【100所名校】2020学年北京八中第一学期高三期中考试数学(理科)试题(含解析版)

初中资料群：338473890，高中资料群：1026047318，大学资料群：868430820，2019—2020学年北京八中第一学期 高三期中考试数学（理科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知m ,n R, 集合A = {2, log 7m }, 集合B ={m , n },若A ∩B ={0}, 则m + n = A ．0 B ．1 C ．7 D ．82．已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK|=√2|AF|，则ΔAFK 的面积为A ．4B ．8C ．16D ．32 3．“x >0”是“x +sinx >0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数f (x )=(x −1x )cosx （−π≤x ≤π且x ≠0）的图象可能为A ．B ．C ．D ．5．在△ABC 中, M 是BC 的中点, AM = 3, 点P 在AM 上, 且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )的值为 A ．4 B ．2 C ．−2 D ．−46．如图，点O 为坐标原点，点A(1,1)，若函数y =a x （a >0，且a ≠1）及y =log b x （b >0，且b ≠1）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足A ．a <b <1B ．b <a <1C ．b >a >1D ．a >b >17．已知f(x)={1x −1,x ≥1,lnx,0<x <1,若函数g(x)=f(x)−kx +k 只有一个零点，则k 的取值范围是A ．(−∞,−1)∪(1,+∞)B ．(−1,1)C ．[0,1]D ．(−∞,−1]∪[0,1]8．设f(x)=asin2x +bcos2x ，其中a,b ∈R ，ab ≠0，若f(x)≤|f(π6)|对一切x ∈R 恒成立，则下列结论正确的是①f(11π12)=0；②函数y =f(x)既不是奇函数也不是偶函数； ③f(x)的单调递增区间是[kπ+π6,kπ+2π3] (k ∈Z)；④存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④二、填空题9．在极坐标系中,圆ρ=2的圆心到直线ρcosθ+ρsinθ=2上的动点的距离的最小值为________.10．若双曲线x 2+y 2m =1的一条渐近线的倾斜角为60°，则m =__________．11．已知直线l 1:ax +(a +2)y +1=0，l 2:x +ay +2=0．若l 1⊥l 2，则实数a 的值是 ． 12．若直线y =2x 上存在点(x,y)满足约束条件{x +y −3≤0x −2y −3≤0x ≥m ，则实数m 的取值范围 .此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号好教育云平台 名校精编卷 第3页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第4页（共4页）13．如图，线段AB =2，点A ，B 分别在x 轴和y 轴的非负半轴上运动，以AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，BC =1．设O 为原点，则OC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是__________．14．对于函数y =f(x)，若在其定义域内存在x 0，使得x 0f(x 0)=1成立，则称函数f(x)具有性质P ．（1）下列函数中具有性质P 的有__________．①f(x)=−2x +2√2 ②f(x)=sinx(x ∈[0,2π]) ③f(x)−x +1x ,(x ∈(0,+∞)) ④f(x)=ln(x +1)（2）若函数f(x)=alnx 具有性质P ，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（2）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 16．函数f(x)＝cos(πx ＋φ)(0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x0的值；(2)设g(x)＝f(x)＋f (x +13)，求函数g(x)在区间[−12,13]上的最大值和最小值． 17．已知抛物线C ：y 2=4x ，其焦点为F ，直线过点P （﹣2，0） （1）若直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，求l 的方程；（2）若直线l 与抛物线交于不同的两点A 、B ，求|FA|+|FB|的取值范围． 18．已知函数 f (x ) = x e −x (x ∈R) （Ⅰ）求函数 f (x )的单调区间和极值; （Ⅱ）若x ∈ (0, 1), 求证: f (2 − x ) > f (x );（Ⅲ）若x 1 ∈ (0, 1), x 2∈(1, +∞), 且 f (x 1) = f (x 2), 求证: x 1 + x 2 > 2. 19．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点到它的两个焦的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点．（1）求圆O 和椭圆C 的方程．（2）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ．求证：∠MQN 为定值．20．将所有平面向量组成的集合记作R 2, f 是从R 2到R 2的映射, 记作y =f(x )或(y 1,y 2)=f(x 1,x 2), 其中x 1,x 2,y 1,y 2都是实数. 定义映射f 的模为: 在|x |=1的条件下|y |的最大值, 记做‖f‖. 若存在非零向量x ∈R 2, 及实数λ使得f(x )=λx , 则称λ为f 的一个特征值.（Ⅰ）若f(x 1,x 2)=(12x 1,x 2), 求‖f‖;（Ⅱ）如果f(x 1,x 2)=(x 1+x 2,x 1−x 2), 计算f 的特征值, 并求相应的x ;（Ⅲ）试找出一个映射f , 满足以下两个条件: ①有唯一的特征值λ, ②‖f‖=|λ|. (不需证明)2018—2019学年北京八中第一学期高三期中考试数学（理科）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】根据A∩B={0}，得出log7m=0，求出m的值，从而得出n的值，再求出m+n的值．【详解】根据A={2，log7m}，B={m，n}，且A∩B={0}，得log7m=0，解得m=1；∴n=0，∴m+n=1+0=1．故选：B．【点睛】本题考查了集合交集的定义与应用问题，是基础题目．2．B【解析】试题分析：解：F（2，0）K（-2，0），过A作AM⊥准线，则|AM|=|AF|，∴|AK|=√2|AM|，∴△AFK的高等于|AM|，设A（m2，2√2m）（m＞0）则△AFK的面积=4×2√2m•12=4√2m又由|AK|=√2|AF|，过A作准线的垂线，垂足为P，三角形APK为等腰直角三角形，所以m=√2∴△AFK的面积=4×2√2m•12=8故答案为B考点：抛物线的简单性质点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握．3．C【解析】令f(x)=x+sinx，则f′(x)=1+cosx≥0，∴f(x)单调递增，且f(0)=0，∴“x>0”是”x+sinx>0”的必要条件．故选C．4．A【解析】由f(−x)=(−x+1x)cos(−x)=−(x−1x)cosx=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称，故排除C,D；当x=π时，f(π)=(π−1π)cosπ=1π−π<0，排除B，故选A.5．D【解析】【分析】由平行四边形法则，可得PB→+PC→=2PM→．又AP→=2PM→，可得AP→=23AM→，PM→=13AM→．代入PA→⋅(PB→+PC→)即可得出．【详解】由平行四边形法则，可得PB→+PC→=2PM→=AP→，∴AP→=23AM→，PM→=13AM→．∵AM=3，∴PA→⋅(PB→+PC→)=﹣23AM→⋅23AM→=−49AM→2=﹣49×32=﹣4．故选：D．【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量的平行四边形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．A【解析】由图象可以知道，函数均为减函数，所以0<a<1，0<b<1，∵点D为坐标原点，点A(1,1)，∴直线OA为y=x，∵y=a x经过点M，则它的反函数y=log a x也经过点M，又∵y=log b x（b>0，且b≠0）的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质可知：a<b，∴a<b<1．故选A．第9页（共12页）第10页（共12页）第11页（共12页） 第12页（共12页）7．D 【解析】试题分析：∵函数g(x)=f(x)−kx +k 只有一个零点，∴y =f(x)与y =kx −k 只有一个交点，图象如图所示，∴k 的取值范围是(−∞,−1)]∪[0,1]．考点：函数零点问题． 8．A 【解析】试题分析：f(x)=asin2x +bcos2x =√a 2+b 2sin(2x +θ)， 其中角θ满足cosθ=22，sinθ=22，∵f(x)≤|f(π6)|对一切x ∈R 恒成立，∴f(π6)=√a 2+b 2或−√a 2+b 2，得2×π6+θ=π2+kπ，k ∈Z ，因此θ=π6+kπ，k ∈Z ，f(x)=√a 2+b 2sin(2x +π6+kπ)=√a 2+b 2sin(2x +π6)或−√a 2+b 2sin(2x +π6)，对于①，∵sin(2×11π12+π6)=sin2π=0，∴f(11π12)=±√a 2+b 2sin(2×11π12+π6)=0，故①正确；对于②，根据函数的表达式，得f(−x)≠±f(x)，故y =f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故②正确；对于③，∵函数的表达式f(x)=√a 2+b 2sin(2x +π6)或，表达式不确定，故[kπ+π6,kπ+2π3]不一定是增区间，故③不正确；对于④，采用反证法，设经过点(a,b)的一条直线与函数y =f(x)的图象不相交，则此直线与x 轴平行方程为y =b ，且|b|>√a 2+b 2，平方得b 2>a 2+b 2矛盾，故假设不成立，所以经过点(a,b)的所有直线均与函数y =f(x)的图象相交，故④不正确．考点：三角函数的图象变换、两角和与差的正弦函数．9．C.【解析】解：在极坐标系中，圆ρ=2⇔x 2+y 2=4的圆心（0,0）到直线ρcosθ+ρsinθ=2即为x+y=2的距离为10．-3 【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为y =±√−mx ， ∵其中一条渐近线的倾斜是60°， ∴√−m =√3，故m =−3．11．0或－3 【解析】试题分析：由题意得：考点：直线位置关系 12．(−∞,1] 【解析】试题分析：由题意，由{y =2x x +y −3=0，可求得交点坐标为(1,2)，要使直线y =2x 上存在点(x,y)满足约束条件{x +y −3≤0,x −2y −3≤0,x ≥m,，如图所示，可得m ≤1，则实数m 的取值范围(−∞,1]．考点：线性规划． 13．[1,3] 【解析】第9页（共12页） 第10页（共12页）解：如图令∠OAB =θ，由于AB =2故0A =2cos θ，OB =2sin θ，如图∠DAX =π2−θ，BC =1，故x D =2cos θ+cos （π2−θ）=2cos θ+sin θ，y D =sin （π2−θ）=cos θ故OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2cos θ+sin θ，cos θ） 同理可求得C （sin θ，cos θ+2sin θ），即OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（sin θ，cos θ+2sin θ）， ∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（cos θ+2sin θ，cos θ）•（sin θ，2cos θ+sin θ）=2+sin2θ， ∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（cos θ+2sin θ，cos θ）•（sin θ，2cos θ+sin θ）=2+sin2θ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是3，最小值是1，故答案是：[1，3]．14．（1）①②（2）a ≻0或a ≤−e 【解析】试题分析：（1）在 x≠0时，f （x ）=1x 有解，即函数具有性质P ，令-2x+2√2=1x ，即−2x 2+2√2x −1=0∵△=8-8=0，故方程有一个非0实根，故f （x ）=-2x+2√2具有性质P ； f （x ）=sinx （x ∈[0，2π]）的图象与y=1x 有交点，故sinx=1x 有解，故f （x ）=sinx （x ∈[0，2π]）具有性质P ； 令x+1x =1x ，此方程无解，故f （x ）=x+1x ，（x ∈（0，+∞））不具有性质P ；综上所述，具有性质P 的函数有：①②，（2）f （x ）=alnx 具有性质P ，显然a≠0，方程 xlnx=1a 有根，∵g （x ）=xlnx 的值域[−1e ，+∞） ∴1a ≥−1e解之可得：a ＞0或 a≤-e ． 考点：本题考查方程和函数的综合点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．15．（1）4960；（2）详见解析． 【解析】试题分析：（1）求得所有基本事件的种数以及符合题意的基本事件种数，利用古典概型从而求解；（2）求得X =0，1，3时的概率，得到分布列后即可求解期望．试题解析：（1）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ，则P(A)=C 31C 72+C 30C 73C 103=4960，∴选出的3名同学来自班级的概率为4960；（2）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3，则P(X =0)=C 30C 73C 103=724；P(X =1)=C 31C 72C 103=2140；P(X =2)=C 32C 71C 103=740；P(X =3)=C 33C 70C 103=1120，∴随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E(X)=0×724+1×2149+2×740+3×1120=910．考点：1．随机变量的概率分布及其期望；2．古典概型． 16．（1）φ=π6，x 0=53；（2）见解析 【解析】试题分析：（1）将点(0,√32)代入，由已给条件可求得φ=π6；由cos (πx 0+π6)=√32并结合图象可求得x 0=53.（2）由（1）可得到f(x)+f (x +13)=√3cos (πx +π3)，由x ∈[−12,13]，得−π6≤πx +π3≤2π3，可得在πx +π3=0和πx +π3=2π3时，函数g(x)分别取得最大值和最小值。