1-4 高斯定理class - 副本

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高二物理竞赛课件：高斯定理

不会中断，或从无穷远来，到无穷远去；——》磁场高斯定理。
• (2) 每一条磁力线是环绕电流的无头无尾的闭合线；－》磁场环路定理。
• （3）电流与磁场方向满足右手螺旋定则。
磁通量：仿照电通量概念，定义曲面S的磁通量为
m B dS B dS
S
S
单位： 1Wb 韦伯 1T m2
B dm ds
用磁感应线描述磁场的分布，规定：方向：曲线上切线，代表磁感强度的方向. 大小：曲线的密度, 与磁感强度的大小成正比.
实验和理论都证明：在任何磁场中，每一条磁感线都是环绕电流的无头无尾的闭合线，而且每条闭合磁感线都与闭合载流回路互相套合。
磁力线的特性： • （1）它是连续的，在磁场中任一点磁力线
dm B dS
m d B dS
直导线磁感线分布：
B 0I 2a
B
o
x
圆电流磁感线分布：
B
o
x
[证明]：因为任意一磁场，都是由许多电流元产生的磁场叠加而成，其磁通量也满足叠加原理，所以只需证明电流元产生的磁场遵守高斯定理。
取电流元为坐标原点，Z轴沿电流元强度的方向，
dB
B
0 4
I
L
dl r r3
0 4
I
L
dR r r3
0 Ir0 4 r03
I
L
dR
0 4 r03
I
L
R dR
30 4 r05
I
L
(r0
R)(r0 dR)
＝ 0 4
m r03
0 4
3(m r0 )r0 r05
对于闭合电流，磁矩m或园面积S与坐标原点的选取无关。
磁感应线及磁通量

高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高...

acb adb
a
即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零
Q q0 ≠ 0
r r ∴ ∫ E • dl = 0
26
在点电荷系电场中：
r n r E = ∑ Ei
i =1 l
n r r n r r r r ∫ E ⋅ dl = ∫ ∑ Ei ⋅ dl = ∑ ∫ Ei ⋅ dl = 0 l l i =1 i =1
r r 3. 分别求出 Φ E = ∫ E ⋅ d S
从而求得 E
和 ΦE =1Biblioteka εo∑qS内
i
，
17
例5-5 求均匀带电球面的电场。半径为R，带电量q>0 解: 对称性分析
r<R
= E 1 4π r
2
r E 具有球对称作高斯面——球面
r v Φ e = ∫ E 1 ⋅ d S = E 1 ∫ dS
电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能，电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能，称为电荷在静电场中的电势能称为电荷在静电场中的电势能。电势能。静电场力对电荷所做的功 = 静电势能增量的负值试验电荷 q0 处于 a 点和 b 点分别具有电势能 Wa 和 Wb 则 a → b 电场力的功
∆S
∆S
r E
θ
θ
r n
r E
Φe = E∆S
r r Φe = E∆S cosθ = E • ∆S
8
(2) 非均匀电场 S为任意曲面
dΦe = EdS⊥ = EdS cos θ v v = E ⋅ dS
Φ e = ∫ d Φ e = ∫ E cos θ dS S S v v v v = ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ n dS

EM1-4高斯定理

16
电磁学
例15 均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。
解电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
E d S E 4 π r2
q
S
0
E q
4 π0r2
(1) rR时，高斯面无电荷，
E0
++
+ +
+R
+q
r
+ +
+
+
+
+
+++ +
17
电磁学
(2) rR时，高斯面包围电荷q
绝对值相等而符号相反。
dS1
E1
q
E2
S1
+ S2 dS2
12
电磁学
4. 点电荷系的电场
E dS S
S E1 dS
S E2 dS
S En dS
Φ1 Φ2 Φn
Φiout 0
Φiin
1 ε0
qiin
E dS
S
1 ε0
n
qiin
i 1
E
dS
电磁学
1.4 高斯定理
一、电通量(电场强度通量)
通过电场中某一个面的电场线数目称为通过该面的电场强
度通量。用符号 Φ 表示.
匀强电场，
S
E垂直平面时.
en E
Φ ES
1
电磁学
匀强电场 E ，与平面夹角为 θ .
通过平面的电场强度通量
S
Sθ
en
E
Φ E cos S EnS
一般情况，电场是不均匀的而且所取的几何面可S以是

高斯定理-114页PPT

0
n i1
qi内
1）高斯面上的 E 和那些电荷有关？
2）闭合曲面
又和哪些电荷有关？
e
2. 推证：

r dS
(1) 点电荷位于球面 S 的中心
+q
点电荷电场 E q
S'
S
4 π 0r 2
e
EdS
S
S
q
4π 0 r 2
dS

q
4π 0r 2
4π
r2

q 0
3. 计算高斯面包围的电荷电量的代数和； 4. 应用高斯定理求解.
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均匀电场
平面 △S
S
nEn
E
E
e EcosS
e ES
非均匀电场 S为任意曲面

n
SS
θ EE
dS
5
（1）dS 面元的电通量矢量面元 dSdS n
de EdS
（2）任意曲面 S 的电通量
e deSEdS
eS E d S S E c o sd S
E
n

dS
dS E
（3）闭合曲面电通量 ed eSE dS
说明
1) 闭合曲面 n 方向的规定
闭合曲面 —— 向外为正，向内为负
2) 电通量是代数量

dS1
E1
d1E1cos1dS 0 穿入为负 d2E2cos2dS 0 穿出为正
n1 1
θ< 900，通量为正
s
高斯定理
EdS 1
S

电磁场课件——高斯定理

R2
R2
c.
R1
<r
<R2
： R2 r
4q10r2er•erdr2
d. r =R1 ：
4q10(1 rR 12)40q (1 R 2 q2R 2)
E q1 4 0 r 2
q1 q2
14 q10(R 1 1R 1 2)4 0q (1 R 2 q2 R 2)
4 0 r 2 r
q 1 (11 1 ) q 2
D是电位移矢量，是一个辅助物理量，其本身并没有明确的物理意义，然而引入它可以方便地表达出任一点的场量与场源之间的关系，即电位移矢量的散度等于该点分布的自由电荷体密度。
E和D的分布都与介质有关。但是穿过闭合曲面的D通量仅与该闭合面所包围的自由电荷有关，而与介质中的束缚电荷无关。
22
点电荷的电场中置入任意一块介质
0 R1 R2 R2+R2
40 R 1 R 2 R 2R 2 40 (R 2R 2)
31
例2 同轴电缆有两层绝缘体，分界面也是同轴圆柱面，
尺寸如图。内外导体之间的电压为U，求场中各处电场。
解: ① 分析电荷和场分布情况：
② 求场强分布情况：（方向、对称性）
作半径为r、长为l的同轴圆柱面（包括两个底面）
16
2、介质中的高斯定律
表面S为电介质中一假想闭合面，不包含介质的表面；自由电荷q1 、 q2 、 q3分布在导体表面S1 、 S2 、 S3上：
1
E•dS
S
0
(q
qP
)
S
q d V dS P V V 1 V 2 V 3 P
0 S S 1 S 2 S 3 P
q1 S1
S3

1.4高斯定理

§1.4 高斯定理
在介绍高斯定理之前，首先引入一个基本概念，通量是矢量场的共性，并且它总是和一叫“通量”。个假想的面联系在一起的。 ˆ n 一任意矢量场的通量 S ˆ n 任意矢量场 A 中有闭合 ds 合面S，将它分成许多无限 A ds 小面元ds，ds很小，以致每个面元上的场矢量 A 可视为常量。
③ E 通量中的场强，是闭合曲面内外所有电荷共同
激发的，即是说，闭合面S上任一点的场强，是S内外所有电荷在该点产生的场强的矢量和，而高斯定理数学表达式右端的电荷量，只是闭合面内的净电荷量。
若点电荷恰好位于闭合面上，它对这个闭合面的带电体 E 通量有没有贡献呢？
当带电体与闭合面相交时，带电体不能被看成点电荷。实际上，闭合面把带电体A分成两部分A1和A2，根据高斯定理，只有位于闭合面内的那部分A2才对整个闭合面的电通量有贡献。 ④总 E 通量的三个无关
S1
ˆ n1
L
ˆ n3
E E 0 E 0
1 3 S
ˆ n3
（正负电荷都有此结果）（4）推广
ˆ n2
根据场强叠加原理将上述结论进行推广。 ①面S内有q1、q2、……qn个点电荷，且它们可正可负
E E ds Ei ds
带电圆柱面内部各点场强等于零。
例4：求均匀带电球面内外的电场。
P21例2 电场分布具有球对称性高斯面取球面 P22例3 结论：
E
E
q
E
例5：求均匀带电球体内外的电场。
E
① 用高斯定理求场强的关键，在于分析电场的对称性习题：1.4.5；1.4.8； ②应选取适当的高斯面 1.4.9； 1.4.10 ③对于非对称电场，虽然不能用高斯定理求出场强，但定理仍然是成立的。

1.4高斯定理

v ds1
v ˆ er ( E ) v v dser ( E ) ˆ θ
ˆ n
现在又以q为中心，为半径作球面S 现在又以为中心，r2为半径作球面 2，与锥体截出为中心 v 面元为 ds2，如图。如图。
v v 都非常小，认为有：因为面元 ds 和ds2 都非常小，故认为有：
ds 2 = ds cosθ
代数和除以 ε 0。数学表达式为：数学表达式为：
1、定义及数学表达式（P18）、定义及数学表达式（）
v v 1 ∫∫ E ⋅ ds =
(S )
ε0
∑)q (
S内
i
（4.1））
或
v v 1 ∫∫ E ⋅ ds =
(S )
ε0
∫∫∫ ρdV
(V )
（4.1′））
由库仑定律及场强叠加原理证明其正确性。由库仑定律及场强叠加原理证明其正确性。
S1
ˆ n1
L
ˆ′ n3
φE + φE = 0 ⇒ φE = 0
1 3 S
ˆ n3
（正负电荷都有此结果）正负电荷都有此结果）（4）推广）
ˆ n2
根据场强叠加原理将上述结论进行推广。根据场强叠加原理将上述结论进行推广。内有q 个点电荷， ①面S内有 1、q2、……qn个点电荷，且它们可正内有可负 v v v v
锥体分成这样一对对面元，面的电通量等于S 锥体分成这样一对对面元，故S面的电通量等于 1面面的电通量等于面是球面，故有：的电通量，的电通量，而S1面是球面，故有：
2 2 2 1
v v v 通量，面及S 面及即ds1和ds 有相等的 E 通量，而S面及 1面可用许多
v v φE = ∫∫ E ⋅ ds =

大学物理静电场(高斯定理)课件

大学物理静电场(高斯定理)课件一、教学内容本节课的教学内容来自于大学物理的静电场部分，具体涉及高斯定理。

高斯定理是描述电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的电荷量之间的关系。

数学表达式为：\[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} =\frac{Q}{\varepsilon_0} \]其中，\( \mathbf{E} \) 表示电场强度，\( d\mathbf{A} \) 表示曲面元素，\( Q \) 表示闭合曲面内部的电荷量，\( \varepsilon_0 \) 表示真空中的电常数。

二、教学目标1. 理解高斯定理的数学表达和物理意义。

2. 学会运用高斯定理计算闭合曲面内的电荷量。

3. 掌握高斯定理在实际问题中的应用。

三、教学难点与重点重点：高斯定理的数学表达和物理意义。

难点：如何运用高斯定理计算闭合曲面内的电荷量，以及高斯定理在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备教具：投影仪、黑板、粉笔。

学具：笔记本、笔、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入：以雷电现象为例，介绍静电场中的电荷分布和电场强度。

引导学生思考如何计算一个闭合曲面内的电荷量。

2. 理论知识讲解：讲解高斯定理的数学表达和物理意义。

通过示例，解释高斯定理如何描述电场通过闭合曲面的电通量与内部电荷量之间的关系。

3. 例题讲解：给出一个具体的题目，指导学生如何运用高斯定理计算闭合曲面内的电荷量。

题目如下：一个半径为 \( R \) 的球体，在其表面分布着电荷，求球体内的电荷量。

4. 随堂练习：让学生独立完成上述题目的计算。

在课堂上选取几位学生的答案进行讲解和讨论。

5. 作业布置：布置一道类似的题目，要求学生课后完成。

题目如下：一个长方体导体，其两个相对面上分别分布着电荷 \( Q_1 \) 和\( Q_2 \)，求长方体内部的电荷量。

6. 板书设计：板书高斯定理的数学表达式和物理意义，以及解题步骤和关键点。

《高斯定理习题》课件

理解问题
仔细阅读题目，理解定义和要求。
计算与推导
进行计算和推导，注意细节和推理过程。
常见错误与解析
错误1
没有正确选择适用的高斯定理公式。
错误3
忽略了边界条件或特殊情况。
错误2
计算中出现代数错误或计算错误。
错误4
对结果的解析和讨论不够清晰和准确。
总结和复习
通过这份PPT课件，我们深入学习了高斯定理的概念、公式、应用，解题思路和常见错误。希望你能够掌握高斯定理，并在实际问题中灵活运用。
2 习题2
根据给定的散度值计算矢量场在某个区域内的通量。
3 习题3
4 习题4
求解给定区域内的散度，并根据高斯定理计算通过曲面的通量。
应用高斯定理证明某个等式成立。
解题思路与步骤
1
选择合适的公式
2
根据问题特点，选择适用的高斯定理
公式。
3
检查与解析
4
检查计算结果的合理性，并解析问题的意义和结果。
《高斯定理习题》PPT课件
让我们一起探索《高斯定理习题》吧！这个PPT课件将帮助你理解高斯定理的概念、公式、应用，提供习题示称为散度定理，是向量分析中的重要定理之一。它描述了一个有界区域内的矢量场通过边界的通量与该区域内的散度之间的关系。
高斯定理的公式
高斯定理的数学表达式是∬_S F • dS = ∭_V div(F) dV，其中S为区域的边界曲面，F为矢量场，div(F) 为F的散度。
高斯定理的应用
高斯定理在物理学和工程学中有广泛应用。它可以用于计算电场、磁场、流体力学和热传导等领域中的通量和散度。
高斯定理习题示例
1 习题1
计算给定矢量场通过某个曲面的通量。

高斯定理

高斯定理 1. 电场强度通量
均匀电场中穿过与电场垂直的平面S的电场线总数，称为通过该平面的电场强度通量。 n ds
e ES
将曲面分割为无限多个面元，称为面积元矢量
dS dSn
则电场穿过该面元的电通量为
d e E d S
电场穿过某曲面的电通量为
e E d S
q
l
E 0
高斯定理的应用
（2）当r>R 时，
q l
E 20 r
均匀带电圆柱面的电场分布
r l
1
20 R
E
Er 关系曲线
r
R
0
r
高斯定理的应用
例8-10 均匀带电无限大平面的电场. 解：电场分布也应有面对称性，方向沿法向。
E
E
σ
高斯定理的应用
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 S，两底面到带电平面距离相同。
sE dS 两底 E dS 2 ES 圆柱形高斯面内电荷 q S
由高斯定理得
S
E
E
2 ES S / 0
E 2 0
σ
高斯定理的应用
例8-9 均匀带电球体的电场。球半径为R，体电荷密度为。解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为r的高斯面
§1.8利用高斯定理求 e 和 E (Using Gauss’s Theorem to Find eand E ) 1.求 e
[例1-4]
+q
-q
S1 S2 S3 解：由高斯定理
如图，通过闭合面S1、 S2和S3的电通量分别为 1= ,2= , 3= .

高斯定理的推导过程

高斯定理的推导过程1. 高斯定理的表述- 真空中的高斯定理：varPhi_E = frac{Q_{enc}}{ε_0}，其中varPhi_E=∮_{S}→E· d→S为通过闭合曲面S的电通量，Q_{enc}是闭合曲面S所包围的电荷总量，ε_0是真空介电常数。

2. 以点电荷为例推导高斯定理 - 计算点电荷产生的电场通过包围它的球面的电通量- 设点电荷q位于球心，半径为r的球面S包围该点电荷。

- 根据库仑定律，点电荷q在距离r处产生的电场强度→E=(1)/(4πε_0)(q)/(r^2)r̂，其中r̂是沿径向的单位矢量。

- 对于球面S，d→S = r^2sinθ dθ dφr̂（在球坐标系下）。

- 计算电通量varPhi_E=∮_{S}→E· d→S，将→E和d→S代入可得：- varPhi_E=∮_{S}(1)/(4πε_0)(q)/(r^2)r̂· r^2sinθ dθ dφr̂- 由于r̂·r̂ = 1，则varPhi_E=(q)/(4πε_0)∫_{0}^2πdφ∫_{0}^πsinθ dθ - 先计算∫_{0}^πsinθ dθ=-cosθ_{0}^π=2，再计算∫_{0}^2πdφ = 2π。

- 所以varPhi_E=(q)/(ε_0)，这表明点电荷q产生的电场通过包围它的球面的电通量等于(q)/(ε_0)。

3. 以点电荷为例推导高斯定理 - 计算点电荷产生的电场通过任意闭合曲面的电通量- 根据电场线的性质，电场线是连续的，从正电荷出发到负电荷终止或者延伸到无穷远。

- 对于包围点电荷q的任意闭合曲面S'，以点电荷为中心作一个半径为r的球面S。

- 由于电场线的连续性，通过闭合曲面S'和球面S的电场线数目相同，即它们的电通量相等。

所以通过任意包围点电荷q的闭合曲面的电通量varPhi_E=(q)/(ε_0)。

4. 多个点电荷情况推导高斯定理- 设空间中有n个点电荷q_1,q_2,·s,q_n，其中闭合曲面S包围了m个点电荷q_1,q_2,·s,q_m。

《高斯定理》PPT课件

布已知时，可以方便地求出电荷q0在电场中某点的电势能和在电场中移动电荷q0时静电场力作的功。
Wa q0Va WAB q0VA q0VB q0UBA
第三节静电场的环路定理电势
第四章
四. 电势电势差静电场的矢量描述---电场强度静电场的标量描述--电势
b E
dl
Wa
a
q0
Wb q0
Va Vb
Va
Wa q0
Vb
Wb q0
a点的电势:单位正电荷在该点处的电势能；
Va,Vb与试验电荷无关，反映了电场在a,b两点的性质; a,b两点的电势之差称为a,b两点的电势差或电压Uab
z
en
E dS
S
E dS E dS E dS
s(柱侧面）
s ( 上底）
s (下底）
E dS 0 0
s ( 柱侧面）
+ +
E
+
r h
+
+o y
x
en en
第二节
E dS EdS
S
s ( 柱侧面）
h 0
z
2π rhE h 0
E 2π 0r
+
+
+
r h
+
S
S′
由电场线的性质可知，通过球面 S′的电场线必定全部通过闭合面S，因此，通过任意形状的包围点电荷 q的闭合面的电通量都等于q/ε0
第二节
点电荷在封闭曲面之外
dΦ1 E1 dS1 0
E2
dΦ2 E2 dS2 0 q
dΦ1 dΦ2 0
dS2
e
E dS 0
S
第四章

高二物理竞赛高斯定理PPT(课件)

场强度都可以求出，为何还要引入高斯定理？目的：① 进一步搞清静电场的性质； ② 便于某些电场的求解； ③ 解决由场强求电荷分布的问题。
6
高斯定律的内容
静电场中任意闭合曲面 S 的电通量 e , 等
于该曲面所包围的电荷的代数和 qi 除以 0 , 与
闭合曲面外电荷无关。
1
e
s
E ds
电通量 (electric flux)
E(
p)
N S
p
——通过给定面积的电场线的条数
E
S
3
(1) 球面外任一点P 处的场强（ r > R ）
• (均匀) E S(平面)， =ES 电通量 (electric flux)
e
与场源带电体的形状、大小、位置；
解：对称性分析：电场分布是球对称的。
0
8
(2) 包围点电荷 q 的任意闭合曲面的电通量为 q 0 .
q
球面 0
SE
由于上述结论与球面半径 r 无关 ,
对包围点电荷 q 的任意球面和曲
面都有
曲面
q
0
任
q
S S球面
(3) 点电荷q在闭合曲面 S 外的电通量为零。
电力线在无电荷处连续，进入
与穿出S面的电力线数量相同
q
e E dS 0 S
S Sn(法线向量) 电通量可正可负，取决于面法线方向的选取
电通量 (electric flux)
(3) 用高斯定律计算
(4) 电场线密集处，场强大；
• E 不均匀，S为任意曲面 e 为负 (穿进)。 (1) 电场线始于 “+”(或∞远处), 止于 “-”(或远处)，不中断；
de E dS,

高斯定理Word版

简析高斯定理在电场中的应用高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。

可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。

表达式为01()1/ni i S E ds q φε==•=∑⎰⎰ （1）高斯定理是用来求场强 E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。

典型情况有三种:1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等;2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。

根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。

选取的原则是:○1 待求场强的场点必须在高斯面上;○2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○4 高斯面的形状应是最简单的几何面。

最后由高斯定理求出场强。

高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。

但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。

步骤：1．进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）；2．根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应在此高斯面上，②穿过该高斯面的电通量容易计算。