正方形综合训练题

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正方形的性质和判定解答题综合训练

正方形的性质和判定解答题综合训练一．解答题（共20小题）1．如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF﹣DG＝FG．2．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连结AE、AF、EF．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝5，请求出EF的长．3．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．4．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．5．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．6．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．7．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．8．已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，（1）求证：AP＝EF．（2）若∠BAP＝60°，PD＝，求EF的长．9．如图，矩形ABCD和正方形ECGF．其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH．（1）求证：AF＝HG；（2）求证：∠FAE＝∠GHC；10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝45°．（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AH⊥EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．11．已知，如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．（1）求证：①△BCG≌△DCE．②BH⊥DE．（2）当BH平分DE时，求GC的长．12．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边AB上一点，延长AD至F使DF＝BE，连接CF．（1）求证：∠BCE＝∠DCF；（2）过点E作EG∥CF，过点F作FG∥CE，问四边形CEGF是什么特殊的四边形，并证明．13．如图，四边形ABCD是正方形，G是直线BC上的任意一点，DE⊥直线AG于点E．BF⊥直线AG于点F．（1）如图1，若点G在线段BC上，判断AF，BF，EF之间的数量关系，并说明理由．（2）若点G在CB延长线上，直接写出AF，BF，EF之间的数量关系．（3）若点G在BC延长线上，直接写出AF，BF，EF之间的数量关系．14．已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论．15．如图，∠CAB＝∠ABD＝50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN＝α．连接MB，NA．（1）求证：四边形MBNA为平行四边形；（2）当α＝°时，四边形MBNA为矩形；（3）当α＝°时，四边形MBNA为菱形；（4）四边形MBNA可能是正方形吗？（回答“可能”或“不可能”）16．如图，P为正方形ABCD的边BC的延长线上一动点，以DP为一边作正方形DPEM，以E为一顶点作正方形EFGH，且FG在BC的延长线上（提示：正方形四条边相等，且四个内角为90°）（1）若正方形ABCD、DPEM的面积分别为a，b，则正方形EFGH的面积为（直接写结果）．（2）过点P作BC的垂线交∠PDC的平分线于点Q，连接QE，试探求在点P运动过程中，∠DQE的大小是否发生变化，并说明理由．17．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）当点D在线段BC上时（与点B，C不重合），如图1，求证：CF＝BD；（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由．18．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE 交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．19．四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．（1）求证：AM＝AD+MC．（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；20．（1）如图1，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在DC上，且∠EAF＝45°，则有BE+DF＝．若AB＝4，则△CEF的周长为．（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF ＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．正方形的性质和判定解答题综合训练参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF﹣DG＝FG．【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再利用“角角边”证明△BAF和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝AG，根据线段的和与差可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，∵∠DAG+∠BAF＝90°，∴∠ADG＝∠BAF，在△BAF和△ADG中，∵，∴△BAF≌△ADG（AAS），∴BF＝AG，AF＝DG，∵AG＝AF+FG，∴BF＝AG＝DG+FG，∴BF﹣DG＝FG．2．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连结AE、AF、EF．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝5，请求出EF的长．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，利用SAS定理证明结论；（2）根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，得到△AEF为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，∵∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠DAF+∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，∴EF＝AE＝5．3．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△BCF得出AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，由平行线的性质得出∠CBF ＝∠CEG，证出AE⊥EG，即可得出结论；（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，则AP＝CE，∠EBP＝90°，证明△APE≌△ECG得出AE＝EG，证出EG＝BF，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CEG+∠BEA＝90°，∴AE⊥EG，∴AE⊥BF；（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：则AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝45°，∵CG为正方形ABCD外角的平分线，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG，由（1）得∠BAE＝∠CEG，在△APE和△ECG中，，∴△APE≌△ECG（ASA），∴AE＝EG，∵AE＝BF，∴EG＝BF，∵EG∥BF，∴四边形BEGF是平行四边形．4．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．【分析】（1）设出正方形CEFG的边长，然后根据S1＝S2，即可求得线段CE的长；（2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出HD和HG的长，即可证明结论成立．【解答】解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE＝1﹣a，∵S1＝S2，∴a2＝1×（1﹣a），解得，（舍去），，即线段CE的长是；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，∴CH＝0.5，∴DH＝＝，∵CH＝0.5，CG＝，∴HG＝，∴HD＝HG．5．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．6．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．【解答】解：连接EF，（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH＝BE，FH＝BG，∴∠CFH＝∠CBG，∵BF＝CF，∴△BGF≌△FHC，（2）当四边形EGFH是正方形时，连接GH，可得：EF⊥GH且EF＝GH，∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，∴GH＝，且GH∥BC，∴EF⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB＝EF＝GH＝a，∴矩形ABCD的面积＝．7．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【分析】（1）通过证明四边形AHGD是平行四边形，可得AH＝DG，AD＝HG＝CD，由“SAS”可证△DCG≌△HGF，可得DG＝HF，∠HFG＝∠HGD，可证AH⊥HF，AH＝HF，即可得结论；（2）由题意可得DE＝2，由平行线分线段成比例可得＝，即可求EM的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°∵AD∥BC，AH∥DG∴四边形AHGD是平行四边形∴AH＝DG，AD＝HG＝CD∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG∴△DCG≌△HGF（SAS）∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD∴AH＝HF，∵∠HGD+∠DGF＝90°∴∠HFG+∠DGF＝90°∴DG⊥HF，且AH∥DG∴AH⊥HF，且AH＝HF∴△AHF为等腰直角三角形．（2）∵AB＝3，EC＝5，∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5∵AD∥EF∴＝，且DE＝2∴EM＝8．已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，（1）求证：AP＝EF．（2）若∠BAP＝60°，PD＝，求EF的长．【分析】（1）连接CP，证四边形EPFC是矩形，求出EF＝PC，证△ABP≌△CBP，推出AP＝CP即可；（2）先根据△ABP≌△CBP得出∠BAP＝∠BCP＝60°，∠PCE＝30°，再证△PFB是等腰直角三角形，求出PE的长度，再根据直角三角形的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：连接PC，∵ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∵PE⊥CD，PF⊥BC，∴四边形PFCE是矩形，∴EF＝PC，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP＝CP，∵EF＝CP，∴AP＝EF．（2）解：∵由（1）知△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP＝60°，∴∠PCE＝30°，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴∠PDE＝45°，∵PE⊥CD，∴DE＝PE，∵PD＝，∴PE＝1，∴PC＝2PE＝2，∵由（1）知EF＝PC，∴EF＝2．9．如图，矩形ABCD和正方形ECGF．其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH．（1）求证：AF＝HG；（2）求证：∠FAE＝∠GHC；【分析】（1）由AE＝HC，AE∥HC，得到四边形AHCE为平行四边形，所以AH＝EC，AH∥EC，再根据正方形的性质可推导出AH＝FG，AH∥FG，所以四边形AHGF是平行四边形，即AH＝FG；（2）由平行四边形AHGF可得∠FAH+∠AHG＝180°，根据AD∥BC，可得∠DAH＝∠AHB，又∠AHB+∠AHG+∠GHC＝180°，所以∠FAD＝∠GHC．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，且E、H分别为AD、BC的中点，∴AE＝HC，AE∥HC，∴四边形AHCE为平行四边形，∴AH＝EC，AH∥EC，又∵四边形ECGF为正方形，∴EC＝FG，EC∥FG，∴AH＝FG，AH∥FG，∴四边形AHGF是平行四边形，∴AH＝FG；（2）∵四边形AHGF是平行四边形，∴∠FAH+∠AHG＝180°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAH＝∠AHB，又∵∠AHB+∠AHG+∠GHC＝180°，∴∠FAD＝∠GHC．10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝45°．（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AH⊥EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．【分析】（1）延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，证△GDA≌△EBA，△GAF≌△EAF，根据全等三角形的性质得出GD+DF＝BE+DF＝EF进而求出即可；（2）把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，如图，根据旋转的性质得AQ＝AF，∠FAQ＝90°，∠ABQ＝∠D＝90°，则可判断点Q在CB的延长线上，由∠EAF＝45°得到∠QAE＝90°﹣∠EAF＝45°，然后根据“SAS”判断△AEQ≌△AEF，得到EQ＝FE，再根据全等三角形对应边上的高相等得到结论．【解答】（1）解：BE+DF＝EF；理由如下：如图1，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，∵在△GDA和△EBA中，，∴△GDA≌△EBA（SAS），∴AG＝AE，∠GAD＝∠EAB，故∠GAF＝45°，在△GAF和△EAF中，∵，∴△GAF≌△EAF（SAS），∴GF＝EF，即GD+DF＝BE+DF＝EF；（2）AH＝AB，理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，如图2，∴AQ＝AF，∠FAQ＝90°，∠ABQ＝∠D＝90°，而∠ABC＝90°，∴点Q在CB的延长线上，∵∠EAF＝45°，∴∠QAE＝90°﹣∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠QAE，在△AEQ和△AEF中，，∴△AEQ≌△AEF（SAS），∴EQ＝EF，∵AB⊥EQ，AH⊥FE，∴AB＝AH．11．已知，如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．（1）求证：①△BCG≌△DCE．②BH⊥DE．（2）当BH平分DE时，求GC的长．【分析】（1）先由四边形ABCD和CGFE是正方形求证△DCE≌△BCG，再得出BG⊥DE．（2）连接BD，解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD＝BE，从而找到BD＝，CE＝BE﹣BC＝﹣1，根据全等三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，同理：CG＝CE，∠GCE＝90°，∴∠BCD＝∠GCE＝90°，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠GBC＝∠CDE，在Rt△DCE中∠CDE+∠CED＝90°，∴∠GBC+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BHE）＝90°，∴BH⊥DE；（2）若BH垂直平分DE，连接BD，∴BD＝BE，∵BD＝，∴CG＝CE＝BE﹣BC＝﹣1．12．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边AB上一点，延长AD至F使DF＝BE，连接CF．（1）求证：∠BCE＝∠DCF；（2）过点E作EG∥CF，过点F作FG∥CE，问四边形CEGF是什么特殊的四边形，并证明．【分析】（1）由正方形的性质得到∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据已知条件得到四边形CEGF是平行四边形，根据全等三角形的性质得到CE＝CF，证得四边形CEGF是菱形，求得∠ECF＝∠BCD＝90°，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD，∴∠B＝∠CDF＝90°，在△BCE与△DCF中，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠BCE＝∠DCF；（2）解：四边形CEGF是正方形，理由：∵EG∥CF，FG∥CE，∴四边形CEGF是平行四边形，∵△BCE≌△DCF，∴CE＝CF，∴四边形CEGF是菱形，∵∠BCE＝∠DCF，∴∠ECF＝∠BCD＝90°，∴四边形CEGF是正方形．13．如图，四边形ABCD是正方形，G是直线BC上的任意一点，DE⊥直线AG于点E．BF⊥直线AG于点F．（1）如图1，若点G在线段BC上，判断AF，BF，EF之间的数量关系，并说明理由．（2）若点G在CB延长线上，直接写出AF，BF，EF之间的数量关系．（3）若点G在BC延长线上，直接写出AF，BF，EF之间的数量关系．【分析】（1）证明△BAF≌△ADE即可．（2）（3）两问的原理与（1）一样，都是证明△BAF≌△ADE即可．【解答】解：（1）如图1，AF＝EF+BF．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AFB＝∠DEA＝90°，又∵∠BAF+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△BAF和△ADE中：∴△BAF≌△ADE（AAS），∴AE＝BF，∴AF＝AE+EF＝BF+EF．（2）如图2，AF+EF＝BF．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AFB＝∠DEA＝90°，又∵∠BAF+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△BAF和△ADE中：∴△BAF≌△ADE（AAS），∴AE＝BF，∴AF+EF＝AE＝BF．（3）如图3，AF+BF＝EF．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AFB＝∠DEA＝90°，又∵∠BAF+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△BAF和△ADE中：∴△BAF≌△ADE（AAS），∴AE＝BF，∴EF＝AE+AF＝BF+AF．14．已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论．【分析】（1）根据全等三角形的性质推出MH＝ME，AH＝EF＝EC，推出DH＝DE，因为∠EDH＝90°，可得DM⊥EM，DM＝ME；（2）结论不变，证明方法类似；【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．理由：如图1中，延长EM交AD于H．∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME（AAS），∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME；（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM．理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME．15．如图，∠CAB＝∠ABD＝50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN＝α．连接MB，NA．（1）求证：四边形MBNA为平行四边形；（2）当α＝80°时，四边形MBNA为矩形；（3）当α＝90°时，四边形MBNA为菱形；（4）四边形MBNA可能是正方形吗？不可能（回答“可能”或“不可能”）【分析】（1）由“AAS”可证△APM≌△BPN，可得AM＝BN，即可得结论；（2）由矩形的性质和三角形的内角和定理可求解；（3）由菱形的性质可求解；（4）由正方形的性质可求解．【解答】证明：（1）∵P为AB中点，∴AP＝BP∵∠CAB＝∠ABD＝50°，∴AM∥BN∴∠AMP＝∠BNP，且AP＝BP，∠CAB＝∠ABD＝50°，∴△APM≌△BPN（AAS）∴AM＝BN，且AM∥BN∴四边形MBNA为平行四边形；（2）若四边形MBNA为矩形∴BP＝AP＝MP＝NP∴∠ABN＝∠MNB＝50°∴α＝180°﹣50°﹣50°＝80°故答案为：80（3）若四边形MBNA为菱形∴AB⊥MN∴α＝90°故答案为：90（4）若四边形MBNA为正方形∴∠ABD＝45°≠50°∴四边形MBNA不可能为正方形,故答案为：不可能16．如图，P为正方形ABCD的边BC的延长线上一动点，以DP为一边作正方形DPEM，以E为一顶点作正方形EFGH，且FG在BC的延长线上（提示：正方形四条边相等，且四个内角为90°）（1）若正方形ABCD、DPEM的面积分别为a，b，则正方形EFGH的面积为b﹣a（直接写结果）．（2）过点P作BC的垂线交∠PDC的平分线于点Q，连接QE，试探求在点P运动过程中，∠DQE的大小是否发生变化，并说明理由．【分析】（1）证明△DCP≌△PFE（AAS），则EF＝CP，而CP＝＝＝EF，即可求解；（2）证明DQ平分∠CDP，则PD＝PQ，在正方形DPEM中，DP＝PE，则，而，则∠CDP+∠PEF＝90°，而，故，即可求解．【解答】解：（1）∵∠DPC+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PEF＝90°，∴∠DPC＝∠PEF，∠DCP＝∠PFE＝90°，DP＝PE，故△DCP≌△PFE（AAS），∴EF＝CP，而CP＝＝＝EF，正方形EFGH的面积＝EF2＝b﹣a，故答案为：b﹣a；（2）∠DQE的大小不会发生变化，理由如下，∵DC⊥BC，DQ⊥BC，EF⊥BC，∴DC∥QP，QP∥EF，∴∠CDQ＝∠PQD，∵DQ平分∠CDP，∴∠CDQ＝∠QDP＝∠PQD，∴PD＝PQ，在正方形DPEM中，DP＝PE，∴PQ＝PE，∴∠PQE＝∠PEQ，∵PQ∥EF，∴∠PQE＝∠FEQ，∴，∵，∵∠CDP+∠CPD＝90°，∠CPD+∠EPF＝90°，∴∠CDP＝∠EPF，∴∠CDP+∠PEF＝90°，∵，∴，∴∠DQE的大小不会发生变化．17．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）当点D在线段BC上时（与点B，C不重合），如图1，求证：CF＝BD；（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由．【分析】（1）要证明CF＝BD，只要证明△BAD≌△CAF即可，根据等腰三角形的性质和正方形的性质可以证明△BAD≌△CAF，从而可以证明结论成立；（2）首先判断CF＝BD仍然成立，然后根据题目中的条件，同（1）中的证明方法一样，本题得以解决．【解答】（1）证明：∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠DAC+∠CAF＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DAC+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，即CF＝BD；（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论仍然成立．理由：∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，在在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，即CF＝BD．18．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE 交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA＝PC，由于PA＝PE，得PC＝PE；（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP＝∠BCP，进而得∠DAP＝∠DCP，由PA＝PC，得到∠DAP＝∠E，∠DCP＝∠E，最后∠CPE＝∠EDF＝90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE；（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°（3）解：AP＝CE；理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵PA＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE．19．四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．（1）求证：AM＝AD+MC．（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；【分析】（1）可以过点E作EF⊥AM于点F，连接EM，根据四边形ABCD是正方形，证明△ADE≌△AFE，可得AD＝AF，DE＝FE，再证明Rt△EFM≌Rt△ECM，即可得结论；（2）证明方法同（1）．【解答】解：（1）如图1，过点E作EF⊥AM于点F，连接EM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠D＝∠AFE，∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠FAE，AE＝AE，∴△ADE≌△AFE（AAS），∴AD＝AF，DE＝FE，∵E是CD边的中点，∴DE＝EC，∴FE＝EC，EM＝EM，∴Rt△EFM≌Rt△ECM（HL），∴FM＝MC．∴AM＝AF+FM＝AD+MC．（2）AM＝AD+MC成立，理由如下：如图2，过点E作EF⊥AM于点F，连接EM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠D＝∠AFE，∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠FAE，AE＝AE，∴△ADE≌△AFE（AAS），∴AD＝AF，DE＝FE，∵E是CD边的中点，∴DE＝EC，∴FE＝EC，EM＝EM，∴Rt△EFM≌Rt△ECM（HL），∴FM＝MC．∴AM＝AF+FM＝AD+MC．所以AM＝AD+MC成立．20．（1）如图1，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在DC上，且∠EAF＝45°，则有BE+DF＝EF．若AB＝4，则△CEF的周长为8．（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF ＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）延长EB至H，使BH＝DF，连接AH，证△ADF≌△ABH，△FAE≌△HAE，根据全等三角形的性质得出EF＝HE＝BE+HB进而求出即可；（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案．【解答】解：（1）延长EB至H，使BH＝DF，连接AH，如图1，∵在正方形ABCD中，∴∠ADF＝∠ABH，AD＝AB，在△ADF和△ABH中，，∴△ADF≌△ABH（SAS），∴∠BAH＝∠DAF，AF＝AH，∴∠FAH＝90°，∴∠EAF＝∠EAH＝45°，在△FAE和△HAE中，，∴△FAE≌△HAE（SAS），∴EF＝HE＝BE+HB，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝EF+CE+CF＝BE+CE+DF+CF＝BC+CD＝2AB＝8．故答案为：EF；8．（2）EF＝BE+DF，理由如下：延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，如图2，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝∠C＝90°，∠EAF＝45°，即∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即EF＝BE+DF．。

人教版八年级下册数学18章正方形综合问题大题专练(原卷版)

专题18.12正方形综合问题大题专练姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷试题共30题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2020春•青山区校级期中）如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC 分别于P、F点，连PC（1）若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点；（2）若点E为BC的中点，PE＝6，PC=4√2，求PF的长．2．（2020•三门县一模）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DA，AB上，且BE⊥CF于点G．（1）求证：△ABE≌△BCF；（2）若四边形AECF的面积为12．①正方形ABCD的面积是；②当FG＝2时，求EG的长．3．（2018•安丘市模拟）如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．4．如图，在△AFE中，∠F AE＝90°，AB是EF边上的高，以AB为一边在AB的右侧作正方形ABCD，CD交AE于点M．（1）求证：△ABF≌△ADM；（2）若AF＝13，DM＝5，求CM的长；（3）连接DF交AB于点G，连接GM，若∠DFB＝∠F AB，求证：四边形AGMD是矩形．5．（2019•宽城区一模）问题探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF．线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线．（1）求证：△ABE≌△DAF．（2）判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由．问题拓展：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G．若GH是△BFG的中线，则线段GH的长为．6．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线AC上（不与点A、C重合），PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，连接PD．（1）求证：四边形PMBN是矩形．（2）猜想PD、PM、PN之间的数量关系，并说明理由．7．（2019•黑龙江）如图，BD是正方形ABCD的对角线，线段BC在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ，连接P A，过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）如图①所示，求证：AP=√2OA；（2）如图②所示，PQ在BC的延长线上，如图③所示，PQ在BC的反向延长线上，猜想线段AP、OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．8．（2019春•沙河市期末）如图，矩形ABCD和正方形ECGF．其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH．（1）求证：AF＝HG；（2）求证：∠F AE＝∠GHC；9．（2020春•岳麓区校级期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）若PB＝PQ，点F是BP的中点，连结EF、AF，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②求PE的长．10．（2020春•江都区期中）如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP＝AB，PB＝PC．连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；（2）求∠P AC的度数．11．（2020春•富县期末）如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE．（1）求证：BG＝DE；（2）连接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度数．12．（2020春•大观区校级期末）如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，AB ＝13，OB＝5，E为AC上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE与ON交于点F．（1）求证：BE＝DE；（2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由；（3）△BEF的周长为．13．（2020•海安市一模）如图，正方形ABCD的边长为a，点E为边BC的中点，点F在边CD上，连接AE，EF．（1）若CF＝2DF，连接AF．求∠EAF的度数；（2）当∠AEF＝∠DAE时，求△CEF的面积（用含a的式子表示）．14．如图，在正方形ABCD中，BD为一条对角线，点P为CD边上一点，A连接AP，并将△ADP平移使AD与BC边重合，P点落在DC的延长线上的一点G处，过G点作GH⊥BD于点H，连接HP和HC （1）在图中依题意补全图形；（2）求证：PH＝CH．15．（2020•浙江自主招生）已知如图，正方形ABCD和等腰直角△BEF，BE＝EF，∠BEF＝90°，取DF 中点G，连结EG、CG，探究EG、CG的数量关系和位置关系，并证明．16．（2013•黄冈模拟）如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F．（1）求证：△OEF是等腰直角三角形．（2）若AE＝4，CF＝3，求EF的长．17．（2016春•洪山区期中）如图，已知正方形ABCD和等边△DCE，点F为CE的中点，AE与DF相交于点G，AG＝2√3．（1）直接写出GE＝；（2）求出DG的长；（3）如图，若将题中“等边△DCE”改为“DC＝DE的等腰△DCE”，其他条件不变，求出BG+DG的值．18．（2020春•兴化市期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DF A的大小；（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．19．（2020春•常州期末）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．（1）判断四边形AECF的形状，并证明你的猜想；（2）若AB＝3√2，BE＝3，求四边形AECF的周长．20．（2020春•江阴市期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B 点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N的坐标为（m，n）．（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为，点C的坐标为；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是；（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：连结MN：√4+2√3=√3+1，√4−2√3=√3−1）21．（2019春•滨海县期中）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF ＝45°．（1）若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N，求证：EF2＝ME2+NF2；（2）如图2，将正方形改为矩形，若其余条件不变，请写出线段EF、BE、DF之间的数量关系，并说明理由．22．（2019秋•邳州市期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝45°．（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AH⊥EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．23．（2019春•无锡期中）如图，边长为8的正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是AB边上一动点，ME⊥AO，MF⊥BO．（1）求证：四边形OEMF为矩形；（2）连接EF，求EF的最小值．24．（2020秋•海珠区校级期中）（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．25．（2020秋•永年区期中）（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD；（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．26．（2020春•南岗区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E，H分别在BC，AB上，点G在BA 的延长线上，且CE＝AG，DE⊥CH于F．（1）求证：四边形GHCD为平行四边形．（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ECF互余的角．27．（2020春•梁溪区期中）如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠P AE＝∠E，PE交CD于点F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．28．（2020春•下陆区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE ＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为8，E为OM的中点，求MN的长．29．（2020春•涧西区校级期中）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，经通过平移得到的线段记为PQ，连接P A、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明．30．（2019春•保山期中）四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．（1）求证：AM＝AD+MC．（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；。

正方形综合试题选

正方形综合试题选1．如图，直线MN经过正方形ABCD的一个顶点A，过点B作BE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，当直线MN经过点D（如图1）时，易证：AF+CF=2BE．当直线MN不经过点D时，线段AF、CF、BE又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择图（2）、图（3）中的一种情况给予证明．2．已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．3．（本溪二模）已知直线l经过正方形ABCD的顶点A，过点C作CE⊥直线l于点E，连接BE （1）如图1，当直线l∥BC时，CE+AE= BE；（2）如图2，当直线l绕着点A，逆时针旋转到如图位置时，请判断线段BE、AE、CE三者数量关系，并证明；（3）如图3，当直线l绕着点A，逆时针旋转到如图位置时，请补全图形并判断线段BE、AE、CE 三者数量关系，不必证明．4．（天桥区一模）如图1，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连结AD、CF，此时AD=CF．AD⊥CF成立．（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，求证：AD⊥CF．（3）在（2）小题的条件下，AD与OC的交点为G，当AO=3，OD= 2时，求线段CF的长．5．如图，四边形ABCD是正方形，点G是直线BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于F．（1）当点G在线段BC上时，如图1，求证：DE-BF=EF；（2）当点G在线段CB的延长线上时，如图2，判断线段DE、BF、EF之间的数量关系是；（3）在（2）的条件下，连接AC，过F作FP∥GC，交AC于点P，连接DP，若∠ADE=30°，GB= 4，求DP的长．336．（黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．7．（盐城）如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）8．（黔南州）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF，BE=2．（1）求EC：CF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．9．（青海）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．∵∠AEF=90°∴∠FEC+∠AEB=90°又∵∠EAM+∠AEB=90°∴∠EAM=∠FEC∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点∴AM=EC又可知△BME是等腰直角三角形∴∠AME=135°又∵CF是正方形外角的平分线∴∠ECF=135°∴△AEM≌△EFC（ASA）∴AE=EF（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC 延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．10．（锦州）已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC-CD．（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．（4）在（3）的条件下，AD与AB满足什么条件时？△AOC是等边三角形.11．（黑龙江）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC；（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系，并结合图2给出证明；（2）若点D 在CB延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC 的关系式．12．（东营）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．13．（永州）探究问题：（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌∴=EF，故DE+BF=EF．（2）方法迁移：1∠DAB．试如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=2猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．（3）问题拓展：1∠DAB，试如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=2猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．14．（营口）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）15．（咸宁）（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG 与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=32，求AG，MN的长．16．（阜新）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．17．（赤峰）如图（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N，FN⊥BC．（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y．①求y与x的函数关系式；②当x取何值时，y有最大值，18．（天水）在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．（1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；（2）就（1）中的三个结论选择一个加以证明．19．（义乌市）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4-6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；1，求BE2+DG2的值．（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=220．（海南）如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．（1）求证：△ADE≌△CDE；（2）过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：FH=GH；（3）设AD=1，DF=x，试问是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．21．（大连）如图①，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE”．他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、图③、图④），其它条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”结论．你同意小明的观点吗？同意，请结合图④加以证明；若不同意，请说明理由．22．（大连）如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD．附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD、MF的23．（东城区一模）阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的长．24．（本溪一模）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN 的数量关系：．25.（密云县一模）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．（3）若CN=6，BM=2，求正方形ABCD的边长．26．（怀柔区一模）探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，试判断BE、DF 与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F1∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=2给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．27．（莆田质检）在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点．（1）若点N在BC边上时，如图1．①求证：PN=QN；PM是否②请问为定值？若是定值，PN求出该定值；若不是，请举反例说明；（2）当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP的值．28．（高淳区一模）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠AOB=α，将△DOC 按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．（1）当四边形ABCD为矩形时，如图1．求证：△AOC′≌△BOD′．（2）当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD，如图2．①猜想此时△AOC′与△BOD′有何关系，证明你的猜想；②探究AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并给予证明．29．（宝安区二模）如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG，PC．（1）如图1中，PG与PC的位置关系是，数量关系是；（2）如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，求证：PG=PC；（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，P是线段DF的中点，连接PG、PC，且∠ABC=∠BEF=60°，求PG:PC 的值．30．在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图1，求证：ME=MF；（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的长；（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，则AB= ．31．如图，四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形，连接AE，M是AE的中点，连接MD、MF．探究线段MD、MF的关系，并加以说明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，你可以从下列（1）、（2）中选取一个补充已知条件，完成你的证明．注意：选取（1）完成证明得10分；选取（2）完成证明得7分．①如图2，正方形CGEF的对角线CE与正方形ABCD的边BC在同一条直线上；②如图3，正方形CGEF的边CG与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，CF=2AD．32．如图1，若四边形ABCD、GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE．（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（2）当正方形GFED绕D旋转到B，D，G在一条直线（如图3）上时，连结CE，设CE分别交AG、AD于P、H．①求证：AG⊥CE；②如果，AD=25 ，DG=10 ，求CE的长．33．【观察发现】如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点E在边AB上，连接DE和BG，猜想线段DE与BG的数量关系，以及直线DE与直线BG的位置关系．（只要求写出结论，不必说出理由）【深入探究】如图2，将图1中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度，其他条件与观察发现中的条件相同，观察发现中的结论是否还成立？请根据图2加以说明．【拓展应用】2、如图3，直线l上有两个动点A、B，直线l外有一点O，连接OA，OB，OA，OB长分别为2 4，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接OD．随着动点A、B的移动，线段OD的长也会发生变化，在变化过程中，线段OD的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．(线段OD长的最大值为8)．34．（济宁三模）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．求证：BD⊥CF；（3）在（2）小题的条件下，AC 与BG的交点为M，当AB=4，AD= 2时，求线段CM的长．35.(德州)已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．36.（黑河/东营）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG=CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．37.(农垦牡丹江管理局)已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图(1)．易证BD+AB=CB，过程如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．(1)当MN绕A旋转到如图(2)和图(3)两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图(2)给予证明．(2)MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD=____________，CB=____________．。

正方形综合训练题

正方形综合训练题一、典型例题：1.如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连结AE 、GC.（1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2，连结AE 和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.2. 如图1，在正方形ABCD 中，E F G H ，，，分别为边AB BC CD DA ，，，上的点，HA EB FC GD ===，连接EG FH ，，交点为O ．(1）如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；(2）将正方形ABCD 沿线段,EG HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_______2cm ．3. 如图1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.(1）求EC ∶CF 的值；(2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；(3）在图2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．4. 在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）.(1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；(2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；（3）设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.5. 问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14CE CD =，则AM BN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN 的值等于．（用含n 的式子表示）方法指导：为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2二、巩固提高：1. 如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、EF ，M 、N 、E 、F 分别在边AB 、CD 、AD 、BC 上．小明认为：若MN = EF ，则MN ⊥EF ；小亮认为: 若MN ⊥EF ，则MN = EF ．你认为（）A ．仅小明对B ．仅小亮对C ．两人都对D ．两人都不对2. 如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件：，使得该菱形为正方形．答案：AB BC ⊥或AC BD =或AO BO =等3. 如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2．4. 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE ＝3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF ＝AE ，则BM 的长为．5. 大正方形网格是由25个边长为1的小正方形组成，把图中阴影部分剪下来,用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是______.6. 如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF的数量关系，并说明理由。

正方形综合提高练习题

正方形综合提高练习题
问题1
一个正方形的边长为5 cm，请计算该正方形的周长和面积。

问题2
一个正方形的周长为20 cm，请计算该正方形的边长和面积。

问题3
一个正方形的面积为36 cm²，请计算该正方形的边长和周长。

问题4
正方形A的面积是正方形B面积的2倍，正方形A的边长比正方形B的边长多3 cm。

请分别计算正方形A和正方形B的边长和周长。

问题5
正方形C的边长是正方形D的边长的2倍，正方形C的面积是正方形D面积的4倍。

请计算正方形C和正方形D的面积。

问题6
在一个正方形的四个角上分别连接线段，形成一个小正方形和4个等腰直角三角形。

已知小正方形的边长为2 cm，请计算大正方形的边长和面积。

问题7
在一个正方形的四个角上分别连接线段，形成一个小正方形和4个等腰直角三角形。

已知大正方形的面积为25 cm²，请计算小正方形的面积。

问题8
一个正方形的边长为x cm，请用x的代数式表达出该正方形的周长和面积。

问题9
已知正方形的面积为A cm²，请用A的代数式表示出该正方形的边长和周长。

问题10
已知正方形的周长为P cm，请用P的代数式表示出该正方形的边长和面积。

小结
通过这些练习题，你可以巩固和提高对正方形的周长和面积计算的能力。

通过多次练习，你会更加熟练地运用这些概念，并能够灵活解决与正方形相关的问题。

为了加强你的学习效果，可以自行编写更多类似的练习题进行练习。

祝你学习进步！。

与正方形有关的综合训练题

与正方形有关的综合训练题1.如图，P 为正方形ABCD 边AD 上一点，以BP 为腰作等腰Rt △BPQ ，M 为BD 延长线上一点，PB =PM ．（1）求证：PD 平分∠MPQ ；（2）连结DQ ，试求BD -DQ 的值；（3）若正方形的边长为4，P 为AD 中点，请直接写出线段BM 的长度为．2．如图，P 为正方形ABCD 边BC 上的一点，BE ⊥AP 于点E ，DF ⊥AP 于点F ．（1）求证：AF =BE ；（2）如图，Q 为AP 延长线上一点，∠FDQ =450，延长BE 交AD 的延长线于点M ，延长BQ 交DC 的延长线于点N ，连接MN ，求证：AM -CN =MN ．（3）在（2）的条件下，若正方形的边长为2，P 为BC 边的中点，请直接写出线段MN 的长为．3．如图，正方形ABCD 中，点E 为CD 的中点，连AE ，点F 在AE 上，CF =BC ，连BF ．（1）求证：BF ⊥AE ；（2）如图，CM 平分∠FCD 交BF 的延长线于M ，连AM ，求证：AM ⊥CM ．（3）在（2）的条件下，BM 交AD 于点G ，若AB =4，AG =2时，求出CM 的长 4．如图：M 、N 分别为边长为1的正方形ABCD 边CB 、DC 延长线上的点，若DN - BM =MN ．（1）如图1，求证：∠MAN =450；（2）如图2，若DP ⊥AN 交AM 于P ，求证：P A +PC；（3）如图2，若C 为DN 的中点，直接写出PC 的长为．CC5．如图，正方形ABC.D中，点M在AB上，点N在CD上，点P在BC上，MN⊥AP于E．（1）求证：AP=MN；（2）点F在MN上，若EF=EA，连CF，点G为CF的中点，求证：DE；（3）在（2）的条件下，若DA=DE，且DN=32，BM=2，求DG的长．6．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转600得到BN，连AM、CM、EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小？②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？并说明理由；（3）当AM+BM+CM时，求正方形的边长．CC7．在平面直角坐标系中，A（a，b）在第一象限内，且a、b满足条件：b a-AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C.（1）如图，E为线段OB上一点，连AE，过A作AF⊥AE交x轴于F，连EF，ED平分∠OEF交OA于D，过D作DG⊥EF于G，求12DG EF+的值；（2）如图2，P是CE的中点，若BF⊥PK交∠BAC的外角平分线于K，求BPBK的值．（3）如图，D为x轴上一点，AC=CD，E为线段OB上一动点，连DA、CE，F是线段CE 的中点，若BF⊥FK交AD于K，请问∠KBF的大小是否变化？若不改变，请求其值；若改变，求出变化的范围.。

有关正方形的初三综合练习题

有关正方形的初三综合练习题正方形是初中数学中的重要概念之一，下面是一些关于正方形的初三综合练习题，希望能帮助你对这个概念有更深入的理解。

1. 若一个正方形的边长为8 cm，求其周长和面积。

解答：由正方形的定义可知，它的四条边长度相等。

因此，该正方形的周长为8 cm × 4 = 32 cm。

面积的计算公式为边长的平方，所以面积为8 cm × 8 cm = 64 cm²。

2. 若一个正方形的面积为25 m²，求其边长和周长。

解答：设该正方形的边长为x m，则面积x² = 25 m²。

解这个方程可以得到x = 5 m。

因此，该正方形的边长为5 m，周长为5 m × 4 = 20 m。

3. 若一个正方形的周长为36 cm，求其边长和面积。

解答：设该正方形的边长为x cm，则周长4x = 36 cm。

解这个方程可以得到x = 9 cm。

因此，该正方形的边长为9 cm，面积为9 cm × 9cm = 81 cm²。

4. 若一个正方形的面积是一个整数，并且该正方形的边长小于10 cm，找出所有可能的边长。

解答：由于正方形的面积等于边长的平方，所以我们需要找出所有小于10的完全平方数。

这些数为1, 4, 9。

因此，可能的边长为1 cm, 2 cm 和 3 cm。

5. 从一个边长为10 cm的正方形中，剪去一个边长为4 cm 的小正方形，剩下的部分是什么形状？求其面积。

解答：剪去一个边长为4 cm的小正方形后，剩下的部分是一个L 形，由一个长方形和一个小正方形组成。

长方形的边长为10 cm - 4 cm = 6 cm，小正方形的面积为4 cm × 4 cm = 16 cm²。

所以剩下的部分的面积为长方形的面积减去小正方形的面积，即6 cm × 10 cm - 16 cm² = 60 cm² - 16 cm² = 44 cm²。

正方形综合提高练习题

正方形综合提高练习题1. 题目描述本练题旨在提高学生对正方形的理解和运用能力。

题目涵盖了正方形的基本性质、特征和相关定理。

学生需要通过解答题目来巩固对正方形知识的掌握。

2. 练题题目1：已知正方形ABCD的边长为5cm，求：(a) 正方形的周长；(b) 正方形的面积。

题目2：已知正方形EFGH的对角线EF的长度为6√2cm，求：(a) 正方形的边长；(b) 正方形的面积。

题目3：正方形IJKL的顶点J在坐标轴上，坐标为(0, 4)，求：(a) 正方形的边长；(b) 正方形的周长。

题目4：正方形MNOP的对角线MN与坐标轴的交点分别为M(2, 0)和N(0, -2)，求：(a) 正方形的边长；(b) 正方形的面积。

题目5：正方形QRST中，点R的坐标为(-3, 4)，求：(a) 正方形的边长；(b) 正方形的周长。

3. 答案解析题目1：(a) 正方形的周长等于4倍边长，所以周长为4 * 5cm = 20cm；(b) 正方形的面积等于边长的平方，所以面积为5cm * 5cm = 25cm²。

题目2：(a) 正方形的对角线等于边长的√2倍，所以边长为6√2cm ÷ √2 = 6cm；(b) 正方形的面积等于边长的平方，所以面积为6cm * 6cm = 36cm²。

题目3：由于顶点J位于坐标轴上，所以正方形的边长等于J的纵坐标，即边长为4；正方形的周长等于4倍边长，所以周长为4 * 4 = 16。

题目4：由已知条件可得正方形MNOP是边长为2的正方形，所以边长为2；正方形的面积等于边长的平方，所以面积为2 * 2 = 4。

题目5：由已知条件可得正方形QRST是边长为8的正方形，所以边长为8；正方形的周长等于4倍边长，所以周长为4 * 8 = 32。

4. 总结通过这些练习题，学生可以进一步巩固对正方形的性质和定理的理解，并能够灵活运用所学知识解决各种问题。

正方形是几何学中重要的基本形状，掌握好正方形的相关知识对于学生的数学学习非常重要。

正方形的性质与判定综合练习题

正方形的性质与判定综合练习题一、判断题（每题4分，共20分）1. 正方形的边长相等。

2. 正方形的对角线长相等。

3. 正方形的对边平行。

4. 正方形的内角都是直角。

5. 正方形的内角和等于360°。

二、选择题（每题4分，共20分）1. 设一个正方形的边长为a，则其对角线的长度为：A. aB. a/2C. a√2D. a²2. 若一个四边形的内角和为360°，则它一定是一个：A. 正方形B. 长方形C. 钝角四边形D. 平行四边形3. 下列说法中正确的是：A. 所有正方形都是长方形B. 所有长方形都是正方形C. 正方形和长方形没有交集D. 正方形和长方形都是平行四边形4. 若一个四边形的内角都是直角，且对边相等，则它一定是一个：A. 正方形B. 长方形C. 菱形D. 三角形5. 如果一个几何图形的边长均相等，对角线长度也相等，且相邻边垂直，则它一定是一个：A. 正方形B. 长方形C. 菱形D. 梯形三、计算题（每题10分，共30分）1. 已知一个正方形的对角线长为10cm，求其边长。

2. 一个正方形的内角和为240°，求其边长。

3. 一个四边形的内角分别是120°、90°、90°和x°，求x的值。

四、解答题（每题20分，共30分）1. 证明：正方形的对边平行。

2. 解答：一个四边形的内角分别是90°、60°、90°和90°，它是什么类型的四边形？3. 解答：一个几何图形的边长均为6cm，它的对角线长度为6√2 cm，它是什么类型的图形？以上是关于正方形的性质与判定的综合练习题，请同学们认真思考并回答。

初一正方形综合练习题

初一正方形综合练习题
正方形是初中数学中的重要概念之一，掌握正方形的性质和计算方法对于学好数学非常重要。

以下是一些初一级别的正方形综合练题，供同学们练和巩固相关的知识。

1. 选择题
1. 正方形的边长是4cm，那么它的周长是多少？
A. 4cm
B. 8cm
C. 16cm
D. 24cm
2. 一张正方形纸片的面积是36平方厘米，那么它的边长是多少厘米？
A. 6cm
B. 9cm
C. 12cm
D. 18cm
3. 已知正方形的周长是24cm，求该正方形的面积是多少平方厘米？
A. 36平方厘米
B. 64平方厘米
C. 96平方厘米
D. 144平方厘米
2. 填空题
1. 已知正方形的边长为8cm，那么它的面积是 \_\_ 平方厘米。

2. 一张正方形纸片的周长是15厘米，那么它的边长是 \_\_ 厘米。

3. 解答题
1. 一块地的形状是一个正方形，边长为10米。

如果要围绕这块地建一道围墙，这道围墙的总长度是多少米？
2. 一张正方形纸片的周长是24厘米，面积是多少平方厘米？
以上就是初一正方形综合练题的内容，希望能帮助同学们巩固和加深对正方形的理解和运用。

祝大家研究进步！。

正方形的性质和判定典型试题综合训练(含解析)

正方形的性质和判定典型试题综合训练（含解析）一．选择题（共15小题）1．关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形2．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC3．如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是（）A．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD B．AC=BC=CD=DA C．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD D．AB=BC，CD⊥DA 4．如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确．．．的是（）A．B．C．D．5．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A．B．2C．+1 D．2+16．如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（）A．1 B．2 C．3 D．37．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B 的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．758．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1D．n9．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（）A．7 B．8 C．7D．710．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）A．10 B．12 C．14 D．1611．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（）A．B．C．D．12．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或613．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF 的长为（）A．1 B．4﹣2C．D．3﹣414．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P，则下列结论中：（1）△OEF是等腰直角三角形；（2）图形中全等的三角形只有两对；（3）BE+BF=OA；（4）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍，正确的结论有（）A．1个B．2 个C．3个D．4个15．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．（）2014B．（）2015C．（）2015D．（）2014二．填空题（共10小题）16．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使其成为正方形（只填一个即可）17．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．18．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME=．19．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为cm．20．如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D=60°，BC=2，则点D的坐标是．21．如图，正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD上的点，且AE=CF=AB，点O为线段EF的中点，过点O作直线与正方形的一组对边分别交于P、Q两点，并且满足PQ=EF，则这样的直线PQ（不同于EF）有条．22．如图所示，E是正方形ABCD边BC上任意一点，EF⊥BO于F，EG⊥CO于G，若AB=10厘米，则四边形EGOF的周长是厘米．23．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB=，AG=1，则EB=．24．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为．25．如图，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AD，CD于E，F，若AE=6，CF=4，则EF=．三．解答题（共10小题）26．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若正方形边长为4，AE=，求菱形BEDF的面积．27．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？28．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．29．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．30．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．31．如图，△ABC中，MN∥BD交AC于P，∠ACB、∠ACD的平分线分别交MN于E、F．（1）求证：PE=PF；（2）当MN与AC的交点P在什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）32．如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．33．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．（1）求证：四边形EDFG是正方形；（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．34．在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．35．已知O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点（M与点O，D不重合），以线段AM为一边作正方形AMEF，连接FD．（1）当点M在线段OD上时（如图1），线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请说明理由；（2）当点M在线段OD的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由．正方形的性质和判定典型试题综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误，C正确；即可得出结论．【解答】解：∵▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A错误；∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B错误；∵▱ABCD中，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，选项C正确；∵▱ABCD中，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项D错误．故选：C．2．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC【分析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【解答】解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBEF是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBEF是菱形．其余选项均无法判断四边形DBEF是菱形，故选D．3．如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是（）A．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD B．AC=BC=CD=DA C．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD D．AB=BC，CD⊥DA 【分析】根据正方形的判定对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对各个选项进行分析从而得到最后的答案．【解答】解：A、正确，AC⊥BD且AC、BD互相平分可判定为菱形，再由AC=BD判定为正方形；B、错误，不能判定为正方形；C、错误，只能判定为菱形；D、错误，不能判定为正方形；故选A．4．如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确．．．的是（）A．B．C．D．【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线为10≈14，由此即可判定A不正确．【解答】解：选项A不正确．理由正方形的边长为10，所以对角线=10≈14，因为15＞14，所以这个图形不可能存在．故选A．5．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A．B．2C．+1 D．2+1【分析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD==1，∠BCD=90°，CE=CF=，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1，∴BC=CD==1，∠BCD=90°，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴CE=BC=，CF=CD=，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF=CE=，∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；故选：B．6．如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（）A．1 B．2 C．3 D．3【分析】求出BE的长，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形求出四边形EFCH平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得EF=CH，再根据正方形的性质可得AB=BC，AE=EF，然后求出BH=BE即可得解．【解答】解：∵AB=4，AE=1，∴BE=AB﹣AE=4﹣1=3，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AD∥EF∥BC，又∵EH∥FC，∴四边形EFCH平行四边形，∴EF=CH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AB=BC，AE=EF，∴AB﹣AE=BC﹣CH，∴BE=BH=3．故选：C．7．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B 的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75【分析】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．【解答】解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．故选C．8．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1D．n【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）个阴影部分的和．【解答】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选：B．9．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（）A．7 B．8 C．7D．7【分析】由正方形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，由SSS证明△ABE≌△CDF，得出∠ABE=∠CDF，证出∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，由AAS证明△ABE≌△ADG，得出AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，得出EG=GF=FH=EF=7，证出四边形EGFH是正方形，即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，∴∠BAE+∠DAG=90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SSS），∴∠ABE=∠CDF，∵∠AEB=∠CFD=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∴∠ABE=∠DAG=∠CDF，同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°，即∠DGA=90°，同理：∠CHB=90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，∴EG=GF=FH=EF=12﹣5=7，∵∠GEH=180°﹣90°=90°，∴四边形EGFH是正方形，∴EF=EG=7；故选：C．10．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）A．10 B．12 C．14 D．16【分析】连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，再根据等底等高的三角形面积相等，正方形BEFG的边长为4可求出S△DGE=S△GEB，S△GKE=S△GFE，再由S阴影=S正方形GBEF即可求出答案．【解答】解：连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，在梯形GDBE中，S△GDB=S△EDB（同底等高）∴S△GDB﹣公共三角形=S△EDB﹣公共三角形即∴S△DGE=S△GEB，S△GKE=S△GFE同理S△GKE=S△GFE∴S阴影=S△DGE+S△GKE=S△GEB+S△GEF=S正方形GBEF=42=16 故选：D．11．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转的性质及正方形的性质分别求得△ABC与△CD′E的面积，从而不难求得重叠部分的面积．【解答】解：∵绕顶点A顺时针旋转45°，∴∠D′CE=45°，∴CD′=D′E，∵ED′⊥AC，∴∠CD′E=90°，∵AC==，∴CD′=﹣1，∴正方形重叠部分的面积是×1×1﹣×（﹣1）（﹣1）=﹣1．故选：D．12．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6【分析】根据题意列方程，即可得到结论．【解答】解：如图，∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，∴（6+9+x）×9﹣x•（9﹣x）=×（6+9+x）×9﹣6×3，解得x=3，或x=6，故选D．13．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF 的长为（）A．1 B．4﹣2C．D．3﹣4【分析】在AF上取FG=EF，连接GE，可得△EFG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EG=EF，∠EGF=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAE+∠AEG=∠EGF，然后求出∠BAE=∠AEG=22.5°，根据等角对等边可得AG=EG，再根据正方形的对角线平分一组对角求出∠ABD=45°，然后求出△BEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BF=EF，设EF=x，最后根据AB=AG+FG+BF列方程求解即可．【解答】解：如图，在AF上取FG=EF，连接GE，∵EF⊥AB，∴△EFG是等腰直角三角形，∴EG=EF，∠EGF=45°，由三角形的外角性质得，∠BAE+∠AEG=∠EGF，∵∠BAE=22.5°，∠EGF=45°，∴∠BAE=∠AEG=22.5°，∴AG=EG，在正方形ABCD中，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF=EF，设EF=x，∵AB=AG+FG+BF，∴4=x+x+x，解得x=2（2﹣）=4﹣2．故选B．14．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P，则下列结论中：（1）△OEF是等腰直角三角形；（2）图形中全等的三角形只有两对；（3）BE+BF=OA；（4）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍，正确的结论有（）A．1个B．2 个C．3个D．4个【分析】（1）（3）（4）正确．只要证明△BOE≌△COF，即可解决问题，（2）图中全等三角形不止两对，故（2）错误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，ABC=90°，∠BAO=∠ABO=∠OBC=45°，AC⊥BD，∵∠EOF=90°，∴∠BOE+∠BOF=90°，∵∠BOF+∠COF=90°，∴∠BOE=∠COF，在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，BE=CF，∴△EOF是等腰直角三角形，故（1）正确，∴BE+BF=CF+BF=BC=OA，故（3）正确，∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，∴S正方形ABCD=4S四边形OEBF故（4）正确；图中全等三角形有△BOE≌△COF，△AOB≌△AOD≌△DOC≌△BOC，故（2）错误．故选C．15．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．（）2014B．（）2015C．（）2015D．（）2014【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2=（）1，同理可得：B3C3==（）2，故正方形A n B n C n D n的边长是：（）n﹣1．则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是：（）2014．故选：D．二．填空题（共10小题）16．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB=BC（答案不唯一），使其成为正方形（只填一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，证出四边形ABCD是菱形，由正方形的判定方法即可得出结论．【解答】解：添加条件：AB=BC，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB=BC（答案不唯一）．17．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是①③④．【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，又OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；故答案为：①③④．18．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME=45°．【分析】由正方形的性质和折叠的性质即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠ACB=45°，由折叠的性质得：∠AEM=∠B=90°，∴∠CEM=90°，∴∠CME=90°﹣45°=45°；故答案为：45°．19．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为13cm．【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【解答】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC=cm，因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD=cm，所以菱形的边长=cm．故答案为：13．20．如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D=60°，BC=2，则点D的坐标是（2+，1）．【分析】过点D作DG⊥BC于点G，根据四边形BDCE是菱形可知BD=CD，再由BC=2，∠D=60°可得出△BCD是等边三角形，由锐角三角函数的定义求出GD及CG的长即可得出结论．【解答】解：过点D作DG⊥BC于点G，∵四边形BDCE是菱形，∴BD=CD．∵BC=2，∠D=60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD=BC=CD=2，∴CG=1，GD=CD•sin60°=2×=，∴D（2+，1）．故答案为：（2+，1）．21．如图，正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD上的点，且AE=CF=AB，点O为线段EF的中点，过点O作直线与正方形的一组对边分别交于P、Q两点，并且满足PQ=EF，则这样的直线PQ（不同于EF）有3条．【分析】能画3条：①与EF互相垂直且垂足为O，构建直角三角形，可以证明两直角三角形全等得EF=PQ；②在AD上截取AP=AD，连接PO延长得到PQ；③同理在AB了截取BQ=AB，连接QO并延长得到PQ．【解答】解：这样的直线PQ（不同于EF）有3条，①如图1，过O作PQ⊥EF，交AD于P，BC于Q，则PQ=EF；②如图2，以点A为圆心，以AE为半径画弧，交AD于P，连接PO并延长交BC于Q，则PQ=EF；③如图3，以B为圆心，以AE为半径画弧，交AB于Q，连接QO并延长交DC于点P，则PQ=EF．22．如图所示，E是正方形ABCD边BC上任意一点，EF⊥BO于F，EG⊥CO于G，若AB=10厘米，则四边形EGOF的周长是厘米．【分析】根据已知可得到△BFE，△CGE是等腰直角三角形，得到BF=EF，EG=GC，则四边形EGOF的周长OF+EF+OG+CG=OB+OC=BD【解答】解：∵EF⊥BO于F，EG⊥CO，∠BAC=∠ACB=45°∴△BFE，△CGE是等腰直角三角形∴BF=EF，EG=GC∴四边形EGOF的周长OF+EF+OG+CG=OB+OC=BD=10cm 故答案为10．23．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB=，AG=1，则EB=．【分析】首先连接BD交AC于O，由四边形ABCD、AGFE是正方形，即可得AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG，然后利用SAS即可证得△EAB≌△GAD，则可得EB=GD，然后在Rt△ODG中，利用勾股定理即可求得GD的长，继而可得EB的长．【解答】解：连接BD交AC于O，∵四边形ABCD、AGFE是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG，∴∠EAB=∠GAD，在△AEB和△AGD中，，∴△EAB≌△GAD（SAS），∴EB=GD，∵四边形ABCD是正方形，AB=，∴BD⊥AC，AC=BD=AB=2，∴∠DOG=90°，OA=OD=BD=1，∵AG=1，∴OG=OA+AG=2，∴GD==，∴EB=．故答案为：．24．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，∴第n个正方形的边长a n=（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．25．如图，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AD，CD于E，F，若AE=6，CF=4，则EF=2．【分析】由正方形的性质得出∠ADC=90°，∠OAE=∠ODE=∠ODF=∠OCF=45°，OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，证出∠AOE=∠DOF，由ASA证明△AOE≌△DOF，得出AE=DF=6，同理：DE=CF=4，由勾股定理求出EF即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∠OAE=∠ODE=∠ODF=∠OCF=45°，OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，∴∠AOE=∠DOF，在△AOE和△DOF中，，∴△AOE≌△DOF（ASA），∴AE=DF=6，同理：DE=CF=4，∴EF===2．故答案为：2．三．解答题（共10小题）26．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若正方形边长为4，AE=，求菱形BEDF的面积．【分析】（1）连接BD交AC于点O，则可证得OE=OF，OD=OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD ⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；（2）由正方形的边长可求得BD、AC的长，则可求得EF的长，利用菱形的面积公式可求得其面积．【解答】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形；（2）解：∵正方形边长为4，∴BD=AC=4，∵AE=CF=，∴EF=AC﹣2=2，∴S菱形BEDF=BD•EF=×4×2=8．27．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∵，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．（2）解：GE=BE+GD成立．理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵，∴△ECG≌△FCG（SAS）．∴GE=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．28．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．【分析】（1）由菱形的性质得出∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF，OF=DC，OE=BC，OE∥BC，由SAS证明△BCE≌△DCF即可；（2）由（1）得：AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE=BE=DF=AF，OF=DC，OE=BC，OE∥BC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由（1）得：AE=OE=OF=AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO=90°，∴四边形AEOF是正方形．29．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．【分析】根据正方向的性质，可得∠ADF=CDE=90°，AD=CD，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADF=CDE=90°，AD=CD．∵AE=CF，∴DE=DF，在△ADF和△CDE中，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠DAF=∠DCE，在△AGE和△CGF中，，∴△AGE≌△CGF（AAS），∴AG=CG．30．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）过点A作AH⊥BG，在Rt△ABH、Rt△AHG中，求出AH、HG即可解决问题．【解答】解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．理由：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）过点A作AH⊥BG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠GBF=45°，∵GF⊥BC，∴∠BGF=45°，∵∠AGF=105°，∴∠AGB=∠AGF﹣∠BGF=105°﹣45°=60°，在Rt△ABH中，∵AB=1，∴AH=BH=，在Rt△AGH中，∵AH=，∠GAH=30°，∴HG=AH•tan30°=，∴BG=BH+HG=+．31．如图，△ABC中，MN∥BD交AC于P，∠ACB、∠ACD的平分线分别交MN于E、F．（1）求证：PE=PF；（2）当MN与AC的交点P在什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）【分析】（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，可知∠ACE=∠BCE，∠PEC=∠BCE，PE=PC，同理：PF=PC，故PE=PF．（2）根据矩形的性质可知当P是AC中点时四边形AECF是矩形．（3）当∠ACB=90°时四边形AECF是正方形．【解答】证明：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE．∵MN∥BC，∴∠PEC=∠BCE．∴∠ACE=∠PEC，PE=PC．同理：PF=PC．∴PE=PF．（2）当P是AC中点时四边形AECF是矩形，∵PA=PC，PF=PC，∴四边形AECF是平行四边形．∵PE=PC，∴AC=EF，四边形AECF是矩形．（3）当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．32．如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通过角的计算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS即可证出△ABF≌△CBE；（2）根据△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通过角的计算可得出∠AFB=135°，再根据全等三角形的性质可得出∠CEB=∠AFB=135°，通过角的计算即可得出∠CEF=90°，从而得出△CEF是直角三角形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，有，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形．33．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．（1）求证：四边形EDFG是正方形；（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；（2）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．【解答】（1）证明：连接CD，如图1所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO=OD，∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，∴四边形EDFG是正方形；（2）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴DE′=BC=2，AB=4，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜2（点E与点E′重合时取等号）．∴4≤S四边形EDFG=DE2＜8．∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．34．在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．【分析】（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．【解答】解：（1）AD=CF．理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF，在△AOD和△COF中，，∴△AOD≌△COF（SAS），∴AD=CF；（2）与（1）同理求出CF=AD，如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE，∵正方形ODEF的边长为，∴OE=OD=×=2，∴DG=OG=OE=×2=1，∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt△ADG中，AD===，∴CF=AD=．。

正方形几何综合专题---40道题目(含答案)

01如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D 重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．解：(1)AG2＝GE2＋GF2；理由：如解图，连接CG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，∴AG＝CG，又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∴CF＝GE，在Rt△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GE2＋GF2；(2)如解图，过点A作AM⊥BD于点M，∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°，∴∠BAM＝∠BGF＝45°，∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形，∵AB＝1，∴AM＝BM＝2 2，∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°，∴tan60°＝AM GM，∴GM ＝66，∴BG ＝BM ＋GM ＝22＋66＝32＋66.02如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4A BCD FEG10题图考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG ≌△AFG ；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG =GC ；通过证明∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；由于S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC ，求得面积比较即可．解答：解：①正确．因为AB =AD =AF ，AG =AG ，∠B =∠AFG =90°，∴△ABG ≌△AFG ； ②正确．因为：EF =DE =13CD =2，设BG =FG =x ，则CG =6﹣2+42=（x +2）x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得（6﹣x ）2，解得x =3．所以BG =3=6﹣3=GC ； ③正确．因为CG =BG =GF ，所以△FGC 是等腰三角形，∠GFC =∠GCF ．又∠AGB =∠AGF ，∠AGB +∠AGF =180°﹣∠FGC =∠GFC +∠GCF ，∴∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，∴AG ∥CF ； ④错误．过F 作FH ⊥DC ， ∵BC ⊥DH ， ∴FH ∥GC ，∴△EFH ∽△EGC ， ∴FH GC =EFEG， EF =DE =2，GF =3， ∴EG =5， ∴FH GC =EF EG =25， ∴S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC =12×3×4﹣12×4×（25×3）=185≠3．故选C ．点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．ABCD FE G 10题03如图，在一方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：△BEC≌△DEC：（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．考点：正方形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质。

综合算式正方形题目集

综合算式正方形题目集在许多数学考试中，综合算式正方形题目是常见的题型之一。

这类题目要求考生运用加减乘除等基本运算符号，填写在正方形的空格中，使等式成立。

本文将为读者提供一系列综合算式正方形题目，帮助读者提升解题能力。

1. 10+?=252. ?-8=173. 5×?=354. ?÷2=105. 12-?=56. 9×?=547. ?÷5=98. 16-?=79. 8×?=4810. ?÷3=611. 20+?=5012. ?-7=1013. 6×?=4214. ?÷4=815. 15-?=816. 7×?=3517. ?÷6=418. 14-?=719. 11×?=4420. ?÷2=9以上是一系列综合算式正方形题目，每个题目中都包含一个待填空的正方形，要求填入适当的数字，使等式成立。

下面将逐题进行分析和解答。

1. 10+?=25根据加法的运算规则，我们需要找到一个数字，使10加上这个数字得到25。

根据计算，我们得知这个数字是15。

2. ?-8=17我们需要找到一个数字，减去8之后等于17。

通过计算可以得知这个数字是25。

3. 5×?=35乘法的运算规则告诉我们，我们需要找到一个数字，使5乘以这个数字得到35。

通过计算得知，这个数字是7。

4. ?÷2=10这个题目要求我们找到一个数字，除以2之后等于10。

通过计算得知，这个数字是20。

5. 12-?=5这个题目要求我们找到一个数字，减去12之后等于5。

通过计算得知，这个数字是7。

6. 9×?=54根据乘法的运算规则，我们需要找到一个数字，使9乘以这个数字得到54。

通过计算得知，这个数字是6。

7. ?÷5=9这个题目要求我们找到一个数字，除以5之后等于9。

通过计算得知，这个数字是45。

8. 16-?=7我们需要找到一个数字，减去16之后等于7。

与正方形有关的几个综合题

A B C D E P F 1．已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点M ，N ．（1）当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时（如图1），求证：BM+DN=MN ；（2）当∠MAN 绕点A 旋转到BM≠DN 时（如图2），则线段BM ，DN 和MN 之间数量关系是______；（3）当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，猜想线段BM ，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系呢并对你的猜想加以说明．2．如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ，B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE ，DF.(1)求证：∠ADP＝∠EPB；(2)求∠CBE 的度数；3、如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上，若AEF ∠=90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F 。

（1）图1中若点E 是边BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE EF =，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（3分）（2）如图2，若点E 在线段BC 上滑动（不与点B ，C 重合）。

①AE EF =是否总成立请给出证明；（5分）4. 探究问题：⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，求证DE +BF =EF ．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：AB =AD ，BG =DE ，∠1=∠2，∠ABG =∠D =90°，∴∠ABG +∠ABF =90°+90°=180°，因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．∵∠EAF =45° ∴∠2+∠3=∠BAD －∠EAF =90°－45°=45°．∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．即∠GAF =∠_________．又AG =AE ，AF =AF∴△GAF ≌_______． ∴_________=EF ，故DE +BF =EF ．⑵方法迁移：如图②，将ABC Rt 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF =12∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．⑶问题拓展：图② 图①如图③，在四边形ABCD 中，AB =AD ，E ，F 分别为DC ,BC 上的点，满足∠EAF =12∠DAB ，试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得DE +BF =EF ．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．5. (1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE 、BF 交于点O ，∠AOF ＝90°.求证：BE ＝CF .(2) 如图2，在正方形ABCD 中，点E 、H 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，EF 、GH 交于点O ，∠FOH ＝90°， EF ＝4.求GH 的长.6．已知正方形ABCD 的边长为a ，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，P 是射线AB 上任意一点，过P 点分别做直线AC 、BD 的垂线PE 、PF ，垂足为E 、F .（1）如图1，当P 点在线段AB 上时，求PE +PF 的值；（2）如图2，当P 点在线段AB 的延长线上时，求PE －PF 的值.图③ 图1 图2。

全等正方形判定综合练习题

全等正方形判定综合练习题本文档包含一系列全等正方形判定的练题，共计800字以上。

1. 问题1:已知四边形ABCD的四条边长分别为AB = 5cm, BC = 7cm, CD = 5cm, DA = 7cm。

判断四边形ABCD是否为全等正方形。

2. 问题2:已知两个正方形EFGH和IJKL，其中EFGH的边长为8cm，IJKL的边长为10cm。

请判断EFGH和IJKL是否全等。

3. 问题3:已知两个全等正方形MNOP和QRST，其中MNOP的面积为36cm²。

请问QRST的面积是多少？4. 问题4:已知两个全等正方形UVWX和YZAB，其中UVWX的周长为24cm。

请问YZAB的周长是多少？5. 问题5:已知正方形CDEF的边长为9cm，请问CDEF的周长和面积分别是多少？6. 问题6:已知正方形KLMN的周长为28cm，请问KLMN的边长是多少？7. 问题7:已知正方形PQRS的面积为64cm²，请问PQRS的边长是多少？8. 问题8:已知正方形WXYZ的周长为20cm，请问WXYZ的面积是多少？9. 问题9:已知正方形ABCDE的面积为49cm²，请问ABCDE的边长是多少？10. 问题10:已知正方形HIJK的面积为81cm²，请问HIJK的周长是多少？请根据每个问题给出答案，并在文档中记录下来。

答案:1. 由于AB = CD = 5cm且BC = DA = 7cm，四边形ABCD为全等正方形。

2. 两个正方形的边长不同，因此EFGH和IJKL不全等。

3. 因为两个正方形全等，所以MNOP和QRST的面积也相等，即36cm²。

4. 因为两个正方形全等，所以UVWX和YZAB的周长也相等，即24cm。

5. 正方形CDEF的边长为9cm，周长为36cm，面积为81cm²。

6. 正方形KLMN的周长为28cm，边长为7cm。

7. 正方形PQRS的面积为64cm²，边长为8cm。

初一数学综合算式正方形练习题

初一数学综合算式正方形练习题正方形是我们数学学习中非常重要的一个形状。

它有着特殊的性质和规律。

今天我们将通过一些综合算式练习题来巩固和应用在正方形中学到的知识。

一、简单算式计算题1. 小明想画一个正方形，其中边长是3。

请计算一下这个正方形的周长和面积。

2. 如果一个正方形的周长是16cm，那么它的边长是多少？3. 一个正方形的面积是9平方米，它的周长是多少？4. 一个正方形的周长是20厘米，求它的面积。

二、组合算式计算题1. 在一块正方形的铁丝上，小明用这些铁丝制作了一个小正方形和一个大正方形。

小正方形的边长是2cm，大正方形的边长是6cm。

请计算一下这块铁丝的总长。

2. 一个大正方形的边长是10m，其中一个小正方形的边长是2m。

另外一个小正方形的边长是多少？3. 在一个正方形的墙上，小玲用彩色方块贴出了一个小正方形和一个大正方形。

小正方形的边长是4cm，大正方形的边长是8cm。

请计算墙壁上被贴上彩色方块的面积。

4. 一条绳子长40cm，小明将它分成了两段，一段是3cm，另一段是一个正方形的边长。

请计算这个正方形的周长和面积。

三、应用题1. 小华要将一块正方形的草坪分成两块，一块面积是20平方米，另一块面积是正方形总面积的三倍。

请问这块正方形的面积是多少？2. 一块大正方形的边长是12m，小明在它的四个边上各挖出了一个小正方形，边长分别是2m，3m，4m和5m。

请计算挖掉的部分的总面积。

3. 一块正方形的边长是x，它的周长和面积的差是12。

请根据这个信息列出一个方程，并求出x的值。

4. 一个正方形的边长是x，另一个正方形的边长是x+2。

它们的面积之和是56，求x的值。

这些综合算式正方形练习题将帮助我们巩固和应用在正方形中学到的知识。

通过解决这些问题，我们将深入理解正方形的性质和规律，并能够在实际问题中应用这些知识。

希望大家能够认真思考、仔细计算，解决这些问题。

加油！。

正方形综合压轴题

正方形综合压轴题一份长为 6 的钢条被平分为 3 等份，将这些钢条分别按顺序转动 $30^\circ$， $60^\circ$， $90^\circ$ 后，可以组成一个如图所示的正方形。

求这个正方形的面积。

\begin{center}\begin{tikzpicture}\draw (0,0) -- (6,0) -- (6,6) -- (0,6) -- cycle;\draw (0,2) -- (2,0) -- (4,2) -- (2,4) -- cycle;\draw (2,0) arc (270:240:2);\draw (4,2) arc (120:150:2);\node[below] at (1,0) {$AB=2$};\node[below] at (5,0) {$CD=2$};\node[right] at (6,3) {$BC=2$};\node[left] at (0,3) {$AD=2$};\node[below left] at (2,0) {$C$};\node[below right] at (4,2) {$D$};\node[above right] at (2,4) {$B$};\node[above left] at (0,2) {$A$};\end{tikzpicture}\end{center}\textbf{解答：}如下图，我们需要求的是正方形 $EFGH$ 的面积，其中点$E$ 是 $AB$ 向右平移得到的点，点 $H$ 是 $AD$ 向上平移得到的点，点 $F$ 是 $BC$ 顺时针旋转 $30^\circ$ 后得到的点，点 $G$ 是 $CD$ 顺时针旋转 $60^\circ$ 后得到的点。

\begin{center}\begin{tikzpicture}\draw (0,0) -- (6,0) -- (6,6) -- (0,6) -- cycle;\draw (0,2) -- (2,0) -- (4,2) -- (2,4) -- cycle;\draw (2,0) arc (270:240:2);\draw (4,2) arc (120:150:2);\node[below] at (1,0) {$AB=2$};\node[below] at (5,0) {$CD=2$};\node[right] at (6,3) {$BC=2$};\node[left] at (0,3) {$AD=2$};\node[below left] at (2,0) {$C$};\node[below right] at (4,2) {$D$};\node[above right] at (2,4) {$B$};\node[above left] at (0,2) {$A$};\coordinate (E) at (2,2);\coordinate (H) at (2,4);\coordinate (F) at (3.732,3.268);\coordinate (G) at (2.732,5.732);\draw[dashed] (E) -- (H) -- (G) -- (F) -- cycle;\node[above left] at (E) {$E$};\node[above right] at (F) {$F$};\node[below right] at (G) {$G$};\node[below left] at (H) {$H$};\end{tikzpicture}\end{center}由于 $AB=AD=2$，$BC=CD=2$，而且 $ABCD$ 是一个正方形，因此四条边都相等，且 $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$，即 $ABCD$ 也是一个正方形。

八年级数学正方形专题训练卷(附答案)

八年级数学正方形专题训练卷（附答案）一、单选题1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④2.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG 的长为A. B. C. D.3.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A. 14B. 15C. 16D. 174.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是( )A. 当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B. 当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C. 当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D. 当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形5.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A. 16B. 17C. 18D. 196.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有（）A. 4个B. 6个C. 8个D. 10个7.正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则=（）A. B. C. D.8.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A. 四边形AEDF是平行四边形B. 如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形D. 如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形二、填空题9.在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2…，A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…S n，则S n的值为________ （用含n的代数式表示，n为正整数）．10.如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 ________．11.已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=________ 度.12.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ________．13.如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是________ .14.如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是________ ．（请写出正确结论的序号）．15.如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n的面积为________ .16.我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有________ 个.17.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为 ________．18.如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（6，2），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，则第4个正方形的边长是 ________，S3的值为 ________．19.边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为________ .20.如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ________．三、解答题21.如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．四、综合题23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上;（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．24.如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F 两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．25.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC 于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长．答案一、单选题1. B2. D3. C4. C5. B6. C7. D8. D二、填空题9. 22n﹣310. 11. 22.512. 45° 13. 90° 14. ①②15. 16. 9 17. 30°18. 3；19. 20. 8三、解答题21. 解：线段AF、BF、EF三者之间的数量关系AF=BF+EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°．∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF．在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE （AAS），∴BF=AE．∵AF=AE+EF，AF=BF+EF．22. 解：分两种情况；①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，∴OA=OB=3，∴∠BAO=45°，∵DE⊥OA，∴DE=AE，∵四边形COED是正方形，∴OE=DE，∴OE=AE，∴OE=OA=，∴E（，0）；②如图2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，∴CF=OF，AF=EF，∵四边形CDEF是正方形，∴EF=CF，∴AF=OF=2OF，∴OA=OF+2OF=3，∴OF=1，∴F（1，0）．四、综合题23. （1）证明：过点O作OM⊥AB，∵BD是∠ABC的一条角平分线，∴OE=OM，∵四边形OECF是正方形，∴OE=OF，∴OF=OM，∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∴AB===13，设OE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，∴，解得：，∴OE=2．24. （1）【解答】证明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB与Rt△HFE中，，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；（2）解：由勾股定理得，BP=．∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ=BP=，∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=×=．由1知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=，∴EQ=EF﹣QF=﹣=．25. （1）证明：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴△ABG≌△AFG（HL）；（2）解：∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG，设BG=FG=x，则GC=6﹣x，∵E为CD的中点，∴CE=EF=DE=3，∴EG=3+x，∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2=（3+x）2，解得x=2，∴BG=2．。

专题02 正方形综合高分必刷题(学生版)

专项02正方形综合高分必刷题一．选择题（共32小题）1．（2023•浠水县二模）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点P为动线DA上一个动点，连接CP，点E为CD上一点，且DE＝2，在射线AB上截取点Q使EQ＝CP，交CP于点M，连接BM，则BM的最小值为（）A．8B．12C．D．2．（2022秋•二七区期末）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E，F分别为AD，BC上一点，且AE＝BF＝7，连接EF交对角线BD于点G，点P，Q分别为CE，BG的中点，则PQ的长为（）A．6B．4C．D．3．（2022秋•黄冈期末）如图，四边形ABCD、CEFG均为正方形，其中正方形CEFG面积为36cm2，若图中阴影部分面积为10cm2，则正方形ABCD面积为（）4．（2023•浠水县一模）如图，在正方形ABCD外取一点P，连接AP、BP、DP．若AP＝，PB ＝4．则DP的最大值为（）A．4+2B．4+C．5D．65．（2023•市北区一模）如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形ABCD 的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（）A．B．2C．D．6．（2022秋•江北区校级期末）如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE 于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（）7．（2023•茂南区一模）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（）A．①③B．①②③④C．①②③D．①③④8．（2022秋•东明县校级期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2022秋•雁塔区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（）10．（2022•雁峰区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2022的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（0，）C．（，0）D．（﹣1，1）11．（2022•沙坪坝区校级一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，BF＝CE＝4，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG 的长为（）A．B．C．5D．212．（2022•卫辉市校级模拟）如图，正方形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，AB＝2．将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，同时点P从AB的中点处出发，在正方形的边上顺时针移动，每秒移动1个单位，则第2022秒时，点P的坐标为（）13．（2022•黄冈模拟）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD ＝EC；⑤PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（）A．①③B．①②③C．①③⑤D．①②③⑤14．（2023春•张店区校级期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△COE≌△DOF；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④OF2+OE2＝EF2．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④15．（2022春•齐齐哈尔期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BCE＝∠ACB，CE交BO于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F，交AC于点G．现给出下列结论：①BC＝CG；②△ABG≌△BCE；③BF＝CE；④若BC＝2，则S△BCG＝．其中正确的有（）个．16．（2022•城关区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF ∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③17．（2022春•宜城市期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．4B．2C．D．218．（2022•泰安一模）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③④D．②③④19．（2022秋•萧县期中）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG ＝AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个20．（2022秋•邹平市校级期末）如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（）A．4B．2C．1D．21．（2022春•德城区校级期中）如图，两个边长相等的正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG 绕点O按逆时针方向旋转150°，则两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（）A．不变B．先增大再减小C．先减小再增大D．不断增大22．（2021•海口模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F 成为正方形时，B'D的长为（）A．B．C．2D．323．（2021秋•鹿城区校级期末）在面积为144的正方形ABCD中放两个正方形BMON和正方形DEFG（如图），重合的小正方形OPFQ的面积为4，若点A、O、G在同一直线，则阴影部分面积为（）A．36B．40C．44D．4824．（2021秋•薛城区期末）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l 上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（）25．（2022•大庆三模）如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝2，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的结论有（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④26．（2022秋•金水区期中）如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边CD上，DE＝2，过点E 作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是（）A．2B．2C．D．527．（2022春•定远县期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（）28．（2022春•平山县期末）正方形ABCD，正方形CEFG如图放置，点B、C、E在同一条直线上，点P在BC边上，PA＝PF，且∠APF＝90°，连接AF交CD于点M．有下列结论：①EC＝BP；②AP＝AM；③∠BAP＝∠GFP；④AB2+CE2＝AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CGFE＝2S△APF，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④⑤D．①③④⑤29．（2022春•梁平区期中）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④．其中正确的有（）A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④30．（2021•泰州）如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为（）A．2αB．90°﹣αC．45°+αD．90°﹣α31．（2021•阿荣旗一模）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2＝（）A．16B．17C．18D．1932．（2021春•罗湖区校级期末）如图，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是（）A．B．C．D．二．填空题（共3小题）33．（2023•秀洲区校级一模）如图，在直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A（﹣2，0），B（3，0）．现固定点A，B在x轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y轴正半轴上的点D′，则点C的对应点C′的坐标为．34．（2023•海淀区校级模拟）把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影的面积为．35．（2022•牡丹区一模）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B、C重合），过点C作CN垂直DM交AB于点N，连接OM、ON、MN．下的最小值列五个结论：①△CNB≌△DMC；②ON＝OM；③ON⊥OM；④若AB＝2，则S△OMN是1；⑤AN2+CM2＝MN2．其中正确结论是．（只填序号）三．解答题（共12小题）36．（2023•东莞市一模）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：△EAB≌△GAD；（2）若AB＝3，AG＝3，求EB的长．37．（2023•未央区校级三模）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC 上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．38．（2022春•抚远市期中）在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC所在直线上，连接EF，BE，BF，过点B作BP⊥EF交EF于点P，且∠EBC＝∠BEF．（1）如图①，当点E，F分别在AD，DC边上时，求证：AE+CF＝EF；（2）如图②，当点E，F分别在边AD，DC的延长线上时；如图③，当点E，F分别在边DA，CD的延长线上时，线段AE，CF，EF有怎样的数量关系？请写出你的猜想．不需要证明．39．（2022春•永年区校级期末）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN ∥BC，MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．（1）探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．40．（2023春•龙湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，⊥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．41．（2022春•南阳期末）如图，在矩形ABCD中，点M是边AD的中点，点P是边BC上的动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为点E，F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？证明你的结论；（2）如果四边形PEMF为矩形，那么当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？能证明你的猜想吗？42．（2022春•常熟市期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE ＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．（1）当α＝20°时，求∠DAE的度数；（2）判断△AEG的形状，并说明理由；（3）当GF＝1时，求CE的长．43．（2022春•永州期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C 重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H 两点．（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DFA的大小；（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．44．（2023春•津南区期中）已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF 交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．（1）求证：BF＝DP；（2）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（3）求证：CP＝BM+2FN．45．（2022春•方城县期末）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°（1）求证：∠BAG＝∠CBF；（2）求证：AG＝FG；（3）若GF＝2BG，CF＝，求AB的长．46．（2021春•武安市期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．47．（2022春•来宾期末）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F 分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．。

正方形的综合题

正方形的综合题11. 已知点E 是正方形ABCD 外的一点，EA=ED ，线段BE 与对角线AC 相交于点F ，（1）如图1，当BF=EF 时，线段AF 与DE 之间有怎样的数量关系？并证明；（2）如图2，当△EAD 为等边三角形时，写出线段AF 、BF 、EF 之间的一个数量关系，并证明．2．已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，联结CF ，P 是CF 的中点，联结EP 、DP ．（1）如图1，当点E 在边AB 上时，试研究线段EP 与DP 之间的数量关系和位置关系；（2）把（1）中的正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转90°，试在图2中画出符合题意的图形，并研究这时（1）中的结论是否仍然成立；（3）把（1）中的正方形AEFG 绕点A 任意旋转某个角度（如图3），试按题意把图形补画完整，并研究（1）中的结论是否仍然成立．图1图2 D CBA（图2）（图1）CBCB（图3）3．已知： O 为正方形ABCD 对角线的交点，点E 在边CB 的延长线上，联结EO ，OF ⊥OE 交BA 延长线于点F ，联结EF （如图1）。

（1）求证：EO =FO ；（2）若正方形的边长为2， OE =2OA ，求BE 的长；（3）当OE =2OA 时，将△FOE 绕点OAOE 1是什么三角形。

4．边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点， P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA=x ，S ⊿PCE =y ， ⑴ 求证：DF ＝EF ；⑵ 当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；⑶ 在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA 的长；如果不能，请简单说明理由。

5．如图，在正方形ABCD 中，点P 是射线BC 上的任意一点（点B 与点C 除外），联结DP ，分别过点C 、第26题图 D C B AEFP。