八年级数学上册第14章全等三角形小结与复习学案沪科版
沪科版八年级数学上册第14章 全等形和全等三角形 专题复习(解析版)
八年级数学全等形和全等三角形专题复习考点总结【思维导图】【知识要点】知识点1全等三角形及其性质全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形.特征：①形状相同。
②大小相等。
③对应边相等、对应角相等。
全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.小结：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。
书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。
变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
1．（2017·四川中考模拟）已知四边形ABCD各边长如图所示，且四边形OPEF≌四边形ABCD．则PE的长为（）A．3 B．5 C．6 D．10【答案】D【详解】∵四边形OPEF≌四边形ABCD∴PE=BC=10，故选D.2．（2019·福建中考模拟）如图，若△MNP≌△MEQ，则点Q应是图中的（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【详解】∵△MNP≌△MEQ，∴点Q应是图中的D点，如图，故选：D．3．（2018·广西中考模拟）下列说法中不正确的是（）A．全等三角形的周长相等B．全等三角形的面积相等C．全等三角形能重合D．全等三角形一定是等边三角形【答案】D【详解】根据全等三角形的性质可知A，B，C命题均正确，故选项均错误；D.错误，全等三角也可能是直角三角，故选项正确.故选D.考查题型一利用全等三角形性质求线段与角1．（2019·武冈市第七中学中考模拟）如图，三角形纸片ABC，AB＝10CM，BC＝7CM，AC＝6CM，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（）A．9CM B．13CM C．16CM D．10CM【答案】A【解析】解：由折叠的性质知，CD=DE，BC=BE=7CM．∵AB=10CM，BC=7CM，∴AE=AB﹣BE=3CM．△AED的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9（CM）．故选A．2．（2017·江苏南京溧水孔镇中学中考模拟）如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC=5CM，BF=7CM，则EC长为（）A．1CM B．2CM C．3CM D．4CM【答案】C【详解】解：∵△ABC≌△BAD，∴EF=BC=5CM，∵BF=7CM，BC=5CM，∴CF=EF-CF=3 CM，故选C．3．（2016·广东中考模拟）如图，△ACB≌△A′CB′,∠ACA′=30°，则∠BCB′的度数为()A．20°B．30°C．35°D．40°【答案】B【详解】∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′C′B′，∴∠ACB-∠A′CB=∠A′C′B′-∠A′CB，即∠BCB′=∠ACA′，又∠ACA′=30°，∴∠BCB′=30°，故选：B．4．（2019·沂源县中庄中学初一月考）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△CDE,AB=6,BC=8,CE=10.（1）求△ABC的周长；（2）求△ACE的面积.【答案】（1）24；（2）50【详解】解：（1））∵△ABC≌△CDE∴AC=CE∴△ABC的周长=AB+BC+AC=24（2）∵△ABC≌△CDE∴AC=CE，∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE又∠B=90°∴∠ACB+∠BAC=90°∴∠ACB+∠DCE=90°∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90°×AC×CE=50∴△ACE的面积=12考查题型二利用全等三角形性质证明线段、角相等1．（2019·湖北黄石十四中初二期中）如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC，求证：CE平分∠BED．【答案】见解析【详解】∵△ABC≌△DEC，∴∠B=∠DEC，BC=EC，∴∠B=∠BEC，∴∠BEC=∠DEC，∴CE平分∠BED．2．（2018·颍上县第五中学初二期中）若△ABC≌△DCB，求证：∠ABE=∠DCE.【答案】见解析【详解】证明：∵△ABC≌△DCB∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC∴∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB即∠ABE=∠DCE知识点2：全等三角形的判定（重点）注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；②全等三角形周长、面积相等．证题的思路（重点）：考查题型三 已知一边一角（若边为角的对边，找任意角AAS ）1．（2018·四川中考模拟）如图，AB=AE ，∠1=∠2，∠C=∠D ．求证:AC=AD ．【答案】见解析【解析】详解：∵∠1=∠2∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC∴∠BAC=∠EAD在ΔABC 和ΔAED 中{∠BAC =∠EAD∠C =∠D AB =AE∴ΔABC ≌ΔAED （AAS)∴AC=AD2．（2014·北京中考模拟）已知：如图，E 是AC 上一点，AB=CE ，AB ∥CD ，∠ACB =∠D ．求证：BC =ED ．【答案】证明见解析.【详解】∵AB∥CD，∴∠A=∠ECD.在△ABC和△ECD中，∵∠A＝∠ECD，∠ACB＝∠D，AB＝CE，∴△ABC≌△ECD（AAS）.∴BC=DE．3．（2018·四川中考模拟）已知，如图，E、F分别为□ABCD的边BC、AD上的点，且∠1=∠2,.求证：AE=CF.【答案】详见解析【详解】∵四边形ABCD为平行四边形∴∠B=∠D，AB=CD在△ABE与△CDF中，∠1=∠2，∠B=∠D，AB=CD∴△ABE≌△CDF∴AE=CF4．（2016·福建中考模拟）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE．求证：△ACD≌△CBE．【答案】证明详见解析.【详解】∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠E=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∵∠B+∠BCE=90°，∴∠B=∠ACD，在△BEC和△CDA中，∠ADC=∠E=90°，∠B=∠ACD，AC=BC，∴△ACD≌△CBE（AAS）．考查题型四已知一边一角（边为角的邻边（找已知角的另一边SAS））1．（2016·四川中考真题）如图，C是线段AB的中点，CD=BE，CD∥BE．求证：∠D=∠E．【答案】见解析【详解】∵C是线段AB的中点，∴AC=CB，∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B，在△ACD和△CBE中，∵AC=CB，∠ACD=∠B，CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴∠D=∠E．2．（2018·云南中考模拟）如图，点E，F在AB上，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF．求证：∠C＝∠D．【答案】证明见解析【详解】证明：∵AE＝BF，∴AE+EF ＝BF+EF ，∴AF ＝BE ，在△ADF 与△BCE 中，AD BC A B AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△BCE （SAS ），∴∠C ＝∠D ．3．（2019·辽宁中考真题）如图，点E ，F 在BC 上，BE =CF ，AB =DC ，∠B =∠C ，求证：AF =DE ．【答案】见解析；【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +EF =CF +EF ，即BF =CE ，在ΔABF 和ΔDCE 中，{AB =DC∠B =∠C BF =CE，∴ΔABF ≌ΔDCE (SAS)∴AF =DE ．考查题型五 已知一边一角（边为角的邻边（找已知边的对角AAS ））1．（2013·浙江中考真题）如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且∠A=∠D ，AB=DC ．（1）求证：△ABE ≌DCE ；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC 的度数。
最新沪科版八年级数学上册 第14章 全等三角形 教案5
最新沪科版八年级数学上册第14章全等三角形教案14.2.4三角形全等的判定一、教学目标1.探索“斜边、直角边”的判定方法.2.能运用“斜边、直角边”的判定方法进行两个直角三角形全等的判定.二、重点掌握直角三角形“斜边、直角边”的判定方法.三、难点三角形全等的判定方法的综合运用.四、教学过程一、创设情境,导入新知师:我们都学习了哪些判定两个三角形全等的方法?生甲:边角边.生乙:角边角.生丙:角角边.生丁:边边边.师:其实,在三角形的六个基本元素中选择三个元素对应相等,除了可以配成SAS、ASA、SSS外,还可以配成:AAA、SSA、AAS.教师板书:SAS、ASA、AAS、SSS、AAA、SSA师:当时我们举出说明了两边和其中一边的对角分别相等以及AAA不能判定两个三角形全等,现在如果其中一边对的角是直角的话,这两个三角表什么全等吗?学生思考,讨论.师:如果给你两条边,并且说明了一边对的是直角,这个三角形是确定的吗?学生画图操作后回答:是确定的.二、共同探究,获取新知教师多媒体出示:已知:Rt△ABC,其中∠C为直角.求作:Rt△A'B'C',使∠C'为直角,A'C'=AC,A'B'=AB.学生讨论作法,老师参与.教师多媒体出示:作法:(1)作∠MC'N=∠C=90°;(2)在C'M上截取C'A'=CA;(3)以A'为圆心、AB长为半径画弧,交C'N于B';(4)连接A'B'.学生作图.师:请同学们将画好的Rt△A'B'C'与Rt△ABC叠一叠,看看它们是否完全重合?学生操作.生:重合.师:由此你能得到什么结论?生:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.师:对,我们把这个判定方法简记为“斜边、直角边”或“HL”.三、举例应用,加深理解教师多媒体出示:【例1】已知:如图所示,∠BAC=∠CDB=90°,AC=DB.求证:AB=DC.学生思考、交流讨论.师:要证两个三角形的两条边相等,先证什么?生:先证它们所在的三角形全等.师:你怎么证它们全等呢?生:由它们都有直角得到它们是直角三角形,已知了一组对应的直角相等.又有一组斜边相等,所以由“斜边、直角边”可以判定它们全等.师:很好!老师找一名学生板演解题过程,其余学生在下面做,然后集体订正.证明:∵∠BAC=∠CDB=90°,(已知)∴△BAC、△CDB都是直角三角形.又∵AC=DB,(已知)BC=CB,(公共边)∴Rt△ABC≌Rt△DCB.(HL)∴AB=DC.(全等三角形的对应边相等)师:我们一共学习了几种判定两个三角形全等的方法?生:四种.师:在实际应用中,问题会比较复杂,可能会用到两次甚至更多次的全等证明,所以大家要对这些方法深入理解,要能灵活运用.【例2】已知:如图所示,AB=CD,BC=DA,E、F是AC上的两点,且AE=CF.求证:BF=DE.学生思考并交流讨论.师:要证BF=DE,需先证什么?生甲:△BCF≌△DAE.生乙:△ABF≌△CDE.师:同学们回答得很好.我们先来看△BCF≌△DAE的证明,已经有的与这个结论的证明有关的条件有哪些?生:BC=DA,AE=CF.师:那我们还要加上一个什么条件就能证出两个三角形是全等的呢?生甲:∠BCF=∠DAE,然后用边角边的判定方法判定.生乙:BF=DE,然后用边边边的判定方法判定.师:∠BCF=∠DAE可以,BF=DE不行,因为这是我们要证的最终结果,现在我们看怎么证∠BCF=∠DAE.这两个角除了分别是△BCF和△DAE的内角外,还是哪两个三角形的内角?生:还分别是△BCA和△DAC的内角.师:我们是不是可以证它们是全等的?生:可以.师:怎么证呢?生:AB=CD,BC=DA是已知的,CA和AC是公共边,根据边边边的判定方法可以证出这两个三角形全等.师:很好,我们现在把这个过程从前到后梳理一下,先根据边边边来证△BCA和△DAC全等,再根据全等三角形的对应角相等证得∠BCF=∠DAE,然后加上BC=DA,CF=AE,用边角边的判定方法证出它们全等,然后根据全等三角形的对应边相等,得到BF=DE.教师找一名学生板书过程,其余学生在下面写,然后集体订正.证明:在△ABC和△CDA中,∵∴△ABC≌△CDA.(SSS)∴∠1=∠2.(全等三角形的对应角相等).在△BCF与△DAE中,∵∴△BCF≌△DAE,(SAS)∴BF=DE.(全等三角形的对应边相等)四、练习新知,学以致用教师多媒体出示:【例3】证明:全等三角形对应边上的高相等.学生交流讨论,写出已知求证.已知:如图所示.△ABC≌△A'B'C',AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高,求证:AD=A'D'.教师找一名学生回答他解这道题的思路,再找一名学生补充完善.教师找两名学生板演证明过程,然后教师和学生一起订正.证明:∵△ABC≌△A'B'C'(已知)∴AB=A'B',∠B=∠B'.(全等三角形的对应边,对应角相等)∵AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高,∴∠ADB=∠A'D'B'=90°.(垂直的定义)在△ABD与△A'B'D'中,∵∴△ABD≌△A'B'D',(AAS)∴AD=A'D'.(全等三角形的对应边相等)五、课堂小结师:今天你又学习了什么新的知识?学生回答.师:你还有哪些疑问?五、教学反思在学习了三角形全等的四种判定方法后,我详细讲解了例题,目的是要求学生掌握三角形全等的四种判定方法,学会分析三角形全等条件的探究和证明思路的寻求,培养学生的发散思维能力.在学生自主复习整理四个判定判定方法后,我安排了证明全等的思路探究,让学生讨论已知三角形的两个元素,还要知道什么元素来得到.在讨论四种情形(两组边、边角相邻、边角相对和两个角)后,小组讨论应寻找的第三个条件,这是培养学生发散思维的很好的手段,虽然耗时,但取得的教学效果很好.。
新版沪科版八年级上册教案第14章 全等三角形本章小结
本章小结教学目标1. 知识与技能学会运用三角形全等的判定方法，发展推理能力2. 过程与方法经历归纳总结全等三角形的过程，深化思维能力，提高逻辑思维和表达能力3. 情感态度与价值观培养合情推理的能力和创新意识教学重点判定两个三角形全等的方法教学难点运用已学过的三角形全等的方法，解决实际问题教学过程一、 回顾交流1． 知识结构三角形全等⎪⎩⎪⎨⎧等的条件判定两个直角三角形全条件判定两个三角形全等的的条件确定三角形形状与大小 2．①判定定理SAS, ASA, AAS, SSS, HL②全等三角形性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等③“SSA ”和“AAA ”不能判定两个三角形全等二、 课堂演练1． 如图所示，在△ABC 中, ∠C=90°,AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，你能找出一对全等三角形吗？若有，请说明理由.AC B ED分析：由∠C=∠AED, ∠DAE=∠DAC,AD=AD 证明△AED ≌△ACD (AAS)2． 已知如图所示，AB=CD,AD=BC,过BD 的中点O 作直线，分别交AB,CD 于G 、H ，交DA 、BC 的延长线于E 、F ，求证：GE=HFGHOD CA BEF分析：要证GE=HF可证△AGE≌△CHF而证明△AGE≌△CHF的途径不唯一，可由“SAS ”，“ASA”或“AAS”来实现三、课堂练习P109复习题A四、课堂小结熟练掌握三角形全等的判定定理，并运用定理解决相关问题五、作业布置全品作业六、反思：。
沪科版八年级上册数学第14章《全等三角形》教学设计
沪科版八年级上册数学第14章《全等三角形》教学设计一. 教材分析《全等三角形》是沪科版八年级上册数学第14章的内容，本章主要让学生了解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质和判定方法，以及会运用全等三角形解决一些实际问题。
全等三角形是几何中的一个重要概念，也是后续学习的基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了三角形的性质，对图形的变换有一定的了解，但全等三角形是一个全新的概念，需要学生进行一定的转换和拓展。
学生在学习过程中可能对全等三角形的判定方法理解起来有一定的困难，需要通过大量的实例来加深理解。
三. 教学目标1.了解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质和判定方法。
2.能够运用全等三角形解决一些实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.全等三角形的概念及判定方法。
2.全等三角形的性质。
3.运用全等三角形解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探索全等三角形的性质和判定方法。
2.利用多媒体辅助教学，展示图形变换过程，增强学生的空间想象能力。
3.采用案例分析法，让学生通过分析实例，加深对全等三角形概念的理解。
4.小组讨论，培养学生的合作精神和交流能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.全等三角形的案例资料。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习三角形的相关知识，引出全等三角形的概念。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示全等三角形的实例，让学生观察并思考：如何判断两个三角形全等？3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找出几个全等的三角形，并说明判定方法。
教师巡回指导，给予反馈。
4.巩固（10分钟）教师选取一些判断题，让学生判断两个三角形是否全等。
答案正确的学生可以获得小奖品。
5.拓展（10分钟）让学生运用全等三角形的知识解决一些实际问题，如在平面几何中，如何证明两个三角形全等？6.小结（5分钟）教师总结全等三角形的概念、性质和判定方法，强调重点知识点。
最新沪科版初二数学上册第14章 全等三角形 全单元教案
14．1 全等三角形教学目标1．了解全等形及全等三角形的概念，掌握全等三角形的表示方法，理解和掌握全等三角形的性质；(重点)2．了解对应边和对应角的概念，能准确找到全等三角形的对应边和对应角；(难点)3．学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验，在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣．教学过程一、情境导入在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形，这类图形在几何学中具有特殊的意义．观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形．你能再举出一些例子吗？二、合作探究探究点一：全等图形的认识【类型一】全等形的概念下列图形中是全等图形的有( )A．1对B．2对C．3对D．4对个正方形大小不相等，所以不是全等形．故全等图形有3对．故选C.方法总结：根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形，对各图形进行判断．【类型二】全等形的性质下列说法正确的是____________(填写语句的序号)．①形状相同的图形是全等图形；②边长相等的等边三角形是全等图形；③面积相等的三角形是全等三角形；④平移前后的两个图形一定是全等形；⑤全等图形的对应边和对应角都相等．解析：根据全等图形的性质对各小题分析判断即可得解．①形状相同，大小相等的图形是全等图形，故本小题错误；②边长相等的等边三角形是全等图形，正确；③面积相等的三角形是全等三角形，错误；④平移前后的两个图形一定是全等形，正确；⑤全等图形的对应边和对应角都相等，正确．所以，正确的说法有②④⑤.故答案为②④⑤.方法总结：本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的概念与性质以及平移变换的性质是解题的关键．探究点二：全等三角形的对应元素及性质【类型一】全等三角形的对应元素如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．解析：结合图形进行分析，分别写出对应边与对应角即可．解：△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.方法总结：找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形，另外记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了．【类型二】应用全等三角形的性质求三角形的角或边如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，BF＝2，求∠DFE的度数和EC的长．解析：根据三角形的内角和等于180°求出∠ACB的度数，然后根据全等三角形对应角相等即可求出∠DFE，根据全等三角形对应边相等可得EF＝BC，然后推出EC＝BF.解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－50°＝100°.∵△ABC ≌△DEF，∴∠DFE＝∠ACB＝100°，EF＝BC，∴EF－CF＝BC－CF，即EC＝BF.∵BF＝2，∴EC＝2.方法总结：本题主要考查了全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理；在全等三角形中，正确寻找对应边和对应角对解决问题非常关键．【类型三】全等三角形的性质与三角形内角和的综合运用如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠ACB的度数．解析：根据全等三角形的对应角相等可知∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，即∠CAB＝55°.然后在△ACB中利用三角形内角和定理来求∠ACB的度数．解：∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD ＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，∴∠CAB＝55°.∵∠B＝∠D＝25°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°，即∠ACB的度数是100°.方法总结：本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查，解答问题时要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．三、板书设计全等三角形⎩⎪⎨⎪⎧全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做 全等三角形.全等三角形的性质⎩⎪⎨⎪⎧全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等教学反思首先展示全等形的图片，激发学生兴趣，从图中总结全等形和全等三角形的概念．最后总结全等三角形的性质，通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理．通过实例熟悉运用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题．第14章 全等三角形 14.1 全等三角形教学目标1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 教学重点全等三角形的性质． 教学难点找全等三角形的对应边、对应角． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？11CABA 1这两个三角形是完全重合的．2．学生自己动手（同桌两名同学配合）取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 3．获取概念让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号． 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．要是把两个图形放在一起，能够完全重合，•就可以说明这两个图形的形状、大小相同．概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求．Ⅱ．导入新课将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC；将△ABC 旋转180°得△AED．甲DCABFE 乙DCAB丙DCABE议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出：△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED． （注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，•但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 观察与思考：寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应角相等．[例1]如图，△OCA≌△OBD，C 和B ，A 和D 是对应顶点，•说出这两个三角形中相等的边和角．D CABO问题：△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，•思考通过怎样变换可以使两三角形重合？ 将△OCA 翻折可以使△OCA 与△OBD 重合．因为C 和B 、A 和D 是对应顶点，•所以C 和B 重合，A 和D 重合．∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB ；OA=OD ；OC=OB ．总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法． [例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，•指出其他的对应边和对应角．DCABE分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE 和△ACD 从复杂的图形中分离出来． 根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，•然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 解：对应角为∠BAE 和∠CAD．对应边为AB 与AC 、AE 与AD 、BE 与CD ．[例3]已知如图△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．（由学生讨论完成）C ABEO借鉴例2的方法，可以发现∠A=∠A，•在两个三角形中∠A 的对边分别是BC 和DE ，所以BC 和DE 是一组对应边．而AB 与AE 显然不重合，所以AB•与AD 是一组对应边，剩下的AC 与AE 自然是一组对应边了．再根据对应边所对的角是对应角可得∠B 与∠D 是对应角，∠ACB 与∠AED 是对应角．所以说对应边为AB 与AD 、AC 与AE 、BC 与DE ．对应角为∠A 与∠A、∠B 与∠D、∠ACB 与∠AED． 做法二：沿A 与BC 、DE 交点O 的连线将△ABC 翻折180°后，它正好和△ADE 重合．这时就可找到对应边为：AB 与AD 、AC 与AE 、BC 与DE ．对应角为∠A 与∠A、∠B 与∠D、∠ACB 与∠AED． Ⅲ．课堂练习 课本练习．Ⅳ．课时小结通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，•并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是大家要重点掌握的．找对应元素的常用方法有两种：（一）从运动角度看1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．（二）根据位置元素来推理1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．Ⅴ．作业课本习题板书设计14．2 三角形全等的判定1．两边及其夹角分别相等的两个三角形教学目标1．掌握三角形全等的“SAS”判定，能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题；(重点)2．经历探索三角形全等条件的过程，体验利用操作、归纳获得数学结论的过程；3．在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．(难点)教学过程一、情境导入小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由．想一想：要画一个三角形与小伟画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件？只知道一个条件(一角或一边)行吗？两个条件呢？三个条件呢？让我们一起来探索三角形全等的条件吧！二、合作探究探究点一：利用“SAS ”判定三角形全等【类型一】 两边及夹角分别相等的两个三角形全等如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD ＝BF ，AE ＝BC ，且AE ∥BC .求证：△AEF ≌△BCD .解析：由AE ∥BC ，根据平行线的性质，可得∠A ＝∠B ，由AD ＝BF 可得AF ＝BD ，又AE ＝BC ，根据“SAS ”即可证得△AEF ≌△BCD .证明：∵AE ∥BC ，∴∠A ＝∠B .∵AD ＝BF ，∴AF ＝BD .在△AEF 和△BCD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BC ，∠A ＝∠B ，AF ＝BD ，∴△AEF ≌△BCD (SAS )．方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【类型二】 两边及对角分别相等的两个三角形不全等下列能判断△ABC ≌△A ′B ′C ′的条件是( )A ．∠B ＝135°，∠B ′＝135°，AB ＝B ′C ′，BC ＝C ′A ′ B ．AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，∠B ＝∠B ′ C ．AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，∠B ＝∠B ′＝45°D ．AB ＝BC ＝CA ，A ′B ′＝B ′C ′＝C ′A ′，∠B ＝∠A ′解析：∵△ABC ≌△A ′B ′C ′，∴确定了两个三角形的对应顶点，A 与A ′对应，B 与B ′对应，C 与C ′对应．选项A 中BC ＝C ′A ′不是对应边因此不能判定两三角形全等，A 错误；选项B 中AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，∠B ＝∠B ′中，符合判定定理“SAS ”，所以可判断△ABC ≌△A ′B ′C ′，B 正确；选项C 中它们的对应关系是“SSA ”，因此也无法判定两三角形全等，故C 错误；选项D 中不是对应边相等，因此也无法判定两三角形全等，D 错误．故选B.方法总结：解答此类问题时，一般采用排除法，即先根据三角形全等的判定方法“SAS ”逐一判断排除，然后确定符合条件的答案．探究点二：三角形全等的判定(“SAS ”)与性质的综合运用如图，D 在AB 上，E 在AC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE .求证：∠B ＝∠C .解析：本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟知判定一般的三角形全等的方法．利用“SAS ”证明△ABE ≌△ACD ，再利用全等三角形的对应角相等即可．证明：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A AE ＝AD ，，∴△ABE ≌△ACD (SAS )，∴∠B ＝∠C .方法总结：解决此类题型常用的方法是：直接应用全等三角形的判定性质定理证明即可，注意在证明三角形全等时隐含的条件，如公共边、公共角、对顶角．如图，已知A 、B 两点被一个池塘隔开，无法直接测量，但两点可以到达，现给出一种方案：找两点C 、D ，使AD ∥BC ，且AD ＝BC ，量出CD 的长即得AB 的长．请说明理由．解析：由平行线的性质得到∠DAC ＝∠BCA ，然后通过证△ADC ≌△CBA (SAS )得到AB ＝CD . 解：AB ＝CD ；理由如下：如图，∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA .∵在△ADC 与△CBA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CB ，∠DAC ＝∠BCA AC ＝CA ，，∴△ADC ≌△CBA (SAS )，∴AB ＝CD .方法总结：解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．三、板书设计 两边及其夹角分别相等的两个三角形⎩⎪⎨⎪⎧三角形全等的“SAS ”判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.“SSA ”不能判定两个三角形全等.教学反思教学过程中，利用一个联系实际生活的问题对得到的知识加以运用，引导学生通过操作、观察、探索、交流、发现、思考，得出判定三角形全等的条件；最后再同样通过探究让学生认识到“两边及其中一边的对角对应相等”的条件不能判定两个三角形全等，培养学生的独立思考与发散思维的能力．例题和练习以层层递进的形式以及学生自我提出问题的方式达到对知识的巩固；通过学生对例题和练习的思考，语言表述说理过程，板演推理过程和课件展示解题过程以及对解题过程中书写的规范要求和注意点的强调，培养学生严谨的逻辑思维、语言表达能力和规范的书写能力．14.2 三角形全等的判定1.两边及其夹角分别相等的两个三角形教学目标1.知识与技能理解判定两个三角形全等的方法之一——“边角边”定理，深化证明思维。
2023八年级数学上册第14章全等三角形14.1全等三角形教案(新版)沪科版
发放预习材料，引导学生提前了解全等三角形的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习全等三角形内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确全等三角形教学目标和全等三角形重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保全等三角形教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习全等三角形的积极性。
2. 掌握全等三角形的性质：学习全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
3. 学会使用全等三角形解决几何问题：通过实际例题，引导学生运用全等三角形的性质解决几何问题，提高学生的几何思维能力和解决问题的能力。
4. 培养学生的合作学习和探究能力：在教学过程中，教师组织学生进行小组合作学习，引导学生主动探究全等三角形的性质和判定方法，培养学生的合作学习和探究能力。
5. 教学工具：准备投影仪、计算机、白板等教学工具，以便教师能够清晰地展示教学内容，并与学生进行互动。
6. 学习任务单：设计一份学习任务单，列出本节课的学习目标、任务和要求。学生可以通过完成学习任务单，巩固所学内容并进行自我评估。
7. 课堂练习题：准备一份课堂练习题，包括一些与全等三角形相关的实际问题。这些练习题应能够帮助学生巩固所学知识，并提高解决问题的能力。
3. 数学建模：培养学生运用全等三角形的性质解决实际问题的能力，提高学生的数学建模素养。
4. 数学交流：在小组合作学习和探究过程中，培养学生运用数学语言表达全等三角形的性质和判定方法，提高学生的数学交流能力。
5. 数学思维：通过解决几何问题，培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。
b. SAS（Side-Angle-Side）：如果两个三角形有两组对应边和它们夹的对应角分别相等，那么这两个三角形全等；
八年级数学沪科版 第14章 全等三角形14.2.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形【学案】
第1课时两边及其夹角分别相等的两个三角形学校：班级：小组：姓名：学习目标：1、通过探索得出“边角边”这一定理。
2、初步运用“边角边”这一定理解决实际问题。
3、通过观察、实验、归纳、体会分析问题的方法，积累数学活动的经验并培养探索创新的精神。
学习重点：运用“边角边”判定定理解决实际问题。
学习难点：定理；“边角边”探究过程。
学习过程：一、知识回顾1、叫全等形；叫全等三角形。
2、全等三角形对应边相等，对应角。
二、自主学习1、操作：已知△ABC，如图它有三条边和三个角给一个元素或两个元素能画出一个△A′B′C′，使△A′B′C′≌△ABC吗？通过画图说明只给一个元素①已知BC=4cm②∠C=450答：2、只给定两个元素①两条边长BC=4cm，AB=3cm②一条边长 BC=4cm，∠C=450③∠B=600，∠C=450答：通过上述操作知：只给定三角形的一个或两个元素不能确定一个三角形的形状和大小，确定一个三角形的开关、大小至少要有三个元素。
操作2：已知△ABC，如图：求知：△A′B′C′，使A′B′=AB∠B′=∠BB′C′=BC作法：①②③把△A′B′C′剪下看能否与△ABC重合。
答：。
说明△ABC与△A′B′C′。
2、结论：两个三角全等。
简称“边角边”或“SAS”3、展示提升①如图在湖泊的岸边有A、B两点，难以直接量出A、B两点间的距离，你能设计一种量出AB两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由。
②已知，如图AD∥CB，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA证明：三、学习小结：谈一谈本节课你有哪些收获。
四、达标检测：1、在△ABC与△A′B′C′，若AB=A′B′，∠A=∠A′，要使△ABC≌△A′B′C′，根据“SAS”，还需要增加的条件是。
2、在△ABC与△A′B′C′中，若AB=A′B′，AC=A′C′，要使△ABC≌△A′B′C′，根据“SAS”，还需要增加的条件是。
3、已知如图AB=AC，AD=AE，求证：△ABE≌△ACD4、已知如图AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：DC∥AB五、反思。
八年级数学上册14全等三角形小结评价课件新版沪科版
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全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法 之一，证明时 ①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三 角形中。 ②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺 什么条件。 ③有公共边的，公共边一般是对应边， 有公共角 的，公共角一般是对应角，有对顶角，对顶角一般是 对应角
注意：有些(yǒuxiē)题可能要证明多次全等或者进行一 些必要的 等价转化
2、图中有哪些相等(xiāngděng)的线
段 3、？图中有哪些相等的角？
B
C
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2、如图,已知AC=BD,要使得(shǐ
de)△ABC≌DCB只需要增加一个条件是
（
）
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SAS
DCB
DC
A
D
B
AB=AC
∠BDA=∠CDA
∠B=∠C
A
C B
D
C
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5、如图，点在同一条(yī tiáo)直线上，AB//CD，AE//CF， AE=CF，若BD=10，BF=2，则EF=___________
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6、如图，ABC为等边三角形，点M、N分别(fēnbié)在BC、AC上，且BM=C
AM与BN交于Q点。求 AQ的N度数。
第十二页，共13ห้องสมุดไป่ตู้。
7、将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕(shé hén)，
求CBD的大小。
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（1）：已知两边 (liǎngbiān)----
证明(zhèngmíng)两个三角形全等的 基本找思第路三：(dì s(āSnS)S边)
最新沪科版八年级数学上册 第14章 全等三角形 教案1
最新沪科版八年级数学上册第14章全等三角形教案14.1全等三角形一、教学目标1.了解全等三角形的概念,会用操作的方法判定两个三角形全等.2.能找出两个全等三角形中的对应边和对应角.3知道全等三角形的两个性质.二、重点全等三角形的性质.三、难点找两个全等三角形中的对应元素.四、教学过程一、创设情境、导入新知教师多媒体出示图片:教师演示把左边的图平移至与右边的图形重合.师:你们观察到了什么?生甲:每组图形的形状和大小都一样.生乙:每组图形都能完全重合.师:同学们说得很好!我们把这种能够完全重合的两个图形叫做全等形.二、共同探究、获取新知师;通过以上两组图,你能总结出怎样的两个图形会是全等的呢?生:形状相同、大小相等.师:很好!现在请同学们在纸上画两个形状相同、大小相等的三角形.学生操作.师:请把它们裁下来,叠放在一起.学生操作.师:你有什么发现?生:它们完全重合.师:我们把互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角.两个全等的三角形的对应边有什么关系?对应角有什么关系?生:它们的对应边相等,对应角相等.师:你是怎么知道的呢?生:因为它们是重合的.教师多媒体出示下图.师:请同学们指出这幅图中两个全等三角形的对应边,对应角和对应顶点.学生交流讨论.生甲:AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边.生乙:∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F是对应角生丙:A与D、B与E、C与F是对应顶点.师:很好!记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,如△ABC和△DEF全等,记作△ABC≌△DEF,读作“△ABC全等于△DEF”.三、练习新知师:请同学们看课本练习第1题后回答问题.学生观察后交流讨论,回答,然后集体订正得到:另外两组对应角:∠A与∠ECD、∠BCA与∠D;另外两组对应边:BA和EC,AC和CD.师:下面我们来看第2题,请同学们思考一下.学生观察并思考.教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正得到:△ABC≌△CDA,对应边:AB和CD,BC和DA,AC和CA;对应角:∠BAC和∠DCA,∠B和∠D,∠ACB和∠CAD.四、课堂小结师:今天你们学习了什么内容?五、教学反思这节课根据学生现有的认知水平和能力水平,首先,展示教材上的图案以及制作的一些图案,激发学生兴趣,从图中去发现有形状与大小完全相同的图形,调动学生的学习积极性,让学生体会数学来源于生活,生活中存在数学美.对于找对应边、对应角、全等三角形的性质,要求学生熟记,并要对学生多作指导,以巩固基础知识,为后续的学习做好准备.。
【初中数学】八年级数学上册第14章全等三角形14.1全等三角形教案沪科版
第14章全等三角形14.1全等三角形◇教学目标◇【知识与技能】1.使学生掌握全等三角形的概念、意义和性质,知道全等形,能够辨认全等形中的对应元素;2.使学生掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等这一重要性质.【过程与方法】经历探索全等三角形的概念的过程,能进行简单的推理和运算.【情感、态度与价值观】培养良好的理性推理能力,体会本节知识的应用价值.◇教学重难点◇【教学重点】运用全等三角形的性质.【教学难点】在几何图形中寻找全等三角形及对应元素.◇教学过程◇一、情境导入1.全等形能够完全重合的两个图形,叫做全等形.2.全等三角形如图所示,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.互相重合的角叫做对应角,互相重合的顶点叫做对应顶点.互相重合的边叫做对应边,全等三角形的性质:全等三角形对应边相等,对应角相等.二、合作探究典例1已知:如图,△ABC≌△CED,∠B和∠DEC是对应角,BC与ED是对应边.说出另外两组对应角和对应边.[解析]另外两组对应角为∠A与∠ECD,∠BCA与∠EDC;另外两组对应边为AB与CE,AC与CD.典例2已知:如图,△≌△,∠∠,指出其他的对应边和对应角[解析]△ABD和△ACE中的对应边有AB与AC,AD与AE,BD与CE,对应角有∠A与∠A,∠ADB 与∠AEC.三、板书设计全等三角形1.能够完全重合的两个图形,叫做全等形.2.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.3.全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.◇教学反思◇这节课根据学生现有的认知水平,首先,展示教材上的图案以及制作的一些图案,引导学生读图,激发学生兴趣,从图中去发现有形状与大小完全相同的图形,调动学生的学习积极性,让学生体会数学来源于生活,生活中存在数学美,对于找对应边、对应角、全等三角形的性质,要求学生熟记,并要对学生多作指导,以巩固基础知识,为后续的学习做好准备.。
八年级数学上册第14章全等三角形章末小结课件新版沪科版
第二，朗读。
老师要求大家朗读课文、单词时一定要出声地读出来。
第三，提问。
听课时，对经过自己思考过但未听懂的问题可以及时举手请教，对老师讲解，同学的回答，有不同看法的，也可以提出疑问。这种方法也可以保
证自己集中注意力。
第四，回答问题。
上课时积极回答问题是吸收知识的有效途径。课堂上回答问题要主动大胆。回答时要先想一想“老师提的是什么问题?”，“它和学过的内容有什
【错解】 △ADC≌△AEB.理由：∵AC＝AB，CD＝BE，∠CAD＝∠ BAE，∴△ADC≌△AEB(SSA)．
【正解】 △ADC≌△AEB.理由：∵AC＝AB，D、E分别是AB、AC的中 点，∴AD＝AE.在△ADC和△AEB中，∵AC＝AB，AD＝AE，CD＝BE， ∴△ADC≌△AEB(SSS)． 【错解分析】 错解把“SSA”作为三角形全等的判定方法，但“SSA”不能 作为三角形全等的判定条件，因为两边及一边的对角对应相等的两个三角 形不一定全等．
(1)根据题意，画出示意图； (2)如果小明的一步大约为40cm，请你估算小明在点A处时小树与他的距 离，并说明理由．
解：(1)①如图所示，连接AC并延长至点D，使AC＝CD；
②过点D作DE⊥AD交直线BC于点E； (2)∵AC＝CD＝10步，AC＋CD＋DE＝45步，则DE＝25步，一步大约 40cm，∴AC＝CD＝10×40＝400(cm)，DE＝25×40＝1000(cm)，∵AB⊥ AD，DE⊥AD，∴在△ABC与△DEC中，∠BAC＝∠CDE，AC＝DC，∠ ACB＝∠DCE，∴△ABC≌△DEC(ASA)．∴AB＝DE＝1000cm＝10m.
么联系？”，并先在头脑中理一理思路，想好回答时，先答什么，后答什么。老师对你的回答做出点评和讲解，指出大家都应该注意的问题和标准答案
八年级数学上册 第14章 全等三角形 课题 两角及其夹边对应相等的两个三角形学案 (新版)沪科版
课题：两角及其夹边对应相等的两个三角形【学习目标】1．理解“角边角”判定两个三角形全等的方法；2．经历探究“角边角”判定两个三角形全等的过程，能进行有条理的思索．【学习重点】学会运用“角边角”判定两个三角形全等的方法．【学习难点】如何进行推理分析．行为提示：创设情境，引导学生探究新知．行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．方法指导：引导学生学会用ASA解决问题，注意公共角对顶点的隐含条件．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么是边角边定理？答：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简称“SAS”．2．由两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等吗？为什么？答：不全等．如右图：AB＝AB，∠B＝∠B，AB1＝AC.但△ABB1与△ABC不全等．自学互研生成能力知识模块一ASA的判定方法阅读教材P101～P102的内容，回答下列问题：三角形全等的判定定理2是什么？如何作图验证？答：全等三角形判定定理2：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，记为“角边角”或“ASA”．已知△ABC，尺规作图验证如下：求作：△A1B1C1，使∠B1＝∠B，B1C1＝BC，∠C1＝∠C.作法：①作线段B1C1＝BC；②在B1C1的同旁，分别以B1、C1为顶点作∠MB1C1＝∠ABC，∠NC1B1＝∠C，B1M与C1N交于点A1.则△A1B1C1就是所求作的三角形(学生用剪刀剪下拼凑看能否重合)．典例：如图，若已知∠A＝∠C，OA＝OC，就可以证明△AOB≌△COD，那么判断的理论根据是ASA，其中一个隐含的条件是∠AOB＝∠COD．变例：如图，有一块三角形玻璃裂成两块，现需要做一块一样大小的玻璃，只需第②块玻璃碎片就可配制，其理由是有两角及夹边对应相等的两个三角形全等．归纳结论：在证明三角形全等时要善于把间接的条件转化为可以直接判定三角形全等的条件．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据.知识模块二 三角形全等的判定方法的综合运用典例：已知：如右图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：△ADC≌△BCD.证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ADC＝∠BCD.在△ADC 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2（已知），DC ＝CD （公共边），∠ADC ＝∠BCD（已证），∴△ADC ≌△BCD(ASA)．仿例1：如图，已知AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E，求证：BC ＝ED.证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD.即∠EAD＝∠BAC，在△EAD 和△BAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAD ＝∠BAC，AB ＝AE ，∠B ＝∠E，∴△EAD ≌△BAC(ASA)，∴BC ＝ED.仿例2：如图，已知AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB，求证：OA ＝OD.证明：在△ABC 和△DCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB(SAS)，∴∠A ＝∠D.在△AOB 和△DOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D，∠AOB ＝∠DOC，AB ＝DC ，∴△AOB ≌△DOC(AAS)，∴OA ＝OD.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 ASA 的判定方法知识模块二 三角形全等的判定方法的综合运用检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：__________________________________________________________________。
滨海新区实验中学八年级数学上册 第14章 全等三角形章末复习教案 沪科版
第14章全等三角形【知识与技能】学会运用三角形全等的判定方法，发展推理能力.【过程与方法】经历归纳、总结全等三角形的过程，深化思维能力，提高逻辑思维和表达能力.【情感与态度】培养合情推理的能力和创新意识.【教学重点】重点是判定两个三角形全等的方法.【教学难点】难点是运用已学过的判定三角形全等的方法，解决实际问题.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统了解本章知识及它们之间关系.教学时，边回顾边建立知识框图.二、释疑解惑，加深理解证明三角形全等的基本思路在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯.如果找到了一组对应边，再找第二组条件：若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”.上述可归纳为：三、典例精析证明三角形全等的方法１.平移法构造全等三角形例１如图１所示，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，若AB>AD，DC=BC，求证：∠B+∠D=180°.【分析】利用角平分线构造三角形，将∠D转移到∠AEC，而∠AEC与∠CEB互补，∠CEB=∠B，从而证得∠B+∠D=180°.主要方法是：“线、角进行转移”.自主解答.2.翻折法构造全等三角形例 2 如图2所示，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，求证：AB=BC+CD.【证明】∵BD平分∠ABC，将△BCD沿BD翻折后，点C落在AB上的点E，则有BE=BC，在△BCD与△BED中，BC=BE∠CBD=∠EBDBD=BD∴△BCD≌△BED（SAS）∴∠DEA=∠ACB=90°,CD=DE,∵已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=45°,∴∠EDA=∠A=45°,∴DE=EA,∴AB=BE+EA=BC+CD.3.旋转法构造全等三角形例3 如图3所示，已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC与CD上，并且AF平分∠EAD，求证：BE+DF=AE.【分析】本题要证的BE和DF不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起.可将△ADF绕点A旋转90°到△ABG，则△ADF≌△ABG，BG=DF，从而将BE+BG转化为线段GE，再进一步证明GE=AE即可.自主解答.4.延长法构造全等三角形例4 如图4所示，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAD=∠DAC，求证：AB=AC+CD.【分析】证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段.本题可延长AC至点E，使AE=AB，构造△ABD≌△AED，然后证明CE=CD，就可得AB=AC+CD.自主解答.四、师生互动，课堂小结熟练掌握三角形全等的判定定理，并运用定理解决相关的问题.1.课本第114~115页A组复习题第5、6、8、10题.2.完成练习册中的相应复习课练习.本节设计“知识框图，整体把握——释疑解惑，加深理解——典例精析——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生学会运用三角形全等的判定方法，发展推理能力，经历归纳总结全等三角形的过程，深化思维能力，提高逻辑思维和表达能力.特殊的平行四边形复习检测内容：第七章平行线的证明得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列命题是真命题的是( )A．同位角相等B．平方根与立方根相等的数是1和0C．倒数等于本身的数是1和－1 D．绝对值等于本身的数是0和12．如图，把△ABD沿直线AD翻折180°，点B落在点C的位置，若∠B＝70°，则∠BAC的度数为( )A．70°B．40°C．30°D．20°,第2题图) ,第3题图) ,第4题图) ,第5题图)3．如图所示，下列推理不正确的是( )A．若∠AEB＝∠C，则AE∥CD B．若∠AEB＝∠ADE，则AD∥BCC．若∠C＋∠ADC＝180°，则AD∥BC D．若∠AED＝∠BAE，则AB∥DE4．(2018·锦州)如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，则∠2的度数为( ) A．92°B．98°C．102°D．108°5．如图是一辆婴儿车的示意图，其中AB∥CD，∠1＝130°，∠3＝40°，那么∠2的度数是( )A．80°B．90°C．100°D．102°6．如图，已知∠AEF＝∠EGH，AB∥CD，则下列判断中不正确的是( )A．∠BEF＝∠EGH B．∠AEF＝∠EFD C．AB∥GH D．GH∥CD,第6题图) ,第7题图) ,第8题图) ,第9题图)7．如图，在△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE，BD交于点F，若∠A＝50°，∠BCA＝60°，那么∠BFC的度数是( )A．115°B．120°C．125°D．130°8．如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系是( )A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠39．(2018·聊城)如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是( )A．110°B．115°C．120°D．125°10．如图，∠ABD，∠ACD的平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度数为( )A．15°B．20°C．25°D．30°,第10题图) ,第12题图),第13题图) ,第14题图)二、填空题(每小题3分，共24分)11．(2018·北京)用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜b c”是错误的，这组值可以是a＝，b＝，c＝.12．如图是某建筑工地上的人字架，这个人字架的夹角∠1＝120°，那么∠3－∠2的度数为.13．如图，一束平行光线AB与DE射向一水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4，则反射光线BC与EF的位置关系是.14．如图，已知长方形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若长方形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是.15．如图，∠B＋∠C＋∠D＋∠E－∠A＝.,第15题图) ,第16题图) ,第17题图) ,第18题图)16．如图所示，AB∥EF，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠C＋∠D的值为.17．如图，已知BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC ＝.(用α，β表示)18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且∠DCE＝∠DEC，点F在AE 上，点G在DE的延长线上，且∠DFG＝∠DGF.若∠EFG＝35°，则∠CDF的度数为.三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝∠2，求证：AE∥BF.20．(8分)如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．21．(9分)如图，∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠FDE＝64°，∠DEF＝43°，求△ABC各内角的度数．22．(9分)如图，在△ABC中，点D为BC上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，AE 与CD相交于点F，若AE平分∠CAD，∠B＝40°，∠C＝35°，求∠1的度数．23．(10分)如图，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G.求证：(1)∠EGH>∠ADE；(2)∠EGH＝∠ADE＋∠A＋∠AEF.24.(11分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.(1)若∠B＝72°，∠C＝30°，求∠BAE，∠DAE的度数；(2)若∠B＝∠C＋42°，能求出∠DAE的度数吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．25．(13分)如图①，在△ABC中，BE为∠ABC的平分线，点D是BC延长线上一点，且满足2∠D＝∠ACB，若∠BAC＝60°，求∠BED的度数．小明通过探究发现，过点C作CM∥AD(如图②)，交BE于点M，将∠BED转移至∠BMC 处，结合题目已知条件进而得到CM为∠ACB的平分线，在△ABC中求出∠BMC，从而得出∠BED的度数．(1)请按照小明的分析，完成此题的解答；(2)参考小明同学思考问题的方法，解决下面的问题：如图③，在△ABC中，点D是AC延长线上一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠AD E，BG 平分∠ABC，DG与BG交于点G，若∠A＝m°，求∠G的度数(用含m的式子表示)．11 1．C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.D 9.C 10.B11．1 2 －1 12.60° 13.平行 14.85° 15.180°16．240° 17.12(α＋β) 18.70° 19．证明：∵AC⊥AE，BD ⊥BF ，∴∠EAC ＝∠FBD＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠EAC ＋∠1＝∠FBD＋∠2，即∠EAB＝∠FBG，∴AE ∥BF20．解：∵EF∥AD，A D∥BC，∴EF ∥BC ，∠ACB ＋∠DAC＝180°.又∵∠DAC＝120°，∴∠ACB ＝60°.又∵∠ACF＝20°，∴∠BCF ＝∠ACB－∠ACF＝40°.又∵CE 平分∠BCF，∴∠FEC ＝∠ECB＝20°21．解：∵∠FDE＝∠DAB＋∠ABD，∠BAD ＝∠CBE，∴∠FDE ＝∠ABD＋∠CBE＝∠ABC，∴∠ABC ＝64°. 同理∠DEF＝∠FCB＋∠CBE＝∠FCB＋∠ACF＝∠ACB，∴∠ACB ＝43°，∴∠BAC ＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－64°－43°＝73°，∴△ABC 各内角的度数分别为64°，43°，73°22．解：∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠B ＝40°，∠C ＝35°，∴∠BAC ＝105°.又∵AE 平分∠CAD，∴∠CAE ＝∠DAE.由翻折的性质可得∠BAD＝∠DAE，∠B ＝∠E＝40°，∴∠BAD ＝∠DAE＝∠CAE＝35°，∴∠AFD ＝∠CAE＋∠C＝70°.又∵∠AFD＝∠1＋∠E，∴∠1＝70°－40°＝30°23．证明：(1)∵∠EGH 是△FBG 的外角，∴∠EGH>∠B.又∵DE∥BC，∴∠B ＝∠ADE，∴∠EGH>∠ADE(2)∵∠BFE 是△AF E 的外角，∴∠BFE ＝∠A＋∠AEF.又∵∠EGH 是△BFG 的外角，∴∠EGH ＝∠B＋∠BFE＝∠B＋∠A＋∠AEF＝∠ADE＋∠A＋∠AEF24．解：(1)∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴∠BAC ＝180°－72°－30°＝78°.又∵AE 平分∠BAC，∴∠BAE ＝12∠BAC＝39°.又∵AD⊥BC，∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＝90°－∠B＝18°，∴∠DAE ＝∠BAE－∠BAD＝39°－18°＝21°(2)∠DAE＝21°，理由如下：∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠B ＝∠C＋42°，∴∠BAC ＝222°－2∠B.又∵AE 平分∠BAC，∴∠BAE ＝111°－∠B.又∵∠ADB＝90°，∴∠BAD ＝90°－∠B，∴∠DAE ＝∠BAE－∠BAD＝(111°－∠B)－(90°－∠B)＝21°25．解：(1)过点C 作CM∥AD 交BE 于点M ，则∠BED＝∠BMC，∠BCM ＝∠D.又∵∠ACB＝2∠D ，∴∠BCM ＝12∠ACB.∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠MBC ＝12∠ABC，∴∠BED＝∠BMC＝180°－(∠MBC＋∠MCB)＝180°－12(∠ABC＋∠ACB)＝180°－12(180°－∠BAC)＝180°－12×(180°－60°)＝120°(2)延长BC 交DG 于点F ，∵BG 平分∠ABC，DG 平分∠ADE，∴∠GBF ＝12∠ABC，∠GDE ＝12∠ADE.∵DE ∥BC ，∴∠BFD ＝∠GDE＝12∠ADE＝12∠ACF＝12(∠A＋∠ABC)＝12∠A＋∠GBF，∴∠G ＝∠BFD－∠GBF＝12∠A＋∠GBF－∠GBF＝12∠A＝12m °。
沪科版八年级数学上第14章全等三角形14
解：(1)BD 是∠ADE 的平分线． 理由：∵△ABD≌△EBD，∴∠ADB＝∠EDB， ∵BD 是∠ADE 的平分线．
(2)DE 与 BC 垂直． 理由：∵△BDE≌△CDE，∴∠BED＝∠CED， ∵B，E，C 在一条直线上，∴∠BED＋∠CED＝180°， ∴∠BED＝90°，∴DE⊥BC.
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7．如图，△ACB≌△A′C′B′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为 ( B)
A．20° B．30° C．35° D．40°
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8．如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则 DE 的长是 A．5 B．4 C．3 D．2
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13．如图，△ABD≌△EBD，△DBE≌△DCE，点 B，E，C 在同一条直线上． (1)BD 是∠ADE 的平分线吗？为什么？ (2)DE 与 BC 垂直吗？为什么？
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八等图形的是
( B)
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知识点 2：全等三角形的概念及表示
2．如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的三角形，顶点 A 与 F，B 与 D，C
HK沪科版 初二八年级数学 上册第一学期秋季(教学设计 教案)第14章 全等三角形(全章 分课时 含反思)
第14章全等三角形14．1全等三角形1．了解全等形及全等三角形的概念，掌握全等三角形的表示方法，理解和掌握全等三角形的性质；(重点)2．了解对应边和对应角的概念，能准确找到全等三角形的对应边和对应角；(难点) 3．学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验，在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣．一、情境导入在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形，这类图形在几何学中具有特殊的意义．观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形．你能再举出一些例子吗？二、合作探究探究点一：全等图形的认识【类型一】全等形的概念下列图形中是全等图形的有( )A．1对 B．2对 C．3对 D．4对解析：结合图形，两个等边三角形是全等形，两个正六边形是全等形，两个正五边形是全等形，两个正方形大小不相等，所以不是全等形．故全等图形有3对．故选C.方法总结：根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形，对各图形进行判断．【类型二】全等形的性质下列说法正确的是____________(填写语句的序号)．①形状相同的图形是全等图形；②边长相等的等边三角形是全等图形；③面积相等的三角形是全等三角形；④平移前后的两个图形一定是全等形；⑤全等图形的对应边和对应角都相等．解析：根据全等图形的性质对各小题分析判断即可得解．①形状相同，大小相等的图形是全等图形，故本小题错误；②边长相等的等边三角形是全等图形，正确；③面积相等的三角形是全等三角形，错误；④平移前后的两个图形一定是全等形，正确；⑤全等图形的对应边和对应角都相等，正确．所以，正确的说法有②④⑤.故答案为②④⑤.方法总结：本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的概念与性质以及平移变换的性质是解题的关键．探究点二：全等三角形的对应元素及性质【类型一】全等三角形的对应元素如图，若△BOD ≌△COE ，∠B ＝∠C ，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO ≌△AEO ，指出这两个三角形的对应角．解析：结合图形进行分析，分别写出对应边与对应角即可．解：△BOD 与△COE 的对应边为：BO 与CO ，OD 与OE ，BD 与CE ；△ADO 与△AEO 的对应角为：∠DAO 与∠EAO ，∠ADO 与∠AEO ，∠AOD 与∠AOE .方法总结：找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形，另外记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了．【类型二】应用全等三角形的性质求三角形的角或边如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE的度数和EC 的长．解析：根据三角形的内角和等于180°求出∠ACB 的度数，然后根据全等三角形对应角相等即可求出∠DFE ，根据全等三角形对应边相等可得EF ＝BC ，然后推出EC ＝BF .解：∵∠A ＝30°，∠B ＝50°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝180°－30°－50°＝100°.∵△ABC ≌△DEF ，∴∠DFE ＝∠ACB ＝100°，EF ＝BC ，∴EF －CF ＝BC －CF ，即EC ＝BF .∵BF ＝2，∴EC ＝2.方法总结：本题主要考查了全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理；在全等三角形中，正确寻找对应边和对应角对解决问题非常关键．【类型三】全等三角形的性质与三角形内角和的综合运用如图，△ABC ≌△ADE ，∠CAD ＝10°，∠B ＝∠D ＝25°，∠EAB ＝120°，求∠ACB 的度数．解析：根据全等三角形的对应角相等可知∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，即∠CAB＝55°.然后在△ACB中利用三角形内角和定理来求∠ACB的度数．解：∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD ＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，∴∠CAB＝55°.∵∠B＝∠D＝25°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°，即∠ACB的度数是100°.方法总结：本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查，解答问题时要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．三、板书设计熟悉运用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题．14．2 三角形全等的判定1．两边及其夹角分别相等的两个三角形1．掌握三角形全等的“SAS ”判定，能运用“SAS ”证明简单的三角形全等问题；(重点)2．经历探索三角形全等条件的过程，体验利用操作、归纳获得数学结论的过程；3．在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．(难点)一、情境导入小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由．想一想：要画一个三角形与小伟画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件？只知道一个条件(一角或一边)行吗？两个条件呢？三个条件呢？让我们一起来探索三角形全等的条件吧！二、合作探究探究点一：利用“SAS ”判定三角形全等【类型一】两边及夹角分别相等的两个三角形全等如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD ＝BF ，AE ＝BC ，且AE ∥BC .求证：△AEF ≌△BCD . 解析：由AE ∥BC ，根据平行线的性质，可得∠A ＝∠B ，由AD ＝BF 可得AF ＝BD ，又AE ＝BC ，根据“SAS ”即可证得△AEF ≌△BCD .证明：∵AE ∥BC ，∴∠A ＝∠B .∵AD ＝BF ，∴AF ＝BD .在△AEF 和△BCD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BC ，∠A ＝∠B ，AF ＝BD ，∴△AEF ≌△BCD (SAS )．方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【类型二】两边及对角分别相等的两个三角形不全等下列能判断△ABC ≌△A ′B ′C ′的条件是( )A ．∠B ＝135°，∠B ′＝135°，AB ＝B ′C ′，BC ＝C ′A ′B ．AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，∠B ＝∠B ′C ．AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，∠B ＝∠B ′＝45°D ．AB ＝BC ＝CA ，A ′B ′＝B ′C ′＝C ′A ′，∠B ＝∠A ′解析：∵△ABC ≌△A ′B ′C ′，∴确定了两个三角形的对应顶点，A 与A ′对应，B 与B ′对应，C 与C ′对应．选项A 中BC ＝C ′A ′不是对应边因此不能判定两三角形全等，A 错误；选项B 中AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，∠B ＝∠B ′中，符合判定定理“SAS ”，所以可判断△ABC ≌△A ′B ′C ′，B 正确；选项C 中它们的对应关系是“SSA ”，因此也无法判定两三角形全等，故C 错误；选项D 中不是对应边相等，因此也无法判定两三角形全等，D 错误．故选B.方法总结：解答此类问题时，一般采用排除法，即先根据三角形全等的判定方法“SAS ”逐一判断排除，然后确定符合条件的答案．探究点二：三角形全等的判定(“SAS ”)与性质的综合运用如图，D 在AB 上，E 在AC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE .求证：∠B ＝∠C .解析：本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟知判定一般的三角形全等的方法．利用“SAS ”证明△ABE ≌△ACD ，再利用全等三角形的对应角相等即可．证明：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A AE ＝AD ，，∴△ABE ≌△ACD (SAS )，∴∠B ＝∠C .方法总结：解决此类题型常用的方法是：直接应用全等三角形的判定性质定理证明即可，注意在证明三角形全等时隐含的条件，如公共边、公共角、对顶角．如图，已知A 、B 两点被一个池塘隔开，无法直接测量，但两点可以到达，现给出一种方案：找两点C 、D ，使AD ∥BC ，且AD ＝BC ，量出CD 的长即得AB 的长．请说明理由．解析：由平行线的性质得到∠DAC ＝∠BCA ，然后通过证△ADC ≌△CBA (SAS )得到AB ＝CD .解：AB ＝CD ；理由如下：如图，∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA .∵在△ADC 与△CBA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CB ，∠DAC ＝∠BCA AC ＝CA ，，∴△ADC ≌△CBA (SAS )，∴AB ＝CD .方法总结：解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．三、板书设计两边及其夹角分别相等的两个三角形⎩⎪⎨⎪⎧三角形全等的“SAS ”判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.“SSA ”不能判定两个三角形全等.教学过程中，利用一个联系实际生活的问题对得到的知识加以运用，引导学生通过操作、观察、探索、交流、发现、思考，得出判定三角形全等的条件；最后再同样通过探究让学生认识到“两边及其中一边的对角对应相等”的条件不能判定两个三角形全等，培养学生的独立思考与发散思维的能力．例题和练习以层层递进的形式以及学生自我提出问题的方式达到对知识的巩固；通过学生对例题和练习的思考，语言表述说理过程，板演推理过程和课件展示解题过程以及对解题过程中书写的规范要求和注意点的强调，培养学生严谨的逻辑思维、语言表达能力和规范的书写能力．2．两角及其夹边分别相等的两个三角形1．掌握三角形全等的判定“ASA ”，并能应用它判别两个三角形是否全等，以及运用该条件解决一些简单的实际问题；(重点)2．经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯及理性思维；(难点)3．敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难．一、情境导入小林在帮姥姥做清洁时不小心打碎了装饰柜门上的一块三角形玻璃(碎后形状如图所示)，小林决定用自己积攒的零花钱到玻璃店给姥姥买一块一样大小的玻璃，请父亲给安装好．请用尺规作图帮小林在下面的方框中作出与原三角形全等的图形(不写作法，保留作图痕迹)．二、合作探究探究点一：利用“ASA ”判定三角形全等如图所示，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于F ，若∠BAD ＝∠CAE ，∠E ＝∠C ，AE ＝AC ，则()A ．△ABC ≌△AFEB ．△AFE ≌△ADCC ．△AFE ≌△DFCD ．△ABC ≌△ADE解析：∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠DAF ＝∠CAE ＋∠DAF ，即∠BAC ＝∠DAE .∵∠E ＝∠C ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ≌△ADE (ASA )．故选D.方法总结：在“ASA ”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA ”中，“边”必须是“两角的夹边”．如图，已知∠BAC ＝∠DAC ，要利用“ASA ”判定△ABC ≌△ADC ，则应添加的条件是________．解析：题目中已有条件∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，要用“ASA ”判定△ABC ≌△ADC 还缺少一个角相等的条件，因此应该添加∠ACB ＝∠ACD .故答案为∠ACB ＝∠ACD .方法总结：“AAA ”、“SSA ”不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．探究点二：三角形全等的判定(“ASA ”)与性质的综合运用如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，BE ∥DF ，∠A ＝∠F ，AB ＝FD .求证：AE ＝FC .解析：根据BE ∥DF ，可得∠ABE ＝∠D ，再利用“ASA ”求证△ABE 和△FDC 全等即可． 证明：∵BE ∥DF ，∴∠ABE ＝∠D .在△ABE 和△FDC 中，∠ABE ＝∠D ，AB ＝FD ，∠A ＝∠F ，∴△ABE ≌△FDC (ASA )，∴AE ＝FC .方法总结：此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质证明△ABE 和△FDC 全等．探究点三：实际应用某家装公司的员工在安装玻璃时，不小心将一块三角形玻璃打碎．要求他只带其中一块碎片到玻璃店去，就能配一块与原来一样的回来．请根据图形回答问题：(1)碎片如图①，他应该带________去，原因是____________________________；(2)碎片如图②，他应该带________去，原因是____________________________．解析：(1)带B 去，原因是两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA )；(2)带A 去，原因是两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS )．方法总结：分别根据三角形全等的判定方法解答即可．本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．三、板书设计两角及其夹边分别相等的两个三角形⎩⎪⎨⎪⎧给出两角的度数和所夹边的长，作三角形，形状是唯一的.三角形全等的“ASA ”判定：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法．在寻找判定方法证明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去寻找所缺少的条件．从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在方法“AAS ”和“ASA ”的选择上混淆不清，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练．3．三边分别相等的两个三角形1．掌握三角形全等的“SSS ”判定，并能应用它判别两个三角形是否全等，以及运用该条件解决一些简单的实际问题；(重点)2．了解三角形的稳定性，以及这一性质在生活中的实际应用；3．由探索三角形全等条件的过程，体会由操作、归纳获得数学结论的过程．(难点)一、情境导入如图，工人师傅要检查人字梁的∠B 和∠C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA 和CA 上取BE ＝CG ；②在BC 上取BD ＝CF ；③量出DE 的长为a 米，FG 的长为b 米．如果a ＝b ，则说明∠B 和∠C 是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？探究点一：利用“SSS ”判定三角形全等工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合．过角尺顶点C 作射线OC .由做法得△MOC ≌△NOC 的依据是( )A ．AASB ．SASC ．ASAD ．SSS解析：根据题意，在△MOC 和△NOC 中，有OM ＝ON ，CM ＝CN ，还有公共边OC ＝OC ，因此判断△MOC ≌△NOC 的依据是“SSS ”，故选D.方法总结：本题考查了学生对三角形全等判定方法的掌握情况，结合图形，选择合适的方法判断三角形全等是解答本题的关键．如图，已知AB ＝CD ，若根据“SSS ”证得△ABC ≌△CDA ，需要添加一个条件是____________．解析：要使△ABC ≌△CDA ，已知AB ＝CD ，且有公共边AC ＝CA ，要利用“SSS ”判定两三角形全等，需要添加BC ＝DA 即满足条件．在△ABC 和△CDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AC ＝CA BC ＝DA ，，∴△ABC ≌△CDA (SSS )．故答案为BC ＝DA .方法总结：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．探究点二：三角形的稳定性斜拉索链桥的外观设计中，运用了三角形的知识，这是因为三角形具有________．解析：三角形具有稳定性，所以斜拉索链桥的外观设计中，运用了三角形的这一性质．故答案为：稳定性．方法总结：应用三角形的稳定性和四边形容易变形的特点和区别，即可得正确答案． 探究点三：三角形全等的判定(“SSS ”)与性质的综合运用如图，已知AB ＝AC ，BD ＝CD ，试说明∠B ＝∠C 的理由．解析：连接AD ，利用“SSS ”得到△ABD 与△ACD 全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．解：连接AD ，在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AD BD ＝CD ，，∴△ABD ≌△ACD (SSS )，∴∠B ＝∠C .方法总结：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．三、板书设计全等三角形的“边边边”判定内容看似简单，但对学生来说有些困难．因此课前让学生先剪一个任意的三角形，教学中，利用尺规画一个三角形和手中剪的三角形全等，引导学生试着画图，并让学生发现存在的问题，最后给出正确的画法，以学生的画图为主，展开探究活动，让学生亲身体验，从实践中获得“SSS ”条件．在教学中，体现学生的主体地位，充分发挥学生的主观能动作用，让学生在过程中借助自己已有的知识和方法主动探索新知识，扩大自己的知识结构，发展能力，从而使课堂教学真正为学生发展服务．4．其他判定两个三角形全等的条件1．掌握三角形全等的“AAS ”判定，并能应用它判别两个三角形是否全等，以及运用该条件解决一些简单的实际问题；(重点)2．经历比较、证明等探究过程，提高分析、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯及理性思维；(难点)3．敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难．一、情境导入小明将两块完全相同的三角形纸板ABC 和DEF ，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O 为边AC 和DF 的交点．他说不重叠的两部分△AOF 与△DOC 全等．你能说明理由吗？二、合作探究探究点一：利用“AAS ”判定三角形全等如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于E .AD 与BE 交于F ，若BF ＝AC ，求证：△ADC ≌△BDF .解析：先证明∠ADC ＝∠BDF ，∠DAC ＝∠DBF ，再由BF ＝AC ，根据“AAS ”即可得出两三角形全等．证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠ADC ＝∠BDF ＝∠BEA ＝90°.∵∠AFE ＝∠BFD ，∠DAC ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°，∠BDF ＋∠BFD ＋∠DBF ＝180°，∴∠DAC ＝∠DBF .在△ADC 和△BDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAC ＝∠DBF ，∠ADC ＝∠BDF ，AC ＝BF ，∴△ADC ≌△BDF (AAS )．方法总结：在“AAS ”中，“边”是其中一个角的对边．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，AD＝AE，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是____________(只写一个条件即可)．解析：已知一边和一角对应相等，补充条件证明两个三角形全等，可以凑“ASA”，也可凑“AAS”，还可凑“SAS”．如用“ASA”，则需要增加∠ADC＝∠AEB(由∠CEB＝∠BDC也可推出∠ADC＝∠AEB)；如用“AAS”，则需要增加∠C＝∠B；如用“SAS”，则需要增加AB＝AC(由BD ＝CE加上已知AE＝AD可推出AB＝AC)，故本题可从∠ADC＝∠AEB、∠CEB＝∠BDC、∠C＝∠B、AB＝AC、BD＝CE中任选一个填空．方法总结：本题属条件探索题，解这类题一般都有多解，具体解题时应先掌握已知条件，再利用所学的定理逐个检验所需要的条件．注意“AAA”、“SSA”不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．探究点二：三角形全等的判定(“AAS”)与性质的综合运用已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.解析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AB＝AC，利用“AAS”即可得证；(2)由△BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝EC，根据DE ＝DA＋AE等量代换即可得证．证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB＝∠CEA＝90°，∠ABD＝∠CAE，AB＝AC，∴△BDA≌△AEC(AAS)；(2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．三、板书设计其他判定两个三角形全等的条件⎩⎪⎨⎪⎧三角形全等的“AAS ”判定：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.“AAA ”、“SSA ”不能作为两三角形全等判定依据.在前面研究“角边角”判定的前提下，研究“角角边”对于学生并不困难，让学生通过直观感知、操作确认的方式体验数学结论的发现过程．教学中，识别三角形全等判定的时候，利用转化思想，尽量让学生独自解决．教师做好对证明题的分析方法的研究以及分析过程的书写示范，并要求学生学习．在进行了充分研究后，问题由学生上黑板板演证明过程，虽然教学起点比较低，但这样保证了绝大多数的学生能学会，保证了整体水平的提高．5．两个直角三角形全等的判定1．探索直角三角形全等的“HL ”条件，并应用它判别两个直角三角形是否全等，能进行简单的应用；(重点)2．能灵活应用三角形全等的证明方法来解决线段相等或角相等问题；(难点)3．通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进—步激发探究的积极性．一、情境导入路旁一棵被大风刮歪的小白杨，为了扶正它，需两边各固定一条长短一样的拉线或支柱．现工人师傅把一根已固定好(右侧一根AC )，之后小聪很快找到了另一根(左侧一根)在地面上的位置：只要BD ＝CD ，B 点即是．小聪找到的位置是对的吗？二、合作探究探究点一：利用“HL ”判定直角三角形全等如图，已知CD ⊥AB 于D ，现有四个条件：①AD ＝ED ；②∠A ＝∠BED ；③∠C ＝∠B ；④AC ＝EB ，那么不能得出△ADC ≌△EDB 的条件是( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③解析：推出∠ADC ＝∠BDE ＝90°，根据“AAS ”推出两三角形全等，即可判断A 、B ；根据“HL ”即可判断C ；根据“AAA ”不能判断两三角形全等．选项A 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在△ADC 和△EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠B ，∠ADC ＝∠EDB AD ＝DE ，，∴△ADC ≌△EDB (AAS )；选项B 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在△ADC 和△EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BED ，∠ADC ＝∠BDE AC ＝BE ，，∴△ADC ≌△EDB (AAS )；选项C 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在Rt △ADC 和Rt △EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BE ，AD ＝ED ，∴Rt △ADC≌Rt △EDB (HL )；选项D 中，根据三个角对应相等，不能判断两三角形全等；故选D.方法总结：本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“SSS ”，在直角三角形中，还有“HL ”定理，如果具备条件“SSA ”和“AAA ”都不能判断两三角形全等．下列说法中，正确的个数是( )①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等； ②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等； ③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等； ④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：根据HL 可得①正确；由“AAS ”或“ASA ”可得②、③正确；三个角相等的两个直角三角形不一定全等，故④错误．故选C.方法总结：本题考查了直角三角形全等的判定，除了HL 外，还有一般三角形全等的四个判定定理，要找准对应关系．探究点二：直角三角形全等的判定(“HL ”)与性质的综合运用如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，E 是AB 上一点，AD ＝2，BC ＝4，且AE＝BC ，DE ＝CE .(1)Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗？请说明理由； (2)求AB 的长度；(3)△CDE 是不是等腰直角三角形？请说明理由．解析：(1)根据证明直角三角形全等的“HL ”定理证明即可；(2)由(1)可得，AD ＝BE ，AE ＝BC ，所以，AB ＝AE ＋BE ＝BC ＋AD ；(3)根据题意，∠AED ＋∠ADE ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°，又∠AED ＝∠BCE ，∠ADE ＝∠BEC ，所以，∠AED ＋∠BEC ＝90°，即可证得∠DEC ＝90°，即可得出．解：(1)Rt △ADE ≌Rt △BEC ，理由如下：∵在Rt △ADE 和Rt △BEC中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝CE ，AE ＝BC ，∴Rt△ADE ≌Rt △BEC (HL )；(2)∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ，∴AD ＝BE ，又∵AE ＝BC ，∴AB ＝AE ＋BE ＝BC ＋AD ，即AB ＝AD ＋BC ＝2＋4＝6；(3)△CDE 是等腰直角三角形，理由如下：∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ，∴∠AED ＝∠BCE ，∠ADE ＝∠BEC .又∵∠AED ＋∠ADE ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°，∴2(∠AED ＋∠BEC )＝180°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°，∴∠DEC ＝90°.又∵DE ＝CE ，∴△CDE 是等腰直角三角形．方法总结：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的判定，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法“HL ”可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL )，即AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △PQA中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP≌Rt △BCA (HL )，即AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．三、板书设计两个直角三角形全等的判定⎩⎪⎨⎪⎧直角三角形全等的“HL ”判定：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.直角三角形全等的判定方法：“SAS ”，“ASA ”，“SSS ”，“AAS ”，“HL ”.由于直角三角形是特殊的三角形，要求理解已经学过的判定全等三角形的四种方法均可以用来判定两个直角三角形全等，同时通过探索得出“有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”这一重要而又特殊的判定方法，并能熟练地利用这些方法判定两个直角三角形全等．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，逐步培养他们的逻辑推理能力．通过课堂教学，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深对判定的多层次的理解．6．全等三角形的判定方法的综合运用1．理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题；(重点)2．经历探索三角形全等的几种判定方法的过程，能进行合情推理；(难点) 3．培养良好的几何思维，体会几何学的应用价值．一、情境导入小明设计了一个玩具模型，如图所示，其中AB ＝AC ，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，CD 、BE 相交于点O ，为了使图形美观，小刚希望AO 恰好平分∠BAC ，他的这个愿望能实现吗？请你帮他说明理由．二、合作探究探究点一：灵活选用合适方法证明三角形全等如图，已知BC ＝EC ，∠BCE ＝∠ACD ，要使△ABC ≌△DEC ，则应添加的一个条件为________(答案不唯一，只需填一个)．解析：根据已知可知两个三角形已经具备有一角与一边对应相等，所以根据全等三角形的判定方法，可以添加一边或一角都可以得到这两个三角形全等．若根据“SAS ”判定时，则可以添加AC ＝DC ；若根据“ASA ”判定时，则可以添加∠B ＝∠E ；若根据AAS 判定时，则可以添加∠A ＝∠D .因此本题可以添加的条件为AC ＝DC 或∠B ＝∠E 或∠A ＝∠D .方法总结：根据不同的判定三角形全等的方法可以选择添加不同的条件，需要注意，不能使添加的条件符合“边边角”，这也是本题容易出错的地方．探究点二：多次运用三角形全等的判定如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 为AC 上的一动点(不与A 重合)，在点E 移动的过程中BE 和DE 是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．解析：要证BE ＝DE ，先证△ADC ≌△ABC (SSS )，得到∠DAE ＝∠BAE ，再证△ADE ≌△ABE (SAS )即可．解：相等．理由如下：。
八年级数学上册 第14章 全等三角形 课题 全等三角形判定方法的综合运用学案 (新版)沪科版
课题：全等三角形判定方法的综合运用【学习目标】1．综合运用全等三角形各种判定方法解决问题；2．理解两次全等证明的一般方法．【学习重点】根据题目条件，灵活运用各种判定方法．【学习难点】两次全等的思考方法．行为提示：创设情境，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．方法指导：指导学生两次全等题型即所要证结论不能一次全等证明．一般条件不够，需要先证明其他三角形全等后补充条件，再证明．情景导入生成问题旧知回顾：1．三角形全等的判定方法一共有哪几种？答：SAS，ASA，AAS，SSS，(HL)共五种．2.如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，(1)若AC∥DB，且AC ＝DB ，则△ACE≌△BDF，根据AAS ；(2)若AC∥DB，A E ＝BF ，则△ACE≌△BDF，根据ASA ；(3)若AE ＝BF ，且CE ＝DF ，则△ACE≌△BDF，根据SAS ；(4)若AC ＝BD ，AE ＝BF ，CE ＝DF ，则△ACE≌△BDF，根据SSS ；(5)若AC ＝BD ，CE ＝DF(或AE ＝BF)，则△ACE≌△BDF，根据H L ．自学互研 生成能力知识模块一 运用两次全等证明边或角相等阅读教材P 109～P 110的内容，回答下列问题：运用两次全等证明边或角相等应注意什么问题？ 答：所要证明的边或角所在的两个三角形不能直接证明全等，需要先根据条件证明另外两个三角形全等后，得出条件再证它们全等．典例：在△ABC 中，AB ＝AC ，AE 交BC 于点E ，D 是AE 上一点，BD ＝CD.求证：AE⊥BC.证明：在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SSS )，∴∠BAD ＝∠CAD.在△ABE 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAE ＝∠CAE AE ＝AE，∴△ABE ≌△ACE (SAS )，∴∠AEB ＝∠AEC ，∵∠AEB ＋∠AEC ＝180°，∴∠AEB ＝90°，∴AE ⊥BC . 仿例1：已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：△ABE≌△ADE.证明：在△DEC 和△BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠3＝∠4，EC ＝EC ，∠1＝∠2，∴△DEC ≌△BEC(ASA)，∴DE ＝BE.∵∠3＝∠4，∴180°－∠3＝180°－∠4，即∠AED ＝∠AEB .在△AED 和△AEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ，∠AED ＝∠AEB ，DE ＝BE ，∴△AED ≌△AEB (SAS )．仿例2：如图，已知AB∥CD，OA ＝OD ，AE ＝DF ，点E 、A 、O 、D 、F 在同一条直线上，求证：EB∥CF.证明：因为AB∥CD(已知)，所以∠3＝∠4.在△DCO 和△ABO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠3＝∠4，OD ＝OA ，∠1＝∠2，∴△D CO ≌△ABO(ASA)，∴OC ＝OB.又∵AE＝DF ，∴OD ＋DF ＝OA ＋AE ，即OF＝OE ，在△CO F 和△BOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OB ，∠1＝∠2，OF ＝OE ，∴△COF ≌△BOE(SAS)，∴∠F ＝∠E，∴EB ∥CF.方法指导：给学生指明旋转90°型三角形全等的证明方法，观察所证三角形呈旋转90°，根据条件，分析证明．提示：先让学生独立思考，然后在组长带领下小组交流．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．知识模块二 旋转90°型三角形全等的证明典例1：△ABC 和△EAD 都是等腰直角三角形，且B 、C 、D 在同一直线上．求证：EC⊥BD.证明：∵△ABC 和△EAD 为等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE (SAS )，∴∠AEC ＝∠ADB ，又∠AHE ＝∠CHD ，∴∠EAH ＝∠HCD ＝90°，∴EC ⊥BD .典例2：△ABC 为等腰直角三角形，CD ⊥AB 于点D ，点E 、F 分别在AC 、BC 上，若DE⊥DF，求证：AE ＝CF.分析：由图观察，△ADE 与△CDF 为旋转90°关系．证明：∵△ACB 为等腰直角三角形，∴CA ＝CB ，∴∠A ＝∠B ＝45°.又∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°，∵∠A ＝∠ACD ＝45°，∴DA ＝DC .∵DE ⊥DF ，∴∠EDF ＝90°，∴∠EDC ＋∠CDF ＝90°.又∵∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∴∠ADE＝∠CDF ，在△ADE 和△CDF 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠DCF ＝45°，DA ＝DC ，∠ADE ＝∠CDF ，∴△ADE ≌△CDF (ASA )．∴AE ＝CF .交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一运用两次全等证明边或角相等知识模块二旋转90°型三角形全等的证明检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书【课后检测】见学生用书课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
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第14章小结与复习
【学习目标】
1．学会运用三角形全等的判定方法，发展推理能力；
2．经历归纳、总结全等三角形的证明过程，深化思维能力，提高逻辑思维和表达能力；
3．培养合情合理的能力和创新意识．
【学习重点】
判定两个三角形全等的方法．
【学习难点】
运用已学过的判定三角形全等的方法解决实际问题．
行为提示：
让学生通过回忆后，独立完成旧知回顾的内容．
引导学生回顾本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统了解本章知识及它们之间的关系．教学时，边回
顾边建立知识框图．情景导入 生成问题
知识结构我能建：
全等三角形⎩⎪⎨⎪⎧全等三角形：能够完全重合的两个三角形
全等三角形的判定⎩⎪⎨⎪⎧SAS ：有两边及夹角对应相等的两个三角形全等ASA ：有两角及夹边对应相等的两个三角形全等
SSS ：有三边对应相等的两个三角形全等AAS ：有两角及其中一角对边对应相等的两个三角形全等HL ：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的性质及应用
行为提示：
教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．
教会学生落实重点．
方法指导：
对于变例，根据条件，寻找一对全等三角形，过B 点作AD 的垂线段．
知识连接：
范例2中利用角平分线构造三角形，将∠D 转移到∠AEC ，而∠AEC 与∠CEB 互补，∠CEB ＝∠B ，从而证得∠B
＋∠D＝180°.主要方法是：“线、角进行转移”．
行为提示：
找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决．
积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．自学互
研生成能力
知识模块一全等三角形的判定与性质的综合运用
典例：
如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加一组条件是( C)
A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D
仿例1：
如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，则下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③CD＝DN；
④△ACN≌△ABM，其中正确的有( B )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
变例：
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝8，过点B作EB⊥AB，交CD于点E.若DE＝6，则AD 的长为( C )
A．6B．8C．10D．无法确定
仿例2：
如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ＝DE ，BE ＝CF ，请添加一个条件∠B ＝∠DEF(答案不唯一)，使△ABC≌△DEF.
知识模块二 构造全等三角形的特殊方法
范例1：翻折法构造全等三角形
如图所示，已知在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，BD 平分∠ABC ，求证：AB ＝BC ＋CD .
证明：∵BD 平分∠ABC ，将△BCD 沿BD 翻折后，点C 落在AB 上的点E ，则有BE ＝BC ，在△BC D 与△BED 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝BE ，∠CBD ＝∠EBD ，BD ＝BD ，
∴△BCD ≌△BED (SAS )，∴∠BED ＝∠ACB ＝90°，∴∠DEA ＝90°，CD ＝DE ，BC ＝BE .∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°.∴AE ＝DE .∴AB ＝BE ＋EA ＝BC ＋CD .
范例2：平移法构造全等三角形
如右图所示，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，若AB>AD，DC＝BC，求证：∠B＋∠D＝180°.
证明：在AB上截取AE＝AD，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC.∵AC＝AC，∴△DAC≌△EAC(SAS)，∴∠D＝∠AEC，DC＝EC.∵DC＝BC，∴CE＝CB，∴∠B＝∠CEB，∵∠CEB＋∠AEC＝180°，∴∠B＋∠D＝180°.
交流展示生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一全等三角形的判定与性质的综合运用
知识模块二构造全等三角形的特殊方法
检测反馈达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书
【课后检测】见学生用书
课后反思查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：____________________________________________________________________。