第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系(优秀经典课时作业练习及答案详解)

课时作业
A组——基础对点练
1．若直线上有两个点在平面外，则()
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
解析：根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．
答案：D
2．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有()
A．4个B．3个
C．2个D．1个
解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．
答案：A
3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
解析：由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.
答案：D
4．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l ⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.
答案：B
5．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD 不相交，充分性成立；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行，则A，B，C，D四点共面，必要性不成立，所以甲是乙成立的充分不必要条件．
答案：A
6．(2018·绵阳诊断)已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是()
A．l⊂α，m⊂β，且l⊥m
B．l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n
C．m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥m
D．l⊂α，l∥m，且m⊥β
解析：依题意知，A、B、C均不能得出α⊥β.对于D，由l∥m，m⊥β得l⊥β，又l⊂α，因此有α⊥β.综上所述，选D.
答案：D
7.如图，ABCD A 1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线
A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A
四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M
∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1
与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1
的交线上，所以A，M，O三点共线．
答案：A
8．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n ⊂β.有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.其中真命题的个数是()
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：对于①，直线m，n可能异面；易知②正确；对于③，直线m，n同时垂直于公共棱，不能推出两个平面垂直，错误；对于④，当直线n∥l时，不能推出两个平面垂直．故真命题的个数为1.故选B.
答案：B
9．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析：将α，β分别换成直线a，b，则命题变为“a∥b，a⊥γ⇒b⊥γ”是真命题；将α，γ分别换成直线a，b，则命题变为“a∥β，a⊥b⇒β⊥b”是假命题；将β，γ分别换成直线a，b，则命题变为“α∥a，α⊥b⇒a⊥b”是真命题，故真命题有
2个．
答案：C
10．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β，所以①正确；若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α，所以②正确；设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．所有的真命题的序号是①②.
答案：①②
11.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，
AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且CF
CB＝
CG
CD＝
2
3，则下列说法正确的是________．(填写所有正确说法的序号)
①EF与GH平行
②EF与GH异面
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
④EF与GH的交点M一定在直线AC上
解析：连接EH，FG(图略)，
依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，
故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．
因为EH＝1
2BD，FG＝2
3BD，故EH≠FG，
所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，
故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，
∴点M是平面ACB与平面ACD的交点，
又AC是这两个平面的交线，
所以点M一定在直线AC上．
答案：④
12．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．
解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则
AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与
GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与
GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有3对．
答案：3
B组——能力提升练
1．(2018·天津检测)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是
() A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：对于A选项，设α∩β＝a，若l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，此时α与β相交，故A项错误；对于B选项，l∥α，l⊥β，则存在直线a⊂α，使得l∥a，此时a⊥β，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B选项正确；对于C选项，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C选项错误；对于D选项，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D选项错误．故选B.
答案：B
2．(2018·贵阳监测)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列
命题正确的是()
A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n
B．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n
C．m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α⊥β
D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
解析：A：m与n的位置关系为平行，异面或相交，∴A错误；B：根据面面垂直的性质可知正确；C：由题中的条件无法推出α⊥β，∴C错误；D：只有当m与n相交时，结论才成立，∴D错误．故选B.
答案：B
3．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是()
①若l⊥α，则l与α相交；
②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故①正确；由于不能确定直线m，n相交，不符合线面垂直的判定定理，故②不正确；根据平行线的传递性，l∥n，故l⊥α时，一定有n⊥α，故③正确；由垂直于同一平面的两条直线平行得m∥n，再根据平行线的传递性，可得l∥n，故④正确．
答案：C
4．(2018·宁波模拟)下列命题中，正确的是()
A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线
B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行
D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有
且只有一条
解析：对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．
对于B，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，故B错误．
对于C，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．易知D正确．故选D.
答案：D
5．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是() A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
解析：A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B 中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C 错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．
答案：D
6．已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，有下列命题：
①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
③若m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确命题的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥α或n ⊂α，故①错误；②因为m ⊥α，m ∥n ，所以n ⊥α，又n ⊥β，则α∥β，故②正确；③过直线m 作平面γ交平面β于直线c ，因为m ，n 是两条异面直线，所以设n ∩c ＝O .因为m ∥β，m ⊂γ，γ∩β＝c ，所以m ∥c .因为m ⊂α，c ⊄α，所以c ∥α.因为n ⊂β，c ⊂β，n ∩c ＝O ，c ∥α，n ∥α，所以α∥β，故③正确；④由面面垂直的性质定理可知④正确．
答案：C
7．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1上的一个动点，平面BED 1交棱AA 1于点F .则下列命题中真命题有( )
①存在点E ，使得A 1C 1∥平面BED 1F ；
②存在点E ，使得B 1D ⊥平面BED 1F ；
③对于任意的点E ，平面A 1C 1D ⊥平面BED 1F ；
④对于任意的点E ，四棱锥B 1
BED 1F 的体积均不变． A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：当点E 为棱CC 1中点时，A 1C 1∥EF ，可得A 1C 1∥平面BED 1F ；因为B 1D 与BD 1不垂直，因此B 1D ⊥平面BED 1F 不成立；因为正方体的体对角线BD 1与平面A 1C 1D 垂直，因此平面A 1C 1D ⊥平面BED 1F ；四棱锥B 1
BED 1F 的体积等于2VB 1
BED 1＝2VD 1BEB 1＝2×13·D 1C 1·12·
BB 1·BC 为定值，故选D. 答案：D
8．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )
A.110
B.25
C.3010
D.22 解析：如图，取BC 的中点D ，连接MN ，ND ，AD ，由于MN
綊12B 1C 1綊BD ，因此有ND 綊BM ，则ND 与NA 所成角即为异
面直线BM 与AN 所成的角．设BC ＝2，则BM ＝ND ＝6，AN
＝5，AD ＝5，因此cos ∠AND ＝ND 2＋NA 2－AD 22ND ·NA ＝3010.
答案：C
9．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )
A.16
B.36
C.13
D.33
解析：设正四面体ABCD 的棱长为2.如图，取AD 的中点F ，
连接EF ，CF .在△ABD 中，由AE ＝EB ，AF ＝FD ，得EF ∥BD ，
且EF ＝12BD ＝1.故∠CEF 为直线CE 与BD 所成的角或其补角．
在△ABC 中，CE ＝32AB ＝3；
在△ADC 中，CF ＝32AD ＝ 3.
在△CEF 中，cos ∠CEF ＝CE 2＋EF 2－CF 2
2CE ·EF
＝(3)2＋12－(3)223×1
＝36. 所以直线CE 与BD 所成角的余弦值为36.
答案：B
10．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，则下列四个命题中不
正确的是()
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
解析：由线面平行、垂直之间的转化知A、B正确；对于C，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊂β，所以β⊥α，即C正确；对于D，m∥α，α∩β＝n，则m∥n，或m与n是异面直线，故D不正确．
答案：D
11．在长方体ABCD A1B1C1D1中，过点A，C，B1的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的位置关系是________．
解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面ACB1＝AC，平面A1B1C1D1∩平面ACB1＝l，由面面平行的性质定理得AC∥l.
答案：平行
12．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
解析：对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：
如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平
面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．
命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．
由平面与平面平行的定义知命题③正确．
由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．
答案：②③④
13．如图所示，四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为________．
解析：如图所示，延长DA 至E ，使AE ＝DA ，连接PE ，BE .
∵∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，
∴DE ＝BC ，DE ∥BC .
∴四边形CBED 为平行四边形，∴CD ∥BE .
∴∠PBE 就是异面直线CD 与PB 所成的角．
在△P AE 中，AE ＝P A ，∠P AE ＝120°，由余弦定理，得
PE ＝
P A 2＋AE 2－2P A ·AE cos ∠P AE ＝ AE 2＋AE 2－2AE ·AE ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝3AE . 在△ABE 中，AE ＝AB ，∠BAE ＝90°，
∴BE ＝2AE .
∵△P AB 是等边三角形，
∴PB ＝AB ＝AE ，
∴PB 2＋BE 2＝AE 2＋2AE 2＝3AE 2＝PE 2，
∴∠PBE ＝90°.
答案：90°
14．(2018·济南模拟)在正四棱锥V -ABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA 与BD 所成角的大小为________．
解析：如图，设AC ∩BD ＝O ，连接VO ，因为四棱锥V -ABCD
是正四棱锥，所以VO ⊥平面ABCD ，故BD ⊥VO .又四边形ABCD
是正方形，所以BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面VAC ，所以BD ⊥VA ，
即异面直线VA 与BD 所成角的大小为π2.
答案：π2。