2006.11.29抛物线及其标准方程(二)

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抛物线及其标准方程(优秀课件)

抛物线与圆的焦点与准线：对于抛物线，焦点在准线上；对于圆，焦点
在圆外
抛物线与圆的离心率：对于抛物线，离心率恒为1；对于圆，离心率
恒为0
抛物线的应用与拓展
第七章
抛物线在几何中的应用
● 定义与性质：抛物线是一种特殊的二次曲线，具有对称性和准线等性质。 ● 方程与标准形式：抛物线的方程有多种形式，其中最常用的是标准方程y^2=4px。 ● 焦点与准线：抛物线的焦点位于其对称轴上，准线则是垂直于对称轴的直线。 ● 离心率：抛物线的离心率始终为1，这是其与椭圆和双曲线的重要区别。 ● 焦半径公式：对于抛物线上的任意一点P，其到焦点F的距离PF等于到准线L的距离PL。 ● 焦点弦长公式：对于抛物线上的任意两点AB，其到焦点的距离之和AF+BF等于到准线的距离之和AL+BL。 ● 切线性质：抛物线上任意一点的切线与该点的射影垂直，且切线斜率等于该点横坐标的平方根。 ● 切线方程：抛物线上任意一点的切线方程可以表示为y=kx^2，其中k为切线斜率。 ● 切线与准线的关系：抛物线上任意一点的切线与准线平行，且切线与准线的距离等于该点到焦点的距离。 ● 切线与直线的交点：抛物线上任意一点的切线与过该点的直线交于一点，该点坐标为(x0,y0)。
抛物线及其标准方程
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01 添加目录标题 02 抛物线的定义与性质 03 抛物线的标准方程 04 抛物线的几何意义与图像特征 05 抛物线与直线的关系
06 抛物线与圆的关系
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第一章
抛物线的定义与性质

抛物线及其标准方程

抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。

抛物线及其标准方程课件

(1)y2=-12x;(2)3x2-4y=0;(3)x=32y2;(4)y2=ax(a≠0).
思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,
求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.பைடு நூலகம்
解(1)由方程 y2=-12x 知,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半

轴上,2p=12,所以 p=6,2=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为
解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴
或x轴的负半轴上.
设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).
将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),
解得2p=16或2p=2,
故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.
(2)因为直线 x+4y+6=0 与坐标轴的交点为(-6,0),
轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形
式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而
得到抛物线的标准方程.
2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题:
(1)注意开口方向与方程间的对应关系;
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样
可以减少讨论情况的个数;
2 2 4
1
- ,0
4
,准线方程为
1
x= .
4
综上可知,当 a≠0 时,抛物线 x=-ay2 的焦点坐标为 1
线方程为 x=4.
1
,0
4
,准
纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若
不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想

抛物线的标准方程形式

抛物线的标准方程形式
抛物线标准方程是：y²=2px（p>0）；y²=-2px（p>0）；x²=2py（p>0）；x²=-2py（p>0）。

抛物线是平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。

它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。

它在几何光学和力学中有重要的用处。

抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。

抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

抛物线的几何性质：
（1）设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。

且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。

（2）过抛物线上一点P作准线的垂线PA，则∠APF的平分线与抛物线切于P。

〈为性质（1）第二部分的逆定理〉从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。

（3）设抛物线上一点P（P不是顶点）的切线与法线分别交轴于A、B，则F为AB中点。

这个性质可以推出抛物线的光学性质，即经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。

各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。

抛物线及其标准方程

p 2 ,0 )
准线L： x = -
p 2
o
.
x
其中p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离(焦准距)
但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。
三抛物线的标准方程
抛物线的标准方程还有哪些形式?
想一想？
其它形式的抛物线的焦点与准线呢？
L
y
o
F
p F( ，0) 2
L： χ＝－
y2＝2pχ
p 2
x
(p＞0)
y
p ，0) F(－ 2
F o
L
χ＝
p 2
x
y2＝－2pχ
(p＞0)
y
χ2＝2py
p F(0， ) 2
(p＞0)
F o x L
p L： y ＝－ 2
p ) F(0，－ 2
o F
y
p L： y ＝ 2
L
χ2＝－2py (p＞0)
2)已知抛物线焦点在X轴上,焦准距为2,求它的标准方程 3)已知抛物线的焦准距为2,求它的标准方程
1 4)若抛物线的准线方程是x , 4 求它的标准方程
例3：求以原点为顶点,坐标轴 y 为对称轴且过 A 点A（-3，2）的抛物线的 O 标准方程。
．
x
例3：求焦点在直线2x+3y-6=0上的抛物线的标准方程。
抛物线及其标准方程
抛物线的生活实例探照灯的灯面
一抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
L N
M
注1 定点F叫做抛物线的焦点。
2 定直线L叫做抛物线的准线

[抛物线的标准方程ppt]抛物线及其标准方程

［抛物线的标准方程ppt］抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程篇1:抛物线教学课件抛物线教学课件《抛物线及其标准方程》是普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学选修2-1第二章第四节第一课时的内容，是学习抛物线这种圆锥曲线的起始课，是在学习了椭圆与双曲线之后的又一重要内容，根据抛物线定义推出的标准方程，也为下一节用代数方法研究抛物线的几何性质和几何性质的应用提供了必要的工具和基础．因此，它是圆锥曲线这章的重要的组成部分．《抛物线及其标准方程》的重点是抛物线的定义和抛物线标准方程．难点是抛物线标准方程的推导．抛物线作为点的轨迹，标准方程的推出过程充满了辩证法，处处是数与形之间的对照、翻译和相互转换．抛物线标准方程的结构和形式不仅依赖于坐标系的选择，还依赖于焦点和准线间的相互位置关系．因此，抛物线标准方程的推导是培养学生数形结合思想的好素材．1．知识与技能通过“几何特征”的分析，让学生由观察与思考后理解抛物线的定义；通过类比椭圆和双曲线的标准方程的推导过程，让学生探究出抛物线的标准方程；在研究方程与抛物线定义的过程中，让学生能够根据已知条件写出抛物线的标准方程，根据所给的抛物线方程写出焦点坐标、准线方程．2．过程与方法掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解解析法，培养学生解决数学问题时的观察、类比、分析、计算能力．3．情感态度与价值观通过本节课的学习，让学生体验研究解析几何的基本思想，进一步体会数形结合的思想．1．学生已有认知基础学生已经学习了椭圆和双曲线，对圆锥曲线有了初步的认识．通过曲线与方程的学习已经对解析法有了一定的了解．2．达成目标所需要的认知基础学生需要对研究的目标、方法和途径有初步的认识，需要具备较好的归纳、猜想和推理能力．3．难点及突破策略难点：1．对抛物线的重新认识；2．抛物线的标准方程的推导；突破策略：1．教师通过几何画板来让学生直观的观察抛物线的形成过程，以便加深对抛物线定义的深入理解．2．组织小组交流活动，展现抛物线标准方程推导的思维过程，相互评价，相互启发，促进反思．以多媒体课件为依托，以看—画—想—研—用为学生学习的主线，来完成本节课的教学．用几何画板工具画出抛物线的形成过程，让学生在动态演示过程中理解抛物线的定义，突出教学重点．通过类比椭圆和双曲线的研究过程，让学生通过自主思考，合作交流，分组展示体验抛物线的标准方程的推导过程，来突破教学难点．将抛物线标准方程、焦点坐标、准线方程等列表，让学生填充表格，通过表格将它们对比，发现异同点，寻找规律，全面掌握所学知识．通过当堂检测检验学习效果，达到堂堂清的目的．一、新课导入通过二次函数的图象是抛物线，以及生活中抛物线的实例让学生了解抛物线，提高学生学习抛物线的学习热情．二、讲授新课（一）抛物线的定义问题一：抛物线到底有怎样的几何特征？用几何画板展示抛物线的形成过程，引导学生总结出抛物线的定义．设计意图：让学生直观感受抛物线，培养学生观察总结归纳的能力．抛物线定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．问题二：如果定义中经过点，那么动点的轨迹又是什么呢？学生思考后回答：如果经过点，那么动点的轨迹是经过点且垂直于直线的直线．设计意图：通过学生画图让学生加深对定义中细节的理解．（二）抛物线的标准方程通过类比椭圆与双曲线的学习过程，提出给出抛物线定义后应根据定义得出抛物线的标准方程，让学生回顾求曲线方程的一般步骤是什么？求轨迹方程的步骤1.建立适当的直角坐标系，用有序实数对（某,y）表示曲线上任意一点M 的坐标；2.写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）}3.用坐标表示条件P（M）,列出方程f（某,y）=04•化方程f（某,y）=0为最简形式5．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．设计意图：通过复习回顾让学生进一步加深对解析法的理解．问题一：已知定点到定直线的距离为,如何建立适当的坐标系，从而得出抛物线的标准方程？先由学生思考，然后教师点拨，提出类比椭圆和双曲线在求标准方程时的建系方法，由学生提出相应建系方案，分组合作交流，最后展示结果．以线段所在直线为轴，以线段的中点为原点建立平面直角坐标系得到的方程形式最简单．其方程是设计意图：如何建系体现最优化方案，通过严谨细致的分析，展现知识的发生、发展形成的过程，进一步加强过程性教学．抛物线在坐标平面内的位置不同，同一条抛物线的标准方程还有其他几种形式．让学生自主完成66页的表格，并展示结果．问题二：观察抛物线的几种不同形式的标准方程，方程有什么特点？设计意图：通过类比椭圆的标准方程的特点，让学生来自主观察总结抛物线标准方程的特点，培养学生归纳总结能力．例1．（1）已知抛物线的标准方程是,求它的焦点坐标和准线方程;（2）已知抛物线的焦点是,求它的标准方程．由学生口答完成此例题．设计意图：巩固所学知识，学以致用．三、当堂检测1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程；2．根据下列条件写出抛物线的标准方程;由学生自主完成，其中第一题第二问要注意学生的易错点的总结；第三题要注意启发学生用多种方法解题．设计意图：检测本节课学习效果，做到堂堂清．四、归纳总结这节课你有哪些收获？学生总结后回答，教师补充归纳．设计意图：通过问题的形式，师生共同回顾教学过程与内容，系统整理知识点，完善知识结构．五、布置作业课后A组1-4题设计意图：进一步巩固所学知识．抛物线及其标准方程篇2:高三数学教学进度和复习计划一、目的针对艺考生普遍数学基础薄弱，为使他们在八月到十二月完成数学第一轮复习，为了能做到有计划、有步骤、有效率地完成高三数学学科教学复习工作，正确把握整个复习工作的节奏，明确不同阶段的复习任务及其目标，做到针对性强，使各方面工作的具体要求落实到位，特制定此计划，并作出具体要求。

抛物线及其标准方程优秀课件

准线位置：根据抛物线准线的位置，可以分为准线平行于x轴、准线平行于y轴和准线不平行于坐标轴三种。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程推导
抛物线的定义：一个平面曲线，它的所有点都位于一个固定点（焦点）和一条固定直线（准线）之间。
抛物线的标准方程：y^2 = 4px，其中p是焦点到准线的距离。
抛物线的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
抛物线的对称轴为x=-b/2a。结论：二次函数的对称轴与抛物线的对称轴相同，都为x=-b/2a。
抛物线的准线方程
准线的定义：抛物线上任意一点到准线的
距离相等
准线的方程： x=-p（开口方向为x轴正方向）或x=p（开口方向为x轴负方
向）
准线的性质：准线是与抛物线对称轴平行的直线，离抛
物线最近
准线的作用：利用准线方程可以求出抛物线上任意一点
的坐标
抛物线的解析性质
抛物线的导数与切线斜率
抛物线在建筑美学中的应用：古罗马建筑中的抛物线元素
抛物线在建筑美学中的应用：桥梁、隧道等交通设施中的抛物线应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
抛物线在建筑美学中的应用：现代建筑中的抛物线设计
抛物线在建筑美学中的应用：室内设计中的抛物线元素
物理学中的抛物线应用
光学应用：抛物线镜面可以聚焦光线，用于制造望远镜、显微镜等光学仪器。
抛物线的渐近线方程
定义：抛物线与直线y=±x 的交点形成的直线

抛物线及其标准方程课件

则a22＝m·－a4，所以m＝－a. 即抛物线方程为x2＝－ay.
将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，
即y＝－0.a82.
欲使卡车通过隧道，应有y－
－a4
＞3，即
a 4
－
0.82 a
＞
3.
因为a＞0，所以a＞12.21.所以a应取13.
归纳升华 1．考查抛物线知识的实际应用时，首先要建系，将题目转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的知识解答． 2．在建立抛物线的标准方程时，应以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．
类型2 抛物线定义的应用(互动探究) [典例2] 设P是抛物线y2＝4x上一个动点，若B(3， 2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．解析：如图所示，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|. 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 答案：4
类型3 抛物线的实际应用 [典例3] 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值．解：如图所示，以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的坐标为a2，－a4. 设隧道所在的抛物线方程为x2＝my，
2．抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程焦点坐标准线方程
y2＝2px(p＞0)
p2，0
y2＝－2px(p＞0) －p2，0
x2＝2py(p＞0)
0，p2

抛物线及其标准方程课件

三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
p的几何意义是: 焦点到准线的距离
焦点坐标是 ( p , 0) , 2
p 准线方程为: x
2
y .M(X,y)
O
.
F

x
l
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
是 (2.88,0)
（1）变量x(y)的幂次谁是一次，则焦点在谁上;
（2）一次项系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向.
抛物线焦点位置及开口方向的判断
“焦点位置看幂次，开口方向看正负”
y2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x2 2 py -y，y轴负半轴，向下
p的几何意义是: 焦点到准线的距离
想一焦点想坐:标坐是标(系2p的, 0建) ,立准还线有方没程有为其: 它x 方案2p也
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ 会使抛物线方程的形式如此简单？
y
y
y
ox
ox o x
y
o
x
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标
( p ,0) 2
解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。
设抛物线的标准方程是 y2 2 px( p 0) ， y
由已知条件

抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程篇一：抛物线定义及标准方程一、复习预习备考双曲线的基本性质，标准方程以及方程的带发修行、应用领域二、知识讲解(一)求出课题我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线――抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．恳请大家思索两个问题：问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被指出就是电离物体的运转轨道；在数学中，抛物线就是二次函数的图象？问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴就是平行于y轴、开口向上或开口向上两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．(二)抛物线的定义1．回顾平面内与一个定点f的距离和一条的定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时就是椭圆，当e＞1时就是双曲线，那么当e=1时，它又就是什么曲线？2．简单实验例如图2-29，把一根直尺紧固在画图板内直线l的边线上，一块三角板的一条直角边紧邻直尺的边缘；把一条绳子的一端紧固于三角板另一条直角边上的点a，撷取绳子的长等同于a至直线l的距离ac，并且把绳子另一端紧固在图板上的一点f；用一支铅笔扣着绳子，正对着三角板的这条直角边把绳子紧绷，然后并使三角板正对着直尺左右滑动，这样铅笔就汤泽市一条曲线，这条曲线叫作抛物线．反反复复模拟后，恳请同学们去概括抛物线的定义，教师总结．3．定义这样，可以把抛物线的定义归纳成：平面内与一定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点f不在定直线l上)．定点f叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(三)抛物线的标准方程设定点f到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？使学生议论一下，教师巡查，鼓舞辅导，最后直观小结创建直角坐标系则的几种方案：方案1：(由第一组同学顺利完成，恳请一优等生演板．)以l为y轴，过点f与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点f(p，0)，动点m的坐标为(x，y)，过m作md⊥y轴于d，抛物线的集合为：p={m||mf|=|md|}．化简后得：y2=2px-p2(p＞0)．方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点f为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点m的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点f(0，0)，过m作md⊥l于d，抛物线的集合为：p={m||mf|=|md|}．化简得：y2=2px+p2(p＞0)．方案3：(由第三、四组同学顺利完成，恳请一优等生演板．)慧媛焦点f且旋转轴准线l的直线为x轴，x轴与l处设k，以线段kf的垂直平分线为y轴，创建直角坐标系则(图2-32)．抛物线上的点m(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={m||mf|=d}．篇二：抛物线及其标准方程(公开课)2.4.1抛物线及其标准方程一、三维目标（一）知识与技能（1）掌控抛物线的定义、几何图形（2）可以推论抛物线的标准方程（3）能利用取值条件谋抛物线的标准方程（二）过程与方法通过“观察”、“思考”、“探究”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。

《抛物线及标准方程》课件

抛物线及标准方程
抛物线及标准方程的PPT课件，通过图像和公式深入讲解抛物线的定义、形状以及应用。欢迎收看这次精彩的授课内容！
什么是抛物线
抛物线是一种特殊的曲线，具有独特的形状和特征。我们将学习抛物线的定义、形状以及它在现实生活中的具体应用。
抛物线的表示方式
抛物线的表示方式包括使用一元二次方程的通解、领头项与公共项，并学习如何将标准形式与顶点形式进行转换。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程提供了了解抛物线图形特征的重要信息，包括对称轴和顶点的位置，以及图像的开口方向等。
应用案例分析
通过具体的应用案例分析，我们将学习如何使用抛物线的标准方程来求解顶点，并判断抛物线的开口方向和定点是否在抛物线上。
总结与展望ห้องสมุดไป่ตู้
通过学习抛物线的基础知识和应用，在高中数学中我们能够深入理解抛物线的重要性，并为进一步探究抛物线提供了有趣的方向。

抛物线及其标准方程-2

y
M
由定义可知，
K o
· · F
x
p2 p ( x ) y2 x 2 2
化简得
y2 = 2px（p＞0）
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2 方程 y
= 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
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例2、求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2 =2py，得p=
当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2 = -2px，
9 4
．
A
y
O
x
4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = x 3 2
第一：一次项的变量如为 X（或 Y）则X轴（或Y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上呀！！！第二：一次项的系数决定了开口方向
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例1、（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的方程是y = －6x2，求它的焦点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。
一、定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点。定直线l 叫做抛物线的准线。 N l
M
· F ·
即:
MF ︳︳若 1, 则点 M的轨迹是抛物线。︳ MN ︳
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抛物线及其标准方程2

抛物线及其标准方程(2)
抛物线的标准方程：
标准方程 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点准线
F( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
2
则点M到准线的距离是
，点M的横坐标是
.
(2)抛物线 y2 12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是
.
(3)焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是什么？
(4)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上一点p(-3,a)到焦点的距离为5，则抛物线的方程为______________.
l
yA1AF来自B1Bx
例4、在抛物线 y2=8x 上求一点P，使P到焦点F 的距离与到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值 .
y
K
P
Q
O 2F 4x
例5、已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，-3）到焦点距离为5，求m的值，抛物线标准方程和准线方程.
练习2：
(1)抛物线y2 2 px( p 0) 上一点 M 到焦点的距离是a(a p )
x p 2
y
F
x o
F(0, p) 2
y p 2
y
o
x
F
F (0, p) 2
y p 2
二、例题选讲：
例2、点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,
求点M的轨迹方程.
y
x+5=0
M
o F(4,0)

抛物线及其标准方程(二)精选教学PPT课件

小时候，我可以在母亲的背上无忧无虑的长大，是母亲编织了女儿的梦，点燃了心中那盏灯，伴我走过人生那坎坷的路程。我想不起病重的母亲是怎样背着我走路，我是怎样在母亲背上长大，可想而知，有病的母亲比健康的人更艰难。是母亲让我学会了人之初，做人做事的道理。当时我不懂母亲的心，她的爱她的温柔，她的关怀和牵挂，不懂事的我在母亲的包容下慢慢地长大，当我知道和读懂母亲的时候，母亲含着眼泪，带着多少担忧与牵挂永远的离开了我。我唯一的靠山倒了，但是母亲教会了我在逆境中学会坚强，勇敢地面对困难和失败，适应任何环境而求生存，这就是我的母亲留给我的无比珍贵的财富和爱。母亲虽然走了，可她永远活在我的心里，我永远怀念她，她是我地唯一，无人取代，也是我的最爱，更是难忘的爱！我想不起小姨妈在母亲有病的时候是怎样抱着我，还是背着我，我不知道，从小姨妈对那段往事的回忆中，我才知道别人对她的冷眼，天寒地冷的无奈…… 我才知道她的棉衣前襟是明亮发光的，而且经常是湿地；才知道烧无烟煤时熏黑了的脸上那双有黑有大的眼睛的明亮。那时候小姨妈只有十六岁，一个失去父母关爱的小女孩，能在姐姐病重的时候撑起一个家，还带着一个不满周岁的孩子，可想而知，这是多么不容易的事，每当小姨妈讲起那段往事，我就想起那苦难无助地童年，小姨妈无私的爱，让我永远难忘。小姨妈的人生很苦，很少有人去关她，可是她却为我们这些没有母爱的孩子现出了她的青春和所有的爱。我母亲去世后小姨妈也经常照顾我，关心我。她不但关爱我，还有我的三姨家兄弟妹们。还在我母亲没有去世时，我的三姨妈由于有病去世了，留下四个孩子，最小的才两岁，她为了照顾这四个孩子，就和我三姨父结婚，把他们养大成人，现在孩子们都有了自己的家，可是小姨妈由于劳累过度，而病倒了，现在病在床上不能自理，当我今年回家看到小姨妈时，我很惭愧，她为我们付出的太多了，可我们又给了她什么，她看到我时那含泪的笑容，我才体会到母爱的无私和伟大，也许她不求我们什么，能常回家看看足矣，可我们却做不到，当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔· 泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不到！” 猎狗听了很不服气地辩解道：“我已经尽力而为了呀！” 再说兔子带着枪伤成功地逃生回家了，兄弟们都围过来惊讶地问它：“那只猎狗很凶呀，你又带了伤，是怎么甩掉它的呢？” 兔子说：“它是尽力而为，我是竭尽全力呀！它没追上我，最多挨一顿骂，而我若不竭尽全力地跑，可就没命了呀！” 泰勒牧师讲完故事之后，又向全班郑重其事地承诺：谁要是能背出《圣经· 马太福音》中第五章到第七章的全部内容，他就邀请谁去西雅图的“太空针”高塔餐厅参加免费聚餐会。《圣经· 马太福音》中第五章到第七章的全部内容有几万字，而且不押韵，要背诵其全文无疑有相当大的难度。尽管参加免费聚餐会是许多学生梦寐以求的事情，但是几乎所有的人都浅尝则止，望而却步了。几天后，班中一个11岁的男孩，胸有成竹地站在泰勒牧师的面前，从头到尾地按要求背诵下来，竟然一字不漏，没出一点差错，而且到了最后，简直成了声情并茂的朗诵。泰勒牧师比别人更清楚，就是在成年的信徒中，能背诵这些篇幅的人也是罕见的，何况是一个孩子。泰勒牧师在赞叹男孩那惊人记忆力的同时，不禁好奇地问：“你为什么能背下这么长的文字呢？” 这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔· 盖茨。泰勒牧师讲的故事和比尔· 盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。

抛物线的标准方程及性质

抛物线的标准方程及性质一、抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线想一想: 定义中的定点与定直线有何位置关系?点F 不在直线L 上,即过点F 做直线垂直于l 于F ，|FK|=P 则P>0 求抛物线的方程解：设取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，线段KF 的中垂线y 轴设︱KF ︱= p 则F （0,2p ），l ：x = -2p 。

设抛物线上任意一点M （X ，Y ）定义可知 |MF|=|MN| 即：2)2(22px y P x +=+-化简得y 2 = 2px （p ＞0）二、标准方程把方程y 2 = 2px （p ＞0）叫做抛物线的标准方程，其中F （2P ，0），l ：x = - 2P而p 的几何意义是: 焦点到准线的距离|FK|一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.1．四种抛物线的标准方程对比图形标准方程焦点坐标准线方程)0(22>=p px y⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -=)0(22>-=p px y⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 2px =)0(22>=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p2py -=)0(22>-=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2py =2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来？顶点在原点三、抛物线的性质设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则（1）范围：抛物线上的点(x ,y )的横坐标x 的取值范围是x ≥0.,在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。

（2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.（3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。

2006.11.29抛物线及其标准方程(二)

抛物线及其标准方程(优秀课件)

抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程 课件

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