高三数学下册第二次联考检测试题1
湖北省十一校2023-2024学年高三下学期第二次联考数学试题及答案 (1)
湖北省十一校2023-2024学年高三下学期第二次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2|3100M x x x =+−<，{|N y y ==，则=MN （ ） A ．[)0,2 B ．[)1,2 C ．[)5,2−D ．()5,2−2．已知i 为虚数单位，复数z 满足2i z z +=，则z 的虚部为（ ） A ．1−B ．1C ．iD ．i −3．若πtan 24α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ）A ．35 B ．35−C ．45D ．45−4．已知向量a ，b ，满足a b a b ==−，则()·a a b +=（ ） A ．212aB ．212bC ．()212a b + D ．()212a b −5．如图，A 是平面α内一定点，B 是平面α外一定点，且AB =直线AB 与平面α所成角为45︒，设平面α内动点M 到点,A B 的距离相等，则线段AM 的长度的最小值为（ ）A ．4B ．C ．2D 6．()()6211x ax x +−−的展开式中2x 的系数是2−，则实数a 的值为（ ） A ．0B ．3C ．1−D ．2−7．平面直角坐标系xOy 中，已知点(),0A a −，(),0B a 其中0a >，若圆()()22212x a y a a −++−−=上存在点P 满足23PA PB a ⋅=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[1,)+∞8．若对于任意正数x y ，，不等式()1ln ln x x x y ay +≥−恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．311,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题9．若()2100,1.5X N ~，则下列说法正确的有（ ）A ．()11002P X <= B ．() 1.5E X =C ．()()101.598.5P X P X <=>D ．()()97101.598.5103P X P X <<=<<10．如图所示的数阵的特点是：每行每列都成等差数列，该数列一共有n 行n 列()100n ≥，ij a 表示第i 行第j 列的数，比如237a =，5421a =，则（ ）A ．7750a =B ．数字65在这个数阵中出现的次数为8次C ．1ij a i j =⨯+D ．这个数阵中2n 个数的和()2214n n S +=11．用平面α截圆柱面，圆柱的轴与平面α所成角记为θ，当θ为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切．下列结论中正确的有（ ）A ．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等B ．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距12O O 相等C ．所得椭圆的离心率cos e θ=D ．其中12G G 为椭圆长轴，R 为球1O 半径，有1tan2R AG θ=⋅三、填空题12．已知函数()()1,0ln 1,0x x f x x x +≤⎧=⎨+>⎩，则关于x 的不等式()1f x ≤的解集为 ．13．在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，,E F 分别是,BC AD 的中点，将四边形ABEF 沿EF 折起使得二面角1A EF D −−的大小为90°，则三棱锥1A CDE −的外接球的表面积为 ．14．已知在数列{}n a 中，111,a a +∈N ，数列{}n a 的前n 和为n S ，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，1477S =，则100S = ．四、解答题15．在平面四边形ABCD 中，AB =3AC =，BC = (1)求cos BCA ∠的值；(2)若12cos ,cos 13BCD ADC ∠=−∠=AD 的长．16．如图所示，平面ACFE ⊥平面ABCD ，且四边形ACFE 是矩形，在四边形ABCD 中，120ADC ∠=︒，2226AB AD CD BC ，(1)若23EMEF ，求证：//AM 平面BDF ； (2)若直线BF 与平面ABCD 所成角为π6，求平面BED 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值.17．2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S 运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n 的样本进行调查，调查结果如下表：附：2()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．(1)完成上述列联表，依据小概率值0.05α=的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量n 的最小值；(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．已知小华同学答出三个问题的概率分别是34，23，12，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）18．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为12，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，1F 为左焦点，且1ABF(1)求椭圆M 的标准方程：(2)设椭圆M 的右顶点为C 、P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点．（i ）若点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，点D 在椭圆M 上且位于x 轴下方，直线PD 交x 轴于点F ，设APF和CDF 的面积分别为1S ，2S 若1232S S −=，求点D 的坐标：（ii ）若直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ，求证：2QN QC k k −为定值，并求出此定值（其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．19．我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积()()(),()0(),()0bab a f x dx f x A f x dx f x ⎧>⎪⎪=⎨⎪−<⎪⎩⎰⎰，其中()()()b af x dx F b F a =−⎰，()()F x f x ='．如果平面图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线1C 可以表示为()1y f x =，曲线2C 可以表示为()2y f x =，那么阴影区域的面积()()()21ba A f x f x dx =−⎰，其中()2121()()()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx −=−⎰⎰⎰．(1)如图，连续函数()y f x =在区间[]3,2−−与[]2,3的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间[]2,0−与[]0,2的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设()0()xF x f t dt =⎰．求()()5234F F −的值；(2)在曲线()2(0)f x x x =≥上某一个点处作切线，便之与曲线和x 轴所围成的面积为112，求切线方程；(3)正项数列{}n b 是以公差为d （d 为常数，0d >）的等差数列，11b =，两条抛物线21n n y b x b =+，()2111n n y b x n N b +++=+∈记它们交点的横坐标的绝对值为n a ，两条抛物线围成的封闭图形的面积为n S ，求证：121243n nS S S a a a +++<．参考答案：1．A【分析】分别求出集合M 、N ，从而得到M N ⋂.【详解】解不等式23100x x +−<得52x −<<，所以()5,2M =−，0≥得[)0,N =+∞ [)0,2∴=M N故选：A 2．B【分析】设复数,(,R)z a bi a b =+∈，根据题意，列出方程求得1b ，进而求得复数z 的虚部，得到答案.【详解】设复数,(,R)z a bi a b =+∈，因为2i z z +=，可得(2)i i a b a b ++=+，可得2222(2)a b a b ++=+， 解得1b，所以复数z 的虚部为1b −=.故选：B. 3．B【分析】根据两角差的正切公式求出tan α，再利用二倍角的正弦公式化简求得答案.【详解】由πtan 1tan 241tan ααα−⎛⎫−== ⎪+⎝⎭，得tan 3α=−， 2222sin cos 2tan 3sin22sin cos sin cos 1tan 5ααααααααα∴====−++.故选：B. 4．C【分析】根据已知条件可得向量,a b 的夹角为60︒，212a b a ⋅=，再利用数量积运算可得解. 【详解】由a b a b ==−，可得向量,a b 的夹角为60︒， 212a b a ∴⋅=， 2222211222132a ab a a b a a a a b b b ∴⋅+=+⋅=+⋅+=+=（）（）. 故选：C. 5．A【分析】根据题意，得到动点M 的轨迹是线段AB 的中垂面与平面α的交线，取AB 的中点C ，结合sin 45ACAM =，即可求解. 【详解】如图所示，因为点M 到点,A B 的距离相等， 可得动点M 的轨迹是线段AB 的中垂面与平面α的交线，又因为AB =AB 与平面α所成角为45︒，取AB 的中点C ，可得CM AB ⊥，则线段AM 的最小值为24sin 4522ABACAM ===. 故选：A.6．D【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.【详解】对()61x −，有()()166C 1C k kk k kk T x x +=−=−， 故()()6211x ax x +−−的展开式中2x 的系数为：()()()2012666C 21C 11115C 6a a =+⋅−⋅+−−−⋅⋅=−−，即2a =−.故选：D. 7．D【分析】设(,)P x y ，可得点P 在圆2224x y a +=上，又点P 在圆()()22212x a y a a −++−−=上，故两圆相交，结合两圆相交定义计算即可得. 【详解】设(,)P x y ，23PA PB a ⋅=，则()()223x a x a y a +−+=，即2224x y a +=，即点P 亦在圆2224x y a +=上，圆心为()0,0，半径12r a =，又点P 在圆()()22212x a y a a −++−−=上，圆心为()1,2a a −+，半径2r a=，故两圆相交，即有2112r r r r −≤+，整理可得222507250a a a a ⎧++≥⎨−−≥⎩且0a >，解得1a ≥.故选：D.8．C【分析】对不等式分离参数得到ln x y x a y x y ≥−，令yt x=，构造函数ln 1()t g t t −=，()0,t ∞∈+，则max ()a g t ≥，通过导数研究()g t 单调性求出最大值即可. 【详解】由不等式()1ln ln x x x y ay +≥−恒成立，且00，x y >>， 分离参数得()ln ln ay x y x x ≥−−，所以()ln ln x x a y x y y ≥−−，即ln x y xa y x y≥−， 设y t x=，得ln 1t a t −≥，()0,t ∞∈+，设ln 1()t g t t −=，()0,t ∞∈+，则max ()a g t ≥.22ln ()tg t t−'=，由()0g t '=得2e t =，当2(0,)e t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增；当2(,)e t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减；所以2max 22211()()e e eg t g −===. 所以21a e ≥. 故选：C. 9．ACD【分析】根据题意，得到期望为100μ=，方差为221.5σ=，结合正态分布曲线的对称性，逐项判定，即可求解. 【详解】由2(100,1.5)XN ，可得期望为100μ=，方差为221.5σ=，对于A 中，根据正态分布曲线的对称性，可得1(100)2P X <=，所以A 正确； 对于B 中，因为100μ=，即()100E X =，所以B 不正确；对于C 中，根据正态分布曲线的对称性，可得(101.5)(98.5)P X P X <=<，所以C 正确； 对于D 中，由正态分布曲线的性质，可得(97101.5)(2)P X P X μσμσ<<=−<<+， 且(98.5103)(2)P X P X μσμσ<<=−<<+，可得(97101.5)(98.5103)P X P X <<=<<，所以D 正确. 故选：ACD. 10．AC【分析】选项AC 可由等差数列的基本量法确定；选项B 把65代入通项，求出共有7种组合可得B 错误；选项D 代入特殊值检验可判断为错误.【详解】对于A ，C 选项：第i 行是以()1i +为首项，以i 为公差的等差数列，()()111ij a i j i i j ∴=++−⋅=⋅+，所以7777150a =⨯+=，故A ，C 正确； 对于B 选项：06152433425160165,6422222222222222ij a i j i j =⋅+=∴⋅==⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯故共出现7次，故B 错误； 对于D 选项，令1n =时，()222112144n n S +⨯===，而数阵中无1，故D 错误；故选：AC. 11．ABC【分析】过点P 作线段EF ，EF 分别与球1O 、2O 切于点F 、E ，结合球的切线的性质与椭圆定义即可得A 、B ，借助离心率的定义可得C ，借助正切函数的定义可得D.【详解】对A ，B ：过点P 作线段EF ，EF 分别与球1O 、2O 切于点F 、E ， 由图可知，1PF 、2PF 分别与球1O 、2O 切于点1F 、2F ， 故有1212PF PF PF PE EF O O +=+==，由椭圆定义可知，该椭圆以1F 、2F 为焦点，12O O 为长轴长，故B 正确， 由1PF 与球1O 切于点1F ，故111O F OF ⊥， 有2222221111O F OO OF a c b =−=−=，即有椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A 正确； 对C:由题意可得11O OF θ=∠，则11cos OF c e a OO θ===，故C 正确；对D ：由题意可得111AG FG =，1111O OF AO F θ=∠=∠，故111tan 2FG AG R Rθ==，即1tan 2AG R θ=，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题关键在于作出线段EF ，从而可结合球的切线的性质与椭圆定义逐项判断. 12．(],e 1−∞−【分析】根据分段函数的性质及对数函数的单调性解不等式可得结果. 【详解】当0x ≤时，()11f x x =+≤得0x ≤，0x ∴≤当0x >时，()()ln 11f x x =+≤，得1e 1x −<≤−，所以0e 1x <≤−， 综上：()1f x ≤的解集为(],e 1−∞−， 故答案为：(],e 1−∞−. 13．34π【分析】将三棱锥1A CDE −补形成长方体，将问题转化成求长方体的外接球，再利用长方体外接球直径即长方体体对角线长，即可求出结果.【详解】由题意，可将三棱锥1A CDE −补形成长方体，则长方体的外接球也即三棱锥1A CDE −的外接球，设长方体外接球半径为R ，则2222(2)33434R =++=，得到2434R =，所以24π34πS R ==球，故答案为：34π. 14．3750−【分析】由已知可得数列{}n a 为等差数列，根据1477S =，可得111713110a a +=，结合111,N a a +∈，求得11112,2a a ==，得解.【详解】n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以设n S An B n =+，,A B 为常数，2n S An Bn ∴=+，1a A B ∴=+，当2n ≥时，()()221112n n n a S S An Bn A n B n An A B −=−=+−−−−=−+，*2,N n a An A B n ∴=−+∈，则12n n a a A −−=（常数）.∴数列{}n a 为等差数列，1477S =，()()1144117777a a a a ∴+=+=，所以1414111111a a a a =−⎧⎨=−⎩，即141111*********a a a a a a −=−⎧⎨−=−⎩，即111131127211d a d a =−⎧⎨=−⎩，则()1111111111137a a a a d −−−−==，111713110a a ∴+=，111,N a a +∈，1110313a ∴≤， 经检验可得11112,2a a ==， 则111110a a d −==−，13n a n ∴=−， ()252n n n S −⋅∴=，1003750S ∴=−.故答案为：3750−. 15．(2)52【分析】（1）根据条件，利用余弦定理，即可求出结果；（2）根据（1）中结果及条件，求得sin ACD ∠，sin ADC ∠，再利用正弦定理即可求出结果.【详解】（1）在ABC 中，由余弦定理可得：222cos 2AC BC AB BCA AC BC+−∠=⋅，又AB =3AC =，BC =cos BCA ∠==. （2）由（1）知cos BCA ∠=sin BCA ∠===，又12cos 13BCD ∠=−，所以5sin 13BCD ∠===，所以()sin sin sin cos cos sin ACD BCD BCA BCD BCA BCD BCA ∠=∠−∠=∠∠−∠∠51213213226=⋅+⋅=，又cos 5ADC ∠=，所以2sin 5ADC ∠==， 在ACD 中，由正弦定理可得：sin sin AC ADADC ACD =∠∠，得到32526，所以52AD =.16．(1)证明见解析【分析】（1）由几何关系证明四边形ABCD 是等腰梯形，再由长度关系得到四边形AOFM 是平行四边形，最后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建系，利用线面角求出F 点坐标，再分别求出平面BED 的法向量和平面BCF 的法向量，代入二面角的向量公式即可求解.【详解】（1）证明：连接BD 与AC 交于点O ，连接,AM OF ，3AD CD ==，120ADC ∠=︒，30DCA ∴∠=，222cos1202AD DC AC ADDC，即AC =，又3,6AB BC ==，则222AB AC BC +=，90CAB ∴∠=︒，30DAC ACB ∠=∠=︒，所以四边形ABCD 是等腰梯形，//AD BC 且12AD BC =， 1133AOAC EF MF ，所以四边形AOFM 是平行四边形，//AM OF 又AM ⊄面BDF ，OF ⊂面BDF ，所以//AM 平面BDF .（2）因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，且四边形ACFE 是矩形，AC 为两平面的交线，AE AC ⊥， 所以⊥AE 平面ABCD ， 建立如图所示空间直角坐标系，由BF 与平面ABCD 所成角为π6，易知CF ⊥面ABCD 可得π6FBC ∠=，所以π6tan236CF，因为ADC △为等腰三角形，且30DAC ∠=︒， 所以点D 的横坐标长度为33cos302AD ，纵坐标长度为32，()()((30,3,0,,,0,0,,,02B C F E D ⎫∴−⎪⎪⎝⎭，则(0,BE =−， 39,022BD ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭，()33,3,0BC =− ，(33,3,BF =−，设平面BED 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111130339022BE ny BD n x y ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩， 取2y =，(123,2,n ∴=，设平面BCF 的法向量为()2222,,n x y z =，则222222233303330BC ny BF n y ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，取1x =，()21,n ∴=，1212122cos cos,12n n n n n n θ⋅∴====即平面BED 与平面BCF . 17．(1)min 40n =(2)选择方案一，理由见解析【分析】（1）先补全22⨯列联表，求得2χ关于n 的表达式，再利用独立性检验得到关于n 的不等式，解之即可得解；（2）利用独立事件的概率公式分别求得方案一与方案二中小化晋级的概率，再比较即可得解.【详解】（1）零假设为0H ：关注航天事业发展与学生群体无关，根据列联表中的数据，经计算得到22825510733263101055n n n n n n n n n n χ⎛⎫⋅⋅− ⎪⎝⎭==⋅⋅⋅， 因为依据小概率值0.05α=的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，所以28 3.84130.2563nn χ=>⇒>，由题可知，n 是10的倍数，min 40n ∴=（2）记小华同学答出三个问题的事件分别A ，B ，C ， 则()34P A =，()23P B =，()12P C =， 记选择方案一通过的概率为1P ，则()()()()1P P ABC P ABC P ABC P ABC =+++ 3213111213211743243243243224=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； 记选择方案二通过的概率为2P ， 则()()()2111333P P AB P BC P AC =++132213129343324272⎛⎫=⋅⋅+⋅+⋅= ⎪⎝⎭； 12P P >，∴小华应该选择方案一.18．(1)22143x y +=(2)（i ）31,2D ⎛⎫− ⎪⎝⎭；（ii）证明见解析，2【分析】（1）依题意可得121()2c a a c b ⎧=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩a 、b 、c ，即可得解；（2）（i ）连接PC ，由面积公式推导出3122DPCAPCOPCSS S===，从而得到//OD PC ，即可求出OD 的方程，联立直线与椭圆方程，求出D 点坐标；（ii ）设直线QC 的斜率为k ，QC 的方程为()2y k x =−，再求出直线AB 的方程，联立求出Q 、P 点坐标，从而求出BP 的方程，即可求出N 点坐标，再由斜率公式计算可得.【详解】（1）由题意得121()2c a a c b ⎧=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩222c a b =−，解得21a c b ⎧=⎪=⎨⎪⎩，∴椭圆M 的标准方程为22143x y += （2）（i ）由（1）可得()2,0C ，连接PC ，因为1APFS S =，2DCFS S=，所以121334222APCDPCDPCS S S SS −=−=⨯⨯−=， 3122DPCAPCOPCSS S∴===，//OD PC ∴，所以2302312O PCD k k −=−=−=， 所以直线OD 的方程为32y =−，联立2232143y x x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得132D D x y =⎧⎪⎨=−⎪⎩或132D D x y =−⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）， 31,2D ⎛⎫∴− ⎪⎝⎭.（ii ）设直线QC 的斜率为k ，则直线QC 的方程为：()2y k x =−，又(B ，()2,0A −，直线AB的方程为2)y x =+，由()22)yk x y x ⎧=−⎪⎨=+⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以Q ，由22(2)143y k x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)1616120k x k x k +−+−=，由()()422Δ25643416120k k k =−+−>，则221612234P k x k −=+，所以228634P k x k −=+，则()2228612223434P P k ky k x k k k ⎛⎫−−=−=−= ⎪++⎝⎭， 2228612,3434k k P k k ⎛⎫−−∴ ⎪++⎝⎭， 依题意B 、P 不重合，所以2860k −≠，即k ≠所以22222121234868634BPk kk k k k k −−−−+−−+==， ∴直线BP的方程为y x =令0y =0x =，解得x =，N ⎫∴⎪⎪⎭，12QNk k ∴===+，2QN QC k k ∴−=.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.19．(1)π4(2)21y x =− (3)证明见解析【分析】（1）根据所给新定义、公式计算即可；（2）利用导数求出切线方程，根据公式计算面积，据此求出切线方程中参数，得解； （3）根据所给面积公式及定积分的运算得出1413n n n n S d a b b +=⋅，利用裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）由题意可知()()20π22F f t dt ==⎰，()()30ππ33π288F f t dt ==−=⎰，55π3π(2)(3)π44284F F ∴−=⋅−=. （2）设切点为()200 ,A x x ，()0,0C x ，切线的斜率为02y x '=，则切线方程为()20002y x x x x −=−，所以切线与轴的交点为0,02x B ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以由题意可知围成的面积：02320000*********x ABCS x dx Sx x x x =−=−⋅=⇒=⎰, 所以切点坐标为()1,1A ，切线方程为21y x =−.（3）联立2122111111n n n n n n n y b x b a b b y b x b +++⎧=+⎪⎛⎫⎪⇒=⎨ ⎪⎝⎭⎪=+⎪⎩， 由对称性可知，两条抛物线围成的封闭图形的面积为22210111122n a n n n n n n n d S b x b x dx dx dx b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+−+=−+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰, 令()21n n d f x dx b b +=−+，()()()313n n d dxF x f x F x x C b b +=⇒=−++'（C 为常数）, ()()()32301121033na n n n n n n n da d d f x dx F a F ab b b b ++⎛⎫∴=−=−+= ⎪⎝⎭⎰，321413n n n d S b b +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，114141133n n n n n n S d a b b b b ++⎛⎫∴=⋅=− ⎪⎝⎭，则1212122311141111114114333n n n n n S S S a a a b b b b b b b b ++⎛⎫⎛⎫+++=−+−++−=−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
湖北省十一校2023届高三下学期第二次联考数学试题
一、单选题二、多选题1.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃大约还需要（ ）（参考数据：，）A ．8分钟B ．9分钟C ．10分钟D ．11分钟2. 集合A =，，从A ，B 中各取一个数，则这两数之和等于5的概率是（ ）A．B．C．D．3.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（ ）A．B．C．D．4. 对任意向量､，下列关系式中不恒成立的是（ ）A．B．C．D．5. 设分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与相切，与的渐近线在第一象限内的交点是，若轴，则双曲线的离心率等于（ ）A．B ．2C．D ．46. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．7.已知直线与， 轴的正半轴分别交于点，，与直线交于点，若（为坐标原点），则， 的值分别为A ．，B ．，C ．，D．，8.已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．9. 已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．710. 已知函数，若，则的值可以为（ ）A．B．C．D．11.数列满足，，表示落在区间的项数，其中，则（ ）A．B．湖北省十一校2023届高三下学期第二次联考数学试题湖北省十一校2023届高三下学期第二次联考数学试题三、填空题四、解答题C．D．12.已知正方体的棱长为分别为棱的点，且，若点为正方体内部（含边界）点，满足：为实数，则下列说法正确的是（ ）A ．点的轨迹为菱形及其内部B．当时，点的轨迹长度为C．最小值为D ．当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为13. 设x ，，向量，，，且，，则______．14. 双曲线的两条渐近线的方程为_____.15. 已知函数(是常数，是自然对数的底数，)在区间内存在两个极值点，则实数的取值范围是__________．16. 设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，且(1)求证：；(2)若的面积为，求.17. 已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，且满足（为自然对数的底数，）．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：．18. 如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是BC ，AB 1的中点．（1）证明：DE ∥平面ACC 1A 1；（2）若BB 1＝1，证明：C 1D ⊥平面ADE ．19. 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于两点．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若，求直线的方程；(3)设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．20.已知圆心在原点的圆被直线截得的弦长为（1）求圆的方程；（2）设动直线与圆交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；21. 已知等比数列为递增数列，，是与的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)若项数为n的数列满足：（，2，3，…，n）我们称其为n项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列为项的“对称数列”，其中，，，…，是公差为2的等差数列，数列的最大项等于.记数列的前项和为，若，求k.。
2024届高三六校第二次联考联考数学试卷及答案
东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第二次六校联考试题数学命题人：广州二中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合},02|{},1log |{22≤--=<∈=x x x B x Z x A 则=B A （）A.｝，｛10B.｝｛1 C.｝｛1,0,1- D.}2101{，，，-2.已知21)sin(=+πα，则=+)2cos(πα()A.21B.21-C.23 D.23-3.“1>x 且1>y ”是“1>xy 且2>+y x ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，B A 、两点在河的同侧，且B A 、两点均不可到达.现需测B A 、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点D C 、，测得km CD 23=，同时在D C 、两点分别测得CDB ADB ∠=∠︒=30,,45,60︒=∠︒=∠ACB ACD 则B A 、两点间的距离为()A.23B.43C.36 D.466．已知函数)2cos(sin )6cos(4)(x x x x f ωπωω-++=，其中0>ω.若函数)(x f 在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为()A.310 B.21 C.23 D.2多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知ABC ∆中角B A ,的对边分别为,,b a 则可作为“b a >”的充要条件的是（)A.B A sin sin >B．B A cos cos <C．BA tan tan >D．BA 2sin 2sin >11.已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论中正确结论为()A.若0k =，则()f x 有两个零点B.0k ∃<，使得()f x 有一个零点C.0k ∃<，使得()f x 有三个零点D.0k ∃>，使得()f x 有三个零点13.已知)(x f 定义域为]1,1[-,值域为]1,0[,且0)()(=--x f x f ,写出一个满足条件的)(x f 的解析式是14.已知函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为______四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题10分)已知ABC ∆中角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 满足.cos 3cos cos C C abB a c =+（1）求C sin 的值；（2）若23,2=+=c b a ，求ABC ∆的面积．18.(本小题12分)如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，现对这块地进行改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60︒角的线段DE 和DF （60,EDF ∠=︒F E ,分别在边AC AB ,上），与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上花草进行绿化改造，设BDE α∠=．（1）当︒=60α时，求花草绿化区域AEDF 的面积；（2）求花草绿化区域AEDF 的面积()S α的取值范围．已知函数()2ln xf x ea x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+.21.(本小题12分)已知函数()ln(1)xf x e x =+（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）设)(')(x f x g =，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞,有()()().f s t f s f t +>+22．(本小题12分)已知函数()axf x xe =.（1）求()f x 在[]0,2上的最大值；（2）已知()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，若存在12,x x R ∈，12x x <，使得()()12f x f x =，证明：21x x ee >.东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第二次六校联考试题标准答案及评分标准一、单项选择题二、多项选择题123456789101112B A A D D ACCABBCDABDACD三、填空题：（每小题5分，共20分）13.]1,1[|,|)(-∈=x x x f 或者]1,1[,2cos)(-∈=x xx f π或者21)(x x f -=或者...14.)62sin(2)(π+=x x f 15.2,1416.()2,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题17.【解析】（1）解法一：c cos B+bcosC ＝3a cos C ．由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==得sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos C ，....2分所以sin(B ＋C )＝3sin A cos C ，..........3分由于A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ，则sin A ＝3sin A cos C ．因为0<A <π，所以sin A ≠0，cos C ＝13...........4分因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223...........5分解法二：因为c cos B+bcosC ＝3a cos C ．所以由余弦定理得c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝(3a －b )×a 2＋b 2－c 22ab，化简得a 2＋b 2－c 2＝23ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23ab 2ab ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.（2）由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，.......7分及23,2=+=c b a ，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝18，即(a －b )2＋43ab ＝18.所以ab ＝12.......8分所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×12×223＝4 2........10分18．【解析】（1）当60α= 时，//DE AC ，//DF AB∴四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形又)2122sin 602ABC S km ∆=⨯⨯⨯= ，)2111sin 602BDE CDF S S km∆∆==⨯⨯⨯=∴)22km =................3分（2）方法一：由题意知：3090α<< ,BD=CD=1()())1sin 602ABC BDE CDF S S S S BE CF BE CF α∆∆∆∴=--=+=+ ......4分在BDE ∆中，120BED α∠=- ，由正弦定理得：()sin sin 120BE αα=-............5分在CDF ∆中，120CDF α∠=︒-，CFD α∠=由正弦定理得：()sin 120sin CF αα-=.............6分()()sin 120s sin sin sin 120BE CF αααα-∴+=+=- ....................7分令21tan 23sin sin 21cos 23sin )120sin(+=+=-︒=ααααααt 3090α<< ⎪⎭⎫⎝⎛∈∴+∞∈∴2,21),33(tan t α.................10分)(1t f t t CF BE =+=+()上单调递增．，在上单调递减；在21)(1,21)(11)('2t f t f t t f ⎪⎭⎫⎝⎛∴-= 25,2[)(∈∴t f 即52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭()Sα∴)4BE CF +∈⎝⎦即花草地块面积()S α的取值范围为⎝⎦..................12分方法二：由已知得++,++,BED B EDF FDC απαπ∠∠=∠∠=又,3B EDF π∠=∠=所以BED FDC ∴∠=∠，在BED ∆和CDF ∆中有：60,B C BED FDC ︒∠=∠=∠=∠，BED CDF ∴∆∆ ，得CFBDDC BE =又D 是BC 的中点，11DC BD BE FC ∴==∴⋅=,且当E 在点A 时，12CF =，所以122CF <<，所以111211)222S BE CF BE CF =⨯⨯-⨯=+，设CF x =，1BE x=，且122x <<，令1y x x =+，则()()2222+11111x x x y x x x '--=-==，112x ∴<<时，10,y y x x '<=+在112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，12x <<时，10,y y x x '>=+在(1,2)上单调递增，1x ∴=时，1y x x =+有最小值2，当12x =或2x =时，152y x x =+=，所以面积S的取值范围是82⎛ ⎝⎦.19.【解析】（1）()3()cos()sin()sin sin cos cos sin 2f x x A x x A x A x π=+⋅-=-..........2分2sin cos sin cos sin x x A A x=-()sin 21cos 211sin cos cos cos 22222x x A A A x A -=⨯-⨯=-+-，...........4分故()max111cos 224f x A =-+=，故1cos 2A =.因为()0,A π∈，故3A π=...............5分（2）1111()cos cos 2cos 22323234f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故1()2(())cos 243g x f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，令()s g x =，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()g x 的图象如图所示：可得[]1,1s ∈-，............6分方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有两个不同的解又[]1,1s ∈-，下面考虑2410s ms -+=在[]1,1-上的解的情况.若2160m ∆=-=，则4m =-或4m =（舍）当4m =-时，方程的解为12s =-，此时1cos 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭仅有一解，故方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有一个解，舍...........8分若2160m ∆=->，则4m <-或4m >,此时2410s ms -+=在R 有两个不同的实数根)(,2121s s s s <，当4m <-时，则120,0s s <<，要使得方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有两个不同的解，则1210,10s s -≤<-≤<.令()241h s s ms =-+，则()()41010800m h m h <-⎧⎪-≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪>⎪⎩，解得54m -≤<-............12分综上，m 的取值范围为：[)5,4--.20.【解析】（1）()f x 的定义域为()0,,+∞()22(0)xaf x e x x'=->.....1分当a ≤0时，()()0f x f x ''>，没有零点；......2分.当0a >时，因为2xe 单调递增，ax-单调递增，所以()f x '在()0,+∞单调递增，...3分当b 满足0＜b＜4a 且b＜14时，即若41,1<≥b a 时，04242)41(')('<-≤-=<e a e f b f;若414,10<<<<a b a 时，04242)4(')('2<-<-=<e e a f b f a;则()0f b '<...5分另法：0→x 时),0( ,022>-∞→-→a xa e x所以-∞→→)(',0x f x 且)('x f 在)0(∞+，上是连续的,所以必存在b 使得()0f b '<,又()0f a '>即有0)(')('<b f a f ,故当0a >时()f x '存在唯一零点.……6分（2）当0a >时由（1），可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()f x '＜0；当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0...........7分故()f x 在()0+∞，单调递减，在()0x +∞，单调递增，所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ......8分由于=)('0x f 02020x ae x -=，............9分所以()0002221212a f x ax a n a a n x a a=++≥+......11分故当0a >时，()221f x a a na≥+.……12分21．【解析】（1）因为)1ln()(x e x f x+=,所以0)0(=f ，即切点坐标为)0,0(，..1分又]11)1[ln()(xx e x f x+++=',∴切线斜率1)0(='=f k ∴切线方程为x y =.....3分（2）令11)1[ln()()(xx e x f x g x+++='=则)1(112)1[ln()(2x x x e x g x+-+++='.......................4分令2)1(112)1ln()(x x x x h +-+++=,则0)1(1)1(2)1(211)(3232>++=+++-+='x x x x x x h ,∴)(x h 在),0[+∞上单调递增，.........6分∴01)0()(>=≥h x h ∴0)(>'x g 在),0[+∞上恒成立∴)(x g 在),0[+∞上单调递增..7分（3）解：待证不等式等价于)0()()()(f t f s f t s f ->-+，令)0,()()()(>-+=t x x f t x f x m ，只需证)0()(m x m >..........8分∵)1ln()1ln()()()(x e t x ex f t x f x m x tx +-++=-+=+)()(1)1ln(1)1ln()(x g t x g xe x e t x e t x e x m x x t x tx -+=+-+-+++++='++.........10分由（2）知11)1[ln()()(xx e x f x g x+++='=在),0[+∞上单调递增，∴)()(x g t x g >+...........11分∴0)(>'x m ∴)(x m 在),0(+∞上单调递增，又因为0,>t x ∴)0()(m x m >，所以命题得证.....12分22.【解析】（1）()()()1ax ax f x xe ax e ''==+，.............1分当0a ≥时，则10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立.所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增.则()f x 的最大值为()()2max 22a f x f e ==；.........2分当0a <时，令10ax +=，即1x a=-当()10,2a -∈，即12a <-时，当10,x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时()0f x ¢>，()f x 在10,a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增.当1,2x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时()0f x '<，()f x 在1,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，()max11f x f a ea ⎛⎫=-=-⎪⎝∴ ⎭.3分当[)12,a -∈+∞即102a -≤<时，10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增.则()f x 的最大值为()()2max 22a f x f e ==；........4分综上所述：当12a ≥-时()()2max 22a f x f e ==；当12a <-时()max11f a ea f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭...5分（2）因为()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，所以()()110a f a e '=+=，则1a =-，即()()1x f x x e -'=-.当1x <时，()0f x ¢>，则()f x 在(),1∞-上单调递增当1x >时，()0f x '<，则()f x 在()1,+∞上单调递减.又因为0x <时有()0f x <；0x >时有()0f x >，根据图象可知，若()()12f x f x =，则有1201x x <<<；......7分要证21x x e e >，只需证211ln x x >-；...............8分又因为101x <<，所以11ln 1x ->；因为()f x 在()1,+∞上单调递减，从而只需证明()()()1211ln f x f x f x =<-，只需证()()()1111ln 1ln 11111ln 1ln 1ln x x x x x x e e x e eex ---<--==.只需证()1111ln 1,01x e x x -+<<<.......................10分设()()()1ln ,0,1th t e t t -=+∈，则()11tte h t t--'=.由()f x 的单调性可知,()()11f t f e≤=.则1t te e -≤，即110t te --≥.所以()0h t '>，即()h t 在()0,1t ∈上单调递增.所以()()11h t h <=.从而不等式21x x e e >得证............12分。
高三数学第二次联考试题卷(附答案)
高三数学第二次联考试题卷数 学（理工类）考试时量:120分钟,试卷满分:150分.参考公式：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U = {1，2，3，4，5，6，7}，A = {3，4，5}，B = {1，3，6}，则A ∩(U B ð)等于 （ ） A ．{4，5} B ．{2，4，5，7} C ．{1，6}D ．{3}2. 若a 、b 是两条不重合直线，α、β是两个不重合的平面，则α∥β的一个充分而不必要条件是（ ）（A ）a α⊂，b α⊂，a ∥β且b ∥β （B ）a α⊂，b β⊂，且a ∥b （C ）a α⊥，b β⊥，且a ∥b （D ）a ∥α，b ∥β，且a ∥b 如果事件A 、B 互斥，那么 P (A + B ) = P (A ) + P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A · B ) + P (A ) · P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 k n k knn p p C k P --=)1()( 球的表面积公式 24R S π=其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径3. 在等差数列{}n a 中，1120a =，4d =-，若()2n n S a n ≤≥，则n 的最小值为（ ）（A ）60 （B ）62 （C ）70 （D ）724. 已知0m >，0n >，且满足4m n +=，则下列不等式恒成立的是（ ） （A ）111m n+≤ （B ）112mn ≥ （C2≥ （D ）22118m n ≤+5.以直线y= -x+1与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A x 2=4y 或y 2=4x B x 2=2y 或y 2=2x C x 2=-4y 或y 2=-4x D x 2=2y 或y 2=-2x6．定义：| a × b | = | a | | b | sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若| a | = 2，| b | = 5，a · b = – 6，则| a × b | =（ ） A ．-8 B ． 8 C ．8或 – 8 D ．67．已知()y f x =与()y g x =则函数()()()F x f x g x =⋅的图象可以是8.在某城市中，A 、B两地有如右图所示道路网，从A 地A ．B ．C ．D ．到B 地最近的走法有（ ）种A 25B 2254C C + C 2254C CD 49C9．一个三棱锥S －ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为1，3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（ ）（A ） 16π （B ） 32π （C ） 36π （D ） 64π10．定义在R 上的函数f(x)，给出下列四个命题:① 若f(x)是偶函数,则f(x+3)的图象关于直线x=-3对称； ② 若f(x+3)=-f(3-x),则f(x)的图象关于点(3,0)对称； ③ 若f(x+3)是偶函数,则f(x)的图象关于直线x=3对称; ④ y=f(x+3)与y=f(3-x)的图象关于直线x=3对称. 其中正确命题的个数有（ ）A 0B 1C 2D 3试题卷 第 Ⅱ 卷 (非选择题，共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
浙江省金丽衢十二校2021届高三数学下学期第二次联考试题
浙江省金丽衢十二校2021届高三数学下学期第二次联考试题第Ⅰ卷(共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．已知集合{0,1,2,3,}I =集合{0,1},{0,3},M N ==则()I M C M =A ．{0}B ．{3} C.{0，2，3} D.2．双曲线2231x y -=的渐进线方程为 .3A y x = 3.2.3.B y x C y x D y x =±=±=± 3．若实数x ，y 满足约束条件2360,2|1|,x y y x -+⎧⎨-⎩则z=3x+y 的最小值为A ．13B ．3C ．2D ．14．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A ．2B ．23C ．1D ．45．设m ∈R ，已知圆1:C 221x y +=和圆2C ：2268300x y x y m +--+-=,则“21m >”是“圆C 1和圆C 2相交”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f(x)的定义域为D ，其导函数为(),f x '且函数'sin ()()y x f x x D =⋅∈的图象如图所示，则f(x)A ． 有极小值f(2)，极大值f(π)B ．有极大值()2,f 极小值f(0)C ．有极大值f(2)，无极小值D ．有极小值f(2)，无极大值7．设01,R a n <<∈,随机变量X 的分布列是则随机变量X 的方差D(X)A ．既与n 有关，也与a 有关B ．与n 有关，但与a 无关C ．既与a 无关，也与n 无关D ．与a 有关，但与n 无关8．设正数数列1221{},1,n n n n n n n a a a a S S S S T S T +++==+=满足，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和属于A ．(0,500) ().500,1000B ().1000,2000C ().2000,3000D9．在三棱锥P-ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠PCB 为钝角，D ，E 分别在线段AB ，AC 上，使得,AE PE AD PD ==,记直线PD ，PE ，PA 与平面ABC 所成角的大小分别为α，β，γ则A ．α<β<2γB ．β<α<2γC ．α<2γ<βD ．β<2γ<α10．设t ∈R ，已知平面向量a ，b 满足：|a |=2|b |=2，且a ⋅b =1，向量(),x t x =+-c a b 若存在两个不同的实数x ∈[0,t]，使得2230,-⋅+=c a c 则实数t A ．有最大值为2，最小值为32 B ．无最大值，最小值为32C ．有最大值为2，无最小值D ．无最大值，最小值为0 第Ⅱ卷(共110分)二、填空题(本大题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)11．复数z满足：1,z i ⋅=+其中i 为虚数单位，则z 对应的点位于复平面的第 ▲ 象限；|z|= ▲ .12．若二项式23()nx x -展开式中各项系数之和为64，则n= ▲ ;其展开式的所有二项式系数中最大的是 ▲ (用数字作答) 13．设R,0,a b ∈>已知函数f(x)=21,||12,||1x a x b x x x π+-≤⎨⎪+>⎪⎩是奇函数，则a= ▲ ;若函数()f x 是在R 上的增函数，则b 的取值范围是 ▲ .14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b=4，C=2A ，3a=2c ，则cosA= ▲ ;a= ▲ .15．设F 是椭圆22143x y +=上的右焦点，P 是椭圆上的动点，A 是直线34120x y --=的动点，则PA|-|PF|的最小值为 ▲16．两个同样的红球、两个同样的黑球和两个同样的白球放入下列6个格中，要求同种颜色的球不相邻，则可能的放球方法共有 ▲ 种．(用数字作答)17．已知函数()()()()ln ,3f x x x a g x f f x =-+=+有4个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ .三、解答题(本大题共5小题，共74分。
湖南省新高考教学教研联盟2023届高三下学期4月第二次联考数学试题(含解析)
湖南省新高考教学教研联盟2023届高三下学期4月第二次联考数学试题一、单选题A．2π7．已知24 a=二、多选题QC ．()()f f x 不关于(),c d 对称D ．()()f f x 关于x a =对称三、填空题(1)证明：PA⊥平面ABCD；(2)当AM与平面PBD所成的角的正弦值最大时，值．20．一个不透明的盒子中有质地、大小相同的球不放回的随机从盒中取一个球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．参考答案：易知AC为圆面ABC的直径，因为O，M分别为BD，所以DN⊥平面ABC，∵111132D ABCV DN -=⨯⨯⨯⨯29．ACD【分析】求出选项A中数据的第75百分位数，即可判断B，求出621xx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中常数项可判断D.【详解】对于A，∵0.7586⨯=，∴第75百分位数为对于B，相关系数r的绝对值接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关关系，故对于A 选项，因为1AB BF =，所以，2AF =由双曲线的定义可得1212AF AF AF a -=-=对于B 选项，设直线AB 的斜率为7，设直线tan 7α=，sin tan 7cos ααα⎧==⎪⎪2∴9AB =，∴3BF =，2A y y =-则2A y p =，∴点(),2A p p ，故答案为：4.16．5-【分析】根据题意，构造函数ϕ易知平面ABCD 的一个法向量为m =r设平面AMC 的法向量(),,n x y z =r，答案第17页，共17页。
山东省聊城市重点中学2024年高三数学试题下学期第二次联考试题
山东省聊城市重点中学2024年高三数学试题下学期第二次联考试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21xf x =-，则()()20f f -+=（ ）A ．3-B ．2C ．3D ．2-2．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．(1,3⎤⎦B ．)3,⎡+∞⎣C ．(1,5⎤⎦D ．)5,⎡+∞⎣3．下列命题是真命题的是（ ）A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2011x -≤；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；D ．命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”.4．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8B ．7C ．6D ．55．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数6．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-9．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨10．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为 ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数12．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省杭州市余杭第二高级中学2024届高三下学期第二次联考数学试题
浙江省杭州市余杭第二高级中学2024届高三下学期第二次联考数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ） A ．33B ．233C ．3D ．232．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．(1,3⎤⎦B ．)3,⎡+∞⎣C ．(1,5⎤⎦D ．)5,⎡+∞⎣3．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ，命题p ：x D ∀∈，()f x x ≤的否定是（ ） A ．x D ∀∈，()f x x > B ．0x D ∃∈，()00f x x ≤ C ．x D ∀∉，()f x x > D ．0x D ∃∈，()00f x x >5．已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．[0,2]6．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( ) A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+7．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.358．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-，416S =-，则6a =（ ） A ．5B ．3C ．－12D ．－139．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．1?S >-B ．0?S <C ．–1?S <D ．0?S >10．如图所示，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||2||BF AF =，则双曲线C 的离心率是（ ）.A 3B 7C 3D 711．已知圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B ．5C 5D ．5412．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”2.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米 B ．480米 C ．520米D ．600米二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省江淮十校2024届高三11月第二次联考试题数学试卷及答案
2023.11江淮十校2024届高三第二次联考数学试题注意事项：1本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1已知为虚数单位，复数z满足z (l + 2i )-1 +i =0,则；＝1 3._ 1 3._ 1 3... 1 3B.－－+－1C.-＋－1555555552已知集合A={xeZ 忙－3<0}，集合B=｛Y I Y=2x ,XE A }，则A 「B =A.(0，石）B.{1,2}c.{1,0}o .{l }3已知点G是6.ABC 的重心，GA=a,GB=b,则BC=A.a+2bB.2a+bc.-2a -b D.-a-2b4已知幕函数f(x)＝（矿－5m+5)义”一2是R 上的偶函数，且函数g (x )= f (x)-(2a -6)x在区间[1,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是A.（女，4)B.(-00,4]c.[6，如）D （女，4］....[6，如）5已知等差数列{a,,}的前n项和为S,＇，若＆＝4a 2 -4, S 5 = 65,则使S,,>0成立的n的最大值为A.16B.17C.18D.196已知角0为第二象限角，且满足sin (e －气］•s i n（冗＋0)=cos20,则tan0=A.石－扣2打-2石BC.一石－汇2 D.一石－打27．在正四棱台ABCD-A,B,C 1D 1中，CD=2C,队＝2,点0是底面ABCD的中心，若该四棱台的侧面积为顷，则异面宜线0C 1与BB 1所成角的余弦值为7 3 5扣A -B . -C . -D —8 4888已知函数f(x)＝｛臣－11,x,,l，若函数y=f(x)-a(aeR)有四个不同的零点斗，x,'x,'x,且压（x -1)1,x >1x < X i < X 3 < X 4'则（2"'+2"')a+1的取值范围是伈－l )(x 4-l)a A.(0,3)B.[2✓2,3) c.[ 2石，＋OO ） D (3，如）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．冗冗9已知X,YE (－了万）且sinx>s iny,则下列不等关系一定成立的是A.lg(x-y)>O B (i)x <（i)y C.x 2> y2D.tan(兀+x)>tany10在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，儿'\=2AB, E, F分别为棱AB,CC 1的中点，则下列判断正确的是A且线EF与宜线DD 1互为异面宜线B.B 1D.l平面D 1EFC 平面D l EF截该四棱柱得到的截面是五边形D平面D l EF与棱BC的交点是棱BC的中点l)将函数y = s in2wx(O < w < l )的图象向左平移工－个单位可得到函数y=f(x)的图象，若y=f(x)在区6m 间（冗，2兀）内有最值，则实数0的取值范围可能为A（古告）B［会令）C（如五）D（且］）n+3l2已知数列{a,，}的前n项和为S,｝，且S,,＝l2-—,n为奇数2 一，n为偶数A.a lO =-11B当n为奇数时，a,,=-n-1c．当n为偶数时，a,,=n+lD数列｛的前n项和等千－a,a1+l } 2(n+2)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分则下列判断正确的是13已知平面向量a,b满足a=(l,2)，叫＝2,a.1(a+2E)，则向量a,b夹角的余弦值为14已知a>-1,b>O且2a+b=2,则a+2b+l 4＋－的最小值为a+l bl5内接于球0的四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形，四条侧棱均相等，AB/I CD, AB=4, CD=2, AD＝而，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为工，则球0的表面积为16设正整数n满足不等式(1+log22023)加1> (ln)1o g,202J,则n的最小值等千四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）( )｝，函数f(x)=2✓3已知梊合A=｛正＋釭－3矿，，O(a> o)}, jigJ� f(x) =s inxcos.x+2co s2x(x E R)的值域为梊合B （l)当a=2时，求A�B;(2)若“XEA"是“XEB"的充分不必要条件，求正数a的取值范围18.（本小题满分12分）已知函数f(x)=m x+l _2（其中m>O且m司，n>O)是奇函数m-'+n（l)求m,n的值并判断函数y=f(x)的单调性；(2)已知二次函数g(x)=ax2 +bx+c满足g(2+x)=g(2-x)，且其最小值为－3若对Vx1E[-1,2)，都还心］，使得瓜）＝g(l og凸）成立，求实数a的取值范围19（本小题满分12分）在锐角L::,ABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b, c, 0为其外接圆的圆心，了5．冗8=8'叫上十上尸tanA tanB J b(I)求A的大小；(2)若CE[巴卫］，求边长b的最值．4 320.（本小题满分12分）冗如图(1)，在边长为4的菱形ABCD中，乙BAD=－，点E是边BC的中点，连DE交对角线AC千点F,3将i:::,.ABD沿对角线BD折起得到如图(2)所示的三棱锥P-BCD1(I)点G是边PD上一点且PG=-G D，连FG,求证：FG/／平面PBC;22冗(2)若二面角P-BD-C的大小为一－，求二而角P-DE-C的正弦值3Cc。
2024学年全国百强名校高三下学期第二次联考试题数学试题试卷
2024学年全国百强名校高三下学期第二次联考试题数学试题试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．227B ．15750C ．289D ．3371152．已知集合{}|0A x x =<，{}2|120B x x mx =+-=，若{}2AB =-，则m =（ ）A ．4B ．－4C ．8D ．－83．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =（ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]4．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >- D ．{|1x x <-或1}3x >-5．将函数()2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根 6．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．22y x =±D ．2y x =±8．已知(,)a bi a b R +∈是11ii +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12- C ．12D ．19．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A 32 B 23C 30D 511．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定12．()6321x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为( )A ．－60B ．240C ．－80D ．180二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学下学期第二次联考试题文含解析试题
2021届高三数学下学期第二次联考试题文〔含解析〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 假设集合，集合，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得， ,应选C.2. 复数的实部为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得，，其实部为2，应选D.3. 假设有两个分类变量和的列联表为:总计总计对同一样本,以下数据能说明与有关系的可能性最大的一组为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，当与相差越大，X与Y有关系的可能性最大，分析四组选项，A中的a,c 的值最符合题意，应选A.4. “〞是“函数在区间无零点〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】假设函数在区间无零点，那么应选A.5. 函数的最小正周期为，那么函数的图象〔〕A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向左平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】D【解析】由得，那么的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，应选D.6. 执行如图的程序框图,假设输入的值是 ,那么输出的值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得,程序完毕，应选B.7. ，曲线在点处的切线的斜率为，那么当取最小值时的值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得,，那么当时，取最小值为4，应选A.8. 假设实数满足不等式组，且的最大值为，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】实数x，y满足不等式组，可行域如以下图：的最大值为5，由可行域可知z=3x+2y+2-3a，经过A时，z获得最大值，由，可得A〔1，3〕可得3+6+2-3a=5，解得a=2，应选C.9. 如图是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为一个长方体和一个三棱柱，那么其的体积,应选C.10. 假设，那么实数的值是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，，应选A.11. 在区间内任取一个为，那么不等式的概率为〔 )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，且，或者且，解得1≤x≤2或者，∴原不等式的解集为．那么所求概率为．应选：B．【点睛】此题考察概率的计算，考察学生的计算才能，对对数函数定义域和单调性的理解和掌握，是解决此题的关键，属于根底题，容易忽略的是对数中真数大于零，正确求出不等式的解集是关键.12. 抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为.假设，那么等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意：M〔x0，2√2〕在抛物线上，那么8=2px0，那么px0=4，①由抛物线的性质可知,，，那么，∵被直线截得的弦长为√3|MA|，那么，由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即，代入整理得：②，由①②，解得：x0=2，p=2，∴，应选：B．【点睛】此题考察抛物线的简单几何性质，考察了抛物线的定义，考察勾股定理在抛物线的中的应用，考察数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的间隔转化为点A到其准线的间隔是关键.第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13. 向量，，假设，那么__________．【答案】【解析】由题意可得，，故答案为-1.14. 双曲线的左、右端点分别为，点，假设线段的垂直平分线过点，那么双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】由题意可得，为正三角形，那么，所以双曲线的离心率 .15. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式〞，设三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，那么“三斜求积〞公式为.假设，，那么用“三斜求积〞公式求得的面积为__________．【答案】【解析】由正弦定理得，由得，那么由得，那么 .16. 在长方体中,底面是边长为的正方形, ,是的中点,过作平面与平面交于点,那么与平面所成角的正切值为__________．【答案】【解析】连结AC、BD，交于点O，∵四边形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD，∴BD⊥平面ACC1A1，那么当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，∵F∈平面ABB1A1，∴F∈AA1，∴∠CAF是CF与平面ABCD所成角，在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO，那么，∵A1C1=2AO=√2AB=2，，∴，∴AF=，∴．∴CF与平面ABCD所成角的正切值为．故答案为：．【点睛】此题考察线面角的正切值的求法,平面内相似三角形的应用，线面垂直性质的应用，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维才能的培养,仔细计算即可得出正确答案.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17. 在数列中，.〔1〕假设数列满足，求；〔2〕假设，且数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：〔1〕由，求出数列{a n}的首项，并得到数列{a n}是以为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；〔2〕由结合数列{〔2n-1〕a n+1}是等差数列求其公差，进一步得到数列{〔2n-1〕a n+1}的通项公式，代入，再由等差数列的前n项和得答案．试题解析：〔1〕∵，，∴，且，即数列是公比为的等比数列.∴.〔2〕设，那么数列是等差数列，∵，，∴，，∴数列的公差为，，∵，∴，∴，即数列是首项为，公差为的等差数列，∴.18. 某中学举行了一次“环保只知识竞赛〞，全校学生参加了这次竞赛.为了理解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩〔得分取正整数，满分是为分〕作为样本进展统计.请根据下面尚未完成并有部分污损的频率分布表〔如下图〕，解决以下问题.〔1〕求出的值；〔2〕在选取的样本中，从竞赛成绩是分以上〔含分〕的同学中随机抽取名同学到参加环保只是的志愿宣传活动.1〕求所抽取的名同学中至少有名同学来自第组的概率；2〕求所抽取的名同学来自同一组的概率.【答案】(1) ,;(2)1) ;2) .【解析】试题分析：〔1〕利用频率分布表和频率分布直方图，由题意能求出a，b，x，y的值；〔2〕〔ⅰ〕由题意可知，第4组一共有4人，记为A，B，C，D，第5组一共有2人，记为X，Y．从竞赛成绩是80分以上〔含80分〕的同学中随机抽取2名同学，有15种情况由此能求出随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；〔ⅱ〕设“随机抽取的2名同学来自同一组〞为事件F，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY一共7种情况，由此能求出随机抽取的2名同学来自同一组的概率．试题解析：〔1〕由题意可知，样本总人数为，∴，，.〔2〕1〕由题意可知，第组一共有人，记为，第组一共有人，记为.从竞赛成绩是分以上〔含分〕的同学中抽取名同学有，，一共种情况.设“随机抽取的名同学中至少有名同学来自第组〞为事件，有一共.即随机抽取的名同学中至少有名同学来自第组的概率是.2〕设“随机抽取的名同学来自同一组〞为事件，有一共.即随机抽取的名同学来自同一组的概率是.19. 在如下图的几何体中，四边形是矩形，平面，是的中点.〔1〕求证：平面；〔2〕假设，，求证平面平面.【答案】(1)详见解析;(2) 详见解析.【解析】试题分析：〔1〕取AB的中点F，连结EF，A1F．那么可通过证明平面A1EF∥平面BB1C1C得出A1E∥平面BB1C1C；〔2〕连结CF，那么可得出CF∥A1C1，通过证明CF⊥平面ABB1A1得到CF⊥A1B．即A1C1⊥A1B，利用勾股定理的逆定理得出AA1⊥A1B，于是A1B⊥平面AA1C1，从而平面BEA1⊥平面AA1C1．试题解析：〔1〕证明：取的中点，连接，∵，∴，∵，∴.∵是的中位线，∴，∵，∴平面平面，∵平面，∴平面.〔2〕解：连接，∵，∴，∵是矩形，∴且，∴四边形是平行四边形，那么.∵，，∴平面，那么，由〔1〕得是等腰三角形，又四边形是正方形，∴，即，∴平面，那么平面.20. 右焦点为的椭圆关于直线对称的图形过坐标原点.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为.证明：直线与轴的交点为.【答案】(1) ;(2) 详见解析.【解析】试题分析：〔1〕由题意可得：a=2c，又a2=3+c2，解得a2即可得出椭圆M的方程；〔2〕设直线PQ的方程为：y=k〔x-4〕〔k≠0〕，代入椭圆方程可得：〔3+4k2〕x2-32k2x+64k2-12=0，设P〔x1，y1〕，Q 〔x2，y2〕，E〔x2，-y2〕，直线PE的方程为：，令y=0，可得，把根与系数的关系代入即可证明．试题解析：〔1〕由题意得椭圆的焦点在轴上，∵椭圆关于直线对称的图形过坐标原点，∴，∵，∴，解得.∴椭圆的方程为.〔2〕证明：易知直线的斜率必存在，设直线的方程为，代入得，由得，.设，，，那么，，那么直线的方程为.令得，∴直线过定点，又的右焦点为，∴直线与轴的交点为.【点睛】此题考察了椭圆的HY方程及其性质、注意运用椭圆的定义，考察了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考察了推理才能与计算才能，化简很复杂易出错，属于难题.21. ，，其中是自然常数，.〔1〕当时，求的极值，并证明恒成立；〔2〕是否存在实数，使的最小值为？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由.【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：〔1〕求出函数f〔x〕的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出f〔x〕的极小值，令，求出h〔x〕的最大值，从而证出结论即可；〔2〕求出函数f 〔x〕的导数，通过讨论a的范围，求出函数f〔x〕的最小值，求出a的值即可．试题解析：〔1〕证明：∵，.∴当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增.∴的极小值为.即在上的最小值为 .令，，当时，，在上单调递增，∴，∴恒成立.............〔2〕假设存在实数，使有最小值，.①当时，在上单调递减，，〔舍去〕，∴时，不存在使的最小值为3.②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴，，满足条件.③当时，在上单调递减，，〔舍去〕，∴时，不存在使的最小值为 .综上，存在实数，使得当时，有最小值 .【点睛】此题考察利用导数求闭区间上函数最值的应用，涉及到不等式恒成立的证明和探究是否存在实数a,使有最小值，解题时要认真审题，注意合理地进展等价转化，合理地运用分类讨论思想进展解题.请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，三点.〔1〕求经过的圆的极坐标方程；〔2〕以极点为坐标原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为〔是参数〕，假设圆与圆外切，务实数的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：〔1〕求出圆的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；〔2〕将圆化成普通方程，根据两圆外切列出方程解出。
2021年高三数学下学期第二次联考试题(I)
2021年高三数学下学期第二次联考试题(I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集U={2，3，4，5，6，7}，集合A={4,5,7}，B={4,6}，则A ∩（U B ）=（ ）A. {5}B. {2}C. {2, 5}D. {5, 7} (2)复数与复数互为共轭复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D.(3)已知直线与两坐标轴围成的区域为，不等式组所形成的区域为，现在区域中随机放置一点，则该点落在区域的概率是（ ）A. B. C. D. (4)如图所示的程序框图中，输出的的值是（ ） A. 80B. 100C. 120D. 140(5)已知双曲线与抛物线有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点 ，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. (6)已知的面积为，,,则（ ） A. B. C. D.(7)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C.D.(8)为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位 (9)函数的图象可能是（ ）否 第4输出S结S100? 开S =1，a = a +1 S=S ×a是第16题图A B C D (10)已知函数的零点依次为则（ ）A. B. C. D. (11)如图，在长方体中，，点是棱的中点，点在棱上，且满足，是侧面四边形内一动点(含边界)，若∥平面，则线段长度的取值范围是（ ） A.B. C. D.(12)已知函数在定义域上的导函数为，若方程无解,且当在上与在上的单调性相同时，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. (13)已知，则的最大值是 .(14)已知圆的方程，过圆外一点作一条直线与圆交于两点，那么.(15)已知函数（其中为自然对数的底数），曲线上存在不同的两点， 使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是 . (16)祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积， “势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面 的面积相等，则这两个几何体体积相等.设由椭圆所围成的平面图形绕轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图）（称为椭球 体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出 椭球体体积，其体积等于______ ．第11题图三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）在等差数列中，为等比数列的前项和，且成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设求数列的前项和.(18)（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，平面平面为的中点.（Ⅰ）求证：平面；第18题图（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.(19)（本小题满分12分）传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏。
高三数学下学期第二次联考试题 理 试题_1
红色七校2021届高三第二次联考数学理科试题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学试题分为〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕卷，一共23个小题。
满分是150分，考试时间是是120分钟。
考前须知：1.在答题之前，必须将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使需要用2B铅笔将答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上答题，在试题卷上答题无效。
第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题:本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1．全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，那么A∩∁R B=〔〕A．{x|x≤0} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x＜1或者x＞2} D．{x|0≤x＜1或者x≥2}2．假设复数z=〔a∈R，i是虚数单位〕是纯虚数，那么|a+2i|等于〔〕A．2 B．2C．4 D．83．以下函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是〔〕A．B．y=﹣log2x C．y=3x D．y=x3+x4.以下命题中的假命题是〔 〕A. . 000(0,),sin x x x ∃∈+∞<B. (,0),1xx e x ∀∈-∞>+ C. 0,53xxx ∀>> D. 00,ln 0x R x ∃∈<12nx x x x n+++=，22212()()()n p x x x x x x =-+-++-，22212()()()n q x a x a x a =-+-++-，假设a x ≠，那么一定有〔 〕A. p q >B. p q <C. p 、q6．执行如下图的程序框图，那么输出的结果是〔 〕A ．14B ．15C ．16D ．17O 为ABC 的外心,且2,6BA BC ==,那么BO AC ⋅=〔 〕ABC 中，角A 、B 均为锐角，那么cos sin A B >是ABC 为钝角三角形的( )9．一个几何体的三视图如下图，那么这个几何体的体积为〔 〕A ．B ．C ．D ．10．有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出的四位数有〔 〕个． A ．78B ．102C ．114D ．12011．函数f 〔x 〕=ln，假设f 〔〕+f 〔〕+…+f 〔〕=503〔a+b 〕，那么a 2+b 2的最小值为〔 〕A ．6B ．8C ．9D ．1212.过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点〔M 在x 轴上方〕，满足3MF FN =，163MN =，那么以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的HY 方程为〔 〕A ．221231633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝ B ．22131633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝ C.()(223316x y -+-= D ．()(223316x y -+=第II 卷〔非选择题 一共90分〕二、填空題:本大题一一共4小题,每一小题5分，一共20分.13．直线AB ：x+y ﹣6=0与抛物线y=x 2及x 轴正半轴围成的图形为Ω，假设从Rt △AOB 区域内任取一点M 〔x ，y 〕，那么点M 取自图形Ω的概率为 ．14．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，假设sinB=，cosB=，那么a+c的值是．15．设x、y满足约束条件，假设目的函数z=ax+by〔a＞0，b＞0〕的最大值为2，当+的最小值为m时，那么y=sin〔mx+〕的图象向右平移后的表达式为．16．设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，n=1，2，3…，假设b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，b n+1=，c n+1=，那么∠A n的最大值是．三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17．函数f〔x〕=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．〔1〕当x∈[0，]时，求f〔x〕的值域；〔2〕假设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos〔A+C〕，求f〔B〕的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．〔1〕求证：平面PQB⊥平面PAD；〔2〕假设二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．19．某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确答复这首歌的名字，答复正确，大门翻开，并获得相应的家庭梦想基金，答复每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金分开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦答复错误，游戏完毕并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助时机，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元〔以上基金金额为翻开大门后的累积金额，如第三扇大门翻开，选手可获基金总金额为8000元〕；设某选手正确答复每一扇门的歌曲名字的概率为p i〔i=1，2，…，5〕，且p i=〔i=1，2，…，5〕，亲友团正确答复每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确答复每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；〔1〕求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；〔2〕假设选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X〔元〕，求X 的分布列和数学期望．20．椭圆的焦点坐标为F1〔﹣1，0〕，F2〔1，0〕，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q 两点，且|PQ|=3．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，那么△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？假设存在求出这个最大值及此时的直线方程；假设不存在，请说明理由．21．函数f〔x〕=a x+x2﹣xlna〔a＞0，a≠1〕．〔1〕求函数f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程；〔2〕求函数f〔x〕单调增区间；〔3〕假设存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f〔x1〕﹣f〔x2〕|≥e﹣1〔e是自然对数的底数〕，务实数a的取值范围．请在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分．22、选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．〔1〕写出直线l与曲线C的直角坐标方程；〔2〕过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，假设|MA||MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．23、选修4—5：不等式选讲设函数f〔x〕=|2x+1|﹣|x﹣4|．〔1〕解不等式f〔x〕＞0；〔2〕假设f〔x〕+3|x﹣4|≥m对一实在数x均成立，求m的取值范围．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。
湖南省九校联盟2023届高三下学期第二次联考数学试题(含答案解析)
湖南省九校联盟2023届高三下学期第二次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}|11,|A x x B x x a =-<=≥，且A B ，则实数a 的取值范围为（）A ．(),1-∞B ．(],0-∞C ．[)0,∞+D ．[)1,+∞2．在复数范围内解得方程2450x x ++=的两根为12,x x ，则12x x -=（）A ．4B ．1C ．2D ．33．已知函数()2log cos f x x =，则下列论述正确的是（）A ．()12,0,2πx x ∃∈且12x x ≠，使()()120f x f x +=B ．12π,π2x x ⎛⎤∀∈ ⎥⎝⎦，当12x x <时，有()()12f x f x <恒成立C ．使()f x 有意义的必要不充分条件为πR Z 2k x x x k ⎧⎫∈∈≠∈⎨⎬⎩⎭D ．使()12f x ≥-成立的充要条件为ππR 44x x x ⎧⎫∈∈-≤≤⎨⎬⎩⎭4．如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为100π，则该圆台的体积为（）A ．175π3B ．75πC ．238π3D ．259π35．两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线，他用平行于圆锥的轴的平面截取圆锥得到的曲线叫做“超曲线”，即双曲线的一支，已知圆锥PQ 的轴截面为等边三角形，平面PQ α∥，平面α截圆锥侧面所得曲线记为C ，则曲线C 所在双曲线的离心率为（）AB C D ．26．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（）A ．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为12,x x 和2212,s s ，且已知12x x =，则总体方差()2221212s s s =+B ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1C ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()151P X P X -+= ，则2μ=D ．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m ；乙组：24,,33,44,48,52n ，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则67m n +=7．如图，O 是平行四边形ABCD 所在平面内的一点，且满足1π,|2||3||626AOB BOC OA OB OC ∠=∠==== ，则OD = （）A ．2BC D ．18．已知a 、b ∈R ，且0ab ≠，对任意0x >均有()()()ln 0x a x b x a b ----≥，则（）A ．a<0，0b <B ．a<0，0b >C ．0a >，0b <D ．0a >，0b >二、多选题9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()2y f x =-为偶函数，则下列说法一定正确的是（）A ．函数()f x 的周期为2B ．函数()f x 的图象关于()1,0对称C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 的图象关于3x =对称10．已知,A B 为圆22:1O x y +=上的两点，P 为直线:20+-=l x y 上一动点，则（）A ．直线l 与圆O 相离B ．当,A B 为两定点时，满足π2APB ∠=的点P 有2个C ．当AB =PA PB +的最大值是1+D ．当,PA PB 为圆O 的两条切线时，直线AB 过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭11．已知函数()()sin (0,02π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（）A ．4π3ϕ=B ．()f x 在区间5ππ,62⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．将函数cos y x =图象上各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向右平移π12个单位长度，可得函数()f x 的图象D ．函数()4y f x =+的零点个数为712．如图，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为3，点M 是侧面ADD A ''上的一个动点（含边界），点P 在棱CC '上，且1PC '=，则下列结论正确的有（）A ．沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为B ．保持PM 与BD '垂直时，点M 的运动轨迹长度为C ．若保持PM ，则点M 的运动轨迹长度为4π3D ．当M 在D ¢点时，三棱锥B MAP '-的外接球表面积为99π4三、填空题13．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为___________.14．对于一个给定的数列{}n a ，把它的连续两项1n a +与n a 的差1n n a a +-记为n b ，得到一个新数列{}n b ，把数列{}n b 称为原数列{}n a 的一阶差数列.若数列{}n b 为原数列{}n a 的一阶差数列，数列{}n c 为原数列{}n b 的一阶差数列，则称数列{}n c 为原数列{}n a 的二阶差数列.已知数列{}n a 的二阶差数列是等比数列，且12342,3,6,13a a a a ====，则数列{}n a 的通项公式n a =___________.15．已知直线:1l y =-，抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，点B 关于y 轴对称的点为P .若过点,A B 的圆与直线l 相切，且与直线PB 交于点Q ，则当3QB PQ =时，直线AB 的斜率为___________.16．已知不等式()1e ln0)ex a x a a -≥>恒成立，则实数a 的最大值为___________.四、解答题17．已知,,a b c 分别为三角形ABC 三个内角,,A B C 的对边，且有π2sin 6b c C a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求角A ；(2)若D 为边BC 上一点，且2CD AD BD ==，求sin C .18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知1111,2n n n n S S a a a +=-=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)令2n an b =，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，试求21n T -除以3的余数.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥,CD ,3,4,AB BC AB BC CD PC PD PA ⊥======(1)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)求平面PAC 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.20．直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收.某贫困地区有统计数据显示，2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有56是“年轻人”.(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，根据0.10α=的独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？使用直播销售情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播售用户不常使用直播销售用户合计(2)某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售､根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为711,,10510.方案二：线上直播销售.根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为113,,.2510针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.参考数据：独立性检验临界值表α0.150.100.0500.0250.010a x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635()()()()22(),.n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++其中21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>的离心率为2，椭圆W 上的点与点()0,2P 的距离的最大值为4.(1)求椭圆W 的标准方程；(2)点B 在直线4x =上，点B 关于x 轴的对称点为1B ，直线1,PB PB 分别交椭圆W 于,C D 两点（不同于P 点）.求证：直线CD 过定点.22．已知()()21ln ,R 2f x x x a x a a =---∈.(1)判断函数()f x 的单调性；(2)若12,x x 是函数()()112g x f x a a x a ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭的两个极值点，且12x x <，求证：()()12102f x f x <-<.参考答案：1．B【分析】首先解绝对值不等式求出集合A ，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围.【详解】由题意可得：{}{}{}|11|111|02A x x x x x x =-<=-<-<=<<，若AB ，则0a ≤.故选：B.2．C【分析】求出方程的两根，即可求出12x x -的值.【详解】由题意，在2450x x ++=中，解得：2i x =-±，∴()122i 2i 2i 2x x -=----+=-=，故选：C.3．B【分析】通过分析函数的定义域，单调性和值域，即可得出结论.【详解】由题意，在()2log cos f x x =中，对于A ，∵()0f x ≤，∴若()0,2πx ∈，当且仅当πx =时，()0,A f x =错；对于B ，由复合函数单调性知，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，函数()f x 单调递增，B 正确；对于C ，∵2log cos x 有意义，∴ππ,2x k k ≠+∈Z ，π,2k x x k ⎧⎫∴∈≠∈⎨⎬⎩⎭R Z 是ππ,2x x k k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z 的充分不必要条件，C 错；对于D ，ππ44x x ⎧⎫∈-≤≤⎨⎬⎩⎭R 是()12f x ≥-成立的充分不必要条件，D 错误.故选：B.4．D【分析】由球的表面积求出球的半径，然后通过轴截面求出圆台的高，进一步求出圆台的体积.【详解】因为圆台外接球的表面积24π100πS r ==，所以球的半径=5r ，设圆台的上､下底面圆心分别为21,O O ，在上､下底面圆周上分别取点,A B ，连接2121,,,,,OO OO OA OB O A O B ，如图，因为圆台上､下底面的半径分别为3和4，所以4OB OA ==，123O B O A ==，所以13OO ==，24OO ==,所以127O O =，所以圆台体积()1259π9π16π12π733V =⨯++⨯=.故选：D.5．A【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，得到点E 的坐标，从而得到双曲线方程，然后结合离心率公式，即可得到结果.【详解】如图，设平面PQ α∥，平面α与圆锥侧面的交线为C ，过P 垂直于EF 的母线与曲线C 交于M ，不妨延长PM 至A ，使PM MA =.过A 垂直于PQ 的截面交曲线C 为,E F ，设P 在平面α内的投影为点O ，以O 为原点，PQ 投影为x 轴建立平面直角坐标系，易知点M为双曲线顶点.设OM a =，则可求E 点坐标为()2,a a ，代入方程：22221x ya b-=，知2213b a =，故双曲线离心率为3e =，故选:A .6．C【分析】对于A 项，由分层抽样的方差公式判断即可；对于B 项，运用r 越大相关性越强可判断；对于C 项，由正态分布的对称性可求得结果；对于D 项，运用百分位数计算公式即可求得结果.【详解】对于A 项，总体方差与样本容量有关，故A 项错误；对于B 项，相关性越强，r 越接近于1；故B 项错误；对于C 项，若()()151P X P X ≥-+≥=，则()1(5)P X P X ≥-=<，所以5(1)22μ+-==，故C 项正确；对于D 项，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为372+m，乙组：第30百分位数为n ，第50百分位数为33447722+=，所以30377722n m =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：3040n m =⎧⎨=⎩，故70m n +=.故D 项错误.故选：C.7．D【分析】运用向量线性运算及数量积运算求解即可.【详解】由已知，可得π3,2,2OA OB OC AOC ∠==== ，又四边形ABCD 为平行四边形，所以2222||()()()OD OC CD OC BA OC OA OB =+=+=+- 222222OC OA OB OC OA OC OB OA OB =+++⋅-⋅-⋅ ππ4390223cos 23cos 136=+++-⨯⨯⨯-⨯⨯=，所以1OD = .故选：D.8．B【解析】推导出ln x a -与a x e -符号相同，构造函数()()()()af x x e x b x a b =----，然后对四个选项中的条件逐一验证，即可得出合适的选项.【详解】ln ln ln lnaa x x a x e e -=-= ，故ln x a -与ln a xe的符号相同，当ln0ln1a x e >=时，a x e >；当ln 0ln1ax e<=时，a x e <.所以，ln x a -与a x e -的符号相同.()()()()()()ln 00a x a x b x a b x e x b x a b ∴----≥⇔----≥，令()()()()af x x e x b x a b =----，所以，当0x >时，()0f x ≥恒成立，令()0f x =，可得1ax e =，2x b =，3x a b =+.0ab ≠ ，分以下四种情况讨论：对于A 选项，当a<0，0b <时，则0a a b b e +<<<，当0a x e <<时，()0f x <，不合乎题意，A 选项错误；对于B 选项，当a<0，0b >时，则a b b +<，若0a b +>，若a b +、b 、a e 均为正数，①若a e b =，则()()()2f x x a b x b =---，当0x a b <<+时，()0f x <，不合乎题意；②若a e a b =+，则()()()2f x x a b x b =---，当0x a b <<+时，()0f x <，不合乎题意.③若a b +、b 、a e 都不相等，记{}min ,,at b a b e =+，则当0x t <<时，()0f x <，不合乎题意.由上可知，0a b +≤，当0x >时，若使得()0f x ≥恒成立，则0aa b e b +≤⎧⎨=>⎩，如下图所示，所以，当a<0，0b >时，且0a b +≤，0a b e =>时，当0x >时，()0f x ≥恒成立；对于C 选项，当0a >，0b <时，则b a b <+，①若0a b +≤时，则当0a x e <<时，()0f x <，不合乎题意；②当0a b +>时，构造函数()ag a e a b =--，其中0a >，()10a g a e '=->，函数()g a 在()0,∞+上单调递增，则()()010g a g b >=->，a e a b ∴>+.当a a b x e +<<时，由于0x b ->，则()0f x <，不合乎题意，C 选项错误；对于D 选项，当0a >，0b >时，则b a b <+，此时b 、a b +、a e 为正数.①当b 、a b +、a e 都不相等时，记{}min ,,at b a b e =+，当0x t <<时，()0f t <，不合乎题意；②若a b e =，则()()()2f x x b x a b =---，当0x b <<时，()0f x <，不合乎题意；③当a e a b =+时，()()()2f x x b x a b =---，当0x b <<时，()0f x <，不合乎题意.所以，D 选项错误.故选：B.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）分析ln x a -与a x e -同号；（2）对b 、a b +、a e 的大小关系进行讨论，结合穿针引线法进行验证.9．BC【分析】根据给定的信息，推理论证周期性、对称性判断AB ；借助变量替换的方法，结合偶函数的定义及对称性意义判断CD 作答.【详解】依题意，R 上的函数()f x ，()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，函数()f x 的周期为4，A 错误；因为函数()2y f x =-是偶函数，则()()22f x f x -=+，函数()f x 的图象关于2x =对称，且()()2f x f x -=-，即()()20f x f x -+=，函数()f x 图象关于()1,0对称，B 正确；由()()22f x f x -=+得()()()4f x f x f x -=+=，则函数()f x 为偶函数，C 正确；由()()20f x f x ++=得()()310f x f x +++=，由()()22f x f x -=+得()()31f x f x -=+，因此()()330f x f x ++-=，函数()f x 的图象关于()3,0对称，D 错误.故选：BC 10．AD【分析】利用点到直线的距离判断A ；确定APB ∠最大时的情况判断B ；取AB 中点D ，由线段PD 长判断C ；求出直线AB 的方程判断D 作答.【详解】对于A ，因为O 到直线l 的距离1d =>，即直线l 与圆O 相离，A 正确；对于B ，当A ，B 为过点P 的圆O 的切线的切点时，APB ∠最大，而2PAB OPA ∠=∠，显然OPA ∠是锐角，正弦函数在π(0,)2上单调递增，1sin OA OPA OP OP ∠==，因此APB ∠最大，当且仅当OPA ∠最大，当且仅当OP 最小，则有PO l ⊥，此时π2APB ∠=，所以当,A B 为两定点时，满足π2APB ∠=的点P 只有1个，B 错误；对于C ，令AB 的中点为D ，则OD AB ⊥，12OD =，点D 在以O 为圆心，12为半径的圆上，|||2|2||PA PB PD PD +==，显然当P 在l 上运动时，||PD 无最大值，C 不正确；对于D ，设(),2P a a -，当,PA PB 为切线时，,PA OA PB OB ⊥⊥，点,A B 在以OP 为直径的圆上，此圆的方程为()(2)0x x a y y a -+-+=，于是直线AB 为()21ax a y +-=，即()210a x y y -+-=，所以直线AB 过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭，D 正确.故选：AD 11．ABD【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数()f x 的解析式，再分析判断ABC ；换元并构造函数，利用导数结合图形判断D 作答.【详解】观察图象知，函数()f x 的周期5ππ2()π63T =-=，则2π2T ω==，而π(03f =，即有π2π,Z 3k k ϕ⋅+=∈，由sin 0,02πϕϕ<<<知，π2πϕ<<，因此4π2,3k ϕ==，A 正确；显然4π()sin(2)3f x x =+，当5ππ[,]62x ∈--时，4πππ2[,]333x +∈-，因此()f x 单调递增，B 正确；将cos y x =图象上各点横坐标变为原来的12得cos2y x =，再将所得图象向右平移12π个单位长度，得πcos(2)6y x =-，而π3ππ4πcos(2)sin(2)sin(2)6263y x x x =-=-+-=-+，C 错误；由4()0f x ，得π4sin(2)3x +=π23x t +=，则4sin t =，令()4sin g x x =16x >时，4sin 4x ≤>，即恒有()0g x <，函数()g x 在(16,)+∞上无零点，当01x <<时，()4cosg x x '=-()4cos h x x =-()4sin h x x '=-+，函数3214sin ,4y x y x -=-=在(0,1)上都递减，即有()h x '在(0,1)上递减，11()4sin 1601616h '=-+>，1π11(1)4sin14sin 204644h '=-+<-+=-+<，因此存在0(0,1)x ∈，0()0h x '=，当00x x <<时，()0h x '>，当01x x <<时，()0h x '<，有()()g x h x ='在0(0,)x 上递增，在0(),1x 递减，01π1()(1)4cos14cos 0232g x g ''>=->->，11(4cos 406464g '=-<，于是存在101(,)64x x ∈，1()0g x '=，当10x x <<时，()0g x '<，当11x x <<时，()0g x '>，则函数()g x 在1(0,)x 上递减，在1(,1)x 递增，1()(0)0g x g <=，π(1)4sin114sin106g =->->，从而函数()g x 在(0,1)上存在唯一零点，而函数4sin y x =周期为2π，y =(0,)+∞上单调递增，如图，π()402g =>，5π(402g =>，9π(402g =>，从而函数()g x 在(0,π),(2π,3π),(4π,5π)上各有一个零点，又0是()g x 的零点，即函数()g x 在定义域上共有7个零点，所以函数()4y f x =+的零点个数为7，D 正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f (x )=0的解；(2)图象法：作出函数f (x )的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.12．BCD【分析】根据平面展开即可判断A ；过P 做平面PEF 平面ACB '，即可判断B ；根据点M 的轨迹是圆弧，即可判断C ；建立空间直角坐标系求得圆心坐标即可判断D.【详解】对于A ，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接AP ，则AP <A 错误；对于B ，因为DD '⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DD AC '⊥，又AC BD ⊥，,,DD BD D DD BD ''=⊂ 平面DD B '，所以AC ⊥平面DD B '，BD '⊂平面DD B '，所以AC ⊥BD '，同理可得BD 'AB '⊥，,,AC AB A AC AB ''=⊂ 平面ACB '，所以BD '⊥平面ACB '，所以过点P 作//PG C D '交CD 交于G ，过G 作//GF AC 交AD 交于F ，由//AB C D ''，可得//PG AB '，PG ⊄平面ACB '，AB '⊂平面ACB '，所以//PG 平面ACB '，同理可得//GF 平面ACB '，PG GF G ⋂=，则平面PGF //平面ACB '，设平面PEF 交平面ADD A ''于EF ，则M 的运动轨迹为线段EF ，由点P 在棱CC '上，且1PC '=，可得1DG DF A E '===，所以23EF A D '==B 正确；对于C ，若PM =，则M 在以P过点P 作PQ ⊥平面ADD A ''，则1DQ =，此时2QM ==，所以点M 在以Q 为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为2π3，点M 的运动轨迹长度为24π2π33⨯=，故C 正确；对于D ，以D 为坐标原点，,,DA DC DD '所在直线分别为,,x y z 轴建系，则()()()()0,0,3,0,3,2,3,3,3,3,0,0M P B A '，设三棱锥B MAP '-的外接球球心为(),,N x y z ，由2222||||||NM NP NB NA '===得，222222222222(3)(3)(2)(3)(3)(3)(3)x y z x y z x y z x y z ++-=+-+-=-+-+-=-++，解得：75,44x z y ===，所以三棱锥B MAP '-的外接球半径4R ==，所以三棱锥B MAP '-的外接球表面积为2994ππ4S R ==，D 正确.故选：BCD.13．84-【分析】求出展开式有几项，并写出21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，即可得到展开式中的常数项.【详解】由题意，在21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中，展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，∴27C C n n =，解得：9n =，因此21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为：()()929399C 11C r r r rr r r x x x ----=-，故21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()3391C 84-=-.故答案为：84-.14．21n n -+【分析】运用等比数列通项公式及累加法可求得结果.【详解】设数列{}n b 为原数列{}n a 的一阶差数列，{}n c 为原数列{}n a 的二阶差数列.则由题意可知1212323431212321,3,7,2,4b a a b a a b a a c b b c b b =-==-==-==-==-=.又{}n c 为等比数列，故公比212c q c ==，所以2n n c =，即12n n n b b +-=.当2n ≥时，()()()121112*********n n nn n n n n b b b b b b b b -----=-+-++-+=++++=- ，将1n =代入21n n b =-得11211b =-=，符合，所以21nn b =-，N n *∈.所以121nn n a a +-=-，当2n ≥时，()()()()()()1211122112121212n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-+=-+-++-+ 121222221)n n n n n --+-=+++=--+ ，将1n =代入21n n a n =-+得112112a =-+=，符合，所以21nn a n =-+，N n *∈.故答案为：21n n -+.15．4±【分析】根据题意设直线AB 的方程为1y kx =+，联立抛物线方程，然后结合韦达定理即可得到结果.【详解】如图，易知过点,A B 且与直线l 相切的圆就是以AB 为直径的圆，设()()1122,,,A x y B x y ，则()()1222,,,Q x y P x y -，由3QB PQ =有212x x =-，设直线AB 的方程为1y kx =+，代入24x y =有2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-，结合212x x =-，得4k =±.故答案为:4±16．2e 【分析】将不等式转化为()()()ln eln 1ln 1x ax a x x -+-≥-+-，构造函数()e x f x x =+，研究函数单调性，将问题转化为()ln ln 1x a x -≥-恒成立，再运用分离参数法求最值即可.【详解】因为0a >，所以()()1e e ln ln ln 11e xxa x a a x a-≥⇔≥+--，1x >.即()()()()ln ln eln ln 11e ln 1ln 1x ax a a x x a x x ---≥--⇔+-≥-+-.令()e xf x x =+，易知()f x 在()0,∞+上单调递增，又()()()()()()ln ln eln 1ln 1ln 1x af x a x a x x f x --=+-≥-+-=-，所以()ln ln 1x a x -≥-恒成立，即()ln 1ln x x a --≥恒成立.所以min (ln(1))ln x x a --≥.令()()ln 1g x x x =--，1x >，则()12111x g x x x -=-=--'，1x >，由()02g x x '>⇒>，()012g x x '<⇒<<，则()g x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()min ()22g x g ==，所以ln 2a ≤，即2e a ≤，故实数a 的最大值为2e .故答案为：2e .【点睛】同构法的三种基本模式：①乘积型，如e ln a a b b ≤可以同构成ln e (ln )e a b a b ≤，进而构造函数()e x f x x =；②比商型，如e ln a b a b <可以同构成e ln e ln a a bb<，进而构造函数()ln x f x x =；③和差型，如e ln a a b b ±>±，同构后可以构造函数()e x f x x =±或()ln f x x x =±.分离参数法解决恒(能)成立问题的策略：（1）分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（2）()a f x ≥恒成立max ()a f x ⇔≥；()a f x ≤恒成立min ()a f x ⇔≤；()a f x ≥能成立min ()a f x ⇔≥；()a f x ≤能成立max ()a f x ⇔≤.17．(1)π3A =(2)sin 1C =【分析】（1）运用正弦定理边化角、和角公式及辅助角公式求解即可.（2）解法一：运用正弦定理求解即可；解法二：运用向量线性表示证得NM AB ⊥即可.【详解】（1）由π2sin 6b c C a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin sin cos sin B C C C A ++=，.()sin sin cos sin sin sin sin A C A C B C A C C +=+=++，sin sin cos sin A C C A C =+，因为sin 0C ≠,cos 1A A -=，即:ππ12sin()1sin()662A A -=⇒-=，又因为()0,πA ∈，故π3A =.（2）解法一：设π,0,3BAD ∠θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则π2π2,,33ADC DAC ACD ∠θ∠θ∠θ==-=-，在△ADC 中，由正弦定理知，2ππsin sin 33AD DCθθ=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即π2π2sin sin 33θθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得，tan θ=，则π2ππ,632ACD θ∠θ==-=，即sin 1C =.解法二：如图所示，取AB 中点M ，延长MD 与AC 的延长线交于点N ，连接NB ，由2CD BD =有1233ND NB NC =+，由1122NM NB NA =+ ，设ND NM λ= ，则123322NB NC NB NA λλ+=+ ，即232623NB NA NC λλ-=-，故23λ=，所以2NA NC = ，即C 为AN 中点.又,AD BD M =为AB 中点，所以NM AB ⊥，又π3A =，所以△ABN 为正三角形，又BC 平分AN ，所以BC AN ⊥，所以sin 1C =.18．(1)n a n =(2)2【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式求出12n n S n a +=，再根据11,(1),(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a n =；（2）利用等比数列前n 项和公式求出21n T -，然后应用二项式展开式求余数【详解】（1）由112n n n n S S a a +-=-有11112n n n n n S a S a a +++--=-，即1112n n n n S S a a ++-=，又11a =，故111S a =，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列，所以12n n S n a +=，即12n n n S a +=，故1122n n n S a +++=，两式相减得112122n n n n n a a a ++++=-，即1122n n n n a a ++=，所以11111n n a a a n n +====+ ，因此{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）及2n a n b =，有2n n b =，所以2212242n n n T -=-=-，又011114(31)C 3C 3C 31n n n n n n n n --=+=++++ ，因为011C ,C ,,C n n n n - 均为正整数，所以存在正整数k 使得431n k =+，故221224231n n n T k -=-=-=-，所以21n T -除以3的余数为2.19．(1)证明见解析；(2)19.【分析】(1)取CD 中点,M AB 靠近点A 的三等分点O ，连接,,OM PO PM ，由题意可得四边形OBMC 为矩形，AB OM ⊥，AB PM ⊥，进而可得AB ⊥平面POM ，AB PO ⊥，再由POM 为等腰直角三角形，可得PO OM ⊥，即可得PO ⊥平面ABCD ，进而得证；(2)利用空间向量法求解.【详解】（1）证明：取CD 中点,M AB 靠近点A 的三等分点O ，连接,,OM PO PM，因为底面ABCD 为直角梯形，且AB ∥,CD AB BC ⊥，则有OB ∥,MD OB =,MC 所以四边形OBMC 为平行四边形，又因为90OBC ∠=︒，所以四边形OBMC 为矩形，所以AB OM ⊥，因为PC PD ==所以PM CD ⊥，所以AB PM ⊥，因为,OM PM M OM PM ⋂=⊂､平面POM ，所以AB ⊥平面POM .又PO ⊂平面POM ，所以AB PO ⊥，由2,1PD PA MD OA ====，得3,PO PM ==又3OM BC ==，所以POM 为等腰直角三角形，所以PO OM ⊥，又,,PO AB OM AB O OM AB ⊥⋂=⊂､平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又PO ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .（2）由（1）可知，OB OM OP ､､三条直线两两互相垂直且交于点O ，以O 为坐标原点，OB OM OP ､､分别为x y z ､､轴建立如图空间直角坐标系，则()()()()1,0,0,2,3,0,0,0,3,2,3,0A C P D --，故()()()3,3,0,2,3,3,4,0,0AC PC DC ==-= ，设平面PAC 的法向量为(),,m x y z = ，由00m AC m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,有3302330x y x y z +=⎧⎨+-=⎩，取()3,3,1m =- ，设平面PCD 的法向量为(',',')n x y z =r ，由00n DC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,有4'02'3'3'0x x y z =⎧⎨+-=⎩，取()0,1,1n = ，.设平面PAC 与平面PCD 所成锐二面角为θ，则cos 19m n m nθ⋅==⋅u r r u r r ，故平面PAC 与平面PCD所成锐二面角的余弦值为19.20．(1)列联表见解析，认为经常使用网络直播销售与年龄无关(2)答案见解析【分析】（1）运用图表分布计算补全列联表，运用2χ公式计算与2.706比较即可.（2）分别写出两个方案的分布列并计算两个方案的期望和方差比较即可.【详解】（1）由图1知，“年轻人”占比为45.5%34.5%80%+=，即有20080%160(⨯=人），“非年轻人”有20016040(-=人)由图2知，“经常使用直播销售用户”占比为30.1%19.2%10.7%60%++=，即有20060%120⨯=（人），“不常使用直播销售用户”有20012080-=（人）.“经常使用直播销售用户中的年轻人”有51201006⨯=（人），“经常使用直播销售用户中的非年轻人”有120-10020(=人).∴补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户10020120不常使用直播销隹用户602080合计16040200零假设0H ：经常使用网络直播销售与年龄相互独立，即经常使用网络直播销售与年龄无关.于是100,20,60,20a b c d ====.∴22200(100206020)25 2.083 2.706120801604012χ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.根据小概率0.10α=的独立性检验，我们推断0H 成立，即认为经常使用网络直播销售与年龄无关.（2）若按方案一，设获利1X 万元，则1X 可取的值为300,150,0-，则1X 的分布列为：1X 300150-0p 71015110()()17113001500180(10510E X =⨯+-⨯⨯万元).()2222221711711(300180)(150180)(0180)120330180351001051010510D X =-⨯+--⨯+-⨯=⨯+⨯+⨯=.（或()22221711300(150)01803510010510D X =⨯+-⨯+⨯-=.）若按方案二，设获利2X 万元，则2X 可取的值为500,300,0-，则2X 的分布列为：2X 500300-0p 1215310()()21135003000190(2510E X =⨯+-⨯+⨯=万元)，()2222222113113(500190)(300190)(0190)31049019025102510D X =-⨯+--⨯+-⨯=⨯+⨯+⨯=106900.（或()22222113500(300)01901069002510D X =⨯+-⨯+⨯-=.）∵()()()()1212,<<E X E X D X D X .①方案一与方案二的利润均值差异不大，但方案二的方差要比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一线下销售更稳妥，故选方案一.②方案一的利润均值低于方案二，选择方案二.21．(1)22184x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率可得a ==，设点(),T m n结合椭圆方程整理得TP =2b =，即可得结果；（2）设直线CD 及,C D 的坐标，根据题意结合韦达定理分析运算，注意讨论直线CD 的斜率是否存在.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由椭圆W的离心率为2，得a ==，设点(),T m n 为椭圆上一点，则22221,2m n b n b b b+=-≤≤，则22222m b n =-，因为()0,2P，所以TP =①当02b <<时，max ||4TP =，解得2b =（舍去）；②当2b ≥时，max ||4TP =，解得2b =；综上所述：2b =，则2a c ==，故椭圆W 的标准方程为22184x y +=.（2）①当CD 斜率不存在时，设()000,,C x y x -<<00x ≠，则()00,D x y -，则直线CP 为0022y y x x -=+，令4x =，得00482y y x -=+，即00484,2y B x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，同理可得010484,2y B x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.∵B 与1B 关于x 轴对称，则00004848220y y x x ---+++=，解得04x =>，矛盾；②当直线CD 的斜率存在时，设直线CD 的方程为y kx m =+，2m ≠，设()()1122,,,C x y D x y ，其中10x ≠且20x ≠，联立方程组22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 化简可得()222214280k x kmx m +++-=，()()()222222Δ16421288840k m k m k m =-+-=+->，则2284m k <+，所以2121222428,1212km m x x x x k k --+==++，由()0,2P ，可得121222,PC PD y y k k x x --==，所以直线PC 的方程为1122y y x x -=+，令4x =，得11482y y x -=+，即11484,2y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，直线PD 的方程为2222y y x x -=+，令4x =，得22482y y x -=+，即22484,2y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为1B 和B 关于x 轴对称，则12124848220y y x x --+++=，把1122,kx m y kx m y =+=+代入上式，则()()12214848220kx kx x x m m ++--++=，整理可得()()()12121220k x x m x x ++-+=，则()()22228412201212m km k m k k--+⨯+-⨯=++，∵2m ≠，则20m -≠，可得()()12220k m km +⨯+-=，化简可得42m k =--，则直线CD 的方程为42y kx k =--，即()24y k x +=-，所以直线CD 过定点()4,2-；综上所述：直线CD 过定点()4,2-.【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．（2）动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．22．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）运用导数研究函数单调性及含参一元二次不等式解集即可.（2）由已知得12121,x x x x a +==-，104a -<<，（i ）先证：()()120f x f x ->.证法一：化简不等式为221111112ln 112ln 11x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+>+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，构造同构函数()2ln h x x x =-研究其单调性即可，证法二：运用函数单调性及作差法比较大小即可.（ii ）再证：()()1212f x f x -<.运用121x x =+，12x x a =-等量代换，再与中介值0比较即可.【详解】（1）易知函数()f x 的定义域为(),a +∞，又()()11x x a a f x x x a x a--=-'-=--，当0a =时，()212f x x x =-，0x >，则()1f x x '=-，()01f x x '>⇒>，()001f x x '<⇒<<，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；当0a >时，()01f x x a '>⇒>+，()01f x a x a '<⇒<<+所以()f x 在(),1a a +上单调递减，在()1,a ∞++上单调递增；当10a -<<时，()01f x x a '>⇒>+或0a x <<，()001f x x a '<⇒<<+，所以()f x 在()0,1a +上单调递减，在(),0a 和()1,a ∞++上单调递增；当1a =-时，()0f x '≥，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增；当1a <-时，()00f x x '>⇒>或1a x a <<+，()010f x a x '<⇒+<<，所以()f x 在()1,0a +上单调递减，在(),1a a +和()0,∞+上单调递增.综述：当0a =时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),1a a +上单调递减，在()1,a ∞++上单调递增；当10a -<<时，()f x 在()0,1a +上单调递减，在(),0a 和()1,a ∞++上单调递增；当1a =-时，()0f x '≥，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增；当1a <-时，()f x 在()1,0a +上单调递减，在(),1a a +和()0,∞+上单调递增.（2）由()()2111ln ,022g x f x a a x a x x a x x ⎛⎫=+-+-=--> ⎪⎝⎭，有()21a x x a g x x x x='--=--，由题意可知12,x x 是方程20x x a --=的两个不同的正根，因此12121,0x x x x a +==->，即：a<0，又因为11404a a ∆=+>⇒>-，所以104a -<<，又因为12x x <，所以121012x x <<<<.所以()()()()221211122211ln ln 22f x f x x x a x a x x a x a -=----++-()()()()()221112121212122211ln ln 22x a x a x x x x a x x x x x x a x a x a--=----=+------()11221ln 2x a x x a x a -=----.（i ）先证：()()120f x f x ->.证法一：要证明()()120f x f x ->，只需证明()11221ln 02x a x x a x a---->-，因为104a -<<，12x x a =-，所以只需证明()11221ln 2x a x x a x a ---<-，即证1211221()ln 2x x x a x x x a--<-，又122221111111ln ln ln ln 1ln 111a a x a x x a x a x x a x x --+⎛⎫⎛⎫-===+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭--+，故只需证明1221122121111111111ln 1ln 111222x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+>⋅=⋅-=⋅+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即证221111112ln 112ln 11x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+>+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1201x x <<<，故21111x x <<，所以2111211x x <+<+，令()2ln h x x x =-，2x >，则22()10x h x x x-'=-=<，故()h x 在()2,+∞上单调递减，所以211111h h x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221111112ln 112ln 11x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+>+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，证毕.证法二：因为104a -<<，所以由（1）可知，()f x 在()0,1a +上单调递减，要证()()120f x f x ->，只需证明1201x x a <<<+，因为()22121121110a x x x x x x x +-=-+=-=>，所以21x a <+，故1201x x a <<<+，证毕.（ii ）再证：()()1212f x f x -<.要证()()1212f x f x -<，即证()112211ln 22x a x x a x a ----<-，只需证明()112211ln 22x a a x x x a --<+--，又()()211212111211222212212121222ln ln ln ln 2x x x x x x a x x x x x x x a x x x x x x x x x x x ++-++===-++++，故只需证明()()()2112121212121212221111ln 22222x x x x x x x x x x x x x x x +⋅<+-=++-=+，即证2112121212222221ln 12x x x x x x x x x x x x ++<==++，因为2211212222x x x x x x +<+，所以21121212222ln ln1012x x x x x x x x +<=<++.综上，()()12102f x f x <-<.【点睛】研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．。
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一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．在复平面内，复数21ii-对应的点的坐标在第（ ）象限 （ ）A ．一B ．二C ．三D ．四2．设全集U=R ，集合1|()22xA x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{}2|lg(1)B y y x ==+，则()U C A B = （） A ．{|1,0}x x x ≤-≥或 B ．{(,)|1,0}x y x y ≤-≥C ．{|0}x x ≥D ．{|1}x x >-3.已知等差数列{}n a 中，59710a a a +-=，记12n n S a a a =+++ ，则13S 的值为（ ）A 、260B 、 168C 、 156D 、 130 4．不等式|21|1x -<的解集为（ ）A ．（-1，1）B ．（-1，0）C ．（0，1）D ．（0，2）5.如果过曲线，x x y -=4上点P 处的切线平行于直线23+=x y 那么点P 的坐标为 ( )A 、()1,0B 、()0,1-C 、()0,1D 、()1,0-6．设.R a ∈则”“0112<+--a a a 是“1<a ”成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件7．将函数2cos21y x x =+-的图象向右平移6π个单位，所得函数图像的一个对称中心是（ ）A ．（0，-1）B ．(,0)3πC ．(,0)12πD ．5(,1)12π-- 8.抛物线,42F x y 的焦点为=准线为l ，l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于（ ）A ．33B ．34C ．36D ．389．P 是双曲线116922=-y x 的右支上一点，点N M ,分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的动点，则PN PM -的最小值为( )A ． 1B ． 2C ． 3D ．410.对于函数()f x ，若存在区间[,]M a b =（其中a b <），使得{|(),}y y f x xM M =∈=则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”。
给出下列4个函数：①2()(1);f x x =-②()|21|;x f x =-③()cos;2f x x π=④().x f x e =其中存在“稳定区间”的函数有（）A ．①③B ．①②③C ．①②③④D ．②④二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若//,//,//;a b b c a c 则 ②若,,a b b c a c ⊥⊥⊥则； ③若//,//,a b γγ则a//b ；④若,,//.a b a b γγ⊥⊥则其中真命题的序号是 。
12.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a b c +=-，4AC AB ⋅=-且，则ABC ∆的面积等于 ．13．某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为6，则该几何体体积的最大值为 ．14．设函数.)(,3)(2a x x g a ax x x f -=++-=若不存在．．．R x ∈0，使得0)(0<x f 与0)(0<x g 同时成立，则实数a 的取值范围是 . 15.给出下列四个命题中：①命题“2,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②“2m =-”是“直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的充分不必要条件；③设圆22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->与坐标轴有4个交点，分别为1212(,0),(,0),(0,),(0,)A x B x C y D y ，则12120x x y y -=； ④关于x 的不等式13x x m ++-≥的解集为R ，则4m ≤． 其中所有真命题的序号是 ．三.解答题（共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16.(13分)已知数列{}n a 的前n 项和，122++=n n S n 。
（I ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（II ）记132211...11-+++=n n n a a a a a a T ，求n T17.（本题13分）已知向量33(cos .sin ),(cos(),sin())444343x x x x a b ππ==+-+ ;令2()(),f x a b =+（1）求()f x 解析式及单调递增区间； （2）若5[,]66x ππ∈-，求函数()f x 的最大值和最小值；（3） 若()f x =52，求sin()6x π-的值。
18.（本题13分）已知A 、B 分别是椭圆 的左右两个焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，线段PB 与y 轴的交点M 为线段PB 的中点。
（1）求椭圆的标准方程；（2）点C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC ，求 的值。
19. (本题13分)某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x ，(0,0.048)x ∈，则当x 为多少时，银行可获得最大收益？（提示：银行收益=贷款获得利润－银行支） 22,1(-sin sin sin A BC+12222=+by a x付的利息）20．（本小题满分14分）将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且AE（Ⅰ）求证：DE ⊥AC ；（Ⅱ）求DE 与平面BEC 所成角的正弦值；（Ⅲ）直线BE 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面ADE ，若存在，求点M 的位置，不存在请说明理由．21. （14分）函数1()()2ln f x p x x x =--，2()eg x x=，p R ∈，（1）若()f x 在2x =处取得极值，求p 的值；（2）若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （3）若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求p 的取值范围.龙文中学、漳州二中、漳州八中、芗城中学、程溪中学五校第二次联考2018-2018高三（下）第一次月考 数学（理科）试题（参考答案） 一.选择题三.解答题16.(13分)解：（I ）当1=n 时，411==S a ，………1分 当2≥n 时，121+=-=-n S S a n n n ， ………3分 又1a 不适合上式， ∴⎩⎨⎧≥+==2,121,4n n n a n ………5分（II ）∵541121⨯=a a ，22233()()212[cos cos()sin sin()]144344322cos()3x x x x f x a b a a b b x πππ=+=+⋅+=++-++=++……3分()f x ∴增区间为：4[2,2]32k k ππππ--，k Z∈ ………5分（2）由5[,],66x ππ∈-得7[,]366x πππ+∈，1cos()3x π-≤+≤………7分（3）51()22cos()cos()3234f x x x ππ=++=∴+=， ………11分 所以1si 66x xππ-=。
………13分∴2222222211112,1,12c a b c a b a b c=⎧⎪⎪+====⎨⎪⎪=+⎩解得 ………5分∴椭圆的标准方程为222y x +=1 ………6分（2）∵点C 在椭圆上，A 、B 是椭圆的两个焦点 ∴AC ＋BC ＝2a＝，AB ＝2c ＝2 ………9分在△ABC 中，由正弦定理， ∴＝ ………13分即0.012x =时， 1.44y =；由21.44(0.012)k =⋅，得10000k =，……3分 故2()10000f x x =，由于296030000y x x '=-，则0y '=， 即2960300000x x -=，得x =或0.032x =． (10)分sin sin sin BC AC ABA B C==sin sin sin A BC+2BC AC AB +==故当0.032x =时，y 有最大值，其值约为0.164亿． (13)分20.解：（Ⅰ）以A 为坐标原点AB,AD,AE 所在的直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系则E ,(2,0,0)B ,(0,2,0)D(0,-2DE ∴=，(1AC =(0,-2(1,10DE AC ∴⋅=⋅=故DE ⊥AC ………5分（Ⅱ）设平面BCE 的法向量为(,)n x y z =， 则00n EB n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即200x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩z y x ⎧=⎪∴⎨=-⎪⎩令x=1得n=又(0,-2DE=………7分设平面DE与平面BCE所成角为θ，则sin cos,n DEn DEn DEθ⋅=<>==………8分因为CM∥面ADE，则CM AB⊥即0CM AB⋅=得21=0λ-1=2λ∴故点M为BE的中点时CM∥面ADE. ………14分（2）由已知，0)('≥xf恒成立，或0)('≤xf恒成立.若0)('≥xf恒成立，即122+≥xxp在()+∞∈,0x恒成立，即max212⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≥xxp则当1=x 时，1)(max =x h ；当0→x 或+∞→x 时，0)(min →x h 0≤∴p 或1≥p ………9分（3）)(x g 在[]e ,1上单调递减，)(x g ∴的值域为[]e 2,2. ………10分①若1≥p ，由（2）知：)(x f 在[]e ,1上单调递增，)(x f ∴的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2)1(,0e e p . 要满足题意，则22)1(>--ee p 即可，142->∴e e p ………12分min max )(20)(x g x f =<= ，∴此时不满足题意. (13)分min )(221x g e e =<--，∴此时不满足题意.。