2019北京高考一模数学导数汇编

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北京市六城区2019届高三一模数学(理)分类汇编之导数解答题

【西城】 18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e ()3e 3x x m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. ……… 5分所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =.……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. …………… 8分对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. ………… 11分又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-，所以当4132e em -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()e x x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点…… 13分【东城】（18）（本小题 13 分）设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x . （I ）若01x =，求 a 的值()f x 的单调区间；（II ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于X 轴的下方？若存在，求出一个点P 坐标，若不存在，说明理由. （18）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞.212(2)1(21)(1)'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==.由已知，得(1)0f '=，解得1a =. 当1a =时，(21)(1)'(),x x f x x+-=当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以()f x 的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).+? 所以1a =时函数()f x 在1x =处取得极小值.即()f x '的极小值点为1时a 的值为1. ............................6分（II ）当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方，理由如下：由（I ）知(21)(1)'(),x ax f x x +-=当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞单调递减，()f x 不存在极小值点；当0a >时，令(21)(1)'()0x ax f x x +-==，得1x a=.当1(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在区间1(0,)a 上单调递减；当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间1(,)a +∞上单调递增.所以11()ln 1f a a a=+-是()f x 在(0,)+∞上的最小值.由已知，若001x <<，则有101a <<，即1a >.当1a >时，ln 0a >，且101a <<，110a->. 所以1()0.f a>当001x <<时，曲线()y f x =上所有的点均位于x 轴的上方.故当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方. ...........13分【海淀】(18)（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)f x x x ax =+-.(I)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当0a <时，求证：函数()f x 存在极小值； (Ⅲ)请直接写出函数()f x 的零点个数．解：（Ⅰ）的定义域为因为所以切点的坐标为因为所以切线的斜率，所以切线的方程为（Ⅱ）方法一：令因为且，所以，，从而得到在上恒成立所以在上单调递增且，所以，，在区间的变化情况如下表:所以时，取得极小值，问题得证方法二：因为当时，当时，，所以当时，，所以所以，，在区间的变化情况如下表:所以时，函数取得极小值，问题得证（Ⅲ）当或时，函数有一个零点当且时，函数有两个零点【朝阳】18．（本小题满分13分）已知函数ln()()ax f x x=(R a ∈且0)a ≠. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+；（Ⅲ）讨论函数()f x 的极值． 18． (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =．所以21ln ()xf x x -'=．因为(1)1,(1)0f f '==，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………….3分（Ⅱ）当1a =-时，ln()()x f x x-=．函数()f x 的定义域为(,0)-∞．不等式()1f x x ≥+成立⇔ln()1x x x-≥+成立⇔2ln()0x x x ---≤成立. 设2()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-++'=--==．当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()(1)g x g ≤-．因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，所以ln()1x x x-≥+．………………………………………………………………….8分（Ⅲ）求导得21ln()()ax f x x -'=. 令()0f x '=，因为0a ≠可得ex a=．当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极大值e ()ef a =，无极小值．当0a <时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极小值e ()ef a =，无极大值．……………………………………………….13分【丰台】18．（本小题13分）已知函数3211()(2)e 32x f x x ax ax =--+.（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当e a ≤时，求证：1x =是函数()f x 的极小值点.解：（Ⅰ）因为，所以，故，令，得，所以单调递增区间为；令，得，所以单调递区间为．（Ⅱ）由题可得.① 当0a ≤时，对任意，都有恒成立，0a =R x ∈()(2)e xf x x =-()(1)e xf x x '=-()0f x '>1x >(1,)+∞()0f x '<1x <(,1)-∞()(1)(e )xf x x ax '=--(0,+)x ∈∞e 0x ax ->所以当时，；当时，. 所以函数在处取得极小值，符合题意.② 当0e a <≤时，设，依然取.则，令，得，所以在上单调递减，在区间上单调递增，所以.因为0e a <≤，所以min ()(1ln )0g x a a =-≥（当且仅当=e a 时，等号成立，此时1x =）.所以对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，都有恒成立.所以当时，；当时，. 所以函数在处取得极小值，符合题意. 综上①②可知：当e a ≤时1x =是函数()f x 的极小值点.【石景山】18.（本小题13分）设函数()1x f x e ax =-+，0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．解：（Ⅰ）()e 1=-+xf x ax Qa e x f x -='∴)(， a e f -='∴)1(，由题设知(1)0f '=，即0=-a e ，解得e a =．经验证e a =满足题意。

2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)：专题03 导数及其应用 (含解析).docx

专题03导数及其应用1. [2019年高考全国III 卷理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,贝9 A. a = e, b = —1 B. a=e, b=l C. a — e _1, b = lD. a = e"1 > b = -\【答案】D【解析】T y' = ae* + lnx+l,切线的斜率 k = y' |Y=1= ae+1 = 2,a = e _1，将(1,1)代入 y = 2x + b,得 2 + b = l,b = -l. 故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b 的等式，从而求解，属于常考题型.了2 O XTTV 2d V* V 12. [2019年高考天津理数】已知tzeR ，设函数/(%)=' _ '若关于X 的不等式/(x)>0在R 上x-alnx, x>l.恒成立，则a 的取值范围为A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e]D. [l,e]【答案】C【解析】当兀=1时，/(1) = 1 —2a + 2a = l>0恒成立;当 x<l 时，/(%) = x 2-2ajc + 2a>0^ 2a>^-恒成立,x-1令g(x) =—7x-1(1 —兀―1)2_ (1—兀)2—2(1 —兀)+ 1 1 — X 1 — X当1 —兀=丄，即x = 0时取等号,1-X贝0g(x) = ——1-X2a= 0,则a>0.Y当 x 〉l 时，f(x) = x-a\nx>0,即a< ---------------- 11 成立,lnx当x>e 时,h'(x) >0,函数〃(x)单调递增, 当0<x<e 时，h'(x) <0,函数力(x)单调递减, 则x = e 时，〃(x)取得最小值A(e) = e,•■- a<h(x)nin =e,综上可知，a 的取值范围是［0,e ］. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.x,x<03. (2019浙江)已知a,bwR ，函数/(%) = < 1 1 2.若函数f(x)-ax-b 恰有3个零点, —X ——(Q + 1)兀 + ax, X > 0 13 2A. a<-\, b<0 C. tz>—1, Z?<0D. a>—1, Z?>0【答案】C【解析】当 x<0 时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (1 - a) x - b=0,得 x= 丿丿 l-a则y=f (x) -ax-b 最多有一个零点；当 x>0 时，y=f (兀)-ax - b= -x 3—- (a+1) x^+ax - ax - b= -x 3—- (a+1) x 2 - b, —)J3 2 3 2y = x 2-(€l + l)x,当 a+lwo,即來-1 时，y>0, y=f (x) -ax-b 在［0, +oo)上单调递增，则y =f -ax-b 最多有一个零点，不合题意；当a+l>0,即°>-1时，令y'>0得兀丘@+1, +oo),此时函数单调递增，令WVO 得用［0, d+1),此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y=f (x) -ax-b 恰有3个零点o 函数y=f (x) - ax - b 在(-oo, 0)上有一个零点，在［0, +oo)令〃(x)=—, lnx则 h\x)=lnx-1(In x)2 B. a<-l, b>0上有2个零点,如图：b—b>01-a (a + l)3 - j (a + l)(a + l)2- b<0解得b<0, 1 - a>0, b> -- (a+1) 3,6则a>-l, b<0.故选C・【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当兀V0时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (l-°) x~ b最多有一个零点；当空0时，y=/(x) -ax-b=^-\ (a+1) - b,利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解.4.[2019年高考全国I卷理数】曲线y = 3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为_________________ .【答案】3x-y-0【解析】y = 3(2x+l)e A + 3(x2 + x)e r = 3(x2 +3x+l)e r,所以切线的斜率k = y' |x=0=3,则曲线y = 3(x2 + x)^在点(0,0)处的切线方程为y = 3x,即3x — y = 0 .【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误•求导要“慢”, 计算要准，是解答此类问题的基本要求._ 45.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y = x + —(无>0)上的一个动点，则点P到直线x+ y = 0的距离的最小值是一▲•【答案】44 4【解析】由y = x （x〉0）,得丁' = 1 ——,X X4 4设斜率为一1的直线与曲线_y = x + -（x>0）切于（x0,x0+—）,x 勺由1一一 =一1得x0 = A/2（x0=-A/2舍去），x o曲线y = x + -（x>o）±,点P（V2,3A/2）到直线x+y = o的距离最小，最小值为故答案为4 .【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到己知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnr上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e, -l）（e 为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.【答案】（e, 1）【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点A（x0,y0）,则y Q =lnx0.又# =丄，X则曲线y = InX在点A处的切线为y - ％=丄（X —勺），即yin”。

2019北京一模导数文汇编 (1)

2019北京一模导数文汇编
东城一模文
（20）（本小题14分）
已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+--. （Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求实数a 的值；（Ⅱ）当01a <<时，求()f x 零点的个数.
西城一模文
19．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．
海淀一模文
(19)（本小题满分13分）
已知函数3215()132
f x x x a x =-+-． (I)当6a =时，求函数()f x 在(0+)∞，上的单调区间； (Ⅱ)求证：当0a <时，函数()f x 既有极大值又有极小值．
丰台一模文
19.已知函数x a x
a x e x f x ln )(--= （1）当0=a 时，求函数)(x f 的单调区间；
（2）若函数)(x f 在1=x 处取得极大值，求实数a 的取值范围.
石景山一模文
19.设函数0,2
)(>+-=a a ax e x f x （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；
（2）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值。

朝阳一模文
19. 已知函数R a x ae x f x ∈-=,4)(
（1）求函数)(x f 的单调区间；
（2）当1=a 时，求证：曲线)(x f y =在抛物线12--=x y 的上方.。

2019年北京各区一模导数

2019北京高考数学导数综合提升（一）梁老师1、设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x . （I ）若01x =，求a 的值()f x 的单调区间；（II ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于x 轴的下方？若存在，求出一个P 点坐标，若不存在，说明理由.2、【参变分离】设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．3、【二次导】已知函数2()ln(1)f x x x ax =+-. (I)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当0a <时，求证：函数()f x 存在极小值； (Ⅲ)请直接写出函数()f x 的零点个数．4、【不等式变形】已知函数f(x)=ln⁡(ax)x(a ∈R 且a ≠0)（I ）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（1，f （1））处的切线方程；（II ）当a=-1时，求证：f(x)≥x+1；（III ）讨论函数f(x)的极值。

5、已知函数3211()(2)e 32x f x x ax ax =--+.（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当e a ≤时，求证：1x =是函数()f x 的极小值点.6、设函数()1x f x e ax =-+，0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．1、解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞.212(2)1(21)(1)'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==. 由已知，得(1)0f '=，解得1a =. 当1a =时，(21)(1)'(),x x f x x+-=当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以()f x 的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).+? 所以1a =时函数()f x 在1x =处取得极小值.即()f x '的极小值点为1时a 的值为1. ............................6分（II ）当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方，理由如下：由（I ）知(21)(1)'(),x ax f x x +-=当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞单调递减，()f x 不存在极小值点；当0a >时，令(21)(1)'()0x ax f x x +-==，得1x a=.当1(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在区间1(0,)a 上单调递减；当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间1(,)a +∞上单调递增.所以11()ln 1f a a a=+-是()f x 在(0,)+∞上的最小值.由已知，若001x <<，则有101a <<，即1a >.当1a >时，ln 0a >，且101a <<，110a->. 所以1()0.f a>当001x <<时，曲线()y f x =上所有的点均位于x 轴的上方.故当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方. ............................13分2、解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e ()3e 3x x m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. …………… 5分所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 8分对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. …………… 11分又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-，所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点.即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. ……… 13分3、解：（Ⅰ）2()ln(1)f x x x ax =+-的定义域为{|1}x x >-因为2(0)0ln(01)00f a =+-⋅=所以切点的坐标为(0,0) 因为()ln(1)+21xf x x ax x '=+-+ 0(0)ln(01)+20001f a '=+-⋅=+ 所以切线的斜率0k =，所以切线的方程为0y = （Ⅱ）方法一：令()()ln(1)21xg x f x x a x x '==++-+ 211()+21(1)g x a x x '=-++ 因为1x >-且0a <，所以101x >+，210(1)x >+，20a -> 从而得到()0g x '>在(1,)-+∞上恒成立所以()0f x '>在(1,)-+∞上单调递增且(0)0f '=，所以x ，'()f x ，()f x 在区间(1,)-+∞ 的变化情况如下表:所以0x =时，()f x 取得极小值，问题得证方法二：因为()ln(1)21xf x x a x x '=++-+ 当0a <时，当0x <时， ln(1)0,0,201xx a x x +<<-<+，所以()0f x '< 当0x >时， ln(10,0,201xx a x x +>>->+，所以()0f x '> 所以x ，'()f x ，()f x 在区间(1,)-+∞ 的变化情况如下表:所以0x =时，函数()f x 取得极小值，问题得证（Ⅲ）当0a ≤或1a =时，函数()f x 有一个零点当0a >且1a ≠时，函数()f x 有两个零点4、5、解：（Ⅰ）因为，所以，故，令，得，所以单调递增区间为；令，得，所以单调递区间为．（Ⅱ）由题可得.① 当0a ≤时，对任意，都有恒成立，所以当时，；当时，. 所以函数在处取得极小值，符合题意.② 当0e a <≤时，设，依然取.则，令，得，所以在上单调递减，在区间上单调递增，所以.因为0e a <≤，所以min ()(1ln )0g x a a =-≥（当且仅当=e a 时，等号成立，此时1x =）. 所以对任意(0,1)(1,)x ∈+∞U ，都有恒成立. 所以当时，；当时，. 所以函数在处取得极小值，符合题意.综上①②可知：当e a ≤时1x =是函数()f x 的极小值点.6、解：（Ⅰ）()e 1=-+x f x ax Qa e x f x -='∴)(， a e f -='∴)1(，由题设知(1)0f '=，即0=-a e ，解得e a =．经验证e a=满足题意。

2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。

2B。

√2C。

1D。

2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。

(2.-7)B。

(3.1)C。

(1.5)D。

(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。

5anB。

6anC。

7anD。

14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。

则函数g(x)的一个增区间是（）A。

(π/4.3π/4)B。

(3π/4.5π/4)C。

(5π/4.7π/4)D。

(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。

a>b+1B。

a>b-1C。

a^2>b^2D。

a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。

①④B。

②③C。

②④D。

①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。

6B。

8C。

10D。

128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。

336B。

510C。

1326D。

3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。

答案：1010.已知向量a=(1.b)。

b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。

2019年北京各区高三一模文科数学分类汇编----解析几何

2019年北京各区高三一模文科数学分类汇编----解析几何1.（2019海淀一模文科）抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线形上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为 B (A)1 (B)2 (C)3 (D)42.（2019海淀一模文科）已知椭圆221:14x C y +=和双曲线2222:1(0)x C y m m-=>．经过1C 的左顶点A 和上顶点B 的直线与2C 的渐近线在第一象限的交点为P ，且AB BP =，则椭圆1C 的离心率1e = ，双曲线2C 的离心率2e =,23.（2019海淀一模文科）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为(2,0)A -，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点(1,0)P 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆交于,M N 不同的两点．(I)求椭圆P 的方程；(Ⅱ)当AM 与MN 垂直时，求AM 的长；(Ⅲ)若过点P 且平行于AM 的直线交直线52x =于点Q ，求证：直线NQ 恒过定点．解：（Ⅰ）因为(2,0)A -，所以2a =因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以b c = 又222b c a +=所以b c = ，所以椭圆方程为22142x y +=（Ⅱ）方法一：设(,)m m M x y 1m MP m y k x =-，=2m AM m yk x + 1AM MP k k ⋅=-22112142m m m mm m y y x x x y ⎧⋅=-⎪-+⎪⎨⎪+=⎪⎩m m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩20m mx y =-⎧⎨=⎩（舍）所以AM 方法二：设(,)m m M x y ，因为AM 与MN 垂直，所以点M 在以AP 为直径的圆上，又以AP 为直径的圆的圆心为1(,0)2-，半径为32，方程为2219()24x y ++=222219()24142m m m m x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，m m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩20m mx y =-⎧⎨=⎩（舍）所以AM 方法三：设直线AM 的斜率为k ，:(2)AM l y k x =+ ，其中 0k ≠22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得2222(12)8840k x k x k +++-=当0∆>时，228412A M k x x k -⋅=+得222412M k x k -=+ ，2421M k y k =+ 显然直线,AM MN 存在斜率且斜率不为0.因为AM 与MN 垂直，所以222421=24112MPk k k k k +=--+1k=- 得212k =，k =， 0M x =所以2M AM + （Ⅲ）直线NQ 恒过定点(2,0) 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由题意，设直线MN 的方程为1x my =+，由 221,240x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(2)230m y my ++-=，显然，0∆>，则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+，因为直线PQ 与AM 平行，所以112PQ AM y k k x ==+，则PQ 的直线方程为11(1)2y y x x =-+，令52x =，则111133222(3)y y y x my ==++，即1135(,)22(3)y Q my + 121122112232(3)2635(3)(23)2NQ y y my my y y y k my my x -++-==+--，直线NQ 的方程为12212221221263()2639my y y y y y x x m y y my my +--=-+-- 12211221222212211221263(263)(1)26392639my y y y my y y y my y x y m y y my my m y y my my +-+-+=-++--+--122112212212211221263215326392639my y y y my y y y x m y y my my m y y my my +-+-=-+--+--令0y =，得122112212153263my y y y x my y y y +-=+-因为121223()my y y y =+，故221829y x y ==，所以直线NQ 恒过定点(2,0).4.（2019朝阳一模文科）已知圆22:(2)2C x y -+=，直线:2l y kx =-. 若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条的切线12,l l ，使得12l l ⊥，则实数k 的取值范围是 DA. [0,2-)2+∞（）UB. 22[C. ∞(-,0)D. )∞[0,+ 5.（2019朝阳一模文科）双曲线2214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是 .1 6.（2019朝阳一模文科）已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．（Ⅰ）由题意a ，1b =，1c ==所以离心率c e a ==，左焦点(1,0)F -． …………4分（Ⅱ）由题知，220012x y +=，即220022x y +=. 当00y =时直线l方程为x =x =l 与椭圆C 相切．当00y ≠时，由22001,222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2222000(2)4440y x x x x y +-+-=，即22002220x x x y -+-= 所以 2200(2)4(22)x y ∆=---22004+880x y =-= 故直线l 与椭圆C 相切． …………8分（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当00y =时，12x x =，12y y =-，1x =，2211(1)FA FB x y ⋅=+-2211(1)6(1)x x =+-+-21240x =-=，所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．当00y ≠时，由220(1)6,22x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 得2222000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=，则20012202(2)1y x x x y ++=+，2012202101y x x y -=+， 2001212122220001()42x x y y x x x x y y y =-++200254422x x y --+=+．因为1122(1,)(1,)FA FB x y x y ⋅=+⋅+ 1212121x x x x y y =++++2222000000220042084225442222y y x y x x y y -++++--+=+++ 220025(2)10022x y y -++==+．所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．故AFB ∠为定值90． …………14分7.（2019西城一模文科）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线2||2y x =-围成的平面区域的直径为 B （A ）2 （B ）4 （C）（D）8.（2019西城一模文科）设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．39.（2019西城一模文科）已知椭圆W :2214x y m m +=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(1,0)P 的动直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）. （Ⅰ）求椭圆W 的方程及离心率；（Ⅱ）求四边形ACBD 面积的最大值；（Ⅲ）若直线CB 与直线AD 相交于点M ，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. （结论不要求证明）解：（Ⅰ）由题意，得244a m == , 解得1m =. ……………… 1分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ………………2分故2a =，1b =，c =所以椭圆W的离心率2c e a ==. ……………… 4分（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W的方程，得C，(1,D ，又因为||24AB a ==，AB CD ⊥，所以四边形ACBD的面积1||||2S AB CD =⨯= ……………… 6分当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立方程22(1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. …… 7分由题意，可知0∆>恒成立，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. (8)分四边形ACBD 的面积ABC ABD S S S ∆∆=+1211||||||||22AB y AB y =⨯+⨯ ……… 9分121||||2AB y y =⨯-122|()|k x x =-==设241k t +=，则四边形ACBD的面积S =1(0,1)t∈，所以S = 综上，四边形ACBD面积的最大值为. ……………… 11分（Ⅲ）结论：点M 在一条定直线上，且该直线的方程为4x =. (14)分10. （2019丰台一模文科）双曲线221169x y -=的渐近线方程为____．34y x =± 11.（2019丰台一模文科）直线2y kx =+与圆224x y +=相交于,M N 两点，若||MN =，则k =____．1±12.（2019丰台一模文科）已知椭圆22:22W x y +=，直线1:(0)l y kx m km =+≠与椭圆W 交于,A B 两点，直线2:l y kx m =-与椭圆W 交于,C D 两点．（Ⅰ）求椭圆W 的离心率；（Ⅱ）证明：四边形ABCD 不可能为矩形．解：（Ⅰ）由题知2222221a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩则2c e a ==，所以椭圆W的离心率为2. （Ⅱ）由于两直线关于原点成中心对称且椭圆是关于原点的中心对称图形.不妨设()()()()()1122112212,,,,,,,A x y B x y C x y D x y x x ----≠±.则221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩L L ①②②−①得()()222221212y y x x -=--，()()()()2221212122212121112AB AD y y y y y y k k x x x x x x ----⋅=⋅==-≠-----. 所以 AB 不垂直于AD .所以四边形ABCD 不可能为矩形.13（2019石景山一模文科）已知抛物线22(0)y px p =>的准线为l ，l 与双曲线2214x y -=的渐近线分别交于 ,A B 两点．若||4AB =，则p =______ ．814.（2019石景山一模文科）在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 和点()22,B x y 是单位圆221x y +=上两点，=1AB ，则AOB ∠=______；12|2||2|y y +++的最大值为 _ ．π34．15.（2019石景山一模文科）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为(,0)F c ，左顶点为A ，右顶点B 在直线l :2x =上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．解：（Ⅰ）依题可知(0)B a ，，2a = 因为12c e a == ，所以1c =b故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．PF证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)(0)y k x k =+≠．则点D 坐标为24)k （，，BD 中点E 的坐标为22)k （，，由得．设点的坐标为，则．所以，．因为点坐标为， ①当时，点的坐标为，直线PF 的方程为1x =，点的坐标为．此时以为直径的圆与直线相切． ② 当时，直线的斜率．所以直线的方程为,即214104k x y k ---=．故点到直线的距离221414|221||2|k k k d k -+-⨯-===（或直线的方程为224401414k kx y k k --=--,故点到直线的距离）又因为k R BD 42== ，故以为直径的圆与直线相切．综上得，当点P 运动时，以为直径的圆与直线相切．解法二:（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(34)1616120k x k x k +++-=P 00(,)x y 2021612234k x k --=+2026834k x k-=+00212(2)34k y k x k =+=+F (1, 0)12k =±P 3(1, )2±D (2, 2)±BD 22(2)(1)1x y -+=PF 12k ≠±PF 0204114PF y k k x k ==--PF 24(1)14k y x k=--E PF PF EPF d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-BD PF BD PF BD PF证明如下: 设点00(,)P x y ,则220001(0)43x y y +=≠① 当01x =时,点的坐标为，直线PF 的方程为1x =，点的坐标为，此时以为直径的圆与直线相切， ② 当1x ≠时直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++，点D 的坐标为004(2,)2y x +,中点的坐标为002(2,)2y x +,故002||||2y BE x =+ 直线的斜率为001PF y k x =-, 故直线PF 的方程为00(1)1y y x x =--,即00110x x y y ---=, 所以点到直线的距离00012|21|2||||2x y y d BE x --⨯-===+ 故以为直径的圆与直线相切．综上得，当点P 运动时，以为直径的圆与直线相切．16.（2019延庆一模文科）圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为 C（A ）22(1)1x y -+= （B ）22(1)1x y ++= （C ）22(1)1x y +-=（D ）22(1)1x y ++=17.（2019延庆一模文科）“01k <<”是“方程22112x y k k +=-+表示双曲线”的 A （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件18.（2019延庆一模文科）已知椭圆G :22212x y a +=，左、右焦点分别为(,0)c -、(,0)c ，若点(,1)M c 在椭圆上，（Ⅰ）椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆G 交于两个不同的点A ，B ，直线MA ，P 3(1, )2±D (2, 2)±BD 22(2)(1)1x y -+=PF BD E PF E PF BD PF BD PFMB 与x 轴分别交于P ，Q 两点，求证：PM QM =解：（Ⅰ）(,1)M c 在椭圆22212x y a +=上 2212c a ∴= , 由22b =解得 24a ∴= ………………3分所以，椭圆的标准方程为22142x y +=………………4分 (Ⅱ)由2220,1,42y m x y-+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=．………………5分因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点M ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<．……………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y，则122x x m +=-，21284m x x -=,……………8分112my +=，222m y +=．……………10分显然直线MA 与MB 的斜率存在，设直线MA 与MB 的斜率分别为1k ，2k ，由（Ⅰ）可知M则12k k +=……………11分211)(1)(x x -+===28)(m m ----+=2=220==．因为120k k +=，所以MPQ MQP ∠=∠．……………13分所以PM QM =． ………………14分19.（2019怀柔一模文科）已知抛物线22=y px 的准线方程为1x =-，则=p __________．220.（2019怀柔一模文科）以原点(0,0)O 为圆心，以1为半径的圆C 的方程为__________；若点P 在圆C 上，点A 的坐标为(2,0)-，则AO A P ⋅的最大值为__________．221+=x y ，6.21.（2019怀柔一模文科）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，点(0,)B b 满足||2FB =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点F 作直线l 交椭圆E 于M N 、两点，若BFM ∆与BFN ∆的面积之比为2，求直线l 的方程．解（Ⅰ）椭圆的右焦点为，点满足，，解得.由公式，得所以所以椭圆的方程为22143+=x y ------------------------------------------------5分（Ⅱ）直线l 的斜率不存在时，,,不符合题意；设直线l 的方程为y=k(x-1),由得，（3+4）2222:1(0)x y E a b a b+=>>(1,0)F (0,)B b ||2FB =2=0)b b =>222c a b =-2134,2(0)a a a =+==>2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩E FM FM=BFN BFM S S ∆∆={134)1(22=+-=y x x k y 2k 01248222=-+-k x k x设M(①②由，得，即. 可得，即 ③由① ③ 得，代入② 得，解得，所以，所求直线的方程为. ------------------------------------13分 22.（2019东城一模文科）已知圆22:20C x x y ++=，则圆心C 到直线3x =的距离等于 D（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）423.（2019东城文科一模）抛物线C :22y px =上一点0(1,)y 到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为_______.28y x =24.（2019东城文科一模）已知3(2,0),(1,)2A P -为椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：上两点，过点P 且斜率为,(0)k k k ->的两条直线与椭圆M 的交点分别为,B C . （Ⅰ）求椭圆M 的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形PABC 为平行四边形，求k 的值．解：（I ）由题意得222,191.4a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ (),11N y x ),,22y x 2221438恒成立。

精编新版2019高考数学《导数及其应用》专题考核题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设函数)(x f 的定义域为R ,)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点,以下结论一定正确的是（）A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点（2013年高考福建卷（文））2．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（）(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4(2006浙江文)3．若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =( )（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8 （2010全国2理10）4．设函数()x f x xe =，则（）A. 1x =为()f x 的极大值点B.1x =为()f x 的极小值点C. 1x =-为()f x 的极大值点D. 1x =-为()f x 的极小值点[学5．已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是（）(2008福建理)二、填空题6．函数x x y cos 2+=在(0,)π上的单调递减区间为．7．已知函数23221()1(0)()31,()2(3)1(0)x x f x x x g x x x ⎧-+>⎪=-+=⎨⎪-++≤⎩，则方程[()]0g f x a -=（a 为正实数）的实数根最多有 ▲ 个8．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增；④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是__________．9．曲线x x y C In :=在点)e e,(M 处的切线方程为___________.10．函数ln(1)y x x =-+的单调递减区间为 ▲ ．11．曲边梯形由曲线,0,1,5x y e y x x ====所围成，过曲线,[1,5]x y e x =∈上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P 的坐标是____________．12．设函数21()ln(1)3,[,](0)2x f x x e x x t t t =+-+∈->，若函数()f x 的最大值是M ，最小值是m ，则M m +=______13．给出下列图象其中可能为函数f (x )＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ，b ，c ，d ∈R)的图象的是_____．14．设曲线axy e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．2（全国二14）三、解答题15．设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞.（Ⅰ）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小；（Ⅱ）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（Ⅲ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．16．已知函数.32)(2x x e x f x -+=(I ）求曲线))1(,1()(f x f y 在点=处的切线方程；(Ⅱ）求证函数)(x f 在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x 的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e ≈2.7，e ≈1.6，e 0.3≈1.3） (III ）当,1)3(25)(,212恒成立的不等式若关于时+-+≥≥x a x x f x x 试求实数a 的取值范围。

2019年北京高三数学一模汇编(文理通用部分)

数 b 的取值范围是____．
28.若存在 x [0,1] 使不等式 a ≤ x 2 x 成立，则实数 a 的取值范围是__________________．
29.已知函数 f ( x ) x ， g ( x ) ax 2 x ，其中 a 0 .若 x1 [1, 2], x2 [1, 2] ，使得
b d bd 和（ a , b , c, d N ），则是 x 的更精确的不足近 a c ac 31 49 16 ，则第一次用“调日法”后得是的更为精 10 15 5
似值或过剩近似值．已知 3.14159 ，令确的过剩近似值，即为__________．
1 , 1 2 1 2
】
C. ,1
1 2
D. 1,
02．已知正 △ ABC 的边长为 4,点 D 为边 BC 的中点,点 E 满足 AE ED ,那么 EB EC 的值为【
17.若函数 f x 图象上存在两个点 A ， B 关于原点对称，则点对 A, B 称为函数 f x 的“友好点对”，且
x 2 2ex m 1, x 0 点对 A, B 与 B , A 可看作同一个“友好点对”.若函数 f x （其中 e 为自然对 e2 x , x 0 x
2
2
D. 2 6 】
15.当 x 0,1 时,下列关于函数 y mx 1 的图象与 y x m 的图象交点个数,说法正确的是【 A.当 m 0,1 时，有两个交点 B.当 m 1, 2 时，没有交点 C.当 m 2,3 时，有且只有一个交点 D.当 m 3, 时，有两个交点
1
2019 北京高考一模汇编：函数 01．下列函数中，值域为 R 且在区间 (0, ) 上单调递增的是 A. y x 2 2 x C. y x 3 1 02．下列函数中，在区间(0,∞)上为增函数的是 A． y B. y 2 x 1 D. y ( x 1) | x | 【 B． y ln x D． y 2 x 上单调递增的是 B． D．. 【 B.是偶函数，且在 R 上是增函数 D.是偶函数，且在 R 上是减函数】【】】【】

2019年高考文科数学考点梳理之导数的概念及计算和导数的应用汇编

2019年高考文科数学考点梳理之导数的概念及计算和导数的应用汇编考点11 导数的概念及计算1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景. （2）理解导数的几何意义. 2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数y =C （C 为常数），21,,y x y x y x===的导数. （2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. • 常见基本初等函数的导数公式：1()0();(),n n C C x nx n -+''==∈N 为常数； (sin )cos ;(cos )sin x x x x ''==-；(e )e ;()ln (0,1)x x x x a a a a a ''==>≠且；11(ln );(log )log e(0,1)a a x x a a x x''==>≠且. • 常用的导数运算法则：法则1：()()()()u x v x u x v x ±'⎡⎦'⎤±⎣'＝.法则2：()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ⎡⎤⎣⎦'''＝＋.法则3：2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠.一、导数的概念 1．平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，2()y f x ∆=-1()f x ，则平均变化率可表示为y x∆∆.2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t +∆这段时间内，当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近的常数. 3．瞬时变化率4．导数的概念一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlim x x f x +x f x yx x∆→∆→∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即00()l i mx yf x x ∆→∆'==∆000()()lim x f x +x f x x∆→∆-∆.【注】函数()y f x =在0x x =处的导数是()y f x =在0x x =处的瞬时变化率. 5．导函数的概念如果函数()y f x =在开区间(a ，b )内的每一点都是可导的，则称()f x 在区间(a ，b )内可导．这样，对开区间(a ，b )内的每一个值x ，都对应一个确定的导数()f x '，于是在区间(a ，b )内()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数(简称导数)，记为()f x '或y '，即()f x y ''==0()()li mx f x +x f x x∆→∆-∆.二、导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k ，即0000()()()limx f x +x f x k f x x∆→∆-'==∆.【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y −y 0=f ′(x 0)(x −x 0)；（2）当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y −f (x 1)=f ′ (x 1)(x −x 1)；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y −f (x 1)=f ′(x 1)(x −x 1)，可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．三、导数的计算1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则（1）()()()()u x v x u x v x ±'⎡⎦'⎤±⎣'＝.（2）()()()()()()·u x v x u x v x u x v x ⎡⎤⎣⎦'''＝＋.（3）2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠. 3．复合函数的导数复合函数y=f (g (x ))的导数和函数y=f (u )，u=g (x )的导数间的关系为y x ′=y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．考向一导数的计算1．导数计算的原则和方法（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．（2）方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. 2．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤（1）关键环节：①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. （2）方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.典例1 求下列函数的导函数：（1）42356y x x x --=+；（2）21y x x=+；（3）2cos y x x =；（4）tan y x =.【名师点睛】熟记基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则是正确求导数的基础.（1）运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数()y f x =在开区间(a ,b )内的导数的基本步骤： ①分析函数()y f x =的结构和特征；②选择恰当的求导公式和运算法则求导；③整理得结果.（2）对较复杂的函数求导数时，先化简再求导.如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导.1．已知函数2()22(1(1))f x x x f f ++'=，则()2f '的值为A ．2-B ．0C ．4-D ．6-考向二导数的几何意义求曲线y =f (x )的切线方程的类型及方法（1）已知切点P (x 0, y 0)，求y =f (x )过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k ，求y =f (x )的切线方程：设切点P (x 0, y 0)，通过方程k =f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y =f (x )的切线方程：设切点P (x 0, y 0)，利用导数求得切线斜率f ′(x 0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k =f ′(x 0)求出切点坐标(x 0, y 0)，最后写出切线方程．（5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上.②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．典例2 已知函数2ln y x x =.（1）求这个函数的图象在1x =处的切线方程；（2）若过点()0,0的直线l 与这个函数图象相切，求直线l 的方程. 【解析】（1）2ln y x x x '=+，当1x =时，0,1y y '==，∴这个函数的图象在1x =处的切线方程为1y x =-.【规律总结】求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率． (3)写出切线方程．注意导数为0和导数不存在的情形．2．已知函数，则函数的图象在处的切线方程为A ．B ．C ．D ．1．函数在处的导数是A ．0B ．1C ．D ．2．已知函数的导函数是，且，则实数的值为A ．B ．C ．D ．13．设函数的导函数记为，若，则A ．-1B ．C ．1D ．34．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是A ．B ．C ．D ．5．已知过曲线e xy =上一点()00,P x y 作曲线的切线，若切线在y 轴上的截距小于0，则0x 的取值范围是A ．()0,+∞BC ．()1,+∞D ．()2,+∞6．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，则A ．B ．C ．D ．7．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：300()2t M t M -=，其中0M 为0t =时铯137的含量，已知30t =时，铯137含量的变化率为10ln 2-(太贝克/年)，则(60)M = A ．5太贝克 B ．75ln 2太贝克 C ．150ln 2太贝克 D ．150太贝克8．设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为 A ． B ． C ．D ．9，则(1)f '=__________． 10．已知函数的导函数为，且满足，则_________．11．曲线的切线方程为，则实数的值为_________．12．曲线250xy x y -+-=在点()1,2A 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_________． 13．求下列函数的导数：（1）21cos xy x +=；（2）()3ln xy x x =⋅-.14．已知函数()32f x x bx cx d =+++的图象过点()0,2P ，且在点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=．（1）求()1f -和()1f '-的值；（2）求函数()f x 的解析式．1．（2018新课标全国Ⅰ文科）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．（2016山东文科）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 A ．y =sin x B ．y =ln x C ．y =e xD ．y =x 33．（2016四川文科）设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln 01,ln ,1x x x x -<<⎧⎨>⎩，图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞)D ．(1,+ ∞)4．（2018天津文科）已知函数f (x )=e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________． 5．（2018新课标全国Ⅱ文科）曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．6．（2017天津文科）已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为___________．7．（2017北京文科节选）已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；8．（2017山东文科节选）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . （Ⅰ）当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；9．（2017天津文科节选）设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =. （Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；10．（2017浙江节选）已知函数f (x )=(x e x -(12x ≥)．（Ⅰ）求f (x )的导函数；2．【答案】C【解析】∵，∴，∴，又，∴所求切线方程为，即．故选C．1．【答案】C【解析】因为，故选C．2．【答案】B【解析】，选B．3．【答案】D【解析】根据题意，得，由，得，化简可得，即，故选D．4．【答案】C【解析】结合函数的图象可知过点的切线的倾斜角较大，过点的切线的倾斜角较小，又因为过点的切线的斜率，过点的切线的斜率，直线的斜率，故，应选C.5．【答案】C【解析】因为()0e xk f x'==，所以切线方程为()00e xy y x x-=-，即()00e ex xy x x-=-，令0x=得()01e xy x=-，截距小于0时，()01e0xy x=-<，解得1x>，故选C．6．【答案】D【解析】令G （x ）=()exf x ，则G ′（x ）==2x -2，可设G （x ）=x 2+c ，∵G （0）=f （0）=1，∴c =1．∴f （x ）=（x 2+1）ex故选D.8．【答案】C【解析】因为切线，的切点分别为而，所以.因为，所以(.因为，所以，因此，选C ．9．【答案】12.【解析】 1x =，得()()111f f ='-'，解得 10．【答案】【解析】求导得，把代入得，解得．11．【答案】212．【答案】496【解析】由250xy x y -+-=，得()52x y f x x +==+，∴()()232f x x -='+，∴()113f '=-， ∴曲线在点()1,2A 处的切线方程为()1213y x -=--．令0x =，得73y =；令0y =，得7x =． ∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为17497236S =⨯⨯=． 13．【解析】（1()()()24sin 1cos 2x x x x x --+⋅=3sin 2cos 2x x x x++=-. （2）()()()3ln 3ln xxy x x x x '⋅⋅''=-+-()13ln3ln 31x x x x x ⎛⎫=⋅⋅-+⋅- ⎪⎝⎭13ln3ln ln31x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.14．【解析】（1）∵()f x 在点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=，故点()()1,1f --在切线670x y -+=上，且切线斜率为6，得()11f -=且()16f '-=．（2）∵()f x 过点()0,2P ，∴2d =，∵()32f x x bx cx d =+++，∴2()32f x x bx c '=++，由()16f '-=得326b c -+=，又由()11f -=，得11b c d -+-+=，联立方程得232611d b c b c d =-+==-+-+⎧⎪⎨⎪⎩，解得332b c d ⎧=-=-=⎪⎨⎪⎩，故()32332f x x x x =--+．1．【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 2．【答案】A【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos 0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =的图象上存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,x y x y y x ===的导数值分别为10,e 0,x y y y x'''=>=>=230x ≥，不符合题意，故选A ． 3．【答案】A【解析】设111222(,ln ),(,ln )P x x P x x -(不妨设121,01x x ><<)，则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程为1111ln ()y x x x x -=-，切线2l 的方程为2221ln ()y x x x x +=--，即1111ln ()y x x x x -=--.分别令0x =得11(0,1ln ),(0,1ln ).A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121(,ln ).11x x P x x x -+++211122112111,||||1,01211PABA B P PABx x x S y y x S x x +>∴=-⋅=<=∴<<++△△，故选A.4．【答案】e【解析】由函数的解析式可得，则.即的值为e.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．【答案】y =2x –2 【解析】由，得.则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理. 6．【答案】1【解析】由题可得(1)f a =，则切点为(1,)a ，因为1()f x a x'=-，所以切线l 的斜率为(1)1f a '=-，切线l 的方程为(1)(1)y a a x -=--，令0x =可得1y =，故l 在y 轴上的截距为1．【名师点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题型，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率，切线方程为000()()y y f x x x '-=-．解题时应注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同，没切点应设出切点坐标，建立方程组进行求解．7．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.9．【解析】（II ）（i ）因为()e (()())xx x g'f f 'x =+，由题意知000()e ()exx x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以0000000()e e e (()())ex x xx f f f x 'x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f 'x x f =⎧⎨=⎩. 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0. 10．【解析】（Ⅰ）因为(1x '=，(e )e x x '--=-，所以()(1(x xf x x --'=-1)2xx -=>．考点12 导数的应用1．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 2．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.一、导数与函数的单调性一般地，在某个区间(a ,b )内：（1）如果()0f x '>，函数f (x )在这个区间内单调递增; （2）如果()0f x '<，函数f (x )在这个区间内单调递减; （3）如果()=0f x '，函数f (x )在这个区间内是常数函数．注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()0f x '>(()0f x '<)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数3()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但2()30f x x '=≥.（3）函数f (x )在(a ,b )内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤)在(a ,b )内恒成立，且()f x '在(a ,b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=,不影响函数f (x )在区间内的单调性. 二、利用导数研究函数的极值和最值 1．函数的极值一般地，对于函数y =f (x )，（1）若在点x =a 处有f ′(a )=0，且在点x =a 附近的左侧()0f 'x <，右侧()0f 'x >，则称x=a 为f (x )的极小值点，()f a 叫做函数f (x )的极小值.（2）若在点x =b 处有()f 'b =0，且在点x=b 附近的左侧()0f 'x >，右侧()0f 'x <，则称x=b 为f (x )的极大值点，()f b 叫做函数f (x )的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 2．函数的最值函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，求()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤为：（1）求()f x 在(,)a b 内的极值；（2）将函数()f x 的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3．函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；（2）在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数f (x )的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 三、生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.解决优化问题的基本思路是：考向一利用导数研究函数的单调性1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式()0f x '>（()0f x '<）在给定区间上恒成立．一般步骤为：（1）求f ′(x )；（2）确认f ′(x )在(a ,b )内的符号；（3）作出结论，()0f x '>时为增函数，()0f x '<时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3．由函数()f x 的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤)(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是()0f x '>(或()0f x '<)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知()f x 在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出()f x 的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.典例1 已知函数，其中.（1）函数的图象能否与轴相切?若能，求出实数，若不能，请说明理由；（2）讨论函数的单调性.（2）由于，当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减；当时，由得或，①当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当，，单调递增；②当时，，单调递增；③当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增.综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数；当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数.典例2 设函数2()e ln x f x a x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）证明：当0a >时，2()2lnf x a a a≥+. 【解析】（1）()f x 的定义域为(0+)，¥，2()=2e (0)x af x x x¢->. 当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点；当0a >时，因为2=e x y 单调递增，ay x=-单调递增，所以()f x ¢在(0+)，¥上单调递增. 又()0f a ¢>,当b 满足04a b <<且14b <时，()0f b ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（2）由（1），可设()f x ¢在(0+)，¥上的唯一零点为0x . 当0(0)x x ,Î时，()0f x ¢<;当0(+)x x ，违时，()0f x ¢>. 故()f x 在0(0)x ,上单调递减，在0(+)x ，¥上单调递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x . 由于0202e=0x a x -，所以02000022()=e ln 2ln 2ln 2xa f x a x ax a a a x a a -=++?（当且仅当0022aax x =，即012x =时，等号成立）.故当0a >时，2()2lnf x a a a?.1（1）当1a =时，求()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在[]1,1-上单调递减，求实数a 的取值范围.考向二利用导数研究函数的极值和最值1．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围. 2．求函数f (x )在[a ,b ]上最值的方法（1）若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f (x )在区间(a ,b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ,b )上的极值，与f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x )在区间(a ,b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定. 3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需min ()f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.典例3 已知函数21()e 2xf x ax x =-+．（1）当1a >-时，试判断函数()f x 的单调性；（2）若1e a <-，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12．（2）由（1）知()f 'x 在[1,)+∞上单调递增，因为1e a <-，所以()e 110f 'a =-+<，所以存在(1,)t ∈+∞，使得()0f 't =，即e 0t t a -+=，即e t a t =-，所以函数()f x 在[1,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增，所以当[1,)x ∈+∞时222min 111()()e e (e )e (1)222t t t t f f t at t t t t t x t ==-+=-+-=-+，令21()e (1)2x h x x x =-+，1x >，则()(1e )0x h'x x =-<恒成立，所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递减，所以211()e(11)122h x <-+⨯=，所以211e (1)22tt t -+<，即当[1,)x ∈+∞时min 1()2x f <，故函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12．典例4 已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，，的值；（2）当时，若，，求的取值范围.【解析】（1）设它们的公共交点的横坐标为，则.，则，①；，则，②.由②得，由①得.将，代入得，∴，.（2）由，得，即在上恒成立，令，则，其中在上恒成立，∴在上单调递增，在上单调递减，则，∴.故的取值范围是.2．已知函数()1 lnf x a x xx=+-，其中a为实常数.（1）若12x=是()f x的极大值点，求()f x的极小值；（2）若不等式1lna xb xx-≤-对任意52a-≤≤，122x≤≤恒成立，求的最小值.考向三（导）函数图象与单调性、极值、最值的关系1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x 轴的交点的横坐标为函数的极值点.典例 5 设函数2()f x ax bx c =++（a ，b ，c ∈R ），若函数()e x y f x =在1x =-处取得极值，则下列图象不可能为()y f x =的图象是【答案】D【解析】2()e ()e e [(2)]x x x y f x f x ax a b x b c ''=+=++++，因为函数()e x y f x =在1x =-处取得极值，所以1x =-是2(2)0ax a b x b c ++++=的一个根，整理可得c a =，所以2()f x ax bx a =++，对称轴对于A,由图可得0,(0)0,(1)0a f f >>-=，适合题意；对于B,由图可得0,(0)0,(1)0a f f <<-=，适合题意；对于C, 对于D, D.3．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数A ．有极大值，没有最大值B ．没有极大值，没有最大值C ．有极大值，有最大值D ．没有极大值，有最大值考向四生活中的优化问题1．实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值. 2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．典例 6 如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线CP PQ-，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线CP PQ-的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路CP的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线CP PQ-的修建总成本最低？请说明理由.【解析】（1）由题意，，所以π3CPθ=-，又，所以观光专线的总长度为，，因为当时，，所以在上单调递减，即观光专线CP PQ-的总长度随的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为，则总成本，，，令，得，因为，所以，当时，；当时，.所以，当时，最小.答：当时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低.4．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（1）将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；（2）讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．1．已知函数()()2e e ln exf x f x '=-（e 是自然对数的底数），则()f x 的极大值为 A ．2e-1 B ．C ．1D ．2ln22．已知函数，则的单调递减区间为A ．B ．C ．和D ．和3．函数在闭区间上的最大值，最小值分别是A ．B ．C ．D ．4．设定义在上的函数的导函数满足，则 A ．B ．C ．D ．5．若函数在上有最小值，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．6．已知函数()22,2e 2,2x x xx f x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，函数有两个零点，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．7．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________．①当x ＝时函数取得极小值； ②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时函数取得极小值；④当x ＝1时函数取得极大值．8．已知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是__________． 9．定义在上的函数满足，则当时，与的大小关系为__________.(其中为自然对数的底数)10．用一张16cm 10cm ⨯的长方形纸片，经过折叠以后，糊成了一个无盖的长方体形纸盒，则这个纸盒的最大容积是_________3cm .11．已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值16c -. （1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最小值.12．如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD 及其矩形附属设施EFGH ，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形的一边AB 在直径上，点C 、D 、G 、H 在圆周上，E 、F 在边CD BOC θ∠=.（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为()fθ，求()f θ的表达式；（2）当cos θ为何值时，能符合园林局的要求？13．设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围.14．设.（1）在上单调，求的取值范围；（2）已知在处取得极小值，求的取值范围.15．已知函数．（1）若曲线的切线经过点，求的方程；（2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．1．（2016四川文科）已知a 为函数()3–12f x x x =的极小值点，则a =A ．–4B ．–2C ．4D ．22．（2017浙江）函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是3．（2016新课标全国Ⅰ文科）若函数1()sin2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是 A ．[1,1]-B ．1[1,]3-C ．11[,]33-D ．1[1,]3--4．（2017浙江）已知函数f (x )=（x e x -（12x ≥）．（1）求f (x )的导函数；。

高考数学真题导数专题及答案

高考数学真题导数专题及答案2019年高考真题-导数专题一、解答题（共12小题）1.已知函数 $f(x)=ae^{2x}+(a-2)e^{x}-x$。

1）讨论 $f(x)$ 的单调性；2）若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围。

2.已知函数 $f(x)=ax^2-ax-x\ln{x}$，且 $f(x)\geq 0$。

1）求 $a$；2）证明：$f(x)$ 存在唯一的极大值点 $x$，且 $e^{-2}<f(x)<2^{-2}$。

3.已知函数 $f(x)=x^{-1}-a\ln{x}$。

1）若 $f(x)\geq 0$，求 $a$ 的值；2）设 $m$ 为整数，并且对于任意正整数 $n$，$(1+\frac{1}{m})^n\geq 2$，求 $m$ 的最小值。

4.已知函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+1$（$a>0,b\in\mathbb{R}$）有极值，且导函数 $f'(x)$ 的极值点是 $f(x)$ 的零点。

1）求 $b$ 关于 $a$ 的函数关系式，并写出定义域；2）证明：$b^2>3a$；3）若 $f(x)$，$f'(x)$ 这两个函数的所有极值之和不小于$-1$，求 $a$ 的取值范围。

5.设函数 $f(x)=(1-x^2)e^x$。

1）讨论 $f(x)$ 的单调性；2）当$x\geq 0$ 时，$f(x)\leq ax+1$，求$a$ 的取值范围。

6.已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$。

1）求 $f(x)$ 的导函数；2）求 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的取值范围。

7.已知函数 $f(x)=x^2+2\cos{x}$，$g(x)=e^x(\cos{x}-\sin{x}+2x^{-2})$，其中 $e\approx 2.\cdots$ 是自然对数的底数。

Ⅰ）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(\pi,f(\pi))$ 处的切线方程；Ⅱ）令 $h(x)=g(x)-af(x)$（$a\in \mathbb{R}$），讨论$h(x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值。

2019北京高三一模数学---极坐标与参数方程分类汇编理科

1 /2 2019北京高三一模数学---极坐标与参数方程分类汇编理科1.2019东城一模理（ 11）若曲线:C cos ,2sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）关于直线:l 1,22x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)对称，则a = ；此时原点O 到曲线C 上点的距离的最大值为 .2.2019西城一模理4．下列直线中，与曲线C ：12,()24x t t y t=+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是（A ）20x y +=（B ）240x y +-= （C ）20x y -=（D ）240x y --=3.2019海淀一模理( 12)在极坐标系中，若圆2cos a ρθ=关于直线cos sin 10ρθθ++=对称，则a =4.2019朝阳一模理11．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B 两点，则AB =___．5.2019丰台一模理 11．直线1y kx =+与圆2cos ,32sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）相交于,M N两点．若||MN =k =____． 6.2019石景山一模理11. 在极坐标系中，直线sin 2ρθ=与圆4sin ρθ=的位置关系为______．（填“相交”、 “相切”或“相离”）7.2019怀柔一模理12．在极坐标系中，曲线ρ=2cos θ上的点到点(1,)π距离的最大值为 __________．8.2019延庆一模理6. 已知曲线2:2x t C y a t =⎧⎨=+⎩，（t 为参数），若曲线C 上存在点P 为曲线:1D ρ=上一点，则实数a 的取值范围为（A）[ （B）[ （C ）[1,1]- （D ）[2,2]- 9.2019平谷一模理5. 在极坐标中，点（2，）到直线（cos θ+ sin θ）=6的距离为（）A. 1B. 3-C. +3D. 52 / 2。

2019年北京市13区高三一模(3、4月)数学理分类汇编-导数及其应用

2019北京市12区高三一模（3、4月）数学理分类汇编--导数及其应用1、（朝阳区2019届高三一模）已知函数ln()()ax f x x=(R a ∈且0)a ≠. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+；（Ⅲ）讨论函数()f x 的极值．2、（东城区2019届高三一模）设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x . （I ）若01x =，求a 的值()f x 的单调区间；（II ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于x 轴的下方？若存在，求出一个P 点坐标，若不存在，说明理由.3、（丰台区2019届高三一模）已知函数3211()(2)e 32x f x x ax ax =--+.（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当e a ≤时，求证：1x =是函数()f x 的极小值点.4、（海淀区2019届高三一模）已知函数2()ln(1)f x x x ax =+-. (I)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当0a <时，求证：函数()f x 存在极小值； (Ⅲ)请直接写出函数()f x 的零点个数．5、（怀柔区2019届高三一模）已知函数()ln ()=-∈f x x ax a R . （Ⅰ）当2=a 时，求在点处的切线方程；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()0f x <，求a 的取值范围.6、（门头沟区2019届高三一模）已知()=xf x axe 在点(0,0)处的切线与直线2y x =-平行。

(Ⅰ)求实数a 的值；（Ⅱ）设2()()()2x g x f x b x =-+（i ）若函数()0g x ≥在[0,)+∞上恒成立,求实数b 的最大值；（ii ）当0b ≤时，判断函数()g x 有几个零点，并给出证明.()f x (1,(1))f7、（石景山区2019届高三一模）设函数()1x f x e ax =-+，0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））设函数()ln ,f x x a R =∈.（I ）若点()1,1在曲线()y f x =上，求在该点处曲线的切线方程；（II ）若()f x 有极小值2，求a .9、（西城区2019届高三一模）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．10、（延庆区2019届高三一模）已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）令()()f x g x x=，求函数()g x 的单调区间. 11、（房山区2019届高三一模）已知函数()221()ln (1).2f x mx x x mx m =-+≤ （Ⅰ）当0m =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在x 轴的上方，求m 的取值范围.12、（大兴区2019届高三一模）已知函数()e x f x a =图象在0x =处的切线与函数()ln g x x =图象在1x =处的切线互相平行．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =-，求证：()2h x >．数学试题答案1、解：（Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =．所以21ln ()xf x x -'=．因为(1)1,(1)0f f '==，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………….3分（Ⅱ）当1a =-时，ln()()x f x x-=．函数()f x 的定义域为(,0)-∞．不等式()1f x x ≥+成立⇔ln()1x x x-≥+成立⇔2ln()0x x x ---≤成立. 设2()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-++'=--==．当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()(1)g x g ≤-．因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，所以ln()1x x x-≥+．………………………………………………………………….8分（Ⅲ）求导得21ln()()ax f x x -'=. 令()0f x '=，因为0a ≠可得ex a=．当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极大值e ()eaf a =，无极小值．当0a <时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极小值e ()eaf a =，无极大值．……………………………………………….13分 2、解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞.212(2)1(21)(1)'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==.由已知，得(1)0f '=，解得1a =.当1a =时，(21)(1)'(),x x f x x+-=当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以()f x 的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).+? 所以1a =时函数()f x 在1x =处取得极小值.即()f x '的极小值点为1时a 的值为1. ......................6分（II ）当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方，理由如下：由（I ）知(21)(1)'(),x ax f x x +-=当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞单调递减，()f x 不存在极小值点；当0a >时，令(21)(1)'()0x ax f x x +-==，得1x a=.当1(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在区间1(0,)a上单调递减；当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间1(,)a +∞上单调递增. 所以11()ln 1f a aa=+-是()f x 在(0,)+∞上的最小值. 由已知，若001x <<，则有101a<<，即1a >. 当1a >时，ln 0a >，且101a <<，110a->. 所以1()0.f a>当001x <<时，曲线()y f x =上所有的点均位于x 轴的上方.故当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方. ...............13分3、解：（Ⅰ）因为，所以，故，令，得，所以单调递增区间为；令，得，所以单调递区间为．（Ⅱ）由题可得.① 当0a ≤时，对任意，都有恒成立，所以当时，；当时，. 所以函数在处取得极小值，符合题意.② 当0e a <≤时，设，依然取. 则，令，得，所以在上单调递减，在区间上单调递增，所以.因为0e a <≤，所以min ()(1ln )0g x a a =-≥（当且仅当=e a 时，等号成立，此时1x =）.0a =R x ∈()(2)e xf x x =-()(1)e xf x x '=-()0f x '>1x >(1,)+∞()0f x '<1x <(,1)-∞()(1)(e )xf x x ax '=--(0,+)x ∈∞e 0x ax ->01x <<()0f x '<1x >()0f x '>()f x 1x =g()=e xx ax -(0,+)x ∈∞g ()=e xx a '-g ()=0x '=ln x a g()x (0,ln )a (ln ,)a +∞min g()(ln )(1ln )x g a a a ==-所以对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，都有恒成立.所以当时，；当时，. 所以函数在处取得极小值，符合题意. 综上①②可知：当e a ≤时1x =是函数()f x 的极小值点. 4、解：（Ⅰ）2()ln(1)f x x x ax =+-的定义域为{|1}x x >-因为2(0)0ln(01)00f a =+-⋅=所以切点的坐标为(0,0) 因为()ln(1)+21xf x x ax x '=+-+ 0(0)ln(01)+20001f a '=+-⋅=+ 所以切线的斜率0k =，所以切线的方程为0y = （Ⅱ）方法一：令()()ln(1)21xg x f x x a x x '==++-+ 211()+21(1)g x a x x '=-++ 因为1x >-且0a <，所以101x >+，210(1)x >+，20a -> 从而得到()0g x '>在(1,)-+∞上恒成立所以()0f x '>在(1,)-+∞上单调递增且(0)0f '=，所以x ，'()f x ，()f x 在区间(1,)-+∞ 的变化情况如下表:e 0x ax ->01x <<()0f x '<1x >()0f x '>()f x 1x =所以0x =时，()f x 取得极小值，问题得证方法二：因为()ln(1)21xf x x a x x '=++-+ 当0a <时，当0x <时， ln(1)0,0,201xx a x x +<<-<+，所以()0f x '< 当0x >时， ln(10,0,201xx a x x +>>->+，所以()0f x '> 所以x ，'()f x ，()f x 在区间(1,)-+∞ 的变化情况如下表:所以0x =时，函数()f x 取得极小值，问题得证（Ⅲ）当0a ≤或1a =时，函数()f x 有一个零点当0a >且1a ≠时，函数()f x 有两个零点5、解：（Ⅰ）当时，因为，所以． f ’(1)= －1, f(1)= －2,所以在点处的切线方程是x+y+1=0------------------------------------5分（Ⅱ）函数()f x 的定义域是{0}>x x ，因为，（ⅰ）当a 时，>0恒成立，所以f （x ）在（0，+）单调递增，又因为(1)0=-≥f a ，不合题意，舍．2a =(ln 2f xx x =-）112'(2x f xx x-=-=）()f x (1,(1))f 11'(ax f xa x x-=-=）0≤f ()x '∞（ⅱ）当0a >时，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在单调递减．所以函数在时，取得最大值．因为对于任意，都有，所以只需令，即，即．所以当的取值范围是----------------------------------------------13分6、解：(Ⅰ)由题意得：//()(1)(0)1x f x ae x f a a =+⇒=⇒=（Ⅱ）（i ）22/()()()()()(1)()22xx x x g x f x b x xe b x g x x e b =-+=-+⇒=+-当[0,)x ∈+∞时，若/1,0()0x b e b g x ≤-≥⇒≥，()g x 递增，则()(0)0g x g ≥≥ 当[0,)x ∈+∞时，若/121,()01,ln 0b g x x x b >=⇒=-=>（舍），()g x 在(0,ln )b 递减，则(ln )(0)()0g b g g x <⇒≥不恒成立，所以，b 的最大值为1.（ii ）2()()[(1)]22=-+=-+xxx x g x xe b x x e b ，显然()g x 有一个零点0；设/()(1)()22x xx b t x e b t x e =-+⇒=-当0b =时，()t x 无零点；所以()g x 只有一个零点0 当0b <时，有/()0>t x ，所以)(x t 在R 上单增，又222(0)10,(2)10bt b t eb-=->-=-<，由零点存在定理可知，所以()t x 在(,0)-∞上有唯一一个零点0x ，所以()g x 有二个零点综上所述，0b =时，()g x 只有一个零点0，0b <时，()g x 有二个零点. 7、解：（Ⅰ）()e 1=-+xf x ax Qa e x f x -='∴)(，10x a <<'()0f x >(f x ）1(0,)a 1x a>'()0f x <(f x）1(,)a+∞(f x ）1x a =11(ln 1f a a=-）(0,)x ∈+∞()0f x <1(0f a<）1ln10a -<1ea >1(,)e+∞a e f -='∴)1(，由题设知(1)0f '=，即0=-a e ，解得e a =．经验证e a =满足题意。

2019年北京市各区一模数学试题分类汇编——代数压轴题

2019年北京市各区一模数学试题分类汇编——几何综合题（房山）26．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x mx n =++的图象经过点 A (−1，a )，B (3，a )，且顶点的纵坐标为 -4．（1）求 m ，n 和 a 的值；（2）记二次函数图象在点 A ，B 间的部分为 G (含点A 和点B )，若直线 2y kx =+与图象G 有公共点，结合函数图象，求 k 的取值范围．（门头沟）26．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y x =+的图象与x 轴交于点A，与过点（0，5）平行于x 轴的直线l 交于点B ，点A 关于直线l 的对称点为点C ．（1）求点B 和点C 坐标；（2）已知某抛物线的表达式为222y x mx m m =-+-． ① 如果该抛物线顶点在直线4y x =+上，求m 的值；② 如果该抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．（密云）26．已知抛物线2224y x mx m =-+-，抛物线的顶点为P . （1）求点P 的纵坐标．（2）设抛物线x 轴交于A 、B 两点，1122(,),(,)A x y B x y ，21x x >. ①判断AB 长是否为定值，并证明．②已知点M （0，-4），且MA ≥5，求21-x x m +的取值范围．（平谷）26．平面直角坐标系xOy 中，抛物线3222-+-=m mx x y 与y 轴交于点A ，过A 作AB ∥x 轴与直线x =4交于B 点．（1）抛物线的对称轴为x = （用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线经过点A ，B 时，求此时抛物线的表达式；（3）记抛物线在线段AB 下方的部分图象为G （包含A ，B 两点），点P （m ,0）是x 轴上一动点，过P 作PD ⊥x 轴于P ，交图象G 于点D ，交AB 于点C ，若CD ≤1，求m 的取值范围．（石景山）26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y kx =+(0)k ≠经过点(2,3)A ，与y 轴交于点B ，与抛物线2y ax bx a =++的对称轴交于点(,2)C m . （1）求m 的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）11(,)N x y 是线段AB 上一动点，过点N 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点22(,)P x y ,33(,)Q x y （点P 在点Q 的左侧）．若213x x x <<恒成立，结合函数的图象，求a 的取值范围．（通州）26. 已知二次函数2y x ax b =-+在0x =和4x =时的函数值相等．（1）求二次函数2y x ax b =-+的对称轴；（2）过P （0，1）作x 轴的平行线与二次函数2y x ax b =-+的图象交于不同的两点M 、N . ①当2MN =时，求b 的值；②当=4PM PN +时，请结合函数图象，直接写出b 的取值范围．（延庆）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2432y ax ax a =-+-（0a ≠）的对称轴与x 轴交于点A ，将点A 向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B ．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标；（2）若抛物线与线段AB 有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．（燕山）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =--≠的顶点为D ，与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)．(1) 当1a =时，求点A ，B ，D 的坐标；(2) 横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内(不含边界)恰有7个整点，结合函数图象，求a 的取值范围．（西城）26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx n =-+．（1）当2m 时， ①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标； ②若点1(2,)A y ，22(,)B x y 都在抛物线上，且21y y ，则2x 的取值范围是_______；（2）已知点P (－1,2)，将点P 向右平移4个单位长度，得到点Q ．当n ＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图像，求m 的取值范围．（顺义）26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 2(3)3y mx m x =+--（0m >）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C , 4=AB ，点D 为抛物线的顶点. （1）求点A 和顶点D 的坐标；（2）将点D 向左平移4个单位长度，得到点E ,求直线BE 的表达式；（3）若抛物线26=-y ax 与线段DE 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.（丰台）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2过原点和点A （-2，0）. （1）求抛物线的对称轴；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点B （0，），记抛物线与直线AB 围成的封闭区域（不含边界）为W ．①当=1a 时，求出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．（东城）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2691(0)y mx mx m m =-++≠ （1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点分别为A 和B （点A 在点B 的左侧），且AB =4，求m 的值；（3）已知四个点C （2,2），D （2,0），E （5,-2），F （5,6），若抛物线与线段CD 和线段EF 都没有公共点，请直接写出m 的取值范围．（海淀）26．在平面直角坐标系x O y 中，抛物线2y ax bx c (0)a 经过点(03)A ，和(30)B ，．（1）求c 的值及a b ，满足的关系式；（2）若抛物线在A ，B 两点间，从左到右上升，求a 的取值范围；（3）结合函数图象判断：抛物线能否同时经过点(1)(4)M m n N m n ，，，？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n 的值；若不能，请说明理由．（怀柔）26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222++-=a ax x y 2的顶点C ，过点B （0，t ）作与y 轴垂直的直线l ，分别交抛物线于E ，F 两点，设点E （x 1，y 1），点F （x 2，y 2）（x 1＜x 2）．（1）求抛物线顶点C 的坐标；（2）当点C 到直线l 的距离为2时，求线段EF 的长；（3）若存在实数m ，使得x 1≥m -1且x 2≤m +5成立，直接写出t 的取值范围．。