2018一轮北师大版(理)数学训练：第5章 第2节 课时分层训练29 等差数列 Word版含解析
新课标最新北师大版2018-2019学年高中数学必修五《数列》同步习题课及答案解析
北师大版高中数学必修五习题课(1)课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题.2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，n ≥2.2．若数列{a n }为等差数列，则有： (1)通项公式：a n ＝__________；(2)前n 项和：S n ＝______________＝_________________________________________. 3．等差数列的常用性质(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则______________________． (2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则 S k ，S 2k －S k ，____________成等差数列．一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－82．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．273．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100 D ．－374．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A．120 B．105C．90 D．755．若{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则S n>0成立的最大自然数n为( )A．11 B．12C．13 D．146．在等差数列{a n}中，a1＝－2 008，其前n项和为S n，若S2 0082 008－S2 0062 006＝2，则S2 012等于( )A．－2 012 B．2 012C．6 033 D．6 036二、填空题7．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S p＝S q(p，q∈N＋且p≠q)，则S p＋q＝________. 9．等差数列{a n}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和S n取得最大值的自然数n是______．10．已知数列{a n}中，a1＝20，a n＋1＝a n＋2n－1，n∈N＋，则数列{a n}的通项公式a n＝________.三、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？12．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若数列{b n}是等差数列，且b n＝S nn＋c，求非零常数c.能力提升13．在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且|a10|<a11，S n为{a n}的前n项的和，则下列结论正确的是( )A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………………根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是______________．1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．习题课(1) 答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.(1)a 1＋(n －1)d (2)na 1＋n(n －1)d 2 n(a 1＋a n )2 3.(1)a m ＋a n ＝a p＋a q (2)S 3k －S 2k 作业设计 1．A2．C [∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝26.]3．C [设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′，则a 2＋b 2＝(a 1＋d)＋(b 1＋d ′)＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′)＝100. 又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0.∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d)＋(b 1＋36d ′)＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100.] 4．B [∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d>0， ∴a 1a 2a 3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80， ∴d ＝3，a 1＝2.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d)＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105.] 5．A [S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d<0，S 12＝(a 1＋a 12)·122＝0，n<12时，S n >0.]6．D [S n n ＝a 1＋(n －1)d2，∴S 2 0082 008－S 2 0062 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2. ∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 0112×2＝2 012×3＝6 036.] 7．80解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80. 8．0解析 设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q . 知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－b a.∴S p ＋q ＝a(p ＋q)2＋b(p ＋q)＝a(－b a )2＋b(－b a )＝b 2a －b2a＝0.9．5或6解析 d<0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>…. ∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值． 10．n 2－2n ＋21解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…， a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)． ∴a n ＝20＋(n －1)(2n －2)2＝n 2－2n ＋21.11．解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意， 有2n ＋n(n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有 2n ＋n(n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d>0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117， 又公差d>0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n(n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－nn ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．13．D [∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0，S 20＝20(a 1＋a 20)2.而a 1＋a 20＝a 10＋a 11，∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11， ∴a 10＋a 11>0，∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.又∵d ＝a 11－a 10>0. ∴S n >0 (n ≥20)．] 14.n 22－n 2＋3解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n ≥3)行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n2＋。
2019一轮北师大版(理)数学训练：第6章 第1节 课时分层训练32 不等式的性质与一元二次不等式 含解析
课时分层训练(三十二) 不等式的性质与一元二次不等式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a d>bc B ．ac >b d C ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋dD [由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d.] 2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )【导学号：57962271】A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]A [法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}． 法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图像，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．]3．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件A [因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．]4．(2016·吉林一模)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，则f (e x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－ln 3}B ．{x |－1<x <－ln 3}C ．{x |x >－ln 3}D ．{x |x <－ln 3}D [设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根， ∴a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23， b ＝－1×13＝－13，∵一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23x －13＝－x 2－23x ＋13，∴f (x )>0的解集为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13. 不等式f (e x )>0可化为－1<e x <13. 解得x <ln 13， ∴x <－ln 3，即f (e x )>0的解集为{x |x <－ln 3}．]5．若集合A ＝{}x |ax 2－ax ＋1<0＝∅，则实数a 的值的集合是( )【导学号：57962272】A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}D [由题意知a ＝0时，满足条件，a ≠0时，由⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0， 得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.] 二、填空题6．(2016·辽宁抚顺一模)不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为__________.【导学号：57962273】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 [－2x 2＋x ＋1>0，即2x 2－x －1<0，(2x ＋1)(x －1)<0，解得－12<x <1，∴不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.]7．(2017·南京、盐城二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是__________．[－4,2] [不等式f (x )≥－1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎨⎧x >0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故不等式f (x )≥－1的解集是[－4,2]．]8．(2016·西安质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝a d －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为__________．32 [原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立， x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.] 三、解答题9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小.【导学号：57962274】[解] (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y ).5分∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，8分 ∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y ). 12分 10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． [解] (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， 2分 ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋23，∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}.5分 (2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，8分等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)A [不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)ma x ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.]2．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是__________.【导学号：57962275】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 [由题意知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0， 所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.]3．(2016·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围.【导学号：57962276】[解] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2，2分当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立， 所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2. 5分(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“任意x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”.7分不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可， 所以⎩⎨⎧g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎨⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，10分 解得a ≥34，则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.12分。
2018届一轮复习北师大版(理) 等差数列及其前n项和 课件(66张)
跟踪训练1
(1)设Sn是等差数列{an} 的前n项和，已知 a2＝3，a6＝11，
解析
则S7等于 答案A.Βιβλιοθήκη 3B.35C.49
∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，
7a1＋a7 ∴S7＝ ＝ 49. 2
D.63
(2)(2016· 江苏)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋a2 2 ＝－3，S5
出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1 ，根据定
义得出数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，
根据定义判定数列{an}为等差数列.
(4)前n项和公式法：得出 Sn ＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，
解析
A.31
C.33
B.32
D.34
a ＝26， 1 3 a1＋5d＝2， 由已知可得 解得 4 5a1＋10d＝30， d＝－3，
8 ×7 ∴S8＝8a1＋ 2 d＝32.
3.(2016· 全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等
考点自测
1.在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于 答案 A.－1 B.0 C.1 D.6
解析
由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，故选B.
2.( 教材改编 ) 设数列 {an} 是等差数列，其前 n 项和为 Sn ，若 a6 ＝2 且 S5 ＝
30，则S8等于 答案
再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
跟踪训练 2
1 2 1 1 (1)在数列{an}中， 若 a1＝1， a2＝2， ＝a ＋ (n∈N＋)， an＋1 an＋2 n
高考数学一轮复习(北师大版理科)：课时分层训练31等差数列及其前n项和理北师大版
课时分层训练(三十一) 等差数列及其前n 项和A 组 基础达标一、选择题1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4C [法一：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3.法二：a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.]2．(·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97 C [法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二：∵{a n }是等差数列，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.]3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [由题意知S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8.] 4．(·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( ) A ．－24 B ．－3 C ．3D ．8A [由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )， 解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5×(－2)2＝－24.故选A.]5．(·云南二检)已知等差数列{a n }中，a 1＝11，a 5＝－1，则{a n }的前n 项和S n 的最大值是( )【导学号：79140173】A ．15B ．20C ．26D ．30C [设数列{a n }的公差为d ，则d ＝14(a 5－a 1)＝－3，所以a n ＝11－3(n －1)＝14－3n ，令a n ＝14－3n ≥0，解得n ≤143，所以S n 的最大值为S 4＝4×11＋4×32×(－3)＝26，故选C.] 二、填空题6．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.10 [S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，a 1＋a 100＝0.9a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝0.4，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×0.4＝10.]7．《九章算术》是我国第一部数学专著，下面有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问金箠重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问金箠重多少斤？”根据上面的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，则答案是________．15斤 [由题意可知金箠由粗到细各尺的重量成等差数列，且a 1＝4，a 5＝2，则S 5＝5(a 1＋a 5)2＝15，故金箠重15斤．] 8．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________.【导学号：79140174】⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 [由题意，当且仅当n ＝8时S n有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，a 8＞0，a 9＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78.]三、解答题9．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3， 解得d ＝－2.从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N ＋，故k ＝7.10．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . [解] (1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.B 组 能力提升11．(·呼和浩特一调)等差数列{a n }中，a 2＝8，前6项的和S 6＝66，设b n ＝2(n ＋1)a n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则T n ＝( )A ．1－1n ＋1B ．1－1n ＋2C.12－1n ＋1D ．12－1n ＋2D [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧6a 1＋15d ＝66，a 1＋d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，d ＝2，所以a n ＝2n ＋4，因此b n ＝2(n ＋1)(2n ＋4)＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2，故选D.] 12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( ) A ．b n ＝n －1 B ．b n ＝2n －1 C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1B [设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立， 所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0， 解得d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.]13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值为________．5 [因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m .由S m ＝(3－m )m ＋m (m －1)2×1＝0，解得正整数m 的值为5.]14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数.【导学号：79140175】(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．[解] (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1， 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ. (2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1， 可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．。
2018高考数学一轮复习第5章数列课件文北师大版
[五年考情]
[重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看：数列一般有两道客观题或一道解答题， 其中解答题与解三角形交替考查，中低档难度． 2．从知识上看：主要考查等差数列、等比数列、an与Sn的关系、递推公式以 及数列求和，注重数列与函数、方程、不等式的交汇命题． 3．从能力上看：突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的 考查，加大对探究、创新能力的考查力度．
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
[导学心语] 1．重视等差、等比数列的复习，正确理解等差、等比数列的概念，掌握等 差、等比数列的通项公式、前n项和公式，灵活运用公式进行等差、等比数列基 本量的计算． 2．重视an与Sn关系、递推关系的理解与应用，加强由Sn求an，由递推关系求 通项，由递推关系证明等差、等比数列的练习．
【北师大版】高三数学一轮课时作业【29】(含答案)
Sn，若 a3＝ 6， S3＝ 12，则公差 d 等于 ( )
5
A．1
B.3
C． 2
D．3
解析：
∵ a3＝6， S3＝ 12，∴
3 S3＝ 12＝
a1＋a3 2
3 ＝
a1＋ 6 2
，解得
a1＝2，∴ a3＝6＝ a1＋2d＝2＋2d，解得 d＝2. 答案： C
7．(2014 ·长春一模 )已知等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，满足 a2 013
A ． 24
B． 48
C． 60
D． 84
解析： 由 a1>0，a10·a11<0 可知 d<0，a10>0，a11<0，∴ T18＝ a1＋…
＋ a10－ a11－ … －a18＝S10－ (S18－ S10)＝60，故选 C.
答案： C
6．(2014 ·北京东城区模拟 )已知 { an} 为等差数列，其前 n 项和为
＝ S2 013＝2 013，则 a1 等于 ( )
A．－ 2 014
B．－ 2 013
C．－ 2 012
D．－ 2 011
解析：S2 013＝ 2
013a1 007＝ 2
013，∴ a1
007＝1，则
2 d＝
013－a1 1 006
007＝
2，a1＝a2 013－ 2 012d＝－ 2 011 答案： D
＋ 3d，于是有
4a1＋ 12
6d －
3a1
＋3d 9＝
1，由此解得
d＝ 6，即公差为
6.
答案： 6
10．(2014 ·玉溪一中模拟 )已知等差数列 { an} 的公差为 2，项数是
2018一轮北师大版理数学教案：第5章 第2节 等差数列 含解析 精品
第二节 等差数列[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d(n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫作a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d.(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d. (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为m d 的等差数列．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2D [依题意得S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2，故d ＝a 3－a 2＝－2，故选D.] 3．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．9D ．11A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.]4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97C [法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d′＝a 10－a 5＝8－3＝5.故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.]5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数.【导学号：57962239】16 [由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{a n }， 则a 1＝6，d ＝6，得a n ＝6＋(n －1)6＝6n . 由a n ＝6n ≤100，即n ≤1646＝1623， 则在100以内有16个能被6整除的数．]n n n }的前n项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192 C ．10D ．12(2)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( )【导学号：57962240】A ．9B ．10C ．11D ．15(1)B (2)B [(1)∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12， ∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×(11－1)2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎨⎧a 1＝－33，d ＝7，∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.][规律方法] 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．[变式训练1] (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12 B ．1 C ．2D ．3(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________.【导学号：57962241】(1)C (2)－72 [(1)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1， 得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2， ∴数列{a n }的公差为2.(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.]已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列． (2)求数列{a n }中的通项公式a n . [解] (1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1. 5分又b 1＝1a 1－1＝－52，所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列. 7分 (2)由(1)知，b n ＝n －72， 9分 则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7.12分[规律方法] 1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．[变式训练2] (1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )【导学号：57962242】A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 61＝__________.(1)C (2)480 [(1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列．(2)由已知S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 61＝S 61－S 60＝1212－1192＝480.]的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a 52＝( )【导学号：57962243】⎝ ⎛⎭⎪⎫a 41a 42 a 43a 51 a 52 a 53a 61a 62a 63 图5-2-1 A ．2 B ．8 C ．7D ．4(2)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 取得最大值．(1)C [法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a 41＋a 42＋a 43＝3a 42，同理第二行也有a 51＋a 52＋a 53＝3a 52，第三行也有a 61＋a 62＋a 63＝3a 62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a 42＋a 52＋a 62＝3a 52，所以a 41＋a 42＋a 43＋a 51＋a 52＋a 53＋a 61＋a 62＋a 63＝3a 42＋3a 52＋3a 62＝3×3a 52＝63，所以a 52＝7，故选C.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a 52＝7，故选C.](2)法一：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ， 4分即d ＝－213a 1.7分从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1>0，所以－a 113<0. 9分 故当n ＝7时，S n 最大.12分法二：由法一可知，d ＝－213a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，5分即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0， 9分解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大. 12分法三：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d)＋(a 1＋7d)＝0，5分 故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d<0， 9分 所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大. 12分[规律方法] 1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d(m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d<0时，满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d>0时，满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[变式训练3] (1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( )【导学号：57962244】A ．18B ．99C ．198D ．297(2)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝__________.(1)B (2)20 [(1)因为a 3＋a 9＝27－a 6,2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.(2)法一：设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D.所以5＋2D ＝10， 所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20.][思想与方法]1．等差数列的通项公式，前n 项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a 1和d.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….2．等差数列{a n }中，a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图像、性质简化解题过程．3．等差数列的四种判断方法：(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列．[易错与防范]1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．3．求等差数列的前n项和S n的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．。
2020高考数学一轮复习课时规范练29等差数列及其前n项和理北师大版.doc
课时规范练29 等差数列及其前n项和基础巩固组1.由a1=1,d=3确定的等差数列{a n},当a n=298时,序号n等于()A.99B.100C.96D.1012.(2018湖南长郡中学仿真,6)已知等差数列{a n}满足a n+1+a n=4n,则a1=()A.-1B.1C.2D.33.(2018河南商丘二模,3)已知等差数列{a n}的公差为d,且a8+a9+a10=24,则a1·d的最大值为()A. B. C.2 D.44.在等差数列{a n}中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d为()A.-14B.-7C.7D.145.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且3a3=a6+4,若S5<10,则a2的取值范围是()A.(-∞,2)B.(-∞,0)C.(1,+∞)D.(0,2)6.已知S n是等差数列{a n}的前n项和,则2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则S11=()A.66B.55C.44D.337.(2018湖南衡阳一模,15)已知数列{a n}前n项和为S n,若S n=2a n-2n,则S n= .8.设数列{a n}{b n}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5= .9.若数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n S n-1=0(n≥2),a1=.(1)求证;成等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.10.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2n-1.数列{b n}满足b1=2,b n+1-2b n=8a n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明;数列为等差数列,并求{b n}的通项公式.综合提升组11.(2018河北衡水中学考前押题二,10)已知数列a1=1,a2=2,且a n+2-a n=2-2(-1)n,n∈N+,则S2 017的值为()A.2 016×1 010-1B.1 009×2 017C.2 017×1 010-1D.1 009×2 01612.若数列{a n}满足;a1=19,a n+1=a n-3(n∈N+),则数列{a n}的前n项和数值最大时,n的值为()A.6B.7C.8D.913.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-4,S m=0,S m+2=14(m≥2,且m∈N+),则m的值为.14.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求通项公式a n;(2)求S n的最小值;(3)若数列{b n}是等差数列,且b n=,求非零常数c.创新应用组15.(2018湖南长郡中学仿真,15)若数列{a n }是正项数列,且+…+=n 2+3n ,则+…+= . 16.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为多少?参考答案课时规范练29 等差数列及其前n 项和1.B 根据等差数列通项公式a n =a 1+(n-1)d ,有298=1+(n-1)×3,解得n=100,故选B .2.B 由题意,当n 分别取1,2时,a 1+a 2=4,a 3+a 2=8,解得公差d=2,故a 1=1.故选B .3.C ∵a 8+a 9+a 10=24,∴a 9=8,即a 1+8d=8,∴a 1=8-8d ,a 1·d=(8-8d )d=-8d-2+2≤2,当d=时,a 1·d 的最大值为2,故选C .4.C ∵a 3+a 6=11,a 5+a 8=39,则4d=28,解得d=7.故选C .5.A 设公差为d ,由3a 3=a 6+4得3(a 2+d )=a 2+4d+4,即d=2a 2-4,由S 5<10得,===5(3a 2-4)<10,解得a 2<2,故选A .6.D 由等差数列的性质可得2(a 1+a 3+a 5)+3(a 8+a 10)=6a 3+6a 9=36,即a 1+a 11=6.则S 11==11×3=33.故选D .7.n ·2n ∵S n =2a n -2n =2(S n -S n-1)-2n ,整理得S n -2S n-1=2n ,等式两边同时除以2n ,则-=1.又S 1=2a 1-2=a 1,可得a 1=S 1=2,∴数列是以1为首项,公差为1的等差数列,∴=n ,∴S n =n ·2n .8.35 ∵数列{a n },{b n }都是等差数列,设数列{a n }的公差为d 1,数列{b n }的公差为d 2,∴a 3+b 3=a 1+b 1+2(d 1+d 2)=21,而a 1+b 1=7,可得2(d 1+d 2)=21-7=14.∴a 5+b 5=a 3+b 3+2(d 1+d 2)=21+14=35.9.(1)证明 当n ≥2时,由a n +2S n S n-1=0,得S n -S n-1=-2S n S n-1,∴-=2.又==2,故是首项为2,公差为2的等差数列.(2)解 由(1)可得=2n ,∴S n =.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=-==-.当n=1时,a 1=不适合上式.故a n =10.(1)解 当n=1时,a 1=S 1=21-1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(2n -1)-(2n-1-1)=2n-1.∵a 1=1适合通项公式a n =2n-1,∴a n =2n-1.(2)证明 ∵b n+1-2b n =8a n ,∴b n+1-2b n =2n+2,即-=2.又=1,∴是首项为1,公差为2的等差数列.∴=1+2(n-1)=2n-1.∴b n =(2n-1)×2n .11.C 由题意,当n 为奇数时,a n+2-a n =4,数列{a 2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,当n 为偶数时,a n+2-a n =0,数列{a 2n-1}是首项为2,公差为0的等差数列,S 2 017=(a 1+a 3+…+a 2 017)+(a 2+a 4+…+a 2 016)=1 009+×1 009×1 008×4+1 008×2=2 017×1 010-1,故选C .12.B ∵a 1=19,a n+1-a n =-3,∴数列{a n }是以19为首项,-3为公差的等差数列.∴a n =19+(n-1)×(-3)=22-3n.设数列{a n }的前项和数值最大,则有∈N +. ∴∴≤≤.∵∈N +,∴=7.∴满足条件的n 的值为7.13.5 ∵S m-1=-4,S m =0,S m+2=14,∴a m =S m -S m-1=4,a m+1+a m+2=S m+2-S m =14. 设数列{a n }的公差为d ,则2a m +3d=14,∴d=2. ∵S m =×m=0,∴a 1=-a m =-4.∴a m =a 1+(m-1)d=-4+2(m-1)=4,∴m=5. 14.解 (1)∵数列{a n }为等差数列,∴a 3+a 4=a 2+a 5=22.又a 3·a 4=117,∴a 3,a 4是方程2-22+117=0的两实根. 又公差d>0,∴a 3<a 4,∴a 3=9,a 4=13, ∴∴∴通项公式a n =4n-3.(2)由(1)知a 1=1,d=4,∴S n =na 1+d=2n 2-n=2-.∴当n=1时,S n 最小,最小值为S 1=a 1=1.(3)由(2)知S n =2n 2-n ,∴b n ==,∴b 1=,b 2=,b 3=.∵数列{b n }是等差数列,∴2b 2=b 1+b 3,即×2=+,∴2c 2+c=0, ∴c=-(c=0舍去),故c=-.15.2n 2+6n 由++…+=n 2+3n ,则++…+=(n-1)2+3(n-1),两式相减,可得=2n+2,当n=1时也成立,则a n =(2n+2)2,有==4n+4,为公差为4的等差数列,其前n 项和为++…+===2n 2+6n. 16.解 设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则S 10=10a 1+d=10a 1+45d=0, ①S 15=15a 1+d=15a 1+105d=25. ② 联立①②,得a 1=-3,d=,∴S n =-3n+×=n 2-n.令f (n )=nS n ,则f (n )=n 3-n 2,f'(n )=n 2-n. 令f'(n )=0,得n=0或n=.当n>时,f'(n )>0,当0<n<时,f'(n )<0, ∴当n=时,f (n )取最小值,又∵n ∈N +,f (6)=-48,f (7)=-49,∴当n=7时,f (n )取最小值-49.。
高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(28)等差数列A.pdf
课时作业(二十八)A [第28讲 等差数列] [时间：35分钟 分值：80分] 1．[2011·江门调研] 在等差数列{an}中，已知a1＝1，a2＋a4＝10，an＝39，则n＝( ) A．19 B．20 C．21 D．22 2．[2011·武汉模拟] 已知数列{an}是等差数列，若a1＋a5＋a9＝2π，则cos(a2＋a8)＝( ) A．－ B．－ C. D. 3．[2011·太原一模] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a5＝16，且a9＝12，则S11＝( ) A．260 B．220 C．130 D．110 4．[2011·湖南卷] 设Sn是等差数列{an}(nN*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________. 5．[2011·三明二中二模] 数列{an}满足3＋an＝an＋1(nN*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是( ) A．－2 B．－ C．2 D. 6．[2011·邯郸二模] 在等差数列{an}中，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11＝( ) A．14 B．15 C．16 D．17 7．[2011·潍坊质检] 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S8＝30，S4＝7，则a4的值等于( ) A. B. C. D. 8．[2011·郑州质检] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝( ) A. B. C. D. 9．[2011·广州一模] 已知数列{an}是等差数列，若a4＋2a6＋a8＝12，则该数列前11项的和为________． 10．[2011·惠州二模] 已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a3n，则数列{bn}的前9项和等于________． 11．[2011·南通、扬州、泰州调研] 设等差数列{an}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________. 12．(13分)[2012·吉林摸底] 已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2，(nN*)． (1)求a1和an； (2)记bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和． 13．(12分)[2011·南昌一模] 在数列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(nN*)，a1＝－23. (1)求an； (2)设Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值．课时作业(二十八)A 【基础热身】 1．B [解析] 设等差数列{an}的公差为d，由a2＋a4＝10，得a1＋d＋a1＋3d＝10，即d＝(10－2a1)＝2， 由an＝39，得1＋2(n－1)＝39，n＝20. 2．A [解析] 由已知得a5＝，而a2＋a8＝2a5＝，则cos(a2＋a8)＝－. 3．D [解析] 方法一：由a1＋a5＝16，且a9＝12，得解得 则S11＝11×＋×＝110. 方法二：由已知a1＋a5＝16，得2a3＝16，即a3＝8，则S11＝＝110. 4．25 [解析] 设数列{an}的公差为d，因为a1＝1，a4＝7，所以a4＝a1＋3dd＝2，故S5＝5a1＋10d＝25. 【能力提升】 5．A [解析] 由已知得{an}是等差数列，公差为d＝3，则 a5＋a7＋a9＝a2＋a4＋a6＋9d＝36，所以log(a5＋a7＋a9)＝－2. 6．C [解析] 由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120得a8＝24，设公差为d，则a9－a11＝a8＋d－(a8＋3d)＝a8＝16. 7．C [解析] 由已知，得，即解得 则a4＝a1＋3d＝. 8．D [解析] 由等差数列的性质，有S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，则 2(S8－S4)＝S4＋(S12－S8)， 因为＝，即S8＝3S4，代入上式，得S12＝6S4， 又2(S12－S8)＝(S8－S4)＋(S16－S12)，将S8＝3S4，S12＝6S4代入得S16＝10S4，则＝. 9．33 [解析] 由已知得4a6＝12，a6＝3， S11＝＝＝11a6＝33. 10．405 [解析] 由 ∴an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝a3n＝9n， 数列{bn}的前9项和为S9＝×9＝405. 11．105 [解析] 由已知，得 即消去d，得 a－10a1＋16＝0，解得a1＝2或a1＝8. 当a1＝2时，d＝3，a11＋a12＋a13＝a1＋10d＋a1＋11d＋a1＋12d＝3a1＋33d＝105； 当a1＝8时，d＝－3，不符合题意，舍去． 12．[解答] (1)Sn＝10n－n2，a1＝S1＝10－1＝9. Sn＝10n－n2，当n≥2，nN*时， Sn－1＝10(n－1)－(n－1)2＝10n－n2＋2n－11， an＝Sn－Sn－1＝(10n－n2)－(10n－n2＋2n－11) ＝－2n＋11. 又n＝1时，a1＝9＝－2×1＋11，符合上式． 则数列{an}的通项公式为an＝－2n＋11(nN*)． (2)an＝－2n＋11，bn＝|an|＝ 设数列{bn}的前n项和为Tn， n≤5时，Tn＝＝10n－n2； n>5时Tn＝T5＋＝25＋＝25＋(n－5)2＝n2－10n＋50， 数列{bn}的前n项和Tn＝ 【难点突破】 13．[解答] (1)由an＋1＋an＝2n－44(n≥1)，an＋2＋an＋1＝2(n＋1)－44， 得an＋2－an＝2. 又a1＋a2＝2－44，a1＝－23a2＝－19， 同理得a3＝－21，a4＝－17， 故a1，a3，a5，…是以a1为首项，2为公差的等差数列； a2，a4，a6，…是以a2为首项，2为公差的等差数列． 从而an＝ (2)当n为偶数时， Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(an－1＋an) ＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2×(n－1)－44] ＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－·44＝－22n， 故n＝22时，Sn取最小值－242. 当n为奇数时， Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an) ＝a1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n－1)－44]， ＝a1＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋·(－44) ＝－22n－. 故n＝21或23时，Sn取最小值－243， 综上所述，Sn的最小值为－243.。
近年高考数学复习 第2章 函数、导数及其应用 第5节 指数与指数函数课时分层训练 文 北师大版(2
2018高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第5节指数与指数函数课时分层训练文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第5节指数与指数函数课时分层训练文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第5节指数与指数函数课时分层训练文北师大版的全部内容。
课时分层训练（八) 指数与指数函数A组基础达标(建议用时：30分钟）一、选择题1．函数f （x)＝2|x－1｜的大致图像是( ）A B C DB[f （x)＝错误!所以f （x）的图像在［1，＋∞)上为增函数,在(－∞,1)上为减函数．］A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜c＜aD［∵y＝错误!x为减函数，错误!＞错误!，∴b＜c。
又∵y＝x错误!在(0,＋∞)上为增函数，错误!＞错误!，∴a＞c,∴b＜c＜a，故选D。
]3．（2016·河南安阳模拟）已知函数f （x)＝a x,其中a＞0，且a≠1，如果以P(x1，f （x1）),Q （x2，f （x2））为端点的线段的中点在y轴上，那么f (x1)·f （x2）等于( ) A．1 B．aC．2 D．a2A［∵以P（x1，f （x1)），Q（x2，f (x2）)为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0.又∵f （x)＝a x，∴f （x1)·f (x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1，故选A。
]4．函数y＝错误!2x－x2的值域为( ）A。
近年高考数学一轮复习 第5章 数列 第3节 等比数列课时分层训练 文 北师大版(2021年整理)
2018高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列课时分层训练文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列课时分层训练文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列课时分层训练文北师大版的全部内容。
课时分层训练（二十九) 等比数列A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．对任意等比数列｛a n｝,下列说法一定正确的是( )A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2,a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列D［由等比数列的性质得，a3·a9＝a错误!≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列,选D.] 2．（2016·重庆巴蜀中学3月模拟)我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？( )A．5 B．4C．3 D．2C[设塔顶有x盏灯，则由题意知错误!＝381，解得x＝3。
故选C.]3．（2016·广东肇庆三模）在等比数列{a n}中，S n表示前n项和,若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于( ）A．－3 B．－1C．1 D．3D［两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得a4a3＝3，即q＝3。
］4．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列｛a n}满足a1＝错误!，a3a5＝4（a4－1)，则a2＝( ) A．2 B．1C.错误!D．错误!C［法一：∵a3a5＝a错误!，a3a5＝4（a4－1)，∴a错误!＝4(a4－1）,∴a错误!－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝错误!＝错误!＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝错误!×2＝错误!，故选C.法二：∵a3a5＝4（a4－1),∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1），将a1＝错误!代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0,解得q＝2，∴a 2＝a 1q ＝错误!，故选C 。
近年高考数学一轮复习 第5章 数列 第4节 数列求和课时分层训练 文 北师大版(2021年整理)
2018高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和课时分层训练文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和课时分层训练文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和课时分层训练文北师大版的全部内容。
课时分层训练(三十）数列求和A组基础达标(建议用时：30分钟）一、选择题1．数列1错误!，3错误!，5错误!，7错误!，…,（2n－1）＋错误!，…的前n项和S n的值等于( )A．n2＋1－错误!B．2n2－n＋1－错误!C．n2＋1－错误!D．n2－n＋1－错误!A［该数列的通项公式为a n＝（2n－1）＋错误!，则S n＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋错误!＝n2＋1－错误!。
]2．（2016·安徽江南十校3月联考)在数列｛a n}中,a n＋1－a n＝2，S n为｛a n}的前n项和．若S10＝50，则数列｛a n＋a n＋1｝的前10项和为( ）【导学号：66482261】A．100 B．110C．120 D．130C[｛a n＋a n＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10）＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.]3．(2016·湖北七校2月联考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数,请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ）A．192里B．96里C．48里D．24里B[由题意，知每天所走路程形成以a1为首项,公比为12的等比数列，则错误!＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B。
2018年高二数学北师大版必修5同步精练：1.2.1等差数列 Word版含答案
第一课时基础巩固1下列说法中正确的是( )A ．一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列B ．一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列C ．一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于常数，这个数列就叫等差数列D ．一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列2已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－33已知等差数列{a n }中，首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n 等于( )A ．4－2n B ．2n －4C ．6－2nD ．2n －64已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．75在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1，则a 2 009等于( )A ．2 007B ．2 008C ．2 009D ．不确定6已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－2B ．－C.D ．212127已知数列{a n }的通项公式是a n ＝7n ＋2，求证：数列{lg a n }是等差数列．8夏季高山上的温度从山脚起，每升高100米，降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度为26 ℃，问此山相对于山脚处的高度是多少米？综合过关9已知关于x 的方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，14则|m －n |等于 ( )A ．1B.C.D.34123810有一正四棱台形楼顶，其中一个侧面中最上面一行铺瓦30块，总共需要铺瓦15行，并且下一行比其上一行多铺3块瓦，求该侧面最下面一行铺瓦多少块？11已知函数f (x )＝，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且n ∈N ＋)确定．3xx ＋3(1)求证：{}是等差数列；1xn (2)当x 1＝时，求x 100.1212一个等差数列首项为，公差d ＞0，从第10项起每一项都比1大，求公差d 的范125围．能力提升13某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数，数到2009时对应的指头是______．(填出指头名称：各指头对应依次为大拇指、食指、中指、无名指、小拇指)14设{a n }为a 1＝4的递增数列，且满足a ＋a ＋16＝8(a n ＋1＋a n )＋2a n ＋1a n ，则2n ＋12n a n ＝__________.参考答案1解析：仅有D 是等差数列的定义．答案：D2解析：可得a n ＋1－a n ＝－2或a 2－a 1＝(3－4)－(3－2)＝－2.答案：C3解析：通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×(－2)＝6－2n .答案：C4解析：设公差为d ，则Error!解得a 1＝39，d ＝－2，∴a 20＝a 1＋(20－1)×d ＝1.答案：B5解析：由于a n ＋1－a n ＝1，则数列{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，∴a 2009＝2 009.答案：C6解析：由题意得Error!解得d ＝－.12答案：B7分析：转化为证明lg a n ＋1－lg a n 是一个与n 无关的常数．证明：设b n ＝lg a n ，则b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝(n ＋3)lg7－(n ＋2)lg7＝lg7＝常数．所以数列{b n }是等差数列，即数列{lg a n }是等差数列．8解：∵每升高100米温度降低0.7 ℃，∴该处温度的变化是一个等差数列问题．山脚温度为首项a 1＝26，山顶温度为末项a n ＝14.8，∴26＋(n －1)×(－0.7)＝14.8，解之可得n ＝17，故此山相对于山脚处的高度为(17－1)×100＝1 600(米)．9解析：设这四个根组成的等差数列为{a n }，则a 1＝，设公差为d ，方程14x 2－2x ＋m ＝0的两根之和为2，方程x 2－2x ＋n ＝0的两根之和也为2，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝4a 1＋6d ＝4，则1＋6d ＝4，所以d ＝.则这12四个根是，，，.又＋＝2，＋＝2，则m ＝×＝，n ＝×＝或1434547414743454147471634541516n ＝×＝，m ＝×＝，则|m －n |＝|－|＝.147471634541516716151612答案：C10分析：转化为求等差数列的第15项．解：设从上面开始第n 行铺瓦a n 块，则数列{a n }是首项为30，公差为3的等差数列．则a 15＝a 1＋14d ＝30＋14×3＝72(块)，即该侧面最下面一行铺瓦72块．11(1)证明：x n ＝f (x n －1)＝(n ≥2且n ∈N ＋)，3xn －1xn －1＋3∴＝＝＋，1xn xn －1＋33xn －1131xn －1－＝(n ≥2且n ∈N ＋)，1xn 1xn －113∴{}是等差数列．1xn (2)解：＝＋(n －1)×1xn 1x 113＝2＋＝.n －13n ＋53∴＝＝35.1x 100100＋53∴x 100＝.13512分析：转化为解不等式组．解：∵d ＞0，设等差数列为{a n }，则a 1＜a 2＜…＜a 9＜a 10＜a 11…，依题意有Error!即Error!⇔Error!解得＜d ≤.87532513解析：把这些数分成“层”，则第1层有5个数，其他层都是有4个数，奇数层小拇指对应的数最大，偶数层大拇指对应的数最大，则2 009＝5＋2 004＝5＋4×501，则2 009在第502层，并且是该层最大的数，所以2 009位于大拇指的位置上．答案：大拇指14解析：a ＋a ＋16＝8(a n ＋1＋a n )＋2a n ＋1a n 2n ＋12n ⇔(a n ＋1＋a n )2－8(a n ＋1＋a n )＋16＝4a n ＋1a n⇔(a n ＋1＋a n －4)2＝4a n ＋1a n⇔a n ＋1＋a n －4＝2(由题意可知取正号)an ＋1an ⇔(－)2＝4an ＋1an ⇔－＝2，an ＋1an 因此，{}是公差为2的等差数列．an 则＝＋(n －1)×2＝2n ，an a 1从而可得a n ＝4n 2.答案：4n 2第二课时基础巩固1a ＝，b ＝，则a 、b 的等差中项为( )13＋213－2A. B. C. D.3233222等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }(c 为常数，且c ≠0)是( )A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为cd 的等差数列C ．不是等差数列D ．以上都不对3在a 和b (a ≠b )两个数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为______．4等差数列{a n }中，a 5＝10，a 20＝7，则a 2＋a 23＝______.5已知a ，b ，c 成等差数列，请问b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 是否构成等差数列，为什么？6在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这5个数成等差数列，求这5个数．7四个数成等差数列，其四个数的平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．综合过关8已知、、成等差数列，并且a ＋c 、a －c 、a ＋c －2b 均为正数，试证：lg(a ＋c )，1a 1b 1c lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．9在数列{a n }中，相邻两项a n 和a n ＋1是相应的二次方程x 2＋3nx ＋b n ＝0(n ∈N ＋)的两根．若a 1＝2，试求b 100的值．能力提升10在等差数列{a n }中，已知a 1＝83，a 4＝98，则这个数列有多少项在300到500之间？参考答案1答案：A2解析：设b n ＝ca n ，则b n ＋1－b n ＝ca n ＋1－ca n ＝c (a n ＋1－a n )＝cd .答案：B3解析：b ＝a ＋(n ＋2－1)d ，则d ＝.b －an ＋1答案：b －a n ＋14答案：175分析：要证明三个数成等差数列，可用等差中项的性质去说明．解：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 构成等差数列．∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又∵(b ＋c )＋(a ＋b )＝(a ＋c )＋2b ＝2(a ＋c )，∴b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 成等差数列．6分析：此题可求出公差后，再逐项求解，也可以利用等差数列的性质求解．解法一：设这5个数构成的等差数列为{a n }，公差是d ，由已知，有a 1＝－1，a 5＝7，则7＝－1＋(5－1)d .解得d ＝2.∴所求数列为－1,1,3,5,7.解法二：∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，a 是－1与b 的等差中项，c 是b 与7的等差中项，即b ＝＝3，a ＝＝1，c ＝＝5.－1＋72－1＋b 2b ＋72∴所求数列为－1,1,3,5,7.7解：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，即4a 2＋20d 2＝94. ①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18，即8d 2＝18，∴d ＝±.32代入①得a ＝±，72∴所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.8分析：转化为证明2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．证明：∵、、成等差数列，1a 1b 1c ∴＝＋.2b 1a 1c ∴＝.2b a ＋c ac ∴2ac ＝ab ＋bc .∴－2ac ＝2ac －2b (a ＋c )．∴－2ac ＋a 2＋c 2＝2ac －2b (a ＋c )＋a 2＋c 2.∴(a －c )2＝(a ＋c )(a ＋c －2b )．又a －c ，a ＋c ，a ＋c －2b 都是正数，∴2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．9分析：依题意有：a n ＋a n ＋1＝－3n 且a n ·a n ＋1＝b n ，欲求b 100，需求a 100和a 101的值，可由递推或a n ＋a n ＋1＝－3n ，找到a n 的通项公式，进而求出a 100和a 101.解：依题意得：a n ＋a n ＋1＝－3n ， ①a n ·a n ＋1＝b n (n ∈N ＋)， ②由②知：b 100＝a 100·a 101.∵a n ＋a n ＋1＝－3n ， ①∴a n ＋1＋a n ＋2＝－3(n ＋1)， ③③－①得：a n ＋2－a n ＝－3.∴a 1，a 3，a 5，…，a 99，a 101构成公差为－3的等差数列．∴a 101＝a 2×51－1＝a 1＋(51－1)d ＝2＋50×(－3)＝－148，代入a 100＋a 101＝－3×100得a 100＝－152.∴b 100＝a 100·a 101＝(－152)×(－148)＝22 496.10分析：可先利用a 1＝83，a 4＝98求出首项和公差，确定通项公式后再求解．解：公差d ＝＝＝5，a 4－a 1398－833∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝83＋5(n －1)＝5n ＋78.令300＜a n ＜500得300＜5n ＋78＜500，解得44.4＜n ＜84.4.∴从第45项到第84项，共有40项在300到500之间．。
2018一轮北师大版(理)数学训练：第5章 第1节 课时分层训练28 数列的概念与简单表示法
课时分层训练(二十八) 数列的概念与简单表示法A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A.32 B ．53 C.85D ．23D [a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝1＋－12＝12，a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1＋(－1)a 4＝23.]2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，… B ．－1，－2，－3，－4，… C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，nC [根据定义，属于无穷数列的是选项A ，B ，C ，属于递增数列的是选项C ，D ，故同时满足要求的是选项C.]3．(2017·海淀期末)数列{a n }的首项a 1＝2，且(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则a 3的值为( )【导学号：57962234】A ．5B ．6C ．7D ．8B [由(n ＋1)a n ＝na n ＋1得a n ＋1n ＋1＝a n n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列，则a n n ＝a 11＝2，即a n ＝2n ，所以a 3＝2×3＝6.]4．(2016·广东3月测试)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )【导学号：57962235】A ．3(3n －2n )B ．3n ＋2C ．3nD ．3·2n －1C [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32(a n －1)－32(a n －1－1)，整理，得a n ＝3a n －1，由a 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3，∴a na n －1＝3，∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＝3n ，故选C.]5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 017＝( )【导学号：57962236】A.12 B ．－12 C ．2D ．－2C [由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，得a n ＋1＝1＋a n1－a n ，而a 1＝2，则有a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，故数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1a 2a 3a 4＝1， 所以T 2 017＝(a 1a 2a 3a 4)504a 1＝1504×2＝2.] 二、填空题6．(2016·辽宁大连双基检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 3＋a 4＝__________.12 [当n ≥2时，a n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a 3＋a 4＝22＋23＝12.] 7．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第______项． 10 [令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝52(舍去)． ∴a 10＝0.08.]8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －an ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__________.【导学号：57962237】2n 2－n ＋2 [由已知得，1a n ＋1－1a n ＝n ，所以1a n －1a n －1＝n －1，1a n －1－1a n －2＝n －2，…，1a 2－1a 1＝1，所以1a n －1a 1＝n (n －1)2，a 1＝1，所以1a n ＝n 2－n ＋22， 所以a n ＝2n 2－n ＋2.]三、解答题9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ [解] (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. 3分(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项.8分 (3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍去)． 所以从第7项起各项都是正数.12分 10．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3.2分 由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. 5分(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 7分于是a 1＝1， a 2＝31a 1， a 3＝42a 2， ……a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.10分将以上n 个等式两端分别相乘， 整理得a n ＝n (n ＋1)2.显然，当n ＝1时也满足上式． 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.12分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·郑州二次质量预测)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( )【导学号：57962238】A.215B.225C.235D ．245D [由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1得na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5，所以数列{na n }是首项为1，公差为5的等差数列，则20a 20＝1＋19×5，解得a 20＝245，故选D.]2．(2016·甘肃白银会宁一中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n＋1＝3S n ，则a n ＝__________.⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2[由a n ＋1＝3S n ，得a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减可得a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n (n ≥2)， ∴a n ＋1＝4a n (n ≥2)． ∵a 1＝1，a 2＝3S 1＝3≠4a 1，∴数列{a n }是从第二项开始的等比数列， ∴a n ＝a 2q n －2＝3×4n －2(n ≥2)． 故a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.] 3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． [解] (1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4.因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 2分因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.5分(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，7分又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞). 12分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时分层训练(二十九) 等差数列A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )A ．37B ．36C ．20D ．19A [a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37.]2．(2017·深圳二次调研)在等差数列{a n }中，若前10项的和S 10＝60，且a 7＝7，则a 4＝( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5C [法一：由题意得⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝60，a 1＋6d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝23，∴a 4＝a 1＋3d ＝5.法二：由等差数列的性质有a 1＋a 10＝a 7＋a 4，∵S 10＝10(a 1＋a 10)2＝60，∴a 1＋a 10＝12.又∵a 7＝7，∴a 4＝5.]3．(2017·福州质检)已知数列{a n }是等差数列，且a 7－2a 4＝6，a 3＝2，则公差d ＝( )【导学号：57962245】A ．2 2B ．4C ．8D ．16B [法一：由题意得a 3＝2，a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝6，解得d ＝4，故选B.法二：由题意得⎩⎨⎧ a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝6，a 3＝a 1＋2d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝－6，d ＝4，故选B.]4．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )【导学号：57962246】A ．S 7B ．S 6C ．S 5D ．S 4C [∵⎩⎨⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎨⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.]5．(2017·湖北七市4月联考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？( )A ．9日B ．8日C ．16日D ．12日A [根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a 1＝103，公差d 1＝13的等差数列，前n 天共跑的里程为S ＝na 1＋n (n －1)2d 1＝103n ＋132n (n －1)＝6.5n 2＋96.5n ；驽马每日行程也构成一个首项b 1＝97，公差d 2＝－0.5的等差数列，前n 天共跑的里程为S ＝nb 1＋n (n －1)2d 2＝97n －0.52n (n －1)＝－0.25n 2＋97.25n .两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n 天相逢，则有6.5n 2＋96.5n －0.25n 2＋97.25n ＝1 125×2，解得n ＝9，即它们第9天相遇，故选A.]二、填空题6．(2017·郑州二次质量预测)已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，则a 1＝__________.－1 [因为a 5是a 3与a 11的等比中项，所以a 25＝a 3·a 11，即(a 1＋4d)2＝(a 1＋2d)(a 1＋10d)，解得a 1＝－1.]7．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.6 [∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0.∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6.]8．(2016·江苏高考)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．20 [法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，得a 1＋2d ＝2，即a 1＝2－2d ，所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝10，所以a 3＝2.由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 22＝－3，化简得a 22＋2a 2＋1＝0，所以a 2＝－1.公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20.] 三、解答题9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .【导学号：57962247】[解] (1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k . 3分由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. 5分 (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，则b n ＝S nn ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，8分即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.12分10．(2017·合肥三次质检)等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ≠0，且a 3·a 4＝a 12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)由a 3·a 4＝a 12得(1＋2d)·(1＋3d)＝1＋11d ⇒d ＝1或d ＝0(不合题意舍去)，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n .5分(2)依题意b n ＝a n ·2n ＝n ·2n ，T n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， 9分两式相减得－T n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1B [设等差数列{b n }的公差为d(d ≠0)，S n S 2n＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)d n ＋(2k －1)(2－d)＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d)＝0， 解得d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.]2．已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为__________.【导学号：57962248】110 [因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得， S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝20n －n (n －1)2×2 ＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.] 3．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．[解] (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 2分两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1， 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ. 5分(2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1， 可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 7分令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；9分{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列. 12分。