2019-2020学年浙江省杭州外国语学校高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2019-2020学年浙江省杭州外国语学校高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．直线310x y ++=的倾斜角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角. 【详解】直线310x y ++=的斜率为331k =-=-，因此，该直线的倾斜角为23π，故选：C. 【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④【答案】D【解析】利用三视图的成图原理，即长对正、宽相等、高平齐，可得四个几何体的三视图。

【详解】对①，三视图均相同； 对②，主视图与侧视图相同； 对③，三个视图均不相同； 对④，主视图和侧视图相同。

故选：D. 【点睛】本题考查三视图的成图原理，考查空间相象能力，属于容易题。

3．若,a b 是异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面C ．平行D ．异面或相交【答案】D 【解析】【详解】 若为异面直线，且直线，则与可能相交，也可能异面， 但是与不能平行， 若，则，与已知矛盾， 选项、、不正确故选：．4．设m, n 是两条不同的直线,是三个不同的平面, 给出下列四个命题:①若m ⊥α,n ∥α,则m ⊥n;； ②若α∥β, β∥r, m ⊥α,则m ⊥r; ③若m ∥α,n ∥α,则m ∥n;； ④若α⊥r, β⊥r,则α∥β． 其中正确命题的序号是 （ ） A ．①和② B ．②和③C ．③和④D ．①和④【答案】A【解析】对于①，因为n α，所以经过n 作平面β，使l βα⋂=，可得n l ∥， 又因为m α⊥，l α⊂，所以m l ⊥，结合n l ∥得m n ⊥．由此可得①是真命题； 对于②，因为αβ∥且βγ，所以αγ，结合m α⊥，可得m γ⊥，故②是真命题；对于③，设直线m 、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线， 而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m α且n α成立，但不能推出m n ，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有αγ⊥且βγ⊥，但是αβ⊥，推不出αβ∥，故④不正确． 综上所述，其中正确命题的序号是①和②， 故选：A ．5．已知圆22:40C x y x +-=与直线l 切于点(P ，则直线l 的方程为（ ）A ．20x -+=B ．40x +=C ．40x -=D ．20x +-=【答案】A【解析】利用点P 与圆心连线的直线与所求直线垂直，求出斜率，即可求过点(P 与圆C 相切的直线方程； 【详解】圆22:40C x y x +-=可化为：()2224x y -+= ，显然过点(P 的直线1x =不与圆相切，则点P = ，，代入点斜式可得)1y x =- ，整理得20x -+=。

故选A. 【点睛】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 6．三棱锥P ABC -的高为PH ，若三条侧棱两两垂直，则H 为ABC △的（ ） A ．内心 B ．外心C ．垂心D ．重心【答案】C【解析】先画三棱锥的直观图，三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，根据BC ⊥面APH ，而AH ⊂面APH ，推出AH BC ⊥，同理可推出CH AB ⊥，得到H 为ABC ∆的垂心．【详解】如图所示，三条侧棱两两互相垂直，可看成正方体的一角，则AP ⊥面PBC ， 而BC ⊂平面PBC AP BC ∴⊥而PH ⊥面ABC ，BC ⊂面ABCPH BC ∴⊥，又AP PH P ⋂=， BC ∴⊥面APH ，而AH ⊂面APH ， AH BC ∴⊥，同理可得CH AB ⊥，故H 为ABC ∆的垂心。

故选： C.【点睛】本题考查平面与平面垂直的性质，以及棱锥的结构特征，求解时注意联想到补形法，考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．7．已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC △为等边三角形，则实数a =（ ） A ．33±B ．13±C ．1或7D ．415±【答案】D【解析】圆()()2214x y a -+-=的圆心1,C a （），半径2R =，∵直线和圆相交，ABC 为等边三角形，∴圆心到直线的距离为sin 603R ︒=，即22222311a a a d a a +--===++，平方得2810a a -+=，解得415a =±，故选D.8．如图所示，在正方形123SG G G 中，E F ，分别是1223G G G G ，的中点，现在沿SE SF EF ，，把这个正方形折成一个四面体，使123G G G ，，三点重合，重合后的点记为G .给出下列关系：①SG ⊥平面EFG ；②SE ⊥平面EFG ；③GF SE ⊥；④EF ⊥上平面SEG .其中关系成立的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④【答案】B【解析】先由线面垂直的判定定理得到SG ⊥平面EFG ，排除C 、D ，再假设SE ⊥平面EFG ，根据题意推出矛盾，排除A ，即可得出结果. 【详解】由SG GE SG GF ⊥⊥，，得SG ⊥平面EFG ，排除C ，D ； 若SE ⊥平面EFG ，则SG SE ∥，这与SG SE S =矛盾，排除A ，故选B. 【点睛】本题主要考查线面垂直，熟记判定定理与性质定理即可，属于常考题型.9．设点M(m ，1)，若在圆O:x 2＋y 2＝1上存在点N ，使∠OMN ＝30°，则m 的取值范围是( ) A ．[－，]B ．[－，]C ．[－2，2]D ．[－，]【答案】A【解析】根据直线与圆位置关系，取临界处的关系研究极值情况，即可求得m 的最值，进而求得m 的取值范围。

【详解】当MN 与圆O 相切时，为M 的临界位置 若M 在第一象限，则所以所M 在第四象限，则所以m 的取值范围为 所以选A 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及应用，注意用极限方法分析特殊位置，属于中档题。

10．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ）A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤【答案】D【解析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系. 【详解】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO 、SN 、OM ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ，因此123,,,SEN SEO SMO θθθ∠=∠=∠= 从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OMθθθ==== 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,θθθ≥≥即132θθθ≥≥，选D.【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.二、填空题11．已知过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为________. 【答案】-8【解析】直线AB 与直线210x y +-=平行，即斜率相等，由斜率公式即可得到m 的值. 【详解】∵直线2x +y -1＝0的斜率等于﹣2，∴过点()2,A m -和(),4B m 的直线的斜率也是﹣2， 由斜率公式得422AB mk m -==-+，解得m ＝﹣8， 故答案为：-8．【点睛】本题考查两条直线平行的条件，考查斜率公式，属基础题.12．直线()()()221340m x m y m +----=，不管m 怎样变化该直线恒过定点M ，则M 的坐标为__________． 【答案】()1,2--【解析】将方程变形等价转化为(23)240m x y x y --+++=，联立230240x y x y --=⎧⎨++=⎩，求解得答案． 【详解】由(2)(21)(34)0m x m y m +----=，所以22340mx x my y m +-+-+=，即(23)240m x y x y --+++=．联立230240x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩．M ∴的坐标为(1,2)--．故答案为：(1,2)--． 【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线系过定点问题，属于基础题．13．某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积V =_________3cm ．2【解析】利用三视图还原几何体的直观图，再利用几何体的体积公式进行计算，求得结果． 【详解】根据几何体的三视图可得几何体的直观图，有一条侧棱垂直底面的三棱锥，如图所示：所以几何体的体积为11211232V =⋅⋅⋅=故答案为：26。

【点睛】本题考查三视图和几何体直观图之间的转换、几何体的体积公式的应用，还原几何体的直观图主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为______________cm 2. 【答案】(242)+【解析】利用球的直径等于四棱柱的对角线，求出棱柱的高，从而可得结果. 【详解】设正四棱柱的高为h ，因为球的直径等于四棱柱的对角线， 22221122h h ++=⇒=， 所以该棱柱的表面积为(242)+， 故答案为(242)+. 【点睛】本题主要考查棱柱与球的内接问题，考查了柱体的表面积以及空间想象能力，属于基础题.15．如图所示，Rt ABC 在平面β内，90ACB ∠=︒，斜边AB 在二面角l αβ--的棱l 上，且AC 与平面α所成角为45︒，BC 与平面α所成角为30，则二面角l αβ--的平面角大小为_______．【答案】60【解析】过点C 作CO α⊥，交α于O ，连结AO ，BO ，作CD l ⊥，交l 于点D ，连结OD ，则CDO ∠是二面角l αβ--的平面角，由此能求出二面角l αβ--的平面角大小． 【详解】过点C 作CO α⊥，交α于O ，连结AO ，BO ，作CD l ⊥，交l 于点D ，连结OD ， 则CDO ∠是二面角l αβ--的平面角，Rt ABC ∆在平面β内，90ACB ∠=︒，斜边AB 在二面角l αβ--的棱l 上，AC 与平面α所成角为45︒，BC 与平面α所成角为30， 45CAO ∴∠=︒，30CBO ∠=︒，设1CO =，则1AO =，2AC =，2BC =，3BO =，AB 6=，22263AC BC CD AB ⨯⨯===，42233AD =-=，21133OD =-=， 222411133cos 2241233CD OD CO CDO CD OD +-+-∴∠===⨯⨯⨯⨯， 60CDO ∴∠=︒，∴二面角l αβ--的平面角大小为60︒．故答案为：60︒．【点睛】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题．16．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，CAB θ∠=，M 为AB 的中点，将ACM 沿着CM 翻折至A CM '△，使得A M MB '⊥，则θ的取值可能为_________（填上正确的所有序号）.①9π；②7π；③6π；④3π.【答案】②③④【解析】设A '在平面BMC 上的射影为A ''，则由题意知，点A ''在直线CM 的垂线A A '''上，要使A M MB '⊥，则A M MB ''⊥，因此只需考虑其临界情况，然后求出θ的取值范围，进一步确定其可能的取值． 【详解】如图，设A '在平面BMC 上的射影为A ''， 则由题意知，点A ''在直线CM 的垂线A A '''上，要使A M MB '⊥，则A M MB ''⊥，因此只需考虑其临界情况， 即当A M MB ''⊥时，点A 与点A ''关于直线CM 对称，4AMD A MD BMC π''∴∠=∠=∠=，又AM MC =，AMC ∴∆是以MAC ∠为底角的等腰三角形，24CAM MCA πθ∴∠+∠==，8πθ∴=．因此当8πθ≥时，有A M MB '⊥，θ∴的取值可能为7π，6π，3π． 故答案为：②③④．【点睛】本题考查空间中点，直线，面位置关系的判定，考查空间想象能力和运算求解能力，同时考查极限思想的应用，属于难题．三、解答题17．若一个球与一个圆柱的各面均相切，并设球的体积与圆柱的体积的比值为a ，球的表面积与圆柱的表面积的比值为b ，探求a 与b 的大小关系．【答案】a b =【解析】直接利用球的体积和表面积公式的应用，圆柱的体积和表面积公式的应用求出结果．【详解】设球的半径为r ，根据一个球与一个圆柱的各面均相切，所以圆柱的高为2r ，圆柱的底面半径为r ． 则343V r π=⋅⋅球，2322V r r r ππ=⋅⋅=圆柱， 所以3342323r a r ππ==． 24S r π=球，222226S r r r r πππ=+⋅=圆柱，所以224263r b r ππ==， 则a b =．【点睛】本题考查球的体积和表面积公式的应用，圆柱的体积和表面积公式的应用，考查运算求解能力和转化能力，属于基础题．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E ，F 分别是AD ，PB 的中点．（1）求证：PE CD ⊥；（2）求证：//EF 平面PCD ；（3）求证：平面PAB ⊥平面PCD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）推导出PE AD ⊥，从而PE ⊥平面ABCD ，由此能证明PE CD ⊥． （2）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，推导出//FG PC ，//EF DC ，从而平面//EFG 平面PCD ，由此能证明//EF 平面PCD ．（3）推导出CD AD ⊥，从而CD ⊥平面PAD ，进而PA ⊥平面PCD ，由此能证明平面PAB ⊥平面PCD ．【详解】（1）PA PD =，E 是AD 的中点，PE AD ⊥∴，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =， PE ∴⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，PE CD ∴⊥．（2）取BC 中点G ，连结EG ，FG ， E ，F 分别是AD ，PB 的中点，//FG PC ∴，//EF DC ，FG EG G ⋂=，∴平面//EFG 平面PCD ，EF ⊂平面EFG ，//EF ∴平面PCD ．（3）底面ABCD 为矩形，CD AD ∴⊥，由（1）得CD PE ⊥，又AD PE E =，CD 平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，CD AP ∴⊥，PA PD ⊥，PD CD D ⋂=，PA ∴⊥平面PCD ，PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD ．【点睛】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=︒，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点，2AC BC ==，14AA =．（1）求证：CF ⊥平面11ABB A ；（2）当E 是棱1CC 中点时，求1EB 与平面11ABB A 所成的角；（3）当52CE =时，求二面角1A EB B --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）30；（3）45.【解析】（1）推导出1CF AA ⊥，CF AB ⊥，由此能证明CF ⊥平面11ABB A ． （2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出1EB 与平面11ABB A 所成的角．（3）求出平面1AEB 的法向量和平面1BB E 的法向量，利用向量法能求出二面角1A EB B --的大小． 【详解】（1）直三棱柱111ABC A B C -，1CF AA ∴⊥， F 是AB 中点，2AC BC ==，CF AB ∴⊥，1AA B A A ⋂=，CF ∴⊥平面11ABB A ．（2）解：以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0,0,2)E ，1(0,2,4)B ，(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(0,2,2)EB =，(2,2,0)AB =-，1(2,2,4)AB =-，设平面11ABB A 的法向量(,,)n x y z =，则12202240n AB x y n AB x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，得(1,1,0)n =， 设1EB 与平面11ABB A 所成的角为θ， 则11||21sin 2||||82EB n EB n θ⋅===⋅⋅，30θ∴=︒， 1EB ∴与平面11ABB A 所成的角为30．（3）解：当52CE =时，5(0,0,)2E ，1(0,2,4)B ，(2,0,0)A ， 5(2,0,)2AE =-，1(2,2,4)AB =-， 设平面1AEB 的法向量(m x =，y ，)z ，则152022240m AE x z m AB x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-++=⎩，取5x =，则(5m =，3-，4)， 平面1BB E 的法向量(1,0,0)p =，设二面角1A EB B --的大小为α，则||52cos ||||250m p m p α⋅===⋅，45α∴=︒． ∴二面角1A EB B --的大小为45︒．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角、二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知圆22:6630C x x y y -+-+=，直线:20+-=l x y 是圆E 与圆C 的公共弦AB 所在直线方程，且圆E 的圆心在直线2y x =上．（1）求公共弦AB 的长度；（2）求圆E 的方程；（3）过点()1,0Q -分别作直线MN ，RS ，交圆E 于M ，N ，R ，S 四点，且MN RS ⊥，求四边形MRNS 面积的最大值与最小值．【答案】（1）（2）229x y +=；（3）最大值17，最小值【解析】（1）根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可；（2）圆E 的圆心在直线2y x =上，设圆心(,2)E a a ，求出圆心的半径即可得到圆的方程；（3）对直线MN ，RS 分两种情况讨论，即当过点(1,0)Q -的互相垂直的直线MN ，RS 为x 轴，垂直于x 轴时和当过点(1,0)Q -的互相垂直的直线MN ，RS 不垂直于x 轴时，写出四边形MRNS 面积的的表达式，再利用函数知识求最大值与最小值．【详解】圆2222:6630(3)(3)15C x x y y x y -+-+=⇒-+-=，所以圆C 的圆心坐标(3,3)，半径1r =（1）圆心到直线:20+-=l x y 的距离1d ==∴公共弦AB ==（2）圆E 的圆心在直线2y x =上，设圆心(,2)E a a ，由题意得CE l ⊥，∴23103a a a -=∴=-，即(0,0)E ，E 到l 的距离2d ==E 的半径23r ===， 所以圆E 的方程：229x y +=；（3）当过点(1,0)Q -的互相垂直的直线MN ，RS 为x 轴，垂直于x 轴时，2||26MN r ==，这时直线RS 的方程为1x =-，代入到圆E 中，||y =所以||RS =MRNS 的面积11||||622s MN RS =⋅=⋅⋅= 当过点(1,0)Q -的互相垂直的直线MN ，RS 不垂直于x 轴时，设直线MN 为：11x my x my =-⇒-+，则直线RS 为：(1)0y m x mx y m =-+⇒++=，所以圆心E 到直线MN 的距离h =E 到直线RS 的距离h '=，||MN ==||RS == 设21(01)1t t m=<<+， 当0t =或1时，正好是x 轴及垂直x 轴，面积12s =⋅=当12t =时，s 最大且17s =，0t =或1时，s 最小四边形MRNS 面积的最大值17，最小值【点睛】本题主要考查直线和圆相交求相交弦长，及利用勾股定理弦长距离半径之间的关系求解，属于中难度题．。