山东省青岛市2018年春季高考第二次模拟考试数学试题(解析版)
山东省青岛市2018届高三5月第二次模拟考试数学(理)试题答案
x
a a 2 8 ，因为 a a 2 8 x 0 ，所以 x 4 4
a a 2 8 1 时，令 f (1) 3 a 0 ，解得 a 3 4 当 3 a 2 2 或 a 2 2 时，函数 f ( x ) 在 [1, 2] 上单调递增…………………3 分 9 a a 2 8 2°当 1 2 时，令 f (1) 3 a 0 ， f (2) a 0 ， 2 4 9 解得 a 3 2
（2）如图，设 AC 中点为 O ，作 OE OA ，以 OA ， OE ， OB 分别为 x ， y ， z 轴建 又 AD 面 ADC ， AD / / 面 B1MN …………………………………………………6 分 立空间直角坐标系， BN
2 ， AB BC 3 2 ， AC 6 3 3 M (2, 0,1), N ( 1, 0, 2), A(3, 0, 0), B1(0, 4,3), D ( , 4, ) 2 2 MN (3, 0,1), B1M (2, 4, 2) 设平面 B1MN 的法向量为 n ( x, y , z ) ，则有 n MN , n B1M 3 x z 0 ，可得平面 B1MN 的一个法向量 n (1,1,3) ……………………10 分 2 x 4 y 2 z 0 4 14 n AD 9 3 又 AD ( , 4, ) ， cos n, AD 2 2 77 | n || AD | 4 14 设直线 AD 与平面 B1MN 所成角为 ， 则 sin | cos n, AD | ……………12 分 77
m 1 1 e a 0 m 所以 g (m) 0, g (m) 0, 则 …………………………………9 分 e m 1 ln m am a 0 m 1 1 1 m 1 m 1 m 1 m 1 0 则 e ln m (e )m (e ) 0 ，得 (2 m)e ln m m m m x 1 x 1 ( x 0) ，所以 p (m) 0, 令 p ( x ) (2 x )e ln x x 1 x 1 则 p( x ) (1 x )(e 2 ) ，所以 x (0,1), p ( x ) 0, x (1, ), p ( x ) 0 x 所以 p ( x ) 在 (1, ) 单调递减， e 1 1 e 1 (2 e)e e 1 0 因为 p (1) 1 0, p (e) (2 e)e 1 e e 所以 p ( x ) 在 (1, e) 上有一个零点，在 (e, ) 无零点 所以 m e …………………………………………………………………………………12 分
最新-山东省青岛市2018届高三自主练习(二模)文科数学
青岛2018高考文科数学二模试题 2018.05 一、选择题：1．设全集为R ，函数()f x =的定义域为M ，则=M C RA ．(,1)-∞B ．[2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(0,2)2．若复数2a i z i+=（R a ∈，为虚数单位）的实部与虚部相等，则z 的模等于A ．12B ．2C ． D3．“p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设12log 3a =，0.21()3b =，121()2c -=，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c << 5．直线:20l x y -+=和圆22: 2410C x y x y ++-+= 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交过圆心D ．相交不过圆心6．如图，把侧棱与底面垂直，且底面边长和侧棱长都等于的三棱柱截去三个角（如图1所示，,,A B C 分别是GHI ∆三边的中点）后得到的几何体如图2所示，则该几何体按图中所示方向的左视图（侧视图）为A ．B ．C ．D ．7．在区间)2,0(π上随机取一个数x ，则事件“22cos tan >⋅x x ”发生的概率为A ．43 B ．21 C ．31 D ．148.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”. 若输入的,m n 分别为385,105，执行该程序框图（图中“ MOD m n ”表示m 除以n 的余数，EBE BE BB左视图1BCA DE FADBC IHGE F图2例：11 MOD 74=），则输出的m 等于 A ．0 B ．15 C ．359．在直角坐标系xOy 中，点P 的坐标(,)x y 满足21050210x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，向量()1,1-=，则⋅的最大值是A ．1-B ．0C ．D ．2 10．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[2,0]x ∈-时，()(12xf x =-，若在 区间(2,6)-内，函数()log (2) (1)a y f x x a =-+>恰有个零点，则实数a 的取值范围是A ．(1,4]B ．(1,2)(4,)+∞UC ．(4,)+∞D ．(1,4)二、填空题：11.某农业生态园有果树60000棵，其中樱桃树有4000棵．为调查果树的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为300的样本，则样本中樱桃树的数量为 棵.12.已知2sin 3α=，则cos(2)πα-= .13.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为4，焦点到渐近线的距离等于，则双曲线的离心率为14.已知x 、y 取值如下表：y x 0.95 1.45y x =+，则实数m = . 15．函数()y f x =图象上不同两点1122(,),(,)A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ,，规定||(,)||A B k k K A B AB -=（||AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“近似曲率”.设曲线1y x=上两点11(,),(,)A a B a aa(01)a a >≠且，若(,)1m K A B ⋅>恒成立，则m 取值范围是三、解答题：16.为调查某乡镇中心小学的学生每周平均体育运动时间的情况，收集了20位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时). 这20位学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]. （Ⅰ）求这些学生每周平均体育运动时间不超过6个小时的概率；（Ⅱ）从这些学生每周平均体育运动时间超过6个小时的学生中任选2人，求这两名同学不在同一个分组区间的概率.17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cos a B a B c .（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）函数2()5cos ()32A f x x ω=+-(0)ω>，将()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的32倍后便得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =的最小正周期为π. 当[0,]3x π∈时，求函数()f x 值域.18．四边形ABCD 为菱形，ACFE 为平行四边形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ，设BD 与AC 相交于点G ，H 为FG 的中点，2AB BD ==，AE =CH =. （Ⅰ）求证：CH ⊥平面BDF ； （Ⅱ）求三棱锥B DEF -的体积.HEFA BCD G19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22732a a -=，且321S a 成等比数列，*N n ∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令22n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于任意的*N n ∈，都有2825n T λλ<+成立，求实 数λ的取值范围.20．已知点1F 、2F 分别为椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 也为抛物线22:8C y x =的焦点，P 为椭圆1C 上的一动点，且12PF F ∆的面积最大值为（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）T 为直线3x =-上任意一点，过点1F 作1TF 的垂线交椭圆1C 于M N ,两点，求1||||TF MN 的最小值.21．已知函数2()(),R x f x e x ax a a =-+∈.（Ⅰ）若函数()f x 在[1,2]上存在单调增区间，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数2()()p x f x x =-在0x =处取得极小值，求a 的取值范围．一、选择题：C B B AD A B C C D 二、填空题：11.2012.19-13.2 14．1.8 15．[)2+∞ 16. 解：（Ⅰ）运动时间不超过6个小时的概率为12(0.0250.10.15)0.55P =⨯++=;………………………………………………4分（Ⅱ）运动时间超过6个小时的学生分别在(6,8]，(8,10]，(10,12]组中，其中在(6,8]组的人数为20.125205⨯⨯=人，在(8,10]组的人数为20.075203⨯⨯=人，在(10,12]组的人数为20.025201⨯⨯=人. ………………………………………………7分记(6,8]组的5人分别为12345,,,,A A A A A ，(8,10]组的3人分别为123,,B B B ，(10,12]组的人为1C .则任选2人的事件分别有121345,A A A A A A 共10种，121323,,B B B B B B共3种，111213515253,,,,A B A B A B A B A B A B 共15种，112151,AC A C A C 共5种，112131,,B C B C B C共3种. …………………………………………………………………………………………………………………10分 所以不在同一个分组区间的概率351523103351536P ++==++++ . (12)分17．解：（Ⅰ）sin cos a B a B c =∴sin sin cos A B A B C = ………………………………………2分()C A B π=-+ ，∴sin sin cos )A B A B A B =+cos cos sin )A B A B +tan A ∴0A π<< ，3A π∴=.…………………………………………………6分(Ⅱ)251()5cos ()3cos(2)6232f x x x ππωω=+-=+-，从而541()cos()2332g x x πω=+-，23423ππωω∴=⇒=∴51()cos(3)232f x x π=+-，………………………………………………………………9分当[0,]3x π∈时，43333x πππ≤+≤，11cos(3)32x π∴-≤+≤，从而33()4f x -≤≤，所以()f x 的值域为3[3,]4-. (2)18．（Ⅰ）证明： ACFE为平行四边形，AE =CF ∴= 四边形ABCD 为菱形，AG CG ∴=，BG DG =，AD AB =2AB BD == ，ABD ∴∆是以2为边长的等边三角形AG CG ∴==CG CF =H为FG 的中点，CH FG ∴⊥……………………2分四边形ABCD 为菱形，BD AC ∴⊥平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCDAC =， BD ∴⊥平面ACFECH ⊂ 平面ACFE ，BD CH ∴⊥ …………………4分BD FG G = ，BD ⊂平面BDF ，FG ⊂平面BDF ，∴CH ⊥平面BDF ……………………………6分（Ⅱ） 解：连结EG ， 由（Ⅰ）可知BD ⊥平面ACFEFG ⊂平面ACFE ，EG ⊂平面ACFE ， BD EG ∴⊥，BD FG ⊥由（Ⅰ）可知CH FG ⊥，CG =，CH = ，30FGC ∴∠=…………………………………………………8分由（Ⅰ）可知CG CF =，30GFC ∴∠= ，从而120FCG ∠=HEFA BCDGACFE 为平行四边形，60EAG ∴∠=由（Ⅰ）可知AE AG =，AEG ∴∆为正三角形，从而EG =，60AGE ∠= 180306090EGF ∴∠=--= ，即FG EG ⊥ BD EG G = ，FG ∴⊥平面BDE在CFG ∆中，23FG HG === …………………………………………………10分在BDE ∆中，12BDE S BD EG ∆=⋅=∴11333B DEF F BDE BDE V V S FG --∆==⋅==.…………………………12分19．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d由227232321a a S a -=⎧⎪⎨=⋅⎪⎩11111(21)3(6)2(23)()33a d a d a d a d a d +-+=⎧⇒⎨+-⋅+=+⎩ (2)分 即111232()(26)0a d a d a d -+=⎧⎨++-=⎩，解得：122a d =⎧⎨=⎩ 或12525a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………4分当125a =-，25d ==12, 2a d ∴==，此时22(1)2n a n n =+-=…………………………………………6分（Ⅱ）221111()2(2)42n n n b a a n n n n +===-++ ……………………………8分123n n T b b b b =++++111111111111111111()()()()()()413424435446457468=-+-+-+-+-+- 111111()()41142n n n n ++-+--++11113111(1)()42128412n n n n =+--=-+++++ ……………………………10分11832()312n T n n ∴=-+<++ 为满足题意，必须2253λλ+≥12λ∴≥或3λ≤-. ………………………………12分20．解:（Ⅰ）22:8C y x= ，2(2,0)F ∴，1(2,0)F -，2c ∴=……………………………2分12PF F ∆的面积最大值为1211||422F F b b ==⨯=， …………………………………4分b ∴2226a bc ∴=+=∴椭圆1C 的方程为22162x y +=. (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(2,0)F -，设T 点的坐标为(3,)m -，则直线1TF 的斜率132TFm k m -==--+当0m ≠时，直线MN 的斜率1MN k m =. 直线MN 的方程是2x my =- 当0m =时，直线MN 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式． 所以直线MN 的方程是2x my =-设1122(,),(,)M x y N x y ，则221622x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22(3)420m y my +--=， 所以12122242,33m y y y y m m +==-++ (8)分1TF =MN =＝=……………………………………11分所以1TF MN =当且仅当22411m m +=+，即1m =±时，等号成立，此时1TF MN取得最小值13分21．解：（Ⅰ）2()(),R x f x e x ax a a =-+∈2()[(2)][(2)]x x f x e x a x xe x a '∴=--=-- 2分当2a =时，2()0x f x x e '=≥恒成立，()f x 在[1,2]为增函数，符合题意； 当2a >时，()[(2)]0x f x xe x a '=-->得20x a x >-<或若()f x 在[1,2]上存在单调增区间，则满足22a -<，即24a << 当2a <时，()[(2)]0x f x xe x a '=-->得02x x a ><-或()f x ∴在[1,2]为增函数，符合题意 综上可得：4a < .…………………………………………………………………6分（Ⅱ）222()()()x p x f x x x ax a e x =-=-+-，()[(2)2]x p x x x a e '∴=+-- 由()0p x '=得0x =或(2)20x x a e +--=，由(2)20x x a e +--=得220xx a e +--= 令22()2, ()10x xu x x a u x ee'=+--=+>恒成立，()u x ∴在(,)-∞+∞为单调增函数 方程2()20x u x x a e=+--=的根唯一，记为0x .……………………………………8分（1）当00x>时，0(,)x x ∈+∞时，2()20xu x x a e=+-->，即(2)20x x a e +-->，()0p x '>，()p x 为增函数； 0(0,)x x ∈时，2()20x u x x a e=+--<，即(2)20xx a e +--<，()0p x '<，()p x 为减函数；(,0)x ∈-∞时，2()20xu x x a e=+--<，即(2)20xx a e +--<，()0p x '>，()p x 为增函数； 此时()p x 在x =处取得极大值，此种情况不符合题意. ……………………………10分 （2）当00x=时，由0()0u x =得0a =，()[(2)2]x p x x x e '=+-(,0)x ∈-∞时，2()20xu x x e =+-<，即(2)20xx e +-<，()0p x '>，()p x 为增函数； (0,)x ∈+∞时，2()20x u x x e =+->，即(2)20x x e +->，()0p x '>，()p x 为增函数；又(0)0p '=，()0p x '∴≥恒成立，()p x ∴在(,)-∞+∞为增函数，没有极值不合题意12分 （3）当00x<时0(,)x x ∈-∞时，2()20x u x x a e=+--<，即(2)20x x a e +--<，()0p x '>，()p x 为增函数；0(,0)x x ∈时，2()20xu x x a e =+-->，即(2)20xx a e +-->，()0p x '<，()p x 为减函数； (0,)x ∈+∞时，2()20xu x x a e=+-->，即(2)20xx a e +-->，()0p x '>，()p x 为增函数；此时()p x 在0x =处取得极小值，符合题意.()u x 在(,)-∞+∞为单调增函数，00x <，0()(0)u x u ∴<，00220x x e ∴+-< 由0()0u x =，得00220x x a e +--=，00220x a x e∴=+-<综上可得：0a <．14分。
2018山东春季高考数学试题及答案(word)
山东省2018年普通高校招生（春季）考试数学试题卷一(选择题，共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1.已知集合M={a,b}，N={b,c},则M ∩N 等于（ ） （A ）∅ （B ）{b} （C ）{a,c} （D ）{a,b,c} 2.函数f （x ）=11-++x xx 的定义域是（ ） （A ）（-1，+∞） （B ）（-1,1）∪（1,+∞）（B ）[-1，+∞） （D ）[-1,1）∪（1，+∞）3.奇函数y=f （x ）的局部图像如图所示，则（ ） (A)f （2）> 0 > f （4） (B)f （2）< 0 < f （4） (C)f （2）> f （4）> 0 (D)f （2）< f （4）< 04.不等式1+lg <0的解集是（ ）（A ） （－110，0）∪（0，110） (B) （－110，110） (C) （－10，0）∪（0，10） （D ）（-10,10） 5.在数列{a n }中， a 1=-1，a 2=0，a n+2=a n+1+a n ，则a 5等于（ ） （A ）0 （B ）-1 （C ）-2 （D ）-36. 在如图所示的平角坐标系中，向量AB 的坐标是（ ） (A)(2,2) (B)(-2,-2) (C)(1,1) (D)(-1,-1)7.圆()()22111x y ++-=的圆心在（ ） (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 8.已知a b R ∈、,则“a b >”是“ 22ab>”的（ ）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 9.关于直线:20,l x -+=，下列说法正确的是（ ）(A)直线l 的倾斜角60° (B)向 量v =，1）是直线l 的一个方向向量xy（第6题图）（第3题图）(C)直线l 经过（1，） (D)向量n =（1）是直线l 的一个法向量10.景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走发的种数是（ ） (A) 6 (B) 10 (C) 12 (D) 2011. 在平面直角坐标系中，关于x ，y 的不等式Ax+By+AB>0(AB ≠0)表示的区域（阴影部分）可能是（）12.已知两个非零向量a 与b的夹角为锐角，则（ ） (A) 0a b ⋅> （B ）0a b ⋅< (B) （C ）0a b ⋅≥（D ）0a b ⋅≤13.若坐标原点（0,0）到直线的距离等于，则角θ的取值集合是（ ） (A) (B)(C) )(D) 14.关于x,y 的方程 ，表示的图形不可能是（ ）15.在 的展开式中，所有项的系数之和等于（ ）（A ）32 （B ）-32 （C ）1 （D ）-1 16. 设命題p: 5≥3,命題q: {1} ⊆{0, 1, 2},则下列命題中为真命題的是（ ） (A) p ∧q (B) ﹁p ∧q (C) p ∧﹁q (D) ﹁p ∨﹁q17.己知抛物线x ²=ay(a ≠0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M 到x 轴的距离为5，且|MF |＝7，则焦点F 到准线l 的距离是（ ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 518.某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车2,2k k Z πθθπ⎧⎫|=±∈⎨⎬⎩⎭sin 0x y θ-+=()2220x ay a a +=≠,2k k Z πθθπ⎧⎫|=±∈⎨⎬⎩⎭,4k k Z πθθπ⎧⎫|=±∈⎨⎬⎩⎭2,4k k Z πθθπ⎧⎫|=±∈⎨⎬⎩⎭5(2)x y -位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是 （ ）(A)145 (B) 2815 (C)149 (D)7619.已知矩形ABCD ，AB= 2BC ，把这个矩形分别以AB 、BC 所在直线为轴旋转一周，所围成几何体的侧面积分别记为S 1、S 2，则S 1与S 2的比值等于（ ）(A)21(B) 1 (C) 2 (D) 4 20.若由函数y= sin(2x+3π）的图像变换得到y=sin(32π+x )的图像，则可以通过以下两个步骤完成:第一步，把y= sin(2x+3π)图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变;第二步，可以把所得图像沿x 轴 （ ）(A)向右平移3π个单位 (B)向右平移125π个单位 (C) 向左平移3π个单位 (D)向左平移125π个单位二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分。
山东省2018年普通高校招生(春季)考试 数学试题-答案
三 、解 答 题 (本 大 题 5 个 小 题 ,共 40 分 ) 26.(本 小 题 6 分 )
文
博 解:(1)函数f(x)=x2+(m -1)x+4的对称轴为x=-m2-1,……………………… (1分) 东 因为函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,
所以-m2-1≥0,…………………………………………………………………………… (1分)
(2 7)2=(3 7)2+72-2×3 7×7×cos∠B,
解 得 cos∠B =277,
媒
传 所以sin∠B=
1-
æç2
7
ö2
÷
=
è7ø
21,… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 7
(1 分 )
化 sin∠APB
=sin(180°-30°-
∠B
)=sin150°cos∠B
山东省2018年普通高校招生(春季)考试 数学试题答案及评分标准
卷 一 (选 择 题 ,共 60 分 )
一 、选 择 题 (本 大 题 20 个 小 题 ,每 小 题 3 分 ,共 60 分 )
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
答案
B
D
A
A
C
D
B
C
B
C
题号
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
-cos150°sin∠B
=
1 2
27 ×7-
æ
ç
è
-
3ö÷ 2ø
×
文 721=5147,………………………………………………………………………………… (1分)
2018高三高考青岛二模】山东省青岛市2018届高三统一质量检测 数学文
2018高三高考青岛二模】山东省青岛市2018届高三统一质量检测数学文2018年青岛市高三统一质量检测数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合$A=\{x|x+1>0\},B=\{-2,-1,0,1\}$，则$(C\setminus A)B=$（）A。
$\{-2,-1\}$ B。
$\{-2\}$ C。
$\{-1,0,1\}$ D。
$\{0,1\}$2.已知复数$z=\frac{2}{1+i}$（$i$是虚数单位），则下列命题中错误的是（）A。
$z=2$ B。
$z$在复平面上对应点在第二象限C。
$z=1+i$ D。
$z$的虚部为$-1$3.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的一个焦点为$F(0,-2)$，一条渐近线的斜率为3，则该双曲线的方程为（）A。
$x^2-3y^2-6y+4=0$ B。
$x^2-3y^2+6y+4=0$C。
$-x^2+3y^2-6y+4=0$ D。
$-x^2+3y^2+6y+4=0$4.为了得到函数$y=-3\cos2x$的图像，可以将函数$y=-6\sin\left(\frac{x+2\pi}{6}\right)+3$的图像（）个单位A。
向右平移$\frac{\pi}{6}$ B。
向左平移$\frac{\pi}{6}$C。
向左平移$\frac{5\pi}{6}$ D。
向左平移$\frac{7\pi}{6}$5.公差不为1的等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_6=3a_4$，且$S_9=\lambda a_4$，则$\lambda$的值为（）A。
18 B。
20 C。
21 D。
256.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A。
$\frac{56-8\pi}{6}$ B。
2018年山东省春季高考数学模拟试题
山东省2018年普通高校招生（春季）考试数学模拟试题注意事项：1. 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2. 本次考试允许使用函数型计算机，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.卷一（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项 中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题．．卡．上） 1．下列关系中正确的是 ( )（A ） φ∈0 （B ） a ∈{a} （C ） {a,b}∈{b,a} （D ）φ=}0{ 2．命题3:>πp ，π:q 是有理数，则下列命题是假命题的是（ ）（A ）p q ∨ (B) p q ⌝∨ (C) p q ⌝∨⌝ (D) p q ∨⌝ 3、“x =0”是“x 2+y 2=0”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件4．下列函数是偶函数的是 （ ） （A ） y=xsinx （B ）y=x 2+4x+4 （C ）y =2x（D ）y =log 2x5．函数)1lg(1++=x xy 的定义域是（ ）（A ）}01|{≠->x x x 且 （B ）x x |{≥}01≠x 且 （C ）}1|{>x x （D ）x x |{≥}16．已知非零向量 a =（4x ，x ），b =（1，4x ），且a ⊥b ，则|a|=（ ）（A（B（C（D）7．等差数列}{n a 中，21=a ，42=a ，则这个数列的通项公式是（ ） （A ）n 22+ （B ） n 22- （C ）n 2 （D ）n 2- 8．在等比数列}{n a 中，若a 2⋅a 3＝8，则log 2(a 1 a 2⋅a 3⋅a 4)等于（ ） (A) 8 (B) 3 (C) 6 (D) 26 9．使关于x 的方程sin x ＝3－2a 有实数解的a 的取值范围是（ ）．（A ） a ≥3 （B ） a ≤3 （C ） 2 ≤ a ≤4 （D ） 1≤ a ≤2 10．过点)5,3(-且平行于向量)2,1(--=→v 的直线方程为（ ） （A ）0112=--y x （B ）011=-+y x （C ） 0112=+-y x （D ）0112=++y x11．右图是某学校举行十佳歌手比赛，七位评委为某选手 打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）（A ）80， 4 （B ）90， 2 （C ）85， 2 （D ）80， 212．函数①x y a log =②x y b log =③xc y =的图象如图所示，则下列关系式正确的是 （ ）（A ）c a b <<<<10 （B ）c b a <<<<10（C ）a b c <<<<10 （D ）b a c <<<<107 8 9 53 4 5 6 7 113．9)1(x -的二项展开式中第4项的系数是（ ）（A ）126 （B ）126- （C ） 84 （D ）84-14．为了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采取系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么应从总体中随机剔除的个体的数目是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）515．已知过点)2,2(-P 且垂直于向量)4,3(=→n 的直线与圆02222=-+-+a a ax y x 相切，则实数a 的值为（ ）（A ）4 （B ）41 （C ）914或 （D ）411或-16．椭圆两焦点为1F （-1，0）、2F （1，0），P 在椭圆上，且|1PF |、|21F F |、|2PF |构成等差数列，则此椭圆方程为( )（A ）191622=+y x （B ）1121622=+y x （C ）13422=+y x （D ） 14322=+y x 17．已知x,y 满足,102012⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-x y x y x 则y x z 3+=的最小值是（ ）（A ）7- （B ）35（C ）5- （D ） 518．10件产品中有两件次品，从中任取两件，全是正品的概率是（ ）（A ）154 （B ）31 （C ）157 （D ） 452819．已知03sin 2=+x ，]2,0[π∈x ，则x 的值为（ ）（A ） 6π （B ）3π （C ）3π或32π （D ）34π或35π20．已知下列命题：1) 经过空间任意三点，有且只有一个平面；2) 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行； 3) 如果一条直线与平面的一条斜线在这个面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直；4) 过已知平面的斜线的平面，一定不会与已知平面垂直 其中正确命题的个数是（A ） 1 （B ）2 （C ）3 （D ） 4卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分。
2018年山东省青岛市春季高考数学二模试卷(解析版)
2018年山东省青岛市春季高考数学二模试卷一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出）1．（3分）已知A＝{x|x+1＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2}C．{﹣2，0，1}D．{0，1}2．（3分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜03．（3分）不等式|x﹣a|＜b的解集是{x|﹣3＜x＜9}，则a，b的值分别是（）A．a＝3，b＝6B．a＝﹣3，b＝9C．a＝6，b＝3D．a＝﹣3，b＝6 4．（3分）已知f（2x）＝，则f（1）＝（）A．﹣1B．0C．1D．25．（3分）下列函数是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝x2+4x+4C．y＝sin x+cos x D．f（x）＝6．（3分）已知方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则⋅＝（）A．3B．6C．8D．27．（3分）已知等差数列{a n}中，若a4＝15，则它的前7项和为（）A．120B．115C．110D．1058．（3分）已知＝（5，﹣3），C（﹣1，3），＝2，则点D的坐标为（）A．（11，9）B．（4，0）C．（9，3）D．（9，﹣3）9．（3分）要得到函数y＝sin2x的图象，需要将函数y＝sin的图象作怎样的平移才能得到（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移10．（3分）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m 11．（3分）已知直线经过两条直线l1：x+y＝2，l2：2x﹣y＝1的交点，且直线l的一个方向向量＝（﹣3，2），则直线l的方程是（）A．﹣3x+2y+1＝0B．3x﹣2y+1＝0C．2x+3y﹣5＝0D．2x﹣3y+1＝0 12．（3分）已知圆的方程x2+y2+2ax+9＝0 圆心坐标为（5，0），则它的半径为（）A．3B．C．5D．413．（3分）下列命题中是真命题的个数是（）（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行（4）两条直线能确定一个平面（5）垂直于同一个平面的两个平面平行A．0B．1C．2D．314．（3分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．15．（3分）设x，y满足，则Z＝x+y（）A．有最小值2，最大值3B．有最大值3，无最小值C．有最小值2，无最大值D．既无最大值也无最小值16．（3分）过双曲线x2﹣＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝（）A．B．2C．6D．417．（3分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是（）A．B．C．D．18．（3分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[136，151]上的运动员人数为（）A．3B．4C．5D．619．（3分）设＝（1，2），＝（1，1），＝+k，若，则实数k的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．20．（3分）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）A．﹣540B．﹣162C．162D．540二、填空题（本大题5小题，每题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21．（4分）若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A∩B的子集个数为．22．（4分）设0＜θ＜，向量＝（sin2θ，cosθ），＝（1，﹣cosθ），若⋅＝0，则sinθ＝23．（4分）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积为．24．（4分）已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．25．（4分）若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则对称点（P，Q）是函数f（x）的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）．已知函数则f（x）的“友好点对”有个．三、解答题（本大题5小题，共40分．请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26．（7分）在等比数列{a n}中，a2﹣a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{a n}的首项、公比．27．（7分）山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y 与x之间的函数关系式；（2）李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润＝销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？28．（8分）已知向量＝，＝，x∈R，设函数f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）求f（x）在上的最大值和最小值．29．（9分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（1）证明：EF∥平面A1CD（2）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（3）求直线EF与直线A1B1所成角的正弦值．30．（9分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足＝，求直线l的方程．2018年山东省青岛市春季高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出）1．（3分）已知A＝{x|x+1＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2}C．{﹣2，0，1}D．{0，1}【解答】解：∵A＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，∴∁U A＝{x|x≤﹣1}，∴（∁R A）∩B＝{x|x≤﹣1}∩{﹣2，﹣1，0，1}＝{﹣2，﹣1}故选：A．2．（3分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为：存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．3．（3分）不等式|x﹣a|＜b的解集是{x|﹣3＜x＜9}，则a，b的值分别是（）A．a＝3，b＝6B．a＝﹣3，b＝9C．a＝6，b＝3D．a＝﹣3，b＝6【解答】解：不等式|x﹣a|＜b，等价于﹣b＜x﹣a＜b，等价于a﹣b＜x＜a+b，再根据不等式|x﹣a|＜b的解集是{x|﹣3＜x＜9}，可得a﹣b＝﹣3，a+b＝9，求得a＝3，b＝6，故选：A．4．（3分）已知f（2x）＝，则f（1）＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：∵f（2x）＝，∴f（1）＝f（2×）＝＝log22＝1．故选：C．5．（3分）下列函数是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝x2+4x+4C．y＝sin x+cos x D．f（x）＝【解答】解：对于A、函数y＝x sin x的定义域为R，且f（﹣x）＝﹣x sin（﹣x）＝x sin x＝f （x），函数为偶函数；对于B、当x＝1时，y＝9，当x＝﹣1时，y＝1，函数为非奇非偶函数；对于C、当x＝时，y＝1，当x＝﹣时，y＝﹣1，函数不是偶函数；对于D、当x＝1时，函数有意义，当x＝﹣1时，函数无意义，定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数．∴是偶函数的是A．故选：A．6．（3分）已知方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则⋅＝（）A．3B．6C．8D．2【解答】解：方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，x1+x2＝3，⋅＝＝23＝8．故选：C．7．（3分）已知等差数列{a n}中，若a4＝15，则它的前7项和为（）A．120B．115C．110D．105【解答】解：∵等差数列{a n}中，a4＝15，∴它的前7 项和为：＝＝7a4＝7×15＝105．故选：D．8．（3分）已知＝（5，﹣3），C（﹣1，3），＝2，则点D的坐标为（）A．（11，9）B．（4，0）C．（9，3）D．（9，﹣3）【解答】解：设D（x，y），∵＝（5，﹣3），C（﹣1，3），＝2，∴（x+1，y﹣3）＝（10，﹣6），∴x+1＝10，y﹣3＝﹣6，∴x＝9，y＝﹣3，∴D（9，﹣3），故选：D．9．（3分）要得到函数y＝sin2x的图象，需要将函数y＝sin的图象作怎样的平移才能得到（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【解答】解：y＝sin2x＝sin（2x﹣+）＝sin[2（x﹣）+]，只需要将函数y＝sin的图象向右平移个单位即可得到y＝sin2x的图象，故选：D．10．（3分）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B 两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m【解答】解：由正弦定理得，∴，故A，B两点的距离为50m，故选：A．11．（3分）已知直线经过两条直线l1：x+y＝2，l2：2x﹣y＝1的交点，且直线l的一个方向向量＝（﹣3，2），则直线l的方程是（）A．﹣3x+2y+1＝0B．3x﹣2y+1＝0C．2x+3y﹣5＝0D．2x﹣3y+1＝0【解答】解：联立，得x＝1，y＝1，∴直线l过点（1，1），∵直线l的一个方向向量＝（﹣3，2），∴直线l的斜率k＝﹣，则直线l的方程是y﹣1＝﹣（x﹣1），即2x+3y﹣5＝0．故选：C．12．（3分）已知圆的方程x2+y2+2ax+9＝0 圆心坐标为（5，0），则它的半径为（）A．3B．C．5D．4【解答】解：圆的方程x2+y2+2ax+9＝0，即（x+a）2+y2＝a2﹣9，它的圆心坐标为（﹣a，0），再根据它的圆心坐标为（5，0），可得a＝﹣5，故它的半径为＝＝4，故选：D．13．（3分）下列命题中是真命题的个数是（）（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行（4）两条直线能确定一个平面（5）垂直于同一个平面的两个平面平行A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于（1），空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，如正方体中共点的三条棱两两互相垂直，∴（1）错误；对于（2），空间中与同一个平面夹角相等的两条直线不一定互相平行，如图1所示；直线m、n与平面γ所成的角相等，但m、n不平行，∴（2）错误；对于（3），平行于同一个平面的两条直线不一定互相平行，如两平面平行的判定定理中的两条相交直线，∴（3）错误；对于（4），两条直线不一定能确定一个平面，如两条异面直线不能确定一个平面，∴（4）错误；对于（5），垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，如正方体的相邻两个侧面与底面垂直，但这两个侧面不平行，∴（5）错误；综上，以上命题真命题的个数为0．故选：A．14．（3分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图象知，＝﹣＝，∴T＝＝π，解得ω＝2；由五点法画图知，2×+φ＝，解得φ＝﹣；∴ω、φ的值分别是2和﹣．故选：A．15．（3分）设x，y满足，则Z＝x+y（）A．有最小值2，最大值3B．有最大值3，无最小值C．有最小值2，无最大值D．既无最大值也无最小值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝x+y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点C时，直线y＝﹣x+z的截距最小，此时z最小．由，解得C（2，0），代入目标函数z＝x+y得z＝2．即目标函数z＝x+y的最小值为2．无最大．故选：C．16．（3分）过双曲线x2﹣＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝（）A．B．2C．6D．4【解答】解：双曲线x2﹣＝1的右焦点（2，0），渐近线方程为y＝，过双曲线x2﹣＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，x＝2，可得y A＝2，y B＝﹣2，∴|AB|＝4．故选：D．17．（3分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从1，2，3，4，5 中任意取出两个不同的数，基本事件总数n＝＝10，其和为5包含的基本事件有（1，4），（2，3），其和为5 的概率是p＝＝．故选：A．18．（3分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[136，151]上的运动员人数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，135]，[138，151]，[152，153]，根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，所以成绩在区间[136，151]中共有25名运动员，抽取人数为25×＝5；故选：C．19．（3分）设＝（1，2），＝（1，1），＝+k，若，则实数k的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵＝（1，2），＝（1，1），∴＝+k＝（1+k，2+k）∵，∴•＝0，∴1+k+2+k＝0，解得k＝﹣故选：A．20．（3分）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）A．﹣540B．﹣162C．162D．540【解答】解：若的展开式中各项系数之和为2n＝64，解得n＝6，则展开式的常数项为＝﹣540，故选：A．二、填空题（本大题5小题，每题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21．（4分）若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A∩B的子集个数为4．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，∴A∩B＝{1，3}，∴A∩B的子集个数为22＝4．故答案为：4．22．（4分）设0＜θ＜，向量＝（sin2θ，cosθ），＝（1，﹣cosθ），若⋅＝0，则sinθ＝【解答】解：根据题意，向量＝（sin2θ，cosθ），＝（1，﹣cosθ），若⋅＝0，则有⋅＝sin2θ﹣cos2θ＝0，即有2sinθcosθ＝cos2θ，又由0＜θ＜，变形可得2sinθ＝cosθ，又由sin2θ+cos2θ＝1，解可得sinθ＝±，又由0＜θ＜，则sinθ＝，故答案为：．23．（4分）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积为3π．【解答】解：一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则它的边长是a，∴，∴a＝2，这个圆锥的全面积是：×2π×2＝3π．故答案为3π．24．（4分）已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．【解答】解：由抛物线y2＝8x，可得，故其准线方程为x＝﹣2．由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），∴c＝2．又双曲线的离心率为2，∴＝2，得到a＝1，∴b2＝c2﹣a2＝3．∴双曲线的方程为．故答案为．25．（4分）若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则对称点（P，Q）是函数f（x）的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）．已知函数则f（x）的“友好点对”有2个．【解答】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y＝2x2+4x+1（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝（x≥0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“友好点对”有：2个．故答案为：2．三、解答题（本大题5小题，共40分．请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26．（7分）在等比数列{a n}中，a2﹣a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{a n}的首项、公比．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a2﹣a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，得，解得a1＝1，q＝3．∴数列{a n} 的首项为1、公比为3．27．（7分）山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y 与x之间的函数关系式；（2）李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润＝销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）由题意y与x之间的函数关系式为y＝（10+0.5x）（2000﹣6x）＝﹣3x2+940x+20000（1≤x≤110，且x为整数）；（2）由题意得：﹣3x2+940x+20000﹣10×2000﹣340x＝22500解方程得：x1＝50，x2＝150（不合题意，舍去）故需将这批香菇存放50天后出售；（3）设利润为w，由题意得w＝﹣3x2+940x+20000﹣10×2000﹣340x＝﹣3（x﹣100）2+30000∵a＝﹣3＜0，∴抛物线开口方向向下，∴x＝100时，w最大＝30000，∴李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润，最大利润是30000元．28．（8分）已知向量＝，＝，x∈R，设函数f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）求f（x）在上的最大值和最小值．【解答】解：（1）向量＝，＝，x∈R，函数f（x）＝＝sin x cos x+cos2x＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T＝＝π；（2）由正弦函数的单调性，令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z；解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；∴函数f（x）的单调递减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z；（3）x∈[0，]时，2x+∈[，]，此时sin（2x+）∈[﹣，1]，∴x＝时f（x）取得最大值1，x＝时f（x）取得最小值﹣．29．（9分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（1）证明：EF∥平面A1CD（2）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（3）求直线EF与直线A1B1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1．连结ED，在三角形ABC中，因为D、E分别为AB、BC的中点，所以DE＝AC且DE∥AC，又因为F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以A1D∥EF．又EF⊄平面A1CD，DA1⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD．（2）由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱A1A⊥底面ABC，CD⊂平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，所以CD⊥平面A1ABB1，而CD⊂平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1．（3）由（2）可知：A1D∥EF，直线EF与直线A1B1所成角，就是直线A1D与直线A1B1所成角，也是∠A1DA，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．设棱长为2，则AD＝1，A1D＝，sin∠A1DA＝＝．直线EF与直线A1B1所成角的正弦值：．30．（9分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足＝，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，c＝1，a＝2．∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2＝1．∴圆心到直线l的距离d＝，由d＜1，可得．（*）∴|CD|＝2＝＝．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为x2﹣mx+m2﹣3＝0，可得x1+x2＝m，．∴|AB|＝＝．由＝，得，解得满足（*）．因此直线l的方程为．。
2018年山东省数学春季高考模拟题.doc
B 向右平移兰个单位4D 向右平移丄个单位4A 1209、在厶ABCB60°C450a = 2,c = 2V2, ZB = 105°,贝吧厶D30°ABC10、冗~611、 12、 B 2V2V3+1 护+1)Q = 2, b= V2,ZA =—,4 则ZE=cosBf 7T _(X 5 兀_或——6 6 TC _p. 2兀 _或—— 3;2--sin 2-(2 2 是奇函数既是奇函数也是是偶函数 非奇非偶若2sin Bcos C = sin A,则厶ABC 为 等腰三角形 等A C(二)填空题 1、cos(a + 0)cos0 + sin(a + 0)sin0 =直角三角形 等腰直角三2、sin 58° cos 13° - cos 58° sin 13°=1 c •2 兀3、sinl5°cosl5° = _________ , l ・2sin — = ________oB- 47、为了得到函数尸sin 兀+彳(心的图像，只需把正弦曲线尸sin 血&上所有的点)向左平移兰个单位4 向左平移丄个单位48、在厶ABC^,a 2=b 2+c 2+bc,则乙4=(4B cos 2a c 1D cos （-3°2018山东省数学春季高考模拟题注意事项： 1. 本试卷为100分，考试时间为90分钟。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在密封线内。
1、cos （21°+ ^）cos （24° - a ） - sin （21° + sin （24° -a ）=（ ）2、 已知cosa = -|,cos(a+y5) = |,a,y^P 是锐角，贝(Jsin (5 =( )1317 7 A - B - C — D — 5525253、 已知向量OP =(4,4),将其绕坐标原点旋转-90。
【答案】青岛市2018年春季高考第二次模拟考试 (1)
青岛市2018年春季高考第二次模拟考试卷二（非选择题，共100分）二、简答题(本大题7个小题，共38分)1.（本小题4分）（1）符合幼儿营养的需要(1分)（2）适合幼儿消化能力(1分) （3）食物能促进食欲(1分)（4）讲究卫生(1分)【评分标准】本题共4分，要点意思对即可。
2．(本小题6分）（1）增强体质，提高对环境冷热变化能力。
(1分)（2）季节变换之时，应注意小儿的冷热，随时增减衣服。
(1分)（3）保持幼儿活动室、卧室空气新鲜。
(1分)（4）合理安排幼儿的一日生活，提供平衡膳食。
(1分) （5）冬春季少去人多的场所。
(1分)（6）教会幼儿洗手的方法，勤洗手。
(1分【评分标准】本题共6分，要点意思对即可3.（本小题5分）1.心理健康的主要表现是情绪健康。
(1分)2.（1）注意幼儿情绪发展的任务要与年龄阶段相适应(1分)（2）形成新的依恋(1分)（3）帮助幼儿集中注意力(1分)（4）多与家长沟通(1分)【评分标准】本题共5分，要点意思对即可。
4.（本小题4分）（1）社会认知水平(1分)（2）移情作用(1分)（3）家庭引导方式(1分)（4）传播媒体影响(1分)【评分标准】本题共4分，要点意思对即可。
5.（本小题6分）（1）教师应该研究幼儿，了解幼儿发展水平、已有的知识经验、能力和需要；了解他们共同的状况及个别差异；同时还需研究游戏材料的功能，以适合幼儿的发展水平和兴趣需要。
（2分）（2）良好游戏环境应蕴含教师的教育意图和观念，有目的、有计划促进幼儿发展。
（1分）（3）游戏材料的投放要注意其适宜性，既不能琳琅满目，给予幼儿过多的新异刺激，使幼儿无法保持相对集中的注意力，又要注意适量的有计划的增加可以引起幼儿兴趣的东西，以便长时间激发幼儿的兴趣。
（1分）（3）游戏场地的安排应注意相对集中，相互协调，互不干扰。
（1分）（4）良好的游戏环境，还应具有参与性。
（1分）【评分标准】本题共6分，要点意思对即可。
2018年5月青岛市高考二模检测理科数学及答案
2018年5月青岛市高考二模检测理科数学及答案2018年青岛市高考模拟检测数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题），全卷满分150分，考试用时120分钟。
祝考试顺利。
注意事项：1.答题前，请在试题卷和答题卡上填写姓名和准考证号，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2.选择题：用2B铅笔将答案标号涂黑在答题卡上对应题目的答案标号上，其他地方无效。
3.填空题和解答题：用签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内作答，其他地方无效。
4.选考题：先在答题卡上用2B铅笔涂黑所选题目的题号，然后在答题卡上对应的答题区域内作答，其他地方无效。
5.考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题1.若B = 4/R，下列选项中符合B。
0的是（B = 4/(R -7i)）。
A。
(-3,6)B。
[6.+∞)C。
(-3,-2]D。
(-∞,-3)(6,+∞)2.在复平面内，若z = 2 + 3i，则z的共轭复数z'在复平面内的位置是2-3i。
3.已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，求其内切圆的直径为多少步。
若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是1-π/6.4.如图所示的框图中，若输出S = 360，则判断框中应填入的关于k的判断条件是k。
2.5.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6，3a4，-a5成等差数列，则S4 = 3S2，k = 6，S = 1，输出S的值为9.6.已知直线x-2y+a=0与圆O：x+y=2相交于A，B两点（O为坐标原点），则a=5是“OA·OB=”的充分不必要条件。
20.在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C:(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 (a>0.b>0) 的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点(1.ab/2)在双曲线C上。
不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为42.1) 求动点P的轨迹方程；2) 在动点P的轨迹上有两个不同的点M(x1.y1)、N(x2.y2)，线段MN的中点为G，已知点(x1.x2)在圆x+y=2上，求|OG|*|MN|的最大值，并判断此时△XXX的形状。
2018年山东省青岛市春季高考第二次模拟考试数学试题(解析版)
2018年山东省青岛市春季高考第二次模拟考试数学试题（解析版）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求的选项选出）1. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，又因为，所以,故选A.2. 命题“对任意，都有”的否定为（）A. 对任意，都有B. 存在，使得C. 存在，使得D. 不存在，使得【答案】B【解析】因为全称命题的否定是特称命题，命题“对任意，都有”的否定为“存在，使得”，故选B.3. 已知的解集是，则实数，的值是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】分析：先解不等式，再列方程组得实数a,b的值.详解：由题得-b＜x-a＜b,所以a-b＜x＜a+b，因为的解集是，所以a-b=-3且a+b=9,所以a=3,b=6.故答案为：D点睛：(1)本题主要考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)绝对值不等式|ax+b|<c等价于-c＜ax+b＜c. |ax+b|＞c等价于ax+b>c或ax+b＜-c.4. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求出f(x)的解析式，再求f(1)的值.详解：设2x=t,则f(t)=,所以f(1)=,故答案为：C点睛：（1）本题主要考查函数解析式的求法和函数求值,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)本题是已知复合函数的解析式求原函数的解析式，所以用换元法求原函数的解析式.5. 下列函数是偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用偶函数的定义判断函数的奇偶性.详解：对于选项A,，所以函数是偶函数.点睛：（1）本题主要考查函数奇偶性的判断，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2)判断函数的奇偶性，一般利用定义法，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.6. 已知方程的两个根为，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先由题得到韦达定理，再求的值.详解：由题得故答案为：C点睛：（1）本题主要考查指数的运算，意在考查学生对该知识的掌握能力.(2)韦达定理是高中数学中常用的考点，方程的两根为则7. 已知等差数列中，若，则它的前项和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用等差数列的性质求和.详解：由题得故答案为：D点睛：(1)本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和转化能力.(2)等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项.8. 已知，，，则点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先设点D(x,y)，再利用已知求点D的坐标.详解：设点D(x,y)，所以（x+1,y-3），=（10，-6），所以，解之得x=9,y=-3.所以点D 的坐标为（9，-3）.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查向量的坐标表示和运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)则.9. 要得到函数的图象,需要将函数的图象作怎样的平移才能得到（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移【答案】D【解析】分析：直接利用三角函数图像的平移知识解答.详解：由题得x=,所以需要将函数的图象向右平移得到.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查三角函数图像的变换，意在考查学生对该知识的掌握能力. (2) 平移变换：左加右减，上加下减,把函数向左平移个单位，得到函数的图像. 把函数向右平移个单位，得到函数的图像.10. 如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由∠ACB与∠BAC，求出∠ABC的度数，根据sin∠ACB，sin∠ABC，以及AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长．详解：在△ABC中，AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，即∠ABC=30°，则由正弦定理，得AB=故答案为：A点睛：（1）本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 求解三角形应用题的一般步骤：①分析：分析题意，弄清已知和所求；②建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；③求解：正确运用正、余弦定理求解；④检验：检验上述所求是否符合实际意义.11. 已知直线经过两条直线：，：的交点，且直线的一个方向向量，则直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：先求直线和的交点，再求直线l的斜率，最后写出直线l的方程.详解：解方程组得x=1,y=1,所以两直线的交点为（1,1）.因为直线的一个方向向量，所以所以直线的方程为即.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)点斜式方程(直线过点，且斜率为)．12. 已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据圆心坐标求出a的值，再求圆的半径.详解：由题得所以圆的半径为故答案为：D点睛：(1)本题主要考查圆的一般方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 当时，表示圆心为，半径为的圆.13. 下列命题中是真命题的个数是（）（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行（4）两条直线能确定一个平面（5）垂直于同一个平面的两个平面平行A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：逐一分析判断每一个命题的真假.详解：对于（1），垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能异面或相交.所以是错误的.对于（2），与同一个平面夹角相等的两条直线可能互相平行，也可能相交或异面，所以是错误的.对于（3），平行于同一个平面的两条直线可能互相平行，也可能异面或相交，所以是错误的.对于（4）两条直线能不一定确定一个平面，还有可能不能确定一个平面,所以是错误的.对于（5），垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，还有可能相交,所以是错误的.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的判断，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)判断空间位置关系命题的真假，可以直接证明或者举反例.14. 函数的部分图象如图所示，则，的值分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】答案：A.由函数图像得，则=π，解得ω=2，又点（，2）在函数图像上，则有2sin(2×+φ)=2，所以sin(2×+φ)=1，所以可令+φ=，解得φ=.故选A.15. 设，满足，则（）A. 有最小值，最大值B. 有最大值，无最小值C. 有最小值，无最大值D. 既无最大值也无最小值【答案】C【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y的最小值．详解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点C时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即C（2，0），代入目标函数z=x+y得z=2．即目标函数z=x+y的最小值为2，无最大．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和数形结合思想方法. (2)解答线性规划时，要理解，不是纵截距最小，z最小，要看函数的解析式，如：y=2x-z,直线的纵截距为-z,所以纵截距-z最小时，z最大.16. 过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于、两点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由双曲线，可得渐近线方程为，且右焦点为，令，解得，所以，故选D.考点：双曲线的几何性质.17. 从，，，，中任意取出两个不同的数，其和为的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:直接利用古典概型求解.详解：因为5=1+4=2+3，所以和为5的概率为故答案为：A点睛：（1）本题主要考查古典概型的计算，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.18. 在一次马拉松比赛中，名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取人，则其中成绩在区间上的运动员人数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：对各数据分层为三个区间，然后根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取．解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，所以成绩在区间[139，151]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；故选B．考点：茎叶图．视频19. 设，，.若，则实数的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求出，再根据求出实数k的值.详解：由题得，因为，所以故答案为：C20. 若的展开式各项系数之和为，则展开式的常数项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据题意，由于展开式各项系数之和为2n=64，解得n=6，则展开式的常数项为，故答案为A.考点：二项展开式的通项公式点评：本题考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．二、填空题（本大题5小题，每题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21. 若集合，，则的子集个数为__________．【答案】【解析】分析：先求A∩B，再求的子集个数.详解：由题得A∩B={1,3},所以A∩B的子集为，{1}，{3}，{1,3}.所以A∩B的子集个数为4.故答案为：4点睛：（1）本题主要考查集合的交集运算与集合的子集，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)一个有n个元素的集合的子集个数为个，非空真子集的个数为.22. 设，向量，，若，则__________．【答案】【解析】∵，∴，∵，∴，∴，解得．23. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积等于__________．【答案】【解析】分析：先根据已知求圆锥的底面圆的直径，再求圆锥的全面积.详解:设圆锥的底面圆的直径为a,则所以圆锥的全面积=故答案为：点睛：（1）本题主要考查圆锥和面积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)S扇形==，其中代表弧长,代表圆的半径，代表圆心角的角度数.24. 已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为，则该双曲线的方程为__________．【答案】【解析】由y2=8x准线为x=-2.则双曲线中c=2, ==2,a=1,b=.所以双曲线方程为x2-=1.25. 若直角坐标平面内两点，满足条件：①、都在函数的图象上；②、关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与点对看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”的个数是__________．【答案】【解析】设x<0，则问题转化为关于x的方程(2x2＋4x＋1)＋＝0，即e x＝－x2－2x－有几个负数解问题．记y1＝e x，y2＝－(x＋1)2＋，当x＝－1时，<，所以函数y1的图象与y2的图象有两个交点(如图)，且横坐标均为负数，故所求“友好点对”共有2个．三、解答题（本大题共5小题，共40分请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26. 在等比数列中，，且为和的等差中项，求数列的首项、公比.【答案】，【解析】分析：直接根据已知列方程组得解.详解：由，得；由，得，得，得（不合题意，舍去），，当时，.27. 山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格元/千克在本市收购了千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计元，而且香菇在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的香菇损坏不能出售.（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式；（2）李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）（2）将这批香菇存放天后出售（3）存放天后出售可获得最大利润为元.【解析】分析：（1）根据销售总金额的定义写出与之间的函数关系式.(2)根据利润=销售总金额-收购成本-各种费用得到关于x的方程，解方程即得解.(3)先写出利润的函数关系式，再求函数的最大利润.详解：（1）由题意得，与之间的函数关系式为：.（2）由题意得，；化简得，；解得，，（不合题意，舍去）；因此，李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放天后出售.（3）设利润为，则由（2）得，；因此当时，；又因为，所以李经理将这批香菇存放天后出售可获得最大利润为元.点睛：（1）本题主要考查函数的实际应用，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和转化思想方法.(2)函数的思想是高中数学的重要思想方法，在研究最值问题时经常用到.利用函数的思想方法在处理问题时，先求函数的定义域，再求函数的解析式，再求函数的最值.28. 已知向量，，，设函数.（1）求的最小正周期；（2）求函数的单调递减区间；（3）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）（2），.（3）最大值是，最小值是.【解析】分析：（1）先化简，再求函数的最小正周期.(2)利用复合函数的单调性原理求函数的单调递减区间.(3)利用三角函数的图像和性质求函数在上的最大值和最小值.详解：.（1）的最小正周期为，即函数的最小正周期为.（2）函数单调递减区间：，，得：，，∴所以单调递减区间是，.（3）∵，∴.由正弦函数的性质，当，即时，取得最大值.当，即时，，当，即时，，∴的最小值为.因此，在上的最大值是，最小值是.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)求三角函数在区间上的最值，一般利用三角函数的图像和性质解答，先求的范围，再利用三角函数的图像和性质求的最值.29. 如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求直线与直线所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）见解析(3)【解析】分析：（1）先证明，再证明平面.(2)先证明面，再证明平面平面.(3)利用异面直线所成的角的定义求直线与直线所成角的正弦值为.详解：（1）证明：连接，∵、分别是、的中点，∴，，∵三棱柱中，∴，，又为棱的中点，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面.（2）证明：∵是的中点，∴，又∵平面，平面，∴，又∵，∴面，又面，∴平面平面；（3）解：∵，，∴为直线与直线所成的角.设三棱柱的棱长为，则，∴，∴.即直线与直线所成角的正弦值为.点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明和异面直线所成角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.(2)求空间的角，方法一是利用几何法，找作证指求.方法二是利用向量法.30. 已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）若直线：与椭圆交于，两点，与以为直径的圆交于，两点，且满足，求直线的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】试题分析：（1）由题意可得，解出，的值，即可求出椭圆的方程；（2）由题意可得以为直径的圆的方程为，利用点到直线的距离公式得：圆心到直线的距离，可得的取值范围，利用弦长公式可得，设，把直线的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长，由，即可解得的值.试题解析：（1）由题意可得解得椭圆的方程为由题意可得以为直径的圆的方程为圆心到直线的距离为由，即，可得设联立整理得可得：，解方程得，且满足直线的方程为或考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题.。
山东省2018届高考第二次模拟考试数学(理)试题含答案
2018届高三模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≥，则R C A =（ ）A ．(1,2)-B ．[1,2]-C ．(2,1)-D ．[2,1]- 2.已知复数1iz i=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．1 B ．12 C．2D3.已知123a -=，31log 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．a b c >> D ．c b a >> 4.下图给出的是计算11112462018+++⋅⋅⋅+值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（ ）A ．2016?i >B ．2018?i >C ．2016?i ≤D ．2018?i ≤5.若2101()()x a x x-+的展开式中6x 的系数为30，则a =（ ）A ．12-B ．2-C ．12D ．2 6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．316 B ．38 C ．14 D ．187.已知tan()44πα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．79C ．19-D ．198.函数()ln(1)f x x x =-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，则满足(21)(2)f x f +>成立的x 取值范围是（ ）A ．31(,)22-B ．31(,)(,)22-∞-+∞ C ．1(,)2-∞ D ．1(,)2+∞10.某多面体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形.该多面体的各个面中有若干个是等腰三角形，这些等腰三角形的面积之和为（ ）A．4+ B．4+．．4+11.设1F 、2F 是椭圆C ：2212x y m +=的两个焦点，若C 上存在点M 满足12120FMF ∠=，则m 的取值范围是（ ）A ．1(0,][8,)2+∞B ．(0,1][8,)+∞C ．1(0,][4,)2+∞ D ．(0,1][4,)+∞12.已知函数2()(12)()f x x x ax b =+++(,)a b R ∈的图象关于点(1,0)对称，则()f x 在[1,1]-上的值域为（ ）A．[- B．[- C．[- D．[- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则22(1)x y ++的最大值为 ．14.在平行四边形ABCD 中，4AB =，3CP PD =，若1AB BP ⋅=-，则AB AD ⋅= ．15.已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，圆心在直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为 ．16.已知()sin cos f x x x ωω=-2()3ω>，若函数()f x 图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是 ．（结果用区间表示）三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2364n n n a a S +=+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.在四棱锥S ABCD -中，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若底面ABCD 为矩形，23SA AD AB ==，F 为SC 的中点，23BE BC =，求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值.19.随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：根据一周内平均每天学习数学的时间t ，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m 甲（精确到0.01）； （Ⅱ）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X 甲与X 乙及方差2S 甲与2S 乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的X 甲、2S 甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）记事件A ：“甲高中学生对数学的喜好等级高于乙高中学生对数学的喜好等级”.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求A 的概率. 20.已知抛物线C ：212y x =，不过坐标原点O 的直线l 交于A ，B 两点. （Ⅰ）若OA OB ⊥，证明：直线l 过定点；（Ⅱ）设过A 且与C 相切的直线为1l ，过B 且与C 相切的直线为2l .当1l 与2l 交于点(1,2)-时，求l 的方程.21.已知2()1ln ()f x x a x a R =--∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =与x 轴有唯一公共点A ，求a 的取值范围；（Ⅱ）若不等式12()1x f x e x x -≤+--对任意的1x ≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为121x t y t a =-⎧⎨=--⎩（t 为参数）. （Ⅰ）若1a =，求直线l 被曲线C 截得的线段的长度；（Ⅱ）若11a =，在曲线C 上求一点M ，使得点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x a =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()3f x <的解集；（Ⅱ）设函数()1g x x =+.当x R ∈时，()()1f x g x +>恒成立，求实数a 的取值范围.2018届高三模拟考试 数学（理科）参考答案一、选择题1-5: ACBDD 6-10: CBABB 11、12：AD二、填空题13. 4 14. 11 15. 22(2)2x y +-= 16. 711[,]812三、解答题17.（Ⅰ）当1n =时，有2111364a a a +=+，即11(4)(1)0a a -+=. 因为10a >，所以110a +>.从而140a -=，即14a =. 由2364n n n a a S +=+，知2111364n n n a a S ++++=+. 两式相减，得22111336464n n n n n n a a a a S S ++++--=+--. 即22111336n n n n n a a a a a ++++--=，即2211330n n n n a a a a ++---=， 即11()(3)0n n n n a a a a +++--=.因为0n a >，所以130n n a a +--=，即13n n a a +-=. 所以，数列{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列. 所以43(1)31n a n n =+-=+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3(31)(34)n b n n =++113134n n =-++.数列{}n b 的前n 项和为1111()()47710n T =-+-+⋅⋅⋅+1111()()32313134n n n n -+--+++11434n =-+. 18.（Ⅰ）证法1：在平面ABCD 内过点C 作两条直线1l ，2l ， 使得1l AB ⊥，2l AD ⊥. 因为ABAD A =，所以1l ，2l 为两条相交直线.因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB 平面ABCD AB =，1l ⊂平面ABCD ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面SAB . 所以1l SA ⊥. 同理可证2l SA ⊥.又因为1l ⊂平面ABCD ，2l ⊂平面ABCD ，12l l C =，所以SA ⊥平面ABCD .证法2：在平面SAB 内过点S 作1l AB ⊥，在平面SAD 内过点S 作2l AD ⊥. 因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB 平面ABCD AB =，1l ⊂平面SAB ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面ABCD . 同理可证2l ⊥平面ABCD .而过点S 作平面ABCD 的垂线有且仅有一条， 所以1l 与2l 重合.所以1l ⊂平面SAD . 所以，直线1l 为平面SAB 与平面SAD 的交线. 所以，直线1l 与直线SA 重合.所以SA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）如图，分别以AB 、AD 、AS 所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -.设6SA =，则2AB =，3AD =，(2,0,0)B ，(2,3,0)C ，(0,3,0)D ，(0,0,6)S . 由F 为SC 的中点，得3(1,,3)2F ；由23BE BC =，得(2,2,0)E . 所以1(1,,3)2EF =--，(2,3,6)SC =-，(2,0,0)DC =.设平面SCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n SC n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即236020x y z x +-=⎧⎨=⎩.取1z =，则2y =，0x =. 所以(0,2,1)n =.所以cos ,EF n <>EF n EF n⋅=⋅1(1)0()231-⨯+-⨯+⨯==. 所以，直线EF 与平面SCD . 19.解：（Ⅰ）0.5(0.10.2)200.3m -+=+甲1026.67⨯≈；（Ⅱ）X X <甲乙；22S S >甲乙；50.1150.2250.3X =⨯+⨯+⨯甲350.2450.15550.0527.5+⨯+⨯+⨯=； 222(527.5)0.1(1527.5)0.2S =-⨯+-⨯甲22(2527.5)0.3(3527.5)0.2+-⨯+-⨯22(4527.5)0.15(5527.5)0.05+-⨯+-⨯178.75=.（Ⅲ）由题意，甲高中学生对数学的喜好程度为“一般”、“爱好”、“痴迷”的概率分别为0.05、0.8、0.15.()0.650.050.05(0.050.8)P A =⨯+⨯+0.075=.20.设11(,)A x y ，22(,)B x y .（Ⅰ）解：显然直线l 的斜率存在，设为k ，直线的方程为y kx m =+.由题意，0m ≠.由212y kx m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2220x kx m --=.由题意，该方程的判别式24(2)0k m ∆=+>，即220()k m +>★. 则122x x k +=，122x x m =-.因为OA OB ⊥，所以OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，即21212(1)()k x x km x x +++20m +=.所以2222(1)20m k k m m -+++=.所以220m m -=.解得0m =（舍去），或2m =.当2m =时，220k m +>，满足()★式.所以直线l 的方程为2y kx =+. 直线l 过定点(0,2).（Ⅱ）解法一：过点(1,2)-且与C ：212y x =相切的直线的斜率必存在，设其斜率为k ，则其方程为(2)(1)y k x --=-，即(1)2y k x =--.由2(1)22y k x x y=--⎧⎨=⎩消去y 并整理得222(2)0x kx k -++=. 由判别式2(2)8(2)0k k ∆=--+=，解得1k =不妨设1l的斜率11k =2l的斜率21k =由韦达定理，得1212x x k +=，即111x k ==111(1)2y k x =--(123==所以(1A .同理可得(1B .直线l的方程为(3y -=[(1x -，即直线l 的方程为2y x =+.解法二：2'1'()2y x x ==，所以过A 且与C 相切的直线1l 的斜率为1x .同理，2l 的斜率为2x .1l ：21111()2y x x x x -=-，即1l ：21112y x x x =-.同理2l ：22212y x x x =-.因为1l 与2l 的交点(1,2)-的坐标为方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的解，所以211122x x -=-，且222122x x -=-. 所以方程2122x x -=-，即21202x x -++=的两个实根是1x ，2x .由21202x x -++=，解得11x =21x =又点A ，B 在C ：212y x =上，可得(1A，(1B .直线l的方程为(3y -=[(1x -，即直线l 的方程为2y x =+.解法三：2'1'()2y x x ==，所以过A 且与C 相切的直线1l 的斜率为1x .同理，2l 的斜率为2x .所以，切线1l ：111()y y x x x -=-，即2111y y x x x -=-. 又11(,)x y 是抛物线212y x =上的点，所以21112y x =，即2112x y =. 故切线1l 的方程为11y x x y =-. 同理切线2l 的方程为22y x x y =-.又切线1l 与切线2l 均过点(1,2)-，故112x y -=-，222x y -=-. 所以切点11(,)A x y 、22(,)B x y 的坐标适合方程2x y -=-. 所以l 的方程为2y x =+.21.（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞.(1)0f =.由题意，函数()f x 有唯一零点1.'()2a f x x x=-. （1）若0a ≤，则0a -≥.显然'()0f x >恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数.又(1)0f =，所以0a ≤符合题意. （2）若0a >，22'()x a f x x-=. '()0f x x >⇔>'()00f x x <⇔<<. 所以()f x在上是减函数，在)+∞上是增函数.所以min ()f x f =1ln 222a a a =--. 由题意，必有0f ≤（若0f >，则()0f x >恒成立，()f x 无零点，不符合题意）.①若0f <，则1ln 0222a a a --<. 令()1ln (0)222a a a g a a =-->，则11'()ln 2222a a g a =--111ln 2222a a ⨯⨯=-. '()002g a a >⇔<<；'()02g a a <⇔>.所以函数()g a 在(0,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数.所以max ()(2)0g a g ==.所以()0g a ≤，当且仅当2a =时取等号.所以，00f a <⇔>，且2a ≠.取正数1}a b e -<，则2()1ln 1ln f b b a b a b =-->--11()0a a >--⨯-=；取正数1c a >+，显然c >>而2()1ln f c c a c =--， 令()ln h x x x =-，则1'()1h x x =-.当1x >时，显然1'()10h x x=-<. 所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x >时，()ln (1)10h x x x h =-<=-<，所以ln x x <.因为1c >，所以2()1ln f c c a c =--21()1c ac c c a >--=--110c >⨯->.又()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数.则由零点存在性定理，()f x 在、)+∞上各有一个零点. 可见，02a <<，或2a >不符合题意.注：0a >时，若利用00lim ()x f x →+=+∞，0f <，lim ()x f x →+∞=+∞，说明()f x 在、)+∞上各有一个零点.②若0f =1=，即2a =.符合题意. 综上，实数a 的取值范围为{|0,2}a a a ≤=或.（Ⅱ）12()1x f x e x x -≤+--1ln 0x x a x e -⇔--≤.令1()ln x g x x a x e -=--，则()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.（1）当0a =时，1()x g x x e -=-.当1x >时，10'()110x g x e e -=-<-=，所以()g x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x ≥时，()g(1)0g x ≤=.可见，0a =符合题意.（2）若0a <，显然1'()1x a g x e x--=+-在[1,)+∞上是减函数. 取实数1m a >-+，显然1m >.则1'()(1)m a g m e m -=-+-[1(1)1]a m m≤-+-+-（利用11(1)x e x -≥+-） (1)m m a m-+=- (1)(11)a a a m -+-+-+<-20a m=-<. 又'(1)0g a =->，'()g x 在[1,)+∞上是减函数，由零点存在定点，存在唯一的0(1,)x m ∈使得0'()0g x =.于是，当0(1,)x x ∈时，'()0g x >，函数()g x 在0(1,)x 上是增函数.所以，当0(1,)x x ∈时，()(1)0g x g >=.可见，0a <不符合题意.当0a >时，分如下三种解法：解法一：（3）若01a <≤，1'()1x a g x e x -=--，212''()x a x e g x x--=. 令21()x h x a x e -=-，显然21()x h x a x e -=-在[1,)+∞上是减函数，所以，当1x ≥时，()(1)10h x h a ≤=-≤，当且仅当1a =时取等号.所以，当1x ≥时，2()''()0h x g x x =≤，1'()1x a g x e x-=--在[1,)+∞上是减函数. 所以，当1x ≥时，'()'(1)0g x g a ≤=-<.所以，()g x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≤=.可见，01a <≤符合题意.（4）若1a >，1'()1x a g x e x -=--，212''()x a x e g x x--=. 令21()x h x a x e -=-，显然()h x 在[1,)+∞上是减函数，且(1)10h a =->，21()a h a a a e -=-10(1)0a a ae a e -<-<-=，所以，存在唯一的0(1,)x a ∈，使得0()0h x =，即12()a x aa e x -=★. 于是，当(1,)a x x ∈时，()0h x >；当(,)a x x ∈+∞时，()0h x <.所以，当(1,)a x x ∈时，''()0g x >；当(,)a x x ∈+∞时，''()0g x <.所以，'()g x 在(1,)a x 上是增函数，在(,)a x +∞上是减函数.所以，'()g x 在[1,)+∞上的最大值max '()'()a g x g x =11a x aa e x -=--. 将()★式代入上式，得max 2'()1a a a a g x x x =--2210a aa a a a x x <--=-<. 所以，当1x ≥时，'()0g x <，所以()g x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≤=.可见，1a >符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.解法二：（3）若0a >，()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立1ln x e x a x -⇔-≥-对任意的1x ≥恒成立.令1()x p x e x -=-，()ln q x a x =-.1'()1x p x e -=-，当1x >时，1'()1x p x e -=-1110e ->-=，所以()p x 在[1,)+∞上是增函数.所以min ()(1)0p x p ==.显然()ln q x a x =-在[1,)+∞上是减函数，max ()(1)0q x q ==.所以，当1x ≥时，()()p x q x ≥，即1ln x ex a x --≥-对任意的1x ≥恒成立. 所以0a >符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.解法三：（3）若0a >，1()ln 0x g x x e a x -=--≤对任意的1x ≥恒成立.令1()x p x x e -=-，()ln q x a x =-.1'()1x p x e -=-，当1x >时，1'()1x p x e -=-1110e -<-=，所以()p x 在[1,)+∞上是减函数.所以min ()(1)0p x p ==.所以，当1x ≥时，()0p x ≤.当0a >，1x ≥时，()ln 0q x a x =-≤.所以，当0a >，1x ≥时，()()()0g x p x q x =+≤恒成立.所以0a >符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.解法四：12()1x f x e x x -=+--1ln 0x e a x x -⇔+-≥.令1()ln x g x e a x x -=+-，则()0g x ≥对任意的1x ≥恒成立.1'()1x a g x e x -=+-1x xe x a x--+=. 令1()x h x xe x a -=-+，当1x >时，1'()(1)1x h x x e -=+-11(11)10e ->+->， 所以()h x 在[1,)+∞上是增函数.（1）若0a ≥，则1x >时，()(1)0h x h a >=≥，()'()0h x g x x=>， 所以()g x 在[1,)+∞上是增函数.所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≥=.可见，0a ≥符合题意.（2）若0a <，(1)0h a =<， (1)(1)12a h a a e a --=--+2(1)[1()]210a a a a >-+-+-=>.（这里利用了0x >时，1x e x >+）又()h x 在[1,)+∞上是增函数，由零点存在性定理，知存在唯一的(1,1)a x a ∈-，使得()0a h x =.于是，当(1,)a x x ∈时，()0h x <，()'()0h x g x x=<， 所以，()g x 在(1,)a x 上是减函数.所以，当(1,)a x x ∈时，()(1)0g x g <=.可见，0a <不符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.注：利用(1)0h a =<，lim ()x h x →+∞=+∞，说明()h x 在(1,)+∞上有零点. 解法五：12()1x f x e x x -≤+--1ln 0x x a x e -⇔--≤.令1()ln x g x x a x e -=--，则()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.（1）先寻求使结论成立的充分条件.由(1)0g =，要使()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.只需要()g x 在[1,)+∞上是减函数，即'()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立. 而1'()10x a g x e x-=--≤1(1)x a x e -⇔≥-， 所以，只需要1(1)x a x e -≥-对任意的1x ≥恒成立.令1()(1)x h x x e -=-，11'()1x x h x e xe --=--11(1)x x e -=-+.显然'()h x 在[1,)+∞上是减函数，所以，当1x ≥时，11'()'(1)1(11)10h x h e -≤=-+=-<.所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以()h x 在[1,)+∞上的最大值max ()(1)0h x h ==.则只需要max ()(1)a h x x ≥≥.可见，当0a ≥时，()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.（2）当0a <时，'(1)0g a =->，(1)1'(1)11a a g a e a ---=--- 121a a e a--=-- 12[1()]1a a a-<-+--（0x >时，1x e x >+） 212(1)1a a a ---=-201a a=-<-. 又0a <时，1'()1x a g x e x--=+-在[1,)+∞上是减函数， 由零点存在定理，存在唯一的(1,1)a x a ∈-，使得'()0a g x =.于是，当(1,)a x x ∈时，'()'()0a g x g x >=，所以()g x 在(1,)a x 上是增函数.所以，当(1,)a x x ∈时，()(1)0g x g >=.可见，0a <不符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.注：0a <时，用'(1)0g a =->，lim '()a x g x →+∞=-∞，说明()h x 在(1,)+∞上有零点. 22.选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22194x y +=. 当1a =时，直线l 的普通方程为2y x =. 由222194y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩.解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 直线l 被曲线C=. （Ⅱ）解法一：11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.由点到直线的距离公式，椭圆3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点(3cos ,2sin )M θθ到直线l ：2100x y --=的距离为d === 其中0θ满足0cos θ=，0sin θ=由三角函数性质知，当00θθ+=时，d取最小值此时，03cos 3cos()10θθ=-=，02sin 2sin()5θθ=-=-. 因此，当点M位于时，点M 到l的距离取最小值解法二：当11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.设与l 平行，且与椭圆22194x y +=相切的直线m 的方程为20x y t -+=. 由2220194x y t x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得2240369360x tx t ++-=. 由判别式22(36)440(936)0t t ∆=-⨯⨯-=，解得t =±所以，直线m的方程为20x y -+=，或20x y --=.要使两平行直线l 与m 间的距离最小，则直线m的方程为20x y --=. 这时，l 与m间的距离d==. 此时点M的坐标为方程组2220194x y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩的解x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 因此，当点M位于时，点M 到直线l的距离取最小值. 23.选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）当4a =时，()34f x x =-. 由343x -<，解得1733x <<. 所以，不等式()3f x <的解集为17{|}33x x <<. （Ⅱ）()()31f x g x x a x +=-++3()13ax x =-++2133a a x x x =-+-++ 13a x x ≥-++（当且仅当3a x =时取等号） ()(1)3a x x ≥--+（当且仅当()(1)03a x x -+≤时取等号） 13a =+. 综上，当3a x =时，()()f x g x +有最小值13a +. 故由题意得113a +>，解得6a <-，或0a >. 所以，实数a 的取值范围为(,6)(0,)-∞-+∞.。
2018年山东省青岛市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年山东省青岛市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝，则A∩B＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|1＜x≤2} 2．（5分）在复平面内，设复数z1，z2对应的点关于虚轴对称，z1＝1+2i（i是虚数单位），则z1z2＝（）A．5B．﹣5C．﹣1﹣4i D．﹣1+4i3．（5分）《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）在如图所示的框图中，若输出S＝360，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（）A．k＞2？B．k＜2？C．k＞3？D．k＜3？5．（5分）若函数为偶函数，则cos2α的值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）＝，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）若x，y满足约束条件的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[2，3]C．[3，+∞）D．[2，+∞）8．（5分）将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在g（x）图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（）A．B．C．D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4B．2C．D．10．（5分）已知直线x﹣2y+a＝0与圆O：x2+y2＝2相交于A，B两点（O为坐标原点），则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，满足，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）＝（）A．log25B．﹣log25C．﹣2D．012．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣m）2+（lnx﹣2m）2，当f（x）取最小值时，则m＝（）A．B．C．D．﹣2ln2二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．（5分）已知＝；14．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，若2sin B＝sin A+sin C，cos B ＝＝4，则b的值为．15．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥面ABD，AB＝3，AD＝1，BD＝，BC＝4，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为．16．（5分）已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且，抛物线的准线l与x轴交于点C，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1CF的面积为，则p的值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝120，且3a4是a6，﹣a5的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n＝log3a2n+1，且{b n}的前n项和为．18．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数少与月份x 之间的回归直线方程；（2）预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下2×2列联表：能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？参考公式：，.（其中n ＝a +b +c +d ）19．（12分）如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱BB 1⊥底面ABC ，BB 1＝4，AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝4，点M ，N 为棱AB ，BC 上的动点，且AM ＝BN ． （1）求证：无论M 在何处，总有B 1C ⊥C 1M ； （2）求三棱锥B ﹣MNB 1体积的最大值．20．（12分）在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点（1，）在双曲线C上．不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为．（1）求动点P的轨迹方程；（2）已知动直线l：y＝kx+m与轨迹P交于不同的两点M、N，且与圆交于不同的两点G、H，当m变化时，恒为定值，求常数k的值．21．（12分）已知函数f（x）＝ae x﹣x﹣a，e＝2.71828…是自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C1的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ＝0，曲线C2的参数方程是（φ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及C2的普通方程；（2）已知点P，直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与曲线C1相交于M、N两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．（1）求函数f（x）的最小值k；（2）在（1）的结论下，若正实数a，b满足，求证：2018年山东省青岛市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝，则A∩B＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|1＜x≤2}【解答】解：集合A＝{x|y＝lnx}＝{x|x＞0}，B＝{x|y＝}＝{x|2﹣x≥0}＝{x|x≤2}，则A∩B＝{x|0＜x≤2}．故选：A．2．（5分）在复平面内，设复数z1，z2对应的点关于虚轴对称，z1＝1+2i（i是虚数单位），则z1z2＝（）A．5B．﹣5C．﹣1﹣4i D．﹣1+4i【解答】解：∵z1＝1+2i，且复数z1，z2对应的点关于虚轴对称，∴z2＝﹣1+2i，∴z1z2＝（1+2i）（﹣1+2i）＝﹣5．故选：B．3．（5分）《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为r，则5﹣r+12﹣r＝13，解得r＝2．∴内切圆的面积为πr2＝4π，∴豆子落在内切圆外部的概率P＝1﹣＝1﹣，故选：C．4．（5分）在如图所示的框图中，若输出S＝360，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（）A．k＞2？B．k＜2？C．k＞3？D．k＜3？【解答】解：当S＝1时不满足退出循环的条件，执行循环体后：S＝6，k＝5，当S＝6时不满足退出循环的条件，执行循环体后：S＝30，k＝4，当S＝30时不满足退出循环的条件，执行循环体后：S＝120，k＝3，当S＝120时不满足退出循环的条件，执行循环体后：S＝360，k＝2，当S＝360时满足退出循环的条件，故判断框中应填入的关于k的判断条件是k＜3？，故选：D．5．（5分）若函数为偶函数，则cos2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数为偶函数，∴α﹣＝±，∴α＝，α＝∴2α＝，2α＝∴cos2α＝cos＝﹣cos＝﹣，cos2α＝cos＝﹣cos＝﹣，故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：令g（x）＝x﹣lnx﹣1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x＝1时，函数g（x）有最小值，g（x）min＝g（0）＝0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．7．（5分）若x，y满足约束条件的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[2，3]C．[3，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：根据线性约束条件作出可行域，如图1所示阴影部分．由解得A（，）作出直线l：x+3y＝0，将直线l向上平移至过点A位置时，z min＝+3×＝2，x+3y的取值范围是[2，+∞）．故选：D．8．（5分）将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在g（x）图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到y＝2sin（4x+），再将所得图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，得到g（x）＝2sin[4（x+）+]＝2sin（4x+），由4x+＝+kπ，k∈Z，得x＝kπ﹣，k∈Z，当k＝0时，离原点最近的对称轴方程为x＝﹣，故选：A．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4B．2C．D．【解答】解：由三视图可得，该几何体为四棱锥D﹣BCC1B1，则该几何体的体积为V＝故选：D．10．（5分）已知直线x﹣2y+a＝0与圆O：x2+y2＝2相交于A，B两点（O为坐标原点），则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：5y2﹣4ay+a2﹣2＝0，直线x﹣2y+a＝0与圆O：x2+y2＝2相交于A，B两点（O为坐标原点），∴△＝16a2﹣20（a2﹣2）＞0，解得：a2＜10．∴y1+y2＝，y1y2＝，⇔x1x2+y1y2＝0，∴（2y1﹣a）（2y2﹣a）+y1y2＝0，∴5y1y2﹣2a（y1+y2）+a2＝0，∴5×﹣2a×+a2＝0，解得a＝．则“”是“”的充分不必要条件．故选：A．11．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，满足，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）＝（）A．log25B．﹣log25C．﹣2D．0【解答】解：定义域为R的奇函数f（x），可得f（﹣x）＝﹣f（x），当x＞0时，满足，可得x＞时，f（x）＝f（x﹣3），则f（1）＝﹣log25，f（2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝log25，f（3）＝f（0）＝0，f（4）＝f（1）＝﹣log25，f（5）＝f（2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝log25，f（6）＝f（3）＝f（0）＝0，f（7）＝f（4）＝f（1）＝﹣log25，f（8）＝f（2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝log25，…f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）＝﹣log25+log25+（0﹣log25+log25）×672+0﹣log25＝﹣log25，故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝（x﹣m）2+（lnx﹣2m）2，当f（x）取最小值时，则m＝（）A．B．C．D．﹣2ln2【解答】解：函数f（x）＝（x﹣m）2+（lnx﹣2m）2的几何意义是点（x，lnx）与点（m，2m）的距离的平方，当直线y＝2x与曲线y＝lnx的切线平行时，f（x）取得最小值，由y＝lnx的导数为y′＝，设与直线y＝2x平行的切线与曲线y＝lnx的切点为（t，lnt），由＝2，可得t＝，切点为（，﹣ln2），由y＝2x和直线y+ln2＝﹣（x﹣），解得交点的横坐标为m＝﹣ln2，故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．（5分）已知＝；【解答】解：由条件可得•＝||•||cos＝2×3×（﹣）＝﹣3，由＝﹣（+），可得||＝＝＝＝，故答案为：．14．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，若2sin B＝sin A+sin C，cos B＝＝4，则b的值为．【解答】解：在△ABC中，2sin B＝sin A+sin C，所以：2b＝a+c，cos B＝＝＝4，则：，由于：sin B＝，所以：ac＝10．所以：，解得：，则：b＝．故答案为：．15．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥面ABD，AB＝3，AD＝1，BD＝，BC＝4，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为．【解答】解：当BC⊥平面ABD时，三棱锥的体积最大．由于：AB＝3，AD＝1，BC＝4，BD＝，所以：BD2+AD2＝AB2，则：△ABD为直角三角形．设外接球的半径为r，则：，解得：，所以球体的体积为：．故答案为：16．（5分）已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且，抛物线的准线l与x轴交于点C，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1CF的面积为，则p的值为2．【解答】解：过B作BB1⊥l于B1，设直线AB与l交点为D，由抛物线的性质可知AA1＝AF，BB1＝BF，CF＝p，设BD＝m，BF＝n，则＝＝，即，∴m＝2n．又，∴＝，∴n＝，∴DF＝m+n＝2p，∴∠ADA1＝30°，又AA1＝3n＝2p，CF＝p，∴A1D＝2p，CD＝p，∴A1C＝p，∴直角梯形AA1CF的面积为（2p+p）•p＝12，解得p＝2．故答案为：2．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝120，且3a4是a6，﹣a5的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n＝log3a2n+1，且{b n}的前n项和为．【解答】解：∵3a4是a6，﹣a5的等差中项．∴a6﹣a5＝6a4；∵{a n}是正数的等比数列，设公比为q，则解得：q＝3或q＝﹣2（舍）由S n ＝，即S4＝120，可得a1＝3．∴数列{a n}的通项公式a n＝3n．（2）数列{b n}满足b n＝log3a2n+1＝2n+1．则数列{b n}的前n项和为T n＝3+5+7+……+2n+1＝n（n+2）那么数列＝＝∴＝＝（）＝18．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数少与月份x之间的回归直线方程；（2）预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下2×2列联表：能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？参考公式：，.（其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（1）利用所给数据，计算＝×（1+2+3+4+5）＝3，＝×（120+105+100+90+85）＝100；＝＝＝﹣8.5，＝﹣＝100﹣（﹣8.5）×3＝125.5；∴y与x之间的回归直线方程＝﹣8.5x+125.5；（2）由（1）中的回归直线方程，计算x＝7时，＝﹣8.5×7+125.5＝66，即预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有66人；（3）由列联表中数据，计算K2＝＝≈5.556＞5.024，由此能判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关．19．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面ABC，BB1＝4，AB⊥BC，且AB＝BC＝4，点M，N为棱AB，BC上的动点，且AM＝BN．（1）求证：无论M在何处，总有B1C⊥C1M；（2）求三棱锥B﹣MNB1体积的最大值．【解答】（1）证明：要证明无论M在何处，总有B1C⊥C1M，只要证明B1C⊥平面AC1B即可，∵BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB，又AB⊥BC，BC∩BB1＝B，∴AB⊥平面BCC1B1，则B1C⊥AB．∵BCC1B1为正方形，∴B1C⊥BC1，又AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面AC1B．则无论M在何处，总有B1C⊥C1M；（2）解：＝．当且仅当BM＝BN＝2时上式“＝”成立．∴三棱锥B﹣MNB1体积的最大值为．20．（12分）在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点（1，）在双曲线C上．不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为．（1）求动点P的轨迹方程；（2）已知动直线l：y＝kx+m与轨迹P交于不同的两点M、N，且与圆交于不同的两点G、H，当m变化时，恒为定值，求常数k的值．【解答】解：（1）点F1、F2分别为（﹣c，0），（c，0），c＞0，由已知＝2，∴c＝2a，∴c2＝4a2，b2＝c2﹣a2＝3a2，∵点（1，）在双曲线C上，∴﹣＝1，则b2﹣a2＝a2b2，即3a2﹣a2＝3a4，解得a2＝，a＝，∴c＝1，连接PQ，∵OF1＝OF2，OP＝OQ，∴四边形PF1QF2为平行四边形，∵四边形PF1QF2的周长为4，∴|PF2|+|PF1|＝2＞|F1F2|＝2，∴动点P的轨迹是以F1，F2分别为左、右焦点，长轴长为2的椭圆，（除去左右定点），（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意：得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，又△＞0，∴|MN|＝•＝2•，又直线l：y＝kx+m到定圆x2+y2＝圆心的距离为d＝，∴|GH|＝2＝2，∴＝•为定值，∴＝λ（λ为定值），化简得[2λ（1+2k2）2﹣（1+k2）2]•m2+（1+k2）（1+2k2）2（1﹣3λ）＝0，∴2λ（1+2k2）2﹣（1+k2）＝0且（1+k2）（1+2k2）2（1﹣3λ）＝0，∴λ＝，∴（1+2k2）2﹣（1+k2）＝0解得k＝±1．21．（12分）已知函数f（x）＝ae x﹣x﹣a，e＝2.71828…是自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）＝ae x﹣1＜0，故x∈R时，f′（x）＜0，f（x）在R递减，当a＞0时，令f′（x）＝0，解得：x＝﹣lna，故x∈（﹣∞，﹣lna），f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣lna）递减，x∈（﹣lna，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（﹣lna，+∞）递增；（2）由（1），当a≤0时，f（x）在R递减，又知f（0）＝0，故f（﹣lna）＜0，取f（﹣2lna）＝+2lna﹣a，再令函数g（a）＝+2lna﹣a，故g′（a）＝﹣＜0，故g（a）＞g（1）＝0，故f（﹣2lna）＞0，f（x）在（﹣lna，﹣2lna）上也有1个零点，当a＝1时，f（x）≥f（0）＝0，故f（x）仅有1个零点，当a＞1时，f（0）＝0，故f（﹣lna）＜0，令函数h（a）＝a﹣lna，a＞1，得h′（a）＝1﹣＞0，h（a）＞h（1）＞0，故a＞lna，﹣a＜﹣lna，取f（﹣a）＝ae﹣a＞0，得f（x）在（﹣a，﹣lna）上也有1个零点，综上，若f（x）恰有2个零点，则a∈（0，1）∪（1，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C1的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ＝0，曲线C2的参数方程是（φ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及C2的普通方程；（2）已知点P，直线l 的参数方程为（t为参数），设直线l与曲线C1相交于M、N 两点，求的值．【解答】解：（1）∵曲线C1的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ＝0，∴ρ2sin2θ﹣4ρcosθ＝0，∴曲线C1的直角坐标方程为y2＝4x．∵曲线C2的参数方程是（φ为参数）．∴C2的普通方程为（x+1）2+y2＝4．（2）将直线l 的参数方程（t为参数）代入y2＝4x，得﹣4＝0，第21页（共22页）设M，N两点对应的参数为t1，t2，则t1+t2＝4，t1t2＝﹣4，∴＝＝＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．（1）求函数f（x）的最小值k；（2）在（1）的结论下，若正实数a，b 满足，求证：【解答】解：（1）∵|x+1|+|x﹣2|≥|x+1﹣x+2|＝3，故函数的最小值是3；（2）由（1），+＝，∵（m2+n2）（c2+d2）﹣（mc+nd）2＝m2d2+n2c2﹣2mncd＝（md﹣nc）2≥0，故（+）[12+]≥（×1+×）2＝3，故+≥2．第22页（共22页）。
届青岛市高考文科数学二模拟试卷及答案
届青岛市高考文科数学二模拟试卷及答案2018届青岛市高考文科数学二模拟试卷及答案多做一些数学模拟试卷，能让你更熟悉高考数学的题型，以下是店铺为你整理的2018届青岛市高考文科数学二模拟试卷，希望能帮到你。
2018届青岛市高考文科数学二模拟试卷题目一、选择题：(本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的)1.已知集合M={x|x2﹣4x<0}，N={x||x|≤2}，则M∪N=()A.(﹣2，4)B.[﹣2，4)C.(0，2)D.(0，2]2.在复平面内，复数z= ﹣2i3(i为虚数单位)表示的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.命题p：∀a∈(0，1)∪(1，+∞)，函数f(x)=loga(x﹣1)的图象过点(2，0)，命题q：∃x∈N，x3A.p假q假B.p真q假C.p假q真D.p真q真4.如图中的三个直角三角形是一个体积为35cm3的几何体的三视图，则侧视图中的h( )A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm5.已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是( )A.4B.C.D.6.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a= ，b+c=3，则△ABC的面积为( )A. B. C. D.27.将函数f(x)= cos(πx)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调区间是( )A.[4k+1，4k+3](k∈Z)B.[2k+1，2k+3](k∈Z)C.[2k+1，2k+2](k∈Z)D.[2k﹣1，2k+2](k∈Z)8.若直线2mx﹣ny﹣2=0(m>0，n>0)过点(1，﹣2)，则+ 最小值( )A.2B.6C.12D.3+29.已知函数f(x)= x2+cosx，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是( )A. B. C. D.10.点F为双曲线C：﹣ =1(a，b>0)的焦点，过点F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，与另一条渐近线交于点B.若3 + =0，则双曲线C的离心率是( )A. B. C. D.二、填空题：(本题共5个小题，每小题5分，共25分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置)11.在△ABC中，若b=1，c= ，∠C= ，则a= .12.已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为.13.双曲线的离心率为2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是.14.已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为.15.给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”;②函数y=f(x)的定义域为(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)，其图象上任一点P(x，y)满足x2﹣y2=1，则函数y=f(x)可能是奇函数;③若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2< 成立的概率是④函数y=log2(x2﹣ax+2)在[2，+∞)恒为正，则实数a的取值范围是(﹣∞， ).其中真命题的序号是.(请填上所有真命题的序号)三、解答题(共6个题，共75分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置)16.植树节期间我市组织义工参加植树活动，为方便安排任务将所有义工按年龄分组：第l组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的部分频率分布表如下：区间人数频率第1组 [25，30) 50 0.1第2组 [30，35) 50 0.1第3组 [35，40) a 0.4第4组 [40，45) 150 b(1)求a，b的值;(2)现在要从年龄较小的第l，2，3组中用分层抽样的方法随机抽取6人担任联系人，在第l，2，3组抽取的义工的人数分别是多少?(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人担任本次活动的宣传员，求至少有1人年龄在第3组的概率.17.现有A，B，C三种产品需要检测，产品数量如表所示：产品 A B C数量 240 240 360已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了7件.(I)求三种产品分别抽取的件数;(Ⅱ)已知抽取的A，B，C三种产品中，一等品分别有1件，2件，2件.现再从已抽取的A，B，C三种产品中各抽取1件，求3件产品都是一等品的概率.18.如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点.(Ⅰ)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1;(Ⅱ)若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1﹣AEF的体积.19.已知数列{an}中，a1=2，且 .(I)求证：数列{an﹣1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=n(an﹣1)，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：1≤Sn<4.20.已知椭圆C：，离心率为 .(I)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)设椭圆C的下顶点为A，直线l过定点，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|AM|=|AN|.求直线l的方程.21.已知椭圆C：+ =1(a>b>0)的左焦点F1与抛物线y2=﹣4 x 的焦点重合，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点.当直线l经过椭圆C的一个短轴端点时，与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切.(1)求椭圆C的方程;(2)是否在x轴上存在定点M，使• 为定值?若存在，请求出定点M及定值;若不存在，请说明理由.2018届青岛市高考文科数学二模拟试卷答案一、选择题：(本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的)1.已知集合M={x|x2﹣4x<0}，N={x||x|≤2}，则M∪N=()A.(﹣2，4)B.[﹣2，4)C.(0，2)D.(0，2]【考点】1D：并集及其运算.【分析】先求出集合M，N，再根据并集的定义求出即可.【解答】解：集合M={x|x2﹣4x<0}=(0，4)，N={x||x|≤2}=[﹣2.2].∴M∪N=[﹣2，4)，故选：B2.在复平面内，复数z= ﹣2i3(i为虚数单位)表示的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】A5：复数代数形式的`乘除运算.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求.【解答】解：∵z= ﹣2i3= ，∴z在复平面内对应的点的坐标为：(1，3)，位于第一象限.故选：A.3.命题p：∀a∈(0，1)∪(1，+∞)，函数f(x)=loga(x﹣1)的图象过点(2，0)，命题q：∃x∈N，x3A.p假q假B.p真q假C.p假q真D.p真q真【考点】2K：命题的真假判断与应用;4N：对数函数的图象与性质.【分析】根据指数函数的单调性及幂函数图象和性质，分析命题p，q的真假，可得答案.【解答】解：当x=2时，loga(x﹣1)=loga1=0恒成立，故命题p：∀a∈(0，1)∪(1，+∞)，函数f(x)=loga(x﹣1)的图象过点(2，0)，为真命题;∀x∈N，x3≥x2恒成立，故命题q：∃x∈N，x3故选：B4.如图中的三个直角三角形是一个体积为35cm3的几何体的三视图，则侧视图中的h( )A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm【考点】L7：简单空间图形的三视图.【分析】由已知中的三视图得几何体是三棱锥，计算出底面面积，由锥体体积公式，即可求出高.【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是三棱锥，其底面面积为S= ×5×6=15，高为h，所以该几何体的体积为S= Sh= ×15h=35，解得h=7(cm).故选：C.5.已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是( )A.4B.C.D.【考点】7C：简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A(1，1)，此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B(a，a)，此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a= .故选：D.6.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a= ，b+c=3，则△ABC的面积为( )A. B. C. D.2【考点】HR：余弦定理;HP：正弦定理.【分析】由余弦定理可得：a2=(b+c)2﹣2bc﹣2bccosA，代入已知从而解得：bc的值，由三角形面积公式S△ABC= bcsinA即可求值.【解答】解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣2bc﹣2bccosA，∴代入已知有：3=9﹣3bc，从而解得：bc=2，∴S△ABC= bcsinA= = ，故选：B.7.将函数f(x)= cos(πx)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调区间是( )A.[4k+1，4k+3](k∈Z)B.[2k+1，2k+3](k∈Z)C.[2k+1，2k+2](k∈Z)D.[2k﹣1，2k+2](k∈Z)【考点】HJ：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】根据图象的变换规则逐步得出函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解.【解答】解：∵将函数f(x)= cos(πx)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数解析式为：y= cos( πx);再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数的解析式为：g(x)= cos[ π(x﹣1)];∴可得：，∵由2k ≤ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得：4k+1≤x≤4k+3，k∈Z，可得函数g(x)的单调递减区间是：[4k+1，4k+3]，k∈Z，由2kπ﹣≤ ≤2k ，k∈Z，解得：4k﹣1≤x≤4k+1，k∈Z，可得函数g(x)的单调递增区间是：[4k﹣1，4k+1]，k∈Z，对比各个选项，只有A正确.故选：A.8.若直线2mx﹣ny﹣2=0(m>0，n>0)过点(1，﹣2)，则+ 最小值( )A.2B.6C.12D.3+2【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用.【分析】根据直线2mx﹣ny﹣2=0(m>0，n>0)过点(1，﹣2)，建立m，n的关系，利用基本不等式即可求 + 的最小值.【解答】解：∵直线2mx﹣ny﹣2=0(m>0，n>0)过点(1，﹣2)，∴2m+2n﹣2=0，即m+n=1，∵ + =( + )(m+n)=3+ + ≥3+2 ，当且仅当 = ，即n= m时取等号，∴ + 的最小值为3+2 ，故选：D.9.已知函数f(x)= x2+cosx，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是( )A. B. C. D.【考点】3O：函数的图象.【分析】由于f(x)= x2+cosx，得f′(x)= x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x= 代入f′( )= ﹣sin = ﹣1<0，排除C，只有A适合.【解答】解：由于f(x)= x2+cosx，∴f′(x)= x﹣sinx，∴f′(﹣x)=﹣f′(x)，故f′(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x= 时，f′( )= ﹣sin = ﹣1<0，排除C，只有A适合，故选：A.10.点F为双曲线C：﹣ =1(a，b>0)的焦点，过点F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，与另一条渐近线交于点B.若3 + =0，则双曲线C的离心率是( )A. B. C. D.【考点】KC：双曲线的简单性质.【分析】联立直线方程解得A，B的坐标，再由向量共线的坐标表示，解得双曲线的a，b，c和离心率公式计算即可得到所求值.【解答】解：双曲线C：﹣ =1的渐近线方程为y=± x，设F(c，0)，由OA⊥FA，且OA的方程为y= x，OB的方程为y=﹣ x，直线AB的方程为y=﹣ (x﹣c)，由解得A( ， )，由解得B( ，﹣ )由3 + =0，即3 + = ，即3( ﹣c， )+( ﹣c，﹣ )=0可得3( ﹣c)+ ﹣c=0，即3a2+ =4c2，由b2=c2﹣a2，化简可得3a4﹣5a2c2+2c4=0，即(a2﹣c2)(3a2﹣2c2)=0，即a2=c2，(舍)或3a2=2c2，即c2= a2，c= a= a，可得e= = .故选：B.二、填空题：(本题共5个小题，每小题5分，共25分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置)11.在△ABC中，若b=1，c= ，∠C= ，则a= 1 .【考点】HT：三角形中的几何计算.【分析】先根据b，c，∠c，由正弦定理可得sinB，进而求得B，再根据正弦定理求得a.【解答】解：在△ABC中由正弦定理得，∴sinB= ，∵b故B= ，则A=由正弦定理得∴a= =1故答案为：112.已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为 5 .【考点】7C：简单线性规划.【分析】作出可行域，平行直线可得直线过点A(3，0)时，z取最大值，代值计算可得.【解答】解：作出不等式组，所对应的可行域(如图阴影)，变形目标函数z=2x+y可得y=﹣2x+z，由，可得A(2，1)平移直线y=﹣2x可知，当直线经过点A(2，1)时，z取最大值，代值计算可得z=2x+y的最大值为：5.故答案为：5.13.双曲线的离心率为2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是3 .【考点】KC：双曲线的简单性质.【分析】求得双曲线的a=3，由离心率公式可得c=6，解得b，求出渐近线方程和焦点，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值.【解答】解：双曲线的a=3，c= ，由e= =2，即有c=2a=6，即 =6，解得b=3 .渐近线方程为y=± x，即为x±3y=0，则双曲线的焦点(0，6)到渐近线的距离是 =3 .故答案为：3 .14.已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为.【考点】CF：几何概型.【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积.欲求取到的点P到M的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可.【解答】解：根据几何概型得：取到的点到M的距离小1的概率：p= == = .故答案为： .15.给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”;②函数y=f(x)的定义域为(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)，其图象上任一点P(x，y)满足x2﹣y2=1，则函数y=f(x)可能是奇函数;③若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2< 成立的概率是④函数y=log2(x2﹣ax+2)在[2，+∞)恒为正，则实数a的取值范围是(﹣∞， ).其中真命题的序号是①②④.(请填上所有真命题的序号)【考点】2K：命题的真假判断与应用.【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断.②根据函数奇偶性的定义和性质结合双曲线的图象进行判断.③根据几何概型的概率公式进行判断.④利用不等式恒成立，利用参数分离法进行求解判断即可.【解答】解：①命题“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”;故①正确，②函数y=f(x)的定义域为(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)，其图象上任一点P(x，y)满足x2﹣y2=1，则函数y=f(x)可能是奇函数;正确，当点P 的坐标满足y= 时，函数f(x)为奇函数.故②正确，③若a，b∈[0，1]，则不等式成立的概率是 .如图.所以③错误④因为函数y=log2(x2﹣ax+2)在[2，+∞)上恒为正，所以在[2，+∞)上x2﹣ax+2>1恒成立，即：在[2，+∞)上恒成立，令，因为x≥2，所以，所以g(x)在[2，+∞)上为增函数，所以：当x=2时，g(x)的最小值为g(2)= ，所以 .则实数a的取值范围是(﹣∞， ).故④正确，故答案为：①②④三、解答题(共6个题，共75分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置)16.植树节期间我市组织义工参加植树活动，为方便安排任务将所有义工按年龄分组：第l组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的部分频率分布表如下：区间人数频率第1组 [25，30) 50 0.1第2组 [30，35) 50 0.1第3组 [35，40) a 0.4第4组 [40，45) 150 b(1)求a，b的值;(2)现在要从年龄较小的第l，2，3组中用分层抽样的方法随机抽取6人担任联系人，在第l，2，3组抽取的义工的人数分别是多少?(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人担任本次活动的宣传员，求至少有1人年龄在第3组的概率.【考点】B7：频率分布表.【分析】(1)根据频率= 求出参加活动的总人数，再求a、b的值;(2)计算分层抽样的抽取比例，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数;(3)利用列举法写出从6人中随机抽取2人的所有基本事件，再用对立事件的概率公式计算对应的概率即可.【解答】解：(1)根据题意知，50÷0.1=500，所以共有500人参加活动;a=500×0.4=200，b= =0.3;(2)因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为6× =1，第2组的人数为6× =1，第3组的人数为6× =4，∴第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人;(3)由(2)可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共有15种.其中2人年龄都不在第3组的有：(A，B)，共1种;所以至少有1人年龄在第3组的概率为P=1﹣ = .17.现有A，B，C三种产品需要检测，产品数量如表所示：产品 A B C数量 240 240 360已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了7件.(I)求三种产品分别抽取的件数;(Ⅱ)已知抽取的A，B，C三种产品中，一等品分别有1件，2件，2件.现再从已抽取的A，B，C三种产品中各抽取1件，求3件产品都是一等品的概率.【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率;B3：分层抽样方法.【分析】(I)设出A、B产品均抽取了x件，利用分层抽样时对应的比例相等，列出方程求出x的值即可;(Ⅱ)对抽取的样本进行编号，利用列举法求出对应的事件数，计算概率即可.【解答】解：(I)设A、B产品均抽取了x件，则C产品抽取了7﹣2x件，则有： = ，解得x=2;所以A、B产品分别抽取了2件，C产品抽取了3件;(Ⅱ)记抽取的A产品为a1，a2，其中a1是一等品;抽取的B产品是b1，b2，两件均为一等品;抽取的C产品是c1，c2，c3，其中c1，c2是一等品;从三种产品中各抽取1件的所有结果是{a1b1c1}，{a1b1c2}，{a1b1c3}，{a1b2c1}，{a1b2c2}，{a1b2c3}，{a2b1c1}，{a2b1c2}，{a2b1c3}，{a2b2c1}，{a2b2c2}，{a2b2c3}共12个;根据题意，这些基本事件的出现是等可能的;其中3件产品都是一等品的有：{a1b1c1}，{a1b1c2}，{a1b2c1}，{a1b2c2}共4个;因此3件产品都是一等品的概率P= = .18.如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点.(Ⅰ)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1;(Ⅱ)若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1﹣AEF的体积.【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积;LY：平面与平面垂直的判定.【分析】(I)由BB1⊥平面ABC可知BB1⊥AE，又AE⊥BC可得AE⊥平面BCC1B1，从而平面AEF⊥平面B1BCC1;(II)由(1)知AE为棱锥A﹣B1EF的高.于是V =V = .【解答】解：(I)∵BB1⊥面ABC，AE⊂平面ABC，∴AE⊥BB1，∵E是正三角形ABC的边BC的中点，∴AE⊥BC，又∵BC⊂平面B1BCC1，B1B⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1.(II)∵三棱柱所有的棱长均为2，∴AE= ，∴S =2×2﹣﹣ = ，由(I)知AE⊥平面B1BCC1∴ .19.已知数列{an}中，a1=2，且 .(I)求证：数列{an﹣1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=n(an﹣1)，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：1≤Sn<4.【考点】8E：数列的求和;88：等比数列的通项公式.【分析】(I)利用递推关系变形可得an﹣1= ，即可证明;(II)利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可证明.【解答】证明：(I) ，又a1﹣1=1≠0∴数列{an﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列.∴ ，得 .(II) ，设…①则…②①﹣②得：，∴ ，，又，∴数列{Sn}是递增数列，故Sn≥S1=1，∴1≤Sn<4.20.已知椭圆C：，离心率为 .(I)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)设椭圆C的下顶点为A，直线l过定点，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|AM|=|AN|.求直线l的方程.【考点】K4：椭圆的简单性质.【分析】(I)由离心率公式和点满足椭圆方程，及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程;(Ⅱ)讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线的方程为y=kx+ (k≠0)，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再由|AM|=|AN|，运用两点的距离公式，化简整理可得k的方程，解方程可得k，进而得到所求直线方程.【解答】解：(I)由题意可得e= = ，+ =1，且a2﹣b2=c2，解得a= ，b=1，即有椭圆的方程为 +y2=1;(Ⅱ)若直线的斜率不存在，M，N为椭圆的上下顶点，即有|AM|=2，|AN|=1，不满足题设条件;设直线l：y=kx+ (k≠0)，与椭圆方程 +y2=1联立，消去y，可得(1+3k2)x2+9kx+ =0，判别式为81k2﹣4(1+3k2)• >0，化简可得k2> ，①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得x1+x2=﹣，y1+y2=k(x1+x2)+3=3﹣ = ，由|AM|=|AN|，A(0，﹣1)，可得= ，整理可得，x1+x2+(y1+y2+2)( )=0，(y1≠y2)即为﹣+( +2)•k=0，可得k2= ，即k=± ，代入①成立.故直线l的方程为y=± x+ .21.已知椭圆C：+ =1(a>b>0)的左焦点F1与抛物线y2=﹣4 x 的焦点重合，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点.当直线l经过椭圆C的一个短轴端点时，与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切.(1)求椭圆C的方程;(2)是否在x轴上存在定点M，使• 为定值?若存在，请求出定点M及定值;若不存在，请说明理由.【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题;K3：椭圆的标准方程.【分析】(1)求得抛物线的焦点坐标，可得c= ，即a2﹣b2=3，求得直线经过(﹣c，0)和(0，b)的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，结合离心率公式可得b，a，进而得到椭圆方程;(2)假设直线l的斜率存在，设直线的方程为y=k(x+ )，代入椭圆方程x2+4y2=4，可得x的方程，运用韦达定理，设出M(m，0)，运用向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合定值，可得m，以及向量数量积的值;再讨论直线l的斜率不存在，求得A，B，验证成立.【解答】解：(1)抛物线y2=﹣4 x的焦点为(﹣，0)，由题意可得c= ，即a2﹣b2=3，由直线l经过(﹣c，0)和(0，b)，可得直线l：bx﹣cy+bc=0，直线l与原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切，可得=e= = ，解得b=1，则a=2，即有椭圆的方程为 +y2=1;(2)当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y=k(x+ )，代入椭圆方程x2+4y2=4，可得(1+4k2)x2+8 k2x+12k2﹣4=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1+x2=﹣，x1x2= ，设M(m，0)， =(m﹣x1，﹣y1)， =(m﹣x2，﹣y2)，• ═(m﹣x1)(m﹣x2)+y1y2=m2﹣m(x1+x2)+x1x2+k2(x1+ )(x2+ )=m2+( k2﹣m)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+3k2=m2+( k2﹣m)(﹣)+(1+k2)• +3k2= ，要使• 为定值，则 =4，解得m=﹣，即有• =﹣ .当直线l的斜率不存在时，A(﹣，﹣ )，B(﹣， )，=(﹣， )， =(﹣，﹣ )，可得• =﹣ .则在x轴上存在定点M(﹣，0)，使得• 为定值﹣ .。
年山东省春季高考数学模拟试题
2018年春季高考模拟考试数学试题注意事项:1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，将 本试卷和答题卡一并交回.2.本次考试允许使用函数型计算器.凡使用计算器的题目.最后结果精确到0.0 1.第I 卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共20个小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要 求.请将符合题目要求的选项选出)1 .设集合 wZ I-3v 〃?V2},N={〃 eZI —〃W3},则 MClN=().2.已知xyeR.则 “ry>0” 是 “x>0且y>0” 的((A)充分不必要条件M B)必要不充分条件 (C)充要条件。
(D)既不充分也不必要条件 3.函数/。
) = &7二1+怆(1-工)的定义域为(4 3 (C) -o (D)-3 45直线4：3-1)。
+万3 = 0和/2：3工+砂+ 2 = 0垂直,则实数"的值为()1 3 13(A)—。
(8)二 (C)-o(D)-224 46.已知点A(-l, 1),8(— 4, 5),若以3 = 3函，则点C 的坐标为()(/) (-10,1 3)⑻(9,-1 2 >(0(-5, 7 X/))(5, -7)1- x 27.已知函数g(x) = l — 2x,/lg(x)] = ^-(xH0)则/(0)等于()33 (/) 3⑻ 3(C)-⑼--228.甲乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s 与时间，的函数 s(A) {0, (B){ 0 J, 2 9 (-1 , 0,1}一 ,+8 2(£?) [h+oo)关系如图所示，则下列说法正确的是()11.函数y = sinxsin 弓-X)的最小正周期是((C) 2几人D) 441 2 .从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期天参加某项公益活动，每人一天，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率是((A)二 3(B) — 12 1213 .某工厂去年的产值为16 0万元，计划在今后五年内，每一年比上一年产值增加5%,那么从今年起到第五年这个工厂的总产值是(14.直线x+y-2 = 0与圆(十一1尸+(1-2)2 = 1相交于A ,B 两点,则弦IA8I=()(/)甲比乙先出发(B)乙比甲跑的路程多(C)甲、乙两人的速度相同(。
山东省2018年普通高校招生(春季)考试数学试题(解析版) (2)
，所以
,
选 C.
点睛：数列递推关系式也是数列一种表示方法，可以按顺序求出所求的项.
6. 在如图所示的平面直角坐标系中，向量 的坐标是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
分析：先根据图形得 A,B 坐标，再写出向量 AB.
详解：因为 A(2,2),B(1,1)，所以
选 D.
点睛：向量坐标表示：
向量平行：
的局部图像如图所示，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
分析：根据奇函数性质将 ， 转化到 ， ,再根据图像比较大小得结果.
详解：因为奇函数
，所以
,
因为 >0> ，所以
,即
，
选 A.
点睛：奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．
4. 不等式
的解集是（ ）
2. 函数 A.
的定义域是（ ） B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
分析：根据偶次根式下被开方数非负以及分母不为零列方程组，解方程组得定义域.
详解：因为 所以定义域为
，所以 ，
选 D.
点睛：求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大
于零，实际意义等.
3. 奇函数
分析：根据 A,B 符号讨论不等式
表示的区域，再对照选择.
详解：当
时，所以不等式
表示的区域直线
上方部分且
含坐标原点，即 B；当
时，所以不等式
表示的区域直线
方部分且不含坐标原点；当
时，所以不等式
2018年5月青岛市高考二模文科数学试题及答案
2018年青岛市高考模拟检测数学（文科）本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{|ln },{|A x y x B x y ====，则A B =A ．{|02}x x <≤B ．{|02}x x ≤<C ．{|12}x x ≤<D ．{|12}x x <≤ 2．在复平面内，设复数1z ，2z 对应的点关于虚轴对称，112z i =+（i 是虚数单位）， 则12z z =A ．5B ．5-C ．14i --D ．14i -+3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A ．215πB ．320πC ．2115π-D ．3120π- 4. 在如图所示的框图中，若输出360S =，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是A ．2?k >B ．2?k <C ．3?k >D ．3?k <5．若函数()sin()12f x x πα=+-为偶函数，则cos2α的值为A. 12-B. 12C.D.6．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图像大致为7．若x xx ⎧⎪⎨⎪⎩3+ C. 8．将函数()=2sin(2+)3f x x π图像上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为 A ．24x π=- B ．4x π= C ．524x π= D ．12x π=9．某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为A ．4B ．2C ．43 D ．2310．已知直线20x y a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点）， 则“a =”是“0OA OB ⋅=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >则(1)(2)(3)(2020)f f f f +++⋅⋅⋅+= A ．2log 5B ．2log 5-C ．2-D ．012．已知函数22()()(ln 2)f x x m x m =-+-，当()f x 取最小值时，则m = A ．12 B ．1ln 22-- C ．12ln 2105- D ．2ln2- 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．正视图侧视图A B D13．已知||2,||3a b ==，a 与b 的夹角为23π，且0a b c ++=，则||c = ； 14．在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，若2sin sin sin ,B A C =+3cos 5B =且4ABC S ∆=，则b 的值为 ； 15．已知三棱锥A BCD -中，BC ⊥面ABD，3,1,4AB AD BD BC ====，则三棱锥A BCD -外接球的体积为 ；16．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，抛物线的准线l与x 轴交于点C ，1AA l ⊥于点1A ，若四边形1AA CF的面积为p 的值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4120S =，且43a 是6a ，5a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足321log n n b a +=，且{}n b 的前n 项和为n T ，求12111nT T T +++. 18．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》 第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆybx a =+； （2）预测该路口 7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的参考公式：1122211()()ˆˆˆ,()n ni iiii i nni ii i x y nx y x x y y bay bx x nxx x ====---===---∑∑∑∑. 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++） 19．（12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1BB ⊥底面ABC ，14BB =，AB BC ⊥，且4AB BC ==，点,M N 分别为棱,AB BC 上的动点，且AM BN =.（1）求证：无论M 在何处，总有11B C C M ⊥； （2）求三棱锥1B MNB -体积的最大值.20．（12分）在平面直角坐标系中，点1F 、2F分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点3(1,)2在双曲线C 上.不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形12PF QF 的周长为.（1）求动点的轨迹方程；（2）已知动直线:l y kx m =+与轨迹P 交于不同的两点M N 、, 且与圆223:2W x y +=交于不同的两点G 、H ，当m 变化时，||||MN GH 恒为定值， 求常数k 的值.21．（12分）已知函数,)(a x ae x f x--= 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数. （1）讨论函数)(x f 的单调性;（2）若)(x f 恰有2个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修44-：坐标系与参数方程（10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线1C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，曲线2C 的参数方程是12cos 2sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程及2C 的普通方程；（2）已知点1(,0)2P ，直线l的参数方程为1222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设直线l 与曲线1C 相交于,M N 两点，求11||||PM PN +的值． 23．选修45-：不等式选讲（10分） 已知函数()|1||2|f x x x =++-. （1）求函数()f x 的最小值k ；（2）在（1）的结论下，若正实数,a b满足11a b +=22122a b+≥.2018年青岛市高考模拟检测数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． A B C D C B D A D A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 131415．1256π 16． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分） 解：（1）43a 是6a ，5a -的等差中项，4656a a a ∴=-,设数列{}n a 的公比为q ，则3541116a q a q a q =-260q q ∴--=，解得3q =或2q =-（舍）；…………………………………………3分 4141(1)401201a q S a q -∴===-，13a ∴=所以3nn a =…………………………………………………………………………………6分（2）由已知得213log 321n n b n +==+； 所以3521(2)n T n n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=+，………………………………………………8分1231111n T T T T ∴+++⋅⋅⋅+1311()2212n n =--++………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（1）由表中数据知，3,100x y ==，…………………………………………………1分∴1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑141515008.55545-==--，……………………………………………4分ˆ125.5ay bx =-=， ∴所求回归直线方程为ˆ8.5125.5yx =-+ ………………………………………………6分 （2）由（1）知，令7x =，则ˆ8.57125.566y=-⨯+=人. …………………………8分 （3）由表中数据得2250(221288)50302030209K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 5.556 5.024≈>，根据统计有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关．………………12分19．（本小题满分12分）解：（1）要证明无论M 在何处，总有11B C C M ⊥只要证明1B C ⊥面1AC B 即可1BB ⊥底面ABC1BB AB ∴⊥，又AB BC ⊥，1BC B B B =∴AB ⊥面11BCC B ，……………3分11BCC B 为正方形11B C BC ∴⊥又1ABBC B =1B C ∴⊥面1AC B原命题得证…………………………………………………………………………6分（2）11B MNB B BMN V V --=11432BM BN =⋅⋅⋅ ∴三棱锥1B MNB -体积的最大值为83……………………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（1）设点1F 、2F 分别为(,0),(,0)(0)c c c ->由已知2ca=，所以2c a =，224c a =，22223b c a a =-= 又因为点3(1,)2在双曲线C 上，所以229141a b -= 则222294b a a b -=，即2249334a a a -=，解得214a =，12a =所以1c =………………………………………………………………………………………3分 连接PQ ，因为12,OF OF OP OQ ==，所以四边形12PF QF 为平行四边形因为四边形12PF QF 的周长为所以21122PF PF F F +=>=所以动点P 的轨迹是以点1F 、2F 分别为左、右焦点， 长轴长为可得动点P 的轨迹方程为：221(0)2x y y +=≠…………………………………………5分 （2）设11(,)M x y ,22(,)N x y ,由题意：2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：0224)21222=-+++m kmx x k （， 所以2121222422,1+21+2km m x x x x k k-+=-=又0∆>；………………………………………6分 所以MN ==22222)21()21)(1(22k m k k +-++=……………………………………………………………8分 又直线m kx y l +=:到定圆2322=+y x 圆心的距离为21km d +=，所以GH ==…………………………………………………10分因为MNGH = 所以设22222222(1)(12)((12)(332)k k m k k m λλ++-=++-为定值) 化简得22222222222[2(12)(1)](1)(12)3(12)(1)0k k m k k k k λλ+-++++-++= 所以22222(12)(1)0k k λ+-+=且222222(1)(12)3(12)(1)0k k k k λ++-++= 解得1k =±…………………………………………………………………………………12分 21．（本小题满分12分） 解：（1）1)(-='xae x f , ……………………………………………………………………1分当0≤a 时,，01)(<-='x ae x f所以(,),()0,()x f x f x '∈-∞+∞<在(,)-∞+∞上单调递减；…………………………2分 当0>a 时,，01)(=-='xae x f 得ln x a =-；所以(,ln ),()0,()x a f x f x '∈-∞-<在(,ln )a -∞-上单调递减；(ln ),()0,()x a f x f x '∈-+∞>，在(ln )a -+∞，上单调递增；…………………………4分 （2）由题（1）知： 当0≤a 时,所以)(x f 在(,)-∞+∞上单调递减；又知 0)0(=f ，所以)(x f 仅有1个零点； ……………………………………………5分 当10<<a 时,0)0(=f , 所以0)ln (<-a f ，取,ln 21)ln 2(a a a a f -+=-再令函数,ln 21)(a a a a g -+=得,0)1()(22<--='a a a g所以()(1)0,g a g >=所以0ln 21)ln 2(>-+=-a a aa f 得)(x f 在)ln 2,ln (a a --上也有1个零点………8分当1=a 时,,0)0()(=≥f x f 所以)(x f 仅有1个零点， ………………………………9分 当1>a 时,0)0(=f 所以0)ln (<-a f ，令函数1,ln )(>-=a a a a h 得,011)(>-='aa h 所以()(1)0,h a h >>所以a a a a ln ,ln -<-∴>取,0)(>=--aae a f 得)(x f 在)ln ,(a a --上也有1个零点综上知：若)(x f 恰有2个零点，则(0,1)(1,)a ∈+∞. ………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程 解：（1）因为2sin 4cos 0ρθθ-=，所以22sin 4cos 0ρθρθ-=，所以24y x = ……………………………………………2分因为12cos 2sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=⎩，所以22(1)4x y ++=……………………………………………4分（2）将直线l的参数方程1222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =得，240t --=设,M N 两点对应的参数为12,t t则12124t t t t +==-……………………………………………………………………6分所以1212121212||||||1111||||||||||||t t t t PM PN t t t t t t +-+=+==12==…………………………………………………………………10分23．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 解：（1）因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=所以函数()f x 的最小值为3…………………………………………………………………5分（2）由（1）知，11a b+因为2222222222()()()2()0m n c d mc nd m d n c mcnd md nc ++-+=+-=-≥所以22222121()[1](13a b a ++≥⨯+= 所以22122a b +≥ ……………………………………………………………………………10分。
2018年山东春季高考数学真题含答案
(A) 第一象限
8.
(
(C)
第三象限
(D) 第四象限
)
已知 , ∈ ，则“ > ”是“2 > 2 ”的 ( )
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C)
9.
(B) 第二象限
(D) −3
充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
关于直线 ： − √3 + 2 = 0 ，下列说法正确的是 ( )
)
!)
(A) 向右平移 个单位
(B) 向右平移 个单位
*
"$
第2页,共4页
)
(C) 向左平移
*
!)
个单位
(D) 向左平移
"$
个单位
卷二（非选择题，共 60 分）
二、 填空题（本大题 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。请将答案填在答题卡相应题号的横线上）
停放在不同车位，则至少有 2 辆汽车停放在相邻车位的概率是 ( )
!
"!
&
'
(A)
(B)
(C)
(D)
"#
$%
"#
(
19. 已知矩形 ， = 2 ，把这个矩形分别以 、 所在直线为轴旋转一周，
所围成几何体的侧面积分别记为 # 、% ，则 # 与 % 的比值等于 ( )
, 0 G ∪ F 0 , G
10
10
10 10
(C) ( −10 , 0 ) ∪ ( 0 , 10 )
(D) (−10 , 10)
在数列 {$ } 中，# = −1 ，% = 0 ，$&% = $&# + $ ，则 ' 等于 ( )
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青岛市2018年春季高考第二次模拟考试数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求的选项选出）1. 已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，又因为，所以,故选A.2. 命题“对任意，都有”的否定为（）A. 对任意，都有B. 存在，使得C. 存在，使得D. 不存在，使得【答案】B【解析】因为全称命题的否定是特称命题，命题“对任意，都有”的否定为“存在，使得”，故选B.3. 已知的解集是，则实数，的值是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】分析：先解不等式，再列方程组得实数a,b的值.详解：由题得-b＜x-a＜b,所以a-b＜x＜a+b，因为的解集是，所以a-b=-3且a+b=9,所以a=3,b=6.故答案为：D点睛：(1)本题主要考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)绝对值不等式|ax+b|<c等价于-c＜ax+b＜c. |ax+b|＞c等价于ax+b>c或ax+b＜-c.4. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求出f(x)的解析式，再求f(1)的值.详解：设2x=t,则f(t)=,所以f(1)=,故答案为：C点睛：（1）本题主要考查函数解析式的求法和函数求值,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)本题是已知复合函数的解析式求原函数的解析式，所以用换元法求原函数的解析式.5. 下列函数是偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用偶函数的定义判断函数的奇偶性.详解：对于选项A,，所以函数是偶函数.点睛：（1）本题主要考查函数奇偶性的判断，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2)判断函数的奇偶性，一般利用定义法，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.6. 已知方程的两个根为，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先由题得到韦达定理，再求的值.详解：由题得故答案为：C点睛：（1）本题主要考查指数的运算，意在考查学生对该知识的掌握能力.(2)韦达定理是高中数学中常用的考点，方程的两根为则7. 已知等差数列中，若，则它的前项和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用等差数列的性质求和.详解：由题得故答案为：D点睛：(1)本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和转化能力.(2)等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项.8. 已知，，，则点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先设点D(x,y)，再利用已知求点D的坐标.详解：设点D(x,y)，所以（x+1,y-3），=（10，-6），所以，解之得x=9,y=-3.所以点D 的坐标为（9，-3）.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查向量的坐标表示和运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)则.9. 要得到函数的图象,需要将函数的图象作怎样的平移才能得到（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移【答案】D【解析】分析：直接利用三角函数图像的平移知识解答.详解：由题得x=,所以需要将函数的图象向右平移得到.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查三角函数图像的变换，意在考查学生对该知识的掌握能力. (2) 平移变换：左加右减，上加下减,把函数向左平移个单位，得到函数的图像. 把函数向右平移个单位，得到函数的图像.10. 如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由∠ACB与∠BAC，求出∠ABC的度数，根据sin∠ACB，sin∠ABC，以及AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长．详解：在△ABC中，AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，即∠ABC=30°，则由正弦定理，得AB=故答案为：A点睛：（1）本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 求解三角形应用题的一般步骤：①分析：分析题意，弄清已知和所求；②建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；③求解：正确运用正、余弦定理求解；④检验：检验上述所求是否符合实际意义.11. 已知直线经过两条直线：，：的交点，且直线的一个方向向量，则直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：先求直线和的交点，再求直线l的斜率，最后写出直线l的方程.详解：解方程组得x=1,y=1,所以两直线的交点为（1,1）.因为直线的一个方向向量，所以所以直线的方程为即.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)点斜式方程 (直线过点，且斜率为)．12. 已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据圆心坐标求出a的值，再求圆的半径.详解：由题得所以圆的半径为故答案为：D点睛：(1)本题主要考查圆的一般方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 当时，表示圆心为，半径为的圆.13. 下列命题中是真命题的个数是（）（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行（4）两条直线能确定一个平面（5）垂直于同一个平面的两个平面平行A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：逐一分析判断每一个命题的真假.详解：对于（1），垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能异面或相交.所以是错误的.对于（2），与同一个平面夹角相等的两条直线可能互相平行，也可能相交或异面，所以是错误的.对于（3），平行于同一个平面的两条直线可能互相平行，也可能异面或相交，所以是错误的.对于（4）两条直线能不一定确定一个平面，还有可能不能确定一个平面,所以是错误的.对于（5），垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，还有可能相交,所以是错误的.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的判断，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)判断空间位置关系命题的真假，可以直接证明或者举反例.14. 函数的部分图象如图所示，则，的值分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】答案：A.由函数图像得，则=π，解得ω=2，又点（，2）在函数图像上，则有2sin(2×+φ)=2，所以sin(2×+φ)=1，所以可令+φ=，解得φ=.故选A.15. 设，满足，则（）A. 有最小值，最大值B. 有最大值，无最小值C. 有最小值，无最大值D. 既无最大值也无最小值【答案】C【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y的最小值．详解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点C时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即C（2，0），代入目标函数z=x+y得z=2．即目标函数z=x+y的最小值为2，无最大．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和数形结合思想方法. (2) 解答线性规划时，要理解，不是纵截距最小，z最小，要看函数的解析式，如：y=2x-z,直线的纵截距为-z,所以纵截距-z最小时，z最大.16. 过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于、两点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由双曲线，可得渐近线方程为，且右焦点为，令，解得，所以，故选D.考点：双曲线的几何性质.视频17. 从，，，，中任意取出两个不同的数，其和为的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:直接利用古典概型求解.详解：因为5=1+4=2+3，所以和为5的概率为故答案为：A点睛：（1）本题主要考查古典概型的计算，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. (2) 古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.18. 在一次马拉松比赛中，名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取人，则其中成绩在区间上的运动员人数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：对各数据分层为三个区间，然后根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取．解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，所以成绩在区间[139，151]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；故选B．考点：茎叶图．视频19. 设，，.若，则实数的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求出，再根据求出实数k的值.详解：由题得，因为，所以故答案为：C20. 若的展开式各项系数之和为，则展开式的常数项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据题意，由于展开式各项系数之和为2n=64，解得n=6，则展开式的常数项为，故答案为A.考点：二项展开式的通项公式点评：本题考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．二、填空题（本大题5小题，每题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21. 若集合，，则的子集个数为__________．【答案】【解析】分析：先求A∩B，再求的子集个数.详解：由题得A∩B={1,3},所以A∩B的子集为，{1}，{3}，{1,3}.所以A∩B的子集个数为4.故答案为：4点睛：（1）本题主要考查集合的交集运算与集合的子集，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)一个有n个元素的集合的子集个数为个，非空真子集的个数为.22. 设，向量，，若，则__________．【答案】【解析】∵，∴，∵，∴，∴，解得．视频23. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积等于__________．【答案】【解析】分析：先根据已知求圆锥的底面圆的直径，再求圆锥的全面积.详解:设圆锥的底面圆的直径为a,则所以圆锥的全面积=故答案为：点睛：（1）本题主要考查圆锥和面积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2) S扇形==，其中代表弧长, 代表圆的半径，代表圆心角的角度数.24. 已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为，则该双曲线的方程为__________．【答案】【解析】由y2=8x准线为x=-2.则双曲线中c=2,==2,a=1,b=.所以双曲线方程为x2-=1.视频25. 若直角坐标平面内两点，满足条件：①、都在函数的图象上；②、关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与点对看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”的个数是__________．【答案】【解析】设x<0，则问题转化为关于x的方程(2x2＋4x＋1)＋＝0，即e x＝－x2－2x－有几个负数解问题．记y1＝e x，y2＝－(x＋1)2＋，当x＝－1时，<，所以函数y1的图象与y2的图象有两个交点(如图)，且横坐标均为负数，故所求“友好点对”共有2个．三、解答题（本大题共5小题，共40分请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26. 在等比数列中，，且为和的等差中项，求数列的首项、公比.【答案】，【解析】分析：直接根据已知列方程组得解.详解：由，得；由，得，得，得（不合题意，舍去），，当时，.27. 山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格元/千克在本市收购了千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计元，而且香菇在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的香菇损坏不能出售.（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式；（2）李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）（2）将这批香菇存放天后出售（3）存放天后出售可获得最大利润为元.【解析】分析：（1）根据销售总金额的定义写出与之间的函数关系式.(2)根据利润=销售总金额-收购成本-各种费用得到关于x的方程，解方程即得解.(3)先写出利润的函数关系式，再求函数的最大利润.详解：（1）由题意得，与之间的函数关系式为：.（2）由题意得，；化简得，；解得，，（不合题意，舍去）；因此，李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放天后出售.（3）设利润为，则由（2）得，；因此当时，；又因为，所以李经理将这批香菇存放天后出售可获得最大利润为元.点睛：（1）本题主要考查函数的实际应用，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和转化思想方法.(2)函数的思想是高中数学的重要思想方法，在研究最值问题时经常用到.利用函数的思想方法在处理问题时，先求函数的定义域，再求函数的解析式，再求函数的最值.28. 已知向量，，，设函数.（1）求的最小正周期；（2）求函数的单调递减区间；（3）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）（2），.（3）最大值是，最小值是.【解析】分析：（1）先化简，再求函数的最小正周期.(2)利用复合函数的单调性原理求函数的单调递减区间.(3)利用三角函数的图像和性质求函数在上的最大值和最小值.详解：.（1）的最小正周期为，即函数的最小正周期为.（2）函数单调递减区间：，，得：，，∴所以单调递减区间是，.（3）∵，∴.由正弦函数的性质，当，即时，取得最大值.当，即时，，当，即时，，∴的最小值为.因此，在上的最大值是，最小值是.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)求三角函数在区间上的最值，一般利用三角函数的图像和性质解答，先求的范围，再利用三角函数的图像和性质求的最值.29. 如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求直线与直线所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）见解析(3)【解析】分析：（1）先证明，再证明平面.(2)先证明面，再证明平面平面.(3)利用异面直线所成的角的定义求直线与直线所成角的正弦值为.详解：（1）证明：连接，∵、分别是、的中点，∴，，∵三棱柱中，∴，，又为棱的中点，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面.（2）证明：∵是的中点，∴，又∵平面，平面，∴，又∵，∴面，又面，∴平面平面；（3）解：∵，，∴为直线与直线所成的角.设三棱柱的棱长为，则，∴，∴.即直线与直线所成角的正弦值为.点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明和异面直线所成角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.(2)求空间的角，方法一是利用几何法，找作证指求.方法二是利用向量法.30. 已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）若直线：与椭圆交于，两点，与以为直径的圆交于，两点，且满足，求直线的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】试题分析：（1）由题意可得，解出，的值，即可求出椭圆的方程；（2）由题意可得以为直径的圆的方程为，利用点到直线的距离公式得：圆心到直线的距离，可得的取值范围，利用弦长公式可得，设，把直线的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长，由，即可解得的值.试题解析：（1）由题意可得解得椭圆的方程为由题意可得以为直径的圆的方程为圆心到直线的距离为由，即，可得设联立整理得可得：，解方程得，且满足直线的方程为或考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题.。