能量积分(Parseval等式)及其应用

能量积分(Parseval等式)及其应用
作者：祁玉海
来源：《新校园·理论（上旬刊）》2011年第06期
摘要：本文利用乘积定理■f1(x)f2(x)dx=■■G1*（ω）G2（ω）dω=■■G2*（ω）G1（ω）dω给出了能量积分公式，并用能量积分公式推出了广义积分■■=■。

关键词：能量积分；Fourier变换；广义积分；
一、基本原理
1.Fourier变换
设函数f(x)在(-∞，∞)上连续、分段光滑且绝对可积，则称函数
G（ω）=■f(x)e-iωxdx （1）
为函数f(x)的Fourier变换，而称函数
f(x)=■■G（ω）eiωxdω （2）
为函数G（ω）的Fourier逆变换，记作F-1[G（ω）]=f(x).F-1F[f(x)]=f(x).
2 乘积原理
设F[f1（x）]=G1(ω)，F[f2（x）]=G2(ω)，则有
■f1(x)f2(x)dx=■■G1*(ω)G2(ω)dω=■■G1(ω)G2*(ω)dω
（3）
其中，G1*（ω）和G2*（ω）分别是G1（ω）和G2（ω）的共轭复数。

二、能量积分
设F[f(x)]=G（ω），则有
■[f(x)]2dx=■f(x)·f(x)dx=■■G*(ω)G(ω)dω=■■|G(ω)|2dω （4）
其中，|G（ω）|2称为能量密度函数，记为S（ω）=|G（ω）|2，它可用来表示函数f(x)的能量分布规律，S（ω）对所有频率积分即得f(x)的总能量
■■S（ω）dω=■[f(x)]2dx（5）
三、能量积分的简单应用
例1.应用能量积分计算广义积分■■dx.
解：考虑函数
f(x)=1 |x|1 （6）
的Fourier变换G（ω），则有
G（ω）=■f(x)e-iωxdx=■1·e-iωxdx
=■(cosωx-isinωx)dx
=■ （7）
将（6）和（7）式代入（4）式得
■■|■|2dω=■12dx=2
故■■dω=π
于是■■dx=■.
参考文献：
[1]姚端正.数学物理方法学习指导[M].北京：科学出版社,2001.
[2]程建春.数学物理方程及其近似解法[M].北京：科学出版社,2004.
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