2.1.3三角形的内角和

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三角形的内角和证明

三角形的内角和证明
定理:三角形内三个角的和等于180度。

证明:
1. 先取一个平面内的任意直线l,在该直线上取一点P。

2. 在直线l的同侧作一条射线q,使其与直线l的夹角为A。

3. 令q绕点P作旋转,使之与初始位置重合。

4. 在此过程中,q转过了一个平面角。

我们知道,平面角的大小等于360度。

5. 当q旋转时,它与直线l所成的夹角不断变化,从A变为A+B,再变为A+B+C,最后又变回A。

6. 因此,A + B + C = 360度。

7. 由于三角形的三个内角分别为A,B,C,所以三角形的内角和为180度。

结论:任意三角形的内角和都等于180度。

人们常以这种方式来证明三角形内角和等于180度的定理。

该证明基于射线的旋转和平面角的性质,并利用了代数计算。

这种证明不仅清晰简洁,而且富有几何意味,是一种经典的证明方法。

与角有关的三边条件

与角有关的三边条件一、定义及性质1.1 三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。

1.2 直角三角形的性质：有一个角是直角（90度），其余两个角的和为90度。

1.3 锐角三角形的性质：所有角都小于90度。

1.4 钝角三角形的性质：有一个角大于90度。

二、三角形的分类2.1 根据内角和：2.1.1 锐角三角形：所有内角都小于90度的三角形。

2.1.2 直角三角形：有一个内角为90度的三角形。

2.1.3 钝角三角形：有一个内角大于90度的三角形。

2.2 根据边长关系：2.2.1 等边三角形：三条边长相等的三角形。

2.2.2 等腰三角形：有两条边相等的三角形。

2.2.3 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。

3.1 三角形的两边之和大于第三边。

3.2 三角形的两边之差小于第三边。

3.3 直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

四、判定条件应用4.1 判断三角形的类型：4.1.1 如果一个三角形有一个内角为90度，则这个三角形是直角三角形。

4.1.2 如果一个三角形有一个内角大于90度，则这个三角形是钝角三角形。

4.1.3 如果一个三角形所有内角都小于90度，则这个三角形是锐角三角形。

4.2 判断三角形的边长关系：4.2.1 如果一个三角形有两条边相等，则这个三角形是等腰三角形。

4.2.2 如果一个三角形三条边都相等，则这个三角形是等边三角形。

五、解题方法及技巧5.1 利用三角形的内角和定理求解未知内角。

5.2 利用直角三角形的性质求解未知边长。

5.3 利用勾股定理求解直角三角形的未知边长。

5.4 利用与角有关的三边条件判断三角形的类型和边长关系。

六、注意事项6.1 在解题过程中，要注意区分锐角、直角和钝角三角形的性质。

6.2 在应用勾股定理时，要确保两个直角边和斜边的关系正确。

6.3 在判断三角形的类型和边长关系时，要综合考虑各种可能性。

习题及方法：1.习题：判断以下三角形属于哪种类型？A. 有一个内角为90度的三角形B. 有一个内角大于90度的三角形C. 所有内角都小于90度的三角形三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm。

湘教版初中八年级数学上册2-1三角形第1课时三角形的内角和课件

2
△ABC的高,∴∠BAE=90°-∠B=90°-40°=50°,则∠DAE=
∠BAE-∠BAD=10°.故选B.
2.(2024广西崇左期中)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,点E 在AC上,DE∥BC,若∠A=62°,∠B=74°,求∠EDC的度数.
解析在△ABC中,∠A=62°,∠B=74°, ∴∠ACB=180°-62°-74°=44°,
7.(2023湖南株洲中考,17,★★☆)《周礼·考工记》中记载有: “……半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú)……”意思是:“……直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘……”
即1宣= 1 矩,1欘=1 1 宣(其中,1矩=90°).
2
2
问题:图1为中国古代一种13,★☆☆)一副三角板按如图所示的方式放置,点A在DE上,点F在BC上,若∠EAB=35°,则∠DFC=
100° .
解析如图,
由题意得∠BAC=60°,∠C=30°,∠D=45°, ∵∠EAB=35°,∴∠CAD=180°-∠EAB-∠BAC=85°, ∴∠AGD=180°-∠D-∠CAD=50°,∴∠CGF=∠AGD=50°, ∴∠DFC=180°-∠C-∠CGF=100°.
第2章三角形
2.1 三角形 2.1.2 三角形的内角和与外角
第１课时三角形的内角和
基础过关全练
知识点1 三角形的内角和
1.(2024广西北海合浦期中)如图,AD,AE分别是△ABC的角平
分线和高,若∠B=40°,∠C=60°,则∠DAE的度数为 ( B)
A.5°
B.10°
C.15°
D.20°
解析 ∵∠B=40°,∠C=60°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°,又∵A D是△ABC的角平分线,∴∠BAD= ∠BA1C=40°,∵AE是

湘教版八年级上册数学：2.1 三角形(公开课课件)

学习目标
1、通过动手操作验证三角形的内角和。 2、能灵活应用三角形内角和定理进行简单的计算和推理证明。
快乐延伸
布莱士·帕斯卡 (1623—1662)
12岁他证明得出了“三角形的内角和等于180度”。 16岁他证明得出了著名的帕斯卡六边形定理。
19岁他发明了加法器，这是世界上最早的计算器。
C
图2
A
AB
C
B
C
图4
怎样用严谨的数学语言证明
∠A+∠B+∠C=180°？？
A
B
C
证 A
证明:延长BC到D，过C作
CE∥BA，
∴ ∠A=∠1
B
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2
A
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
B
A B
C
E
1
2
CD
结论：三角形的内角和等于180°.
湘教版八年级上册
2.1.3 三角形的内角和定理
华容县治河渡镇中学杨芳芳
A
B
C
学习目标
1、通过动手操作验证三角形的内角和。 2、能灵活应用三角形内角和定理进行简单的计算和பைடு நூலகம்理证明。
三角形的内角和是180°
？
快乐感知
量
快乐感知
折
1
2
3
演示下一页
拼
A
A B
B
图1
C
A B
B
C
图3
A
B
C
B
快乐讨论
（1）一个三角形中最多有 1 个直角？为什么？（2）一个三角形中最多有 1 个钝角？为什么？（3）一个三角形中至少有 2 个锐角？为什么？

八年级三角形内角和经典例题

八年级三角形内角和经典例题1. 三角形的内角和大家好，今天咱们来聊聊一个非常基础但又很重要的数学知识点——三角形的内角和。

你有没有想过，为啥所有的三角形内角加起来总是180度呢？是不是感觉这个问题很简单，却又很神秘？其实，这背后可是有门道的呢！1.1 三角形的基本定义首先，我们得明确什么是三角形。

三角形，是由三条线段组成的图形，这三条线段互相连接，形成三个角。

你可以把它想象成一个简单的三角形面包，三个角就是面包的三个尖角。

总的来说，三角形有三条边和三个角，这是它的基本特征。

1.2 内角和的由来那么，为啥三角形的内角和总是180度呢？其实，这是因为三角形的角度加起来，和它在平面上的位置有关系。

如果你把一个三角形的三个角剪下来，然后拼成一个直线，你会发现它们正好拼成一个直线，这样直线的角度加起来就是180度。

所以，三角形的角度加起来也是180度啦。

2. 经典例题解析现在，咱们来看看一个经典的例题，帮大家更好地理解这个概念。

假设你有一个三角形，其中两个角分别是60度和70度，问第三个角是多少度呢？2.1 例题分析首先，我们知道三角形的内角和是180度。

所以我们可以用总角度减去已知角度，来求出第三个角。

即：180度 60度 70度 = 50度。

所以，第三个角就是50度。

是不是很简单？掌握了这个方法，你就能轻松解决很多类似的题目。

2.2 实际应用这个知识点不仅在数学中很重要，在实际生活中也有用处。

比如，当你在设计一个房间的墙面，或者制作一个几何图形时，知道三角形的角度和是180度，可以帮助你确保设计的准确性。

简单来说，搞清楚三角形的角度，就能让你的设计更加完美！3. 总结与拓展了解了三角形的内角和以后，我们就可以尝试更复杂的问题了。

比如，三角形的角度不只有简单的加法，咱们还可以涉及到更深层次的内容，比如不同类型的三角形（等边、等腰、直角三角形）的角度特性。

每一种三角形都有它独特的属性，值得我们去深入研究。

湘教版八年级数学上册《三角形的内角和与外角》精品教案

明三角形内
如图，将△ABC 的边 BC 所在的直线平移，使其像经过点 A，角和 180 度
得到直线 B’C’ .
定理。
所以 B’C’//BC.
则∠B’AB=∠B， ∠C’AC=C
所以∠B+∠BAC+∠C=180°. 又∠B’AB+∠BAC+∠C’AC=180°
归纳：三角形的内角和等于 180°.
所以∠E=180°–114°=66 °.
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识跟着老师回帮助学生
点：
忆知识，并记加强记忆
忆本节课的知识。
知识。
课堂总结
基础作业
教材第 49 页习题 2.1A 组第 4、5 题作业布置
能力作业
教材第 49 页习题 2.1B 组第 7、8 题
的引导下利
解:设∠B 为 x°，则∠A 为（3x）°，∠C 为（x＋15）°，用三角形内
从而有 3x＋x＋（x＋15）＝180.
角和定理列
解得，x=33.
出方程并解
所以 3x＝99，x＋15＝48.
答.
应用三角形内角和定理进行有关三角形角的计算.
答：∠A，∠B，∠C 的度数分别为 99°，33°，48°.
答案：三角形的内角和等于 180°，因此最多有一个直角或论并回答.
的分类，
一个钝角.
并探究三
想一想：三角形按角应如何分类呢？
角形外角
的性质. 在老师的引
领下认识三
角形按角分
指出：三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，类的方法、外
有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的角的定义，并

湘教版八年级上册 2.1 三角形第3课时三角形的内角和定理课件(共28张PPT)

∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+E D = 180º.
考考自己?
在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 求
∠C的度数. A
解：在△ABC中,
∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°.
∴∠B+∠C=100°.
B
C
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠C=50°.
考考自己?
已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数. 解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x. 由题意得： x+3x+5x=180°，
x=20°. 答：三个内角度数分别为20°,60°,100°.
A
∠BEC是△AEC的外角;
E
D ∠AEC是△BEC的外角;
F
∠EFD是△BEF和△DCF
的外角.
B
C
三三角形的外角的性质
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角 ∠ACB有什么关系？
不相邻的内角
B
三角形的外角
A
C
D
相邻的内角
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
2.1 三角形第3课时三角形的内角和定理
我们已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°.怎么验证这个结论呢？
方法一：度量法通过具体的度量，验证三角形的内角和为180°.
方法二：拼合法把三个角拼在一起试试看？
方法三：推理验证法.
讲授新课
一三角形的内角和及三角形按角的分类探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
不相邻的内角

数学八年级上册三角形的知识点与七年级的联系

数学八年级上册三角形的知识点与七年级的联系一、三角形的定义与分类1.1 三角形的定义在数学中，三角形是指由三条边和三个角组成的闭合图形，是基本的几何图形之一。

1.2 三角形的分类三角形根据边长或者角度的不同，可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等多种类型。

二、三角形的性质与定理2.1 三角形的内角和定理三角形内角和为180度，即三个内角的和等于180度。

2.2 三角形的外角定理三角形的外角等于其对应的两个内角的和。

三、八年级三角形的知识点3.1 三角形的相似三角形的相似性质是数学中重要的概念，指的是两个三角形的三个对应角相等，对应边成比例。

3.2 三角形的面积计算三角形面积的公式为S=1/2 * 底 * 高，其中底为三角形的底边，高为底边上的高度。

3.3 三角形的高度、中线、角平分线、垂直平分线三角形的高度是从一个顶点到对边的垂直距离，在三角形内部可以有多条中线、角平分线和垂直平分线。

四、八年级和七年级数学的联系4.1 三角形的周长和面积七年级学习了计算多边形的周长和面积，而三角形是最简单的多边形之一，两者有着密切的联系。

4.2 七年级的相似形相似形的概念为学习三角形的相似性打下了基础，为八年级的三角形相似性质的学习提供了铺垫。

4.3 七年级的角度知识七年级学习了角的概念和性质，为八年级学习三角形的内角和定理奠定了基础。

五、结语5.1 总结三角形是数学中重要的几何图形，其知识点和性质在八年级有着深入的学习，同时与七年级的数学知识有着密切的联系。

5.2 个人观点我认为通过充分理解七年级数学知识与八年级三角形的知识点之间的关系，可以更好地掌握三角形的性质和定理，为应对未来的学习和考试打下扎实的基础。

以上是对数学八年级上册三角形的知识点与七年级的联系的深度探讨，通过这篇文章，希望您对这个主题有了更全面、深刻和灵活的理解。

三、八年级三角形的知识点3.4 三角形的中位线三角形的中位线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，它把三角形分成两个面积相等的三角形，并且中位线的长度等于对边的一半。

小学数学教案：学习三角形的性质

小学数学教案：学习三角形的性质学习三角形的性质三角形是数学中一个基本的几何形状，它具有许多重要的性质和特点。

在小学数学教学中，学习三角形的性质可以帮助学生培养空间思维能力、逻辑推理能力和学习数学的兴趣。

本教案将介绍学习三角形的性质的重要性，并提供一些简单而有效的教学策略。

一、引入1.1 激发学生兴趣引入三角形的性质前，可通过观察周围的事物，让学生发现一些与三角形有关的图形。

例如，教师可以展示一些道路标志、信号灯等，引导学生思考并发现这些图形与三角形的关联。

这样不仅可以激发学生学习的兴趣，还可以培养学生的观察力和思维能力。

1.2 复习三角形的定义在引入三角形的性质之前，教师应当先复习三角形的定义。

可以通过展示不同形状的三角形，并让学生一起讨论它们的特点和边的性质。

这样可以帮助学生巩固对三角形的理解，为后续学习三角形的性质做好铺垫。

二、学习三角形的性质2.1 三角形的内角和三角形的内角和是学习三角形性质的重要基础，也是推导其他性质的前提。

可以通过一张三角形的图示来引入三角形的内角和的概念，并让学生一起观察并推导出三个角的和为180度的结论。

教师可以提问学生，让他们自己发现规律，进而得出结论。

2.2 三角形的边长关系三角形的边长关系也是学习三角形性质的重要内容。

可以从等边三角形、等腰三角形和直角三角形入手，引导学生发现这些特殊三角形的边长关系，并由此推广到一般的三角形。

通过逐步引导，让学生自己思考和发现，可以提高他们的观察力和逻辑推理能力。

2.3 三角形的角度关系三角形的角度关系是学习三角形性质的重点内容之一。

可以通过展示不同类型的三角形，并让学生观察角度的大小和关系。

例如，教师可以引导学生观察等腰三角形和直角三角形的角度关系，并提问学生如何得出这些结论。

通过引导和讨论，可以帮助学生理解和记忆不同类型三角形的角度关系。

三、教学策略3.1 创设情境在学习三角形性质时，教师可以创设一些实际生活中的情境，让学生将理论知识应用到实际问题中。

多边形内角和公式推导方法公式总结

多边形内角和公式推导方法公式总结一、多边形内角和公式推导在平面几何中，多边形是指由若干条线段组成的图形，每条线段都与相邻的两条线段相交。

对于一个n边形（n≥3），可以通过求解其内角和来研究多边形的性质。

1.1三角形的内角和公式三角形是最简单的多边形，由三条线段组成。

对于任意一个三角形，其内角和为180度或π弧度。

这个结论可以通过以下推导得出：假设三角形的内角分别为A、B、C，则按定义有A+B+C=π弧度，而π弧度相当于180度，因此三角形的内角和为180度。

1.2四边形的内角和公式四边形由四条线段组成，可以是平行四边形、矩形、正方形、梯形等不同形状的四边形。

对于任意一个四边形，其内角和是一个固定值360度或2π弧度。

这个结论可以通过以下推导得出：假设四边形的内角分别为A、B、C、D，则按定义有A+B+C+D=2π弧度，由于2π弧度相当于360度，所以四边形的内角和为360度。

1.3n边形的内角和公式对于一个n边形（n≥3），我们可以通过在其中任选一顶点，将其余的n-1条边分别延长，从而把n边形分割成n-2个三角形。

设这个n边形的内角和为S，则每个三角形的内角和为180度，则有(n-2)×180度。

每个三角形的内角和等于180度，所以(n-2)×180度=S或(n-2)×π弧度=S。

因此，n边形的内角和公式可以表示为：S=(n-2)×180度或S=(n-2)×π弧度。

二、多边形内角和公式应用举例2.1五边形的内角和公式对于五边形，根据n边形的内角和公式，它可以表示为S=(5-2)×180度=3×180度=540度。

所以五边形的内角和为540度。

2.2六边形的内角和公式对于六边形，根据n边形的内角和公式，它可以表示为S=(6-2)×180度=4×180度=720度。

所以六边形的内角和为720度。

2.3正多边形的内角和公式对于正n边形，指的是所有边长相等、所有内角相等的n边形。

平面几何与三角形详细解析与应用

平面几何与三角形详细解析与应用在数学中，平面几何是研究平面上图形的性质和关系的分支。

而三角形是平面几何中最基本的图形之一。

本文将详细解析平面几何和三角形的相关概念，并探讨其在实际生活中的应用。

一、平面几何基础知识1.1 点、线、面在平面几何中，点是最基本的概念。

点不具有长度、宽度和高度，只有位置。

线是通过两个点之间的连结而形成的；面则由多个点和线组成。

1.2 角角是由两条线段或两条射线共同端点组成的图形。

角分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。

在计算角的大小时，我们常使用度数或弧度来表示。

1.3 三角形三角形是由三条线段组成的多边形。

根据三角形的边的长度和角的大小，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等多种类型。

二、三角形的性质和关系2.1 三角形的内角和三角形的内角和定理是平面几何中重要的定理之一。

根据该定理可知，三角形的三个内角之和始终为180度。

这一定理在解题和证明过程中有着广泛的应用。

2.2 三角形的外角和三角形的外角和定理指出，三角形的外角和等于360度。

外角和定理可以帮助我们解决一些与三角形的外角和内角之间的关系有关的问题。

2.3 三角形的相似性当两个三角形的对应角相等时，我们称这两个三角形为相似三角形。

相似三角形的边长之比与角的对应边有关。

相似三角形的概念在测量和建模等领域有着广泛的应用。

三、三角形的应用3.1 三角形的测量三角形的基本性质可以用来进行测量。

例如，利用正弦、余弦和正切函数，我们可以测量到无法直接测量的高度、距离和角度等。

3.2 三角形的建模三角形在建模领域中有着重要的应用。

例如，在地图上绘制比例尺时，我们常常使用三角形来确定地图上两点之间的距离。

3.3 三角形的导航三角形的导航应用广泛用于航海、航空和导航系统中。

通过利用三角形的性质和关系，我们可以确定出发点和目的地之间的方向和距离。

四、结论平面几何和三角形作为数学的基础内容，在各个领域都有着重要的应用。

课题《2.1.3三角形的内角与》教学设计

课题：《 2.1.3 三角形的内角和》教学设计汝城县思源实验学校陈里凡教材：义务教育教科书数学八年级上册（湖南教育出版社）一、教材分析三角形的内角和定理是本章的重要内容，也是“图形与几何”必备的知识基础。

它是在学习了三角形定义及有关概念和边与边之间关系的基础上展开的，既是知识的延续，又是进一步学习各种特殊三角形和其他图形的基础，它本身在实际中也有广泛应用，所以本节内容是这一章的重点之一。

学好它有助于学生理解三角形内角之间的关系，今后学习四边形和多边形的内角和都是三角形的内角和定理的应用、推广和深化。

其中辅助线的作法对发展学生的思维能力、培养学生解决问题的能力、形成用数学的意识有重要作用。

二、学情分析八年级学生，对对于“空间与图形”领域的学习已经具备了一定的基础。

学生在小学里已知三角形的内角和是180°，前面又学习了平角定义、三角形相关知识、平行线的性质和判定等，已经具备了一定的识图能力和抽象思维能力及推理能力。

但是对于本节课三角形的内角和的探索，需要学生从拼图的实验中感悟添加辅助线的方法，用辅助线将三角形的三个内角巧妙地转化为一个平角或两平行线间的同旁内角，为定理的证明提供了必备条件。

三、教学目标知识与技能：掌握三角形内角和定理，初步应用三角形的内角和解决简单问题，了解三角形内角和在实际生活中的应用。

过程与方法：经历度量、折叠、剪拼、几何画板等实验进一步感知“三角形的内角和等于180°”这一过程，引导学生在实验的过程中感悟添加辅助线的方法，进而发现思路、证明定理。

同时培养学生观察、实验、验证、推理、交流的能力，渗透转化的数学思想方法。

情感态度价值观：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐。

三、教学重难点教学重点：探索并证明三角形内角和定理，能运用三角形内角和定理解决简单问题。

教学难点：如何添加辅助线证明三角形的内角和定理。

四、教法、学法、教学手段教学方法：本节课在教法上体现教师的“启发引导”，帮助学生实现认识上和态度上的跨越。

三角形的内角和与外角性质

解：设∠EBA=a,∠ECD=b ∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD. ∴b=∠E+a 2b=∠A+2a ∴∠A=2∠E 0 ∴∠E=40
B
a
b
C
D
如图, 在△ABC中, 延长BC至D, BE、CE 分别平分∠ABC和∠ACD.
(1).若∠A=80°,求∠E的度数. (2).根据(1)猜测∠E 与∠A的关系,并 A 说明理由.
∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
4 A
1
解：过A作AD平行于BC D 两直线平行， ∠ 3＝ ∠ 4 同位角相等
3
B 2 C
∠2＝ ∠BAD ∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAD
∴ ∠1＋ ∠2＋ ∠3 ＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAD=360°
判断题： 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ 2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ 3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（））
）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（）
5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（
）
6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（）
练一练：
1、求下列各图中∠1的度数。
120°
35° 60°
1
1
1
50°
45°
练习：求各图中∠1的度数
100 o
1
60 o 60°
55°
B
E
1
2
C
D
三角形的内角和等于1800.
证明:过A作EF∥BC， ∴∠B=∠2 (两直线平行,内错角相等)E ∠C=∠1 (两直线平行,内错角相等) 又∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180°

湘教版八年级上册2.1三角形的内角和(共14张PPT)

延伸拓展
在△ABC中，∠A=８０°，∠ ABC和∠ACB的平分线相交于O，（1）求∠BOC的度数。（2）将∠A换个度数，那求出是多少？ A 你能体会∠A和∠BOC有什么关系吗？
Ｏ
１
C
２
B
课堂练习
1、说出各图中∠1 的度数．
80°
50°
1
（1）
105°
1
30°
（2）
1
22°
（3）
课堂练习
探究对于一般的三角形有没有这样的结论呢？
3、证明
D
A
E
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°
证明：过点A作DE∥BC
B
C
则∠B=∠2, ∠C=∠1 （两直线平行,内错角相等）
∵∠2+∠1+∠BAC=180 ° （平角定义） ∴∠B+∠C+∠BAC=180 ° （等量代换）
新课讲解
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
学习目标
学习目标 1、通过拼图验证三角形内角和。 2、能理解和掌握三角形内角和定理的证明过程。 3、能灵活应用三角形内角和定理进行简单的计算和推理证明。
情境导入
小明是一个勤于思考的学生，他看到老师使用的三角板比自己的大很多，于是便想：是不是三角形越大，它的角就越大，内角的和也会越大呢？
A
D
E
∴ ∠ADE= 180°- ∠A-∠AED B
C
=50 °
例题讲解
例2、已知：三角形三个内角的度数之比为 1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x, 由三角形内角和为180°得 x+3x+5x=180° 解得 x=20°

蒲县第二中学八年级数学上册第2章三角形2.1三角形第3课时三角形的内角和与外角教案新版湘教版9

第3课时三角形的内角和与外角【知识与技能】1.掌握三角形内角和定理.2.掌握三角形的内角与外角的关系.【过程与方法】通过观察、操作、讨论等活动，培养学生的动手实践能力和语言表达能力；通过小组合作学习，培养集体协作学习的能力及概括能力.【情感态度】让学生在自主参与、合作交流的活动中，体验成功的喜悦，树立自信，激发学习数学的兴趣.【教学重点】三角形内角和定理.【教学难点】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.一、创设情境，导入新课我们都知道一个三角形的三个内角的和为180°，你知道三角形的内角和为什么是180°呢？【教学说明】通过问题，提高学生的学习兴趣.二、合作探究，探索新知1.每个学生画出一个三角形，并将它的内角剪下，分小组做拼角实验，能否拼出一个角的和为180°.为什么是180°?通过小组合作交流，讨论有几种拼合方法？开展小组竞赛（看哪个小组的发现多？说明清楚.），各小组派代表展示拼图，并说出理由.2.你能运用几何证明的方法证明三角形的三个内角的和为180°吗？试一试.【教学说明】学生通过动手拼图，再通过证明，总结出三角形的三个内角和是180°，能够加深理解.3.议一议：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？4.直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”,在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角边的对边叫作斜边.两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.5.三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ACB的一个外角，它与内角∠ACB相邻.6.探究：在图中，外角∠ACD和∠A、∠B之间有什么大小关系？【归纳结论】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.【教学说明】通过证明，加深对定理的理解.三、运用新知，深化理解1.判断：（1）一个三角形的三个内角可以都小于60°.（×）（2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角. （√）2.已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（C）A.60°B.25°C.35°D.45°第2题图3.如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（B）A.50°B.40°C.70°D.35°第3题图4.观察三角形，并把它们的标号填入相应的括号内：锐角三角形（3 、5）直角三角形（1、4、6）钝角三角形（2、7）5.在△ABC中：①∠A=35°∠C=90°则∠B=55°②∠A=50°∠B=∠C 则∠B=65 °③∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶1则△ABC是直角三角形 .④∠A－∠C =35°，∠B－∠C =10°，则∠B =55° .6.在△ABC中∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.解：△ABC中,设∠A=x,则∠C=∠ABC =2xx+2x+2x=180°(三角形内角和为180°)∴得∠C=2x=72°在△BCD 中,∠BDC=90°则∠DBC =90°-∠C=18°7. 如图，△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2为多少度？解：∵△ABC中，∠A=50°，∴∠AED+∠ADE=130°，∴∠1+∠2=360°-（∠AED+∠ADE）=230°.8.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为多少度？【分析】如图连接CE，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，在△DCE中有∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，即可得∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．解：如图连接CE，根据三角形的外角性质得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．【教学说明】通过练习巩固本节课所学的内容.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题2.1”中第4、5、7 题.在教学过程中学生在教师创设的情境下，自己动手操作、动脑思考、动口表达、探索未知领域、寻找客观真理、成为发现者，学生自始至终地参与这一探索过程，发展了学生的创新精神和实践能力．通过有条理的表达“三角形内角和为180°”的拼图及“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的证明过程，为今后的几何证明打下基础．专题18 一次函数中的待定系数法求解析式1、如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝＝，∴k＝．（2）如图，∵tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60°，∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°，∴∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP＝2t，当0＜t＜时，S＝•OQ•P y＝（1﹣2t）•t＝﹣t2+t．当t＞时，S＝OQ•P y＝（2t﹣1）•t＝t2﹣t．（3）∵OQ+AB＝（BQ﹣OP），∴2t﹣1+2＝（﹣），∴2t+1＝•，∴4t2+4t+1＝7t2﹣7t+7，∴3t2﹣11t+6＝0，解得t＝3或（舍弃），∴P（，），Q（5，0），设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+．2、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x、y轴分别相交于点A、B，与直线y＝x+2交于点D（3，m），直线y＝x+2交x轴于点C，交y轴于点E．（1）若点P是y轴上一动点，连接PC、PD，求当|PC﹣PD|取最大值时，P点的坐标．（2）在（1）问的条件下，将△COE沿x轴平移，在平移的过程中，直线CE交直线AB于点M，则当△PMA是等腰三角形时，求BM的长．解：（1）当x＝3时，m＝3+2＝5，∴D（3，5），把D（3，5）代入y＝﹣x+b中，﹣3+b＝5，b＝8，∴y＝﹣x+8，当y＝0时，x+2＝0，x＝﹣2，∴C（﹣2，0），如图1，取C关于y轴的对称点C'（2，0），P1是y轴上一点，连接P1C、P1C'、P1D，则P1C＝P1C'，∵|P1D﹣P1C'|＝|P1D﹣P1C|≤C'D，∴当P与C'、D共线时，|PC﹣PD|有最大值是C'D，设直线C'D的解析式为：y＝kx+b，把C'（2，0）和D（3，5）代入得：，解得：，∴直线C'D的解析式为：y＝5x﹣10，∴P（0，﹣10）；（2）分三种情况：①当AP＝AM时，如图2，由（1）知：OP＝10，由勾股定理得：AP＝＝2，∵AB＝8，∴BM＝AB+AM＝8+2；同理得：BM1＝2﹣8；②当AP＝PM时，如图3，过P作PN⊥AB于N，∵∠BNP＝90°，∠NBP＝45°，∴△BNP是等腰直角三角形，∵PB＝18，∴BN＝＝9，∵AB＝8，∴AN＝9﹣8＝，∵AP＝PM，PN⊥AM，∴AM＝2AN＝2，∴BM＝8+2＝10；③当AM＝PM时，如图4，过P作PN⊥AB于N，∵AN＝，PN＝9，设MN＝x，则PM＝AN＝x+，由勾股定理得：PN2+MN2＝PM2，，解得：x＝40，∴BM＝AB+AN+MN＝8++40＝49；综上，当△PMA是等腰三角形时，BM的长是8+2或2﹣8或10或49．3、如图，已知一次函数y＝3x+3与y轴交于A，与x轴交于点B，直线AC与正半轴交于点C，且AC＝BC．（1）求直线AC的解析式．（2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF并延长交x轴于点G，求证；AD＝BG．（3）在（2）的条件下，若∠AFD＝2∠BAO，求点D坐标．解：（1）当x＝0时，y＝3，∴A（0，3）．令y＝0得：3x+3＝0，解得：x＝﹣1，∴B（﹣1，0）．设OC＝x，则AC＝BC＝x+1．在Rt△AOC中，由勾股定理可知：OA2+OC2＝AC2，即32+x2＝（x+1）2，解得：x＝4，∴C（4，0）．设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1所示：过点D作DH∥x轴，则∠HDF＝∠BGF．∵HD∥EF∥CG，E为CD的中点，∴F为DG的中点．∴FG＝DF．∵在△BGF和△HDF中，，∴△BGF≌△HDF（ASA）．∴HD＝BG．∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC．∵HD∥CG，∴∠AHD＝∠ABC，∴∠HAD＝∠AHD．∴AD＝DH，∴AD＝BG．（3）如图2所示：连接AG，过点C作CH⊥AB，垂足为H，过D作DM⊥x轴于M，在Rt△ABO中，依据勾股定理可知AB＝＝，∵CB＝CA，CH⊥AB，∴AH＝AB＝，∠BCA＝2∠ACH．Rt△BCH中，依据勾股定理可知CH＝＝＝，∵∠BAO+∠ABO＝∠ABO+∠BCH，∴∠BAO＝∠BCH＝∠ACH，∴∠BCA＝2∠BAO．又∵∠AFD＝2∠BAO，∴∠AFD＝∠BCA．又∵∠FAD＝∠BAC，∴△FAD∽△CAB，∴AF＝DF．又∵GF＝FD，∴△GAD为直角三角形．∴OG•OC＝OA2，∴OG＝．∴G（﹣，0）．∴AD＝BG＝．Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，∵DM∥OA，∴，即，OM＝1，当x＝1时，y＝﹣x+3＝﹣+3＝，∴D（1，）．4、如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线AM的表达式；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当x＝0时，y＝8，∴B（0，8），当y＝0时，﹣x+8＝0，x＝6，∴A（6，0）；（2）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，∴AB＝10，由折叠得：AB＝AB'＝10，∴OB'＝10﹣6＝4，设OM＝a，则BM＝B'M＝8﹣a，由勾股定理得：a2+42＝（8﹣a）2，a＝3，∴M（0，3），设AM：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3；（3）在x轴上存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰二角形，如图∵M（0，3），B′（﹣4，0），∴B′M＝5，当PB′＝B′M时，P1（﹣9，0），P2（1，0）；当B′M＝PM时，P3（4，0），当PB′＝PM时，作BM的垂直平分线，交x轴于P4，交B′M与Q，易证得△P4B′Q∽△MB′O，则＝，即＝，∴P4B′＝，∴OP4＝4﹣＝，∴P4（﹣，0），综上，P点的坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为（2，0）．（1）求k的值；（2）已知点Q在第四象限，且到两坐标轴距离相等，若△AOB的面积是△AOQ面积的2倍，求点Q的坐标．解：（1）∵点A（2，0）在一次函数y＝kx+3上，∴0＝2k+3，得k＝﹣1.5，即k的值是﹣1.5；（2）∵k＝﹣1.5，∴一次函数解析式为y＝﹣1.5x+3，∴当x＝0时，y＝3，即点B的坐标为（2，0），∴OB＝3，∵点A（2，0），∴OA＝2，∴△AOB的面积是＝＝3，又∵△AOB的面积是△AOQ面积的2倍，∴△AOQ的面积是1.5，设点Q的坐标为（a，﹣a），∴1.5＝，得a＝1.5，∴点Q的坐标为（1.5，﹣1.5）．6、如图，一次函数y1＝x+b的图象与x轴y轴分别交于点A，点B，函数y1＝x+b，与y2＝﹣x的图象交于第二象限的点C，且点C横坐标为﹣3．（1）求b的值；（2）当0＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围；（3）在直线y2＝﹣x上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线y1＝x+b于点Q，当PQ＝OC 时，求点P的坐标．解：（1）将x＝﹣3代入y2＝﹣x，可得C（﹣3，4），再将C点代入y1＝x+b，∴b＝7；（2）﹣7＜x＜﹣3；（3）∵点P为直线y2＝﹣x上一动点，设P（a，﹣a），∵PQ∥x轴，∴Q（﹣a﹣7，﹣a），∴PQ＝|a+7|，∵C（﹣3，4），∴OC＝5，∴PQ＝OC＝14，∴|a+7|＝14，∴a＝3或a＝﹣9，∴P（3，﹣4）或P（﹣9，12）．7、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B；直线y═x+6过点B和点C，且AC⊥x轴．点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，同时点N 从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点O时，点M、N同时停止运动，设点M运动的时间为t（秒），连接MN．（1）求直线y＝kx+b的函数表达式及点C的坐标；（2）当MN∥x轴时，求t的值；（3）MN与AB交于点D，连接CD，在点M、N运动过程中，线段CD的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD的长度．解：（1）∵AC⊥x轴，点A（5，0），∴点C的横坐标为5，对于y═x+6，当x＝5时，y＝×5+6＝10，对于x＝0，y＝6，∴点C的坐标为（5，10），点B的坐标为（0，6），直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，6），则，解得，，∴直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，综上所述，直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，点C的坐标为（5，10）；（2）由题意得，BM＝2t，AN＝3t，∴OM＝6﹣2t，∵OM∥AN，MN∥x轴，∴四边形MOAN为平行四边形，∴OM＝AN，∴6﹣2t＝3t，解得，t＝，∴当MN∥x轴时，t＝；（3）线段CD的长度不变化，理由如下：过点D作EF∥x轴，交OB于E，交AC于F，∵EF∥x轴，BM∥AN，∠AOE＝90°，∴四边形EOAF为矩形，∴EF＝OA＝5，EO＝FA，∵BM∥AN，∴△BDM∽△ADN，∴＝＝，∵EF＝5，∴DE＝2，DF＝3，∵BM∥AN，∴△BDE∽△ADF，∴＝＝，∴＝，∵OB＝6，∴EO＝FA＝，∴CF＝AC﹣FA＝，∴CD＝＝．8、如图，直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线y＝x+3交y轴于点C，两直线相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，过点A作AE∥y轴交直线y＝x+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG＝FG，且∠CGF＝∠ABC时，求点G的坐标．解：（1）根据题意可得：，解得：∴点D坐标（2，4）（2）∵直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，∴点B（0，8），点A（4，0），∵直线y＝x+3交y轴于点C，∴点C（0，3），∵AE∥y轴交直线y＝x+3于点E，∴点E（4，5）∵点B（0，8），点A（4，0），点C（0，3），点E（4，5），∴BC＝5，AE＝5，AC＝＝5，BE＝＝5，∴BC＝AE＝AC＝BE，∴四边形ACBE是菱形；（3）∵BC＝AC，∴∠ABC＝∠CAB，∵∠CGF＝∠ABC，∠AGF＝∠ABC+∠BFG＝∠AGC+∠CGF∴∠AGC＝∠BFG，且FG＝CG，∠ABC＝∠CAB，∴△ACG≌△BGF（AAS）∴BG＝AC＝5，设点G（a，﹣2a+8），∴（﹣2a+8﹣8）2+（a﹣0）2＝52，∴a＝±，∵点G在线段AB上∴a＝，∴点G（，8﹣2）9、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（﹣4，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）点P是线段AB上的一点，当S△AOP：S△AOB＝2：3时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120°，点B落在点C处，连结CP，求△APC的面积，并直接写出点C的坐标．解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，∵点A（2，0），点B（﹣4，3），∴，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+1；（2）过B作BE⊥x轴于E，过P作PD⊥x轴于D，4.2 不等式的基本性质第1课时不等式的基本性质1【知识与技能】1.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.2.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式.【过程与方法】通过研究等式的基本性质过程,类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数学方法.【情感态度】通过学生自我探索，发现不等式的基本性质，提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心.【教学重点】理解不等式的性质.【教学难点】理解不等式的性质.一、情景导入，初步认知我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？等式的基本性质一：在等式的两边都（）或（）同一个________或________，等式仍然成立.等式的基本性质二：在等式的两边都（）或（）同一个________，等式仍然成立.请同学们大胆地猜想一下不等式有哪些基本性质？解一元一次方程有哪些基本步骤呢？一元一次不等式的解与方程的解是不是步骤类同呢？【教学说明】通过复习不等式性质以旧引新，为新知识的学习和应用作好铺垫，为下一步的类比、联想提供必要的生长点.二、思考探究，获取新知1.探究：（1）用不等号填空：5________3； 2________4；5+2________3+2；2+1________4+15-2________3-2；2-3________4-3.（2）水果店的小王从水果批发市场购进100kg梨和84kg苹果，在卖出akg梨和akg 苹果后，又分别购进了bkg的梨和苹果.请用“>”或“<”填空：100-a________84-a;100-a+b________84-a+b.(3)自己任意写一个不等式，在它的两边加上或减去同一个数，看看不等关系有没有变化，与同桌互相交流，你们发现了什么规律？【归纳结论】不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式），不等号的方向不变.用字母表示：若a>b，则a+c>b+c或a-c>b- c.2.将下列不等式化为x﹥a或x﹤a的形式．（1）x+6>5; (2)3x<2x-2解:(1)不等式的两边都减去6，得：x+6-6>5-6即x>-1．(2)不等式两边都减去2x，得；3x-2x<2x-2-2x即x<-2．像上面这样，把不等式的某一项变号后移到另一边．称为移项，这与解一元一次方程中的移项相类似.3.动脑筋：我们知道在△ABC中，任意两边之和大于第三边，即，AB+AC>BC;AB+BC>AC;BC+AC>AB.那么三角形中两边之差与第三边又有怎样的关系呢？【教学说明】学生尝试将这个不等式变形.师生共同分析解答.【归纳结论】三角形任意两边之差小于第三边.三、运用新知，深化理解1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是（D）A.a>b>-b>-aB.a>-b>-a>bC.a>b>-a>-bD.a>-b>b>-a2.设a＜b．用“＞”或“＜”号填空.(1)a-1 < b－1；(2)a＋3 < b+3；(3)a+m < b+m;(4)a-c < b-c.3.用“＜”或“＞”填空：（1）若a－b＜c－b，则a < c（2）若a－b＞a则b < 0（3）若a＜b则a－b < 04.将下列不等式化为x﹥a或x﹤a的形式．(1)x-7＞26 (2)3x<2x+1解：(1)为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向不变，得x-7+7﹥26+7x﹥33(2)3x<2x+1为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都减去 2x ，不等号的方向不变 .3x-2x﹤2x+1-2xx﹤1【教学说明】让学生所学的知识在基础题中得到巩固，在技能题中得到加深，在拓展题中得到升华.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材P135“练习”.新知识的生成，总觉得不是很到位的．由于没有亲自组织学生对新知识的由特殊到一般的探究过程，学生对不等式的性质的归纳总结到底处于一个什么层次，心里总是没有个底，从前面的回答来看，学生直接拿结论的现象比较严重，我们都很重视学生新知识的学习方法，为此，我也一再要求学生自学，本课在学生学习方法的指导上，丢下了这方面的指导和检查．。

三角形的内角和与外角

因为：∠ACD+∠ACB=180° ∠ABC+ ∠BAC+ ∠ACB=180 °
可知：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
三角形外角和
A
2
B
1
3
C
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个, 这两个外角是对顶角, 因此取其一作为三角形的外角.
那么∠1+ ∠2+ ∠3就是△ABC的外角和.
三角形外角和
2.1 三角形第3课时三角形的内角和
与外角
复习 A
B
C
你还记得三角形的内角和是多少吗？
你还能证明它吗？
复习
你还记得三角形外角的定义吗？
A
不相邻的内角
相邻的相邻
的内角一个三角形的每一个外角，对应一个相邻的内角和两个不相邻的
内角.
新课
三角形内外角有什么关系呢？
A
D C4
2 1
A
E
3 B
反思
1、三角形内角和为180°； 2、三角形外角的性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
课外作业 1、将一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角∠1＝______
1
课外作业 2、 △ABC中，BE为∠ABC的平分线， CE为∠ACD的平分线，两线交于E点。你能找出∠E与∠A有什么关系吗？
例题解析
例：如图D是△ABC的BC边上一点， ∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC=70° 求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数.
解：∵∠ADC是△ABD的外角（已知）
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°

溆浦县第八中学八年级数学上册第2章三角形2.1三角形第3课时三角形的内角和及外角课件新版湘教版5

新课讲解
知识点1 分式的混合运算顺序
重点〔1〕进行分式的混合运算时 , 可以根据需要合理地运用运算律来简化运算 , 先将分式的乘除法统一成乘法 , 分式的加减法统一成加法 , 再利用乘法运算律、加法运算律简化运算. 〔2〕分式运算与分数运算一样 , 结果必须化为最简 , 能约分的要约分 , 保证结果是最简分式或整式.
解得x= 33. 所以3x= 99 , x+ 15=48. 答:∠A , ∠B , ∠C的度数分别为99° , 33° , 48°.
一个三角形的三个内角中 , 最多有几个直角？最多有几个钝角？
三角形的内角和等于180° , 因此最多有一个直角或一个钝角.
在三角形中 :
三个角都是锐角有一个角是直角有一个角是钝角锐角一最三个少角三有形角两形个中锐直角, 最角, 多最三多有角有一形三个个直锐角角或.钝钝角角三, 角形
直角三角形可用符号〞Rt△”来表示 ,
A
直角边
直角边
B
斜边
C
〞Rt △ABC”
在直角三角形中 , 夹直角的两边叫作直角边 , 直角的対边叫作斜边.
试一试
根据以下条件 , 判断△ABC的形状 : 〔1〕∠A=45° , ∠B=65° ; ∠C=75° 锐角三角形〔2〕∠C= 110 ; ∠C=110°＞ 90° 钝角三角形〔3〕∠C= 90°. ∠C=90° 直角三角形
〔两直线平行 , 同旁内角互补〕
所以∠B+∠C+∠BAC=180°
B
C
为了证明三个角的和为180° , 转化为一个平角或同旁内角互补 , 这种转化思想是数学中的常用方式.
三角形的内角和等于180°.
在△ABC中 , ∠A的度数是∠B的度数的3倍 , ∠C比∠B大15° , 求∠A , ∠B , ∠C的度数. 解设∠B为x° , 那么∠A为(3x)° , ∠C为(x+ 15)° , 从而有3x+x+( x+ 15)= 180.

湘教版八年级数学上册导学案 2.1第3课时三角形的内角和定理

第3课时三角形的内角和定理1.知道三角形的内角和是180°,能应用此性质解决相关问题.2.知道三角形的分类,并会用数学符号表示直角三角形.3.会找一个三角形的外角,能应用三角形外角的性质解决相关问题.自学指导：阅读课本P46-48，完成下列问题.知识探究1.三角形的内角和等于180°.2.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,则∠C=50°.3.若△ABC中，∠A=40°，∠B=50°,则△ABC为直角三角形.4.如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图2，一个三角形有6个外角.每个顶点处有2个外角.图1 图25.如图1，△ABC中，∠A＝80°,∠B＝40°,∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝120°.试猜想∠ACD与∠A,∠B的关系是∠A+∠B=∠ACD.6.试结合图形写出证明过程：证明：过点C作CM∥AB，延长BC到D.则∠1=∠A(两直线平行，内错角相等)，∠2=∠B(两直线平行，同位角相等)，所以∠1+∠2=∠A+∠B.即∠ACD=∠A+∠B.一般地，有下面的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.自学反馈1.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.一个三角形至少有( )A.一个锐角B.两个锐角C.一个钝角D.一个直角3.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是( )A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去 4.判断下列∠1是哪个三角形的外角：5..求下列各图中∠1的度数.活动1 小组讨论例1 如图， AD 是△ABC 的角平分线， ∠B= 36°， ∠C= 76°，求∠DAC 的度数.解：因为∠B= 36°， ∠C= 76°，又∠BAC+∠B ＋∠C=180°，所以 ∠BAC=68°.因为 AD 是△ABC 的角平分线，所以 ∠DAC=21∠BAC =34°.例2 如图，∠CAD ＝100°，∠B ＝ 30°，求∠C 的度数.解：因为∠CAD 是△ABC 的外角，所以∠B+∠C= ∠CAD ，于是∠C = ∠CAD -∠B = 100°-30°=70°.活动2 跟踪训练1.在△ABC中，∠A=20°，∠B=50°，则∠△ABC的形状是（）A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形2.如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这这块三角板的另一个角的度数是（）A.30°B.40°C.50°D.60°3.在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C的度数为（）A.45°B.60°C.75°D.90°4.如图，AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是（）A.63°B.83°C.73°D.53°5.在△ABC中，若∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=________.6.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为________.7.如图，在△ABC中，点D、E分别在ABAC上，若∠B+∠C=120°，则∠1+∠2=______.8.如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=30°，∠DAE=50°，试求：（1）∠D的度数；（2）∠ACD的度数．9.如图，△ABC中，∠A=80°，BE、CF相交于点O，∠ACF=30°，∠ABE=20°，求∠BOC的度数.10.已知，如图，BD 、CD 分别为∠EBC 和∠FCB 的平分线. （1）若∠A=80°，求∠D 的度数；（2）试探究∠D 和∠A 的数量关系；课堂小结本课时主要学习了哪些知识与方法?有何收获和感悟?还有哪些疑惑?教学至此，敬请使用《名校课堂》课时部分.【预习导学】自学反馈1.B2.B3.C4.(1)△ABC （2）△ABD （3）△ABC （4）△ACE5.75° 125° 【合作探究】活动2 跟踪训练1.D2.B3.C4.A5.50°6.100°7.120°8.（1）∵∠DAE=∠B+∠D ，∴∠D=∠DAE-∠B ，即∠D=50°-30°=20°．（2）∵AD 平分∠CAE ， ∴∠CAE=2∠DAE=100°． ∴∠BAC=80°． ∵∠B=30°，∴∠ACD=∠B+∠BAC=110°.9. ∵∠A=80°，∴∠ACB+∠ABC=100°．即∠ACF+∠BCF+∠ABE+∠CBE=100°， ∵∠ACF=30°，∠ABE=20°， ∴∠BCF+∠CBE=50°．在△BOC 中，∠BOC=180°-∠BCF-∠CBE=130°． 10.（1）∵∠A=80°， ∴∠ABC+∠ACB=100°． ∴∠CBE+∠BCF=260°．∵BD 平分∠EBC ，CD 平分∠FCB ， ∴∠CBD+∠BCD=130°． ∴∠D=50°．（2）21∠A+∠D=90°.。