抽屉原理一
抽屉原理
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放两个苹果。
这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。
抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。
”第一抽屉原理原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
抽屉原理证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。
原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。
第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn 个物体，与题设矛盾，故不可能。
基本介绍应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例1：同年出生的400人中至少有2个人的生日相同。
解：将一年中的365天视为365个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有2人的生日相同. 400/365=1…35,1+1=2又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同。
“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
”“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
”例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。
第12讲 抽屉原理
第12讲抽屉原理（一）（五年级菁英秋季班）课程目标：掌握抽屉原理课程重点：抽屉原理课程难点：抽屉原理教学方法建议：理论联系实际，可用实物演示。
知识要点：抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
抽屉原理2：将多于nm⨯件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于)1(+m件。
理解抽屉原理要注意以下几点：1)首先要学会构造抽屉，明确物品数要多于抽屉数。
2)不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中放入物品的数量，有的抽屉可以是空的。
3)满足要求的抽屉可能有多个，解题时只需保证有一个达到要求的抽屉就可以了。
4)将a件物品放入n个抽屉中，b=÷（b是非零自然数），至少有一个抽屉中a⋅⋅⋅nm的物品数不少于)1m件。
(+典型例题例1希望小学有500个学生，至少有几个学生在同一天过生日？解答：134=÷，1＋1＝2，至少有2人在同一天过生日。
500⋅⋅⋅1366点拨：一年中最多有366天（闰年）看作抽屉，500个学生看作物品，至少有2件物品在同一个抽屉中。
跟踪练习1有36个学生都是在7月份出生的，至少有几个学生在同一天过生日？例2 参加象棋比赛的380名运动员中，至少有几人属相相同？解答：380÷12＝32⋅⋅⋅8，32＋1＝33，至少33人属相相同。
点拨：共12种属相看作抽屉，380名运动员看作物品。
跟踪练习2把128个小球分别涂上红色、黄色或绿色，至少有几个小球同色？例3（第11届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题）自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅。
每种牌都有1点、2点、…、13点牌各一张）。
洗好后背面朝上放好。
一次至少抽取张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。
如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取张牌。
解：（1）去点数互不相同的红色牌和黑色牌各1张，此时没有2张牌得点数和颜色都相同。
抽屉原理[1].
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一、 知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中 的问题，因此，也被称为狄利克雷原则•抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.二、 抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、 抽屉原理的解题方案（一） 、利用公式进行解题 苹果十抽屉=商……余数 余数：（1）余数=1,结论：至少有（商+ 1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数=x 1Y ：X Y n-1,结论：至少有（商+ 1 ）个苹果在同一个抽屉里（3） 余数=0,结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二） 、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论， 将复杂的题目变得非常简单， 也就是常说的极限思想 “任我意” 方法、特殊值方法.知识精讲模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论【例1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有 1只，一定有一个笼子里有 2只鸽子•对吗?【巩固】 把9条金鱼任意放在 8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼.8-2抽屉原理、【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业.【巩固】年级一班学雷锋小组有13人•教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日•”你知道张老师为什么这样说吗？【巩固】数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样. 【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相冋的学生？【巩固】用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂色相冋.【例2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是冋一天？【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同.【例3】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩.【例4】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人.试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等.【巩固】五年级数学小组共有20名冋学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名冋学，他们的朋友人数一样多.【例5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？【巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由.【例6】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
抽屉原理
抽屉原理抽屉原理又叫鸽笼原理，是德国数学家狄里克雷首先发现的，所以又叫狄里克雷原理。
这类问题似乎都有“存在”、“必有”、“至少有”这样的字眼。
在解决这类问题时，只要求证明存在，一般并不要求指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。
一、原理抽屉原理(一)：把多于．．n个的物体任意分放进n个空抽屉里（n是非0自然数），那么一定有．．．．了2个物体。
．．．1个抽屉里至少放进抽屉原理(二)：把多于．．k．n个的物体任意分放进n个空抽屉里（k、n都是非0自然数），那么一定有．．．．了（k+1）个．．．1个抽屉里至少放进物体。
抽屉原理（一）是抽屉原理（二）的特殊情况。
二、解决抽屉原理问题的关键：1、确认什么是被投放的“物体”，什么是“抽屉”；2、正确构造“抽屉”——最重要的关键；3、分清问题属于下述三类问题中的哪一类。
三、抽屉原理问题的三种类型和解法（一）已知被投物体的个数和抽屉数，求某一个抽屉里至少可以放进的物体个数。
方法：要把a个物体放进n个空抽屉，如果a÷n＝b……c （c≠0且c﹤n），那么一定有一个抽屉至少可以放进（b．＋．1．）个物体。
而不是（b+c）个物体。
（二）已知被投物体的个数和某一个抽屉里至少可以放进的物体个数，求抽屉数。
方法：（被投物体的个数-1）÷（某一个抽屉里至少可以放进的物体个数－1）＝n……c (c﹤n)，则n就是所求的抽屉数。
（三）已知抽屉数和某一个抽屉里至少可以放进的物体个数，求被投物体的个数。
方法：抽屉数×（某一个抽屉里至少可以放进的物体个数－1）＋1，就是所求的被投物体的个数。
（2011—04—21）。
六年级奥数专题讲义（基础卷+提高卷）-第29讲 抽屉原理（一） 通用版（含答案）
第二十九讲抽屉原理（一）基础卷1、某校有368名1996年出生的学生，其中至少有两名学生的生日是同一天，为什么？因为一年只有365天，而有368名学生，必须有两人重复其中至少有两名学生的生日是同一天2、某年级有31名学生是4月份出生的。
是否至少有两名学生的生日是在同一天？考虑最差情况：每个抽屉都有1个元素，31÷30=1…1人，剩下的1人，无论怎样分配都会出现一个抽屉有2人出现．11=2（人），答：至少有2个学生生日是在同一天．3、学校体育室有足球、乒乓球、羽毛球、篮球四种球，每名学生从中任意借两个，那么至少要几名学生才能保证有两人所借的球属于同一种？至少要11名学生才能保证有两人所借的球属于同一种4、一只袋中装有大小相同、颜色不同球，有红、黑、白三种颜色，问最少要取出多少个球才能保证有两个同色的？最少要取出31=4个5、一只袋中装有大小相同、颜色不同的手套，颜色有红、黑、白、黄四种，问最少要摸出多少只手套才能保证有5副同色的？最少要摸出13只手套才能保证有5副同色的6、任意4个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数，这是为什么？根据题干分析可得：自然数除以3，其余数只有三种情况：0，1或2，而4个非0自然数除以3，其中就会有两个数除以3的余数相同（即同是0，1或2），用这两个数的差除以3的余数就是0，所以任意给出4个自然数，其中必有两个数的差是3的倍数．提高卷1、18个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？18÷12=1…6，11=2．答：至少有2个小朋友在同一个月出生．2、桌上有梨、苹果、橘子三种水果。
每个小朋友从中任意拿两样，那么至少要有几个小朋保证有两人所拿的水果属于同一种？拿取相同的水果：有3种拿法拿取不同的水果：有3种拿法∴共有33=6种拿法，若一定出现两种相同的拿法，则需要7个人去拿。
3、一只袋中装有红、蓝、黑色袜子各10只。
每次从袋中拿出一只袜子最少要拿出多少只才能保证其中至少有两双颜色不同的袜子红色先全部拿完,要10只,在拿黄色的1只,11只,在拿蓝色一只,12只,在随便拿一只袜子,不管是黄色还是蓝色都是2双不同颜色的袜子,所以要13只4、任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是6的倍数？任意取7个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是6的倍数。
抽屉原理
抽屉原理知识点1. 最不利原则在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最少值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
最不利原则就是从“极端糟糕”的情况开始考虑问题，也就是说：找出最坏的情况是应用最不利原则解题的关键。
2. 抽屉原理抽屉原理I：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
假定n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是l 件，或者没有。
这样n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件。
这与有多于n件物品的假设相矛盾。
说明抽屉原理I成立。
抽屉原理Ⅱ：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1件。
假定这n个抽屉中，每一个抽屉中的物品都不到(m十1)件，即每个抽屉里的物品不多于m件，这样n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。
这与多于m×n件物品的假设相矛盾。
说明原来的假设不成立。
所以抽屉原理Ⅱ成立。
运用抽屉原理解题的步骤(1)确定什么作为“抽屉”；(2)把什么当作“物品”；(3)如果满足“物品”的数量多于“抽屉”的个数，则可以根据抽屉原理得出结论。
说明：对于有些问题，同样可以运用最不利原则解答。
典型例题例1 橱柜里有木筷子6根，竹筷子8根，从中最少摸出多少根筷子，才能保证有两双不同的筷子?提示“有两双不同的筷子”，实际上就是指木筷子、竹筷子各一双，即起码要有2+2＝4(根)。
题目要求“保证有两双不同的筷子”，只摸出4根筷子是保证不了的。
从最坏的情况来考虑，一个人先摸出8根筷子，可能都是竹筷子，实际只满足了有一双筷子的要求，那么再摸2根，必然出现一双木筷子，合起来就是10根筷子。
这就是所说的“最不利情况”。
解由于先摸出8根筷子，都是竹筷子，只满足两双不同筷子要求的一部分，是最坏的情况，再摸出2根，必有一双木筷子出现。
8+2＝10(根)，所以，从中最少摸出l0根筷子，才能保证有两双不同的筷子。
抽屉原理
抽屉原理（一）一．基本原理抽屉原理一：把m 个元素分成n 类个则至少有一类有⎥⎦⎤⎢⎣⎡>n m n m ),(．抽屉原理二：把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素．二．实例精选１．有10人参加某次会议，每一位代表至少认识其余９位中的一位，证明：这１０人中至少有两人认识的人数相等．２．在前2189个正整数中任取８个数，求证：存在两个数，它们之间的比值在]3,31[内．３．已知整数{}1,0,1,,,,,,,,10211021-∈i x x x x a a a 使得对列证明：存在一个非零数 ， 和式10102211x a x a x a +++ 能被1001整除．４．任意给定正整数m ，求证：一定有m 的某一整数倍，它完全由０和１两数字组成．５．设n a a a n 是,,,21 个任意给定的整数，求证：其中一定可以找到紧连在一起的若干个数，使得它们的和可被n 整除．６．任意给定１０个自然数，试证明：可以用减、乘两种运算把它们适当连起来，其结果能被１８９０整除．７．（１）任意１００个整数，求证一定可以从中找出若干个整数，使得它们的和被100整除； （２）证明：从任意200个整数中，一定可以找出１００个数，它们的和能被１００整除．８．对于n+1个不同的自然数，如果每一个数都小于2n ，那么从中选出三个数，使其中两个数之和等于第三个数．９．设集合{}证明：,2,,3,2,1n A =（１）若Ｂ是Ａ的任一n+1阶子集，Ｂ中一定存在两个数是互素的；（２）一个可被另阶子集中存在两个数，的任意1+n A 一个整除．１０．证明：在任意的１１个无穷小数中，一定可以找到两个小数，它们的差或者含有无穷多个数字０或者含有无穷多个数字９．三．练习１．证明任意５２个正整数，一定可以找到两个数a ，b ，使a+b 或b a -被１４０整除．２．从１，４，７，１０，100,97, 这些数中，任取20个不同的整数形成一个集合A ，求证：A 中必有两组不同的数，其和都是104．３．证明：对任何自然数n ，必有其某一整数倍，使之包含9,,2,1,0 中的每一个数字． ４．设有一十进制无穷小数{}为是偶数，是奇数，且n i a a a a a a a A 21321,9,,2,1,0(.0 ∈= 为有理数的个位数，求证：A )2(21>+--n a a n n ．５．已知2n 个自然数满足下列两个条件：n a a a 221,,, .4)2(;21)1(221221n a a a n a a a n n =+++≤≤≤≤≤ 求证：)21(2n i a n i ≤≤必可表示为若干个之和．６．设m 为任一偶数，有m 个正整数，其中每一个均不超过m ，并且所有这些数的和为２m ，求证：一定可以把这m 个正整数分为两组，使得每组中各数之和均为m ．抽屉原理（二）一．基本原理抽屉原理一：把m 个元素分成n 类个则至少有一类有⎥⎦⎤⎢⎣⎡>n m n m ),(．抽屉原理二：把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素．二．抽屉的构造方法１．整除性问题：常以剩余类为抽屉；２．集合问题：常以元素的性质划分集合构造抽屉； ３．其它问题：常将状态不同的元素分类构造抽屉．三．例题精选１．平面上有定点Ａ，Ｂ和任意四点4321,,,P P P P ，求证：这四点中一定有两点j i P P , 31|s i n s i n |)(≤∠-∠≠B AP B AP j i j i 使得． 解：将正弦值的范围［０，１］分成三个区间：]1,32[],32,31[],31,0[即可．２．平面上任意５个整点，两两连接线段的中点之中一定有一个整点． 解：５个点的纵横坐标的奇偶性必有两个相同．３．坐标平面上任意给定１３个整点，其中任三点不共线，求证：必有以其中３点为顶点的三角形，其重心是整点．解：横坐标模３的余数为０，１，２，１３个点至少有５个点的横坐标模３同余；这５个点的纵坐标模３的余数为０，１，２各有一个，则取这３个，它们的纵，横坐标的和模３余０；否则，必有３个模３同余．得证．４．设正方形ＡＢＣＤ被９条直线相截，每条都把它分成２个四边形，且两者面积之比都是3:2，证明：至少有３条直线共点．解：与一组对边相交的直线至少有５条，至少有三条过点Ｐ或Ｑ５．在边长为１的正三角形内，任取７个点，其中任意三点不共线，证明：其中必有三点构成的三角形的面积不超过123． 解：关键：６．在边长为１的正方形内（包括边界）任意放１０１个点，任何三点都不共线，证明：总可以找三点，以这三点为顶点的三角形面积不大于1． 解：法一：P ∙Q∙关键：把正方形５０等分，再证明矩形内接三角形面积不超过矩形面积的一半． 法二：直接把正方形分成100个小正方形，逐步减少抽屉个数，经行33次后，必有 一个小正方形中有3个点．７．在直径为５的圆内任意放入１０个点，证明：存在两个点，它们间的距离小于２．关键：3254412225224254<-=⋅⋅⋅-+=AB８．从全世界每个城市各起飞１架飞机，分别落在离它最近的一个城市（若有几个距离一样近，可任选１个）．证明：每个城市降落的飞机一定不会超过６架． 关键：假设降落到Ａ城市的飞机多于６架，以Ａ为中心，以到它较远的Ｂ城的距离作圆，将圆６等分为６ 个区域，则至少有２架落入同一区域， 由DA CA CD ,60或则≤︒≤∠CAD ，故飞机Ｄ 应降落在Ｃ城，而不是Ａ城，矛盾．９．４９个学生解３个问题，每个问题的得分是从０到７的整数，证明存在两个学生Ａ，Ｂ，对每个问题，Ａ的得分都不小于Ｂ的得分．OACBＡＢＣＤ４四．练习１．设点Ｐ是正n 边形的一个内点，证明：该正n 边形存在两个顶点Ａ和Ｂ，使得ππ≤∠<-A P B n)21(．２．平面上任意给定６个点（它们无三点共线），试证明：总能找到三点，使得这三点为顶点的三角形的内角中有不超过︒30的角．３．边长为４的正三角形内任意放入１１个点，求证：其中有两个点，它们之间的距离不超过332． ４．圆上（圆内和边界）任取８个点，则至少有２个点，其距离小于半径．５．半径为１９的圆Ｃ内有６５０个点，证明：存在内半径为２，外半径为３的圆环，它至少盖住其中的１０个点．。
抽屉原理
抽屉原理（一）例1：五（1）班学雷锋小组有13人。
教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一个月过生日。
”你知道张老师为什么这样说吗？练习：某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？例2：五（2）班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学可以同时借两本书？练习：曹坤同学在做跳绳的练习，他1分钟至少跳多少下，才能保证他在某一秒钟内至少跳了三次？例3：幼儿园大班有25名小朋友，老师给他们分80颗糖，试说明至少有一名小朋友分到了不少于4颗糖。
例4：每个星期四是学校图书馆多五（2）班开放的日子。
这个星期四，五（2）班共有38人去图书馆办理了借书手续。
已知图书馆共有科技书、文艺书和连环画三类，且每名同学每次可以从图书馆借任意的两本书。
问这38名同学中有多少名同学借的书的种类是一样的？例5：光明小学每天共有560人在学校吃中餐。
某天中午，学校食堂共准备了4个荤菜、3个素菜和2种汤，每个同学都打了一个荤菜、一个素菜和一个汤。
问至少有多少个同学吃的菜是一样的？练习1：学校图书馆有四类图书，规定每个同学最多可以借2本书，在借书的85名同学中，可以保证至少有几个人所借书的类型完全一样的？练习2：一个旅游团一行100人，游览甲乙丙三个景点，每人至少去一处，问至少有多少人游览的地方相同？若每人去两处呢？家庭作业1、我们从大街上随便找来多少人，就可以保证他们中至少有两个属相（指牛、虎、兔、龙……）相同？2、闭上眼睛，从一个装有12个黑球、15个白球、18个红球的盒子里至少取出几个球，才能保证至少取出了一只黑球？3、某校五年级有3个班，一天五年级的5个同学在少年宫相遇，问这5个同学至少有几人是在同一班级？4、37本书分给4个小朋友，那么至少有一个小朋友拿到的书不少于几本？5、某校有366名同学是在1995年出生的，那么其中至少有几个学生的生日在同一天？6、春秋旅行社组织游客去游览长城、兵马俑、华山。
抽屉原理1
抽屉原理1：如果把（n＋1）个（或更多个）物体（元素）放进n个抽屉里去，那么，至少有一个抽屉里放进2个或2个以上物体（元素）。
抽屉原理2：如果把m*n+1个（或更多个）物体（元素）放进n个抽屉里，那么，至少有一个抽屉里放进（m＋1）个或更多个物体（元素）。
（注：大家也可以这样理解原理2：把多于mn个物体放进n个抽屉里，至少有一个抽屉放进m+1个物体。
这样可能容易理解些。
或更多个是指m*n后可以是多于1的。
原理1同理。
）抽屉原理又叫鸽子笼原则，它是十九世纪德国数学家狄利克雷最早发现并应用于数论研究的，后人为了纪念他，有时也把抽屉原理叫狄利克雷重叠原理。
运用抽屉原理来解题的思路，我们把它叫做抽屉原理思路。
其思路的主要步骤是：（1）造好抽屉，确定元素；（2）所有元素，放入抽屉（或从抽屉取出元素）；（3）根据原理，说明结论。
例1.木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？分析：把3种颜色看作3个抽屉若要符合题意，则小球的数目必须大于3大于3的最小数字是4故至少取出4个小球才能符合要求答：最少要取出4个球。
例2.11名学生到老师家借书，老师是书房中有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本，试证明：必有两个学生所借的书的类型相同分析：若学生只借一本书，则不同的类型有A、B、C、D四种若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种，共有10种类型把这10种类型看作10个“抽屉”如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同例3.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？解题关键：利用抽屉原理2。
分析：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下9种：｛足｝｛排｝｛蓝｝｛足足｝｛排排｝｛蓝蓝｝｛足排｝｛足蓝｝｛排蓝｝以这9种配组方式制造9个抽屉根据抽屉原理2，至少有6人，他们所拿的球类是完全一致的。
抽屉原理
抽屉原理
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有：
①k=[n/m]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体：当n能被m整除时。
例题：把97件玩具分给幼儿园大班的小朋友，不管怎样分都至少有一位小朋友得5件或5件以上的玩具。
问：这个班最多有多少个小朋友？
根据抽屉原理，不管怎样分都至少有一位小朋友得5件或5件以上的玩具，就是说每位小朋友都得到4个玩具后，玩具至少还要剩余1件。
97/4=24余1
也就是说最多24位小朋友。
抽屉原理(一)
抽屉原理（一）一、训练目的：1、使学生掌握抽屉原理Ⅰ与抽屉原理Ⅱ的数学形式抽屉原理Ⅰ：将n+k (k≥1)个苹果放入n个抽屉中，则必有一个抽屉中至少有2个苹果抽屉原理Ⅱ：将mn+k (k≥1)个苹果放入n个抽屉中，则必有一个抽屉中至少有（m+1）个苹果。
2、使学生理解抽屉原理的道理3、使学生掌握使用抽屉原理解题的一般步骤二、典型例题分析：构造“抽屉”例1、数学课外活动小组38名学生，他们中年龄最大的15岁，最小的13岁，那么总可找到两名学生是同年同月出生的。
点拨：将38名学生看作“苹果”，如何构造出“抽屉”使用抽屉原理是解决问题的关键。
使用抽屉原理解决问题的关键是“抽屉”的设计，“苹果”的设计及“苹果”的放法例2、在一个礼堂中有99名学生，他们中的每个人都与其中的66人相识。
那么可能出现这种情况：他们中的任何四人中都一定有两人不相识（假定相识是相互）。
点拨：注意到这题中的“可能出现…”，说明题目的结论并非条件的必然结果，而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说的结论即可。
设计“苹果”例3、一篓苹果中有三种品种：红富士、青香蕉、乔纳金。
今有一顾客来买苹果，想买三个同一品种的苹果，服务员应该至少拿出几个苹果请顾客挑选才可符合顾客的要求？点拨：请注意题目中的条件：“至少”二字，这个题目是已知“抽屉”求“苹果”个数问题。
延伸拓展例4、某校图书馆中有A、B、C、D四类书，借书的同学至多借两本书，问至少有多少个同学任意借书后，才能断定有两个人所借的书本数及类型完全相同？点拨：首先根据要求，找出学生借书共有多少种可能的情况，可把每种情况视为一个抽屉，这样，只要借书同学的人数比抽屉个数多一个，就可断言至少有两人借书的情况相同。
例5、从1、2、3、…、20这20个数中，任取11个数证明：至少有两个数，其中一个数是另一个数倍数。
点拨：显然问题的关键是能否将20个数分成10类，使同一类中任两个数都是一个数是另一数的倍数。
5.6 抽屉原理(一)
6 抽屉原理（一）学习目标:1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律，渗透“建模”思想。
2、经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
3、通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。
教学重点:1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”；2、理解“总有”“至少”的具体含义，以及为什么是商+1而不是余数+1。
教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
教学过程：一、情景体验PPT展示图片师：图片中的小朋友正在玩“抢凳子游戏”，你们玩过吗？想不想玩呢？邀请5个学生玩抢凳子游戏游戏规则：5个学生围着四张凳子转圈圈，当老师喊“坐”时，每个同学必须都坐下，谁没坐下谁犯规，听明白了吗？老师背对，开始游戏，喊“坐”，5个学生都要坐下。
师：好，老师不用看，就知道一定有一张凳子上至少坐了两名同学，对吗？假如请这5个同学再反复坐几次，老师还敢肯定地说，不管怎么坐，总有一张凳子上至少坐2名同学，你们相信吗？其实这个游戏里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理，你们想不想通过自己动手实践来发现它？（板书：抽屉原理）二、思维探索（建立知识模型）下面我们先从简单的情况入手把3个苹果放进2个抽屉里，不论怎么做，必然有一个抽屉里至少放有几个苹果？师：把3个苹果放进2个抽屉里，有几种不同的放法？你能得到什么结论？下面我们分小组合作，看哪组最新完成。
学生分组动手操作，讨论交流，老师巡视指导。
师：哪个小组愿意汇报一下你们的研究成果？（学生回答）师：老师也是这样摆放的，我们一起看一下（课件展示）师：将这四种放法用表格统计，大家观察这个表格，你能得到什么结论？师引导学生观察，得出：无论怎么放，至少有一个抽屉放两个或两个以上的苹果。
师：刚才我们是把所有情况都一一列举出来，请你们想一想，如果不用一一列举，我们能不能只要一种情况，也能得到这个结论？师引导学生用“平均分”的方法师：把3个苹果平均分到2个抽屉，每个抽屉先放1个苹果，还剩几个？（1个）这1个怎么放？（放哪个抽屉都行）你有什么发现？（无论怎么放，总有一个抽屉至少放2个苹果）师：既然是平均分，能用算式表示吗？（3÷2=1……1）这里的3指的是什么？2呢？商1呢？余数1呢？（学生回答）师：如果把5个苹果放进4个抽屉，会是什么结果呢？能用算式表示吗？生：5÷4=1……1，总有一个抽屉至少放2个苹果。
抽屉原理一
抽屉原理一
抽屉原理是一种常见的数学原理，也被称为鸽笼原理。
它的核心思想是：如果有n+1个物体要放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会放入多个物体。
这个原理可以用简单的实例来说明。
假设有10双袜子，要放入9个抽屉中。
按照抽屉原理，至少有一个抽屉中会放入两双袜子。
这是因为如果每个抽屉中最多只能放入一双袜子，那么最多只能放入9双袜子，无法放下全部的10双袜子。
抽屉原理的应用非常广泛。
在数学中，它常被用于证明某些结论。
在计算机科学中，抽屉原理也被用来解决一些问题，比如冲突检测和哈希算法中的碰撞问题等。
总之，抽屉原理告诉我们，如果要将多个物体放入有限个容器中，那么一定会有一个容器中会拥有多个物体。
这个原理的应用能帮助我们更好地理解和解决一些实际问题。
抽屉原理例题解析
抽屉原理1：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果概念解析1、把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.2、如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个〔也就是至多有1个〕，那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.3、我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相〔指鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。
等十二种生肖〕一样.怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数〔13〕比属相数〔12〕多，因此至少有两个人属相一样〔在这里，把13人看成13个“苹果〞，把12种属相看成12个“抽屉〞〕。
应用抽屉原理要注意识别“抽屉〞和“苹果〞，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。
例题讲解例1 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
例2 一副扑克牌〔去掉两王牌〕，每人随意摸两牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两牌的花况是一样的？解析〔扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2牌的花色可以有：2方块，2梅花，2红桃，2黑桃，1方块1梅花，1方块1黑桃，1方块1红桃，1梅花1黑桃，1梅花1红桃，1黑桃1红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人。
〕例3 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
抽屉原理
抽屉原理 (一)抽屉原理 多于n 个球任意方式全部放入n 个抽屉中，一定存在一个抽屉，它里面有两个或者两个以上的球。
1. 从等差数列1，4，…,100中任意取出20个数，一定存在两个数，其和为104.2. 对于不超过126的任意7个整数，总可以找出两个数a 、b ，满足2b a b <≤。
3. 从1，2，…，100中任取55个整数，一定存在两个数，其差为10.4. 在1，2，3，…，100这100个正整数中任取11个数，证明其中一定有两个数的比值不超过32.5. 如果有5个自然数1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，并且123459a a a a a <<<<≤. 证明：所有的两个数的差数（差数仍是自然数）中，至少有两个相等.6. 从1,2,3,...,100中任意取出51个数，证明：1) 有两个数互质；2) 有2个数的差为50；3) 有8个数，它们的最大公约数大于1.7. 把圆周分成12段，将1，2，3，…，11，12这12个数任意写在每一段内，使每一段恰好有一个数字. 证明：一定存在连续的三段，它们的数字和至少是20.8. 把1，2，…，10按任意次序排成一个圆圈.1) 证明：一定可以找到三个相邻的数，它们的和不小于18；2) 证明：一定可以找到三个相邻的数，它们的和不大于15.9. 任取17个彼此不同且都不超过52的正整数，求证：它们中一定存在两个数，其差要么等于4，要么等于5，要么等于9.10. 非负实数1237,,,...,a a a a 满足1237...1a a a a ++++=，记1215max k k k k M a a a ++≤≤=++，求M 的最小值。
练习1. 任意11个数中，一定有两个数，它们的差是10的倍数。
2. 设任意1n +个非负实数121,,...,n x x x +，它们满足条件01(1,2,...,1)i x i n ≤<=+，则这1n +个数中存在两个数,i j x x 使得1i j x x n-<。
第6讲抽屉原理一-完整版
第6讲抽屉原理一内容概述理解抽屉原理的根本含义,并能利用抽屉原理对一些简单问题进行说明, 在考虑某些问题时需要利用最不利原那么进行分析典型例题兴趣篇1 .学校周末要组织4个班的同学去春游,有3个地点可供选择：游乐园、植物园和动物园,如果一个班只能去一个地点,试说明：一定有2个班要去同一个地点.答案：见解析解析：设这4个班分别为一班、二班、三班和四班.先考虑一班、二班、三班,如果他们中有2个班去了相同的地点,那么已经满足题目的要求了.如果这3个班都去了不同的地点,也就是3个地点都有一个班去,那么剩下的四班只能去这3个地点中的一个,必然与前3个班中某一个班去的地点相同.由此可见,一定有2个班要去同一个地点.2 .卡莉娅、墨莫和萱萱到小高家玩,小高拿出一些巧克力来招待他们,他们一数,共有19块巧克力.如果把这些巧克力分给他们3人,试说明：一定有人至少拿到7块巧克力,但不一定有人拿到8块.答案：见解析解析：如果每人分6块,那就只分了18块,还剩1块,这块巧克力无论给谁,都会使得这个人的巧克力变为7块,这就说明,一定有人至少拿到7块巧克力.如果让卡莉娅拿7块,墨莫和萱萱各拿6块,那么一共拿了19块.这样一来,每人拿到的巧克力就不到8块,这就说明,不一定有人拿到8块巧克力.3 .-次聚会上,大家发现,有40人都是在同一年的10月出生的,试说明：他们中一定有2个人是在同一天出生的,但不一定有3个人在同一天出生.答案：见解析解析：先从40个人里抽出31个人,如果其中有2个人是在同一天出生, 那么已经满足题目要求了.如果这31个人分别在10月的1日至31日出生,那么剩下的9个人里再抽出1个人,这个人必定会和之前的31个人中的某一个人在同一天出生,由此可见,他们甲一定有2个人是在同一天出生的.但是,可以是3 1个人分别在1日至31日出生.剩下的9个人分别在1日至9习出生,所以不一定有3个人在同一天出生.4 .任意1830人中,至少有多少人的生日在同一天？答案：5人解析：1830 366 = 5 .所以至少有5人的生日在同一天.5 .有红、黄、蓝、绿4种颜色的小珠子放在同一个口袋里,每种颜色的珠子都足够多.一次至少要取几颗珠子,才能保证其中一定有2颗颜色相同？答案：5颗解析：方法一：如果取2颗珠子,它们可以是红色、黄色的珠子各一颗；如果取3颗,它们可以是红色、黄色和蓝色的珠子各1颗；如果取4颗,它们可以是红色、黄色、蓝色、绿色各1颗,而此时再取第5颗的时候就会发现,不管怎么取都会和前4颗珠子中的1颖颜色相同,由此可见,至少要取5颗,才能保证其中一定有2颗颜色相同, ’方法二：从最不利的情况考虑一一尽量取不同颜色的珠子, 看能取几颗,因为只有4种颜色,所以可以取出4颗不同颜色的珠子.这时,再取1颗珠子就会出现2颗同色的珠子.由此可见,至少要取5颗,才能保证其中一定有2颗颜色相同.6 .某校的小学生中,年龄最小的6岁,最大的13岁,从这个学校中至少选几个学生,才能保证其中一定有3个学生的年龄相同？答案：17个解析：从6岁到13岁,可能情况有：6岁、7岁、8岁、9岁、10岁、11 岁、12岁、13岁共8种不同年龄.如果从最不利的情况考虑,就是尽量不出现3个年龄相同的学生,那么每种年龄的人数最多有2个,这样一来最多能选出2 刈=16个,使得其中没有3个学生的年龄相同,如果再多项选择1人,那么这个学生必然会与某2个学生的年龄相同.因此,至少要选出16十1=17个学生,才能保证其中有3个学生的年龄相同.7 .有红、黄、蓝、绿4种颜色的铅笔各10支,拿的时候不许看铅笔的颜色, 那么一次至少要拿多少支,才能保证其中一定有4支是同一种颜色的铅笔？答案：13支解析：要拿到4支同一颜色的铅笔,最不利的情形应该是红、黄、蓝、绿 4 种颜色的铅笔都拿,而且每种都已拿3支,一共拿了 4 M—12支.如果再多拿1支,那么这支铅笔必然会与之前拿出的某种颜色的3支铅笔同色.因此,至少要拿12+1= 13支铅笔,才能保证一定会拿到4支同色的铅笔.8 . 口袋里装有红、黄、蓝、绿4种颜色的球,且每种颜色的球都有4个.小华闭着眼睛从口袋里往外摸球,那么他至少要摸出多少个球,才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？答案：13个解析：最不利的情猊应该是只剩1种颜色的球没有摸出.而其他3种颜色的球都被摸出来了.如果小华摸出的球中还差1种颜色,不妨假设缺红色,那么小华最多摸出了黄、蓝、绿各4个,一共有3>4=12个.如果再多摸1个球,这1个球必然是第4种颜色,那么小华就有了4种颜色的球.因此,至少要摸出12+1—13个球,才能保证摸出的球中每种颜色的球都有.9 . 一副扑克牌共54张,其中有2张王牌,还有黑桃、红桃、草花和方块4 种花色的牌各13张.那么：(1)至少从中摸出多少张牌,才能保证在摸出的牌中有黑桃？(2)至少从中摸出多少张牌,才能保证至少有3张牌是红桃？(3)至少从中摸出多少张牌,才能保证有5张牌是同一花色的？答案：(1) 42 张(2) 44 张(3) 19 张解析：(1)要使摸出的牌中没有黑桃,那么,最多能摸出其他3种花色全部的牌及2张王牌,一共13M+2===41张.此时只要再多摸出1张牌,这张牌必然是黑桃.因此,至少要摸出42张牌,才能保证在摸出的牌中有黑桃.(2)要使摸出的牌中红桃少于3张,最多只能摸l出2张红桃和其他所有的牌, 共2+13M+2=43张.因此,至少要摸出44张牌,才能保证在摸出的牌中至少有3张牌是红桃.(3)要使摸出的牌中没有5张同一花色的牌,最多只能摸出每种花色各4张牌,以及2张王牌,一共4X4+2=18张,因此,至少要摸出19张牌,才能保证在摸出的牌中至少有5张牌是同一花色的.10 .圆桌周围恰好有12把椅子,现在已经有一些人在桌边就座,当再有一人人座时,就必须和已就座的某个人相邻.问：已就座的最少有多少人？答案：4人解析：由题意,每人最多闿$制〞自己的椅子和旁边的2杷椅子,所以最少需要12R1+2)=4 人.把12把椅子按顺时针方向标上1号,2号,…,12号.当1、4、7、10号这四把椅子上坐人,即可满足.题意,因此已就座的最少有4人.拓展篇11 红领巾小学今年入学的一年级新生中有370人是在同一年出生的.试说明：他们中一定有2个人是在同一天出生的,答案：见解析解析：考虑这一些人,他们中要么有2人的生日相同,要么生日都不相同,如果所有人的生日都不相同,那么一年366天最多能选出366个人生日不同, 他们正好在366天中每天都有一个人生日.那么,这时还剩下370-366=4个人, 他们的生日只能与前面某个1人的生日相同.所以这370个人中一定有2个人的生日相同.12 某公司决定派95名员工去8个不同的城市进行市场调查,是不是一定有12人会去同一个城市？〞一定有13人去同一个城市〞这个说法正确吗？答案：是；不正确解析：方法一：假设每个城市不到12人去,那么每个.城市最多去11人.8 X11= 88人,还不到95人,这不可能.因此,一定会有12人去同一个城市.类似地,假设没有13人去同一个城市,那每个城市最多去12人.8X12=96人,比95人还多1人,这说明没有矛盾,只要往其中的7个城市派12人.最后；一个城市派11人,就正好派出95人.所以不一定有13人去同一个城市.方法二：派95人去8个不同的城市,平均一下应该是95 3=11……7.这说明即使每个城市派11人还不够,还得再派出7人,无论把这7人怎么派出去, 都会使得某个城市的人数多于11人,因此一定可以‘找到12人被派往同一个城市.至于是否一定有13人去同一个城市,同样由95^8=11……7可知,只要先给每个城市派出11人,然后把剩下的7人再派到7个不同城市,就只有12人被派往同一个城市了.这样就找不到13人去同一个城市了,所以不一定有13 人去同一个城市.13 任意40个人中,至少有几个人属于同一个生肖？答案：4个解析：生肖有12种,为了不至于让某种生肖的人太多,应该让每一种生肖的人数比拟接近,也就是尽量让这40个人平均分配到12个生肖中去.把生肖相同的人归为同一类,40个人分成12类,40勺2=334,这说明每一类至少有3个人,还剩,4个人再分,就一定会有某一类至少增加1个人.因此一定会有3+1=4个人被归为同一类,也就是说至少有4个人属于同一个生肖.14 -个盒子内有4个格子,现在我们闭着眼睛,把棋子往格子里“瞎放〞〔没有放到格子外的〕,那么至少要放多少枚棋子,才能保证一定有2枚棋子放在同一格内？答案：5枚解析：方法一：放2枚显然不能保证,3枚也不行,如果放4枚,恰好一个格子1枚,同样没有2枚棋子放在同一格内.但如果此时放入第5枚棋子,那就一定,会与其他4枚中的某一枚同一格.这就说明,放5枚棋子可以保证有2 枚棋子在同一格内.方法二：如果不存在2枚棋子同一格,那么每个格子最多放1枚.由于只有4个格子,所以最多只能放4枚.此时只要再多放1枚,无论放在哪一格, 都将.出现2枚棋子在同一格内.因此至少要放4+1=5枚棋子才能满足要求.15 一个鱼缸里有很多条鱼,共有5个品种,至少要捞出多少条鱼,才能保证其中有5条相同品种的鱼？答案：21条解析：“至少要捞出多少条鱼,才能保证其中有5条相同品种酌鱼〞,就是说如果少捞1条鱼,可能所有品种的鱼都不到5条,那么最不利的情况是捞了5种鱼,但每种鱼都只捞了4条,这时共捞出5必=20条鱼.在最不利情形下,只要再捞1条就能满足有5条相同品种的鱼,因此捞出20+1= 21条鱼即可.16 小高把一副围棋子混装在一个盒子中,然后每次从盒子中摸出4枚棋子, 那么他至少要摸几次,才能保证其中有3次摸出棋子的颜色情况是相同的？〔围棋子有黑、白两种颜色〕答案：11次解析：每次摸出4枚棋子,这4枚棋子的颜色有以下5种情况：4枚全白, 1黑3白,2黑2白,3黑1白,4枚全黑.如下图：I Q ♦♦叩要求有3次摸出的情况相同,那最不利的情形就是每种情况只摸出过2次,这样正好摸10次.只要再摸1次就可以满足题意.由此可见,至少要摸11次.17 在一个盒子里装着形状相同的3种口味的果冻,分别是苹果口味的、草莓口味的和牛奶口味的,每种果冻都有20个.现在闭着眼睛从盒子里拿果冻, 请问：(1)至少要从中拿出多少个,才能保证拿出的果冻中有牛奶口味的？(2)至少要从中拿出多少个,才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？答案：(1) 41个(2) 21个解析：(1)要保证拿出的果冻中有牛奶口味的,最不利的情况应该是：拿完了其他口味的果冻,但是始终没有牛奶口味的,此时共拿了20+20=40个.在这种最不利的情况下,只要再多拿1个,这个果冻必然是牛奶口味的.因此至少需要拿41个果冻,才能保证一定有牛奶口味的.(2)拿出的果冻至少有两种口味,反面情况是：所有的果冻口味都相同,那么最不利的情况是：把某一种口味的果冻拿完,还没有出现其他的口味,那么最多能拿20个.利用最不利原刚,至少要拿出20+1=21个果冻,才能保证有两种口味.18 一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些木球,其中红色的有10个,黄色的有8个,蓝色的有3个,绿色的有1个.请问：(1)-次至步要取出多少个球,才能保证取出的球至少有3种颜色？(2)-次至少要取出多少个球,才能保证其中必有红色球和黄色球？答案：(1)19个(2)15个解析：(1)要使取出的球至少有3种颜色,最不利的情况是尽量多地取出其中某2种颜色的球,且这2种颜色的球数量最多.显然红球和黄球最多,全都取出共有10+8=18个球,此时只要再多取1个球,就可保证至少有3种颜色, 因此取19个球即可.(2)要保证取出的球中必有红球和黄球,最不利的情况首先是蓝色和绿色的球都取出,并且红色和黄色的其中一种颜色的球都取出.要尽可能多地取出球,就要选择多的那种球.因此在红色和黄色中,应选择将红色球全部取出,因此最不利的情况是取出所有的蓝色、绿色以及红色球,此时共取出3+1 + 10=14个球.从而至少要取出15个球,才能保证其中必有红色球和黄色球.19 一副扑克牌共54张,其中有2张王牌,还有黑桃、红桃、草花和方块4 种花色的牌各13张,现在要从中随意取出一些牌,如果要保证在取出来的牌中至少包含3种花色,并且这3种花色的牌至少都有3张,那么最少要取出多少张牌？答案：33张解析：扑克牌中的2张王牌是不算花色的,所以最不利的情况首先要取出这2张,这时还剩下4种花色各13张,此时问题相当于要求“至少有3种花色的牌都不少于3张：反过来考虑,就是“最多只有2种花色的牌不少于3张,其余花色都不到3张：最不利的情况是使取的牌尽量多,应将其中2种花色尽量多取〔取完为止〕,剩下2种花色都取2张,包括2张大小王牌,最多能取13X2+2X2+2=32张牌,因此至少应取出33张扑克牌才能保证满足条件.20 .黑色、白色、黄色、红色的筷子各有8根,混放在一起,在黑暗中取出一些筷子,要使得这些筷子能够搭配出两双筷子〔两根筷子颜色相同即为一双〕, 那么最少要取多少根才能保证到达要求？答案：7根解析：“最少有两双〞的反义是最多只有一双,所以最不利的情况是：取出了一双筷子,再从4种颜色的筷子中各取1根,最多可以取2+1必=6根.因此最少要取出7根筷子才能保证到达要求.21 .将1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里,请问：(1)-次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？(2)-次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？(两只袜子颜色相同即为一双)答案：(1) 13只(2) 14只|解析：(1)题目不仅要求有两双袜子,并这两双的颜色要一样,也就是至少有4只同色的袜.如果每种袜子都足够多,最不利情况就是：每种颜色都只摸出3只,但现在白色和黑色都不是3只,而红色只有3只,因此最不利情况为：白色、黑色和红色全取出,其他两种颜色各3只,一共有1+2+3+2 M=12只.因此至少要摸出13只袜子才能保证有颜色相同的两双袜子.(2)题目不仅要求有两双袜子,并且这两双的颜｛色还必须不同,那么最不利情况就是：尽可能多地摸出袜子,但是能够配成一双的都是同一种颜色.绿色的袜子最多,所以把色的9只袜子全部摸出,这样能配成双的袜子全是绿色的.接下来,在剩下的四种颜色中还能各取1只袜子,共取了9+1 X4=13只.因此至少要摸出14只袜子才能保证有颜色不同的两双袜子.22 .如图,把40块巧克力放入A、B、C、D四个盒子内,A盒中放的最多, 放了13块,且四个盒子内装的巧克力的数量依次减少.那么：(I)D 盒最少可以装几块？(2)D 盒最多可以装几块？答案：(1)4块(2)8块解析：要使得D盒装的巧克力最少,那么其它三个个盒子里的巧克力应该尽可能多.A盒中放了13块,且A盒放的最多,所以B盒最多可以装12 块,C盒最多可以装11块,那么D盒最少要装40-13-12-11=4块.(2)A盒内装有13块巧克力,剩下27块,要使得D盒装的巧克力最多,B、C两盒装的应该尽可能少,但是B盒装的巧克力比C盒多,C盒又比D盒多, 因此,要使D盒装韵巧克力最多,最好是C盒比D盒多1块,B盒比D盒多2块.由于B、C、D盒一共有27块,从而D盒最多能有(27-1-2)3=8块,此时A、B 和C盒分别有13、10和9块.23 . 31个同学围成一个圆圈,坐好后发现任何2个男生之间至少有2个女生,那么最多有多少个男生？答案：10个解析：将31个位置按顺时针编为1号至31号,从1号男同学开始坐起(如图所示起点为1号).此时右边的2、3号,左边的31、30号都必须安排女生入座.沿顺时针方向看过去,要使得男生尽量多,接下来的4号位置可以安排男生.于是5、6号又必须安排女生.然后7号位置可以安排男生,8、9号仍然要安排女生……如此继续坐下云,可以发现：每个男生后面至少要有2个位置安排女生,如下图：最后,28号位置安排男生,29号和30号安排女生,此时第31号也必须安排女生,否那么如果安排男生,那他将与1号男生相邻,这不符合题目要求.因此,除了1号、4号、7号、10号、13号、16号、19号、22号、25号、28号之外,其他位置都必须安排女生,并E这样是女生最少的情况,此时男生是最多的,为10个男生.24 .现有10把钥匙分别能开10把锁,但是不知道哪把钥匙能开哪把锁, 那么最少要试验多少次才能保证使全部的钥匙和锁相匹配？答案：45次解析：第1把钥匙最不利的情况是：试验了9把锁都不匹配,但这把钥匙一定和最后一把锁匹配,不用试验第10次,因此第1把钥匙最多只需要试验9 次就够了,此时还剩9把钥匙和9把锁,同样地,试验第2把钥匙时,运气最坏时可能连试8把锁都打不开,那么最后剩下的锁一定匹配,所以第2把钥匙最多只需要试验8次就可以确定它和哪把锁匹配.同理,第3把钥匙最多只需要试验7次.第4把钥匙最多只需要试验6次……最后只剩1把钥匙和1把锁时,不需要试验,它们一定匹配.因此,要试验9+8+7+•••+1+0=45次才能使全部的锁和钥匙匹配.超越篇25 体育馆里有足球、篮球和排球3种球,一个班的50名学生去借球,每人最少借1个,最多可以借2个.请问：最少有多少名学生借到球的数量和种类完全一样？答案：6名解析：根据题意,由于每名学生只能借1个或2个球,那么所有学生借到球的可能情况分为以下9种,如下图:这9种情况可看作9个抽屉,而50名学生可看作50个苹果,学生借球即相当于将苹果放入抽屉里.由于50r=5…与,即50=5X9+5,贝4至少有5+1=6 名学生借到球的种类和数量完全一样.26 .把31个桃子分给假设干只猴子,每只猴子分得的桃子不超过3个.那么至少有几只猴子分得的桃子一样多？答案：6只解析：方法一：把这31个桃子分下去,尽量使得每只猴子分得的桃子数量不同,那分的方法自然应该是1, 2, 3, 1, 2, 3…循环下去,让每种数量尽量均匀.每组1, 2, 3〞共有6个桃子,只需5组就分完30个,还剩1个.把这个桃子分给最后一只猴子,这样就有5只猴子分得的桃子数量相同.由此可见至少有6只猴子分得的桃子数量相同.方法二：假设桃子数量相同的猴子没有6只,就意味着分得1个桃子的猴子最多5只,分得2个桃子的猴子最多5只,分得3个桃子的猴子最多5只, 这些猴子最多分到了〔1+2+3〕>5=30只桃子,不到31只,这与条件矛盾,因此必有6只猴子分得的桃子数量相同.27 有37个数,每个数为0或1.要求：当把这些数以任意的方式排列在圆周上时,总能找到6个1连排在一起,问：其中最少有多少个数是17答案：31个解析：考虑最不利的情况：最多有5个连续的1.把37个数顺时针编为1至37号,其中第1、7、13、19、25、31、37号为O,其他均为1,这时圆周上的30个1中没有6个连续的1.当放入31个1时,只有37-31=6个O,它们把31个1在圆周上分成了6 段,31毋=5……1 ,因此一定有-段至少有5+1=6个1 .所以最少要放入31个1.28 有一个大口袋,里面装着许多球,每个球上写着一个数字,其中写O的有1个,写1的有2个,写2的有3个……写9的有10个.如果闭着眼睛从袋中取球,那么至少要取出多少个球,才能保证取出的球中必有3个球上面的数字恰好组成6787 〔考虑" 9〞倒过来看是“6〞〕答案：48个解析：根据题意,袋中共有1+2+3+-+10=55个球.从反面分析,“保证有3个球上面的数字恰好组成678〞的反面是“任意3个球上的数字都不会刚好是678 7也就是说这3个球不能同时写了“678〞必89；那么这些球的可能情况有以下几种：①没有7;②没有8;③没有6、9.①不取写有数字7的球,但写着其饱数字的球全部取出,那么此时共取出55-8=47个球.②不取写有数字S的球,但写着其他数字的球全部取出,那么此时共取出55-9=46个球.③不取写有数字6和9的球,但写着其他数字的球全部取出,那么此时共取出55-7-10=38 个球.由于问题的最不利情况是取出最多的球,使得取出的3个球不能同时写有678〞或789 7比拟三种情况取出的球数,可知情况①是最不利的情况,因此至少要取出47+1= 48个球,才能保证取出的球中必有3个球上面的数字恰好组成678.29 一个袋子里有3种不同颜色的球共20个,其中有红球7个,黄球5个, 绿千^8个.现在墨莫闭着眼睛从中取球, 要保证有一种颜色的球不少于4个,那么至少要取出多少个球才能满足要求？如果还要保证另一种颜色的球不少于3个, 那么至少要取出多少个球？答案：10个；13个解析：〔l〕利用抽屉原理来计算,从3种不同颜色的球中选取,要保证有一种颜色的球不少于4个,那么至少需要取出〔4-1〕刈+1=10个球.〔2〕从这个袋子中取球,要使得有一种颜色的球不少于4个,另一种颜色的球不少于3个.它的反面可以分为以下两和情况：①如果每一种颜色的球都不到4个,那么每种颜.色的球最多取3个,一共最多能取9个球.②有一种颜色的球取出了4个以上,那么其他所有颜色的球都不到3个.那么要尽量多地取球,取出球数最多的是绿球,再从其他两种颜色的球中各取2个.此时最多能取8+2X2=12个球.比拟这两种情况,显然②比①更不利,所以至少要取出12+1=13个球才能满足要求.30 50个苹果分给8个小朋友,那么分到苹果最多的小朋友至少分到几个？如果1号小朋友最多给2个,2号最多给4个,3号最多给6个……8号最多给16个,那么得到苹果最多的小朋友至少分到几个？答案：7个,8个解析：(1)由抽屉原理：50 3=6…2,可以知道必有人得到了至少6+1=7个苹果.所以,分到苹果最多的小朋友至少分到了7个.(2)1号至8号分别拿2、4、6、7、7、7、7、7个苹果时,共拿了2+4+6+7+7+7+7+7=47个,不到50个,所以得到苹果最多的小朋友分到的苹果多于7个.1号至8号分别拿2、4、6、7、7、8、8、8个苹果时,共拿了50 个苹果,满足题意.所以得到苹果最多的小朋友至少分到8个.31 888名学生站成一个圆圈,如果任意连续32人中,至多有9名男生, 那么男生最多有多少人？答案：249人解析：任意连续32个人中,至多有9名男生,可以根据男生出现的频率估算男生大致的人数：88832 X9=249.75 .因此男生人数最多为249人.另一方面,是否确实存在这样一种排队方式,确实存在249个男生？答案是肯定的,构造方法如下：〔A 表示男生,a 表示女生〕AaaaAaaAaaaAaaAaaaAaaAaaaAaaAaaa 〞 这个32 人序列循环 27 次,再接上 AaaaAaaaAaaaAaaaAaaaAaaa 〞这个24人序列,最后围成环形？就是满足条 件的排队方式. 32 新春佳节,商场举办抽奖活动,抽奖箱中有 5种不同颜色的奖券,分别 有32、30、28、26、24张.每次可以抽出任意多张,但每抽出一张就要付 2元 钱.奖励方式如下：用15张同色的奖券换一架相同颜色的飞机模型, 用11张同 色的奖券换一架相同颜色的坦克模型,用4张同色的奖券换一架相同颜色的摩托 车模型,请问：至少要付多少元钱,才能保证可以换到三种模型,且三种模型的 颜色互不相同？答案：156元解析：考虑最不利原那么：如果抽不中15张同色的奖券,最不利情况下可以 取到14X5=70张奖券；综合起来,要想保证可以换到三种不同颜色的模型,至少要买 奖券才行,因此至少要付146元 如果抽到了 15张同色的奖券和另一种颜色的 10张同色奖券,但抽不中11 张另一种颜色的同色奖券,最不利情况下可以取到 32+10必=72张奖券; 如果抽到了 15张同色的奖券和另一种颜色的 11张同色奖券,但抽不中第三种颜色的4张同色奖券,最不利情况下可以取到32+30+3 M=71 张奖券. 72+1=73 张。
抽屉原理(一)
一副扑克牌(除去大小王)52张中有四种花 色，从中随意抽5张牌，无论怎么抽,为什么总 有两张牌是同一花色的？
四种花色
抽 牌
在数学的天地里，重要的不 是我们知道什么，而是我们怎么 知道什么。
——1个物体，放到n个抽屉里，不管怎么 放，则总有一个抽屉中至少有2个物体。
“抽屉原理”又称“鸽巢原 理”，
狄里克雷 （1805～1859）
最先是由19世纪的德国数学家 狄里克雷提出来的，所以又称
“狄里克雷原理”。
• 把5根小棒放到3个杯子里，不管怎么放， 总有一个杯子里至少有2根小棒，为什么？
• 把n+1或多于n+1个物体，放到n个抽屉里， 不管怎么放，则总有一个抽屉中至少有2个 物体。
做一做
7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同 一个鸽舍里。为什么？
做一做
7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同 一个鸽舍里。为什么？
做一做 . 六.三班13名同学中，至少有2位同学是 同一个月的生日，为什么？
第九讲 抽屉原理(一)
五年级春季第九讲抽屉原理（一）如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。
如果把4封信投到3个邮箱中，那么肯定有一个邮箱中至少有2封信。
如果把3本练习册分给两名同学，那么肯定其中有一名同学至少分到2本练习册。
这些事例中蕴含着数学中的“抽屉原理”。
基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x＋k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。
（2）如果把m×x＋k（x＞k≥1）个元素放到x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有（m＋1）个或（m＋1）个以上的元素。
利用抽屉原理解决问题时要注意区分哪些是“抽屉”，哪些是“元素”。
然后按以下步骤解答：a.构造抽屉，指出元素。
b.把元素放入（或取出抽屉）。
c.说明理由，得出结论。
本讲我们先来学习第一条原理及其应用。
典例精讲例1某校六年级有367名学生，请问有没有2名学生的生日是在同一天？为什么？【思路点拨】把一年的天数看成是抽屉，把学生数看成是元素。
把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有2名学生的生日是在同一天。
平年一年有365天，闰年一年有366天。
把天数看做抽屉，考虑闰年，共366个抽屉。
把367名学生分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有2名学生，因此肯定有2名学生的生日是在同一天。
【详细解答】例2某班学生去买语文书、数学书、英语书。
买书的情况是：有买一本的、两本的，也有买三本的，问至少要去几名学生才能保证一定能有2名学生买到相同的书？（每种书最多买一本）【思路点拨】首先考虑买书的几种可能性，买一本、两本、三本共有7中类型，把7种类型看成7个抽屉，去的人数看成元素。
要保证至少有一个抽屉里有2名学生，那么去的人数应大于抽屉数。
所以至少要去7＋1＝8（名）学生才能保证一定有2名学生买到相同的书。
买书的类型有：买一本的：有语文、数学、英语3种。
买两本的：有语文和数学、语文和英语、数学和英语3种。
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（一）做一做
1、 5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至 少飞进了2只鸽子。为什么？
5÷3＝1只„„2只 1＋ 1＝ 2只
（一）做一做
2、 11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少 飞进了3只鸽子。为什么？
11÷4＝2只„„3只 2＋ 1＝ 3只
（一）做一做
3、 5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2 人。为什么？
“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学 家狄里克雷（Dirichlet）运用于 解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”， 也称为“鸽巢原理”。“抽屉原理”的应用却 是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题， 并且常常能得到一些令人惊异的结果。“抽屉 原理”在数论、集合论、组合论中都得到了广 泛的应用。
如果有8本书会怎样呢？10本书呢？
10÷3=3（本）……1（本） 3＋1=4（本）
7÷3=2（本）…1（本） 2＋1=3（本） 10÷3=3（本）…1（本） 3＋1=4（本）
8÷3=2（本）…2（本） 2＋1=3（本）
你有什么发现？
物体数÷抽屉数＝商„„余数 商＋1=至少数
如果物体数除以抽屉数有余数,用所得的商加1, 就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1个物体”。
5÷4＝1人„„1人 1＋ 1＝ 2人
想一想，商1和余1页练习十三，第1、2、3题。
课 后 思 考：
从1、2、3……100，这100个连续自然 数中，任意取出51个不相同的数，其 中必有两个数互质，这是为什么呢？
（一）例1
把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么 放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。 “总有”和 “至少”是什 么意思？
为什么呢？
方法一
方法二
方法三
方法四
象这类问题，通常叫“抽屉原理”或“鸽笼原 理”问题，这类问题一般有物体数（像笔、苹 果、鸽子）和抽屉数（像笔筒、抽屉、鸽笼） 两个量。
抽屉原理简介：
请3位同学上来参加抢凳子游戏，第三位同学是 请女生还是男生呢？老师认为，不管是请男生 还是女生，都一定至少有两位同学的性别是相 同的。同意我的说法吗？ 游戏规则是：在老师说开始时，3位同学绕着凳 子走，当老师说停时，三位同学都要坐在椅子 上。 为什么总有一张凳子至少坐两个同学？
2：一副扑克牌（大、小王除外），5个同学任 意抽取1张，老师就可以肯定，至少有 2 张牌 是同一花色的。你相信吗？
把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有 一个抽屉里至少放进3本书。为什么？
7÷3=2（本）……1（本）
把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有 一个抽屉里至少放进3本书。为什么？
7÷3=2（本）……1（本） 2＋1=3（本）
如果有8本书会怎样呢？10本书呢？
8÷3=2（本）……2（本） 2＋1=3（本）