安徽省宿州市2018届高三上学期第一次教学质量检测数学(理)试题+扫描版含答案

宿州市2018届高三第一次质量检测试卷

数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二.选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．4π ； 14. 480-； 15. 1； 16. 2⎤⎥⎝⎦

.

三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17．解：（I ）由已知有121n n n a a n n

+=++ 12n n n b b +∴=+，又111b a ==，

利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式:

21n n b =-(*n N ∈)……………………………………………………6分 （II ）由（I ）知2n n a n n =⋅-,

∴23(1222322)(123)n n S n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+++⋅⋅⋅+

而1123(1)2

n n n +++⋅⋅⋅+=+, 令231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ①

①×2得

234121222322n n T n +=

⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅②

①-②得 23122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅

12(12)212

n n n +-=-⋅- 12(1)2n n +=-+-⋅

12(1)2n n T n +∴=+-⋅

∴n S =1(1)2(1)22

n n n n +++-⋅-…………………………………………………12分 18.解：(Ⅰ)取AD 的中点O ，连,,OE OC CA ，

60ABC ∠= ，ACD ∴∆为等边三角形，

AD OC ∴⊥，又AD CE ⊥

AD COE ∴⊥平面，

AD OE ∴⊥，又//OE PD

AD PD ∴⊥，又90PDC ∠=

PD ∴⊥平面ABCD ，又PD ⊆平面PAD

∴平面PAD ABCD ⊥平面.………………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ) 知OE ⊥平面ABCD ，AD OC ⊥，以,,OC OD OE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设菱形ABCD 的边长为2

，则OC

，BD =因为直线PB 与底面ABCD 成30 角，即30PBD ∠=

tan 2PD BD PBD ∴=⋅∠==…………………………………6分

2,0),(0,0,1),(0.1,2)B C E P ∴-

((0,2,0),(0,1,1)CE CB EP ∴==-=

设1111(,,)n x y z = 为平面BCE 1111100200n CE z y n CB ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩ ，令11x =1(1n ∴= 设2222(,,)n x y z = 为平面PCE 2222220000n CE z y z n EP ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩ ，令21x =，则 22y z == 2(1,n ∴= ……………………………………10分 121212cos ,7n n n n n n ⋅∴<>===⋅ ，由题可知二面角B CE P --的平面角为钝角， 所以二面角B CE P --的余弦值为7

-.………………………………………12分 19.解：（I ）因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4600度，则该户本年度应交电费为 4600×0.5653 +（4200-2160）×0.05 +（4600-4200）×0.3=2822.38元 …………3分 （II ）设取到第二阶梯电量的用户数为X ，可知第二阶梯电量的用户有4户，则X 可取0，

1，2，3，4.

()04461040141C C p X C ===,()134********C C p X C ===，()2246104237

C C p X C === ()31461403345C C p X C ===,()404641014210

C C p X C === 故X 的分布列是

所以()1834182173521050123414E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………7分 （III ）由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足2~10,

5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知 ()10102355k k k p X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()0,1,2,3,10k =

11910101101110010112323()()()()5555 2323()()()()5555k k k k k k k k k k

k k C C C C

--++----⎧⎪≥⎨≥⎪⎪⎪⎩

,解得217552k ≤≤， *k N ∈

所以当4k =时，概率最大，所以4k =.…………………………………………12分

20.解：（I ）直线AB 的方程为1x y a b

+=，即bx +ay 0ab -=，由圆O 与直线AB 相=222245a b a b =+①. 设椭圆的半焦距为c ，则2

c e a ==，所以222114b e a =-=②. 由①②得24a =，2

1b =. 故椭圆的标准方程为2

214

x y += ……………………………………4分 （II ）1214

k k ⋅=为定值，证明过程如下：