昌平区高三二模文科数学试题及答案

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北京市昌平区高三数学第二次统一练习(二模)试题文新人教版

昌平区－第二学期高三年级第二次统一练习数学试卷（文科）考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若集合}{0>=x |x A ,}4|{2<=x x B ，则=B AA.{02<<-x |x }B. {20<<x |x }C. {22<<-x |x }D. {2->x |x } 2. “1>x ” 是“0lg >x 垂直”的A. 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A ． lg y x = B ．tan y x =C ．3xy = D ．13y x =4. 已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 34B. 38C. 4D. 85. 已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ= A. 4π- B. 6πC.3πD.125π6. 爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为1v ，下山的速度为2v （21v v ≠），乙上下山的速度都是221v v +（甲、乙两人中途不停歇），则甲、乙两人上下山所用的时间21,t t 的关系为A ．21t t > B. 21t t < C. 21t t = D. 不能确定7. 四面体的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，记其中最大的面积为S ，则SSi i341∑=的取值范围是A. ]231(,B. ]231[,C. (3432,]D. [3432,]8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，有下列结论：①20122012S =-；②20122012S =；③20127a a >；④20127a a <．其中正确的结论序号是A ．①② B．①③ C．②③ D．②④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i - (1-2 i ) =___________.10. 若向量b a ,满足32=⋅=b a a ,||， >=<b a,cos 43，则 |b | = ___________. 11. 已知双曲线的方程为1422=-y x ，则其渐近线的方程为___________,若抛物线px y 22=的焦点与双曲线的右焦点重合，则_______p =.左视图22 俯视图25π12yOx2π612. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应等，则这样的x 值有的y 值，若要使输入的x 值和输出的y 值相___________个.13．若变量 x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤40x y y x 表示平面区域M ，则平面区域M 的面积是________;当 —42≤≤a 时，动直线a y x =+所经过的平面区域M 的面积为_____________.14. 若对于定义在R 上的函数f (x ) ,其图象是连续不断的，且存在常数λ(∈λR )使得f (x +λ) +λf (x ) = 0对任意实数x 都成立，则称f (x ) 是一个“λ—伴随函数”. 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①f (x ) =0 是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”；② f (x ) = x 2是一个“λ—伴随函数”；③ “21—伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确．．．的序号是________________（填上所有不．正确．．的结论序号）．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．（本小题满分13分）已知向量 (cos ,sin )θθ=a ，(3,1)=-b ,22π≤θ≤π-. （Ⅰ）当b a ⊥时，求θ的值；（Ⅱ）求b a ⋅的取值范围.16．(本小题满分13分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5.现从一批日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下表所示：(Ⅰ)若所抽取的20件日用品中，等级系数为2的恰有4件，求a,b,c 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为4的2件日用品和等级为5的3件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.17.（本小题满分13分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为AD 中点,F 为11B C 中点.（Ⅰ）求证:1//A F 平面1ECC ；（Ⅱ）在CD 上是否存在一点G ,使BG ⊥平面1ECC ?若存在，请确定点G 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.18．（本小题满分14分）已知函数2()4ln 6f x x ax x b =+-+（a ，b 为常数），且2x =为()f x 的一个极值点． (Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 求函数()f x 的单调区间；(Ⅲ) 若函数()y f x =有3个不同的零点，求实数b 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C : 22221(0)x y a b a b+=>>，过点B （0，1）, 22.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(0,2)P 的直线l 与椭圆交于M ，N 两个不同的点，且使12PM PN =成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.等级频数频率1 ca 2 4 b3 9 0.454 2 0.15 3 0.15 合计201y=2x -3否是开始输入xx ≤5y= x -1输出y结束是否x ≤2y=x2 F E D 1C 1B 1A 1DCBA20. (本小题满分13分)设数列}{n a 的首项211-=a ，前n 项和为n S ，且对任意*,N m n ∈都有)53()53(--=m m n n S S m n ，数列}{n a 中的部分项∈k a k b }({N *）成等比数列，且.4,221==b b(Ⅰ) 求数列｝与｛n n b a }{与的通项公式; （Ⅱ）令11)(+=n b n f ，并用x 代替n 得函数)(x f ，设)(x f 的定义域为R , 记))((...)2()1()0(*N n n n f n f n f f c n ∈++++=,求∑=+ni i i c c 111.昌平区－第二学期高三年级第二次统一练习数学(文科)试卷参考答案及评分标准 .4一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 BCDBBACD二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9． -2-i 10. 2 11. x y 21±= , 52 12. 3 13．8 , 7 14. ①② 注：11,13题第一空2分.三、解答题(本大题共6小题，共80分)15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）b a ⋅0sin cos 3=+-=θθ ……… 2分得3tan =θ 22π≤θ≤π-即：θ=3π………6分（Ⅱ）由=⋅b a )sin(θθ32sin cos 3π-θ=+- ……… 9分 22π≤≤π-θ 6365π≤π-≤π-∴θ ……… 10分 21)3sin(1≤π-≤-∴θ 1)3sin(22≤π-≤-∴θ ……… 12分12≤⋅≤-∴b a ……… 13分16．(本小题满分13分)解:（Ⅰ）由频率分布表得115010450=++++...b a 即30.b a =+………2分因为抽取20件日用品中，等级系数为2的恰有4件，所以20204.b ==解得10.a = ， 21020=⨯=.c ………5分从而10350.c b .a =--=所以22010===c ,.b ,.a ………6分 (Ⅱ) 从日用品21x ,x ，321y ,y ,y 中任取两件，所有可能的结果为}},{},{},{},{},{},{},{},{},{21323121322212312111x ,x {y ,y y y y y y ,x y ,x y ,x y ,x y ,x y ,x ,,………9分设事件A 表示“从日用品21x ,x ，321y ,y ,y 中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件}{},{},{},{22312121y ,y y ,y y ,y x ,x 共4个，基本事件总数为10, ……… 11分故所求的概率 40104.)A (P == ……… 13分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，取BC 中点M ,连结,.AM FM11//B F BM B F BM ∴=且. ∴四边形1B FMB 是平行四边形.11//FM B B FM B B ∴=且.………2分 11//FM A A FM A A =且，∴四边形1AA FM 是平行四边形.1//FA AM ∴.E 为AD 中点，//AE MC AE MC ∴=且.∴四边形AMCE 是平行四边形. ………4分//CE AM ∴.1//CE A F ∴.11ECC F A 平面⊄ ,1EC ECC ⊂平面，11//A F ECC ∴平面. ……… 6分（Ⅱ）证明：在CD 上存在一点G ,使BG ⊥平面1ECC 取CD 中点G ，连结BG ………7分在正方形ABCD 中, ,,,DE GC CD BC ADC BCD ==∠=∠CDE BCG ∴∆≅∆. ECD GBC ∴∠=∠. ………9分 90CGB GBC ∠+∠=︒. 90CGB DCE ∴∠+∠=︒.BG EC ∴⊥. ………11分ABCD CC 平面⊥1 ,ABCD BG 平面⊂1CC BG ∴⊥,1ECCC C =.BG ∴⊥平面1ECC .故在CD 上存在中点G ,使得BG ⊥平面1ECC . ………13分18．（本小题满分14分）解： (Ⅰ) 函数f (x )的定义域为（0，+∞）……1分 ∵ f ′ (x ) =624-+ax x……2分 ∴06422=-+='a )(f ，则a = 1．………4分(Ⅱ)由(Ⅰ) 知b x x x x f +-+=6ln 4)(2∴ f ′ (x ) =xx x x x x x x )1)(2(24626242--=+-=-+ ………6分由f ′ (x ) > 0可得x >2或x <1，由f ′ (x ) < 0可得1< x <2． ∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2，+ ∞ )，单调递减区间为 (1 , 2 )． ………9分(Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函数f (x )在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增．且当x =1或x =2时，f ′ (x ) = 0． ………10分∴ f (x ) 的极大值为 5611ln 4)1(-=+-+=b b f ………11分f (x )的极小值为b b f +-=+-+=82ln 41242ln 4)2( ……12分由题意可知⎩⎨⎧<+-=>-=082ln 4)2(05)1(b f b f则 2ln 485-<<b ………14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知1=b ,32211)(122=-=-=aa b a c 解得92=a 故椭圆M 的方程为1922=+y x ………4分（Ⅱ） 12PM PN =点M 为PN 的中点，设)()(2211y ,x N ,y ,x M 则 122x x = ① ……5分（1）当直线的斜率k 不存在时，P(0,2)),10()10(-,N ,,M ,易知不符合条件，此时直线方程不存在. ………7分（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为2+=kx yGMF E D 1C 1B 1A 1DCB A由⎪⎩⎪⎨⎧=++=19222y x kx y ，消去y 得 027361922=+++kx x )k (得072)19(4)36(22>⋅+⋅-=∆k k 解得312>k （*） ……9分 1936221+-=+k k x x ② ，1927221+=k x x ③ 由① ②③可得消去21x ,x ，可得532=k ，故515±=k ……13分综上可知：存在这样直线l 的方程为： 2515+±=x y ………14分20.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 由,2111-==a S 代入已知得1)53()53(1⨯--=n n S S n 即n n S n 45432-=于是有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=-=⎩⎨⎧≥-==-)2(,223)1(,21)2(,)1(,11n n n n S S n S a n n n又2123211-⨯=-=a =1S 所以数列}{n a 的通项公式为 223-=n a n …….3分由4,142==a a 知，数列}{k b a 是首项为1，公比为4的等比数列，14-=n b k a而k b a 为等差数列}{n a 中的第k b 项，是等比数列}{k b a 中的第k 项，所以有22341-=-k k b 即 34)4(321+=-n n b …….5分（Ⅱ）解由已知)241(23)(+=xx f ，则 43])24(24241[23]241241[23)1()(1=+++=+++=-+-x x x x x x f x f…….8分),()1(...)2()1()1()0(nnf n n f n f n f n f f c n +-+++++=∴①),0(...)2()1()(f nn f n n f n n f c n ++-+-+=②①+②得 43)1(2+=n c n 即)1(83+=n c n …….10分=+++=+=+∑13212111...111n n ni i i c c c c c c c c （18932964)211141313121+=⨯+-++-+-n nn n …….13分【以上答案仅供参考，若有其它解法，请酌情给分】。

2023-26北京昌平高三二模数学试卷答案

昌平区2023年高三年级第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准2023.5一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C （2）A （3）D （4）A （5）D （6）B（7）C（8）C（9）D（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）5log 2（12）)1,0(F 122+（13π,0)6（答案不唯一）（14）]5,1[（15）①②④（第12题、第13题第一空３分，第二空２分；第15题答对一个给2分，答对两个给3分，答对三个给5分，错答得零分。

）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解:（Ⅰ）由正弦定理sin sin a bA B=及A b a sin 23=，…………1分得A B A sin sin 2sin 3=.…………2分因为0sin ≠A ,…………3分所以23sin =B .…………4分因为π0<∠<B ，…………5分所以3π=∠B 或3π2=∠B .…………7分（II）因为3,7==c b ，所以c b <,即C B ∠<∠.…………8分所以3π=∠B .…………9分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=,得0232=+-a a .…………10分所以1=a 或2=a .…………11分当1=a 时，ABC S ∆433sin 21==B ac ；………12分当2=a 时，ABC S ∆233sin 21==B ac .………13分(17)（共13分）解：（I）在四棱锥ABCD P -中，因为G F ,分别是PD PB ,的中点，所以FG BD //.………1分因为⊄BD 平面EFG ,⊂FG 平面EFG ,………2分所以//BD 平面EFG .………4分（II）因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥.………5分因为⊥PO 平面ABCD ，所以OB PO OA PO ⊥⊥,.如图建立空间直角坐标系xyz O -.………6分选条件①：32=BD .因为底面ABCD 是边长为2的菱形，所以3=OD ,1=OA .………7分则).1,23,0(),1230(),2,0,0(),0,3,0(),0,0,1(),0,0,0(F G P B A O ，，-因为E 是P A 上一点，且AE AP 3=，所以)32,0,32(E .………8分所以31,23,32(),03,0(),2,0,1(-==-=GE GF P A ………9分设平面EFG 的法向量为),,(z y x =n .则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0GE GF n n 即⎪⎩⎪⎨⎧==-+.03,0312332y z y x 令0=y ，则2,1==z x ，于是)2,0,1(=n ………11分设直线P A 与平面EFG 所成角为α，则.53|||||,cos |sin ==〉〈=P A P A P A n n α………13分选条件②：32π=∠DAB .因为底面ABCD 是边长为2的菱形，所以3π=∠ADC .所以2=AC .所以3=OD ,1=OA .………1分以下同选条件①.(18)（共14分）解：（I）由题意知，抽出的100名学生中，来自1班，2班，3班，4班的学生分别有30名，40名，20名，10名，根据分层抽样的方法，1班，2班，3班，4班参加的人数分别为3，4，2，1.………4分（II）根据题意，随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.且………5分301)1(4101733===C C C X P ；309)2(4102723===C C C X P ；3015)3(4103713===C C C X P ；305)4(4104703===C C C X P .………9分所以随机变量X 的分布列为X1234P3013093015305故随机变量X 的数学期望.51430543015330923011)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E …11分（III）由题意知，1班每位同学获得奖品的概率为91)31(3231(444334=+⨯C C .…13分所以1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率为.729217)98(13=-……………14分（19）（共15分）解：（I）由题设，22224,1,.a c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩………4分所以椭圆C 的方程为221.43x y +=………5分(Ⅱ)解法一：由题意可知)02( , -A ，)02( , B .设)2)((000±≠x y x P , ，则22003412.x y +=①………6分直线AP 的方程为)2(200++=x x y y .………7分0+M 0直线BP 的方程：00(2)2y y x x =--.………9分令4=x ，得点N 的纵坐标为2200-=x y y N ，则N 002(4 ,)2y x -.………10分设以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点)0(1 ,x Q ，则MQ NQ ⊥.由0=⋅NQ MQ 得0)2)(2(12)4(002021=-++-x x y x .②………11分由①式得)4(993612202020x x y -=-=，代入②得9)4(21=-x .………12分解得11=x 或71=x .………13分所以以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点)01( , 和)07( , .………14分所以以MN 为直径的圆截x 轴所得的弦长为定值6.………15分解法二：由题意可知)02( , -A ，)02( , B .设)2)((000±≠x y x P , ，则22003412.x y +=……………6分因为434431242220220200000-=--=-=-⋅+=⋅x x x y x y x y k k BP AP ,……………7分设直线AP 的方程为)2(+=x k y .令4=x ，得点M 的纵坐标为k y M 6=，则M )64(k , .………8分则直线BP 的方程为)2(43--=x ky .………9分令4=x ，得点N 的纵坐标为ky N 23-=，则N )234(k - , .…………10分设以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点)0(1 ,x Q ，则NQ MQ ⊥.…………11分由0=⋅NQ MQ 得0230)(60()4(21=+-+-kk x .……………12分可得9)4(21=-x ，解得11=x 或71=x .……………13分所以以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点)01( , 和)07( , .………14分所以以MN 为直径的圆截x 轴所得的弦长为定值6.………15分解法三：由题意可知)02( , -A ，)02( , B .设)2)((000±≠x y x P , ，则22003412.x y +=①………6分直线AP 的方程为)2(200++=x x y y .………7分令4=x ，得点M 的纵坐标为2600+=x y y M ，则M 006(4 ,)2y x +.………8分直线BP 的方程：00(2)2y y x x =--.………9分0-N 0所以000062||||22y y MN x x =-+-.则MN 的中点为00003(4,)22y yQ x x ++-.………11分所以以MN 为直径的圆的方程为2220000000033(4)[()]().2222y y y yx y x x x x -+-+=-+-+-………12分令0,y =则2222000002000003312(4)()().22224y y y y y x x x x x x --=--+=+-+--由①可得2200129(4).y x -=-所以2(4)9.x -=所以1x =或7.x =………13分所以以MN 为直径的圆恒过点(1,0),(7,0).………14分所以以MN 为直径的圆截x 轴所得的弦长为定值6.………15分(20)（共15分）解：（I）当1k =时，()ln(1).f x x x =-+所以1'()1. 1f x x=-+………1分因为'(0)0,(0)0.f f ==………3分所以曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为0.y =………4分（II）函数)(x f 定义域(1,)-+∞.………5分因为1'(). 1f x k x =-+………6分法一：因为0,x >所以10 1.1x<<+………7分①当1k ≥时，'()0,f x >()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数)(x f 在(0,)+∞上无最小值，即1k ≥不合题意.………8分②当01k <<时，令'()0,f x =则110.x k=->当'()0f x >时，11x k >-，()f x 在1(1,)k -+∞上单调递增；当'()0f x <时，101x k <<-，()f x 在1(0,1)k-上单调递减.………9分所以函数)(x f 在(0,)+∞上有最小值.所以函数)(x f 在(0,)+∞上有最小值时k 的取值范围为(0,1).………10分法二：因为1(11'(). 111k k x kx k k f x k x xx-++-=-==+++………6分令'()0f x =，则11x k =-.………7分①当1k ≥时，011<-=kx ，所以当0>x 时，'()0,f x >即()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数)(x f 在(0,)+∞上无最小值，即1k ≥不合题意.………8分②当01k <<时，110.x k =->当'()0f x >时，11x k >-，()f x 在1(1,)k -+∞上单调递增；当'()0f x <时，101x k <<-，()f x 在1(0,1)k-上单调递减.………9分所以函数)(x f 在(0,)+∞上有最小值.所以函数)(x f 在(0,)+∞上有最小值时k 的取值范围为(0,1).………10分（III）设22()()ln(1).g x f x x kx x x =-=-+-由题意，存在0(0,)x ∈+∞，使0(0,)x x ∈，恒有2()f x x <，即0(0,)x x ∈，恒有()0g x <成立.………11分因为212(2)1'()2,11x k x k g x k x x x-+-+-=--=++………12分设2()2(2)1h x x k x k =-+-+-.①当01k <≤时，函数()h x 的对称轴为204k x -=<，(0)10h k =-≤，即当0x ≥时，()0h x ≤，所以'()0g x ≤。

昌平数学二模高三试卷答案

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f'(x)的零点个数。

答案：3个解析：对f(x)求导得f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，解得x = ±1。

由于f''(x) = 6x，f''(1) = 6 > 0，f''(-1) = -6 < 0，故x = ±1是f(x)的极值点，因此f'(x)有3个零点。

2. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-3,4)，点C(5,1)，求三角形ABC的外接圆方程。

答案：(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10解析：设三角形ABC的外接圆方程为x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，代入A、B、C三点坐标，解得D = -2，E = -4，F = -1，所以外接圆方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10。

3. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n - 1，求数列{an}的前n项和S_n。

答案：S_n = 2^(n+1) - n - 2解析：根据数列的通项公式，S_n = (2^1 - 1) + (2^2 - 1) + ... + (2^n - 1) = 2^(n+1) - n - 2。

4. 已知等差数列{an}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求该数列的第10项a_10。

答案：a_10 = 21解析：等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n - 1)d，代入a_1 = 3，d = 2，n = 10，得a_10 = 3 + (10 - 1) 2 = 21。

5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0,1]上单调递增，且f(0) = 2，f(1) = 3，求a、b、c的值。

答案：a = 1，b = -2，c = 2解析：由f(0) = 2，得c = 2；由f(1) = 3，得a + b + c = 3，结合f(x)在[0,1]上单调递增，得a = 1，b = -2。

【数学】北京市昌平区高三第二次统一练习试卷(文)(解析版)

北京市昌平区高三第二次统一练习数学试卷（文）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合2{|9}U x Z x =∈＜，集合2{}2A =-，，则UA =（）A.{}1,0,1- B. {}1,1-C.[]1,1-D.()1,1-【答案】A【解析】∵集合293{|}{32101|}{}2U x Z x x Z x =∈=∈-=--＜＜＜，，，，，集合2{}2A =-，，∴1}01{UA =-，，．故选：A ． 2.已知复数()11z a i =-++（i 为虚数单位，a 为实数）在复平面内对应的点位于第二象限，则复数z 的虚部可以是（）A. 12i -B. 12iC. 12-D. 12【答案】D【解析】1(1i)z a =-++＝(1)i a a -+，对应点为：(1,)a a -在第二象限，所以，100a a -<⎧⎨>⎩所以复数的虚部a 的取值范围为：01a <<，只有D 符合. 故选：D.3.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a 的值是（）A. 1-B. 12C. 1D. 2【答案】A【解析】代入2a =，12018i =<，则11122a =-=，112i =+=；再次代入得1a =-，3i =；继续代入得2a =，4i =；不难发现出现了循环，周期为3 则当2018i =时，1a =-，2018120192018i =+=>，跳出循环得到1a =- 故选A4.已知实数x R ∈，则“0x ＜”是“()10ln x +＜”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】“()10ln x +＜”01110x x ⇔+⇔-＜＜＜＜． ∴“0x ＜”是“()10ln x +＜”的必要不充分条件．故选：B ．5.在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，()()2221AB AD =-=，，，，则AC DB ⋅=（）A. 3-B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】在平行四边形ABCD 中，//AB CD ，(2,2),(2,1)AB AD →→=-=，(4,1)AC AB AD →→→=+=-，(0,3)DB AB AD →→→=-=-，则40(1)(3)3AC DB →→=⨯+--=⋅．故选：C ．6.若x ，y 满足30230x y x y y m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩，，，且2x +y 的最小值为1，则实数m 的值为（）A. 5-B. 1-C. 1D. 5 【答案】B【解析】画出满足条件的平面区域，如图所示：，由230y m x y =⎧⎨--=⎩，解得：23A m m +（，），由2z x y =+得：2y x z =-+，显然直线过23A m m +（，）时，z 最小，∴461m m ++=，解得：01x ≠，故选：B ．7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A.B. 12x xC. D. 3【答案】D【解析】根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，//21AD AB AD BC AD AB BC ⊥===、，、，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，∴该四棱锥最长棱的棱长为3PC==，故选：D．8.一次数学竞赛，共有6道选择题，规定每道题答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分．一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛，这个小组的人数与总得分情况为（）A. 当小组的总得分为偶数时，则小组人数一定为奇数B. 当小组的总得分为奇数时，则小组人数一定为偶数C. 小组的总得分一定为偶数，与小组人数无关D. 小组的总得分一定为奇数，与小组人数无关【答案】C【解析】每个人得的总分是6×5=30，在满分的基础上，若1题不答，则总分少4分，若1题答错，则总分少6分，即在满分的基础上若m题不答，则总分少4m分，若n题答错，则总分少6n分，则每个人的得分一定是偶数，则小组的总得分也是偶函数，与小组人数无关，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知幂函数()f x x=α（α是实数）的图象经过点(2，则f（4）的值为______．【答案】2【解析】幂函数f x xα=（）的图象过点(，所以22fα==（）12α=，所以12()f x x=，则42f==（）．故答案为：2．【点睛】本题考查幂函数解析式的求法，函数值的求法，属于基础题。

北京市昌平区2019年高三年级第二次统一练习数学文科试卷(解析版)

2019年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合U ={x ∈Z |x 2＜9}，集合A ={-2，2}，则∁U A =（）A. {−1,0，1}B. {−1,1}C. [−1,1]D. (−1,1)2. 已知复数z =-1+a （1+i ）（i 为虚数单位，a 为实数）在复平面内对应的点位于第二象限，则复数z 的虚部可以是（）A. −12iB. 12iC. −12D. 123. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a 的值是（）A. −1B. 12C. 1D. 24. 已知实数x ∈R ，则“x ＜0”是“ln （x +1）＜0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，−2)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，1)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. −3 B. 2C. 3D. 46. 若x ，y 满足{x +y −3≤0，x −2y −3≥0，y ≥m ，且2x +y 的最小值为1，则实数m 的值为（）A. −5B. −1C. 1D. 57. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A. √5B. 2√2C. 2√3D. 38. 一次数学竞赛，共有6道选择题，规定每道题答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分．一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛，这个小组的人数与总得分情况为（）A. 当小组的总得分为偶数时，则小组人数一定为奇数B. 当小组的总得分为奇数时，则小组人数一定为偶数C. 小组的总得分一定为偶数，与小组人数无关D. 小组的总得分一定为奇数，与小组人数无关二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知幂函数f （x ）=x α（α是实数）的图象经过点(2，√2)，则f （4）的值为______．10. 为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园．针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于21岁至65岁的居民进行了调查．已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人．若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是______．11. 能说明“设a ，b 为实数，若a 2+b 2≠0，则直线ax +by -1=0与圆x 2+y 2=1相切”为假命题的一组a ，b 的值依次为______．12. 等差数列{a n }满足a 2+a 5+a 9=a 6+8，则a 5=______；若a 1=16，则n =______时，{a n }的前n 项和取得最大值．13. 已知双曲线C 1：x 2−y 23=1，若抛物线C 2：x 2=2py(p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为1，则抛物线C 2的方程为______．14. 已知函数f （x ）=cos （ωx +φ）（ω＞0，φ＜0）的最小正周期为π，且f(x)≥f(π3)对任意的实数x 都成立，则ω的值为______；φ的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15. 在等差数列{a n }中，a 2=8，且a 3+a 5=4a 2．（Ⅰ）求等差数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设各项均为正数的等比数列{b n }满足b 4=a 1，b 6=a 4，求数列{b n -a n }的前n 项和S n ．16. 在△ABC 中，AC =4，BC =4√3，∠BAC =2π3．（Ⅰ）求∠ABC 的大小；（Ⅱ）若D 为BC 边上一点，AD =√7，求DC 的长度．17. 某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行了体质测试．现从两个年级学生中各随机选取20人，将他们的测试数据，用茎叶图表示如图：《国家学生体质健康标准》的等级标准如表．规定：测试数据≥60，体质健康为合格．等级优秀良好及格不及格测试数据[90，100][80，89][60，79][0，59]（Ⅰ）从该校高二年级学生中随机选取一名学生，试估计这名学生体质健康合格的概率；（Ⅱ）从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，求选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率；（Ⅲ）设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为X 1−，S 12，高二学生测试数据的平均数和方差分别为X 2−，S 22，试估计X 1−与X 2−、S 12与S 22的大小．（只需写出结论）18. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，AB =2，BC =1，PC =PD =√2，E 为PB 中点．（Ⅰ）求证：PD ∥平面ACE ；（Ⅱ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求三棱锥E -ABC 的体积．19. 已知椭圆G ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，经过点B （0，1）．设椭圆G 的右顶点为A ，过原点O 的直线l 与椭圆G 交于P ，Q 两点（点Q 在第一象限），且与线段AB 交于点M ．（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得△BOP 的面积是△BMQ 的面积的3倍？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．20.已知函数f（x）=[x2+（a+1）x+1]e x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在x=-1处取得极大值，求a的取值范围；（Ⅲ）当a=2时，若函数g（x）=mf（x）-1有3个零点，求m的取值范围．（只需写出结论）答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合U={x∈Z|x2＜9}={x∈Z|-3＜x＜3}={-2，-1，0，1，2}，集合A={-2，2}，∴∁U A={-1，0，1}．故选：A．求出集合U，集合A，补集定义能求出∁U A．本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵复数z=-1+a（1+i）=-1+a+ai在复平面内对应的点位于第二象限，∴，即0＜a＜1．故选：D．化z为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部小于0且虚部大于0求得a的范围，则答案可求．本题考查了复数的基本概念，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】D【解析】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环 a i循环前 2 1第一圈是 2第二圈是-1 3第三圈是 2 4…第9圈是 2 10第10圈否故最后输出的a值为2．故选：D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量a的值并输出，即可得解．本题主要考查了循环结构，写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：“ln（x+1）＜0”⇔0＜x+1＜1⇔-1＜x＜0．∴“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件．故选：B．“ln（x+1）＜0”⇔0＜x+1＜1，解出即可判断出结论．本题考查了对数函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD ，，==（4，-1），==（0，-3），则=4×0+（-1）（-3）=3．故选：C．利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可．本题考查平面向量的数量积的运算，向量的加减运算的求法，考查计算能力．6.【答案】B【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图所示：，由，解得：A（2m+3，m），由z=2x+y得：y=-2x+z，显然直线过A（2m+3，m）时，z最小，∴4m+6+m=1，解得：m=-1，故选：B．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，由z=2x+y得：y=-2x+z，显然直线过A（1，2-m）时，z最小，代入求出m的值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．7.【答案】D【解析】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD=AB=2、BC=1，PA⊥底面ABCD，且PA=2，∴该四棱锥最长棱的棱长为PC===3，故选：D．由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长．本题考查几何体三视图的应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．8.【答案】C【解析】解：每个人得的总分是6×5=30，在满分的基础上，若1题不答，则总分少4分，若1题答错，则总分少6分，即在满分的基础上若m题不答，则总分少4m分，若n题答错，则总分少6n分，则每个人的得分一定是偶数，则小组的总得分也是偶函数，与小组人数无关，故选：C．先计算一个人得总分是偶数，若m题不答，则总分少4m分，为偶数，若n题答错，则总分少6n 分为偶数，根据偶数的运算性质进行判断即可．本题主要考查合情推理的应用，计算出总分为偶数，答错或不答时少的分数也是偶数是解决本题的关键．9.【答案】2【解析】解：幂函数f（x）=xα的图象过点，所以f（2）=2α=，解得α=，所以f（x）=，则f（4）==2．故答案为：2．由幂函数f（x）=xα的图象过点求出α的值，写出f（x）的解析式，再求f（4）的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．10.【答案】300【解析】解：这次抽样调查抽取的总人数是=300．故答案为：300．根据分层抽样是按比例抽样列式可得．本题考查了分层抽样，属基础题．11.【答案】1，1（答案不唯一）【解析】解：设a，b为实数，若a2+b2≠0，则直线ax+by-1=0与圆x2+y2=1相切，若为真命题，可得=1，即为a2+b2=1，若为假命题，只要a2+b2≠1，要说明“设a，b为实数，若a2+b2≠0，则直线ax+by-1=0与圆x2+y2=1相切”为假命题的一组a，b的值依次可为1，1．故答案为：1，1．由直线和圆相切的条件：d=r，求得a2+b2=1，若为假命题，只要a2+b2≠1，取值a=1，b=1，即可．本题考查命题的真假判断，以及直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于基础题．12.【答案】4 6【解析】解：等差数列{a n}满足a2+a5+a9=a6+8，所以3a1+13d=a1+5d+8，即a5=4，a1=16，所以4d=a5-a1=4-16，所以d=-3．令，解得n=6，所以{a n}的前6项和取得最大值．故填：4，6．将a2+a5+a9=a6+8，中的项用a1和d表示，即可得到a5，=4，又因为a1=16，可以计算数列{a n}的正项，即可得到{a n}的前n项和取得最大值时的n．本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和的最值问题，属于中档题．13.【答案】x2=8y【解析】解：双曲线，的渐近线：x±y=0，抛物线的焦点坐标为：（0，），抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，可得：=1，解得p=4，抛物线C2：x2=8y．故答案为：x2=8y．求出双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．14.【答案】2 −5π3【解析】解：∵函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，φ＜0）的最小正周期为=π，∴ω=2．∵对任意的实数x都成立，∴cos（ωx+φ）≥cos （+φ）恒成立，故cos（+φ）=-1，故+φ=2kπ+π，k∈Z ，∴φ=+2kπ，故φ的最大值为-，故答案为：2；-．由题意可得余弦函数的最小正周期为为=π，可得ω的值；再根据题意，cos（+φ）=-1，结合φ＜0求得φ的最大值．本题主要考查余弦函数的周期性和最小值，函数的恒成立问题，属于基础题．15.【答案】（共13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由已知{a1+2d+a1+4d=4(a1+d)a1+d=8,，解得{d=4a1=4,，所以a n=4n（n∈N*）．…．（5分）（Ⅱ）设数列{b n}的公比为q，由已知{b6=16b4=4,，解得{b1=12，q=2或{b1=−12，q=−2（舍），所以b n=12×2n−1=2n−2，所以b n-a n=2n-2-4n．S n=（2-1-4）+（20-8）+（21-12）+…+（2n-2-4n）=（2-1+20+21+…+2n-2）-（4+8+12+…+4n）=12(1−2n)1−2−(4+4n)n2=12(2n−1)−2n2−2n=2n−1−12−2n2−2n(n∈N∗)．…．（13分）【解析】（Ⅰ）利用等差数列{a n}的通项公式结合已知条件求出首项与公差然后求解通项公式；（Ⅱ）设各项均为正数的等比数列{b n}满足b4=a1，b6=a4，求出公比与首项，利用吃饭求数列{b n -a n }的前n 项和S n ．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力． 16.【答案】（共13分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得BCsin∠BAC =ACsin∠ABC ，所以sin∠ABC =4sin2π34√3=12．因为∠BAC =2π3，所以∠ABC ∈(0，π3)，所以∠ABC =π6．…．（6分）（Ⅱ）在△ABC 中，∠C =π−2π3−π6=π6．在△ADC 中，由余弦定理AD 2=AC 2+DC 2-2AC •DC cos ∠C ，得7=16+DC 2−8DCcos π6，即DC 2−4√3DC +9=0，解得DC =3√3，或DC =√3．经检验，都符合题意．…．（13分）【解析】（Ⅰ）利用正弦定理，转化求解∠ABC 的大小；（Ⅱ）通过余弦定理，结合，即可求DC 的长度．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力． 17.【答案】（共13分）解：（I ）高二年级学生样本中合格的学生数为：3+4+4+4=15，样本中学生体质健康合格的频率为1520=34．所以从该校高二年级学生中随机选取一名学生，估计这名学生体质健康合格的概率为34．…．（4分）（II ）设等级为优秀的样本中高一年级测试数据是93，94，96的学生分别为a 1，a 2，a 3，高二年级测试数据是90，95，98的学生分别为b 1，b 2，b 3．选取的两名学生构成的基本事件空间为：{（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，b 3），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 2，b 3），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（a 3，b 3）}，总数为9，选取的测试数据平均数大于95的两名学生构成的基本事件空间为{（a 1，b 3），（a 2，b 3），（a 3，b 2），（a 3，b 3）}，总数为4，所以从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率为49．…．（9分）（III ）X 1−＞X 2−，S 12＜S 22．…．（13分）【解析】（I ）高二年级学生样本中合格的学生数为15，样本中学生体质健康合格的频率为．由此从该校高二年级学生中随机选取一名学生，能估计这名学生体质健康合格的概率．（II ）设等级为优秀的样本中高一年级测试数据是93，94，96的学生分别为a 1，a 2，a 3，高二年级测试数据是90，95，98的学生分别为b 1，b 2，b 3．选取的两名学生，利用列举法能求出选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率．（III ）．本题考查概率、平均数、方差的求法及应用，考查茎叶图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】证明：（I ）连结BD 交AC 于点F ，连结EF ．因为底面ABCD 是矩形，所以F 为BD 中点．又因为E 为PB 中点，所以EF ∥PD ．因为PD ⊄平面ACE ，EF ⊂平面ACE ，所以PD ∥平面ACE ．（II ）因为底面ABCD 为矩形，所以BC ⊥CD ．又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD =CD ，所以BC ⊥平面PCD ．因为PD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥PD ．因为PC =PD =√2，CD =AB =2，所以PC 2+PD 2=CD 2，即PD ⊥PC ．因为BC ∩PC =C ，BC ，PC ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面PBC ．（III ）解：取CD 的中点M ，连接PM ．因为PC =PD =√2，CD =AB =2，M 是CD 的中点，所以PM ⊥CD ，且PM =1，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PM ⊂平面PCD ，平面PCD ∩平面ABCD =CD ，所以PM ⊥平面ABCD ，因为E 是PB 的中点，所以V E -ABC =12V P -ABC =12×13×12×2×1×1=16．所以三棱锥E -ABC 的体积为16．【解析】（I ）连结BD 交AC 于点F ，连结EF ，由中位线定理可得EF ∥PD ，故而PD ∥平面ACE ；（II ）证明BC ⊥平面PCD 可得PD ⊥BC ，利用勾股定理可得PD ⊥PC ，故而PD ⊥平面PBC ；（III ）作PM ⊥CD ，可证PM ⊥平面ABCD ，于是V E-ABC =V P-ABC ．本题考查了线面平行，线面垂直的判定，考查棱锥的体积计算，属于中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：{b =1ca =√32a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =1c =√3． ∴椭圆G 的标准方程为x 24+y 2=1．（Ⅱ）设Q （x 0，y 0），则P （-x 0，-y 0），可知0＜x 0＜2，0＜y 0＜1．若使△BOP 的面积是△BMQ 的面积的3倍，只需使得|OQ |=3|MQ |，即OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(23x 0，23y 0)，即M(23x 0，23y 0)．由A （2，0），B （0，1）， ∴直线AB 的方程为x +2y -2=0．∵点M 在线段AB 上，∴23x 0+43y 0−2=0，整理得x 0=3-2y 0，① ∵点Q 在椭圆G 上，∴x 024+y 02=1，②把①式代入②式可得8y 02−12y 0+5=0，∵判别式小于零，该方程无解．∴不存在直线l ，使得△BOP 的面积是△BMQ 的面积的3倍．【解析】（Ⅰ）由题意可知：，求解得到a ，b 的值，则椭圆方程可求．（Ⅱ）设Q （x 0，y 0），则P （-x 0，-y 0），可知0＜x 0＜2，0＜y 0＜1．由△BOP 的面积是△BMQ 的面积的3倍，得|OQ|=3|MQ|，即，即．写出直线AB 的方程为x+2y-2=0．由点M 在线段AB 上，得x 0=3-2y 0，再由点Q 在椭圆G 上，得，则，由该方程无解．可得不存在直线l ，使得△BOP 的面积是△BMQ 的面积的3倍．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 20.【答案】（共14分）解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（-∞，+∞）．f '（x ）=[x 2+（a +3）x +a +2]e x ．因为曲线y =f （x ）在点（0，f （0））处的切线与x 轴平行，所以f '（0）=（a +2）e 0=0，解得a =-2．此时f （0）=1≠0，所以a 的值为-2．…．（5分）（Ⅱ）因为f '（x ）=[x 2+（a +3）x +a +2]e x =（x +1）[x +（a +2）]e x ， ①若a ＜-1，-（a +2）＞-1，则当x ∈（-∞，-1）时，x +1＜0，x +（a +2）＜x +1＜0，所以f '（x ）＞0；当x ∈（-1，-（a +2））时，x +1＞0，x +（a +2）＜0，所以f '（x ）＜0．所以f （x ）在x =-1处取得极大值． ②若a ≥-1，-（a +2）≤-1，则当x ∈（-1，0）时，x +1＞0，x +（a +2）≥x +1＞0，所以f '（x ）＞0．所以-1不是f （x ）的极大值点．综上可知，a 的取值范围为（-∞，-1）．…．（10分）（Ⅲ）m ＞e 45．…．（14分）【解析】（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（-∞，+∞）．f'（x ）=[x 2+（a+3）x+a+2]e x ．利用导数的几何意义能求出a 的值．（Ⅱ）由f'（x ）=[x 2+（a+3）x+a+2]e x =（x+1）[x+（a+2）]e x ，当a ＜-1，求出f （x ）在x=-1处取得极大值．当a≥-1，f'（x ）＞0．-1不是f （x ）的极大值点．由此能求出a 的取值范围．（Ⅲ）．本题考查实数值、实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。

昌平区2024届高三二模数学试题及答案

昌平区2024年高三年级第二次统一练习数学试卷 2024.5本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{}1,0,1,2,3A =−，{}2|20B x x x =−>，则A B =A.{}0,1,2B.{}1C.{}1,0,1,2−D.{}1,3−2. 已知数列{}n a 满足12n n a a +=，24a =，则数列{}n a 的前4项和等于 A.16 B.24 C.30 D.623. 已知抛物线22 (0)y px p =>的焦点和双曲线2213yx −=的右顶点重合，则p 的值为 A.1 B.2 C.4 D.64. 在61)x 的展开式中，常数项为A.15−B.15C.30D.3605. 若01a b <<<，1c >，则 A.b a c c <B.log log c c a b >C.sinsin c ca b> D.c c a b <6. 若圆22860x x y y m ++−+=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数m 的取值范围是 A.(,9]−∞ B.(,16]−∞C.)[9,25D.[16,25)7. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且m α⊂，//αβ，则“n β⊥”是“n m ⊥”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数24,1()ln(1), 1x x x f x x x ⎧−+≤⎪=⎨−>⎪⎩，若对任意的x 都有|()|f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 A.(,0]−∞B.[4,0]−C.[3,0]−D.(,2]−∞9. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关. 经验表明，某种绿茶用90C ︒的水泡制，再等到茶水温度降至60C ︒时饮用，可以产生最佳口感. 在20C ︒室温下，茶水温度从90C ︒开始，经过min t 后的温度为C y ︒，可选择函数600.920t y =⨯+(0)t ≥来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律. 则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈） A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min10. 已知数列{}n a 满足431n a −=−，411n a −=，2n n a a =，该数列的前n 项和为n S ，则下列论断中错误．．的是 A.311a = B.20241a =−C.∃非零常数T ，*n ∀∈N ，使得n T n a a +=D.*n ∀∈N ，都有22n S =−第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市昌平区2024届高三第二次统一练习数学试题(解析版)

昌平区2024年高三年级第二次统一练习数学试卷本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}{}21,0,1,2,320A B x x x =-=->，∣，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}1 C.{}1,0,1,2- D.{}1,3-【答案】D 【解析】【分析】先求出集合B ，再由交集的定义求解即可.【详解】因为220x x ->，则2x >或0x <，所以()(),02,B ∞∞=-⋃+，所以A B = {}1,3-.故选：D .2.已知数列{}n a 满足122,4n n a a a +==，则数列{}n a 的前4项和等于（）A.16 B.24C.30D.62【答案】C 【解析】【分析】由数列的递推关系分别求出134,,a a a ，再求和即可.【详解】由已知可得，当1n =时，1121122a a a a +==⇒=；当2n =时，2132328a a a a +==⇒=；当3n =时，31434216a a a a +==⇒=；所以数列{}n a 的前4项和等于2481630+++=，故选：C.3.已知抛物线()220y px p =>的焦点和双曲线2213yx -=的右顶点重合，则p 的值为（）A.1B.2C.4D.6【答案】B 【解析】【分析】根据条件，求出双曲线的右顶点(1,0)和抛物线的焦点(,0)2p，即可求出结果.【详解】因为双曲线2213y x -=的右顶点为(1,0)，抛物线()220y px p =>的焦点为(,0)2p ，所以12p=，得到2p =，故选：B.4.在61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（）A.15-B.15C.30D.360【答案】B 【解析】【分析】先求出61x ⎫⎪⎭的展开式的通项，令6302r -=，求出2r =代入通项即可求出答案.【详解】61x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为：()()66362216661C C 1C 1rr rrr r rr r r r T x x x x ----+⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，令6302r-=，解得：2r =，所以常数项为：()226C 115-=.故选：B .5.若01a b <<<，1c >，则（）A.b a c c <B.log log c c a b> C.sinsin c ca b> D.cc a b <【答案】D 【解析】【分析】构造函数x y c =，根据函数的单调性判断A 选项；构造函数log c y x =()0x >，根据函数的单调性判断B 选项；构造函数sin y x =，根据函数的单调性判断C 选项；构造函数c y x =，根据幂函数的性质，判断D 选项.【详解】A ：构造函数x y c =，因为1c >，所以x y c =为增函数，又因为01a b <<<，则有b a c c >，所以A 错误；B ：构造函数log c y x =()0x >，因为1c >，所以log c y x =()0x >为增函数，又因为01a b <<<，则有log log c c a b <，所以B 错误；C ：因为01a b <<<，所以111a b>>，又1c >，则1c ca b >>，构造函数sin y x =，当1x >时，函数sin y x =不单调，所以无法判断sinc a 与sin cb的值的大小，C 错误；D ：构造函数c y x =，因为01,1a b c <<<>，所以函数c y x =在()0,∞+上单调递增，有c c a b <，D 正确.故选：D .6.若圆22860x x y y m ++-+=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数m 的取值范围是（）A.(],9-∞ B.(],16-∞ C.[)9,25 D.[)16,25【答案】A 【解析】【分析】利用圆的一般方程满足的条件得到25m <，再分别令0,0y x ==，利用0∆≥，即可求出结果.【详解】因为22860x x y y m ++-+=表示圆，所以643640m +->，得到25m <，令0y =，得到280x x m ++=，则6440m ∆=-≥，得到16m ≤，令0x =，得到260y y m -+=，则3640m ∆=-≥，得到9m ≤，所以9m ≤，故选：A.7.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且,//m ααβ⊂，则“n β⊥”是“n m ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用面面平行及线面垂直的性质，即可得出：n β⊥可以推出n m ⊥，再通过举例说明n m ⊥推不出n β⊥，即可求出结果.【详解】因为//αβ，当n β⊥时，n α⊥，又m α⊂，所以n m ⊥，即n β⊥可以推出n m ⊥，如图，在正方体中，取平面ABCD 为α平面，平面1111D C B A 为β平面，直线BC 为直线m ，直线11C D 为直线n ，显然有,//m ααβ⊂，n m ⊥，但n β⊂，即n m ⊥推不出n β⊥，所以“n β⊥”是“n m ⊥”的充分不必要条件，故选：A.8.已知函数()()24,1,ln 1, 1.x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩若对任意的x 都有()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.(],0-∞ B.[]4,0- C.[]3,0- D.(],2-∞【答案】B 【解析】【分析】首先画出函数()()g x f x =的图象，再利用数形结合求实数的取值范围.【详解】因为()()24,1ln 1,1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，令()()g x f x =，作出()g x 图象，如图所示，令()h x ax =，由图知，要使对任意的x 都有()f x ax ≥恒成立，则必有0a ≤，当0x ≤时，214y x x =-，由24y x xy ax⎧=-⎨=⎩，消y 得到2(4)0x a x -+=，由Δ0=，得到2(4)0a +=，即4a =-，由图可知40a -≤≤，故选：B.9.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过t min 后的温度为y ℃，可选择函数()600.9200ty t =⨯+≥来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（）（参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈）A.2.5min B.4.5minC.6minD.8min【答案】B 【解析】【分析】令600.92060t ⨯+=，则20.93t=，两边同时取对将lg20.30,lg30.48≈≈代入即可得出答案.【详解】由题可知，函数()600.9200t y t =⨯+≥，令600.92060t ⨯+=，则20.93t=，两边同时取对可得：2lg 0.9lg 3t=，即()9lg2lg 31lg 2lg 310t t =-=-，即lg 2lg 30.300.480.184.52lg 3120.4810.04t --=≈==-⨯-min .故选：B .10.已知数列{}n a 满足434121,1,n n n n a a a a --=-==，该数列的前n 项和为n S ，则下列论断中错误．．的是（）A.311a = B.20241a =-C.∃非零常数*,N T n ∀∈，使得n T n a a += D.*n ∀∈N ，都有22n S =-【答案】C 【解析】【分析】由已知431811a a ´-==可得A 正确；由已知递推关系化简20242101210122506506225325346431a a a a a a a a 创创-========-可得B 正确；由已知递推关系总结数列的规律，再用反证法得到C 错误；由已知递推关系找到前n 项和的规律再结合等比数列的前n 项和可得D 正确.【详解】A ：因为411n a -=，所以431811a a ´-==，故A 正确；B ：因为4321,n n n a a a -=-=，所以20242101210122506506225325346431a a a a a a a a 创创-========-，故B 正确；C ：由431n a -=-可得1591a a a ====- ，由411n a -=可得37111a a a ==== ，由2n n a a =可得1248101a a a a a ======- ，而3612141a a a a ===== ，设存在非零常数*,N T n ∀∈，使得n T n a a +=，当1n =时，由于111T a a +==-，可得1T =或3或4等等，不是常数，所以不存在非零常数*,N T n ∀∈，使得n T n a a +=，故C 错误；D ：当1n =时，()12122112S S a a ==+=-+-=-，因为21234211112S a a a a =+++=--+-=-，即2n =时，有相邻两项34a a +的和为零，即有接下来2122-=个项和为零；3123456782111111112S a a a a a a a a =+++++++=--+--++-=-，即3n =时，有相邻2项34a a +的和与相邻4项5678a a a a +++和为零，即有接下来2131226--+=个项和为零；总结发现规律为：当n k =时，即有接下来的()()12131112122222212212k k k k -----´-+++==-=-- 项和为零，所以122222202n n n S a a a -++==+-+=- 个，故D 正确；故选：C.【点睛】关键点点睛：本题D 选项关键在于能理解22n S =-的意义，即表示数列中前两项和为2-外的3到4项，5到8项，9到16项和分别为零.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知复数1iiz +=，则z z ⋅=______．【答案】2【解析】【分析】由复数的运算和共轭复数的定义计算求出结果即可.【详解】由题意可得()1ii 1i 1i iz +==-+=-，所以1i z =+，所以()()21i 1i 1i 2z z ⋅=-+=-=，故答案为：2.12.已知ABC 中，34,2,cos 4a b c A ===-，则ABC S = ______．【答案】72【解析】【分析】由余弦定理求出,b c ，由同角三角函数的平方关系求出sin A ，最后由三角形的面积公式即可求出答案.【详解】由余弦定理可得：2222224163cos 244b c a c c A bc c +-+-===-，解得：c =2b c ==又因为3cos 4A =-，所以7sin 4A ==，所以11sin 2242ABC S bc A ==⨯=.故答案为：72.13.已知正方形ABCD 的边长为1，点P 满足()0AP AB λλ=> ．当13λ=时，AC PD ⋅= ______；当λ=______时，PC DP ⋅取得最大值．【答案】①.23②.12##0.5【解析】【分析】第一空建立如图所示坐标系，用坐标分分别表示出()11,1,,13AC PD ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，再计算数量积即可；第二空建立如图所示坐标系，用坐标表示出(),1DP λ=- ，()1,1PC λ=-，结合二次函数的性质计算数量积的最大值即可.【详解】根据题意，建立以A为原点的平面直角坐标系，如图则()()()()0,0,1,1,0,1,1,0A C D B 因为正方形ABCD 的边长为1，()0AP AB λλ=>当13λ=时，11,033AP AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以1,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()11,1,,13AC PD ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，所以121133AC PD ⎛⎫⋅=⨯-+= ⎪⎝⎭；如图，因为()0AP AB λλ=>，所以(),0P λ，所以(),1DP λ=- ，()1,1PC λ=-，所以()221311124PC DP λλλλλ⎛⎫⋅=--=-+-=--- ⎪⎝⎭ ，所以当12λ=时，PC DP ⋅ 取得最大值.故答案为：23；12.14.已知p ：设函数()f x 在区间()0,∞+上的图象是一条连续不断的曲线，若()()120f f ⋅>，则()f x 在区间()1,2内无零点．能说明p 为假命题的一个函数的解析式是______．【答案】()232f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】利用已知条件结合函数的定义域，函数值，零点综合得出即可.【详解】解析式为()232f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.函数的定义域为R ，所以函数()f x 在区间()0,∞+上的图象是一条连续不断的曲线，因为()114f =，()124f =，所以()()120f f ⋅>，又302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x 在区间()1,2内有零点，所以为假命题.故答案为：()232f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）.15.已知曲线:4,G x x y y O +=为坐标原点．给出下列四个结论：①曲线G 关于直线y x =成轴对称图形；②经过坐标原点O 的直线l 与曲线G 有且仅有一个公共点；③直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为π2-；④设直线:2l y kx =+，当()1,0k ∈-时，直线l 与曲线G 恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①③④【解析】【分析】分,x y 的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，由图可得①正确；当斜率为1-时结合渐近线可得②错误；由四分之一圆面积减去三角形面积可得③正确；由图形可得④正确.【详解】222222224,0,04,0,044,0,04,0,0x y x y x y x y x x y y y x x y x y x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎪+=⇒⎨-=⎪⎪--=<<⎩，因为当0,0x y <<时，224x y --=无意义，无此曲线，故舍去，所以曲线G 表示为：2222224,0,04,0,04,0,0x y x y x y x y y x x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎨⎪-=⎩，作出曲线图象为对于①，由图象可得曲线G 关于直线y x =成轴对称图形，故①正确；对于②，由于左上和右下部分双曲线的a b =，所以渐近线方程为y x =-，所以当直线的斜率为1-时，过原点的直线与曲线无交点，故②错误；对于③，设直线l 与,x y 交点分别为,A B ，因为圆方程中半径为2，且点()()2,0,0,2A B ，所以直线与曲线围成的图形的面积为211π222π242⨯⨯-⨯⨯=-，故③正确；对于④，由于直线2y kx =+恒过()0,2，当0k =时，直线与x 平行，有一个交点；当1k =-时，与渐近线平行，此时有两个交点，当10k -<<，结合斜率的范围可得有三个交点，如图：所以，④正确；故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据,x y 的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数())cos 3sin 3cos f x xx x a =+-的图像经过点3,62π⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求实数a 的值，并求()f x 的单调递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）32a =，()π7ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）3,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出函数的单调区间；（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题求出参数m 的取值范围．【小问1详解】由题意得，πππ3cos 33cos .6662a ⎫+-=⎪⎭解得3.2a =所以())233cos 33cos 3cos 3cos 22f x xx x x x x =+-=+-31cos 23sin 23222x x +=+⨯-33cos 2πsin 22223x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤+≤+∈，得π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为()π7ππ,πZ .1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】由（1）可知()π2.3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为π02x ≤≤，所以ππ4π2.333x ≤+≤所以3π223x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭所以()32f x -≤≤当π4π233x +=，即π2x =时，()f x 取得最小值3.2-因为()f x m ≥恒成立等价于()min m f x ≤，所以3.2m ≤-所以实数m 的取值范围是3,.2∞⎛⎤--⎥⎝⎦17.如图，在棱长均为2的四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 是1CC 的中点，BC 交平面1AD E 于点F ．（1）求证：点F 为线段BC 的中点；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱1111ABCD A B C D -存在且唯一确定．（i ）求二面角1D AF B --的余弦值；（ii ）求点1B 到平面1AD EF 的距离．条件①：1DD ⊥平面ABCD ；条件②：四边形ABCD 是正方形；条件③：平面11AA D D ⊥平面11CC D D ．注：如果选择的条件不符合要求，则第2问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）23-；2【解析】【分析】（1）先通过面面平行的性质证明1//AD EF ，再通过证四边形11ABC D 是平行四边形，证11//AD BC ，通过平行的传递性证1//EF BC ，最后利用三角形中位线点F 为线段BC 的中点得证；（2）通过已知条件先证DA 、DC 、1DD 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角，求点到平面距离即可.【小问1详解】连接1BC ，因为BC 交平面1AD E 于点F ，BC ⊂平面11B BCC ，所以F ∈平面11B BCC ，所以平面11B BCC 平面1D AFE EF =.因为平面11B BCC //平面11A ADD ，平面11D DAA 平面11D AFE AD =，所以1//AD EF ，因为11//D C AB ，且11=D C AB ，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC ，所以1//EF BC ，因为点E 是1CC 的中点，所以点F 是线段BC 的中点.【小问2详解】选择条件①②：因为1DD ⊥平面ABCD ，1DD ⊂平面ABCD ，DA ⊂平面ABCD ，所以11DD DA DD DC ⊥⊥，，因为四边形ABCD 是正方形，所以DA DC ⊥；（i ）：如图建立以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,2,0F ，()12,0,2AD =- ，()1,2,0AF =- ，设平面1D AFE 的法向量为(),,m x y z =，10AD m AF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令2x =，则1,y =2z =，于是()2,1,2m = ，因为1DD ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =，所以2cos ,3m n m n m n ⋅== ，由题知，二面角1D AF B --为钝角，所以二面角1D AF B --的余弦值为23-.（ii ）：因为()2,0,0A ，()12,2,2B ，所以()10,2,2AB =，所以点1B 到平面1AD EF 的距离12AB m d m⋅==.选择条件①③：因为1DD ⊥平面ABCD ，1DD ⊂平面ABCD ，DA ⊂平面ABCD ，所以11DD DA DD DC ⊥⊥，，因为平面11AA D D ⊥平面11CC D D ，平面11AA D D ⋂平面111CC D D DD =，所以DA ⊥平面11CC D D ，所以DA DC ⊥，（i ）：如图建立以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,2,0F ，()12,0,2AD =- ，()1,2,0AF =- ，设平面1D AFE 的法向量为(),,m x y z =，10AD m AF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令2x =，则1y =，2z =，于是()2,1,2m = ，因为1DD ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =，所以2cos ,3m n m n m n ⋅== ，由题知，二面角1D AF B --为锐角，所以二面角1D AF B --的余弦值为23.（ii ）：因为()2,0,0A ，()12,2,2B ，所以()10,2,2AB =，所以点1B 到平面1AD EF 的距离12AB m d m⋅==.选择条件②③不合题意，此时几何体不能唯一确定.18.某行业举行专业能力测试，该测试由,,A B C 三项组成，每项测试成绩分为合格和不合格，三项测试结果相互独立．当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当C 项测试成绩合格，且,A B 两项中恰有一项成绩合格时，认定分为5分；当C 项测试成绩不合格，且,A B 两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其它测试成绩，认定分为0分．甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试，测试成绩合格的频数统计如下表：测试项A BC频数161510用频率估计概率．（1）试估计甲参加该专业能力A 项测试成绩合格的概率；（2）设X 表示甲获得的认定分，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）若乙参加该专业能力测试，三项测试成绩合格的概率均为23．试估计甲、乙两人获得认定分的大小，并说明理由．【答案】（1）45（2）答案见解析（3）乙获得的认定分大【解析】【分析】（1）由频率估计概率计算可得；（2）分别算出机变量X 的所有可能取值为10,5,2,0时的概率，列出分布列，再由期望公式求出期望即可；（3）分别算出机变量Y 的所有可能取值为10,5,2,0时的概率，再由期望公式求出期望与甲对比即可【小问1详解】因为甲参加专业能力A 项测试成绩合格的频率为164205=，由频率估计概率，估计甲参加专业能力A 项测试成绩合格的概率为()45P A =.【小问2详解】设甲参加专业能力,,A B C 三项测试成绩合格分别为事件111,,A B C ，由频率估计概率，可得()()()111431,,542P A P B P C ===，根据题意，随机变量X 的所有可能取值为10,5,2,0，()()()()()11111143131054210P X P A B C P A P B P C ====⨯⨯=，()()()()()()()1111111314117554254240P X P A P B P C P A P B P C ==+=⨯⨯+⨯⨯=，()()()()()1111114313254210P X P A B C P A P B P C ====⨯⨯=，()()()()901105240P X P X P X P X ==-=-=-==，所以X 的分布列为X02510P940310740310所以X 的数学期望为()937302510 4.47540104010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】乙获得的认定分大.理由如下：设乙参加展业能力,,A B C 三项测试成绩合格分别为事件222,,A B C ，由频率估计概率，可得()()()22223P A P B P C ===，设Y 表示乙获得的认定分，随机变量Y 的所有可能取值为10,5,2,0，()32810327P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭；()2218523327P Y ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭；()212423327P Y ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭；()()()()701105227P Y P Y P Y P Y ==-=-=-==，所以()748802510 4.74 4.47527272727E Y =⨯+⨯+⨯+⨯≈>，所以()()E X E Y <，所以乙获得的认定分大.19.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为（1）求椭圆E 的方程；（2）设,A B 是椭圆E 的左、右顶点，F 是椭圆E 的右焦点．过点F 的直线l 与椭圆E 相交于,M N 两点（点M 在x 轴的上方），直线,AM BN 分别与y 轴交于点,P Q ，试判断OP OQ是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）是定值；13OP OQ=【解析】【分析】（1）由椭圆的性质和离心率解方程组求出即可；（2）当斜率不存在时，分别求出直线AM 和BN 的直线方程，得到13OP OQ=；当斜率存在时，设出直线方程，直曲联立，表示出韦达定理，由点斜式求出直线方程可得到,P Q 两点坐标，再用韦达定理表示出OP OQ化简即可.【小问1详解】由题意可得222122c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1a b c ===，所以椭圆方程为22143x y +=，【小问2详解】是定值，理由如下：由题意可得()()()2,0,2,0,1,0A B F -，当MN x ⊥轴时，直线l 的方程为1x =，易知331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线AM 的方程为()122y x =+，所以()0,1,1P OP =，直线BN 的方程为()322y x =-，所以()0,3,3Q OQ -=，则13OP OQ =；当直线MN 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()1,0y k x k =-≠，由()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-=，则()2Δ14410k =+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，直线AM 的方程为()1122y y x x =++，令0x =，则1122P y y x =+，所以1120,2y P x ⎛⎫⎪+⎝⎭，直线BN 的方程为()2222y y x x =--，令0x =，则2222Q y y x -=-，所以2220,2y Q x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，所以121222,22y y OP OQ x x -==+-，所以()()()()()()1121211212212112122222122222122222y y x k x x OP x x x x x OQy x k x x x x x x y x ---+--+====+-+-+---，可得222112212222121122412846223434134121834128322343434k k k x x x OP k k k k OQ k k x x x k k k ⎛⎫-----+ ⎪-++⎝⎭+===-⎛⎫---+-- ⎪+++⎝⎭，综上，13OPOQ =.【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于讨论斜率存在与不存在的情况，不存在时，直曲联立，由韦达定理结合直线方程表示出OP OQ ，再化简即可.20.已知函数()e xa f x x =+．（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[]0,1上的最小值；（3）若0a >，当0x >时，求证：()()ln ln f a x f a x ->+．【答案】（1）()1y a x a=-+（2）()min ,1,ln 1,1e,1,e ea a f x a a aa ⎧⎪≤⎪+<<⎨⎪⎪+≥⎩（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再求出()0f a =，最后利用点斜式写出直线方程再整理即可；（2）含参数的单调性讨论问题，先求导，再分参数0a ≤，0a >讨论单调性得出结果即可，其中当0a >时又分01a <≤、1e a <<、e a ≥三种情况；（3）构造函数()g x ，结合对数的运算化简，求导再结合基本不等式得到()g x 的单调性，即可证明.【小问1详解】因为()e x a f x x =+，所以()1exaf x ='-，所以()()01,0f a f a '=-=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()1y a x a =-+.【小问2详解】因为()e 1e ex x xa af x -=='-，当0a ≤时，()0f x '>在区间[]0,1上恒成立，所以()f x 在区间[]0,1上是增函数，此时()()min 0f x f a ==；当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =，①当ln 0≤a ，即01a <≤时，()0f x '>在区间[]0,1上恒成立，所以()f x 在区间[]0,1上是增函数，所以当0x =时，()()min 0f x f a ==；②当0ln 1a <<，即1e a <<时，()f x '与()f x 的情况如下：x()0,ln a ln a()ln ,1a ()f x '负正()f x 减极小值增函数所以当ln x a =时，()min ln 1f x a =+；③当ln 1a ≥即e a ≥时，()0f x '<在区间[]0,1上恒成立，所以()f x 在区间[]0,1上是减函数，所以当1x =时，()min 1ea f x =+，综上()min ,1,ln 1,1e,1,e ea a f x a a aa ⎧⎪≤⎪+<<⎨⎪⎪+≥⎩【小问3详解】设()()()ln ln 1ln ln ln ln 2e e e e xa x a xx a a g x f a x a x a x a x x -+⎛⎫=--+=-+-++=-+- ⎪⎝⎭，所以()12e e xxg x =-++'，因为1e 0,0exx >>，由基本不等式可得()12e 20e x x g x =-++≥-+='，当且仅当1e 0e x x x =⇒=时取等号，所以()g x '在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，所以()()ln ln f a x f a x ->+.【点睛】方法点睛：（1）第一问可用导数的意义求出切线的斜率，再用点斜式求出直线方程；（2）第二问为带参数的单调性的讨论求极值点问题，可求导分析单调性，进而求极值，在求出最值；（3）第三问为函数不等式问题，可构造函数求导分析单调性求解.21.已知12:,,,N Q a a a 为有穷正整数数列，12N a a a ≤≤≤ ，且12N s a a a =+++ ．从Q 中选取第1i 项，第2i 项，L ，第m i 项()12m i i i <<< ，称数列1,i i i a a ，,m i a 为Q 的长度为m 的子列．规定：数列Q 的任意一项都是Q 的长度为1的子列．若对于任意的正整数t s ≤，数列Q 存在长度为m 的子列12,,,m t t t a a a ，使得12m t t t a a a t +++= ，则称数列Q 为全覆盖数列．（1）判断数列1,1,1,5和数列1,2,4,8是否为全覆盖数列；（2）在数列Q 中，若21s N ≤-，求证：当2n N ≤≤时，1211n n a n a a a -≤≤++++ ；（3）若数列Q 满足：11a =，且当2n N ≤≤时，1211n n a a a a -≤++++ ，求证：数列Q 为全覆盖数列．【答案】（1）1,1,1,5不是全覆盖数列，1,2,4,8是全覆盖数列（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接使用定义验证即可；（2）利用数列的各项都是正整数及12N a a a ≤≤≤ ，即可得到结论；（3）使用数学归纳法证明.【小问1详解】对于1,1,1,5，有8s =，但该数列不存在和为4t =的子列，故1,1,1,5不是全覆盖数列；对于1,2,4,8，有15s =，由11,22,123,44,145,246,1247,88,189==+==+=+=++==+=；2810,12811,4812,14813,24814,124815+=++=+=++=++=+++=.可知1,2,4,8是全覆盖数列.【小问2详解】由题知，11a =.若不成立，则12a ≥，那么122N a a a N +++≥ 与假设矛盾.因为21s N ≤-，即1221N a a a N +++≤- .①又121 1N a a a N -+++≥- ，所以1211N a a a N -++++≥ .所以()1211N a a a N --+++≤-+ .由①+②得，N a N≤.所以1211N N a N a a a -≤≤++++ .当1N a =时，1211N a a a -==== ，得121123N a a a N N -+++=-≤- ，命题成立.此时，当21n N ≤≤-时，1211n n a n a a a -≤≤++++ 成立.当2N a ≥时，得12123N a a a N -+++≤- .同理可得，112211N N a N a a a --≤-≤++++ .归纳可得，当21n N ≤≤-时，1211n n a n a a a -≤≤++++ .综上可得，命题成立.【小问3详解】下面证明，当1n N ≤≤时，对于任意的12n t a a a ≤+++ ，存在子列12,,,m t t t a a a ，其中12,,,{1,2,3,,}m t t t n ∈ ，使得12m t t t a a a t +++= .（i ）当1n =时，11a =，所以当11t S ≤=时，有1t a =.当2n =时，则2112a a ≤+=.所以12121,1,2a a a a ==+=.对于任意2t ≤，命题成立.或12121,2,3a a a a ==+=.对于任意3t ≤，命题成立.（ii ）假设当(1)n k k N =≤-时，命题成立.即对于任意的正整数12k t a a a ≤+++ ，存在子列12,,,m t t t a a a ，其中12,,,{1,2,3,,}m t t t k ∈ ，使得12m t t t a a a t +++= .则当1n k =+时，对于任意的正整数121k k t a a a a +≤++++ .①当正整数12k t a a a ≤+++ 时，由假设成立.存在子列12,,,m t t t a a a ，其中12,,,{1,2,3,,}m t t t k ∈ ，使得12m t t t a a a t +++= .②当正整数121k t a a a ≥++++ 时，因为1121k k a a a a +≤++++ ，所以1k t a +≥.若1k t a +=，则此时成立.若1k t a +>，则1121k k t a a a a +≤-≤+++ .由假设，存在子列12,,,m t t t a a a ''' ，其中12,,,{1,2,3,,}m t t t k '''∈ ，使得121mk t t t a a a t a '''++++=-整理得121m k t t t t a a a a +'''=++++ ，此时12,,,,1{1,2,3,,,1}m t t t k k k '''+∈+ .即命题成立.综上，对于任意的12N t a a a ≤+++ ，存在子列12,,,m t t t a a a ，其中12,,,{1,2,3,,}m t t t N ∈ ，使12m t t t a a a t +++= .所以数列Q 为全覆盖数列.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于第3小问中数学归纳法的使用.。

昌平数学二模试卷高三答案

一、选择题1. 答案：A解析：由题意知，函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最大值，因此对称轴x = -b/(2a) = 1，解得a = 1，b = -2，c = 1。

2. 答案：C解析：首先对数函数y = log_a(x)在x > 0时单调递增，排除B、D。

再由a^2 = 1，得a = 1或a = -1。

由指数函数y = a^x在a > 0时单调递增，排除A。

3. 答案：D解析：由题意知，点P的轨迹为圆，圆心为(0,0)，半径为r。

因此，OP = r。

根据勾股定理，可得x^2 + y^2 = r^2。

4. 答案：B解析：由题意知，直线l的斜率为-1，因此直线l的方程为y = -x + b。

代入点(2,3)得b = 5，所以直线l的方程为y = -x + 5。

5. 答案：A解析：由题意知，等差数列{an}的公差为d，首项为a1。

根据等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，代入n = 1和n = 5得a1 = 2，d = 2。

因此，an = 2 + (n - 1) 2 = 2n。

二、填空题6. 答案：-1/2解析：由题意知，方程x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0的判别式Δ = 4a^2 -4(a^2 - 1) = 4 > 0，因此方程有两个实数根。

根据韦达定理，x1 + x2 = 2a，x1 x2 = a^2 - 1。

又因为x1 x2 = -1，代入得a^2 - 1 = -1，解得a = ±1。

由于x1 + x2 = 2a，代入a = -1得x1 + x2 = -2，因此x1 x2 = (x1 + x2)^2 - (x1 - x2)^2 = (-2)^2 - (x1 - x2)^2 = -1，解得(x1 - x2)^2 = 3，所以x1 - x2 = ±√3。

由于x1 x2 = -1，且x1 + x2 = -2，解得x1 = -1/2，x2 = -3/2。

北京市昌平区2021届高三第二次统一练习数学(文科)试题

北京市昌平区【最新】高三第二次统一练习数学（文科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集U =R ,集合{20}A x x =->，则UA =A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞2．已知)a b k ==，若//a b ，则k = A ．1-B ．1C ．3-D ．33．若实数,x y 满足10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最小值为A ．12-B ．0C ．1D ．324．设,a b 是两条不同的直线，α是平面且b α⊂，那么“//a b ”是“//a α”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．14B ．310C ．13D ．5146．给定函数①12y x =，②1y x =，③1y x =-，④cos()2y x π=-，其中既是奇函数又在区间(0,1)上是增函数的是 A ．①B ．②C ．③D ．④7．已知函数22,0,(),0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()(1)g x f x k x =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是A ．(,1)(4,)-∞-+∞ B ．(,1][4,)-∞-⋃+∞ C ．[1,0)(4,)-⋃+∞D ．[1,0)[4,)-⋃+∞8．已知圆22(2)4x y -+=的圆心为C ，过原点O 的直线l 与圆交于,A B 两点.若ABC ∆的面积为1,则满足条件的直线l 有A ．2条B ．4条C ．8条D ．无数条二、填空题9．设a R ∈，若(1)(i)2i a i +-=-，则a =______ .10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为．11．某校高三年级5个班进行拔河比赛，每两个班都要比赛一场.到现在为止，1班已经比了4场，2班已经比了3场，3班已经比了2场，4班已经比了1场，则5班已经比了______场.12．设函数(x)Asin(x )f ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0>ω）．若()f x 在区间(1,3)上具有单调性，且(1)(3)(5)f f f =-=-，则ω=__________．三、双空题13．某校从高三年级中随机选取200名学生，将他们的一模数学成绩绘制成频率分布直方图（如图）. 由图中数据可知a =__________ .若要从成绩在[)[)[]120,130130,140140,150，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从成绩在[)130,140内的学生中选取的人数应为__________ .14．双曲线22:13y C x -=的渐近线方程为__________；若双曲线C 的右焦点恰是抛物线2:2(0)N y px p =>的焦点，则抛物线N 的准线方程为____________.四、解答题15．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为12，且248,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .16．学校组织学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力.学校对10位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试，测试成绩分为,,A B C 三个等级，其统计结果如下表：语言表达能力文字组织能力由于部分数据丢失，只知道从这10位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到语言表达能力或文字组织能力为C 的学生的概率为310. （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）从测试成绩均为A 或 B 的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A 的学生的概率．17．在ABC ∆中，A ∠的角平分线AD 与边BC 相交于点D ，且2,3,60AC AB BAC ==∠=︒.(Ⅰ)求BC 的长及sin B 的值；（Ⅱ）求AD 的长．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB //CD ，AB AD ⊥，224CD AB AD ===.（1）求证：平面PCD ⊥平面PAD . （2）求三棱锥P ABC -的体积.（3）在棱PC 上是否存在点E ，使得BE //平面PAD ？若存在，请确定点E 的位置，并证明；若不存在，请说明理由.19．已知椭圆经过点()()2,0,0,1A B --，点P 是椭圆上在第一象限的点，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交x 轴于点N .（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；（Ⅱ）是否存在点P ，使得直线MN 与直线AB 平行？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．20．已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x=--∈．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ag x x=-．若至少存在一个0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．B 【解析】{}{}20|2A x x x x =-=<，{}[)|22,U A x x ∴=≥=+∞，故选B.2．D【解析】因为(),a bk ==，a b ，10k ∴⨯=，3k ∴=，故选D.3．A 【解析】画出10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的可行域，得在直线10x y -+=与直线0x y +=的交点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，由图知，目标函数2x y +在处11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值为12-，故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 4．D 【分析】由于直线a 与α的位置关系不确定，结合线面关系条件和结论互相都推不出.【详解】当直线a 在平面α内时，由//a b 不能推出//a α；当//a α时，a 有可能与b 平行或异面，所以“//a b ”是“//a α”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】本题考查线线与线面位置关系的判断，充分与必要条件的判断，属于基础题 5．C 【解析】执行程序框图，11,0;2,2k S k S ====；113,;4,43k S k S ====；5k =，退出循环，输出13S =，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 6．D 【解析】对于①，即不是奇函数又不是偶函数，不合题意；对于②，1y x=在()0,1递减，不合题意；对于③，1y x =-是偶函数，不合题意；对于 ④，cos 2y x sinx π⎛⎫=-=⎪⎝⎭，即是奇函数，又在()0,1上递增，合题意，故选D. 7．C 【解析】()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，等价于()y f x =与()1y k x =-有两个交点，同一坐标系，画出()y f x =与()1y k x =-的图象，直线过()0,1时，1k =-，直线与()20y xx =≥，相切时4k =，由图知，[)()1,04,k ∈-⋃+∞时，两图象有两交点，即k 的取值范围是[)()1,04,-⋃+∞，故选C.【方法点睛】根据()y f x = 零点个数求参数的常用方法：① 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x = 零点个数就是方程()0f x = 根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法③.8．B 【解析】设ACB θ∠=，ABC ∆的面积为2114122r sin sin θθ=⨯⨯=，可得1,26sin πθθ==或56，6πθ=时，有2条，56时，有2条，共4条，故选B. 9．1- 【解析】()()()11+12i a i a a i i +-=+-=-,10112a a a +=⎧⇒=-⎨-=-⎩,故答案为1-.10．由三视图可知，三棱锥直观图如图D ABC-，图中D为棱的中点，正四棱柱底面边长为2AD=，故答案为.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.11．2【解析】设①②、③、④、⑤分别代表1、2、3、4、5班，①赛了4场，则①是和②、③、④、⑤每人赛了1场；由于④只赛了1场，则一定是找①赛的；②赛了3场，是和①、③、⑤赛的；③赛了2场，是和①、②赛的；所以此时⑤赛了2场，即是和①、②赛的，每班的比赛情况可以用如图表示：答：⑤号已经比了2场，即5班已经比了2场，故答案为2.12．π4()()13,f f =-∴一个对称中心横坐标为1322+=，()()35,f f =∴一条对称轴方程为354,42224T x +==∴=-=，28,4T ππωω===，故答案为4π. 13．0.030 4 【解析】直方图中各个矩形的面积之和为1，()100.0050.0350.020.011a ∴⨯++++=，解得0.03a =，由直方图可知，身高在[]140,150范围内抽取的学生人数占三个区域内总人数的13，11863⨯=，故答案为6 .14．y = 2x =- 【解析】3ba=，∴渐近线方程为y =，12C =+=，∴双曲线右焦点为()2,0，即22p=，∴抛物线准线方程为2x =-，故答案为y =，2x =-. 15．（1）2n a n =；（2）4(41)3nn S =-【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意列出方程组，求得1,a d ，即可得到数列的通项公式．（2）由（1）知24==na n nb ，利用等比数列的前n 项和公式，即可求解数列的和．因为11144,44n n n n b b b ++===，所以数列{}n b 是以4为首项，4为公比的等比数列，【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 依题意有123242812a a a a a a ++=⎧⎨=⎩，即12140a d d a d +=⎧⎨-=⎩. 由0d ≠，解得122a d =⎧⎨=⎩，所以2n a n =.（2）由（1）知2224na n n nb ===.因为11144,44n n n n b b b ++===，所以数列{}n b 是以4为首项，4为公比的等比数列，所以()()414441143n nn S --==-.【点睛】等差、等比数列的综合是高考考查的热点，一般都是突出基本量和方程思想，强调基本的运算.解题时，关键在于用好它们的有关知识，理顺两个数列间的关系.注意运用等差数列与等比数列的基本量，即1,a d 与1,b q 来表示数列中的所有项，还应注意等差数列与等比数列之间的相互转化.16．(1) 1,2b a ==；（2）12012121P =-=. 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据抽到语言表达能力或文字组织能力为C 的学生的概率为310，可得231010b +=，从而可得1,b =进而可得2a =；（Ⅱ）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式及对立事件概率公式可求出至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A 的学生的概率.试题解析：(Ⅰ)依题意可知：语言表达能力或文字组织能力为C 的学生共有()2b +人.所以231010b +=.所以1,2b a ==. （Ⅱ）测试成绩均为A 或B 的学生共有7人，其中语言表达能力和文字组织能力均为B 的有2人，设为12,b b ，其余5人设为12345,,,,.a a a a a则基本事件空间()()()()()()()12131415111223{,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a b a b a a Ω=()()()()()()()()()()24252122343531324541,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a a a b a b a a a b()()()()42515212,,,,,,,}a b a b a b b b .所以基本事件空间总数21n =.选出的2人语言表达能力和文字组织能力均为B 的有(){}12,b b .所以至少有一位语言表达能力或文字组织能力为A 的学生的概率为12012121P =-=．【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式及对立事件概率公式，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.17．(1) 7；（2. 【解析】试题分析：(Ⅰ)先根据余弦定理可得BC =2sin sin AC AB BC===；（Ⅱ）先根据两角和的正弦公式可得sin 14ADB ∠=，再根据正弦定理可得AD 的长. 试题解析：(Ⅰ) 因为22212cos 9423272BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以BC = 因为sin sin AC BCB A=，所以2sinsinAC ABBC===（Ⅱ）因为cos B=所以()sin sinADB B BADπ⎡⎤∠=-∠+∠⎣⎦()sin B BAD=∠+∠sin cos cos sinB BAD B BAD=∠+∠17272=⨯+⨯=，因为sin sinAD ABB ADB=∠∠，所以3sinsinAB BADADB∠===∠．18．()1证明见解析；()2；()3在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，//BE 平面PAD.理由见解析.【分析】（1）先根据面面垂直性质定理得CD⊥平面P AD，再根据面面垂直判定定理得结果；（2）取AD的中点O，根据面面垂直性质定理得PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P—ABC 的高，最后根据三棱锥体积公式得结果；(3)先探索得E为PC的中点，取CP，CD的中点E，F，利用平几知识得四边形ABFD为平行四边形，即得BF//AD，再根据线面平行判定定理得结论.【详解】（1）证明：因为AB∥CD，AB⊥AD，所以CD⊥AD.因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面P AD .（2）取AD 的中点O ，连接PO . 因为△P AD 为正三角形，所以PO ⊥AD .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO 为三棱锥P —ABC 的高．因为△P AD 为正三角形，CD ＝2AB ＝2AD ＝4，所以PO . 所以V 三棱锥P —ABC ＝13S △ABC ·PO＝1122323⨯⨯⨯=. (3)在棱PC 上存在点E ，当E 为PC 的中点时，BE ∥平面P AD . 分别取CP ，CD 的中点E ，F ，连接BE ，BF ，EF ，所以EF ∥PD .因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，所以AB ∥FD ，AB ＝FD ，所以四边形ABFD 为平行四边形，所以BF ∥AD .因为BF ∩EF ＝F ，AD ∩PD ＝D ，所以平面BEF ∥平面P AD . 因为BE ⊂平面BEF ，【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19．(1) 2214x y +=，2e =；(2)存在，P . 【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆经过点()()2,0,0,1A B --，可得2,1a b ==，从而可得c =；进而可得椭圆的标准方程和离心率；（Ⅱ）假设存在点P ，使得直线MN 与直线AB 平行. 设()(),0,0P m n m n >>，设出直线PA 、直线PB 的方程，求出M 、N 的坐标，根据AB MN k k =，可得结果.试题解析：（Ⅰ）依题意设所求椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>.因为椭圆经过点()()2,0,0,1A B --，所以2,1a b ==.所以c ==所求椭圆的标准方程为2214x y +=，离心率e =（Ⅱ）存在点P ，使得直线MN 与直线AB 平行. 设()(),0,0P m n m n >>.则2214m n +=，即2244m n +=.因为,2PA nk m =+ 所以():2,2PA nl y x m =++令0,x =则22M ny m =+.所以20,2n M m ⎛⎫⎪+⎝⎭. 因为1PB n k m+=，所以1:1PB n l y x m ++=. 令0,y =则1N m x n =+. 所以,01m N n ⎛⎫⎪+⎝⎭. 所以()()20212201MNnn n m k m m m n -++==-+-+.若直线MN 与直线AB 平行，那么AB MN k k =. 因为12AB k =-，所以()()21122n n m m +=--+. 即22442n n m m +=+ . 所以224240m n m n -+-=.所以()()()22220m n m n m n +-+-=. 即()()2220m n m n -++=. 因为0,0m n >>, 所以2m n =. 所以22444n n +=》所以n =所以m =所以2P ⎭.20．（1）440x y --=（2）()f x 的单调递增区间为和)+∞，单调递减区间为（3）0a > 【解析】试题分析：函数的定义域为()0,+∞，222122()(1)ax x af x a x x x -+=+-='． 1分（Ⅰ）当2a =时，函数1()2()2ln f x x x x=--，(1)0f =，(1)2f '=．所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即220x y --=．4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．（1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减． 5分（2）当0a >时，244a ∆=-，（ⅰ）若01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得x <或x >； 6分由()0f x '<，即()0h x <x <<．7分所以函数()f x 的单调递增区间为1(0,a 和1(,)a++∞，单调递减区间为11(,a a-+． 8分（ⅱ）若1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增． 9分（Ⅲ））因为存在一个0[1,]x e ∈使得00()()f x g x >，则002ln ax x >，等价于02ln x a x >.10分令2ln ()xF x x=，等价于“当[]1,x e ∈时，()min a F x >”. 对()F x 求导，得22(1ln )()x F x x -='. 11分因为当[1,e]x ∈时，()0F x '≥，所以()F x 在[1,e]上单调递增. 13分所以min ()(1)0F x F ==，因此0a >. 14分另解：设()()()2ln F x f x g x ax x =-=-，定义域为()0,+∞，()22ax F x a x x='-=-. 依题意，至少存在一个0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x >成立，等价于当[]1,x e ∈时，()max 0F x >. 10分（1）当0a ≤时，()0F x '<在[]1,e 恒成立，所以()F x 在[]1,e 单调递减，只要()()max 10F x F a ==>，不满足题意. 11分（2）当0a >时，令()0F x '=得2x a=. （ⅰ）当201a<≤，即2a ≥时，在[]1,e 上()0F x '≥，所以()F x 在[]1,e 上单调递增，所以()()max 2F x F e ae ==-，由20ae ->得，2a e>，所以2a ≥. 12分（ⅱ）当2e a ≥，即20a e<≤时，在[]1,e 上()0F x '≤，所以()F x 在[]1,e 单调递减，所以()()max 1F x F a ==，由0a >得20a e <≤.13分（ⅲ）当21e a <<，即22a e <<时，在2[1,)a 上()0F x '<，在2(,e]a上()0F x '>，所以()F x 在2[1,)a 单调递减，在2(,e]a单调递增，()max 0F x >，等价于()10F >或()0F e >，解得0a >，所以，22a e<<. 综上所述，实数a 的取值范围为(0,)+∞. 14分考点：导数的运用点评：主要是对于导数在研究函数中的运用，导数的几何意义，导数的符号判定函数单调性，以及求解函数最直的运用，题型比较基础，常规试题。

北京市昌平区2022届高三数学仿真模拟试卷2文科含答案

北京市昌平区2022届高三仿真模拟数学文科试卷2第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知全集U =R ，集合{|21}xA x =>，1{|0}1B x x =>-，则()U A B IC =（A）{|1}x x > （B）{|01}x x << （C）{|01}x x <≤ （D）{|1}x x ≤（2）设,x y ∈R ，那么“0>>y x ”是“1>yx”的（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件（3）已知3cos 5α=，0πα<<，则πtan()4α+= （A）15 （B）-1 （C）17（D）7-（4）双曲线221169x y-=的焦点到渐近线的距离为（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（5）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形.若三棱柱的正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为（A） 8 （B） 4（C）（6）连续抛两枚骰子分别得到的点数是a ，b ，则向量(, )a b 与向量(1,1)-垂直的概率是（A）（B）（C）（D）（7）已知函数2()cos f x x x =-，则(0.5)f -，(0)f ，(0.6)f 的大小关系是（A）(0)(0.5)(0.6)f f f <-< （B）(0.5)(0.6)(0)f f f -<< （C）(0)(0.6)(0.5)f f f <<- （D）(0.5)(0)(0.6)f f f -<<（8）已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC . 设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11S Sλ=，22S S λ=，33S Sλ=，定义123()(, , )M P λλλ=．当23λλ⋅取最大值时，则()M P 等于512161312正视图（A）111(,,244 （B）111(,,)442 （C）111(,,333（D）111(,,222第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.（9）设i 为虚数单位，复数z 满足i 1i z =-，则z = .（10）已知向量a ，b 的夹角为60，||3=a ，||2=b ，若(2)m ⊥a a +b ，则实数m 的值为 .（11）如图，一艘船上午8：00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距，则此船的航行速度是 n mile/h.（12）右边程序框图的程序执行后输出的结果是 .（13）某射击运动员在一组射击训练中共射击5次，成绩统计如下表：环数8910次数221则这5次射击的平均环数为；5次射击环数的方差为 .（14）已知区域D ：2,20,10.y x y x y ⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤ 则22x y +的最小值是；若圆C：22()(2)2x a y -+-=与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2sin 1f x x x x =-+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及值域；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.（16）（本小题满分13分）设{}n a 是一个公差为2的等差数列，1a ，2a ，4a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）数列{}n b 满足2n an b =，求12n b b b ⋅⋅⋅ （用含n 的式子表示）. （17）（本小题满分13分）在长方形11AA B B 中，124AB AA ==，C ，1C 分别是AB ，11A B 的中点（如左图）.将此长方形沿1CC 对折，使平面11AA C C ⊥平面11CC B B （如右图），已知D ，E 分别是11A B ，1CC 的中点.（Ⅰ）求证：1C D ∥平面1A BE ；（Ⅱ）求证：平面1A BE ⊥平面11AA B B ；（Ⅲ）求三棱锥11C A BE -的体积.（18）（本小题满分13分）已知函数()xf x e ax =-，a ∈R .（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当[0,)x ∈+∞时，都有()0f x ≥成立，求实数的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1 (0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A.)(x f a（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(3, 0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证：AM AN k k +为定值．（20）（本小题满分14分）对于整数, a b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a bq r =+，0||r b <≤. 特别地，当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1, 2, 3, , 23}A =⋅⋅⋅.（Ⅰ）存在q A ∈，使得201191q r =+(091)r <≤，试求q ，r 的值；（Ⅱ）若B A ⊆，12)(=B card （()card B 指集合B 中的元素的个数），且存在,a b B ∈，b a <，b a ，则称B 为“谐和集”.请写出一个含有元素7的“谐和集”0B 和一个含有元素8的非“谐和集”C ，并求最大的m A ∈，使含m 的集合A 有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由.参考答案1. C 【解析】分别把两个集合表示为{}{}0,1A x x B x x =>=>，所以{}1U C B x x =≤，(){}01.U A C B x x =<≤2. B 【解析】当0>>y x 时1>y x 成立，若1>yx，则出现0>>y x 和0x y <<两种情形。

北京市昌平区2022届高三二模数学试题 (解析版)

北京市昌平区2022届高三二模数学试题一、单选题1．已知集合{|02},{|1}A x x B x x =<<=≥，则A B ⋃=（）A ．{|0}x x >B ．{|12}x x ≤<C ．{|1}x x ≥D ．{|02}x x <<2．设复数z 满足()12i z i -=，则z= （）A ．-1+i B ．-1-iC ．1+iD ．1-i3．为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照[40,60),[60,80),[80,100),[100,120),[120,140),[140,160]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. 若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为（）A ．300B ．450C ．480D ．600【答案】D【分析】根据频率分布直方图可知样本频率，由样本频率来估计总体的概率，概率乘以总量即为所求.【详解】由频率分布直方图可知:数据落在[40,60),[60,80)的频率为0.002200.00820=0.2⨯+⨯，故该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为30000.2=600⨯故选:D4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3521,2S a a a =-=，则4a =（）A ．4B ．7C ．8D ．9【答案】B【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式的基本运算求解.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3521,2S a a a =-=，所以1121334,2+=+-==a d a d a a d ，解得12,1d a ==，所以4137a a d =+=，故选：B5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，其右焦点到双曲线C 的一条渐近线C 的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x=±6．“2πθ=”是“函数()sin()f x x θ=+在区间(0,)2π上单调递减”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1AO //EFB ．1A O EF ⊥C ．1AO //平面1EFBD ．1A O ⊥平面1EFB 【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令12,2(0,0)AB a DD b a b ==>>，O 是底面ABCD 的中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点，则11(,,0),(2,0,2),(2,2,),(2,2,2),(0,0,)O aa A ab E a a b B a a b F b ，1(,,2)OA a a b =-u u u r，1(2,2,0),(0,0,)FE a a EB b ==u u u r u u u r，对于A ，显然1OA u u u r与FE u u u r不共线，即1AO 与EF 不平行，A 不正确；对于B ，因12()2020OA FE a a aa b ⋅=⋅+-⋅+⋅=u u u r u u u r ，则1OA FE ⊥u u u r u u u r，即1A O EF ⊥，B 正确；对于C ，设平面1EFB 的法向量为(,,)n x y z =r ，则12200n EF ax ay n EB bz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩u u uv v u u u v v ，令1x =，得(1,1,0)n =-r，120OA n a ⋅=>u u u r r，因此1OA u u u r 与n r 不垂直，即1AO 不平行于平面1EFB ，C 不正确；对于D ，由选项C 知，1OA u u u r 与n r不共线，即1AO 不垂直于平面1EFB ，D 不正确.故选：B8．已知直线:10l ax y -+=与圆22:(1)4C x y -+=相交于两点,A B ，当a 变化时，△ABC 的面积的最大值为（）A ．1B C ．2D ．故选：C.9．已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞【答案】C【分析】由二次函数的性质判断()f x 区间单调性，根据解析式知()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，进而确定区间值域，再由对数函数性质求2log y x =的对应区间值域，即可得不等式解集.【详解】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减，由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x <，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >，所以2()log f x x >的解集为(0,4).故选：C10．在△ABC 中，45,4,B c ︒∠==只需添加一个条件，即可使△ABC 存在且唯一.条件：①a =； ②b =③4cos 5C =-中，所有可以选择的条件的序号为（）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③【答案】B二、填空题11．抛物线22y x =的准线方程为__________．12．62x ⎛⎝展开式中常数项为___________（用数字作答）.故答案为：60.13．若函数2,0,()x b x f x x ⎧-<⎪=≥有且仅有两个零点，则实数b 的一个取值为______.三、解答题14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是BC 的中点.(1)求证：1AB ⊥平面1A BM ；(2)求二面角11B A M C --的大小；(3)求点A 到平面11A MC 的距离.由（1）知，平面1A BM 的一个法向量为设平面11A MC 的一个法向量为(n x =r则111220,20,n A C x y n C M x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u u u v v u u u u v v 所以x =令2x =，则2,1==y z ，所以(2,2,1)n =rr u u u r15．已知函数()sin()(0,0,||2f x A x A πωφωφ=+>><，且()f x 的最小正周期为π，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.(1)求()f x 的解析式；(2)设()()2g x f x x =+，若()g x 在区间[0,]m 上的最大值为2，求m 的最小值．条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 的图象经过点(2π；条件③；直线38x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴.注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．16．某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示.产品等级优等品一等品二等品普通品样本数量（件）30506060(1)若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；(2)从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为X ，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列和数学期望;(3)为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为2212,s s ，比较2212,s s 的大小.（请直接写出结论）X 的数学期望543686()0231251251255E X =++⨯+⨯=. ...（3）2212s s =设200件样本利润分别为12200,,x x x L ，平均数为x ，则降价后200件样本利润分别为122005,5,5x x x ---L ，平均数为5x -，由方差计算公式可得2212s s =17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，上下顶点分别为,A B ，且||4AB =.过点(0,1)的直线与椭圆C 相交于不同的两点M N ，（不与点,A B 重合）.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线AM 与直线4y =相交于点P ，求证：,,B P N 三点共线.所以BN BP k k =，所以,,B P N 三点共线.18．已知函数()ln f x a x bx b =-+，e ()(0)xg x a x x=->.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求实数,a b 的值；(2)若函数()g x 无零点，求实数a 的取值范围；(3)当a b =时，函数()()()F x f x g x =+在1x =处取得极小值，求实数a 的取值范围.所以min ()(ln )(1ln )h x h a a a ==-.当1ln 0a ->，即1e a <<时，()0h x >，所以()0g x >，所以()g x 在(0,)+∞上无零点.当1ln 0a -≤，即e a ≥时，由(0)10h =>，(ln )0h a ≤，所以()h x 至少存在一个零点]0(0,ln x a ∈，所以()g x 至少存在一个零点.综上，若()g x 无零点，实数a 的取值范围为(,e)-∞.(3)当a b =时，e ()()()ln xF x f x g x a x ax x=+=-+，定义域为(0,)+∞．则()22(1)e e (1)()x x x ax a x F x a x x x'---=-+=．由（2）可知，当1a ≤时，()e 1x h x ax =->，当1e a <≤时， min ()(1ln )0h x a a =-≥，所以当e a ≤时，()e 0x h x ax =-≥在(0,)+∞上恒成立.此时，当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增.所以()F x 在1x =处取得极小值．当e a >时，ln 1a >，当1ln x a <<时，10x ->，()(1)e 0h x h a <=-<，所以()0F x '<，()F x 单调递减.此时1x =不是极小值点．即e a >时，不合题意．综上，满足条件的a 的取值范围为(,e]-∞．19．已知数列{}n a ，给出两个性质：①对于任意的*i N ∈，存在i k R ∈，当*,j i j >∈N 时，都有()j i i a a k j i -≥-成立；②对于任意的*,2i i ∈≥N ，存在i k R ∈，当*,j i j <∈N 时，都有()j i i a a k j i -≥-成立．(1)已知数列{}n a 满足性质①，且()*2i k i N =∈，141,7a a ==，试写出23,a a 的值；(2)已知数列{}n b 的通项公式为132n n b -=⨯，证明：数列{}n b 满足性质①；(3)若数列{}n c 满足性质①②，且当*,2i N i ∈≥时，同时满足性质①②的i k 存在且唯一.证明：数列{}n c是等差数列．四、双空题20．已知D 是△ABC 的边AB 的中点，||3,||2AB AC ==u u u r u u u r ，，3CAB π∠=，则AB AC ⋅=u u u r u u u r ______；DB DC ⋅=u u u r u u u r______【答案】 3 34-##-0.7521．刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形111A B C ，取正三角形111A B C 各边的三等分点222,,A B C ，，得到第一个阴影三角形212A B B ；在正三角形222A B C 中，再取各边的三等分点333,,A B C ，得到第二个阴影三角形323A B B ；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则32A B =______;图中螺旋形图案的面积为______.。

北京市昌平区2021届高三数学第二次统练试题文（昌平二模）(1)

北京市昌平区2021届高三4月第二次统练（二模）数学试卷（文科） 2021.4考生须知：本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部份。

答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色笔迹的签字笔填写。

答题卡上第I 卷(选择题)必需用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必需用黑色笔迹的签字笔作答，作图时能够利用2B 铅笔。

请依照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

修改时，选择题部份用塑料橡皮擦涂干净，不得利用涂改液。

维持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

考试终止后，考生务必将答题卡交监考教师收回，试卷自己妥帖保留。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） (1) 在复平面内，复数i(1i)-对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限(2) 已知等差数列{}n a 中，264,12==a a ，那么{}n a 的前10项和为（A ）90（B ）100 （C ） 110 （D ）120(3) 在ABC ∆中，假设2221c a b ab -=+，那么C ∠的大小为（A ）6π （B ）3π（C ）23π （D ）56π(4) 已知命题:,+∃∈R p x 使得12+<x x ；命题2:0q x x ∀∈≥R,.那么以下命题为真命题的是（A ）∧p q （B ）∨p q （C ）∨⌝p q （D ）∧⌝p q (5) 某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是左视图左视图（A ）12（B ）36（C ）24 （D ）72(6) 以下函数中，关于任意的12,x x ∈R ，知足条件211221()()0()f x f x x x x x ->≠-的函数是（A ）2log y x= （B ）1y x =-（C ）2=xy （D ）tan =y x(7)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：天天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后天天的回报比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后天天的回报是前一天的两倍. 假设投资的时刻为810天，为使投资的回报最多，你会选择哪一种方案投资？（A ）方案一（B ）方案二（C ）方案三（D ）都能够(8) 已知11, 1,()ln , 01⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩x f x xx x ，假设()(1)f x k x ≤-恒成立，那么k 的取值范围是（A ）(1,)+∞（B ）(,0]-∞ （C ）(0,1)（D ）[0,1]第二卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分.）(9) 假设直线210ax y +-=与直线2310x y --=平行，那么a =______ .(10) 已知实数,x y 知足50,3,0,-+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩x y x x y 则2=+z x y 的最小值为_____ .(11) 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为10，一条渐近线的斜率为34，那么此双曲线的标准方程为______，核心到渐近线的距离为_____ .(12) 执行右边的程序框图，假设输入的N 是4，那么输出p 的值是______ .是(13)已知矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，在矩形ABCD 内随机取一点M ,那么90AMB ︒∠≤的概率为__________ .(14) 在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ︒∠=，假设P 为CD 的中点，那么AP BD ⋅的值为____;假设点E 为AB 边上的动点，点F 是AD 边上的动点，且AE AB λ=，(1)AF AD λ=-， 01λ≤≤，那么DE BF ⋅的最大值为________ .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤.） (15)(本小题总分值13分)已知函数()f x cos (3sin cos )=+x x x ,x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及值域；（Ⅱ）求()f x 单调递增区间. (16)(本小题总分值13分)某学校为调查高一新生上学路程所需要的时刻（单位：分钟），从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时刻分组：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，取得的频率散布直方图如下图. （Ⅰ）依照图中数据求a 的值（Ⅱ）假设从第3，4，5组顶用分层抽样的方式抽取 6名新生参与交通平安问卷调查，应从第3，4，5组各抽取多少名新生？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通平安宣传活动，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率. (17)(本小题总分值14分) 已知正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，M 是1DD 的中点.（I ）求证：1//BD 平面AMC ；（II ）求证：1⊥AC BD ；频率/组距时间（分钟）0.0350.03a 0.010.0055040302010频率/组距时间（分钟）（III ）在线段1BB 上是不是存在点P ，当1BPBB λ=时，平面11//A PC 平面AMC ？假设存在，求出λ的值并证明；假设不存在，请说明理由. (18)(本小题总分值13分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，公差2=d ，且5346=+S a .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列{}n n ba 是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{}nb 的前n 项和n T .(19)(本小题总分值13分)已知函数32()213a f x x x ax =+--，'(1)0-=f .（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若是关于任意的[2,0)x ∈-，都有()3f x bx ≤+，求b 的取值范围. (20)(本小题总分值14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的核心为12(1,0),(1,0)F F -，点P 是椭圆C 上的一点，1PF 与y 轴的交点Q恰为1PF 的中点，34OQ =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）假设点A 为椭圆的右极点，过核心1F 的直线与椭圆C 交于不同的两点,M N ,求AMN ∆面积的取值范围.北京市昌平区2021届高三4月第二次统练（二模）数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2021.4一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

北京市昌平区2023届高三二模数学试题

一、单选题二、多选题1.把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A．B．C．D．2. 已知，则的大小关系为（）A．B．C．D．3. 已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．4. 复数（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面的对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 已知复数满足，则（）A．B．C．D．6.已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.的展开式中的系数为（）A ．30B ．40C ．70D ．808.设，则A．B．C．D．9. 已知函数，且对任意都有，则（）A．的最小正周期为B ．在上单调递增C ．是的一个零点D．10.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，，，，，，.该数列的特点如下：前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．11. 已知，则（）A．B．C．D．12. 已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（）．A．的焦点在轴上B．北京市昌平区2023届高三二模数学试题北京市昌平区2023届高三二模数学试题三、填空题四、解答题C．的实轴长为6D ．的离心率为13.若，，则的最大值为____________．14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点P是以为直径的半圆弧上的动点（不含A ，D 点），面面，经研究发现，四棱锥的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为______________．15.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则__________．16. 2009年6月28日，由上海唐人电影制作有限公司出品，根据国产单机游戏改编的同名古装玄幻电视剧《仙剑奇侠传三》在台州三套公共财富频道全国首播，那个暑假，景天、雪见、紫萱、徐长卿、重楼等主角深深刻在大家的脑海中．剧中的紫萱是女娲后人，本体为蛇．追求她的徐长卿和重楼本为两种药材名，都对治疗蛇毒有奇效，只是徐长卿的效果更好．某药材批发商欲购进徐长卿与重楼两种药材，已知该药材批发商每年只购进其中一种，购买徐长卿和重楼的概率分别为和，购买两种药材之间相互独立．(1)求该药材批发商从2019年至2022年中至少有两年购进徐长卿的概率；(2)近年来，随着重楼的药用潜力被不断开发，野生的重楼资源已经满足不了市场的需求，越来越多的人开始“家种”重楼，某单位统计了近几年家种重楼年产量y （单位：吨），统计结果如图所示．根据表中的统计数据，求出y 关于x 的线性回归方程；年份2014201520162017201820192020年份代码x 1234567年产量y /吨130180320390460550630(3)根据（2）中所求方程，预测2022年家种重楼的产量.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．17. 为了进一步推动全市学习型党组织、学习型社会建设，某市组织开展“学习强国”知识测试，每人测试文化、经济两个项目，每个项目满分均为60分.从全体测试人员中随机抽取了100人，分别统计他们文化、经济两个项目的测试成绩，得到文化项目测试成绩的频数分布表和经济项目测试成绩的频率分布直方图如下：经济项目测试成绩频率分布直方图分数区间频数235154035文化项目测试成绩频数分布表将测试人员的成绩划分为三个等级如下：分数在区间内为一般，分数在区间内为良好，分数在区间内为优秀.（1）在抽取的100人中，经济项目等级为优秀的测试人员中女生有14人，经济项目等级为一般或良好的测试人员中女生有34人.填写下面列联表，并根据列联表判断是否有以上的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关？优秀一般或良好合计男生数女生数合计（2）用这100人的样本估计总体，假设这两个项目的测试成绩相互独立.（i）从该市测试人员中随机抽取1人，估计其“文化项目等级高于经济项目等级”的概率.（ii）对该市文化项目、经济项目的学习成绩进行评价.附：0.1500.0500.0102.0723.841 6.635.18. 如图，在长方体中，底面是边长为3的正方形，对角线与相交于点O，点F在线段上，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．19. 记的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)若，求角；(2)若，，求的面积．20. 2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某校体育组组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，100名喜爱冰雪运动的学生参赛，现将成绩制成如下频率分布表．学校计划对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶．成绩分组频率0.080.260.420.180.06(1)试求众数及受奖励的分数线的估计值；(2)从受奖励的15名学生中按表中成绩分组利用分层抽样抽取5人．现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个不低于90分的概率．21. 有三种不同的果树苗A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为p（）．(1)任取树苗A、B、C各一株，设自然成活的株数为X，求X的分布列及E(X)；(2)将（1）中的E(X)取得最大值时的p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n株B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一株B种树苗最终成活的概率；②若每株树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每株亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，应至少引种B种树苗多少株？。

2021年北京昌平区高三二模数学(文)试题(含答案)

2021年北京昌平区高三二模数学（文）试题（含答案）北京市昌平区2021年高三年级第二次统一练习数学试卷(文科) 2021.5本试卷共5页，共150分. 考试时长120分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U=R ,集合A={x�Ox > 1或x2．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是 A. y=(1,??) B. (??,?1][1,??) C. (?1,1) D. [?1,1]1 x3 B. y=x C. y=sinxD. y=lgx?x?y?0,?3. 在平面直角坐标系中，不等式组?x?y?1?0,表示的平面区域的面积是?y?0?A. 1 B.4. 设a?()111 C. D. 248120.2，b?log23，c?2?0.3，则C. b?a?cD. a?c?bA. b?c?aB. a?b?c5. 执行如图所示的程序框图，若输入 x值满足开始?2?x?4，则输出y值的取值范围是A. [?3,2]B. [1,2]C. [?4,0)D. [?4,0)U [1,2]y?x2?3是输入xx?2 否y?log2x 输出 y 结束 16. 设x,y?R，则是的“|x|?1且|y|?1”“x2+y2?2”A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是 A．41 B．5 C．2 D．22 2 主视图 2 左视图俯视图 8. 2021年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额（含税级距）不超过1500元超过1500元至4500元的部分超过4500元至9000元的部分… 税率(%) 3 10 20 … 某调研机构数据显示，希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款 A. 45元 B. 350元C. 400元D. 445元第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．1+i对应的点的坐标为 . i210. 若抛物线x?12y，则焦点F的坐标是 . 9. 在复平面内，复数11. 在?ABC中，a?2，b?π26， A=，则C? . 33212. 能够说明命题“设a，b，c是任意实数，若a?b?c，则2a?b?c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 .13. 向量a，b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量a，b所成角的余弦值是_________;向量a，b所张成的平行四边形的面积是__________.b a ??x2?2ax,x?1??14．已知函数f?x???alnx? x?1.?x?①当a?1时，函数f?x?极大值是；②当x?1时，若函数f?x?有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是 ____ .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题13分）已知函数f(x)?2sin(?x)cos(?x)?3sin2x. （I）求函数f(x)的最小正周期；（II）求函数f(x)在区间[0,π]上的最值及相应的x值.216. （本小题13分）已知数列{an}满足a1?1,a2?π4π41，数列?bn?是公差为2的等差数列，且bnan?1?an?1?nan. 2（I）求数列?bn?的通项公式；（II）求数列?an?前n 项的和Sn.317.（本小题13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI），绘制如下频率分布直方图：0.008频率/组距频率/组距 0.0080.007 0.003 0.001 O根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：空气质量指数AQI 空气质量状况 (0,100) [100,200)50100150200250AQI0.0050.0030.002O50100150200250AQI图1 A地空气质量指数（AQI）图2 B地空气质量指数（AQI）[200,300) 优良轻中度污染重度污染（I）试根据样本数据估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数； (II) 若分别在A、B两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.18.（本小题14分）如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD?平面EABEF，AF//BE,AB?BE,AB?BE?2,AF?1．（Ⅰ）求证：AC?平面BDE；（Ⅱ）求证： AC//平面DEF；（III）求三棱锥D-FEB 的体积.4DAFBOC感谢您的阅读，祝您生活愉快。