概率论与数理统计科学出版社出版骆先南主编ch6-01

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概率论与数理统计

2.和（并）：
3.互斥（互不相容）：对立：
事件的运算：
伯努利大数定律：当试验次数n足够大时，事件发生的频率就约等于事件发生的概率。

全概率公式、贝叶斯公式
定义：
引入随机变量后，可用随机变量的
等式或不等式来表达随机事件；
随机变量的函数一般也是随机变量
0-1分布是n=1时的二项分布
定义：性质：
定义：
F(x)是X的分布函数，X是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数，简称概率密度
性质：
均匀分布：
标准正态分布N(0,1)
标准正态分布的分位数
举例：
期望反映了随机变量取值的平均，又称均值。

教材：《概率论与数理统计》刘国祥等

两两互不相容(互不相容)
Ai Aj ,i j,i, j 1,2,,n
A1 , A 2 , , A n , 两两互不相容(互不相容)
Ai Aj ,i j,i, j 1,2,
6.对立关系（余关系或逆关系）
(1)定义:若A 与B 满足
AB , AB
BA A
称A 与B 相互对立的,并且把B称为A 的对立
法buffon 英Pearson 英Pearson
总次数n
4040 12000 24000
出现正面次数μ
2048 6019 12012
μ/n
0.5069 0.5016 0.5005
从上表可知,随着试验次数的不断增加,出现正面与反面的次数差不多，即出现正面与反面的可能性大小一样,分别是1/2.这就是“掷硬币”这一现象的内在规律性.
2.样本点与样本空间
●样本点: 试验的每一个可能发生的
结果称为一个样本点,记为.
●样本空间：随机试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为。
这里要说明的是：样本点及样本空间只是特殊的元素与集合而已.
例1.1 T1: 掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面还是反面。
例1.2 T2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。
§1.1 随机事件及其运算
一、随机试验与样本空间
概率论的研究对象是随机现象,而对随机现象是通过试验来研究的.
1.随机试验
对某事物特征进行观察, 统称试验. 定义:若试验满足 1.可在相同的条件下重复进行；（可重复性） 2.试验的可能结果不止一个, 但事先能明确所有可能发生的结果；（可知性） 3. 试验前不能预知出现哪种结果;（随机性）
如:E2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。

概率论与数理统计(叶慈南刘锡平科学出版社)第6章数理统计的基本概念教程

E( X ) = E( X )
反映总体方差D(X)的信息
样本标准差
E ( S 2 ) = D( X )
S= S
2
反映总体标准差的信息
注1: 观察值用小写表示,记为 x , s 2 , s , a k , b k , x ( 1 ) , x ( n ) 注2:S 2 =
n 2 1 n 1 ∑ ( X i X )2 = n 1 (∑ X i2 n X ) n 1 i =1 i =1
统计量的分布称为抽样分布.数理统计中常用到如下三个分布: χ2分布, t 分布和 F分布
(一)χ2分布
构造:设 X 1 , L , X n ~ N ( 0 ,1 ) ,则
iid 2 2 χ 2 = X 12 + X 2 + ... + X n ~ χ 2 ( n )
2)设总体 X～U(1,5),样本 X 1 , X 2 ,L , X 10 , 则 E( X ) = , D( X ) = .
第6章数理统计的基本概念
概率论:从已知分布出发,研究r.v. X 的性质,规律,数字特征等等——演绎数理统计:X 的分布不知道或不完全知道,观察它的取值(采集数据),通过分析数据来推断 X 服从什么分布或确定未知参数——归纳收集,整理数据统计推断
2
数理统计的基本概念
总体与样本常用统计量统计抽样分布
F=
U / n1 ~ F ( n1 , n2 ). V / n2
称为自由度为(n1,n2)的 F 分布.
t1α ( n)
1. 概率密度为
n1 n1 + n2 1 )( n1 / n2 )n1 / 2 y 2 Γ( 2 , p( y ) = n1 n2 n1 ( n1 + n2 ) / 2 Γ ( 2 )Γ( 2 )(1 + n y ) 2 0, y≤0

概率论与数理统计A,教学大纲

概率论与数理统计A,教学大纲第一篇：概率论与数理统计A,教学大纲概率论与数理统计AProbability & Statistics A课程编码：09A00210 学分：3.5 课程类别：专业基础课计划学时：56其中讲课：56 实验或实践：0 上机：0 适用专业：部分理工类、经济、管理类学院各专业，主要有信息学院、机械学院、电气自动化、土建学院、资环学院、商学院、物理学院等。

推荐教材：杨殿武苗丽安主编，《概率论与数理统计》，科学出版社，2014年;参考书目：浙江大学盛骤主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社，2009年;吴赣昌主编，《概率论与数理统计》，中国人民大学出版社，2006年。

课程的教学目的与任务本课程是大部分理工科、管理、经济类各专业的专业基础课程，课程内容侧重于讲解概率论与数理统计的基本理论与方法，同时在教学中结合各专业的特点介绍性地给出在各领域中的具体应用。

课程的任务在于通过本课程的学习，要使学生获得：随机事件与概率、一元与多元随机变量及其分布、随机变量的数字特征；、数理统计的基本概念、参数估计与假设检验等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力以及运用数学知识分析问题和解决随机问题的能力，提高学生的数学素质和解决实际问题的能力。

课程的基本要求（一）概率论基础掌握古典概型、几何概型的计算；掌握全概率公式及贝叶斯公式的运用及独立性。

（二）随机变量及其分布掌握一维离散型和连续型随机变量的概率分布的计算及一维随机变量的函数的分布。

（三）多维随机变量及其分布1、掌握二维离散型随机变量的概率分布及二维连续型随机变量的概率密度的性质。

2、掌握二维离散和连续型随机变量的边缘分布和随机变量的独立性及二维随机变量的函数的分布。

（四）随机变量的数字特征1、掌握数学期望、方差的性质及运算;掌握六种常见分布的数学期望和方差。

2、掌握协方差及相关系数的性质及相关性。

概率论与数理统计各章参考文献

概率论与数理统计各章参考文献《概率论与数理统计》各章参考文献第1章事件与概率罗建中. 排列组合、二项式定理与概率统计[J]. 数学教学通讯, 2006,(Z2)吐尔洪江. 关于古典概型问题的几点思考[J]. 塔里木大学学报, 2006,(02)潘佩. 概率中易混淆概念的对比与思考[J]. 高中数学教与学, 2007,(01)姜丽娟. 概率教学中几个相关概念的探讨[J]. 鸡西大学学报, 2001,(04)左振钊, 张艳红. 利用概率的古典定义求概率常见错误解法分析[J]. 河北北方学院学报(自然科学版) , 2006,(04)黄良文. 第一讲概率的意义及其基本运算[J]. 中国统计, 1984,(01)第2章离散型随机变量刘青桂, 王书田, 郝香芝. 一类离散型随机变量[J]. 石家庄职业技术学院学报, 2005,(06)王昭海, 杜贵春. 关于随机变量分布函数定义的一点注记[J]. 安康师专学报, 2006,(02)徐德义. 随机变量及分布函数[J]. 高等函授学报(自然科学版) , 1996,(05)赵晓兵. 随机变量函数分布的教学实践与探索[J]. 雁北师范学院学报, 2006,(05)刘淼. 关于二维随机变量概率密度函数算法的一点补充[J]. 中央民族大学学报(自然科学版) , 2006,(03)汪红. 用换元法求连续型随机变量函数分布的两个问题[J]. 绵阳师范高等专科学校学报, 1998,(S1)王昭海. 一类离散型随机变量的分布列与数学期望[J]. 安康师专学报, 2006,(01)朱学军. 有关数字特征的几个计算技巧问题[J]. 嘉兴学院学报, 2004,(03)覃光莲. 数学期望的计算方法探讨[J]. 高等理科教育, 2006,(05)徐传胜. 离散型随机变量数学期望的求法探究[J]. 高等数学研究, 2005,(01)第3章连续型随机变量汪仲文. 连续型随机变量函数的密度函数的计算公式[J]. 喀什师范学院学报, 2004,(03)刘平兵. 二维连续型随机变量函数的密度公式及计算[J]. 数学理论与应用, 2005,(04)唐小峰. 连续型随机变量独立性的几个充要条件[J]. 阜阳师范学院学报(自然科学版) , 2006,(02)李裕奇, 赵刊. n维随机变量独立性的一个充要条件[J]. 西南交通大学学报(自然科学版) , 1998,(05)尹传存, 吕玉华, 李福山. 随机变量独立性的几个结果[J]. 河南师范大学学报(自然科学版) , 1998,(04)黄爱英, 李春芳. 解决二维连续型随机变量函数分布的一种方法[J]. 雁北师范学院学报, 1998,(02)王雪琴. 随机变量的函数的数学期望[J]. 渭南师范学院学报, 2002,(02)许兆龙. 关于随机变量的特征函数与独立性关系的一个性质的证明[J]. 湘潭师范学院学报,1996,(03)唐秋晶, 蒋传凤. 数学期望的几种求法[J]. 洛阳师范学院学报, 2000,(05)第4章大数定律与中心极限定理李贤平等《概率论与数理统计》（学习方法指导丛书）复旦大学出版社，2003刘剑平等《概率论与数理统计方法》华东理工大学出版，2004赵衡秀等《概率论与数理统计全程学练考》东北大学出版社，2003胡东华等《概率统计辅导》机械工业出版社，2003第5章数理统计的基本概念王天营. 谈数理统计在统计学中的地位[J]. 统计与决策, 2006,(09)何鹏光. 充分统计量的证明及其相关结论[J]. 阜阳师范学院学报(自然科学版) , 2006,(03)陈红, 山其骞. 几种重要统计量数字特征的简算法[J]. 青岛大学学报(自然科学版) , 1999,(01)李秀兰. 对教材中有关次序统计量分布证明的一点看法[J]. 雁北师范学院学报, 2000,(06)费青云. 几个统计量的初等诠释[J]. 数学教学, 1999,(04)第6章点估计张永利. 矩估计的基本原理及其解题方法[J]. 巢湖学院学报, 2005,(03)谢安. 浅谈极大似然估计的教学方法[J]. 统计教育, 2002,(03)陈思宝, 王海贤, 陈桂景. 指数分布族中矩估计序贯置信区间[J]. 系统科学与数学, 2006,(03) 张忠诚. 参数极大似然估计的几点注记[J]. 高等函授学报(自然科学版) , 2006,(02)聂高辉. 参数θ的函数f(θ)的极大似然估计[J]. 大学数学, 2005,(05) .张忠诚. 两种情形下参数的极大似然估计[J]. 高等函授学报(自然科学版) , 2005,(01)第7章假设检验张忠群. 对假设检验中两类错误的探讨[J]. 六盘水师范高等专科学校学报, 2006,(06)张光春, 宿莉. 假设检验问题分析[J]. 重庆科技学院学报(自然科学版) , 2005,(04)刘舒强. 关于假设检验的两类错误在应用上的处理方法[J]. 现代财经-天津财经学院学报, 1989,(03)谭萄. 统计假设建立的一般原则刍议[J]. 晋东南师范专科学校学报, 2003,(05)蔡越江. 论假设检验中的两类错误[J]. 数理统计与管理, 1999,(03)王德劲. 论假设检验中两类错误的关系[J]. 内江科技, 2006,(01)曹玲. 关于假设检验中两类错误的探讨[J]. 云南财贸学院学报(社会科学版) , 2004,(04)第8章方差分析和回归分析金兰. 回归分析与方差分析教学的几点思考[J]. 统计教育, 2006,(11)杨国忠, 刘再明. 一类带跳的线性回归模型[J].湖南大学学报(自然科学版) , 2005,(03)张勇. 评介《应用线性回归模型》[J]. 统计研究, 1990,(01)赵岗, 吕淼. 回归分析方法应用于产品检验中的探讨[J]. 山东轻工业学院学报, 1998,(01)白雪梅, 赵松山. 回归分析与方差分析的异同比较[J]. 江苏统计, 2000,(10)龚自方. 关于相关与回归的讨论[J]. 统计教育, 2002,(03)。

《概率论与数理统计》(46学时)课程教学大纲

《概率论与数理统计》（46学时）课程教学大纲一、课程的基本情况课程中文名称：概率论与数理统计课程英文名称：Probability Theory and Mathematical Statistics课程编码：0702003课程类别：学科基础课课程性质：必修总学时：46 讲课学时：46 实验学时：0学分：2.5授课对象：本科相关专业前导课程：《高等数学》《线性代数》二、教学目的概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学学科，是理工科各专业的一门重要的学科基础课。

通过本课程的学习，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。

同时，也为一些后续课程的学习提供必要的基础。

三、教学基本要求第一章概率论的基本概念1.1 随机试验1.2 样本空间、随机事件1.3 频率与概率1.4 等可能概型（古典概型）1.5 条件概率1.6 独立性基本要求：1. 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念并掌握事件的关系与运算2. 掌握概率的定义与基本性质3. 理解古典概型的概念，掌握古典概率的计算方法4. 理解条件概率的定义，熟练掌握乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式并会灵活应用5. 理解事件独立性的概念，熟练掌握相互独立事件的性质及有关概率的计算重点与难点：1. 重点：随机事件；概率的基本性质及其应用；乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式事件的独立性2. 难点：概率的公理化定义、条件概率概念的建立、全概率公式与贝叶斯公式的应用第二章随机变量及其分布2.1 随机变量2.2 离散型随机变量及其分布律2.3 随机变量的分布函数2.4 连续型随机变量及其概率密度2.5 随机变量的函数的分布基本要求：1. 理解随机变量的概念；掌握离散型随机变量和连续型随机变量的描述方法2. 掌握分布律、分布函数、概率密度函数的概念及性质；掌握由概率分布计算相关事件的概率的方法3. 熟练掌握二项分布、泊松（Poisson ）分布、正态分布、指数分布和均匀分布，特别是正态分布的性质并能灵活运用；熟练掌握伯努利概型概率的计算方法4. 熟练掌握一些简单的随机变量函数的概率分布的求法重点与难点：1. 重点：随机变量、分布律、密度函数和分布函数的概念；二项分布、均匀分布的概念和性质2. 难点：二项分布的推导及应用；随机变量函数的概率分布第三章多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布3.4 相互独立的随机变量3.5 两个随机变量的函数的分布基本要求：1. 正确理解二维随机变量的定义，掌握二维随机变量的联合分布律、联合分布函数、联合概率密度函数及条件分布的概念2. 熟练掌握由联合分布求事件的概率，求边缘分布及条件分布的基本方法3. 理解随机变量独立性的概念，掌握随机变量独立性的判别方法4. 了解求二维随机变量函数分布的基本思路，会求,max{,},min{,}X Y X Y X Y 的分布重点与难点：1. 重点：由联合分布求概率，求边缘分布及条件分布的方法2. 难点：求离散型随机变量联合分布律的方法，条件密度的导出，随机变量函数的分布第四章随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵基本要求：1. 掌握随机变量及随机变量函数的数学期望的计算公式，熟悉数学期望的性质并能灵活运用2. 掌握方差的概念和性质；熟悉二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布和均匀分布的数学期望和方差；了解切比雪夫（Chebyshev ）不等式3. 掌握协方差和相关系数的定义和性质，并会灵活应用4. 掌握矩、协方差矩阵的定义重点与难点：1. 重点：数学期望、方差、相关系数与协方差的计算公式及性质2. 难点：随机变量函数的数学期望的计算，利用数学期望的性质计算数学期望，相关系数的含义第五章大数定律及中心极限定理5.1 大数定律5.2 中心极限定理基本要求：1. 掌握依概率收敛的概念及贝努利大数定律和契比雪夫大数定律2. 掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛－拉普拉斯(De Moivre-Laplace)极限定理3. 掌握应用中心极限定理计算有关事件的概率近似值的方法重点与难点：1. 重点：用中心极限定理计算概率的近似值的方法2. 难点：依概率收敛的概念第六章样本及抽样分布6.1 随机样本6.2 抽样分布基本要求：1. 理解总体、个体、样本容量、简单随机样本以及样本观察值的概念2. 理解统计量的概念；熟悉数理统计中最常用的统计量（如样本均值、样本方差）的计算方法及其分布χ-分布，t-分布，F-分布的定义并会查表计算3. 掌握24. 熟悉正态总体的某些常用统计量的分布并能运用这些统计量进行计算重点与难点：χ-分布, t-分布, F-分布的定义与分位点的查表；正态总体常用统计量的分布1. 重点：2χ-分布, t-分布, F-分布的定义与分位点的查表2. 难点：2第七章参数估计7.1 点估计7.3 估计量的评选标准7.4 区间估计7.5 正态总体均值与方差的区间估计7.7 单侧置信区间基本要求：1. 理解参数的点估计(矩估计、最大似然估计)的计算方法2. 掌握参数点估计的评选标准：无偏性，有效性和相合性3. 理解参数的区间估计的概念，熟悉对单个正态总体和两个正态总体的均值与方差进行区间估计的方法及步骤重点与难点：1. 重点：点估计的矩法、最大似然估计法；正态总体参数的区间估计2. 难点：最大似然估计法，两个正态总体的参数的区间估计四、课程内容与学时分配五、教材参考书教材：盛骤谢式千潘承毅《概率论与数理统计》（第三版）高等教育出版社2001. 参考书：[1] 茆诗松《概率论与数理统计教程》（第一版）高教出版社2004.[2] 王展青李寿贵《概率论与数理统计》（第一版）科学出版社2000.六、教学方式和考核方式1.教学方式：以课堂讲授为主，辅以答疑、课后作业。

《概率论与数理统计》高教版PPT

P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
30 July 2013
华东师范大学
第一章随机事件与概率
第35页
注意
• 抛一枚硬币三次抛三枚硬币一次
• Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)}
此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
第一章随机事件与概率
第30页
注意
求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.
30 July 2013
华东师范大学
第一章随机事件与概率
第31页
加法原理
完成某件事情有 n 类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种不同的方法.
事件运算的图示
AB
AB
AB
30 July 2013
华东师范大学
第一章随机事件与概率
第16页
德莫根公式
A B A B;
A B A B
A A;
i 1 i i 1 i
n
n
A A
i 1 i i 1
n
n
i
30 July 2013
华东师范大学
第一章随机事件与概率
六根草，头两两相接、尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算
所求概率为
6 4 4 2 2 1 8 6 5 4 3 2 1 15

概率论与数理统计工科教材

概率论与数理统计工科教材
概率论与数理统计是数学的一个重要分支，广泛应用于工科领域。

以下是一些常见的工科概率论与数理统计教材：
1. 《概率论与数理统计》（第二版），梁满发著，ISBN：，华南理工大学
出版社。

2. 《概率论与数理统计教程》（第二版），吴喜之著，ISBN：，高等教育
出版社。

3. 《概率论与数理统计》（第四版），盛骤、谢式千、潘承毅著，ISBN：，高等教育出版社。

4. 《概率论与数理统计讲义》（第二版），茆诗松、程依明、濮晓龙著，ISBN：，高等教育出版社。

5. 《概率论与数理统计》（第三版），魏宗舒主编，ISBN：，高等教育出
版社。

这些教材都涵盖了概率论与数理统计的基本内容，包括概率论的基本概念、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、样本分布、参数估计和假设检验等。

此外，工科领域还需要关注一些与具体专业相关的概率论与数理统计教材，例如工程概率统计、可靠性工程概率统计等。

《概率论与数理统计》科学出版社课后习题答案

第二章随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=22.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)（概率课后习题答案详解）董永俊（概率课后习题答案详解）30122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。

概率论与数理统计教程(茆诗松)第6章

其一是如何给出估计，即估计的方法问题；
其二是如何对不同的估计进行评价，即估
计的好坏判断标准。
14 July 2013
华东师范大学
第六章参数估计
第4页
§6.1 点估计的几种方法
6.1.1 替换原理和矩法估计
一、矩法估计替换原理是指用样本矩及其函数去替换相应的总体矩及其函数，譬如： ˆ • 用样本均值估计总体均值E(X)，即 E ( X ) x ； 2 ˆ • 用样本方差估计总体方差Var(X)，即 Var( X ) sn • 用样本的 p 分位数估计总体的 p 分位数， • 用样本中位数估计总体中位数。
n
则
ˆ ˆ limn E ( n ) 是的相合估计，, limn Var ( n ) 0
定理6.2.2 若 ,, 分别是1, …, k 的相合估 ˆ ˆ n1 nk 计， =g(1 , …, k) 是1, …, k 的连续函数，则 ˆ ˆ ˆ n g ( n1 , , nk ) 是的相合估计。
第六章参数估计
第24页
例6.2.4 对任一总体而言，样本均值是总体均值的无偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩ak是总体k阶原点矩 k的无偏估计。但对中心矩则不一 n 1 2 2 ，样本方差s*2不是总样，譬如，由于 E (s * ) n 体方差 2的无偏估计，对此，有如下两点说明： (1) 当样本量趋于无穷时，有E(s*2) 2，我们称 s*2 为 2的渐近无偏估计。
n
1 n n n 2 2 2 ln L( , ) 2 ( xi ) ln ln(2) 2 i 1 2 2
14 July 2013
华东师范大学
第六章参数估计

概率论与数理统计教学大纲

《概率论与数理统计》课程教学大纲一、课程说明课程编号：0602102课程名称：概率论与数理统计/Probability and Mathematical Statistics课程类别/课程性质：公共基础课/必修课课程总学时/学分：40/2.5开课学院：理学部开课学期：第3学期适用专业：电气工程及其自动化、电子信息科学与技术、服装设计与工程、电子信息工程、计算机科学与技术、网络工程先修课程：高等数学、线性代数后续课程：统计学考试方式：笔试闭卷推荐教材或参考书目：推荐教材：盛骤、谢式千、潘承毅．概率论与数理统计．高等教育出版社，2008.6.参考书目：1. 盛骤、谢式千、潘承毅. 概率论与数理统计学习辅导与习题选解. 高等教育出版社，2008.6.2．吴赣昌.概率论与数理统计（理工类）.中国人民大学出版社，2011.8.2、课程简介《概率论与数理统计》是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。

它是一门必修的基础课，是学习专业课、基础专业课以及研究生课程等后续课程的必要基础，也是参加社会生产、日常生活和工作的必要基础。

随着社会的发展，它在经济、管理、社会生活和科学研究等方面的应用越来越广泛。

它在解决实际问题，培养和提高学生观察问题、分析问题、解决问题的能力方面发挥着特有的作用，对学生形成良好的辩证唯物主义世界观也有积极的作用。

三、教学的目的和任务《概率论与数理统计》是一门重要的专业基础必修课，在教学培养计划中列为基础主干课程。

通过本课程的学习，使学生不但比较系统的掌握概率论与数理统计学的基础知识，而且使学生学到随机数学的基础研究技能，另外训练学生严密的科学思维及运用概率统计方法分析问题、解决问题的能力、为学生学习后继课打下良好的基础。

1．学好基础知识。

理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。

2．掌握基本技能。

能够根据法则、公式正确地进行运算。

概率论与数理统计目录

概率论与数理统计概率论与数理统计
第一章概率论的基本概念第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征
版权归北京科技大学《概率论与数理统计》课程组
概率论与数理统计概率论与数理统计
第五章大数定律及中心极限定理第六章样本及抽样分布第七章参数估计假设检验
第二章随机变量及其分布第一节随机变量第二节离散型随机变量及其分布第三节随机变量的分布函数第四节连续型随机变量及其分布第五节随机变量的函数的分布
版权归北京科技大学《概率论与数理统计》课程组
第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量第二节边缘分布第三节条件分布第四节相互独立的随机变量第五节随机变量函数的分布
版权归北京科技大学《概率论与数理统计》课程组
第四章随机变量的数字特征第一节数学期望第二节方差第三节协方差及相关系数第四节矩、协方差矩阵
版权归北京科技大学《概率论与数理统计》课程组
第五章大数定律及中心极限定理第一节大数定律第二节中心极限定理
版权归北京科技大学《概率论与数理统计》课程组
第六章样本及抽样分布第 0 节数理统计序言第一节随机样本第二节抽样分布
版权归北京科技大学《概率论与数理统计》课程组

第七章参数估计第一节第二节点估计估计量的评选标准
第三节区间估计第四节正态总体均值与方差的区间估计
版权归北京科技大学《概率论与数理统计》课程组
第八章假设检验第一节假设检验第二节正态总体均值的假设检验第三节正态总体方差的假设检验第四节置信区间与假设检验之间的关系
版权归北京科技大学《概率论与数理统计》课程组

概率论与数理统计各章参考文献

《概率论与数理统计》各章参考文献第1章事件与概率罗建中. 排列组合、二项式定理与概率统计[J]. 数学教学通讯, 2006,(Z2)吐尔洪江. 关于古典概型问题的几点思考[J]. 塔里木大学学报, 2006,(02)潘佩. 概率中易混淆概念的对比与思考[J]. 高中数学教与学, 2007,(01)姜丽娟. 概率教学中几个相关概念的探讨[J]. 鸡西大学学报, 2001,(04)左振钊, 张艳红. 利用概率的古典定义求概率常见错误解法分析[J]. 河北北方学院学报(自然科学版) , 2006,(04)黄良文. 第一讲概率的意义及其基本运算[J]. 中国统计, 1984,(01)第2章离散型随机变量刘青桂, 王书田, 郝香芝. 一类离散型随机变量[J]. 石家庄职业技术学院学报, 2005,(06)王昭海, 杜贵春. 关于随机变量分布函数定义的一点注记[J]. 安康师专学报, 2006,(02)徐德义. 随机变量及分布函数[J]. 高等函授学报(自然科学版) , 1996,(05)赵晓兵. 随机变量函数分布的教学实践与探索[J]. 雁北师范学院学报, 2006,(05)刘淼. 关于二维随机变量概率密度函数算法的一点补充[J]. 中央民族大学学报(自然科学版) , 2006,(03)汪红. 用换元法求连续型随机变量函数分布的两个问题[J]. 绵阳师范高等专科学校学报, 1998,(S1)王昭海. 一类离散型随机变量的分布列与数学期望[J]. 安康师专学报, 2006,(01)朱学军. 有关数字特征的几个计算技巧问题[J]. 嘉兴学院学报, 2004,(03)覃光莲. 数学期望的计算方法探讨[J]. 高等理科教育, 2006,(05)徐传胜. 离散型随机变量数学期望的求法探究[J]. 高等数学研究, 2005,(01)第3章连续型随机变量汪仲文. 连续型随机变量函数的密度函数的计算公式[J]. 喀什师范学院学报, 2004,(03)刘平兵. 二维连续型随机变量函数的密度公式及计算[J]. 数学理论与应用, 2005,(04)唐小峰. 连续型随机变量独立性的几个充要条件[J]. 阜阳师范学院学报(自然科学版) , 2006,(02)李裕奇, 赵刊. n维随机变量独立性的一个充要条件[J]. 西南交通大学学报(自然科学版) , 1998,(05)尹传存, 吕玉华, 李福山. 随机变量独立性的几个结果[J]. 河南师范大学学报(自然科学版) , 1998,(04)黄爱英, 李春芳. 解决二维连续型随机变量函数分布的一种方法[J]. 雁北师范学院学报, 1998,(02)王雪琴. 随机变量的函数的数学期望[J]. 渭南师范学院学报, 2002,(02)许兆龙. 关于随机变量的特征函数与独立性关系的一个性质的证明[J]. 湘潭师范学院学报,1996,(03)唐秋晶, 蒋传凤. 数学期望的几种求法[J]. 洛阳师范学院学报, 2000,(05)第4章大数定律与中心极限定理李贤平等《概率论与数理统计》（学习方法指导丛书）复旦大学出版社，2003刘剑平等《概率论与数理统计方法》华东理工大学出版，2004赵衡秀等《概率论与数理统计全程学练考》东北大学出版社，2003胡东华等《概率统计辅导》机械工业出版社，2003第5章数理统计的基本概念王天营. 谈数理统计在统计学中的地位[J]. 统计与决策, 2006,(09)何鹏光. 充分统计量的证明及其相关结论[J]. 阜阳师范学院学报(自然科学版) , 2006,(03)陈红, 山其骞. 几种重要统计量数字特征的简算法[J]. 青岛大学学报(自然科学版) , 1999,(01)李秀兰. 对教材中有关次序统计量分布证明的一点看法[J]. 雁北师范学院学报, 2000,(06) 费青云. 几个统计量的初等诠释[J]. 数学教学, 1999,(04)第6章点估计张永利. 矩估计的基本原理及其解题方法[J]. 巢湖学院学报, 2005,(03)谢安. 浅谈极大似然估计的教学方法[J]. 统计教育, 2002,(03)陈思宝, 王海贤, 陈桂景. 指数分布族中矩估计序贯置信区间[J]. 系统科学与数学, 2006,(03)张忠诚. 参数极大似然估计的几点注记[J]. 高等函授学报(自然科学版) , 2006,(02)聂高辉. 参数θ的函数f(θ)的极大似然估计[J]. 大学数学, 2005,(05) .张忠诚. 两种情形下参数的极大似然估计[J]. 高等函授学报(自然科学版) , 2005,(01)第7章假设检验张忠群. 对假设检验中两类错误的探讨[J]. 六盘水师范高等专科学校学报, 2006,(06)张光春, 宿莉. 假设检验问题分析[J]. 重庆科技学院学报(自然科学版) , 2005,(04)刘舒强. 关于假设检验的两类错误在应用上的处理方法[J]. 现代财经-天津财经学院学报, 1989,(03)谭萄. 统计假设建立的一般原则刍议[J]. 晋东南师范专科学校学报, 2003,(05)蔡越江. 论假设检验中的两类错误[J]. 数理统计与管理, 1999,(03)王德劲. 论假设检验中两类错误的关系[J]. 内江科技, 2006,(01)曹玲. 关于假设检验中两类错误的探讨[J]. 云南财贸学院学报(社会科学版) , 2004,(04)第8章方差分析和回归分析金兰. 回归分析与方差分析教学的几点思考[J]. 统计教育, 2006,(11)杨国忠, 刘再明. 一类带跳的线性回归模型[J]. 湖南大学学报(自然科学版) , 2005,(03)张勇. 评介《应用线性回归模型》[J]. 统计研究, 1990,(01)赵岗, 吕淼. 回归分析方法应用于产品检验中的探讨[J]. 山东轻工业学院学报, 1998,(01) 白雪梅, 赵松山. 回归分析与方差分析的异同比较[J]. 江苏统计, 2000,(10)龚自方. 关于相关与回归的讨论[J]. 统计教育, 2002,(03)。

概率论与数理统计第1章

概率统计是研究随机现象数量规律的数学学科, 理论严谨, 应用广泛, 发展迅速. 目前, 不仅高等学校各专业都开设了这门课程, 而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又不得不学的重要课程.《概率论与数理统计概率论与数理统计》》前言《应用概率统计应用概率统计》》主要教学参考书陈魁主编清华大学出版社《概率论与数理统计概率论与数理统计》》刘军凤等编著科技文献出版社（复习指导书)每周第一次课收前一周作业，课代表收齐按名单序号排好后课前交教师。

答疑：每周3，晚7：00~9：00，3教5楼教师休息室国内有关经典著作1.1.《《概率论基础及其应用概率论基础及其应用》》王梓坤著科学出版社 1976 年版 2.《数理统计引论数理统计引论》》陈希儒著科学出版社 1981年版国外有关经典著作1.《概率论的分析理论概率论的分析理论》》P.- S.拉普拉斯著 1812年版2. 《统计学数学方法统计学数学方法》》H. 克拉默著 1946年版概率论的最早著作数理统计最早著作概率统计专业首位中科院院士本学科的 A B C概率(或然率或几率) ) ——————随机事件出现的可能性的量度————其起源用骰子赌博. 1616世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；中的一些问题；171717世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B. B. B. 帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C. C. C. 惠更斯惠更斯惠更斯基于排列组合的方法，研究了较复杂方法，研究了较复杂的赌博问题，的赌博问题，解决了“ 合理分配赌注问题” 。

概率论是研究客观世界随机现象数量规律的数学分支学科.19331933年苏联柯尔莫哥洛夫完成了概率的公理化体系。

数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策的科学艺术使概率论成为数学一个分支的真正奠基人是瑞士数学家是瑞士数学家J.J.J.伯努利；而概率论的飞速发展伯努利；而概率论的飞速发展则在则在171717世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后.. 概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用.但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系.本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中. 例如1.1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与概率论紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在3. 寻求最佳生产方案要进行实验设计和数据处理；临床中应用，均需要用到假设检验；4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制与发射都离不开可靠性估计;5. 探讨太阳黑子的变化规律时，时间序列分析方法非常有用;6. 研究化学反应的时变率，要以马尔可夫过程来描述;7. 在生物学中研究群体的增长问题时提出了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多变量非线性生灭过程；8. 许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知识就是排队论.目前，概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，都大量采用概率统计方法. 正如法国数学家拉普拉斯所说: “生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”第一章概率论的基本概念§1 随机试验§2 样本空间、随机事件§3 频率与概率§4 等可能概型§5 条件概率§6 独立性序言1.自然界和人类社会中的两类不同现象：例：同性电荷相斥.北京地区7、 8、 9三个月的降雨量.一个标准大气压下,100o 水沸腾.朝某方向一直走，终究返回原地.例：癌症患者手术后生存时间.我校西面马路上一个月内发生车祸的次数.一定条件下必发生称为必然现象新生婴儿的体重.随机现象随机现象是不是没有规律可言?2.随机现象统计规律的实例：肿瘤医院医生对其病人手术后生存时间估计很准确。

骆先南周勇主编概率论与数理统计课后习题答案

第二章随机变量及其分布1，设Z 表示取出次品的个数，“0=Z ”表示取出0个次品事件；因为15只零件中有2只次品，取3次且每次都不放回取到0件次品的概率为：3522315313=C C ，即3522)0(==Z P ；同理有：3512)1(31512213===C C C Z P ，351)2(315212113===C C C Z P ；因此Z 的分布律为：（如下图所示）2,设Z 表示3个零件中合格品的个数，“0=Z ”表示取出0个合格品事件，i A 表示第i 个零件为不合格品事件（i=1，2，3），显然1A ，2A ，3A 为相互独立事件。

由题意知：21)(1=A P ，31)(2=A P ，41)(3=A P ，因此41)411)(311)(211()()()()3(321=---===A P A P A P Z P ，同理：2411)()()()()()()()()()2(321321321=++==A P A P A P A P A P A P A P A P A P Z P 246)()()()()()()()()()1(321321321=++==A P A P A P A P A P A P A P A P A P Z P 241)()()()0(321===A P A P A P Z P ，所以Z 的分布列为：3，设Z 表示该汽车首次遇红灯前已经通过的路口的个数，过第一个路口就遇到红灯的概率为：21)0(==Z P ，同理有：412121)1(=⋅==Z P ，81212121)2(=⋅⋅==Z P ，81212121)3(=⋅⋅==Z P 所以Z 概率分布列为：4，X 的分布列为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=31325.0212.010)(x x x x x F6，(1)，1)(=⎰∞∞-dx x f，10cos 02222=++∴⎰⎰⎰∞--∞-ππππdx xdx A dx从而得到122sin =-ππx A ，21=∴A(2)，当2π-<x 时，00)()(===⎰⎰∞-∞-xx dt dt t f x F ；当22ππ<≤-x 时，21sin 21cos 210)()(22+=+==⎰⎰⎰--∞-∞-x tdt dt dt t f x F xxππ；当2π≥x 时，10cos 210)()(2222=++==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-x xdt tdt dt dt t f x F ππππ；因此Z 的分布函数2222121sin 210)(ππππ≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x F7，当o x <时有：x xt xe dt e dt tf x F 2121)()(===⎰⎰∞-∞-；当o x ≥时有：x x x x xxe dt e dt e dt xf dt t f dt t f x F 2112121)()()()(00-=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰-∞-∞-∞- 因此X 的分布函数为:021121)(≥<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x e ex F x x8，(1) )(x F 是处处右连续的，∴1)1()(lim 1==→F x F x ，1lim 21=→Ax x ；1=∴A ；(2)其它1002)()(<≤⎩⎨⎧='=x xx F x f ；(3){}91.0)3.0()3.1(3.13.0=-=≤≤F F x P9，(1)最初150小时电子管烧坏的概率为：()31)(150150==≤⎰∞-dx x f X P ；因此至少有两电子管被烧坏的概率为：277)31()311()31(333223=+-=C C P (2)Y 表示在使用最初150小时内烧坏的个数，则:,278)311()0(303=-==C Y P ,2712)311)(31()1(213=-==C Y P,276)311()31()2(223=-==C Y P ,271)31()3(333===C Y P因此电子管数Y 的分布列为：(3)，Y 的分布函数为：332211000272627202780)(≥<≤<≤<≤<⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=y y y y y y F 10，设n V =k 表示观测值不大于0.1的次数为k ，而01.020)()1.0(1.0001.0=+==≤⎰⎰⎰∞-∞-xdx dx dt x f X P ，因此随机变量n V 的概率分布为：3,2,1,)99.0()01.0()(===-k C k V P k n k knn 11，因为要使方程012=++Xy y 有实根，则其判别式01142≥⨯⨯-=∆X ，得22-≤≥X X 或；又因为X 服从[]6,1分布，所以541626)62(=--=≤≤X P 12，设A 表示观测值大于3的事件，B 表示A 发生的次数，依题意得：,322535)(=--=A P 2720)32(31)32()2(333223=+=≥∴C C B P 13，(1)因为51)(x e x F --=，所以251011)10()10(---=-==≤e eF X P ，5,4,3,2,1,0,)1()()(5225=-==∴---k e e C k Y P k k k ；(2)Y 是表示10分钟内等不到的次数，则 5167.0)1(1)1(52≈--=≥-e Y P 14，(1),90.0)3108()()(=-Φ==<a a F a X P 查表知28.13108=-a ，所以84.111=a ；(2)，)6.1171.101(<<X P )6.117()1.101(F F +-=)31081.101()31086.117(-Φ--Φ=，因为)(1)(x x Φ-=-Φ，所以988.0)6.1171.101(=<<X P 15，因为{}8.0200120≥<<X P ，即)160120()160200()120()200(σσ-Φ--Φ=-F F)40()40(σσ-Φ-Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ--Φ=)40(1)40(σσ 8.01)40(2≥-Φ=σ90.0)40(≥Φ⇒σ，查表知：28.140≥σ， 20.31≤∴σ16，误差的绝对值不超过30米的概率为：4961.0)402030()402030()30()30()3030(=--Φ--Φ=--=≤≤-F F X P ，所以误差超过30米的概率为：5069.04931.01=-，所以三次误差绝对值都超过30米的概率为333)5069.0(C ，因此三次测量中至少有一次误差绝对值不超过30米的概率为：869.0)5069.0(1333=-C 17，(1)根据题知：))1,1((,1655)1(1)1()41811()1(-∈+=------=<<-x x x x X P 其中；当1-<x 时，0)()(=<=x X P x F ，当11<≤-x 时，16751655810)1()1()()(+=+++=<≤-+-<=<=x x x X P X P x X P x F ，当1≥x 时，1)(=x F ；(2)X 取负值的概率为：16716705)0()0(=+⨯==<F X P 18，由题知，216.0)4.01()0(303=-==C X P ， 432.0)4.01)(4.0()1(213=-==C X P ，288.0)4.01()4.0()2(223=-==C X P ， 064.0)4.0()3(333===C X P ，(1)故21X Y =的分布列为：(2))2(2-=X X Y 的分布列为：(3)3)3(3X X Y -=的分布列为：19，由X e Y =得x e y =，显然有0>y 且y x ln =，根据定理有：yy f y y f y f X X Y 1)(ln )(ln )(ln )(='=， (1)当0ln ≥=x y 时，即1≥y 时有2ln 111)(ln yy e y y f y X ==⋅-, (2)当0ln <=x y 时，即10<<y 时有01)(ln =⋅yy f X , 由(1),(2)得：⎪⎩⎪⎨⎧<<≥=10011)(2y y y y f Y20，(1)因为)(tan )tan ()(arctan )()(y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= 等式两边对y 求导得：y ey y f y f yX Y 22tan 2sec 21sec )(tan )(2⋅==-π，由X Y arctan =得x y arctan =， 22ππ<<-∴y ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥=∴-222sec 20)(2tan 22ππππy e y y y f yY(2))12()()(2y X P y Y P y F Y ≤+=≤= (显然1≥y 才有可能) )2121(-≤≤--=y X y P )21()21(----=y F y F Y Y 1)21(2--=y F Y两边对y 进行求导得：41)1(21)21)(21(2)(---='--=y X Y ey y y f y f π，因此122+=X Y 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--101)1(21)(41y y e y y f y Y π；(3) )()()(y X P y Y P y F Y ≤=≤=)(y X y P ≤≤-= )()(y F y F X X --= 1)(2-=y F X ，两边对y 求导得：22222212)(2)(y y X Y eey f y f --===ππ，因此X Y =的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0002)(22y y ey f yY π 习题三1. 箱子里装有12只开关，其中只有2 只次品，从箱中随机地取两次，每次取一只，且设随机变量X ，Y 为⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=.,1,0;,1,0若第二次取得次品若第二次取得正品若第一次取得次品若第一次取得正品，Y ，X试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出X 与Y 的联合分布律. 解：先考虑放回抽样的情况：.361122122}1,1{,3651210122}0,1{,3651221210}1,0{,362512101210}0,0{=⨯====⨯====⨯====⨯===Y X P Y X P Y X P Y X P则此种情况下，X 与Y 的联合分布律为再考虑不放回抽样的情况.661111122}1,1{,3351110122}0,1{,3351121210}1,0{,22151191210}0,0{=⨯====⨯====⨯====⨯===Y X P Y X P Y X P Y X P2. 将一硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y ）的联合分布律及边缘分布律.解：由已知可得：X 的取值可能为0，1，2，3；Y 的取值可能为1，3；则由硬币出现正面和反面的概率各为21，可知 83212121}1,2{,0}3,1{,83212121}1,1{,81212121}3,0{(0}0,0{2313=⨯⨯=======⨯⨯====⨯⨯======C Y X P Y X P C Y X P Y X P Y X P 此种情况不可能发生）.81212121}3,3{0}1,3{0}3,2{=⨯⨯=========Y X P Y X P Y X P3. 把三个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，设随机变量X 与Y 分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布.解：由已知可得：X 的取值可能为0，1，2，3；Y 的取值可能为0，1，2，3；则271313131}0,0{=⨯⨯===Y X P ， 91313131}1,0{13=⨯⨯===C Y X P 91313131}2,0{23=⨯⨯===C Y X P ，271313131}3,0{=⨯⨯===Y X P 91313131}0,1{13=⨯⨯===C Y X P ，92313131}1,1{1213=⨯⨯===C C Y X P91313131}2,1{13=⨯⨯===C Y X P 0}3,1{===Y X P ，91313131}0,2{23=⨯⨯===C Y X P91313131}1,2{23=⨯⨯===C Y X P0}3,2{}2,2{======Y X P Y X P271313131}0,3{33=⨯⨯===C Y X P 0}3,3{}2,3{}1,3{=========Y X P Y X P Y X P则二维随机变量（X,Y ）的概率分布及边缘分布为4. 设(X,Y)的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=.,0,42,20),6(81),(其它y x y x y x f求：（1） P ﹛(x,y)∈D ﹜, 其中D=﹛(x,y)|x<1,y<3﹜; （2） P ﹛(x,y)∈D ﹜, 其中D=﹛(x,y)|x+y<3﹜. 解：（1） ∵D={(x,y)|x<1,y<3}∴83)6(81),(}),{(103213=--==∈⎰⎰⎰⎰∞-∞-dxdy y x dxdy y x f D y x P （2） ∵D={(x,y)|x+y<3}∴245)6(81),(}),{(1032=--==∈⎰⎰⎰⎰-xDdxdy y x dxdy y x f D y x P 5. 设(X,Y)的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤++-=.,0,),(),(22222其它R y x y x R c y x f 求：（1）系数c ；（2） (X,Y)落在圆()R r r y x <≤+222内的概率. 解：（1）由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f ，得1)(22222=+-⎰⎰≤+dxdy y x R c Ry x ，可求得33R c π=（2）设222|),{(r y x y x D ≤+=，则)321(3)(3),(}),{(3223222R r R dxdy y x R R dxdy y x f D Y X P Dr y x -=+-==∈⎰⎰⎰⎰≤+ππ6. 已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x f求X 和Y 的联合分布函数.解：∵随机变量X 和Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x f∴当x<0,或y<0时，F(x,y)=0; 当10,10≤≤≤≤y x 时，2204=y} Y x , P{X =y)F(x ,y x XYdXdY x y⎰⎰=≤≤当1,10>≤≤y x 时，2014=y} Y x , P{X =y)F(x ,x XYdXdY x ⎰⎰=≤≤当10,1≤≤>y x 时，21004=y} Y x , P{X =y)F(x ,y XYdXdY y⎰⎰=≤≤当1,1>>y x 时，14=y} Y x , P{X =y)F(x ,101⎰⎰=≤≤XYdXdY综上可得，X 和Y 的联合分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤<<1,1 110,1 1,10 10,10 0,00=y)F(x,2222y x y x y y x x y x yx y x 或7. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为⎩⎨⎧<<<≤+=.,0,60,60),(),(其他y x y x k y x f（1）求常数k ；（2）求 P ﹛0<x<2,1<y ≤3﹜; （3）求X,Y 的边缘概率密度；（4）判断X 与Y 是否相互独立. 解：（1）由概率密度的性质有⎰⎰+∞∞-+∞∞=1),(dxdy y x f即1)(6060⎰⎰=+dxdy y x k ，有2161=1216k k ∴=(2) ⎰⎰=+=≤<<<2031181)(2161}31,20{dxdy y x y x P (3) X 的边缘概率密度为⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(∴当0≤x<6时，363)(2161)(6+=+=⎰x dy y x x f X 当x<0或x ≥6时，显然有0)(=x f X⎪⎩⎪⎨⎧<≤+=∴.,0,60,363)(其他x x x f XY 的边缘概率密度为⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(∴当0<y<6时，363)(2161)(6+=+=⎰y dy y x y f Y 当y ≤0或x ≥6时，显然有0)(=y f Y⎪⎩⎪⎨⎧<<+=∴.,0,60,363)(其他y y y f Y(4) 的表达式易知，及从)()(y f x f Y X ),()()(y x f y f x f Y X ≠ ∴X 与Y 不相互独立.8．已知随机变量X 1和X 2的概率分布为而且P{X 1X 2=0}=1.(1) 求X 1和X 2的联合分布； (2) 问X 1和X 2是否独立？为什么？解：由1}0{21==X X P ,可知021=X X 必然成立.0}0{21=≠∴X X P由}1,1{}1,0{}1,1{}1{2121212=======-===X X P X X P X X PX P 得21}1{}1,0{221=====X P X X P 同理可得：41}0,1{,41}0,1{2121=====-=X X P X X P ，而}0,1{}1,0{}0,1{}0,0{}0{2121212121==+==+=-=+====X X P X X P X X P X X P X X P 04141211}0,1{}1,0{}0,1{}0{}0,0{2121212121=---===-==-=-=-====X X P X X P X X P X X P X X P 综上可得，1X 和2X 的联合分布为（2）}0{}0{}0,0{2121==≠==X P X P X X P可知1X 和2X 不独立.9. 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从()b b ,- 上的均匀分布，求方程02=++Y tX t 有实根的概率.解：方程02=++Y tX t 有实根的充要条件是042≥-Y X ，由于随机变量X 与Y 相互独立，所以随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-=其他,0,,,41),(2b y b b x b by x f下面分两种情况讨论：（1）当40≤<b 时，如图24214),(}4{4222b dy dx b dxdy y x f y X P Dbbx b+===≥⎰⎰⎰⎰-- (2) 当4>b 时，如图bdy dx b dxdy b dxdy b dxdy y x f y X P Dbbbx D D32141414),(}4{224222221-=-=-===≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-综上可得：方程02=++Y tX t 有实根的概率为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<+=≥-.4,321,40,2421}04P{2b bb bY X另解：方程02=++Y tX t 有实根的充要条件是 042≥-Y X令),(,121x F X Z Z 其分布函数为=),(,422x F Y Z Z 其分布函数为-=则当x<0时,0)(1=x F Z 则当0≤x ≤b 2时{}x X x P x X P X Z P x F Z ≤≤-=≤=≤=}{}{)(211由于X 与Y 都服从()b b ,-上的均匀分布，即其密度函数各为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他其他,0,21)(,0,21)(Y by b b y f bx b bx f X当0≤x ≤b 2时，bxdt b x F xx Z ==⎰-21)(1 当x>b 2时显然有.1)(1=x F Z∴Z 1的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.00,2)(21其他b x bxx F Z而当时，b x 4≥1)4(01}4{1}4{)(2=-≤--=-<-=≤-=b xx Y P x Y P x F Z当-4b<x<4b 时，bxb x b dt b x Y P x F xb Z 821)4(211}4{1)(42+=≤-≤--=-<-=⎰--当x ≤-4b 时，0)4(11}4{1)(2=≥--=-<-=b xx Y P x F Z∴Z 2的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.44,81)(2其他b x b bx F Z又由于随机变量X 与Y 相互独立，∴Z 1 和Z 2也相互独立. 又设Z= Z 1 +Z 2，，则，分布函数为其密度函数为dx x z f x f f x F x Z Z Z Z Z ⎰+∞∞--=)()()z ()()(f 而⎰∞--=-=≥=≥-02)(1)0(1}0{}04{dz z f F Z P Y X P Z Z∵b>0,而当z ≤-4b ，]4,4[b b x -∈时，04≤+b z 此时0)(=z f Zb dx bx b z f b b z b bz Z 818121)(44402=⋅=-≤<-⎰+时，当即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≥-≤<-+-≤=.4,81,44,84,4,0)(222b b z b b b z b b bz b z z f Z ），时，（即当04402≤-≤<b b b 242182112181841}04P{04442222bb b dz b dz bb z Y X b b bb b+=+--=-+-=≥-⎰⎰--- ），时，（即》当0442>-b b b bdz b b z Y X b321841}04P{0422-=+-=≥-⎰- 综上可得：方程02=++Y tX t 有实根的概率为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<+=≥-.4,321,40,2421}04P{2b bb bY X10. 设（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.,0,0,),(其他y x e y x f y求边缘概率密度和{}.1≤+Y X P 解：X 的边缘概率密度为⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(，当x ≤0时，0)(=x f X当x>0时，⎰+∞--==xx y X e dy e x f )(Y 的边缘概率密度为⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(当x ≤0时，0)(=y f Y ，当y>0时，⎰--==yy y Y ye dx e y f 0)(⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=∴--000)(.000)(y yey y f x ex x f yY xX而⎰⎰⎰⎰⎰-------+=-==≤+==≤+2102111210121)(}1|),{((),(1}Y P{X ee dx e e dy e dx y x y x D dxdy y xf x x xxy D其中11. 设X,Y 相互独立，其概率密度为⎩⎨⎧≤>=⎩⎨⎧≤≤=-.0,0,0,)(.,0,10,1)(y y e y f x x f y Y X 其他求Z=X+Y 的概率密度.解：由已知得 ⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(当z<0时，)0,10(0)(≤-≤≤=x z x z f Z 时当当0≤z ≤1时，z zz x Z e dx e z f ---==⎰1)(0当z>1时，z z x Z e e dx e z f ---==⎰)1()(1∴Z=X+Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<=--1)1(10100)(z e e z e z z f z zZ12. 设随机变量（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,0,3),(其他x x y x y x f求Z=X —Y 的概率密度. 解：∵Z=X —Y 的分布函数为 ⎰⎰⎰⎰≤-+∞∞-+∞-==≤-=≤=zY X zx Z dy y x f dx dxdy y x f z Y X P z Z P z F ),(),(}{}{)(∴Z=X —Y 的概率密度为⎰+∞∞--==dxz x x f z F z f Z Z ),()()('⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,0,3),(其他x x y x y x f0)(,0x 1=∴≤-≥z f z z Z 时，当， ,0)(,x 0=∴≥-≤z f x z z Z 时，当),1(23x dx 3)(1021z z f z Z Z -==<<⎰时，当∴Z=X —Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0,10),1(23)(2其他z z z f Z13. 设随机变量（X,Y ）的概率密度为(),,21),(22222+∞<<∞-=+-y x ey x f y x σπσ求22Y X Z +=的概率密度.解：设22Y X Z +=的分布函数为)(z F Z当0≤Z 时，0}{}{)(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z 当0>Z 时，22222222222022222212121}{)(σπσσσπσθπσz zY X y x y x Z erdred dxdy ez Z P z F -≤++-+-===≤=⎰⎰⎰⎰∴22Y X Z +=的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-.0,21,0,0)(222z ez z F z Z σσ14. 设二维随机变量（X,Y ）在矩形(){}10,20|,≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度f(s). 解：由已知可得随机变量（X,Y ）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=.,010,20,21),(其他，y x y x f设边长为X 和Y 的矩形面积S 的分布函数为F(s)，则⎰⎰≤=≤=≤=sxy )f(x,s}{}{)dxdy y XY P s S P s F （∴.0)0=≤s F S （时，当2)ln 2(ln 2222121)y ,()20220102s s s s dx x s dy dx dy dx dy x f dx s F S sx s s s x s+-=+=+==<<∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（时，当)1(121)22≥==≥⎰⎰xsdy dx s F S x s（时，当 ∴矩形面积S 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<-=2,0,020),ln 2(ln 21)(s s s s s f 或15．设X 和Y 为两个随机变量，且{}{},740{}0,730,0=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P 求{}.0),max (≥Y X P解：{}{}0,00,0}0{<≥+≥≥=≥Y X P Y X P X P {}{}173740,0}0{0,0=-=≥≥-≥=<≥∴Y X P X P Y X P 同理可求{}710,0=≥<Y X P {}{}{}{}10,00,00,00,0=<<+≥<+<≥+≥≥Y X P Y X P Y X P Y X P 又{}7271717310,0=---<<∴Y X P {}{}{}.757210,010),max(10),max(=-=<<-=<-=≥∴Y X P Y X P Y X P16. 设（X,Y ）的联合概率密度为 (),,10021),(1001002122+∞<<∞-∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y x ey x f y x π求：（1）{};Y X P < （2）边缘概率密度； (3) ).|(|x y f X Y 解：（1）由已知，得⎰⎰⎰⎰<∞+∞-∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∙=∙=<yxy x y x dy edx dxdy e Y X P x 100100211001002122221002110021}{ππ同理可知⎰⎰∞+∞-∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∙=>yy x dx edy Y X P 100100212210021}{π}{}{Y X P Y X P >=<∴而0}{==Y X P又1}{}{}{==+>+<Y X P Y X P Y X P21}{}{=>=<∴Y X P Y X P （2）X 的边缘概率密度为)(210110021),()(20010010021222+∞<<-∞=∙==-∞+∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞+∞-⎰⎰x edy edy y x f x f x y x X ππ由于f(x,y)关于x,y 地位的对称性，得)(2101)(2002+∞<<-∞=-y ey f y Y π17. 设X,Y 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知X 的分布律为),3,2,1(31}{===i i X P 又设},,min{},,max {Y X Y X ==ηξ试写出变量),(ηξ的分布律及边缘分布律并求}.{ηξ==P解：由已知得：,913131}1{}1{}1,1{}1,1{=⨯=========Y P X P Y X P P ηξ0}3,1{}2,1{======ηξηξP P,9231313131}2{}1{}1{}2{}2,1{}1,2{}1,2{=⨯+⨯===+=====+=====Y P X P Y P X P Y X P Y X P P ηξ,913131}2{}2{}2,2{}2,2{=⨯=========Y P X P Y X P P ηξ,0}3,2{===ηξP,9231313131}3{}1{}1{}3{}3,1{}1,3{}1,3{=⨯+⨯===+=====+=====Y P X P Y P X P Y X P Y X P P ηξ,9231313131}3{}2{}2{}3{}3,2{}2,3{}2,3{=⨯+⨯===+=====+=====Y P X P Y P X P Y X P Y X P P ηξ913131}3,3{}3,3{=⨯======Y X P P ηξ则变量),(ηξ的分布律及边缘分布律为：而.31919191}{=++===ηξP18. 设X 关于Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他，,0,0,3)|(32|y x y x y x f Y X而Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他，,0,10,5)(4y y y f Y求.21⎭⎬⎫⎩⎨⎧>X P解：由已知得：⎩⎨⎧<<<<=∙=其他,010,0,15)()|(),(2|y y x y x y f y x f y x f Y Y X⎰⎰⎰⎰==+∞<<-∞>==>∴121212644715}),21x {D (),(}21{P Y Dydx x y dxdy y x f X 其中19. 设（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他,0,10,10,),(y x y x y x f求：（1）},max {Y X Z =的概率密度；（2）},min{Y X Z =的概率密度.解：(1) 设},max {Y X Z =的分布函数为)(z F Z ,概率密度为)(z f Z ，则当0≤Z 时，0),(}},{max {}{)(},m ax{==≤=≤=⎰⎰≤zY X Z dxdy y x f z Y X P z Z P z F当10≤<Z 时，33302},max{22)2()(),(}{)(z zz dx xz z dyy x dx dxdy y x f z Z P z F zzzzY X Z =+=+=+==≤=⎰⎰⎰⎰⎰≤当z>1时, ⎰⎰≤≤≤≤=+=≤=10101)(}{)(y x Z dxdy y x z Z P z F},max {Y X Z =∴的概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,3)(2其他z z z f Z(2) 设},min{Y X Z =的分布函数为的分布函数为)(z F Z ,概率密度为)(z f Z ，则当1≥Z 时，101},{1}}{min{1}{1}{)(=-=>>-=><-=>-=≤=Z Y Z X P Z Y X P z Z P z Z P z F Z 则当0≤Z 时，011},{1}}{min{1}{1}{)(=-=>>-=><-=>-=≤=Z Y Z X P Z Y X P z Z P z Z P z F Z 则当10<<Z 时，⎰⎰++=+-=>>-=≤=1132)(1},{1}{)(zzZ z z z dy y x dx Z Y Z X P z Z P z F},min{Y X Z =∴的概率密度为⎩⎨⎧≤≤-+=.,0,10,321)(f 2其他z z z z Z20. 假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0>λ的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作.试求电路正常工作的时间T 的概率分布.解：用)3,2,1(=i X i 表示第i 个电气元件无故障工作的时间，则321,,X X X 相互独立且同分布，其分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λ设G(t)是T 的分布函数.当t ≤0时，G(t)=0;当t>0时，有te t F t X P t X P t X P t X t X t X P t T P t T P t G λ333213211)](1[1}{}{}{1},,{1}{1}{)(--=--=>>>-=>>>-=>-=≤=⎩⎨⎧≤>-=∴-.0,0,0,1)(3t t e t G t λ电器正常工作的时间T 的概率分布服从参数为λ3的指数分布. 习题四1. 设排球队A 队与B 队进行比赛（无平局），若有一队胜4场，则比赛结束，假定A 队与B 队在每场比赛中获胜的概率都是,21试求比赛结束时所需比赛场数的数学期望.解：设所需比赛场数为x,则x 可取4，5，6，7，,8121}4{412=⋅==∴C x P,41212121}5{33412=⋅⋅⋅⋅==C C x P ,165212121}6{233512=⋅⋅⋅⋅==C C x P ,165212121}7{333612=⋅⋅⋅⋅==C C x P1693}7{7}6{6}5{5}4{4)(==⋅+=⋅+=⋅+=⋅=x P x P x P x P X E2. 10个电子元件中有8个正品，2个次品，组装电子仪器时，从中任取一个，如果取出的是次品不再放回，求在取得正品前已取出次品数X 的分布律及数学期望.解：由题意知，10个电子元件中有2个次品，所以在取得正品前已取出次品数X的取值有三种情况，即X=0, X=1 X=2.,45891082}1{,54}0{19110181211018=⨯⨯======C C C C X P C C X P,451891082}2{1819110181112=⨯⨯⨯===C C C C C C X P∴X 的分布律为X 的数学期望为924545245150)(==⋅+⋅+⋅=X E 3. 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达车站的任一时刻是等可能的，且假设公开汽车一来，乘客必能上车，求：（1）候车时间的数学期望与均方差；（2）候车时间不超过3分钟的概率.解：乘客侯车时间的随机变量X 在区间[0,5]服从均匀分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0,50,51)(x X f⎰⎰+∞∞-===55.25)(x )(dx xdx x f X E⎰⎰∞+∞-===52223255)(x )(dx x dx x f X E 635)(12255.2325)]([)()(22=∴=-=-=∴X D X E X E X D (2) 5351}3{30==≤⎰dx X P4. 设连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,0,sin 21)(其他πx x x f求2X Y =的方差D(Y).解：由题意可知，⎰⎰===+∞∞-π4442sin 21)()()(xdx x dx x f x X E Y E ⎰⎰===+∞∞-π222sin 21)()()(xdx x dx x f x X E Y E 2044)]([)()(2222+-=-=∴ππY E Y E Y D5. 设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0,10,)(2其他x bx a x f且.53)(=X E 求：（1）常数a,b; （2） X 的分布函数；（3） P{X<1}; （4） D(X).解：(1)由密度函数的性质得13)a ,1)(102=+=+=⎰⎰+∞∞-a bdx bx dx x f （即又由53)(=X E ，则5324)a )()(102=+=+==⎰⎰+∞∞-a b dx bx x dx x xf X E （.56,53==∴b a（2）当x<0时，F(x)=0,当0≤x ≤1时，x x dx x f x F x5352)()(3⎰∞-+== 故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=.1,1,10,5352,0,0)(3x x x x x x F （3）15352)(}1{10=+==<⎰dx x f X P ；（4）2511|)5256()5653()(10351022=+=+=⎰x x dx x X E2522592511)]([)()(22=-=-=∴X E X E X D6.设随机机变量X 在]2,0[π服从均匀分布，求E(sinx). 解：随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0],2,0[,21)(其他ππx x f.0|)cos (2121sin )(sin E 2020=-=⋅=∴⎰ππππx dx x x 6. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=-.0,21,0,21)(x e x e x f x x试求E(2X),E(|X|),).(||2X e E - 解：由题意可知：⎰⎰⎰⎰⎰+∞-∞-+∞∞-+∞∞-=⋅+⋅=+==00000212212)(2)(2)(2)2(dx e x dx e x dx x xf dx x xf dx x xf X E x x ⎰⎰⎰+∞-∞-+∞∞-=⋅+⋅-==001)21()21()(|||)(|dx e x dx e x dx x f x X E x x⎰⎰+∞--∞--=⋅+⋅=0202||231)21()21()(dx e e dx e e e E x x xx X8. 设二维随机变量（X,Y ）的分布律为试求E(X),E(Y),D(X),D(Y),cov(X,Y).解：由联合分布列求出其相应的边际分布列，得,6.0}1{,4.0}0{,4.0}2{,3.0}1{,3.0}0{==========Y P Y P X P X P X P就得下表：24.06.06.0)()(69.0)1.1(9.1)()(6.06.014.00)(9.14.023.013.00)(6.06.014.00)(1.14.023.013.00)(222222221022222202212=-=-==-=-=∴=⨯+⨯====⨯+⨯+⨯====⨯+⨯====⨯+⨯+⨯===∴∑∑∑∑====EY Y E DY EX X E DX y y p y EY x x p x EX y y p y EY i x p x EX j i i i i i j i i i i i04.06.01.17.0)(),cov(7.03.0211.011Y =⨯-=-=∴=⨯⨯+⨯⨯==∑∑EXEY XY E Y X p y x EX ijij j i 又9. 设随机变量(X,Y)的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,),(其他x y x k y x f(1)确定常数k ；(2)求E(XY).解：(1)由密度函数的性质得⎰⎰⎰===+∞∞-1002k ,1,1)(得即Xkdydx dx x f（2）则⎰⎰⎰⎰===+∞∞-+∞∞-10041)),()(xkxydydx dy dx y x f xy XY E10. 设随机变量(X,Y)的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=.,0,20,20),(sin ),(其他ππy x y x A y x f（1）确定常数A ；(2) 求E(X),E(Y),D(X),D(Y); (3)求cov(X,Y)，.XY ρ解：(1)由密度函数的性质得⎰⎰⎰==+=∞+∞-202021A ,1)sin(,1)(ππ得即dxdy y x A dx x f （2）)sin (cos 21)sin(21)(20x x dy y x x f X +=+=⎰π，4)sin (cos 21)()(2020πππ=+⋅⋅==⎰⎰dx x x x dx x f x X E X ，又228)()(2222-+==⎰πππdx x f x X E X)328(161)4(228)]([)()(22222-+=--+=-=∴πππππX E X E X D 由X,Y 的对称性，同理可得)328(161)(,4)(2-+==πππX D Y E（3）22)sin(21)(2020-=+=⎰⎰πππdxdy y x xy XY E),168(1614422)()()(),cov(2-+-=⋅--=-=∴πππππY E X E XY E Y X328168)()(),cov(22-+-+-==ππππρY D X D Y X XY11. 设随机变量X 与Y 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=⎩⎨⎧≤>=--.0,0,0,3)(.0,0,0,2)(32y y e y g x x e x f x x试求E(X+Y),E(2X-3Y 2). 解：,31)3()(,21)2()(0302=⋅==⋅=⎰⎰+∞-+∞-dy e y Y E dx e x X E y x.65)()()(=+=+∴Y E X E Y X E又,92)3()(0322=⋅=⎰+∞-dy e y Y E y ∴E(2X-3Y 2)=E(2X)-3E(Y 2)=2E(X)-3E(Y 2)= 3112. 设随机变量X ，Y 相互独立，且E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=1，试求E[(X+Y)2].解：∵E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=1，∴E(X 2）= D(X)+[E(X)]2=1, E （Y 2）= D(Y)+[ E(X)]2=1 ∴E[(X+Y)2]=E[X 2+2XY+Y 2]= E[X 2]+2E[XY]+E[Y 2] = E[X 2]+ 2E[X]E[Y]+ E[Y 2]=213.设X 与Y 是相互独立的随机变量，X 在]21,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,2)(2y y e y f x Y求：（1）（X,Y ）的联合概率密度；（2）（X,Y ）的分布函数；（3）P{Y ≤X}; (4)的概率密度；)|(|x y f X Y（5） Z=X+Y 的概率密度；(6) 求E(X),E(Y),D(X),D(Y),cov(X,Y), .XY ρ解：（1）由题意知，X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0],21,0[,2)(其他x x f X ⎪⎩⎪⎨⎧>∈==∴-.,0,0],21,0[,4)()(),(2其他y x e y f x f y x f yY X (2) ⎰⎰∞-∞-=x ydy y x f dx y x F ),(),(0y)F(x ,0,(00x ==≤<，因此）时，或当y x f y)21(2)|2(4y)F(x ,021x 0202002y yy x y y e x e x dy e dx y ----=-==>≤≤⎰⎰时，且当 y y y y y e e dy e dx y 202210021|2214y)F(x,021x ----=⋅==>>⎰⎰时，且当 (3) eedx e dy e dx P x x xy 1|1)1(24X}{Y 2102212202=+=-==≤---⎰⎰⎰ (4)⎩⎨⎧≤>====-.0,0,0,2)()()()()(),()|(2|y y e y f x f y f x f x f y x f x y f y Y X Y X X X Y(5) ,),(z}Y {X z}{Z )(zY X ⎰⎰≤+=≤+=≤=dxdy y x f P P z F Z0(z)F 0,(0z Z ==<，因此）时，当y x f124(z)F 21z 02002Z -+==≤≤---⎰⎰z z x z y e z dy e dx 时，当z z x z y e e dy e dx 22121002Z 14(z)F 21z ----+-==>⎰⎰时，当 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤-<==--.21),1(2,210,220,0(z)'F (z)f 22Z Z z e e z e z zz(6) ⎰⎰∞-=⋅===02210212)(,412)(dy e y Y E xdx X E y⎰⎰∞-=⋅===022221022212)(,1212)(dy e y Y E dx x X E y⎰⎰∞+-=⋅=2102814)(dy e xy dx XY E y ,0)()()(),cov(,41)()()(,481)()()(2222=-==-==-=∴Y E X E XY E Y X EY Y E Y D EX X E X D0)()(0)()(),cov(.===Y D X D Y D X D Y X XY ρ14. 按节气出售的某种时令商品，每售出1kg 可获利9元，过了节气处理剩余的这种商品，每售出1kg 净亏损6元，设某店在季节内这种商品的销量X 是一随机变量，X 在（t 1,t 2）内服从均匀分布，为使商店所获利润的数学期望最大，问该店应进多少货？解：设商店所获利润为P,则⎩⎨⎧≤<≤≤--=.,,),(21t x y ay y x t x y b ax p122121122121212)(2111)]([)(21t t y t ay t t t y by t t t y b a dx t t ay dx t t x y b ax p E t y yt --+-----+=-+---=∴⎰⎰要使E(P)最大，则E(P)对y 求导为0，即.y ,0]22)[(1212112ba at bt ay at bt by yb a t t ++==-++-+-解得第五章1，解：设方差2)(σ=X D ，根据切比雪夫不等式有：；41)2(}2{22=≤>-σσσu x P{}{}22245151(5)25P x u P x u σσσσ-<=--≥≥-=2，解：令)5000,,2,1( =i X i 表示各个零件重量，由题知：i X nu nu n u ,25,1.0,2500,5000,5.0=====σ满足独立同分布的中心极限定理的条件，所以有),1,0(~25250050001N Xi i-∑=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑∑==2510125105000150001i i i i X P X P 0778.0)42.1(12525002510252500150001=Φ-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--=∑=i i X P3，解：令：1000000,,2,1,01=⎩⎨⎧=i i i X i 个符号排版正确第个符号排版错误第由题知：,1000000=n 校正后排版错误的概率为：162.3)1(10,00001.0)9.01(0001.0≈-⋅==-⨯=p np np P因为i X 满足棣莫弗-拉普拉斯定理有：),1,0(~162.31010000001N Xi i-∑=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑∑==162.31015162.310151000000110000001i i i i X P X P9429.0)581.1(=Φ=4，解:应检查n 个零件才能符合题意；令⎩⎨⎧=次为正品第次为次品第i i X i 01，n i ,,2,1 =，n p np P 3.0)1(,1.0=-=，因为i X 满足棣莫弗拉普拉斯定理条件有：),1,0(~3.01.01N nn Xni i⨯-∑=则: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=∑∑=101106.01n i i n i i X P X P⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤⨯--=∑n n n n X P n i i 3.01.0103.01.01)3.01.010(1nn -Φ-=从而有4.0)3.01.010(=-Φn n ，而)0(,5.0)(≥≥Φx x ，因此03.01.010<-n n才有上述等式成立,即100>n ，且)3.01.010(n n -Φ,4.0)3.0101.0(1=-Φ-=nn6.0)3.0101.0(=-Φnn ；查表得413.0101.0=-nn ，解得70.107≈n (另一个小于100舍去)，因此n 因取1085，解：设⎩⎨⎧=个人不治愈第个人治愈第i i X i 01，100100,,2,1==n i ，(1) ,4)1(,80,8.0=-==p np np P⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑∑=751751001001i i i i X P X P 8944.0)25.1()25.1(1480754801100=Φ=-Φ-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--=∑i i X P (2) ,21)1(,70,7.0=-==p np np P⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑∑=751751001001i i i i X P X P1379.08621.01)09.1(1)215(121707521701100=-=Φ-=Φ-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--=∑i i X P习题六（P109）1. 设总体X 的概率分布密度为：1(2), 01,(;)0, x x f x θθθ+⎧+≤≤=⎨⎩其他，其中2θ>-未知，12,,,n X X X 为其样本，求：（1）12,,,n X X X 的联合分布密度；（2）()E X ，()D X ，2()E S解：由题意知总体X 的概率分布密度为：1(2), 01,(;)0, x x f x θθθ+⎧+≤≤=⎨⎩其他，∴期望1102()(;)(2)3E X xf x dx x x dx θθθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰ []()12221022222()(;)(2)4222()()()43(4)3E X x f x dx x x dx D X E X E X θθθθθθθθθθθθ+∞+-∞+==+=++++⎛⎫∴=-=-= ⎪++⎝⎭++⎰⎰ (1)样本12,,,n X X X 相互独立，且与总体X 服从相同分布，即i X 的概率密度为：()(;),1,2,,.i f x f x i n θ==(1)121121,,, (2), 01(,,; ) () 0 , n nn n i i i n i i X X X x x f x x x f x θθθ+==∴⎧⎛⎫+∏≤≤⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎪⎩∏ 的联合分布密度为：，其他，。

概率论与数理统计参考书目

概率论与数理统计参考书目一. 概率论参考书目1. 《概率论基础》（第二版），李贤平编著，高等教育出版社，1997.2. 《概率论》，苏淳编著，科学出版社，2004.3. 《概率论引论》，汪仁官编著，北京大学出版社，1994.4. 《概率论》，何书元，北京大学出版社，20065.《概率论》,林正炎,苏中根编,浙江大学出版社,2003(第二版).6.《概率论》应坚刚何萍编著，复旦大学出版社，20057.《Probability : The Science of Uncertainty with Application to Investments,Insurance,andEngineering》(影印版)，Michael A.Bean编著,机械工业出版社，2003.8. 《A First Course in Probability》(影印版,6th Ed)，Sheldon Ross编著,中国统计出版社，2003.9.《概率论基础教程》（A First Course in Probability (6th Edition)）Sheldon Ross编著，赵选民等翻译，机械工业出版社，200610 《概率论及其应用（第3版）》（An Introduction to Probability Theory and Its Applications）威廉·费勒编著，胡迪鹤翻译，人民邮电出版社，2006二. 数理统计参考书目1、《数理统计》，茆诗松、王静龙编著，华东师范大学出版社，1990.2、《数理统计学讲义》，陈家鼎、孙山泽、李东风编著，高等教育出版社，1993.3、《数理统计——基本概念及专题》，Peter J.Bickel编著、李泽慧等译，兰州大学出版社，1991.4、《数理统计讲义》，郑明陈子毅汪嘉冈编著，复旦大学出版社，20065. 《A Course in Probability and Statistics》(影印版)，Charles J.Stone编著,机械工业出版社，2003.6. 《Mathematical Statistics and Data Analysis》(影印版,2th Ed)，John A.Rice编著, 机械工业出版社，2003.7. 《统计推断》（Statistical Inference）（美）George Casella,Roger L.Berger 编著，机械工业出版社，20058. 《数理统计学导论(第5版)》(影印版)，Robert V.Hogg,Allen T.Craig 编著，高等教育出版社，20049. 《数理统计与应用》（第7版-影印版）（John E. Freund's Mathematical Statistics with Applications, Seventh Edition），IRWIN MILLER,MARYLEES MILLER编著，清华大学出版社，2005三. 概率论与数理统计参考书目1. 《概率论与数理统计教程》，茆诗松、程依明、濮晓龙编著，高等教育出版社，2004.2.《概率论与数理统计教程》，魏宗舒等编，高等教育出版社19833. 《概率论与数理统计》，陈希孺编著，科学出版社，2002.4. 《概率论与数理统计》，李贤平编著，复旦大学出版社，2003.5. 《应用概率统计》，王学民编著，上海财经大学出版社，2005.6. 《概率论与数理统计三十三讲》（第2版），魏振军编著，中国统计出版社，2005.7. 《概率论与数理统计》（第2版），王松桂张忠占程维虎高旅端编著，科学出版社，2004 8．《概率论与数理统》，浙江大学盛骤等编，高等教育出版社2001（第三版）。

概率论与数理统计 科学出版社出版 骆先南主编ch6-01