上海市崇明区高三数学三模考试试题(含解析)

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【数学】上海市崇明区2019届高三5月三模试题(解析版)

上海市崇明区2019届高三5月三模数学试题一、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 1.设集合{1,2,3}A =，{|1}B x x =>，则A B =______【答案】{2,3}【解析】由交集定义可得：{}2,3A B ⋂= 本题正确结果：{}2,32.若2log 1042x -=-，则x =______【答案】4【解析】由行列式的定义可得：()()222log 140,log 2,4x x x --⨯-=∴==. 3.已知复数z 满足(2)5z i -=（i 为虚数单位），则z 的模为______【解析】52z i=-52z i ∴===-4.函数()cos f x x x =+的单调递增区间为______ 【答案】22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【解析】()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭令22262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得：22233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 本题正确结果：22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈5.若一个球的体积是36π，则它的表面积是______ 【答案】【解析】设铁球的半径为,则，解得；则该铁球的表面积为.6.某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为______ 【答案】17【解析】高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人7.一名工人维护3台独立的游戏机，一天内这3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.6，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为______（结果用小数表示）【答案】0.568【解析】记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A则()0.90.80.60.432P A =⨯⨯= ()()10.568P A P A ∴=-= 本题正确结果：0.5688.已知不等式组22020x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩表示的平面区域为Ω，点M 坐标为(),x y ，对任意点M ∈Ω，则x y -的最大值为______ 【答案】6【解析】由约束条件可得平面区域Ω如下图阴影部分所示：令z x y =-，则z 取最大值时，y x z =-在y 轴截距最小平移y x =可知，当y x z =-过C 时，在y 轴截距最小由220x y y +=⎧⎨+=⎩得：()4,2C - m a x 426z ∴=+= 本题正确结果：6.9.已知定义在R 上的增函数()y f x =满足()()40f x f x +-=，若实数,a b 满足不等式()()0f a f b +≥，则22a b +的最小值是______．【答案】8【解析】由()()40f x f x +-=得：()()4f b f b -=-()()0f a f b ∴+≥等价于()()()4f a f b f b ≥-=- ()f x 为R 上的增函数 4a b ∴≥-，即40a b +-≥则可知可行域如下图所示：则22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方可知O 到直线40a b +-=的距离的平方为所求的最小值()222min8a b ∴+== 本题正确结果；810.若n a 是二项式(1)n x +展开式中2x 项的系数，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭______ 【答案】2【解析】()1nx +的展开式通项公式为：rrn C x ()212n n n n a C -∴==()1211211n an n n n ⎛⎫∴==⨯- ⎪--⎝⎭23111111111lim lim 212lim 122231n n n n a a a n n n →∞→∞→∞⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 本题正确结果：211.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，若2OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是______ 【答案】3【解析】设直线AB 的方程为x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴的交点为(0,)M m . 联立2{x ty m y x=+=，可得20y ty m --=，根据韦达定理可得12y y m ⋅=-. ∵2OA OB ⋅=∴12122x x y y +=，即21212()20y y y y ⋅+⋅-=.∴2m =或1m =-（舍），即122y y ⋅=-. ∵点A ，B 位于x 轴的两侧∴不妨令点A 在x 轴的上方，则10y >. ∵1(,0)4F∴12111111922()32248ABO AFO S S y y y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯=+≥=，当且仅当143y =时取等号.∴ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3. 故答案为3.12.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果对任意的实数λ，BA BC BC λ-≥恒成立，则c bb c+的取值范围是______【答案】2,5⎡⎤⎣⎦【解析】设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ=则BA BC BA BE EA λ-=-= E A B C ∴≥恒成立又minEA为边BC 的高h h a ∴≥恒成立2111sin 222ABC S ah bc A a ∆∴==≥ 2s i n a b c A∴≤ 由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+- 222cos sin b c bc A bc A ∴+-≤()222cos sinsin 2cos c b b c bc A bc AA A A b c bc bc ϕ++∴+=≤=+=+，其中tan 2ϕ=c b b c∴+≤2c bb c +≥（当且仅当b c =时取等号）c bb c⎡∴+∈⎣本题正确结果：⎡⎣二、选择题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“220a b +=”的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】当1a =，0b =时，0ab =，此时220a b +≠，可知充分条件不成立；当220a b +=时，由20a ≥，20b ≥可知0a b ==，则0ab =，可知必要条件成立则“0ab =”是“220a b +=”的必要不充分条件本题正确选项：B 14.将函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（）A. 5sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. 5sin 212x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 5sin 224x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】右平移4π个单位长度得带5πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到5sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭,故选C. 15.已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（） A. 至少有一个解 B. 至多有一个解 C. 至多有两个解 D. 可能有无数个解【答案】B【解析】由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈ 则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++= 即：()()20xa xb λμ+++=,a b 不共线 20x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩ 可知方程组可能无解，也可能有一个解∴方程20ax bx c ++=至多有一个解本题正确选项：B16.如图为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，动点M 从B 1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B 1的运动过程中，点M 与平面A 1DC 1的距离保持不变，运动的路程x 与l =MA 1+MC 1+MD 之间满足函数关系l =f （x ），则此函数图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由于点M 与平面A 1DC 1的距离保持不变，所以点M 在平面1B AC 上，运动的路线为11B A C B →→→, 设点P 为B 1C 的中点，l =MA 1+MC 1+MD 中，MA 1+MD 是定值， PC 1是定值，MC 1当M 从C 到1B ,运动到1PB 段时，运动的路程x 慢慢变大时， PM 变大，MC 1变大，所以函数是增函数，所以C 正确；（类似讨论由1B 到A ，由A 到C 的过程，l =MA 1+MC 1+MD 之间满足函数关系l =f （x ）．故选：C ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.在直三棱柱111ABC A B C -中, 90ABC ∠=︒,11,2AB BC BB ===，求：（1）异面直线11B C 与1A C 所成角的余弦值；（2）直线11B C 到平面的距离．解：（1）因为11//B C BC ，所以1A CB ∠（或其补角）是异面直线11B C 与1A C 所成角. 1分因为,,所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥. 3分在1Rt A BC 中,, 5分所以异面直线11B C 与1A C 所成角的余弦值为． 6分（2）因为11B C //平面1A BC所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离 8分设1B 到平面1A BC 的距离为d ，因为111B A BC A BB C V V --=，所以11111133A BCB BC S d S A B ∆∆⨯=⨯10分可得d =分直线11B C 与平面1A BC ． 12分18.已知向量11,sin cos 222a x x ⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭和向量()()1,b f x =，且//a b . （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）已知ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，BC =sin 7B =，求AC 的长度.解：由//a b 得：()11sin cos 222f x x x =+则：()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭（1）()f x 最小正周期为：221T ππ== 当sin 13x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max 2f x = （2）由3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：2sin A =sin 2A = 由正弦定理可知：sin sin BC ACA B=，即sin 2sin BC B AC A ⋅===19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲线BC 是抛物线250y ax =-+(0)a >的一部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径.（1）若30CD =米，AD =t 与a 的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围. 解：（1）由抛物线方程得：()0,50B 50BE t ∴=-又BE ，CD 均为圆的半径 50CD t ∴=-，则503020t =-=∴圆E 的方程为：()2222030x y +-=()1,0A ∴OD AD AO ∴=-=-=()C代入抛物线方程得：(23050a =-+，解得：149a =（2）由题意知，圆E 的半径为：50t -，即50CD t =-则C 点纵坐标为50t -，代入抛物线方程可得：x =OD =5075DF t ∴=-+≤，整理可得：()216252550ta t t t≥=+++ (]0,25t ∈62550t t∴+≥=（当且仅当25t =时取等号） 1162510050t t∴≤++ 1100a ∴≥ 即a取值范围为：1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭20.已知点F 1、F 2为双曲线222y C x 1b-=：（b ＞0）的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2=30°，圆O 的方程是x 2+y 2=b 2．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1、P 2，求12P P P P ⋅uu vu v 的值；（3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：|AB |=2|OM |．（1）解：设F 2，M 的坐标分别为))0y因为点M 在双曲线C 上，所以2202y 1b 1b+-=，即20y b =±，所以22MF b =在Rt △MF 2F 1中，012MF F 30∠=，22MF b =，所以21MF 2b =由双曲线的定义可知：212MF MF b 2-==故双曲线C 的方程为：22y x 12-=（2）解：由条件可知：两条渐近线分别为12l y 0l y 0-=+=；设双曲线C 上的点P （x 0，y 0），设两渐近线的夹角为θ，则的则点P到两条渐近线的距离分别为12PP PP ==，因为P （x 0，y 0）在双曲线C ：22y x 12-=上，所以22002x y 2-=，又1cos θ3=，所以12PP PP ⋅•cos （π-θ）=-22002x y 3-•13=-29（3）证明：由题意，即证：OA ⊥OB ．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），切线l 的方程为：x 0x +y 0y =2①当y 0≠0时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：()()222200002y x x 4x x 2y 40-+-+= 所以：()()()2001212222202y 44x x x x x 2yx2y x ++=-=---，，又()()()20102201201201222200002x x 2x x 82x 1y y 42x x x x x x y y y 2y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦- 所以()()()2222000012122222220002y 442x y 82xOA OB x x y y 02y x2y x 2y x +-+-⋅=+=-+==---②当y 0=0时，易知上述结论也成立．所以1212OA OB x x y y 0⋅=+=综上，OA ⊥OB ，所以|=2||AB O |M uu u r uuu r．21.如果存在常数a ，使得数列{a n }满足：若x 是数列{a n }中的一项，则a -x 也是数列{a n }中的一项，称数列{a n }为“兑换数列”，常数a 是它的“兑换系数”．（1）若数列：2，3，6，m （m ＞6）是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值；（2）已知有穷等差数列{b n }的项数是n 0（n 0≥3），所有项之和是B ，求证：数列{b n }是“兑换数列”，并用n 0和B 表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{c n }，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由．（1）解：因为2，3，6，m （m ＞6）是“兑换系数”为a 的“兑换数列” 所以a -m ，a -6，a -3，a -2也是该数列的项，且a -m ＜a -6＜a -3＜a -2，故a -m =2，a -6=3，即a =9，m =7．（2）证明：设数列{b n }的公差为d ，因为数列{b n }是项数为n 0项的有穷等差数列若b 1≤b 2≤b 3≤…≤0n b ，则a -b 1≥a -b 2≥a -b 3≥…≥a -0n b ，即对数列{b n }中的任意一项b i （1≤i ≤n 0），a -b i =b 1+（n 0-i ）d =0n b +1-i ∈{b n }同理可得：b 1≥b 2≥b 3≥…≥0n b ，a -b i =b 1+（n 0-i ）d =0n b +1-i ∈{b n }也成立，由“兑换数列”的定义可知，数列{b n }是“兑换数列”；又因为数列{b n }所有项之和是B ，所以B =()01n 0b b n2+⋅=an 2，即a =02B n ；（3）解：假设存在这样的等比数列{c n }，设它的公比为q （q ＞1），因为数列{c n }为递增数列，所以c 1＜c 2＜c 3＜…＜c n ，则a -c 1＞a -c 2＞a -c 3＞…＞a -c n ，又因为数列{c n }为“兑换数列”，则a -c i ∈{c n }，所以a -c i 是正整数故数列{c n }必有穷数列，不妨设项数为n 项，则c i +c n +1-i =a （1≤i ≤n ）①若n =3，则有c 1+c 3=a ，c 2=a 2，又c 22=c 1c 3，由此得q =1，与q ＞1矛盾 ②若n ≥4，由c 1+c n =c 2+c n -1，得c 1-c 1q +c 1q n -1-c 1q n -2=0 即（q -1）（1-q n -2）=0，故q =1，与q ＞1矛盾；综合①②得，不存在满足条件的数列{c n }．。

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崇明区高三三模数学试卷一.填空题1.设集合，，则______2.若，则______3.已知复数满足（为虚数单位），则的模为______4.函数的单调递增区间为______5.若一个球的体积是，则它的表面积是______6.某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为______7.一名工人维护台独立的游戏机，一天内这台需要维护的概率分别为、和，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为______（结果用小数表示）8.已知不等式组表示的平面区域为，点坐标为，对任意点，则的最大值为______9.已知定义在上的增函数满足，若实数满足不等式，则的最小值是______．10.若是二项式展开式中项的系数，则______11.已知是抛物线的焦点，点、在抛物线上且位于轴的两侧，若（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是______12.在中，角所对的边分别为，如果对任意的实数，恒成立，则的取值范围是______二.选择题13.已知，则“”是“”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要14.将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（） A. B.CD.15.已知关于的方程，其中都是非零向量，且不共线，则该方程的解的情况是（）A. 至少有一个解B. 至多有一个解C. 至多有两个解D. 可能有无数个解16.如图为正方体，动点从点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到的运动过程中，点与平面的距离保持不变，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图像大致是（）AB.C.D.三.解答题17.直三棱柱中，，，...（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求直线与平面的距离.18.已知向量和向量，且.（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）已知的三个内角分别为，若有，，，求的长度.19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中，是圆的切线，且，曲线是抛物线的一部分，，且恰好等于圆的半径.（1）若米，米，求与的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.20.已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线垂线，垂足分别为、，求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：21.如果存在常数，使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.（1）若数列：是“兑换系数”为“兑换数列”，求和的值；（2）已知有穷等差数列的项数是，所有项之和是，求证：数列是“兑换数列”，并用和表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不小于3项，且各项皆为正整数的递增数列，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由. 的。

上海市崇明区2019届高三三模数学试题(理%29(解析版)

绝密★启用前上海市崇明区2019届高三三模数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“220a b +=”的（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．将函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有的点向右平移4π个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（） A ．5sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．5sin 212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．5sin 224x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭3．已知关于x 的方程20ax bx c ++=rrrr，其中,,a b c r r r都是非零向量，且,a b rr 不共线，则该方程的解的情况是（） A ．至少有一个解 B ．至多有一个解 C ．至多有两个解D ．可能有无数个解4．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题)二、填空题5．设集合{1,2,3}A =，{|1}B x x =>，则A B =I ______6．若2log 1042x -=-，则x =______7．已知复数z 满足(2)5z i -=（i 为虚数单位），则z 的模为______ 8．函数()3cos f x x x =+的单调递增区间为______ 9．若一个球的体积是36π，则它的表面积是______10．某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为______11．一名工人维护3台独立的游戏机，一天内这3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.6，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为______（结果用小数表示）12．已知不等式组22020x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩表示的平面区域为Ω，点M 坐标为(),x y ，对任意点M ∈Ω，则x y -的最大值为______13．已知定义在R 上的增函数()y f x =满足()()40f x f x +-=，若实数,a b 满足不等式()()0f a f b +≥，则22a b +的最小值是______．14．若n a 是二项式(1)n x +展开式中2x 项的系数，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭L ______ 15．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，若2OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是______ 16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果对任意的实数λ，BA BC BC λ-≥u u u v u u u v u u u v 恒成立，则c bb c+的取值范围是______三、解答题17．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小；（2）求直线11B C 与平面1A BC 的距离.18．已知向量113,sin 22a x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭r 和向量()()1,b f x =r ，且//a b r r . （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）已知ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，7BC =21sin B =，求AC 的长度. 19．某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲线BC 是抛物线250y ax =-+(0)a >的一部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径.（1）若30CD =米，245AD =t 与a 的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围.20．已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒，圆O 的方程是222x y b +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅u u u r u u u r的值；（3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：||2||AB OM =21．如果存在常数a ，使得数列{}n a 满足：若x 是数列{}n a 中的一项，则a x -也是数列{}n a 中的一项，称数列{}n a 为“兑换数列”，常数a 是它的“兑换系数”.（1）若数列：1,2,4,m (4)m >是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值；（2）已知有穷等差数列{}n b 的项数是0n ()03n ≥，所有项之和是B ，求证：数列{}n b 是“兑换数列”，并用0n 和B 表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不小于3项，且各项皆为正整数的递增数列{}n c ，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由.参考答案1．B 【分析】根据充分条件和必要条件的判定方式进行判定即可. 【详解】当1a =，0b =时，0ab =，此时220a b +≠，可知充分条件不成立；当220a b +=时，由20a ≥，20b ≥可知0a b ==，则0ab =，可知必要条件成立则“0ab =”是“220a b +=”的必要不充分条件本题正确选项：B 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题. 2．A 【分析】根据三角函数的左右平移和伸缩变换原则变化函数解析式即可得到结果. 【详解】向右平移4π个单位长度得：5sin sin 4612y x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭横坐标扩大到原来的2倍得：5sin 212x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭本题正确选项：A 【点睛】本题考查三角函数图象变换中的左右平移变换和伸缩变换，关键是明确两种变换均是针对于x 的变化.3．B 【分析】根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈r r r，从而将方程整理为()()20x a x b λμ+++=r r r ，由,a b rr 不共线可得200x x λμ⎧+=⎨+=⎩，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果.【详解】由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈r r r则方程20ax bx c ++=rrrr可变为：20ax bx a b λμ+++=rr rrr即：()()20x a x b λμ+++=r r r,a b Q rr 不共线 200x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩可知方程组可能无解，也可能有一个解∴方程20ax bx c ++=r rr r 至多有一个解本题正确选项：B 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数. 4．C 【详解】取线段1B A 中点为N ，计算得：111N N ND 22N B A l A C l l =++=<+==. 同理，当N 为线段AC 或C 1B 的中点时，计算得111 N N ND 22N B l A C l =++=<+=.符合C 项的图象特征. 故选：C 5．{2,3} 【分析】根据交集的定义直接得到结果. 【详解】由交集定义可得：{}2,3A B ⋂= 本题正确结果：{}2,3 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 6．4 【详解】由行列式的定义可得：()()222log 140,log 2,4x x x --⨯-=∴==. 7【分析】根据复数模长运算性质可直接求得结果. 【详解】52z i=-Q52z i ∴===-【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题. 8．22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【分析】利用辅助角公式可整理出()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令22262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解出x 的范围即为所求区间.【详解】()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令22262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得：22233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 本题正确结果：22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，关键是采用整体对应的方式来进行求解. 9．【详解】设铁球的半径为,则，解得；则该铁球的表面积为.考点：球的表面积与体积公式. 10．17试题分析：高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人考点：分层抽样 11．0.568 【分析】记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A ，首先求解出()P A ，利用对立事件概率公式可求得结果. 【详解】记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A则()0.90.80.60.432P A =⨯⨯= ()()10.568P A P A ∴=-= 本题正确结果：0.568 【点睛】本题考查对立事件概率的求解，属于基础题. 12．6 【分析】由约束条件画出平面区域Ω，可知z 取最大值时，y x z =-在y 轴截距最小，通过平移直线可知当过C 时，z 取最大值，求出C 点坐标，代入求得结果. 【详解】由约束条件可得平面区域Ω如下图阴影部分所示：令z x y =-，则z 取最大值时，y x z =-在y 轴截距最小平移y x =可知，当y x z =-过C 时，在y 轴截距最小由220x y y +=⎧⎨+=⎩得：()4,2C - max 426z ∴=+= 本题正确结果：6 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是将问题转化为在y 轴截距的最值的求解问题，通过平移直线求得结果. 13．8 【分析】由()()40f x f x +-=知()()4f b f b -=-，可将不等式变为()()4f a f b ≥-，利用函数单调性可得40a b +-≥，根据线性规划的知识，知22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方，从而可知所求最小值为O 到直线40a b +-=的距离的平方，利用点到直线距离公式求得结果. 【详解】由()()40f x f x +-=得：()()4f b f b -=-()()0f a f b ∴+≥等价于()()()4f a f b f b ≥-=- ()f x Q 为R 上的增函数 4a b ∴≥-，即40a b +-≥则可知可行域如下图所示：则22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方可知O 到直线40a b +-=的距离的平方为所求的最小值()222min482a b -∴+== 本题正确结果；8 【点睛】本题考查函数单调性的应用、线性规划中的平方和型的最值的求解，关键是能够利用平方和的几何意义，将问题转化为两点间距离的最值的求解问题. 14．2 【分析】根据二项展开式的通项公式可得n a ，进而得到11121n a n n ⎛⎫=⨯- ⎪-⎝⎭，利用裂项相消法和数列极限的求解方法可求得结果. 【详解】()1nx +的展开式通项公式为：r r n C x ()212n n n n a C -∴==()1211211n a n n n n ⎛⎫∴==⨯- ⎪--⎝⎭23111111111lim lim 212lim 122231n n n n a a a n n n →∞→∞→∞⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 本题正确结果：2 【点睛】本题考查数列中的极限的求解问题，关键是能够通过二项展开式的通项公式求得通项，从而确定采用裂项相消的方式求得数列各项的和.15．3 【详解】设直线AB 的方程为x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴的交点为(0,)M m .联立2{x ty m y x=+=，可得20y ty m --=，根据韦达定理可得12y y m ⋅=-. ∵2OA OB ⋅=u u u v u u u v∴12122x x y y +=，即21212()20y y y y ⋅+⋅-=.∴2m =或1m =-（舍），即122y y ⋅=-. ∵点A ，B 位于x 轴的两侧∴不妨令点A 在x 轴的上方，则10y >. ∵1(,0)4F∴12111111922()32248ABO AFO S S y y y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯=+≥=，当且仅当143y =时取等号.∴ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3. 故答案为3.点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系及基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中通过韦达定理和2OA OB ⋅=u u u v u u u v推出122y y ⋅=-的表达式和运用基本不等式是解答的关键．16．⎡⎣【分析】设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ=u u u v u u u v，可知EA BC ≥u u u v u u u v 恒成立，可知minEA u u u v 为边BC 的高h ，利用三角形面积公式可得：2sin a bc A ≤；结合余弦定理整理可得()sin 2cos c bA A A b cϕ+≤+=+，从而可得最大值，利用基本不等式可求得最小值，从而得到取值范围. 【详解】设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ=u u u v u u u v则BA BC BA BE EA λ-=-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v EA BC ∴≥u u u v u u u v恒成立又min EA u u u v 为边BC 的高h h a ∴≥恒成立2111sin 222ABC S ah bc A a ∆∴==≥ 2sin a bc A ∴≤ 由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+- 222cos sin b c bc A bc A ∴+-≤()222cos sinsin 2cos c b b c bc A bc AA A A b c bc bc ϕ++∴+=≤=+=+，其中tan 2ϕ=c b b c∴+≤，又2c bb c +≥（当且仅当b c =时取等号）c b b c⎡∴+∈⎣本题正确结果：⎡⎣【点睛】本题考查解三角形中的取值范围的求解问题，关键是能够通过恒成立的不等关系得到边长与三角形高的长度关系，利用三角形面积公式和余弦定理可构造出不等式，从而可求得最值.17．(1)(2). 【分析】（1）1A CB ∠或其补角就是异直线11B C 与1A C 所成角，我们可证1A AB ∆为直角三角形且1A B =.（2）先计算11A B BC V -，再利用等积法求1B 到平面1A BC 的距离，它就是直线11B C 到平面1A BC 的距离.【详解】(1)因为11B C BC ∥，所以1A CB ∠ (或其补角)是异直线11B C 与1A C 所成角. 因为BC AB ⊥，1BC BB ⊥，1AB BB B ⋂=，所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥.1Rt A BC V 中，11tan 1A B ACB BC ∠===1ACB ∠=，所以异面直线11B C 与1A C 所成角的大小为(2)因为11B C ∥平面1A BC ，所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离，设1B 到平面1A BC 的距离为d ，因为111B A BC A BB C V V --=，11133A BC S d ∆∴⨯=111B BC S A B ∆⨯，可得d =，直线11B C 与平面1A BC . 【点睛】异面直线所成角的计算，可通过平移把空间角转化为平面角，在可解的三角形中求其大小.直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，求点面距时，注意利用题设中已有的线面垂直，如果没有，则利用面面垂直构建线面垂直，也可利用等积法求点面距. 18．（1）最小正周期为2π，最大值为2；（2）2. 【分析】由//a b rr 整理可得：()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭；（1）根据正弦型函数的最小正周期和最值的求解方法直接求得结果；（2）利用3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得sin A ，利用正弦定理求得结果. 【详解】由//a b rr得：()11sin cos 222f x x x =+则：()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭（1）()f x 最小正周期为：221T ππ== 当sin 13x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max 2f x = （2）由3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭2sin A =sin A =由正弦定理可知：sin sin BC ACA B=，即sin 2sin BC B AC A ⋅===【点睛】本题考查三角函数中的正弦型函数的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦定理的应用，涉及到平面向量共线定理、辅助角公式的应用. 19．（1）20t =，149a =；（2）1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）根据抛物线方程求得()0,50B ，从而可得半径，即50CD t =-，进而解得t ；通过圆E 的方程求得A 点坐标，从而得到C 点坐标，代入抛物线方程求得a ；（2）求解出C 点坐标后，可知5075DF t =-+≤，可整理为162550a t t≥++，利用基本不等式可求得162550t t++的最大值，从而可得a 的范围. 【详解】（1）由抛物线方程得：()0,50B 50BE t ∴=-又BE ，CD 均为圆的半径 50CD t ∴=-，则503020t =-=∴圆E 的方程为：()2222030x y +-=()A ∴OD AD AO ∴=-==()C代入抛物线方程得：(23050a =-+，解得：149a =（2）由题意知，圆E 的半径为：50t -，即50CD t =-则C 点纵坐标为50t -，代入抛物线方程可得：x =OD =5075DF t ∴=-+，整理可得：()216252550t a t t t≥=+++ (]0,25t Q ∈62550t t∴+≥=（当且仅当25t =时取等号）1162510050t t∴≤++ 1100a ∴≥ 即a 的取值范围为：1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.20．（1）2212y x -=；（2）1229PP PP u u u r u u u r ⋅=；（3）详见解析. 【分析】（1）222b MF b a==，根据1230MF F ∠=o 可得21||2MF b =，利用双曲线的定义可得22b =从而得到双曲线的方程.（2）设点()00,P x y ，利用渐近线的斜率可以得到12,PP PP u u u v u u u v夹角的余弦为13，利用点在双曲线上又可得12PP PP ⨯u u u v u u u v 为定值23，故可得12·PP PP u u u vu u u v 的值. （3）设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为:002x x y y +=，证明2AB OM =等价于证明OA OB ⊥，也就是证明 12120x x y y +=，联立切线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理可以证明12120x x y y +=. 【详解】(1)设2,F M的坐标分别为,0)y因为点M 在双曲线C 上,所以22021+1y b b-=,即20y b =±,所以22||MF b =，在21Rt MF F ∆中, 1230MF F ∠=o ,22||MF b =,所以21||2MF b =，由双曲线的定义可知: 212||||2MF MF b -==，故双曲线C 的方程为: 2212y x -=.(2)由条件可知:两条渐近线分别为10l y -=；20l y +=. 设双曲线C 上的点00(,)Q x y ,设1l 的倾斜角为θ，则tan θ=0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos θ=，故21cos 22cos 13θθ=-=-，所以12,PP PP u u u v u u u v 的夹角为2πθ-，且()1cos 23πθ-=. 点Q到两条渐近线的距离分别为1||PP =，2||PP =.因为00(,)Q x y 在双曲线22:12y C x -=上,所以220022x y -= ，所以12PP PP ⋅=u u u r u u ur ()2200212cos 2339x y πθ--=⋅=. (3)由题意,即证: OA OB ⊥,设1122(,),(,)A x y B x y , 切线l 的方程为: 002x x y y +=.00y ≠时,切线l 的方程代入双曲线C 中,化简得:(222000(2)4y x x x x -+20(24)0y -+=，所以01222004(2)x x x y x +=--，20122200(24)(2)y x x y x +=--. 又01021200(2)(2)x x x x y y y y --=⋅012201[42()x x x y =-+220012220082]2x x x x y x -+=-，所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r 220022220000(24)82(2)2y x y x y x +-=-+--2200220042()02x y y x -+==-. 00y =时,易知上述结论也成立.所以12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r.综上, OA OB ⊥,所以||2||AB OM =u u u r u u u u r.【点睛】（1）过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线()222210.0x y a b a b -=>> 交于,A B ，则22b AB a=（通径）. （2）直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理证明该关系式为恒等式. 21．（1）a=6,m=5；（2）见解析；（3）02Ba n = 本试题主要考查了数列的运用.解：（1）因为数列：1,2,4(m>4)是“兑换系数”为a 的“兑换数列”所以a-m,a-4,a-2,a-1也是该数列的项，且a-m<a-4<a-2<a-1-------------------1分故a-m=1,a-4=2-------------------3分即a=6,m=5 -------------------4分（2）设数列{}n b 的公差为d ，因为数列{}n b 是项数为0n 项的有穷等差数列若00123123n n b b b b a b a b a b a b ≤≤≤≤∴-≥-≥-≤≥-L L 即对数列{}n b 中的任意一项(1)i b i n ≤≤{}0110()(1)i i n n a b b n i d i n b b +--=+-≤≤=∈-------------------6分同理可得：若00123123n n b b b b a b a b a b a b L L ≥≥≥≥∴-≤-≤-≤≤-，{}0110()(1)i i n n a b b n i d i n b b +--=+-≤≤=∈也成立，由“兑换数列”的定义可知，数列{}n b 是 “兑换数列”；-------------------8分又因为数列{}n b 所有项之和是B ，所以010()?·22n b b n a n B +==，即02B a n =------10分（3）假设存在这样的等比数列{}n c ，设它的公比为q,(q>1)，因为数列{}n c 为递增数列，所以123123n n c c c c a c a c a c a c <<<⋯<<->->-⋯->LL则又因为数列{}n c 为“兑换数列”，则{}i n a c c -∈，所以i a c -是正整数故数列{}n c 必为有穷数列，不妨设项数为n 项，------------------12分则1(1)i n i c c a i n +-+=≤≤----------14分 ① n=3则有132,2a c c a c +==，又2132c c c =，由此得q=1，与q>1矛盾；-------------------15分②若4n ≥.由121n n c c c c -+=+，即(2(1)(1)0n q q ---=)，故q=1，与q>1矛盾；-------------------17分综合①②得，不存在满足条件的数列{}n c .-------------------18分这样看来，一般来说，生活中，若如果我们听到坏消息怎么样出现了，我们就不得不考虑它出现了的事实。

2024届上海市崇明区高三一模数学试题及答案

上海市崇明区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.15一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.不等式21x 的解集是．2.双曲线221y x 的焦距是．3.4.5.x6.7.8.9.10.个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．．11.已知不平行的两个向量a 、b 满足1a ，a bt R ，都有2b ta 成立，则b 的最小值等于．12.已知正实数a 、b 、c 、d 满足210a ab ，221c d ，则当 22a cb d 取得最小值时，ab．第17题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知集合23A x x ，0B x x ，则A B （）.A 2,3 ；.B 0,3；.C 0, ；.D 2, ．14.若0x y ，则下列不等式正确的是（）.A x y ；.B 22x y ；.C 11x y；.D 2x y．15.已知点M 为正方体1111ABCD A B C D 内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：1q2q .A .C 16.则实数m 的取值.A ．三、17.1，90ADC ，E 、F （1（2）求点B 到平面PCF 的距离．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC 中，5a ，6b ．（1）若4cos 5B，求A 和ABC 外接圆半径R 的值；（2）若ABC 的面积4S，求c 的值．19.台计算TPI 4个等级：某市（1）年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路2022年同日TPI高的天数记为X ，求所有X 的可能值及其发生的概率．已知抛物线21:4y x ，22:2y x ，直线l 交抛物线1 于点A 、D ，交抛物线2 于点B 、C ，其中点A 、B 位于第一象限．（1）若点A 到抛物线1 焦点的距离为2，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为 4,4，且线段AC 的中点在x 轴上，求原点O 到直线l 的距离；（3）若2AB CD，求AOD 与BOC 的面积之比．已知 sin f x mx x （m R 且0m ）．（1）若函数 y f x 是实数集R 上的严格增函数，求实数m 的取值范围；（2）已知数列 n a 是等差数列（公差0d ）， n n b f a ．是否存在数列 n a 使得数列 n b 是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列 n a ，并证明此时的数列 n b 是等差数列；若不存在，请说明理由；（3）若1m ，是否存在直线y kx b 满足：①对任意的x R 都有 f x kx b 成立，②存在0x R使得 00f x kx b ？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．崇明区2023学年第一学期高三第一次模拟考试参考答案及评分标准一、填空题1. （1，3）；2. 3. 2； 4. 31； 5. 10；6.7. 3； 8. 9； 9. 0.42； 10. 假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚； 11.12.12+. 二、选择题13. D ； 14. C ； 15. A ； 16. A. 三、解答题17. 解（1）证明：取PA 中点G ，连接GE 、GD ，则//GE AB ，12GE AB =，由于//CD AB ，12CD AB =，所以//GE CD ，GE CD =，所以四边形CDGE 是平行四边形，所以//CE GD ，......................................4分由于CE 不在平面PAD 上，DG ⊂平面PAD ，所以CE //平面PAD ；.....................................................................................7分（2）设点B 到平面PCF 的距离为h ，由题意，CF AB ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以CF PF ⊥ 在RT PAF △中，PF =，所以12PFC S CF PF =⋅=△分由P BCF B PCF V V −−=得1133BCF PCF S PA S h ⋅=⋅△△所以5h =，即点B 到平面PCF的距离为5.......................................7分 18. 解（1）因为4cos 5B =−，()0,B π∈，所以3sin 5B ==...........2分由正弦定理，得2sin sin a b R A B ==，即5623sin 5R A ==，....................................4分所以1sin 2A =，5R =，因为a b <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此6A π=，5R =..................................................6分（2）由1sin 2ABC S ab C =△得224sin 564ABC S C ab ===⨯△，....................2分于是3cos 4C ==±.....................4分当3cos 4C =时，由余弦定理，得222356256164c =+−⨯⨯⨯=.....................6分当3cos 4C =−时，由余弦定理，得2223562561064c ⎛⎫=+−⨯⨯⨯−= ⎪⎝⎭.所以，4c =或c =分（2）根据统计数据可得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数共有2天，故0,1,2X =.....................2分()3537C 1020C 357P X ====；()215237C C 2041C 357P X ⋅====； ()125237C C 512C 357P X ⋅====...........................................................................................8分20. 解（1）抛物线24y x =的准线为1x =−，因为点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2，所以点A 到抛物线1Γ准线的距离为2，所以点A 的横坐标为1，故点A 的坐标为(1,2).....................4分（2）设00(,)C x y ，则线段AC 的中点坐标为0044(,)22x y ++ 由题意，402y +=，故04y =−，所以(8,4)C −.....................2分所以直线l 的方程为：2120x y +−=.....................4分所以原点O 到直线l 的距离d ==.....................6分（3）由题意，直线l 的斜率k 显然存在且0k ≠，设直线l 的方程为y kx b =+ 设11223344(,),(,),(,),(,)A x y D x y B x y C x y由2AB CD =，得31242()y y y y −=−①，.....................2分由24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，得：204k y y b −+=，所以124y y k +=，124b y y k =同理，342y y k+=，342b y y k =.....................4分所以12342()y y y y +=+②，12342y y y y =③由①，②得：23y y =−，代入③得142y y =−，代入②得2434y y =所以4412344442103473AODBOCy y S y y S y y y y −−−===−−−△△...............................................................8分 21.解（1）因为函数()y f x =是实数集R 上的增函数，所以'()cos 0f x m x =+≥对任意的x ∈R 都成立.............................2分因为函数cos y m x =+的最小值为1m −，所以1m ≥.....................4分（2）sin n n n b a ma =+，若{}n b 是等差数列，则212n n n b b b +++=对一切正整数n 成立，即2211sin sin 2sin 2n n n n n n a ma a ma a ma +++++++=+，将212n n n a a a +++=代入化简得21sin sin 2sin n n n a a a +++=，即()()111sin sin 2sin n n n a d a d a +++−++=，展开化简得()12sin cos 10n a d +⋅−=对一切正整数n 成立，所以1sin 0n a +=或cos 1d =，故1n a n π+=或()20,d k k k π=≠∈Z ；......................................................3分注：这里只要给出合适的一个等差数列即可得分当()20,d k k k π=≠∈Z 时，()()11sin sin 1212n n n b a ma a n k m a n k ππ=+=+−++−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1112sin m n k ma a π=−++，所以12n n b b m k π+−=为常数，故{}n b 是等差数列......................................................................6分同理，当n a n π=时，亦可证明数列{}n b 为等差数列. （3）令()(sin )()(1)sin g x x x kx b k x x b =+−+=−+−则当m Z ∈时，(2)2(1)sin11b bg m k m k kππ+=−+−− 1k >时，存在m Z ∈使得(2)01bg m kπ+<−，即存在x R ∈使得()f x kx b <+，与题意不符同理，1k <时，存在x R ∈使得()f x kx b <+，与题意不符.......................4分1k =时，()sin g x x b =−当1b >−时，显然存在存在x R ∈使得()0g x <，即存在存在x R ∈使得()f x kx b <+ 当1b <−时，对任意的x R ∈都有()0g x >，..................................6分当1b =时，存在02x π=−，使得00()=f x kx b +，且对任意的x R ∈都有()0g x ≥，即对任意的x R ∈都有()f x kx b ≥+综上，存在直线1y x =−满足题意..................................8分。

上海市崇明县2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析

上海市崇明县2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8 B．83C．4 D．43【答案】D【解析】【分析】根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积．【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱PA⊥底面ABCD的四棱锥，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，高为PA=2，∴四棱锥的体积为21242323 V=⋅⋅=.故选：D.本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.2．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t+>++有解，则t 的取值范围是（） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+ D ．(],112ln 2-∞-+【答案】C 【解析】【分析】先求导得221()ax x f x x -+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围. 【详解】由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---.设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.3．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【解析】【分析】【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 4．已知f(x)=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f(x-3)<f(9-x 2)的解集为（）A ．(-2,6)B ．(-6,2)C ．(-4,3)D ．(-3,4)【答案】C 【解析】【分析】由奇函数的性质可得1a =，进而可知()f x 在R 上为增函数，转化条件得239x x -<-，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为()1x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，所以()()011f f +-=，即11101e e e a a e--+=++，解得1a =，即()12111x x xe f x e e -==-++，易知()f x 在R 上为增函数. 又()()239f x f x -<-，所以239x x-<-，解得43x -<<.【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.5．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（） A ．17种 B ．27种 C ．37种 D ．47种【答案】C 【解析】【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【详解】所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种, 故选:C 【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.6．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R ð（）.A ．(,1)[3,)-∞+∞UB ．(,1][3,)-∞+∞UC ．(,1)(3,)-∞+∞UD ．(1,3)【答案】A 【解析】【分析】算出集合A 、B 及A B I ，再求补集即可. 【详解】由2230x x --<，得13x -<<，所以{|13}A x x =-<<，又{|1}B x x =≥，所以{|13}A B x x ⋂=≤<，故()A B ⋂=R ð{|1x x <或3}x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.7．已知双曲线22221x y -=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（）A ．8B ．16C ．62D ．122【答案】D 【解析】【分析】根据题意画出几何关系，由四边形1122A B A B 的内切圆面积求得半径，结合四边形1122A B A B 面积关系求得c 与ab 等量关系，再根据基本不等式求得c 的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形1122A B A B 的内切圆半径为r ，双曲线半焦距为c ，则21,,OA a OB b == 所以2221A B a b c =+=，四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则218r ππ=，解得32OC r ==则112212122111422A B A B S A A B B A B OC =⋅⋅=⨯⋅⋅四边形，即112243222a b c ⋅⋅=⨯⋅⋅故由基本不等式可得2222323262a b c +=≤=，即62c ≥，当且仅当a b =时等号成立. 故焦距的最小值为122本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.8．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ，可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1，故选：B ．【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．9．计算2543log sin cos ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( )A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值. 【详解】原式2221log cos 2log cos log 332πππ⎤⎤⎤⎛⎫⎛⎫=-==⎥⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.10．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（） A ．3 B ．3或7C ．5D ．5或8【分析】根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，若88f x f x ππ+=-（）（），则()f x 的图象关于8x π=对称，又58f π=（），所以25b +=或25b -+=，所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（）A ．()B ．()C ．()D ．()【答案】A 【解析】【分析】由已知先确定出双曲线方程为2213y x -=，再分别找到12F PF △为直角三角形的两种情况，最后再结合122PF PF -=即可解决.【详解】由已知可得22a =，2ca=，所以1,2,a c b ==== 2213y x -=，不妨设点P 在双曲线C 右支上运动，则122PF PF -=，当12PF PF ⊥时，此时221216PF PF +==122()2PF PF -+12PF PF ，所以126PF PF =，122()PF PF +=22122PF PF ++1228PF PF =，所以12PF PF +=当2PF x ⊥轴时，221216PF PF =+，所以12168PF PF =+=，又12F PF △为锐角三角形，所以12PF PF +()∈. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到12F PF △为锐角三角形的临界情况，即12F PF △为直角三角形，是一道中档题.12．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（）． A ．{|31}x x -<<- B ．1{|1}3x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >- D ．{|1x x <-或1}3x >-【答案】D 【解析】【分析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【详解】构造函数()()33x f x g x =，则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数；又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+ 又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >- 故选：D此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年上海市崇明区高三下学期联合考试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷含解析考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆22y a +22x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（） A ．5-12B ．3-12C ．314+ D ．514+ 2．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2--3．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC 的形状为（） A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1B ．2C ．3D ．66．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A ．33B ．66C ．34D ．367．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．138．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．9．已知整数,x y 满足2210x y +≤，记点M 的坐标为(,)x y ，则点M 满足5x y +≥ ）A ．935B ．635C ．537D ．73710．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）A ．3π B ．3π-C ．23πD ．23π-11．若,x y 满足320020x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，且目标函数2(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则416a b +的最小值为( )A ．8B ．4C ．2D ．612．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心；③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市崇明县2019-2020学年高考数学三模考试卷含解析

上海市崇明县2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]【答案】B 【解析】【分析】由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,即可求出ω的范围. 【详解】由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤, 0x =时,π(0)2cos 3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,而ππ,320⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π[π,0]3--∈, 所以ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,则πππ33ππ0230ωωω⎧--≥-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩,即2230ωωω≤⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,故203ω<≤. 故选:B. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.2．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 【答案】B 【解析】【分析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r h π.因为221122r h r h ππ=，所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.3．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为30°的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为()0,b ，则该双曲线的标准方程可能为（）A ．2212x y -=B ．2213x y -=C ．2214x y -=D ．22132x y -=【答案】A 【解析】【分析】直线l 的方程为)33y x c =+，令0x =，得33y =，得到a,b 的关系，结合选项求解即可【详解】直线l 的方程为)3y x c =+，令0x =，得3y =.3b =，所以22222232ac b b b b =-=-=，只有选项A 满足条件.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力. 4．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】【分析】根据程序框图程序运算即可得. 【详解】依程序运算可得：4602520460603460604046040，，，；，，，；，，，；r i m n r i m n r i m n ============205402006，，，；，r i m n r i ======，故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程. 5．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（） A ．20 B ．18C ．16D ．14【答案】A 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得34a a +即可.设等差数列{}n a 的公差为d .由51077,0a a a =⎧⎨+=⎩得11147,960a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩,解得115,2a d =⎧⎨=-⎩.所以341252155(2)20a a a d +=+=⨯+⨯-=.故选：A 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（） A ．3πB ．3π-C ．23π D ．23π-【答案】B 【解析】【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.7．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A ．17B ．27C ．13D ．1835【答案】A 【解析】【分析】利用An P n=计算即可，其中A n 表示事件A 所包含的基本事件个数，n 为基本事件总数. 【详解】从7本作业本中任取两本共有27C 种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有23C 种不同结果，由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为232717C C =.故选：A.本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.8．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k =+，同理可得21||2(1)CD p k =+，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2p，则直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+，同理21||2(1)CD p k=+，所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++，所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.9．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）2.236≈≈≈） A ．22个 B ．24个C ．26个D ．28个【答案】C 【解析】【分析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为，得到最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，得到不等式)101100n +-≤，计算得到答案.【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，易求正四面体相对棱的距离为，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，若想要盖上盖子，则需要满足)101100n +-≤，解得113.726n ≤+≈，所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球．故选：C 【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 10．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则A B =I （）A ．{}2345，，， B ．{}234，， C ．{}1234，，， D ．{}01234，，，，【答案】B 【解析】【分析】解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解. 【详解】集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}15,A x x =<<,B N =由集合交集运算可得{}{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=，故选：B.【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.11．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-r r，则（）A ．a r ∥b rB ．a r ⊥b rC ．a r ∥(a b -r r )D ．a r ⊥( a b -r r )【答案】D 【解析】【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论. 【详解】∵向量a =r（1，﹣2），b =r（3，﹣1），∴a r和b r的坐标对应不成比例，故a r、b r不平行，故排除A ；显然，a r •b =r3+2≠0，故a r、b r不垂直，故排除B ；∴a b -=r r （﹣2，﹣1），显然，a r 和a b -r r 的坐标对应不成比例，故a r 和a b -r r 不平行，故排除C ；∴a r•（a b -rr）＝﹣2+2＝0，故 a r⊥（a b -rr），故D 正确，故选：D. 【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.12．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D 【解析】【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当3x π=时，226x ππ-=，所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴，故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市崇明县2019-2020学年高考数学三模试卷含解析

上海市崇明县2019-2020学年高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知||23zz i=-（i为虚数单位，z为z的共轭复数），则复数z在复平面内对应的点在（）. A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】【分析】设i,(,)z a b a b R=+∈，由||23zz i=-，得222i=(2)i=a bz a b+--+，利用复数相等建立方程组即可.【详解】设i,(,)z a b a b R=+∈，则222i=(2)i=a bz a b+--+，所以2220a bab⎧+⎪=⎨⎪+=⎩，解得222ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故22iz=-，复数z在复平面内对应的点为2(,2)-，在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.2．,,a bαβαβ//////，则a与b位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交【答案】D【解析】结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a与b的关系分别是平行、异面或相交．选D．3．已知双曲线C ：2214x y -=，1F ，2F 为其左、右焦点，直线l 过右焦点2F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若223AF BF =，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．2-C ．1-D ．2【答案】D 【解析】【分析】由|AF 2|＝3|BF 2|，可得223AF F B u u u u v u u u u v=.设直线l 的方程x ＝m ＞0，设()11,A x y ，()22,B x y ，即y 1＝﹣3y 2①，联立直线l 与曲线C,得y 1+y 2＝y 1y 2＝214m -③，求出m 的值即可求出直线的斜率. 【详解】双曲线C ：2214x y -=，F 1，F 2为左、右焦点，则F 20），设直线l 的方程x ＝，m ＞0，∵双曲线的渐近线方程为x ＝±2y ，∴m≠±2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且y 1＞0，由|AF 2|＝3|BF 2|，∴223AF F B u u u u v u u u u v =，∴y 1＝﹣3y 2①由22{440x my x y =--=，得()22410m y -++=∴△＝（）2﹣4（m 2﹣4）＞0，即m 2+4＞0恒成立，∴y 1+y 2＝24m --②，y 1y 2＝214m -③，联立①②得22204y m -=->-，联立①③得2221304y m -=<-，2y ∴=2221123y m =-即：221123m =-⎝⎭，0m >，解得：12m =，直线l 的斜率为2，故选D ．【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．4．已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =…，则阴影部分表示的集合是（）A ．[1,1]-B ．(3,1]-C ．(,3)(1,)-∞--+∞UD ．(3,1)--【答案】D 【解析】【分析】先求出集合N 的补集U N ð，再求出集合M 与U N ð的交集，即为所求阴影部分表示的集合. 【详解】由U =R ，{|||1}N x x =…，可得{1U N x x =<-ð或1}x >，又{|31}M x x =-<<所以{31}U M N x x ⋂=-<<-ð. 故选：D. 【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题. 5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A 3236π+ B ．836πC 323163πD ．16833π+【答案】B 【解析】【分析】还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为：2211123622V r h πππ==⨯⨯=四棱锥体积为：2114333V Sh ==⨯⨯⨯=原几何体体积为：126V V V π=+= 本题正确选项：B 【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.6．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（）AB ．3CD ．2【答案】A 【解析】【分析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为b x y c a =-，联立方程得到()312222ab y y b a c +=-，()2412222a b y y b a c=-，根据向量关系化简到229b a =，得到离心率.【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-. 联立2222,1,b x y c a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b --+=，则()()3241212222222,ab a b y y y y b a c b a c +==--.因为11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，所以P 为线段1QF 的中点，所以212y y =，()()()()22622221222222224124942a b b a c y y b y y b a b a c a b -+===⋅--，整理得229b a =，故该双曲线的离心率e =.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.7．设点A ，B ，C 不共线，则“()AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ”是“AB AC =u u u r u u u r”（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由于点A ，B ，C 不共线，则()()0AB AC BC AB AC BC +⊥⇔+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()22AB AC AC AB AC AB ⇔+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22AC AB ⇔=⇔u u u r u u u r “AB AC =u u u r u u u r ”；故“()AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ”是“AB AC =u u u r u u u r”的充分必要条件.故选：C. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题. 8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（）A ．1B ．-1C ．2D ．-2【答案】B 【解析】【分析】根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x+1）=f （1-x ），便可推出f （x+4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f （2019）=f （-1）=-f （1）=-1．∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-； ∴(2)()()f x f x f x +=-=-； ∴(4)()f x f x +=； ∴()f x 的周期为4；∵[0,1]x ∈时，()2x f x m =-； ∴由奇函数性质可得(0)10f m =-=； ∴1m =；∴[0,1]x ∈时，()21x f x =-；∴(2019)(15054)(1)(1)1f f f f =-+⨯=-=-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.9．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>【答案】C 【解析】【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果．【详解】 ∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++232l 23og log 82>+=⋅，故D 正确本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题10．已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图象关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min 2x x π-=，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（）A ．()2,6k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据已知得到函数()f x 两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得ω的值，结合其对称轴，求得θ的值，进而求得()f x 解析式.根据图像变换的知识求得()g x 的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得()g x 的单调递减区间. 【详解】解：已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，00,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图像关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min1222x x ππω-==⋅，∴2ω=. 再根据其图像关于直线6x π=对称，可得262k ππθπ⨯+=+，k ∈Z .∴6πθ=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度得到函数()sin 2cos 236g x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图像. 令222k x k πππ≤≤+，求得2k x k πππ≤≤+，则函数()g x 的单调递减区间是,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A．3B ．23C．2D ．1【答案】C 【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，可得：2000232263OM y k y p y p p y p ==≤=++，当且仅当22002,y p y ==时取等号，故选C ．考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2PM MF =，利用向量的运算可知200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．12．复数1i i+=（） A ．2i - B ．12i C ．0 D ．2i【答案】C 【解析】略二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市崇明县2021届新高考第三次质量检测数学试题含解析

上海市崇明县2021届新高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（）A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种【答案】B【解析】【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.【详解】将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法；将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种本题正确选项：B【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.2．若2m ＞2n ＞1，则（）A ．11m n ＞B ．πm ﹣n ＞1C ．ln （m ﹣n ）＞0D ．1122log m log n ＞【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.【详解】若2m ＞2n ＞1＝20，∴m ＞n ＞0，∴πm ﹣n ＞π0＝1，故B 正确；而当m 12=，n 14=时，检验可得，A 、C 、D 都不正确，故选：B ．此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.3．已知函数()()1x f x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e - 【答案】D【解析】【分析】先将所求问题转化为()11e x k x -<对任意x ∈R 恒成立，即1xy e =得图象恒在函数 (1)y k x =-图象的上方，再利用数形结合即可解决.【详解】由()1f x <得()11e x k x -<，由题意函数1xy e =得图象恒在函数(1)y k x =-图象的上方，作出函数的图象如图所示过原点作函数1xy e =的切线，设切点为(,)a b ，则1e e a a b a a --==，解得1a =-，所以切线斜率为e -，所以e 10k -<-≤，解得1e 1k -<≤.故选：D.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题.4．若()*3n x n N x x ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22a aa x dx --=（） A ．36πB ．812πC ．252πD ．25π【答案】C【解析】()*3xnn N∈展开式的通项为()52133,0,1,,rn rn rr n r rr n nT C x C x r n---+===L，因为展开式中含有常数项，所以52n r-=，即25r n=为整数，故n的最小值为1．所以5252aπ--⎰=⎰=.故选C点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r+项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r+项，由特定项得出r值，最后求出其参数.5．20201ii=-（）A．2B．C．1 D．14【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘方和除法法则将复数20201ii-化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.【详解】()5052020450511i i===，()()20201111111122i iii i i i+===+---+，因此，20201ii==-故选：A.【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 6．已知集合{}|1A x x=>-，集合(){}|20B x x x=+<，那么A BU等于（）A．{}|2x x>-B．{}1|0x x-<<C．{}|1x x>-D．{}|12x x-<<【答案】A【分析】求出集合B ，然后进行并集的运算即可.【详解】∵{}|1A x x =>-，{}|20B x x =-<<，∴{}|2A B x x =>-U .故选：A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.7．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当时，，所以，排除D ．选C ．8．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C【解析】【分析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.由三视图还原原几何体如图，其中ABC ∆，BCD ∆，ADC ∆为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选：C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.9．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（）A ．32B ．3C ．12D ．12- 【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质和已知可得623a π=，即可得到9343a a π+=，代入由诱导公式计算可得．【详解】解：由等差数列的性质可得1611632a a a a π++==，解得623a π=， 963324a a a π+==∴， ()3943sinsin s si in 333n a a ππππ∴⎛⎫=+=-= =⎪⎝+⎭ 故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．10．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=11a b a b β+=+，，则αβ+的最小值是（） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】根据题意，将a、b代入αβ+，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】∵a>0，b>0，a+b=1，∴2 11111152a ba b ab a bαβ+=+++=+≥+=+⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当12a b==时取“＝”号．答案：C【点睛】本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且2AE EO=u u u v u u u v，则ED=u u u v（）A．1233AD AB-u u u v u u u vB．2133AD AB+u u u v u u u vC．2133AD AB-u u u v u u u vD．1233AD AB+u u u v u u u v【答案】C【解析】【分析】画出图形，以,?AB ADu u u v u u u v为基底将向量EDu u u v进行分解后可得结果．【详解】画出图形，如下图．选取,?AB AD u u u v u u u v 为基底，则()211333AE AO AC AB AD ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， ∴()121 333ED AD AE AD AB AD AD AB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =-=-+=-．故选C ．【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．12．已知正项数列{}{},n n a b 满足：1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩，设n n n a c b =，当34c c +最小时，5c 的值为( ) A ．2B ．145C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】由1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得11911n n n na ab b ++=++，即1911n nc c +=++，所以得3433911c c c c +=+++，利用基本不等式求出最小值，得到32c =，再由递推公式求出5c .【详解】由1110n n n n n na ab b a b ++=+⎧⎨=+⎩得1110109111n n n n n n n n n n n n a a a b b a a b a b b b ++++===++++，即1911n nc c +=++， 34339161c c c c ∴+=++≥+，当且仅当32c =时取得最小值，此时45349914141115，c c c c =+==+=++. 故选：B【点睛】二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市2021届高三数学三模考试试题(含解析)

上海市崇明区2021届高三数学三模考试试题（含解析）一.填空题1.设集合{1,2,3}A =，{|1}B x x =>，则A B =______【答案】{2,3} 【解析】【分析】根据交集的定义直接得到结果.【详解】由交集定义可得：{}2,3A B ⋂= 本题正确结果：{}2,3【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2.若2log 1042x -=-，则x =______【答案】4 【解析】由行列式的定义可得：()()222log 140,log 2,4x x x --⨯-=∴==.3.已知复数z 满足(2)5z i -=（i 为虚数单位），则z 的模为______【解析】分析】根据复数模长运算性质可直接求得结果. 【详解】52z i=-52z i ∴===-【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.4.函数()3sin cos f x x x =+的单调递增区间为______ 【答案】22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【解析】【分析】利用辅助角公式可整理出()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解出x的范围即为所求区间.【详解】()3sin cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令22262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得：22233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 本题正确结果：22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，关键是采用整体对应的方式来进行求解.5.若一个球的体积是36π，则它的表面积是______ 【答案】【解析】设铁球的半径为,则，解得；则该铁球的表面积为.考点：球的表面积与体积公式.6.某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为______ 【答案】17 【解析】试题分析：高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人考点：分层抽样7.一名工人维护3台独立的游戏机，一天内这3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.6，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为______（结果用小数表示）【答案】0.568 【解析】【分析】记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A ，首先求解出()P A ，利用对立事件概率公式可求得结果.【详解】记“至少有一台游戏机不需要维护”为事件A则()0.90.80.60.432P A =⨯⨯= ()()10.568P A P A ∴=-= 本题正确结果：0.568【点睛】本题考查对立事件概率的求解，属于基础题.8.已知不等式组22020x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩表示的平面区域为Ω，点M 坐标为(),x y ，对任意点M ∈Ω，则x y -的最大值为______ 【答案】6 【解析】【分析】由约束条件画出平面区域Ω，可知z 取最大值时，y x z =-在y 轴截距最小，通过平移直线可知当过C 时，z 取最大值，求出C 点坐标，代入求得结果. 【详解】由约束条件可得平面区域Ω如下图阴影部分所示：令z x y =-，则z 取最大值时，y x z =-在y 轴截距最小平移y x =可知，当y x z =-过C 时，在y 轴截距最小由220x y y +=⎧⎨+=⎩得：()4,2C - max 426z ∴=+= 本题正确结果：6【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是将问题转化为在y 轴截距的最值的求解问题，通过平移直线求得结果.9.已知定义在R 上的增函数()y f x =满足()()40f x f x +-=，若实数,a b 满足不等式()()0f a f b +≥，则22a b +的最小值是______．【答案】8 【解析】【分析】由()()40f x f x +-=知()()4f b f b -=-，可将不等式变为()()4f a f b ≥-，利用函数单调性可得40a b +-≥，根据线性规划的知识，知22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方，从而可知所求最小值为O 到直线40a b +-=的距离的平方，利用点到直线距离公式求得结果.【详解】由()()40f x f x +-=得：()()4f b f b -=-()()0f a f b ∴+≥等价于()()()4f a f b f b ≥-=- ()f x 为R 上的增函数 4a b ∴≥-，即40a b +-≥则可知可行域如下图所示：则22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方可知O 到直线40a b +-=的距离的平方为所求的最小值()222min482a b -∴+== 本题正确结果；8【点睛】本题考查函数单调性的应用、线性规划中的平方和型的最值的求解，关键是能够利用平方和的几何意义，将问题转化为两点间距离的最值的求解问题.10.若n a 是二项式(1)nx +展开式中2x 项的系数，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++=⎪⎝⎭______ 【答案】2 【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式可得n a ，进而得到11121n a n n ⎛⎫=⨯- ⎪-⎝⎭，利用裂项相消法和数列极限的求解方法可求得结果.【详解】()1nx +的展开式通项公式为：rrn C x ()212n n n n a C -∴==()1211211n a n n n n ⎛⎫∴==⨯- ⎪--⎝⎭23111111111lim lim 212lim 122231n n n n a a a n n n →∞→∞→∞⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 本题正确结果：2【点睛】本题考查数列中的极限的求解问题，关键是能够通过二项展开式的通项公式求得通项，从而确定采用裂项相消的方式求得数列各项的和.11.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，若2OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是______ 【答案】3 【解析】设直线AB 的方程为x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴的交点为(0,)M m . 联立2{x ty m y x=+=，可得20y ty m --=，根据韦达定理可得12y y m ⋅=-. ∵2OA OB ⋅=∴12122x x y y +=，即21212()20y y y y ⋅+⋅-=.∴2m =或1m =-（舍），即122y y ⋅=-. ∵点A ，B 位于x 轴的两侧∴不妨令点A 在x 轴的上方，则10y >. ∵1(,0)4F∴12111111922()32248ABO AFO S S y y y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯=+≥=，当且仅当143y =时取等号.∴ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3. 故答案为3.点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系及基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中通过韦达定理和2OA OB ⋅=推出122y y ⋅=-的表达式和运用基本不等式是解答的关键．12.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果对任意的实数λ，BA BC BCλ-≥恒成立，则c bb c+的取值范围是______【答案】⎡⎣【解析】【分析】设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ=，可知EA BC ≥恒成立，可知min EA 为边BC 的高h ，利用三角形面积公式可得：2sin a bc A ≤；结合余弦定理整理可得()sin 2cos sin c bA A A b cϕ+≤+=+，从而可得最大值，利用基本不等式可求得最小值，从而得到取值范围.【详解】设E 为直线BC 上任意一点，且BE BC λ= 则BA BC BA BE EA λ-=-= EA BC ∴≥恒成立又minEA为边BC 的高h h a ∴≥恒成立2111sin 222ABC S ah bc A a ∆∴==≥ 2sin a bc A ∴≤ 由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+- 222cos sin b c bc A bc A ∴+-≤()222cos sinsin 2cos c b b c bc A bc AA A A b c bc bc ϕ++∴+=≤=+=+，其中tan 2ϕ=c b b c∴+≤2c bb c +≥（当且仅当b c =时取等号）c b b c⎡∴+∈⎣本题正确结果：⎡⎣【点睛】本题考查解三角形中的取值范围的求解问题，关键是能够通过恒成立的不等关系得到边长与三角形高的长度关系，利用三角形面积公式和余弦定理可构造出不等式，从而可求得最值.二.选择题13.已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“220a b +=”的（）条件 A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的判定方式进行判定即可.【详解】当1a =，0b =时，0ab =，此时220a b +≠，可知充分条件不成立；当220a b +=时，由20a ≥，20b ≥可知0a b ==，则0ab =，可知必要条件成立则“0ab =”是“220a b +=”的必要不充分条件本题正确选项：B【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题.14.将函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有的点向右平移4π个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（） A. 5sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. 5sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 5sin 224x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的左右平移和伸缩变换原则变化函数解析式即可得到结果.【详解】向右平移4π个单位长度得：5sin sin 4612y x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭横坐标扩大到原来的2倍得：5sin 212x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭本题正确选项：A【点睛】本题考查三角函数图象变换中的左右平移变换和伸缩变换，关键是明确两种变换均是针对于x 的变化.15.已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（） A. 至少有一个解 B. 至多有一个解 C. 至多有两个解 D. 可能有无数个解【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈，从而将方程整理为()()20x a x b λμ+++=，由,a b 不共线可得200x x λμ⎧+=⎨+=⎩，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果.【详解】由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈ 则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++= 即：()()20xa xb λμ+++=,a b 不共线 200x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩可知方程组可能无解，也可能有一个解∴方程20ax bx c ++=至多有一个解本题正确选项：B【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.16.如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】取线段1B A 中点为N ，计算得：1112N N ND 623N B A l A C l l =++=+<+==. 同理，当N 为线段AC 或C 1B 的中点时，计算得1112N N ND 6232N B l A C l =++=+<+=.符合C 项的图象特征. 故选：C三.解答题17.在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小；（2）求直线11B C 与平面1A BC 的距离.【答案】(1). 【解析】【分析】（1）1A CB ∠或其补角就是异直线11B C 与1A C 所成角，我们可证1A AB ∆为直角三角形且1A B .（2）先计算11A B BC V -，再利用等积法求1B 到平面1A BC 的距离，它就是直线11B C 到平面1A BC 的距离.【详解】(1)因为11B C BC ∥，所以1A CB ∠ (或其补角)是异直线11B C 与1A C 所成角. 因为BC AB ⊥，1BC BB ⊥，1AB BB B ⋂=，所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥.1Rt A BC 中，11tan 1A B ACB BC ∠===1ACB ∠=，所以异面直线11B C 与1A C 所成角的大小为(2)因为11B C ∥平面1A BC ，所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离，设1B 到平面1A BC 的距离为d ，因为111B A BC A BB C V V --=，11133A BC S d ∆∴⨯=111B BC S A B ∆⨯，可得d =，直线11B C 与平面1A BC . 【点睛】异面直线所成角的计算，可通过平移把空间角转化为平面角，在可解的三角形中求其大小.直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，求点面距时，注意利用题设中已有的线面垂直，如果没有，则利用面面垂直构建线面垂直，也可利用等积法求点面距.18.已知向量11,sin cos 222a x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭和向量()()1,b f x =，且//a b . （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）已知ABC ∆的三个内角分别为,,A B C，若有3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，BC =sin B =，求AC 的长度. 【答案】（1）最小正周期为2π，最大值为2；（2）2. 【解析】【分析】由//a b 整理可得：()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭；（1）根据正弦型函数的最小正周期和最值的求解方法直接求得结果；（2）利用3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得sin A ，利用正弦定理求得结果.【详解】由//a b 得：()11sin cos 222f x x x =+ 则：()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭（1）()f x 最小正周期为：221T ππ== 当sin 13x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max 2f x = （2）由3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭2sin A =sin A =由正弦定理可知：sin sin BCACA B=，即sin 2sin BC B AC A ⋅===【点睛】本题考查三角函数中的正弦型函数的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦定理的应用，涉及到平面向量共线定理、辅助角公式的应用.19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲线BC 是抛物线250y ax =-+(0)a >的一部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径.（1）若30CD =米，245AD =t 与a 的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围. 【答案】（1）20t =，149a =；（2）1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】（1）根据抛物线方程求得()0,50B ，从而可得半径，即50CD t =-，进而解得t ；通过圆E 的方程求得A 点坐标，从而得到C 点坐标，代入抛物线方程求得a ；（2）求解出C 点坐标后，可知5075tDF t a=-+≤，可整理为162550a t t≥++，利用基本不等式可求得162550t t++的最大值，从而可得a 的范围. 【详解】（1）由抛物线方程得：()0,50B 50BE t ∴=- 又BE ，CD 均为圆的半径 50CD t ∴=-，则503020t =-=∴圆E 的方程为：()2222030x y +-= ()105,0A ∴245105145OD AD AO ∴=-==，则()145,30C代入抛物线方程得：(230550a =-+，解得：149a =（2）由题意知，圆E 的半径为：50t -，即50CD t =-则C 点纵坐标为50t -，代入抛物线方程可得：x =OD =5075DF t ∴=-≤，整理可得：()216252550t a t t t≥=+++ (]0,25t ∈62550t t∴+≥=（当且仅当25t =时取等号）1162510050t t∴≤++ 1100a ∴≥ 即a 的取值范围为：1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.20.已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒，圆O 的方程是222x y b +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：||2||AB OM =【答案】（1）2212y x -=；（2）1229PP PP ⋅=；（3）详见解析. 【解析】【分析】（1）222b MF b a==，根据1230MF F ∠=可得21||2MF b =，利用双曲线的定义可得22b =从而得到双曲线的方程.（2）设点()00,P x y ，利用渐近线的斜率可以得到12,PP PP 夹角的余弦为13，利用点在双曲线上又可得12PP PP ⨯为定值23，故可得12·PP PP 的值. （3）设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为:002x x y y +=，证明2AB OM =等价于证明OA OB ⊥，也就是证明 12120x x y y +=，联立切线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理可以证明12120x x y y +=.【详解】(1)设2,F M 的坐标分别为,0)y因为点M 在双曲线C 上,所以22021+1y b b-=,即20y b =±,所以22||MF b =，在21Rt MF F ∆中, 1230MF F ∠=,22||MF b =,所以21||2MF b =，由双曲线的定义可知: 212||||2MF MF b -==，故双曲线C 的方程为: 2212y x -=.(2)由条件可知:两条渐近线分别为10l y -=；20l y +=. 设双曲线C 上的点00(,)Q x y ,设1l 的倾斜角为θ，则tan θ=0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，所以cos 3θ=，故21cos 22cos 13θθ=-=-，所以12,PP PP 的夹角为2πθ-，且()1cos 23πθ-=.点Q 到两条渐近线距离分别为1||PP =，2||PP =.因为00(,)Q x y 在双曲线22:12y C x -=上,所以220022x y -= ，所以12|2PP PP ⋅=()2200212cos 2339x y πθ--=⋅=. (3)由题意,即证: OA OB ⊥,设1122(,),(,)A x y B x y ,切线l 的方程为: 002x x y y +=.00y ≠时,切线l 的方程代入双曲线C 中,化简得:(222000(2)4y x x x x -+20(24)0y -+=，所以01222004(2)x x x y x +=--，20122200(24)(2)y x x y x +=--. 又01021200(2)(2)x x x x y y y y --=⋅012201[42()x x x y =-+220012220082]2x x x x y x -+=-，所以1212OA OB x x y y ⋅=+220022220000(24)82(2)2y x y x y x +-=-+--2200220042()02x y y x -+==-. 00y =时,易知上述结论也成立.所以12120OA OB x x y y ⋅=+=.综上, OA OB ⊥,所以||2||AB OM =.【点睛】（1）过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线()222210.0x y a b a b-=>> 交于,A B ，则22b AB a=（通径）. （2）直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理证明该关系式为恒等式.21.如果存在常数a ，使得数列{}n a 满足：若x 是数列{}n a 中的一项，则a x -也是数列{}n a 中的一项，称数列{}n a 为“兑换数列”，常数a 是它的“兑换系数”.（1）若数列：1,2,4,m (4)m >是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值；（2）已知有穷等差数列{}n b 的项数是0n ()03n ≥，所有项之和是B ，求证：数列{}n b 是“兑换数列”，并用0n 和B 表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不小于3项，且各项皆为正整数的递增数列{}n c ，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由.【答案】（1）a=6,m=5；（2）见解析；（3）02Ba n = 【解析】本试题主要考查了数列的运用。

上海市高三三模数学试题(解析版)

2023届大同中学高三三模数学试卷一、填空题1. 已知平面向量，，若，则___．(),1a m =()2,2b =//a b r r m =【答案】1 【解析】【分析】利用向量平行充要条件列出关于m 的方程，解之即可求得m 的值.【详解】由，，， (),1a m = ()2,2b = //a b r r可得，解之得. 2210m -⨯=1m =故答案为：1 2. 若复数为纯虚数，则实数______．()()1i i a -+=a 【答案】 1-【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的乘法运算结合复数的概念求解作答. 【详解】复数，，()()1i i (1)(1)i a a a -+=++-R a ∈依题意，，解得，1010a a +=⎧⎨-≠⎩1a =-所以实数. 1a =-故答案为：1-3. 已知抛物线：上，则抛物的准线方程为______. C 24y x =C 【答案】． =1x -【解析】【分析】由抛物线方程，求出，可求准线方程.2p =【详解】抛物线：，所以，C 24y x =24,2p p ==准线方程为， 12px =-=-故答案为：.=1x -4. 已知陈述句：所有的满足性质p ，则的否定形式为______． αa A ∈α【答案】存在不满足性质p . a A ∈【解析】【分析】用全称量词命题的否定形式即得结果. 【详解】陈述句是全称量词命题，故其否定形式是：α存在不满足性质p .a A ∈故答案为：存在不满足性质p .a A ∈5. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边记作a 、b 、c ．已知，，π4A =ππsin sin 44b C c B a ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则______． B C -=【答案】## π290 【解析】【分析】由正弦定理边化为角，结合两角和与差的正弦公式即可求解. 【详解】由，应用正弦定理， ππsin sin 44b C c B a ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得， ππsin sin sin sin sin 44B C C B A ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即， sin )sin )B C C C B B +-+=整理得：，即， sin cos cos sin 1B C B C -=sin()1B C -=因为，，所以.3π04B <<3π04C <<π2B C -=故答案为：. π26. 北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F 遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．现从报名的40位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加演讲比赛，将40位学生按01、02、、40进行编号，假设从随机数表第1行第 3个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个号码所对应的学生编号为______．0627 4313 2636 1547 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617 【答案】25 【解析】【分析】利用随机数表法，按照给定条件依次选取符合要求的号码作答.【详解】从随机数表第1行第3个数字开始由左向右依次选取两个数字，去掉超过40和重复的号码，选取的号码依次为：27，13，26，36，15，09，25，12，17，23，所以选出来的第7个号码所对应的学生编号为25. 故答案为：257. 在中，，，的平分线交BC 于点D ，若ABC 90C = ∠30B ∠= BAC ∠，则______．(),R AD AB AC λμλμ=+∈ λμ=【答案】## 120.5【解析】【分析】根据给定条件，探求出线段与的倍分关系，再结合平面向量基本定理求解作答. CD DB 【详解】在中，，，则，又平分，即有ABC 90C = ∠30B ∠= 60BAC ∠= AD BAC ∠，30CAD DAB ∠=∠=因此，即有，，整理得，2BD AD CD ==12CD DB = 1()2AD AC AB AD -=- 1233AD AB AC =+而，且不共线，于是， AD AB AC λμ=+,AB AC12,33λμ==所以. 12λμ=故答案为：128. 设有两个罐子，A 罐中放有2个白球，1个黑球，罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同.现B 从这两个罐子中各摸1个球进行交换，那么这样交换2次后，黑球还在A 罐中的概率为___________. 【答案】59【解析】【分析】分两种情况，利用独立事件乘法公式计算，再相加即可.【详解】分两种情况，若第一次交换时从A 罐中拿到黑球，则第二次交换时从B 罐中也拿到黑球，其概率为， 131139⨯=若第一次交换时从A 罐中拿到的是白球，则第二次交换时，从A 罐中拿到的仍然是白球，其概率为， 224339⨯=故这样交换2次后，黑球还在A 罐中的概率为. 145999+=故答案为：599. 已知，，若，则满足条件的x 的取()2lg 1f x x =-()2lg 3g x x =-()()()()f x g x f x g x +=+值范围是______．【答案】()⎡+∞⎣ 【解析】【分析】由绝对值等式可知，，代入函数后，即可求解不等式. ()()0f x g x ≥【详解】若满足条件，当且仅当，即()()()()f x g x f x g x +=+()()0f x g x ≥，即或， ()()2lg 12lg 30x x --≥3lg 2x≥1lg 2x ≤解得：.x≥0x <≤故答案为：()⎡+∞⎣ 10. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n 层放个物体堆成的堆垛，则______．n a 122022111a a a +++=【答案】## 40442023202112023【解析】【分析】根据给定条件，求出数列的递推关系，利用累加法求出通项，再利用裂项相消法求和作{}n a n a 答.【详解】依题意，在数列中，， {}n a 1213211,2,3,,(2)n n a a a a a a a n n -=-=-=-=≥ 当时，，满足上2n ≥121321(1)()()()1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++= 11a =式，因此，，数列的前项和为， (1)2n n n a +=12112()(1)1n a n n n n ==-++1{}na n n S 则， 11111111122[()(()()]2(1)122334111n n S n n n n =-+-+-++-=-=+++ 所以. 202212202211140442023S a a a +++==故答案为：4044202311. 已知正方形ABCD 的边长是1，将沿对角线AC 折到的位置，使（折叠后）A 、、ABC AB C 'V B 'C 、D 四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为______．1+【解析】【分析】首先确定三棱锥体积最大时，二面角为，再根据边长求三棱锥的表面B ACD '-B AC D '--π2积.【详解】在翻折过程中，三棱锥的底面始终是，故当二面角为时，三棱B ACD '-ACD B AC D '--π2锥的体积最大，B ACD '-如图，取的中点，连结，由题意可知，，， AC O ,OD OB 'OB AC '⊥OD AC ⊥则，且， 90B OD '∠= OB OD '==1B D '=所以和是边长为1的等边三角形，, AB D 'V B CD '△1112AB D B CD S S ''==⨯⨯=和是等腰直角三角形， AB C 'V ACD 111122AB C ACD S S '==⨯⨯=所以三棱锥的表面积为. B ACD '-12212+⨯=+1+12. 若a 、b 为实数，且，函数在闭区间上的最大值和最小值的差为1，则的取a b <sin y x =[],a b b a -值范围是______．【答案】π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】讨论的取值，结合三角函数的图象，即可求解.a 【详解】（ⅰ）当函数在闭区间内无最值，则函数在内单调，sin y x =[],a b sin y x =[],a b不妨取，可知，在内单调递增， []ππ,22a b ⎛⎫⊆- ⎪⎝⎭，ππ0,0,22a b ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin y x =[],a b可知， ππsin sin cos sin 24a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，则，则， π02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πππ444a ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，πcos 4a ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦所以，即， ππsin sin 1sin sin 24a a a b a ⎛⎫⎛⎫+-=+>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin 2b a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭可得，即 π2b a <+π2b a -<①若，，则最大值和最小值的差为，符合题意；π6a =-π6b =11122⎛⎫--= ⎪⎝⎭②若，， ππ,26a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭π0,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则， π1πsin sin sin cos 326a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，则，可得，ππ,26a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ππ,063a ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭πcos 16a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭故，可得， πsin sin 1sin sin 3b a a a ⎛⎫-=>+- ⎪⎝⎭πsin sin 3b a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭且，，则，可得； πππ,366a ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭π0,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3b a >+π3b a ->③若，， π,06a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭π0,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则， π1πsin sin sin cos 326a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，则，可得，π,06a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭ππ0,66a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πcos 16a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭故，可得， πsin sin 1sin sin 3b a a a ⎛⎫-=>+- ⎪⎝⎭πsin sin 3b a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭且，，则，可得； πππ,363a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭π0,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3b a >+π3b a ->综上所述：； ππ32b a ≤-<（ⅱ）当函数在闭区间内有最值，不妨取最大值1，最小值为0，sin y x =[],a b由图象可知：不妨取，当时，取到最大值； 0a =πb =b a -π当时，取到最小值； π2b =b a -π2可得； ππ2b a ≤-≤综上所述：的取值范围是.b a -π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：.π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】方法点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．二、选择题13. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数为（） ()0,∞+A. B.C.D.cos y x =1y x =+tan y x x =e e x x y -=+【答案】D 【解析】【分析】利用余弦函数的性质可判断A ；由的图象可判断B ；举反例可判断不满足1y x =+tan y x x =在上单调递增可判断C ；利用函数奇偶性和单调性的定义可判断D ；进而可得正确选项. ()0,∞+【详解】对于A ：定义域是，是偶函数，在上单调递增，在cos y x =R ()()π2π,2πZ k k k -+∈上单调递减，故选项A 不正确；()2π,π2πk k +()k ∈Z 对于B ：的图象如图：1y x =+图象不关于轴对称，不是偶函数，故选项B 不正确； y 对于C ：的定义域为关于原点对称， tan y x x =π|π,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，所以是偶函数，()()()()tan tan f x x x x x f x -=--==tan y x x =当时，，当时，， πx =()ππtan π=0f =π4x =ππππtan =4444f ⎛⎫= ⎪⎝⎭由，，所以在不满足单调递增，故选项C 不正确； ππ4>()ππ4f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭tan y x x =()0,∞+对于D ：的定义域是，，所以是偶函数，任取e e x xy -=+R ()()e e xx f x f x --=+=e e x x y -=+，120x x >>()()21121212121211e e e e e e e e e x xx x x x x xx x f x f x +-⎛⎫-=+-+=-+ ⎪⎝⎭，因为，所以，，， ()12121e e 1e x x x x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭120x x >>12e e 0x x ->12e 1x x +>12110e x x +->所以即，所以在上单调递增，故选项D 正确；()()120f x f x ->()()12f x f x >e e x xy -=+()0,∞+故选：D.14. 设等差数列的前n 项和为．若，则下列结论中正确的是（） {}n a n S 230S S <<A. B. 30a <210a a -<C. D.230a a +<4a >【答案】D 【解析】【分析】根据，可得，，从而可判断AB ，举出反例即可判断C ，根据等差数230S S <<30a >20a <列的性质结合基本不等式即可判断D . 【详解】解：因为， 230S S <<所以，故A 错误；3230S S a -=>，所以，3230S a =<20a <则公差，故B 错误； 32210d a a a a =-=->所以等差数列为递增数列， {}n a 则，， 450,0a a >>35a a ≠则 35a a +>所以 4352a a a =+>所以，故D 正确；4a >对于C ，当时，13,2a d =-=，。

上海市2022届高三模拟(三)数学试题(1)

一、单选题二、多选题1. 已知椭圆：的中心为，过焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，若，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．2. 设，为椭圆：（）的上、下焦点，若在椭圆上存在一点，，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3. 已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（）A．B．C ．为奇函数D．在区间是单调递增函数4. 已知一立方体刚好可以装下一颗半径为2的球，则此立方体外接球的表面积为（）A ．16B ．24C ．32D ．485.已知的半径为1，直线PA 与相切于点A ，直线PB 与交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若，则的最大值为（）A．B．C．D．6.已知数列中，，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D．7.过圆上的点P 作圆的切线，切点为Q ，则的最小值为（）A ．2B．C．D．8. 2020年9月22日，在第75届联合国大会期间，中国提出将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．要实现这个承诺，我国要牢固树立创新、协调、绿色、开放、共享等新发展理念，抓住新一轮科技革命和产业变革的历史性机遇，汇聚各方力量推动经济社会发展转型．2023年2月28日，国家统计局发布的《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2022年全年我国新能源汽车产量达到万辆，如果从2023年起，今后3年我国新能源汽车产量年均增长率为，则2025年全年，我国新能源汽车产量预计能达到约（）万辆A ．1210.12B ．1008.43C ．1452.14D ．1451.529. 已知，，则（）A．B．C．D．10. 若椭圆的左，右焦点分别为，则下列的值，能使以为直径的圆与椭圆有公共点的有（）A．B．C．D．上海市2022届高三模拟(三)数学试题(1)上海市2022届高三模拟(三)数学试题(1)三、填空题四、解答题11. 已知平面向量，，且，的夹角是钝角，则可以是（）A ．-1B．C．D ．212. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A．，，是两两互斥的事件B ．事件与事件B 相互独立C．D．13. 已知函数，若，则___________.14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在其右支上，的内切圆为圆，，垂足为点，为坐标原点，则___________.15. 已知为等差数列，公差，，则__________ ．16.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）在中，角，，的对边分别为，，，若，求的取值范围.17.已知数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n 项和为，求．18. 已知的内角、、所对的边为、、，且满足.（1）求角的大小；（2）若的外接圆半径为1，求的最大值.19. 近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计已知在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为.（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关？请说明你的理由；（2）已知在不患心肺疾病的位男性中，有位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因雾霾天气对身体的伤害，现从不患心肺疾病的位男性中，选出人进行问卷调查，求所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率.下面的临界值表供参考：（参考公式，其中）20. 记的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)证明：；(2)若，，求的面积.21.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，，且在中，，．(1)求证：；(2)若，求四棱锥的体积．。

上海市崇明区2021年高考复习数学三模试卷

21．如果存在常数 a，使得数列{an}满足：若 x 是数列{a n}中的一项，则 a﹣x 也是数列{a n}中的一项，称数列{an}为“兑换数列”，常数 a 是它的“兑换系数”．
（1）若数列：2，3，6，m（m＞6）是“兑换系数”为 a 的“兑换数列”，求 m 和 a 的值；
（2）已知有穷等差数列{bn}的项数是 n0（n0≥3），所有项之和是 B，求证：数列{bn}是“兑换数列”，
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并用 n0 和 B 表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不少于 3 项，且各项皆为正整数的递增数列{cn}，是否有可能它既是等比数列，又是 “兑换数列”？给出你的结论，并说明理由．
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2021 年上海市崇明区高考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．（3 分）（2021•崇明区三模）设集合 A＝{1，2，3}，B＝{x|x＞1}，则 A∩B＝ {2，3}
y 的最大值为
9．（3 分）已知定义在 R 上的增函数 y＝f（x）满足 f（x）+f（4﹣x）＝0，若实数 a、b 满足不等式 f （a）+f（b）≥0，则 a2+b2 的最小值是
10．（3
分）若
an
是二项式（1+x）n
展开式中
x2
项．的系数，则푛l→i∞m(푎12
+
푎1
3
+
⋯
+
푎1 )
푛
=
→→
11．（3 分）已知 F 是抛物线 y2＝x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA•OB = 2（其中
【考点】A8：复数的模．【专题】11：计算题．
【分析】先利用两个复数相除的法则求出复数 z，再依据复数的模的定义求出复数的模．

2020-2021年崇明中学高三下三模

崇明中学2021届高三5月模拟考试（三模）数学学科一、填空题1. 椭圆221925x y +=的长轴长为____________ 2. 已知幂函数()f x的图像经过⎛ ⎝⎭，则()4f =____________ 3. 在四边形ABCD 中，()()3,1,2,,AC BD m AC BD =-=⊥，则该四边形的面积是____________ 4.已知复数z a =（,a R i ∈为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且2z =，则复数z=_____________5. 由于新冠肺炎疫情，上海紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名医生，则甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率为____________6. 如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≤+的解集是____________7. 已知数列{}n a 的通项公式()2019112019120202n n n n a n -⎧-≤≤⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞值是____________8. 已知过球面上三点A,B,C 的截面到球心距离等于半径的一半，且ABC 是边长为6的等边三角形，则球面面积为____________9. 已知直线320x y +-=与单位圆221x y +=交于A 、B 两点，设射线OA 、OB 的对应的角是,αβ，则cos cos αβ+=____________10. 若函数()()222xf x a x a x R =-+-∈有唯一零点，则实数a 的值为____________11. 定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的均值，已知数列{}n b 的均值12n n H +=，记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ，若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立，则实数k 的取值范围是____________ 12. 数列{}n a 满足()*121211,n n n n n n n n a a a a a a a a n N +++++=++≠∈，且121,2a a ==，若()()sin 0,0n a A n c ωϕωϕπ=++><<，则实数A=_____________二、选择题13.“sin 0x =”是“cos 1x =”的（）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要不充分条件D. 既非充分又非必要条件14. 下列命题中与“()f x 为R 上非奇非偶函数”等价的命题是（） A. 对任意x R ∈，都有()()f x f x -≠或()()f x f x -≠- B. 存在0x R ∈，有()()00f x f x -≠且()()00f x f x -≠- C. 存在0x R ∈，有()()00f x f x -≠或()()00f x f x -≠- D. 存在12,x x R ∈，有()()11f x f x -≠且()()22f x f x -≠-15. 若,,a b R a b ∈>且11lim lim n n n nn nn n a b a b a a -+→∞→∞++>，则a 的取值范围为（）A. 1a >或1a <-B. 11a -<<C. 1a >或10a -<<D. 1a <-或01a <<16. 已知数列{}n a 满足21134,3n n n a a a a +=-+=，则下列选项错误的是（）A. 数列{}n a 单调递增B. 数列{}n a 无界C. 111lim 111n n a a →∞⎛⎫++=⎪--⎝⎭D. 100101a =三、解答题17. 直角坐标系xOy中，锐角α的终边与单位圆的交点为P，将OP绕O逆时针旋转到OQ，使POQα∠=，其中Q是OQ与单位圆的交点，设Q的坐标为(),x y.（1）若P的横坐标为35，求yx；（2y+的取值范围.18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB//DC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.（1）证明：直线BC⊥平面PAC；（2）若直线PB与平面PAC P-ACE的体积.19. 某热力公司每年燃料费24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为()0x x ≥（单位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为2x（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为20100kx +（k 为常数）万元，记y 为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和.（1）求k 的值，并建立y 关于x 的函数关系式；（2）求y 的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积.20. 已知椭圆22:11x y m mΓ+=+，过点()1,0D -的直线():1l y k x =+与椭圆Γ交于M 、N 两点（M 点在N 点的上方），与y 轴交于点E.（1）当m=1且k=1时，求点M 、N 的坐标；（2）当m=2时，设,EM DM EN DN λμ==，求证：λμ+为定值，并求出该值；（3）当m=3时，点D 和点F 关于坐标原点对称，若MNF 的内切圆面积等于1849π，求直线l 的方程.21. 如果数列{}{},n n a b 满足()*1n n n a a b n N +-=∈，那么就称{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”. （1）若{}n b 为常数列，且为{}n a 的“偏差数列”，试判断{}n a 是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列{}n a 是各项均为正整数的等比数列，且{}326,n a a b -=为数列{}n a 的“偏差数列”，求1231111lim n n b b b b →∞⎛⎫++++⎪⎝⎭的值；（3）设{}116,2n n n b b +⎛⎫=- ⎪⎝⎭为数列{}n a 的“偏差数列”，12211,n n a a a -=≤且221n n a a +≤，若n a M ≤对任意*n N ∈恒成立，求实数M 的最小值.参考答案一、填空题1. 102.12 3. 10 4. 1-+ 5. 13 6. (]1,1- 7. 0 8. 64π 9. 6510. 1- 11. 712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12.3二、选择题13. C 14. D 15. D 16. D三、解答题 17.（1）247-（2）(2⎤⎦18.（1）证明略（2）1319.（1）k 值为2400；()1800025x y x x =+≥+ （2）y 的最小值为57.5，此时所安装太阳能板的面积为55平方米20.（1）()410,1,,33M N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （2）证明略，该定值为3 （3）():1l y x =±+21.（1）不是，说明略（2）34或23 （3）296。