2015高考数学一轮方法测评练：基础回扣练——推理证明、算法、复数

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2015高考数学(文)一轮复习质量检测算法初步、复数、推理与证明、系列4选讲 (北师大版)

2015高考数学（文）一轮复习质量检测算法初步、复数、推理与证明、系列4选讲(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，＋2i，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M中有2个元素．答案：B2．(2014·金陵中学月考)已知a ，b ，c 是三条不同的直线，命题“a ∥b 且a ⊥c ⇒b ⊥c ”是真命题，如果把a ，b ，c 中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：根据题意，可构成四个命题：①面α∥面β，且面α⊥面γ，则面β⊥面γ；②直线a ∥面β，且a ⊥面γ，则面β⊥面γ；③面α∥面β，且面α⊥直线c ，则面β⊥直线c ；④面α∥直线b 且面α⊥面γ，则直线b ⊥面γ，可知①②③为真命题，④中直线b ∥面γ也可行，选C.答案：C3．已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：E ，F ，G ，H 四点不共面时，EF ，GH 必定不相交．因为若EF ，GH 相交，则E ，F ，G ，H 四点共面，所以由甲可推出乙；反过来，EF ，GH 不相交，推不出E，F，G，H不共面，因为当E，F，G，H平行时，E，F，G，H共面，故由乙推不出甲．从而可知选A.答案：A4．(2013年冀州中学期中)已知函数y＝log a(x－1)＋3，(a>0且a≠1)的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则sin2α－sin2α的值等于()A.313 B.513C．－313D．－513解析：根据已知条件可知，函数y＝log a(x－1)＋3，(a>0且a≠1)的图象恒过点P，则令x－1＝1，x＝2，得到y＝3，故过点P(2,3)，那么结合三角函数定义可知，sinα＝322＋32＝31313，cosα＝313，∴sin2α－sin2α＝313－2×313×31313＝－313，选C.答案：C5．如下图所示的程序框图中的输出结果为()A．2 B．4C．8 D．16解析：k＝1，S＝2，k＝2，S＝4，k＝3，S＝8，输出8.答案：C6．(2012年福建质检)运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log23和log32，则输出M的值是()A．0 B．1C．2 D．－1解析：因为a＝log23>1，b＝log32<1，所以从程序框图可知输出值M＝log23×log32＋1＝2.故选C.答案：C7．已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2 011(x)＝()A．sin x＋cos x B．sin x－cos xC．－sin x＋cos x D．－sin x－cos x解析：因为f2(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x＝f1(x)，故f2 011(x)＝f502×4＋3(x)＝f3(x)＝－sin x－cos x，故选D.答案：D8．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图，则f(x)在[－2,1]上的最小值为() A．－1B．0C．2D．3解析：f′(x)＝2x＋2，故f(x)＝x2＋2x＋c，又f(0)＝0，∴c＝0.从而f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，在[－2,1]上的最小值为f(－1)＝－1.答案：A9．今年“十一”迎来祖国64周年华诞，北京十家重点公园将进行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟内进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是A ．211－47B ．212－57C ．213－68D ．214－80解析：设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝22－1，a 3＝23－2，a 4＝24－3，…，a 11＝211－10，所以该数列前11项的和为S 11＝(21－0)＋(22－1)＋(23－2)＋(24－3)＋…＋(211－10)＝2(1－211)1－2－11(0＋10)2＝212－57.答案：B10．运行如图所示的程序框图，则输出s ＝( )A ．3B ．－2C ．4D ．8解析：s n －s n －1＝(－1)n n (1≤n ≤5)，s 0＝1，依题意，求s 5，即－2.故选B. 答案：B11．如图，有四个半径都为1的圆，其圆心分别为O 1(0,0)，O 2(2,0)，O 3(0,2)，O 4(2,2)．记集合M ＝{⊙O i |i ＝1,2,3,4}．若A ，B 为M 的非空子集，且A 中的任何一个圆与B 中的任何一个圆均无公共点，则称(A ，B )为一个“有序集合对”(当A ≠B 时，(A ，B )和(B ，A )为不同的有序集合对)，那么M 中“有序集合对”(A ，B )的个数是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：注意到⊙O 1与⊙O 4无公共点，⊙O 2与⊙O 3无公共点，则满足题意的“有序集合对”(A ，B )的个数是4，选B.答案：B12．(2013年温州八校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －2y ≥－23x －2y ≤3，，若x 2＋4y 2≥a 恒成立，则实数a 的最大值为( )A.532B.45 C ．4D ．1解析：由x 2＋4y 2≥a 恒成立知a ≤(x 2＋4y 2)min ，令t ＝x 2＋4y 2，则表达式表示中心在原点，长轴长为2t ，短轴长为t 的椭圆，画出(x ，y )的可行域(如图所示)．由图可知，当直线x ＋y ＝1与椭圆x 2＋4y 2＝t 相切时，t 最小．由⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x 2＋4y 2＝t 得5y 2－2y ＋1－t ＝0， ∴Δ＝4－20(1－t )＝0，即t min ＝45，∴a ≤45. 故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________．解析：∵|z －2|＝x －2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 答案： 314．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0112<________.解析：由32，53，74，…，可猜想第n 个式子应当为2n ＋1n ＋1，由此可得第2 010个表达式的右边应当为2×2 010＋12 010＋1＝4 0212 011.答案：4 0212 01115．(2012年长沙联考)阅读下面的程序框图，如果输出的函数值在区间[14，12]内，那么输入实数x 的取值范围是________．解析：因为输出的函数值在区间[14，12]内，所以x ∈[－2,2]，且f (x )＝2x ∈[14，12]，解得x ∈[－2，－1]．综上，x ∈[－2，－1]．答案：[－2，－1]16．(2012年辽宁重点中学期末)计算C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C 2n ，可以采用以下方法：构造恒等式C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n ，两边对x 求导，得C 1n ＋2C 2n x ＋3C 3n x 2＋…＋n C n n x n －1＝n (1＋x )n －1，在上式中令x ＝1，得C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n ·2n －1，类比上述计算方法，计算C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C n n ＝________.解析：类比构造恒等式C 1n x ＋2C 2n x 2＋3C 3n x 3＋…＋n C n n x n ＝nx (1＋x )n －1，两边对x 求导，得C 1n ＋22C 2n x ＋32C 3n x 2＋…＋n 2C n n x n －1＝n (1＋x )n －1＋n (n －1)x (1＋x )n －2，在上式中令x ＝1，得C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C n n ＝n (n ＋1)2n －2. 答案：n (n ＋1)2n －2三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．如图中的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ＝2，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .证明：(1)取CE 的中点G ，连接FG 、BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB .又AB ＝12DE ，∴四边形GF AB 为平行四边形，∴AF ∥BG . ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴AF ∥平面BCE . (2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF ⊥CD ， ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面CDE .∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列． (1)证明：数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3；(2)设b n ＝5n －(－1)n a n (n ∈N *)．若b n <b n ＋1对n ∈N *恒成立，求a 1的取值范围．解：(1)证明：因为数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列，所以S n ＋1＝S 1＋1·2n －1，即S n ＋1＝(a 1＋1)·4n －1. 因为a n ＝⎩⎨⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，所以a n ＝⎩⎨⎧a 1，n ＝1，3(a 1＋1)·4n －2，n ≥2，显然，当n ≥2时，a n ＋1a n＝4.①充分性：当a 1＝3时，a 2a 1＝4，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n ＝4，即数列{a n }是等比数列．②必要性：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝4，即3(a 1＋1)a 1＝4，解得a 1＝3.(2)当n ＝1时，b 1＝5＋a 1；当n ≥2时，b n ＝5n －(－1)n ×3(a 1＋1)×4n －2(a 1>－1)．①当n 为偶数时，5n －3(a 1＋1)×4n －2<5n ＋1＋3(a 1＋1)×4n －1恒成立，即15(a 1＋1)×4n －2>－4×5n 恒成立，故a 1∈(－1，＋∞)． ②当n 为奇数时，b 1<b 2且b n <b n ＋1(n ≥3)恒成立．由b 1<b 2知，5＋a 1<25－3(a 1＋1)，得a 1<174.由b n <b n ＋1对n ≥3的奇数恒成立知，5n ＋3(a 1＋1)×4n －2<5n ＋1－3(a 1＋1)×4n－1恒成立，即15(a 1＋1)×4n －2<4×5n 恒成立，所以a 1＋1<203⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －2恒成立．因为当对n ≥3的奇数时，203⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －2的最小值为253，所以a 1<223.又因为174<223，故－1<a 1<174.综上所述，b n <b n ＋1对n ∈N *恒成立时，a 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，174.19．(2012年黄冈市3月质量检测)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝6，AC 1＝3，AB ＝2，BC ＝1.(1)证明：BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)D 为CC 1中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？证明你的结论；(3)求二面角B －AB 1－C 1的余弦值的大小．解：(1)证明：在矩形ACC 1A 1中，AC 1＝3，AA 1＝6，AC ＝3，所以AB 2＝AC 2＋BC 2，BC ⊥AC .又已知A 1A ⊥平面ABC ，BC ⊥AA 1，而AC ∩AA 1＝A ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1. (2)当点E 为棱AB 的中点时，满足题意．分别取BB 1中点M 和AB 中点E ，由DM ∥B 1C 1，EM ∥AB 1，得平面EMD ∥平面AB 1C 1，所以E 为AB 中点时，DE ∥平面AB 1C 1.(3)以C 为坐标原点，CB ，CC 1，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则点C (0,0,0)，B (1,0,0)，A (0,0，3)，C 1(0，6，0)，B 1(1，6，0)，A 1(0，6，3)，D (0，62，0)，AB →＝(1,0，－3)，BB 1→＝(0，6，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ABB 1的一个法向量．由⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·BB 1→＝0得⎩⎨⎧x －3z ＝0，6y ＝0，取z ＝1，则n ＝(3，0,1)．又A 1D →＝(0，－62，－3)是平面AB 1C 1的一个法向量，且〈A 1D →，n 〉与二面角B －AB 1－C 1的大小相等，cos 〈A 1D →，n 〉＝A 1D →·n |A 1D →|·|n |＝－66，所以所求二面角的余弦值大小为－66.20．(2012年天津六校联考)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝2，a n －1＝a n (a n ＋1－1)，b n ＝a n －1，数列{b n }的前n 项和为S n .(1)求证：数列{1b n}为等差数列；(2)设T n ＝S 2n －S n ，求证：T n ＋1>T n ；(3)求证：对任意的n ∈N *，都有1＋n 2≤S 2n ≤12＋n 成立．证明：(1)由b n ＝a n －1得a n ＝b n ＋1，代入a n －1＝a n (a n ＋1－1)得b n ＝(b n ＋1)b n＋1，整理得b n －b n ＋1＝b n b n ＋1.因为b n ≠0，否则a n ＝1，与a 1＝2矛盾，从而得1b n ＋1－1b n＝1.因为b 1＝a 1－1＝1，所以数列{1b n}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)因为1b n＝n ，则b n ＝1n ，S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，所以T n ＝S 2n －S n＝1＋12＋13＋…＋1n ＋1n ＋1＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 证法一：因为T n ＋1－T n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＝1(2n ＋1)(2n ＋2)>0，所以T n ＋1>T n .证法二：因为2n ＋1<2n ＋2，所以12n ＋1>12n ＋2，所以T n ＋1－T n >12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，所以T n ＋1>T n .(3)用数学归纳法证明：①当n ＝1时，1＋n 2＝1＋12，S 2n ＝1＋12，12＋n ＝12＋1，不等式成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即1＋k 2≤S 2k ≤12＋k ，那么当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋…＋12k ＋…＋12k ＋1≥1＋k 2＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12，＝1＋12＋…＋12k ＋…＋12k ＋1≤12＋k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②知对任意的n ∈N *，不等式成立．21．(2012年东北四校质检)已知函数f (x )＝kx ＋ln x (k 是常数)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当k ＝0时，是否存在不相等的正数a ，b 满足f (a )－f (b )a －b ＝f ′⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可知f ′(x )＝kx ＋1x (x >0)， ①k ≥0时，f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增； ②当k <0时，f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1k 上单调递增，在x ∈(－1k ，＋∞)上单调递减． (2)不妨假设存在a >b >0符合题意，即ln a －ln b a －b ＝2a ＋b，整理得ln a b ＝2(a －b )a ＋b ，①构造函数F (x )＝ln x －2(x －1)x ＋1(x >0)，∴F (1)＝0且F ′(x )＝(x －1)2x (x ＋1)2≥0，∴F (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增． ∵a b >1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b >F (1)＝0，即ln a b >2(a －b )a ＋b，与①矛盾，∴符合题意的不相等的正数a ，b 不存在．请考生在22题A 、B 、C 中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22A.选修4－1：几何证明选讲(2012年郑州质检)如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .(1)求证：∠DEA ＝∠DF A ；(2)若∠EBA ＝30°，EF ＝3，EA ＝2AC ，求AF 的长．解：(1)证明：连接AD ，BC .因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ADB ＝∠ACB ＝∠EF A ＝90°，故A ，D ，E ，F 四点共圆，∠DEA ＝∠DF A .(2)在Rt △EF A 和Rt △BCA 中，∠EAF ＝∠CAB ，所以△EF A ∽△BCA ，EAAB ＝AF AC .设AF ＝a ，则AB ＝3－a ，所以a (3－a )＝12(3＋a 2)，解得a ＝1. 所以AF 的长为1.22B.选修4－4：坐标系与参数方程(2012年昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝1－2sin φ，在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程2ρcos θ＋2ρsin θ－1＝0.(1)求曲线C 和直线l 的普通方程；(2)设曲线C 上的点到l 的距离为d ，求d 的最大值．解：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ，得⎩⎨⎧(x －1)2＝(2cos φ)2，(y －1)2＝(2sin φ)2.所以曲线C 的普通方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2.由直线l 的极坐标方程：2ρcos θ＋2ρsin θ－1＝0，得直线l 的普通方程是2x ＋2y －1＝0.(2)由题知，曲线C 为以G (1,1)为圆心，半径为r ＝2的圆．设圆心G 到直线l 的距离为d 1，则d 1＝|2＋2－1|22＋22＝324<2＝r ，故直线l 与⊙G 相交．则曲线C 上的点到直线l 的最大距离d max ＝d 1＋r ＝724.22C.选修4－5：不等式选讲(2012年唐山模拟)设函数f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )≥4恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎨⎧2－3x ，x <0，2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x >1.当x <0时，由2－3x ≤4，得－23≤x <0；当0≤x ≤1时，由2－x ≤4，得0≤x ≤1；当x >1时，由3x －2≤4，得1<x ≤2. 综上，不等式f (x )≤4的解集为[－23，2]．(2)f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎨⎧2a －3x ，x <0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x >a .所以f (x )在(－∞，a ]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，当x ＝a 时，f (x )取最小值a .所以，a 的取值范围为[4，＋∞)．。

2015届高考数学一轮总复习阶段性测试题11(算法、框图、复数、推理与证明)

阶段性测试题十一(算法、框图、复数、推理与证明)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·白鹭洲中学期中)复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．0或－1B ．0C ．1D ．－1[答案] D[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，m ≠0，∴m ＝－1，故选D.2．(文)(2014·山东省博兴二中质检)如果等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，那么a 3＋a 4＋…＋a 9等于( )A ．21B ．30C ．35D ．40[答案] C[解析] ∵3a 6＝a 5＋a 6＋a 7＝15，∴a 6＝5， ∴a 3＋a 4＋…＋a 9＝7a 1＋35d ＝7a 6＝35.(理)(2014·银川九中一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(23)n －1D.12n －1 [答案] B[解析] ∵S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )，∴S n ＋1S n ＝32，又S 1＝a 1＝1，∴S n ＝(32)n －1，故选B.3．(文)(2014·银川九中一模)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3[答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴sin－x ＋φ3＝sin x ＋φ3，∴cos φ3sin x3＝0， ∵此式对任意x 都成立，∴cos φ3＝0，∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.(理)(2014·杭州七校联考)“sin x ＝1”是“cos x ＝0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若sin x ＝1，则x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴cos x ＝0；若cos x ＝0，则x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴sin x＝±1.4．(文)(2014·北京朝阳区期中)执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为( )A ．91B ．55C ．54D ．30 [答案] B[解析] 所给的程序的作用是计算：T ＝12＋22＋32＋42＋52＝55. (理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)下列程序框图的输出结果为( )A.20122013B.12013C.20132014D.12014 [答案] C[解析] 由程序框图知，每循环一次，i 的值增加1，S 的值加上1i (i ＋1)，当i ＝2013时，不满足i >2013，再循环一次，i 的值变为2014，满足i >2013，此时输出S ，故S 最后加上的数为12013×2014，∴S ＝11×2＋12×3＋…＋12013×2014＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12013－12014)＝1－12014＝20132014，故选C.5．(2014·武汉市调研)复数z ＝m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] B[解析] 复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内的对应点P (3m －2，m －1)，当m >1时，P 在第一象限；当m <23时，P 在第三象限，当23<m <1时，P 在第四象限，当m ＝23时，P 在y 轴上，当m ＝1时，P 在x 轴上，故选B.6．(2014·佛山市质检)将n 2个正整数1、2、3、…、n 2(n ≥2)任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a 、b (a >b )的比值ab ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n ＝2时，数表的所有可能的“特征值”最大值为( )A.32B.43 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 当n ＝2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，当1,2同行或同列时，这个数表的“特征值”为43；当1,3同行或同列时，这个数表的特征值分别为43或32；当1,4同行或同列时，这个数表的“特征值”为43或32；故这些可能的“特征值”的最大值为32.7．(2014·山西省太原五中月考)某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝|x |xB ．f (x )＝ln(x 2＋1－x )C ．f (x )＝e x ＋e －xe x －e－xD ．f (x )＝sin 2x1＋cos 2x[答案] B[解析] 由框图知，f (x )为有零点的奇函数，A 、C 中函数f (x )无零点；D 中函数f (x )为偶函数；B 中函数f (x )＝ln(x 2＋1－x )满足f (0)＝0且f (－x )＝ln(x 2＋1＋x )＝ln 1x 2＋1－x＝－ln(x 2＋1－x )＝－f (x )，故选B.8．(2014·哈六中期中)若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)[答案] B[解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4xy≥2＋2y 4x ·4xy＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y 4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B.9．(文)(2014·吉林市摸底)如图，程序输出的结果s ＝132，则判断框中应填( )A ．i ≥10?B ．i ≥11?C．i≤11? D．i≥12?[答案] B[解析]第一次循环：s＝1×12＝12，i＝12－1＝11，不满足条件，继续循环；第二次循环：s＝12×11＝132，i＝11－1＝10，此时应输出，结束循环，因此判断框中应填i≥11？.(理)(2014·成都七中模拟)阅读下边的程序框图，若输出S的值为－14，则判断框内可填写()A．i<6? B．i<8?C．i<5? D．i<7?[答案] B[解析]这是一个循环结构，每次循环的结果为：S＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；S＝1－3＝－2，i ＝3＋2＝5；S＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7；S＝－7－7＝－14，i＝7＋2＝9.因为最后输出－14，所以判断框内可填写i<8？选B.10．(2014·广东梅县东山中学期中)在f(m，n)中，m，n，f(m，n)∈N*，且对任意m，n都有：(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；其中正确的结论个数是()个．()A．3B．2C．1D．0[答案] A[解析]∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.11．(文)(2014·九江市修水一中第四次月考)如图，在△ABC 中，∠CAB ＝∠CBA ＝30°，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，垂足分别是D 、E ，以A 、B 为焦点且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则1e 1＋1e 2的值为( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．2 3[答案] B[解析] 设AE ＝1，则AB ＝2，BD ＝1，AD ＝BE ＝3，∴椭圆的焦距2c ＝2，∴c ＝1，长轴长2a ＝AD ＋BD ＝3＋1，∴离心率e 1＝13＋12＝3－1，双曲线的焦距2c 1＝2， ∴c 1＝1，双曲线的实轴长2a 1＝AD －BD ＝3－1， ∴离心率e 2＝13－12＝3＋1. ∴1e 1＋1e 2＝13－1＋13＋1＝3，故选B. (理)(2014·北京市海淀区期末)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，BD ∩AC ＝O ，M 是线段D 1O 上的动点，过点M 作平面ACD 1的垂线交平面A 1B 1C 1D 1于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为( )A. 2B.62C.233 D ．1[答案] B[解析] 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，因为BB 1⊂平面BDD 1B 1，所以平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，因为M ∈平面BDD 1B 1，MN ⊥平面ACD 1，平面BDD 1B 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以N ∈B 1D 1.因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，棱长为1，所以△AB 1D 1为正三角形，边长为2，所以当N 为B 1D 1中点时，AN 最小为2sin60°＝62.故B 正确． 12．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c ；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[答案] C[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r ＋13S 2r＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4. 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2014·高州四中质量监测)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和a n 与其组的编号数n 的关系为________．[答案] a n ＝n 3[解析] 第n 组含n 个数，前n －1组共有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2个数，∴第n 组的最小数为n 2－n ＋1，第n 组的n 个数组成首项为n 2－n ＋1，公差为2的等差数列，∴其各项之和为a n ＝n (n 2－n ＋1)＋n (n －1)2×2＝n 3.(理)(2014·陕西工大附中四模)由13＝12,13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，……，可猜想出的第n 个等式是________．[答案] 13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2[解析] 观察各等式可见第n 个等式左边有n 项，每个等式都是从13到n 3的和，等式右端是从1到n 的和的平方，故第n 个等式为13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2.14．(文)(2014·吉林市摸底)下列说法：①“∃x ∈R ，使2x >3”的否定是“∀x ∈R ，使2x ≤3”；②函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π；③“在△ABC 中，使sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是真命题；④“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋2＝0垂直”的充要条件；其中正确的说法是______(只填序号)．[答案] ①②③[解析] ①∵特称命题的否定是全称命题，∴“∃x ∈R ，使2x >3”的否定是“∀x ∈R ，使2x ≤3”，正确；②因为T ＝2π2＝π，所以函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π，正确；③“在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是“在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B ”，在△ABC 中，若A >B ⇒a >b ⇒2r sin A >2r sin B ⇒sin A >sin B ，故③正确；④由3m ＋(2m －1)m ＝0得m ＝0或－1，所以“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋2＝0垂直”的充分不必要条件，∴④错误．(理)(2014·泸州市一诊)已知集合A ＝{f (x )|f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，x 、y ∈R }，有下列命题：①若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1， x <0，则f (x )∈A ；②若f (x )＝kx ，则f (x )∈A ；③若f (x )∈A ，则y ＝f (x )可为奇函数；④若f (x )∈A ，则对任意不等实数x 1，x 2，总有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立．其中所有正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号) [答案] ②③[解析] 对于①，取x ＝1，y ＝－1知，f 2(x )－f 2(y )＝f 2(1)－f 2(－1)＝1－1＝0，但f (x ＋y )f (x －y )＝f (0)·f (2)＝1，∴①错；对于②，当f (x )＝kx 时，f 2(x )－f 2(y )＝k 2x 2－k 2y 2＝k (x ＋y )·k (x －y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，∴②正确；对于③，在f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )f (x －y )中令x ＝0，y ＝0得，f (0)＝0，又令x ＝0得，f 2(0)－f 2(y )＝f (y )·f (－y )，当f (y )≠0时，有f (－y )＝－f (y )，∴f (x )可以为奇函数．对于④，取f (x )＝x ，则f 2(x )－f 2(y )＝x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝f (x ＋y )f (x －y )，但x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝x 1－x 2x 1－x 2＝1>0，∴④错．15．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，△BDC 三者面积之间关系为________．[答案] S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC [解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 16．(文)(2014·西安市长安中学期中)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，…依此类推，第n 个等式为________________．[答案] 2n ×1×3×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×…×(2n －1)×2n[解析] 由所给4个等式可看出，第n 个等式左边是2n 与从1开始的连续的n 个奇数之积，第n 个等式右边是从n ＋1开始的连续的n 个正整数之积．所以第n 个等式为：2n ×1×3×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×…×(2n －1)×2n .(理)(2014·江西临川十中期中)给出下列不等式：1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，…，则按此规律可猜想第n 个不等式为________________． [答案] 1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1－1＞n ＋12[解析] 观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为2n ＋1－1，不等式右边为首项为1，公差为12的等差数列，故猜想第n 个不等式为1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1－1＞n ＋12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，△ABC 的面积S 满足S ＝32bc cos A . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3，设角B 的大小为x 用x 表示c ，并求c 的取值范围． [解析] (1)在△ABC 中，由S ＝32bc cos A ＝12bc sin A ，得tan A ＝3， ∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由a ＝3，A ＝π3及正弦定理得：c sin C ＝a sin A ＝332＝2，∴c ＝2sin C ＝2sin(π－A －B )＝2sin(2π3－x )．∵A ＝π3，∴0<x <2π3，∴0<2π3－x <2π3.∴0<sin(2π3－x )≤1,0<2sin(2π3－x )≤2，即c ∈(0,2]．18．(本小题满分12分)(文)(2014·吉林省实验中学一模)如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，ED ＝1，EF ∥BD 且EF ＝12BD .(1)求证：BF ∥平面ACE ； (2)求证：平面EAC ⊥平面BDEF ； (3)求几何体ABCDEF 的体积．[解析] (1)设AC 与BD 的交点为O ，则DO ＝BO ＝12BD ，连接EO ，∵EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴EF ∥DO 且EF ＝BO ，则四边形EFBO 是平行四边形，则BF ∥EO ，又EO ⊂平面ACE ， BF ⊄平面ACE ，故BF ∥平面ACE .(2)∵ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥AC . ∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，又ED ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDEF ，又AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面BDEF . (3)因为ED ⊥平面ABCD ，∴ED ⊥BD ，又∵EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴四边形BDEF 是直角梯形，又∵四边形ABCD 是边长为2的正方形，BD ＝22，EF ＝2， ∴梯形BDEF 的面积为(2＋22)×12＝322，由(1)知AC ⊥平面BDEF ，所以几何体的体积V ABCDEF ＝2V A －BDEF ＝2×13S BDEF ·AO ＝2×13×322×2＝2.(理)(2014·佛山市质检)如图1，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝6，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，且DE ＝3，BF ＝4，将△BCE 沿BE 折起至△PBE 位置(如图2所示)，连结AP 、PF ，其中PF ＝2 5.(1)求证：PF ⊥平面ABED ；(2)在线段P A 上是否存在点Q 使得FQ ∥平面PBE ？若存在，求出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．(3)求点A 到平面PBE 的距离．[解析] (1)连结EF ，由翻折不变性可知，PB ＝BC ＝6，PE ＝CE ＝9，在△PBF 中，PF 2＋BF 2＝20＋16＝36＝PB 2，所以PF ⊥BF ，在图1中，易得EF ＝62＋(12－3－4)2＝61，在△PEF 中，EF 2＋PF 2＝61＋20＝81＝PE 2，所以PF ⊥EF ，又BF ∩EF ＝F ，BF ⊂平面ABED ，EF ⊂平面ABCD ，所以PF ⊥平面ABED .(2)当Q 为P A 的三等分点(靠近P )时，FQ ∥平面PBE .证明如下：因为AQ ＝23AP ，AF ＝23AB ，所以FQ ∥BP ，又FQ ⊄平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，所以FQ ∥平面PBE . (3)由(1)知PF ⊥平面ABCD ，所以PF 为三棱锥P －ABE 的高．设点A 到平面PBE 的距离为h ，由等体积法得V A －PBE ＝V P －ABE ，即13×S △PBE h ＝13×S △ABE ·PF ，又S △PBE ＝12×6×9＝27，S △ABE ＝12×12×6＝36，所以h ＝S △ABE ·PF S △PBE ＝36×2527＝853，即点A 到平面PBE的距离为853.19．(本小题满分12分)(文)(2014·佛山市质检)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高(单位：cm)分别是162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高(单位：cm)分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(1)请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(2)现从两队所有身高超过178cm 的同学中随机抽取三名同学，则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少？[解析] (1)茎叶图如图所示，篮球队的身高数据方差较小.(2)两队所有身高超过178cm 的同学恰有5人，其中3人来自排球队，记为a ，b ，c,2人来自篮球队，记为A ，B ，则从5人中抽取3名同学的基本事件为：abc ，abA ，abB ，acA ，acB ，aAB ，bcA ，bcB ，bAB ，cAB 共10个；其中恰有两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有：abA ，abB ，acA ，acB ，bcB ，bcA 共6个，所以，恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是610＝35. (理)(2014·山西省太原五中月考)已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )≥－x 2＋ax －6在(0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围； (3)过点A (－e－2,0)作函数y ＝f (x )图象的切线，求切线方程．[解析] (1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴由f ′(x )<0得ln x <－1， ∴0<x <1e ，∴函数f (x )的单调递减区间是(0，1e )．(2)∵f (x )≥－x 2＋ax －6，∴a ≤ln x ＋x ＋6x ，设g (x )＝ln x ＋x ＋6x，则g ′(x )＝x 2＋x －6x 2＝(x ＋3)(x －2)x 2，当x ∈(0,2)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增． ∴g (x )最小值为g (2)＝5＋ln2，∴实数a 的取值范围是(－∞，5＋ln2]． (3)设切点T (x 0，y 0)，则k AT ＝f ′(x 0)，∴x 0ln x 0x 0＋1e 2＝ln x 0＋1，即e 2x 0＋ln x 0＋1＝0，设h (x )＝e 2x ＋ln x ＋1，则h ′(x )＝e 2＋1x ，当x >0时h ′(x )>0，∴h (x )是单调递增函数， ∴h (x )＝0最多只有一个根，又h (1e 2)＝e 2×1e 2＋ln 1e 2＋1＝0，∴x 0＝1e 2，由f ′(x 0)＝－1得切线方程是x ＋y ＋1e2＝0.20．(本小题满分12分)(文)(2014·山东省烟台市期末)近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x 万元满足P ＝3－2x ＋1(其中0≤x ≤a ，a 为正常数)；已知生产该产品还需投入成本(10＋2P )万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋20p)万元/万件．(1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？[解析] (1)由题意知，y ＝(4＋20P )×P －(10＋2P )－x ，将P ＝3－2x ＋1代入化简得：y ＝16－4x ＋1－x ，(0≤x ≤a )．(2)y ＝16－4x ＋1－x ＝17－(4x ＋1＋x ＋1)≤17－24x ＋1×(x ＋1)＝13，当且仅当4x ＋1＝x ＋1，即x ＝1时，上式取等号．当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a <1时，y ＝17－(4x ＋1＋x ＋1)在[0，a ]上单调递增，所以在x ＝a 时，函数有最大值．促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．综上所述，当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a <1时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．(理)(2014·北京市海淀区期末)如果函数f (x )满足在集合N *上的值域仍是集合N *，则把函数f (x )称为N 函数．例如：f (x )＝x 就是N 函数．(1)判断下列函数：①y ＝x 2，②y ＝2x －1，③y ＝[x ]中，哪些是N 函数？(只需写出判断结果)；(2)判断函数g(x)＝[ln x]＋1是否为N函数，并证明你的结论；(3)证明：对于任意实数a，b，函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．(注：“[x]”表示不超过x的最大整数)[解析](1)只有y＝[x]是N函数．①∵当x∈N*时，{y|y＝x2}N*，如3不是函数y＝x2(x∈N*)的函数值，∴y＝x2不是N函数；②同理，∵当x∈N*时，y＝2x－1为奇数，∴y＝2x－1不是N函数；③对于任意x∈N*，当n2≤x<(n＋1)2时，y＝[x]＝n，∴y＝[x]是N函数．(2)函数g(x)＝[ln x]＋1是N函数．证明如下：显然，∀x∈N*，g(x)＝[ln x]＋1∈N*.不妨设[ln x]＋1＝k，k∈N*.由[ln x]＋1＝k可得k－1≤ln x<k，即1≤e k－1≤x<e k.因为∀k∈N*，恒有e k－e k－1＝e k－1(e－1)>1成立，所以一定存在x∈N*，满足e k－1≤x<e k，所以∀k∈N*，总存在x∈N*满足[ln x]＋1＝k，所以函数g(x)＝[ln x]＋1是N函数．(3)①当b≤0时，有f(2)＝[b·a2]≤0，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．②当b>0时，1°若a≤0，有f(1)＝[b·a]≤0，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．2°若0<a≤1，由指数函数性质易得b·a x≤b·a，所以∀x∈N*，都有f(x)＝[b·a x]≤[b·a]，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．3°若a>1，令b·a m＋1－b·a m>2，则m>log a2 b·(a－1)，所以一定存在正整数k使得b·a k＋1－b·a k>2，所以∃n1，n2∈N*，使得b·a k<n1<n2<b·a k＋1，所以f(k)<n1<n2≤f(k＋1)．又因为当x<k时，b·a x<b·a k，所以f(x)≤f(k)；当x>k＋1时，b·a x>b·a k＋1，所以f(x)≥f(k＋1)，所以∀x∈N*，都有n1∉{f(x)|x∈N*}，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．综上所述，对于任意实数a，b，函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．21．(本小题满分12分)(文)(2014·北京市海淀区期末)已知函数f(x)＝(x＋a)e x，其中a为常数．(1)若函数f(x)在区间[－3，＋∞)上的增函数，求实数a的取值范围；(2)若f (x )≥e 2在x ∈[0,2]时恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，x ∈R ，因为函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，所以f ′(x )≥0，即x ＋a ＋1≥0在[－3，＋∞)上恒成立．因为y ＝x ＋a ＋1是增函数，所以只需－3＋a ＋1≥0，即a ≥2. (2)令f ′(x )＝0，解得x ＝－a －1， f (x )，f ′(x )的变化情况如下：①当－a －1≤0，即a ≥－1时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (0)，若满足题意只需f (0)≥e 2，解得a ≥e 2，所以，此时a ≥e 2；②当0<－a －1<2，即－3<a <－1时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (－a －1)，若满足题意只需f (－a －1)≥e 2，此不等式无解，所以a 不存在；③当－a －1≥2，即a ≤－3时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (2)，若满足题意只需f (2)≥e 2，解得a ≥－1，所以此时，a 不存在．综上讨论，所求实数a 的取值范围为[e 2，＋∞)．(理)(2014·武汉市调研)甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)用X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的分布列和数学期望． [解析] 解法1：(1)用A 1表示事件“第2局结果为甲胜”， A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”．则A ＝A 1·A 2，P (A 1)＝12，P (A 2)＝12，∴P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”， B 1表示事件“第1局丙和乙比赛时，结果为乙胜丙”， B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B －1·B 3)＝P (B －1)P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58.∴X 的分布列为∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98.解法2：四局比赛所有可能情况如下树状图：第一局第二局第三局第四局由树状图知，(1)第4局甲当裁判的概率为P ＝14.(2)P (X ＝0)＝18，P (X ＝1)＝58，P (X ＝2)＝14，∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98.22．(本小题满分14分)(文)(2014·佛山质检)如图所示，已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t >0)，且经过F 1、F 2，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值．[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意，2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2，又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1.(2)设Q (x ，y )(其中x 25＋y 24＝1)，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＝1，因为PM ⊥QM ，所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1＝x 2＋(y －t )2－t 2－1 ＝－14(y ＋4t )2＋4＋4t 2，若－4t ≤－2即t ≥12，则当y ＝－2时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4t ＋3＝322，解得t ＝38<12(舍去)．若－4t >－2即0<t <12，则当y ＝－4t 时，|QM |取最大值，且|QM |max ＝4＋4t 2＝322，解得t 2＝18，又0<t <12，所以t ＝24.综上，当t ＝24时，|QM |的最大值为322. (理)(2014·山东省烟台市期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝22，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点．(1)求椭圆方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由已知，可得c ＝2，a ＝3b ， ∵a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝3，b ＝1， ∴x 23＋y 2＝1.(2)当k ＝0时，直线和椭圆有两交点只需－1<m <1；当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，消去y 得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1，① x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求的m 取值范围是(12，2)．综上知，k ≠0时，m 的取值范围是(12，2)；k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1)．。

高考理科数学一轮复习专题训练：算法、推理证明与复数(含详细答案解析)

第15单元算法、推理证明与复数（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复平面内，复数3z =-i(i 为虚数单位)，则复数z 对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】∵(3)133(3)(3)z ⋅+-+===-+⋅-i i i i ii i ，∴13z --=i，故选C ． 2．某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】由题意得，这种树的从第一年的分枝数分别是1，1，2，3，5，L ，则112+=，213+=，325+=，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第6年树的分枝数是853=+，故选D ．3．定义x x f sin )(0=，()()10cos f x f x x '==，()()1n n f x f x +'=，则=)(2017x f （） A ．x sin B ．x cos C ．x sin - D ．x cos -【答案】B【解析】()()10cos f x f x x '==，x x x f x f sin )(cos )()(''12-===，'3()(sin )cos f x x x =-=-，'40()(cos )sin ()f x x x f x =-==，'51()(sin )cos ()f x x x f x ===，同理)()(26x f x f =，)()(37x f x f =，)()(48x f x f =，周期为4， ∴20171()()cos f x f x x ==，故选B ．4．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由所给图形的规律看出，空心的矩形、三角形、圆形都是一个，实心的图形应均为两个，∴空白处应填实心的矩形，故选A ． 5．已知复数512z =+i，则复数z z -2的虚部为（） A ．-i B ．1-C ．2-iD ．2-【答案】D 【解析】55(12)5(12)1212(12)(12)5z --====-++⋅-i i i i i i ， ∴22(12)(12)42z z -=---=--i i i ，∴复数z z -2的虚部为2-，故选D ．6．对任意非零实数a ，b ，若a b ⊗的运算原理如右图程序框图所示，则(32)4⊗⊗的值是（）A ．0B ．12C ．32D ．9【答案】C【解析】根据程序框图知221323=+=⊗，∴413(32)42422-⊗⊗=⊗==，故选C ．7．关于复数()211z +=-i i，下列说法中正确的是（）A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数1z =-iC ．若复数()1z z b b =+∈R 为纯虚数，则1b =D ．设a ，b 为复数z 的实部和虚部，则点(),a b 在以原点为圆心，半径为1的圆上【答案】C【解析】由题意可知()212111z +===-+--i ii ii，若()1z z b b =+∈R 为纯虚数，则1b =，故选C ．8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A ．21 B ．1-C ．2D ．1【答案】B【解析】设每次循环所得到的a 的值构成数列{}n a ，由框图可111n n a a +=-，02a =，112a =，21a =-，32a =，412a =，…，所以{a n }的取值具有周期性，且周期为T ＝3．又由框图可知输出的122012-===a a a ，故选B ． 9．已知222433+=⨯，333988+=⨯，444161515+=⨯，……，观察以上等式，若999k m n+=⨯(m ，n ，k 均为实数)，则m n k +-=（） A ．76 B ．77 C ．78 D ．79【答案】D【解析】观察以上等式，类比出等式2(1)(1)(1)(1)x xx x x x x x +=⨯-+-+，当9x =时，可得999818080+=⨯，所以80m =，80n =，81k =，所以80808179m n k +-=+-=．故选D ． 10．阅读如图所示的程序框图，若输入919a =，则输出的k 值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C 【解析】当111119(1)1335171921919S =+++=-=⨯⨯⨯L 时，10=k ，若199>S ，则输出的k 值是11，故选C ． 11．网络工作者经常用网络蛇形图来解释网络的运作模式，如图所示，数字1出现在第一行;数字2，3出现在第二行;数字6，5，4(从左至右)出现在第三行;数字7，8，9，10出现在第四行;以此类推，则按网络运作顺序第63行从左到右的第2个数字(如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，…，)是（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017【答案】B【解析】网络蛇形图中每一行的第一个数1，2，4，7，11，L ，按原来的顺序构成数列{}n a ，易知n a a n n =-+1，且11=a ，∴22132121()()()1123(1)2n n n n n a a a a a a a n --+=+-+-++-=+++++-=L L ．∴第63行的第一个数字为19542263632=+-，而偶数行的顺序为从左到右，奇数行的顺序为从右到左， ∴第63行从左到右的第2个数字就是从右到左的第62个数字，这个数为2015611954=+．故选B ．12．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}()n a n *∈N 的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则=++201720162015a a a （）A ．1008B ．1009C ．2017D ．2018【答案】B【解析】观察点的坐标，写出数列{}n a 的前12项：1，1，1-，2，2，3，2-，4，3，5，3-，6．可提炼出规律，偶数项的值等于其序号的一半，奇数项的值有正负之分，且n a n =-34，n a n -=-14，n a n =2，∴505350542017==-⨯a a ，504150442015-==-⨯a a ，10082016=a ， ∴2015201620171009a a a ++=，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若复数z 与2(2)4z -+i 都是纯虚数，则=-+22z z ________．【答案】i 或-i【解析】由已知可设(),0z b b b =∈≠R i ，则222(2)4(2)44(44)z b b b -+=-+=-+-i i i i ，∴240440b b ⎧-=⎨-≠⎩，∴2b =±，∴2z =-i 或2z =i ，∴当2z =-i 时，2221(1)(1)22221(1)(1)2z z +--+-+⋅-=====---++⋅-i i i i ii i i i i ；当2z =i 时，()()()222222222z z ++=====---+⋅-i+1i i+1i i i i-1i+1i-1． 14．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是______．【答案】5【解析】5=n ，16=n ，1=k ；8=n ，2=k ；4=n ，3=k ；2=n ，4=k ；1=n ，5=k ，输出5．15．我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示的()()()()1234为刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是有相同的小正方形构成，小正方形越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图案包含)(n f 个小正方形，则)(n f 的表达式为．【答案】1222+-n n【解析】我们考虑，4)1()2(=-f f ，42)2()3(⨯=-f f ，43)3()4(⨯=-f f ，…，归纳得出)1(4)()1(-⨯=-+n n f n f ，∴()(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]f n f f f f f f n f n =++-+-++--L21424344(1)14[123(1)]221n n n n =++⨯+⨯++-=+++++-=-+L L ．16．在计算“)1(3221-++⨯+⨯n n Λ”时，某位数学教师采用了以下方法：构造等式：)]1()1()2)(1([31)1(+--++=+k k k k k k k k ，以此类推得： )210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯，)321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯，)432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯，…，…，)]1()1()2)(1([31)1(+--++=-⨯n n n n n n n n ，相加得11223(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯++-=++L ．类比上述计算方法，可以得到=+++⨯+⨯)2(4231n n Λ ．【答案】)72)(1(61++n n n 【解析】构造等式：)]2()2()4)(2([61)2(+--++=+n n n n n n n n ， ∴]31)1(531[6131⨯⨯--⨯⨯=⨯，)420642(6142⨯⨯-⨯⨯=⨯，)531753(6153⨯⨯-⨯⨯=⨯，……，)]1)(1)(3()3)(1)(1[(61)1()1(+---++-=+⨯-n n n n n n n n ，)]2()2()4)(2([61)2(+--++=+⨯n n n n n n n n ，相加得11324(2)[(1)13024(1)(1)(3)(2)(4)]6n n n n n n n n ⨯+⨯+++=--⨯⨯-⨯⨯+-+++++L)72)(1(61++=n n n ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设复数1z =+i ，若实数a ，b 满足2)2(2z a z b az +=+，其中z 为z 的共轭复数．求实数a ，b 的值．【答案】42ab=-⎧⎨=⎩或21ab=-⎧⎨=-⎩．【解析】由1z=+i，可知iz-=1，代入2)2(2zaz baz+=+得2(1)2(1)[2(1)]a b a++-=++i i i，即22(2)(2)44(2)a b a b a a++-=+-++i i，∴22(2)424(2)a b aa b a⎧+=+-⎨-=+⎩，解得42ab=-⎧⎨=⎩或21ab=-⎧⎨=-⎩．18．（12分）如图，已知单位圆221x y+=与x轴正半轴交于点P，当圆上一动点Q从P出发沿逆时针旋转一周回到P点后停止运动．设OQ扫过的扇形对应的圆心角为xrad，当02x<<π时，设圆心O到直线PQ的距离为y，y与x的函数关系式()y f x=是如图所示的程序框图中的①②两个关系式．（1）写出程序框图中①②处的函数关系式；（2）若输出的y值为12，求点Q的坐标．【答案】（1）①②的式子分别为cos2xy=，cos2xy=-；（2）当0x<≤π时，此时点Q的坐标为132⎛-⎝⎭，；当2xπ<<π时，此时点Q的坐标为132⎛-⎝⎭，．【解析】（1）当0x<≤π时，cos2xy=；当2xπ<<π时，cos cos22x xy⎛⎫=π-=-⎪⎝⎭；综上可知，函数解析式为()(]()cos,0,2cos,,22xxf xxx⎧∈π⎪⎪=⎨⎪-∈ππ⎪⎩，所以框图中①②处应填充的式子分别为cos2xy=，cos2xy=-．（2）若输出的y 值为12，则0x <≤π时，1cos 22x =，得23x π=，此时点Q 的坐标为12⎛- ⎝⎭；当2x π<<π时，1cos 22x -=，得43x π=，此时点Q 的坐标为12⎛- ⎝⎭，．19．（12分）已知函数)()0,1f x a a =>≠且．（1）证明：函数)(x f y =的图象关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；（2）求(2014)(2013)(1)(0)(1)(2014)(2015)f f f f f f f -+-++-+++++L L ．【答案】（1）见解析；（2）2015-．【解析】（1）函数aa a x f x+-=)(的定义域为R ，在函数)(x f 的图象上任取一点),(00y x ，它关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点为)1,1(00y x ---．则aa a x f y x +-==0)(00，∴00(1)1f x y -====--，∴函数)(x f 图象上任意一点),(00y x 关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点)1,1(00y x ---仍在函数)(x f y =的图象上．即函数)(x f y =的图象关于点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对称．（2）由（1）得1)1()(00-=-+x f x f ，∴1)2015()2014(-=+-f f ；1)2014()2013(-=+-f f ；1)2013()2012(-=+-f f ；……；1)2()1(-=+-f f ；1)1()0(-=+f f ．∴(2014)(2013)(1)(0)(1)(2014)(2015)2015f f f f f f f -+-++-+++++=-L L ． 20．（12分）已知数列{}n a 满足:211=a ，111)1(21)1(3++-+=-+n n n n a a a a ，()101n n a a n +<≥，数列{}nb 满足：()2211n n n b a a n +=-≥．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列．【答案】（1）1132(1)143n n n a --⎛⎫=--⋅ ⎪⎝⎭，11243n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）见解析．【解析】（1）由题意可知，)1(321221n n a a -=-+，令21nn a c -=，则2111++-=n n a c ，n n c c 321=+．又431211=-=a c ，则数列{}n c 是首项为431=c ，公比为32的等比数列，即13243n n c -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1232143n na -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，∴1232143n na -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭．又0211>=a ，01<+n n a a ，故1132(1)143n n n a --⎛⎫=--⋅ ⎪⎝⎭，1122132321211434343n n n n n nb a a --+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=⋅⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．（2）反证法：假设数列{}n b 存在三项r b ，s b ，t b ()r s t <<按某种顺序成等差数列，由于数列{}n b 是首项为41，公比为32的等比数列，于是有r s t b b b >>，则只能有t r s b b b +=2成立．∴1111212122434343s r t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅+⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边同乘以r t --1123，化简得s t r s r t r t ----⋅=+32223．由于t s r <<，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．21．（12分）下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n 个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为)(n f ．（1）求出(2)f ，(3)f ，(4)f ，(5)f ；（2）找出)(n f 与)1(+n f 的关系，并求出)(n f 的表达式；（3）求证()111125111136(1)3(2)5(3)7()213333n f f f f nn *++++<∈+++++N L ．【答案】（1）(2)12f =，(3)27f =，(4)48f =，(5)75f =；（2）36)()1(+=-+n n f n f ，2()3f n n =；（3）见解析．【解析】（1）由题意有：3)1(=f ，12233)1()2(=⨯++=f f ，27433)2()3(=⨯++=f f ， 48633)3()4(=⨯++=f f ，75833)4()5(=⨯++=f f ．（2）由题意及（1）知，36)(233)()1(++=⨯++=+n n f n n f n f ，即36)()1(+=-+n n f n f ．∴()(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]f n f f f f f f n f n =+-+-++--L3(613)(623)[6(1)3]36[123(1)]n n n =+⨯++⨯+++-+=+++++-L L 2(1)3633(1)32n nn n n n n -=+⨯=+-=．（3）∵23)(n n f =，∴2111111(1)(1)1()213n n n n n f n n =<=-+++++，∴11111111(1)3(2)5(3)7()213333f f f f n n ++++<+++++L11111111111111125()()()4934451493149336n n n ++-+-++-=++-<++=++L ，所以对于任意n *∈N ，原不等式成立．22．（12分）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知数表中每一行的第一个数1a ，2a ，5a ，…构成一个等差数列，记为{}n b ，且42=b ，105=b ．数表中每一行正中间一个数1a ，3a ，7a ，…构成数列{}n c ，其前n 项和为n S ．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数且113=a ，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）在满足（2）的条件下，记{}(1),n M n n c n λ*=+≥∈N ，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围．【答案】（1）2n b n =；（2）2282n n n S -+=-；（3）(]4,5．【解析】（1）设数列{}n b 的公差为d ，则114410b d b d +=⎧⎨+=⎩解得122b d =⎧⎨=⎩，所以n b n 2=．（2）设每一行组成的等比数列的公比为q ，由于前n 行共有2)12(531n n =-++++Λ个数，且224133<<，又8410==b a ，所以18331013===q q a a ，解得21=q ．因此121222n n n n c n --⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以12110121232222n n n n nS c c c c ---=++++=++++L L ， 0121112122222n n n n nS ---=++++L ，所以10121111211111122412222222212nn n n n n n n n S -----⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=--L ，即2228-+-=n nn S ．（3）由（1）知22-=n n n c ，不等式λ≥+n c n )1(，可化为λ≥+-22)1(n n n ．设22)1()(-+=n n n n f ，计算得4)1(=f ，6)3()2(==f f ，5)4(=f ，415)5(=f ，因为121(1)(2)(1)(2)(1)(1)()222n n n n n n n n n f n f n ---+++-++-=-=，所以当3≥n 时，)()1(n f n f <+．因为集合M 的元素的个数为3，所以λ的取值范围是(]4,5．第15单元算法、推理证明与复数（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足()1+21z =-i i ，则复数z 的虚部为（）A ．35B ．35-C ．35ｉD ．35-ｉ【答案】B【解析】因为()121z +=-i i ，所以()()1121131255z -----===+i i i ii ，因此复数z 的虚部为35-，故选B ．2．复数z 满足()234z +=-i i ，则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】∵()2i 34i 5z +=-==，∴()()()2i 2i 52i z -+=-，()552i z =-， 2i z =-，z 在复平面内对应的点()21-，，在第四象限，故选D ． 3．如果复数()2b b -∈R ii的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（）A ．2-B ．CD ．2【答案】A【解析】∵复数()()()22=2b b b -⋅--=--⋅-i i i i i i i ，由题复数()2b b -∈R ii的实部和虚部互为相反数，∴2b =-．故选A ．4．若复数z 满足22z =-i i （i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】由题意，∵()()()222222z -⋅--===--⋅-i i i i i i i ，∴22z =-+i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限．故选B ．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．1009【答案】B【解析】分由框图可知其所实现了求和232017cos cos cos ++cos2222S ππ++ππ=L ，所以0S =，故选B ．6．执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（）A ．1008-B ．1010-C ．1009D ．1007【答案】C【解析】执行程序框图：πS 01sin012=+⋅=+，3i =，32018>，否； 3πS 013sin0132=++⋅=+-，5i =，52018>，否； 5πS 0135sin 01352=+-+⋅=+-+，7i =，72018>，否； ……2017πS 0132017sin01320172=+-++⋅=+-++L L ，2019i =，20192018>，是．输出()()()()S 013572015201701357920152017=+-+--+=++-++-+++-+L L1222150421009=++++=+⨯=L ．故选C ．7．如图所示的程序框图输出的结果为30，则判断框内的条件是（）A ．5?n ≤B ．5?n <C ．6?n ≤D ．4?n <【答案】B【解析】当0S =，1n =时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，2S =，2n =；当2S =，2n =时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，6S =，3n =；当6S =，3n =时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，14S =，4n =；当14S =，4n =时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，30S =，5n =；当30S =，5n =时，满足退出循环的条件，故判断框内的条件是5?n <，故选B ．8．我国古代著名的“物不知数”问题：“今有物其数大于八，二二数之剩一，三三数之剩一，五五数之剩二，问物几何？”即“已知大于八的数，被二除余一，被三除余一，被五除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计了如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（）A ．16a -∈Z B ．110a -∈Z C ．210a -∈Z D ．215a -∈Z 【答案】A【解析】由题意，判断框内应该判断a 的值是否同时能被二除余一，被三除余一，即判断16a -是否为整数．故选A ． 9．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）A ．201620172⨯B ．201520182⨯C ．201520172⨯D ．201620182⨯【答案】B【解析】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为20142，故第1行的第一个数为：122-⨯，第2行的第一个数为：032⨯，第3行的第一个数为：142⨯，…，第n 行的第一个数为：()212n n -+⨯，表中最后一行仅有一个数，则这个数是201520182⨯．10．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾； ∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．故选B ．11．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c ．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（） A ．a B ．bC ．cD ．d【答案】A【解析】由题意得，甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ，乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c ，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b 是正确的；乙同学说的2号门中有d 是正确的；并同学说的3号门中有c 是正确的；丁同学说的4号门中有a 是正确的，则可判断在1，2，3，4四扇门中，分别存有b ，d ，c ，a ，所以4号门里是a ，故选A ．12．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？” 意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（） A ．58 B ．59C ．60D ．61【答案】C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是()332520865160++-+++=．故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】1i +【解析】()()()212i 11i 11-==+++-i i i i i ，填1i +． 14．设a ∈R ，若()()12a +-=-i i i ，则a =______．【答案】1-【解析】()()()11+12a a a +-=+-=-i i i i ，10112a a a +=⇒=--=-⎧⎨⎩，故答案为1-． 15．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为___________．【答案】48【解析】第1次运行，1i =，2S =，122S =⨯=，4i <成立，第2次运行，2i =，2S =，224S =⨯=，4i <成立，第3次运行，3i =，4S =，3412S =⨯=，4i <成立，第3次运行，4i =，12S =，41248S =⨯=，4i <不成立，故输出S 的值为48． 16．将正整数对作如下分组()()()()()()()()()()11122113223114233241L L，，，，，，，，，，，，，，，，则第100个数对为___________．【答案】()96，【解析】根据题意，第一行有1个数对，数对中两个数的和为2，第二行有2个数对，数对中两个数的和为3，数对中第一个数由1变化到2，第二个数由2变化到1，第三行有3个数对，数对中两个数的和为4，数对中第一个数由1变化到3，第二个数由3变化到1，第四行有4个数对，数对中两个数的和为5，数对中第一个数由1变化到4，第二个数由4变化到1， ……第n 行有n 个数对，数对中两个数的和为1n +（），数对中第一个数由1变化到n ，第二个数由n 变化到1，前13行一共有1231391++++=L 个数，则第100个数对为第14行的第9个数，则第100个数对为()96，，故答案为()96，．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知复数()i 2iaz a =+∈+R ．（1）若z ∈R ，求z ；（2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围．【答案】（1）2z =；（2）05（，）．【解析】（1）()225555a a az --=+=+i i i ，若z ∈R ，则505a-=，所以5a =，2z =．（2）若在复平面内对应的点位于第一象限，则205a >且505a ->，解得05a <<，即a 的取值范围为05（，）． 18．（12分）已知复数()()22lg 2232z m m m m =--+++i ，根据以下条件分别求实数m 的值或范围．（1）z 是纯虚数；（2）z 对应的点在复平面的第二象限．【答案】（1）3m =；（2）133m +<<或113m -<<-【解析】（1）由()()22lg 2232z m m m m =--+++i 是纯虚数得()22220320lg m m m m --=++≠⎧⎪⎨⎪⎩，即22221320m m m m --=++≠⎧⎪⎨⎪⎩，所以3m =．（2）根据题意得()22220320lg m mm m--<++>⎧⎪⎨⎪⎩，由此得220221320m mm m<--<++>⎧⎪⎨⎪⎩，即133m+<<或113m-<<-．19．（12分）某函数的解析式由如图所示的程序框图给出．（1）写出该函数的解析式；（2）若执行该程序框图，输出的结果为9，求输入的实数x的值．【答案】（1）2,121,1xx xyx-<⎧=⎨+≥⎩；（2）7x=-或3．【解析】（1）2,121,1xx xyx-<⎧=⎨+≥⎩．（2）当1x<时，29x-=，7x=-；当1x≥时，2+1=9x，3x=，所以7x=-或3．20．（12分）阅读如图所示的程序框图，解答下列问题：（1）求输入的x的值分别为1-，2时，输出的()f x的值；21（2）根据程序框图，写出函数()()f x x ∈R 的解析式；并求当关于x 的方程()0f x k -=有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围．【答案】（1）12，1；（2）()0,1．【解析】（1）当输入的x 的值为1-时，输出的()1122f x -==；当输入的x 的值为2时，输出的()222211f x =-⨯+= （2）根据程序框图，可得()22,02,021,0x x f x x x x x ⎧<⎪==⎨⎪-+>⎩，当0x <时，()2x f x =，此时()f x 单调递增，且()01f x <<；当0x =时，()2f x =；当0x >时，()()22211f x x x x =-+=-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()0f x ≥．结合图象，知当关于x 的方程()0f x k -=有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围为()0,1．21．（12分）下面()A ，()B ，()C ，()D 为四个平面图形：（1）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将下表补充完整；（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E ，F ，G ，试猜想E ，F ，G 之间的数量关系（不要求证明）．【答案】（1）见解析；（2）1E G F +-=．22 【解析】（1）（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E ，F ，G ， 4581+-=，58121+-=，2451+-=，...，可猜想E ，F ，G 之间的数量关系为1E G F +-=．22．（12分）（1）请用分析法证明：5236+>+；（2）已知a ，b 为正实数，请用反证法证明：1a b +与1b a +中至少有一个不小于2．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）要证5236+>+，只要证()()225236+>+，即证2018>，而上式显然成立，故原不等式成立．（2）假设结论不成立，则12a b +<，12b a+<，所以114a b b a +++<，即11220a b a b ⎛⎫⎛⎫+-++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22110a b a b ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矛盾！故假设不成立，所以1a b +与1b a+中至少有一个不小于2．。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习算法初步、复数、推理与证明阶段性测试题十二北师大版

阶段性测试题十二(算法初步、复数、推理与证明)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文) (2014·某某模拟)复数z ＝i 1＋i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案]A[解析]z ＝i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋i 2，所以复数z 对应的点为(12，12)，在第一象限．(理) (2014·某某六校质量检测)设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，若z1＋i ＝2－i 成立，则点P (a ，b )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案]A[解析]因为z1＋i ＝2－i ，所以z ＝(2－i)(1＋i)＝3＋i ，所以点P (a ，b )在第一象限．2．(文)(2014·某某一测)已知i 是虚数单位，则1－2i2＋i 等于( )A ．i B.45－iC.45－35i D ．－i [答案]D[解析]1－2i 2＋i ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2－2－i －4i 22＋12＝－5i 5＝－i ，故答案选D.(理)(2014·某某质检)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2＝( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i[答案]D[解析]2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.3. (2014·西城区期末)执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A ．3B ．6C ．7D ．10 [答案]D[解析]通过循环，可知该循环的作用是求数列的和，循环到n ＝4结束循环，所以S ＝0＋1＋2＋3＋4＝10.故选D.4．(文) 设z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数2z ＋i 2的虚部是( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i [答案]A[解析]因为z ＝1－i(i 是虚数单位)，所以复数2z ＋i 2＝21－i ＋i 2＝1＋i －1＝i ，所以复数2z＋i 2的虚部是1.(理)设复数z ＝1＋b i(b ∈R)且|z |＝2，则复数z 的虚部为( ) A.3B ．±3 C ．±1 D ．±3i [答案]B[解析]z ＝1＋b i ，且|z |＝2，即1＋b 2＝4，解得b ＝±3.5．(2014·某某模拟)工人师傅想对如右图的直角铁皮，用一条直线m将其分成面积相等的两部分．下面是甲、乙、丙、丁四位同学给出的做法，其中做法正确的学生数是()A．4个B．3个C．2个D．1个[答案]A[解析]可将此图形分割成两个矩形即甲、乙、丁同学的做法，也可将此图形补上一小矩形即丙同学的做法．由矩形的对称性可知当直线过矩形的中心即对角线交点时，直线平分矩形的面积．故甲、乙、丙同学的做法正确．在丁同学的做法中，因为AB过两矩形的中心，所以AB平分此铁皮的面积．当直线m过线段AB的中点时，直线m和AB围城的两个三角形全等，故直线m还平分此铁皮的面积．综上可得4个同学的做法都对．6．(2011·某某质检)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为() A．61 B．31C．30 D．25[答案]B[解析]分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数，y ＝⎩⎨⎧0.5x x ≤5025＋0.6(x －50) x>50的函数值，当x ＝60时，则y ＝25＋0.6(60－50)＝31，故选B .7．(文)(2014·某某月考)已知M 是e x ＋e －x的最小值，N ＝2tan 22.5°1－tan 22.5°，则下图所示程序框图输出的S 为( )A ．2B ．1C .12D ．0 [答案]A[解析]∵e x＋e－x≥2e x·e－x＝2，∴M＝2，N＝2tan22.5°1－tan222.5°＝tan45°＝1，所以M>N，又框图的功能是求M，N中的较大值，故输出的值为2.(理) (2014·某某月考)已知函数y＝1x与x＝1，x轴和x＝e所围成的图形的面积为M，N＝tan22.5°1－tan22.5°，则程序框图输出的S为()A．1 B．2C.12D．0[答案]C[解析]因为2N＝2tan22.5°1－tan222.5°＝tan45°＝1，所以N＝12，M＝⎠⎛1e1x d x＝ln x|e1＝1，所以M>N，又框图的功能是求M，N中的较小值，故输出的值为12.8．(文) (2014·某某期末)读下面程序框图，该程序运行后输出的A值为()A.34B.45C.56D.67 [答案]C[解析]第一次循环：A ＝12－A ＝23，i ＝i ＋1＝2，此时满足条件，继续循环；第二次循环：A ＝12－A ＝34，i ＝i ＋1＝3，此时满足条件，继续循环；第三次循环：A ＝12－A ＝45，i ＝i ＋1＝4，此时满足条件，继续循环；第四次循环：A ＝12－A ＝56，i ＝i ＋1＝5，此时不满足条件，结束循环，输出A 的值为56.(理) (2014·东北三校模拟) 下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7k B ．2＋7k －1 C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k ) [答案]D[解析](1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k ∈N *都成立．9．(2014·某某模拟)设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝2，a 2＋b ＝4，则2x ＋1y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案]B[解析]因为a x ＝b y ＝2，所以x ＝log a 2，y ＝log b 2，所以2x ＋1y ＝2log 2a ＋log 2b ＝log 2(a 2b )≤log 2(a 2＋b2)2＝2，当且仅当a 2＝b ＝2时取等号． 10. 定义在R 上的函数y ＝f (x )，满足f (3－x )＝f (x )，(x －32)f ′(x )<0，若x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，则有( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不确定 [答案]B[解析]因为函数y ＝f (x )，满足f (3－x )＝f (x )，所以函数y ＝f (x )的对称轴为x ＝32.又因为(x－32)f ′(x )<0，所以x <32时，f ′(x )>0，x >32时，f ′(x )<0，所以函数y ＝f (x )在(－∞，32]上单调递增；在[32，＋∞)上单调递减．又因为x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，所以3－x 2<x 1<x 2，且x 2∈(32，＋∞)，观察图像，得f (x 1)>f (x 2)．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．在复平面上，复数3(2－i )2对应的点到原点的距离为________．[答案]35[解析]复平面上复数z 对应的点到原点的距离就是它的模，而|3(2－i )2|＝3|2－i|2＝35，本题不需要把复数化简为a ＋b i(a ，b ∈R)形式．12．(2014·某某质检)程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中横线上应填入的数字是________． [答案]10[解析]由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是12，以后所乘的数依次减少1，由于132＝11×12，故循环两次，故判断框中应填k ≤10.13．(2014·某某部分重点中学教学检测)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝________. [答案]1－1(n ＋1)·2n[解析]由已知中的等式：31×2×12＝1－12231×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，所以对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝1－1(n ＋1)2n.14. (文) (2014·某某一中模拟)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝(2n －1)a n .由类比推理可得：在等比数列{b n }中，若其前n 项的积为P n ，则P 2n －1＝________.[答案]b 2n －1n[解析]因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝(2n －1)a n .所以类比推理可得：在等比数列{b n }中，若其前n 项的积为P n ，则P 2n －1＝b 2n －1n. (理)对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OAB ·OC →＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．[答案]V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0[解析]平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积．15．(文)如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来的(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n ≥3，n ∈N *)个图形共有________个顶点．[答案]n (n ＋1)[解析]当n ＝1时，顶点共有3×4＝12(个)，当n ＝2时，顶点共有4×5＝20(个)，当n ＝3时，顶点共有5×6＝30(个)，当n ＝4时，顶点共有6×7＝42(个)，故第n －2图形共有顶点(n －2＋2)(n －2＋3)＝n (n ＋1)个． (理)(2014·东北四校联考)根据下面一组等式 S 1＝1， S 2＝2＋3＝5， S 3＝4＋5＋6＝15， S 4＝7＋8＋9＋10＝34， S 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S 6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， S 7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175， …可得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝________. [答案]n 4[解析]根据所给等式组，不难看出：S 1＝1＝14； S 1＋S 3＝1＋15＝16＝24； S 1＋S 3＋S 5＝1＋15＋65＝81＝34，S 1＋S 3＋S 5＋S 7＝1＋15＋65＋175＝256＝44，由此可得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)设a ，b ，c >0，证明a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .[证明]∵a 、b 、c >0，根据均值不等式，有a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c . 三式相加：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c ≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 17．(本小题满分12分)给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的程序框图．[分析] 题目给出了10个数字，将大于40的数找出来．解答本题先确定使用循环结构，再确定循环体．[解析]程序框图如图所示：18．(本小题满分12分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当实数m 取何值时．(1)z 是纯虚数．(2)z 是实数．(3)z 对应的点位于复平面的第二象限．[解析](1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2－2m －2)＝0，m 2＋3m ＋2≠0. 解得m ＝3.所以当m ＝3时，z 是纯虚数．(2)由m 2＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或m ＝－2，又m ＝－1或m ＝－2时，m 2－2m －2>0，所以当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2－2m －2)<0，m 2＋3m ＋2>0.即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －2>0m 2－2m －3<0m 2＋3m ＋2>0解得：－1<m <1－3或1＋3<m <3.所以当－1<m <1－3或1＋3<m <3时，z 对应的点位于复平面的第二象限．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a 1，a 2，a 4，a 7…构成等差数列{b n }，S n 是{b n }的前n 项和，且b 1＝a 1＝1，S 5＝15.(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a 9＝16，求a 50的值；(2)设T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，求T n . [解析](1)∵{b n }为等差数列，设公差为d ，b 1＝1，S 5＝15，∴S 5＝5＋10d ＝15，d ＝1， ∴b n ＝1＋(n －1)×1＝n .设从第3行起，每行的公比都是q ，且q >0，a 9＝b 4q 2,4q 2＝16，q ＝2，1＋2＋3＋…＋9＝45，故a 50是数阵中第10行第5个数，而a 50＝b 10q 4＝10×24＝160.(2)∵S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2， ∴T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ＝2(n ＋1)(n ＋2)＋2(n ＋2)(n ＋3)＋…＋22n (2n ＋1)＝2(1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1)＝2(1n ＋1－12n ＋1)＝2n (n ＋1)(2n ＋1).20．(本小题满分13分)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，试问A ，B ，C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．[解析]A 、B 、C 成等差数列．证明如下：∵1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， ∴a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3. ∴c a ＋b ＋a b ＋c＝1， ∴c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，∴b 2＝a 2＋c 2－ac .在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12， ∵0°<B <180°，∴B ＝60°.∴A ＋C ＝2B ＝120°.∴A 、B 、C 成等差数列．21．(本小题满分14分)已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1,2，…)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，求证：数列{b n }是等比数列；(2)设＝a n 2n (n ＝1,2，…)，求证：数列{}是等差数列； (3)(理)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式．[解析](1)证明：∵S n ＋1＝4a n ＋2，∴S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减，得S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n (n ＝1,2，…)，即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，变形得a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )．∵b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，∴b n ＋1＝2b n . 由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列．(2)证明：由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 1＝1， ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3，由(1)知b n ＝3·2n －1，又＝a n 2n . ∴＋1－＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n 2n ＋1＝b n 2n ＋1. 将b n ＝3·2n －1代入得＋1－＝34(n ＝1,2，…)．由此可知，数列{}是公差d ＝34的等差数列． (3)由(2)得：c 1＝a 12＝12，故＝34n －14. ∵＝34n －14＝14(3n －1)， ∴a n ＝2n ·＝(3n －1)·2n －2(n ＝1,2，…)．当n ≥2时，S n ＝4a n －1＋2＝(3n －4)·2n －1＋2. 由于S 1＝a 1＝1也适合于此公式，所以{a n }的前n 项和公式为S n ＝(3n －4)·2n －1＋2.。

高三数学一轮复习推理与证明、算法、复数知识点突破训练带答案解析

第十二章| 推理与证明、算法、复数第一节合情推理与演绎推理突破点(一) 合情推理基础联通抓主干知识的“源”与“流” 类型定义特点归纳推理根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊考点贯通抓高考命题的“形”与“神”归纳推理运用归纳推理时的一般步骤(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； (2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)； (3)对所得出的一般性命题进行检验．类型(一) 与数字有关的推理 [例1] 给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) ……记第i 行的第 j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则a nm ＝( )本节主要包括2个知识点： 1.合情推理； 2.演绎推理.A ．(m ，n －m ＋1)B ．(m －1，n －m )C ．(m －1，n －m ＋1)D ．(m ，n －m )[解析] 由前4行的特点，归纳可得：若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，∴a nm＝(m ，n －m ＋1)．[答案] A [易错提醒]解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．类型(二) 与式子有关的推理[例2] (1)(2016·山东高考)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.(2)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x3＋27x3≥4，…，类比得x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. [解析] (1)观察前4个等式，由归纳推理可知⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n (n ＋1)3.(2)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .[答案] (1)4n (n ＋1)3 (2)n n[方法技巧]与式子有关的推理类型及解法(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．类型(三)与图形有关的推理[例3]某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为()A．21 B．34 C．52 D．55[解析]因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.[答案] D[方法技巧]与图形有关的推理的解法与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．类比推理1．类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2．平面中常见的元素与空间中元素的类比：平面点线圆三角形角面积周长…空间线面球三棱锥二面角体积表面积…[例4]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m∶n，则可推算出：EF＝ma＋nbm＋n.用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设△OAB，△ODC的面积分别为S1，S2，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是()A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋nB ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋nC.S 0＝m S 1＋n S 2m ＋nD.S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n[解析] 在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF ＝ma ＋nbm ＋n 类比到关于△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是S 0＝m S 1＋n S 2m ＋n.[答案] C [方法技巧]类比推理的步骤和方法(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为： ①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．1．[考点二]由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．2．[考点二]在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1V2＝()A.18 B.19 C.164 D.127解析：选D正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V1V2＝127.3．[考点一·类型(一)]两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()窗口1 2过道34 5窗口67 89101112 131415……………A．48,49 B．62,63 C．75,76 D．84,85解析：选D由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析选项中的4组座位号知，A、B两组座位号都不靠窗，C中两个座位没有连在一起，只有D符合条件．4．[考点一·类型(二)]设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：∵f(21)＝32，f(22)>2＝42，f(23)>52，f(24)>62，∴归纳得f(2n)≥n＋22(n∈N*)．答案：f(2n)≥n＋22(n∈N*)5．[考点一·类型(三)]蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．则f(4)＝________，f(n)＝________.解析：因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.答案：373n2－3n＋1突破点(二) 演绎推理基础联通抓主干知识的“源”与“流” 演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． (3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，(大前提)所以S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，即S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)[方法技巧]演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．1．已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a >0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．解：(1)证明：函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．(大前提)由已知y ＝－aa x ＋a，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a，f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x ＋a＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x＋a ，(小前提) ∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称．(结论) (2)由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1. 故f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.2．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数．证明：设任意x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，因为x 1<x 2，即x 2－x 1>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．(小前提) 所以y ＝f (x )为R 上的单调增函数．(结论)[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．答案：1和32．(2014·新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三个去过同一城市．由此判断乙去过的城市为________．解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，因此三人去过的同一城市应为A ，而甲去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以甲去过A ，C 城市，乙去过的城市应为A.答案：A[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( ) A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错 C ．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错解析：选A y＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．121 B．123 C．231 D．211解析：选B令a n＝a n＋b n，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得a n＋2＝a n＋a n＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.4．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.答案：n(n＋1)25．在平面几何中：△ABC中∠C的角平分线CE分AB所成线段的比为ACBC＝AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中(如图)，DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E，则得到类比的结论是_____________________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AEEB＝S△ACDS△BCD.答案：AEEB＝S△ACDS△BCD[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”．其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.复数不能比较大小，③④错误．2．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解析：选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个“整数对”，注意到10×(10＋1)2＜60＜11×(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．3．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，……，则52 016的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：选C 55＝3 125 ,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，……，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 016＝4×502＋8，所以52 016与58的后四位数字相同，为0 625，故选C.4．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n解析：选D 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D. 5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：选C 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有 1 225.6．某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( )A ．今天是周六B ．今天是周四C ．A 车周三限行D ．C 车周五限行解析：选B 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以今天不是周三；因为B 车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选B.二、填空题7．对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，观察下列等式： [ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3，[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10，[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21， ……按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为________．解析：因为[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝1×3，[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝2×5，[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝3×7，……，以此类推，第n 个等式的等号右边的结果为n (2n ＋1)，即2n 2＋n .答案：2n 2＋n8．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.答案：3329．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.解析：根据题意知，各式中分子都是x ，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知f n (x )的分母中常数项为2n ，分母中x 的系数为2n －1，故f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x(2n －1)x ＋2n.答案：x(2n－1)x ＋2n10.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为________．解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.答案：(1 009,1 008)三、解答题11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2.在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2BD·BC·DC·BC＝BC2 AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2.猜想，在四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.∵AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD.∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.又AB∩AE＝A，∴CD⊥平面ABF，∴CD⊥AF.∴在Rt△ACD中1AF2＝1AC2＋1AD2，∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.第二节直接证明与间接证明、数学归纳法突破点(一)直接证明基础联通抓主干知识的“源”与“流”内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果执果索因框图表示P(已知)⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Q n⇒Q(结论)Q(结论)⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件书写格式因为…，所以…或由…，得…要证…，只需证…，即证…考点贯通抓高考命题的“形”与“神”综合法综合法是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．[例1](2017·武汉模拟)已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：f(x)x－1>0. [解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当λ＝0时，f(x)＝ln x－x＋1.则f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.本节主要包括3个知识点：1.直接证明；2.间接证明；3.数学归纳法.当0<x <1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,1)上是增函数；当x >1时，f ′(x )<0，故f (x )在(1，＋∞)上是减函数．故f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.(2)证明：由题可得，f ′(x )＝λln x ＋λx ＋1x －1. 由题设条件，得f ′(1)＝1，即λ＝1. ∴f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.由(1)知，ln x －x ＋1<0(x >0，且x ≠1)．当0<x <1时，x －1<0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)<0，∴f (x )x －1>0.当x >1时，x －1>0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x －x ⎝⎛⎭⎫ln 1x －1x ＋1>0， ∴f (x )x －1>0. 综上可知，f (x )x －1>0.[方法技巧] 综合法证题的思路分析法分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．[例2] 已知a >0，证明 a 2＋1a2－2≥a ＋1a －2.[证明] 要证a 2＋1a2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)．因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)>0，所以只需证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 22≥⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1a －(2－2)2，即2(2－2)⎝⎛⎭⎫a ＋1a ≥8－42，只需证a ＋1a≥2. 因为a >0，a ＋1a ≥2显然成立当且仅当a ＝1a ＝1时，等号成立，所以要证的不等式成立．[方法技巧]分析法证题的思路(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．1．[考点一]命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 因为证明过程是“从左向右”，即由条件逐步推向结论，故选B. 2．[考点一](2017·广州调研)若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：选B a 2－ab ＝a (a －b )， ∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a (a －b )>0，即a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .① 又∵ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2.3．[考点一]已知实数a 1，a 2，…，a 2 017满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝0，且|a 1－2a 2|＝|a 2－2a 3|＝…＝|a 2 017－2a 1|，证明：a 1＝a 2＝a 3＝…＝a 2 017＝0.证明：根据条件知：(a 1－2a 2)＋(a 2－2a 3)＋(a 3－2a 4)＋…＋(a 2 017－2a 1)＝－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017)＝0.①另一方面，令|a 1－2a 2|＝|a 2－2a 3|＝|a 3－2a 4|＝…＝|a 2 017－2a 1|＝m ，则a 1－2a 2，a 2－2a 3，a 3－2a 4，…，a 2 017－2a 1中每个数或为m 或为－m . 设其中有k 个m ，(2 017－k )个－m ，则(a 1－2a 2)＋(a 2－2a 3)＋(a 3－2a 4)＋…＋(a 2 017－2a 1)＝k ×m ＋(2 017－k )×(－m )＝(2k －2 017)m .②由①②知：(2k －2 017)m ＝0.③而2k －2 017为奇数，不可能为0，所以m ＝0.于是知：a 1＝2a 2，a 2＝2a 3，a 3＝2a 4，…，a 2 016＝2a 2 017，a 2 017＝2a 1. 所以a 1＝22 017·a 1，即得a 1＝0.从而a 1＝a 2＝a 3＝…＝a 2 017＝0.命题得证．4．[考点二]已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明：因为m >0，所以1＋m >0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )·(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证m (a －b )2≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．突破点(二) 间接证明1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．用反证法证明问题的一般步骤至多有n 个至少有(n ＋1)个都是不都是对任意x 成立存在某个x 不成立对任意x 不成立存在某个x 成立 p 或q 綈p 且綈q p 且q 綈p 或綈q 不都是都是考点贯通抓高考命题的“形”与“神”证明否定性命题[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中任意三项不可能按原来顺序成等差数列． [解] (1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*) 又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．证明存在性问题[例2] 若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a <b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值；(2)是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b >1，所以b ＝3. (2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ](a >－2)上是“四维光军”函数，因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有⎩⎪⎨⎪⎧h (a )＝b ，h (b )＝a ，即⎩⎨⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．证明“至多”“至少”“唯一”命题[例3] 已知f (x )＝ln(1＋e x )－mx (x ∈R)，对于给定区间(a ，b )，存在x 0∈(a ，b )，使得f (b )－f (a )b －a＝f ′(x 0)成立，求证：x 0唯一． [证明] 假设存在x ′0，x 0∈(a ，b )，且x ′0≠x 0，使得f (b )－f (a )b －a ＝f ′(x 0)，f (b )－f (a )b －a＝f ′(x ′0)成立，即f ′(x 0)＝f ′(x ′0)．因为f ′(x )＝e x1＋e x－m ，记g (x )＝f ′(x )，所以g ′(x )＝e x(1＋e x )2>0，f ′(x )是(a ，b )上的单调递增函数．所以x 0＝x ′0，这与x ′0≠x 0矛盾，所以x0是唯一的．1．[考点三]用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要作的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根解析：选A用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而至少有一个实根的否定是没有实根，故作的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．2．[考点一、三]若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c －a)2≠0；②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C由于a，b，c不全相等，则a－b，b－c，c－a中至少有一个不为0，故①正确；②显然正确；令a＝2，b＝3，c＝5，满足a≠c，b≠c，a≠b，故③错误．3．[考点三]已知x∈R，a＝x2＋12，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.证明：假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3，而a＋b＋c＝x2＋12＋2－x＋x2－x＋1＝2x2－2x＋12＋3＝2⎝⎛⎭⎫x－122＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.4．[考点一]设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．解：(1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n，②①－②得，(1－q)S n＝a1－a1q n，∴S n＝a1(1－q n)1－q，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na1，q＝1，a1(1－q n)1－q，q≠1.(2)证明：假设数列{a n＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1.∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故数列{a n＋1}不是等比数列．5．[考点二]已知四棱锥S-ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA ＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，故SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，所以SA⊥平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．故在棱SC上不存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.突破点(三)数学归纳法基础联通抓主干知识的“源”与“流”一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”用数学归纳法证明等式[例1] 设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．[证明] (1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2⎝⎛⎭⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即 f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]，那么，当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣⎡⎦⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)． [方法技巧]用数学归纳法证明等式的策略(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n 0的值．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n ＝k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．用数学归纳法证明不等式[例2] 用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N *，n ≥2)．[证明] (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即1＋122＋132＋ (1)2<2－1k .当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1命题成立．由(1)(2)知原不等式在n ∈N *，n ≥2时均成立．[方法技巧]用数学归纳法证明不等式的策略(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．归纳—猜想—证明[例3] 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n －1，且a n ＞0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．[解] (1)当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，即a 21＋2a 1－2＝0.∴a 1＝3－1(a 1＞0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a 2＞0)．同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明：①由(1)知，当n ＝1时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，通项公式成立，即a k ＝2k ＋1－2k －1. 由于a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k，将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式，整理得 a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0， ∴a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1，即n ＝k ＋1时通项公式成立．由①②可知对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．[方法技巧]归纳—猜想—证明类问题的解题步骤利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理(即演绎推理)论证结论的正确性．1．[考点一]求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12，左边＝右边，等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k，则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1－12k ＋2＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．2．[考点二]用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立．证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时不等式成立，。

2015届高考数学一轮复习推理与证明、算法初步、复数专题训练

推理与证明、算法初步、复数一、基础知识要记牢 (1)复数的模：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (2)复数相等的充要条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )．(3)复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2013·某某高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(2013·某某高考)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22[解析] (1)因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i ＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.(2)A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．[答案] (1)D (2)D1与复数z 有关的复杂式子为纯虚数，可设为m i m ≠0，利用复数相等去运算较简便.2在有关复数z 的等式中，可设出z ＝a ＋b i a ，b ∈R ，用待定系数法求解.3熟记一些常见的运算结果可提高运算速度：1±i2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ，设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.三、预测押题不能少1．(1)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝( )A.10 B ．2 C. 2 D ．1解析：选 A 依题意得(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝－32＋12＝10.(2)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为________．解析：z ＝1＋i ，则z 2z＝1＋i 21－i＝2i 1－i＝2i 1＋i 1－i 1＋i ＝－1＋i ，则复数z2z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)合情推理一、基础知识要记牢(1)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论． (2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别事物发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．一般情况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就越可靠．二、经典例题领悟好[例2] (2013·某某高考)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为________．[解析] 12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3， 12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， ……12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n n ＋12.[答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋12合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．三、预测押题不能少2．(1)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，….依此类推，第n 个等式为__________________________．解析：由归纳推理可知，第n 个等式为2n×1×3×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×…×2n .答案：2n×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)× (2)(2)对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ＋S △OCA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0程序框图一、经典例题领悟好[例3] (2013·新课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋ (110)C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！[解析] 当输入N ＝10时，由于k ＝1，S ＝0，T ＝1，因此T ＝11＝1，S ＝1，k ＝2，此时不满足k >10；当k ＝2时，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，此时不满足k >10；当k ＝3时，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，k ＝4，此时不满足k >10；当k ＝4时，T ＝11×2×3×4＝14！，S ＝1＋12！＋13！＋14！，k ＝5，此时不满足k >10 ；……当k ＝10时，T ＝11×2×3×4×…×10＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！，k ＝11，此时满足k >10.因此输出S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！.[答案] B1解答有关程序框图问题，首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构.2利用循环结构表示算法要注意：①要选择准确的表示累计的变量；②要注意在哪一步结束循环；③执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误.二、预测押题不能少3．(1)程序框图如图，如果程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中可填入( )A ．k ≤10B ．k ≥10C ．k ≤11D ．k ≥11解析：选A 输出的S 值是一个逐次累积的结果，第一次运行S ＝12，k ＝11；第二次运行S ＝132，k ＝10.如果此时输出结果，则判断框中的k 的最大值是10. (2)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选C 逐次运行的结果是n＝3，i＝2；n＝4，i＝3；n＝2，i＝4.故输出的值是4.程序框图与概率的交汇算法是新课标高考中的一大热点，特别体现在算法的交汇性问题上，这些问题题目背景新颖，交汇自然，主要表现在算法与函数、数列、不等式、概率及统计的交汇．一、经典例题领悟好[例] (2013·某某高考节选)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610… … … … 2 1001 027376697乙的频数统计表(部分) 运行次数n 输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数输出y 的值为3的频数 30 12 11 7 … … … … 2 1001 051696353当n ＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大； (3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．(1)学审题——审条件之审视图表和数据程序框图――→审图计算输出y 的值为1,2,3的数的个数―――――――→古典概型公式概率． (2)学审题频数统计表――→审表各小组频数―→频率―――――→与1比较结论． (3)学审题条件―→确定y 的取值13−−−−−−→每次发生的概率为求出分布列―→期望值．[解] (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)输出y 的值为1的频率输出y 的值为2的频率输出y 的值为3的频率甲 1 0272 100 3762 100 6972 100 乙1 0512 1006962 1003532 100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49， P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29，P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝127，故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P8274929127所以，E (ξ)＝3×13＝1.即ξ的数学期望为1.本题主要考查算法与程序框图、古典概型、频数、频率、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方法解决实际问题的能力，考查数据处理能力、应用意识和创新意识.解答本题的易错点为：一是错读程序框图使本题在求解第一步时就出现错误，二是处理频数分布表中数据时运算错误. 二、预测押题不能少某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD EFGH 材料切割成三棱锥H ACF .(1)若点M ，N ，K 分别是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？解：(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC . ∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ，同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK ∥平面ACF ，又MG ⊂平面MNK ，故MG ∥平面ACF . (2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ，∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ，∴e ＝12bc 1－d 2＝12AC ·AF ·sin∠CAF ＝S △ACF .又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF ＝V 三棱锥H ACF .∵三棱锥H ACF 为将长方体ABCD EFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得， ∴V 三棱锥H ACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.1．(2013·某某高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．BC ．CD ．D解析：选B 因为x ＋y i 的共轭复数是x －y i ，故选B.2．(2013·某某质检)执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为( )A ．3B ．126C ．127D ．128解析：选C 若输入的x ＝2，则x ＝22－1＝3，而3<126，故x ＝23－1＝7，而7<126，故x ＝27－1＝127.因为127>126，所以输出的x 值为127.3．(2013·某某质量预测)若复数z ＝2－i ，则z ＋10z＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．4＋2iD ．6＋3i解析：选D ∵z ＝2－i ，∴z ＋10z ＝(2＋i)＋102－i ＝(2＋i)＋102＋i2－i 2＋i ＝6＋3i.4．(2013·某某高考)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2*i －2 B.S ＝2*i －1 C ．S ＝2*i D.S ＝2*i +4解析：选C 此框图依次执行如下循环：第一次：i ＝1，S ＝0，i ＝1＋1＝2，i 是奇数不成立，S ＝2*2＋1＝5，继续循环；第二次：i ＝2＋1＝3，i 是奇数成立，继续循环；第三次：i ＝3＋1＝4，i 是奇数不成立，S ＝2*4+1=9，继续循环；第四次：i ＝4+1=5，i 是奇数成立，由题意知此时应跳出循环，输出i ＝5，即S ＜10不成立. 故应填S =2*i (此时S =10＜10不成立).若填S ＝2*i ＋4，则在第二次循环中就跳出循环．故选C.5．(2013·某某某某模拟)执行如图所示的程序框图，任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1)，则能输出数对(x ，y )的概率为( ) A.14B.13 C.23D.34解析：选B 依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1表示的平面区域的面积等于12＝1；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，y ≤x 2表示的平面区域的面积等于∫10x 2d x ＝13x 310＝13，因此所求的概率为13.6．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋n B ．d n ＝c 1·c 2·…·nC ．d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·解析：选D 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{}是等比数列，则c 1·c 2·…·＝c n 1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·q 12n n (-)，∴d n ＝nc 1·c 2·…·＝c 1·q12n -，即{d n }为等比数列，故选D.7．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i＝－2i.答案：－2i8．(2013·某某高考)执行下面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．解析：逐次计算的结果是F 1＝3，F 0＝2，n ＝2；F 1＝5，F 0＝3，n ＝3，此时输出，故输出结果为3. 答案：39．(2013·某某质检)观察下列等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； ……则当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)．解析：由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1,1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4,12＝42－22；由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8,39＝82－52； ………依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案：n 2－m 210．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ， ∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.11．(2013·某某质量预测)每年的3月12日，是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米)：甲：137,121,131,120,129,119,132,123,125,133；乙：110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(1)根据抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x ，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图)，问输出的S 大小为多少？并说明S 的统计学意义；(3)若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布，求小王领取到的“良种树苗”的株数X 的分布列．解：(1)茎叶图如图所示：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗高度的中位数为127，乙种树苗高度的中位数为128.5；④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散．(2)依题意，x ＝127，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度的离散程度的量．S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越参差不齐．(3)由题意可知，领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为12，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，所以随机变量X X0 1 2 3 4 5 P132 532 516 516 532 13212．(2013·高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点． (1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32. 所以菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝ 3. (2)四边形OABC 不可能为菱形．理由如下：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km1＋4k 2，m1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k. 因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．。

【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第十二章算法初步、复数、推理与证明 12-5 Word版含解析]

基础达标检测一、选择题1．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)>0 B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1) C ．a 2＋3ab >2b 2D.a b <a ＋1b ＋1[答案] B[解析] 在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．2．(2014·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”“索”的“因”应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0[答案] C [解析]b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2 ⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0 ⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0 ⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.3．(文)设t ＝a ＋2b ，S ＝a ＋b 2＋1，则下列关于t 和S 的大小关系中正确的是( )A ．t >SB ．t ≥SC ．t <SD ．t ≤S[答案] D[解析] ∵S －t ＝a ＋b 2＋1－a －2b ＝(b －1)2≥0. ∴S ≥t .(理)下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] C[解析] 由均值不等式成立的条件知a ，b 同号，故①③④都可以．4．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 [答案] B[解析] “至少有一个”的否定是“都不是”． 5．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：(1)a ＋b >1；(2)a ＋b ＝2；(3)a ＋b >2；(4)a 2＋b 2>2；(5)ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．(2)(3)B ．(1)(2)(3)C．(3) D．(3)(4)(5) [答案] C[解析]若a＝12，b＝23，则a＋b>1，但a<1，b<1，故(1)推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故(2)推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，ab>1，故(4)(5)推不出；对于(3)，若a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.6．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P、Q的大小关系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定[答案] C[解析]∵要证P<Q，只要证P2<Q2，只要证：2a＋7＋2a(a＋7)<2a＋7＋2(a＋3)(a＋4)，只要证：a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证：0<12，∵0<12成立，∴P<Q成立．二、填空题7．设a＝3＋22，b＝2＋7，则a、b的大小关系为________．[答案]a<b[解析]a＝3＋22，b＝2＋7两式的两边分别平方，可得a2＝11＋46，b2＝11＋47，明显6<7，∴a<b.8．(2014·南昌模拟)已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图像上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图像上的点，其中n ∈N ＋，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．[答案] c n ＋1<c n[解析] 由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n， ∴c n 随n 的增大而减小． ∴c n ＋1<c n .9．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为________．[答案] 18[解析] S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6，由S 11为定值，可知a 6＝a 1＋5d 为定值．设4a 2＋a 10＋a n ＝24，整数得a 1＋n ＋126d ＝4，可知n ＝18. 三、解答题10．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)．(1)求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)求证：方程f (x )＝0没有负根．[证明] (1)解法1：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0，∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0. 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．解法2：f (x )＝a x＋1－3x ＋1(a >1)，求导数得f ′(x )＝a x ln a ＋3(x ＋1)2，∵a >1，∴当x >－1时，a xln a >0，3(x ＋1)>0，∴f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立， f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负根．解法2：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， ①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，ax 0<1，∴f (x 0)<－1与f (x 0)＝0矛盾． ②若x 0<－1，则x 0－2x 0＋1>1，ax 0>0，∴f (x 0)>1与f (x 0)＝0矛盾．故方程f (x )＝0没有负根.能力强化训练一、选择题1．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a ( ) A ．都大于2 B ．都小于2C ．至少有一个大于2D ．至少有一个不小于2[答案] D[解析] ∵a >0，b >0，c >0，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c 时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2. 2．给出如下三个命题：①四个非零实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的充要条件是ad ＝bc ；②设a ，b ∈R ，且ab ≠0，若a b <1，则ba >1； ③若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中不正确．．．命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③[答案] A[解析] ①中，a ，b ，c ，d 成等比数列⇒ad ＝bc ，但ad ＝bc ⇒/ d c＝c b ＝ba .②中，若a b <1，则ba 的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以②错误；③中，f (|x |)＝log 2|x |的定义域是{x |x ∈R 且x ≠0}，且f (|x |)＝f (|－x |)成立，故f (|x |)是偶函数，③正确，所以答案是A.二、填空题3．已知函数f (x )＝ax ＋2a ＋1，当x ∈[－1,1]时，f (x )有正值也有负值，则实数a 的取值范围为____________．[答案] －1＜a ＜－13[解析] 由题意得f (x )＝ax ＋2a ＋1为斜率不为0的直线，由单调性知f (1)·f (－1)＜0即可．∴(a ＋2a ＋1)·(2a －a ＋1)＜0. ∴－1＜a ＜－13.4．设a ，b 为正实数，现有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a ＝1，则a －b <1； ③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) [答案] ①④[解析] 本题考查了等式与不等式之间的逻辑关系对于①，由a 2－b 2＝1，则(a －b )(a ＋b )＝1，则a －b >0故a >b ，又a >0，b >0，则a ＋b >a －b ，若a －b ≥1，则a ＋b >1，则(a ＋b )(a －b )>1这与已知条件(a －b )(a ＋b )＝1矛盾，故①成立．对于②，不妨取a＝2，b＝23，则a－b＝2－23>1，故②不正确．对于③，不妨取a＝9，b＝4，则|a－b|＝5>1，故③不正确，对于④，由|a3－b3|＝1知a≠b，不妨设a>b，若|a－b|≥1，而a≥b ＋1，又b>0，则a>1，∴a2＋ab＋b2>1，由|a3－b3|＝|a－b||a2＋ab＋b2|＝|a－b|(a2＋ab＋b2)故|a3－b3|>1，这与已知条件矛盾，解决问题时直接去解不好处理的情况下可选择间接解法例如反证法，对于不正确命题可举一个反例即可．三、解答题5．已知{a n}是正数组成的数列，a1＝1，且点(a n，a n＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图像上．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b1＝1，b n＋1＝b n＋2a n，求证：b n·b n＋2<b2n＋1.[解析](1)由已知得a n＋1＝a n＋1，即a n＋1－a n＝1，又a1＝1，所以数列{a n}是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知：a n＝n从而b n＋1－b n＝2n，b n＝(b n－b n－1)＋(b n－1－b n－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.因为b n b n＋2－b2n＋1＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2＝22n＋2＝－2n＋2－2n＋1－(22n＋2－2×2n＋1＋1)＝－5×2n＋4×2n－2n<0，所以b n b n ＋2<b 2n ＋1.6．(2013·北京高考)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．[解析] (1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (t ，12)，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝±3. 所以|AC |＝2 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. 所以AC 的中点为M (－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2)．因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k .因为k ·(－14k )≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．。

【高考复习指导理】2015高考数学一轮复习第十一章推理与证明、复数复习指导理(pdf)

一一对应一一对应
, 复数z =a +b Z( a, b) i Z. → 平面向量O ( )用“ 化归法” 将复数问题转化为实数问题来求解. 实 3 的解题策略, 这也是数学 “ 化归思想 ” 的体现. 如利用复数相来, 因此, 将复数问题转化为实数问题来解答是一种最常见
→ 复平面内的点
→
数的运算性质是我们熟悉的, 而复数集又由实数集扩充而
量一一对应. 因此可根据需要把复数转化为复平面内的点或 “ 向量, 数形结合” 来解题.
复平面内的点一一对应; 复数与复平面内以原点为起点的向
( )以复数的几何意义为考点, 考查 “ 数” 与“ 形” 的转化 3 能力. 解这类题的关键在于理解复数的几何意义, 即复数与
提高运算的速度.
1 3 2 , ) 则有利于 i 1±i = ±2 + i 的周期性以及( 2 2
独立的, 而是存在着联系的等等, 对这些情况我们在复习时
( )在复习证明方法时要注意综合法、分析法、反证法、 2 数学归纳法都有各自特点、各自的适用情况, 它们之间不是
关系 .
事物的基本量之间的相似或一致性关系 , 并由此推导其他
��

【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第十二章算法初步、复数、推理与证明 12-4 Word版含解析]

基础达标检测一、选择题1．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)[答案] D[解析]本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．2．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()[答案] A[解析]该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.3．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”．类比推出：若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b.其中类比结论正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析]①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．故选C.4．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931………A．809 B．852C．786 D．893[答案] A[解析]前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.5．定义一种运算“*”：对于正整数n满足以下运算性质：(1)1]()A．n B．n＋1C．n－1 D．n2[答案] A[解析]由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝ (1)6．(文)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4 , |x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为() A．76 B．80C．86 D．92[答案] B[解析]本题考查了不完全归纳．由已知条件知|x|＋|y|＝n的不同整数解(x，y)个数为4n，所以|x|＋|y|＝20不同整数解(x，y)的个数为4×20＝80.归纳体现了由特殊到一般的思维过程．(理)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199[答案] C[解析]本题考查了归纳推理能力，∵1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，…，47＋76＝123，故选C，解答本题时因为分析不出右边数字与前两式的数字关系，从而无从下手，导致无法解题或错选．二、填空题7．在平面内有n(n∈N＋，n≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成f (n )个平面区域，则f (5)的值是________，f (n )的表达式是________．[答案] 16 f (n )＝n 2＋n ＋22[解析] 由题意，n 条直线将平面分成n (n ＋1)2＋1个平面区域，故f (5)＝16，f (n )＝n 2＋n ＋22. 8．(文)(2013·陕西高考)观察下列等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； ……照此规律，第n 个等式可为________________________． [答案] (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1) [解析] 观察规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n ＋1到n ＋n ，等式右端是积式，第一项是2n ，后面是等差数列{2n －1}的前n 项的乘积，故第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．(理)如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB ⊥AB 时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为________．[答案] 1＋52[解析] 类比“黄金椭圆”得“黄金双曲线”的图形，由图知，(a ＋c )2＝(b 2＋c 2)＋c 2，整理得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52，故e ＝1＋52.9．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结论，可推测一般的结论为________．[答案] f (2n )≥n ＋22[解析] 由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n )，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n)≥n ＋22.三、解答题10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解析]解法1：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinαcosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.解法2：(1)同解法1.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos(60°－2α)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sinαcosα－12sin2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.能力强化训练一、选择题1．已知x>0，由不等式x＋1x≥2x·1x＝2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥33x2·x2·4x2＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋ax n≥n＋1(n∈N＋)，则a＝()A．2n B．n2C．3n D．n n[答案] D[解析]再续写一个不等式：x＋33x3＝x3＋x3＋x3＋33x3≥44x3·x3·x3·33x3＝4，由此可得a＝n n.2．(文)如图所示，把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30[答案] B[解析] a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 3＋4， ∴a n －a n －1＝n ，∴a n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2， ∴a 7＝7×82＝28.(理)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a 0a 1a 2，a i ∈{0,1}(i ＝0,1,2)，传输信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0＝a 0⊕a 1，h 1＝h 0⊕a 2，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011[答案] C[解析] 对于选项C ，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h 0＝0⊕1＝1，而h 1＝h 0⊕a 2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.二、填空题3．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图甲、乙、丙、丁为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (6)＝________.[答案] 61[解析] 根据所给图形的规律，f (1)＝1，f (n ＋1)－f (n )＝4n ，n ∈N ＋，由累加法可得f (n )＝2n 2－2n ＋1，所以f (6)＝61.4．(2014·莱芜一模)凸函数的性质定理：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn )，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为______．[答案]332[解析] ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)，∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f (A ＋B ＋C 3)＝f (π3)．即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332， ∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332. 三、解答题5．已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，写出具有类似的性质，并加以证明．[解析] 类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M 、P 的坐标分别为(m ，n )、(x ，y )，则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b2a 2m 2－b 2. 同理y 2＝b2a 2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．6．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.(1)求a 18的值；(2)求该数列的前n 项和S n .[解析] (1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n)当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 52n (n 为偶数)，52n －12 (n 为奇数).。

2015高考数学证明方法一轮训练题

2015高考数学证明方法一轮训练题2015高考数学证明方法一轮训练题【选题明细表】知识点、方法题号综合法2、5、8、10、12、15分析法3、7、11、13反证法1、4、6、9、14一、选择题1.(2013潍坊模拟)用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设是(B)(A)自然数a,b,c中至少有两个偶数(B)自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数(C)自然数a,b,c都是奇数(D)自然数a,b,c都是偶数解析:“恰有一个”反面应是至少有两个或都是奇数.故选B.2.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值(A)(A)恒为负值(B)恒等于零(C)恒为正值(D)无法确定正负解析:由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)则f(x1)+f(x2)3.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:(A)a-b>0(B)a-c>0(C)(a-b)(a-c)>0(D)(a-b)(a-c)解析:⇔(a+c)2-ac⇔a2+2ac+c2-ac-3a2⇔-2a2+ac+c2⇔2a2-ac-c2>0⇔(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.故选C.4.(2013九江模拟)用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,假设正确的是(B)(A)假设三个内角都不大于60度(B)假设三个内角都大于60度(C)假设三个内角至多有一个大于60度(D)假设三个内角有两个大于60度解析:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,对“三角形的内角中至少有一个不大于60度”的否定,即“三个内角都大于60度”.5.(2013辽宁大连模拟)设S是至少含有两个元素的集合,在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应),若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是(A)(A)(a*b)*a=a(B)a*(b*a)]*(a*b)=a(C)b*(b*b)=b(D)(a*b)*b*(a*b)]=b解析:由已知条件可得对任意a,b∈S,a*(b*a)=b,则b*(b*b)=b,a*(b*a)]*(a*b)=b*(a*b)=a,(a*b)*b*(a*b)]=(a*b)*a=b,即选项B,C,D中的等式均恒成立,仅选项A中的等式不恒成立.故选A.6.(2013四平二模)设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是(C)(A)②③(B)①②③(C)③(D)③④⑤解析:若a=,b=,则a+b>1,但a若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2,与a+b>2矛盾,因此假设不成立,a,b中至少有一个大于1.故选C.二、填空题7.设a>b>0,m=-,n=,则m,n的大小关系是.解析:法一取a=2,b=1,得m法二分析法:-⇐a0,显然成立.答案:m8.已知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中n∈N*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为.解析:由条件得cn=an-bn=-n=,∴cn随n的增大而减小.∴cn+1答案:cn+19.用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a、b、c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,假设的内容是.解析:“至少有一个”的否定为“都不是”.答案:假设a,b,c都不是偶数10.已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任意的m,n∈N*都有:(1)f(m,n+1)=f(m,n)+2.(2)f(m+1,1)=2f(m,1).给出以下三个结论:①f(1,5)=9;②f(5,1)=16;③f(5,6)=26.其中正确结论的序号有.解析:由题意知①f(1,5)=f(1,4)+2=f(1,3)+4=f(1,2)+6=f(1,1)+8=1+8=9.正确.②f(5,1)=2f(4,1)=4f(3,1)=8f(2,1)=16f(1,1)=16.正确.③f(5,6)=f(5,5)+2=…=f(5,1)+10=16+10=26.正确.答案:①②③11.设P=,Q=-,R=-,则P、Q、R的大小顺序是.解析:>-⇐2>⇐8>6成立,∴P>R,又->-⇐+>+⇐9+2>9+2⇐>,成立.∴R>Q,∴P>R>Q.答案:P>R>Q12.已知三个不等式①ab>0;②>;③bc>ad.以其中两个作条件,余下一个作结论,则可组成个正确命题.解析:此题共可组成三个命题即①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.若ab>0,>,则-=>0,得bc-ad>0,即可得命题①②⇒③正确;若ab>0,bc>ad,则=->0,得>,即命题①③⇒②正确;若bc>ad,>,则-=>0,得ab>0,即命题②③⇒①正确.综上可得正确的命题有三个.答案:三三、解答题13.已知a>0,求证:-≥a+-2.证明:要证-≥a+-2.只要证+2≥a++.∵a>0,故只要证≥,即a2++4+4≥a2+2++2+2,从而只要证2≥,只要证4≥2,即a2+≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.14.已知a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.证明:法一假设三式同时大于,即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>.(*)又(1-a)a≤=,同理(1-b)b≤,(1-c)c≤,∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,这与(*)矛盾,所以假设不成立,故原命题正确.法二假设三式同时大于,∵0∴1-a>0,≥>=,同理>,>,三式相加得>,这是矛盾的,故假设错误,∴原命题正确.15.(2013宁德模拟)设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f'(x)=,g(x)=f(x)+f'(x).求g(x)的单调区间和最小值.解:由题设易知f(x)=lnx,g(x)=lnx+,g'(x)=.令g'(x)=0得x=1.当x∈(0,1)时,g'(x)故(0,1)是g(x)的单调递减区间,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的单调递增区间,因此x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g(1)=1.。

(新课标)北京市2015届高考数学一轮复习第21讲逻辑推理与证明方法课后练习理

第21讲逻辑推理与证明方法题一：求证：2222,2,2y ax bx c y bx cx a y cx ax b =++=++=++（,,a b c 是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点．题二：b a ,是两个不相等的正数，且满足2233b a b a -=-，求所有可能的整数c ,使得ab c 9=.题三：抛物线y 2=2px (p >0)，过焦点F 的直线和抛物线交于A 、B 两点，问以焦点弦AB 为直径的圆是否与准线相切？题四：如图1，已知半径为r 的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相互垂直且交点为P . （1）若四边形ABCD 中的一条对角线AC 的长度为d （02d r <<），试求：四边形ABCD 面积的最大值；（2）试探究：当点P 运动到什么位置时，四边形ABCD 的面积取得最大值，最大值为多少？（3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形.如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相互垂直且交于点P . 试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定.DBMCAP题五：已知正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有2n a ≤a n －a n +1成立．(1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1；(2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论．题六：已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n +1≥f ′(a n ＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n 与1的大小，并说明理由．题七：△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列， ,,a b c 分别为三个内角A 、B 、C 所对的边，求证：c b a c b b a ++=+++311.题八：用分析法证明：若a ＞012a a≥+-. 第21讲逻辑推理与证明方法题一：证明略。

【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第十二章算法初步、复数、推理与证明 12-3 Word版含解析

基础达标检测一、选择题1．(文)若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2i D ．1＋2i[答案] B[解析] 本题主要考查复数的基础知识，利用复数相等及复数的乘法运算．x i ＋1＝y ＋2i ，所以x ＝2，y ＝1. (理)若z ＝1＋2ii ，则复数z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i [答案] D[解析] 本题主要考查复数的运算.z －＝1－2i －i ＝(1－2i )i－i·i ＝2＋i ，故选D.2．(文)(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] D[解析] a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义知a －3＝0，所以a ＝3.(理)(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i[答案] A[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ·z i ＋2＝2z ，得 (x 2＋y 2)i ＋2＝2(x ＋y i)＝2x ＋2y i ，∴⎩⎨⎧x 2＋y 2＝2y ，2＝2x ，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴z ＝1＋i ，故选A.3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i[答案] D[解析] CA →＝CB →＋BA →＝CB →－AB →＝－1－3i －(2＋i) ＝－3－4i.4．(文)(2013·北京高考)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i 对应的点(1,2)位于第一象限． (理)(2013·北京高考)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] D[解析] ∵(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ， ∴复数对应复平面内的点(3，－4)．选D.5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 本题考查了复数的概念，充分必要条件与分类讨论的思想．由ab ＝0知a ＝0且b ＝0或a ＝0且b ≠0或a ≠0且b ＝0，当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 为纯虚数，否则a ＋b i 为实数，反之若a ＋bi 为纯虚数，则b ≠0且a ＝0，则ab ＝0，故“ab ＝0”是“a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．6．(文)(2013·江西高考)复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] D[解析] 本题主要考查复数的乘法及复平面内的点与复数的一一对应关系．由z ＝i(－2－i)＝－2i －i 2＝1－2i 知复数z 对应点在第四象限．(理)(2013·江西高考)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i[答案] C[解析] 本题考查集合的交集概念．复数的乘法． M ∩N ＝{4}，∴z i ＝4，∴z ＝4i ＝－4i.选C. 二、填空题 7．(文)若3＋b i1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.[答案] 3[解析] 本题主要考查了复数的运算和复数的相等的条件．3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝3－b 2＋b ＋3i2＝a ＋b i ，即⎩⎪⎨⎪⎧3－b 2＝a b ＋32＝b解得a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.(理)已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________. [答案] 10[解析] 本题考查复数的模的运算．由题意知：z ＝(3＋i)2， ∴|z |＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝(32＋1)2＝10.注意求复数的模的方法的技巧，如|(a ＋b i)2|＝|a ＋b i|2.8．若复数a ＋3i 1＋2i (a ∈R ，i 是复数单位)是纯虚数，则实数a ＝________.[答案] －6[解析] a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋65＋3－2a5i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋65＝0，3－2a 5≠0，∴a ＝－6.9．(文)(2013·重庆高考)设复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.[答案] 5[解析] 本题考查复数的模． |z |＝|1＋2i|＝12＋22＝ 5.(理)(2013·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.[答案] 1＋2i[解析] 本题考查了复数的运算及相等．由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得，a ＋(1＋a )i －1＝b i ，∴⎩⎨⎧a －1＝0，1＋a ＝b ，∴b ＝2，a ＝1，∴a ＋b i ＝1＋2i.三、解答题10．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z 对应的点在复平面内的第二象限内．[解析](1)若z 为实数，则⎩⎨⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0，得m ＝－2.(2)若z 为虚数，则m 2＋5m ＋6≠0， ∴m ≠－2且m ≠－3.(3)若z 是纯虚数，则⎩⎨⎧m 2＋5m ＋6≠0m 2－m －6m ＋3＝0，解得m ＝3.(4)若z 对应的点在第二象限，则⎩⎨⎧m 2－m －6m ＋3<0m 2＋5m ＋6>0，即⎩⎨⎧m <－3或－2<m <3m <－3或m >－2，∴m <－3或－2<m <3. 能力强化训练一、选择题1．设z 是复数，f (z )＝z n (n ∈N ＋)，对于虚数单位i ，则f (1＋i)取得最小正整数时，对应n 的值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] D[解析] ∵f (z )＝z n ，∴f (1＋i)＝(1＋i)n 由i 的运算性质可知(1＋i)2＝2i ，要使(1＋i)n 取得最小正整数，则n ＝8.2．(文)(2013·陕西高考)设z 是复数，则下列命题中的假．命题是( )A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2<0，则z 是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2<0[答案] C[解析]本题考查复数的相关概念．z2能与0比较大小且z2≥0，则z为实数，A正确．由i2＝－1知，B、D正确．C中不防取z＝1＋i，则z2＝2i不能与0比较大小．(理)(2013·陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22[答案] D[解析]本题考查复数相等，共轭复数．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，∴a＝c，b＝d，所以z1＝z2，故A项正确．若z1＝z2，则a＝c，b＝－d，所以z1＝z2，故B项正确．若|z1|＝|z2|，则a2＋b2＝c2＋d2，所以z1z1＝z2·z2，故C项正确．z21＝a2－b2＋2abi，z22＝c2－d2＋2cdi，在a2＋b2＝c2＋d2的条件下，不能得出a2－b2＝c2－d2,2ab＝2cd，故D项错误．二、填空题3．已知复数z＝x＋y i，且|z－2|＝3，则yx的最大值为________．[答案] 3[解析]|z－2|＝(x－2)2＋y2＝3，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知(yx)max＝31＝ 3.4．(文)(2013·天津高考)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________.[答案]5－5i[解析]本题考查了复数的乘法运算．(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.(理)已知复数z1＝2－i，z2＝a＋(1－a2)i，在复平面内的对应点分别为P1、P2，P1P2→对应复数为－3＋i，则a＝______.[答案]－1[解析]由条件可知z2－z1＝－3＋i，即(a－2)＋(2－a2)i＝－3＋i，∴⎩⎨⎧a －2＝－32－a 2＝1，∴a ＝－1.三、解答题5．已知A (1,2)，B (a,1)，C (2,3)，D (－1，b )(a ，b ∈R )是复平面上的四点，且向量AB →，CD →对应的复数分别为z 1，z 2.(1)若z 1＋z 2＝1＋i ，求1＋i z 1＋1－iz 2.(2)若z 1＋z 2为纯虚数，z 1－z 2为实数，求a ，b . [解析] (1)∵AB →＝(a,1)－(1,2)＝(a －1，－1)， CD →＝(－1，b )－(2,3)＝(－3，b －3)， ∴z 1＝(a －1)－i ，z 2＝－3＋(b －3)i ， ∴z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ，又z 1＋z 2＝1＋i ，∴⎩⎨⎧a －4＝1b －4＝1，∴⎩⎨⎧a ＝5b ＝5，∴z 1＝4－i ，z 2＝－3＋2i ，∴1＋i z 1＋1－i z 2＝1＋i 4－i ＋1－i －3＋2i＝(1＋i )(4＋i )42＋12＋(1－i )(－3－2i )(－3)2＋22＝3＋5i 17＋－5＋i 13＝－46221＋82221i.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有@高考资源网（河北、湖北、辽宁、安徽、重庆）五地区试卷投稿QQ 2355394696(2)由(1)得z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ，z 1－z 2＝(a ＋2)＋(2－b )i ，∵z 1＋z 2为纯虚数，z 1－z 2为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝0b －4≠02－b ＝0，∴⎩⎨⎧ a ＝4b ＝2.6．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．[解析] ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P .由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎨⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎨⎧ m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2.。

【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第十二章算法初步、复数、推理与证明 12-6 Word版含解析

基础达标检测一、选择题1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10[答案] B[解析] 由S n ＝1－12n 1－12>12764得n >7，又n ∈N ＋，所以n ≥8.2．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋____________( )A.π2 B ．π C.32π D ．2π [答案] B[解析] 由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.3．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某人的证明过程如下：1°当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.2°假设n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋k ＋2＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案] D[解析]本题的证明中，从n＝k到n＝k＋1的推理没有用到归纳假设，所以本题不是用数学归纳法证题．4．下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是()A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)[答案] D[解析](1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N＋)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N＋都成立．5．用数学归纳法证明“1＋2＋…＋n＋(n－1)…＋2＋1＝n2(n∈N ＋)”，从n＝k到n＝k＋1时，左边添加的代数式为() A．k＋1 B．k＋2C．k＋1＋k D．2(k＋1)[答案] C[解析] 在由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边式子为1＋2＋3＋…＋k ＋k ＋1＋k ＋…＋2＋1，因此，左边添加的式子为k ＋1＋k .6．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3[答案] A[解析] 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．二、填空题7．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．[答案] a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)[解析] a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5， a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9， ∴a n ＝1(2n －1)(2n ＋1). 8．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．[答案] 2k ＋1[解析] ∵n 为正奇数，假设n ＝2k －1成立后，需证明的应为n ＝2k ＋1时成立．9．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N ＋)时，从k 到k ＋1，左边需要增加的代数式为________．[答案] 2(2k ＋1)[解析] 当n ＝k 时左边的最后一项是2k ，n ＝k ＋1时左边的最后一项是2k ＋2，而左边各项都是连续的，所以n ＝k ＋1时比n ＝k 时左边少了(k ＋1)，而多了(2k ＋1)(2k ＋2)．因此增加的代数式是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．三、解答题 10．用数学归纳法证明：n ∈N ＋时，11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n 2n ＋1. [解析] (1)当n ＝1时，左边＝11×3，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边．∴等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)，＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1， ∴n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，一切n ∈N ＋，等式成立.能力强化训练一、选择题1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2[答案] D[解析] ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.2．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为( )A ．190B ．715C ．725D ．385[答案] B[解析] 由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n 项和，通项a n ＝4n －3.由此可归纳出第n 件首饰的珠宝数为n [1＋(4n －3)]2＝2n 2－n .则前n 件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n 2)－(1＋2＋…＋n )＝4n 3＋3n 2－n 6. 当n ＝10时，总数为715.二、填空题3．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．[答案] f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2[解析] ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2；∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.4．(2014·青岛二模)利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了________项．[答案] 2k[解析] 当n ＝k 时为1＋12＋13＋…＋12k －1，当n ＝k ＋1时为1＋12＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12·2k －1，所以从n ＝k 到n ＝k ＋1增加了2k 项．三、解答题5．由下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．[解析] 根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为： 1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2(n ∈N ＋)．用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，1>12，猜想成立；(2)假设当n ＝k 时，猜想成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1>k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1>k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1>k 2＋2k 2k ＋1＝k ＋12，即当n ＝k ＋1时，猜想也确，由(1)(2)可知对任意的n ∈N ＋，不等式都成立．6．是否存在常数a 、b 、c 使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N ＋都成立，若存在，求出a 、b 、c并证明；若不存在，试说明理由．[解析] 假设存在a 、b 、c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N ＋都成立．当n ＝1时，a (b ＋c )＝1；当n ＝2时，2a (4b ＋c )＝6；当n ＝3时，3a (9b ＋c )＝19.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a (b ＋c )＝1，a (4b ＋c )＝3，3a (9b ＋c )＝19.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13，b ＝2，c ＝1.证明如下： ①当n ＝1时，由以上知存在常数a ，b ，c 使等式成立．②假设n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12 ＝13k (2k 2＋1)；当n ＝k ＋1时， 12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2＝13k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2＝13k (2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2＝13(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3)＝13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]．即n ＝k ＋1时，等式成立．因此存在a＝1，b＝2，c＝1使等式对一切n∈N＋都成立．3。

【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第十二章算法初步、复数、推理与证明 12-2 Word版含解析

基础达标检测一、选择题1．执行输出“2＋2 008＝”；2＋2 008的输出结果是()A．2 010 B．2＋2 008＝2＋2 008C．2＋2 008＝2 010 D．2 010＝2 010[答案] C[解析]这是一个计算2＋2 008的值的简单程序，输出的结果是2＋2 008＝2 010.2．给出程序如图所示，若该程序执行的结果是3，则输入的x值是()A．3 B．－3C．3或－3 D．0[答案] C[解析]该算法对应的函数为y＝|x|，已知y＝3，则x＝±3.3．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是()a＝1b＝3a＝a＋bb＝a－b输出a，bA．1,3 B．4,1C．0,0 D．6,0[答案] B[解析]本小题主要考查输入、输出和赋值语句的使用，当a＝1，b＝3时，a＝1＋3＝4，则b＝a－b＝4－3＝1，∴输出的a＝4，b＝1，故选B.4．下列程序的功能是：判断任意输入的数x是否是正数，若是，输出它的平方值；若不是，输出它的相反数．输入xIf________Theny＝－x；elsey＝x*xend If输出y则填入的条件应该是()A．x>0 B．x<0C．x>＝0 D．x<＝0[答案] D[解析]因为条件真则执行y＝－x，条件假则执行y＝x*x，由程序功能知条件应为x<＝0.5．下面程序运行的结果为()n＝10S＝100DoS＝S－nn＝n－1Loop While S>70输出nA．4 B．5C．6 D．7[答案] C[解析]该程序依次运行的结果为S＝90，n＝9；S＝81，n＝8；S＝73，n＝7；S＝66，n＝6.此时程序结束，故输出n的值为6.二、填空题6．(2014·黑龙江大庆模拟)以上表示的函数表达式是________．[答案] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ≤2x ，x >2[解析] 当x ≥2时，y ＝2x －3；当x >2时，y ＝x .7．设计算法计算1＋2＋3＋…＋50的值时，如果用循环语句应用________语句，循环次数为________．[答案] For ；50[解析] 因为知道循环次数，故应用For 语句，其语句描述为： S ＝0For i ＝1 To 50 S ＝S ＋i Next 输出S . 三、解答题8．已知，现在我国的人口年平均增长率为1.5‰，设现有人口总数为12.3亿，设计算法，用语句描述多少年后人口数将达到或超过15亿．[解析] 设n 年后满足题意，将n 的数值从1开始往后验证，看是否满足结论，这个算法用到了循环结构中Do Loop 语句．算法语句描述为： p ＝12.3；r＝0.001 5；n＝0；Dop＝p*(1＋r)n＝n＋1Loop While p<15输出n.能力强化训练一、选择题1．下面程序的运行结果是()a＝2b＝10Doa＝a＋1b＝b－1Loop While b>8输出a，bA．2,10 B．3,9C．4,8 D．4,7[答案] C[解析]当b＝8时不满足Loop While后的条件，此时应输出．2．读程序回答问题甲乙S＝0For i＝1 to1 000S＝S＋ii＝i＋1Next输出Si＝1 000S＝0DoS＝S＋ii＝i－1Loop While i<1输出S对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是()A．程序不同，结果不同B．程序不同，结果相同C．程序相同，结果不同D．程序相同，结果相同[答案] B[解析]从两个程序可知它们的程序语句不同，但其算法都是求1＋2＋3＋…＋1000，结果相同．3．(2013·陕西高考)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y 的值为()A．25 B．30C ．31D ．61[答案] C[解析] 本题考查程序语句问题．此算法语句的作用实际上是求函数f (x ＝)⎩⎪⎨⎪⎧0.5x x ≤5025＋0.6(x －50) x >50，所以x ＝60时，y ＝25＋0.6(60－50)＝31.选C. 二、填空题4．完成下列程序，输入x 的值，求函数y ＝|8－2x 2|的值．输入 xIf ① ②Else y ＝2x 2－8End If 输出 y①________，②________. [答案] ①x ≥－2 And x ≤2 Then ②y ＝8－2x 25．写出下面算法语句的执行结果________． i ＝0； S ＝1； Do i ＝i ＋1 S ＝S *i Loop While S ≤20输出i.[答案] 4[解析]第一次循环i＝1，S＝1×1，第二次S＝1×2，第三次S ＝1×2×3，第四次S＝1×2×3×4>20不合题意，而此时i＝3＋1＝4，故输出的i值为4.三、解答题6．设计一个算法，求1＋12＋13＋…＋12 015的值，用相应的基本语句加以描述．[解析]算法一：有For语句描述．算法二：用Do Loop语句描述．i＝1S＝0DoS＝S＋1/ii＝i＋1Loop While i≤2015输出S。

【创新设计】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习题组训练第十篇推理证明、算法、复数第4讲Word版含解析

第4讲复数基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·江西卷)复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 z ＝－2i －i 2＝1－2i ，z 在复平面内对应点Z (1，－2)．故选D. 答案 D2．(2013·新课标全国Ⅰ卷)1＋2i (1－i )2＝( )．A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i解析 1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )i (－2i )i ＝－2＋i 2＝－1＋12i. 答案 B3．(2014·武汉模拟)设复数z ＝(3－4i)(1＋2i)，则复数z 的虚部为( )． A ．－2 B ．2 C ．－2iD ．2i解析 z ＝(3－4i)(1＋2i)＝11＋2i ，所以复数z 的虚部为2. 答案 B4．(2013·新课标全国Ⅱ卷)⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( )．A ．22B ．2 C.2D ．1解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2(1－i )2＝|1－i|＝ 2. 答案 C5．(2013·陕西卷)设z 是复数，则下列命题中的假命题是 ( )．A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2＜0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2＜0解析举反例说明，若z ＝i ，则z 2＝－1＜0，故选C. 答案 C 二、填空题6．(2013·重庆卷)已知复数z ＝1＋2i ，则|z |＝________. 解析 |z |＝12＋22＝ 5. 答案57．(2014·郑州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________. 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i －2i 2＝1. 答案 18．(2013·上海卷)设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，则m ＝________.解析由题意知⎩⎨⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.答案－2 三、解答题9．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R .∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.10．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i ，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z 对应的点在复平面内的第二象限．解 (1)若z 为实数，则⎩⎨⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0，解得m ＝－2.(2)若z 为虚数，则⎩⎨⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，解得m ≠－2且m ≠－3.(3)若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧m 2＋5m ＋6≠0，m 2－m －6m ＋3＝0，解得m ＝3.(4)若z 对应的点在第二象限，则⎩⎨⎧m 2－m －6m ＋3＜0，m 2＋5m ＋6＞0，即⎩⎨⎧m ＜－3或－2＜m ＜3，m ＜－3或m ＞－2，∴m ＜－3或－2＜m ＜3. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·陕西师大附中模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 014＝ ( )．A ．－iB ．iC ．－1D ．1解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 014＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－i )2(1＋i )(1－i ) 2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2i 2 2 014＝(－i)2 104＝i 2 014＝i 4×503＋2＝－1. 答案 C2．方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是( )．A ．－3＋2iB ．3＋2iC ．－2＋3iD ．2＋3i解析法一 x ＝－6±36－522＝－3±2i.法二令x ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，∴(a ＋b i)2＋6(a ＋b i)＋13＝0，即a 2－b 2＋6a ＋13＋(2ab ＋6b )i ＝0，∴⎩⎨⎧a 2－b 2＋6a ＋13＝0，2ab ＋6b ＝0，解得a ＝－3，b ＝±2，即x ＝－3±2i. 答案 A 二、填空题3．(2014·北京西城模拟)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i ，y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i2 x i x ＋i ，则y ＝________. 解析因为x ＝1－i 1＋i ＝(1－i )22＝－i.所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i2x i x ＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4i 2 10＝－2. 答案－2 三、解答题4. 如图，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →所表示的复数，BC →所表示的复数； (2)对角线CA →所表示的复数； (3)求B 点对应的复数．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B点对应的复数为1＋6i.。

2015届高考数学文科一轮总复习资源包第12篇算法初推理与证明复数-771

第2讲合情推理与演绎推理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理________．①结论正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④全不正确．解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确．答案 ③2．(2014·西安五校联考)观察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出第n 个式子的结论：________.解析各等式的左边是第n 个自然数到第3n －2个连续自然数的和，右边是中间奇数的平方，故得出结论：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)23．若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S n n ＝a 1＋(n －1)·d 2，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则________．答案数列{n T n }为等比数列，且通项为n T n ＝b 1(q )n －14．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理得：若定义在R上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________. 解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．答案－g (x )5．(2012·江西卷改编)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于________．解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123.答案1236．(2014·长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝a x－a－x，C(x)＝a x＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是________．①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．解析经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(a x＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(a x＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x －y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．答案③④7．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．以上式子中，类比得到的结论正确的是________．解析①②正确；③④⑤⑥错误．答案①②8．(2014·南京一模)给出下列等式：2＝2cos π4，2＋2＝2cosπ8，2＋2＋2＝2cos π16，请从中归纳出第n个等式：＝________.答案2cosπ2n＋1二、解答题9．给出下面的数表序列：其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解表4为13574812122032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．10．f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13(1＋3)＝33(1＋3)＋13(1＋3)＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33.由此猜想f(x)＋f(1－x)＝3 3.证明：f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋131－x＋3＝13x＋3＋3x3＋3·3x＝13x＋3＋3x3(3＋3x)＝3＋3x3(3＋3x)＝33.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2012·江西卷改编)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为________．解析由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.答案802．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________．解析9－1＝(1＋2)2－12＝4(1＋1)，16－4＝(2＋2)2－22＝4(2＋1)，25－9＝(3＋2)2－32＝4(4＋1)，36－16＝(4＋2)2－42＝4×(5＋1)，…，一般地，有(n ＋2)2－n2＝4(n＋1)(n∈N*)．答案(n＋2)2－n2＝4(n＋1)(n∈N*)3．(2013·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．解析(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S＝(2＋22)×2×12＝3，N＝1，L＝6.(2)由(1)知，S四边形DEFG＝a＋6b＋c＝3.S△ABC＝4b＋c＝1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S＝4，N＝1，L＝8.则S＝a＋8b＋c＝4.联立解得a＝1，b＝12.c＝－1.∴S＝N＋12L－1，∴若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝71＋12×18－1＝79.答案(1)3,1,6(2)79二、解答题4．(2012·福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－1 4＝3 4.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3 4.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－3212sin 2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.sin αcos α－。

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基础回扣练——推理证明、算法、复数(建议用时：60分钟)一、填空题1．(2013·北京卷改编)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于第________象限．解析因为i(2－i)＝1＋2i ，所以对应的点的坐标为(1,2)，该点在第一象限．答案一2．(2013·辽宁卷改编)复数z ＝1i －1的模为________．解析 z ＝1i －1＝－1－i (－1＋i )(－1－i )＝－12－12i ， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.答案 223．(2014·韶关调研)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋52－i，则a ＋b ＝________.解析由已知得a i ＋i 2＝b ＋(2＋i)，即－1＋a i ＝(b ＋2)＋i ，∴⎩⎨⎧ b ＋2＝－1，a ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3， ∴a ＋b ＝1－3＝－2. 答案－24．(2014·佛山二模)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是________．解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知a ＝1， ∴1＋b 2＝4，∴b 2＝3，∴b ＝±3. 答案 ±35．(2014·青岛一模)某流程图如图所示，若a ＝3，则该程序运行后，输出的x 值为________．解析第一次循环：x ＝2×3＋1＝7，n ＝2；第二次循环：x ＝2×7＋1＝15，n ＝3；第三次循环：x ＝2×15＋1＝31，n ＝4. 此时不满足条件，输出x ＝31. 答案 316．(2014·徐州一模)执行如图所示的流程图，则输出n 的值为________．解析第一次循环，n ＝1，S ＝1＋2＝3；第二次循环，n ＝2，S ＝2×3＋2＝8；第三次循环，n ＝3，S ＝3×8＋2＝26；第四次循环，n ＝4，S ＝4×26＋2＝106，此时满足条件，输出n ＝4. 答案 47. (2014·绍兴模拟)已知某流程图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 的值恰好是13，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是________．①y ＝x 3；②y ＝x 13；③y ＝3x ；④y ＝3－x .解析由流程图可知，当输入的x 的值为5时，第一次运行，x ＝5－2＝3；第二次运行，x ＝3－2＝1；第三次运行，x ＝1－2＝－1，此时x ≤0，退出循环，要使输出的y 的值为13，只有③中的函数y ＝3x 符合要求．答案 ③8. (2014·咸阳模拟)某算法的流程图如图所示，如果输出的结果为5,57，则判断框内应为________．①k ≤6；②k ＞4；③k ＞5；④k ≤5.解析当k ＝1时，S ＝2×0＋1＝1；当k ＝2时，S ＝2×1＋2＝4；当k ＝3时，S ＝2×4＋3＝11；当k ＝4时，S ＝2×11＋4＝26；当k ＝5时，S ＝2×26＋5＝57，由题意知此时退出循环．答案 ②9．(2014·福州质检)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是第________列．解析正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．答案四10．(2013·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O －ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则S ，S 1，S 2，S 3满足的关系式为________．①S 2＝S 21＋S 22＋S 23；②S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23；③S ＝S 1＋S 2＋S 3；④S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3.解析如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，由立体几何知识知，AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12OC ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23.答案 ①11．(2014·湛江二模)已知i 是虚数单位，则21＋i＝________. 解析21＋i＝1－i. 答案 1－i12．(2014·无锡一模)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a ＝________.解析 1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a 5＋2a ＋15i ，由题意知：2－a5＝0，∴a ＝2. 答案 213．(2013·浙江卷)若某流程图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．解析第一步：S ＝1＋12＝32，k ＝2；第二步：S ＝32＋12×3＝53，k ＝3；第三步：S ＝53＋13×4＝74，k ＝4；第四步：S ＝74＋14×5＝95，k ＝5，结束循环．输出S ＝95.答案 9514．(2014·泰安一模)若流程图如图所示，则该程序运行后输出k 的值为________．解析第一次：n ＝3×5＋1＝16，k ＝1；第二次：n ＝162＝8，k ＝2；第三次：n ＝82＝4，k ＝3；第四次：n ＝42＝2，k ＝4；第五次：n ＝22＝1，k ＝5，此时满足条件，输出k ＝5. 答案 515．(2013·陕西卷)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝612－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________．解析观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)216．(2014·兰州质检)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A －BCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，所以V 1V 2＝127.答案 127 二、解答题17．在单调递增数列{a n }中，a 1＝2，不等式(n ＋1)a n ≥na 2n 对任意n ∈N *都成立． (1)求a 2的取值范围；(2)判断数列{a n }能否为等比数列，并说明理由．解 (1)因为{a n }是单调递增数列，所以a 2＞a 1，即a 2＞2.又(n ＋1)a n ≥na 2n ，令n ＝1，则有2a 1≥a 2，即a 2≤4，所以a 2∈(2,4]． (2)数列{a n }不能为等比数列．用反证法证明：假设数列{a n }是公比为q 的等比数列，由a 1＝2＞0，得a n ＝2q n －1. 因为数列{a n }单调递增，所以q ＞1. 因为(n ＋1)a n ≥na 2n 对任意n ∈N *都成立，所以对任意n ∈N *，都有1＋1n ≥q n .①因为q ＞1，所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n ＞2.因为1＋1n ≤2(n ∈N *)．所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n ＞1＋1n ，与①矛盾，故假设不成立． 18．(2013·常德模拟)设a ＞0，f (x )＝axa ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．解 (1)∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a ；a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ；a 4＝f (a 3)＝a 3＋a. 猜想a n ＝a(n －1)＋a(n ∈N *)．(2)证明：①易知，n ＝1时，猜想正确． ②假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝a(k －1)＋a，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a k a ＋a k ＝a ·a(k －1)＋a a ＋a (k －1)＋a ＝a (k －1)＋a ＋1＝a[(k ＋1)－1]＋a.这说明，n ＝k ＋1时猜想正确．由①②知，对于任何n ∈N *，都有a n ＝a(n －1)＋a.。

2015高考数学一轮方法测评练：基础回扣练——推理证明、算法、复数

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