2017-2018学年高三数学12月月考试题文(扫描版,无答案)

合集下载

2017-2018学年山东省高三(上)12月统练数学试卷(文科)Word版(解析版)

2017-2018学年山东省高三（上）12月统练试卷（文科数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}2．（5分）下列命题中正确的个数是①若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的充分而不必要条件；②命题“对任x∈R，都x2≥0”的否定为“存x0∈R，使x02＜0”；③若p∧q为假命题，则p与q均为假命题．（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．（5分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A． B． C．D．4．（5分）不等式成立的充要条件是（）A．b＞a B．b＞a＞0 C．b＞a，且ab＞0 D．ab（a﹣b）＜05．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．D．6．（5分）若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣7．（5分）已知数{a n}满a1=0，a n+1=a n+2n，那a2016的值是（）A．2014×2015 B．2015×2016 C．2014×2016 D．2015×20158．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则•=（）A．8 B．10 C．11 D．1210．（5分）已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（）A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已与的夹角为120°，若，且，在方向上的正射影的数量为．12．（5分）若存在x∈（1，+∞），不等成立，则实数a的最大值为．13．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为．14．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为．15．（5分）已知函数f（x）=ax3+ax2﹣3ax+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知=（2﹣sin（2x+），﹣2），=（1，sin2x），f（x）=•，（x∈[0，]）（1）求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（）=1，b=1，c=，求a的值．17．（12分）已知函数h（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，求函数h（x）的单调递减区间．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°．设AD、PB、PC 中点分别为E、F、G．（Ⅰ）求证：PB⊥AD；（Ⅱ）求证：EF∥平面PCD；（Ⅲ）若PB=，求四面体G﹣BCD的体积．19．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．20．（13分）某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似地满足p（x）=x（x+1）•（39﹣2x），（x∈N*，且x≤12）．已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=（I）写出2013年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；（II）试问2013年第几月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x（a∈R）．（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，﹣2）处的切线方程；（2）当a≤0时，讨论函数f（x）在其定义域内的单调性；（3）若函数y=g（x）的图象上存在一点P（x0，g（x0）），使得以P为切点的切线l将其图象分割为c1，c2两部分，且c1，c2分别位于切线l的两侧（点P除外），则称x0为函数y=g（x）的“转点”，问函数y=f （x）（a≥0）是否存在这样的一个“转点”，若存在，求出这个“转点”，若不存在，说明理由．2017-2018学年山东省高三（上）12月统练试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•聊城三模）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}【分析】本题求集合的交集，由题设条件知可先对两个集合进行化简，再进行交补的运算，集合A由求指数函数的值域进行化简，集合B通过求集合的定义域进行化简【解答】解：由题意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，故C U A={y|y≤1}∴（C U A）∩B={x|0＜x＜1}故选D【点评】本题考查补集的运算，解题的关键是理解掌握集合的交的运算与补的运算，运用指数函数与对数函数的知识对两个集合进行化简，本题是近几年高考中的常见题型，一般出现在选择题第一题的位置考查进行集合运算的能力2．（5分）（2015秋•临朐县月考）下列命题中正确的个数是①若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的充分而不必要条件；②命题“对任x∈R，都x2≥0”的否定为“存x0∈R，使x02＜0”；③若p∧q为假命题，则p与q均为假命题．（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①根据充分条件和必要条件的定义结合逆否命题的等价性进行判断；②根据含有量词的命题的否定进行判断”；③根据复合命题真假的关系进行判断．【解答】解：①若￢p是q的必要而不充分条件，则￢q是p的必要而不充分条件则p是￢q的充分而不必要条件；故①正确，②命题“对任x∈R，都x2≥0”的否定为“存x0∈R，使x02＜0”；故②正确，③若p∧q为假命题，则p与q质数有一个为假命题，故③错误，故正确的个数2个，故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，比较基础．3．（5分）（2016•德州二模）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A． B． C．D．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．4．（5分）（2015秋•临朐县月考）不等式成立的充要条件是（）A．b＞a B．b＞a＞0 C．b＞a，且ab＞0 D．ab（a﹣b）＜0【分析】本题直接求解不易把握解题的方向，可对四个选项逐一验证，不对的可举反例，对的给出证明，即可找出正确选项．【解答】解：A选项，可取a=﹣2，b=1满足b＞a，但此时，，显然不满足，故不是充要条件；选项B，可取a=﹣2，b=﹣1显然有成立，但不满足b＞a＞0，也不是充要条件；选项C，可取a=1，b=﹣2显然有成立，但不满足b＞a且ab＞0；选项D，由可得，即，故有ab（a﹣b）＜0，反之，由ab（a﹣b）＜0可知ab与b﹣a同号，故，即，即故选D【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，解答本题关键是理解充要条件，属基础题．5．（5分）（2013秋•威海期中）已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．D．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：的几何意义为区域内的点P到原点O的直线的斜率，由图象可知当直线过B点时对应的斜率最小，当直线经过点A时的斜率最大，由，解得，即A（3，2），此时OA的斜率k=，即的最大值为．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义．6．（5分）（2016•湖南模拟）若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可．【解答】解：3cos2α=sin（﹣α），可得3cos2α=（cosα﹣sinα），3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∵α∈（，π），∴sinα﹣cosα≠0，上式化为：sinα+cosα=，两边平方可得1+sin2α=．∴sin2α=．故选：D．【点评】本题主要考查二倍角的余弦函数，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．7．（5分）（2016春•随州期末）已知数{a n}满a1=0，a n+1=a n+2n，那a2016的值是（）A．2014×2015 B．2015×2016 C．2014×2016 D．2015×2015【分析】通过a n+1=a n+2n可知a n﹣a n﹣1=2（n﹣1），a n﹣1﹣a n﹣2=2（n﹣2），a n﹣2﹣a n﹣3=2（n﹣3），…，a2﹣a1=2，累加计算，进而可得结论．【解答】解：∵a n+1=a n+2n，∴a n+1﹣a n=2n，∴a n﹣a n﹣1=2（n﹣1），a n﹣1﹣a n﹣2=2（n﹣2），a n﹣2﹣a n﹣3=2（n﹣3），…a2﹣a1=2，累加得：a n﹣a1=2[1+2+3+…+（n﹣1）]=2•=n（n﹣1），又∵a1=0，∴a n=n（n﹣1），∴a2016=2016（2016﹣1）=2015×2016，故选：B．【点评】本题考查数列的通项，利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．8．（5分）（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．【分析】在锐角△ABC中，利用sinA=，S△ABC=，可求得bc，在利用a=2，由余弦定理可求得b+c，解方程组可求得b的值．【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题．9．（5分）（2015秋•东营校级期中）如图，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则•=（）A．8 B．10 C．11 D．12【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出，，代入向量的数量积公式计算．【解答】解：以BC为x轴，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图∵AB=3，AC=6，∠BAC=90°，BC=3，∵=，sinC=cosB∴sinB=2cosB，∵sin2B+cos2B=1∴sinB=，cosB=∴A（，），E（，0），F（2，0）．∴=（，﹣），=（，﹣），∴•=•+（﹣）2=10．故选B．【点评】本题考查了平面向量在几何中的应用，建立合适坐标系是解题的关键，属于基础题．10．（5分）（2016•白银模拟）已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（）A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）【分析】由f（x）=f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．【解答】解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），∴f（x）关于直线x=2对称；又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x﹣2）＞0，∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2，∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．故选C．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性是关键，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2015秋•临朐县月考）已与的夹角为120°，若，且，在方向上的正射影的数量为﹣1 ．【分析】根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵与的夹角为120°，若，且，∴（+）•（﹣）=0，即2=2，则||=||=2，则•=||||cos120°==﹣2，则在方向上的正射影为=，故答案为：﹣1【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直求出•以及利用向量射影的定义是解决本题的关键．12．（5分）（2015秋•临朐县月考）若存在x∈（1，+∞），不等成立，则实数a的最大值为﹣1 ．【分析】由题意可得1+ax≤x﹣x2成立，即有a≤1﹣x﹣，运用基本不等式求得右边函数的取值范围，即可得到a的范围．【解答】解：不等式对x＞1成立，即有1+ax≤x﹣x2成立，即有a≤1﹣x﹣，由x+＞2=2，可得1﹣x﹣＜1﹣2=﹣1，则有a≤﹣1，故a的最大值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．13．（5分）（2015•淄博校级模拟）已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为 6 ．【分析】由向量知识易得2x+y=2，进而可得9x+3y=32x+3y≥2=2=6，验证等号成立的条件即可．【解答】解：∵向量=（x﹣1，2），=（4，y），且⊥，∴=4（x﹣1）+2y=0，整理可得2x+y=2，∴9x+3y=32x+3y≥2=2=6当且仅当32x=3y即x=且y=1时取等号，故答案为：6．【点评】本题考查基本不等式，涉及向量的数量积的运算，属基础题．14．（5分）（2015秋•临朐县月考）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【分析】几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，棱锥的高为1，代入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S==4，棱锥的高为h=1，∴棱锥的体积V=Sh==．故答案为：．【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题．15．（5分）（2015秋•临朐县月考）已知函数f（x）=ax3+ax2﹣3ax+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．【分析】求导，得f′（x）=ax2+2ax﹣3a=a（x+3）（x﹣1），要使函数f（x）的图象经过四个象限，则f （﹣3）f（1）＜0，再进一步计算即可．【解答】解：∵f（x）=ax3+ax2﹣3ax+1，∴f′（x）=ax2+2ax﹣3a=a（x﹣1）（x+3），令f′（x）=0，解的x=1或x=﹣3，是函数的极值点，当a＞0时，f（﹣3）是极大值，f（1）是极小值，f（﹣3）f（1）＜0，当a＜0时，f（﹣3）是极小值，f（1）是极大值，f（﹣3）f（1）＜0，所以，要使函数f（x）的图象经过四个象限，则f（﹣3）f（1）＜0，∵f（﹣3）=a（﹣3）3+a（﹣3）2﹣3a（﹣3）+1=9a+1，f（1）=a+a﹣3a+1=1﹣a，∴（9a+1）（1﹣a）＜0，即（a+）（a﹣）＞0，解的a＜﹣，或a＞故答案为：（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．【点评】本题考查函数与导数的应用，利用导数判断函数的单调性，函数零点的应用，函数值的变化从而确定其性质．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）（2015秋•东营校级期中）已知=（2﹣sin（2x+），﹣2），=（1，sin2x），f（x）=•，（x∈[0，]）（1）求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（）=1，b=1，c=，求a的值．【分析】（1）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简可得解析式f（x）=cos（2x+）+1，由余弦函数的有界性即可求值域．（2）由f（）=1，得cos（B+）=0，又结合范围0＜B＜π，即可解得B的值，由正弦定理可求sinC，解得C，解得A，即可解得a的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）f（x）=•=2﹣sin（2x+）﹣2sin2x=2﹣（sin2xcos+cos2xsin）﹣（1﹣cos2x）=cos2x ﹣sin2x+1=cos（2x+）+1．…（2分）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴﹣1≤cos（2x+）≤，从而有0≤f（x）≤，所以函数f（x）的值域为[0，]．…（4分）（2）由f（）=1，得cos（B+）=0，又因为0＜B＜π，所以＜B+，从而B+=，即B=．…（6分）因为b=1，c=，所以由正弦定理得sinC==，故C=或，当C=时，A=，从而a==2，当C=时，A=，又B=，从而a=b=1综上a的值为1或2．…（12分）（用余弦定理类似给分）．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用，考查了余弦函数的图象和性质，正弦定理，勾股定理的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）（2015秋•临朐县月考）已知函数h（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，求函数h（x）的单调递减区间．【分析】求出函数的导数，通过导函数的符号，求解不等式，求出函数的单调减区间即可．【解答】解：函数h（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，h′（x）=1﹣+=（x﹣a）（x﹣1）x2，①当a≤0时，由h′（x）＜0可得，0＜x＜1．函数h（x）的单调减区间为（0，1）；②当0＜a＜1时，由h′（x）＜0可得，a＜x＜1．函数h（x）的单调减区间为（a，1）；③当a=1时，由h′（x）≥0，可得函数h（x）的无单调减区间；④当a＞1时，由h′（x）＜0可得，1＜x＜a．函数h（x）的单调减区间为（1，a）；【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性与导函数的关系，考查计算能力．（2015秋•临朐县月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°．设（12分）18．AD、PB、PC中点分别为E、F、G．（Ⅰ）求证：PB⊥AD；（Ⅱ）求证：EF∥平面PCD；（Ⅲ）若PB=，求四面体G﹣BCD的体积．【分析】（Ⅰ）连结PE、BE，由已知得PE⊥AD，BE⊥AD，从而AD⊥平面BPE，由此能证明PB⊥AD．（Ⅱ）连结AC，交BD于O，连结EO、FO，由已知得OE∥CD，OF∥PD，从而平面EFO∥平面PDC，由此能证明EF∥平面PCD．（Ⅲ）由PB=，由勾股定理得PE=，G到平面BDC的距离为，由此能求出四面体G﹣BCD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结PE、BE，∵底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°，AD、PB、PC中点分别为E、F、G，∴PE⊥AD，BE⊥AD，∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面BPE，∵PB⊂平面BPE，∴PB⊥AD．（Ⅱ）连结AC，交BD于O，连结EO、FO，∵AD、PB中点分别为E、F，∴OE∥CD，OF∥PD，∵EO∩FO=O，PD∩DC=D，∴平面EFO∥平面PDC，∵EF⊂平面EFO，∴EF∥平面PCD．解：（Ⅲ）∵PB=，BE==，∴PE==，==，∵G是PC的中点，∴G到平面BDC的距离为，∴四面体G﹣BCD的体积V===．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，生查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）（2015•中山二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．【分析】（Ⅰ）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项a n，运用n=1时，b1=T1，n＞1时，b n=T n﹣T n﹣1，求出b n；（Ⅱ）写出c n，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意，得，解得，∴a n=4n，∵T n﹣2b n+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，T n﹣1﹣2b n﹣1+3=0，两式相减，得b n=2b n﹣1，（n≥2）则数列{b n}为等比数列，∴；（Ⅱ）．当n为偶数时，P n=（a1+a3+…+a n﹣1）+（b2+b4+…+b n）=．当n为奇数时，（法一）n﹣1为偶数，P n=P n﹣1+c n=2（n﹣1）+1+（n﹣1）2﹣2+4n=2n+n2+2n﹣1，（法二）P n=（a1+a3+…+a n﹣2+a n）+（b2+b4+…+b n﹣1）=．∴．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的通项与求和公式的运用，考查方程的思想在数列中的运用，同时考查数列的通项与前n项和的关系式，考查数列的求和方法：分组求和，是一道综合题．20．（13分）（2012•济南三模）某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似地满足p（x）=x（x+1）•（39﹣2x），（x∈N*，且x≤12）．已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=（I）写出2013年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；（II）试问2013年第几月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？【分析】（Ⅰ）根据所给的前x个月旅游人数的和，可以得到第x个月的旅游人数，注意验证第一个月的旅游人数符合表示式．（Ⅱ）根据所给的表示式，写出第x月旅游消费总额，是一个分段函数，求出分段函数的最大值，把两个最大值进行比较，得到最大月旅游消费总额．【解答】解：（Ⅰ）当x=1时，f（1）=p（1）=37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f（x）=P（x）﹣P（x﹣1）=x（x+1）（39﹣2x）﹣（x﹣1）x（41﹣2x）=﹣3x2+40x．…（5分）验证x=1符合f（x））=﹣3x2+40x（x∈N*，且1≤x≤12））…（6分）（Ⅱ）第x月旅游消费总额为g（x）=（x∈N*）即g（x）=（x∈N*）…（8分）当1≤x≤6，且x∈N*时，g′（x）=18x2﹣370x+1400，令g′（x）=0，解得x=5，x=（舍去）．∴当1≤x＜5时，g′（x）＞0，当5＜x≤6时，g′（x）＜0，∴当x=5时，g（x）max=g（5）=3125（万元）．…（10分）当7≤x≤12，且x∈N*时，g（x）=﹣480x+6400是减函数，∴当x=7时，g（x）max=g（7）=3040（万元），综上，2013年第5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3125万元．…（12分）【点评】本题考查函数模型的选择和导数的应用，本题解题的关键是写出分段函数，要分别求出两段函数的最大值，进行比较．21．（14分）（2015秋•东营校级期中）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x（a∈R）．（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，﹣2）处的切线方程；（2）当a≤0时，讨论函数f（x）在其定义域内的单调性；（3）若函数y=g（x）的图象上存在一点P（x0，g（x0）），使得以P为切点的切线l将其图象分割为c1，c2两部分，且c1，c2分别位于切线l的两侧（点P除外），则称x0为函数y=g（x）的“转点”，问函数y=f （x）（a≥0）是否存在这样的一个“转点”，若存在，求出这个“转点”，若不存在，说明理由．【分析】（1）求出a=1的函数，求出导数，求出切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出导数，对a讨论，a=0，a＜0，运用判别式结合二次方程的求根公式，解不等式即可得到单调区间，注意定义域；（3）求出导数，对a讨论，a=0，a＞0，由导数得到单调区间，进而得到最大值，即可说明不存在切割点；a＜0，由（2）可得单调区间，说明f（x）无最值，则存在切割点．【解答】解：（1）当a=1时，函数f（x）=lnx﹣x2﹣x的导数为f′（x）=﹣2x﹣1，则函数f（x）在（1，﹣2）处的切线斜率为1﹣2﹣1=﹣2，即有函数f（x）在（1，﹣2）处的切线方程为y+2=﹣2（x﹣1），即为2x+y=0；（2）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x的导数为f′（x）=﹣2ax﹣1=，（x＞0），当a=0时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．当a＜0时，令h（x）=﹣2ax2﹣x+1，当△≤0，即1+8a≤0，a≤﹣时，h（x）≥0恒成立，即有f（x）递增；当△＞0，即1+8a＞0，a＞﹣时，由h（x）=0可得x=＞0，当x＞或0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．综上可得，当a=0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；当a≤﹣时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当﹣＜a＜0时，f（x）的增区间为（0，），（，+∞），减区间为（，）．（3）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x的导数为f′（x）=﹣2ax﹣1，设A（x0，f（x0）），（x0＞0），则在A点处的切线l′方程为y=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），令G（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），则G（x0）=0，G′（x）=f′（x）﹣f′（x0）=﹣（x﹣x0）﹣，（x＞0），①当a≥0时，0＜x＜x0，有G′（x）＞0；x＞x0，有G′（x）＜0，所以G（x）在（0，x0]上单调递增，在[x0，+∞）上单调递减，于是G（x）≤G（x0）=0，故f（x）都在切线l′的同侧，此时不存在“转点”，②当a＜0时，取x0=，即2a=﹣，G′（x）≥0，所以G（x）在（0，+∞）上单调递增，又G（x0）=0，所以当x∈（0，x0）时，G（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，G（x）＞0，于是f（x）的图象在切线l′的两侧，所以x0=为函数f（x）的一个“转点“，综上所述：当a＜0时，存在x0=是函数f（x）的一个“转点”；当a≥0时，y=f（x）不存在“转点”．【点评】题考查导数的运用：求切线方程和判断单调性和极值、最值，同时考查新定义的理解和运用，运用分类讨论的思想方法和单调性的运用是解题的关键．。

2017-2018学年度高三12月月考卷

2017-2018学年度河南宏力学校12月月考卷考试时间：120分钟；命题人：XXX ；审题人：xxx第I 卷（选择题，共60分）一、单选题（每小题5分，共12小题，60分，每小题只有一个正确选项）1．设集合{}1,2,4A =， {}2|40 B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A. {}1,3-B. {}1,0C. {}1,3D. {}1,52．已知命题p: ()0,ln 10x x ∀>+> ；命题q ：若a ＞b ，则a 2>b 2，下列命题为真命题的是A. p q ∧B. p q ⌝∧C.p q ⌝∧ D. p q ⌝⌝∧3．已知一元二次不等式()0＜x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-211|＞或＜x x x ，则()010＞xf 的解集为（）（A ）{}2lg -1|＞或＜x x x - （B ）{}2lg 1|--＜＜x x (C) {x|lg 2x >-}(D) {x| lg 2x <-}4．设 1.1 3.13log 7,2,0.8a b c ===则（） A.B.C.D.5．将函数()()sin 222f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像向右平移()1ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图像，若()(),f x g x的图像都经过点0P ⎛ ⎝⎭，则ϕ的值可以是（）A ．53πB ．56πC ．2πD ．6π6．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED ，则sin CED ∠=（）A.B.C.D. 7．已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）−8 （B ）−6 （C ）6 （D ）88．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 69．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（）（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40 10．设m ，n 是两条不同的直线， α， β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A. 若αβ⊥， m α⊂， n β⊂，则m n ⊥B. 若//αβ，m α⊂， n β⊂，则//m n C. 若m n ⊥，m α⊂， n β⊂，则αβ⊥D. 若m α⊥， //m n ， //n β，则αβ⊥11．若函数()(),f x g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()(),f x g x 为区间[]1,1-上的一组正交函数，给出三组函数①()()11sin,cos 44f x xg x x ==；②()()1,1f x x g x x =+=-；③()()22,0{,,0x x f x g x x x x ≥==-<，其中为区间[]1,1-上的正交函数的组数是（）A. 0B. 1C. 2D. 312．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12A A A B ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（）A.B. C. 163π D. 43π第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题5分，共4小题，20分）13．在ABC ∆中， 0120B =，AB A的角平分线AD =AC =________. 14．数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =________. 15．若四面体的三组对棱分别相等，即，，，给出下列结论： ①四面体每组对棱相互垂直； ②四面体每个面的面积相等；③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于； ④连结四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长；其中正确结论的序号是__________．（写出所有正确结论的序号） 16．（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x 、y ∈R ．若、的夹角为30°，则的最大值等于 _________ ．三、解答题（每小题12分，共5大题，60分） 17．设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈.（Ⅰ）求通项公式n a ；（Ⅱ）求数列{|2n a n --|}的前n 项和.18．在中，角所对的边分别为，且满足 .（1）求角的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．19．如图4，四边形ABCD 为正方形， PD ⊥平面ABCD ，30DPC ∠=， AF PC ⊥于点F ， //FE CD ，交PD 于点E .（1）证明： CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D AF E --的余弦值.20．已知直线:43100l x y ++=，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方．（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数xbx x a x f ++=1ln )(，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为032=-+y x ，（1）求b a ,的值（2）证明：当1,0≠>x x 时，x x x f ->1ln )(.四、选做题（每小题10分，任选一题作答，多选则默认评改第一题）22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132{ (3x tt y t=+=为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.（Ⅰ）写出的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心的距离最小时，求点P 的坐标.23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g （x ）=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.参考答案1．C【解析】由{}1A B ⋂=得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==， {}1,3B =，故选C ．点睛:集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性． 2．B【解析】由0x >时()11,ln 1x x +>+有意义，知p 是真命题，由()()222221,21;12,12>>->--<-可知q 是假命题，即,p q ⌝均是真命题，故选B.3【答案】D【解析】由一元二次不等式()0＜x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-211|＞或＜x x x ，可以设函数解析式为：0)21)(1()(<---=x x x f ，将()010＞x f 代入得0)2110)(110(<-+x x ，由指数函数的值域可得，2lg 02110-<⇒<-x x，则D 正确.【考点定位】一元二次不等式与指数不等式的考察. 4．B【解析】试题分析：由题意，因为3log 7a =，则12a <<； 1.12b =，则2b >；3.10.8c =，则00.81c <=，所以c a b <<考点：1.指数、对数的运算性质. 5．B【解析】由平移得 ()sin(22)g x x φθ=-+，两个图像都过点P ，有(0)sin (0)sin(2)f g θθφ===-=，又22ππθ-<<，3πθ∴=故sin(2)3πφ-=2222233k k ππθφπθφπ∴-=+-=+或者，验证可得φ可取56π. 【考点定位】对于三角函数图像的考察，属于中等题，特别注意平移的量. 6．B【解析】试题分析：由图象知4DEA π∠=， 1tan 2CEB ∠=，所以有()1tan 1tan tan tan 41tan 3CEB CED DEA CEB CEB CEB π-∠⎛⎫∠=∠-∠=-∠== ⎪+∠⎝⎭，再根据同角三角函数关系式，可求出sin CED ∠ B.考点：1.两角差的正切公式；2.同角三角函数关系式.7．D 【解析】试题分析： (4,2)m +=-a b ，由()⊥a +b b 得43(2)(2)0m ⨯+-⨯-=，解得8m =，故选D.【考点】平面向量的坐标运算、数量积 8．C【解析】∵{a n }是等差数列 ∴S m ==0a 1=－a m =－(S m －S m －1)=－2，又=－=3，∴公差=－=1，∴3==－，∴=5，故选C ．9．C【解析】不等式2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示，当6zx y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18.考点：线性规划. 10．D【解析】试题分析： m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.考点：点线面的位置关系. 11．B【解析】函数()(),fx g x 满足()()110f x gx d x -=⎰，则y f x g x =⋅（）（）为奇函数，对于①：()()11sin,cos 44f x x g x x ==，∴1111sin cos sin 4422y x x x =⋅=为奇函数，∴()(),f x g x 为区间[]1,1-上的一组正交函数；对于②：()()1,1f x x g x x =+=-，则()()2111y x x x=+-=﹣为偶函数，∴()(),f x g x 不是区间[]1,1-上的一组正交函数；对于③：()()22,0{,,0x x f x g x x x x ≥==-<， ()(),f x g x 都是奇函数，∴()()y f x g x =⋅为偶函数，∴()(),f x g x 不是区间[]1,1-上的一组正交函数，∴正交函数有1组，故选B ． 12． B【解析】设AC m =，则BC =1114433B A ACC V m -=⨯=所以当 11B A ACC V -体积最大，()22422m m +-=，当且仅当m =所以， AC BC ==D ===所以R =，343V R π==，故选B 。

2017-2018天津和平区耀华中学高三上12月月考【文】数学真题卷

第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．． 1．复数13i1i--的虚部为（）．A ．1B ．iC ．1-D ．i -【答案】C【解析】213i (13i)(1i)42i2i 1i 1i 2--+-===---虚部为1．故选C ． 2．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（）．A ．64B ．100C ．110D ．120【答案】B【解析】1812()()1224a a a a d +-+==，则2d =．又∵12124a a a d +=+=，则11a =． ∴1(1)=21n a a n d n =+--，1019a =．∴1101010()1002a a S +==．故选B ． 3．已知函数e e ()2x xf x --=，则下列判断中正确的是（）．A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数【答案】A【解析】e e ()()2x xf x f x ---==-，显然x ∈R ，则()f x 为奇函数．又∵1e 2x y =在R 上且1e 2xy -=在R 上．∴()f x 在R 上． ∴()f x 是R 上的奇函数．故选A ．4．在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则n a =（）．A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++【答案】A【解析】111ln 1ln n n n a a n n ++⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．∴213212ln 13ln 2ln ,21n n a a a a n a a n n -⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⎨⎪⎪⎪-=⎪-⎩≥．累加得12ln ln11n na a n -=++- 23ln ln 121n n n =⨯⨯⨯=-∴ln 2(2)n a n n =+≥．又∵12a =满足ln 2n a n =+． ∴ln 2(*)n a n n =+∈N ．故选A ．5．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则105S S 等于（）．A ．3-B ．5C ．31-D ．33【答案】D【解析】∵32S =且618S =． ∴1q ≠，且63633111S q q q S q-==+=-． ∴2q =，∴105105511331S q q S q-==+=-．故选D ．6．在ABC △中，AB =1AC =，π6B =，则ABC △的面积是（）．ABCD【答案】C 【解析】sin sin AB ACC B=，∴sin sin AB B C AC ⋅==，π3C =或2π3．（1）当π3C =时，ππ()2A B C =-+=．∴1sin 2ABC S AB AC A =⋅⋅=△ （2）当2π3C =时，ππ()6A B C =-+=．∴1sin 2ABC S AB AC A =⋅⋅=△ 故选C ．7．已知非零向量m ，n 满足4||3||m n = ，1cos ,3m n <>= ．若()n tm n + ⊥，则实数t 的值（）．A ．4B ．4-C ．94D ．94-【答案】B【解析】∵4||3||m n =∴设||4n x =，||3m x = （0x ≠），又∵()n tm n + ⊥且1cos ,3m n <>= ．∴2()||0n tm n tm n n +=⋅+= ⊥．即243cos ,160t x x m n x ⋅⋅⋅<>+=．即4160t +=，4t =-．故选B ．8．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++，(1)(*)n n n b a n =-∈N ．则数列{}n b 的前50项和为（）．A ．49B ．50C ．99D ．100【答案】A【解析】当1n =时，113a S ==．当2n ≥时，12(2)n n n a S S n n -=-=≥． ∴3,12,2n n a n n =⎧=⎨⎩≥．∴1250(34)(68)(98100)b b b +++=-++-+++-+ 24122249=++++=个．【注意有汉字】故选A ．9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1314a a +=-，525S =-，则n nS 的最小值为（）．A ．400027-B ．147-C ．144-D ．无最小值【答案】B 【解析】由题意得152********a a a S a +==-⎧⎨==-⎩，得2375a a =-⎧⎨=-⎩．∴322d a a =-=，2(2)211n a a n d n =+-=-． ∴1()(10)2n n n a a S n n +==-． ∴3210n n T nS n n ==-．则33221(1)1010(1)n n T T n n n +-=+-+-+ 231719n n =--．∴当6n ≤时，10n n T T +-<．当7n ≥时，10n n T T +->． ∴7T 为n T 最小项，7147T =-．故选B ．10．已知向量(2,0)OB = ，向量(2,2)OC =，向量)CA αα= ，则向量OA 与向量OB的夹角的取值范围是（）．A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5ππ,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】不妨设(0,0)O∵(2,2)OC =，)CA αα= ． ∴(2,2)C、(2,2)A αα． ∴点A 在以(2,2)∴OA 与OB的夹角为直线OA 的倾斜角．设:OA l y kx =∴d r =．即2410k k -+≤，则[2k ∈．又∵π2tg12-=，52tg π12． ∴OA 、OB夹角[2θ∈．故选D ．11．定义在R 上的偶函数()f x ，满足(2)()f x f x +=，且()f x 在[3,2]-上是减函数，又α与β是锐角三角形的两个内角，则（）． A ．(ain )(sin )f f αβ> B ．(cos )(cos )f f αβ<C ．(sin )(cos )f f αβ<D ．(sin )(cos )f f αβ>【答案】D【解析】α、β为锐角三角形的两内角． ∴π2αβ+>，则π2αβ>-．∴πsin sin cos 2αββ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭．且sin α、cos (0,1)β∈．又∵()(2)f x f x =+，()f x 在[3,2]--上． ∴()f x 在[1,0]-上．又∵()f x 是R 上偶函数． ∴()f x 在(0,1)上． ∴(sin )(cos )f f αβ>．故选D ．12．已知函数6(3)3(7)(),(7)x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩≤若数列{}n a 满足()(*)n a f n n =∈N ，且{}n a 是递增数列，那么实数a 的取值范围是（）．A ．(2,3)B ．(1,3)C ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()n a f n = ．则6(3)3,7,8n n a n n a a n ---⎧=⎨⎩ ≤≥．∴78301a a a a->⎧⎪>⎨⎪<⎩，即2317180a a a a ⎧>⎪>⎨⎪+->⎩．∴(2,3)a ∈．故选A ．第Ⅱ卷（非选择题共52分）二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．． 13．已知集合{}2|log 1A x x =≤，{}|0B x x c =<<，若A B B = ，则c 的取值范围__________．【答案】2c >【解析】(0,2]A =，(0,)B c =． ∵A B B = ，则A B ⊆．∴2c >．14．方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为__________．【答案】7π6或11π6【解析】23sin 1cos222sin x x x =+=-，即22sin 3sin 20x x +-=．∴1sin 2x =-或2-（舍）．又∵[0,2π]x ∈．∴7π6x =或11π6．15．已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，且1a ，3a ，9a 成等比数列，求1392410a a a a a a ++=++__________．【答案】4355【解析】∵n a 为等差数列且1a ，3a ，9a 成等比．∴2319a a a =⋅，即2111(2)(8)a d a a d +=+． ∴214(0)a d d d =≠，则144d a a ==． ∴1(1)43n n a a n d a a =+-=-． ∴13924104355a a a a a a ++=++．16．（理）在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =__________．【答案】2【解析】直线10x -=．圆：22(1)1x y -+=． ∴直线l 过圆心(1,0)． ∴22AB r ==．（文）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为_______．17．在ABC △中，90BAC ∠=︒，2AB AC =，M 是BC 的中点，点N 在线段AB 上，2NB AN =，CN与AM 交于点P ，1AC =，AP BC ⋅=__________．【答案】34-【解析】由题意，2AB =，1AC =．设AM t AP =．∵M 为BC 中点，则1122AM AB AC t AP =+=．又∵C 、P 、N 三点共线且13AN AB =．∴3AP AN AC AB AC λλμμ=+=+，1λμ+=．又∵1122AP AB AC t t=+ ． ∴3λμ=，得34λ=，14μ=． ∴1()4AP AB AC =+ ．又∵BC AC AB =- ． ∴2213()44AP BC AC AB ⋅=-=- ．18．已知函数()2x f x =，等差数列{}n a 的公差为2．若246810()4f a a a a a ++++=，则212310l o g [()()()()]f a f a f a f a ⋅= __________．【答案】1-【解析】241065a a a a +++= ∴6522106()(5)22a f a a f a ++=== ． ∴625a =，则5685a a d =-=-． ∴21210log [()()()]f a f a f a ⋅ 1012222log 2log 2log 2a a a =+++110121010()2a a a a a +=+++=565()a a =+1=-．19．将全体中整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为__________．【答案】13(1)2n n +-【解析】设每行第一个数字为n a ．易得11(2)n n a a n n --=-≥∴21321121n n a a a a a a n +-=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=-⎩ ，则1(1)2n n n a a -⋅-=．∴11(1)(2)2n a n n n =+-⋅≥∴第n 行从左向右第3个数为123(1)2n a n n +=+-．20．已知函数22e 1()x f x x+=，21()e 2x g x x -=，对于任意1x 、2(0,)x ∈+∞．不等式21()()1f x g x m m +≥恒成立，则正数m 的最小值为__________．【答案】13【解析】21()e 2e f x x x=+≥，当且仅当e x =时，等号成立．… (151413121110987654)32121()(1)e 2x g x x -'=-，令()0g x '<，则1x >．∴()g x 在(0,1)上，(1,)+∞上． ∴1()(1)e 2g x g =≤．又∵1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12()()1f x g x m m+≥． ∴1e2e 21m m+≥，即1141m m m+=+≥． ∴13m ≥，则min 13m =．三、解答题：本题共2个题，每小题10分，合计20分，解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤．21．设函数()f x a b =⋅ ，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos cos )b x x x = ，x ∈R ．（1）求()f x 的最小正周期及单调减区间．（2）若π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域．（3）在ABC △中，()2f A =，a =3(1)b c b +=>，求b 与c 的值．【答案】（1）π，π2π,π+63k kx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦．（2）[2,3]．（3）2b =，1c =．【解析】（1）2()2cos cos f x x x x =+cos21x x ++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．∴2ππ2T ==．令ππ32π2π+2π262k x k ++≤≤，得π2ππ+π63k x k +≤≤．（2）当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时．由（1）易知()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上．∴max π()36f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．(0)2f =，π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则min ()2f x =．∴()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上值域为[2,3]．（3）π()2sin 2126f A A ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭．∴π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．又∵(0,π)A ∈，则π52π66A +=，π3A =． 222()29b c b c bc +=++=．由余弦定理，得2222cos b c bc A a +-⋅=．即223b c bc +-=． ∴36bc =，2bc =．∴32b c bc +=⎧⎨=⎩，得21b c =⎧⎨=⎩或12b c =⎧⎨=⎩（舍）． ∴2b =，1c =．22．等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，12b =，且2232b S =，33120b S =．（1）求n a 与n b ．（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．（3）若2121111nx ax S S S +++++ ≤对任意正整数n 和任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）21n a n =+，2n n b =．（2）12(21)2n n T n +=+-⋅．（3）[1,1]-【解析】（1）设公差为d ，公比为q ．2221222()(3)32b S b a a a b =+=+=． 333222(3)3120b S b a a b q ==⋅=．即2(6)16(3)20d q d q +=⎧⎨+=⎩，得22d q =⎧⎨=⎩． ∴21n a n =+，2n n b =．（2）123252(21)2n n T n =⋅+⋅+++⋅ ． 21232(21)2(21)2n n n T n n +=⋅++-⋅++⋅ ．∴2162(22)(21)2n n n T n +-=+++-+⋅1126(42)(21)212n n n ++=+--+⋅- 12(21)2n n +=---⋅，则1(21)22n n T n +=-⋅+．（3）(321)(2)2n n nS n n ++==+．∴111122n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∴12111nS S S +++ ． 111111123241n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1311322124n n ⎛⎫=--< ⎪++⎝⎭． ∴2314x ax ++≥，即24410x ax ++>恒成立，∴216160a ∆=-≤，则21a ≤． ∴11a -≤≤．。

2017-2018学年陕西省高三(上)12月月考数学联考试卷(理科)Word版(解析版)

2017-2018学年陕西省高三（上）12月月考联考试卷（理科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知复数z=（a﹣4）+（a+2）i（a∈R），则“a=2”是“z为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件2．（5分）已知向量=（1，﹣2），=（2，m），若⊥，则||=（）A．5 B． C．D．3．（5分）用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角4．（5分）若a＞b，则下列正确的是（）①a2＞b2②ac＞bc③ac2＞bc2④a﹣c＞b﹣c．A．④B．②③C．①④D．①②③④5．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈zC．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z6．（5分）若等差数列{an }的公差d≠0，且a1，a3，a7成等比数列，则等于（）A．B．C．D．17．（5分）若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜18．（5分）一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/时B．20（﹣）海里/时C．20（+）海里/时D．20（﹣）海里/时9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球体积与该几何体的体积比为（）A．πB．πC．πD．π10．（5分）已知a＞1，b＞1，且，则a+4b的最小值为（）A．13 B．14 C．15 D．1611．（5分）一线性规划问题的可行域为坐标平面上的正八边形ABCDEFGH及其内部（如图），已知目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）的最大值只在顶点B处，如果目标函数变成z=3﹣bx﹣ay 时，最大值只在顶点（）A．A B．B C．C D．D12．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）曲线与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为．14．（5分）如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是．15．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块16．（5分）如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF=2FA，BF交CE 于点M，设=x+y，则x+y= ．三、解答题（本大题共5小题，60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知向量=（2sinA，1），=（sinA+cosA，﹣3），⊥，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC边中点，若a=4，AD=2，求△ABC的面积．18．设数列{an }满足前n项和Sn=1﹣an（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =log an，求证：+…+＜．19．（12分）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．（I ）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x 个，高中班y 个）（II ）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？ 20．（12分）已知函数f （x ）=．（Ⅰ）求f （x ）+f （1﹣x ），x ∈R 的值；（Ⅱ）若数列{a n }满足a n =f （0）+f （）+f （）+…+f （）+f （1）（n ∈N *），求数列{a n }的通项公式；（Ⅲ）若数列{b n }满足b n =2n+1•a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．21．（12分）已知函数f （x ）=x 2+（1﹣x ）e x（e 为自然对数的底数），g （x ）=x ﹣（1+a ）lnx ﹣，a ＜1．（1）求曲线f （x ）在x=1处的切线方程；（2）讨论函数g （x ）的极小值；（3）若对任意的x 1∈[﹣1，0]，总存在x 2∈[e ，3]，使得f （x 1）＞g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x=﹣2，圆C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C 3的极坐标方程为θ=（ρ∈R ），设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知a，b，c∈R*且a+b+c=1，证明：a2+b2+c2≥（2）当x≥4时，证明：+＜+．2017-2018学年陕西省高三（上）12月月考联考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）已知复数z=（a﹣4）+（a+2）i（a∈R），则“a=2”是“z为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【分析】复数z=（a﹣4）+（a+2）i（a∈R），z为纯虚数，可得a﹣4=0，a+2≠0，解得a=4．即可判断出结论．【解答】解：复数z=（a﹣4）+（a+2）i（a∈R），z为纯虚数，∴a﹣4=0，a+2≠0，解得a=4．则“a=2”是“z为纯虚数”的既不充分也不必要条件．故选：C．【点评】本题考查了复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）已知向量=（1，﹣2），=（2，m），若⊥，则||=（）A．5 B． C．D．【分析】首先根据向量垂直得到数量积为0，求出m的值，然后计算模长．【解答】解：向量=（1，﹣2），=（2，m），若⊥，所以•=2﹣2m=0，解得m=1，所以||=；故选C．【点评】本题考查了平面向量垂直的性质以及模长的计算；属于基础题．3．（5分）（2016秋•陕西期末）用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角【分析】写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可【解答】解：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角是钝角”故选C．【点评】本题考查命题的否定，命题中含有量词最多，书写否定是用的量词是至少，注意积累这一类量词的对应．4．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）若a＞b，则下列正确的是（）①a2＞b2②ac＞bc③ac2＞bc2④a﹣c＞b﹣c．A．④B．②③C．①④D．①②③④【分析】举出反例a=1，b=﹣1，可判断①；举出反例c≤0，可判断②；举出反例c=0，可判断③；根据不等式的基本性质，可判断④．【解答】解：若a=1，b=﹣1，则a＞b，a2＞b2不成立，故①错误；若c≤0，则ac≤bc，故②错误；若c=0，则ac2=bc2，故③错误；a﹣c＞b﹣c一定成立，故④正确；故选：A【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，难度中档．5．（5分）（2014•成都模拟）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈zC．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，根据题意求得周期，进而求得ω，函数的解析式可得，最后利用正弦函数的单调性求得函数的单调减区间．【解答】解：f（x）=2（sinωx+cosωx）=2sin（ωx+），依题意知函数的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z），故选A．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，三角函数图象与性质．求得函数的解析式是解决问题的基础．6．（5分）（2016秋•连城县校级期中）若等差数列{an }的公差d≠0，且a1，a3，a7成等比数列，则等于（）A．B．C．D．1【分析】由等差数列{an }的公差d≠0，且a1，a3，a7成等比数列，知（a1+2d）2=a1（a1+6d），解得a1=2d，由此能求出的值．【解答】解：∵等差数列{an }的公差d≠0，且a1，a3，a7成等比数列，∴（a1+2d）2=a1（a1+6d），解得a1=2d，∴===．故选A．【点评】本题考查等差数列和等比数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．7．（5分）（2015•上海模拟）若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．8．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/时B．20（﹣）海里/时C．20（+）海里/时D．20（﹣）海里/时【分析】根据题意画出相应的图形，在三角形PMN中，根据sin∠MPN与sin∠PNM的值，以及PM的长，利用正弦定理求出MN的长，除以时间即可确定出速度．【解答】解：由题意知PM=20海里，∠PMB=15°，∠BMN=30°，∠PNC=45°，∴∠NMP=45°，∠MNA=90°﹣∠BMN=60°，∴∠PNM=105°，∴∠MPN=30°，∵sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°=，∴在△MNP中利用正弦定理可得：MN==10（﹣）海里，∴货轮航行的速度v=20（﹣）海里/小时．故选B．【点评】此题考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解．9．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球体积与该几何体的体积比为（）A．πB．πC．πD．π【分析】该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球，求出相应的体积，可得结论．【解答】解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球，四棱锥的外接球的半径为r=a．∴该几何体外接球的体积==，∴这个几何体外接球体积与该几何体的体积比为=故选：A．【点评】本题考查了三视图的有关计算、四棱锥与正方体的性质、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2015秋•宁德校级期中）已知a＞1，b＞1，且，则a+4b的最小值为（）A．13 B．14 C．15 D．16【分析】换元可化问题为s＞0，t＞0且+=1，代入可得a+4b=10++，由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞1，b＞1，且，令a﹣1=s，b﹣1=t，则a=s+1，b=t+1，则s＞0，t＞0且+=1，a+4b=（s+1）+4（t+1）=s+4t+5=（s+4t）（+）+5=10++≥10+2=14，当且仅当=即s=3且t=时取等号，解得a=s+1=4，b=t+1=，故选：B．【点评】本题考查基本不等式求最值，换元并变形为可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．11．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）一线性规划问题的可行域为坐标平面上的正八边形ABCDEFGH及其内部（如图），已知目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）的最大值只在顶点B处，如果目标函数变成z=3﹣bx﹣ay时，最大值只在顶点（）A．A B．B C．C D．D【分析】目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）可化为：y=由目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）的最大值只在顶点B处，得，且b＜0，a＞0．从而得到目标函数变成z=3﹣bx﹣ay的最大值只在顶点A处，【解答】解：目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）可化为：y=∵目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）的最大值只在顶点B处，∴，且b＜0，a＞0．目标函数变成z=3﹣bx﹣ay可化为y=，∵，∴目标函数变成z=3﹣bx﹣ay时，最大值只在顶点A处，故选：A【点评】本题考查了线性规划问题，依据直线斜率、纵截距、最优解的范围，确定参数a、b 的取值是解题关键，属于中档题12．（5分）（2016秋•荔湾区校级期末）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln （x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【分析】由题意可得，存在x＜0使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，从而化为函数m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有零点，从而求解．【解答】解：由题意，存在x＜0，使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C【点评】本题考查了函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）（2016•银川校级一模）曲线与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为4﹣2ln2 ．【分析】先联立两个曲线的方程，求出交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可．【解答】解：由曲线与直线y=x﹣1联立，解得，x=﹣1，x=2，故所求图形的面积为S===4﹣2ln2．故答案为：4﹣2ln2．【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．14．（5分）（2016春•厦门校级期中）如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是8cm ．【分析】如图，由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形边长，进而可得原图形的周长．【解答】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB=cm，对应原图形平行四边形的高为：2cm，所以原图形中，OA=BC=1cm，AB=OC==3cm，故原图形的周长为：2×（1+3）=8cm，故答案为：8cm【点评】本题考查斜二测直观图，熟练掌握斜二测画不中原图与直观图对应边长之间的关系，是解答的关键．15．（5分）（2015春•蠡县校级期末）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖4n+2 块【分析】通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．【解答】解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{an }表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…可知数列{an }是以6为首项，4为公差的等差数列，∴an=6+4（n﹣1）=4n+2．故答案为4n+2．【点评】由已知的几个图案找出规律转化为求一个等差数列的通项公式是解题的关键．16．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF=2FA，BF交CE于点M，设=x+y，则x+y= ．【分析】分别在△AEM、△AFM中，由向量的加法法则利用算两次的方法，代入已知条件计算，即可得出结论．【解答】解：由图及向量的加法和减法可知：=+，由与共线，可设=m，∴=（1﹣m）+3m；同理可得=（1﹣n）+2n；又=x+y，则，解得x=，y=．∴x﹣y=．故答案为．【点评】本题考查平面向量基本定理的运用，充分理解向量的运算法则及共线的意义是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2016秋•湖北月考）已知向量=（2sinA，1），=（sinA+cosA，﹣3），⊥，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC边中点，若a=4，AD=2，求△ABC的面积．【分析】（1）由题意可得=0，求得sin（2A﹣）=1，可得A的值．（2）由题意可得 2=+，化简可得：b2+c2+bc=48 …①．又=﹣，化简可得b2+c2﹣bc=16 …②，由①、②求得bc=16，由此可得△ABC的面积S=bc•sinA 的值．【解答】解：（1）△ABC中，∵⊥，∴=（2sinA，1）•（sinA+cosA，﹣3）=2sinA•（sinA+cosA）﹣3=2sin2A+2sinAcosA﹣3=sin2A﹣cos2A﹣2=0，即：sin（2A﹣）=1，∴A=．（2）因为D为BC边中点，∴2=+，平方得：42=+2+2，即：b2+c2+bc=48 …①．又=﹣，∴=+2﹣2，即：：b2+c2﹣bc=16 …②，由①﹣②可得：2bc=32，故△ABC的面积S=bc•sinA==4．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．18．（2016秋•平罗县校级月考）设数列{an }满足前n项和Sn=1﹣an（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =log an，求证：+…+＜．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．（2）bn =log an=n．可得=＜=，n≥3时．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（1）解：∵Sn =1﹣an（n∈N*），∴n=1时，a1=1﹣a1，解得a1=．n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=1﹣an﹣（1﹣an﹣1），解得．∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为．∴an=．（2）证明：bn =log an=n．∴=＜=，n≥3时．∴+…+≤1++++…+=﹣（n=1，2时也成立）．∴+…+＜．【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2015秋•湛江校级期中）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．（I）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x个，高中班y个）（II）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？【分析】设初中x个班，高中y个班，年利润为z，根据题意找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：（I）设开设初中班x个，高中班y个，根据题意，线性约束条件为…（1分）…（5分）（II）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y…（6分）由（I）作出可行域如图．…（9分）由方程组得交点M（20，10）…（11分）作直线l：2x+3y=0，平移l，当l过点M（20，10），z取最大值70．…（13分）∴开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元．…（14分）【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键．20．（12分）（2016秋•平罗县校级月考）已知函数f （x ）=．（Ⅰ）求f （x ）+f （1﹣x ），x ∈R 的值；（Ⅱ）若数列{a n }满足a n =f （0）+f （）+f （）+…+f （）+f （1）（n ∈N *），求数列{a n }的通项公式；（Ⅲ）若数列{b n }满足b n =2n+1•a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【分析】（Ⅰ）由已知条件得f （x ）+f （1﹣x ）==+=+=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）推导出a n =f （0）+f （）+f （）+…+f （）+f （1）=．（Ⅲ）由b n =2n+1•a n =（n+1）•2n ，利用错位相减法能求出数列{b n }的前n 项和S n ．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=，∴f （x ）+f （1﹣x ）==+=+=+=1．（Ⅱ）∵f（x）+f（1﹣x）=1，f（）==，∴an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…=，∴．（Ⅲ）∵bn =2n+1•an=（n+1）•2n，∴Sn=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①2Sn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1，②①﹣②，得：﹣Sn=4+22+23+24+…+2n﹣（n+1）•2n+1=4+﹣（n+1）•2n+1=﹣n•2n+1，∴Sn=n•2n+1．【点评】本题考查函数值的求法，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．21．（12分）（2016•运城校级一模）已知函数f（x）=x2+（1﹣x）e x（e为自然对数的底数），g（x）=x﹣（1+a）lnx﹣，a＜1．（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）讨论函数g（x）的极小值；（3）若对任意的x1∈[﹣1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；（3）问题等价于f（x）在[﹣1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值，分别求出f（x），g（x）的极小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=x（1﹣e x），∴f′（1）=1﹣e，即切线的斜率是1﹣e，又f（1）=，则切点坐标是（1，），故f（x）在x=1处的切线方程是y﹣=（1﹣e）（x﹣1），即2（e﹣1）x+2y﹣2e+1=0；（2）∵g′（x）==，a＜1，函数g（x）的定义域是{x|x＞0}，∴0＜a＜1时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜a或x＞1，令g′（x）＜0，解得：a＜x＜1，∴g（x）在（0，a）递增，在（a，1）递减，在（1，+∞）递增，∴g（x）的极小值为g（1）=1﹣a，a≤0时，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴g（x）的极小值是g（1）=1﹣a，综上，函数g（x）的极小值是1﹣a；（3）若对任意的x1∈[﹣1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，等价于f（x）在[﹣1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值，x∈[﹣1，0]时，f′（x）=x（1﹣e x）≤0，当且仅当x=0时不等式取“=”，∴f（x）在[﹣1，0]上单调递减，∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值是f（0）=1，由（2）得，g（x）在[e，3]递减，∴g（x）在[e，3]的最小值是g（e）=e﹣（a+1）﹣，故1＞e﹣（a+1）﹣，解得：a＞，又a＜1，故a∈（，1）．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C 2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016秋•平罗县校级月考）（1）已知a，b，c∈R*且a+b+c=1，证明：a2+b2+c2≥（2）当x≥4时，证明：+＜+．【分析】（1）利用条件，两边平方，利用基本不等式，即可证得结论；（2）分析使不等式+＜+成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证．【解答】证明：∵a+b+c=1，∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥．（2）当x≥4时，要证+＜+，两边平方只需证，只需证x2﹣5x+6＞x2﹣5x+4，即证6＞4，显然上式成立，所以原不等式成立，即+＜+．【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查利用分析法证明不等式，利用用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止，属于中档题．。

江苏省宝应县高中2018届高三12月月考数学试题

江苏省宝应县高中2017-2018学年度高三数学月考试卷班级_________ 姓名_______________ 学号______________ 成绩______________ 一、填空题1、已知集合A = {0,1,2,7}，B ={y y = 7x,xw A}，则A" B = _______________ .i 一一2、已知复数z = —( i为虚数单位)，复数的共轭复数为z，则z・z= •旋+i3、一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10,5,7,6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为_________________ •4、阅读下列程序，输出的结果S的值为________________ •(第4题團)5、某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________________ •JI JI 3T6、已知函数f (x) = 2cos(x ■ §), x • ［一3，孑］，则函数f(x)的值域是 _________________7、已知函数y =ln(x-4)的定义域为A，集合B={xx〉a}，若x^A是x运B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ________________ •2x - y < 0x-3y +5 > 0&已知实数x y满足< ，则z = 2x + y的最大值为________________ •' x > 0y > 09、若一圆锥的底面半径为3，体积为12二，则该圆锥的侧面积为__________________ •3110、__________________________________________________________________ 在△ ABC 中，若tanA tanB =1，则sin(C ) = ____________________________________311、已知棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，M是棱C®的中点，则三棱锥A -ABM的体积为_________________a1 412、已知正实数a，b满足…b =7，则応厂b的最小值为--------------------------a x 1 x 113、已知函数f(x)=J ' J '函数g(x) = 2—f(x)，若函数y=f(x) — g(x)[(x—a) , x>1,恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围为__________________ .14、在平面直角坐标系xOy 中，圆0 : x2• y2 = r2(r • 0)与圆M : (x - 2)2■ (y - 2 3)2T T=4相交于代B两点，若对于直线AB上任意一点P，均有PO PM 0成立，则r的取值范围为 .二、解答题15、(本小题满分14分：6分+8分)如图，在四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，AB // CD , AB , _ BC ，且 AA,= AB .(1)求证： AB / 平面 D 1CCC 1 ;(2)求证： AB 1 _平面 ABC .16、(本小题满分14分：6分+8分)在厶ABC 中，已知角代B,C 所对的边分别为a,b,c ，且tan B=2 , tan C=3. (1)求角A 的大小;(2)若c =3，求边b 的长.(第15题图)17、(本小题满分14分：6分+8分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA_平面ABCD , M 是AD中点，N是PC中点.18、(本小题满分16分：6分+10分)将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分.(1)在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面半径；(2)在图乙的方式下，剩余部分恰能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值.甲心+J(1)求证：MN //平面PAB;(2)若平面PMC _平面PAD，求证:D(第17题图)19、(本小题满分16分：6分+10分)2 2xOy中，已知椭圆笃•爲“(a . b ■ 0)的焦距为2，过a b如图，在平面直角坐标系A, B两点.当直线I与x轴垂直时，AB长为4-33右焦点F的直线I交椭圆于(1)求椭圆的标准方程；使得OP = 0A • 0B，求直线I的斜率.20、(本小题满分16分：4分+6分+6分)1 2 已知函数f(x) ax2 -2x 2 lnx, a R .2(1)当a = -3时，求函数f (x)的单调增区间；(2)当a> 1时，对于任意X i,X2 €(0,1］，且X i式X2都有为—x2 f (为)一f (x2)，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)的图象始终在直线y - _3x • 2的下方，求实数a的取值范围.江苏省宝应县高中2017-2018学年度高三数学月考试卷参考答案一、填空题1 11、9,7；;2、;3、8;4、22 ;5、;6、[一1,2] ；7、(-：：,4) ；& 4; 9、154 410、1；11、丄；12、25; 13、(2,3] ; 14、(2、、5,6).2 6 16二、解答题15、 (1)证明：在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AB//CD ,又因为AB二平面UDCC,，CD二平面D.DCC,，所以AB//平面DQCC, . 6分(2)证明：在四棱柱ABCD—ABGD中，四边形 A ABB!为平行四边形，又AA=AB ,故四边形AABB1为菱形.从而AB丄AB . .................................................. 9分又AB _ BC，而ABC BC =B , AB, BC 二平面ABC ,所以AB _平面ABC . ..................................................................... 14分16、解：(1)因为tanB =2 , tanC =3 , A B C =n,所以tanA 二tan[ n-(BC)]二一tan(B C)tan B tanC乙卫1，…4分5 10c 2”5. 3 ■:<—2—由正弦定理，得 b =CsinB一 ------- 5—. .................................................... 14分si nC 3/1010117、证明：(1 )取PB 中点E，连EA , EN , PBC 中，EN // BC 且EN BC ,2又AM =1A D , AD // BC , AD =B C得EN //AM，四边形ENMA是平行四边形，2 1 -ta n Bta nC 1-^3又A (0, n，所以A二n. ............................................................................ 6分4(2)因为tan B 2，且sin2B cos2B =1 ,cosB又B (0, n，所以sin B =乙5,同理可得，sin C =工^0 . ............ 10分得MN//AE , MN 二平面PAB , AE 平面PAB , . MN // 平面PAB(2)在平面PAD内过点A作直线PM的垂线，垂足为H ,：平面PMC _ 平面PAD，平面PMC D 平面PAD = PM , AH _ PM , AH 二平面PAD .AH _ 平面PMC , CM 平面PMC , . AH _ CM ,所以，当X W •严时，V max 3 .2 63619、解：（1）由题意可知c =1, 当I 与x 轴垂直时，AB == 4-3 a 3因为 a 2 =b 2 c 2,所以 a = 3, b 2 = 2T PA_平面 ABCD , CM 二平面 ABCD , PA_ CM ,:PAD A H =A , PA 、AH 平面 PAD , CM _ 平面 PAD , 7 AD 平面 PAD , . CM _ AD .18、解：(1)设圆锥的母线长及底面半径分别为I , r ,1丄 2n 二2 n , 则4 _ _ I r .2 r = 2 ,r _5 2-2 23，解得23]_ 20^2 _8 L . _ 23 .甲（2）设被完全覆盖的长方体底面边长为x ，宽为y ，高为z ,则!x +z =1，2y 2z =1,[z =1 -X, 解得1i y =x1/ 2则长方体的体积:y~x zy~xzV = xyz = x x _ 壬 1 - x - -x 3 3 x 2 - 1 x , 2 :: x ：： 1. 10分所以 V (x)»3x 2 3x-首.令 V (x)=0得，3或3(舍去).2 2 6 2 6x （丄」+五）V2，2 62 6V(x) +—V(x)/极大值12分14分答：（1）圆锥的母线长及底面半径分别为5 2_2分米，20 2 -8分米2323（2）长方体体积的最大值为栄立方分米.16分...... 3分2 2故椭圆的标准方程是：—1 1 .……6分3 2z 2:x (0,1], - (0,1b a(x —丄)2 -丄 1》1 --> 0 ,a a aa得到f '(x) > 0，即f(x)在(0,1］上单调递增.对于任意X 1,X 2 • (0,1］，不放设X 1 ：：：X 2，则有f(X 1)：：： f(X 2)，且X 2・X 1代入不等式| 捲一x 2 | ：：| f (xj- f (x 2) | 二 f (x 2) - f (X ] ) X 2 -X ] = f (x 2) -X 2 f(xj -X ],亠、， 1 2引入新函数：h(x)二 f (x) -x = f (x) ax -3x 2 In x , ...................................... 分2'1 ax2 -3x 1 'h(x)=ax-3 ，所以问题转化为 h(x)—0,x ・ (0,1]上恒成立XX=ax 2_3x 1_0 = a-^^u a - (^^)max ................................................. 分X X3x _1令l(x) 2 ，通过求导或配方都可以：x⑵ 设直线I 的斜率为k ，则直线I 的方程：y =k(x 「1)，设点A(x 1 ,y 1), B(x 2, y 2) , P(x 3,y 3).+x _y1,由3 2y -k (x -1),Q Q Q Q可得(3k 2)x —6k x 3k —6=0.则 X 1 »3^，住駅.(* E 贰0A K ，则；二；22 2 2 2 2 2代入椭圆方程有(x i x 2)(y i y 2)/，又土上“,竺上“，化简得32 3 23 22 2 22 2将(* )代入得 3k 2 _6 严 2 冰 3k 2 ^0 , k 2 =2，即 k = . 2 .3k +2 故直线I 的斜率为_• 2 .120、解：(1 )当 a =-3时，f(x)=-3x-2*x16分1令f (x) • 0，解出：0 ：：： x ，所以3(x)的单调增区间为0,- i I 3丿4 •分(2)当 a > 1 时,f '(x)ax 2 -2x 1xa(x_1)2 _丄 1a a x2 - 3x 2 'I (x) 3 ，当0 x ,l (x) 0 ；x33-x ：：1,l'(x) ：：0,2 2 9 —9.............. ,l(X)max =H ) ，所以a A分10 所以当X3 34 41（3）由题可得丄ax2 - 2x 2 l n x ：：： -3x 2在x • （0, •：：）上恒成立1即—ax2x In x ::: 0在x • (0, •：：)上恒成立整理可得_!a. x ln x在x・（0, •：：）上恒成立 ................. 分2 xx I nx ,、1_x_2l nx令h(x) 2 h(x) 3 ............................ 分2所以h'x i=0得x =1 .................... 分141所以匚"1,即a<-2 ........................... W分。

重庆市2017-2018学年高三(上)12月月考数学试卷(理科) Word版含解析

重庆市2017-2018学年高三（上）12月月考试卷（理科数学）一．选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于x的不等式ax+b＞0的解集不可能是（）A． R B．φC．D．2．抛物线y2=4x的焦点到准线的距离为（）A． 1 B． 2 C． 4 D． 83．已知，，则cosa=（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A． 7 B． 8 C． 15 D． 165．已知单位向量，夹角为，则=（）A．B．C． 2 D．6．已知直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆周长，则的最小值为（）A．B．C． 4 D． 67．已知定义在R上的偶函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x3﹣8，则关于x的不等式：2f（x﹣2）＞1的解集为（）A． {x|x＜0或x＞2} B． {x|x＜0或x＞4} C． {x|x＜﹣2或x＞4} D． {x|x＜﹣2或x＞2}8．下列说法正确的个数是（）①命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”；②“b=”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件；⑨“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充要条件：④“复数Z=a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是a=0”是真命题．A． 1 B． 2 C． 3 D． 49．设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过坐标原点O的直线与双曲线C在第一象限内交于点P，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2为锐角三角形，则直线OP斜率的取值范围是（）A．B．C．D．10．存在实数a，使得对函数y=g（x）定义域内的任意x，都有a＜g（x）成立，则称a为g（x）的下界，若a为所有下界中最大的数，则称a为函数g（x）的下确界．已知x，y，z∈R+且以x，y，z为边长可以构成三角形，则f（x，y，z）=的下确界为（）A．B．C．D．二、填空置：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．设实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．12．数列{a n}满足：a1=2014，a n﹣a n•a n+1=1，l n表示a n的前n项之积，则l2014= ．13．椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使线段PF1与以椭圆短轴为直径的圆相切，切点恰为线段PF1的中点，则该椭圆的离心率为．二、考生注意．14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．如图，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD=2，BD=4，则EA= ．15．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的坐标方程为=0，则直线l截曲线C所得的弦长为．1008•山东）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．18．已知点A（2，0）关于直线l1：x+y﹣4=0的对称点为A1，圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=4（n＞0）经过点A和A1，且与过点B（0，﹣2）的直线l2相切．（1）求圆C的方程；（2）求直线l2的方程．19．已知函数f（x）=x2+bx为偶函数，数列{a n}满足a n+1=2f（a n﹣1）+1，且a1=3，a n＞1．（1）设b n=log2（a n﹣1），求证：数列{b n+1}为等比数列；（2）设c n=nb n，求数列{c n}的前n项和S n．20．设函数f（x）=ln（x﹣1）+．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知对任意的x∈（1，2）∪（2，+∞），不等式成立，求实数a的取值范围．21．已知椭圆C1的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）如图，以椭圆C1的长轴为直径作圆C2，过直线x=﹣2上的动点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与椭圆C1求交于不同的两点C、D，求的取值范围．22．己知数{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，数列{b n}满足b n+1=b n+=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令c n=，记S n=c1+c2+…+c n，求证：＜1．重庆市2017-2018学年高三（上）12月月考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于x的不等式ax+b＞0的解集不可能是（）A． R B．φC．D．考点：集合的表示法．专题：不等式的解法及应用．分析：分a等于0，小于0，大于0三种情况考虑，分别求出不等式的解集，即可做出判断．解答：解：当a=0时，b≤0，不等式无解；b＞0，不等式解集为R；当a＞0时，解得：x＞，此时不等式的解集为；当a＜0时，解得：x＜，此时不等式的解集为，故选：D．点评：本题考查了含参数不等式的解法，利用了分类讨论的思想，分类讨论时考虑问题要全面，做到注意不重不漏．2．抛物线y2=4x的焦点到准线的距离为（）A． 1 B． 2 C． 4 D． 8考点：抛物线的简单性质．专题：阅读型．分析：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．解答：解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，∴焦点到准线的距离是1+1=2故选B．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．3．已知，，则cosa=（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：原式两边平方可解得sina=﹣，由，即可计算cosa的值．解答：解：∵，∴两边平方可得：1+sina=，即sina=﹣∵，∴cosa=﹣=﹣故选：A．点评：本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A． 7 B． 8 C． 15 D． 16考点：等差数列的性质；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：先根据“4a1，2a2，a3成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后根据等比数列的性质用a1、q表示出来代入以上关系式，进而可求出q的值，最后根据等比数列的前n项和公式可得到答案．解答：解：∵4a1，2a2，a3成等差数列∴，∴，即∴q=2∴S4===15故选C点评：本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质．属基础题．5．已知单位向量，夹角为，则=（）A．B．C． 2 D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由向量的模长公式，代值计算可得．解答：解：∵单位向量，夹角为，∴====故选：B点评：本题考查数量积与向量的夹角，涉及模长公式，属基础题．6．已知直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆周长，则的最小值为（）A．B．C． 4 D． 6考点：基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：利用直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆周，可得圆的圆心（﹣1，2）在直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）上，再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出的最小值．解答：解：由题意，圆的圆心（﹣1，2）在直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）上∴﹣2a﹣2b+2=0（a＞0，b＞0）∴a+b=1∴=（a+b）（）=3+≥3+2=3+2，当且仅当，即a=，b=2时，的最小值为3+2．故选：B．点评：本题考查圆的对称性，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．已知定义在R上的偶函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x3﹣8，则关于x的不等式：2f（x﹣2）＞1的解集为（）A． {x|x＜0或x＞2} B． {x|x＜0或x＞4} C． {x|x＜﹣2或x＞4} D． {x|x＜﹣2或x＞2}考点：奇偶性与单调性的综合．专题：不等式的解法及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性的关系，结合指数不等式即可得到结论．解答：解：不等式2f（x﹣2）＞1的等价为f（x﹣2）＞0，若x＜0，则﹣x＞0，即f（﹣x）=﹣x3﹣8，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣x3﹣8=f（x），即f（x）=﹣x3﹣8，x＜0．则不等式f（x﹣2）＞0等价为①或②，由①得，即x＞4．由②得，即x＜0，综上不等式的解集为{x|x＜0或x＞4}，故选：B点评：本题主要考查不等式的解法，利用函数奇偶性的性质是解决本题的关键．8．下列说法正确的个数是（）①命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”；②“b=”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件；⑨“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充要条件：④“复数Z=a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是a=0”是真命题．A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①利用命题的否定即可判断出．②“b=±”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件，即可判断出；⑨对m分类讨论：m=0，与当m≠0，时，即可判断出；④“复数Z=a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是a=0，b≠0”，即可判断出．解答：解：①命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”，正确；②“b=±”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件，因此②不正确；⑨直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0．当m=0时，两条直线分别化为﹣y+1=0，3x+2=0，此时两条直线垂直；当m=时，两条直线分别化为x+1=0，3x+y+2=0，此时两条直线不垂直；当m≠0，时，两条直线的斜率分别为：，，若两条直线垂直，则•（）=﹣1，解得m=﹣1；∴“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充分不必要条件，不正确：④“复数Z=a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是a=0，b≠0”，因此是假命题．综上可得：只有①是真命题．故选：A．点评：本题考查了简易逻辑的有关知识、相互垂直的直线与斜率之间的关系、分类讨论的思想方法、复数为纯虚数的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过坐标原点O的直线与双曲线C在第一象限内交于点P，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2为锐角三角形，则直线OP斜率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：首先，设直线OP的方程，然后根据双曲线的定义，并结合条件|PF1|+|PF2|=6a，求解|PF1|和|PF2|的值，然后，根据△PF1F2为锐角三角形，联立方程组写出相应的点P的坐标，最后限制范围即可．解答：解：∵|PF1|+|PF2|=6a，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵|F1F2|=2c，∵△PF1F2为锐角三角形，∴，∴，∴＜e，∴3＜1+（）2＜5，∴＜＜2，欲使得过坐标原点O的直线与双曲线C在第一象限内交于点P，∴k∈（，）．故选：A．点评：本题重点考查了双曲线的标准方程、几何性质、直线与双曲线的位置关系等知识，属于中档题．解题关键是理解直线与双曲线的位置关系处理思路和方法．10．存在实数a，使得对函数y=g（x）定义域内的任意x，都有a＜g（x）成立，则称a为g（x）的下界，若a为所有下界中最大的数，则称a为函数g（x）的下确界．已知x，y，z∈R+且以x，y，z为边长可以构成三角形，则f（x，y，z）=的下确界为（）A．B．C．D．考点：分析法的思考过程、特点及应用；函数的最值及其几何意义．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：运用极端法，就是三角形在趋近于无法构成时，即：x→0，并令y=z，可得原式＞恒成立，再由分析法证明，注意运用配方和三角形的三边关系，可得下确界为．解答：解：运用极端法，就是三角形在趋近于无法构成时，即：x→0，并令y=z，所以=，当然此值只是一个极限值，原式=＞恒成立，可运用分析法证明上式．即证（x+y+z）2＜4xy+4yz+4zx，即有x2+y2+z2＜2xy+2yz+2zx，即有（x﹣y）2+（y﹣z）2+（z﹣x）2＜x2+y2+z2，由三角形中，|x﹣y|＜z，|y﹣z|＜x，|z﹣x|＜y，均为（x﹣y）2＜z2，（y﹣z）2＜x2，（z﹣x）2＜y2．则上式成立．故下确界是．故选B．点评：本题考查新定义的理解和运用，考查三角形的三边的关系和不等式的证明，属于中档题．二、填空置：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．设实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为14 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，6），代入目标函数z=2x+y得z=2×4+6=14．即目标函数z=2x+y的最大值为14．故答案为：14点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．12．数列{a n}满足：a1=2014，a n﹣a n•a n+1=1，l n表示a n的前n项之积，则l2014= ﹣2014 ．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过化简可知递推式为a n+1=1﹣，进而逐一求出a2、a3、a4发现数列的项周期出现，进而计算可得结论．解答：解：∵a n﹣a n a n+1=1，∴a n+1=1﹣，∵a1=2014，∴a2=1﹣=，a3=1﹣=﹣，a4=1﹣=2014，∴该数列是周期为3的周期数列，且前三项之积为2014••（﹣）=﹣1，∵2014=671×3+1，∴l2014=（﹣1）671•2014=﹣2014，故答案为：﹣2014．点评：本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．13．椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使线段PF1与以椭圆短轴为直径的圆相切，切点恰为线段PF1的中点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，利用OM是△F1PF2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF1的三边之长，使用勾股定理求离心率．解答：解：设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，由题意知，OM=b，又OM是△F1PF2的中位线，∴OM=PF2=b，PF2=2b，由椭圆的定义知 PF1=2a﹣PF2=2a﹣2b，又 MF1=PF1=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF1=c，直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率 e==，故答案为：．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．二、考生注意．14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．如图，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD=2，BD=4，则EA= ．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：由相交弦定理，得CD2=AD•BD，由△BDC∽△BAE，得，由此能求出AE．解答：解：由相交弦定理，得CD2=AD•BD，即22=AD×4，解得AD=1，∴AB=1+4=5，∵EA是圆O的切线，C在直径AB上的射影为D，∴△BDC∽△BAE，∴，∴AE===．故答案为：．点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要注意相交弦定理的合理运用．15．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的坐标方程为=0，则直线l截曲线C所得的弦长为．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．分析：本题可以先将曲线C的参数方程消去参数，得到曲线的普通方程，再将直线l的极坐标方程化成平面直角坐标方程，然后列出方程组，由弦长公式求出弦长，得到本题结论．解答：解：∵曲线C的参数方程为，∴消去参数得：．∵直线l的极坐标方程为=0，∴y﹣x+=0，即：x﹣y﹣=0．由，得：5x2﹣8x=0，∴x=0或，∴交点坐标分别为（0，），（，），弦长为=．故答案为：．点评：本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，还考查了弦长公式，本题难度不大，属于基础题．1008•山东）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围5＜b＜7 ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：首先分析题目已知不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求b的取值范围，考虑到先根据绝对值不等式的解法解出|3x﹣b|＜4含有参数b的解，使得解中只有整数1，2，3，即限定左边大于0小于1，右边大于3小于4．即可得到答案．解答：解：因为，又由已知解集中的整数有且仅有1，2，3，故有．故答案为5＜b＜7．点评：此题主要考查绝对值不等式的解法问题，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题型．对于此类基础考点在高考中属于得分内容，同学们一定要掌握．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（I）由 f（x）=sinxcosx﹣cos2x+利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简，然后结合f（A）=1，及A∈（0，π）可求A；（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA可求c解答：解：（I）因为 f（x）=sinxcosx﹣cos2x+==sin（2x﹣）…（6分）又f（A）=sin（2A﹣）=1，A∈（0，π），…（7分）所以，∴…（9分）（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得到，所以c2﹣5c﹣24=0 …（11分）解得c=﹣3（舍）或 c=8 …（13分）所以c=8点评：本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式在三角函数化简中的应用，特殊角的三角函数值及余弦定理的应用18．已知点A（2，0）关于直线l1：x+y﹣4=0的对称点为A1，圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=4（n＞0）经过点A和A1，且与过点B（0，﹣2）的直线l2相切．（1）求圆C的方程；（2）求直线l2的方程．考点：圆的标准方程；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：（1）由点A和A1均在圆C上且关于直线l1对称，得到圆心在直线l1上，由圆的方程找出圆心坐标，代入直线l1，得到关于m与n的方程，然后把点A的坐标代入到圆的方程中，得到关于m与n的另一个方程，联立两方程即可求出m与n的值，确定出圆C的方程；（2）当直线l2的斜率存在时，设出直线l2的方程，由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而确定出直线l2的方程；当直线l2的斜率不存在时，x=0显然满足题意，综上，得到所有满足题意得直线l2的方程．解答：解：（1）∵点A和A1均在圆C上且关于直线l1对称，∴圆心在直线l1上，由圆C的方程找出圆心C（m，n），把圆心坐标直线l1，点A代入圆C方程得：，解得或（与n＞0矛盾，舍去），则圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4；（2）当直线l2的斜率存在时，设直线l2的方程为y=kx﹣2，由（1）得到圆心坐标为（2，2），半径r=2，根据题意得：圆心到直线的距离d==r=2，解得k=1，所以直线l2的方程为y=x﹣2；当直线l2的斜率不存在时，易得另一条切线为x=0，综上，直线l2的方程为y=x﹣2或x=0．点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系．要求学生会利用待定系数法求圆的方程，掌握直线与圆相切时满足的关系，在求直线l2的方程时，注意由所求直线的斜率存在还是不存在，利用分类讨论的方法得到所有满足题意得方程．19．已知函数f（x）=x2+bx为偶函数，数列{a n}满足a n+1=2f（a n﹣1）+1，且a1=3，a n＞1．（1）设b n=log2（a n﹣1），求证：数列{b n+1}为等比数列；（2）设c n=nb n，求数列{c n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用函数f（x）=x2+bx为偶函数，可得b，根据数列{a n}满足a n+1=2f（a n﹣1）+1，可得b n+1+1=2（b n+1），即可证明数列{b n+1}为等比数列；（2）由c n=nb n=n•2n﹣n，利用错位相减可求数列的和．解答：（1）证明：∵函数f（x）=x2+bx为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴b=0∵a n+1=2f（a n﹣1）+1，∴a n+1﹣1=2（a n﹣1）2，∵b n=log2（a n﹣1），∴b n+1=1+2b n，∴b n+1+1=2（b n+1）∴数列{b n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列（2）解：由（1）可得，b n+1=2n，∴b n=2n﹣1∴c n=nb n=n•2n﹣n，∴S n=1•2+2•22+…+n•2n﹣令T=1•2+2•22+…+n•2n，2T n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1两式相减可得，﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2∴T n=（n﹣1）•2n+1+2，∴S n=（n﹣1）•2n+1+2﹣．点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，错位相减求数列的和的应用是求解的关键20．设函数f（x）=ln（x﹣1）+．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知对任意的x∈（1，2）∪（2，+∞），不等式成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；分类讨论；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出函数的导数，对a讨论，①当0≤a≤2，②当a＞2时，求出导数为0的根，解不等式，即可得到单调区间；（2）当x＞1且x≠2时，不等式成立等价为1＜x＜2时，f（x）＜a且x＞2时，f （x）＞a恒成立．分别讨论当0≤a≤2时，当a＞2时，函数的单调性和最值情况，即可得到a的范围．解答：解：（1）f（x）的导数f′（x）==令g（x）=x2﹣2ax+2a（a≥0，x＞1），则△=4a2﹣8a=4a（a﹣2），对称轴x=a，①当0≤a≤2，g（x）≥0，即f′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上递增；②当a＞2时，g（x）=0的两根x1=a﹣，x2=a+，由g（1）=1﹣2a+2a=1＞0，a＞2，则1＜x1＜x2，当x∈（x1，x2），g（x）＜0，f（x）递减，当x∈（1，x1）∪（x2，+∞），g（x）＞0，f（x）递增；则有f（x）的增区间为（1，a﹣），（a+，+∞），减区间为（a﹣，a+）；（2）当x＞1且x≠2时，不等式成立等价为1＜x＜2时，f（x）＜a且x＞2时，f（x）＞a恒成立．由（1）知，当0≤a≤2时，f（x）在（1，+∞）上递增，f（2）≥a且f（2）≤a，即有f（2）=a，即有ln1+=a，成立，则0≤a≤2恒成立；当a＞2时，g（2）=4﹣4a+2a=4﹣2a＜0，即1＜x1＜2＜x2，x1＜x＜2时，f（x）递减，f（x）＞f（2）=a；则存在1＜x＜2，f（x）＞a即1＜x＜2时，f（x）＜a不恒成立，不满足题意．综上，a的取值范围是[0，2]．点评：本题考查函数的导数的运用：求单调区间，考查不等式的恒成立问题，注意转化为求函数的最值问题，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．21．已知椭圆C1的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）如图，以椭圆C1的长轴为直径作圆C2，过直线x=﹣2上的动点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与椭圆C1求交于不同的两点C、D，求的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得，由此能求出椭圆的标准方程．（2）圆C2的方程为x2+y2=2，设直线x=﹣2上的动点T的坐标为（﹣2，t），（t∈R），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AT的方程为x1x+y1y=2，直线BT的方程为x2x+y2y=2，直线AB的方程为﹣2x+ty=2，由此利用点到直线的距离和导数的性质能求出的取值范围．解答：解：（1）设椭圆C1的标准方程为（a＞b＞0），将点P（），Q（﹣1，﹣）代入，得：，解得a=，b=1，∴椭圆的标准方程为．（2）圆C2的方程为x2+y2=2，设直线x=﹣2上的动点T的坐标为（﹣2，t），（t∈R），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AT的方程为x1x+y1y=2，直线BT的方程为x2x+y2y=2，又T（﹣2，t）在直线AT和BT上，即，∴直线AB的方程为﹣2x+ty=2，由原点O到直线AB的距离为d=，得|AB|=2=2，联立，消去x，得（t2+8）y2﹣4ty﹣4=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），则，，从而|CD|==，∴=，设t2+4=m，m≥4，则==，又设.0＜s，则=，设f（s）=1+6s﹣32s3，令f′（s）=6﹣96s2=0，解得，故f（s）=1+6s﹣32s3在s∈（0，]上单调递增，f（s）∈（1，2]，∴∈（1，]．点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查两线段比值的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．己知数{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，数列{b n}满足b n+1=b n+=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令c n=，记S n=c1+c2+…+c n，求证：＜1．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得a n+1﹣a n=2n，由此利用累加法能求出a n=n2+n+1．（2）由已知得==，从而，进而c n＜[（）﹣（）]，由此能证明＜1．解答：（1）解：∵{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，∴a n+1﹣a n=2n，∴a n=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n+1﹣a n=1+2+4+6+ (2)=1+2×=n2+n+1．（2）证明：∵b n+1=b n+=1，∴=，∴==，∴，∴c n==＜=[]=[（）﹣（）]，∴S n=c1+c2+…+c n＜[（1﹣）+（+…+）]==（2﹣）＜1，又由c n==，得{c n}是增数列，∴S n=c1+c2+…+c n≥c1==，∴＜1．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意累加法和裂项求和法的合理运用．。

浙江省2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷Word版含解析

浙江省2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A）=（）1．全集U=R，A={x|﹣2≤x≤1}，B={x|﹣1≤x≤3}，则B∪（∁UA．{x|1＜x≤3} B．{x|﹣2＜x≤3} C．{x|x＜﹣2或x≥﹣1} D．{x|x＜﹣2或x＞3}2．复数等于（）A．﹣i B． i C．﹣i D．i3．设x，y∈R，则x＞y＞0是|x|＞|y|的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（）A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣ B．8﹣C．8﹣2πD．6．已知x、y满足约束条件，则Z=x2+y2+2x+1的最小值是（）A．B．C．2D．1647．已知向量={cosα，sinα}， ={cosβ，sinβ}，那么（）A．B．C．D．与的夹角为α+β8．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分．9．设等差数列{an }中，S3=42，S6=57，则an= ，当Sn取最大值时，n= ．10．展开式中只有第六项二项式系数最大，则n= ，展开式中的常数项是．11．已知随机变量ξ的分布列如图所示，则函数a= ，E（ξ）= ．12．设函数f（x）=，若f（a）=﹣，则a= ，若方程f（x）﹣b=0有三个不同的实根，则实数b的取值范围是．13．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为．14．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD与折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的体积为．15．已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数，且函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1， =，且a+c=4，试求b2的值．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证AD⊥BM；（Ⅱ）点E是线段DB上的一动点，当二面角E﹣AM﹣D大小为时，试确定点E的位置．18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．19．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．又设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线AE与x轴相交于定点Q；（3）求的取值范围．20．已知正数数列{an }的前n项和为Sn，满足an2=Sn+Sn﹣1（n≥2），a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =（1﹣an）2﹣a（1﹣an），若bn+1＞bn对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．浙江省2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．全集U=R，A={x|﹣2≤x≤1}，B={x|﹣1≤x≤3}，则B∪（∁A）=（）UA．{x|1＜x≤3} B．{x|﹣2＜x≤3} C．{x|x＜﹣2或x≥﹣1} D．{x|x＜﹣2或x＞3}【考点】补集及其运算；并集及其运算．【分析】由全集R和集合A，求出集合A的补集，然后把集合A的补集和集合B的解集画在数轴上，根据并集的意义即可求出集合B和集合A补集的并集．【解答】解：由全集U=R，A={x|﹣2≤x≤1}，A={x|x＜﹣2或x＞1}，得到∁U又B={x|﹣1≤x≤3}，根据题意画出图形，如图所示：A）={x|x＜﹣2或x≥﹣1}．则B∪（∁U故选C2．复数等于（）A．﹣i B． i C．﹣i D．i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接利用复数的除法运算化简求值．【解答】解： ==．故选：D．3．设x，y∈R，则x＞y＞0是|x|＞|y|的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质结合充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．【解答】解：x＞y＞0”一定能推出“|x|＞|y|”．当|x|＞|y|，当x=﹣2时，y=﹣1时，成立，则推不出x＞y＞0故“x＞y＞0”是“|x|＞|y|”的充分非必要条件，故选：A4．已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（）A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能【考点】平面的基本性质及推论．【分析】可根据题目中的信息作图判断即可．【解答】解：∵空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，∵m与n可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2），故选D．5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A ．8﹣B ．8﹣C ．8﹣2πD ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥．【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V 1=23=8，圆锥的体积为V 2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，故选A ．6．已知x 、y 满足约束条件，则Z=x 2+y 2+2x+1的最小值是（）A ．B ．C ．2D ．164【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x 2+y 2表示点（﹣1，0）到可行域的点的距离的平方，故只需求出点（﹣1，0）到可行域的距离的最小值即可．【解答】解：如图，作出约束条件可行域，Z=x 2+y 2+2x+1=Z=（x+1）2+y 2是点（x ，y ）到（﹣1，0）的距离的平方，故最小值为原点到直线x+2y ﹣3=0的距离的平方，即为=，故选：B．7．已知向量={cosα，sinα}， ={cosβ，sinβ}，那么（）A．B．C．D．与的夹角为α+β【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据向量的模的计算公式可知与都是单位向量，方向任意，可判定B、D的真假，根据向量数量积可判定选项A、D的真假．【解答】解：∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴•=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β），•不一定为0，故选项A不正确；与都是单位向量，方向任意，故选项B不正确；=0，故选项C正确；与的夹角任意，故选项D不正确．故选C．8．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定．【分析】先设出双曲线方程，则F ，B 的坐标可得，根据直线FB 与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b 和a ，c 的关系式，进而根据双曲线方程a ，b 和c 的关系进而求得a 和c 的等式，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设双曲线方程为，则F （c ，0），B （0，b ）直线FB ：bx+cy ﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b 2=ac所以c 2﹣a 2=ac ，即e 2﹣e ﹣1=0，所以或（舍去）二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分． 9．设等差数列{a n }中，S 3=42，S 6=57，则a n = 20﹣3n ，当S n 取最大值时，n= 6 ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3=42，S 6=57，可得3a 1+d=42，d=57，解出可得a n ，令a n ≥0，解得n 即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 3=42，S 6=57，∴3a 1+d=42，d=57，解得a 1=17，d=﹣3．则a n =17﹣3（n ﹣1）=20﹣3n ，令a n =20﹣3n ≥0，解得n ≤=6+．∴当S n 取最大值时，n=6．故答案为：20﹣3n ，6．10．展开式中只有第六项二项式系数最大，则n= 10 ，展开式中的常数项是180 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】由展开式中只有第六项二项式系数最大，可得n=10．再利用的通项公式即可得出．【解答】解：∵展开式中只有第六项二项式系数最大，∴n=10．==2r，解得r=2．∴的通项公式：Tr+1∴常数项为： =180．故答案为：10，180．11．已知随机变量ξ的分布列如图所示，则函数a= 0.3 ，E（ξ）= 1 ．【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】根据随机变量的概率和为1，求出a的值，再计算数学期望E（ξ）．【解答】解：根据随机变量ξ的分布列知，0.3+0.4+a=1，解得a=0.3；所以E（ξ）=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1．故答案为：0.3，1．12．设函数f（x）=，若f（a）=﹣，则a= 或，若方程f（x）﹣b=0有三个不同的实根，则实数b的取值范围是（﹣，0）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】通过讨论a＞0，a＜0，得到关于a的方程，求出a的值即可；求出f（x）的值域，问题转化为b=f（x）的交点问题，求出b的范围即可．【解答】解：若﹣4a2=﹣，解得：a=﹣，若a2﹣a=﹣，解得：a=，故a=﹣或；x＜0时，f（x）＜0，x＞0时，f（x）=﹣，f（x）的最小值是﹣，若方程f（x）﹣b=0有三个不同的实根，则b=f（x）有3个交点，故b∈（﹣，0）；故答案为：﹣或；（﹣，0）．13．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为16 ．【考点】基本不等式．【分析】将x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）•（），展开后应用基本不等式即可．【解答】解：∵=1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）•（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．故答案为：16．14．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD与折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的体积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】先利用基本不等式，确定矩形周长最小时，矩形为正方形，求得边长，再利用沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的球心为AC的中点，求得半径，根据球的体积公式，即可求得结论．【解答】解：设矩形ABCD的边长分别为x、y，则xy=8，矩形周长为2（x+y）≥4=8，当且仅当x=y=2时，矩形周长最小，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的球心为AC的中点，∵AC=4，∴球的半径为2，∴三棱锥D﹣ABC的外接球的体积等于π×23=．故答案为：．15．已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，+∞）．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0．即可得到a的取值范围．【解答】解：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），，．∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=．化为m2﹣a+（m2﹣a）2=0．∵m，∴m2=a﹣1≥0，解得a≥1．∴a 的取值范围为[1，+∞）．故答案为[1，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数，且函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1， =，且a+c=4，试求b2的值．【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）将三角函数化简，由函数f（x）的最小正周期求出ω的值，从而可得函数f （x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，f（B）=1，可求B=，根据=可得ac=3，利用a+c=4，可得a2+c2=16﹣6，利用余弦定理可求b2的值．【解答】解：（Ⅰ） =sinωx+cosωx﹣1=2sin（ωx+）﹣1，∵函数f（x）的最小正周期为π，∴ω=2∵f（x）=2sin（2x+）﹣1；（Ⅱ）在△ABC中，f（B）=1，则2sin（2B+）=1，∴2B+=，∴B=；∴=，∴accos=，∴ac=3∵a+c=4，∴a2+c2=16﹣6∴b2=a2+c2﹣2accos=16﹣9．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证AD⊥BM；（Ⅱ）点E是线段DB上的一动点，当二面角E﹣AM﹣D大小为时，试确定点E的位置．【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD ⊥BM；（Ⅱ）作出二面角E﹣AM﹣D的平面角，利用二面角E﹣AM﹣D大小为时，即可确定点E的位置．【解答】（Ⅰ）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点∴AM=BM=∴BM⊥AM∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（Ⅱ）过点E作MB的平行线交DM于F，∵BM⊥平面ADM，∴EF⊥平面ADM在平面ADM中，过点F作AM的垂线，垂足为H，则∠EHF为二面角E﹣AM﹣D平面角，即∠EHF=设FM=x，则DF=1﹣x，FH=在直角△FHM中，由∠EFH=，∠EHF=，可得EF=FH=∵EF∥MB，MB=，∴，∴∴∴当E位于线段DB间，且时，二面角E﹣AM﹣D大小为．18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b由解得，f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．（2），当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．解得c＜﹣1或c＞2．19．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．又设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线AE与x轴相交于定点Q；（3）求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，可求b 的值，再利用椭圆的离心率为，即可求出椭圆C 的方程；（2）设A （x 0，y 0），B （x 0，﹣y 0），将直线PB ：y=代入椭圆，可得[3+]x 2﹣+﹣12=0，从而可得E 的坐标，从而可得直线AE 的方程，进而可知直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）由（2）知x 1+x 0=，x 1x 0=，y 1y 0==，=x 1x 0﹣y 1y 0，从而可得=，设5﹣2x 0=t ，进而可确定的取值范围．【解答】（1）解：∵以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，∴b=，∵椭圆的离心率为，∴∴，∴，∴椭圆C 的方程为（2）证明：设A （x 0，y 0），B （x 0，﹣y 0）将直线PB ：y=代入椭圆，可得[3+]x 2﹣+﹣12=0设E （x 1，y 1），则x 1+x 0===∴，∴y 1=∴直线AE ：化简可得∴直线AE 与x 轴相交于定点Q ：（1，0）（3）解：由（2）知x 1+x 0=，x 1x 0=，y 1y 0==∵=x 1x 0﹣y 1y 0，∴=﹣=设5﹣2x 0=t ，∵x 0∈（﹣2，2），∴t ∈（1，9）∴=﹣+∵t ∈（1，9），∴∴（﹣4，]20．已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n 2=S n +S n ﹣1（n ≥2），a 1=1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =（1﹣a n ）2﹣a （1﹣a n ），若b n+1＞b n 对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）由 a n 2=S n +S n ﹣1（n ≥2），可得a n ﹣12=S n ﹣1+S n ﹣2 （n ≥3）．两式相减可得 a n ﹣a n ﹣1=1，再由a 1=1，可得{a n }的通项公式．（2）根据{a n }的通项公式化简b n 和b n+1，由题意可得b n+1﹣b n =2n+a ﹣1＞0恒成立，故a ＞1﹣2n 恒成立，而1﹣2n 的最大值为﹣1，从而求得实数a 的取值范围．【解答】解：（1）∵a n 2=S n +S n ﹣1（n ≥2），∴a n ﹣12=S n ﹣1+S n ﹣2 （n ≥3）．两式相减可得a n 2 ﹣a n ﹣12=S n ﹣s n ﹣2=a n +a n ﹣1， ∴a n ﹣a n ﹣1=1，再由a 1=1，∴正数数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴an=n．（2）∵bn =（1﹣an）2﹣a（1﹣an），∴bn+1=（1﹣an+1）2﹣a（1﹣an+1）．即bn =（1﹣n）2﹣a（1﹣n）=n2+（a﹣2）n+1﹣a，bn+1=[1﹣（n+1）]2﹣a[1﹣（n+1）]=n2+an．故bn+1﹣bn=2n+a﹣1，再由bn+1＞bn对任意n∈N*恒成立可得2n+a﹣1＞0恒成立，故a＞1﹣2n恒成立．而1﹣2n的最大值为1﹣2=﹣1，故a＞﹣1，即实数a的取值范围（﹣1，+∞）．。

2017-2018学年辽宁省高三(上)12月月考数学试卷(文科)Word版(解析版)

2017-2018学年辽宁省高三（上）12月月考试卷（文科数学）一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={y|y=5m+1，m∈N*}，则集合A∩B中最小元素为（）A．1 B．9 C．11 D．132．（5分）已知复数z=为纯虚数，则m=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（5分）在一次某地区中学联合考试后，汇总了3217名文科考生的数学成绩，用a1，a2，…，a3217表示，我们将不低于120的考分叫“优分”，将这些数据按图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这3217名考生的（）A．平均分B．“优分”人数C．“优分”率D．“优分”人数与非“优分”人数的比值4．（5分）等差数列{an }的前n项和为Sn，若=，则下列结论中正确的是（）A．=2 B．=C．=D．=5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣ B．2π﹣ C．D．2π﹣26．（5分）已知直线l1：2x﹣y+1=0和l2：x+2y=3的倾斜角依次为α，β，则下列结论中正确的是（）A．β=90°+α B．α+β=180°C．α=90°+β D．α+β=90°7．（5分）已知，其中θ在第二象限，则cosθ﹣sinθ=（）A．B． C．D．8．（5分）已知实数x，y满足条件，则不等式x+2y≥2成立的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，O1为正方形A1B1C1D1的中心，则四棱锥O1﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．9π B．324πC．81πD．10．（5分）已知O：x2+y2=1和点，A、B是圆O上两个动点，则∠APB的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）记，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c 这三个数的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＞c＞a D．b＞a＞c12．（5分）过抛物线C：y2=4x焦点F的直线交抛物线C于A、B两点，|AB|=8，过线段AB的中点作y轴的垂线，垂足为P，则||2+||2=（）A．36 B．40 C．50 D．52二、填空题：（每题5分，共20分）13．（5分）双曲线﹣=1的离心率e= ．14．（5分）数列{an }中，，，则a7= ．15．（5分）已知向量=（2，﹣1），=，且（+k）⊥（﹣k），则实数k= ．16．（5分）函数f（x）=x3﹣3x+m的定义域A=[0，2]，值域为B，当A∩B=∅时，实数m的取值范围是．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{an }的前n项和Sn=n2+2n（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和Tn．18．（12分）某厂家生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种杯子均有300ml和500ml两种型号，某月的产量（单位：个）如下表所示：按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机的抽取100个，其中有乙样式的杯子35个．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个300ml的杯子的概率．19．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为10．（Ⅰ）求棱AA1的长；（Ⅱ）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：，两个焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），P是椭圆上的动点，且向量的最大值为2．（1）求椭圆方程；（2）过左焦点的直线l交椭圆C与M、N两点，且满足，求直线l的方程（其中∠MON=θ，O为坐标原点）．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点，则求实数a的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】22．（10分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．2017-2018学年辽宁省高三（上）12月月考试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（每题5分，共60分）1．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={y|y=5m+1，m∈N*}，则集合A∩B中最小元素为（）A．1 B．9 C．11 D．13【分析】由A与B，求出两集合的交集，确定出交集中的最小元素即可．【解答】解：∵A={x|x=2n﹣1，n∈N*}={1，3，5，7，9，11，…}，B={y|y=5m+1，m∈N*}={6，11，16，…}，∴A∩B中最小元素为11，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015秋•陕西期末）已知复数z=为纯虚数，则m=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵z==为纯虚数，∴=0，≠0，则m=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）（2015秋•赤峰校级月考）在一次某地区中学联合考试后，汇总了3217名文科考生的数学成绩，用a1，a2，…，a3217表示，我们将不低于120的考分叫“优分”，将这些数据按图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这3217名考生的（）A．平均分B．“优分”人数C．“优分”率D．“优分”人数与非“优分”人数的比值【分析】由程序框图知，最后输出的m 值是大于等于120分的人数，再根据表示的意义即可得出结论．【解答】解：由程序框图可知，最后输出的m 值是大于等于120分的人数，即次考试数学分数不低于120分的同学的人数是m，因为表示这次考试数学分数不低于120分的“优分”率．故选：C．【点评】本题考查了通过设计程序框图解决实际应用问题，是基础题目．4．（5分）（2016•河南模拟）等差数列{an }的前n项和为Sn，若=，则下列结论中正确的是（）A．=2 B．=C．=D．=【分析】由等差数列的求和公式和性质可得=3•=2，解方程可得．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且=，∴==2，由等差数列的求和公式和性质可得：===3•=2，∴=故选：C【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．5．（5分）（2016•河南二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣ B．2π﹣ C．D．2π﹣2【分析】几何体为圆柱中挖去一个正四棱锥．【解答】解：由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面为正方形，边长为，棱锥的高为1，∴几何体的体积V=π×12×2﹣=2π﹣．故选A．【点评】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．6．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知直线l1：2x﹣y+1=0和l2：x+2y=3的倾斜角依次为α，β，则下列结论中正确的是（）A．β=90°+α B．α+β=180°C．α=90°+β D．α+β=90°【分析】直线l1：2x﹣y+1=0的斜率为2，l2：x+2y=3的斜率为﹣，两条直线互相垂直，且α为锐角，β为钝角，即可得出结论．【解答】解：直线l1：2x﹣y+1=0的斜率为2，l2：x+2y=3的斜率为﹣，两条直线互相垂直，且α为锐角，β为钝角，∴β=90°+α，故选A，【点评】本题考查直线的垂直关系，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．7．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知，其中θ在第二象限，则cosθ﹣sinθ=（）A．B． C．D．【分析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号求cosθ﹣sinθ的值即可．【解答】解：∵sinθ+cosθ=，其中θ在第二象限，平方可得sinθcosθ=﹣，sinθ＞0，cosθ＜0．cosθ﹣sinθ＜0．故cosθ﹣sinθ=﹣=﹣，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．8．（5分）（2016•洛阳四模）已知实数x，y满足条件，则不等式x+2y≥2成立的概率为（）A．B．C．D．【分析】画出满足条件的平面区域，求出相对应的面积，从而求出符合条件的概率即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，平面区域△ACO的面积是2，而△ABC的面积是1，故不等式x+2y≥2成立的概率为：，故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．9．（5分）（2015秋•海口校级月考）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，O1为正方形A1B1C1D1的中心，则四棱锥O1﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．9π B．324πC．81πD．【分析】设球的半径为R，则由勾股定理可得R2=（3）2+（R﹣6）2，可得R，即可求出四棱锥O1﹣ABCD的外接球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则由勾股定理可得R2=（3）2+（R﹣6）2，∴R=，∴四棱锥O1﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=81π，故选：C．【点评】本题考查四棱锥O1﹣ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出球的半径是关键．10．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知O：x2+y2=1和点，A、B是圆O上两个动点，则∠APB的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意，∠APB取最大值时，PA，PB是圆的切线，即可得出结论．【解答】解：由题意，∠APB取最大值时，PA，PB是圆的切线，∵|OA|=1，|OP|=2，∴∠OPA=，∴∠APB的最大值为2×．故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，确定∠APB取最大值时，PA，PB是圆的切线是关键．11．（5分）（2015秋•长春校级期末）记，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c这三个数的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】利用对数函数性质求解．【解答】解：∵=+1，=，=，∵e≈2.71828，＜ln2＜1，∴b＞a＞c．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用．12．（5分）（2015秋•长春校级月考）过抛物线C：y2=4x焦点F的直线交抛物线C于A、B两点，|AB|=8，过线段AB的中点作y轴的垂线，垂足为P，则||2+||2=（）A．36 B．40 C．50 D．52【分析】由抛物线焦点弦公式可知丨CP丨=3，利用余弦定理，分别求得丨丨2和丨丨2，则丨丨2+丨丨2=32+2丨丨2=50．【解答】解：抛物线C：y2=4x焦点（1，0），设AB的中点C，由抛物线的焦点弦公式可知丨AB丨=2丨CP丨+2p，则丨CP丨=3，由余弦定理可知：丨丨2=丨丨2+丨丨2﹣2丨丨丨丨cos∠ACP，即丨丨2=42+丨丨2﹣2×4丨丨cos∠ACP，同理可得：丨丨2=42+丨丨2﹣2×4丨丨cos∠BCP，由∠ACP+∠BCP=π，则cos∠BCP=﹣cos∠ACP，∴丨丨2+丨丨2=32+2丨丨2=50，∴丨丨2+丨丨2=50，故选C．【点评】本题考查抛物线的焦点弦公式，考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．二、填空题：（每题5分，共20分）13．（5分）（2014春•越秀区校级期中）双曲线﹣=1的离心率e= 2 ．【分析】利用双曲线﹣=1，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：双曲线﹣=1中，a2=4，b2=12，∴c2=16，∴a=2，c=4，∴e==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线方程与性质，确定a，c的值是关键．14．（5分）（2015秋•赤峰校级月考）数列{an }中，，，则a7= 2 ．【分析】利用递推公式即可得出．【解答】解：∵，，∴a3==﹣3，a5==﹣．则a7==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知向量=（2，﹣1），=，且（+k）⊥（﹣k），则实数k= ±．【分析】根据两向量垂直数量积为0，列出方程即可求出实数k的值．【解答】解：向量=（2，﹣1），=，∴=22+（﹣1）2=5，=+=1；又（+k）⊥（﹣k），∴（+k）•（﹣k）=0，即﹣k2=0，∴5﹣k2=0，解得k=±．故答案为：±．【点评】本题考查了平面向量的模长公式与数量积公式的应用问题，是基础题目．16．（5分）（2015秋•长春校级月考）函数f（x）=x3﹣3x+m的定义域A=[0，2]，值域为B，当A∩B=∅时，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．．【分析】利用导数求出函数f（x）在定义域[0，2]内的值域B，利用A∩B=∅求出m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x+m，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），令f′（x）=0，解得x=1或x=﹣1（舍去），∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上是单调减函数，x∈（1，2）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，2）上是单调增函数，且f（0）=m，f（1）=m﹣2，f（2）=m+2，∴f（x）的定义域A=[0，2]，值域为B=[m﹣2，m+2]，当A∩B=∅时，m+2＜0或m﹣2＞2，解得m＜﹣2或m＞4，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，也考查了集合的运算问题，是综合性题目．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2013秋•吉林期末）已知数列{an }的前n项和Sn=n2+2n（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）当n=1时，可求得a1=3；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1，对a1=3仍成立，于是可得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）利用裂项法可求得=（﹣），于是可求得数列{}的前n项和Tn ．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1，对a1=3仍成立，∴数列{an }的通项公式：an=2n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知==（﹣）∴Tn=[（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（﹣）=．【点评】本题考查数列的求和，着重考查递推关系的应用，突出考查裂项法求和，属于中档题．18．（12分）（2015•威海一模）某厂家生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种杯子均有300ml 和500ml两种型号，某月的产量（单位：个）如下表所示：按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机的抽取100个，其中有乙样式的杯子35个．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个300ml的杯子的概率．【分析】（Ⅰ）设在丙样式的杯子中抽取了x个，利用抽样比直接求解即可．（Ⅱ）设所抽样本中有m个300ml的杯子，求出从中任取2个300ml的杯子的所有基本事件个数，求出至少有1个300ml的杯子的基本事件个数，然后求解概率．【解答】解：（Ⅰ）设在丙样式的杯子中抽取了x个，由题意，∴x=40．∴在甲样式的杯子中抽取了100﹣40﹣35=25个，∴，解得z=2000．（Ⅱ）设所抽样本中有m个300ml的杯子，∴△=4k2b2﹣4（k2+3）（b2﹣6）=12（k2﹣b2+6）＞0，∴m=2．也就是抽取的5个样本中有2个300ml的杯子，分别记作A1，A2；3个500ml的杯子，分别记作B1，B2，B3．则从中任取2个300ml的杯子的所有基本事件为（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B 2），（A2，B3），（A1，A2），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10个．其中至少有1个300ml的杯子的基本事件有（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），共7个∴至少有1个300ml的杯子的概率为．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，分层抽样的应用，基本知识的考查．19．（12分）（2015•张掖一模）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为10．（Ⅰ）求棱AA1的长；（Ⅱ）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）设AA1=h，由题设=﹣，可求出棱长．（Ⅱ）因为在长方体中A1D1∥BC，所以∠O1BC即为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）那么借助于三角形求解得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设AA1=h，由题设=﹣=10，∴即，解得h=3．故A 1A 的长为3．（Ⅱ）∵在长方体中，A 1D 1∥BC ，∴∠O 1BC 为异面直线BO 1与A 1D 1所成的角（或其补角）．在△O 1BC 中，AB=BC=2，A 1A=3， ∴AA 1=BC 1=，=，∴，则cos ∠O 1BC===．∴异面直线BO 1与A 1D 1所成角的余弦值为．【点评】本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离．20．（12分）（2015秋•长春校级月考）已知椭圆C ：，两个焦点为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），P 是椭圆上的动点，且向量的最大值为2．（1）求椭圆方程；（2）过左焦点的直线l 交椭圆C 与M 、N 两点，且满足，求直线l 的方程（其中∠MON=θ，O 为坐标原点）．【分析】（1）由椭圆两个焦点为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），P 是椭圆上的动点，且向量的最大值为2，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l1的方程为y=k（x+2），代入椭圆C的方程=1，得（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、正弦定理能求出直线l；直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2．由此能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆C：，两个焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），P是椭圆上的动点，且向量的最大值为2∴，解得c=2，a2=6，b2=2，故椭圆C的方程为=1．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l1的方程为y=k（x+2），代入椭圆C的方程=1，并整理得：（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6=0，设M（x1，y1），N（x2，y2）则x1+x2=﹣，x1x2=，∴|MN|=•|x1﹣x2|=•=，坐标原点O到直线l的距离d=．∵，∴S△MON=，∴S△MON=|MN|d==，解得k=±此时直线l的方程为y=±（x+2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2此时点M（﹣2，），N（﹣2，﹣），满足S△MON=，综上得，直线l的方程为x=﹣2或y=±（x+2）．【点评】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、正弦定理、椭圆性质的合理运用．21．（12分）（2015秋•长春校级月考）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点，则求实数a的取值范围．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a；（2）依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可．【解答】解：（1）由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1 则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：依题意：g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可得，﹣＜a＜0．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】22．（10分）（2016•衡水校级模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．【分析】（1）若a=﹣1，由绝对值的意义求得不等式f（x）≥3的解集．（2）由条件利用绝对值的意义求得函数f（x）的最小值为|a﹣1|，可得|a﹣1|=2，由此求得a的值．【解答】解：（1）若a=﹣1，函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|=|x﹣1|+|x+1|，表示数轴上的x对应点到1、﹣1对应点的距离之和，而﹣1.2和 1.5 对应点到1、﹣1对应点的距离之和正好等于3，故不等式f（x）≥3的解集为{x|≤﹣1.5，或 x≥1.5}．（2）由于∀x∈R，f（x）≥2，故函数f（x）的最小值为2．函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到1、a对应点的距离之和，它的最小值为|a﹣1|，即|a﹣1|=2，求得a=3 或a=﹣1．【点评】本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题，属于中档题．。

2017-2018学年重庆市高三(上)12月月考数学试卷(文科)Word版(解析版)

2017-2018学年重庆市高三（上）12月月考试卷（文科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）B）=（）1．（5分）设全集U={2，4，6，8}，A={4，6}，B={2，4，8}，则A∩（∁UA．{6} B．{4，6} C．{2，6，8} D．∅2．（5分）已知复数z满足（2﹣i）z=5，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）已知程序框图如图：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入（）A．k≤10 B．k≤9 C．k＜10 D．k＜95．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．在（﹣，﹣）上单调递减B．φ=﹣C．最小正周期是πD．对称轴方程是x=+2kπ（k∈Z）7．（5分）下列说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个线性回归方程=3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；③设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强；④在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．其中错误的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a﹣3）x的导函数为f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线：y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为（）A．9x﹣y﹣16=0 B．9x+y﹣16=0 C．6x﹣y﹣12=0 D．6x+y﹣12=09．（5分）设函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]．若从区间[﹣5，5]内随机选取一个实数x，则所选取的实数x0满足f（x）≤0的概率为（）A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.210．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．36πB．8π C．πD．π11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c且满足csinA=acosC，则sinA+sinB的最大值是（）A．1 B ．C．3 D ．12．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3= ．14．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=1，且对任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f （2）成立，则f（2016）+f（2017）= ．15．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，若满足a2+b2=c2，即，△ABC为直角三角形，类比此结论：若满足a n+b n=c n（n∈N，n≥3）时，△ABC的形状为．（填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形”）．16．（5分）已知函数f（x）=的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，过程或演算步骤）17．（12分）某食品安检部门调查一个养殖场的养殖鱼的有关情况，安检人员从这个养殖场中不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：千克），并将所得数据进行统计得如表．若规定重量大于或等于1.20kg的鱼占捕捞鱼总量的15%以上时，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题．（1）根据统计表，估计数据落在[1.20，1.30）中的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否有问题？（2）上面所捕捞的100条鱼中，从重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）的鱼中，任取2条鱼来检测，求恰好所取得鱼的重量在[1.00，1.05）和[1，.25，1.30）中各有1条的概率．18．（12分）在等差数列{an }中，a2+a7=﹣23，a3+a8=﹣29．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an +bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn．19．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．20．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC 中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．21．（12分）已知函数f（x）=ax﹣﹣（a+1）lnx，a∈R．（I）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a≥1，且f（x）＞1在区间[，e]上恒成立，求a的取值范围；（III）若a＞，判断函数g（x）=x[f（x）+a+1]的零点的个数．请考生在第22、23两题中任选一题作答，将你所选的题号图在答题卡上再作答．如果多选多做．则按第一题记分．[选修4-4：极坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程（2）若直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|，不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年重庆市高三（上）12月月考试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2016秋•麦积区校级月考）设全集U={2，4，6，8}，A={4，6}，B={2，4，8}，则B）=（）A∩（∁UA．{6} B．{4，6} C．{2，6，8} D．∅【分析】根据全集U与B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵全集U={2，4，6，8}，A={4，6}，B={2，4，8}，∴∁B={6}，UB）={6}．则A∩（∁U故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）（2016秋•重庆月考）已知复数z满足（2﹣i）z=5，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z满足（2﹣i）z=5，∴（2+i）（2﹣i）z=5（2+i），∴5z=5（2+i），化为：z=2+i．则z在复平面内对应的点（2，1）位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2016•江西自主招生）命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”，等价于命题“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真命题”，故△=a2+16a≤0，由此得到﹣16≤a≤0；由﹣16≤a≤0，知△=a2+16a≤0，故命题“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真命题”，所以命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”．由此得到命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的充要条件．【解答】解：∵命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”，∴命题“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真命题”，∴△=a2+16a≤0，∴﹣16≤a≤0，即命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”⇒“﹣16≤a≤0”；∵﹣16≤a≤0，∴△=a2+16a≤0，∴命题“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真命题”，∴命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”，即命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”⇒“﹣16≤a≤0”．故命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的充要条件．故选C．【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）（2010•辽宁模拟）已知程序框图如图：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入（）A．k≤10 B．k≤9 C．k＜10 D．k＜9【分析】按照程序框图依次执行，直到s=132，求出此时的k，进一步确定判断框内的条件即可．【解答】解：按照程序框图依次执行：k=12，s=1；进入循环，s=1×12=12，k=11；s=12×11=132，k=10，跳出循环，故k=10满足判断框内的条件，而k=11不满足，故判断框内的条件应为k≤10或k＜11故选A【点评】本题考查循环结构的程序框图，弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决问题的关键．5．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6．（5分）（2016秋•麦积区校级月考）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．在（﹣，﹣）上单调递减B．φ=﹣C．最小正周期是πD．对称轴方程是x=+2kπ（k∈Z）【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正选函数的单调性、周期性、以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象，可得A=1，=+，∴ω=1，再根据五点法作图可得1×（﹣）+φ=0，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．在（﹣，﹣）上，x+∈（﹣，﹣），故f（x）在（﹣，﹣）上单调递减，故A正确．显然，φ=﹣不正确，故排除B；函数f（x）的最小正周期是2π，故C不正确，故排除C；令x+=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，故D不正确，故选：A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性、周期性、以及它的图象的对称性，属于中档题．7．（5分）（2016秋•重庆月考）下列说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个线性回归方程=3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；③设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强；④在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．其中错误的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①，由条件利用方差的定义；②，直线的单调性判定；③，根据具有相关关系的两个变量的相关系数值与相关性判断；④，由独立性检验中K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大判断；【解答】解：对于①，根据方差公式，可知将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变．故①正确；对于②，变量x增加一个单位时，y平均减小5个单位，故②不正确；对于③，设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越弱，故③错误；对于④，在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，故④正确．故选：C【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了变量间的相关关系，熟记教材结论是关键，是基础题8．（5分）（2014•金州区校级模拟）设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a﹣3）x的导函数为f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线：y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为（）A．9x﹣y﹣16=0 B．9x+y﹣16=0 C．6x﹣y﹣12=0 D．6x+y﹣12=0【分析】先由求导公式求出f′（x），根据偶函数的性质，可得f′（﹣x）=f′（x），从而求出a的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+（a﹣3），∵f′（x）是偶函数，∴3（﹣x）2+2a（﹣x）+（a﹣3）=3x2+2ax+（a﹣3），解得a=0，∴f（x）=x3﹣3x，f′（x）=3x2﹣3，则f（2）=2，k=f′（2）=9，即切点为（2，2），切线的斜率为9，∴切线方程为y﹣2=9（x﹣2），即9x﹣y﹣16=0．故选：A．【点评】本题主要考查求导公式，偶函数的性质以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．9．（5分）（2014•陈仓区校级三模）设函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]．若从区间[﹣5，5]内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x满足f（x）≤0的概率为（）A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，由f（x）≤0，得到x2﹣x﹣2≤0，解得：﹣1≤x≤2，∴P==0.3，故选C．【点评】本题主要考查了几何概型，以及一元二次不等式的解法，概率题目的考查中，概率只是一个载体，其他内容占的比重较大，属于基础题．10．（5分）（2017•江西二模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．36πB．8π C．πD．π【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，根据直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，由外接球的结构特征，求出它的半径与表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱锥；如图所示；则该直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，设几何体外接球的半径为R，∵底面是等腰直角三角形，∴底面外接圆的半径为1，∴R2=1+1=2，∴外接球的表面积是4πR2=8π．故选：B．【点评】本题考查了根据几何体的三视图求对应的几何体的表面积的应用问题，是基础题目．11．（5分）（2014•石家庄一模）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c且满足csinA=acosC，则sinA+sinB的最大值是（）A．1 B．C．3 D．【分析】根据正弦定理求出角C的大小，利用辅助角公式即可得到结论．【解答】解：∵csinA=acosC，∴由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，∴tanC=，即C=，则A+B=，∴B=﹣A，0＜A＜，∴sinA+sinB=sinA+sin（﹣A）=sinA+=sinA+cos A=sin（A），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴当A+=时，sinA+sinB取得最大值，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用正弦定理求出C的大小是解决本题的关键．12．（5分）（2014•安庆三模）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}【分析】构造函数g（x）=e x•f（x）﹣e x，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g（0）=1，可得不等式e x•f（x）＞e x+1的解集．【解答】解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选A【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g（x）=e x•f （x）﹣e x，是解答的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2016秋•重庆月考）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3= （﹣4，7）．【分析】由向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，求出m的值，则2+3的答案可求．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，∴﹣2+2m=0，解得m=1，则2+3=2×（1，2）+3×（﹣2，1）=（﹣4，7）．故答案为：（﹣4，7）．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了平面向量的坐标运算，是基础题．14．（5分）（2016秋•重庆月考）已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=1，且对任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，则f（2016）+f（2017）= 1 ．【分析】求出f（2）=0，可得f（x）是以4为周期的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解，即可得出结论．：【解答】解：∵f（x+4）=f（x）+f（2）中，∴令x=﹣2，得f（2）=f（﹣2）+f（2），即f（﹣2）=0．又f（x）是R上的奇函数，故f（﹣2）=﹣f（2）=0．f（0）=0，∴f（2）=0，故f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，从而f（2017）=f（4×504+1）=f（1）=1．f（2016）=f（4×504）=f（0）=0．故f（2016）+f（2017）=0+1=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查函数值的计算以及奇函数、周期函数的应用，确定f（x）是以4为周期的周期函数是关键．15．（5分）（2016•银川校级一模）已知a，b，c是△ABC的三边，若满足a2+b2=c2，即，△ABC为直角三角形，类比此结论：若满足a n+b n=c n（n∈N，n≥3）时，△ABC 的形状为锐角三角形．（填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形”）．【分析】由已知的等式c n=a n+b n，得到c为三角形的最大边，利用不等式的性质及作差的方法判断得到a2+b2＞c2，然后利用余弦定理表示出cosC，由得到的a2+b2＞c2，判断出cosC大于0，即C为锐角，根据三角形边角关系：大边对大角，得到三角形三内角都为锐角，从而得到三角形为锐角三角形．【解答】解：∵c n=a n+b n，∴c＞a，c＞b，即c为最大边，∴c n﹣2＞a n﹣2，c n﹣2＞b n﹣2，即c n﹣2﹣a n﹣2＞0，c n﹣2﹣b n﹣2＞0，∴（a2+b2）c n﹣2﹣c n=（a2+b2）c n﹣2﹣a n﹣b n=a2（c n﹣2﹣a n﹣2）+b2（c n﹣2﹣b n﹣2）＞0，即（a2+b2）c n﹣2＞c n，∴a2+b2＞c2，∴cosC=＞0，则△ABC也是锐角三角形，故答案为：锐角三角形．【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有三角形的边角关系，不等式的基本性质，余弦函数的图象与性质以及余弦定理，其中利用作差法判断出a2+b2＞c2是解本题的关键．16．（5分）（2016春•潜江校级期中）已知函数f（x）=的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是0＜a＜．【分析】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0x，x＞0的图象至少作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=loga有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log5，a5＞，即loga则5，解得0＜a＜，故答案为：0＜a＜【点评】本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，过程或演算步骤）17．（12分）（2016春•陕西校级期末）某食品安检部门调查一个养殖场的养殖鱼的有关情况，安检人员从这个养殖场中不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：千克），并将所得数据进行统计得如表．若规定重量大于或等于1.20kg的鱼占捕捞鱼总量的15%以上时，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题．（1）根据统计表，估计数据落在[1.20，1.30）中的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否有问题？（2）上面所捕捞的100条鱼中，从重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）的鱼中，任取2条鱼来检测，求恰好所取得鱼的重量在[1.00，1.05）和[1，.25，1.30）中各有1条的概率．【分析】（1）捕捞的100条鱼中间，求出数据落在[1.20，1.25）的概率，再求出数据落在[1.20，1.30）中的概率，相加即得所求．（2）重量在[1.00，1.05）的鱼有3条，把这3条鱼分别记作A1，A2，A3，重量在[1.25，1.30）的鱼有2条，分别记作：B1，B2，写出所有的可能选法，再找出满足条件的选法，从而求得所求事件的概率．【解答】解：（1）捕捞的100条鱼中，数据落在[1.20，1.30）中的概率约为P1==0.11，由于0.11×100%=11%＜15%，故饲养的这批鱼没有问题．（2）重量在[1.00，1.05）的鱼有3条，把这3条鱼分别记作A1，A2，A3，重量在[1.25，1.30）的鱼有2条，分别记作B1，B2，那么从中任取2条的所有的可能有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}共10种．而恰好所取得鱼的重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）中各有1条的情况有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共6种．所以恰好所取得鱼的重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）中各有1条的概率p==．【点评】本题主要考查用列举法求基本事件及事件发生的概率，属于基础题．18．（12分）（2016•兰州模拟）在等差数列{an }中，a2+a7=﹣23，a3+a8=﹣29．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an +bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn．【分析】（Ⅰ）依题意 a3+a8﹣（a2+a7）=2d=﹣6，从而d=﹣3．由此能求出数列{an}的通项公式．（Ⅱ）由数列{an +bn}是首项为1，公比为c的等比数列，得，所以．所以=．由此能求出{bn}的前n项和Sn．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差是d．依题意 a3+a8﹣（a2+a7）=2d=﹣6，从而d=﹣3．所以 a2+a7=2a1+7d=﹣23，解得 a1=﹣1．所以数列{an }的通项公式为 an=﹣3n+2．（Ⅱ）解：由数列{an +bn}是首项为1，公比为c的等比数列，得，即，所以．所以=．从而当c=1时，；当c≠1时，．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．19．（12分）（2017•鹿城区校级模拟）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x），根据x的取值范围，求出f（x）的取值范围，即得最值；（2）先根据f（C）=0求出C的值，再根据向量共线以及正弦、余弦定理求出a、b的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1．…（3分）∵﹣≤x≤，∴，∴，从而﹣1﹣≤sin（2x﹣）﹣1≤0．则f（x）的最小值是，最大值是0．…（7分）（2），则，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴，解得C=．…（10分）∵向量与向量共线，∴sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a①由余弦定理得，，即a2+b2﹣ab②由①②解得a=1，b=2．…（15分）【点评】本题考查了三角恒等变换的应用问题，也考查了平面向量的应用以及正弦余弦定理的应用问题，是综合性题目．20．（12分）（2015•天水校级模拟）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．【分析】（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，可证AD∥EF，又EF⊆平面EFB AD⊄平面EFB，可证AD∥平面EFB．（2）设点C到平面ABD的距离为h，由于可证AD⊥BD，可得，又三棱锥B﹣ACD=2，由=即可解得点C到平面ABD的距离．的高BC=2，S△ACD【解答】（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，∴EF为△ACD的中位线∴AD∥EF，EF⊆平面EFB，AD⊄平面EFB∴AD∥平面EFB．（2）设点C到平面ABD的距离为h，∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AD，而AD⊥DC•∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD•∴•∴三棱锥B﹣ACD的高BC=2，S=2，△ACD∴=∴可解得：h=．【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．（12分）（2016秋•朝阳区期中）已知函数f（x）=ax﹣﹣（a+1）lnx，a∈R．（I）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a≥1，且f（x）＞1在区间[，e]上恒成立，求a的取值范围；（III）若a＞，判断函数g（x）=x[f（x）+a+1]的零点的个数．【分析】（1）当a=﹣2时，对f（x）求导，求出导函数的零点，即可判断单调区间；（2）若a≥1，且f（x）＞1在区间[，e]上恒成立，即：f（x）在[，e]上的最小值大于1；利用导数求判断函数f（x）的最小值．（3）分类讨论判断g'（x）的单调性与函数的最小值，从而验证g（x）在区间（0，+∞）上单调递增．再构造新函数h（a）=e3a﹣（2lna+6），证明h（a）＞0，进而判断函数g（x）是否穿过x轴即可．【解答】解：（Ⅰ）若a=﹣2，则，x∈（0，+∞）由f'（x）＞0得，0＜x＜1；由f'（x）＜0得，x＞1．所以函数f（x）的单调增区间为（0，1）；单调减区间为（1，+∞）．＞1.，a≥1．（Ⅱ）依题意，在区间上f（x）min令f'（x）=0得，x=1或．若a≥e，则由f'（x）＞0得，1＜x≤e；由f'（x）＜0得，．所以f（x）=f（1）=a﹣1＞1，满足条件；min若1＜a＜e，则由f'（x）＞0得，或1＜x≤e；由f'（x）＜0得，.，依题意，即，所以2＜a＜e．若a=1，则f'（x）≥0．所以f（x）在区间上单调递增，，不满足条件；综上，a＞2．（ III）x∈（0，+∞），g（x）=ax2﹣（a+1）xlnx+（a+1）x﹣1．所以g'（x）=2ax﹣（a+1）lnx．设m（x）=2ax﹣（a+1）lnx，．令m'（x）=0得．当时，m'（x）＜0；当时，m'（x）＞0．所以g'（x）在上单调递减，在上单调递增．所以g'（x）的最小值为．因为，所以．所以g'（x）的最小值．从而，g（x）在区间（0，+∞）上单调递增．又，设h（a）=e3a﹣（2lna+6）．则．令h'（a）=0得．由h'（a）＜0，得；由h'（a）＞0，得．所以h（a）在上单调递减，在上单调递增．所以．所以h（a）＞0恒成立．所以e3a＞2lna+6，．所以．又g（1）=2a＞0，所以当时，函数g（x）恰有1个零点．【点评】本题主要考查了利用导数求函数的单调性、函数最值，构造新函数以及函数零点个数等知识点，属中等题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，将你所选的题号图在答题卡上再作答．如果多选多做．则按第一题记分．[选修4-4：极坐标系与参数方程]22．（10分）（2016•岳阳校级一模）已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程（2）若直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，求直线l被曲线C截得的弦长．【分析】（1）曲线c的参数方程消去参数α，得到普通方程，然后求出曲线c的极坐标方程．（2）求出l的直角坐标方程为x+y﹣1=0，利用圆心到直线的距离，半径半弦长关系求解即可．【解答】解：（1）∵曲线c的参数方程为（α为参数），∴曲线c的普通方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，将代入并化简得：ρ=4cosθ+2sinθ．…（5分）即曲线c的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ，（2）∵l的直角坐标方程为x+y﹣1=0，∴圆心c到直线l的距离为d==∴弦长为2=2．…（10分）【点评】本题考查参数方程与极坐标方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016秋•惠来县校级期末）已知函数f（x）=|x﹣a|，不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由f（x）≤3求解绝对值的不等式，结合不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]列式求得实数a的值；（Ⅱ）利用绝对值的不等式放缩得到f（x）+f（x+5）≥5，结合f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，即可求得实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）≤3，得|x﹣a|≤3，∴a﹣3≤x≤a+3，又f（x）≤3的解集为[﹣1，5]．∴，解得：a=2；（Ⅱ）∵f（x）+f（x+5）=|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x﹣3）|=5．又f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，∴m≤5．【点评】本题考查恒成立问题，考查了绝对值不等式的解法，是中档题．。

重庆市2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷(理科) Word版含解析

重庆市2016-2017学年高三上学期12月月考试卷（理科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x ∈Z|（x+1）（x ﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x ＜2}，则A ∩B=（） A ．{x|﹣1≤x ＜2} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1，2} D ．{﹣1，1}2．在△ABC 中，“A=”是“cosA=“的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知i 是虚数单位，复数=（）A ．i ﹣2B ．2+iC ．﹣2D ．24．已知等比数列{a n }中，若a 4=10，a 8=，那么a 6=（） A ．﹣5 B ．5C ．±5D ．255．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A ．B ．C ．D ．6．有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（） A ．120 B ．240 C ．360 D ．4807．若二项式（2x﹣）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．﹣2 B．﹣C．﹣1 D．﹣8．设z=2x+y，其中变量x，y满足条件，若z的最小值为3，则m的值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]10．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）11．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=30°，则x的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣，]12．已知a，b∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣2在x=﹣处于直线y=ax+b﹣ln2相切，设g（x）=e x+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m（）A．有最小值﹣e B．有最小值e C．有最大值e D．有最大值e+1二、填空题（本大题4小题，共20分）13．已知向量=（sinθ，1），=（2cosθ，﹣1）且θ∈（0，π），若⊥，则θ= ．14．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污染，记甲、乙的平均成绩为，，则＞的概率是．15．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d 1+d2的最小值是．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sinA，sin（B﹣C）=4cosBsinC，则= ．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在各项均为正数的等比数列{an }中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（Ⅰ）求等比数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn }满足bn=11﹣2log2an，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．18．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．19．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，若f（A）=，a=，求△ABC面积的最大值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1、k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=mx﹣﹣lnx，m∈R函数g（x）=+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（﹣，）．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x）＞g（x）成立，求m的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+2|．（1）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，求实数m的最小值M；（2）在（1）的条件下，若正数a，b满足3a+b=﹣M，证明： +≥3．重庆市2016—2017学年高三上学期12月月考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜2} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，1}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出A，求出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1≤x≤2，x∈Z，即A={﹣1，0，1，2}，∵B={x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B．2．在△ABC中，“A=”是“cosA=“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数的性质结合充分必要条件判断即可．【解答】解：在△ABC中，0＜A＜π，由“A=”⇔“cosA=”，故选：C．3．已知i是虚数单位，复数=（）A．i﹣2 B．2+i C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数=﹣i=2+i ﹣i=2．故选：D ．4．已知等比数列{a n }中，若a 4=10，a 8=，那么a 6=（） A ．﹣5 B ．5C ．±5D ．25【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组求出首项和公比，由此能求出a 6．【解答】解：∵等比数列{a n }中，若a 4=10，a 8=，∴，解得或，∴a 6==（﹣20）（﹣）4=﹣5，（舍）或=20×（）4=5．故选：B ．5．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A ．B ．C ．D ．【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B6．有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A．120 B．240 C．360 D．480【考点】计数原理的应用．【分析】先从5个个部门任选三个，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个部门，根据分步计数原理可得答案【解答】解：先从5个个部门任选三个，有C53=10种，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个部门，故有C53•C42•A33=360，故答案为：360．7．若二项式（2x﹣）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．﹣2 B．﹣C．﹣1 D．﹣【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：二项式（2x﹣）7的展开式中通项公式：Tr+1=（2x）7﹣r=27﹣r（﹣a）r x7﹣2r．令7﹣2r=﹣3，解得r=5．∴的系数是=84，则实数a=﹣1．故选：C．8．设z=2x+y，其中变量x，y满足条件，若z的最小值为3，则m的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的最小值，利用数形结合即可得到m的值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，∵若z的最小值为3，∴2x+y=3，由，解得，同时（1，1）都在直线x=m上，∴m=1．故选：A．9．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）可得•=（x﹣1）2+y2﹣1，由∈[0，2]，即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）A（0，0），B（2，0）．∴•=（﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）=﹣x（2﹣x）+y2=（x﹣1）2+y2﹣1，由∈[0，2]，∴•∈[﹣1，3]，故选：C．10．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．11．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=30°，则x的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣，]【考点】圆方程的综合应用．【分析】易知M点在直线y=1上，若设圆x2+y2=1与直线y=1的交点为T，显然假设存在点N，使得∠OMN=30°，则必有∠OMN≤∠OMT，所以只需∠OMT≥30°即可，借助于三角函数容易求出x的范围．【解答】解：易知M（x，1）在直线y=1上，设圆x2+y2=1与直线y=1的交点为T，显然假设存在点N，使得∠OMN=30°，则必有∠OMN≤∠OMT，所以要是圆上存在点N，使得∠OMN=30°，只需∠OMT≥30°，因为T（0，1），所以只需在Rt△OMT中，tan∠OMT==≥tan30°=，解得，当x=0时，显然满足题意，故x∈[]．故答案选A12．已知a，b∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣2在x=﹣处于直线y=ax+b﹣ln2相切，设g（x）=e x+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m（）A．有最小值﹣e B．有最小值e C．有最大值e D．有最大值e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，结合函数f（x）=ln（x+1）﹣2在x=﹣处于直线y=ax+b﹣ln2相切，可得b=﹣1，a=2，求出g（x）的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到m的最值．【解答】解：由f（x）=ln（x+1）﹣2，得f′（x）=，∵函数f（x）=ln（x+1）﹣2在x=﹣处于直线y=ax+b﹣ln2相切，∴a=f′（﹣）=，f（﹣）=ln﹣2=，则a=2，b=﹣1，∴g（x）=e x﹣x2+2，令h（x）=g′（x）=e x﹣2x，∴h′（x）=e x﹣2，在[1，2]上h′（x）＞0恒成立，即h（x）在[1，2]上递增，即g′（x）在[1，2]上递增，则有g′（x）≥g′（1）=e﹣2＞0，则g（x）在[1，2]上递增，∴g（1）最小，g（2）最大，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，即有，解得m≤﹣e或e≤m≤e+1．即m的最大值为e+1．故选：D．二、填空题（本大题4小题，共20分）13．已知向量=（sinθ，1），=（2cosθ，﹣1）且θ∈（0，π），若⊥，则θ= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据便可得出，进而得出sin2θ=1，根据θ的范围可求出2θ的范围，从而可求出2θ，进而求出θ．【解答】解：∵；∴；∴sin2θ=1；∵θ∈（0，π）；∴2θ∈（0，2π）；∴；∴．故答案为：．14．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污染，记甲、乙的平均成绩为，，则＞的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】由茎叶图求出，，由＞，得90＜89+，x ∈N ，由此能过河卒子同＞的概率．【解答】解：由已知中的茎叶图可得乙的5次综合测评中的成绩分别为87，86，92，94，91，则乙的平均成绩： =（87+86+92+94+91）=90设污损数字为x则甲的5次综合测评中的成绩分别为85，87，84，99，90+X甲的平均成绩： =（85+87+84+99+90+x ）=89+，∵＞，∴90＜89+，x ∈N ，解得x 的可能取值为6，7，8，9，∴＞的概率是p==．故答案为：．15．已知点P 在单位圆x 2+y 2=1上运动，P 到直线3x ﹣4y ﹣10=0与x=3的距离分为d 1、d 2，则d 1+d 2的最小值是 5﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P （cosu ，sinu ），求出P 到直线3x ﹣4y ﹣10=0与x=3的距离分为d 1、d 2，即可求出d 1+d 2的最小值．【解答】解：设点P （cosu ，sinu ），P 到直线3x ﹣4y ﹣l0=0的距离为d 1=|3cosu ﹣4sinu ﹣10|=（10﹣3cosu+4sinu ），d 2=3﹣cosu ，∴d 1+d 2=（10﹣3cosu+4sinu ）+3﹣cosu=5+（4sinu ﹣8cosu ）=5+sin （u﹣t ），∴它的最小值=5﹣．故答案为：5﹣．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2=sinA ，sin （B ﹣C ）=4cosBsinC ，则= 1+．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】利用二倍角公式化简求出cosA=﹣，由余弦定理得a 2=b 2+c 2+bc ，将sin （B ﹣C ）=4cosBsinC 展开得sinBcosC=5cosBsinC ，利用正余弦定理将角化边，即可得出关于的一元二次方程，解出即可．【解答】解：在△ABC 中，∵2cos 2=sinA ，∴1+cosA=sinA ，∴1+2cosA+cos 2A=sin 2A=cos 2A ．∴cos 2A+cosA+=0，解得cosA=﹣或cosA=﹣1（舍）．∴=﹣，∴a 2=b 2+c 2+bc ．∵sin （B ﹣C ）=4cosBsinC ，∴sinBcosC=5cosBsinC ．即bcosC=5ccosB ．∴b ×=5c ×，即2a 2+3c 2﹣3b 2=0．把a 2=b 2+c 2+bc 代入上式得2（b 2+c 2+bc ）+3c 2﹣3b 2=0，即5c 2﹣b 2+2bc=0．∴﹣（）2+2+5=0，解得=1+或=1﹣（舍）．故答案为：1+．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1=2，且2a 1，a 3，3a 2成等差数列．（Ⅰ）求等比数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b n =11﹣2log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由等差中项和等比数列的通项公式列出方程，结合题意求出q 的值，再代入等比数列的通项公式化简；（Ⅱ）由（Ⅰ）和题意化简 b n ，并判断出数列{b n }是等差数列，求出首项和公差，代入等差数列的前n 项和公式，再对T n 进行配方，根据二次函数的性质求出它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，a n ＞0 因为2a 1，a 3，3a 2成等差数列，所以2a 1+3a 2=2a 3，即，所以2q 2﹣3q ﹣2=0，解得q=2或（舍去），又a 1=2，所以数列{a n }的通项公式．（Ⅱ）由题意得，b n =11﹣2log 2a n =11﹣2n ，则b 1=9，且b n+1﹣b n =﹣2，故数列{b n }是首项为9，公差为﹣2的等差数列，所以=﹣（n ﹣5）2+25，所以当n=5时，T n 的最大值为25．18．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．（II）由频率分布直方图得不小于40岁的人的频数是25人，由此能求出在[50，60）年龄段抽取的人数．（III）由已知X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（I）由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率为：1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3，即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为100×0.3=30人．…（II）由（I）知，年龄段在[40，50），[50，60）的人数分别为100×0.15=15人，100×0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴在[50，60）年龄段抽取的人数为10×=2人．…（III）由已知X=0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，∴X的分布列为∴EX=0×+1×+2×=．…19．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，若f（A）=，a=，求△ABC面积的最大值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得f（x）的单调递增区间．（2）由题意可解得：sin（2A﹣）=，结合范围0，解得A的值．由余弦定理可得：3≥bc，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=cosx（sinx+cosx）﹣cos2x+=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+=sin2x﹣×+=sin（2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）∵f（A）=sin（2A﹣）=，解得：sin（2A﹣）=，∵0，﹣＜2A﹣＜，∴解得：2A﹣=，即A=．∴由余弦定理可得：3=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，∴S△ABC=bcsinA=bc≤=．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1、k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程，运用韦达定理和三点共线斜率相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．【解答】解：（1）由题意得e==，a2﹣b2=c2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切，可得d==b，解得a=4，b=2，c=2，故椭圆C的方程为+=1；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程3x2+4y2=48，得（4+3m 2）y 2+18my ﹣21=0，∴y 1+y 2=﹣，y 1y 2=﹣，由A ，P ，M 三点共线可知，=，即y M =•；同理可得y N =•．所以k 1k 2=•==．因为（x 1+4）（x 2+4）=（my 1+7）（my 2+7=m 2y 1y 2+7m （y 1+y 2）+49，所以k 1k 2===﹣．即k 1k 2为定值﹣．21．已知函数f （x ）=mx ﹣﹣lnx ，m ∈R 函数g （x ）=+lnx 在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（﹣，）．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）当m=0时，求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅲ）若在[1，e]上至少存在一个x 0，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求m 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性得得到cos θ﹣1≥0，求出θ的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；（Ⅲ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），通过讨论m 的范围，结合函数的单调性求出F （x ）的最大值，从而确定m 的范围即可．【解答】解（Ⅰ）∵g′（x ）=，又g （x ）在[1，+∞）递增，只需cos θ﹣1≥0，且θ∈（﹣，），∴θ=0；（Ⅱ）当m=0时，f （x ）=﹣lnx （x ＞0），f′（x ）=，当0＜x ＜2e ﹣1时，f′（x ）＞0，f （x ）递增，当x ＞2e ﹣1时，f′（x ）＜0，f （x ）递减， ∴f （x ）极大值=f （2e ﹣1）=﹣1﹣ln （2e ﹣1）；（Ⅲ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=mx ﹣﹣2lnx ，x ∈[1，e]，（1）m ≤0时，∵x ∈[1，e]，∴F （x ）=m （x ﹣）﹣﹣2lnx ＜0，∴在[1，e]上不存在x 0，使得f （x 0）＞g （x 0），（2）m ＞0时，F′（x ）=，∵x ∈[1，e]，∴mx 2+m ＞0，2e ﹣2x ≥0， ∴F′（x ）＞0，F （x ）递增，∴F （x ）max =F （e ）=me ﹣﹣4＞0，∴m ＞．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为为参数）．（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M （x ，y ），求的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；伸缩变换；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（1）利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x﹣1）代入下式消去参数t即可；（2）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出最小值．【解答】解：（1）直线l的参数方程为为参数）．由上式化简成t=2（x﹣1）代入下式得根据ρ2=x2+y2，进行化简得C：x2+y2=1（2）∵代入C得∴设椭圆的参数方程为参数）则则的最小值为﹣4．23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+2|．（1）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，求实数m的最小值M；（2）在（1）的条件下，若正数a，b满足3a+b=﹣M，证明： +≥3．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得f（x）的最小值，从而求得实数m的最小值M．（2）由题意可得即=1，故有+=+=++，再利用基本不等式证得+≥3．【解答】解：函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+2|表述数轴上的x的对应点到3对应点的距离减去它到﹣2对应点的距离，它的最小值为﹣5，最大值为5，（1）若不等式f（x）≥|m﹣1|有解，则5≥|m﹣1|，即﹣5≤m﹣1≤5，求得﹣4≤m≤6，故实数m的最小值M=﹣4．（2）在（1）的条件下，若正数a，b满足3a+b=﹣M=4，即=1，∴+=+=++≥+2+3=+2•=3，即+≥3．。

2017-2018学年陕西省高三(上)12月月考数学试卷(文科)Word版(解析版)

2017-2018学年陕西省高三（上）12月月考试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}2．=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），x3+x＜0 D．∃x∈[0，+∞），x3+x≥04．若=，则tan2α的值为（）A．B．C．﹣D．35．已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为（）A．B．C．D．6．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和07．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（）A．8 cm B．6 cm C．2（1+） cm D．2（1+2） cm8．当x＞1时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，3]9．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A．120 cm3 B．80 cm3C．100 cm3 D．60 cm310．等差数列{an }的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C． D．11．若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=﹣f（x+），且f（1）=1，则f（2017）等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣212．若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（log45），c=f（2），则a，b，c满足（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知曲线y=x n在点（1，0）处的切线与直线2x﹣y+1=0平行，则实数n= ．14．设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（3，﹣6），且⊥，∥，则（+）•= ．15．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A．a＜5 B．a≥7 C．5≤a＜7 D．a＜5或a≥716．已知正数x，y满足3x+4y=xy，则x+3y的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．18．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称中心（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．19．（12分）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．20．（12分）在等差数列{an }中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=（Ⅰ）求an 与bn；（Ⅱ）设数列{cn }满足cn=，求{cn}的前n项和Tn．21．（12分）已知函数f（x）=3ax﹣2x2+lnx，a为常数．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．[选修4-4直角坐标系及参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值与最大值．[选修4-5不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣3|+（x+4）（1）将f（x）用分段函数表示；（2）解不等式f（x）＜11．2017-2018学年陕西省高三（上）12月月考试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2013•北京）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（2013•新课标Ⅰ）=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i【分析】利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果．【解答】解：====﹣1+i．故选 B．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的乘方运算，考查计算能力．3．（2014•福建）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），x3+x＜0 D．∃x∈[0，+∞），x3+x≥0【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．【解答】解：∵命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞），x3+x＜0故选C．【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．4．（2016秋•洛阳期中）若=，则tan2α的值为（）A．B．C．﹣D．3【分析】由条件求得tanα=3，再根据tan2α=，计算求得结果．【解答】解：∵==，∴tanα=3，则tan2α===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．5．（2016秋•平罗县校级月考）已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：∵=3+2=5，==，==．∴===，∴与的夹角为，故选：B．【点评】本题考查了向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（2013•福建）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点N（1，0）时的最小值，过点M（2，0）时，2x+y最大，从而得到选项．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示在坐标系中画出可行域平移直线2x+y=0，经过点N（1，0）时，2x+y最小，最小值为：2，则目标函数z=2x+y的最小值为2．经过点M（2，0）时，2x+y最大，最大值为：4，则目标函数z=2x+y的最大值为：4．故选B．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．7．（2014秋•五华区校级期中）如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（）A．8 cm B．6 cm C．2（1+） cm D．2（1+2） cm【分析】判断水平放置的平面图形的直观图的圆图形，求出边长即可求解周长．【解答】解：正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图是平行四边形，相邻边长为：1和=3，原图的周长是：8．故选：A．【点评】本题考查平面图形的直观图的画法，边长的求法，考查计算能力．（2013•宣武区校级模拟）当x＞1时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）8．A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，3]【分析】由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．【解答】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x﹣1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．故选D．【点评】本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．9．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A．120 cm3 B．80 cm3C．100 cm3 D．60 cm3【分析】由题意，几何体是长宽高分别是5，4，6cm的长方体剪去一个角，画出图形，明确对应数据，计算体积即可．【解答】解：由题意，几何体是长宽高分别是5，4，6cm的长方体剪去一个角，如图：所以几何体的体积为5×4×6=100cm3；故选C．【点评】本题考查了由几何体的三视图求对应几何体的体积；正确还原几何体是解答的关键．10．（2014•新课标Ⅱ）等差数列{an }的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C． D．【分析】由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴Sn =na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．11．（2016秋•平罗县校级月考）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=﹣f（x+），且f（1）=1，则f（2017）等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】求出函数的周期，然后化简求解即可．【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x）=﹣f（x+），可得f（x+3）=f（（x+）+）=﹣f（x+）=f（x），函数的周期为3．f（2017）=f（672×3+1）=f（1）=1．故选：A．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．12．（2017•玉林一模）若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（log45），c=f（2），则a，b，c满足（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】由偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，可得f（x）在{0，+∞）上单调递增，比较三个自变量的大小，可得答案．【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，∴f（x）在{0，+∞）上单调递增，∵2＞log23=log49＞log45，2＞2，∴f（log45）＜f（log23）＜f（2），∴b＜a＜c，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2016秋•平罗县校级月考）已知曲线y=x n在点（1，0）处的切线与直线2x﹣y+1=0平行，则实数n= 2 ．【分析】先求曲线的导数，求出切点处的斜率，然后解n即可．【解答】解：直线2x﹣y+1=0的斜率为2，曲线y=x n﹣1在点（1，0）处的切线的斜率也是2；而y′=nx n﹣1，所以f′（1）=n=2故答案为：2．【点评】本题考查曲线的导数，和直线的斜率的关系，直线的平行，是基础题．14．（2016秋•平罗县校级月考）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（3，﹣6），且⊥，∥，则（+）•= 15 ．【分析】根据且⊥，∥，建立方程关系，即可求出x，y的值，然后根据数量积的坐标公式进行计算即可．【解答】解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（3，﹣6），且⊥，∥，∴3x﹣6=0且﹣6﹣3y=0，即x=2，y=﹣2，∴（+）•=•+•=3x﹣6+3﹣6y=0+3+6×2=15．故答案为；15．【点评】本题只要考查向量的坐标公式，要求熟练掌握向量垂直和向量平行的坐标公式的应用，以及向量数量积的坐标公式，比较基础．15．（2007•北京）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A．a＜5 B．a≥7 C．5≤a＜7 D．a＜5或a≥7【分析】先画出另外两个不等式表示的区域，再调整a的大小，使得不等式组表示的平面区域是一个三角形即可．【解答】解：由图可知5≤a＜7，故选C．【点评】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查作图能力和对图形的分析能力．16．（2015•山东一模）已知正数x，y满足3x+4y=xy，则x+3y的最小值为25 ．【分析】由正数x，y满足3x+4y=xy，可得．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由正数x，y满足3x+4y=xy，∴．∴x+3y==13+≥13+2=25，当且仅当x=2y=10时，取等号．∴x+3y的最小值为25．故答案为：25．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2016春•延安校级期末）若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．【分析】（1）由不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}，利用根与系数关系列式求出a的值，把a代入不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0后直接利用因式分解法求解；（2）代入a得值后，由不等式对应的方程的判别式小于等于0列式求解b的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，1﹣a＜0，且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6=0的两根，∴，解得a=3．∴不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0即为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞．∴所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}；（2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，若此不等式的解集为R，则b2﹣4×3×3≤0，∴﹣6≤b≤6．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了一元二次方程的根与系数的关系，是基础的运算题．18．（12分）（2016秋•平罗县校级月考）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称中心（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．【分析】（1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，即可求周期和对称中心．（2）x∈[﹣，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1，化简可得：f（x）=cos2x﹣1+sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．∴f（x）的最小正周期T=，由2x+=kπ（k∈Z）可得对称中心的横坐标为x=kπ∴对称中心（kπ，0），（k∈Z）．（2）当x∈[﹣，]时，2x+∈[，]当2x+=时，函数f（x）取得最小值为．当2x+=时，函数f（x）取得最大值为2×1=2．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．19．（12分）（2016秋•平罗县校级月考）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．【分析】画出四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体，然后求出圆台的底面积、圆台的侧面积及圆锥的侧面积作和得答案；由圆台的体积减去圆锥的体积求得几何体的体积．【解答】解：如图，∵∠ADC=135°，∴∠CDE=45°，又CD=2，∴DE=CE=2，又AB=5，AD=2，∴BC=5．则圆台上底面半径r1=2，下底面半径r2=5，高h=4，母线长l=5，圆锥底面半径r1=2，高h′=2．∴S表面=S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=π×52+π×（2+5）×5+π×2×2=（4+60）π；V=V圆台﹣V圆锥=π（25+10+4）×4﹣π×4×2=．【点评】本题考查了旋转体的结构特征，面积和体积计算，属于中档题．20．（12分）（2016•佛山模拟）在等差数列{an }中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=（Ⅰ）求an 与bn；（Ⅱ）设数列{cn }满足cn=，求{cn}的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法，建立方程组，求出d，q，即可求an 与bn；（Ⅱ）确定数列{cn }的通项，利用裂项法，可求{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，因为所以…（2分）解得 q=3或q=﹣4（舍），d=3．…（4分）故an=3+3（n﹣1）=3n，．…（6分）（Ⅱ）∵Sn=，∴cn===（﹣），∴Tn=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，属于中档题．21．（12分）（2014•七里河区校级一模）已知函数f（x）=3ax﹣2x2+lnx，a为常数．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．【分析】（1）先求函数的导函数f′（x），并将其因式分解，便于解不等式，再由f′（x）＞0，得函数的单调增区间，由f′（x）＜0，得函数的单调减区间（2）先求函数的导函数f′（x），将函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数问题转化为则f′（x）≥0，或f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立问题，进而将不等式参变分离，转化为求函数最值问题即可【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=3x﹣2x2+lnx，则f（x）的定义域是（0，+∞）∵．∴由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1；∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．（2）∵．若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，则f′（x）≥0，或f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立．∴，或在区间[1，2]上恒成立．即，或在区间[1，2]上恒成立．设h（x）=，∵h′（x）=4+＞0∴h（x）=在区间[1，2]上是增函数．h（x）max =h（2）=，h（x）min=h（1）=3∴只需3a≥，或3a≤3．∴a≥，或a≤1．【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间的方法，已知函数的单调区间求参数范围的方法，体现了导数在函数单调性中的重要应用；不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法[选修4-4直角坐标系及参数方程]22．（10分）（2016•锦州二模）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值与最大值．【分析】（Ⅰ）首先把直线的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把点的极坐标转化为直角坐标，进一步判断点和直线的关系．（Ⅱ）利用点到直线的距离直接求出最值，主要考虑三角函数的最值问题．【解答】解：（ I）将点P（4，）化为直角坐标，得到：P（2，2），将直线l的参数方程为（t为参数），转化为直角坐标方程为：y=，因为≠2，所以点P坐标不满足直线l的方程，所以点P不在直线l上．（ II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q（cosθ，2+sinθ）点Q到直线l：的距离为：d==，所以当时，，当时，，故点Q到直线l的距离的最小值为，最大值为．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程的互化，点到直线的距离的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角函数的最值得应用．主要考查学生的应用能力．[选修4-5不等式选讲]23．（2015•张掖校级模拟）设函数f（x）=|x﹣3|+（x+4）（1）将f（x）用分段函数表示；（2）解不等式f（x）＜11．【分析】（1）分x＜3与x≥3讨论，去掉绝对值符号，即可将f（x）用分段函数表示；（2）利用（1）的结果，解相应的不等式，最后取并即可．【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣3|+（x+4），∴当x＜3时，f（x）=3﹣x+（x+4）=7；当x≥3时，f（x）=x﹣3+（x+4）=2x+1；∴；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）；（2）当x＜3时，f（x）=7＜11，恒成立；当x≥3时，f（x）=2x+1＜11，解得：3≤x＜5；综上所述，不等式f（x）＜11的解集为：{x|x＜5}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，通过对自变量范围的分类讨论，去掉绝对值符号是解决问题的关键，属于基础题．。

2017-2018学年湖南省高三(上)12月月考数学试卷(理科)Word版(解析版)

2017-2018学年湖南省高三（上）12月月考试卷（理科数学）一．选择题：（所给的四个选项中，仅有一个选项是正确的，每小题5分，共60分）1．（5分）已知实数满足a＞b＞c，且a+b+c=0，则下列不等式中正确的是（）A．ab＜ac B．ac＜bc C．a|b|＞c|b| D．a2＞b2＞c22．（5分）已知数列{an }中；a1=3，a2=6，且an+2=an+1﹣an，则数列的第100项为（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣63．（5分）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）等差数列{an }的前n项和为Sn，若a2=3，a3=5，则S4=（）A．8 B．10 C．12 D．165．（5分）满足条件的△ABC的个数是（）A．零个B．一个C．两个D．无数个6．（5分）已知Sn 是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．2 B．4 C．6 D．87．（5分）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有面均是边长为1的菱形，∠DAB=∠A1AB=∠A1AD=60°，则对角线AC1的长为（）A．2 B．4 C．D．8．（5分）已知数列{an }为等比数列，其中a5，a9为方程x2+2016x+9=0的二根，则a7的值（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．99．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3 B．1 C．3 D．010．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=（）A．90°B．60°C．45°D．30°11．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．命题“∃x0∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题12．（5分）已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，G是△ABC的三条边上中线的交点，若=，且≥m+c恒成立，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．三．填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，a=3，c=4，则sinA= ．14．（5分）若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为．15．（5分）已知等比数列{an }的前n项和为Sn，，且满足Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列，则a3等于．16．（5分）使不等式a2+b2+2＞λ（a+b）对任意的正数a，b恒成立的实数λ的取值范围是．三．解答题：17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C对应的三边长分别为a，b，c，且满足c（acosB﹣b）=a2﹣b2．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=，求b+c的取值范围．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC1）求角C大小；（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点．（Ⅰ）证明：AB⊥平面BEF；（Ⅱ）若PA=，求二面角E﹣BD﹣C．20．（12分）设p：实数x满足（x﹣3a）（x﹣a）＜0，其中a＞0，q：实数x满足，若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．（12分）已知各项均不相等的等差数列{an }的前五项和S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Tn 为数列{}的前n项和，若存在n∈N*，使得Tn﹣λan+1≥0成立．求实数λ的取值范围．22．（12分）已知各项为正数的数列{an }的前{Sn}，满足（Ⅰ）求证：{an}为等差数列，并求其通项公式；（Ⅱ）设{bn }满足bn+1=2bn，b2=2，求数列{anbn}的前n项和为Tn．2017-2018学年湖南省高三（上）12月月考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一．选择题：（所给的四个选项中，仅有一个选项是正确的，每小题5分，共60分）1．（5分）（2016秋•洛阳月考）已知实数满足a＞b＞c，且a+b+c=0，则下列不等式中正确的是（）A．ab＜ac B．ac＜bc C．a|b|＞c|b| D．a2＞b2＞c2【分析】a＞b＞c，且a+b+c=0，可得c＜0＜a，利用不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】解：∵a＞b＞c，且a+b+c=0，∴c＜0＜a，∴ac＜bc，故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）（2016秋•洛阳月考）已知数列{an }中；a1=3，a2=6，且an+2=an+1﹣an，则数列的第100项为（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6【分析】由an+2=an+1﹣an，得an+3=an+2﹣an+1，两式相加可得an+3=﹣an，由此可推得数列{an}的周期，据此可求得数列的第100项．【解答】解：由an+2=an+1﹣an，得an+3=an+2﹣an+1，两式相加，得an+3=﹣an，∴an+6=﹣an+3=﹣（﹣an）=an，∴数列{an}的周期为6，由a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an，得a3=a2﹣a1=3，a4=a3﹣a2=﹣3，a5=a4﹣a3=﹣6，a6=a5﹣a4=﹣3，∴数列的第100项a100=a16×6+4=a4=﹣3，故选：B．【点评】本题考查数列递推式及数列的函数特性，解决本题的关键是由数列递推式推导其周期，考查运算能力，属于中档题．3．（5分）（2015•陕西校级二模）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当时，成立．当α=时，满足，但不成立．故“”是“”的充分不必要条件．故选A．【点评】本题主要考查才充分条件和必要条件的应用，比较基础．4．（5分）（2016春•双鸭山校级期中）等差数列{an }的前n项和为Sn，若a2=3，a3=5，则S4=（）A．8 B．10 C．12 D．16【分析】利用S4==2（a2+a3）即可得出．【解答】解：∵a2=3，a3=5，则S4==2（a2+a3）=2×8=16．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2011•湛江二模）满足条件的△ABC的个数是（）A．零个B．一个C．两个D．无数个【分析】利用三角形解的判定方法：即bsinA＜a＜b，此三角形由两解．即可得出．【解答】解：∵=3，∴，即bsinA＜a＜b．因此，此三角形由两解．故选C．【点评】熟练掌握三角形解的判定方法是解题的关键．6．（5分）（2016春•双鸭山校级期中）已知Sn 是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S 1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】由S1，S2，S4成等比数列成等比数列，可得d=2a1，化简可得结果．【解答】解：数列{an}是公差不为0的等差数列，设公差为d，S 1，S2，S4成等比数列，∴（2a1+d）2=a1•（4a1+6d），化简可得d=2a1，∴===2，故选：A．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，同时考查等比数列的性质，求出d=2a1，是解题的关键，属于中档题．7．（5分）（2016秋•洛阳月考）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有面均是边长为1的菱形，∠DAB=∠A1AB=∠A1AD=60°，则对角线AC1的长为（）A．2 B．4 C．D．【分析】由已知得∴=（++）2，由此能求出对角线AC1的长．【解答】解：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，∴=（++）2=2+2+2+2•+2•+2•=1+1+1+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°=4，∴对角线AC1的长为2，故选A．【点评】本题考查两点间距离的求法，考查向量法的合理运用，正确运用向量法是关键．8．（5分）（2016秋•洛阳月考）已知数列{an }为等比数列，其中a5，a9为方程x2+2016x+9=0的二根，则a7的值（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．9【分析】利用根与系数的关系、等比数列的性质即可得出．【解答】解：∵数列{an }为等比数列，其中a5，a9为方程x2+2016x+9=0的二根，∴a5+a9=﹣2016，a5•a9=9，∴a5＜0，a9＜0，则a7==﹣3．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2017•河东区一模）已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3 B．1 C．3 D．0【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，可得当x=1，y=0时，z取得最大值1．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，1），B（2，1），C（1，0）设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值=F（1，0）=1∴z最大值故选：B．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x﹣2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．10．（5分）（2010•宣武区一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC•sinC∴sinC=1，C=．∴S=ab=（b2+c2﹣a2），解得a=b，因此∠B=45°．故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．作为解三角形常用的定理，我们应熟练记忆和掌握正弦定理公式及其变形公式．11．（5分）（2016秋•尖山区校级期末）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．命题“∃x0∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题【分析】写出命题的否命题判断A；由两直线垂直与系数的关系求得m判断B；写出特称命题的否定判断C；由充分必要条件的判定方法判断D．【解答】解：命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；由1×1﹣m2=0，得m=±1，∴“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充分不必要条件，故B错误；命题“∃x0∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C错误；由三角形中，A=B⇔a=b⇔sinA=sinB，得：命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否定与否命题，考查充分必要条件的判定方法，属中档题．12．（5分）（2016秋•洛阳月考）已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，G是△ABC 的三条边上中线的交点，若=，且≥m+c恒成立，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【分析】由G是△ABC的重心，则++=，代入求得（1﹣2c）+（a+b﹣2c）=，即可求得a+b=1，且c=，利用基本不等式的性质，=1+++4≥9，代入即可求得实数m的取值范围．【解答】解：由题意知，G是△ABC的重心，则++=，即=﹣（+），代入=，得：（1﹣2c）+（a+b﹣2c）=，则，解得，由=（）（a+b）=1+++4≥2+5=9，当且仅当=，则a=，b=时，取等号，≥m+c，则m≤﹣c=9﹣=，∴m≤，∴实数m的取值范围（﹣∞，]，故选A．【点评】本题考查向量的运算，考查三角形的重心的性质，基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．三．填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）（2016秋•洛阳月考）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，a=3，c=4，则sinA= ．【分析】由已知利用三角形内角和定理，诱导公式可求sinC，进而利用正弦定理即可计算得解．【解答】解：∵，a=3，c=4，∴sinC=sin（A+B）=，∴sinA===．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．14．（5分）（2008•安徽）若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a 扫过A 中的那部分区域的面积为．【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a 的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB ，动直线x+y=a （即y=﹣x+a ）在y 轴上的截距从﹣2变化到1．知△ADC 是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC 是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积S 阴影=S △ADC ﹣S △EOC =故答案为：．【点评】本题考查二元一次不等式组与其平面区域及直线方程的斜截式．15．（5分）（2016秋•洛阳月考）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，，且满足S n ，S n+2，S n+1成等差数列，则a 3等于．【分析】由已知结合等差数列的定义可得，S n+2﹣S n =S n+1﹣S n+2，从而可得a n+2与a n+1的递推关系，结合等比数列的通项可求a 3．【解答】解：∵S n 、S n+2、S n+1成等差数列， ∴S n+2﹣S n =S n+1﹣S n+2． ∴a n+2+a n+1=﹣a n+2， ∴公比q==﹣，又a 2=﹣，∴a3=a2q=（﹣）2=．故答案为：．【点评】本题主要考查了利用数列的递推关系构造等比数列求解数列的通项公式，考查等比数列的通项公式的运用，运算能力，属于基础题．16．（5分）（2016秋•洛阳月考）使不等式a2+b2+2＞λ（a+b）对任意的正数a，b恒成立的实数λ的取值范围是（﹣∞，2）．【分析】根据题意，由于a2+b2+2＞λ（a+b）（a，b＞0）⇒λ＜，则原问题可以转化为λ＜恒成立，（a，b＞0），令t=，利用基本不等式的性质分析可得t有最小值2，进而分析可得λ＜恒成立，则必有λ＜2，即可得实数λ的取值范围．【解答】解：若a2+b2+2＞λ（a+b），且a，b＞0，则有λ＜，则原问题可以转化为λ＜恒成立，（a，b＞0）令t=，则t=≥=+≥2，即t=有最小值2，若λ＜恒成立，则必有λ＜2，即实数λ的取值范围是（﹣∞，2）；故答案为：（﹣∞，2）．【点评】本题考查了基本不等式的性质，关键是将原问题转化为基本不等式的问题进行分析，属于中档题三．解答题：17．（10分）（2016•北海一模）在△ABC中，内角A、B、C对应的三边长分别为a，b，c，且满足c（acosB﹣b）=a2﹣b2．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=，求b+c的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosB，代入已知等式整理后再利用余弦定理表示求出cosA 的值，即可确定出A的度数；（Ⅱ）由a与sinA的值，利用正弦定理表示出b与c，代入b+c中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域确定出范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=，c（acosB﹣b）=a2﹣b2，∴a2+c2﹣b2﹣bc=2a2﹣2b2，即a2=b2+c2﹣bc，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴cosA=，则A=；（Ⅱ）由正弦定理得====2，∴b=2sinB，c=2sinC，∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin（A+B）=2sinB+2sinAcosB+2cosAsinB=3sinB+cosB=2sin（B+），∵B∈（0，），∴B+∈（，），∴sin（B+）∈（，1]，则b+c∈（，2]．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（12分）（2011•湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC 1）求角C大小；（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．【分析】（1）利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C=．（2）B=﹣A，化简sinA﹣cos（B+），通过0＜A＜，推出＜A+＜，求出2sin（A+）取得最大值2．得到A，B．【解答】解：（1）由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC，因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC，又cosC≠0，所以tanC=1，C=．（2）有（1）知，B=﹣A，于是sinA﹣cos（B+）=sinA+cosA=2sin（A+）．因为0＜A＜，所以＜A+＜，从而当A+=，即A=时2sin（A+）取得最大值2．综上所述sinA﹣cos（B+）的最大值为2，此时A=，B=．【点评】本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型．19．（12分）（2016秋•惠来县校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB 为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点．（Ⅰ）证明：AB⊥平面BEF；（Ⅱ）若PA=，求二面角E﹣BD﹣C．【分析】（Ⅰ）只需证明AB⊥BF．AB⊥EF即可．（Ⅱ）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系，求出平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为，设二面角E﹣BD﹣C的大小为θ，则=，【解答】解：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且∠DAB为直角，故ABFD是矩形，从而AB⊥BF．又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，∵AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，在△PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，∴AB⊥EF．由此得AB⊥平面BEF…（6分）（Ⅱ）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系，则设平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为，则可取设二面角E﹣BD﹣C的大小为θ，则=，所以，…（12分）【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．20．（12分）（2016秋•洛阳月考）设p：实数x满足（x﹣3a）（x﹣a）＜0，其中a＞0，q：实数x满足，若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】欲使p是¬q的充分不必要条件，则必须集合A是集合C的真子集【解答】解：依题意，适合条件p的x组成的集合为A={x|a＜x＜3a}适合条件q的x组成的集合B={x|2＜x≤3}所以适合条件¬q的x组成的集合C={x|x≤2或x＞3}，欲使p是¬q的充分不必要条件则必须集合A是集合C的真子集，所以a＞0且3a≤2或者a≥3综上所述，实数a的取值范围是或a≥3}【点评】本题考查了简易逻辑的有关知识、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．21．（12分）（2015•武汉校级模拟）已知各项均不相等的等差数列{an }的前五项和S5=20，且a 1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Tn 为数列{}的前n项和，若存在n∈N*，使得Tn﹣λan+1≥0成立．求实数λ的取值范围．【分析】（1）设数列{an}的公差为d，运用等差数列的求和公式和等比数列的性质，解方程可得a1=2，d=1，再由等差数列的通项即可得到；（2）运用裂项相消求和，求得Tn，再由参数分离和基本不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，由已知得即为，即，由d≠0，即有，故an=2+n﹣1=n+1；（2）==﹣∴=﹣=，∵存在n∈N*，使得Tn ﹣λan+1≥0成立，∴存在n∈N*，使得﹣λ（n+2）≥0成立，即λ≤有解，即有λ≤[]max，而=≤=，n=2时取等号∴．【点评】本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查等比数列的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，运用参数分离和基本不等式是解题的关键．22．（12分）（2016秋•洛阳月考）已知各项为正数的数列{an }的前{Sn}，满足（Ⅰ）求证：{an}为等差数列，并求其通项公式；（Ⅱ）设{bn }满足bn+1=2bn，b2=2，求数列{anbn}的前n项和为Tn．【分析】（1）把两边同时平方，然后将n换为n﹣1，两式相减可以得到（an +an﹣1）（an ﹣an﹣1﹣4）=0，结合{an}的各项均为正数，可得an﹣an﹣1=4，即{an}是以4为公差的等差数列，求出a1，代入等差数列的通项公式可得an=4n﹣2；（2）依题意，{bn }是以1为首项，2为公比的等比数列，求出，代入cn=anbn，然后利用错位相减法求数列{an bn}的前n项和为Tn．【解答】（1）证明：把两边同时平方得，（n≥2），两式相减可以得到（an +an﹣1）（an﹣an﹣1﹣4）=0，∵{an}的各项均为正数，∴an ﹣an﹣1﹣4=0，即an﹣an﹣1=4，故{an}是以4为公差的等差数列．将n=1代入原式中得a1=2，∴an=4n﹣2；（2）解：依题意，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，因此，令cn =anbn，则Tn =c1+c2+c3+…+cn=（2×1﹣1）21+（2×2﹣1）22+（2×3﹣1）23+…+（2n﹣1）2n，两边同乘以2得，，两式相减得．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．。

2017届高三数学12月月考试题文

高三学年数学试题（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知全集={1,2,3,4,5}U ，集合={2,3,4}A ，{}3,1=B ，则(C A)B=U （） A ．{1} B ．{1，5}C ．{1，3，5} D ．{1，4}2.已知()2,a i b i a b R i+=+∈，其中为虚数单位，则a b +=( ) A. B. 1 C. 2 D. 33．命题“2,320x R x x ∃∈-+=”的否定是（）A ．2,320x R x x ∀∈-+=B ．2,320x R x x ∃∈-+≠C ．2,320x R x x ∃∈-+>D ．2,320x R x x ∀∈-+≠4．已知0.6log 0.5a =，ln 0.5b =，0.50.6c =．则（）A ．>>a c bB ．>>a b cC ．>>c a bD ．>>c b a5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π6．直线02=-+y x 与圆()()22122=-+-y x 相交于A ，B 两点，则弦|AB|=（）AB． D ． 7．执行右面的程序框图，若输出的结果是1516，则输入的为() A ．B ．C ．D ．8.设双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的渐近线与抛物线12+=x y 相切，则该双曲线的离心率等于() 是否A.25B.C.D.26 9．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位10．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为（）A ．）（32sin π+=x y B ．）（654sin 2π+=x y C ．）（32sin π-=x y D.）（322sin 2π+=x y 11.已知,a b 均为正数，且142a b+=，则使a b c +≥恒成立的的取值范围为（）A ．9(,]2-∞ B ．(0,1] C ．(,9]-∞ D ．(,8]-∞12.设()f x 是定义在上的函数， f(0)=2,对任意R x ∈,f(x)+f ’(x)>1,则1)(+>x x e x f e 的解集为（） A. (0,+) B.(-,0) C.(,1)(1)-∞-⋃+∞，D.(,1)(01)-∞-⋃，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()()2200x x f x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()[]=-3f f ________. 14.设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y =-的最大值为.15．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DC →的最大值为.16．长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在体积为323π的球O 的球面上，其中12AA =，则四棱锥O-ABCD 的体积的最大值为．三、解答题（本大题共5题,共70分,解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）。

2017-2018学年湖北省高三(上)12月月考数学试卷(文科)Word版(解析版)

2017-2018学年湖北省高三（上）12月月考试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，5}，B={3，5}，则∁U A∩∁UB=（）A．{7，9} B．{1，3，7，9} C．{5} D．{1，3，5}2．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．0 B．1 C．2 D．43．（5分）已知，则cos2α=（）A．B．C．D．4．（5分）若正方形ABCD边长为2，E为边上任意一点，则AE的长度大于的概率等于（）A．B．C．D．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球的表面积为（）A．8π B．13πC．17πD．48π6．（5分）已知命题p：∀x∈（2，+∞），x2＜2x，命题q：∃x0∈R，lnx=x﹣1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．¬p∧q C．p∧¬q D．￢p∧￢q7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为16，则判断框内可填入的条件是（）A．B．C．D．8．（5分）若实数x，y满足则z=x﹣ay只在点（4，3）处取得最大值，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）∪（1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，1）9．（5分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，DA=AB=DB=BC，E 是DC的中点，则AC与BE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知ω＞0，函数在上单调递减，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）已知偶函数f（x）的定义域为R，且f（x﹣1）是奇函数，则下面结论一定成立的是（）A．f（x+1）是偶函数B．f（x+1）是非奇非偶函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5分）数列{an }满足（﹣1）n an﹣an﹣1=2n，n≥2，则{an}的前100项和为（）A．﹣4750 B．4850 C．﹣5000 D．4750二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，向量，的夹角为，，则等于．14．（5分）若log2x=﹣log2（2y），则x+2y的最小值是．15．（5分）在△ABC中，AB=2BC，∠B=120°．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e为．16．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的连续函数，满足f（2）=，且f（x）在（0，+∞）上的导函数f'（x）＜x2，则不等式f（x）＞的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在等差数列{an }中，a1=1，其前n项和为Sn，若为公差是1的等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列，求数列{bn }的前n项和Tn．18．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=2，CB=CD=3，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A'﹣BDC，O为BD的中点，M为OC的中点，点N在线段A'B上，满足．（Ⅰ）证明：MN∥平面A'CD；（Ⅱ）若A'C=3，求点B到平面A'CD的距离．19．（12分）某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查．根据从其中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表：已知在抽取的50份调查问卷中随机抽取一份，抽到不同意限定区域停车问卷的概率为．（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关？请说明理由；（Ⅲ）学校计划在同意限定区域停车的家长中，按照性别分层抽样选取9人，在上学、放学期间在学校门口维持秩序．已知在抽取的男性家长中，恰有3位日常开车接送孩子．现从抽取的男性家长中再选取2人召开座谈会，求这两人中至少有一人日常开车接送孩子的概率．附临界值表及参考公式：，其中n=a+b+c+d．20．（12分）已知抛物线x2=2y，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，且kPA k PB =﹣2．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点α，β，且α＜β，若f（α）＜b+1恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（，θ为参数）若以坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（ρ∈R）．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）将曲线C2向下平移m（m＞0）个单位后得到的曲线恰与曲线C1有两个公共点，求实数m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣2|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）＜ax+1有解，求实数a的取值范围．2017-2018学年湖北省高三（上）12月月考试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016秋•沧州月考）已知全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，5}，B={3，5}，则∁U A∩∁UB=（）A．{7，9} B．{1，3，7，9} C．{5} D．{1，3，5}【分析】由全集U，以及A与B，分别求出A的补集与B的补集，找出两补集的交集即可．【解答】解：∵全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，5}，B={3，5}，∴∁U A={3，7，9}，∁UB={1，7，9}，则∁U A∩∁UB={7，9}，故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）（2016秋•沧州月考）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．0 B．1 C．2 D．4【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据已知条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：∵==为纯虚数，∴，解得a=2．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2016秋•沧州月考）已知，则cos2α=（）A．B．C．D．【分析】由条件利用二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：cos2α=cos2α﹣sin2α====，故选：B．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．4．（5分）（2016秋•沧州月考）若正方形ABCD边长为2，E为边上任意一点，则AE的长度大于的概率等于（）A．B．C．D．【分析】由题意，E为BC或CD中点时，AE=，AE的长度大于，E所能取到点的长度为2，即可得出结论．【解答】解：由题意，E为BC或CD中点时，AE=，AE的长度大于，E所能取到点的长度为2，∵正方形的周长为8，∴AE的长度大于的概率等于=，故选B．【点评】本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定长度为测度是关键．5．（5分）（2016秋•沧州月考）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球的表面积为（）A．8π B．13πC．17πD．48π【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为一个三棱锥．其中PA⊥底面ABC，BC⊥AC．该几何体的外接球的直径为PB．【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为一个三棱锥．其中PA⊥底面ABC，BC⊥AC．∴该几何体的外接球的直径为PB==．∴此几何体的外接球的表面积=4=17π．故选：C．【点评】本题考查了三棱锥与球的三视图及其表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）（2016秋•沧州月考）已知命题p：∀x∈（2，+∞），x2＜2x，命题q：∃x0∈R，lnx=x﹣1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．¬p∧q C．p∧¬q D．￢p∧￢q【分析】命题p：例如取x=4时，x2=2x．命题q：∃x0∈R，lnx=x﹣1，是真命题，例如取x=1时成立．即可判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∀x∈（2，+∞），x2＜2x，是假命题，例如取x=4时，x2=2x．命题q：∃x0∈R，lnx=x﹣1，是真命题，例如取x=1时成立．则下列命题中为真命题的是（￢p）∧q．故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质与解法、函数与方程的思想、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）（2016秋•沧州月考）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为16，则判断框内可填入的条件是（）A．B．C．D．【分析】程序运行的S=1××…×，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件．【解答】解：由程序框图知：程序运行的S=1××…×，∵输出的k=16，∴S=1××…×=，∴判断框的条件是S＜．故选D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）（2016秋•沧州月考）若实数x，y满足则z=x﹣ay只在点（4，3）处取得最大值，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）∪（1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，1）【分析】由约束条件作出可行域，然后对a进行分类，当a≥0时显然满足题意，当a＜0时，化目标函数为直线方程斜截式，比较其斜率与直线BC的斜率的大小得到a的范围．【解答】解：由不等式组作可行域如图，联立，解得C（4，3）．当a=0时，目标函数化为z=x，由图可知，可行解（4，3）使z=x﹣ay取得最大值，符合题意；当a＞0时，由z=x﹣ay，得y=x，此直线斜率大于0，当在y轴上截距最大时z最大，可行解（4，3）为使目标函数z=x﹣ay的最优解，a＜1符合题意；当a＜0时，由z=x﹣ay，得y=x，此直线斜率为负值，要使可行解（4，3）为使目标函数z=x﹣ay取得最大值的唯一的最优解，则＜0，即a＜0．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，0）．故选：D．【点评】本题考查线性规划问题，考查了分类讨论的数学思想方法和数形结合的解题思想方法，解答的关键是化目标函数为直线方程斜截式，由直线在y轴上的截距分析z的取值情况，是中档题．9．（5分）（2016秋•沧州月考）如图，在三棱锥D﹣ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，DA=AB=DB=BC，E是DC的中点，则AC与BE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】取AB中点O，以O为原点，过O作BC的平行线为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与BE所成角的余弦值．【解答】解：取AB中点O，连结OD，∵在三棱锥D﹣ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，DA=AB=DB=BC，∴OD⊥平面ABC，以O为原点，过O作BC的平行线为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，设DA=AB=DB=BC=2，又E是DC的中点，∴A（0，﹣1，0），C（2，1，0），B（0，1，0），D（0，0，），E（1，，），=（2，2，0），=（1，﹣，），设AC与BE所成角为θ，则cosθ===．∴AC与BE所成角的余弦值为．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．（5分）（2016秋•沧州月考）已知ω＞0，函数在上单调递减，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据正弦函数的单调减区间，结合题意，得出不等式组，求出ω的取值范围即可．【解答】解：∵x∈（，），ω＞0，且函数f（x）=sin（ωx﹣）在（，）上单调递减，由f（x）的单调减区间满足：+2kπ＜ωx﹣＜+2kπ，k∈Z，取k=0，得≤x≤，即，解得≤ω≤；∴ω的取值范围是[，]．故选：A．【点评】本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题．11．（5分）（2016秋•沧州月考）已知偶函数f（x）的定义域为R，且f（x﹣1）是奇函数，则下面结论一定成立的是（）A．f（x+1）是偶函数B．f（x+1）是非奇非偶函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【分析】求出周期为4，f（﹣x+3）=f（﹣x﹣1），f（x+3）=﹣f（x+1）=﹣f（﹣x﹣1），即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），∴f（x﹣2）=﹣f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），∴函数的周期为4．∴f（﹣x+3）=f（﹣x﹣1），f（x+3）=﹣f（x+1）=﹣f（﹣x﹣1），∴f（﹣x+3）=﹣f（x+3），∴f（x+3）是奇函数，故选D．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）（2016秋•沧州月考）数列{an }满足（﹣1）n an﹣an﹣1=2n，n≥2，则{an}的前100项和为（）A．﹣4750 B．4850 C．﹣5000 D．4750【分析】讨论当n=2k（k∈N*）时，a2k ﹣a2k﹣1=4k，①当n=2k﹣1（k∈N*，k＞1）时，﹣a2k﹣1﹣a2k﹣2=4k﹣2，②①﹣②可得a2k+2+a2k=2；当n=2k+1（k∈N*，k＞1）时，﹣a2k+1﹣a2k=4k+2③，①+③可得﹣a2k﹣1﹣a2k+1=8k+2．即a2k﹣1+a2k+1=﹣8k﹣2．通过分组利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：数列{an }满足（﹣1）n an﹣an﹣1=2n，n≥2，当n=2k（k∈N*）时，a2k ﹣a2k﹣1=4k，①当n=2k﹣1（k∈N*，k＞1）时，﹣a2k﹣1﹣a2k﹣2=4k﹣2，②①﹣②可得a2k+2+a2k=2；当n=2k+1（k∈N*，k＞1）时，﹣a2k+1﹣a2k=4k+2，③①+③可得﹣a2k﹣1﹣a2k+1=8k+2．即a2k﹣1+a2k+1=﹣8k﹣2．则{an }的前100项和为（a1+a3）+（a5+a7）+…+（a97+a99）+（a2+a4）+（a6+a8）+…+（a98+a100）=（﹣10﹣26﹣…﹣394）+（2+2+…+2）=﹣×25×（10+394）+2×25=﹣5050+50=﹣5000．故选：C．【点评】本题考查了数列的递推关系、分组求和方法、等差数列的求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2016秋•沧州月考）已知向量，向量，的夹角为，，则等于 2 ．【分析】可求出，并且夹角已知，从而根据即可求出的值．【解答】解：，；∴==；∴．故答案为：2．【点评】考查根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量数量积的计算公式．14．（5分）（2016秋•沧州月考）若log2x=﹣log2（2y），则x+2y的最小值是 2 ．【分析】利用对数的运算法则可得2xy=1，x，y＞0．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】2解：∵log2x=﹣log2（2y）∴log2x+log22y=0，∴log2（2xy）=log21，∴2xy=1，x，y＞0．∴x+2y≥2=2，当且仅当x=1，y=时取等号．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于基础题．15．（5分）（2016秋•沧州月考）在△ABC中，AB=2BC，∠B=120°．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e为．【分析】利用余弦定理求得丨AC丨，由椭圆的定义可知：丨AC丨+丨BC丨=2a，2c=2，由e=，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：设丨AB丨=2丨BC丨=2，则丨AC丨2=丨AB丨2+丨BC丨2﹣2丨AB丨•丨BC丨•cosB=4+1﹣2×4×1×（﹣）=7，∴丨AC丨=，∵以A、B为焦点的椭圆经过点C，∴2a=+1，2c=2∴e===，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查余弦定理，属于基础题．16．（5分）（2016秋•沧州月考）已知奇函数f（x）是定义在R上的连续函数，满足f（2）=，且f（x）在（0，+∞）上的导函数f'（x）＜x2，则不等式f（x）＞的解集为（﹣∞，2）．【分析】构造函数F（x）=f（x）﹣x3+1，则F（x）为减函数，且F（0）=0，从而得出f（x）＜x3﹣1即F（x）＜0的解集．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣x3+1，∵f'（x）＜x2∴F′（x）=f′（x）﹣x2＜0，∴F（x）在（0，+∞）上递减，又F（2）=f（2）﹣=0，故不等式的解集是：（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，奇函数的性质，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016秋•沧州月考）在等差数列{an }中，a1=1，其前n项和为Sn，若为公差是1的等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列，求数列{bn }的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）设{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及定义，解得d=2，进而得到通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：．运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）设{an }的公差为d，由a1=1，an=1+（n﹣1）d=nd+1﹣d，若为公差是1的等差数列，则=nd+1﹣d，当n≥2时，﹣=d=1，解得d=2，则an=2n﹣1，n∈N*；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：．∴==（n∈N*）．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•沧州月考）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=2，CB=CD=3，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A'﹣BDC，O为BD的中点，M为OC的中点，点N在线段A'B 上，满足．（Ⅰ）证明：MN ∥平面A'CD ；（Ⅱ）若A'C=3，求点B 到平面A'CD 的距离．【分析】（Ⅰ）过点N 作BD 的平行线，交直线A'D 于点E ，证明：四边形MNEF 为平行四边形，可得MN ∥EF ，即可证明MN ∥平面A'CD ；（Ⅱ）若A'C=3，利用等体积方法，即可求点B 到平面A'CD 的距离．【解答】（Ⅰ）证明：过点N 作BD 的平行线，交直线A'D 于点E ，过点M 作BD 的平行线，交直线CD 于点F ，…（1分）因为NE ∥BD ，MF ∥BD ，所以NE ∥MF ，且，所以四边形MNEF 为平行四边形，…（3分）所以MN ∥EF ，且EF ⊂平面A'CD ，MN ⊄平面A'CD ，所以MN ∥平面A'CD ．…（4分）（Ⅱ）解：因为A'C=3，所以A'O ⊥OC ，且A'O ⊥BD ，OC ∩BD=O ，所以A'O ⊥平面BCD ．…（6分）由：V B ﹣A'CD =V A'﹣BCD，…（8分），，…（10分）所求点B 到平面A'CD 的距离．…（12分）【点评】本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，属于中档题．19．（12分）（2016秋•沧州月考）某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查．根据从其中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表：已知在抽取的50份调查问卷中随机抽取一份，抽到不同意限定区域停车问卷的概率为．（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关？请说明理由；（Ⅲ）学校计划在同意限定区域停车的家长中，按照性别分层抽样选取9人，在上学、放学期间在学校门口维持秩序．已知在抽取的男性家长中，恰有3位日常开车接送孩子．现从抽取的男性家长中再选取2人召开座谈会，求这两人中至少有一人日常开车接送孩子的概率．附临界值表及参考公式：，其中n=a+b+c+d ．【分析】（Ⅰ）根据所给数据，可将列联表补充完整；（Ⅱ）求出K 2，临界值比较，可得有99.5%的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关；（Ⅲ）利用列举法确定基本事件的个数，即可求出这两人中至少有一人日常开车接送孩子的概率．【解答】解：（Ⅰ）列联表补充如下：…（3分）（Ⅱ）因为，所以我们有99.5%的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关．…（5分）（Ⅲ）男性家长人数=，女性家长人数=，所以，按照性别分层抽样，需从男性家长中选取6人，女性家长中选取3人．…（7分）记6位男性家长中不开车的为A1，A2，A3，开车的为B1，B2，B3．则从6人中抽取2人，有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，A3），（A2，B 1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共有15种，…（9分）其中至少有一人日常开车接送孩子的有（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B 3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共12种．（11分）则这两人中至少有一人日常开车接送孩子的概率为．…（12分）【点评】本题考查独立性检验知识的运用，考查概率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12分）（2016秋•沧州月考）已知抛物线x2=2y，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，且kPA kPB=﹣2．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）直线PA：y﹣y0=kPA（x﹣x），代入抛物线方程，得出，同理，有，kPA ，kPB分别为方程：k2﹣2xk+2y=0的两个不同的实数根，利用韦达定理求点P的轨迹方程；（Ⅱ）求出直线AB的方程，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设P（x0，y），则直线PA：y﹣y=kPA（x﹣x），代入抛物线方程：x2﹣2kPAx﹣2y0+2kPAx=0，因为直线与抛物线相切，所以，…（2分）同理，有，…（3分）所以kPA ，kPB分别为方程：k2﹣2xk+2y=0的两个不同的实数根，…（5分）k PA kPB=﹣2=2y，所以y=﹣1，所以点P的轨迹方程为y=﹣1．…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，y'=x，所以抛物线在A，B点的切线方程分别为x1x﹣y﹣y1=0，x2x﹣y﹣y2=0，…（8分）又都过点P（x，﹣1），所以…（9分）所以直线AB的方程为xx﹣y+1=0，…（11分）所以直线AB恒过定点（0，1）．…（12分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线方程的综合应用，函数的导数以及切线方程的应用，难度比较大的压轴题目．21．（12分）（2016秋•沧州月考）已知函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点α，β，且α＜β，若f（α）＜b+1恒成立，求实数b 的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出α的范围，求出，根据函数的单调性求出f（α）的最大值，从而求出b的范围即可．【解答】解：（Ⅰ），…（2分）令g（x）=x2+mx+1，对应△=m2﹣4，若△≤0，即﹣2≤m≤2时，f'（x）≥0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分）若△＞0时，即m＜﹣2或m＞2时，当m＞2时，对应方程的根分别为x1，x2，且由根与系数的关系可知：，所以两根均为负数，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（4分）当m＜﹣2时，对应方程的两根均为正数，且，，此时函数f（x）在（0，x1）上单调递增，（x1，x2）上单调递减，（x2，+∞）上单调递增．综上：当m≥﹣2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当m＜﹣2时，f（x）在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若函数有两个极值点α，β，则m＜﹣2，且即：，解得0＜α＜1…（8分），．…（9分）∵0＜α＜1，∴f'（α）＞0，即函数y=f（α）在0＜α＜1上单调递增，…（10分）∴，∴，即．综上可得：．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2016秋•沧州月考）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（，θ为参数）若以坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（ρ∈R）．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）将曲线C2向下平移m（m＞0）个单位后得到的曲线恰与曲线C1有两个公共点，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）将曲线C2向下平移m（m＞0）个单位后得到的曲线对应方程为y=x﹣m，利用特殊位置求出m的值，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（，θ为参数），消去参数得到曲线C1的普通方程：（x﹣2）2+y2=4（2≤x≤4，﹣2≤y≤2），…（3分）曲线C2的极坐标方程为（ρ∈R），直角坐标方程为C2：y=x．…（5分）（Ⅱ）将曲线C2向下平移m（m＞0）个单位后得到的曲线对应方程为y=x﹣m，则当直线与圆相切时：，即，…（8分）又直线恰过点（2，﹣2）时，m=4，可得：…（10分）【点评】本题考查三种方程的转化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016秋•沧州月考）设函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣2|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）＜ax+1有解，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式的几何意义求解即可．（Ⅱ）去掉绝对值符号，利用数形结合，以及直线系方程，转化求解即可．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由不等式的性质可得：|2x+1|+|2x﹣2|≥|2x+1﹣2x+2|=3，所以当且仅当时，函数f（x）的最小值为3．…（5分）（Ⅱ）…（7分）又函数y=ax+1恒过定点（0，1），结合函数图象可得：a＜﹣4或a＞2．…（10分）【点评】本题考查函数的最值的求法，数形结合的应用，直线系方程的应用，绝对值不等式的几何意义，考查计算能力．。

2018届高三数学12月联考试题文(含解析)

天一大联考2017-2018学年高中毕业班阶段性测试（三）数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】所以2. 已知是虚数单位，若复数为纯虚数（，），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为为纯虚数，所以，所以，所以点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为，虚部为，模为，对应点为，共轭复数为.3. 如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为，由几何概型概率公式可得所求概率为。

选D。

4. 已知侧棱长为的正四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，且球心在底面正方形上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设球的半径为R,则由题意可得，解得R=1,故球的表面积.5. 已知函数（）的最小值为2，则实数（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】由得，故函数的定义域为，易知函数在上单调递增，所以，解得。

选B。

6. 若函数关于直线（）对称，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，，即，，时，的最大值为 .7. 已知数列满足，，，则数列前项的和等于（）A. 162B. 182C. 234D. 346【答案】B【解析】由条件得，所以，因此数列为等差数列。

又，，所以。

故。

选B。

点睛：..................8. 用，，…，表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,87．执行如图所示的程序框图，若分别输入的10个值，则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据程序框图可知程序框图中的n记录输入的数据中大于等于80分的学生的人数，在给出的10个数据中，大于等于80的数据的个数为7个，故输出的值为。

【配套K12】2018届高三数学12月联考试题文(含解析)

选D。

选B。