高中数学——备课资料-不等关系与不等式(一)

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高三数学教案《不等关系与不等式》

教学准备
教学目标
解三角形及应用举例
教学重难点
解三角形及应用举例
教学过程
一.基础知识精讲
掌握三角形有关的定理
利用正弦定理，可以解决以下两类问题：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);
利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
(1)已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形中的三角函数问题.
二.问题讨论
思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论.
思维点拨：：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理.在求值时，要利用三角函数的有关性质.
例6：在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台
风中心位于城市O(如图)的东偏南方向
300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北的
方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，
并以10km/h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到
台风的侵袭。

一.小结：
1.利用正弦定理，可以解决以下两类问题：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);2。

利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
(1)已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

3.边角互化是解三角形问题常用的手段.
三.作业：P80闯关训练。

高中数学教学课例《3.1不等关系与不等式(1)》课程思政核心素养教学设计及总结反思

高中数学教学课例《3．1 不等关系与不等式(1)》教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《3．、三角等内容有着密切的联系.
在高考题中不等式常与其他知识交汇呈现，因此不等式
在高考中占有比较重要的地位。而本节课是本章的起始
课，学好本节课是学习本章的基础。通过学习有助于学教材分析
（3）练习巩固 4、联系实际，探索研究在教学中，我们提倡让学生在问题解决中学习，在问题探索中学习，从而使学生建构起对知识的理解，因此在下一环节中，我设计了一个生活实际问题，让学生在问题探索中学习新知。能否用所学知识准确表示“糖水加糖甜更甜”的现象？下面通过复习实数的基本理论，利用数轴数形结合，归纳总结得出比较两个实数（式）大小的方法，学生容易接受。然后给出两组比较简单的作差比较，师生合作完成，教师板书，学生回答，再总结提炼步骤方法。并变式练习，一方面可以巩固作差比较法，另一方面，渗透了分类讨论的数学思想，为课后的能力作业给予一点启示。例 3、比较下面两组代数式的大小：步骤：作差→变形→判号→结论. 其中变形是关键，常用的变形手段有提公因式、分解因式、通分、配方、有理化等. 最后通过例 4，可以先让学生尝试，教师巡视学生解答情况，最后通过幻灯片展示标准过程，指出学生易错点，强调关键点。对本题的教学既是对实际探索问题的解决，前后呼应；也是对作差比较法的进一步巩固，突破
教学策略选教师的主导作用，主要教会学生清晰的思维和严谨的推择与设计理。为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织— —启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。我设计了以下六个环节，层层深入，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。

高一数学人必修课件不等关系与不等式

数轴上的表示
在数轴上，不等式可以用一个开区间、闭区间或半开半闭区间来表示。例如，不等式$x>2$在数轴上表示为 $(2,+infty)$；不等式$x≤3$在数轴上表示为$(-infty,3]$。
02
一元一次不等式与一元一次不等式组
一元一次不等式解法
移项法
将不等式中的常数项移到不等式的另一边，使不等式变为标准形
线性规划问题求解方法
图解法
通过绘制约束条件所表示的直线或平面区域，以及目标函数所表示的直线，在可行域内寻找最优解的方法。适用于决策变量较少的情况。
单纯形法
一种通过迭代逐步改进可行解的方法，每次迭代选择一个非基变量进入基，同时保持其他变量不变，使得目标函数值得到改进。适用于决策变量较多的情况。
传递性
如果$a>b$且$b>c$，那么$a>c$。
不等式的性质及其运算规则
可加性
如果$a>b$，$c>d$，那么$a+c>b+d$。
可乘性
如果$a>b>0$，$c>d>0$，那么$ac>bd$。
不等式的性质及其运算规则
加法与减法
不等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号方向不变。
乘法与除法
一元二次不等式解法
01
02
03
配方法
将一元二次不等式化为完全平方的形式，然后利用平方根的性质进行求解。
公式法
利用求根公式直接求解一元二次不等式。
因式分解法
将一元二次不等式因式分解，然后利用不等式的性质进行求解。
判别式在解一元二次不等式中的应用
判别式定义
判别式Δ=b²-4ac，用于判断一元二次方程实数根的个数。

《不等关系与不等式》知识清单

《不等关系与不等式》知识清单一、不等关系在日常生活和数学中，我们经常会遇到各种不等关系。

比如，身高的比较、成绩的高低、物品价格的差异等等。

不等关系是客观存在的，它反映了事物之间的数量差异和大小顺序。

不等关系可以用文字语言来描述，例如“大于”“小于”“不超过”“不少于”等；也可以用符号语言来表示，常见的不等号有“＞”（大于）、“＜”（小于）、“≥”（大于或等于）、“≤”（小于或等于）。

二、不等式不等式是用不等号连接两个代数式所形成的式子。

例如，2x ＋ 3 ＞5 就是一个不等式。

1、不等式的性质性质 1：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a ；如果 b ＜ a ，那么 a ＞ b 。

（对称性）性质 2：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c 。

（传递性）性质 3：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。

（加法法则）性质 4：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b 且 c ＜0 ，那么 ac ＜ bc 。

（乘法法则）这些性质是解决不等式问题的重要依据，需要熟练掌握和运用。

2、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（根据不等式的性质 2 和 3 ）（2）去括号（乘法分配律）（3）移项（根据不等式的性质 1 ）（4）合并同类项（5）系数化为 1 （根据不等式的性质 4 ）在系数化为1 时，需要注意当系数为负数时，不等号的方向要改变。

3、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元二次不等式。

解一元二次不等式通常需要先求出对应的一元二次方程的根，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。

例如，对于不等式 x² 2x 3 ＞ 0 ，先解方程 x² 2x 3 ＝ 0 ，得到 x＝－1 或 x ＝ 3 。

高中数学第三章不等式 3.1 不等关系与不等式(第1课时)教案高二数学教案

3.1不等关系与不等式（1）
一、教学目标：
1．知识与技能：
通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．
2．过程与方法：
通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．
3．情感、态度与价值观：
通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．
重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．难点：利用不等式的性质证明简单的不等式
三、教学模式与教法、学法
教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．
“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.
学法：突出探究、发现与交流．
四、教学过程
(3)
a b
a b
b a
a b a
a b b
-
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭。

人教高中数学必修一B版《不等式》等式与不等式说课复习(不等关系与不等式)

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＝x＋122＋34. ∵x＋122≥0，∴x＋122＋34≥34＞0. ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
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不等关系的实际应用
【例
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3】课件
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(3)错误．ac－bc＝(a－b)c，这与 c 的符号有关．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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2．下面表示“a 与 b 的差是非负数”的不等关系的是( )
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A．a－b＞0
B．a－b＜0
C．a－b≥0
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作差法比较两个实数大小的基本步骤课件课件课件课件
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2．比较 2x2＋5x＋3 与 x2＋4x＋2 的大小．
[解] (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1 课件
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第二章等式与不等式 2.2 不等式
第1课时不等关系与不等式
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高中不等关系与不等式知识点+例题全面

[巩固] (2013·课标全国Ⅱ)设 a＝log32，b＝log52，c＝log23，则 a，b，c 的大小关系是____________. 答案 (2) c>a>b (2)因为 log32＝log123<1，log52＝log125<1，又 log23>1，所以 c 最大．又 1<log23<log25，所以log123>log125，即 a>b，
[例 3] 若 m x 2 2x 3(x R) ， n 2 ，则 m，n 的大小关系是________. m n
[巩固]
已知 m 2a2 2a ， n log 2 (a 2
a 17) ，则 m_____n（填“>”，“<”或“=”） 4
m<n
知识模块 3 经典题型
题型一：用不等式(组)表示不等关系 [例] 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元销售，每天可销售 100 件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的单价每提高 1 元，销售量就相应减少 10 件．若把提价后商品的单价设为 x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于 300 元？
a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2)
a>b，ab>0 1 1 ab
2．不等式的一些常用性质
（1）倒数的性质
①a>b，ab>0 1 1 ； ab
②a<0<b⇒1a 1b；
③a>b>0,0<c<d⇒ac bd；
④0<a<x<b
或
a<x<b<0⇒1b
1 x
1 a.
（2）有关分数的性质

高考数学讲义：不等关系与不等式(解析版)

第12讲：不等关系与不等式【学习目标】1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小．【基础知识】基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据a>b⇔a－b>0. a＝b⇔a－b＝0. a<b⇔a－b<0结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小【考点剖析】考点一：不等式组表示不等关系例1．为了全面贯彻党的教育方针，落实“立德树人”的根本任务，切实改变边远地区孩子上学难的问题，某市政府准备投资1800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是___________.【答案】2030, 28581800,0,0,,x yx yx y x y N【详解】设该校有初中班x个，高中班y个，则有：2030, 28581800,0,0,,x yx yx y x y N故答案为：2030, 28581800,0,0,,x yx yx y x y N变式训练1：《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为________.【答案】 91110813x y y x x y【详解】设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得： 91110813x y y x x y 故答案为： 91110813x y y x x y 变式训练2：A 杯中有浓度为%a 的盐水x 克，B 杯中有浓度为%b 的盐水y 克，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A 、B 两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为___________．【答案】ax by b a x y【详解】由题意，将A 、B 两杯盐水混合再一起后浓度为ax by x y， b a y ax by a x y x y ∵， a b x ax by b x y x y，∵A 杯中的盐水更咸一些，a b ，ax by b a x y，故答案为：ax by b a x y.变式训练3：已知b 克盐水中含有 0a b a 克盐，若给盐水加热，蒸发了 0m m b a 克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：______.【答案】a ab m b 【详解】原来盐占盐水的比例为a b ，给盐水加热，蒸发了 0m m b a 克水后，盐占盐水的比例为a b m ，则a a b m b考点二：作差法比较大小（一）例2．比较231x x 与221x x 两个代数式的大小：；【答案】（1）223121x x x x ；【详解】（1） 2222312122110x x x x x x x ∵，因此，223121x x x x ；变式训练1：已知2253M x x ，242N x x ，则M ________N （用>，<，=填）【答案】＞【详解】2253M x x ，242N x x ，222225342131024M N x x x x x x x ，故M N .故答案为： .变式训练2：试比较 15x x 与 23x 的大小.【答案】2(1)(5)(3)x x x 【详解】因为222153656940x x x x x x x ，2(1)(5)(3)x x x 变式训练3：比较3x 与21x x 的大小；【答案】详解见解析；【详解】作差得：323222(1)()(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x （i）当1x 时，32(1)0x x x ，故321x x x ；（ii）当1x 时，32(1)0x x x ，故321x x x ；（iii）当1x 时，32(1)0x x x ，故321x x x .考点三：作差法比较大小（二）例3．证明不等式：（1）设0,0a b ，求证：3322a b ab a b ；（2）设,x y R ，求证：2252(2)x y x y .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】证明：（1）因为3322a b ab a b 3322a b ab a b 3232a ab b a b 2222a a b b b a 222a b a b a b a b ，因为00a b ，，所以 20a b a b ，所以33220a b ab a b ，所以3322a b ab a b ；（2）因为 22522x y x y 22542x y x y 22425x x y y22210x y ，所以 22522x y x y .变式训练1：若221a x ，22b x x ，3c x ，比较a ，b ，c 的大小.【答案】a b c .详解：∵221a x ，22b x x ，3c x ，∴22212a b x x x 222110x x x ，即a b ， 223b c x x x 223333024x x x ，即b c ，综上可得：a b c .变式训练2：已知a，b R ，比较22a b 与245a b 的大小．【答案】22245a b a b .【详解】a ∵，b R ，22245a b a b 222144a ab b 22(1)(2)0a b ，22245a b a b ，当且仅当1a ，2b 时，等号成立，两式相等．变式训练3：已知0a b ，比较22a b b a 与11a b 的大小.【答案】2211a b b a a b【详解】解：222211a b a b b a b a a b b a2211()a b b a222()()a b a b a b.∵0a b ，2()0a b ，∴222()()0a b a b a b ，当且仅当a b 时，取等号，∴2211a b b a a b.考点四：作商法比较大小例4．设 121p a a ，21q a a ，则（）A．p qB．p q C．p qD．p q 【答案】D【详解】 1222110132411p a a a a a，22131024q a a a ，则222121111a a a a a a a q a p 222222111a a a a .故p q ，当且仅当0a 时，取等号，故选：D变式训练1：2211,,()1P a a Q a R a a ，则,P Q 的大小关系为_______．【答案】≥【详解】因为22131024P a a a ，22131024a a a 则0Q 由 222224211111P a a a a a a a a Q所以P Q故答案为：变式训练2：已知0a ，0b，试比较a b 时取等号）【详解】a b2211，当且仅当ab 时等号成立，a b 时取等号）.变式训练3：设0a b ，比较2222a b a b与a b a b 的大小【答案】2222a b a b a b a b【详解】220,0,a b a b a b ∵，22220,0a b a b a b a b，.两数作商 222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b22222211a b ab a b a b，2222a b a b a b a b.【过关检测】1、已知,a b R ，则2252a b _______42ab a ．（用“>”或“<”填空）【答案】>【详解】因为225242a b ab a 22(2)(1)1a b a ,又2(2)0a b ≥，2(1)0a ，所以2252420a b ab a ，所以225242a b ab a ，故答案为：>.2、已知0x ，则 221x 与421x x 的大小关系为_______.【答案】 221x 421x x 【详解】因为 221x 421x x 42422211x x x x x ，又0x ，所以20x .所以221x 421x x .故答案为： 221x 421x x .3、设222m a a ， 21n a ，则m ，n 的大小关系是______.【答案】m n .【详解】因为 2222110m n a a a ，所以m n .故答案为：m n .4、已知241Ma a ，122N a ，则M ________N .（填“>”或“<”）【答案】【详解】22312(1)022M N a a a，∴M N ．故答案为：．5、已知231M a a ，122N a，则M________N．（填“>”或“<”）【答案】【详解】22111()0224M N a a a，∴M N ．故答案为：．6、设x R ，231Mx x ，21N x x ，则M 与N 的大小关系为________.【答案】M N【详解】22311M N x x x x ∵222132222(1)2[(]024x x x x x ，M N故答案为：M N .7、已知a ，b 为实数，则221214a b______2ab a ．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）【答案】≥【详解】2222112121042a b ab a a b a ，当且仅当1a ，2b 取等号．故答案为：≥8、设2,1M x N x ，则M 与N 的大小关系是________.【答案】M N【详解】由作差比较法，可得22213(1)1(024M N x x x x x，所以M N .故答案为：M N .9、若 23x a a ， 34y a a ，则x 与y 的大小关系是__________.【答案】x y【详解】22233461260x y a a a a a a a a ，因此，x y .故答案为：x y .10、已知1x ，比较36x x 与26x 的大小.【答案】3266x x x .【详解】解： 32226616161x x x xx x x x ∵1x ，∴ 2610x x ∴3266x x x .11、若0x ，试比较251x 和2331x x 的大小；【答案】答案见解析；【详解】作差得： 22251331232212x x x x x x x ；所以当2x 时，2251331x x x ；当2x 时，2251331x x x ；当02x 时，2251331x x x ；12、设a 、b 为实数，比较22a b 与448a b 的值的大小.【答案】22448a b a b 【详解】由于a 、b 为实数，则 2222224484444220a ba b a a b b a b ，当且仅当22a b时，等号成立.因此，22448a b a b .13、比较221x y 与 21x y 的大小；【答案】 22121x y x y ；【详解】因为 2222211111x y x y x y ，又 2210,10x y ，所以222101x y x y ，所以 22121x y x y ；14、x R ，比较2(1)(1)2x x x 与 2(112x x x 的大小．【答案】 22111122x x x x x x【详解】由22(1)(1)(1212x x x x x x 323233331110222222x x x x x x所以 22111122x x x x x x15、设a ，b 为实数，比较22a b 与1ab a b 的大小．【答案】见解析详解：解：22(1)a b ab a b 221(222222)2a b ab a b22221[(2)(21)(21)]2a b ab a a b b 2221[()(1)(1)]2a b a b 222()0,(1)0,(1)0a b a b ∵，当且仅当1a b 时同时取等号22(1)0a b ab a b ，当且仅当1a b 时取等221a b ab a b 16、已知0a ，0b ，试比较11a b M a b 与11b a N a b的大小．【答案】当a b 时，M N =；当a b ¹时，M N .【详解】11111111a b b a a b a b M N a b a b a a b b Q 211111111a b a b a b a b a b a b a b .因为0a ，0b ，所以 110a b ， 20a b ，得0M N 当a b 时，M N =；当a b ¹时，M N .17、已知,R a b的大小．【详解】a ba ba b2，显然成立，，当且仅当a b 时取等号.18、若0a b ，0c d ，0e ，试比较 2e a c 与 2e b d 的大小.【答案】22e e a c b d 【详解】 22ee a c b d2222e b d a c a c b d22e a b c d b a c d a c b d ∵0a b ，0c d ，0a b ，0c d ，0b a ，0c d ，0a b c d ， 0b a c d .∵0e ， 0e a b c d b a c d 又 220a c b d ， 220eea cb d ，即 22e ea cb d .19、先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第二种方式.已知第一次购物时该物品单价为1p ，第二次购物时该物品单价为2p （12p p ）.甲两次购物的平均价格记为1Q ，乙两次购物的平均价格记为2Q .（1）求1Q ，2Q 的表达式（用12p p ，表示）；（2）通过比较1Q ，2Q 的大小，说明哪种购物方式比较划算.【答案】（1）1212121222p p p p Q Q p p，；（2）第二种购物方式比较划算.【详解】解：（1）设甲两次购物时购物量均为m，则两次购物总花费为1p m+2p m，购物总量为2m，平均价格为1212122p m p m p p Q m .设乙两次购物时用去钱数均为n，则两次购物总花费2n，购物总量为12n n p p ，平均价格为122121222p p n Q n n p p p p =综上，1212121222p p p p Q Q p p （2）∵12p p ，∴ 2212121212121212121242022()2()p p p p p p p p p p Q Q p p p p p p 12Q Q 由此可知，第二种购物方式比较划算.20、甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为a 元，b 元(0,0)a b ，问甲、乙谁的购物比较经济合算.【答案】（1）5，245；（2）乙的购物比较经济合算.【详解】（1）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，所以甲两次购买这种物品平均价格为，645m m m m ，乙两次购买这种物品平均价格为，224564n n n .（2）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，所以甲两次购买这种物品平均价格为，2am bm a b m m ，乙两次购买这种物品平均价格为22n ab n n a b a b ，22222()42()022()2()2()a b ab a b ab a b ab a b a b a b a b a b ，所以乙的购物比较经济合算.。

高三数学不等关系与不等式教案

高三数学不等关系与不等式教案教案：高三数学不等关系与不等式一、教学目标：1. 理解不等关系的含义和性质；2. 掌握不等式的基本性质和解法方法；3. 能够应用不等式解决实际问题。

二、教学内容：1. 不等关系：a. 不等关系的定义；b. 不等关系的性质。

2. 不等式：a. 不等式的定义；b. 不等式的基本性质；c. 不等式的解法方法；d. 不等式的实际应用。

三、教学过程：1. 不等关系：a. 引入不等关系的概念，通过实际例子说明不等关系的含义；b. 讲解不等关系的定义，并通过例题让学生理解不等关系的性质。

2. 不等式：a. 讲解不等式的定义和基本性质，包括加减乘除等运算对不等式的影响；b. 教授不等式的解法方法，包括图像法、试数法和代数法；c. 通过例题和练习让学生掌握不等式的解题技巧。

3. 不等式的实际应用：a. 引导学生观察和分析实际问题中的不等关系；b. 结合实际问题，讲解不等式在解决实际问题中的应用；c. 练习解决实际问题的不等式。

四、教学评价：1. 课堂练习：通过课堂上的例题和练习题，考察学生对不等关系和不等式的理解和掌握程度；2. 作业完成情况：布置相关的作业，检查学生对知识点的掌握情况；3. 课堂参与度：评价学生在课堂上的积极参与程度以及对问题的思考和解答能力。

五、教学资源：1. 教材：高中数学教材；2. 教具：黑板、彩色粉笔、多媒体投影仪等。

六、教学反思：1. 需要注重练习：不等式解题需要通过大量的练习来提高方法和技巧；2. 注意引导思考：教师要注重引导学生思考，让学生在解题过程中不仅能够得到正确答案，更重要的是理解解题的原理和思路；3. 结合实际应用：要注重将不等式的知识点与实际问题相结合，让学生能够在实际生活中灵活运用。

人教A版数学《不等关系与不等式》(一)教案

福建省长乐第一中学高中数学必修五《3.1 不等关系与不等式（一）》教案第一课时 3.1 不等关系与不等式（一）教学要求：了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.教学重点：从实际问题中找出不等关系.教学难点：正确理解现实生活中存在的不等关系.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下以前所学的不等关系吗？2、讨论：除了书上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？3、用不等式表示，某地规定本地最底生活保障金不底于300元；二、讲授新课：1、教学用不等式表示不等关系① 在现实生活中，存在着许许多多的不等关系，在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.② 举例：例如：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是v ≤40. ③ 文字语言与数学符号之间的转换.文字语言数学符号文字语言数学符号大于 > 至多 ≤小于 < 至少 ≥大于等于 ≥ 不少于 ≥小于等于 ≤ 不多于 ≤④ 实数的运算性质与大小顺序之间的关系对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b 是正数;如a<b,那么a-b 是负数;如果a-b 等于0.它们的逆命题也正确.即(1)0;(2)0;(3)0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<2、教学例题：①出示例1：日常生活中，在一杯含有a 克糖的b 克糖水中，再加入m 克糖，则这杯糖水变甜了，请根据这一事实提炼出一道不等式。

（浓度＝溶质溶液） ②出示例2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销量就相应地减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入还不底于20万元呢？（教师示范 → 学生板演 → 小结）3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系.三、巩固练习：１.某电脑拥护计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要至少要买３片和２盒，请将购买软件和磁盘所满足的不等关系用不等式表示出来。

高中数学复习：不等关系与不等式

栏目索引
第一节不等关系与不等式
教 1.两个实数比较大小的方法材研读 2.不等式的基本性质
总纲目录栏目索引
考考点一比较代数式的大小
点突
考点二不等式的性质
破考点三不等式性质的应用
总纲目录栏目索引
教材研读
1.两个实数比较大小的方法
a b 0 a① b ,
(1)作差法(a,b∈R):a b 0 a② b ,
b bm b bm
教材研读栏目索引
教材研读栏目索引
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.
a
(2)若b >1,则a>b. ( ✕ ) (3)一个不等式的两边加上或乘同一个数,不等号方向不变. (
ab
(4)a>b>0,c>d>0⇒ d> c. ( √ )
∵a1,a2∈(0,1),∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0,即M>N.故选B.
(2)易知a,b>0,
a 1816 18 16 1 9 16 1 16 9 16
所以 b =1618 = 16 ×162 = 8 × 2 = 8 2 ,
9
9 16
∵8 2 ∈(0,1),∴ 8 2 <1,
11
(5)若ab>0,则a>b⇔a B C.A≤B D.A<B

高中数学精品课件：不等关系与不等式(1)

2.判断两个实数大小的依据是：
abab0
a b ab 0
abab0
52
6 5
（⑷4）若合0 比a定 b理，，糖lo水g1a不_等_>_式_ lo扩g1展b.
2
2
2. 比较 x 3 与 x2 x 1的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1
=x2(x－1)+(x－1)
∵ x2+1>0，
=(x－1)(x2+1),
∴ 当x>1时，x3>x2－x+1；当x=1时，x3=x2－x+1，
在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有以下三种：
（1）点A和点B重合；（2）点A在点B的右侧；（3）点A在点B的左侧. 在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由此可得到结论：对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，aa,结论又会怎样呢?
∵ a 、b 、m 都是正数,且 a b
如果a－b是正数，则a>b；如果a>b，则a－b为正数；
如果a－b是负数，则a<b；如果a<b，则a－b为负数；
如果a－b等于零，则a=b；如果a=b，则a－b等于零.
ab0a b a b 0 a b ab0a b

高二数学_013.1.1不等关系与不等式

不等关系与不等式
主讲人：爱唱歌的小胖子
一、情景引入
平衡
相等
不平衡
不相等
一、情景引入
现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如
一、情景引入
现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。人造地球卫星和绕地球飞行的宇宙飞船，理论上它们的飞行速度 (记作vkm/s)不小于第一宇宙速度(记作v1 km/s)，且小于第二宇宙速度
v1 v v2 v1 ， v2，之间的关系可以用数学符号表示为： (记作 v2 km/s)，v，
二、概念形成
归纳
文字语言与数学符号间的转换
文字语言大于小于大于等于小于等于数学符号 > < ≥ ≤ 文字语言至多至少不少于不多于数学符号 ≤ ≥ ≥ ≤
二、概念形成
知识探究：比较实数大小的基本原理
a-b>0 a >b
思考4：如果两个实数的差等于零，那么这两个实数的大小关
系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？ a-b=0 a =b
思考5：如果两个实数的差是负数，那么这两个实数的
大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？
a- b< 0 a b a =b a 0 a-b=0
思考1：任何一个实数都对应数轴上的一个点，那么大数
与小数所对应的点的相对位置关系如何？大数对应的点位于小数对应的点的右边。
思2：实数可以比较大小，对于两个实数a，b，其大小
关系有哪几种可能？
a >b ， a =b ， a <b

高中数学必修5教案3.1不等关系与不等式(1)

2．例3、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小.
例4、已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小.
归纳：作差比较法的步骤是：
1、作差；
2、变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；
3、判断符号；
4、作出结论．
（学生讨论）
教
学
小
结
课堂小结
1．通过具体情景，建立不等式模型；
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
解：设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课
1）用不等式表示不等关系
引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：
引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
2．比较两实数大小的方法——求差比较法
课后
反思
3
解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

届高三数学不等关系与不等式(1)

讲授新课
常用的基本不等式的性质
(5 )a b 0 ,c d 0 a c bd (同向不等式的可乘性)
(6 )a b 0 ,n N ,n 1 anbn,nanb
(可乘方性、可开方性)
讲解范例:
例1. 已a知 b0,c0,求证 cc： . ab
讲解范例:
例2. 如果30＜x＜42，16＜y＜24，
讲授新课
常用的基本不等式的性质
(1)ab ba
(对称性)
(2 )a b ,b c a c (传递性)
(3 )a b a c b c (可加性)
(4 )a b ,c 0 a c b;c(可乘性) ab,c0 a cbc
讲授新课
常用的基本不等式的性质
(5 )a b 0 ,c d 0 a c bd (同向不等式的可乘性)
练习:
3. 若a＞b＞0 ，则下列不等式总成立的是 (C)
A.bb1 a a1
Ca. 1b1 ba
Ba. 1b1 ab
D2. aba a2b b
练习:
3. 若a＞b＞0 ，则下列不等式总成立的是 (C)
A.bb1 a a1
Ca. 1b1 ba
Ba. 1b1 ab
D2. aba a2b b
练习:
湖南省长沙市一中卫星远程学校
基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
复习引入
数学含义 (1) 若a＞b，则a＋c＞b＋c，a－c＞b－c；
(2) 若a＞b，c＞0，则ac＞bc，a b ; cc
(3) 若a＞b，c＜0，则ac＜bc， a b . cc
讲授新课
常用的基本不等式的性质
讲授新课
6.若、满足 ,则

高中数学精讲教案-不等关系与不等式

高中数学-不等式第1讲不等关系与不等式考点不等式的概念和性质知识点1 不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号>，<，≥，≤，≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．2 两个实数大小关系的比较两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b . 性质2 传递性：如果a >b ，b >c ，那么a >c . 性质3 可加性：如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .性质4 可乘性：如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc . 性质5 同向可加性：如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . 性质6 同向同正可乘性：如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . 性质7 可乘方性：如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．性质8 可开方性：如果a >b >0，那么n a >nb (n ∈N ，n ≥2)． 4 不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b .(2)a <0b >0,0<c <d ⇒a c >bd.注意点传递性与可乘性的注意事项(1)应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递． (2)可乘性中，要特别注意“乘数c ”的符号.入门测1．思维辨析(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( ) (2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (4)同向不等式具有可加和可乘性．( )(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√2．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c b ＋dD ．a ＋d >b ＋c 答案 C解析由同向不等式具有可加性可知C 正确．3．已知a ，b ，c 满足c 0C.b 2c <a 2cD.a －cac<0 答案 C解析因为c 0，所以c a 0，a －c ac <0，但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c <a 2c不一定成立．[考法综述] 利用不等式的性质判断大小是不等式的一个基本考点，一般涉及函数、数列、三角函数等知识，比较两个数的大小，主要依据不等式的性质进行解题．命题法利用不等式的性质比较大小或求取值范围典例 (1)已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －db >0；②若ab >0，c a －db >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －db >0，则ab >0.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 (2)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定(3)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤96≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．[解析] (1)∵ab >0，bc －ad >0， ∴c a －d b ＝bc －adab >0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －db >0，即bc －ad ab >0，∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －db >0，即bc －ad ab>0，∴ab >0，∴③正确．故选D.(2)∵M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1，a 2∈(0,1)，∴M －N >0，即M >N ，选B.(3)令z ＝x ＋2y ＝λ(2x ＋y )＋μ(x －y )＝(2λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ＋μ＝1λ－μ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1μ＝－1，∴z ＝(2x ＋y )－(x －y )，又∵3≤2x ＋y ≤9，－9≤－(x －y )≤－6， ∴－6≤(2x ＋y )－(x －y )≤3，即－6≤z ≤3， ∴z min ＝－6.[答案] (1)D (2)B (3)－6 【解题法】比较大小常用的方法(1)作差法，其步骤：①作差；②变形；③判断差与0的大小；④得出结论．注意：含根号的式子作差时一般先乘方再作差．(2)作商法，其步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特例法若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路．1．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析由[t ]＝1，得1≤t <2.由[t 2]＝2，得2≤t 2<3.由[t 4]＝4，得4≤t 4<5，所以2≤t 2< 5.由[t 3]＝3，得3≤t 3<4，所以6≤t 5<4 5.由[t 5]＝5，得5≤t 5<6，与6≤t 5<45矛盾，故正整数n 的最大值是4.2．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c b c D.a d －d >0， ∴0<1－c <1－d. 则1－d >1－c >0.又∵a >b >0，∴a －d >b －c，∴a d <b c .3．若对任意的x ∈[0,1]，不等式1－kx ≤11＋x≤1－lx 恒成立，则一定有( ) A ．k ≤0，l ≥13B ．k ≤0，l ≤12＋2C ．k ≥14，l ≤13D ．k ≥12，l ≤12＋2答案 D解析当k ＝－1且x ∈[0,1]时，1－kx ＝1＋x ∈[1,2]，11＋x ∈⎣⎡⎦⎤22，1，不等式1－kx ≤11＋x不恒成立，可排除A 、B ；当k ＝13且x ∈[0,1]时，1－kx ＝1－13x ∈⎣⎡⎦⎤23，1，11＋x ∈⎣⎡⎦⎤22，1，不等式1－kx ≤11＋x不恒成立，排除C ，故选D. 4.已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a，比较A ，B ，C 的大小关系为( ) A ．A 0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ，C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝－a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，所以B <A <C .解法二(特殊值法)：令a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，因此得B <A <C ，故选B.5．若1a <1b <0，则下列不等式中：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是________．(填正确不等式的序号)答案 ①③解析由1a <1b <0，得b <a <0.①∵a ＋b <0，ab >0，∴1a ＋b<0，1ab >0，∴1a ＋b <1ab成立，即①正确； ②∵b <a <0，∴－b >－a >0，则－b >|a |，即|a |＋b <0，∴②错误； ③∵b <a <0，且1a <1b <0，∴a －1a >b －1b ，故③正确；④∵b <a <0，∴b 2>a 2，∴ln b 2>ln a 2成立． ∴④错误，故正确的是①③.设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． [错解][错因分析] 本题错解的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了f (－2)的范围扩大．[正解] 解法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法三：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10.[答案] [5,10] [心得体会]课时练基础组1.若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1aD.2a ＋b a ＋2b >ab答案 A解析取a ＝2，b ＝1，排除B 和D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，但g (a )>g (b )未必成立，这样，a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，故选A.2. 设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，5π6 B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6 C ．(0，π) D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 答案 D解析由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.3.已知0<a <1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x >y >zB ．z >y >xC ．z >x >yD ．y >x >z 答案 D解析由题意得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7，而0<a <1，∴函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，∴y >x >z ，故选D.4．若a 1bB ．a 2<abC.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n >b n答案 C解析取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a b ，则下列各式正确的是( ) A ．a lg x >b lg x B ．ax 2>bx 2 C ．a 2>b 2 D ．a ·2x >b ·2x答案 D解析 A 项，当lg x ＝0，即x ＝1时不满足；B 项，当x 2＝0时不满足；C 项，当a ＝1，b ＝－2时不满足；D 项，因为2x >0，所以a ·2x >b ·2x .综上可知选D.6．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12答案 A解析解法一：取a 1＝b 1＝13，a 2＝b 2＝23，那么a 1a 2＋b 1b 2＝49，a 1b 2＋a 2b 1＝49，a 1b 1＋a 2b 2＝59，有a 1a 2＋b 1b 2＝a 1b 2＋a 2b 1<12<a 1b 1＋a 2b 2，于是排除B 、C 、D 三个选项．故选A. 解法二：∵0<a 1<a 2，a 1＋a 2＝1，∴0<a 1<12，12<a 2<1，同理，00， a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(b 1－b 2)·(a 1－a 2)>0， a 1b 1＋a 2b 2－12＝a 1b 1＋a 2b 2－(a 1＋a 2)·(b 1＋b 2)2＝12[a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)] ＝12(b 1－b 2)·(a 1－a 2)>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2的值最大．故选A.7．设a >b >0，下列各数小于1的是( ) A ．2a －b B.⎝⎛⎭⎫a b 12 C.⎝⎛⎭⎫a b a －b D.⎝⎛⎭⎫b a a －b答案 D解析解法一：(特殊值法) 取a ＝2，b ＝1，代入验证．解法二：y ＝a x (a >0且a ≠1)．当a >1，x >0时，y >1；当0<a <1，x >0时，0<y <1.∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1,0<ba <1.由指数函数性质知，D 成立．8若a >b >0，且a ＋m b ＋m >ab ，则实数m 的取值范围是________．答案 (－b,0)解析由条件知，a ＋m b ＋m －ab >0，即ab ＋bm －ab －am b (b ＋m )>0，(b －a )mb (b ＋m )>0，又∵a >b >0，∴b －a <0，∴mm ＋b<0. 解得－b <m <0.9．已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且a ＝cos2θ，b ＝cos θ－sin θ，则a ________b ．(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，从而b ＝cos θ－sin θ>0，cos2θ>0.∵a b ＝cos2θcos θ－sin θ＝cos 2θ－sin 2θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，又θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4>2sin π4＝1， ∴ab>1，从而a >b . 10．已知－π2<α<β<π，则α－β2的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－3π4，0 解析由－π2<α<β<π，得－π2<α<π，－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2，即－3π4<α－β2<3π4.又∵α－β<0，∴－3π4<α－β2<0，故α－β2的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3π4，0. 11．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2＝ (a －b )⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 12．有下列命题：①若a >b ，则c －b <c －a ； ②若a >c ，b >c ，则a ＋b >2c ； ③若a c 2<bc 2，则a >b ；④若x <y ，则x 3<y 3.其中正确命题的序号是________．答案 ②④解析由不等式的性质可知①③不正确，②④正确．能力组13.已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M 、N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab(1＋a )(1＋b )>0. 14．设函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1)，则a ＋2b >0是f (x )>0在[0,1]上恒成立的________条件．(填“充分但不必要”“必要但不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案必要但不充分解析由⎩⎨⎧ f (0)>0，f (1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b >0，a ＋b >0.∴a ＋2b >0.而仅有a ＋2b >0，无法推出f (0)>0和f (1)>0同时成立．15．已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .证明 ∵x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b )，又∵1a >1b 且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b >a >0，又∵x >y >0，∴bx >ay >0， ∴bx －ay(x ＋a )(y ＋b )>0，∴x x ＋a >y y ＋b. 16．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg (xy )≤2,3≤lg xy ≤4，求lg (x 4y 2)的取值范围．解设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg (xy )＝a ＋b ，lg xy ＝a －b ，lg (x 4y 2)＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.又∵3≤3(a ＋b )≤6,3≤a －b ≤4. ∴6≤4a ＋2b ≤10.即lg (x 4y 2)的取值范围为[6,10]．。