2021届文科复习讲义知识点三十直线、平面垂直的判定及性质

直线、平面垂直的判定及其性质

考点知识梳理

一、直线与平面垂直

（一）、直线与平面垂直的定义

条件：直线l与平面α内的______________都垂直结论：直线l与平面α垂直（二）、直线与平面垂直的判定：Array 1、判定定理：一条直线和一个平面内的__________________都垂直，

则该直线和此平面垂直。

2、书写格式：________________________

（三）、直线和平面垂直的性质

（．1．）如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2）如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

（．3．）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

例1：给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件。（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）

【解析】：必要不充分

变式练习1：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α。

②若m∥α，α⊥β，则m⊥β。

③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α。

④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β。

则其中正确命题的序号为________。

【解析】：①③④

变式练习2：已知平面α、β、γ，直线l、m满足α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l

⊥m，那么：①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β。

由上述条件可推出的结论有________（填序号）。

【解析】：由条件知α⊥γ，γ∩α＝m，l⊂γ，l⊥m，则根据面面垂直的性质定理有l⊥α，即②成立；又l⊂β，根据面面垂直的判定定理有α⊥β，即④成立．②④

变式练习3：如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的

直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正

投影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC。

其中正确结论的序号是________。

解析：由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，又AC⊥BC，P A∩AC

＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴

AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，

∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确，④错．答案：①②

③

例2：如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD

是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC中

点，PA＝AD＝a。

（1）求证：MN∥平面PAD；

（2）求证：MN⊥平面PCD。【2016年宝坻区】

二、平面与平面垂直

（一）、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成

的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面

角的面。二面角的大小，可以用它的平面角来度量，设二面角的大小

为θ，则0＜θ≤π。如图：OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，若

OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB是α—l—β的二面角。

（二）、平面与平面垂直

1、定义：如果两个平面相交，它们所成的二面角是直二面角

．．．．，则这两个平面互相垂直。如图：平面α与平面β垂直，记作：α⊥β。

2、平面与平面垂直的判定方法：

（1）定义法：证明两个相交平面所成二面角是直二面角。

（2）两个平面垂直的判定定理：如果一个

平面_______________________，那么这两个平面互相

垂直。

（3）书写格式：______________

3、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个____________________垂直于另一个平面。

书写格式: ___________________

4、点到平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间线段的

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

长．，叫做点到平面的距离。

．．．．．．．．．．．

例3：若平面α、β互相垂直，则（）

A：α中的任意一条直线都垂直于βB：α中有且只有一条直线垂直于β

C：平行于α的直线垂直于βD：α内垂直于交线的直线必垂直于β

【解析】：D

变式练习1：给出四个命题：（1）若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则a⊥b；（2）若直线a∥平面α，a⊥平面β，则β⊥α；（3）若直线a∥b，且b⊂α，则a∥平面α；（4）若平面β⊥α，平面β⊥γ，则γ⊥α。其中不正确的命题个数是（）

A：1 B：2 C：3 D：4

【解析】：B （1）、（2）正确

变式练习2：设平面α、β是两个不同的平面，l、m是两条不同的直线，给出下列四个条件：（1）l∥m；（2）l⊥m；（3）l∥β；（4）l⊥β。若l∥α，m⊥β，则给出条件中分别能使α⊥β成立的为（）

A：（1）（3）B：（2）（3）C：（1）（4）D：（2）（4）

【解析】：C

变式练习3：如图所示，在正四面体P－ABC中，D、E、

F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的

是（）

A：BC∥平面PDF

B：DF⊥平面PAE

C：平面PDF⊥平面ABC

D：平面PAE⊥平面ABC

【解析】：C

例4：如图ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90o，

AA1＝2，D是A1B1中点。

（1）求证：C1D⊥平面AA1B1B；

（2）当点F在B1B上什么位置时，会使得AB1⊥平面

C1DF？并证明你的结论。