高2021届高2018级步步高苏教版一轮复习第五章第2节平面向量基本定理及坐标表示

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【步步高】2018版高考数学(文)(人教)大一轮复习文档讲义：第五章5.1平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念2.向量的线性运算3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .【知识拓展】1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ——→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ )1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③ D ．①②答案 A解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．2．(教材改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( ) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →答案 A 解析如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.3．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当a ＋b ＝0时，a ＝－b ，∴a ∥b ；当a ∥b 时，不一定有a ＝－b ，∴“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．4．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝1答案 D解析由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得AB →＝tAC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1，故选D.5．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →.又O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →，∴AB →＋AD →＝2AO →.又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2.题型一平面向量的概念例1 给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④ D ．②④答案 A解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a ＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.题型二平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c (2)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 (1)A (2)A解析 (1)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋A B →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .(2)∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 答案 (1)12(2)D解析 (1)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29 B.27 C.25 D.23答案 A解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →， ∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →) ＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →，由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29，故选A.题型三共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线(2)如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 (1)B (2)2 解析 (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →、AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B. (2)取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →， ∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点， ∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 面积之比为2.4．容易忽视的零向量典例下列叙述错误的是________． ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同． ③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同．④向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . ⑤AB →＋BA →＝0. ⑥若λa ＝λb ，则a ＝b . 错解展示解析 ⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴AB →＋BA →＝0. 答案 ⑤ 现场纠错解析对于①，当b ＝0时，a 不一定与c 平行．对于②，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都不相同．对于③，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．对于④，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0或a ≠0但b ＝0时，λ不存在．对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB →＋BA →＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b . 故①②③④⑤⑥均错．答案 ①②③④⑤⑥纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量．1．已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb 答案 D解析因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线同向，故D 正确． 2．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．0答案 D解析依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0，选D. 3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D 答案 B解析因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．4．已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上 D ．点P 在△ABC 外部答案 C解析由P A →＋PB →＋PC →＝AB →得P A →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－P A →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上．5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.6．设P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，若cos ∠BAC＝25，则k 等于( ) A.514 B.214 C.57 D.37 答案 A解析取BC 的中点D ，连接PD ，AD ，则PD ⊥BC ，AB →＋AC →＝2AD →， ∵AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，∴AP →＝2kAD →，∴A ，P ，D 三点共线， ∴AB ＝AC ，∴cos ∠BAC ＝cos ∠DPC ＝DP PC ＝DP P A ＝25，∴AP ＝57AD ，∴2k ＝57，解得k ＝514，故选A.7．(2015·课标全国Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.8.(2016·滨州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.答案135解析如图，取单位向量i ，j ，则a ＝i ＋2j ，b ＝2i －j ，c ＝3i ＋4j . ∴c ＝x a ＋y b ＝x (i ＋2j )＋y (2i －j ) ＝(x ＋2y )i ＋(2x －y )j ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x －y ＝4， ∴⎩⎨⎧x ＝115，y ＝25，∴x ＋y ＝135.9．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是________．答案－1解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →， ∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.*10.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝______.答案 3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连接AM 并延长交BC 于点D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →.又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.11.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b .12．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． (1)证明由已知得，AB →＝OB →－OA →＝3a ＋b －2a ＋b ＝a ＋2b ， BC →＝OC →－OB →＝a －3b －3a －b ＝－2a －4b ，故BC →＝－2AB →，又BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． (2)解 AC →＝AB →＋BC →＝3a －2b ，CD →＝2a －k b . 因为A 、C 、D 三点共线，所以AC →＝λCD →，即3a －2b ＝2λa －kλb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，2＝kλ，所以⎩⎨⎧λ＝32，k ＝43.综上，k 的值为43.*13.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．解由N 是OD 的中点得AN →＝12AD →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ(34AD →＋14AB →)，所以⎩⎨⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎨⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.。

(江苏专版)高考数学一轮复习第五章平面向量第二节平面向量基本定理及坐标表示实用课件文

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[解析] 如图，连结 BP，则―A→P ＝―A→C ＋―C→P ＝b ＋―P→R ，①
―A→P ＝―A→B ＋―B→P ＝a ＋―R→P －―R→B ，②
①＋②，得 2―A→P ＝a ＋b －―R→B ，③
又―R→B ＝12―Q→B ＝12(―A→B －―A→Q )＝12a－12―A→P ，④ 将④代入③，得 2―A→P ＝a ＋b －12a－12―A→P ，
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[方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
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向量平行的坐标表示 [例 2] 已知 a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当 k 为何值时，ka －b 与 a ＋2b 共线； (2)若―A→B ＝2a ＋3b ，―B→C ＝a ＋mb ，且 A，B，C 三点共线，求 m 的值．
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02 突破点(二) 平面向量的坐标(zuòbiāo) 表示第十六页，共33页。
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模设 a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则： a ＋b ＝ (x1＋x2，y1＋y2)，a －b ＝(x1－x2，y1－y2)，λa ＝ (_λ_x_1_，__λ_y1_)，|a |＝___x_21＋__y_21_.
答案：(2,0)
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3.[考点二]已知向量―O→A ＝(k,12)，―O→B ＝(4,5)，―O→C ＝(－k,10)，且 A，B，C 三点共线，则 k 的值是________．解析：―A→B ＝―O→B －―O→A ＝(4－k，－7)，―A→C ＝―O→C －―O→A ＝ (－2k，－2)．∵A，B，C 三点共线，∴―A→B ，―A→C 共线， ∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得 k＝－23. 答案：－23

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平面向量的综合应用教师用书理

第五章平面向量 5.4 平面向量的综合应用教师用书理苏教版1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题. 2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F²s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角).3.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题. 【知识拓展】1.若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2.若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线.( √ )(2)求力F 1和F 2的合力可按照向量加法的平行四边形法则.( √ )(3)若a ²b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ²b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角.( ³ ) (4)在△ABC 中，若AB →²BC →<0，则△ABC 为钝角三角形.( ³ )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8，0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )1.已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________. 答案 4解析设a 与b 夹角为α， ∵|2a －b |2＝4a 2－4a²b ＋b 2＝8－4|a||b |cos α＝8－8cos α， ∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1，1]，∴8－8cos α∈[0，16]，即|2a －b |2∈[0，16]， ∴|2a －b |∈[0，4]. ∴|2a －b |的最大值为4.2.(教材改编)已知力F ＝(2，3)作用在一物体上，使物体从A (2，0)移动到B (－2，3)，则F 对物体所做的功为________焦耳. 答案 1解析由已知位移AB →＝(－4，3)，∴力F 做的功为W ＝F ²AB →＝2³(－4)＋3³3＝1.3.(2016²泰州模拟)平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足OP →²OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________(填“内心”、“外心”、“重心”或“垂心”). 答案 x ＋2y －4＝0解析由OP →²OA →＝4，得(x ，y )²(1，2)＝4，即x ＋2y ＝4.4.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →²(PB →＋PC →)＝________. 答案－49解析因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，所以PA →²(PB →＋PC →)＝－23AM →²23AM →＝－49.5.如图，△ABC 是边长为23的等边三角形，P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则(AP →²BP →)min ＝________.答案 1解析取AB 的中点D ，连结CD 、CP (图略). 所以AP →²BP →＝(AC →＋CP →)²(BC →＋CP →) ＝AC →²BC →＋CP →²(AC →＋BC →)＋CP →2＝(23)2³12－CP →²2CD →＋1＝7－6cos 〈CP →，CD →〉，当cos 〈CP →，CD →〉＝1时，AP →²BP →取得最小值1.题型一向量在平面几何中的应用例1 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点.若AC →²BE →＝1，则AB ＝________.(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________.(填“内心”“外心”“重心”或“垂心”) 答案 (1)12(2)重心解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →²BE →＝(AD →＋AB →)²(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →²AB →＋AD →²AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12³12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.(2)由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心. 引申探究在本例(2)中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________.(填“内心”“外心”“重心”“垂心”) 答案内心解析由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心.思维升华向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.(1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)²BC →＝0，且AB →|AB →|²AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状为__________三角形.(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________. 答案 (1)等边 (2)5解析 (1)AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的平分线.因为(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)²BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又AB→|AB →|²AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|²⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|²cos∠BAC ＝12，所以cos∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC＝π3，所以△ABC 为等边三角形.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .则D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )，PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )，则PA →＋3PB →＝(5，3a －4y )，即|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2，由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a . 因此当y ＝34a 时，|PA →＋3PB →|2的最小值为25.故|PA →＋3PB →|的最小值为5. 题型二向量在解析几何中的应用例2 (1)已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________.(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →²CM →＝0，则y x＝____.答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)± 3 解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →，∴(4－k )(k －5)＋6³7＝0，解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)∵OM →²CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |1＋k2＝3，得k ＝±3，即y x＝± 3.思维升华向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a²b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.(2016²盐城模拟)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)²PC →的最小值为________.答案－92解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴PA →＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)²PC →＝2PO →²PC →， ∵PO →与PC →共线且方向相反，∴当大小相等时，乘积最小.由条件知，当PO ＝PC ＝32时，最小值为－2³32³32＝－92.题型三向量的其他应用命题点1 向量在不等式中的应用例3 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x ，1)，OB →＝(2，y )，且OA →²OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是________.答案 18解析因为OA →＝(x ，1)，OB →＝(2，y )，所以OA →²OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z max ＝2³1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8³3a ，解得a ＝18.命题点2 向量在解三角形中的应用例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于________. 答案 35解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0， ∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴△ABC 最小角为角A ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝169a 2＋259a 2－a 22³43a ³53a ＝45，∴sin A ＝35.命题点3 向量在物理中的应用例5 如图，一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________.答案 27解析如题图所示，由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，即F 23＝F 21＋F 22＋2F 1²F 2＝F 21＋F 22＋2|F 1|²|F 2|²cos 60°＝28.故|F 3|＝27.思维升华利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.(2016²扬州模拟)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3.点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →²AC →的最大值是________.答案214解析方法一以直线n 为x 轴，过A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则A (0，3)，B (x 1，2)，C (x 2，0)，从而AB →＝(x 1，－1)，AC →＝(x 2，－3)，则AB →²AC →＝x 1x 2＋3，又因为|AB →＋AC →|＝5，即 x 1＋x 2 2＋16＝5，故(x 1＋x 2)2＝9≥4x 1x 2，从而x 1x 2≤94，此时AB →²AC →＝x 1x 2＋3≤214，当且仅当x 1＝x 2时等号成立.方法二设P 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AP →，从而由|AB →＋AC →|＝5得|AP →|＝52，又AB →²AC →＝(AP →＋PB →)²(AP →＋PC →) ＝AP →2－PB →2＝254－PB →2，因为|BC →|≥2，所以PB →2≥1，故AB →²AC →≤254－1＝214，当且仅当|BC →|＝2时等号成立.三审图形抓特点典例 (2016²苏州一模)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值分别为______________.E 为函数图象的对称中心，C 为图象最低点――――――――→作出点C 的对称点MD 、B 两点对称 CD 和MB 对称――――――→CD →在x 轴上的投影是π12BM 在x 轴上的投影OF ＝π12 ――――→A －π6，0AF ＝π4―→T ＝π―→ω＝2 ――――――――→y ＝sin 2x ＋φ 和y ＝sin 2x 图象比较φ2＝π6―→φ＝π3解析由E 为该函数图象的一个对称中心，作点C 的对称点M ，作MF ⊥x 轴，垂足为F ，如图.B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，知OF ＝π12.又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象可以看作是由y ＝sin ωx 的图象向左平移得到，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.π答案2，31.(教材改编)已知平面向量a ，b ，满足|a |＝3，|b |＝2，a²b ＝－3，则|a ＋2b |＝________. 答案7解析由题意可得|a ＋2b |＝ |a ＋2b | 2＝a 2＋4a²b ＋4b 2＝7.2.(教材改编)已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为________. 答案π4解析 ∵a ⊥(a －b )，∴a ²(a －b )＝a 2－a²b ＝0， ∴a²b ＝a 2，∵|a |＝1，|b |＝2，∴cos〈a ，b 〉＝a²b |a||b |＝a 2|a ||b |＝22，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴向量a 与向量b 的夹角为π4. 3.(2016²南京模拟)已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)且a ∥b ，则sin 2α＝________. 答案－45解析由a ∥b 得cos α＋2sin α＝0， ∴cos α＝－2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，sin 2α＝15，cos 2α＝45，sin 2α＝2sin αcos α＝－cos 2α＝－45.4.设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m²n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝________.答案2π3解析依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1，2sin(C ＋π6)＝1，sin(C ＋π6)＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3.5.已知点A (－2，0)，B (3，0)，动点P (x ，y )满足PA →²PB →＝x 2，则点P 的轨迹是________. 答案抛物线解析 ∵PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴PA →²PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝x ＋6，即点P 的轨迹是抛物线.6.已知A (－1，cos θ)，B (sin θ，1)，若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(O 为坐标原点)，则锐角θ＝________. 答案π4解析方法一由向量的几何意义可知，OA →＋OB →是以OA 、OB 为邻边作平行四边形OADB 的对角线向量OD →，OA →－OB →则是对角线向量BA →，于是对角线相等的平行四边形为矩形，故OA ⊥OB .因此OA →²OB →＝0，所以cos θ－sin θ＝0，即sin θ＝cos θ，又因为θ为锐角，所以θ＝π4.方法二 ∵OA →＋OB →＝(sin θ－1，cos θ＋1)， OA →－OB →＝(－sin θ－1，cos θ－1)，由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|可得(sin θ－1)2＋(cos θ＋1)2＝(－sin θ－1)2＋(cos θ－1)2，整理得sin θ＝cos θ，于是锐角θ＝π4.7.在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →²AB →＝________. 答案－8解析设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得：a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2， ∴CA →²AB →＝4³a ³cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.8.(2016²南京模拟)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______. 答案3解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a²b ＝4|a ||b |cos π3＝4>0，∴|a ＋b |>|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a²b ＝3， ∴|a －b |＝ 3.9.已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ²b x 在R 上有极值，则向量a与b 的夹角的范围是__________. 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤π3，π解析设a 与b 的夹角为θ. ∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ²b x ，∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ²b . ∵函数f (x )在R 上有极值，∴方程x 2＋|a |x ＋a ²b ＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a |2－4a ²b ＞0，∴a ²b ＜a 24，又∵|a |＝2|b |≠0，∴cos θ＝a ²b |a ||b |＜a 24a 22＝12，即cos θ＜12，又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π.10.(2016²常州期末)如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为________.答案7＋434解析方法一建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，D (0，4)，C (1，4).又k BC ＝－43，故BC ：y ＝－43(x －4).又AP →＝mAB →＋nAD →，AB →＝(4，0)，AD →＝(0，4)，所以AP →＝(4m ，4n )，故P (4m ，4n )，又点P 在直线BC 上，即3n ＋4m ＝4，即4(1m ＋1n )＝(3n ＋4m )²(1m ＋1n )＝7＋3n m＋4mn≥7＋212＝7＋43，所以(1m ＋1n )min ＝7＋434，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3n 2＝4m 2，3n ＋4m ＝4，即m ＝4－23，n ＝83－123时取等号(因为m ，n 均为正实数).方法二因为AP →＝mAB →＋nAD →，所以AP →＝mAB →＋n (AC →＋CD →)＝mAB →＋nAC →－n 4AB →＝(m －n 4)AB →＋nAC →.又C ，P ，B 三点共线，故m －n 4＋n ＝1，即m ＋3n4＝1，以下同方法一.11.已知向量a ＝(sin(α＋π6)，3)，b ＝(1，4cos α)，α∈(0，π2). (1)若a ⊥b ，求tan α的值； (2)若a ∥b ，求α的值. 解 (1)因为a ⊥b ，所以sin(α＋π6)＋12cos α＝0，即32sin α＋12cos α＋12cos α＝0，即32sin α＋252cos α＝0，又由题意得cos α≠0，所以tan α＝－2533.(2)若a ∥b ，则4cos αsin(α＋π6)＝3，即4cos α(32sin α＋12cos α)＝3，所以3sin 2α＋cos 2α＝2. 所以sin(2α＋π6)＝1.因为α∈(0，π2)，所以2α＋π6∈(π6，7π6)，所以2α＋π6＝π2，即α＝π6.12.已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →²AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程. 解设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a ，0)，Q (0，b )(b ＞0)，则PA →＝(a ，3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )，由PA →²AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，32 y －b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x2，b ＝y3.∴b ＞0，y ＞0，把a ＝－x2代入①，得－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0).∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0).13.已知角A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其所对边长，向量m ＝(23sin A2，cos 2A2)，n ＝(cos A2，－2)，m⊥n .(1)求角A 的大小； (2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的长. 解 (1)已知m ⊥n ，所以m²n ＝(23sin A2，cos 2A 2)²(cos A2，－2)＝3sin A －(cos A ＋1)＝0，即3sin A －cos A ＝1，即sin(A －π6)＝12，因为0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6.所以A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝2，cos B ＝33，sin B ＝1－cos 2B ＝1－13＝63. 由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，所以b ＝a ²sin Bsin A＝2³6332＝423.*14.已知平面上一定点C (2，0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)²(PC →－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →²PF →的最值. 解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y ). 由(PC →＋12PQ →)²(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(2－x )2＋(－y )2－14(8－x )2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.∴动点P 在椭圆上，其轨迹方程为x 216＋y 212＝1.(2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →，且NE →＋NF →＝0，∴PE →²PF →＝PN →2－NE →2＝(－x )2＋(1－y )2－1 ＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16＝－13(y ＋3)2＋19.∵－23≤y ≤23，∴当y ＝－3时，PE →²PF →的最大值为19，当y ＝23时，PE →²PF →的最小值为12－4 3. 综上，PE →²PF →的最大值为19，最小值为12－4 3.。

【步步高高中理科数学教学资料】第2讲平面向量基本定理及坐标表示

第2讲平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1.(必修4P118A 组2(6))下列各组向量中，可以作为基底的是( )A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2)B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7)C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34 解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.答案 B2.(2016·沈阳质监)已知在▱ABCD 中，AD→＝(2，8)，AB →＝(－3，4)，则AC →＝( ) A.(－1，－12)B.(－1，12)C.(1，－12)D.(1，12)解析因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC→＝AB →＋AD →＝(－1，12)，故选B. 答案 B3.已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，故选A.答案 A4.如右图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为( )A.e 1＋e 2B.－2e 1＋e 2C.2e 1－e 2D.2e 1＋e 2解析以e 1的起点为坐标原点，e 1所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，由题意可得e 1＝(1，0)，e 2＝(－1，1)，a ＝(－3，1)，因为a ＝x e 1＋y e 2＝x (1，0)＋y (－1，1)，＝(x －y ，y )，则⎩⎨⎧x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1＋e 2. 答案 B5.已知向量OA→＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A.－23B.43C.12D.13解析 AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23. 答案 A6.(2017·衡水冀州中学月考)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD→＝2DB →，CD →＝rAB→＋sAC →，则r ＋s 等于( ) A.23 B.43 C.－3 D.0解析因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，故选D. 答案 D7.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4，3)，PQ→＝(1，5)，则BC →等于( ) A.(－2，7)B.(－6，21)C.(2，－7)D.(6，－21)解析 AQ →＝PQ →－P A →＝(－3，2)，∵Q 是AC 的中点，∴AC →＝2AQ →＝(－6，4)，PC →＝P A →＋AC→＝(－2，7)， ∵BP→＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6，21). 答案 B8.(2017·河南八市质检)已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC→＝2AE →，则向量EM →＝( )A.12AC →＋13AB →B.12AC →＋16AB →C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB →解析如图，∵EC→＝2AE →， ∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋ 12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.答案 C二、填空题9.(2017·广州综测)已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(2，y )，若a ＋b ＝(1，－1)，则x ＋y ＝________.解析因为(x ，1)＋(2，y )＝(1，－1)，所以⎩⎨⎧x ＋2＝1，y ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，所以x ＋y ＝－3.答案－310.若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________.解析 AB→＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.答案 1211.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________.解析因为a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1，2)＋2(x ，1)＝(2x ＋1，4)，v ＝2(1，2)－(x ，1)＝(2－x ，3).又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.答案 1212.在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2)表示.解析如图，MN→＝CN →－CM → ＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC → ＝－14AC →＋23(AC →－AB →) ＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.答案－23e 1＋512e 213.(2017·长沙调研)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2 P A →，则( )A.x ＝23，y ＝13B.x ＝13，y ＝23C.x ＝14，y ＝34D.x ＝34，y ＝14 解析由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13. 答案 A14.已知|OA→|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n的值为( ) A.2 B.52 C.3 D.4解析 ∵OA→·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA→＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n ). ∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n ＝3，故选C.答案 C15.已知点A (－1，2)，B (2，8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________. 解析设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2).由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)， DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6). 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎨⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎨⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0，4)，(－2，0)，从而CD→＝(－2，－4). 答案 (－2，－4)16.(2016·四川卷改编)已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M满足|AP→|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________. 解析建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494. 答案 494。

苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第五章平面向量第二节平面向量的基本定理及坐标表示教案理解析版

１．平面向量基本定理如果e１，e２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ１，λ２，使a＝λ１e１＋λ２e２.其中，不共线的向量e１，e２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．２．平面向量的坐标运算（１）向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a＋b＝（x１＋x２，y１＋y２），a—b＝（x１—x２，y１—y２），λa＝（λx１，λy１），|a|＝错误!.（２）向量坐标的求法：１若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．２设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＝（x２—x１，y２—y１），|错误!|＝错误!.３．平面向量共线的坐标表示设a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），其中b≠0，则a∥b⇔x１y２—x２y１＝0.[小题体验]１．已知M（３，—２），N（—５,２），且错误!＝错误!错误!，则点P的坐标为________．解析：设P（x，y），则错误!＝（x—３，y＋２），又错误!错误!＝错误!（—8,４）＝（—４,２），∴错误!解得错误!故点P的坐标为（—１,0）．答案：（—１,0）２．已知向量a＝（m,４），b＝（３，—２），且a∥b，则m＝________.解析：因为a∥b，所以—２m—４×３＝0，解得m＝—6．答案：—6３．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若错误!＝５e１，错误!＝３e２，则错误!＝________.（用e，e２表示）１解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（５e１＋３e２）＝错误!e１＋错误!e２.答案：错误!e１＋错误!e２１．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．２．若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a∥b的充要条件不能表示成错误!＝错误!，因为x２，y２有可能等于0，所以应表示为x１y２—x２y１＝0．[小题纠偏]１．已知平行四边形ABCD的顶点A（—１，—２），B（３，—１），C（５,6），则顶点D的坐标为________．解析：设D（x，y），则由错误!＝错误!，得（４,１）＝（５—x,6—y），即错误!解得错误!故顶点D 的坐标为（１,５）．答案：（１,５）２．已知向量m＝（λ—１,１），n＝（λ—２,２），若m∥n，则λ＝________，此时|n|＝________.解析：由m∥n可得２（λ—１）＝λ—２，解得λ＝0，此时|n|＝错误!＝２错误!.答案：0 ２错误!错误!错误![题组练透]１．如图，向量e１，e２，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e１，e２表示为________．解析：以e１的起点为坐标原点，e１所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由题图可得e１＝（１,0），e２＝（—１,１），a＝（—３，１），因为a＝x e１＋y e２＝x（１,0）＋y（—１,１）＝（x—y，y），则错误!解得错误!故a＝—２e１＋e２.答案：a＝—２e１＋e２２．如图，在△ABC中，错误!＝错误!错误!，P是BN上的一点，若错误!＝m错误!＋错误!错误!，则实数m的值为________．解析：设错误!＝k错误!，k∈R.因为错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋k错误!＝错误!＋k（错误!—错误!）＝错误!＋k错误!＝（１—k）错误!＋错误!错误!，又错误!＝m错误!＋错误!错误!，所以错误!解得k＝错误!，m＝错误!.答案：错误!３．（易错题）如图，以向量错误!＝a，错误!＝b为邻边作▱OADB，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，用a，b表示错误!，错误!，错误!.解：因为错误!＝错误!—错误!＝a—b，错误!＝错误!错误!＝错误!a—错误!b，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!a＋错误!b.因为错误!＝a＋b，所以错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＝错误!a＋错误!b，所以错误!＝错误!—错误!＝错误!a＋错误!b—错误!a—错误!b＝错误!a—错误!b.综上，错误!＝错误!a＋错误!b，错误!＝错误!a＋错误!b，错误!＝错误!a—错误!b.[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路（１）先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．（２）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．错误!错误![题组练透]１．已知向量a，b满足a＋b＝（—１,５），a—b＝（５，—３），则b＝________.解析：由a＋b＝（—１,５），a—b＝（５，—３），得２b＝（—１,５）—（５，—３）＝（—6,8），所以b＝错误!（—6,8）＝（—３,４）．答案：（—３,４）２．已知点M（５，—6）和向量a＝（１，—２），若错误!＝—３a，则点N的坐标为________．解析：错误!＝—３a＝—３（１，—２）＝（—３,6），设N（x，y），则错误!＝（x—５，y＋6）＝（—３,6），所以错误!即错误!故N（２,0）．答案：（２,0）３．已知A（—２,４），B（３，—１），C（—３，—４）．设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，且错误!＝３c，错误!＝—２b，（１）求３a＋b—３c；（２）求满足a＝m b＋n c的实数m，n；（３）求M，N的坐标及向量错误!的坐标．解：由已知得a＝（５，—５），b＝（—6，—３），c＝（１,8）．（１）３a＋b—３c＝３（５，—５）＋（—6，—３）—３（１,8）＝（１５—6—３，—１５—３—２４）＝（6，—４２）．（２）因为m b＋n c＝（—6m＋n，—３m＋8n），所以错误!解得错误!（３）设O为坐标原点，因为错误!＝错误!—错误!＝３c，所以错误!＝３c＋错误!＝（３,２４）＋（—３，—４）＝（0,２0）．所以M（0,２0）．又因为错误!＝错误!—错误!＝—２b，所以错误!＝—２b＋错误!＝（１２,6）＋（—３，—４）＝（9,２），所以N（9,２），所以错误!＝（9，—１8）．[谨记通法]平面向量坐标运算的技巧（１）向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．（２）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．错误!错误![典例引领]已知O为坐标原点，向量错误!＝（３，—４），错误!＝（５，—３），错误!＝（４—m，m＋２）．（１）若D错误!，求证：对任意实数m，都有错误!∥错误!；（２）若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足什么条件？解：（１）证明：由题意，错误!＝错误!—错误!＝（２,１），错误!＝错误!—错误!＝错误!.因为２错误!—１·（m—４）＝0，所以错误!∥错误!.（２）错误!＝错误!—错误!＝（２,１），错误!＝错误!—错误!＝（１—m，m＋6）．若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线．当A，B，C三点共线时，存在λ使错误!＝λ错误!，即（２,１）＝λ（１—m，m＋6），得错误!解得m＝—错误!.所以当m≠—错误!时，点A，B，C能构成三角形．[由题悟法]１．平面向量共线的充要条件的２种形式（１）若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a∥b的充要条件是x１y２—x２y１＝0．（２）若a∥b（b≠0），则a＝λb.２．共线问题解含参，列出方程求得解向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．[即时应用]１．（２0１8·海安期末）若A（２,３），B（３,２），C错误!三点共线，则实数m的值为________．解析：∵A（２,３），B（３,２），C错误!，∴错误!＝（１，—１），错误!＝错误!，又∵A，B，C三点共线，∴错误!＝错误!，解得m＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏州中学检测）已知向量m＝（λ＋１,１），n＝（λ＋２,２），若（m＋n）∥（m—n），则λ＝________.解析：因为m＋n＝（２λ＋３,３），m—n＝（—１，—１），又（m＋n）∥（m—n），所以（２λ＋３）×（—１）＝３×（—１），解得λ＝0．答案：0３．（２0１9·连云港调研）已知向量a＝（１,２），b＝（—２，x），若a∥b，则实数x＝________.解析：由向量a＝（１,２），b＝（—２，x），且a∥b，可得x＝—２×２＝—４．答案：—４一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·南通检测）已知点A（—１,２），B（２,8）．若错误!＝—错误!错误!，错误!＝错误!错误!，则错误!的坐标为________．解析：∵A（—１,２），B（２,8），∴错误!＝（—３，—6），则错误!＝—错误!错误!＝（１,２），错误!＝错误!错误!＝（２,４），∴错误!＝错误!—错误!＝（２,４）—（１,２）＝（１,２）．答案：（１,２）２．（２0１8·南京学情调研）设向量a＝（１，—４），b＝（—１，x），c＝a＋３b.若a∥c，则实数x的值是________．解析：因为a＝（１，—４），b＝（—１，x），所以c＝a＋３b＝（—２，—４＋３x）．又a∥c，所以—４＋３x—8＝0，解得x＝４．答案：４３．（２0１8·苏州中学测试）已知A（２,１），B（３,５），C（３,２），错误!＝错误!＋t错误!（t∈R），若点P在第二象限，则实数t的取值范围是________．解析：设点P（x，y），则由错误!＝错误!＋t错误!（t∈R），得（x—２，y—１）＝（１,４）＋t（１,１）＝（１＋t,４＋t），所以错误!解得错误!由点P在第二象限，得错误!所以—５＜t＜—３．答案：（—５，—３）４．（２0１8·苏州期末）已知向量错误!＝（m,５），错误!＝（４，n），错误!＝（7,6），则m＋n的值为________．解析：∵向量错误!＝（m,５），错误!＝（４，n），∴错误!＝错误!—错误!＝（４—m，n—５），又错误!＝（7,6），∴错误!解得m＝—３，n＝１１，∴m＋n＝8．答案：8５．（２0１9·启东月考）已知向量a＝错误!，b＝（x,１），其中x＞0，若（a—２b）∥（２a＋b），则x的值为________．解析：a—２b＝错误!，２a＋b＝（１6＋x，x＋１），由（a—２b）∥（２a＋b），得（8—２x）（x＋１）＝错误!（１6＋x），解得x＝４（负值舍去）．答案：４6．（２0１8·泰州期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且AB＝２，若点P（２，错误!），则|错误!＋错误!＋错误!|的取值范围是________．解析：因为AB＝２，所以AB的中点M在以原点为圆心，１为半径的圆上运动（如图所示），则|错误!＋错误!＋错误!|＝|２错误!＋错误!|，当M点为射线OP与圆的交点时，|２错误!＋错误!|的最小值为7，当M点为射线OP的反向延长线与圆的交点时，|２错误!＋错误!|的最大值为１１，所以|错误!＋错误!＋错误!|的取值范围是[7,１１]．答案：[7,１１]二保高考，全练题型做到高考达标１．已知向量a＝（５,２），b＝（—４，—３），c＝（x，y），若３a—２b＋c＝0，则c＝________.解析：由题意可得３a—２b＋c＝（２３＋x,１２＋y）＝（0,0），所以错误!解得错误!所以c＝（—２３，—１２）．答案：（—２３，—１２）２．已知A（—３,0），B（0，错误!），O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝３0°，错误!＝λ错误!＋错误!，则实数λ的值为________．解析：由题意知错误!＝（—３,0），错误!＝（0，错误!），则错误!＝（—３λ，错误!），由∠AOC＝３0°，知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为１５0°，所以tan １５0°＝错误!，即—错误!＝—错误!，所以λ＝１．答案：１３．已知点A（２,３），B（４,５），C（7,１0），若错误!＝错误!＋λ错误!（λ∈R），且点P在直线x—２y＝0上，则λ＝________.解析：设P（x，y），则由错误!＝错误!＋λ错误!，得（x—２，y—３）＝（２,２）＋λ（５,7）＝（２＋５λ，２＋7λ），所以x＝５λ＋４，y＝7λ＋５．又点P在直线x—２y＝0上，故５λ＋４—２（7λ＋５）＝0，解得λ＝—错误!.答案：—错误!４．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝________（用a，b表示）．解析：如图，因为错误!＝a，错误!＝b，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a＋错误!b.因为E是OD的中点，所以错误!＝错误!，所以|DF|＝错误!|AB|.所以错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!—错误!）＝错误!×错误!＝错误!错误!—错误!错误!＝错误!a—错误!b，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!a＋错误!b＋错误!a—错误!b＝错误!a＋错误!b.答案：错误!a＋错误!b５．已知a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝（１,２），|c|＝２错误!，且a∥c，则向量c＝________.解析：设向量c＝（x，y），因为a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝（１,２），|c|＝２错误!，且a∥c，可得２x＝y，并且x２＋y２＝２0，解得x＝２，y＝４或x＝—２，y＝—４．所以c＝（２,４）或c＝（—２，—４）．答案：（２,４）或（—２，—４）6．（２0１8·白蒲中学高三期末）若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ（x，y∈R），则称（x，y）为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝（１，—１），q＝（２,１）下的坐标为（—２，２），则a在另一组基底m＝（—１,１），n＝（１,２）下的坐标为________．解析：因为a在基底p，q下的坐标为（—２,２），即a＝—２p＋２q＝（２,４），令a＝x m＋y n＝（—x＋y，x＋２y），所以错误!即错误!所以a在基底m，n下的坐标为（0,２）．答案：（0,２）7．（２0１8·溧水高级中学测试）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n的取值范围是________．解析：由题意得，错误!＝k错误!（k＜0），又|k|＝错误!＜１，所以—１＜k＜0．又因为B，A，D 三点共线，所以错误!＝λ错误!＋（１—λ）错误!，所以m错误!＋n错误!＝kλ错误!＋k（１—λ）错误!，所以m＝kλ，n＝k（１—λ），所以m＋n＝k，从而m＋n∈（—１,0）．答案：（—１,0）8．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则错误!＝________.解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系（设每个小正方形边长为１），则A（１，—１），B（6,２），C（５，—１），所以a＝错误!＝（—１,１），b＝错误!＝（6,２），c＝错误!＝（—１，—３）．因为c＝λa＋μb，所以（—１，—３）＝λ（—１,１）＋μ（6,２），即—λ＋6μ＝—１，λ＋２μ＝—３，解得λ＝—２，μ＝—错误!，所以错误!＝４．答案：４9．（２0１9·淮安一模）已知a＝（１,0），b＝（２,１）．（１）当k为何值时，k a—b与a＋２b共线；（２）若错误!＝２a＋３b，错误!＝a＋m b，且A，B，C三点共线，求m的值．解：（１）k a—b＝k（１,0）—（２,１）＝（k—２，—１），a＋２b＝（１,0）＋２（２,１）＝（５,２）．∵k a—b与a＋２b共线，∴２（k—２）—（—１）×５＝0，解得k＝—错误!.（２）∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得错误!＝λ错误!，即２a＋３b＝λ（a＋m b）＝λa＋λm b，又a与b不共线，∴错误!解得m＝错误!.１0．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝（２,１），A（１,0），B（cos θ，t），a∥错误!.（１）若|错误!|＝错误!|错误!|，求向量错误!的坐标；（２）求y＝cos２θ—cos θ＋t２的最小值．解：（１）因为错误!＝（cos θ—１，t），又a∥错误!，所以２t—cos θ＋１＝0．所以cos θ＝２t＋１．１又因为|错误!|＝错误!|错误!|，所以（cos θ—１）２＋t２＝５．２由１２得，５t２＝５，所以t２＝１．所以t＝±１．当t＝１时，cos θ＝３（舍去），当t＝—１时，cos θ＝—１，所以B（—１，—１），所以错误!＝（—１，—１）．（２）由（１）可知t＝错误!，所以y＝cos２θ—cos θ＋错误!＝错误!cos２θ—错误!cos θ＋错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!错误!２—错误!，所以，当cos θ＝错误!时，y min＝—错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．已知△ABC是边长为４的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足错误!＝错误!（错误!＋错误!），错误!＝错误!＋错误!错误!，则△APD的面积为________．解析：法一：取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为４的正三角形，则AE⊥BC，错误!＝错误!（错误!＋错误!），又错误!＝错误!（错误!＋错误!），所以点D是AE的中点，AD＝错误!.取错误!＝错误!错误!，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!.而△APD是直角三角形，AF＝错误!，所以△APD的面积为错误!×错误!×错误!＝错误!.法二：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为等边三角形ABC的边长为４，所以B（—２，—２错误!），C（２，—２错误!），由题知错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误![（—２，—２错误!）＋（２，—２错误!）]＝（0，—错误!），错误!＝错误!＋错误!错误!＝（0，—错误!）＋错误!（４,0）＝错误!，所以△ADP的面积为S＝错误!|错误!|·|错误!|＝错误!×错误!×错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·启东中学检测）在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ，使得错误!＝λ错误!＋（１—λ）错误!成立，此时称实数λ为“向量错误!关于错误!和错误!的终点共线分解系数”．若已知P１（３，１），P２（—１,３），P１，P２，P３三点共线且向量错误!与向量a＝（１，—１）共线，则“向量错误!关于错误!和错误!的终点共线分解系数”为________．解析：设错误!＝（x，y），则由错误!∥a，知x＋y＝0，于是错误!＝（x，—x），设错误!＝λ错误!＋（１—λ）错误!，则有（x，—x）＝λ（３,１）＋（１—λ）（—１,３）＝（４λ—１,３—２λ），即错误!于是４λ—１＋３—２λ＝0，解得λ＝—１．答案：—１３．已知三点A（a,0），B（0，b），C（２,２），其中a＞0，b＞0．（１）若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；（２）若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值．解：（１）因为四边形OACB是平行四边形，所以错误!＝错误!，即（a,0）＝（２,２—b），错误!解得错误!故a＝２，b＝２．（２）因为错误!＝（—a，b），错误!＝（２,２—b），由A，B，C三点共线，得错误!∥错误!，所以—a（２—b）—２b＝0，即２（a＋b）＝ab，因为a＞0，b＞0，所以２（a＋b）＝ab≤错误!２，即（a＋b）２—8（a＋b）≥0，解得a＋b≥8或a＋b≤0．因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥8，即a＋b的最小值是8．当且仅当a＝b＝４时，“＝”成立．。

2018届高三数学理一轮总复习江苏专用课件：第五章第二节平面向量的基本定理及坐标运算精品

第二节平面向量的基本定理及坐标运算
λ1e1＋λ2e2 基底
不共线有且只有
(x1＋x2，y1＋y2)
(λx1，λy1)
x21＋y21
(x1－x2，y1－y2)
(x2－x1，y2－y1) x2－x12＋y2－y12
x1y2－x2y1＝0
1．已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,2)，若 a∥b，则实数 m＝_______. 解析：由 a∥b，得 1×2－m2＝0，所以 m2＝2，即 m＝± 2. 答案：± 2

1．(2016·抚顺二模)若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量a，b表示为________．
解析：设c＝xa＋yb，则0，52＝(2x－y，x＋2y)，
2x－y＝0，所以x＋2y＝52，
解得x＝12， y＝1，
则c＝12a＋b.
答案：c＝12a＋b
2．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若 MN ＝－3a，则点 N的坐标为________．
解析：由题意，设e1＋e2＝m a＋n b．因为a＝e1＋ 2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋ e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得
m－n＝1， 2m＋n＝1，
所以 mn＝＝－23，13.
答案：23 －13
1．若a，b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；
解析： MN ＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则 MN ＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以xy＋－65＝＝6－，3，即xy＝＝02.，答案：(2,0)
3．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设 AB＝a，BC ＝b， CA＝c，且CM ＝3c，CN ＝－2b， (1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (3)求 M，N 的坐标及向量 MN 的坐标．

高2021届高2018级苏教版步步高大一轮高三数学复习课件学案第五章 5.1

§5.1平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.(2)零向量:长度为0的向量,记作0.(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量平行.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得b＝λa.概念方法微思考1.若b与a共线,则存在实数λ使得b＝λa,对吗？提示不对,因为当a＝0,b≠0时,不存在λ满足b＝λa.2.如何理解数乘向量λa.提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|,方向要分类讨论:当λ＞0时,λa与a同方向；当λ＜0时,λa与a 反方向；当λ＝0或a为零向量时,λa为零向量.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.( √ ) (2)若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .( × )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上.( × ) (4)当两个非零向量a ,b 共线时,一定有b ＝λa ,反之亦成立.( √ ) 题组二教材改编2.已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ,且OA →＝a ,OB →＝b ,则DC →＝________,BC →＝________.(用a ,b 表示) 答案 b －a －a －b解析如图,DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ,BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3.在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,若2OA →＋OC →＝2OD →＋OB →,则四边形ABCD 的形状为________. 答案梯形解析 ∵2OA →＋OC →＝2OD →＋OB →, ∴2(OA →－OD →)＝OB →－OC →,即2DA →＝CB →, ∴DA →∥CB →,且|DA →|＝12|CB →|,∴四边形ABCD 是梯形. 题组三易错自纠4.对于非零向量a ,b ,“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案 A解析若a ＋2b ＝0,则a ＝－2b ,所以a ∥b . 若a ∥b ,则a ＋2b ＝0不一定成立, 故前者是后者的充分不必要条件. 5.(多选)下列四个命题中,错误的是( ) A.若a ∥b ,则a ＝b B.若|a |＝|b |,则a ＝b C.若|a |＝|b |,则a ∥b D.若a ＝b ,则|a |＝|b |答案 ABC6.设向量a ,b 不平行,向量λa ＋b 与a ＋2b 平行,则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ,b 不平行,∴a ＋2b ≠0,又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行,则存在唯一的实数μ,使λa＋b ＝μ(a ＋2b )成立,即λa ＋b ＝μa ＋2μb ,则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.7.在△ABC 中,点E ,F 满足AE →＝12AB →,CF →＝2F A →,若EF →＝xAB →＋yAC →,则x ＋y ＝ _____.答案－16解析依题意有EF →＝EA →＋AF →＝－12AB →＋13AC →,所以x ＝－12,y ＝13,所以x ＋y ＝－16.平面向量的概念1.(多选)给出下列命题,不正确的有( ) A.若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同B.若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,且AB →＝DC →,则ABCD 为平行四边形 C.a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b D.已知λ,μ为实数,若λa ＝μb ,则a 与b 共线答案 ACD解析 A 错误,两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等；但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点；B 正确,因为AB →＝DC →,所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →,又A ,B ,C ,D 是不共线的四点,所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误,当a ∥b 且方向相反时,即使|a |＝|b |,也不能得到a ＝b ,所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件,而是必要不充分条件；D 错误,当λ＝μ＝0时,a 与b 可以为任意向量,满足λa ＝μb ,但a 与b 不一定共线. 故选ACD.2.若a 0为单位向量,a 为平面内的某个向量,下列命题中: ①若a 为平面内的某个向量,则a ＝|a |·a 0； ②若a 与a 0平行,则a ＝|a |a 0； ③若a 与a 0平行且|a |＝1,则a ＝a 0, 假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D解析 ①②③均为假命题. 思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任何向量共线.平面向量的线性运算命题点1 向量加、减法的几何意义例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a ,b 满足|a ＋b |＝|a －b |,则( ) A.a ⊥b B.|a |＝|b | C.a ∥b D.|a |＞|b |答案 A解析方法一利用向量加法的平行四边形法则. 在▱ABCD 中,设AB →＝a ,AD →＝b ,由|a ＋b |＝|a －b |知,|AC →|＝|DB →|,从而四边形ABCD 为矩形,即AB ⊥AD ,故a ⊥b . 故选A.方法二 ∵|a ＋b |＝|a －b |, ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.命题点2 向量的线性运算例2 (2018·全国Ⅰ)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析作出示意图如图所示.EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →.故选A. 命题点3 根据向量线性运算求参数例3 (2019·江西省名校联考)在△ABC 中,BD →＝DC →,AP →＝2PD →,BP →＝λAB →＋μAC →,则λ＋μ等于( )A.－13B.13C.－12D.12答案 A解析因为BD →＝DC →,AP →＝2PD →, 所以AD →＝12AB →＋12AC →＝32AP →,所以AP →＝13AB →＋13AC →,所以BP →＝AP →－AB →＝－23AB →＋13AC →,因为BP →＝λAB →＋μAC →,所以λ＝－23,μ＝13,所以λ＋μ＝－13.故选A.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和或差.共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值.跟踪训练1 (1)(2020·河北省衡水中学模拟)如图,在等腰梯形ABCD 中,DC ＝12AB ,BC ＝CD ＝DA ,DE ⊥AC 于点E ,则DE →等于( )A.12AB →－12AC → B.12AB →＋12AC →C.12AB →－14AC →D.12AB →＋14AC →答案 A解析因为DC ＝12AB ,BC ＝CD ＝DA ,DE ⊥AC ,所以E 是AC 的中点,可得DE →＝12DA →＋12DC →＝12(DC →＋CA →)＋12DC →＝DC →－12AC →＝12AB →－12AC →,故选A.(2)在平行四边形ABCD 中,E ,F 分别为边BC ,CD 的中点,若AB →＝xAE →＋yAF →(x ,y ∈R ),则x －y ＝________. 答案 2解析由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →,AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →,因为AB →＝xAE →＋yAF →,所以AB →＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2＋y AD →, 所以⎩⎨⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.共线定理的应用例4 已知O ,A ,B 是不共线的三点,且OP →＝mOA →＋nOB →(m ,n ∈R ).(1)若m ＋n ＝1,求证:A ,P ,B 三点共线； (2)若A ,P ,B 三点共线,求证:m ＋n ＝1. 证明 (1)若m ＋n ＝1,则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →), ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →), 即BP →＝mBA →,∴BP →与BA →共线.又∵BP →与BA →有公共点B ,则A ,P ,B 三点共线. (2)若A ,P ,B 三点共线,则存在实数λ,使BP →＝λBA →, ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →). 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →, 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0. ∵O ,A ,B 不共线,∴OA →,OB →不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1. 思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A ,B ,C 三点共线⇔AB →,AC →共线. (3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ,则λ＝μ＝0.(4)OA →＝λOB →＋μOC →(λ,μ为实数),若A ,B ,C 三点共线,则λ＋μ＝1. 跟踪训练2 (1)设两个非零向量a 与b 不共线. 若k a ＋b 与a ＋k b 共线,则k ＝________. 答案 ±1解析 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线, ∴存在实数λ,使k a ＋b ＝λ(a ＋k b ), 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ,b 是两个不共线的非零向量, ∴k －λ＝λk －1＝0. 消去λ,得k 2－1＝0,∴k ＝±1.(2)如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交AB ,AC 所在直线于不同的两点M ,N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为( )A.1B.2C.3D.4 答案 B解析方法一连结AO ,则AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →, 因为M ,O ,N 三点共线, 所以m 2＋n2＝1,所以m ＋n ＝2.方法二连结AO (图略).由于O 为BC 的中点,故AO →＝12(AB →＋AC →),MO →＝AO →－AM →＝12(AB →＋AC →)－1m AB →＝⎝⎛⎭⎫12－1m AB →＋12AC →, 同理,NO →＝12AB →＋⎝⎛⎭⎫12－1n AC →. 由于向量MO →,NO →共线,故存在实数λ使得MO →＝λNO →, 即⎝⎛⎭⎫12－1m AB →＋12AC →＝λ⎣⎡⎦⎤12AB →＋⎝⎛⎭⎫12－1n AC →. 由于AB →,AC →不共线,故得12－1m ＝12λ且12＝λ⎝⎛⎭⎫12－1n , 消掉λ,得(m －2)(n －2)＝mn , 化简即得m ＋n ＝2.1.(2019·湖北省黄冈、华师附中等八校联考)已知线段上A ,B ,C 三点满足BC →＝2AB →,则这三点在线段上的位置关系是( )答案 A解析根据题意得到BC →和AB →是共线同向的,且BC ＝2AB ,故选A.2.(2019·山东省师大附中模拟)设a ,b 是非零向量,则a ＝2b 是a |a |＝b|b |成立的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件答案 B解析由a ＝2b 可知,a ,b 方向相同,a |a |,b |b | 表示 a ,b 方向上的单位向量,所以a |a |＝b|b |成立；反之不成立.故选B.3.已知向量AB →＝a ＋3b ,BC →＝5a ＋3b ,CD →＝－3a ＋3b ,则( ) A.A ,B ,C 三点共线 B.A ,B ,D 三点共线 C.A ,C ,D 三点共线 D.B ,C ,D 三点共线答案 B解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2AB →, ∴BD →与AB →共线,由于BD →与AB →有公共点B , 因此A ,B ,D 三点共线,故选B.4.(2019·沈阳东北育才学校模拟)向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa ＋b 与c 共线,则实数λ等于( )A.－2B.－1C.1D.2 答案 D解析由题中所给图象可得,2a ＋b ＝c ,又c ＝μ(λa ＋b ),所以λ＝2.故选D.5.(2020·南京模拟)在△ABC 中,点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ,使得OG →＝16BC →,且OA →＝mOB →＋nOC →,则m －n 等于( ) A.2 B.－2 C.1 D.－1 答案 D解析 ∵ GA →＋GB →＋GC →＝0, ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0, ∴OG →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝16BC →＝16(OC →－OB →),可得OA →＝－12OC →－32OB →,∴m ＝－32,n ＝－12,m －n ＝－1,故选D.6.如图,在△ABC 中,AN →＝13AC →,P 是BN 上的一点,若AP →＝mAB →＋211AC →,则实数m 的值为( )A.911B.511C.311D.211 答案 B解析注意到N ,P ,B 三点共线, 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →,从而m ＋611＝1,所以m ＝511.7.(多选)在△ABC 中,下列命题正确的是( ) A.AB →－AC →＝BC →B.AB →＋BC →＋CA →＝0C.若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0,则△ABC 为等腰三角形D.若AC →·AB →＞0,则△ABC 为锐角三角形答案 BC解析由向量的运算法则知AB →－AC →＝CB →；AB →＋BC →＋CA →＝0,故A 错,B 对； ∵(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0, ∴AB →2＝AC →2,即AB ＝AC ,∴△ABC 为等腰三角形,故C 对； ∵AC →·AB →＞0,∴角A 为锐角,但三角形不一定是锐角三角形. 故选BC.8.(多选)设点M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是( )A.若AM →＝12AB →＋12AC →,则点M 是边BC 的中点B.若AM →＝2AB →－AC →,则点M 在边BC 的延长线上 C.若AM →＝－BM →－CM →,则点M 是△ABC 的重心D.若AM →＝xAB →＋yAC →,且x ＋y ＝12,则△MBC 的面积是△ABC 面积的12答案 ACD解析若AM →＝12AB →＋12AC →,则点M 是边BC 的中点,故A 正确；若AM →＝2AB →－AC →,即有AM →－AB →＝AB →－AC →, 即BM →＝CB →,则点M 在边CB 的延长线上,故B 错误；若AM →＝－BM →－CM →,即AM →＋BM →＋CM →＝0, 则点M 是△ABC 的重心,故C 正确；如图,AM →＝xAB →＋yAC →,且x ＋y ＝12,可得2AM →＝2xAB →＋2yAC →, 设AN →＝2AM →, 则M 为AN 的中点,则△MBC 的面积是△ABC 面积的12,故D 正确.故选ACD.9.若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2,则|AB →＋AC →|＝________.答案 2 3解析因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2, 所以△ABC 是边长为2的正三角形,所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍, 所以|AB →＋AC →|＝2 3.10.(2019·钦州质检)已知e 1,e 2为平面内两个不共线的向量,MN →＝2e 1－3e 2,NP →＝λe 1＋6e 2,若M ,N ,P 三点共线,则λ＝________. 答案－4解析因为M ,N ,P 三点共线, 所以存在实数k 使得MN →＝kNP →, 所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2), 又e 1,e 2为平面内两个不共线的向量,可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.11.如图所示,设O 是△ABC 内部一点,且OA →＋OC →＝－2OB →,求△ABC 与△AOC 的面积之比.解如图,取AC 的中点D ,连结OD ,则OA →＋OC →＝2OD →,∴OB →＝－OD →,∴O 是AC 边上的中线BD 的中点, ∴S △ABC ＝2S △OAC ,∴△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1.12.如图所示,在△ABC 中,D ,F 分别是AB ,AC 的中点,BF 与CD 交于点O ,设AB →＝a ,AC →＝b ,试用a ,b 表示向量AO →.解方法一由D ,O ,C 三点共线, 可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数),同理,可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝⎛⎭⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数),① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ,② 所以由①②,得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b , 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝⎛⎭⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ,b 不共线,所以⎩⎨⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎨⎧ k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b . 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b ). 方法二因为D ,F 分别是AB ,AC 的中点,所以O 为△ABC 的重心,延长AO 交BC 于点E (图略),则E 为BC 的中点,所以AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b ).13.A ,B ,C 是圆O 上不同的三点,线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合),若OC →＝λOA→＋μOB →(λ,μ∈R ),则λ＋μ的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,＋∞)C.(1,2]D.(－1,0)答案 B解析设OC →＝mOD →,则m ＞1, 因为OC →＝λOA →＋μOB →,所以mOD →＝λOA →＋μOB →,即OD →＝λm OA →＋μmOB →, 又知A ,B ,D 三点共线,所以λm ＋μm＝1,即λ＋μ＝m , 所以λ＋μ＞1,故选B.14.已知A ,B ,C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重心,动点P 满足OP →＝13⎝⎛⎭⎫2OA →＋12OB →＋12OC →,则点P 一定为△ABC 的( ) A.BC 边中线的中点B.BC 边中线的三等分点(非重心)C.重心D.BC 边的中点答案 B解析设BC 的中点为M ,则12OC →＋12OB →＝OM →, ∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →, 即3OP →＝OM →＋2OA →,也就是MP →＝2P A →,∴P ,M ,A 三点共线,且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点.15.设a 是已知的平面向量,向量a ,b ,c 在同一平面内且两两不共线,有如下四个命题: ①给定向量b ,总存在向量c ,使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使a ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使a ＝λb ＋μc ；④若|a |＝2,存在单位向量b ,c 和正实数λ,μ,使a ＝λb ＋μc ,则3λ＋3μ＞6.其中真命题是__________.答案 ①②④解析给定向量b ,总存在向量c ,使a ＝b ＋c ,即a －b ＝c .显然存在c .所以①正确.由平面向量的基本定理可得②正确.给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使a ＝λb ＋μc ,当a 分解到c 方向的向量长度大于μ时,向量a 没办法按b ,c 分解,所以③不正确.存在单位向量b ,c 和正实数λ,μ,由于a ＝λb ＋μc ,向量b ,c 的模为1,由三角形的三边关系可得λ＋μ＞2.由3λ＋3μ≥23λ＋μ＞6.所以④成立.16.(2019·成都模拟)已知G 为△ABC 的重心,过点G 的直线与边AB ,AC 分别相交于点P ,Q .若AP→＝λAB →,△ABC 与△APQ 的面积之比为209,求实数λ的值. 解设AQ →＝xAC →,∵P ,G ,Q 三点共线,∴可设AG →＝μAP →＋(1－μ)AQ →,∴ AG →＝λμAB →＋(1－μ)xAC →,∵G 为△ABC 的重心,∴ AG →＝13(AB →＋AC →), ∴ 13AB →＋13AC →＝λμAB →＋(1－μ)xAC →,∴ ⎩⎨⎧ 13＝λμ，13＝(1－μ)x ，两式相乘得19＝λxμ(1－μ),① ∵ S △ABC S △APQ ＝12|AB →||AC →|sin ∠BAC 12|AP →||AQ →|sin ∠BAC , ∴λx ＝920,② ②代入①即2081＝μ(1－μ), 解得μ＝49或59,即λ＝35或34.。

新高考一轮复习苏教版第5章第2节平面向量基本定理及坐标表示课件(50张)

这就使得向量 a 不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使 a＝λb＋μc 成立，故 D 错误．故选 AB．]
2.如图，A，B 分别是射线 OM，ON 上的点，给出下列向量：①O→A ＋2O→B；②12O→A＋13O→B；③34O→A＋13O→B；④34O→A＋15O→B，若这些向量均以 O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的是( )
1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1 ＋λ2e2. (2)基底：若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的坐标运算
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
()
二、教材习题衍生
1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1)
B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
D [∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)， ∴12a＝12，12，32b＝32，－32， ∴12a－32b＝12－23，12＋32＝(－1,2)，故选 D．]
②设 O 为坐标原点，∵C→M＝O→M－O→C＝3c， ∴O→M＝3c＋O→C＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵C→N＝O→N－O→C＝－2b， ∴O→N＝－2b＋O→C＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴M→N＝(9，－18)．
平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．

【步步高】(江苏专用)高考数学一轮复习第五章平面向量 5.4 平面向量应用举例名师课件文

所以O→M·O→N＝12，1·(xN，－1)＝12xN－1＝0，解得 xN＝2，所以函数 f(x)的最小正周期是 2×2－12＝3.
思维升华
解析答案
跟踪训练3
已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2，3)，动点 P(x， y)满足不等式 0≤O→P·O→M≤1,0≤O→P·O→N≤1，则 z＝O→Q·O→P的最大值为 ________．
即A→P＝λ|AA→→BB|＋|AA→ →CC|，而|AA→→BB|和|AA→ →CC|分别表示平行于A→B，A→C的单位向量，故|AA→ →BB|＋|AA→→CC|平分∠BAC，
即A→P平分∠BAC，所以点 P 的轨迹必过△ABC 的内心.
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)在平行四边形 ABCD 中，AD＝1，∠BAD＝60°，E 为 CD 的中点.若A→C·B→E ＝1，则 AB＝________.
其中a＝(x，y)，a为非零向量
答案
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题—设——向—量→向量问题——运—算—→解决向量问题——还—原—→解决几何问题.
2.平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题. 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.
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2021年江苏高考数学一轮复习讲义第5章第2节平面向量的基本定理及坐标表示

第二节平面向量的基本定理及坐标表示［最新考纲］1.了解平面向量的基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件.课前自主［必备知识填充］1. 平面向量基本定理⑴定理：如果e i, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数21,龙，使a=2iei +加.(2) 基底：不共线的向量e i, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2. 平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a= (x1, y1), b=(X2, y2),贝Ua+ b= (x1+ X2, y1 + y2), a—b= (x1 —X2, y1 —y2), 2=(入x~ y, |a|= , x2+ y2.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，贝U终点坐标即为向量的坐标.②设A(X1, y” , B(X2, y2),则AB= (x2 —x1, y2 —V1.), |AB| = 7x2 —X1 2+y2 —y1_2.3. 平面向量共线的坐标表示设a=(X1, y1), b= (x2, y2),其中a^0, b^0 , a , b 共线？ X1y2—X2y1 = 0. ［常用结论］1. 若a与b不共线，且2+(J D= 0,贝U =尸0.————1 ——2. 若G >△ ABC 的重心,贝U GA+ GB+ GC = 0 , AG=§(AB + AC).［学情自测验收］一、思考辨析(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. ()(2) 在厶ABC 中，向量AB , BC 的夹角为/ ABC.( )(3) 同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )(4) 若a , b 不共线，且2ia + 心=型+浮b ,贝U 入=2e ,小=雳.()［答案］(1) X (2)X (3)X ⑷ V 二、教材改编1 31.已知平面向量a = (1,1), b = (1,— 1)，则向量2a —却=()A. (— 2,— 1) B . (— 2,1)C . (— 1,0)D . (— 1,2)D [t a = (1,1), b = (1,— 1),••• 2a— |b = ^—2, +1 = (— 1,2),故选 D.] 2. ___ 已知？ABCD 的顶点A( — 1,— 2), B(3,— 1), C(5,6)，则顶点D 的坐标为 _____ .—— 4= 5 — X , (1,5)[设 D(x , y),则由AB = DC ,得(4,1)= (5 — x,6 — y), 即卩解1 = 6 — y , x = 1, 得 ] y = 5.3. __________________________________________________________ 已知点 A(0,1), B(3,2),向量 AC = (— 4,— 3),则向量 BC= _________________1 12，2， 3 32b二 2,1(—7,—4)[根据题意得AB= (3,1), ••• BC = AC —AB= (—4,—3)—(3,1) = (—7,—4).]4•已知向量 a = (2,3), b = (-1,2),若 ma + nb 与 a — 2b 共线，则m 二 _______ 1—2 ［由向量 a = (2,3), b = (— 1,2),得 ma + nb = (2m — n,3m + 2n), a — 2b = (4,— 1). 由ma + nb 与a — 2b 共线，所以m =- 2」_____ _____ 卷缆埜書逹二课堂考点探究•考点1平面向量基本定理的应用菸-_平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决.(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.睞逊1•如果e 1, e 2是平面a 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中, 不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A . e 1 与 e 1 + e 2B . e 1 — 2e 2 与 e 1 + 2e 2C . e 1 + e 2 与 e 1 — e 2D . e 1 + 3e 2 与 6e 2 + 2e 11=入D ［选项A 中，设e 1 + e e =匕1,贝U无解;1二 0, 社1,选项B 中，设e 1 — 2e 2= + 2e 2),贝U无解;—2= 2 入2m — n 得3m + 2n社1,选项C中，设e i+ e2= X e i-e2），贝U 无解;1=-人选项D中，e i + 3e2 = !（662 + 2e i）,所以两向量是共线向量.故选 D.]2.在厶ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN=瓜B+ 疋, 则入+卩的值为（）1 1 1A.2B.3C.4D. 1A [因为M为边BC上任意一点，所以可设AM = xAB + yAC(x+ y = 1).因为N为AM的中点,所以AN= 2AM=1xAB+qyAC= AB+ pAC1 1所以 + 尸2(x+ y)=2.故选A.］3. 如图，以向量OA= a，OB= b 为邻边作？OADB，BM = 3BC，CN = gcD，用a，b 表示OM，ON, MN.［解］v BA= OA- OB= a- b，BM = 6B A= 6a-lb，OM = OB+ BM = ^a+ ^b.t OD = a+ b，T T 1T 1 T 1 T••• ON=OC+3CD=2°D+6O D2 — 2 2 二 3°D 二 3a + 3b ，MN = ON — O M = |a + |b —留―务=*a - gb. 1 5 -> 2 2 -> 1 1 OM = ga + gb , ON = 3a + 3b , MN =尹一gb.兰评(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组.(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.観加向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算•若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.FJk 罰已知 A( — 2,4)，B(3，— 1)，C(— 3，— 4).设AB = a ，BC = b ，CA = c ，且CM = 3c ， CN =— 2b ，(1)求 3a + b — 3c ；⑵求M ， N 的坐标及向量M N 的坐标.［解］由已知得 a = (5，— 5)，b = (— 6，— 3)，c = (1,8). (1)3a + b — 3c = 3(5，— 5)+ (— 6，— 3)— 3(1,8)=(15— 6 — 3，— 15— 3 — 24)= (6,—42). ⑵设O 为坐标原点，••• C M = O M -—OC =3c ，二 O M = 3c + O C = (3,24)+ (— 3，—4) =(0,20). ••• M(0,20).又 T CN = ON — OC =- -2b ，综上， •考点2平面向量的坐标运算(12,6)+ (— 3,— 4) = (9,2),••• N （9,2）,二 MN = （9,— 18）.［母题探究］（变结论）本例条件不变，若 a = mb + nc ,则m = _________ , n—1 — 1 [ v mb + nc = (—6m + n ,— 3m + 8n), a = (5,— 5),原则，通过列方程（组）来进行求解.Ek 药1•已知四边形ABCD 的三个顶点A(0,2), B( — 1, — 2), C(3,1),且BC =2AD ,则顶点D 的坐标为()A. 2, 7B. 2,—1 C . (3,2)D . (1,3)A [设 D(x , y), AD 二(x , y — 2), BC = (4,3),•••a = (2,1), b = (— 3,4)，故选 A.]3.向量a , b , c 在正方形网格中，如图所示，若c = ?a +小（入空R ）,则—ON = — 2b + 0C =—6m+ n = 5,m =— 1, 解得] n =— 1.缶曲求解此类问题的过程中，常利用向量相等，其对应坐标相同”这—— 4=2x,又 BC = 2AD ,二3 = 2y —2 , 2 .向量 a , b 满足 a + b = (—1,5), A . (— 3,4) C . (3,— 4)A [ v a + b = (— 1,5), a — b = (5, x=2,7 故选A.] y = 2，a —b = (5，— 3)，则 b 为( ) B. (3,4) D . (— 3,— 4) —3),C.D ［以O为坐标原点，建立坐标系可得a= (- 1,1),b= (6,2),c= (—1,— 3).T c= 2a+ ；Jb(入吐R).—1 = —H 6 鸡—3 — Ad-2 p,1解得——2, 尸一 2.向量共线的坐标表示覘3两平面向量共线的充要条件有2种形式(1)若a—(x1, y1), b—(x2, y2)，则a// b 的充要条件是X1y2—X2y1 —0；(2)已知b M0,则a/ b的充要条件是存在唯一实数入使得a—A(圧R).Fl利用向量共线求向量或点的坐标酥削［一题多解］已知点A(4,0), B(4,4), C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为__________ .(3,3)［法一：由O, P, B 三点共线，可设OP—OB—(4 入4；),］则AP —OP又AC = OC—OA= (— 2,6),—OA= (4 A 4,4》.由AP与AC共线，得(4 —4)X 6 —4 XX (—2) = 0, 解得X= 4，所以0P = 3O B= (3,3),所以点P的坐标为(3,3).法二：设点P(x, y)，则OP= (x, y)，因为OB= (4,4)，且OP与OB共线，所以4二4，即即x=y.又A P= (x—4, y), AC= ( —2,6)，且AP与A C共线，所以(x—4)X 6 —y X (—2) = 0,解得x=y= 3,所以点P的坐标为(3,3).]E5疔，F利用两向量共线的条件求向量坐标的方法：一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为X(疋R)，然后结合其他条件列出关于入的方程，求出入的值后代入X a即可得到所求的向量.芒&2 利用向量共线求参数1廊典剖⑴已知向量a= (1 —sin 9, 1), b= 2, 1 + sin B,若a// b,则锐角9根据题意繭AC ,5--4(a —1) —3X (—3) —0, 即卩4a ——5, •• a——玄.］如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a—(x i, y i), b—(x2, y2),贝U a// b的充要条件是x i y2 —X2y i”解题比较方便.力近已知a—(1,0), b—(2,1).(1)当k为何值时，ka—b与a+ 2b共线；⑵若AB—2a + 3b, BC —a+ mb,且A, B, C三点共线，求m的值. ［解］(1) v a—(1,0), b—(2,1),••• ka—b—k(1,0) —(2,1) —(k—2,—1),a + 2b—(1,0)+ 2(2,1)—(5,2),v ka—b 与a + 2b 共线，••• 2(k—2)—(—1)X 5—0,二k—— 2.(2)AB —2(1,0) + 3(2,1)—(8,3),BC—(1,0)+ m(2,1)—(2m+ 1, m).v A, B, C三点共线，••• A B//B C ,8m—3(2m+ 1) —0,3二m—2(2)若三点A(1, —5), B(a, —2), C(—2, —1)共线，则实数a的值为___ .5 11(1)45°(2)—4 ［⑴由a / b,得(1 —sin 9(1 + sin 9 = 2，二coS* 20= ?,二cos 2~2或cos 0=—又0为锐角,0= 45：(2)AB= (a—1,3), AC= (—3,4).。

步步高大一轮复习讲义高三数学51平面向量的概念及线性运算

第五章I THE FIFTH CHAPTER平面向量§5.1平面向量的概念及线性运算基础知识・自主学习要点梳理1.2•B.AO = 20DC.AO = 3OD3•共线向量定理a 是一个非零向量，若存在一个实数入使得b =怡，则向量b 与非零向量a 共线.［难点正本疑点清源］ 1. 向量的两要素向量具有大小和方向两个要素•用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的•向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小. 2. 向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况•因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.基础自测1.(课本改编题)化简OP — QP + MS — MQ 的结果为2. ____________________________________________________________________ 在平行四边形 ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB = a , AD = b ,则BE = _______________________ 3•下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线•其中不正确命题的序号是_____4. 已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA + BP + CP = 0, AP = ?PD ，则实数入的值为_______________ .5.已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA + OB + OC = 0,那么( )A.AO = ODD . 2A O = OD题型分类・深度剖析题型一平面向量的概念辨析【例1】给出下列命题：① _________________________ 若|a|=|b|,贝U a= b;②若A, B, C, D是不共线的四点，贝U AB= D C是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a= b, b= c,则a= c;④a = b的充要条件是|a|= |b|且a // b. 其中正确命题的序号是.探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.(2) 相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(3) 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.⑷向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量•解题时，不要把它与函数图像移动混为一谈.⑸非零向量a与看的关系是：看是a方向上的单位向量.盐式汨這1判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，贝U a>b;⑵若a i= |b|,贝U a与b的长度相等且方向相同或相反；⑶若|a|= |b|,且a与b方向相同，则a = b;(4) 由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；⑸若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；⑹若向量晶与向量乔是共线向量，则A, B, C, D四点在一条直线上;⑺起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等.题型二向量的线性运算【例2】如图，在△ ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB= 2GE，设屈=a, Z C = b,试用a, b表示A D ,总.探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.老式hl ^2 如图，在△ ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设陥=a, A c = b,试用a,—Zc b表示AG.题型三平面向量的共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线，(1)若—=a+ b, — = 2a+ 8b, C— = 3(a-b),求证：A、B、D 三点共线;⑵试确定实数k,使k a + b和a + k b共线.探究提高⑴证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.⑵向量a、b共线是指存在不全为零的实数入，d使入a + W= 0成立，若乃a+ h b= 0,当且仅当入=心=0时成立，则向量a、b不共线.变丈；如图所示，△ ABC中，在AC上取一点N，使得AN = ^AC,3 在AB上取一点M，使得AM = 3AB,在BN的延长线上取点P,使得NP = *BN,在CM的延长线上取点Q,使得M Q = 时，A P = Q A，试确定入的值.思想与方法".用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：(13分)如图所示，在△ ABO中，0C =1 0A , 0D = 2 0B ,AD与BC相交于点M，设0A = a, OB = b.试用a和b表示向量审题视角(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.(2) 既然0M能用a、b表示，那我们不妨设出0M = m a + n b.(3) 利用共线定理建立方程，用方程的思想求解.规范解答解设0M = m a+ n b,—》—》—》则AM = 0M —0A = m a + n b—a = (m—1) a+ n b.1 ——1AD = 0D —0A = 20B —0A = —a + 3 b.[3分]又••• A、M、D三点共线，••• AM与AD共线.•••存在实数t，使得AM = tAD , 即(m—1)a+ n b= t(—a+ 1b /[5分]1•- (m—1)a+ n b= —t a+ 3".m—1 = —t，消去t 得，m—1 = —2n,①［7分］即m+ 2n= 1.又T CM = 0M —0C = m a + n b-4a = m —4 a + n b,CB=0B—0C=b—4a=-4 a+b-又••• C、M、B三点共线，• CM与CB共线.[10 分]•••存在实数切使得CM = t1CB ,②［12分］［13 分］f 1=_ 1m 4 茁，消去匕得,4m + n = 1. n = t i由①②得m = 7, n = 7， . OM = 7a +号匕.批阅笔记（1）本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.（2）学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解. （3）数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有"形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧•如本题学生易忽视A 、M 、D 共线和B 、M 、C 共线这个几何特征.（4）方程思想是解决本题的关键，要注意体会.思想方法：感悟提高1 2 3方法与技巧1. 将向量用其它向量（特别是基向量）线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础. 2•可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题•女口/\B // C D 且AB 与CD 不共线，则AB // CD ;若 /AB // BC ，贝V A 、B 、C 三点共线. 失误与防范2 •解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件•要特别注意零向量的特殊性.3 •在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.2.A. PA +PB = 0B. PC + "PA = 0C. P B + PC = 0—" —" —"D. PA + PB + PC = 03 .已知向量a, b不共线,A . k= 1且c与d同向c= k a + b (k€ R), d= a —b.如果c// d,那么课时规范训练（时间：60分钟）A组专项基础训练题组、选择题1给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小;③扫=0（入为实数），则入必为零；④人□为实数，若：a =血，贝y a与b共线.其中错误命题的个数为设P是厶ABC所在平面内的一点，BC + BA = 2BP，则B . k= 1且c与d反向C. k=—1且c与d同向D . k=—1且c与d反向、填空题4•设a、b是两个不共线向量, A B = 2a+ p b, BC = a+ b,CD = a —2b,若A、B、D三点共线，则实数p的值为5•在平行四边形人吐R，则ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC =H __________ .ZAE +亦，其中1 ——6.如图，在△ ABC中，AN = 3NC , P是BN上的一点，右AP = m 2 ―11AC，则实数m的值为三、解答题1 ——7.如图，以向量OA = a, OB = b 为边作？OADB , BM = 3 BC ,—》—》—》用a、b 表示OM、ON、MN.&若a, b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当C N= J CD,1t 为何值时，a, t b, §(a+ b)三向量的终点在同一条直线上?C • AB 边所在直线上D . BC 边所在直线上 3. O 是平面上一定点, A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足:OP = <0A +AB + .AC 入| AB | |AC | A .外心二、填空题+），贝U P 的轨迹一定通过厶 ABC 的B .内心C .重心D .垂心4.已知向量 a , b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使_________ （将正确的序号填在横线上）. ① 2a — 3b = 4e ,且 a + 2b =— 3e ; ②存在相异实数入仏使 • y b = 0;③ x a + y b = 0（实数 x , y 满足 x + y = 0）;b 共线的条件是④若四边形ABCD 是梯形, 则AB 与CD 共线.5.如图所示，在△ ABC 中，点O 是BC 的中点.过点 0的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点 M 、N ，若= mA M , AC = n 爲，则m + n 的值为—A —A —A 1 —A6.在△ ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD = 2DB , CD = 3CA +入CB ,B 组专项能力提升题组、选择题1已知P 是厶ABC 所在平面内的一点，若CB =入"+ PB ，其中入€ R ，则点P 一定在（）A . △ ABC 的内部B . AC 边所在直线上2. 已知△ ABC 和点M 满足M X + MB + MC = 0,若存在实数 m 使得 A+ AC = mA ^成立, 则m 等于B .则入=22—— ———— —A7.已知直线x + y = a 与圆x 2+ y 2= 4交于A 、B 两点，且|OA + OB|= |OA — OB|,其中O 为坐标原点，则实数 a 的值为 ____________________ . 三、解答题& 已知点 G 是厶ABO 的重心，M 是AB 边的中点.—— —— ——(1) 求 GA + GB + GO ;———————— 1 1(2) 若 PQ ^^ ABO 勺重心 G 且 OA = a , OB = b , OP = na , OQ= nb ,求证：- + - = 3.m n+ mCF 答案要点梳理1.大小相同方向相等长度模零01个单位相同相反方向相同或相反相反平行相等2.三角形平行四边形(1) b+ a⑵a + （b+ c）三角形（1）|川a| （2）相同相反0入a?a +园怯+基础自测1. O S2.b—苏3•①②③4• —25.A题型分类深度剖析［例1②③变式训练1解（1）不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小. （2）不正确，因为向量模相等与向量的方向无关. （3）正确.（4）不正确，因为规定零向量与任意向量平行.⑸不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的. ⑹不正确，因为AB与CD共线，而AB与CD可以不共线即AB //CD.⑺正确.（8）不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.—1 ——1 1【例2］解AD = 2（ AB + A C）=1a+ ㊁匕；————2 —AG = AB + BG = AB + 3 BE——1 ————=AB + 3（ BA + BC）3=2—+3（—-—）1—1 —1 1=3AB + 3 AC = 3a + 3b.变式训练2 解A G = AlB + B G—》—》—》—》AG = AC + CG = ACmAC + 2( CA + CB)m—m=(1 —为AB + 2—C = (1 —R a+ ^b.=(1 —m)AC + 2 AB = 2a + (1 —m)b,r m 1— x= 2 1-m = 21. C2.B3.D 2 ,解得 2= m = 2,3[例 3] (1)证明 T AB = a + b, BC = 2 a + 8b , CD = 3( a — b ),BD = IBB + C D = 2a + 8b + 3( a — b )=2a + 8b + 3a — 3b = 5(a + b ) = 5 AB .•••益、BD 共线，又•••它们有公共点 B ,••• A 、B 、D 三点共线.(2)解•/ k a + b 与 a + k b 共线，•••存在实数 2 使 k a + b = 2a + k b ),即 k a + b = 2+ 2 b . •- (k — 2a =(入—1)b .••• a 、b 是不共线的两个非零向量,•- k — 2= 2 — 1 = 0, •- k 2— 1 = 0. • k = ±.1变式训练3 -课时规范训练B 15 B 2 2 B 1 1 7.0M = 6a + 6b , ON = 3a + 3b , MN = ?a — 6b&解 1 设 OA = a , OB = t b , OC = 3(a + b ),AC = OC — OA = — 3 a + g b ,要使A 、B 、C 三点共线，只需A C = 2B . 即一|a + 3b = 2b — 2. -2=- 2•有13=2t=;1•••当t = 1时，三向量终点在同一直线上.4•— 1AB = OB — OA = t b — a .=1- m =-1a + n 所以1- m =[-1a + 7. ±. —I —I —I•/ GA + GB = 2GM ,又 2GIM = - G O ,：~GA +G B + G O = - G O + G O = 0.-1 1⑵证明显然OM = 2（a + b ）.因为G 是厶ABO 的重心，所以 OG = |oM = *a + b ）.由P 、G 、Q 三点共线，得 P G // GQ , 所以，有且只有一个实数人使1= X3Q . —I —I —I 1而 PG = OG — OP = 3（a + b ） — m a 1+ 3b ，—I —I —I 1GQ = OQ — OG = n b — §（a + b ） 31， +J b又因为a 、b 不共线，| -m =-|入 3 3所以，消去入 3=" -11 1 1. B 2.4.①②5. 3. B 2 2花整理得3mn= m+ n,故 + = 3.m n。