北航土力学课件 03第三章 弹性地基的应力和变形

z 2 2 2 2 2 R 0 1 2 3 4 r =sqrt(z ^2+R ^2) 2 2.236 2.828 3.606 4.472 Q 100 100 100 100 100
σz =
3 Qz
3
2 πr 5
σz=3×Q ×z ^3/(2×3.14159×r ^5) 11.94 6.83 2.11 0.63 0.21
rwh
Z
地下水下降，有效自重应力增大 地下水上升，有效自重应力减小
6
讨论题：地下水对地基的影响，利用及防治
3.2基底的接触压力
一、基底的接触压力
（一）柔性基础 柔性基础的抗弯刚度很小，可以 随地基的变形而任意弯曲 （a)荷载均布时，接触压应力 p(x,y)=常数 （b)沉降均匀时，接触压应力 p(x,y)=常数 (b)
3m 4m 4m 3m 2m 1m
Q=100kN
z=2m
0.6kPa 2.1kPa 6.8kPa 11. 9（kPa) 0.2kPa
σ z 分布图
Q=100kN
2m 1m 47.8kPa 11.9kPa 5.3kPa 3kPa σ 分布图 z
21
例题3.1 Excel计算表
（1）在地基中z=2m的水平面上，不同深度处的附加应力
2
3.1 概 述 一、土中自重应力
图中： γ ′ : 土的有效重度
σ = Eε
τ = Gγ
E —弹性模量（或称 变形模量E0，可由现 场载荷试验得出)。 G —剪切弹性模量
不同深度土的应力应变关系
3
3.1概述 二、成层土中竖向自重应力沿深度的分布
重力W = 重度×体积 = γ ⋅ T 浮力F = 水的重度 × 排开物的体积 = γ w ⋅ T 浮重力 = 重力 − 浮力 = T (γ − γ w ) 浮重度（有效重度）γ ′ = γ sat − γ w
3.1 概述 3.2 基底的接触压力 3.3 各种荷载作用下弹性地基中 的附加应力 3.4 地基的变形
1
3.1 概 述
一、土中自重应力
天然地面
σ cz = γ z
σ cz
σ
cx
= σ
cy
= K 0γ z
= τ zx = 0
γz
τ xy = τ
σ cz = γ z
z
σ cz 线
yz
1
z
σ cz = γ z
L
y
x
B
（3）圆形基础的接触压应力
Q 1 p (r ) = 2πR 2 1 − (r / R ) 2
Q
10
3.2基底的接触压力 一、基底的接触压力
（二）刚性基础 2、简化计算
Q p 实测值 计算值 应力重分布 简化计算 基底反力均匀分布
11
3.2基底的接触压力 二、基底压力的简化计算
F
（一）中心荷载下的基底压力
柔性基础
7
(a)
3.2基底的接触压力
一、基底的接触压力
（二）刚性基础 刚性基础的抗弯刚度很大，受荷 后原来是平面的基底沉降后仍然保持 平面
柔性基础
荷载均布、沉降均匀，接触 压应力 p(x,y)=常数
刚性基础
8
3.2基底的接触压力 一、基底的接触压力
（二）刚性基础 1、布森涅斯克解 假定：地基是半无限弹性 体，基础底面没有摩擦力。 （1）条形基础的接触压应力
y e x b
或
F+G
M
式中： M—作用于矩形基底力矩设计值 kN.m
bl 2 W—基础底面的抵抗矩 W = , m3 6
e<l /6小偏心 pmax
k
e—偏心荷载的偏心矩
e=
M F +G
m
pmin
e>l /6大偏心
在上式中，当 e=l/6时，pmin=0 当e>l/6时，pmin<0，此时属于大偏心 按下式计算
一、集中荷载作用下地基中的附加应力
1、圆柱坐标系下：
3Qz 3 σz = 2π r 5 Q σρ = 2π r 2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ τ zρ
Q
o
θ
ρ
r P
σt
⎡ 3ρ 2 z r − (1 − 2ν ) ⎢ 3 r+ ⎣ r Q z r σ t = − (1 − 2ν ) ( − ) 2 2π r r r + z 2 3Q ρ z τ ρz = 2π r 5
γ w h3
γ w (h3 + h4 )
′ γ 1h1 + γ 2 h2 + γ 3h3 ′ +γ 4 h4 + γ w (h3 + h4 )
h3
γ 4 , γ′4
h4
不透水层面
z
5
3.1 概 述 三、地下水位升降对土中自重应力的影响
σcz
原地下水位
变动后地下水位
h
变动后地下水位
h
原地下水位
rwh
2Q 1 p( x) = πB 1 − ( 2 x / B ) 2
B x 实测值 P(x) 计算值
9
x=0 x = B/2
2Q p( x) = πB
p (x) = ∞
应力重分布
3.2基底的接触压力
一、基底的接触压力
（二）刚性基础 1、布森涅斯克解 （2）长方形基础的接触压应力
4Q 1 p ( x, y ) = 2 π BL 1 − (2 x / B) 2 1 − ( 2 y / L) 2
pmax =
2( F + G ) 3kb
pmax
3k=3(l / 2 – e)
13
3.2基底的接触压力 二、基底压力的简化计算
（二）偏心荷载下的基底压力 矩形基础在双向偏心荷载作 用下，若 pmin ≥ 0 则矩形基底边缘四个角点 处的压力可由下式计算
pmax ⎫ F + G M x M y ± ± ⎬= pmin ⎭ A Wx W y
d —基础埋深，从天然地面算起，m。
15
3.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力
一、集中荷载作用下地基中的附加应力 二、线荷载作用下地基中的附加应力 三、条形荷载作用下地基中的附加应力 四、面荷载作用下地基中的附加应力
P
布森涅斯克解 假设地基土为弹性半空间体
M(x、y、z）
半空间表面
y
x
z
16
3.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力
（2）在荷载作用点下不同深度处的附加应力
z 0 1 2 3 4 R 0 0 0 0 0 r =sqrt(z ^2+R ^2) 0 1.000 2.000 3.000 4.000 Q 100 100 100 100 100 σz=3×Q×z ^3/(2×3.14159×r ^5) ∞ 47.75 11.94 5.31 2.98 22
σ
σ
cz —天然地面任意深度z处水平面上的竖直自重应力。
cx 、
σ
cy —天然地面任意深度z处竖直面上的水平自重应力。
K0 —土的侧压力系数或静止土压力系数。由实测或经验公式确定。 ν 如： K0 = ，K0 =1− sinϕ 1−ν
τ
xy
、 τ
yz
、 τ
zx —天然地面任意深度z处土单元体的剪应应力。
o
ρ
x
r P
σx
σy
σz
σz
τ zx τ
yx
τ zy
ห้องสมุดไป่ตู้
τ xy
σ y τ yz τ xz
σx
直角坐标系下 19 的应力分量
3.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力
一、集中荷载作用下地基中的附加应力
直角坐标系下的位移分量
u u u
z
x
⎡ z Q 2 (1 − ν ) ⎤ = + ⎢ ⎥ 4πG ⎣ r 3 r ⎦ ⎡ z Qx 1 − 2ν ⎤ = − ⎢ ⎥ 4πG ⎣ r 3 r (r + z) ⎦
在地基上作用一集中力 Q=100kN，要求确定： （1）在地基中z=2m的水平面上， 水平距离r = 0、1、2、3、4m处各点 的附加应力 σ z 值，并绘出分布图； （2）在地基中r =0的竖直线上距地 基表面z = 0、1、2、3、4m处各点的 附加应力 σ z 值，并绘出分布图； 解（1） 3 Qz 3 σz = 由公式 2 πr 5 计算表见下页，计算结果绘 于图中 同理（2）计算表见下页，计 算结果绘于图中
2
⎫
式中：
G：土的剪切弹性模量 G =
E 2(1 + ν)
E：土的弹性模量，土力学中称为土的变形模量E0
当z=0时, 地表沉降为
Q (1 + ν ) 2 (1 − ν ) Q (1 − ν 2 ) = u z ( x , y ,0 ) = 20 2πE r π Er
例题3.1（集中荷载作用下地基中的附加应力分布）
2
y
=
⎡ z Qy 1 − 2ν ⎤ − ⎢ ⎥ 4πG ⎣ r 3 r (r + z) ⎦
2 (1 − ν ) ⎤ Q (1 + ν ) ⎡ z ⎫ uz = ⎢ 3 + ⎥ ⎪ ⎪ 2πE r r ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 − 2ν ⎤ ⎪ Qx (1 + ν ) ⎡ z ⎪ ∴u = x ⎢ 3 − ⎥⎬ ⎬ 2πE r (r + z) ⎦ ⎪ r ⎣ ⎪ ⎪ 1 − 2ν ⎤⎪ Qy (1 + ν ) ⎡ z ⎪ uy = ⎢ 3 − ⎥⎪ ⎪ 2πE r (r + z ) ⎦ ⎪ ⎭ ⎣r ⎭
18
3.3 各种荷载作用下弹性地基中的附加应力