注电考试最新版教材-第14讲数学：积分学(三)

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注电考试最新版教材-第18讲数学：积分学(七)

2 ．平面薄片的质量、重心及转动惯量设平面薄片占有 x Oy面上的区域 D ，薄片在 D 上任一点 P （ x , y ）处的面密度为μ（ x , y ) ，则薄片的质量为薄片重心的坐标为薄片关于 x 轴、 y 轴的转动惯量为（三）例题【例 1 -3 -25 】计算由两条抛物线：y2 = x 、 y ＝x2所围成的图形的面积。

【解】两条抛物线所围成的图形如图 1-3-13 所示， x 的变化区间为 [ 0 , 1] ，所求面积为计算心形线ρ＝ a （ 1 + cosθ）（ a> 0）所围成的图形的面积。

【解】心形线所围成的图形如图 1-3 -14 所示，θ的变化区间为 [-π,π]。

所求面积为【例1-3-27】计算由椭圆2222x ya b+= 1所围成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转椭球体的体积为【解】这个旋转体也可看作是由半个椭圆及 x 轴围成的图形绕x轴旋转而成。

x 的变化区间为「- a , a ］。

所求体积为故应选（ C ）。

【例1 - 3 -29】计算摆线 x = a（θ- sin θ) ，y＝ a （ 1 －cosθ）的一拱（ 0≤θ≤2π）（图 l -3-15 ）的长度。

【解】θ的变化区间为 [0 , 2π], x '（θ） = a （ 1 － cosθ ) ，y’（θ） = asinθ，所求弧长为【例 1-3 – 30】求半径为 a 的均匀半圆薄片（面密度为常量μ）对于其直径边的转动惯量。

【解】取坐标系如图1-3-16 所示，薄片所占闭区域所求转动惯量即半圆薄片对于 x 轴的转动惯量其中M =212a πμ为半圆薄片的质量。

第四节无穷级数一、数项级数（一）常数项级数的概念和性质 1 ．常数项级数的概念数列 u n （ n = 1 , 2 , …）的各项依次相加的表达式1n n u ∞=∑称为无穷级数，第n 项u n 称为级数的一般项或通项，前n 项之和 S n =1n i i u =∑称为级数1n n u ∞=∑的部分和。

高二数学选修导数第十四讲：定积分课件--名师微课堂(自制)

0
0
A． 1
B． 1 3
C． 1 3
D． 1
【答案】B
【解析】设 1 f ( x)dx m ， 0
则 f ( x) x2 2m ， m
1
f ( x)dx
0
1(x2
0
2m)dx
x3 3

2m
，
因此 m 1 ． 3
【考点】定积分
【点拨】本题的难点是不知道 1 f ( x)dx 是个常数． 0
陷阱六：有些被积函数，既不好找原函数，也不好找面积关系，想不到用函数的奇偶性去解决．对称的奇函数的积分是恒为0的．
【易错典例】（原创）已知 f ( x) sin x(2cos 2 x x2 ) | x | ，则 5 f ( x)dx
x2 2
5
．
【陷阱】高中阶段求积分的三种方法：（1）微积分基本定理；（2）面积法；（3）根据奇偶性．没有注意到第三种方法，导致错误．
b
f ( x)dx
b
g( x)dx
b
[
f
(
x)
g(
x
)]dx
．
a
a
a
通过前面的学习，相信大家对这堂课的知识点有了初步的了解，下面我们通过几个例题，加深对知识的理解及运用，----“典题剖析”
典题剖析
例 1．（江西理）若 f ( x) x2 2 1 f ( x)dx ，则 1 f ( x)dx （）
定积分
（请您根据课程的内容添加一个过渡语此为参考）首先，我们对这节课的重要知识点进行整理归纳，“知识要点”
知识要点
1．定积分（1）定积分的定义及相关概念：
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…xi－1<xi<…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间

积分学培训课件

积分的形式，进而进行求解。
积分在物理学中的应用
质心和重心计算
通过质点和连续分布物体的密度函数进行定积分，可以求得物体的质心和重心位置。这些量对于物体的平衡和稳定性分析具有重要意义。
力学中的功和能量
在力学中，通过力函数与位移函数的定积分可以计算力所做的功。而能量相关的概念如动能、势能等也与积分密切相关。
详细展示微积分基本定理的证明过程，帮助学生深入理解定理的本质。
应用举例
通过丰富的实例，展示微积分基本定理在求解定积分、解决实际问题等方面的应用。
03
积分的计算与应用
积分的计算方法
01
黎曼积分
通过将被积函数在积分区间内分割成无数个小区间，再对每个小区间进
行近似计算，最后求和得到的结果。适用于连续或分段连续的函数。
积分学在物理学中有着广泛应用，如求解质心、转动惯量等物理量，以及描述电磁场、引力场等自然现象。
02
积分的基本概念与性质
原函数与不定积分
01
02
03
定义
介绍原函数的概念，以及其与不定积分之间的关系。
性质
探讨原函数的性质，如连续性、可导性等，并分析这些性质对不定积分的影响。
求解方法
详细阐述求解原函数与不定积分的方法和步骤，包括直接积分法、换元积分法、分部积分法等。
积分在几何学中的应用
面积计算
通过定积分可以计算平面曲线围成的面积。对于曲线与x轴围成的面积，可以通过对y=f(x)在相
应区间进行定积分求得。
体积计算
利用定积分可以计算三维空间中曲面与平面所围成的体积。通过对面积微元进行积分，可以得到
体积的数值结果。
长度计算

高等数学第四章第三节分部积分法课件.ppt

原式 = tan x lncos x tan2 x dx tan x lncos x (sec2 x 1) dx
tan x lncos x tan x x C
例7. 求
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t
原式 2 t e t d t 令 u t , v et 2(t et et ) C 2e x ( x 1) C
则 u 1 , v 1 x2
x
2
原式 = 1 x2 ln x 1 x dx
2
2
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
例3. 求 x arctan x dx.
解: 令 u arctan x, v x
则
u
1
1 x
2
,
v 1 x2 2
∴ 原式 1 x2 arctan x 1
2
2
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
1,
1
cos sin
x x
dx
得0=1
ln sin x C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
再令 u cos x , v ex , 则 u sin x , v ex
ex sin x ex cos x ex sin x dx
故
原式 =
1 2
e
x
(sin
x
cos
x)
C
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 ,

注电考试最新版教材-第17讲数学：积分学(六)

平面曲线积分的计算法 1 第一类曲线积分的计算法设 f ( x ，y)在曲线弧L 上连续，L 的参数方程为在［a ，β］上具有一阶连续导数，且如果曲线 L 由方程y =y (x) ( a ≤x ≤b ）给出，则有如果曲线由方程ρ=ρ(θ)（α≤θ≤β）给出，则有2 第二类曲线积分的计算法设函数P （x ， y ) , Q ( x ，y)在有向曲线弧 L 上连续, L 的参数方程为()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩.当t 单调地由a 变到β时，点 M 从起点 A 沿 L 运动到终点 B ，(),()t t ϕψ在［ a ，β］或 [ β,α]上具有一阶连续导数，如果有向曲线 L 由方程 y = y (x ）给出（x ： a → b ) ，则有格林公式定理设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数P （ x ，y ）及 Q （ x ，y)在 D 上具有一阶连续偏导数，则有其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。

上述公式称格林公式。

这一公式揭示了闭区域 D 上的二重积分与沿闭区域 D 的正向边界曲线 L 上的曲线积分之间的联系，利用这一联系使得两种积分的计算可以相互转化。

（四）例题【例 1- 3 - 22 】计算半径为 R 、中心角为 2a 的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量 I （线密度μ＝ 1 ）。

【解】取圆弧的圆心为原点，对称轴为 x 轴，并使圆弧位于y轴的右侧（图 1 一 36 ) ，则L 的参数方程为于是例题2计算Ly2dx，其中L是半径为 a 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周（图 1 -3-7 ）。

【解】 L 是参数方程为当参数θ从 0 变到π的曲线弧。

因此．积分的应用（一）定积分的应用1 ．几何应用（ 1 ）平面图形的面积1 ）直角坐标情形设平面图形由曲线 y = f （ x ）、y = g （ x ) （f（ x ) ≥g （ x ) ）和直线 x = a 、x = b所围成（图 1-3 - 8 ) ，则其面积。

积分学基础知识讲解

积分学基础知识讲解一、积分的引入在微积分中，积分是求曲线下面的面积的方法。

我们可以将曲线上的点坐标进行连接，形成许多小矩形，然后求得这些小矩形的面积之和即可得到曲线下面的面积。

二、定积分的定义定积分是一种特殊类型的积分，用于计算已知函数在给定区间内的面积。

设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将[a, b]分为n个小区间，并在每个小区间选取一个点ξi。

则定积分的定义可以表示为：∫[a, b]f(x)dx = limΔx→0 Σf(ξi)Δxi其中Σf(ξi)Δxi表示对每个小区间中的函数值乘以小区间长度的总和，Δx为小区间的长度。

三、定积分的计算定积分的计算可以通过不同的方法进行，如：几何法、分割法和换元法等。

1. 几何法几何法是通过计算图形的面积来求解定积分。

将函数f(x)与x轴所围成的图形划分为多个几何图形，如三角形、矩形等，然后计算各个几何图形的面积之和即可得到定积分的值。

2. 分割法分割法是将积分区间[a, b]分为n个小区间，然后利用求和的方式逼近定积分。

对于每个小区间，可以选择左端点、右端点或者区间中点作为代表点，然后计算各个小区间代表点所对应的函数值乘以小区间长度的总和即可得到定积分的数值。

3. 换元法换元法是通过引入新的变量来简化定积分的计算。

根据变量替换的不同，可以有几种常见的换元法，如：代入法、分部积分法和三角代换法等。

四、不定积分的定义不定积分是积分的逆运算，表示通过求导运算求得原始函数（或称为原函数）。

不定积分的定义可以表示为：∫f(x)dx = F(x) + C其中F(x)是函数f(x)的原函数，C为常数。

五、不定积分的计算不定积分的计算可以通过反向思考定积分的计算过程来进行。

1. 基本积分法基本积分法是指通过查表或者记忆求得常见函数的不定积分。

常见的函数积分包括多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数等。

2. 分部积分法分部积分法是一种通过对积分进行适当分解，然后运用积分的性质来简化积分计算的方法。

注册电气公共基础第14讲高等数学

2．计算223Dxy d σ⎰⎰,其中 D 是 x 轴、 y 轴和抛物线 y =1 – x 2所围成的在第一象限内的闭区域。

【解】抛物线y =1 – x 2与 x 轴、 y 轴的交点依次为（1，0）及（0，1），积分区域 D （图 1-3-5 ）可表成从而3．计算22x y Dedxdy --⎰⎰，其中 D 是由中心在原点、半径为α的圆周所围成的闭区域。

【解】在极坐标系中，闭区域 D 可表成于是4．交换积分次序，二次积分化为［解」由所给的二次积分，可得积分区域更换积分次序，得故选（ B ）。

5．计算三重积分D xdxdydz，其中Ω为三个坐标面及平面x + 2y + z =1 所围成的闭区域。

【解】积分区域而于是【解】Ω1是上半球Ω2是Ω1的14，位于第一卦限内。

Ω1关于yOz面和zOx 面都对称，所以只要被积函数对 x 及 y 都是偶函数，就有上述四个选项中，只有当 f (x ,y, z) = z 时，上述关系才成立，故应选（ C ）。

本题也可以采取如下解法。

由于Ω1关于yOz 面对称，而被积函数关于 x 是奇函数，故有但因此（ A ）不正确。

同理， ( B ）和（ D ）也不正确。

故应选（ C ）。

四、平面曲线积分格林公式（一）平面曲线积分的概念与性质 1 ．对弧长的曲线积分的概念与性质设 L 为平面内一条光滑曲线弧， f （x ，y ）在 L 上有界，将 L 任意划分成n 个小段，第 i 个小段的长度为is ，（i ξ , i η）为第 i 小段上任一点，λ＝ max{}1,...,ns s , 若极限总存在，则称此极限为f （x ，y ）在 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作(,)Lf x y ds ⎰,即若曲线形构件 L 在点（ x , y ）处的线密度为μ（x ， y ) ，则曲线积分Lμ⎰( x , y ) ds 就表示此构件的质量 M ，即当 L 为闭曲线时，曲线积分记为L⎰f ( x ,y )ds.第一类曲线积分具有如下性质：2 对坐标的曲线积分的概念与性质设L 为平面内从点 A 到点 B 的一条有向光滑曲线弧，P （ x ，y ）、 Q ( x ，y)在 L 上有界，将L 任意分成 n 个有向小弧段1i i M M -( I =1,2,…,n; M 0= A, M n =B ), i x = x i – x i-1 ,i y = y i – y i-1 .任取（i ξ , i η）∈1i i M M -，记λ =max{}1,...,ns s ,若极限总存在，则称此极限为P （x ，y ）在有向曲线弧 L 上对坐标 x 的曲线积分，记作L⎰P(x,y) ds,即类似地定义 Q （x ， y ）在有向曲线弧L 上对y 的曲线积分。

注电考试——高数知识资料

a1 xn1 b1 xm1

an1 x bm1 x

an bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
四种类型分式的不定积分
1.
(11) csc x cot xdx csc x C
(6) cos xdx sin x C
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C
ln a
(14) shxdx chx C
(15) ch xdx shx C
(16) tan xdx ln | cos x | C
N q)n
dx

M 2
(2x (x2
p)dx px q)n

(
N x2

Mp 2
px
q)n
dx
此两积分都可积,后者有递推公式
（2）三角函数有理式的积分
定义由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
令u tan x 2
sin

1 dx arcsin x C
a2 x2
a
(18) sec xdx ln | (sec x tan x) | C
(24)
(19) csc xdx ln | (csc x cot x) | C
1 dx
x2 a2 ln | ( x x2 a2 ) | C
dx cos2
x

注册电气考试高数积分学

2
x
2e

x
2

ex2

C.
二、定积分
1、定积分定义：
b
f ( x)dx
a

I
n
lim 0 i1
f
(i )xi.
2、定积分的性质
性质1
b
a [
f
(
x)

g(
x)]dx

b
a
f
(
x)dx

b
a g(
x)dx
性质2
b
a kf
(
x)dx

k
b
a
f
(
x)dx
(k 为常数)
解 xf ( x)dx xdf ( x) xf ( x) f ( x)dx,

f ( x)dx f ( x),
f ( x)dx ex2 C,
两边同时对 x求导, 得 f ( x) 2xex2 ,
xf ( x)dx xf ( x) f ( x)dx
5、定积分的计算法
（1）凑微分法
（2）第二类换元法
b
a
f ( x)dx

f [ (t)] (t)dt
（3）分部积分法
b a
x2

3dx
=
1 2

x2 3d(x2 3)
= 1
1
(x2

1 1
3) 2

C
2 1 1
2
3
1 (x2 3)2 C 3
第二类换元的解题思路为 (t) f [ (t)] (t)

注电考试最新版教材-第12讲数学：积分学(一)

第三节积分学一、不定积分与定积分（一）不定积分、定积分的概念与性质1 ．不定积分的概念与性质若在区间 I 上，F '（x ）= f （x ）或 dF （x ）= f （x ）dx ，则称函数 F （x ）为 f （x ）在区间 I 上的一个原函数。

如果函数 f （x ）在区间 I 上连续，则其原函数 F ( x)必存在。

如果 F （x ）是 f （x ）在区间 I 上的原函数，则 F （x ）十 C 均是 f （x ）在区间 I 上的原函数（其中 C 为任意常数）。

f （x ）的任意两个原函数只相差一个常数。

在区间 I 上，函数 f （x ）的带有任意常数项的原函数称为 f （x ）在区间 I 上的不定积分，记作⎰f (x)dx .不定积分具有如下性质：2 ．定积分的概念与性质设函数 f ( x ）在[ a ，b]上有界，将[ a , b ]任意划分成，n 个小区间总存在（即极限不依赖于对[a,b]的分法与i ξ的取法），则称函数 f ( x ）在［ a ，b ］上可积，并称上述极限为，f （x ）在[a,b]上的定积分，记作()ab f x dx ⎰,即在［a ，b ］f （x ）≥0时，定积分()a b f x dx 在几何上表示由曲线y=f （x ）、两条直线 x = a 、 x = b 与二轴所围成的曲边梯形的面积。

对定积分还有两点补充规定：定积分具有如下性质：（二）积分法1 ．基本积分表2 ．换元积分法对不定积分，有第一类换元法：第二类换元法：其中1()x ψ-是()x t ψ=的反函数，且'()0t ψ≠。

对定积分，有。

经济数学基础积分学之第3章积分应用.doc

第一单元积分的几何应用一、学习目标通过本节课的学习，了解定积分的几何意义，学会计算曲边梯形的面积，进而计算平面图形的面积二、内容讲解积分的几何应用能使我们从直观上理解定积分的含义，也能通过几何图形直观地理解定积分的性质．先讲平面图形的面积计算．怎样测定一块不规则土地的面积，我们知道怎样计算矩形的面积，但要把这块土地当作矩形来计算，那么误差就太大了．由于面积具有可加性，可以将这块土地划分成一些小条形状，将每个小条近似地当作一个矩形（这样误差很小），那么，这些矩形面积之和就是这块土地面积的近似值．将这块土地抽象成坐标系中的这个图形，图形上端曲线方程为)(x f y =，将图形划分为一些小条，其中小条面积用矩形面积近似，即x x f ∆)(图形的面积近似为∑∆xx f )(小条分得越细，近似程度越高，令所有小条的宽度趋于0，就得到图形面积的精确值．这种分割、近似、求和、取极限的方法也可以解决其它应用问题．如果用S 表示图形的面积，由定积分的定义可知⎰=baxx f S )d (从这个问题的解决可以看出，当0)(≥x f 时，⎰bax x f )d (的几何意义就是由曲线)(x f y =与x 轴及直线 b x a x ==,所围的平面图形的面积．通过例子说明：当0)(≥x f 时，⎰ba x x f )d (的几何意义就是表示由曲线)(x f y =与x 轴及直线b x a x ==,所围的曲边梯形的面积．再来看一般的情况，计算如下图形的面积图形上面的曲线为)(x f y =，下面的曲线为)(x g y =，由定积分的几何意义可知图形的面积为⎰⎰⎰-=-=bababaxx g x f x x g x x f S )]d ()([)d ()d (或表示为⎰-=baxy y S ]d [下上一个积分是在对称区间],[a a -上的积分，如果遇到这样的积分，就可以考察被积函数的奇偶性，结论是⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰-是偶函数时当是奇函数时当)(,)d (2)(,0)d (0x f x x f x f x x f aa a从上图可以看出，当)(x f 是奇函数时有⎰⎰=--aaxx f x x f 0d )(d )(；当)(x f 是偶函数时有⎰⎰=-aaxx f x x f 00d )(d )(．问题思考1：直线0=y 与x 轴是什么关系？答案直线0=y 就是x 轴．问题思考2：圆心在原点的单位圆的方程是什么？答案圆心在原点的单位圆的方程是122=+y x 三、例题讲解例1 三角形底为1，高为2，求三角形的面积．解：按三角形面积公式有1212121=⨯⨯=⨯=高底S用定积分计算（如图）⎰=1d 2xx S1102==x例2 梯形上底为1，下底为2，高为1，求梯形的面积．解：按梯形面积公式有231212121=⨯+⨯=⨯+=）（高下底）（上底S 用定积分计算（如图）⎰=21d x x S 232212==x例3求半径为2的圆的面积．解：按圆的面积公式有ππ422=⋅=S用定积分计算（如图）⎰-=202d 44xx S令t x sin 2=，则t t x d cos 2d =，0=x 时0=t ；2=x 时2π=t ．⎰⋅-=202d cos 2sin 444πt t t S ⎰⋅-=202d cos sin 116πtt t⎰=202d cos 16πt t ⎰+=20d 22cos 116πtt 20)2sin 21(8πt t +=π4= 例4 求由12+=x y ，2=x 及x 轴和y 轴围成的平面图形的面积．解：平面图形如图所示⎰+=2021)d (x x S 23)3(x x +=314=例5求由x y sin =，x 轴在区间]2,0[π上围成的平面图形的面积．解：平面图形如图所示⎰=20d sin πxx S20cos πx -= 1=例6 求由x y =，3x y =所围成的平面图形的面积．解：平面图形如图示，在区间)0,1(-上x x >3在区间)1,0(上 3x x >由此得⎰⎰-+-=-103013d )(d )(xx x x x x S21)42()24(10420124=-+-=-x x x x例7计算⎰-+222)d sin (ππxx x x解：因为2,x x 都是偶函数，x sin 是奇函数．所以2x x 是偶函数，xx sin 是奇函数．由此得⎰⎰⎰---+=+22222222d sin d )d sin (ππππππxx x x x x x x x x⎰⎰=+=203202d 20d 2ππxx x x x3224204ππ==x四、课堂练习练习1 求由曲线12-=x y 与x 轴及直线2,0==x x 围成的曲边梯形的面积．去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清)(x f 在区间],[b a 上的符号．考虑12-x 在区间)2,0(内是否与x 轴有交点，有则变号，没有则不变号．12-x 与x 轴的交点为)0,1(，在区间)2,0(内．在区间)1,0(上012<-x ，在区间)2,1(上012>-x练习2求由曲线3x y =与直线0,2=+-=x x y 围成的平面图形的面积求3x y =与2+-=x y的交点，确定积分限．两条曲线)(x f y =与)(x g y =所围成的面积表示为则情况例外）．要计算这个积分，需要去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清)()(x g x f -在区间],[b a 上的符号．五、课后作业1．利用定积分的几何意义计算下列定积分：（1）⎰10d xx ；（2）)0(d 022>-⎰R x x R R.2．求由下列曲线所围平面图形的面积：（1）直线6,3,0,23===+=y y x x y ；（2）2x y =与2=+y x ；（3）x y cos =与x 轴，在区间],0[π上. 3．利用函数的奇偶性求下列定积分的值：（1）⎰-224d sinππxx x ；（2）⎰-223d xx ；（3）⎰-+1123)d 64(xx x .第二单元积分在经济分析中的应用一、学习目标通过本节课的学习，了解已知边际函数求原经济函数的方法．二、内容讲解若某产品的销售曲线为)(t f y =，它表示该产品在单位时间里的销售额．考虑从1t 到2t 时间段内的销售总额．如果在1t 到 2t 时间段内的单位时间里的销售额为常数，那么销售总额就是时间间隔乘以这个常数．但现在单位时间里的销售额是个变量，不能这样简单地计算．利用定积分的思想，把时间间隔],[21t t 分割成很多小的时间段，将每个小段时间内单位时间里的销售额视为常数，每个小段时间内的销售额近似为t t f ∆)(则在1t 到2t 时间段内的销售总额可近似为∑≤≤∆21)(t t t tt f最后取极限，即让每个小段时间的间隔趋于0，得到从1t 到2t 时间段内的销售总额u 为⎰=21d )(t t tt f u这样就将在一个时间段内单位时间销售额为变量的产品的销售总额表示成了一个定积分．问题思考：)0(L 的经济意义是什么？答案)0(c L -=，它的经济意义是当产量为0时，利润为全部的固定成本支出三、例题讲解例1 若一年内12个月的销售额随着时间的增长而增长，具体的销售曲线为t02.0e 1000000，求一年内的销售总额．解：⎰=1202.0d e 1000000t u t 1202.0e 02.01000000t =13560000=（元）例2 若已知某企业的边际成本函数为q2.0e 2，且固定成本900=c ，求产量q 由100增加至200时总成本增加多少．解法一：⎰=∆2001002.0d e 2q C q 2001002.0e 2.02q =)e e (102040-= 解法二：q q C 2.0e 2)(='⎰=q q C qd e 2)(2.012.0e 10c q +=已知9010)0(1=+=c C ，得801=c ，即80e 10)(2.0+=qq C )100()200(C C C -=∆)e e (102040-=四、课堂作业练习1 已知某产品边际成本为1502)(-='qq C （百元／件），固定成本为10000（百元），边际收入为50)(='q R （百元／件），试求利润函数)(q L ．练习2某产品边际成本q q C +='3)(（万元／百台），边际收入q q R -='12)(（万元／百台），固定成本5（万元）．求（1）使利润达到最大的产量及最大利润；（2）若在最大利润产量的基础上再生产200台，总利润将发生什么变化？（1）利用)()()(q C q R q L -=求)(q L ，再求)(q L 的最大值．（2）利用⎰+'=∆200d )(q q qq L L 或直接计算)()2(00q L q L L -+=∆．592--=q q五、课后作业1．已知边际成本qq C 5.0e12)(='，固定成本为26，求总成本函数.2．某产品的总成本（万元）的变化率为1)(='q C （万元／百台），总收入（万元）的变化率为产量q （百台）的函数q q R -='5)(（万元／百台）.（1）求产量q 为多少时，利润最大？（2）在上述产量（使利润最大）的基础上再生产100台，利润将减少多少？3．某新产品的销售率为xx f --=e 90100)(，式中x 是产品上市的天数.求前4天的销售总量． 2．（1）4=q ，（2）0.5万元；3.4e 90310-+第三单元微分方程的基本概念一、学习目标通过本节课的学习，了解微分方程的基本概念．二、内容讲解设总成本函数为)(q C ，已知条件为qq C 2.0e2)(='且90)0(=C ，求)(q C ．)(q C 是未知函数，将此问题用数学语言表成边际成本是q 2.0e 2，即q q C 2.0e 2)(='．固定成本是90，即90)0(=C ．这就是一个完整的数学模型，它由一个方程和一个=)0(C 90的等式组成．在这个方程中要求的是一个未知函数，另外在方程中还出现了未知函数的导数（或微分）．这样就得到第一个概念：定义7.1——微分方程含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程．看下面两个方程：x x y y e sin =+'；53)(y y x y ='+''这是两个微分方程．第一个方程中出现未知函数的一阶导数，第二个方程中出现了未知函数的一阶导数和二阶导数．这样就得到第二个概念：微分方程中出现未知函数的导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶．上面所列第一个方程是一阶微分方程，第二个方程是二阶微分方程．再看最初的问题这个问题的答案有c q C q+=2.0e 10)( 80e 10)(2.0+=q q C)(q C 代入方程q q C 2.0e 2)(='中使之成为恒等式．这样就得到第三个概念：如果函数满足一个微分方程，即把这个函数代入微分方程后，使这个微分方程成为恒等式，则称此函数是该微分方程的解．微分方程的解有很多，c q C q +=2.0e 10)(和+=q q C 2.0e 10)(80都是微分方程qq C 2.0e 2)(='的解，它可以分为两种：不带任意常数的解称为特解．带有任意常数（且常数的个数等于微分方程的阶数）的解称为通解．c q C q +=2.0e 10)(是微分方程q q C 2.0e 2)(='的通解，80e 10)(2.0+=q q C 是微分方程q q C 2.0e 2)(='满足90)0(=C 的特解．已知自变量取某值时，未知函数（或导数）取特定的值，这样的条件称为初始条件，含有初始条件的微分方程称为初值问题．归纳起来可知q q C 2.0e 2)(='是一阶微分方程；90)0(=C 是一个初始条件；⎩⎨⎧=='90)0(e 2)(2.0C q C q 是一个初值问题；c q C q +=2.0e 10)(是q q C 2.0e 2)(='的通解； 80e 10)(2.0+=q q C 是q q C 2.0e 2)(='的特解．未知函数及其各阶导数（或微分）都是一次的微分方程，称为线性微分方程问题思考：xy y e =''是否为线性微分方程？答案不是线性微分方程，因为y y ''是二次的形式．三、例题讲解例1已知某种产品的需求弹性恒为1-，且当价格为2时需求量为300，求需求函数．解：设需求函数为)(p q ，应满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅300)2(1d d q p qq p这就是整个问题的数学模型，是一个初值问题．如何求)(p q 将是下一节要讲的内容．四、课后作业指出下列微分方程的阶数：（1）06)(3)(8542=+-'+''x y y y ；（2）0e 5)(32=+'-'x y y y x ；（3）x y x y y x sin 5)(3='-'+''.（1）2阶（2）1阶（3）2阶第四单元可分离变量的微分方程一、学习目标通过本节课的学习，掌握可分离变量的微分方程的解法．二、例题讲解什么是可分离变量的微分方程，如果一般形式),(y x f y ='的微分方程可以变形为)()(21y g x g y ='这种形式的微分方程叫做可分离变量的微分方程．在这种情况下，可分离变量为x x g y g y d )()(d 12=两边分别求不定积分，左边对y 求，右边对x 求⎰⎰=x x g y g y d )()(d 12如果)(2y G ，)(1x G 分别是)(12y g 和)(1x g 的原函数．得)()(d 22y G y g y =⎰，)(d )(11x G x x g =⎰即有c x G y G +=)()(12上式就是可分离变量的微分方程)()(21y g x g y ='的通解，其中c 是任意常数．三、例题讲解例1⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅300)2(1d d q p q q p ．解：分离变量得p p qq d d -=两边积分⎰⎰-=p p q q d d得cp q +-=ln ln p c c p 11ln ln ln =+-=，p c q 1= 将300)2(=q 代入上式得23001c =，即6001=c ．由此得p q 600= 例2求22xy y y +='的通解．解：)1(d d 222x y xy y x y +=+=分离变量为x x y y d )1(d 2+= 两边积分⎰⎰+=x x y y d )1(d 2得cx y ++=-2)1(12方程22xy y y +='的通解是c x y ++=-2)1(12其中c 是任意常数．四、课堂练习求微分方程y x y x y +++='11的通解．分后便得到方程的通解，一般是隐函数的形式．将带有y 与y d 的表达式放到方程的一端，将带有x 与x d 的表达式放到方程的另一端．原五、课后作业1．求下列可分离变量的微分方程的通解：（1）0ln ='+y x y y ；（2）y y e 1='+.2．求微分方程y x y -='2e 满足初始条件0)0(=y 的特解.第五单元一阶线性微分方程一、学习目标通过本节课的学习，掌握一阶线性微分方程的解法．二、内容讲解方程)()(x Q y x P y =+'称为一阶线性微分方程．下面导出求解公式．我们希望将)()(x Q y x P y =+'的左端变为某个函数的导数，这样只需对右端求积分就可简单求解，但一般做不到，需要在方程两端乘一个函数)(x g ，得)()(])()[(x g x Q y x P y x g =+'适当选择)(x g 使])()[(y x P y x g +'成为某个函数的导数y x P x g y x g y x P y x g )()()(])()[(+'=+'])(['=y x g根据乘积的导数公式，应该有)()()(x P x g x g ='由上式解出⎰=x x P x g d )(e )(称⎰x x P d )(e 为积分因子，将其乘到方程两端，等式左端⎰⎰⎰+'=+'x x P x x P x x P y x P y y x P y d )(d )(d )(e )(e ])([e )e (e d )(d )('+'=⎰⎰x x P x x P y y )e (d )('=⎰x x P y等于右端⎰⎰='x x P x x P x Q y d )(d )(e )()e (两端积分得c x x Q y x x P x x P +=⎰⎰⎰de )(e d )(d )( 整理得]d e )([e d )(d )(c x x Q y x x P x x P +=⎰⎰⎰-得到一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式]d e )([e d )(d )(c x x Q y x x P x x P +=⎰⎰⎰-其中c 是任意常数．注意：必须将一阶线性微分方程写成标准形式.三、例题讲解例1求解⎩⎨⎧==++'1)0(022y x xy y ．解：先求通解，将方程化为x xy y 22-=+'得到x x Q x x P 2)(,2)(-==，由求解公式得]d e )([e d )(d )(c x x Q y x x P x x P +=⎰⎰⎰-]d e 2[e d 2d 2c x x x x x x +-=⎰⎰⎰-]d e 2[e 22c x x x x +-=⎰-]e [e 22c x x +-=-2e 1x c -+-=将1)0(=y 代入上式得0e 11c +-=即2=c ，求解得2e 21x y -+-=例2求52x y y x =-'的通解．解：将方程化为42x y x y =-' 得到4)(,2)(x x Q x x P =-=，由求解公式得]d e )([e d )(d )(c x x Q y xx P x x P +=⎰⎰⎰-]d e [e d 24d 2c x x x x x x +=⎰⎰-⎰]d [242c x x x x +=⎰-]3[32c x x +=四、课堂练习求初值问题1)1(2=+'-xy y x ，1)0(=y 的解．此方程为一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'可由公式求解，也可用积分因子法求解．由初始条件确定积分常数．五、课后作业1.求微分方程x y y -=+'e 的通解.2.求初值问题x x y y 2e 2=-'，1)0(=y 的解．1．x c x y -+=e )( 2．x x x y 2e )1(2e 3-+=。

注电考试最新版教材-第7讲数学：微分学(三)

例题：判定y=ln(x+21x +)的奇偶性。

二连续（一）函数的连续性与间断点 1 ．函数的连续性设 f （ x ）在 x 0的某邻域内有定义。

若0lim x x f → （ x ）= f （x 0），则称 f （x ）在 x 0 连续;若 00lim ()()x x f x f x -→=,则称 f （ x ）在 x 0左连续；若00lim ()()x x f x f x +→=，则称 f （ x ）在 x 0 右连续。

若函数f （ x ）在区间I 上每一点都连续，则称 f （ x ）在该区间上连续。

特别，当I = [ a , b ］时, f （ x ）在 [ a ，b]上连续，是指 f （ x ）在（a ， b ）内每一点处连续，且在 a 处右连续,在 b 处左连续。

2 ．函数的间断点由函数在一点连续的定义可知,函数 f （ x ）在一点 x 0处连续的条件是: （ 1 ） f （ x o ）有定义；（ 2 ） 0lim ()x x f x → 存在；（ 3 ）00lim ()()x x f x f x →=若上述条件中任何一条不满足, 则f （ x ）在 x 0处就不连续，不连续的点就称函数的间断点。

间断点分成以下两类：第一类间断点： x 0是f （ x ）的间断点，但f （x 0-）及f （x 0+）均存在；第二类间断点：不是第一类的间断点。

在第一类间断点中，若0lim ()x x f x -→` 0lim ()x x f x +→均存在但不相等,则称这种间断点为跳跃间断点；若 f （ x 0-） , f （ x o + ）均存在而且相等，则称这种间断点为可去间断点。

（二）初等函数的连续性1 ．基本初等函数和初等函数幂函数、指数函数、时数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

工程数学课程十四复变函数七公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件

(包括无穷远点在内)
则在各点
留数总和为0.
第11页
n
Re s f (z) Re s f (z) 0
k 1 zak
z
例５.计算积分:
解: 求被积函数奇点，令
或
得
当远处
时，
也是其奇点，因此
解析，故无穷
第12页
第13页
§3 留数在定积分计算上应用
把实变积分联系于复变回路积分要点下列:
定积分
积分区间
能够看作是复数平面上实轴上一段
，
于是，或者利用自变数变换把
变成
某个新复数平面上回路，这样就可
以应用留数定理了；或者
另外补上一段曲线
，第14页
区域B，这样
b
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (x)dx f (z)dz
l
l1
l2
a
l2
一、计算
2
R(cos ,sin )d
第21页
(iii).当 z 在上半平面或实轴上时，
和
一致地 0 ，则
F x cos mxdx i Re s F z eimz
0
Imak 0 z ak
G xsin mxdx Re sG z eimz
0
Imak 0 z ak
例13
计算积分
0
cos 1
mx2xdx,
第5页
Re s za
f
(z)
c1
(n
1 lim
1)! za
d n1 dz n 1
( z
a)n
f
( z )
2、当a为一阶极点，则
3.设 f (z) (z),

课件+经济数学基础+罗国湘+高等教育出版社-第3章不定积分

(12) ∫
d
1− 2
= arcsin + ;
= arctan + .
注意（1）与基本求导公式一样,这些基本积分公式必须熟记，它们是积分运算的基础;
(2) 上述积分公式中积分变量换成其他变量仍成立. 如 ∫ e d = e + , ∫ cos d = sin + .
න
1
1
令 =3 1
cos 3 d = න cos 3 d(3)
=
න cos d = sin +
3
3
3
回代 1=3 + . Nhomakorabea3
验证可知, 结论正确.
第二节不定积分的积分方法
二、第一换元积分法（凑微分法）
一般地, 有
න ()d = න [()]′ ()d = න [()]d()
(8) ∫
(9) ∫
1
sin2
d = ∫ csc 2 d = −cot +
(11) ∫ csc cot d = −csc + ;
(13) ∫
d
1+ 2
1
cos2
d = ∫ sec 2 d = tan + ;
(10) ∫ sec tan d = sec + ;
注意, 求 ∫ ()d 时, 切记 “ + ”, 否则求出的只是一个原函数而不是不定积分.
第一节不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念——几何意义
在直角坐标系中，（）的任意一个原函数（）的图形
是一条曲线 = （），这条曲线上任意点（，（））处
的切线的斜率F′（x）恰为函数值（），称这条曲线为（）

高等数学课件广义积分.ppt

因此, 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为
a 1 p ;
p1
当 p≤1 时, 广义积分发散 .
©
例5. 计算广义积分
解: 原式 t e pt p
1 e pt d t
p0
1 p2
e pt
1 p2
©
2002年考研数学(一)填空3分
1
1.计算
e
x
ln 2
dx x
解
e
1 x ln2
2
d
(x
) x
1
arctan
x
1 x
22
2 0
©
2.
求
解：
积分.
I
0
11
f
( x) f 2(x)
d
x
的无穷间断点, 故 I 为广义
3
21
f
( x) f 2 (x)
d
x
f 1
( x) f 2(x)
d
x
1
d
f f
(x) 2 (x)
arctan
f
(x)
C
]
]
2
2
©
( x a)1q 1q
b
a
1q
,
,
q1 q1
(b a)1q
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为
; 1q
当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
©
例9. 计算广义积分
3 dx
0
x
2
13
解:
3 dx
0
x
2
13
1 dx
0
x

注电考试最新版教材-第14讲 数学：积分学(三)

注电考试最新版教材-第18讲 数学：积分学(七)

高二 数学 选修 导数 第十四讲：定积分 课件--名师微课堂(自制)