九年级数学上册23.3相似三角形《相似三角形的判定》典型例题素材(新版)华东师大版

《相似三角形的判定》典型例题

例题1 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2

．

例题2 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．

例题3 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．

例题4 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．

例题5 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：

（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB

cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．

（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．

（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．

例题6 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．

例题7．如图，在ABC ∆中，︒=∠47A ，cm 5.1=AB ，cm 2=AC ；在DEF ∆中，︒=∠47E ，cm 8.2=DE ，cm 1.2=EF ，试判断这两个三角形是否相似.

参考答案

例题1 分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．

证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ．

又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．

∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，

∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2．

说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，

b d

c a =，或c a a b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．

例题2 解答 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等；

（2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；

（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等；

（4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等；

（5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等；

（6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．

例题3 解答 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似

例题4 分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．

解答 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ，

又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以2

1==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．

例题5 解答 （1）因为

7

128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ， 所以ABC ∆∽C B A '''∆；

（2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角

都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；

（3）因为1

2,

=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆． 例题6 解答：

画法略．

例题7．错解 8.25.1=DE AB ，1

.22=EF AC ∴

1

.228.25.1≠ ∴EF AC DE AB ≠ ∴ABC ∆与DEF ∆不相似

正解 在ABC ∆与DEF ∆中，

︒=∠=∠47E A 又

4325.1==AC AB ，4

38.21.2==ED EF ∴DE EF AC AB = ∴ABC ∆∽EFD ∆

说明 判定两三角形是否相似，不能依图形的放置方向来考查，而应该按相似三角形的判定方法仔细判定，错解中没有将夹已知角的长边与长边相对应，显然是错误的.