椭圆知识点及高考真题练习
椭圆知识点总结及练习
椭圆知识点总结及典型方法知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记ac a c e ==22。
知识点四：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系知识点五: 椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。
椭圆知识点与例题
椭圆 （一）椭圆及其性质1、椭圆的定义（1）平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于|F 1 F 2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
（2）一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率2、椭圆的标准方程3、椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 4、离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c e =⇒2)(1a b e -= 10<<e 椭圆的准线方程: 左准线ca x l 21:-= 右准线c a x l 22:= （二）、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01ex a r += （右焦半径）02ex a r -= 其中e 是离心率 焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF （ 21,F F 分别是椭圆的下上焦点）（三）、直线与椭圆问题（韦达定理的运用）1、弦长公式：若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-=2121x x k -+=2122124)(1x x x x k-++= 例1. 已知椭圆及直线y ＝x ＋m 。
（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。
2、已知弦AB 的中点，研究AB 的斜率和方程AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦，中点M 坐标为(x 0，y 0)， 则AB 的斜率为－b 2x 0a 2y 0.运用点差法求AB 的斜率，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．A 、B 都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1 2a 2＋y 1 2b 2＝1，x 22a 2＋y 2 2b 2＝1，两式相减得x 1 2－x 2 2a 2＋y 1 2－y 2 2b 2＝0，∴x 1－x 2x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2y 1＋y 2b 2＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－b 2x 0a 2y 0.故k AB ＝－b 2x 0a 2y 0. 例、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
椭圆知识点总结及经典习题练习
第二部分 圆锥曲线（一）---椭圆知识点一：1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．注意：椭圆122=+b y a x ，122=+bx a y )0(>>b a 的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有)0(>>b a 和)10(<<=e ac e ，222c b a +=；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。
知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆知识点归纳总结和经典例题
椭圆的基本知识1 •椭圆的定义：把平面内与两个定点 F 「F 2的距离之和等于常数(大于 F ,F 2)的点的轨迹叫做椭圆•这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距 (设为2c ).2.椭圆的标准方程：焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为 虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法：定义法、待定系数法、相关点法、直接法例1如图，已知一个圆的圆心为坐 标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线的解:段PP ,求线段PP 中点M 的轨迹•关点法)设点Mx , y ), 点Rx o , y o ), 贝 y x =x o , y = 匹 得 x o =x , y o = 2y.2x o 2+ y o 2= 4,得 x 2+ (2 y ) 2= 4,即- y 21.所以点M 的轨迹是一个椭圆42 2 2 24.范围.x < a , y < b ,••• | x| < a , | y| < b . 椭圆位于直线x =± a 和y =± b 围成的矩形里.5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.6.顶点 只须令x = 0,得y =± b ,点Bi(0, — b )、R(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令 y = 0,得x =± a ,点A ( —a ,0)、A(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点.椭圆有四个顶点：A ( — a , 0)、A(a , 0)、B(0, — b )、B(0, b ).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点. 线段AA 、BB 分别叫做椭圆的长轴和短轴 . 长轴的长等于2a .短轴的长等于2b . a 叫做椭圆的 长半轴长.b 叫做椭圆的短半轴长.y| BH | = |BF 2| = | BH| = | BF 2| = a .在 Rt △ OBF 2中，|OF |2= | BaF 2| 2 — | 0团 2, AZ b即 c 2 = a 2 — b 2.x7.椭圆的几何性质:mx2+ny2=1(m>0 n>0)不必考2 2a b2 2a b椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐和召Hi¥厂1,J /1 .PjAJ4j对 关T r 轴・，、轴・燮标原点荊称荒于J 鞋*孑轴・坐肺腺点时称(K 点Ai ( —Un 0 ) a HI O) fihCOi —At tO-B — a J » A* a }(CXr-CI) a几点说明:(1)长轴：线段 AA ，长为2a ；短轴：线段B 1B 2，长为2b ；焦点在长轴上。
椭圆知识点总结及经典习题
圆锥曲线与方程-－椭圆知识点一．椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两定点Ｆ1,Ｆ2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a,2a ＞|F 1F 2｜=2c};这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
(212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹）。
2．标准方程: 222ca b =-①焦点在x 轴上：12222=+by a x （ａ＞ｂ＞0）; 焦点F(±ｃ，０）②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞０）;焦点F(０, ±ｃ）注意：①在两种标准方程中,总有a>ｂ＞０，并且椭圆的焦点总在长轴上;②两种标准方程可用一般形式表示:221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围(１)椭圆12222=+by a x （ａ＞ｂ>0） 横坐标-a ≤x ≤a ，纵坐标-b ≤ｘ≤b(2)椭圆12222=+bx a y (a>b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a２．对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 ３.顶点（1）椭圆的顶点：A 1(-a,0)，A 2(ａ，0),B １（０,-b)，B 2（0，b ）(2）线段A 1A ２，B １B ２ 分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b ，ａ和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率(1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca,即a c 称为椭圆的离心率，ﻫ记作e （10<<e )，22221()be a a==-ce 0=是圆；e 越接近于0 （ｅ越小)，椭圆就越接近于圆;e 越接近于１ （e 越大）,椭圆越扁;注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)椭圆
椭__圆[知识能否忆起]1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F 1，F 2间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程及其几何性质条件2a ＞2c ，a 2＝b 2＋c 2，a ＞0，b ＞0，c ＞0图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 范围 |x |≤a ；|y |≤b|x |≤b ；|y |≤a对称性 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 顶点 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0，±b ) 长轴顶点(0，±a ) 短轴顶点(±b,0) 焦点 (±c,0)(0，±c )焦距 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2－b 2)离心率 e ＝ca∈(0,1)，其中c ＝a 2－b 2 通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为2b2a[小题能否全取]1．(教材习题改编)设P 是椭圆x 24＋y 29＝1的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．8C ．6D ．18解析：选C 依定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6. 2．(教材习题改编)方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)解析：选C 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m ＋3＞0，5－m ≠m ＋3，解得－3＜m ＜5且m ≠1.3．(2012·淮南五校联考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 解析：选C 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8.则该椭圆的方程是________．解析：∵2c ＝8，∴c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，故a ＝8.又∵b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的方程为y 264＋x 248＝1.答案：y 264＋x 248＝15．已知F 1，F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．解析：在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2， 设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3， 所以离心率e ＝2c 2a ＝33.答案：331.椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在．2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．椭圆的定义及标准方程典题导入[例1] (2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1 [自主解答] ∵椭圆的离心率为32， ∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b . 故椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，即a 2＝4b 2＝20.故椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.[答案] D本例中条件“双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径”问题不变．解：∵x 2＋y 2－2x －15＝0，∴(x －1)2＋y 2＝16，∴r ＝4，即2a ＝4，a ＝2. 又c a ＝32，∴c ＝3， ∴b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.由题悟法1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题． 2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为： (1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B＞0，且A ≠B )．以题试法1．(2012·张家界模拟)椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.72 B.32C. 3D ．4解析：选A 因为a 2＝4，b 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.不妨设F 1为左焦点，P 在x 轴上方，则F 1(－3，0)，设P (－3，m )(m ＞0)，则－324＋m 2＝1，解得m ＝12，所以|PF 1|＝12根据椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －|PF 1|＝22－12＝72.椭圆的几何性质典题导入[例2] (1)F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运动．则1PF u u u r ·2PF u u u r的最大值是( )A ．－2B ．1C ．2D ．4(2)(2012·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B.55C.12D.5－2[自主解答] (1)设P (x ，y )，依题意得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，1PF u u u r ·2PF u u u r＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2.∵0≤x 2≤4，∴－2≤34x 2－2≤1.∴1PF u u u r ·2PF u u u r 的最大值是1.(2)由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，故e ＝55.[答案] (1)B (2)B由题悟法1．求椭圆的离心率实质上是建立a ，b ，c 中任意两者或三者之间的关系，利用e ＝c a或e ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2去整体求解．2．解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．以题试法2．(1)(2012·西工大附中适应性训练)已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点的坐标为(3,0)，|AM u u u u r ,|＝1，且PM u u u r ,·AM u u u u r ,＝0，则|PM u u u r,|的最小值为________．(2)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：(1)由|AM u u u u r,|＝1，A (3,0)知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM u u u r ,·AM u u u u r,＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，∴PM 为⊙A 的切线，连接PA (如图)，则|PM u u u r ,|＝ |PA u u u r |2－|AM u u u u r |2＝ |PA u u u r |2－1，∴当|PA u u u r ,|min＝a －c ＝5－3＝2时，|PM u u u r,|min ＝ 3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝cy a 2＋c 2，当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为kQF 2＝cy b 2－2c2(b 2－2c 2≠0)由kF 1P ·kQF 2＝－1得y 2＝a 2＋c 22c 2－b2c2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，故2c 2－b 2＞0，即3c 2－a 2＞0，即e 2＞13，故33＜e ＜1.当直线QF 2的斜率不存在时，y ＝0，F 2为线段PF 1的中点．由a 2c －c ＝2c 得e ＝33，综上得33≤e ＜1.答案：(1) 3 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1直线与椭圆的位置关系典题导入[例3] (2012·安徽高考)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．[自主解答] (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知， a ＝10，b ＝5 3.由题悟法1．直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y22－4y 1y 2].3．直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．以题试法3．(2012·潍坊模拟)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值． 解：(1)设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝ 2.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0，y 23＋x22＝1，消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0， 整理得(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0.设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.故两条切线的斜率之积为常数－1.1．(2012·海淀模拟)2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件解析：选B 若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，∴2＜m ＜6且m ≠4，故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件．2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B ∵a ＝4，e ＝34，∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12 B.23 C.34D.45解析：选C 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34. 4．(2013·沈阳二中月考)已知椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，1MF u u u u r ,·2MF u u u u r,＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3解析：选B 由条件知，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，则|x |＝263，即点M 到y 轴的距离为263.5．(2012·安徽师大附中模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋14解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12. 6．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝1解析：选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点(2, 3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，根据椭圆定义知2a ＝12，即a ＝6，由c a ＝32，得c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．椭圆x 216＋y 24＝1的两焦点F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝________.解析：易得|PF 1|＝b 2a ＝44＝1.又点P 在椭圆上，于是有|PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 2|＝8－|PF 1|＝7.答案：79．(2012·哈尔滨模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋10－|PF 2|＝10＋|PM |－|PF 2|≤10＋|MF 2|＝10＋5＝15， 当P ，M ，F 2三点共线时取等号． 答案：1510．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积． 解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23， 又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.率为63，F 为11．(2013·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心椭圆的右焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且MF u u u u r ,＝λFN u u u r,(λ＞0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，MN u u u u r ,⊥AF u u u r,；(2)若当λ＝1时，有AM u u u u r ,·AN u u u r ,＝1063，求椭圆C 的方程．解：(1)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，F (c,0)，则MF u u u u r ,＝(c －x 1，－y 1)，FN u u u r,＝(x 2－c ，y 2)．当λ＝1时，MF u u u u r ,＝FN u u u r,，∴－y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c .∵M ，N 两点在椭圆C 上，∴x 21＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 22b 2， ∴x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c (舍去)， ∴x 1＝x 2，∴MN u u u u r ,＝(0,2y 2)，AF u u u r ,＝(c ＋4,0)，∴MN u u u u r ,·AF u u u r,＝0，∴MN u u u u r ,⊥AF u u u r ,.(2)当λ＝1时，由(1)知x 1＝x 2＝c ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， ∴AM u u u u r ,＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋4，b 2a ，AN u u u r ,＝⎝⎛⎭⎪⎫c ＋4，－b 2a ，∴AM u u u u r ,·AN u u u r ,＝(c ＋4)2－b 4a2＝1063.(*)∵c a ＝63， ∴a 2＝32c 2，b 2＝c 22，代入(*)式得56c 2＋8c ＋16＝1063，∴c ＝2或c ＝－585(舍去)．∴a 2＝6，b 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.12．(2012·陕西高考)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB u u u r ＝2OA u u u r，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB u u u r ＝2OA u u u r及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2.将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2.又由OB u u u r ＝2OA u u u r ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k2＝161＋4k2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB u u u r ＝2OA u u u r及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2.由OB u u u r ＝2OA u u u r ，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2.将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .1．(2012·长春模拟)以O 为中心，F 1，F 2为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足|1MF u u u u r,|＝2|MO u u u u r ,|＝2|2MF u u u u r,|，则该椭圆的离心率为( )A.33B.23C.63D.255解析：选C 不妨设F 1为椭圆的左焦点，F 2为椭圆的右焦点．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，0，并设|1MF u u u u r ,|＝2|MO u u u u r ,|＝2|2MF u u u u r ,|＝2t ，根据勾股定理可知，|1MF u u u u r ,|2－|1NF u u u u r ,|2＝|2MF u u u u r ,|2－|2NF u u u u r ,|2，得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63.2．(2012·太原模拟)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且a 1＞a 2.给出如下四个结论：①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；②a 21－a 22＝b 21－b 22；③a 1a 2＞b 1b 2；④a 1－a 2＜b 1－b 2. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④D ．①②③解析：选C 由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，而a 1＞a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2＞b 1b 2不正确，即③不正确；∵a 1＞b 1＞0，a 2＞b 2＞0，∴a 1＋a 2＞b 1＋b 2＞0，而又由(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2＜b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.3．(2012·西城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解：(1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2. 在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k. 当k ＜0时，3k ＋4k ≤－43；当k ＞0时，3k＋4k ≥4 3. 所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－312，312.1．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)根据椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，知a 2－b 2＝1，又根据点P (0,1)在椭圆上，知b ＝1，所以a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋m )2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝4k 2m 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2(m 2－1)＝0，即m 2＝2k 2＋1. ①把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得k4y 2－y ＋m ＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝1－mk ＝0，即mk ＝1. ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝2k 2＋1，mk ＝1，解得k 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－2，所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 2．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0 的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标．解：(1)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得(x －2)2＋y 2＝2，故圆C 的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其焦距为2c .由题设知c ＝2，e ＝c a ＝12.所以a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝12.由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切得|2k 1＋y 0－k 1x 0|k 21＋1＝2，即[(2－x 0)2－2]k 21＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 20－2＝0.同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 20－2＝0.从而k 1，k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 20－2＝0的两个实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧2－x 02－2≠0，Δ＝8[2－x 02＋y 20－2]>0，①且k 1k 2＝y 20－22－x 02－2＝12. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2016＋y 212＝1，y 2－22－x 02－2＝12，得5x 20－8x 0－36＝0.解得x 0＝－2或x 0＝185.由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185得y 0＝±575，它们均满足①式．故点P 的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，575或⎝⎛⎭⎪⎫185，－575.3．(2012·河南模拟)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫ 2，22. (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解：(1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝32，2a 2＋12b 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， 且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2. 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12. 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2且m 2≠1. 设点O 到直线l 的距离为d ， 则S △OPQ ＝12d |PQ |＝12·1＋k2x 1－x 22·|m |1＋k 2＝12|x 1－x 2||m |＝m 22－m2，又0＜m 2＜2且m 2≠1，所以S △OPQ 的取值范围为(0,1)．。
高考椭圆题型总结有答案
高考椭圆题型总结有答案椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题一)定义:命题甲：动点P到两点A,B的距离之和PA+PB=2a(a>0，常数)。
命题乙：P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的充要条件。
已知F1、F2是两个定点，且F1F2=4，若动点P满足PF1+PF2=4，则动点P的轨迹是椭圆。
已知1、2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一个动点，如果延长1到P，使得PQ=PF2，那么动点的轨迹是圆。
x^2+y^2=1上一点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，椭圆则ON的值是4.O是椭圆的中心，(1,0)是椭圆的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1）。
选做：已知F1是椭圆，求|PA|+|PF1|的最小值。
二)标准方程求参数范围试讨论k的取值范围，使方程(5-k)x^2+ky^2-3=0表示圆、椭圆、双曲线。
m>n>0”是“方程mx+ny=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件。
若方程xsinα+ycosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，α所在的象限是第二象限。
方程x=1-3y所表示的曲线是椭圆的右半部分。
已知方程x+ky=2表示焦点在X轴上的椭圆，则实数k的范围是k>1.1.根据下列条件求椭圆的标准方程：1) 两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；2) 长轴是短轴的2倍，且过点(2,-6)；3) 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6,1)、P2(-3,-2)。
二、简单几何性质椭圆的离心率为e=√(1-b^2/a^2)，其中a、b分别为长轴和短轴的一半。
椭圆的周长为C=4aE(e)，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。
椭圆的面积为S=πab。
点M(x,y)满足x2/25+(y+3)2/16=1，求点M的轨迹方程。
2.已知动点P(x,y)过定点A(-3,0)，并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内切，求动点P的轨迹方程。
考点38 高中数学-椭圆-考点总结和习题
考点38椭圆【命题趋势】椭圆是高考考查的重点，难点，可能在小题中出现，也经常出现在高考中的压轴题位置，是高考高分的分水岭.我们复习时必须掌握以下几点：（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.（3）了解椭圆的简单应用.（4）理解数形结合的思想.【重要考向】一、椭圆定义的应用二、求椭圆的标准方程三、椭圆的几何性质及应用四、直线与椭圆的位置关系椭圆定义的应用平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =.定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.【巧学妙记】1.（2020·深圳实验学校高二月考）在ABC 中，点()2,0A -、点()2,0B ，且||AB 是||AC 和||BC 的等差中项，则点C 的轨迹方程是（）A ．2211612x y +=B ．2211612x y +=(4)x ≠±C ．2216460x y +=D ．2216460x y +=(8)x ≠±【答案】B 【分析】由A 、B 的坐标求出||AB ，代入2||||||AB AC BC =+，可知点C 的轨迹是以(2,0)A -，(2,0)B 为焦点，半长轴长是8的椭圆，由此求出其轨迹方程．【详解】解： 点(2,0)A -、点(2,0)B ，||4AB ∴=，||AB 是||AC 和||BC 的等差中项，则2||||||8AB AC BC =+=，∴点C 的轨迹是以(2,0)A -，(2,0)B 为焦点，半长轴长是4的椭圆（去掉长轴上的顶点）．则4a =，2c =，22212b a c ∴=-=．∴点A 的轨迹方程是：221(4)1612x y x +=≠±故选：B ．2.（2021·安徽宿州市·高二期末（理））在ABC 中，已知()3,0B -，()3,0C 且ABC 的周长为16，则顶点A 的轨迹方程是（）A ．()22102516x y x +=≠B ．()22101625x y x +=≠C ．()22102516x y y +=≠D ．()22101625x y y +=≠【答案】C 【分析】由周长得到106AB AC +=>，利用椭圆定义写出点A 的轨迹方程.【详解】由条件可知16AB AC BC ++=，6BC =，106AB AC ∴+=>，∴点A 是以,B C 为焦点的椭圆，除去左右顶点，并且210,26a c ==，2225,9a c ∴==，225916b =-=∴顶点A 的轨迹方程是()22102516x y y +=≠.故选：C3.（2021·浙江高二期末）已知12,F F 分别为椭圆2221(010)100x y b b +=<<的左、右焦点，P是椭圆上一点．（1）12PF PF +的值为________；（2）若1260F PF ∠=︒，且12F PF △的面积为6433，求b 的值为________．【答案】208【分析】（1）根据椭圆的定义，直接求即可得解；（2）根据焦点三角形的性质，利用面积公式结合余弦定理，即可得解.【详解】（1）由2221(010)100x y b b+=<<知2100,10a a ==，12220PF PF a +==，（2）设12,PF m PF n ==，21222122cos F F m n F F mn P =+-⋅∠，可得2224()343c m n mn a mn =+-=-，所以243b mn =，所以12122133643sin 2433F PF F PF S mn mm b =⋅∠===，所以8b =，故答案为：（1）20；（2）8.求椭圆的标准方程焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b+=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0a c b a b a c -=>>>>.【巧学妙记】4.（2021·四川凉山彝族自治州·高三二模）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C ，其长轴长为4，焦距为2，则C 的方程为（）A ．2211612x y +=B ．2211612x y +=或2211612y x +=C ．22143x y +=D ．22143x y +=或22143y x +=【答案】D 【分析】由椭圆中a ，b ，c 的关系求出短半轴长b 的值，再按焦点位置分别写出所求方程.【详解】因椭圆C 中心在原点，其长轴长为4，焦距为2，则2a =，1c =，b ==当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆方程为：22143x y+=，当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆方程为：22143y x+=．故选：D5.（2021·全国高二单元测试）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（）A ．221167x y +=B ．221167y x +=C ．2212516x y +=D ．221259y x +=【答案】B 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，由已知可得3c =，由椭圆定义求得a ，由b 2＝a 2－c 2，求得b ，即可得出结果.【详解】解：∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>．∵28,a ==∴a ＝4，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为221167y x +=．故选：B ．6.（2021·全国高二单元测试）写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B (－2，1)两点；（2）a ＝4，c（3）过点P (－3，2)，且与椭圆22194x y +=有相同的焦点．【答案】（1）221155x y +=；（2）22116x y +=或22116y x +=；（3）2211510x y +=．【分析】（1）利用待定系数法求得椭圆方程；（2）求得b ，根据焦点所在坐标轴写出椭圆方程；（3）首先求得2c ，然后利用P 点坐标求得22,a b ，由此求得椭圆方程.【详解】（1）设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由)2A-和()B -两点在椭圆上可得2222(2)1(11m n m n ⎧⋅+⋅-=⎪⎨⎪⋅-+⋅=⎩，即341121m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得11515m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故所求椭圆的标准方程为221155x y +=．（2）因为a ＝4，c =所以b 2＝a 2－c 2＝1，1b =所以当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程是22116x y +=；当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程是22116y x +=．（3）因为所求的椭圆与椭圆22194x y +=的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝5．设所求椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>．因为所求椭圆过点P (－3，2)，所以有22941a b +=①又a 2－b 2＝c 2＝5，②由①②解得a 2＝15，b 2＝10．故所求椭圆的标准方程为2211510x y +=．椭圆的几何性质及应用i)图形焦点在x 轴上焦点在y 轴上ii)标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆22221x y a b +=(0)a b >>x a ≤y b≤(,0)a ±，(0,)b ±(,0)c ±对称轴：x 轴，y 轴，对称中心：原点01e <<，c e a=22221y x a b+=(0)a b>>y a ≤x b≤(0,)a ±，(,0)b ±(0,)c±【巧学妙记】7.（2020·全国高二课时练习）已知椭圆方程为22916144x y +=，则它的长轴长为________，短轴长为________，焦距为________，离心率为______．【答案】8674【分析】将椭圆方程化为标准方程，求出a 、b 、c 的值，即可得出结果.【详解】把椭圆方程化成标准方程为221169x y +=，所以4a =，3b =，c ==所以椭圆的长轴长为8，短轴长为6，焦距为74c e a ==.故答案为：8；6；74.8.（2021·福建龙岩市·高二期末）已知椭圆22212x y a +=的一个焦点为()F ，则这个椭圆的方程是（）A ．22132x y +=B ．22142x y +=C ．22152x y +=D ．22162x y +=【答案】C 【分析】利用椭圆的简单几何性质求解．【详解】解： 椭圆22212x ya +=的一个焦点为(F ，22b ∴=，c =222325a b c ∴=+=+=，∴椭圆方程为22152x y +=．故选：C ．9.（2021·山西高三三模）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若1ABF 为等边三角形，则C 的离心率为（）A ．3B ．2C ．3D ．12【答案】A 【分析】判断出12AB F F ⊥，利用22ce a=求得离心率.【详解】由于1ABF 为等边三角形，根据椭圆的对称性可知12AB F F ⊥，在12Rt AF F △中，126AF F π∠=，2112::1:2AF AF F F =所以2332123c e a ===+.故选：A直线与椭圆的位关系设直线:0l Ax By C ++=，椭圆22221x y a b+=，把二者方程联立得到方程组，消去()y x 得到一个关于()x y 的方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=.0∆>⇔方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；0∆=⇔方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；0∆<⇔方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.10.（2021·四川省内江市第六中学高二月考）已知直线:30l x y +-=，椭圆2214x y +=，则直线与椭圆的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交【答案】C 【分析】将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系【详解】解：由223014x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(3)14x x +-=，化简得2524320x x -+=，因为2244532640∆=-⨯⨯=-<，所以方程无解，所以直线与椭圆的位置关系是相离，故选：C11.（2020·河南高二月考（理））直线y kx k =-与椭圆22194x y +=的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A 【分析】求得直线y kx k =-恒过的定点，判断定点与椭圆的位置关系，由此可得直线y kx k =-与椭圆的位置关系.【详解】直线y kx k =-可化为(1)y k x =-，所以直线恒过点(1,0)，又2210194+<，即(1,0)在椭圆的内部，∴直线y kx k =-与椭圆22194x y+=的位置关系为相交.故选：A.12.（2021·莆田第十五中学高二期末）直线0x y m --=与椭圆2219x y +=有且仅有一个公共点，求m 的值.【答案】m =【分析】将直线方程代入椭圆方程，消去x 得到2210290y my m -++=，令0∆=，计算即可求得结果.【详解】解：将直线方程0x y m --=代入椭圆方程2219x y +=，消去x 得到：2210290y my m -++=，令0∆=，即()22441090m m -⨯-=解得m =一、单选题1．已知椭圆C ：22195x y +=的左焦点为F ，点M 在椭圆C 上，点N 在圆E ：()2221x y -+=上，则MF MN +的最小值为（）A ．4B ．5C ．7D ．82．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，113AF BF =，且1260F AF ∠=︒，则椭圆C 的离心率是（）A ．716B ．74C ．916D ．343．过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>右焦点F 的直线l ：30x y --=交C 于A 、B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22163x y +=B ．22175x y +=C ．22184x y +=D ．22196x y +=4．已知12,F F 是椭圆22143x y +=的左，右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，则12AF F △的内切圆的半径的最大值是（）A ．1B ．12C ．13D ．335．已知椭圆22:1(0)9x y C m m+=>的长轴长与短轴长之差为2，则C 的焦距为（）A 7B ．5C ．27D ．25276．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上､下顶点分别为12,B B ，右顶点为A ，右焦点为F ，12B F B A ⊥，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．22C ．512-D ．512+7．已知A ，B ，C 是椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b +=>>上不同的三点，且原点O 是△ABC 的重心，若点C 的坐标为3,22b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为33-，则椭圆Γ的离心率为（）A ．13B ．223C ．3D ．738．已知1F ，2F 是椭圆2222:154x y G +=的两个焦点，过1F 作直线l 交G 于A ，B 两点，若325AB =，则2F AB 的面积为（）A ．245B ．485C ．965D ．16415二、多选题9．已知椭圆C ：22148x y +=内一点M (1,2)，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（）A．椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0)B ．椭圆C 的长轴长为C ．直线l 的方程为30x y +-=D ．433AB =10．嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以km/s v 的速度进入距离月球表面km n 的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为s t ，已知远月点到月球表面的最近距离为km m ，则（）A ．圆形轨道的周长为()2km vt πB ．月球半径为km 2vt n π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．近月点与远月点的距离为kmt m n νπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．椭圆轨道的离心率为m nm n-+三、填空题11．写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆标准方程为______．12．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，直线2a x =与C 交于A ，B 两点，若120AFB ∠=︒，则椭圆C 的离心率为_______.四、双空题13．椭圆2221x y +=的长轴长为______，焦点坐标是________．五、解答题14．求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．15．已知地球运行的轨道是长半轴长81.5010km a =⨯，离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．16．已知椭圆的长轴在x 轴上，长轴长为4，离心率为32，（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.（2）直线220x y --=与椭圆交于,A B 两点，求,A B 两点的距离.17．地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点，每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同．我国古代劳动人民根据长期的生产经验总结创立了二十四节气，将一年（地球围绕太阳公转一周）划分为24个节气，规则是：任意2个相邻节气地球与太阳的连线成15︒．地球在小寒前约三四天到达近日点，在小暑前约三四天到达远日点．（1）从冬至到小寒与从夏至到小暑，哪一段时间更长?并说明理由．（2）以立春为始，排在偶数位的12个节气又称为中气，农历规定没有中气的那个月为闰月．经统计，1931年至2050年间，闰月最多的3个月份是：闰4月7次，闰5月9次，闰6月8次；闰月最少的3个月份是：闰11月1次，闰12月0次，闰1月0次．为什么会出现这种现象?请说明理由一、单选题1．（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．62．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．2,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、多选题4．（2020·海南高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线三、双空题5．（2021·浙江高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.四、解答题6．（2021·全国高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，且离心率为63．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =．7．（2021·北京高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．8．（2020·山东高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．9．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．10．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．参考答案跟踪训练1．B 【分析】根据椭圆的定义把求MF MN +的最小值转化为求ME MN -的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边即可求得.【详解】易知圆心E 为椭圆的右焦点，且3,2a b c ===，由椭圆的定义知：26MF ME a +==，所以6MF ME =-，所以()66MF MN ME MN ME MN+=-+=--，要求MF MN +的最小值，只需求ME MN -的最大值，显然,,M N E 三点共线时ME MN -取最大值，且最大值为1，所以MF MN +的最小值为615-=.故选：B.2．B 【分析】根据椭圆的对称性可知，21AF BF =，设2AF m =，由113AF BF =以及椭圆定义可得132a AF =，22a AF =，在12AF F △中再根据余弦定理即可得到22744a c =，从而可求出椭圆C 的离心率．【详解】由椭圆的对称性，得21AF BF =.设2AF m =，则13AF m =.由椭圆的定义，知122AF AF a +=，即32m m a +=，解得2a m =，故132aAF =，22a AF =.在12AF F △中，由余弦定理，得122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-，即2222931742442224a a a a a c =+-⨯⨯=，则222716c e a ==，故74e =.故选：B.3．A 【分析】由题意，可得右焦点F 的坐标，联立直线l 与椭圆的方程，利用韦达定理，求出AB 的中点P 的坐标，由直线OP 的斜率可得a ，b 的关系，再由椭圆中a ，b ，c 的关系求出a ，b的值，进而可得椭圆的方程．【详解】解：直线:0l x y --=中，令0y =，可得x =F 0)，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则A ，B 的中点1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，联立222201x y x y ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222222()30a b y y b a b +++-=，所以2122223b y y a b +=-+，212122223x x y y a b +=+++，所以21221212OP y y b k x x a +==-=-+，所以222a b =，又222a b c =+，23c =，所以26a =，23b =，所以椭圆的方程为22163x y +=，故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是联立直线和椭圆的方程，然后利用韦达定理求出12y y +，12x x +，进而根据12OP k =-由两点间的斜率公式得a ，b 的关系.4．D利用椭圆的定义即可求解.【详解】设12AF F △的内切圆的半径为r ，由22143x y +=，则2a =，b =1c ==所以1224AF AF a +==，1222F F c ==，由12121211112222A F F r AF r AF r F F y ++=，即()121211222A r F F AF AF y ++=⨯，即3A r y =，若12AF F △的内切圆的半径最大，即A y 最大，又A y ≤≤所以max 33r =.故选：D 5．D 【分析】分椭圆的焦点在x 轴上和在y 轴上分别得出,a b ，根据条件先求出m ，再求焦距.【详解】当C 焦点在x 轴上，此时3,a b ==62-=，解得4m =此时焦距为2c ==当C 的焦点在y 轴上，此时3a b ==，则62=，解得16m =此时C 的焦距为=.故选：D .6．C 【分析】求出椭圆的焦点坐标，顶点坐标，利用垂直关系列出方程，转化求解即可.解：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上､下顶点分别为12(0,),(0,)B b B b -，右顶点为A (a ，0)，右焦点为F (c ，0)，12BF B A ⊥，可得b bc a-⋅=﹣1，22a cac -=1，解得e =12-.故选：C.7．B 【分析】根据椭圆的第三定义22OC AB b k k a⋅=-，可求得,a b 的关系，进而求得离心率；【详解】设AB 的中点D ，因为原点O 是△ABC 的重心，所以,,C O D 三点共线，所以OD OC k k =，由于22223133OC AB b b b k k a a a ⎛⎫⋅=-⇒-=-⇒= ⎪ ⎪⎝⎭，所以223e =，故选：B.8．C 【分析】判断出AB x ⊥轴，直接由三角形面积公式计算即可.【详解】由2222:154x y G +=知2222543c =-=，所以1(3,0)F -，把3x =-代入椭圆方程可得42425y =，故165y =±，又325AB =，所以AB x ⊥轴，则2113296||22255F AB AB d c ==⨯⨯=△S ，故选：C 9．BCD 【分析】根据椭圆方程可直接判断A 、B 的正误，设直线l 为(2)1x k y =-+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，且124y y +=，联立椭圆方程应用韦达定理即可求k 值，写出直线方程，进而应用弦长公式可求AB ，即可判断C 、D 的正误.【详解】A ：由椭圆方程知：其焦点坐标为(0,2)±，错误；B ：28a =，即椭圆C 的长轴长为2a =，正确；C ：由题意，可设直线l 为(2)1x k y =-+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y +=，联立椭圆方程并整理得：222(21)4(12)8860k y k k y k k ++-+--=，M 为椭圆内一点则0∆>，∴1224(21)421k k y y k -+==+，可得1k =-，即直线l 为30x y +-=，正确；D ：由C 知：124y y +=，12103y y =，则433AB ==，正确.故选：BCD.10．BC 【分析】根据题意结合椭圆定义和性质分别求出各量即可判断.【详解】由题，以km/s v 的速度进入距离月球表面km n 的环月圆形轨道，环绕周期为s t ，则可得环绕的圆形轨道周长为vt km ，半径为2vtπkm ，故A 错误；则月球半径为km 2vt n π⎛⎫-⎪⎝⎭，故B 正确；则近月点与远月点的距离为km t m n νπ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故C 正确；设椭圆方程为22221x y a b +=，则,m R a c n R a c +=++=-（R 为月球的半径），22,2a m n R c m n ∴=++=-，故离心率为+2m nm n R-+，故D 错误.故选：BC.【点睛】本题考查椭圆的应用，解题的关键是正确理解椭圆的定义.11．22143x y +=（答案不唯一）【分析】不妨设椭圆的焦点在x 轴上，标准方程为()222210x ya b a b+=>>，进而根据题意得24a c =，再令1c =即可得到一个满足条件的椭圆方程.【详解】不妨设椭圆的焦点在x 轴上，椭圆的标准方程为()222210x ya b a b+=>>因为长轴长等于离心率8倍，故28ca a=，即24a c =不妨令1c =，则224,3a b ==，所以满足条件的一个椭圆方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=（答案不唯一）【点睛】本题解题的关键在于再求解之前，需要考虑椭圆焦点所在轴，进而设出椭圆的标准方程，根据题意求解.12．45【分析】先不妨设A的坐标,22a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再求出F 到直线2ax =的距离为2a c -，利用等腰三角形的性质，列出31202tan 22a c ==-，解出即可.【详解】根据题意，把2a x =代入22221x y a b +=中，得2y =±，不妨设A3,22a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，且(),0F c ，则F 到直线2ax =的距离为2a c -，由120AFB ∠=︒，得31202tan22a c ==-，则2b a c =-，平方计算得45c a =.故答案为：45.【点睛】思路点睛：1.不妨设A 的坐标3,22a ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，再求出F 到直线2ax =的距离为2a c -，2.AFB △为等腰三角形，且120AFB ∠=︒，列出1202tan 22a c ==-，解出45c a =.13．220,2⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】将椭圆化为标准方程可得22112x y +=，从而可求出,,a b c 的值，进而可求出椭圆的长轴长及焦点坐标.【详解】由题意，椭圆方程可化为22112x y +=，则2211,2a b ==，所以22211122c a b =-=-=，即221,,22a b c ===，故椭圆的长轴长为22a =，焦点坐标为220,,0,22⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故答案为：2；20,2⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭.14．长轴长和短轴长分别是8和6，离心率74，焦点坐标分别是(，0)，，0)，顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．【分析】化方程为标准方程，得,a b ，再求得c 后可得结论．【详解】把已知方程化成标准方程为221169x y +=，所以a ＝4，b ＝3，c，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6；离心率e ＝74c a =；两个焦点坐标分别是(，0)，，0)；四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．15．1.5288×108km ，1.4712×108km【分析】根据地球到太阳的最大距离是a +c ，最小距离是a ﹣c ，即可求得结论．【详解】∵椭圆的长半轴长约为a =1.5×108km ，离心率e ＝0.0192，∴半焦距约为c ae ==2.88×106km ，∴地球到太阳的最大距离是1.5×108+2.88×106＝1.5288×108km ，最小距离是1.5×108﹣2.88×106＝1.4712×108km ．16．（1）2214x y +=，短轴长为2，焦距为（2.【分析】（1）由长轴得a ，再由离心率求得c ，从而可得b 后可得椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点坐标后可得距离．【详解】（1）由已知：2a =，32c a =，故c =1b =，则椭圆的方程为：2214x y +=，所以椭圆的短轴长为2，焦距为.（2）联立2222014x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1101x y =⎧⎨=-⎩，2220x y =⎧⎨=⎩，所以(0,1)A -，(2,0)B ，故||AB =17．（1）从夏至到小暑的时间长，理由见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）小寒（最接近近日点），夏至，小暑（最接近远日点）四个节气时地球所在的位置，每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同，则在远日点转过相同的角度面积较大，得出答案.（2）由（1）知，远日点附近两个相邻节气之间的时间间隔长于近日点附近两个相邻节气之间的时间间隔，从而得出近日点和远日点附近农历一个月内含中气的概率的大小,得出答案.【详解】（1）如图所示，太阳处于地球公转椭圆轨道的一个焦点F ，A ，B ，C ，D 分别为冬至，小寒（最接近近日点），夏至，小暑（最接近远日点）四个节气时地球所在的位置，则FB FA FC FD <<<，因此椭圆轨道内椭圆扇形FCD 的面积大于椭圆扇形FAB 的面积，根据“每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同”可知从夏至到小暑的时间长于从冬至到小寒的时间．（2）农历从朔日到下一个朔日前一日为一个月，大约是月亮围绕太阳地球转一周的时间（约29天半）．由（1）知，远日点附近两个相邻节气之间的时间间隔长于近日点附近两个相邻节气之间的时间间隔，所以远日点附近农历一个月内不含中气的概率较高，出现闰月较多；而近日点附近农历一个月内不含中气的概率较低，出现闰月较少．真题再现1．C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤=⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.2．C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即202e <≤；当32b b c ->-，即22b c <时，42222maxb PB a bc =++，即422224b a b b c++≤，化简得，()2220cb-≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．3．B 【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得32n =，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．4．ACD 【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.5．25555【分析】不妨假设2c =，根据图形可知，122sin 3PF F ∠=，再根据同角三角函数基本关系即可求出12tan k PF F =∠=；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率．【详解】如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，12112sin sin 3AB PF F BF A F A∠=∠==，12tan PF F ∠==所以255k =,由21212,24PF k F F c F F ===，所以2855PF =，21255PF =，于是122PF a PF +==，即a =，所以5c e a ===．故答案为：5；5．6．（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN =充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭22413k=+1k =±，即可得解.【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =且63c e a ==，所以a =又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k-+=-⋅=++，所以MN==213k=+=化简得()22310k-=，所以1k=±，所以1kb=⎧⎪⎨=⎪⎩或1kb=-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线:MN y x=或y x=-，所以直线MN过点F，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是||MN=．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.7．（1）22154x y+=；（2）[3,1)(1,3]--⋃．【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x yC x y，求出直线,AB AC的方程后可得,M N的横坐标，从而可得PM PN+，联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN+，从而可求k的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过()0,2A-，故2b=，因为四个顶点围成的四边形的面积为1222a b⨯⨯=，即a=，故椭圆的标准方程为：22154x y+=.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠，故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N xx y =-+.直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=，故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k+==++，故120x x >，所以0M N x x >又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k kk k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤，综上，31k -≤<-或13k <≤.8．（1）22163x y +=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【详解】（1）由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k-=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP 的斜边，故12223DQ AP ==，若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用AM AN ⊥得·0AM AN =，转化为坐标运算，需要设直线MN 的方程，点()()1122,,,M x y N x y ，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立消去y 可12x x +，12x x 代入·0AM AN =即可，当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题.9．（1）221612525x y +=；（2）52.【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m+=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1） 222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，。
专题39 椭圆知识点和典型例题(解析版)
专题39 椭圆知识点和典型例题〔解析版〕1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数〔大于〕的点的轨迹称为椭圆．即：。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在轴上焦点在轴上 图形标准方程 范围且 且 顶点、、、、轴长 短轴的长长轴的长焦点 、、焦距对称性 关于轴、轴、原点对称离心率e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁题型一：求椭圆的解析式例1．求椭圆224936x y +=的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；通径 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b 2/a焦半径公式⎪⎭⎫ ⎝⎛-2325，【详解】椭圆224936x y +=化为标准方程22194x y +=，∴3a =，2b =，∴c ==∴椭圆的长轴长为26a =，焦距为2c =焦点坐标为()1F，)2F ，顶点坐标为()13,0A -，()23,0A ，()10,2B -，()20,2B . 例2．求适合以下条件的椭圆标准方程：〔1〕与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2〔2〕经过(2,(22A B 两点 【详解】〔1〕椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a =，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.〔2〕设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， 得：14213241mnm n⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．题型二：求轨迹例3．在同一平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换:12x x y y ϕ=⎧⎪⎨=''⎪⎩后，得到曲线C .求曲线C 的方程； 【详解】设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩变换:12x xy y ω=⎧⎪⎨=''⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=，2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=.∴曲线C 的方程为2214x y +=；例4．ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,>>、、a b c a c b ，且2,2=+=c a b c ，求点C 的轨迹方程． 【详解】由题意，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 如下图，因为2c =，那么(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ， 因为2a b c +=，即||||2||CB CA AB +=，4=，整理得所以22143x y +=，因为a b >，即||||CB CA >，所以点C 只能在y 轴的左边，即0x <． 又ABC 的三个顶点不能共线，所以点C 不能在x 轴上，即2x ≠-．所以所求点C 的轨迹方程为221(20)43x y x +=-<<．例5在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点Q 的轨迹方程. 【详解】解：在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，设0(P x ，0)y ，(,)M x y ，0(D x ，0)，M 是PD 的中点，0x x ∴=，02y y =，又P 在圆228x y +=上，22008x y ∴+=，即2248x y +=，∴22182x y +=，∴线段PD 的中点M 的轨迹方程是22182x y +=.题型三：求参数的范围例6：椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 ,M N 两点，2MNF ∆C 〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，假设存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.由题意2MNF ∆的面积为21212||2b cF F MN c MN a===由得c a =21b =，∴24a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．〔Ⅱ〕假设0m =，那么()0,0P ，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=， ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立． 假设0m ≠，由4OA OB OP λ+=，得144OP OA OB λ=+， 因为A ，B ，P 共线，所以14λ+=，解得3λ=．设()11,A x kx m +，()22,B x kx m +，由22,{440,y kx m x y =++-=得()2224240k x mkx m +++-=，由得()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+，由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴()21212340x x x x ++=， ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=．当21m =时，222240m k m k +--=不成立，∴22241m k m -=-，∵2240k m -+>，∴2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-， ∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．综上所述，m 的取值范围为{|21012}m m m m -<<-=<<或或．直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：〔特别注意〕要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
“椭圆”知识点及配套练习
《椭圆》知识点及配套练习【知识点1】椭圆上任一点到两焦点距离之和为常量（椭圆的长轴长）1、已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 2、椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程 是 ．3、设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129PF PF a a+=+（0a >），则点P 的轨迹是 A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在D ．椭圆或线段4、椭圆13622=+y x 中，1F 、2F 为左、右焦点，弦AB 过左焦点F 1，则2ABF ∆的周长为 5、若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点53(,)22-，则椭圆方程是 【知识点2】（1）当椭圆的焦点在x 轴上，则其标准方程为22221x y a b +=（0a b >>），焦点坐标为(,0)c ±（2）当椭圆的焦点在y 轴上，则其标准方程为22221y x a b+=（0a b >>），焦点坐标为(0,)c ±以上,,a b c 满足222a b c =+6、已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2），则m 的值为7、如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是8、椭圆2214x y m+=的焦距为2，则实数m 的值为【知识点3】（1）椭圆2222221x y a t b t +=++（0a b >>）与椭圆22221x y a b+=（0a b >>）共焦点； （2）椭圆方程的一般式：221Ax By +=（0,0,A B A B >>≠）9、过点(3,2)-，且与椭圆224936x y +=有相同的焦点的椭圆的标准方程是10、求经过点1(4,P 和2P 的椭圆的标准方程.点P 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F 、2F 为其两个焦点，（1）若12F PF θ∠=，则12PF F ∆的面积为2tan2θb ； （2）若点P 在长轴上的射影为椭圆的焦点，且点P 到长轴的距离为2b a.11、椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△12PF F 的面积为 12、1F 、2F 是椭圆22197x y +=的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠124πAF F =，则Δ12AF F 的面积为13、已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为 .14、点P 为椭圆221123x y +=上一点，椭圆焦点为1F 和2F ，，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的 倍.15、已知椭圆221259x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为16、椭圆22194x y +=的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠12F PF 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是17、已知动圆C 过点(3,0)A -，且在定圆B ：22(3)64x y -+=的内部与定圆相切，求动圆圆心C 的轨迹方程.（1）直线与椭圆的位置关系：相交、相切、相离 （2）直线与椭圆位置关系的判断方法：把直线方程与椭圆方程联立方程组，消去一个未知数，转化成关于x （或y ）的二元一次方程，再利用“∆”来判断.0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆=⇔直线与椭圆相切； 0∆<⇔直线与椭圆相离.18、直线230x y -+=与椭圆13422=+y x 的位置关系是19、直线1y kx =+与焦点在x 轴上的椭圆1522=+m y x 恒有公共点，则实数m 的取范围是 20、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系.【知识点6】直线与椭圆相交时，研究弦长. （1）当直线的斜率存在时，弦AB 的长212212111y y k x x k AB -+=-+=（其中k 表示直线的斜率）或者，A B =或AB =（其中k 为直线的斜率，m 为二次项系数）（2）直线的斜率不存在时，弦AB 的长12AB y y =-如果直线过焦点，还可以利用焦半径公式求弦长.1P c P F ax a =+，2P cP F a x a=- 21、直线1y =被椭圆12422=+y x 截得的线段长为 22、过椭圆4222=+y x 的左焦点且倾角为3π的弦AB ，则AB =23、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．【知识点7】研究与弦中点有关的问题，常用方法：（1）韦达定理；（2）“点差法”24、椭圆12422=+y x 中过(1,1)P 的弦恰好被点P 平分，则此弦的直线方程 25、中心在原点，焦点坐标为（0, 25±）的椭圆被直线320x y --=截得的弦中点的横坐标为21，求椭圆方程.26、已知椭圆221164x y +=，求过点(1,1)M 的弦的中点的轨迹方程.。
(完整版)高三复习椭圆知识点总结及基础测试,推荐文档
a2 b2
b2 c2
所有的成就在开始时都不过只是一个想法，坚持到底才是成为一个卓越的成功者的途径。
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线称作“果园”（其中 a2 b2 c2, a b c 0 ）.如图，设点 F0, F1, F2 是 相应椭圆的焦点 A1, A2 和 B1, B2 是“果园”与 x, y 轴的交点，若 F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形，则 a,b 的值分别为_________.
分别为 4 5 和 2 5 ，过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；
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3
（2）经过两点 A(0, 2) 和 B(1 , 3) .
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2、求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长是短轴长的 2 倍，且经过点 A(2, 6);
（2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为
6. 3、已知椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的长轴，短轴端点分别为 A, B ，从椭
所有的成就在开始时都不过只是一个想法，坚持到底才是成为一个卓越的成功者的途径。
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（2）求证： F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关. 5、已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到
焦点距离的最大值为 3，最小值为 1.
（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若直线 l : y kx m 与椭圆 C 相交于
不同的 A, B 两点（ A, B 不是左，右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆
C. 5 或 3
D.8
4、椭圆 x2 y2 1的焦点坐标为_________.
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5、如果方程 x2 ky2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值
范围是_________.
椭圆知识点及高考真题练习
椭圆知识点：1、定义：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；2、标准方程和性质：【典例】求下列椭圆的标准方程(1)中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为9，离心率为0.6；(2)对称轴是坐标轴,离心率等于，且过点(2，(3)短轴长为6，且过点(1，4) ； (4)顶点(-6，0)，(6，0)，过点(3，3)（5）椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，2、△ABC 的两个顶点坐标分别是B (0，6)和C (0，-6)，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是-，求顶点A 的轨迹方程.3、在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和2e ⎛⎝⎭，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．求椭圆的方程4、已知，椭圆在x 轴上的焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的顶点距23294离为510-，求椭圆的标准方程.5、点M （x,y ）与定点F （c ,0）的距离和它到定直线c a x l 2:=的距离的比是常数a c （a >c >0），求点M 的轨迹.6、椭圆9x 2+25 y 2=225上有一点P ，若P 到左准线的距离是2.5，求P 到右焦点的距离.7、F 是椭圆1121622=+y x 的右焦点，M 是椭圆上的动点，已知点A （－2，3），当MF AM 2+取最小值时，求点M 的坐标.6.设AB 为过椭圆1162522=+y x 中心的弦，F 1为左焦点.求：△A B F 1的最大面积.【真题演练】1.圆6x 2+ y 2=6的长轴的端点坐标是A.(-1,0)､(1,0)B.(-6,0)､(6,0)C.(-6,0)､(6,0)D.(0,-6)､(0,6)2.已知F 1、F 2为椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率23=e ,则椭圆的方程是A.13422=+y xB.131622=+y xC.1121622=+y xD.141622=+y x 3、离心率为23,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是A.1422=+y xB.1422=+y x 或1422=+y x C.14122=+y x D.1422=+y x 或116422=+y x4.椭圆12222=+b y a x 和k b y a x =+2222(k >0)具有A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长､短轴5.椭圆1)6(4)3(22=++-m y x 的一条准线为7=x ，则随圆的离心率e 等于 A.21 B.22 C.23 D.416.已知椭圆的两个焦点为F 1､F 2,过F 2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A ､B ,则三角形ABF 1的周长是A.20B.24C.32D.407.已知（4，2）是直线L 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则L 的方程是A.x -2y =0B.x +2y -4=0C.2x +3y+4=0D.x +2y -8=08.椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为A.1010B.1717C.13132D.37379.线段A 1A 2、B 1B 2分别是已知椭圆的长轴和短轴，F 2是椭圆的一个焦点（|A 1F 2|＞|A 2F 2|）,若该椭圆的离心率为215-，则∠A 1B 1F 2等于A.30°B.45°C.120°D.90°10.自椭圆12222=+b y a x （a >b >0）上任意一点P ，作x 轴的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是 14.A 2222=+b y a x 14.B 2222=+b y a x 14.C 2222=+b y a x 14.D 2222=+b y a x11.椭圆x 2+ 9y 2=36的右焦点到左准线的距离是A.2217B.217C.217D.22912.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)13.若F (c ,0)是椭圆12222=+b y a x 的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2mM +的点的坐标是 A.(c ,±a b 2) B.(－c ,±a b 2) C.(0,±b ) D.不存在14.已知点P (233,25)为椭圆92522y x +=1上的点,F 1,F 2是椭圆的两焦点,点Q 在线段F 1P 上,且│PQ │=│PF 2│,那么Q 分F 1P 之比是A.43B.34C.52D.3515.如图，直线l ：x -2 y +2=0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为A.51B.52C.55D.55216.已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线17.P 为椭圆12222=+b y a x 上一点,F 1､F 2为焦点,如果∠PF 1F 2=75°,∠PF 2F 1=15°,则椭圆的离心率为 A.22 B.23 C.32 D.36二、填空题1.已知F 1､F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点,AB 是过焦点F 1的弦,若︱AB ︳=8,则︱F 2A ︳+︱F 2B ︳的值是2.若A 点坐标为（1，1），F 1是5x 2+9y 2=45椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则|PA|+|PF 1|的最小值是__________.3.若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是______.4.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(-10，0)，则焦点坐标是 .5.如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+b y a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是 .6.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，A （-a ,0）,B (0,b )是两个项点，如果占F 到直线AB 的距离等于7b，则椭圆的离心率为___________.7.椭圆x 2＋4y 2＝4长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是______________.8.椭圆131222=+y x 焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|PF 1|是|PF 2|的______________.三、解答题1、已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且.∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．（1）求椭圆C的离心率；（2）求椭圆C的方程．2、已知椭圆方程为:16x2+12y2=192求:(1)它的离心率e,(2)在椭圆上求点P的坐标,使它到焦点F(0,-c)的距离为5.。
椭圆知识点归纳汇总和经典例题
椭圆知识点归纳汇总和经典例题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：椭圆的基本知识1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法.,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0),则x ＝x 0, y ＝ 20y得x 0＝x ， y 0＝2y.∵x 02＋y 02＝4, 得 x 2＋(2y )2＝4,即.142=+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆.4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．5.椭圆的对称性椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长．|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2， 即c 2＝a 2－b 2．7.椭圆的几何性质：a A 1yO F 1F 2x B 2B 1A 2c b yO F 1F 2xMc cxF 2F 1O y Mc cy xPO P 'M椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要2222x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222y x 1(a b 0)a b+=>>的有关性质。
椭圆知识点与习题
1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 2.标准方程图形性质焦点 ，，焦距范围 ，，对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 ，，轴 长轴长=，短轴长=离心率典型题一 椭圆定义1.椭圆221925x y +=的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 。
2.设1F ，2F 为椭圆400251622=+y x 的焦点，P 为椭圆上的任一点，则21F PF ∆的周长是多少？21F PF ∆的面积的最大值是多少？典型题二 椭圆的标准方程3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程.4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.典型题三 中点弦问题 点差法6.过椭圆内一点，引一条弦，使弦被点平分，求这条x y M M 22164121+=()7..过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =21x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程.典型题四 弦长公式8.设AB 是过椭圆14522=+y x 的右焦点的弦，且AB 的倾斜角为3π，求AB 所在的直线方程及AB 的弦长9.已知椭圆方程为2212x y +=，内有一条以点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭为中点的弦AB ，求AB 所在的直线l 的方程及AB 的弦长。
椭圆 知识点+例题+练习
教学内容椭圆教学目标掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．重点椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质难点椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质教学准备教学过程椭圆知识梳理1．椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距．(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(0<e<1)的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦点，定直线l叫做焦点F相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b教学效果分析教学过程考点二椭圆的几何性质【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．规律方法(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e＝ca；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．【训练2】(1)(2013·四川卷改编)从椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．(2)(2012·安徽卷)如图，F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A教学效果分析教学过程设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．【训练3】(2014·山东省实验中学诊断)设F1，F2分别是椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|＝43a.(1)求该椭圆的离心率；(2)设点M(0，－1)满足|MP|＝|MQ|，求该椭圆的方程．1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，教学效果分析|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．6．(2014·无锡模拟)设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________． 7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 8．(2013·福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．二、解答题9．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．10．(2014·绍兴模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，22在椭圆上，且点M 到两焦点距离之和为4. (1)求椭圆的方程；。
椭圆知识点及例题
四.直线和椭圆的位置关系
1.位置关系的判断：判别式法
2.相交弦：
（1）弦长公式：
（2）中点弦问题：点差法
3、点M(x0,y0)与椭圆 的位置关系：
点M在椭圆内：
点M在椭圆外：
五、例题
1、椭圆定义的应用
（1）椭圆 + =1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4,则|PF2|=？；求cos∠F1PF2
(1)2-(2)得：|PF1| | PF2| =2b2/(1+cosθ)
∴S=b2tanθ/2
二、椭圆的标准方程
三、椭圆的几何性质
以焦点在X轴的标准方程为例
1、范围：
|x| a,|y| b 即椭圆位于直线x= a、y= b围成的矩形里。
2、对称性
对称中心：O (0,0)，对称轴方程：x=0，y=0.
∠F1PF2=60º，则∆PF1F2的面积是？
2、椭圆几何性质的应用
（1）过椭圆 （a>b>0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆与点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=600,则椭圆的离心率为？
（2）已知椭圆C： （a>b>0）的离心率e= ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 ，求椭圆C的方程。
（3）已知椭圆 +y2=1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，由 =0，则点M到y轴的距离为？
（2）已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，p是椭圆上的点，A(1,1)是一定点，则|PA|+|PF|的最大值和最小值分别为？
（3）一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1外切，与圆O2：（x-3）2+y2=1内切，则动圆圆心的轨迹方程为？
（4）已知椭圆x2+9y2=9的两个焦点分别为F1，F2,
考点测试 椭圆
)
A.25
B.
30 2
C.35
D.
35 2
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答案
解析 解法一：设∠F1PF2＝2θ，0＜θ＜π2，所以 S△PF1F2＝b2tan∠F21PF2 ＝b2tanθ，由 cos∠F1PF2＝cos2θ＝ccooss22θθ－ ＋ssiinn22θθ＝11－ ＋ttaann22θθ＝35，解得 tanθ ＝12.由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，所以 S△PF1F2＝12|F1F2| ×|yP|＝12×2 3×|yP|＝6×12，解得 y2P＝3，所以 x2P＝9×1－36＝92，因此|PO| ＝ x2P＋y2P＝ 3＋92＝ 230.故选 B.
解析 因为∠F1MN＝∠F2MN＝45°，所以 F1M⊥F2M，则 MN 是∠F1MF2 的角平分线，所以||FF12MM||＝||NNFF12||，又因为 3|NF1|＝4|NF2|，所以||FF12MM||＝34，设|F1M| ＝4x，|F2M|＝3x，由椭圆定义得|F1M|＋|F2M|＝2a，即 4x＋3x＝2a，解得 x＝72a， 则|F1M|＝87a，|F2M|＝67a，则87a2＋67a2＝4c2，所以ac22＝4295，则 e＝ac＝57.
2＋m| S△F1AB 2 ，S△F2AB＝
|
2 2＋m|
＝
2
|－ |
2＋m| 2＋m| ＝2，解得
m＝－
32或
m＝－3
2(舍去)．故选 C.
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高中数学-椭圆-知识点与例题
椭圆知识点一：椭圆的定义第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和为定值)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹不存在.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=.注意：①只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；②在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b ac -=； ③椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 题型一、椭圆的定义 1、方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2、若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是3、椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为（ ）A ．4B ．2C ．8D ．23 4、椭圆2212516x y +=两焦点为12F F 、，()3,1A ，点P 在椭圆上，则1PF PA +的最大值为_____，最小值为 ___ 题型二、椭圆的标准方程5、方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是（A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号 （C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆6、若方程22153x y k k +=--， （1）表示圆，则实数k 的取值是 .（2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .7、椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 8、已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．9、已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．10、求与椭圆224936x y +=共焦点，且过点(3,2)-的椭圆方程。
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椭圆
知识点：
1、定义：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；
2、标准方程和性质：
【典例】
求下列椭圆的标准方程
(1)中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为9，离心率为0.6；
(2)对称轴是坐标轴,离心率等于，且过点(2，0)
(3)短轴长为6，且过点(1，4) ； (4)顶点(-6，0)，(6，0)，过点(3，3)
（5）椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，
2、△ABC 的两个顶点坐标分别是B (0，6)和C (0，-6)，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是-，求顶
点A 的轨迹方程.
3、在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．
已知(1)e ，和32e ⎛
⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
，
都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．求椭圆的方程
23
2
9
4
4、已知，椭圆在x 轴上的焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的顶点距离为510-，求椭圆的标准方程.
5、点M （x,y ）与定点F （c ,0）的距离和它到定直线
c a x l 2
:=
的距离的比是常数a c （a >c >0），求点M 的轨迹.
6、椭圆9x 2+25 y 2=225上有一点P ，若P 到左准线的距离是2.5，求P 到右焦点的距离.
7、F 是椭圆112162
2=+y x 的右焦点，M 是椭圆上的动点，已知点A （－2，3），当MF AM 2+取最
小值时，求点M 的坐标.
6.设AB 为过椭圆116252
2=+y x 中心的弦，F 1为左焦点.求：△A B F 1的最大面积.
【真题演练】
1.圆6x 2
+ y 2
=6的长轴的端点坐标是
A.(-1,0)､(1,0)
B.(-6,0)､(6,0)
C.(-6,0)､(6,0)
D.(0,-6)､(0,6)
2.已知F 1、F 2为椭圆122
2
2=+b y a x (a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率
23
=
e ,则椭圆的方程是
A.13422=+y x
B.131622=+y x
C.1121622=+y x
D.14162
2=+y x 3、离心率为23
,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是
A.1422=+y x
B.1422=+y x 或1422=+y x
C.1
412
2
=+y x D.142
2=+y x 或1
16422=+y x
4.椭圆1222
2=+b y a x 和k b y a x =+22
22(k >0)具有
A.相同的离心率
B.相同的焦点
C.相同的顶点
D.相同的长､短轴
5.椭圆1)6(4)3(2
2=++-m y x 的一条准线为7=x ，则随圆的离心率e 等于 A.21 B.22 C.23 D.41
6.已知椭圆
的两个焦点为F 1､F 2,过F 2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A ､B ,则三角形ABF 1的
周长是
A.20
B.24
C.32
D.40
7.已知（4，2）是直线L 被椭圆19362
2=+y x 所截得的线段的中点，则L 的方程是
A.x -2y =0
B.x +2y -4=0
C.2x +3y+4=0
D.x +2y -8=0
8.椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为
A.1010
B.1717
C.13132
D.3737
9.线段A 1A 2、B 1B 2分别是已知椭圆的长轴和短轴，F 2是椭圆的一个焦点（|A 1F 2|＞|A 2F 2|）,若该椭圆的离心率为
21
5-，则∠A 1B 1F 2等于
A.30°
B.45°
C.120°
D.90°
10.自椭圆122
22=+b y a x （a >b >0）上任意一点P ，作x 轴的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是 14.A 2222=+b y a x 14.B 2222=+b y a x 14.C 2222=+b y a x 14.D 22
22=+b y a x
11.椭圆x 2
+ 9y 2
=36的右焦点到左准线的距离是
A.2217
B.217
C.217
D.2
29
12.如果方程x 2
+ky 2
=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是
A.(0,+∞)
B.(0,2)
C.(1,+∞)
D.(0,1)
13.若F (c ,0)是椭圆122
2
2=+b y a x 的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于
2m
M +的点的坐标是 A.(c ,±a b 2) B.(－c ,±a b 2
) C.(0,±b ) D.不存在
14.已知点P (23
3,
25)为椭圆925
22y x +=1上的点,F 1,F 2是椭圆的两焦点,点Q 在线段F 1P 上,且│PQ │=│PF 2│,那么Q 分F 1P 之比是
A.43
B.34
C.52
D.35
15.如图，直线l ：x -2 y +2=0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，
该椭圆的离心率为
A.51
B.52
C.55
D.55
2
16.已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹
是
A.圆
B.椭圆
C.双曲线的一支
D.抛物线
17.P 为椭圆122
2
2=+b y a x 上一点,F 1､F 2为焦点,如果∠PF 1F 2=75°,∠PF 2F 1=15°,则椭圆的离心率为 A.22 B.23 C.32 D.36
二、填空题
1.已知F 1､F 2是椭圆19252
2=+y x 的两个焦点,AB 是过焦点F 1的弦,若︱AB ︳=8,则︱F 2A ︳+︱F 2B ︳的值是
2.若A 点坐标为（1，1），F 1是5x 2
+9y 2
=45椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则|PA|+|PF 1|的最小值是__________.
3.若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是______.
4.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(-10，0)，则焦点坐标是 .
5.如图，F 1，F 2分别为椭圆122
2
2=+b y a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，
△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是 .
6.椭圆
)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
的左焦点为F，A（-a,0）,B (0,b)是两个项点，如果占F到直线AB的距离等于7
b
，
则椭圆的离心率为___________.
7.椭圆x2＋4y2＝4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是______________.
8.椭圆
1
3
12
2
2
=
+
y
x
焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的______________.
三、解答题
1、已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且.∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）求椭圆C的方程．
2、已知椭圆方程为:16x2+12y2=192求:
(1)它的离心率e,
(2)在椭圆上求点P的坐标,使它到焦点F(0,-c)的距离为5.。