，退出循环，所以输入的n 值为5，故选C.题型 三 基本算法语句1．根据如图算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )A ．25B ．30C ．31D ．61 答案 C解析 该语句表示分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6x －50，x >50，当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝31. 故输出y 的值为31.2．如图程序执行后输出的结果是________．答案 990解析 程序反映出的算法过程为 i ＝11⇒S ＝11×1，i ＝10； i ＝10⇒S ＝11×10，i ＝9； i ＝9⇒S ＝11×10×9，i ＝8；i ＝8<9，退出循环，执行“PRINT S ”． 故S ＝990.1．解决算法语句的三步骤(1)通读全部语句，把它翻译成数学问题； (2)领悟该语句的功能；(3)根据语句的功能运行程序，解决问题． 2．算法语句应用的四关注(2018·保定模拟)根据如图所示的语句，可知输出的结果S＝________.答案7解析S＝1，I＝1；1<8，S＝3，I＝4；4<8，S＝5，I＝7；7<8，S＝7，I＝10；10>8，终止循环，输出S＝7.。
高考数学(文科)一轮复习课件第十一章 推理与证明、算法初步、复数 第2讲精选ppt版本
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.( × ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的 充要条件.( × ) (3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”.( × ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( × )
[思想方法]
分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻 找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法 从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题 时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法 叙述出来.
[易错防范] 1.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证
【训练 2】
已知：a>0，b>0.求证：
a＋b≥ ba
a＋
b.
证明
∵a>0，b>0，要证
a＋ b
b≥ a
a＋
b，只需证
a＋ b
ba2
≥( a＋ b)2 成立，即证ab2＋ba2＋2 ab≥a＋b＋2 ab成立，
即证a3a＋bb3≥a＋b.也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立，
证明的结论为止，这种证明 知事实吻合为止.这种证明
方法常称为综合法. 方法常称为分析法.
实质
由因导果
执果索因
框图 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 表示 →…→ Qn⇒Q
Q⇐P1 → P1⇐P2
→…→
得到一个明显 成立ຫໍສະໝຸດ 条件文字 因为……所以…… 要证……只需
语言 或由……得…… 证……即证……
2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一 种常用的间接证明方法. (1)反证法的定义：要证明某一结论Q是正确的，但不直接证 明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过 正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从 而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法. (2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不 成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止； ③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.
数学高考文科复数知识点
数学高考文科复数知识点作为数学高考文科的一部分，复数在解析几何和代数中起着重要的作用。
它作为一个数域的扩张，拓宽了数字的概念。
本文将重点介绍高考文科复数的相关知识点，帮助学生更好地准备高考。
一、复数的定义和表示复数是由实数部分和虚数部分构成的数，通常表示为a + bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i² = -1。
虚部b取值为0时，复数就变成了实数。
二、复数的加减乘除运算1. 复数的加减运算：将实部和虚部分别相加或相减，得到结果的实部和虚部。
2. 复数的乘法运算：将实部和虚部进行分配律的展开，然后利用i² = -1化简。
3. 复数的除法运算：将除数的共轭复数作为分子和分母的乘法因子，然后进行分子分母的乘法运算和化简。
三、复数的共轭与模1. 复数的共轭：将复数的虚部取相反数，实部不变，所得的新复数称为原复数的共轭复数。
如果复数为a + bi，其共轭复数为a - bi。
2. 复数的模：复数的模是指复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
对于复数a + bi，它的模是√(a² + b²)。
四、复数的三角形式复数可以通过极坐标表示，即用模长和辐角表示。
对于复数a + bi，可以表示为|r|·e^(iθ)，其中|r|为模长，θ为辐角。
使用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ，可以将复数的三角形式转化为指数形式。
五、复数的指数和对数指数函数和对数函数可以扩展到复数域。
对于复数z = a + bi，指数函数e^z的定义是e^z = e^a * e^(ib) = e^a * [cos(b) + isin(b)]。
复数z = a + bi的对数函数定义为ln(z) = ln|z| + i arg(z)，其中ln|z|是复数的模的自然对数，arg(z)是复数的辐角。
六、复数的方程和不等式1. 复数方程：类似于实数方程的解法，复数方程也可以通过代数运算和方程的性质进行求解。
高考数学第一轮复习 第十一章 推理证明、算法初步、复数课件 理 北师大版
类比,那么就会犯机械类比的错误.例如:在平面内垂直同
一直线的两直线平行,类比在空间内垂直同一平面的两平
面平行,实际上是错误的.
二、演绎推理
1.演绎推理:从一般性的结论出发,推出某个特殊情况
下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,也就是从 一般
两条直线平行,同旁内角互补——大前提,∠A,∠B
是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前
提,∠A+∠B=180°——结论.
故 A 是演绎推理,而 B,D 是归纳推理,C 是类比推理.故
选 A.
A
2.按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律,
写出后一种化合物的分子式是(
A.C4见的合情推理是 归纳推理 和
类比推理 . 2.归纳推理的定义:根据某类事物的部分对象具有的
某些特征,推出该类事物全部对象都具有这些特征的推理, 或者由 个别事实 概括出 一般结论 的推理,称为归
纳推理.简而言之,归纳推理是由 部分 到 整体 ,
由 个别 到一般的推理.
3.归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某 些相同的性质;②从已知的相同的性质中推出一个明确表 述的一般性命题.
B=180°
B.某校高三(1)班有 55 人,高三(2)班有 54 人,高三(3)
班有 52 人,由此得出高三所有班人数超过 50 人
C.由平面正三角形的性质,推测空间正四面体的性质
D.在数列{an}中,a1=1,an=12(an-1+������
1
������ -1
)(n≥2),由此归纳
出{an}的通项公式
高考总复习数学文科第十篇推理证明、算法、复数第4讲复数
(8)(2013 浙·江卷改编 )(2 ＋ i)(3 ＋ i) ＝ 5＋5i.( √ )
[ 感悟 ·提升 ]
1．两点提醒 一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解， 且方程的根成对出现，
如 (1) ；
二是两个虚数不能比较大小，如 (2) ． 2．两条性质 (1)i 4n＝ 1，i4n＋1＝ i ，i 4n＋ 2＝－ 1，i 4n＋ 3＝－ i ，in＋ i n＋1＋ i n＋2＋ i n＋3 ＝ 0(各式
中 n∈N )．
(2)(1 i±) 2＝ ±2i ， 1＋ i ＝ i ， 1－ i ＝－ i.
1－ i
1＋i
考点一 复数的概念 【例 1】 (1)(2013 ·山东卷 )复数 z 满足 (z－ 3)(2－ i) ＝ 5(i 为虚数单位 )，则 z 的共轭复数 z
为 ( )．
A ．2＋i
B． 2－ i
5 2＋i ＝ 5 ＋ 3＝ 5＋ i ， ∴ z ＝ 5－ i.故选 D.
10
10 3＋ i
(2) 复数 a－ ＝ a－ 3－ i
10
＝(a－3)－ i 为纯虚数，
∴a－3＝ 0， ∴a＝3. 答案 (1)D (2)D 规律方法 处理有关复数的基本概念问题， 关键是找准复数的实部和虚部， 从定义出发，
z＝ a＋ bi ――→
复平面内的点
Z(a， b)( a， b∈ R)．
(2) 复数
一一对应
z＝ a＋ bi( a， b∈ R) ――→
平面向量
O→Z .
3． 复数的运算
(1) 复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c，d∈ R )，则 ①加法： z1＋ z2＝ (a＋ bi)＋ (c＋ di) ＝ (a＋ c)＋ (b＋ d)i； ②减法： z1－ z2＝ (a＋ bi)－ (c＋ di) ＝ (a－ c)＋ (b－ d)i；
高考数学总复习 114数学归纳法课件 理 新人教A版
所以当 n＝k＋1 时命题也成立． 由(1)(2)可知，对一切正整数 n，命题都成立．
平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不 共点，求证：这 n 条直线把平面分割成12(n2＋n＋2)个区域．
解析：(1)当 n＝1 时，一条直线把平面分成两部分，又12(12 ＋1＋2)＝2，
∴n＝1 时命题成立． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立， 即 k 条满足题意的直线把平面分割成12(k2＋k＋2)个区域． 那么，当 n＝k＋1 时，
分析：关键是 n＝k 到 n＝k＋1 的过渡，要想搞清 f(k＋ 1)比 f(k)多出平面区域的块数，就要先弄清第 k＋1 个圆被原 来的 k 个圆分成了多少段，每一段把它所在的原平面区域一 分为二，为此先求出第 k＋1 个圆与原来的 k 个圆的交点个数 即可．
证明：(1)当 n＝1 时，一个圆把平面分成两个部分， 又 f(1)＝12－1＋2＝2，所以 n＝1 时，命题成立． (2)假设 n＝k 时命题成立，即平面内满足条件的 k 个圆把 平面分成 f(k)＝k2－k＋2 个部分． 则 n＝k＋1 时，第 k＋1 个圆与前 k 个圆中的每一个各有 两个交点，又无三圆相交于同一点，故共得 2k 个交点，这 2k 个交点把第 k＋1 个圆分成 2k 条圆弧，每条圆弧把原来所在的 区域一分为二，所以平面的区域增加 2k 个，即 f(k＋1)＝f(k) ＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，
2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步 骤进行： (1)归纳奠基：验证当 n 取第一个值 n0 时结论成立； (2)归纳递推：假设当 n＝k(k∈N*，且 k≥n0)时结论成立， 推出 n＝ k＋1时结论也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所 有自然数 n(n≥n0)都成立，这种证明方法叫做数学归纳法．
高考数学一轮复习 第11章 算法、复数、推理与证明 1合情推理与演绎推理课件 文
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④类比结构：如三角形内切圆与三棱锥内切球． (2)四个原则 ①长度类比面积； ②面积类比体积； ③平面类比空间； ④和类比积，差类比商．见典例． 2．类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性．
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(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出 一个明确的命题(猜想)．
3．常见类比推理题型的求解策略 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注 意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应 元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等 等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应 线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．
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3．小题热身
(1)(2018·厦门模拟)已知圆：x2＋y2＝r2上任意一点(x0，
y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比以上结论，有双曲线
x2 a2
－by22＝1上任意一点(x0，y0)处的切线方程为__xa_02x_－__y_b0_2y_＝__1_．
经典 题型冲关 (jīngdiǎn)
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题型1 类比推理
典例 已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过
点P的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两
边同时对x求导，得2yy′＝2p，则y′＝
p y
，所以过点P的切
线的斜率k＝
p y0
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方法技巧 归纳推理问题的常见类型及解题策略
高考数学一轮复习 第11章 算法初步、复数、推理与证明 第1讲 算法初步课件
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考点 2 算法语句的格式及框图 1．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
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2．条件语句的格式及框图 (1)IF－THEN 格式 (2)IF－THEN－ELSE 格式
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3．循环语句的格式及框图 (1)UNTIL 语句
解析 开始：k＝0，s＝1； 第一次循环：k＝1，s＝2； 第二次循环：k＝2，s＝32； 第三次循环：k＝3，s＝53，此时不满足循环条件，输出 s， 故输出的 s 值为53.故选 C.
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3．[2016·全国卷Ⅱ]中国古代有计算多项式值的秦九韶 算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若 输入的 x＝2，n＝2，依次输入的 a 为 2,2,5，则输出的 s＝( )
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[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．( × ) (2)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条 件结构和循环结构．( √ ) (3)算法可以无限操作下去. ( × ) (4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出 口是有效的. ( √ )
A．5 B．4 C．3 D．2
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解析 假设 N＝2，程序执行过程如下： t＝1，M＝100，S＝0， 1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－11000＝－10，t＝2， 2≤2，S＝100－10＝90，M＝－－1010＝1，t＝3， 3＞2，输出 S＝90＜91.符合题意． ∴N＝2 成立．显然 2 是最小值．故选 D.
为了对这个队的情况进行分析，此人设计计算 σ 的算法 流程图如图所示(其中 x 是这 7 场比赛的平均得分)，求输出 的 σ 的值．
高考数学一轮复习 第11章 复数、算法、推理与证明章末总结分层演练 文
第11章复数、算法、推理与证明章末总结B．2D．14(2017·高考全国卷Ⅱ，T8，5分)执行如图的程序框图，如果输入的＝－1，则输出的S＝(B．3D．519，12分)如图，四面体是直角三角形，AB＝BD．若E为棱，求四面体ABCE与四面体ACDE一、选择题1．(选修12 P 61A 组T 5(4)改编)i 为虚数单位，则5i （2＋i ）等于( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．－1－2i解析：选D ．5i （2＋i ）＝5－1＋2i ＝5（－1－2i ）5＝－1－2i ．2．(选修12 P 33内文改编)有一个游戏：将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片； 乙说：甲或丙拿到标有2的卡片； 丙说：标有1的卡片在甲手中； 丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为( )A ．3、4、2、1B ．4、2、1、3C ．2、3、1、4D ．1、3、2、4 解析：选B ．由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4、2、1、3．3．(选修12 P 30练习T 2改编)如图所示的数阵中，用A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则依此规律A (15，2)为( )13 16 16 110 13 110 115 1330 1330 115 121 12 1315 12 121…A ．2942B ．710C ．1724D ．73102解析：选C ．由数阵知A (3，2)＝16＋16＝16＋23×4，A (4，2)＝16＋16＋110＝16＋23×4＋24×5，A (5，2)＝16＋16＋110＋115＝16＋23×4＋24×5＋25×6，…，则A (15，2)＝16＋23×4＋24×5＋25×6＋…＋215×16＝16＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋14－15＋…＋115－116＝16＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－116＝16＋2×1348＝1724，选项C 正确． 4．(必修3 P 34－35案例1改编)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m ，n 分别为495，135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C ．该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90，135＝90×1＋45，90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m ＝45，故选C ．二、填空题5．(选修12 P 61A 组T 3改编)ABCD 是复平面内的平行四边形，A 、B 、C 三点对应的复数分别为1＋2i ，－i ，2＋i ，O 为复平面原点，则|OD |＝________．解析：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )， 因为ABCD 是平行四边形， 所以AB →＝DC →，即－i －(1＋2i)＝(2＋i)－(x ＋y i)，即－1－3i ＝(2－x )＋(1－y )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－11－y ＝－3，解得x ＝3，y ＝4．所以D 点对应的复数为3＋4i ． 所以|OD |＝|3＋4i|＝5， 答案：56．(选修12 P 44B 组T 1改编)已知sin α－cos αsin α＋2cos α＝－1，则tan 2α＝________．解析：由sin α－cos αsin α＋2cos α＝－1，可得2sin α＝－cos α，所以tan α＝－12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－43． 答案：－43三、解答题7．(选修12 P 35B 组T 1改编)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)．计算S 1、S 2、S 3，并猜想S n ．解：n ＝1时，S 1＝a 1＝－23．n ＝2时，S 2＋1S 2＋2＝a 2＝S 2－S 1＝S 2＋23，所以S 2＝－34．n ＝3时，S 3＋1S 3＋2＝a 3＝S 3－S 2＝S 3＋34，所以S 3＝－45，所以猜想S n ＝－n ＋1n ＋2． 8．(必修2 P 45探究、P 52B 组T 1(1)改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示：(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH．证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，所以BCHE为平行四边形．所以BE∥CH．又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH．同理BG∥平面ACH．又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH．(3)证明：连接FH．因为ABCDEFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG．又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD．又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG．同理DF⊥BG．又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG．。
【高三】2021届高考数学总复习考点算法与复数专项复习
【高三】2021届高考数学总复习考点算法与复数专项复习第十一模块算法与复数综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列程序框中表示处理框的是( )A．菱形框B．平行四边形框C．矩形框 D．起止框答案：C2．a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的( )A．充分不必要条B．必要不充分条C．充要条D．既不充分也不必要条解析：z＝a＋bi为纯虚数的充要条是a＝0且b≠0.∴a＝0⇒/z为纯虚数，z为纯虚数⇒a＝0.答案：B3．下列给出的赋值语句中正确的是( )A．3＝AB．＝－mC．A＝B＝3D．x＋y＝0答案：B4．设z＝1＋2i，则z2－2z等于( )A．－3 B．3C．－3i D．3i解析：∵z＝1＋2i，∴z2＝1＋22i＋(2i)2＝－1＋22i.∴z2－2z＝－1＋22i－2－22i＝－3.答案：A5．若(2－i)•4i＝4－bi(其中b∈R，i为虚数单位)，则b＝( )A．－4 B．4C．－8 D．8解析：4－bi＝(2－i)•4i＝8i＋4＝4＋8i.∴b＝－8.答案：C6．当a＝3时，下面的程序段输出的结果是( )IF a<10 THENy＝2*aELSEy=a*aA．9 B．3C．10 D．6解析：该程序揭示的是分段函数y＝的对应法则．∴当a＝3时，y＝6.答案：D7．现给出一个算法，算法语句如图，若输出值为1，则输入值x为( ) INPUT xIF x≥0THENy＝x2ELSEy＝x＋3END IFPRINT yENDA．1 B．－2C．1或－2 D．±1解析：该程序揭示的是分段函数．y＝的对应法则．当y＝1时，若x≥0，则x＝1，若x<0，则x＝－2.答案：C8．在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：i1＋i＋(1＋3i)2＝i(1－i)2＋1＋23i－3＝－32＋(12＋23)i.∴复数对应点在第二象限．答案：B9．小林爱好科技小发明，他利用休息时间设计了一个数字转换器，其转换规则如图所示．例如，当输入数字1,2，－4,5时，输出的数字为8，－6,6,6.现在输出了一组数字为－1，－1，6，－1，则他输入的数字为( )A．2,3，－5,4 B．2,3，－5,1C．－5,3，－2,4 D．2,3,5，－1解析：把选项中的数字代入验证知．应选C.答案：C10．定义运算abcd＝ad－bc，则符合条1－1zzi)＝4＋2i的复数z为( )A．3－i B．1＋3iC．3＋i D．1－3i解析：由运算知1－1zzi)＝zi＋z＝z(1＋i)∴z(1＋i)＝4＋2i，∴z＝4＋2i1＋i＝(1＋i)(3－i)1＋i＝3－i.答案：A11．阅读下面程序框图，输出的结果是( )A.34B.45C.56D.67解析：i＝1时，A＝12－12＝23，i＝2时，A＝12－23＝34，i＝3时，A＝12－34＝45，i＝4时，A＝12－45＝56.结束．答案：C12．设f(n)＝(1＋i1－i)n＋(1－i1＋i)n(n∈N*)，则集合{xx＝f(n)}元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．无穷多个解析：∵1＋i1－i＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i2＝i.1－i1＋i＝－i.∴f(n)＝in＋(－i)n.当n＝1时，f(1)＝0；当n＝2时，f(2)＝－2；当n＝3时，f(3)＝－i＋i＝0；当n＝4时，f(4)＝1＋1＝2.由in的周期性知，集合中仅含3个元素．答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上．13．给出下面一个程序，此程序运行的结果是________．解析：读程序知A＝8，X＝5，B＝5＋8＝13.答案：A＝8，B＝1314．复数(1＋1i)4的值为________．解析：∵1＋1i＝1－i，∴(1＋1i)4＝(1－i)4＝(1－i)2•(1－i)2＝(－2i)(－2i)＝4i2＝－4.答案：－415．读程序框图，则该程序框图表示的算法功能是________．解析：该序是循环结构，i是计数变量，从S＝S×i中可以判断最后：S＝1×3×5×7×…×n.答案：计算并输出使1×3×5×…×n≥10000成立的最小正整数．16．若将复数1＋3i1－i表示为a＋bi(a，b∈R)的形式，则a＋b＝________.解析：1＋3i1－i＝(1＋3i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－2＋4i2＝－1＋2i.∴a＝－1，b＝2.∴a＋b＝1.答案：1三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知点A(－1,0)，B(3,2)，写出求直线AB的方程的一个算法．解：第一步：求直线AB的斜率k＝2－03－(－1)＝12.第二步：用点斜式写出直线AB的方程y－0＝12[x－(－1)]．第三步：将第二步的方程化简，得到方程x－2y＋1＝0.18．(12分)已知复数z的共轭复数为z－，且z•z－－3i•z＝101－3i，求z.解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－＝x－yi.由已知，得(x＋yi)(x－yi)－3i(x＋yi)＝101－3i，∴x2＋y2－3xi＋3y＝10(1＋3i)10，∴x2＋y2＋3y－3xi＝1＋3i，∴ ，∴ 或 .∴z＝－1或z＝－1－3i.19．(12分)观察所给程序框图，说明它所表示的函数，当输入x＝2时，求输出的y 值．解：读图可知，所表示的函数为y＝当x＝2时，输出的y＝－4.20．(12分)已知1＋i是实系数方程x2＋ax＝b＝0的一个根．(1)求a、b的值．(2)试判断1－i是否是方程的根．分析：1＋i是方程的根，把1＋i代入方程可利用复数相等求出a、b的值，然后再验证1－i是否为方程的根．解：(1)∵1＋i是方程x2＋ax＋b＝0的根，∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0，即(a＋b)＋(a＋2)i＝0∴ ∴∴a、b的值为a＝－2，b＝2.(2)方程为x2－2x＋2＝0把1－i代入方程左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0显然方程成立．∴1－i也是方程的一个根．点评：与复数方程有关的问题中，一般是利用复数相等的充要条，把复数问题转化为实数求解．注意：在复数方程中，根与系数的关系仍然成立，但判别式“Δ”不再适用．21．(12分)设计程序，对输入的任意两个实数，按从大到小的顺序排列，并输出．解：程序框图如下：程序：INPUT “a，b＝”； a b；IF a<b THENx＝aa＝bb＝xEND IFPRINT a，bEND点评：任何一个条的判断都有满足与不满足两种可能，本题中的问题只需处理其中的一种可能，故选择了第一种条语句．22．(12分)设计一个算法，输入一个学生的成绩S，根据该成绩的不同作如下输出：若S<60，则输出“不及格”；若60≤S<85，则输出“及格”，若S≥85，则输出“优秀”．画出程序框图，并写出程序．解：程序框图如下：程序如下：感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明第4讲作业课件理
12/11/2021
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解析
2．若△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正 弦值，则( )
A．△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B．△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C．△A1B1C1 是钝角三角形，△A2B2C2 是锐角三角形 D．△A1B1C1 是锐角三角形，△A2B2C2 是钝角三角形
12/11/2021
第三页，共二十七页。
答案 解析
3．(2019·济宁模拟)设 a，b 是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b 中至少有一个大于 1”的条件是( )
A．②③
B．①②③
C．③
D．③④⑤
答案 C
12/11/2021
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答案
解析 对于①，当 a＝0.7<1，b＝0.9<1 时，a＋b＝1.6>1，故不能推出 a， b 中至少有一个大于 1；对于②，当 a＝b＝1 时，a＋b＝2，故不能推出 a，b 中至少有一个大于 1；对于③，假设 a≤1，且 b≤1，则 a＋b≤2 与 a＋b＞2 矛盾，由此可得假设不成立，故 a，b 中至少有一个大于 1；对于④，当 a＝b ＝－2＜1 时，a2＋b2＝8＞2，故不能推出 a，b 中至少有一个大于 1；对于⑤， 当 a＝b＝－2<1 时，ab＝4>1，故不能推出 a，b 中至少有一个大于 1.综上所 述，可推出“a，b 中至少有一个大于 1”的条件是③.
高考数学(文科)一轮复习课件第十一章 推理与证明、算法初步、复数 第1讲精选ppt版本
等比数列，则 c1·c2·…·cn＝cn1·q1＋2＋…＋(n－1)＝cn1·q 2 ，
∴dn＝n
n－1
c1·c2·…·cn＝c1·q 2 ，即{dn}为等比数列.
(2)由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内， 若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的底面积之比 为1∶4，对应高之比为1∶2，所以体积比为1∶8.
2.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于________. 解析 5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9， 推出x－20＝12，所以x＝32. 答案 32
3.(2015·陕西卷)观察下列等式
1－12＝12 1－12＋13－14＝13＋14 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 …… 据此规律，第n个等式可为________.
第1讲 合情推理与演绎推理
考试要求 1.合情推理的含义及在数学发现中的作用，演绎 推理的重要性，A级要求；2.利用归纳和类比等进行简单的 推理，B级要求；3.演绎推理的基本模式，并进行一些简单 推理，B级要求；4.合情推理和演绎推理之间的联系和差异， A级要求.
1.合情推理
知识梳理
类型
定义
特点
从个别事实中推演出一般性的结论， 由 部分 到 整体 、
【训练 2】 把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩 形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可
求得外接圆半径 r＝ a22＋b2(其中 a，b 为直角三角形两直角 边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为 a，b，c 且两两垂 直的三棱锥的外接球半径 R＝________.
解析 由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得 出外接球半径.
{bn}bn＝a1＋a2＋n …＋an也为等差数列.类比这一性质可知，若 正项数列{cn}是等比数列 ，且{dn}也是等比数列 ，则 dn ＝ ________.
高考数学(文)一轮复习文档：第十一章 复数、算法、推理与证明 第1讲数系的扩充与复数的引入 Word版含答
第1讲 数系的扩充与复数的引入, )1．复数的有关概念 (1)复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中实部是a ，虚部是b ． (2)复数的分类复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0，b ≠0），非纯虚数（a ≠0，b ≠0）.(3)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，a 、b ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ←――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应平面向量OZ →． 3．复数的运算(1)复数的加、减 、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i )·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．辨明三个易误点 (1)两个虚数不能比较大小．(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． (3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．2．复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．3．复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ；(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (3)i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0，n ∈N *.1.教材习题改编设m ∈R ，复数z ＝m 2－1＋(m ＋1)i 表示纯虚数，则m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m ＋1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1m ≠－1. 所以m ＝1.故选A.2.教材习题改编设x ，y ∈R ，若(x ＋y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，则复数z ＝x ＋y i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x ＋3y ，y －1＝2y ＋1，所以x ＝4，y ＝－2，所以复数z ＝4－2i 位于第四象限，故选D. 3.教材习题改编复数－5i －2的共轭复数为( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－iB－5i －2＝52－i ＝5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5（2＋i ）5＝2＋i. 因为2＋i 的共轭复数为2－i ，故选B.4．(2015·高考全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2A 由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝（－1＋i ）（1－i ）2＝2i 2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A.5.教材习题改编已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________． 因为z ＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i. 2＋i复数的有关概念(1)(2016·高考全国卷乙)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3(2)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A ．3，－2 B ．3，2 C ．3，－3D ．－1，4(3)若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．1 B ．2 C ． 2D ． 3【解析】 (1)(1＋2i)(a ＋i)＝(a －2)＋(2a ＋1)i ，由已知条件，得a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3.故选A.(2)(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，所以a ＝3，b ＝－2. (3)z (1＋i)＝2i ⇒z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i 2＝1＋i.所以|z |＝12＋12＝ 2. 【答案】 (1)A (2)A (3)C解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．1．(2017·九江第一次统考)设复数z ＝2－i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A ．12－32i B ．12＋32iC ．1－3iD ．1＋3iB z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）2＝12＋32i.2．(2017·郑州第一次质量预测)设i 是虚数单位，若复数m ＋103＋i (m ∈R )是纯虚数，则m 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3A 依题意得m ＋103＋i＝(m ＋3)－i 是纯虚数，于是有m ＋3＝0，m ＝－3.复数的几何意义(1)(2017·唐山模拟)复数z ＝3＋i1＋i＋3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)在复平面内与复数z ＝5i1＋2i 所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－2＋iD ．2＋i(3)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．3 3【解析】 (1)z ＝3＋i 1＋i ＋3i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋3i ＝4－2i2＋3i ＝2－i ＋3i ＝2＋2i ，故z 在复平面内对应的点在第一象限，故选A.(2)依题意得，复数z ＝5i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝i(1－2i)＝2＋i ，其对应的点的坐标是(2，1)，因此点A (－2，1)对应的复数为－2＋i.(3)由题图可知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，则z 1＋z 2＝－2，所以|z 1＋z 2|＝2. 【答案】 (1)A (2)C (3)A复数的几何意义及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．1．(2017·长春质量检测)复数1－i2－i 的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A 因为1－i 2－i ＝35－15i ，所以其共轭复数为35＋15i ，在第一象限．2．(2016·高考全国卷甲)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)A 由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1，故选A.复数代数形式的运算(高频考点)复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容，题型为选择题或填空题，难度很小． 高考对复数代数形式的运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)复数的乘法运算； (2)复数的除法运算；(3)利用复数相等求参数．(1)(2016·高考北京卷)复数1＋2i2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i(2)(2016·高考全国卷丙)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(3)已知i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝________． 【解析】 (1)1＋2i 2－i ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5i5＝i.(2)4iz z －1＝4i（1＋2i ）（1－2i ）－1＝i. (3)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 21 008＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 008＋i 6＝i 1 008＋i 6＝i 4×252＋i 4＋2＝1＋i 2＝0.【答案】 (1)A (2)C (3)0复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．角度一 复数的乘法运算1．已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( ) A ．5－5i B ．7－5i C ．5＋5iD ．7＋5iC (2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2＝5＋5i ，故选C.角度二 复数的除法运算 2．计算下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2；(2)2＋4i （1＋i ）2；(3)1＋i 1－i ＋i 3. (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2＝4i2（1＋i ）2＝－42i ＝2i. (2)2＋4i （1＋i ）2＝2＋4i 2i＝2－i. (3)1＋i 1－i ＋i 3＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）＋i 3＝2i 2＋i 3＝i －i ＝0.角度三 利用复数相等求参数3．(2015·高考全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i 1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4D 因为 2＋a i1＋i＝3＋i ，所以2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，所以a ＝4，故选D., )1．(2017·安徽皖南八校联考)复数1（1＋i ）i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C1（1＋i ）i ＝1－1＋i ＝－1－i （－1＋i ）（－1－i ）＝－12－12i ，其在复平面上对应的点位于第三象限．2．(2017·安徽安庆模拟)设i 是虚数单位，如果复数a ＋i 2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．13B ．－13C ．3D ．－3Ca ＋i 2－i＝2a －1＋（a ＋2）i5，由题意知2a －1＝a ＋2，解得a ＝3.3．(2017·广东肇庆模拟)若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则|z |＝( ) A ．25 B ．35 C ．105D ．10C z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.4．(2017·福建基地综合测试)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－iD x 1＋i ＝12(x －x i)＝1－y i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧12x ＝1，－12x ＝－y ，解得x ＝2，y ＝1，故选D. 5．(2017·安徽江南十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A ．2－12B ．2－1C ．1D ．2＋12A 由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－12＋2＋12i ，故z 的实部为2－12，故选A. 6．(2017·商丘模拟)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( )A ．－7B ．7C ．－4D ．4A 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ， 所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4， 所以a ＋b ＝－7，故选A.7．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于________．因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝－34. －348．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝________． 因为z ＝－1－i ，所以z ＝－1＋i ，所以(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，所以|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝10.109．已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m (1＋i)＝1＋n i ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝________． 由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＋m i ＝1＋n i ，即m ＝n ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝i 2＝－1.－110．已知复数z ＝4＋2i （1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则实数m ＝________． z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i 2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.－511．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i； (2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2； (3)1－3i （3＋i ）2. (1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i ＝i （2－i ）5＝15＋25i. (2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i 3＋i＝（－i ）（3－i ）4 ＝－14－34i.12．定义一种运算如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1x 2 y 1y 2＝x 1y 2－x 2y 1，则复数z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋i 3－i －1i (i 是虚数单位)的共轭复数是________________________________________________________．z ＝(3＋i)i －(3－i)(－1)＝3i ＋i 2＋3－i ＝(3－1)i ＋3－1， 所以z ＝(3－1)＋(1－3)i.(3－1)＋(1－3)i13．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋i ＝a －13（a ＋5）（a －1）＋(a 2＋2a －15)i. 因为z 1＋z 2是实数，所以a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.因为a ＋5≠0，所以a ≠－5，故a ＝3.14．已知复数z 的共轭复数是z ，且满足z ·z ＋2i z ＝9＋2i.求z .设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.因为z ·z ＋2i z ＝9＋2i ，所以(a ＋b i)(a －b i)＋2i(a ＋b i)＝9＋2i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝9＋2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝9，①2a ＝2.② 由②得a ＝1，代入①，得b 2－2b －8＝0. 解得b ＝－2或b ＝4.所以z ＝1－2i 或z ＝1＋4i.。
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第4节复数最新考纲 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识梳理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a＋b i(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b＝0，则a＋b i为实数；若a＝0且b≠0，则a＋b i为纯虚数复数相等a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复平面用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ→对应的复数为z＝a＋b i，则向量OZ→的长度叫作复数z＝a＋b i的模|z|＝|a＋b i|＝a2＋b22.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.3.复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；(4)除法：z 1z2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ac ＋bd ＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0).[微点提醒]1.i 的乘方具有周期性i n＝⎩⎨⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系 z ·z －＝|z |2＝|z －|2. 3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(选修1－2P76A1改编)若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.2C.1或2D.－1解析 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.答案 B3.(选修1-2P82B3)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 解析 ∵z ＝－1＋i ，∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i－1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 答案 －14.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i1＋i ＝( ) A.1＋2i B.1－2iC.2＋iD.2－i解析3＋i 1＋i＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i.答案 D5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 11－i＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i 的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.答案 D6.(2019·南昌调研)复数⎝⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i.故选C. 答案 C考点一 复数的相关概念【例1】 (1)(2019·西安质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( ) A.－iB.2C.－2iD.－2(2)(2018·兰州实战考试)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z的共轭复数z －＝( ) A.2－i B.2＋i C.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i为纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.0C.－12D.－1解析 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ， ∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i 1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ，∴1＝－ab ，且1＝b ，解得a ＝－1，故选D. 答案 (1)D (2)D (3)D规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．2．解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部． 【训练1】 (1)(2018·安庆二模)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i(2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i，则实数a ＝( ) A.2B.1C.0D.－1解析 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B. (2)∵1－i ＝2＋a i 1＋i，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2，解得a ＝0.故选C. 答案 (1)B (2)C 考点二 复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·吉安一中、九江一中等重点中学联考)在复平面内，复数z 对应的点与21－i 对应的点关于实轴对称，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋iD.1－i解析 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限．(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z＝1－i.故选D. 答案 (1)D (2)D规律方法 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应Z (a ，b )一一对应OZ→＝(a ，b ).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 【训练2】 (1)(2019·东北三省三校二模)设i 是虚数单位，则复数11＋i在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ→对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i解析 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.答案 (1)D (2)D 考点三 复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i 1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A.0B.12C.1D. 2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i2i ＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i规律方法复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．【训练3】(1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝()A.3－2iB.3＋2iC.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i为虚数单位，则1＋i3－i＝()A.2－i5 B.2＋i5C.1－2i5 D.1＋2i5(3)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2－2z＝()A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i 解析(1)i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.(2)1＋i3－i＝（1＋i）（3＋i）（3－i）（3＋i）＝1＋2i5.(3)因为z＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，2z＝21＋i＝2（1－i）（1＋i）（1－i）＝2（1－i）1－i2＝2（1－i）2＝1－i，则z2－2z＝2i－(1－i)＝－1＋3i.故选C.答案(1)D(2)D(3)C[思维升华]1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．复数z＝a＋b i(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识．[易错防范]1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．注意复数的虚部是指在a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.(2019·合肥联考)已知复数(1＋2i)i＝a＋b i，a∈R，b∈R，则a＋b＝()A.－3B.－1C.1D.3解析因为(1＋2i)i＝－2＋i，所以a＝－2，b＝1，则a＋b＝－1，选B.答案 B2.(2018·浙江卷)复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i解析 因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以复数21－i 的共轭复数为1－i.故选B. 答案 B3.设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A.2－i B.2＋i C.1D.－1－2i解析 复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i ，故选A. 答案 A4.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1＋i)2 B.i 2(1－i) C.(1＋i)2D.i(1＋i)解析 i(1＋i)2＝i·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数．故选C. 答案 C5.设z ＝11＋i ＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A.12 B.22 C.32 D.2解析 因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.答案 B6.若a 为实数，且1＋2ia ＋i 为实数，则a ＝( )A.1B.12C.－13D.－2解析 因为1＋2i a ＋i＝（1＋2i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ）＝a ＋2＋（2a －1）ia 2＋1是一个实数，所以2a－1＝0，∴a ＝12.故选B. 答案 B7.(2019·豫南九校质量考评)已知复数a ＋i2＋i＝x ＋y i(a ，x ，y ∈R ，i 是虚数单位)，则x ＋2y ＝( ) A.1B.35C.－35D.－1解析 由题意得a ＋i ＝(x ＋y i)(2＋i)＝2x －y ＋(x ＋2y )i ，∴x ＋2y ＝1，故选A. 答案 A8.(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z －对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由题意，得z ＝（3）2＋121＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z －＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A. 答案 A 二、填空题9.(2018·天津卷)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________. 解析 6＋7i1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝20－5i5＝4－i.答案 4－i10.复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________. 解析 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5. 答案 511.(2019·西安八校联考)若a ＋b ii (a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________.解析 ∵a ＋b i i ＝（a ＋b i ）（－i ）－i 2＝b －a i ，(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，a ＋b ii (a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，∴b ＝3，a ＝－4，则a －b ＝－7，故答案为－7. 答案 －712.在复平面内，O 为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB→对应的复数为________.解析 因为A (－1，2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i. 答案 －2＋i能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(2019·上饶模拟)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i (i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2解析 因为a ＝3＋b i3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A. 答案 A14.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B. 答案 B 15.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2解析 ∵1＋i1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0. 答案 B16.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i 5B.z 的虚部为85 C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限 解析 ∵z ＝3＋2i 2－i＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i 5，∴z 的共轭复数为45－7i5，z 的虚部为75，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D. 答案 D。