直线与圆相切的性质与判断(2020年7月整理).pdf

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直线与圆的位置关系教案

直线与圆的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与圆的位置关系，掌握相关概念。

2. 学会利用直线与圆的位置关系解决实际问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

教学重点：1. 直线与圆的位置关系的判定。

2. 直线与圆的位置关系的应用。

教学难点：1. 理解并掌握直线与圆的位置关系的判定条件。

2. 解决实际问题时，如何正确运用直线与圆的位置关系。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 直线与圆的位置关系的相关例题和练习题。

教学过程：第一章：直线与圆的基本概念1.1 直线的定义及性质1.2 圆的定义及性质1.3 直线与圆的位置关系的基本概念第二章：直线与圆的位置关系的判定2.1 直线与圆相交的判定条件2.2 直线与圆相切的判定条件2.3 直线与圆相离的判定条件第三章：直线与圆的位置关系的应用3.1 求圆的方程3.2 求直线的方程3.3 求直线与圆的位置关系第四章：实际问题中的应用4.1 求点到直线的距离4.2 求点到圆心的距离4.3 求直线与圆的交点坐标第五章：综合练习5.1 判断直线与圆的位置关系5.2 求直线与圆的位置关系5.3 解决实际问题教学反思：通过本章的学习，学生应能掌握直线与圆的位置关系的基本概念，判定条件以及应用。

在教学过程中，应注意引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

通过练习题的训练，使学生巩固所学知识，提高解题能力。

第六章：直线与圆的位置关系的性质6.1 直线与圆相交的性质6.2 直线与圆相切的性质6.3 直线与圆相离的性质本章主要学习直线与圆的位置关系的性质。

学生将学习到在直线与圆相交、相切、相离的情况下，直线和圆的特定性质。

这些性质包括交点的数量、切点的位置、距离的关系等。

教学活动：通过图形和实例，让学生观察和总结直线与圆相交、相切、相离时的性质。

引导学生通过几何推理证明这些性质。

提供练习题，让学生应用这些性质解决具体问题。

教学评估：通过课堂讨论和练习题，评估学生对直线与圆位置关系性质的理解程度。

专题7圆的切线的判定与性质-重难点题型(举一反三)

专题2.2 圆的切线的判定与性质--重难点题型【知识点1 切线的判定】（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型1 切线判定（连半径，证垂直）】【例1】（2021•新兴县一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．【变式1-1】（2020秋•思明区校级期末）如图，AB是圆O的一条弦，点E是劣弧AB的中点，直线CD经过点E 且与直线AB平行，证明：直线CD是圆O的切线．【变式1-2】（2020秋•福州期末）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A作AD ⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．【变式1-3】（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB 交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线．【题型2 切线判定（作垂直，证半径）】【例2】（2020秋•原州区期末）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O 的切线．【变式2-1】（2020秋•北京期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆【变式2-2】（2020秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．求证：DE是⊙O的切线；【变式2-3】（2021•南平模拟）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，过A，C，D三点的圆O交AB于点E，已知，BD＝AD，∠BAD＝2∠DAC＝36°．（1）求证：AD是圆O的直径；（2）过点E作EF⊥BC于点F，求证：EF与圆O相切．【题型3 切线判定（定义法）】【例3】（2020秋•北塘区期中）给出下列说法：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线；（4）过圆的半径的外端的直线是圆的切线．其中正确的说法个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式3-1】（2020秋•锡山区校级月考）下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．到圆心的距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线【变式3-2】给出下列说法：①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是圆的切线；④过圆的半径的外端的直线是圆的切线；⑤经过圆心和切点的直线垂直于这条切线．其中正确的是．（填序号）【变式3-3】（2020•龙川县二模）如图，P A和⊙O相切于A点，PB和⊙O有公共点B，且P A＝PB，求证：PB是⊙O的切线．【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型4 切线的性质（求长度问题）】【例4】（2020秋•衢江区期末）如图，直线AB与⊙O相切于点C，OA交⊙O于点D，连结CD．已知OD＝CD ＝5，求AC的长．【变式4-1】（2021•温州三模）在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝2，D 是AB 边上一点，以AD 为直径的⊙O 恰好与BC 相切于点C ，则BD 的长为（）A ．1B ．2√33C ．2D ．2√55【变式4-2】（2021•湖州一模）如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 的切线DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：AB ＝AC ；（2）若AB ＝10，BD ＝8，求DE 的长．【变式4-3】（2021•陕西模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连接BC ，F 为BC 的中点，连接FO 并延长交⊙O 于点D ，过点D 的切线与CA 的延长线交于点E ．（1）求证：四边形CEDF 是矩形；（2）若AC ＝OA ＝2，求AE 的长．【题型5 切线的性质（求半径问题）】【例5】（2020秋•市中区期末）如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，过点A 作⊙O 的切线交BE 延长线于点C ．（1）若∠ADE ＝28°，求∠C 的度数；（2）若AC ＝2√3，CE ＝2，求⊙O 半径的长．【变式5-1】（2020秋•沂水县期末）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，∠ABC ＝15°，切线P A 交OC 延长线于点P ，AP =√3，则⊙O 的半径为（）A ．√33B ．√32C ．√3D ．3【变式5-2】（2021•河南模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，作OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）在不增加辅助线的情况下，请直接写出图中一对相等的角，并证明；（2）若BD ＝8，EF ＝2，求⊙O 的半径．【变式5-3】（2021•贵池区模拟）已知：在⊙O 中，AB 为直径，P 为射线AB 上一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为点C ，D 为弧AC 上一点，连接BD 、BC 、DC ．（1）如图1，求证：∠D ＝∠PCB ；（2）如图2，若四边形CDBP 为平行四边形，BC ＝5，求⊙O 的半径．【题型6 切线的性质（求角度问题）】【例6】（2021•红桥区三模）在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与边AC，BC交于点D，E，且DE＝BE．（Ⅰ）如图①，若∠CAB＝38°，求∠C的大小；（Ⅱ）如图②，过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，交AC于点G，若∠CAB＝52°，求∠BEF的大小．【变式6-1】（2021•三明模拟）从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，D是⊙O上不同于B，C的点，∠BAC＝60°，∠BDC的度数是（）A．120°B．60°C．90°或120°D．60°或120°【变式6-2】（2021•北辰区二模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，∠ABC＝58°．（Ⅰ）如图①，若∠AEC＝85°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DF，与AB的延长线相交于点F，求∠F的大小．【变式6-3】（2021•天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．。

圆的切线与切点的性质与判定

圆的切线与切点的性质与判定圆是几何学中的重要概念之一，它有很多特性和性质。

其中一个重要的性质是切线与切点的关系。

本文将介绍切线与切点的性质以及判定方法。

一、切线与切点的定义在几何学中，我们定义一个几何图形与另一个图形的一点相切时，这个点是该图形的切点，而与该图形相切的直线称为切线。

对于圆来说，切点是与圆相交于一点的直线，这条直线同时也是圆的切线。

二、切线与切点的性质1. 切点与圆心连线垂直于切线假设有一个圆，它的圆心是O，切点是A，切线是l。

根据性质，可以得出结论：切点与圆心连线AO垂直于切线l。

这一性质可以通过几何推理或使用垂直性质证明得出。

2. 切线与半径的夹角切线与半径的夹角等于90度。

对于任意一条半径OA和切线l，我们可以推导出∠OAL=90°。

这个性质也可以通过几何证明得出。

3. 切点在切线上的唯一性每条切线与圆只有一个切点。

这个切点是在圆上与切线相切的点，其他点不与切线相切。

也就是说，对于一条切线l和圆O，它们的切点A是唯一的。

4. 切线在切点处切分弦切线在切点处将切点外的弦分为两段，其中一个是切点外的弧。

三、切点的判定方法如何判断一条直线是否是圆的切线？下面是两种判定方法：1. 切线定理给定一个圆，如果一个直线与圆相交，在交点处的切角为90度，则这条直线是圆的切线。

换句话说，如果一个线段与圆相交于一点，并与半径的延长线构成90度的夹角，那么这条线段就是圆的切线。

2. 切线的斜率圆的切线的斜率与切点处圆的切线相切。

通过计算待判定的直线与给定圆的相切点的斜率，如果该斜率等于切点切线的斜率，那么这条直线就是圆的切线。

四、实际应用切线和切点的性质在几何学和物理学中有广泛的应用。

例如，在求解圆的切线问题时，可以利用切点与圆心连线垂直于切线的性质，来确定切线方程的斜率。

在实际生活中，切线和切点的性质也用于计算机图形学、光学等领域，例如，用于光线的反射和折射的计算。

总结：本文介绍了圆的切线与切点的性质与判定方法。

直线和圆的位置关系——相交、相切、相离

问题（一）
知2－讲
(1)如图（1），如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看
作一条直线，太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种
位置关系？由此你能得出直线
和圆的位置关系吗？
感悟新知
知2－讲
（2）如图（2），在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆.在纸上移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线l的公共点个数的变化情况吗？
第2章对称图形-圆
2.5
直线与圆的位置关系
第1课时直线和圆的位置关系—— 相交、相切、相离
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系
直线与圆的位置关系的判定直线与圆的位置关系的性质
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
课时导入
本课是在研究点和圆的位置关系之后，进一步研究由点组成的直线和圆的位置关系.
方法技巧练
解：∵a2＋b2＝12a＋8b－52， ∴a2－12a＋b2－8b＋52＝0. ∴(a－6)2＋(b－4)2＝0. ∴a－6＝0，b－4＝0.∴a＝6，b＝4. 又 ∵ a ， b ， c 为正整数且是 △ABC 的三边长， c 是 △ABC的最短边长，∴6－4<c≤4(c是正整数)． ∴c＝3或c＝4，即c的值是3或4.
方法技巧练
【点拨】根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的值，由 a ， b ， c 为正整数且是 △ABC 的三边长， c 是 △ABC的最短边长，即可求得c的值．
方法技巧练
解：将已知等式两边同时加上 2，得 x2＋x12＋2＋2x＋1x＝2，即x＋1x2＋2x＋1x＝2. 设 x＋1x＝y，则x＋1x2＋2x＋1x＝2 可化为 y2＋2y ＝2.配方，得 y2＋2y＋1＝2＋1，∴(y＋1)2＝3.

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳知识点精讲一、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交二、直线与圆的位置关系判断1. 几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心(,)a b 到直线0Ax By C ++=的距离，则d =则d r <⇔直线与圆相交，交于两点,P Q ，||PQ =d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离2. 代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由2220()()Ax By C x a y b r++=⎧⎨-+-=⎩ ，消元得到一元二次方程20px qx t ++=，20px qx t ++=判别式为∆，则：则0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离.三、两圆位置关系的判断是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,O O 的半径分别是,R r ，（不妨设R r >），且两圆的圆心距为d ，则：则d R r <+⇔两圆相交； d R r =+⇔两圆外切； R r d R r -<<+⇔两圆相离 d R r =-⇔两圆内切；0d R r ≤<-⇔两圆内含（0d =时两圆为同心圆）四、关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=.（2）过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=（3）过圆220x y Dx Ey F ++++=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为0000022x x y y x x y y D E F ++++⋅+⋅+= （4）求过圆222x y r +=外一点00(,)P x y 的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k 的方程，求出k 值.若求出的k 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.题型讲解题型1 直线与圆的相交关系思路提示研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长2l、弦心距d 和半径r 之间形成的数量关系222()2l d r +=.例9.28 已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1(0)2x y πθθθ+=<<，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =___________. 分析先求出圆心到直线的距离，在进行判断解析因为圆心(0,0)到直线l 的距离为1，又因为圆O 4个点符合条件. 评注若圆O 上到直线l 的距离等于2的点的个数为k ，则2k =；若3k =，则圆O 上到直线l 的距离等于1变式1已知圆O ：224x y +=，直线l ：1x ya b+=，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数有两个，则2211a b +的取值范围___________. 例9.29 已知圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=，（1）当直线l 与圆C 相交时，求实数a 的取值范围;（2）当直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =l 的方程.分析根据点到直线距离等于半径来度量直线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆相交问题. 解析（1）圆C ：22(4)4x y +-=，故圆心为(0,4)C ，因为直线l 与圆C 相交，所以圆心为(0,4)C 到直线l 的距离2d =<，解得34a <-，故实数a 的取值范围是3(,)4-∞-（2）由题意，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =224+=，化简可得2870a a ++=，即1a =-或7a =-，故所求直线的方程为20x y -+=或7140x y -+=.评注在处理直线与圆的相交问题时经常用到三长关系，即半弦长，弦心距，半径长构成直角三角形的三边.变式1 对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（） A ．相离 B. 相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心变式 2 过点(1,2)--的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为，则直线l 的斜率为__________.变式3 已知直线l 经过点(1,3)P -且与圆224x y +=相交，截得弦长为l 的方程.例9.30 过点(1,1)P 的直线l 与圆22:(2)(3)9C x y -+-=相交于,A B 两点，则||AB 的最小值为（）A.解析设圆心(2,3)C 到直线l 的距离d ，由弦长公式||AB ==可知当距离最大d 时，弦长||AB 最小.又||d CP ≤==，当直线l CP ⊥时取等号，故max d =.所以max ||4AB ===.故选B评注过圆内一定点的所有弦中，过此点的直径为最长弦，过此点且垂直于该直径的弦为最短弦. 变式1 过点(11,2)A 做圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（） A. 16 条 B. 17条 C. 32条 D. 34条例9.31 已知圆的方程为22680x y x y +--=.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A. 解析 22680x y x y +--=可化为22(3)(4)25x y -+-=，故圆心坐标(3,4)，半径为5，点(3,5)在圆内，因为AC 最长，所以AC 为直径，即||10AC =，BD 最短，且BD 过点(3,5)，所以||BD ==，所以1||||2S AC BD == B变式1 如图所示，已知AC ,BD 为圆O ：224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为__________.例9.32 （2012北京海淀高三期末理13改编）已知圆22:(1)2C x y -+=，过点(1,0)M -的直线l 交圆C 于,A B 两点，若0CA CB ⋅=（C 为圆心），则直线l 的方程为__________. 解析设直线:(1)l y k x =+，即:l 0kx y k -+= 则圆心到直线l 的距离为d =又0CA CB ⋅=，故CA CB ⊥，即△ABC 是等腰三角形，2C π∠=.所以sin142d r π====即k =±，故直线l ：10x +=或10x ++= 变式 1 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(2,0)M -的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点.若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程.变式2 已知圆C ：22(1)(6)25x y ++-=上的两点,P Q 关于直线l :8y kx =+对称，且0OP OQ ⋅=（O 为坐标原点），求直线PQ 的方程题型2 直线与圆的相切关系思路提示若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，切线的几何性质为：圆心和切点的连线垂直于切线. 例9.33 求经过点(1,7)-与圆2225x y +=相切的直线方程.分析将点(1,7)-代入圆方程得221(7)5025+-=>，知点(1,7)-是圆外一点，故只需求切线的斜率或再求切线上另一点坐标.解析解法一：依题意，直线的斜率存在，设所求切线斜率为k ，则所求直线方程为7(1)y k x +=-，整理成一般式为70kx y k ---=.由圆的切线的性质，5=，化简得3127120k k --=，解得43k =或34k =-. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.解法二：依题意，直线的斜率存在，设所求切线方程为0025x x y y +=（00(,)x y 是切点），将坐标(1,7)-代入后得00725x y -=，由00002272525x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得0043x y =⎧⎨=-⎩或0034x y =-⎧⎨=-⎩. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.评注已知圆外一点，求圆的切线方程一般有三种方法：①设切点，用切线公式法；②设切线斜率，用判别式法：③设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径.一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况.变式1 已知圆22:(1)(2)4C x y -+-=，求过点(1,5)P -的圆的切线方程.变式2 直线l (2)2y k x =-+与圆22:220C x y x y +--=相切，则的一个方向向量为（） A. (2,2)- B. (1,1) C. (3,2)- D. 1(1,)2例9.34 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求入射光线l 所在直线的方程.分析利用对称性解决此类反射问题.根据光学特征，对称性的使用既可以使用点的对称，也可以使用圆的对称.解析已知圆22(2)(2)1x y -+-=关于x 轴的对称圆'C 的方程为22(2)(2)1x y -++=，可设光线所在直线方程为3(3)y k x -=+，所以直线l 与圆'C 相切，圆心'(2,2)C -到直线l 的距离1d ==，解得43k =-或34k =-. 所以光线所在的直线l 方程为4330x y ++=或3430x y +-=.变式 1 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线'l 所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求反射光线'l 所在直线的方程.题型3 直线与圆的相离关系思路提示关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题.例9.35 （1）直线:1l y x =-的点到圆22:4240C x y x y ++-+=上的点的距离最小值是____________. （2）由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（）分析过直线1y x =+上任意一点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线PQ ，即可得到1||PQ O Q PQ ⊥==，那么，当切线长PQ 取最小值时，即1O P 取最小值.解析（1）圆C 可化为22(2)(1)1x y ++-=，故圆心(2,1)C -到直线1y x =-的距离d ==1d r -=（3）过1O 作1O H 垂直于直线1y x =+于点H ，过H 作HR 相切圆1O 与R ，连接1O R ，则切线长的最小值为||HR ，圆心(3,2)-到直线10x y -+=的距离d ==，||HR =，故选A.变式1 已知点P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两切线，,A B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（）A. 3B.2C. 变式 2 已知圆22:1O x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =.（1）求实数,a b 间满足的等量关系；（2）求线段PQ 长的最小值.题型4 圆与圆的位置关系思路提示已知两圆半径分别为12,r r ，两圆的圆心距为d ，则：（1）两圆外离12r r d ⇔+<；（2）两圆外切12r r d ⇔+=；（3）两圆相交1212||r r d r r ⇔-<<+；（4）两圆内切12||r r d ⇔-=；（5）两圆内含12||r r d ⇔->；两圆外切和内切较为重要，这两种位置关系常与椭圆和双曲线的定义综合考查.例9.36 圆221:20O x y +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（）A. 外离B. 相交C. 外切D. 内切分析判断圆心距与两圆半径的关系解析由圆221:20O x y +-=得1(0,0)O ，1r圆222:40O x y y +-=得2(0,2)O ，22r =，121212||||2r r O O r r -<=<+，两圆相交，故选B.变式1 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.变式2 在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线l ：24y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.例9.37 已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m ++-+= （1）m 取何值时两圆外切.（2）m 取何值时两圆外切，此时公切线方程是什么？（3）求45m =时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长度.分析把两圆的一般方程化为标准方程，求两圆的圆心距d ，判断d 与R r +，R r -的关系，再用圆的几何性质分别解决（2）（3）问. 解析两圆的标准方程分别为22(1)(3)11x y -+-=，22(5)(6)61,(61)x y m m -+-=-<，圆心分别为(1,3),(5,6)M N（1） =25m =+（2）小于两圆圆心距55=，解得，两圆方程222610x y x y +---=与2210120x y x y m ++-+=，相减得861250x y +--+=代入，得43130x y +-+=.（3）两圆的公共弦所在直线方程为2222(261)(101245)0x y x y x y x y +----+--+=，即43230x y +-=，所以公共弦长为=评注应注意两圆位置关系由圆心距和两圆半径的和与差的大小关系来确定.变式1 若圆224x y +=与圆22260(0)x y ay a ++-=>，公共弦的长为a =___________.变式2 设两圆12,C C 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆的圆心距离12||C C =（）A. 4B. 有效训练题1. 已知点(,)P a b 在圆C ：224x y +=内（异于圆心），则直线10ax by ++=与圆C 的位置关系是（） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 2.已知a b ≠，且2sin cos 04a a πθθ+-=，2sin cos 04b b πθθ+-=，则连接2(,)a a ，2(,)b b 两点的直线与单位圆的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定3.设,m n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（）A. 1⎡-⎣B. (),11⎡-∞⋃+∞⎣C. 2⎡-+⎣D. (),22⎡-∞-⋃++∞⎣4.若直线1x ya b+=经过点(cos ,sin )M αα，则（）A. 221a b +≤B. 221a b +≥ C.22111a b +≤ D. 22111a b +≥5.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，该直线的方程为（）A. 20x y +-=B. 10y -=C. 0x y -=D. 340x y +-=6.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是（） A. []3,1-- B. []1,3- C. []3,1- D. (][),31,-∞-⋃+∞7. 设,m n R ∈，若直线10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△ABC 面积的最小值为___________8.过点(4,0)-作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于,A B 两点，如果||8AB =，则l 的方程为__________.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则的最大值是_______. 10.已知点(3,1)M ，直线40ax y -+=及圆22(1)(2)4x y -+-=. （1）求过点M 的圆的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆相切，求a 的值（3）若直线40ax y -+=与圆相交于,A B 两点，且AB 弦的长为a 的值11.已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=（M 为圆心），直线的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B . （1）若060APB ∠=，试求点的坐标；（2）若点P 的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当CD =CD 的方程；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.12. 已知圆C 过点(1,1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称. （1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值.（M 为圆M 的圆心）；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由.。

直线与圆的位置关系与性质知识点总结

直线与圆的位置关系与性质知识点总结直线与圆是几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系与性质对于解决几何问题非常重要。

在这篇文章中，我们将总结直线与圆的常见位置关系，并讨论它们的性质。

一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的相交关系当直线与圆有交点时，我们可以得出以下几种情况：- 直线与圆相交于两点：直线穿过圆的中心，此时直径是直线的特例。

- 直线与圆相交于一个点：直线与圆相切，切点称为切点。

- 直线位于圆的内部，没有交点。

- 直线位于圆的外部，也没有交点。

2. 直线与圆的位置关系特例- 切线：直线与圆相切的情况，称为切线。

与圆相切的直线垂直于半径，切点在直线上的法线与从切点到圆心的半径垂直。

- 弦：直线穿过圆，但不过圆心的情况，称为弦。

通过圆心的弦称为直径，且直径是弦中最长的一条线段。

二、直线与圆的性质1. 切线定理定理一：若一条直线与圆相切于切点A，则以切点A为顶点的两条锐角与此直线所夹的圆弧相等。

定理二：若从圆外一点作直线与圆相切于切点A，则此直线与以此点为端点的弦相交处的两个锐角是一对互补角。

2. 弦长定理定理三：若两条弦相交于切点A，则两条弦分割的圆周上的弧长乘积相等。

3. 直径定理定理四：直径是穿过圆心的弦，正好是弦分割的两条弧的半径之和。

4. 割线定理定理五：若两条割线相交于切点A，则此割线与此切点所在的直线上的弦分割的互补角是一对互补角。

三、直线与圆的应用1. 问题一：判断直线是否与圆相交或相切当我们需要解决直线与圆的位置关系问题时，可以利用以下方法：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程并求解交点。

- 使用定理：利用判断圆内点的方法，或使用切线定理判断直线与圆是否相切。

2. 问题二：求解直线与圆的交点坐标当直线与圆相交于两点时，我们可以利用以下方法求解交点坐标：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程，联立方程并求解交点坐标。

3. 问题三：判断两条直线是否为切线或相交于切点当我们需要判断两条直线是否为切线或相交于切点时，可以利用以下方法：- 使用切线定理：若两条直线与圆相切于同一切点，则可判断它们为切线或相交于切点。

高中数学选择性必修一《2.5.1 第一课时直线与圆的位置关系》课件

答案：4 5
题型一直线与圆位置关系的判断 [学透用活]
[典例 1] 求实数 m 的取值范围，使直线 x－my＋3＝0 与圆 x2＋y2－6x＋5＝0 分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
[解] 圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3,0)到直线 x－my＋3＝0 的距离为 d＝ m62＋1，圆
)
A．0 或 2
B．2
C． 2
D．无解
解析：由圆心(0,0)到直线
x＋y＋m＝0
的距离为半径得|m|＝ 2
m，解得 m＝2.
答案：B
4．直线 y＝2x＋3 被圆 x2＋y2－6x－8y＝0 所截得方程可化为 (x － 3)2 ＋ (y － 4)2 ＝ 25. 故圆心为 (3,4)，半径 r＝5.又直线方程为 2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为 d＝|2×34－＋41＋3|＝ 5，所以弦长为 2 r2－d2 ＝2× 25－5＝4 5.
2．[变条件]若将本例中条件“与直线 y＝x＋2 平行”换为“过点 P(5,1)”其他条件不变，结论又如何呢？
解：设所求切线方程为 y－1＝k(x－5)，即 kx－y－5k＋1＝0. 由|2k－3k－2＋5k1＋1|＝2 2.得 k＝－6±2 10. 故所求切线方程为(－6＋2 10)x－y＋31－10 10＝0 或(－6 －2 10)x－y＋31＋10 10＝0.
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝4 和直线 l：kx－y－4k＋3＝0，
(1)求证：不论 k 取何值，直线和圆总相交； (2)求当 k 取何值时，圆被直线 l 截得弦最短，并求最短弦长的值.

直线与圆相切的性质与判断

直线与圆的性质与判定【知识要点】1. 直线与圆相切性质(1)如果直线与圆相切，则二者只有一个交点。

(2)如果直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径。

(3)如果直线与圆相切，切线垂直于过切点的半（直）径2.直线与圆相切的判定(1)定义法(2)切线判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线3.三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三内角平分线的交点，内切圆的圆心叫做三角形的内心。

【习题讲炼】1.如图1，AB、AC分别是⊙O的直径和切线，BC交⊙O于D，AB＝8，AC＝6，则AD＝．2.如图，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB＝2，半圆O的半径为2，则BC的长为。

3.如图，PA PB，切⊙O于点A B，，点C是⊙O上一点，且65ACB∠=，则P∠=度．4.如图4，是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若25A=∠，则D=∠______．5.如图5，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于P，如果4cmAB=，则图中阴影部分的面积为2cm（结果用π表示）．6.如图6，在ABC△中，10AB=，8AC=，6BC=，经过点C且与边AB相切的动圆与CA CB，分别相交于点P Q，，则线段PQ长度的最小值是。

7.如图7，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于(02)M，，(08)N，两点，图3A则点P 坐标是。

8．如图8所示，已知△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 上的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D 。

求证：AC 与⊙O 相切9．如图9所示，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，DE ⊥AC ，求证：DE 是⊙O 的切线10.如图10，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过点B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？并证明你的结论．(2)设⊙O 的半径为2，AD x =，BD y =，用含x 的式子表示y ． (3)BC 与⊙O 是否有可能相切?若不可能相切，则说明理由；若能相切，则指出x 为何值时相切．12.如图12，⊙O 的直径AB =6cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ． (1) 若CPA ∠=30°，求PC 的长；(2)若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ，你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的值．13.如图13，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，且平分BAD ∠，AD CD ⊥，垂足为D ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的直径为4，3AD =，试求BAC ∠的度数．14. 如图14在Rt ACB △中，90C ∠=，3AC =，4BC =，D E ，分别是边AB ，AC 的中点．⊙O 过点D E ，且与AB 相切于点D ，求⊙O 的半径r ．C15.如图15，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，C 是劣弧BD⌒ 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2， EC ＝1．（1）求证：DEC △∽ADC △；（2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．（3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ．求证：CH 是⊙O 的切线．的坐标；若不存在，请说明理由．17.如图17，AB是⊙O的直径，∠BAC= 60 ，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C 的切线CD交PQ于D，连结OC．（1）求证：△CDQ是等腰三角形；（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

第27讲与圆有关的位置关系(课件)中考数学一轮复习(全国通用)

【说明】掌Байду номын сангаас已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与
1. 点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
位置关系
图形
半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可
以确定该点与圆的位置关系．
定义
性质及判定
点在圆的外部
d > r 点P在圆外
点在圆周上
d = r 点P在圆上
点在圆的内部
内切
内含
O2
d
性质及判定
无
> + ⇔两圆外离
1个切点
= + ⇔两圆外切
两个交点
− < < + ⇔两圆相交
1个切点
= − ⇔两圆内切
R
r
O1
O2
d
r
相交
公共点个数
O1
R
d
O2
rd R
O1 O2
R
r d
O1 O2
无
0 ≤ < − ⇔两圆内含
∴圆A与圆C外切，圆B与圆C相交，圆A与圆B外离，
故选：D．
）
考点二切线的性质与判定
1.切线的性质与判定
定义
线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．）
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
）
考点二切线的性质与判定
题型02 利用切线的性质求线段长

27.4 直线与圆的位置关系(作业)(解析版)

27.4 直线与圆的位置关系（作业）一、单选题1．（2020·上海市建平中学西校九年级月考）下列命题中真命题是（）A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心C．相等的圆心角所对的弦相等D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线【答案】B【分析】根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，切线的判定定理判断即可．【详解】A.平分弦（不是直径）的半径垂直于弦，本选项说法是假命题；B.垂直平分弦的直线必经过圆心，本选项说法是真命题；C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，本选项说法是假命题；D.经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，本选项说法是假命题；故选：B．【点睛】本题主要考查了圆中相关命题正误的判断，熟练掌握垂径定理，圆心角、弦、弧的关系定理，切线的判定定理等知识是解决本题的关键．2．（2020·上海大学附属学校九年级三模）下列说法中，正确的是（）A．垂直于半径的直线是圆的切线；B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线；C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线；D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线．【答案】B【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，逐项分析即可．【详解】由切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得出只有答案B符合，故选：B．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，属于基础性题目，难度不大．3．（2020·上海九年级一模）已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（）A．⊙C与直线AB相交B．⊙C与直线AD相切C．点A在⊙C上D．点D在⊙C内【答案】D【分析】根据点和圆的位置关系及直线和圆的位置关系判断即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝13，AB＝5，∴BC＝12，∵⊙C的半径长为12，∴⊙C与直线AB相切，故A选项不正确，∵CD＝AB＝5＜12，∴⊙C与直线AD相交，故B选项不正确，∵AC＝13＞12，∴点A在⊙C外，故C选项不正确，∵CD＝5＜12，∴点D在⊙C内，故D选项正确，故选：D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的判定及点与圆的位置关系是解题的关键．4．（2020·上海九年级一模）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【答案】C【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C选项正确，故选：C．【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．5．（2020·上海九年级一模）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；D．经过一条弦的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【答案】C【分析】逐一对选项进行分析即可.【详解】A选项中圆的切线不是经过半径上任一点，而是经过半径的非圆心一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.故该选项错误；B选项中，必须经过半径的非圆心的一端并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线.故该选项错误；C选项中经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该选项正确；D选项中，不是经过任一条弦的外端且垂直于这条半径的直线就是圆的切线.故该选项错误.故选C【点睛】本题主要考查切线的意义和性质，掌握切线的性质是解题的关键.6．（2020·上海九年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（）A．4＜OC≤133B．4≤OC≤133C．4＜OC143£D．4≤OC143£【答案】B【分析】作DE⊥BC于E，当⊙O与边AD相切时，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝133；即可得出结论．【详解】作DE⊥BC于E，如图所示：则DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，∴CE＝4＝DE，当⊙O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝133；∴以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4≤x≤133；故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角梯形的性质，分情况讨论是解题的关键．7．（2020·上海九年级专题练习）在直角坐标平面内，已知点M(4，3)，以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，那么r 的取值范围为( )A ．0r 5<<B ．3r 5<<C ．4r 5<<D ．3r 4<<【答案】D【分析】先求出点M 到x 轴、y 轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．【详解】解：∵点M 的坐标是（4，3），∴点M 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，∵点M （4，3），以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，∴r 的取值范围是3＜r ＜4，故选：D ．【点睛】本题考查点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．8．（2020·上海九年级专题练习）已知⊙O 1与⊙O 2内切于点A ，⊙O 1的半径等于5，O 1 O 2=3,那么O 2A 的长等于（）A ．2B ．3C ．8D ．2或8【答案】D【分析】根据题意可知分两种情况讨论即可求解.【详解】根据题意可知分两种情况讨论：①O 1A ＞O 2A ，∵O 1A =5，O 1 O 2=3,∴O 2A= O 1A-O 1 O 2=2①O 2A ＞O 1A ，∵O 1A =5，O 1 O 2=3,∴O 2A= O 1A+O 1 O 2=8故选D.【点睛】此题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是根据题意分情况讨论.9．（2019·上海江湾初级中学九年级三模）如图，O e 的半径为4，点A ，B 在O e 上，点P 在O e 内，3sin APB 5Ð=，AB PB ^，如果OP OA ^，那么OP 的长为( )A ．53B ．3C ．95D ．43【答案】D【分析】如图，连接OB ，作BM OP ^交OP 的延长线于M ，作AN MB ^交MB 的延长线于N.则四边形AOMN 是矩形，推出A 、O 、P 、B 四点共圆，根据圆周角定理得到BOP BAP ÐÐ=，根据三角函数的定义设BM 4k =，OM 3k =，根据勾股定理得到4k (5=负根已经舍弃)，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图，连接OB ，作BM OP ^交OP 的延长线于M ，作AN MB ^交MB 的延长线于N.则四边形AOMN 是矩形，AOP ABP 90ÐÐ==o Q ，A \、O 、P 、B 四点共圆，BOP BAP ÐÐ\=，3sin APB 5Q Ð=，4tan BAP 3Ð\=，4BM tan BOM tan BAP 3OM ÐÐ===，设BM 4k =，OM 3k =，在Rt OMB V 中，222(4k)(3k)4+=，解得4k (5=负根已经舍弃)，16BM 5\=，12OM 5=，4BN MN BM 5=-=，MBP BPM 90o Q ÐÐ+=，MBP ABN 90ÐÐ+=o ，BPM ABN ÐÐ\=，BMP ANB 90ÐÐ==o Q ，BMP \V ∽ANB V ，PB PM AB BN\=，4PM 435\=，16PM 15\=，4OP OM PM 3\=-=．故选D ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．二、填空题10．（2020·上海市建平中学西校九年级月考）在Rt ABC V 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，若以点C 为圆心，以2cm 长为半径的圆与斜边AB 相切，那么BC 的长等于_____．【答案】【分析】如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得CD AB ^，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得45B Ð=°，然后在Rt BCD V 中，根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．【详解】如图，设圆与斜边AB 的切点为点D ，连接CD ，则2CD cm=由圆的切线的性质得：CD AB^90,C AC BCÐ=°=Q Rt ABC \V 是等腰直角三角形，45B Ð=°Rt BCD \V 是等腰直角三角形2,CD BD cm BC \====故答案为：．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，掌握理解圆的切线的性质是解题关键．11．（2020·上海九年级一模）两圆的半径之比为3:1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为__________．【答案】2【分析】只需根据两圆的半径比以及两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，列方程求得两圆的半径；再根据两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差求解．【详解】设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则有r：R＝1：3；又R＋r＝4，解，得R＝3，r＝1，∴当它们内切时，圆心距＝3−1＝2．故答案为：2．【点睛】此题考查了两圆的位置关系与数量之间的联系．解题的关键是正确的求出两个半径．12．（2020·上海九年级专题练习）已知在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=3，BC=4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为______.【答案】12 5【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据圆相切的性质得出CD⊥AB，CD即为⊙C的半径，然后根据三角形面积列出等式，即可解得CD.【详解】设切点为D，连接CD，如图所示∵∠C=90º，AC=3，BC=4，∴AB5 ===又∵⊙C与斜边AB相切，∴CD⊥AB，CD即为⊙C的半径∴1122ABCS BC AC AB CD =×=×△∴125 CD=故答案为12 5 .【点睛】此题主要考查圆相切的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.13．（2019·上海九年级其他模拟）在△ABC中，AB = AC = 5，tanB =43. 若⊙O的半径为，且⊙O经过点B与C，那么线段OA的长等于________.【答案】3或5【分析】根据题意可得△ABC为等腰三角形，且∠A为顶角，根据tanB的值可以得出BC=8，经过B、C两点的圆的圆心在BC的中垂线上，然后根据圆心在三角形内和三角形外两种情况进行分类讨论．【详解】解：分两种情况考虑：（i）如图1所示，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO垂直平分BC，∴OA⊥BC，D为BC的中点，在Rt△ABD中，AB＝5，tan∠ABC＝43＝ADBD，设AD＝4x，BD＝3x，由勾股定理得：（3x）2＋（4x）2＝52，解得x＝1，∴BD＝3，AD＝4，在Rt△BDO中，OD1=，BD＝3，则AO＝AD＋OD＝4＋1＝5；（ii）如图2所示，AO＝AD−OD＝4−1＝3；综合上述，OA的长为3或5．故答案为：3或5．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．三、解答题14．（2020·上海九年级二模）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．（1）求证：AB＝AC；（2）联结OM 、ON 、MN ，求证：MN OM AB OA=．【分析】（1）过点O 作OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，利用角平分线的性质和垂径定理即可得出答案；（2）联结OB ，OM ，ON ，MN ，首先证明BOM AON @V V ，然后再证明NOM BOA V :V ，根据相似三角形的性质即可得出答案．【详解】证明：（1）过点O 作OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，如图所示：∵AO 平分∠BAC ．∴OD ＝OE ．222222,AD AO OD AE AO OE =-=-Q ，AD AE \=．,OD AB OE AC ^^Q ，2,2AB AD AC AE \==，∴AB ＝AC ；（2）联结OB ，OM ，ON ，MN ，如图所示，∵AM＝CN，AB＝AC∴BM＝AN．∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO．∵∠BAO＝∠OAN，∴∠B＝∠OAN，∴△BOM≌△AON（SAS），∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，∴∠AOB＝∠MON，∴△NOM∽△BOA，∴MN OM AB OA=．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及圆的有关性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．。

直线与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

北师大版数学选择性必修
第一册
1.掌握直线与圆的位置关系的两种判定方法.
2.能利用圆心到直线的距离、半弦长、圆的半径三者之间的关
课标定位
素养阐释
系,解决有关弦长的问题.
3.理解一元二次方程根的判定及根与系数的关系,并能利用它们
解一些简单的直线与圆的关系问题.
4.通过对直线与圆位置关系的学习,培养数形结合思想,提升逻
率为0,所以切线方程为y=-4,即y+4=0.
求圆的切线方程的三种方法
(1)几何法:设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量.此
种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出
切线方程.
(2)代数法:设出切线方程后与圆的方程联立消元,利用判别式等于零,求出
未知量.若消元后的方程为一元一次方程,则说明要求的切线中,有一条切
2
( 5) -
10
2
2
=
10
,
2
所以弦长|AB|= 10.
32 +12
=
10
||
,所以半弦长为 2
2
=
2 -2 =
1.若本例改为:直线 l 过点(0,6)且被圆 C:x2+y2-2y-4=0 截得的弦长|AB|= 10,
试求直线 l 的方程.
解:当过点(0,6)的直线的斜率不存在时,直线的方程为 x=0.
辑推理和数学运算素养.
自主预习新知导学
一、直线与圆的位置关系
【问题思考】
1.(1)清晨,太阳从东方渐渐升起,如果将地平线看作一条直线,太阳看作一
个圆,那么在太阳升起的过程中,太阳与地平线有哪几种位置关系?
提示:相交、相切、相离.

高考直线与圆知识点

高考直线与圆知识点直线与圆是高中数学中重要的几何概念之一，也是高考中常考的知识点。

了解直线和圆的性质，能够灵活运用相关定理和公式，对解题和理解几何问题有很大帮助。

本文将介绍高考直线与圆的一些重要知识点，帮助同学们更好地掌握相关内容。

一、直线的斜率直线的斜率是指直线在平面直角坐标系中与$x$轴正方向夹角的正切值。

设直线L的斜率为$k$，则有斜率公式：\[k = \tan \theta = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$为直线上的两个点。

直线的斜率决定了其在平面直角坐标系中的倾斜程度。

二、直线的方程直线的方程可以由直线上的一点和其斜率求得。

直线的一般方程形式为$Ax + By + C = 0$，其中$A$、$B$、$C$为常数。

而直线的斜截式方程为$y = kx + b$，其中$k$为斜率，$b$为截距。

根据已知信息，可以通过这两种形式的方程来确定直线的位置和性质。

三、圆的方程圆的方程可以用不同的方式表示。

设圆的圆心坐标为$(a, b)$，半径为$r$，则有以下三种常见的圆的方程形式：标准方程、一般方程和截距方程。

1. 标准方程：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$2. 一般方程：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中$D$、$E$、$F$为常数。

3. 截距方程：$\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1$，其中$a$、$b$分别是$x$轴和$y$轴上的截距。

四、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系主要有以下三种情况：- 直线与圆相离，即直线不交圆。

- 直线与圆相切，即直线与圆只有一个交点。

- 直线与圆相交，即直线与圆有两个交点。

2. 判断直线和圆的位置关系的方法有很多，常用的是判别式法和距离关系法。

平面几何中的圆与直线的位置关系与弦切角性质

弦切角在几何作图中的应用
弦切角定理：在圆中，弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
应用实例：利用弦切角定理可以解决一些几何作图问题，例如作圆的切线、求作三角形内切圆等。
证明过程：通过构造辅助线，利用弦切角定理可以证明一些几何定理，例如切线长定理、塞瓦定理等。
实际应用：在几何作图中，弦切角定理的应用非常广泛，可以帮助我们解决一些实际问题，例如建筑设计、机械制造等领域的问题。
添加标题
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相交的条件：直线与圆心的距离小于圆的半径。
弦长公式：弦长等于2倍的根号下（半径的平方减去圆心到直线的距离的平方）。
相切
圆与直线相切的定义：直线与圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于圆的半径。
相切的条件：直线与圆心的距离等于圆的半径，或者直线通过圆心。
平面几何中的圆与直线的位置关系与弦切角性质
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添加目录项标题弦切角性质
圆与直线的位置关系应用实例
01
添加章节标题
02
圆与直线的位置关系
相交
圆与直线相交的定义：直线与圆有且仅有一个公共点，即直线穿过圆。
相交的弦：连接圆心与交点的线段称为弦。
添加标题
04
应用实例
弦切角在解题中的应用
利用弦切角定理求圆的切线长利用弦切角定理证明几何定理利用弦切角定理解决实际问题弦切角定理与其他几何定理的综合应用
弦切角定理在实际问题中的应用
介绍弦切角定理的基本概念和性质举例说明弦切角定理在几何作图中的应用介绍弦切角定理在解析几何和三角函数中的应用举例说明弦切角定理在解决实际问题中的应用

讲直线与圆的位置关系圆周角定理

利用圆周角定理解题的示例
示例1
• 分析
示例2
• 分析
已知圆O中的弦AB与弦CD 相等，且AB、CD所对的圆周角分别为∠AOB和∠COD 。求证：∠AOB=∠COD。
根据圆周角定理，我们知道相等的弧所对的圆周角相等，因此我们可以通过证明AB 、CD所对的弧相等来证明 ∠AOB=∠COD。又因为 AB=CD，所以弧AB=弧CD ，因此∠AOB=∠COD。
在圆O中，已知弦AB的两个端点与点C构成的圆周角分别为∠ACB和∠ADB，且 ∠ACB=60°。求∠ADB的大小。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此 ∠ADB=∠ACB=60°。
04 直线、圆与圆周角定理的综合应用
直线与圆的综合题目解析
解析方法
在解析直线与圆的位置关系时，可以通过比较圆心到直线的距离与圆的半径大小来确定其位置关
03 圆周角定理的介绍与证明
圆周角的定义
定义
圆周角是指顶点在圆上，且角的两边与圆相交的角。
特点
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
圆周角定理的内容与证明
内容
同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
证明
可以通过在圆内作直径，利用直径所对的圆周角是直角，以及三角形全等的性质进行证明。此证明过程有效地体现了数学中的逻辑推理与几何直观的结合。
示例2：给定一个圆和一个点，要求找出通过这个点且与圆相切的直线。利用切线长定理，我们可以确定切线的位置并通过计算得出所需的切线方程。
示例1：已知一直线与圆相切于A点，且圆外一点P到直线的垂线段交直线于点B。利用切线长定理，我们可以求解线段PA、PB和AB之间的关系。

直线与圆的切线与切点的应用知识点总结

直线与圆的切线与切点的应用知识点总结直线与圆是几何学中的常见概念，在解决与其相关的问题时，可以利用切线与切点的应用知识。

本文将对直线与圆的切线与切点的应用进行总结，以帮助读者更好地理解和运用这一知识点。

一、切线的定义与性质在切线的运用中，我们首先需要了解切线的定义与性质。

对于一个圆，切线可以被定义为与圆相切于一点的直线。

根据这一定义，我们可以得出以下几个性质：1. 切线与半径垂直：切线与圆相切于一点，与该点处的半径垂直。

2. 切线的唯一性：通过圆外一点可以作一条且只能作一条切线。

3. 切线与圆心连线的角度：切线与圆心连线的夹角为90度。

这些性质为我们分析和解决与直线与圆相关的问题提供了基础。

二、直线与圆的切线方程当我们需要确定直线与圆的切点时，可以通过求解直线与圆的方程来得到。

以下是几种常见的情况：1. 直线与圆相交于两点：当直线与圆相交于两个点时，这条直线不是切线。

求解该问题需要将直线方程代入圆的方程，并通过解方程组得到切点的坐标。

2. 直线与圆相切于一点：当直线与圆相切于一点时，这条直线为切线。

求解该问题可以通过将直线方程代入圆的方程，然后令两方程的根相等，解方程得到切点的坐标。

3. 直线与圆相离：当直线与圆不相交、不相切时，直线无切点。

求解该问题需要通过圆心到直线的距离判断直线与圆是否相离。

通过求解切线方程，我们可以获得与直线与圆相交或相切的切点，从而解决与直线与圆相关的问题。

三、切线定理在应用切线定理时，我们可以利用圆内的两条切线和它们的切点形成的四边形，从而推导得出如下定理：当两条切线相交时，切点与圆心连线所夹的角相等。

利用切线定理，我们可以求解与切线和切点有关的角度问题，推导切线与切点之间的关系。

四、应用示例下面通过几个实际问题的案例，来应用切线与切点的知识。

1. 已知一个圆心为O，半径为r的圆，一条直线与圆相交于A、B 两点，求证：AO=BO。

解析：由于A、B分别为圆的切点，根据切线与半径垂直的性质可知OA与OB分别为两条切线与圆心连线，因此OA与OB相等。

圆的切线判定的模型分类

圆的切线判定的模型分类圆的切线判定是对于给定的一个圆和一个直线，判断该直线和圆的关系，并确定是否存在切线。

在几何学中，圆是一个平面上的所有点到一个固定点的距离相等的集合，而切线是与圆相切的直线。

由于圆的性质和方程的不同，圆的切线判定可以分为以下几种不同的模型分类。

1.几何模型：-切线长度：根据切线与圆的交点个数，可以将切线分为两种情况：一是存在一个切点，即切线和圆有一个交点；另一种是切线与圆相切于一个点，即切线与圆有且只有一个交点。

对于圆的切线问题，一般情况下只考虑存在且只存在一个切点的情况。

-切线方向：根据切线与圆的位置关系，可以将切线分为两种情况：一是内切线，即切线与圆在圆内部相切；另一种是外切线，即切线与圆在圆外部相切。

-切线的位置：根据切线与圆的位置关系，可以将切线进一步分类为以下三种情况：一是切线在圆的内部，即切线与圆的交点都在圆的内部；第二种是切线与圆在一点处相切，即切线与圆的交点在圆的边界上；第三种是切线与圆在圆外相切，即切线与圆的交点都在圆的外部。

2.数学模型：-圆的方程：对于给定的一个圆，可以通过圆的中心坐标和半径来表示圆的方程。

圆的方程可以是一元二次方程，即(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心的坐标，r为圆的半径。

在切线的判定中，可以根据给定的圆的方程和直线的方程得到圆和直线的位置关系和交点个数，从而判断切线是否存在。

- 直线的方程：判断直线和圆的切线关系可以通过直线的方程和圆的方程进行求解。

直线的方程可以是一元一次方程，即y = kx + b，其中k 为斜率，b为截距。

通过将直线的方程代入圆的方程，可以得到一个二次方程，通过求解二次方程的解来判断切线的存在性和位置关系。

3.几何推理模型：-相交判定：判断圆和直线相交的关系可以利用圆与直线的判别式，即将直线的方程代入圆的方程得到一个二次方程，通过求解二次方程的解来判断交点个数。

当二次方程有两个不等实数根时，说明圆与直线相交于两个点；当二次方程有两个相等实数根时，说明圆与直线相切于一点，只存在一个切点；当二次方程没有实数根时，说明圆与直线没有交点。

2024年初中数学圆的知识点总结(2篇)

2024年初中数学圆的知识点总结____年初中数学圆的知识点总结1. 圆的定义和性质- 圆是平面上的一组点，这些点与给定点的距离相等。

给定的点叫作圆心，距离叫作半径。

- 圆的直径是通过圆心的一条线段，且两端点在圆上。

- 圆的弦是圆上任意两点之间的线段。

- 圆的弧是圆上两点之间的一段曲线部分。

- 圆的周长是圆上任意一条弧的长度。

2. 圆的公式和关系- 圆的周长公式：C = 2πr，其中 C 为周长，r 为半径，π 为圆周率（近似值为3.14159）。

- 圆的面积公式：A = πr²，其中 A 为面积，r 为半径。

- 两个圆的大小关系：若圆 A 的半径大于圆 B 的半径，则圆 A 的面积大于圆 B 的面积，圆 A 的周长大于圆 B 的周长。

3. 圆的幂定理- 幂定理：给定一条直线和一个圆，若直线与圆相交于两个点，这两个点构成的线段平方的积等于直线与圆外一点之间线段的积。

即PA × PB = PC²，其中 P 是直线与圆相交的其中一个点，且 P、C、A、B 任意三点不共线。

4. 圆的切线和切点- 切线：过圆上一点，且与圆相切的直线叫作圆的切线。

- 切点：圆与切线相交的点叫作切点。

5. 判断圆与直线的位置关系- 圆与直线相离：如果直线上的任一点到圆的距离都大于半径，则称圆与直线相离。

- 圆与直线相交：如果直线上的某一点到圆的距离等于半径，则称圆与直线相交。

- 圆内切直线：如果直线上的某一点到圆的距离小于半径，则称圆内切直线。

- 圆外切直线：如果直线上的某一点到圆的距离大于半径，则称圆外切直线。

6. 判断圆与圆的位置关系- 圆的外切：当两个圆的圆心连线等于两个圆的半径之和时，这两个圆相外切。

- 圆的内切：当两个圆的圆心连线等于两个圆的半径之差时，这两个圆相内切。

- 圆的相离：当两个圆的圆心连线大于两个圆的半径之和时，这两个圆相离。

- 圆的相交：当两个圆的圆心连线小于两个圆的半径之和时，这两个圆相交。

数学教案(直线与圆的相切及相离关系)

数学教案(直线与圆的相切及相离关系)第一章：直线与圆的基本概念1.1 直线的定义及性质定义：直线是无限延伸的，由无数个点组成，每个点都可以用一对有序实数来表示。

性质：直线没有面积和体积，只有长度和方向。

1.2 圆的定义及性质定义：圆是由平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点组成的集合。

性质：圆有无数个点，圆心到圆上任意一点的距离都相等，称为半径。

第二章：直线与圆的位置关系2.1 直线与圆相离定义：当直线与圆没有交点时，称为相离。

性质：相离时，直线与圆的最短距离是直线到圆心的距离。

2.2 直线与圆相切定义：当直线与圆只有一个交点时，称为相切。

性质：相切时，直线与圆的最短距离是圆的半径。

第三章：直线与圆相切的条件3.1 判别式法条件：直线Ax + By + C = 0 与圆(x h)²+ (y k)²= r²相切时，判别式D = 0。

公式：D = |Ax + By + C| / √(A²+ B²) = r3.2 点斜式法条件：直线y y1 = k(x x1) 与圆(x h)²+ (y k)²= r²相切时，判别式D = 0。

公式：D = |kx1 y1 + kh + k| / √(k²+ 1) = r第四章：直线与圆的应用4.1 求直线与圆的交点方法：将直线方程代入圆方程，解得交点坐标。

4.2 求直线与圆的最短距离方法：利用判别式法或点斜式法，求出直线与圆的切点，最短距离即为圆的半径。

第五章：综合练习5.1 判断直线与圆的位置关系练习：给定直线和圆的方程，判断它们的位置关系。

5.2 求直线与圆的交点练习：给定直线和圆的方程，求出它们的交点坐标。

5.3 求直线与圆的最短距离练习：给定直线和圆的方程，求出它们的最短距离。

第六章：直线与圆相切的判定定理6.1 圆心到直线的距离定理定理：圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切。

圆与直线的交点与切线

圆与直线的交点与切线圆与直线是几何学中常见的图形，它们可以相交并产生交点，同时在交点处也存在切线。

本文将探讨圆与直线的交点的求解方法以及交点处的切线性质。

一、圆与直线的交点求解方法求解圆与直线的交点，主要有以下两种方法：1. 几何方法利用圆与直线的几何性质可以求解交点。

首先，我们需要了解圆上的点和直线上的点之间的关系：（1）圆上的点与圆心的连线是半径；（2）圆上的点到圆心的距离等于半径的长度；（3）直线上的点到圆心的距离等于半径的长度。

根据这些性质，我们可以通过构造几何图形来求解圆与直线的交点。

具体步骤如下：（1）在平面上画出给定的圆和直线；（2）观察直线与圆的位置关系，判断是否相交；（3）如果相交，则在交点处作垂线，垂线与直线的交点即为圆与直线的交点。

2. 代数方法除了几何方法外，我们还可以通过代数方法求解圆与直线的交点。

假设圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，直线的方程为Ax + By + C = 0。

将直线的方程代入圆的方程，可以得到一个关于x和y的二次方程。

解这个二次方程，即可求出交点的坐标。

二、圆与直线的切线性质除了交点外，圆与直线的切线也是重要的性质之一。

在圆上切一条直线，我们发现切点与切线之间存在以下性质：1. 切点所在的切线垂直于以切点为端点的切线与该直线的交点连线。

这是切线的基本性质之一，可以通过几何证明或使用切线的斜率性质进行推导。

2. 切线与法线垂直。

切线是与圆相切的直线，而法线是与切点所在切线垂直的直线。

因此，切线与法线之间存在垂直关系。

3. 切点在切线上的切线斜率与切线的斜率相等。

切点所在的切线以及从切点引出的任意切线，它们的斜率都相等。

综上所述，圆与直线的交点与切线是几何学中的重要概念和性质。

通过几何或代数的方法求解交点，同时理解并应用切线的性质，可以帮助我们更好地理解和解决相关问题。

在数学和物理等学科中，这些性质具有广泛的应用价值。