2017高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用7二次函数与幂函数课时作业理

课时作业7 二次函数与幂函数一、选择题1．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4，2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( ) A. 3 B ．± 3 C ．±9D ．9解析：由已知条件可得4α＝22α＝2，所以α＝12，则f (x )＝x 12＝x ，故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9，选D.答案：D2．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过的象限是( )A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第二、四象限解析：画出函数图象即可． 答案：D3．二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 的图象的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：∵二次函数的图象的顶点在x 轴上，∴Δ＝16＋4t ＝0，可得t ＝－4. 答案：A4．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是( ) A ．f (－2)<f (0)<f (2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (0)<f (2)<f (－2) D ．f (－2)<f (2)<f (0)解析：∵f (1＋x )＝f (－x )，∴(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝x 2－bx ＋c ，∴x 2＋(2＋b )x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c ，∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴方程为x＝12， ∴f (0)<f (2)<f (－2)．答案：C5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )解析：∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0.故开口向上，在y 轴截距小于0，选D. 答案：D6．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．0解析：设x ∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0，1]，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)，又f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝2f (x ＋1)＝4f (x )，∴f (x )＝14(x 2＋3x ＋2)，∴当x ＝－32时，取到最小值为－116.答案：A 二、填空题7．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不经过原点，则实数m 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －2≤0，解得m ＝1或m ＝2.经检验，m ＝1或m ＝2都符合题意．答案：1或28．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________．解析：由f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，4]，可知b ≠0， ∴f (x )为二次函数，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2. ∵f (x )为偶函数，∴其对称轴为x ＝0，∴－(2a ＋ab )＝0，解得a ＝0或b ＝－2.若a ＝0， 则f (x )＝bx 2，与值域是(－∞，4]矛盾， ∴a ≠0，b ＝－2，又f (x )的最大值为4， ∴2a 2＝4，∴f (x )＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋49．若方程x 2＋ax －2＝0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为________． 解析：令f (x )＝x 2＋ax －2，由题意知f (x )的图象过(0，－2)，且与x 轴在区间[1，5]上有交点，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （5）≥0，解得－235≤a ≤1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]， 对称轴x ＝－32∈[－2，3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15， ∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.(2)函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1.11．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2，4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2，3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f （3）＝5，f （2）＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2，3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f （3）＝2，f （2）＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0， 即f (x )＝x 2－2x ＋2.g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，∵g (x )在[2，4]上单调， ∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4. ∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．1．(2015·四川卷)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25D.812解析：当m ≠2时，二次函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1的对称轴为x ＝8－n m －2.①若m ＝0时，f (x )＝－x 2＋(n －8)x ＋1，8－n －2≤12，n ≤9，mn ＝0；②若0<m <2时，m －2<0，f (x )的图象是开口向下的抛物线，则8－n m －2≤12，∴2n ＋m ≤18，由⎩⎨⎧22mn ≤18，2n ＝m得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝92，n ＝9，mn ≤812(舍去)；③若m >2时，m －2>0，f (x )的图象是开口向上的抛物线，则8－nm －2≥2，∴2m ＋n ≤12，由⎩⎨⎧22mn ≤12，2m ＝n 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝6，mn ≤18当m ＝2时，一次函数f (x )＝(n －8)x ＋1单调递减，则n <8，mn <16.综上，mn ≤18.答案：B2．(2015·福建卷)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：因为a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个零点，所以a ＋b ＝p ，ab ＝q (b >a >0)，又因为a ，b ，－2可适当排序后成等比数列，所以ab ＝4，所以a ，－2，b 是等比数列．a ，b ，－2也可适当排序后成等差数列，所以－2，a ，b 是等差数列，所以2a ＝b －2，解得a ＝1，b ＝4，所以p ＋q ＝a ＋b ＋ab ＝1＋4＋4＝9.答案：D3．(2015·陕西卷)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f (x )的零点B ．1是f (x )的极值点C ．3是f (x )的极值D ．点(2，8)在曲线y ＝f (x )上解析：设函数式为y ＝a (x ＋h )2＋k .若3是极大值，则二次函数图象开口向下，图象不可能过点(2，8)，而应该过点(－1，0)，此时应有a (－1－1)2＋3＝0，即a ＝－34，这与a为非零整数矛盾．若3是极小值，则二次函数图象开口向上，图象不可能过点(－1，0)，而应该过点(2，8)，此时应有a (2－1)2＋3＝8，即a ＝5，此时函数解析式为y ＝5(x －1)2＋3，符合题意．故B 、C 、D 可以同时成立，A 错误，应选A.答案：A4．(2015·浙江卷)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1，1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1，1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．解：(1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝－a 2.当－a2≥1，即a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－1≤－a2<1，即－2<a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.当－a2<－1，即a >2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2<a ≤2，a 24－a ＋2，a >2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1， 则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2tt ＋2(－1≤t ≤1)．当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2，由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t2t ＋2≤9－45，所以－23≤b ≤9－4 5.当－1≤t <0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2<0和－3≤t －2t2t ＋2<0，所以－3≤b <0.故b 的取值范围是[－3，9－45]．。