[推荐学习]2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(六十二) 参数方程 W

课时达标检测（六十二） 参数方程
1．(2018·河南息县第一高级中学段测)已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos α，
y ＝m ＋sin α
(α为参
数)，直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝1＋55t ，
y ＝4＋255
t (t 为参数)．
(1)求曲线C 与直线l 的普通方程；
(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝45
5
，求实数m 的值．
解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos α，y ＝m ＋sin α
(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －m )2＝1.由x ＝1＋
5
5
t ，得55t ＝x －1，代入y ＝4＋25
5
t ，得y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为2x －y ＋2＝0.
(2)圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋
⎝⎛⎭⎫2552
＝1，解得m ＝3或m ＝1.
2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；
(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值． 解：(1)O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝
⎛⎭⎫22，π
4对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过点O ，A ，B 的圆的普通方程为x 2
＋y 2
－2x －2y ＝0，将⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ代入可求得经过
点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4. (2)圆C 2：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋a cos θ，
y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)对应的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心
为(－1，－1)，半径为|a |，而圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，
有2＋|a |＝
(－1－1)2＋(－1－1)2，解得a ＝±2.
3．(2018·湖北宜昌模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝－1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ
(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；
(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．
解：(1)将C 的参数方程化为普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1，极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.
直线l ：y ＝x 的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R)．
(2)圆心到直线的距离d ＝|－1＋2|2＝2
2，
∴|MN |＝2
1－1
2
＝2， ∴△CMN 的面积S ＝12×2×22＝1
2
.
4．(2018·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：
⎩⎨⎧
x ＝2＋t cos α，
y ＝3＋t sin α
(t 为参数)与曲线C ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .
(1)若α＝π
3
，求线段AB 的中点M 的坐标；
(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解：(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2
＝1.
当α＝π
3
时，设点M 对应的参数为t 0.
直线l 的方程为⎩⎨
⎧
x ＝2＋12
t ，
y ＝
3＋32
t
(t 为参数)，
代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2
＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，
设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2.
则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，
所以点M 的坐标为
⎝⎛⎭⎫1213
，－313.
(2)将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α
代入曲线C 的普通方程x 24
＋y 2
＝1，
得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝
12
cos 2α＋4sin 2
α
，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2
α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0， 故tan α＝54.所以直线l 的斜率为5
4
.
5．(2018·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy 中，C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t ，
y ＝k (t －1)(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.
(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若P ，Q 分别为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．
解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ，
y ＝k (t －1)
可得其普通方程为y ＝k (x －1)，它表示过定点(1,0)，斜率为k 的
直线．
由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0可得其直角坐标方程为x 2＋y 2＋10x －6y ＋33＝0，整理得(x ＋5)2＋(y －3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．
(2)因为圆心(－5,3)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|－6k －3|1＋k 2＝|6k ＋3|
1＋k 2
，故|PQ |的最小值为
|6k ＋3|
1＋k 2
－1，故
|6k ＋3|
1＋k 2
－1＝2，得3k 2＋4k ＝0，解得k ＝0或k ＝－4
3.
6．(2018·湖南岳阳模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点O 为原点，极
轴为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋at ，
y ＝1＋t (t 为参数)．
(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；
(2)直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，当|BD |取到最小值时，求a 的值． 解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ， 即ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程：x 2＋y 2＝6y ， 配方为：x 2＋(y －3)2＝9，圆心C (0,3)，半径r ＝3.
直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋at ，
y ＝1＋t (t 为参数)，消去参数t 可得：x －ay ＋a ＋1＝0.
(2)由直线l 经过定点P (－1,1)，此点在圆的内部， 因此当CP ⊥l 时，|BD |取到最小值， 则k CP ·k l ＝1－3
－1－0×k l ＝－1，
解得k l ＝－1
2
.
∴1a ＝－1
2
，解得a ＝－2.
7．(2018·河南六市联考)在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos φ，
y ＝3sin φ(φ
为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)求曲线C 2的直角坐标方程；
(2)已知点M 是曲线C 1上任意一点，点N 是曲线C 2上任意一点，求|MN |的取值范围． 解：(1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x .
(2)将曲线C 2的方程化为标准形式为(x －1)2＋y 2＝1，它表示圆心为C 2(1,0)，半径r ＝1的圆．
由题意，|MN |max ＝|MC 2|max ＋r ，|MN |min ＝|MC 2|min －r .设M (4cos φ，3sin φ)． 则|MC 2|2＝(4cos φ－1)2＋(3sin φ－0)2＝7cos 2φ－8cos φ＋10. 当cos φ＝47时，|MC 2|2min ＝54
7；
当cos φ＝－1时，|MC 2|2max ＝25.
∴|MN |max ＝|MC 2|max ＋r ＝6，|MN |min ＝|MC 2|min －r ＝342
7
－1， ∴|MN |∈
⎣⎡⎦
⎤3427－1，6. 8．极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为
极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α
(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ
＝8cos θ.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |
的值． 解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ，得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x .
(2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)，将直线l 的方程代入y 2＝8x ，得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)，整理得sin 2α·t 2－8cos α·t －16＝0.
由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2α＝64＞0， ∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16
sin 2α＜0，
故
1|AF |＋1|BF |＝1|t 1|＋1|t 2|
＝⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2
|t 1t 2|
＝
⎝⎛⎭⎫8cos αsin 2α2＋64sin 2α16
sin 2α
＝1
2
.。