医用数学定积分试题及答案
定积分练习题参考答案
3
x
4
sin 2
x
dx
解：原式
3
xdctgx
xctgx
3
3
ctgxdx
4
4
4
1 4
3 9
ln
sin
x
3
4
1 4
3 9
ln
3 ln 2
2 2
1 4
3 9
1 2
ln
3 2
3
14．
4 ln x dx
1x
解：原式 2
4
ln xd
x
1
2
4
4
x ln x
1
1
xd ln x
2
sin 2x 0
0
sin
2
x
2
xdx
3 1
6 4 0 xd cos 2x
3 6
1 4
x
cos
2x
0
0
cos 2xdx
3 6
4
18．
e
1
sin
ln
x
dx
解：原式
x sinlnLeabharlann x e 1e1
x cosln
x
1 x
dx
e
sin 1
e
1
cosln
x
dx
e sin 1
x cosln
x e 1
d
3
sin
2
d
sin
4
22 3 3
4． 1 xdx
1 5 4x
解：令 5 4x u ，则 x 5 1 u 2 ， dx 1 udu
44
2
医用高等数学教材答案
医用高等数学教材答案[注意：以下为虚构内容，并非真实的医用高等数学教材答案]第一章：微积分基础1. 解答：a) 设医学函数f(x)表示患者血压变化情况。
根据观察数据，当时间t 以分钟为单位递增时，血压p以毫米汞柱为单位递减。
则可用函数f(x) = -0.1x + 180来描述患者血压的变化规律，其中x为时间，f(x)为血压值。
b) 患者血压在15分钟内的平均变化率为：平均变化率 = (p2 - p1) / (t2 - t1)假设15分钟内血压从 p1 = 180mmHg 下降到 p2 = 160mmHg，则平均变化率为：平均变化率 = (160 - 180) / (15 - 0) = -4mmHg/min因此，患者血压在15分钟内的平均变化率为-4mmHg/min。
2. 解答：a) 医学函数f(x)描述了人体内一种物质的浓度变化规律。
根据观察数据，当时间t以小时为单位递增时，物质浓度c以毫升为单位递增。
则可用函数f(x) = 0.2x + 3来描述物质浓度的变化规律，其中x为时间，f(x)为物质浓度。
b) 物质浓度在4小时内的平均变化率为：平均变化率 = (c2 - c1) / (t2 - t1)假设4小时内物质浓度从 c1 = 3ml 下降到 c2 = 5ml，则平均变化率为：平均变化率 = (5 - 3) / (4 - 0) = 0.5ml/h因此，物质浓度在4小时内的平均变化率为0.5ml/h。
第二章：概率与统计1. 解答：a) 使用二项分布模型可以描述医学试验中的二元结果。
设试验成功的概率为p，失败的概率为q = 1-p。
则试验重复n次，成功k次的概率可由二项分布公式计算：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中C(n,k)表示从n次试验中选择k次成功的组合数。
b) 假设一种药物在治疗特定疾病时的成功率为80%（p=0.8），现在进行了100次治疗试验。
则治疗成功50次的概率为：P(X=50) = C(100,50) * 0.8^50 * 0.2^50 ≈ 0.079因此，治疗成功50次的概率约为0.079。
医用高等数学(第三版)习题解答
医用高等数学（第三版）习题解答习题一1( 求下列函数的定义域:(1)要使函数有意义，需且只需，即或，所以函数 (x，2)(x,1),0y,(x，2)(x,1)x,,2x,1的定义域为。
(,,,,2],[1,，,)(2)要使函数有意义，需且只需，即，所以函数 y,arccos(x,3),1,x,3,12,x,4。
的定义域为[2,4]x,1x,1,0(3)要使函数有意义，需且只需且，或，所以函数的定 x，2,0x,,2x,1y,lgx，2x，2义域为。
(,,,,2),(1,，,)ln(2，x),0,ln(2，x),y,2，x,0(4)要使函数有意义，需且只需，解之得函数的定义域为。
[,1,0),(0,4),(4,，,),x(x,4),x(x,4),0,2,2,x,01x,(5)要使函数有意义，需且只需，解之得函数的定义域为。
y,，arcsin(,1)[0,2),22,,1,x/2,1,12,x,xsinx,0y,(6)要使函数有意义，需且只需，即函数的定义域为。
D,{xx,R,x,k,,k为整数}sinx1111122f(),,f(0),f(lg),1，lg,1，(lg2)2(解，，。
222221,0,x，,1,1112，，3f(x，)，f(x,)) 要使函数有意义，需且只需3(解(1 解之得函数的定义域为。
,,,,13333，，,0,x,,13,0,sinx,1(2)要使函数有意义，需且只需，即为整数，所以函数的定2k,,x,(2k，1),,kf(sinx)D,{xx,[2k,,(2k，1),],k为整数}义域为。
,1,1[e,1]e,x,1(3)要使函数有意义，需且只需，即，所以函数f(lnx，1)的定义域为。
0,lnx，1,1220,x,1[,1,1](4)要使函数有意义，需且只需，即，所以的定义域为。
f(x),1,x,1312sin332x2y,lgtan(x，1)4(解(1); (2) ; (3) ; (4) 。
定积分练习题+答案
x
arctan(cos x) 2
04
27
8.
1 x5e x2 dx =
1
答案: 0 .
由于被积函数是奇函数.
9.设 f ( x) 是连续奇函数,且
1 f ( x)dx 1,则
0
f ( x)dx =
0
1
答案: 1
1
0
因为 f ( x) 是连续奇函数, 则 f ( x)dx f ( x)dx 0
ln(1 t)dt
9. lim 0
=(
x0 1 cos x
(A) 1
(B) 2
).
(C ) 4
(D) 8
答案: C.
sin2 x
因为 lim 0 ln(1 t)dt lim ln(1 sin2x) 2cos 2x
x 0 1 cos x
x 0
sin x
lim 2cos 2x lim ln(1 sin2x) sin2x
x 0
x 0 sin2x
sin x
2 lim sin2x 2sin x cos x 4
x 0 sin2x
sin x
18
10.设 F( x)
x 0
1 1 t2
dt
1 x 0
1 1 t2
dt
,则Biblioteka ().( A ) F(x) 0
( B ) F(x)
2
( C ) F( x) arctan x ( D ) F( x) 2arctan x
0
0
(C ) 0
( D ) 以上都不正确
二、填空题
1. lim 1 xndx = n 0
b
a
2. f ( x)dx f ( x)dx =
定积分测试题答案
10． 令 ta n
3
t
2
2 5
a rc ta n
t 5
0
3 3
2 5 5
a rc ta n
15 15
试卷答案 第 2 页 （共 3 页）
11． 原 式
1 2
4 0
x d (ta n x )
1 2
x ta n x
4 0
2
1
4 0
sin x cos x
dx
1 4 ln c o s x 2 8 0
8
1 4
ln 2
四、证明 1． ( x )
x x
（2 小题，共 16 分）
( x 2t ) f (t )dt (t
0
u)
( x 2 u ) f ( u )( d u )
4 0
2 5
sin x
5
2 0
2 5
2． 原 式 x ln ( 1 x )
e 1 0
e 1 0
x 1 x
dx e 1
e 1 0
(1
1 1 x
)dx
e 1 x ln ( 1 x ) 0
e 1
1
3． 令 x sin t
2
1
0 1
1 t
2
2t
2
1 t
2
dt
1
1 2
( 1 ln ( 1 t )) 1
2 0
医学高等数学习题解答(第3章)
第三章 一元函数积分学习题题解(P108)一、判断题题解1. 错。
是原函数的全体，记作⎰+C dx x f )(。
2. 错。
)(x f 的任意两个原函数之差为常数。
3. 错。
是C x F +)(。
4. 正确。
5. 错。
被积函数在x =0处无界。
6. 正确。
x y sin ='，00='=x y7. 正确。
被积函数是奇函数，积分区间对称。
8. 正确。
二、选择题题解1. )()(x f x x x f -=--=-被积函数是奇函数，积分区间对称，定积分为零。
或⎰-11dx x x = ⎰⎰+--10212dx x dx x =130 133131x x +--=[]0)01(31)1(031=-+---。
(A )2.⎰+∞∞-+dx x 211=⎰∞-+0 211dx x +⎰+∞+0 211dx x =0 arctan ∞-x ++∞0arctan x =πππ=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--0220。
(A ) 3. 正确的是C 。
4.dx x f aa⎰-- )(xu dudx -=-=====令du u f aa⎰-- )(=dx x f aa⎰- )(。
(D )5. 令u ax b =-，du adx =-，du u f a dx ax b f ⎰⎰-=-)(1)(=C u F a +-)(1=C ax b F a+--)(1。
(B )6. 令xe x F -=)(，则xe xf --=)(，dx xe dx x xf x ⎰⎰--=)(=()⎰-x e xd =⎰---dx e xe x x =C x e x++-)1(。
(D )7.dt t x⎰+141u du u xut udu dt 21122⎰+========令=du u ux ⎰+1 121，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰dt t dx d x 1 41=x x +121。
(D ) 或⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰dt t dx d x 1 41=)()(14'+x x =x x xx +=+12121128.⎰'''dx x f x f )()(=⎰'')()(x f d x f =[][]C x f x f d +'='⎰22)(21)(21，2)(x e x f -=，22)(x xe x f --=' []C x f +'∴2)(21 =()C xe x +--22221=C e x x +-2222。
高等数学医药类教材答案
高等数学医药类教材答案第一章：导数与微分1.1 问题1. 求函数 $f(x)=2x^3-5x^2+3x-2$ 在点 $x=2$ 处的导数。
2. 对于函数 $f(x)=\sqrt{x} \cdot e^x$，求 $f'(x)$。
3. 对于函数 $f(x)=\sin(2x+1)$，求 $f''(x)$。
4. 求曲线 $y=e^x$ 在点 $(1, e)$ 处的切线方程。
5. 对于函数 $f(x)=\ln(\ln x)$，求 $f''(x)$。
1.2 答案1. $f'(x)=6x^2-10x+3$2. $f'(x)=e^x(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x})$3. $f''(x)=-4\sin(2x+1)$4. 切线方程为 $y=e(x-1)+e$5. $f''(x)=-\frac{1}{x(\ln x)^2}$第二章：定积分2.1 问题1. 计算定积分 $\int_0^{\pi} \sin x \cos x dx$。
2. 求函数 $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的定积分。
3. 求函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在区间 $[1, +\infty)$ 上的定积分。
4. 求曲线 $y=x^2$ 与 $y=4-x^2$ 之间的面积。
5. 求曲线 $y=\ln x$ 与 $y=x$ 的交点横坐标之和。
2.2 答案1. $\frac{1}{2}$2. $\frac{\pi}{2}$3. $\infty$4. $8$5. $1$第三章：多元函数微分学3.1 问题1. 求函数 $f(x,y)=2x^3+y^2-xy$ 在点 $(1,1)$ 处的偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$。
医用高等数学试题
医用高等数学试题1. 建模与微分方程某医院整理了一组病人的实验数据，发现他们在被注射某种药物后，体内药物浓度的变化可以用以下微分方程描述：\[ \frac{{dC}}{{dt}} = -kC \]其中，\( C \) 表示病人体内的药物浓度，\( t \) 表示时间，\( k \) 为常数。
请回答以下问题：a) 请解释该微分方程中各个参数的物理含义，并说明其单位。
b) 利用该微分方程及已知条件，求解出药物浓度 \( C \) 与时间 \( t \) 的关系式。
c) 若某位病人的初始药物浓度为 100 mg/L，且经过 2 小时后浓度下降至 50 mg/L，请计算该药物的半衰期。
2. 曲线拟合与概率某药物在人体内的分布情况可以用以下方程描述：\[ C(t) = \frac{{A \cdot e^{-k_1 \cdot t}}}{{1 + k_2 \cdot t}} \]其中，\( C(t) \) 为药物浓度，\( t \) 为时间，而 \( A \)，\( k_1 \)，\( k_2 \) 均为常数。
某研究小组通过实验得到了一组药物浓度的数据，并希望通过曲线拟合来估计未知的参数值。
请回答以下问题：a) 解释方程中各个参数的物理含义，并说明其单位。
b) 利用已有的实验数据，通过最小二乘法拟合曲线，求解未知参数的数值，并给出拟合的曲线方程。
c) 对于拟合得到的曲线方程，若药物浓度 \( C(t) \) 达到峰值后开始下降，在什么条件下浓度可以收敛到接近零的稳定值？3. 概率与统计某医院对一种特定疾病的诊断准确率进行了研究。
根据数据统计，一个人真正患有该疾病的概率为 0.05，而经过医院的诊断，诊断结果显示该人患有该疾病的概率为 0.98。
进一步，研究还发现该医院通过这种诊断方法错误地将一些没有该疾病的人诊断为患有该疾病，错误率为 0.03。
请回答以下问题：a) 若一个人在该医院被诊断患有该疾病，那么他真正患有该疾病的概率是多少？b) 若一个人在该医院被诊断不患有该疾病，那么他实际上可能患有该疾病的概率是多少？c) 利用统计学相关知识，你认为在这种情况下，该医院的诊断方法的可靠性如何评价？有何改进的建议？4. 误差分析与可行性研究某医疗设备用于测量患者体内某种物质的浓度，设备测得的浓度值与实际浓度存在误差。
定积分练习参考答案
第五章 定积分一．判断题 1.定积分的定义=⎰badx x f )(ini ix x f i ∆∑=→∆)(10lim ξ说明[]b a ,可任意分法，iξ必须是[]i i x x ,1-的端点．（ ⨯ ） 2.定积分的几何意义是相应各曲边梯形的面积之和． （ ⨯ ） 3.xdx x xdx x 2sin 22sin 022⎰⎰=-πππ（ ⨯ ） 4. 定积分的值是一个确定的常数.（ √ ）5 若(),()f x g x 均可积，且()()f x g x <，则()()bbaaf x dxg x dx <⎰⎰ （ ⨯ ）6. 若()f x 在[],a b 上连续，且2()0baf x dx =⎰，则在[],a b 上()0f x ≡ （ √ ）7.若[][],,c d a b ⊂，则()()db caf x dx f x dx <⎰⎰ （ ⨯ ）8. 若()f x 在[],a b 上可积，则()f x 在[],a b 上有界 （ √ ）9. 21111112-=-=--⎰xdx x ( × )10. ⎰⎰==+ππ20200cos 22cos 1xdx dx x ( × )11.()()1ln 2ln ln 11212---==----⎰x dx x ( × ) 12. 若被积函数是连续的奇函数，积分区间关于原点对称，则定积分值必为零。
( √ )二．选择题1.下列等式中正确的是(B )(A) ()()x f dx x f dx d ba =⎰ (B) ()()x f dx x f dxd =⎰ (C)()()()xa d f x dx f x f a dx=-⎰ (D) ()()x f dx x f ='⎰ 2.已知()dt t x f x⎰+=222,则()='1f ( A )(A)3- (B)36- (C)3 (D)63- 3.设函数()dt t y x⎰-=1,则y 有( B )(A) 极小值21 (B) 极小值21- (C) 极大值21(D)极大值21- 4.设b a ,为常数,若1sin 1lim 02220=+-⎰→dt ta t x bx x x ,则( B )(A)1,4==b a (B) 1,2==b a (C)0,4==b a (D)1,2==b a 5．1-=⎰（ B ）； A ．3π B ．23π C ．43π D ．53π6．524x dx -=⎰（ C ）； A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 7．设()f x '连续，则变上限积分()xa f t dt ⎰是（ C ）；A ．()f x '的一个原函数B ．()f x '的全体原函数C ．()f x 的一个原函数D ．()f x 的全体原函数8．设函数()f x 在[,]a b 上连续，则由曲线()y f x =与直线,,0x a x b y ===所围平面图形的面积为（ C ）；A ．()ba f x dx ⎰ B ．()baf x dx ⎰C ．()baf x dx ⎰D ．()(),f b a a b εε-<<9．定积分()baf x dx ⎰是（ A ）； A 、一个常数 B 、()f x 的的一个原函数 C 、一个函数族 D 、一个非负常数10．下列命题中正确的是（ D ）（其中()f x ，()g x 均为连续函数）。
中专医学数学考试题及答案
中专医学数学考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是函数y=f(x)的奇函数？A. f(-x) = f(x)B. f(-x) = -f(x)C. f(-x) = xD. f(-x) = -x答案：B2. 求下列哪个函数的导数是f'(x) = 3x^2？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^3 + 1C. f(x) = x^3 - 1D. f(x) = 3x^3答案：D3. 以下哪个选项是复数z = 3 + 4i的共轭复数？A. 3 - 4iB. -3 + 4iC. -3 - 4iD. 3 + 4i答案：A4. 已知等差数列的前三项分别为2，5，8，那么第四项是多少？A. 11B. 12C. 13D. 14答案：A5. 圆的标准方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心坐标为？A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 函数y = 2x + 1在x = 2处的值为______。
答案：52. 等比数列的第二项为3，第三项为6，公比为______。
答案：23. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，则直线与圆的位置关系是______。
答案：相切4. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值为______。
答案：05. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，则向量a与向量b的点积为______。
答案：-7三、计算题（每题5分，共15分）1. 计算定积分∫(0到1) (3x^2 - 2x + 1) dx。
答案：(1/3x^3 - x^2 + x) | 0到1 = 4/3 - 1 + 1 = 1/32. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15在x = 2处的导数值。
答案：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9，f'(2) = 3(4) - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -33. 已知函数f(x) = sin(x)，求f'(x)。
医药高等数学试题及答案
医药高等数学试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) 的零点是：A. 1B. 2C. 3D. 42. 曲线 \( y = e^x \) 在 \( x = 0 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. \( e \)D. \( e^2 \)3. 以下哪个函数是奇函数：A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = x^4 \)D. \( f(x) = \sin(x) \)4. 以下哪个积分是发散的：A. \( \int_0^1 \frac{1}{x} dx \)B. \( \int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx \)C. \( \int_0^\infty e^{-x} dx \)D. \( \int_0^\infty \frac{1}{x} dx \)5. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式是：A. 5B. -2C. 7D. -5二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数是 ________。
2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是________。
3. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) 的极值点是 ________。
4. 函数 \( y = \ln(x) \) 的反函数是 ________。
5. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) 的逆矩阵是 ________。
三、解答题（每题10分，共30分）1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) 的极值点和极值。
医学高等数学教材课后答案
医学高等数学教材课后答案本文为医学高等数学教材课后答案。
根据题目要求，本文将按照合适的格式进行撰写。
1、导数与微分(1) 题目：计算函数f(x)=3x²+2x-1的导数。
答案：f'(x)=6x+2。
(2) 题目：计算函数f(x)=sin(x)cos(x)的导数。
答案：f'(x)=cos²(x)-sin²(x)。
2、积分与微积分应用(1) 题目：计算∫(4x+3)dx的不定积分。
答案：∫(4x+3)dx=2x²+3x+C。
(2) 题目：计算∫[0,1] (x²+3x-2)dx的定积分。
答案：∫[0,1] (x²+3x-2)dx= [1/3x³+3/2x²-2x] [0,1] = 14/6。
3、级数(1) 题目：判断级数∑(1/n)是否收敛。
答案：由调和级数性质可知，级数∑(1/n) 发散。
(2) 题目：计算级数∑(n²/2^n)的和。
答案：利用幂级数展开，将∑(n²/2^n)转化为∑(n²(1/2)^n)。
然后利用幂级数的求导公式进行求解。
4、微分方程(1) 题目：求解微分方程 dy/dx=2x-1。
答案：通过分离变量和积分的方法，得到 y=x²-x+C，其中C为常数。
(2) 题目：求解微分方程 d²y/dx²+y=0。
答案：根据特征方程r²+1=0解得r=±i，即通解为 y=C₁sinx +C₂cosx。
5、多重积分(1) 题目：计算二重积分∬[D] (3xy+2y)dA，其中D为区域=x²+y²≤1。
答案：利用极坐标变换，将二重积分转化为极坐标下的积分，再进行计算。
(2) 题目：计算三重积分∭[D] (x²+y³+z)dV，其中D为区域=0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1。
答案：直接按照给定的积分区域进行计算即可。
医用数学定积分试题与答案
不定积分一、填空题1 .若f(x)dx是f(x)的原函数，则—[f(x)dx] =dx '2 .若F(x)是F'(x)的原函数,则F'(x)dx= ___________3 . 3dx= _______4 . (2x x2)dx= ________15 . ^dx =x6 . 6e x dx = _______7 . (e x -3cos x)dx = ________x4_8 . 2dx=十x ----------------19 . ——dx ='3+2x ------------------------In x ,10 . dx =x11. 2sin 2xdx = _______12、. e7x dx = ______213 . . 2xe x dx = ______14 . — dx =T+2x -----------------------115 . J 丁-- dx = ______L J1 _2x16 . sin3 xdx = _______17 .设e"是f(x)的一个原函数，则.xf(x)dx= __________I18 .设f(x)=「，则=Mdx= ___________x二、单项选择题1 .设I 二(5x 7)3dx,则I 二()1A 3(5x 7)2cB 6(5x 7)2cC (5x 7)4 cD 201—(5x 7)4 c102 .设I 二a3x dx,则I 二()1 a3x iA ------- cB -1 n a a3x c3 In a 3 13x13xa c D - a c In a 33 .设I Jdx,则1二()2 +5x- 5A —In |2 5x1 2 3 | cB —In |2 5x21 c2 21 2D In |2 ■ 5x | c1024 .设I 二cos-xdx,则1二()32 2cos x c3 35 .设I 二j e s，nx cosxdx ,则丨二()A e sinx - cB sin x _e c cosxC e c cosxD -e c6.设I 14dx,则［x=()A -4x cB 1 3 cC -1 x3 cD 1X’ c3x 3 37 .设I = sin x cosxdx，贝卩I- ()A -1si n2x cB - cos2 x c 1C cos2x c2 2 4cos2x c48 .若f(x)dx = x2e2x c,则f(x)二()1A cB xIn x cx10 .设I = arctan xdx,则I =(A xarctanx - In，x21 c1C xarcta n x x2 1 c23 .设I 二xsin xdx,贝y I =()A x cos x sin x cB -x cos x sin x c D xcosx -sin x c CA -si n-x c3 3 B 3si n2x c2 33cos2x c2 3C 11n|2 5x2 | c5A 2xe2xB 2x2e2xC xe2xD 2xe2x(1 x)9 .设 1 = .In xdx ,则I 二()C xln x - x cD - (In x)2 c2)B xarctanx-ln x +1 +cD -1 cX2+1C - xs in x sin x c12 .设 f(x)dx 二 F(x) C ,则 e-x f(e*)dx 二()AF(e x ) cB -F(e 」)c CF(eJ cF(eJc5(2 _x)2dx 2x2dx1 x 21e x2dxxsin 3xdx1 dx e e x . x 1dx ‘ 1 --- ---- :—dx x 3 x 23(1-x 2)%x1 形dx (1 x 2)22 2x _a 」 dx x1 . —dx ■- 9x 2-4 . 1csccos xdx In x厂dxxx 2e^dx x 3(ln x)2dx e x sin xdx sec xdx1.2 .3 .4 .5 . 6、 7 . 8 . 9 . 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20x三、 计算题________ dx 9x 2 -6x 7 2ln(x 1)dx xe x dx21 .e x dx22 .In In x , dxx23 .xsin x cosxdx24 . 2 x In xdx第五章定积分及其应用一、填空题1 .由〔a,b 1上连续曲线厂f x，直线x = a,x二b a ：b和x轴围成的图形的面积为 ________2 . — sin x2 1 dx 二dx3 .设 F x 1 • tdt ,则 F x =x14 .利用定积分的几何意义求.0xdx二______~25 .积分 1 x 2ln xdx 值的符号是3316 .定积分02 si n 4x —si n 5xdx 值的符号是 __________227 .积分I —」nxdx 与I ?二.」n 2xdx 的大小关系为 ________448 .积分h 二」nxdx 与J - 3I n 2xdx 的大小关系为 9 .区间b,d 丨a, b 】,且f X 0,则I — b f x dx 与I^ " f x dx 的大1- a ‘ ■ c小关系为 _______10 . f x 在!-a,b 1 上连续，则 f X dx =J f x dx11 .若在区间〔a,b 1 上,f x -0 ,则：f x dx ______________ 0 12 .定积分中值定理中设f x 在＞a,b 1上连续，则至少存在一点-三 i ：a,b ，使得 f 二 _____213 .设 F X = ； e J dt, x .0,则 F x 二 _________ F = sin 3tdt,「x 可导,则 F x =x. ”f x = t t-1dt ,则f x 的单调减少的区间是19 __________________________________________ .函数f x = 0 _dt 在区间〔0,1】上的最大值是 ____________________ ,最1 _t +1小值是 _______1七3C20 .设 f x = r sin t dt ,则 f x 二 _____________21 .设F x 是连续函数f x 在区间'-a,b 】上的任意一个原函数,b贝廿 f x dx = __________ax_^^_dt =dx 0 1 cos t14 . 15 . 16 . 17 .18 .X.1 t 2dtx oSintdt122 . 2x3x dx 二5 --------------- 23 . 2COSxgm X dX =______~2C .D .设f x 在1,31上连续,则M-\^sin 2 xdx 二2cos 2 xdx =0 1 02兀a31 .设 f x 在 I -a,a 上连续,则』sinx || f x f -x dx =x 1,x ：： 0132 .设f x = 2冲则」x dx= _________x , x H O -1 f一兀)cosx, x,0133 .设 f (x )=$1 2 丿，计算f (x )dx w 10,1 ]34 .若广义积分1 =dx 发散,则必有q _______________1x 35 .若广义积分f^dx 收敛,则必有Px36 .反常积分 0 xe^ dx ^ ____________110-； p dx 二 ---------- 1 - x曲线y = x 2,y 2=x 所围成的图形的面积为 _________ 曲线y = 2sin2x,y=1,x = 0,x = ；所围成的图形的面积为 ________ 二、单项选择题1 .函数f x -0,x 〔a,b 1且连续,则y= f x ,x 轴,x = a 与x 二b 围成图 形的面积s=()bA . f x dxaa J o sinxdx =_e 2dx _1x d In x ■5x sin x5 4 dx 二 51 x f b f a b-aC .J f (x )dxax =4 42 . I i = J In xdx , I? = J In2xdx,则h 与 J 大小关系为(3 3A .C .D .3. f x连续，l=t0t ftxdx,则下列结论正确的是（）A . I是s和t的函数B. I是s的函数 C . I是t的函数 D . I是常数4 . f x连续且满足fx = f 2 a x a 0, c 为任意正数,则c工 f a-x ck=()cA . 2J0f(2a-x)dx Bc. 2 [ f (2a - x )dxcC . 2 J0 f (a -x )dxD . 0e^5 . f(x 连续，F(x)=[ Wdt,则L(x)=()A . -e~ f - f xB . -e "f e-x f xC . e^f e-x - f XD. e^f e^ f xX26.设 1 x 二sintdt ,则I x =(u x ')A . COS X2「COS XB c 2. 2xcosx -cosxC . 2xsin x2-sin xD .2xsin x2 sin x7 .当x > 0 时,f x i；二：0sint2dt 与g x A x3• x4比较是（）A .高阶无穷小B .低阶无穷小C .同阶但非等价无穷小 D .等价无穷小8. f x / x在点x=0的某邻域内连续，且当x > 0时,f x是•• xX . ” X的高阶无穷小,则x T 0时,f o f（t）sintdt是J。
医用高等数学定积分习题精讲
医用高等数学定积分习题精讲习题五习题五1. 由定积分的几何意义计算下列定积分（1）2π 0 0sinxdx；（2）R πx；（3）3xdx；1（4）cosxdx.π 02π1. 解：由定积分的几何意义（1）（2）2π 0 R R 0sinxdxsinxdxsinxdx A ( A) 0R Rx122 R（3）3xdx1 π（4）cosxdxπ2cosxdxπ2cosxdx A ( A) 02. 用定积分的定义，计算由曲线y x2 1与直线x 1,x 4及x轴所围成的曲边梯形的面积.解：因为被积函数f(x) x2 1在[1，4]上是连续的，故可积，从而积分值与区间[1，4]的分割及点i的取法无关. 为了便于计算，把区间[1，4]分成n等份，每个小区间的长度都等于3n，分点仍记为1 x0 x1 x2 xn 1 xn 4并取i xi(i 1，2，，n)，得积分和nni 1f( i) xii 1( i 1) xi27n3n2i 12(xi 1) xi 18n 2n2((i 13in+1) 1)23ni 1i 6i 119n32n(n 1)(2n 1)181n22n(n 1) 692(11n)(21n) 9(11n) 6令n （此时各小区间的长度都趋于零，故0），对上式取极限，由定积分的定义，得n(x+1)dx lim2(i 12i1) xi lim[n92(11n)(21n) 9(11n) 6] 243. 判断下列式子是否一定正确（1）f(x)dx≥0（其中f(x)≥0）；a b（2）b af(x)dx≥b af(x)dx(a b).3. 解：（1）不一定正确，这是因为题中未指明a与b的大小关系. 当a b 时，有f(x)dx≥0；当a b时，有f(x)dx 0.aabb（2）一定正确.由定积分的性质，已知a b，f(x) f(x)，则4. 试比较下列各组积分值的大小，并说明理由（1）xdx，x2dx，x3dx；111b af(x)dx≥b af(x)dx.334 4 4 31lnxdx；（3）xdx，ln(1 x)dx，exdx.1 1 14. 解：（1）当x [0,1]时，有x x2 x3，因此xdx0 11 0xdx21 0xdx.3（2）当x [3,4]时，有lnx 1，(lnx)2 lnx 因此(lnx)2dx 3 41lnx，34 31lnxdx5. 计算（1）limx 0x 0(1 cost)dtx sinx；（2）limx 0x 0(1 cost)dttanx x3.解：（1）根据洛必达法则和积分上限函数导数的性质limx 0x 0(1 cost)dtx sinx31 cosx1 cosx3x 02lim(1 cosx cosx) 3 x 0（2）同理limx 0(1 cost)dttanx x 3x 0lim1 cosxsecx 1223x 0lim3cosxsinx2tanx4lim3cosxsinx2secxtanxsecx 1xx 0x 0326.求ytdt(x 0)的导函数y (x). 221x2解：y (x) [1costdtx2tdt] [costdt2tdt]2cos21x(1x)21x2cos21xx7. 计算下列定积分（1）(x2 1 31x2)dx；解：（1）(x21 3***** (x ) )dx92x33x1（2）（3 ）441dx9 4 x)dx ( 233x212x)29445164 1t 24 22t,x ,dx t231118x1tt 2)dt [ 2t83 （4）x2t,x t 1,dx 2tdt 5x1 1π1220t2t 10 12[t-arctant]202 [121t 12]dx 4 2arctan2（5）xxdx x2dx （6）2π 2e1 0xdx=02sinxdx10 π2πsinxdx 2sinxdx=2（7）1lnxdx 1lnxdx 1lnxdx [xlnx ee1dx] xlnx e1e1e1dx 2-1e（8）x3xx 2433xxxx2cosx 43cos2x2（9）ln2 0e(1 e)dx xx2ln2 0(e 2ex2x+e)dx (e e 2x+13e)3x613（10）1 x1 1x0 110x212(1 x)12(1 x)2133(1 x)2|e 120 1133(1 x)2|0 212312lnx2（11）2 lnxxdxe 12 lnxdlnx 2lnx e52（12）令ln 0ln 0x2t,x ln(t 1),dx l 022tt 12dtat2t 1dt 2(t arctant) 2π2（13）xx令x asint,dx acostdt x 0ax2222= 2asint acostdt 0 =a28a220[1 cos4t]dt sin2tdt=4a220=8[tsin4t2 ]2 =0 a162 （14 ）210xt22t2101t 1 1t 1 t11 t]dt2ln2-12 [t 12[t22t ln(1 t)] 4（15）令t,dx 2tdt e 34 02 0tdt1 t2 22 0(t 1 1)1 tt 2 (1211 t)dt=2(t ln(1 t)) 20=4 2ln3（16）1e 1332（17）1xxcostsint 224t21 sintsint 224t2[1sint21]dt4[ cott t] π5214（18）2cosxsin2xdx20cosx2sinxdx 2 2cosxdcosx 66272（19）π 0excosxdx1π 0xdsinx xsinx21π 0sinxdx cosxe0 e 1（20）xlnxdx 121 0e 1lnxdxx12xlnxx12e12e1xdx12e212exdx14(e 1) 2e2（21）xe xdx 1xd( e) xe1 0xdx e11 0xdx 1（22）2xcosxde2x2x020e2xsinxdx edcosx e 22xcosx220e2xcosx2 2 2e cosxdxe2x22x2x2x2x0cosx2 2 edsinx e cosx2 2esinx2 4 2e sinxdx20e2xsinxdx15[ e2x2xcosx2 2esinx2]25e15（23）arctanxdx 1xarctanx0010x1 x2x2(x 1)xarctanx1211 x122xarctanx3ln(x 1)2412ln2（24）令x2t,x t 1,dx 2tdt 30x22lnttx 022tdt 4 lntdt 4[tlnt12221dt] 4[tlnt2 t2] 8ln2 48. 求函数I(x)3t 1t t 1dt在区间[0，1]上的最大值与最小值. 解：被积函数f(t) I (x)3x 1x x 123t 1t t 12在[0，1]上连续，因此I(x)x 023t 1t t 1dt可导.0，因此I(x)x 023t 1t t 1dt在[0，1]上为增函数.将x 0,1代入求得最小值为I(0) 0，最大值为I(1) 9. 试证（1）xm(1 x)ndx1 01 023t 1t t 1dt.11 0x(1 x)dxnm证明：令x 1 t，则x(1 x)dx (1 t)ntmdtmn1 0(1 t)tdt nm1 0(1 x)xdxnm（2）11 t21dtx 111 t2dt证明：令t 1u，则1121 x 11 t 2dt 1 1x (1u 2)du 1 1 12x1 u du 1x 11 u 21 du 1x21du1x11 t21dt（3）sinxdx2nππ2cosxdx.n证明：令xπ2t，则2 0sinxdx πcosxdxπ2ncosxdx10. 判断下列广义积分的收敛性，若收敛，则算出广义积分的值（1）1dxx4解：收敛.1dxx413x3113（2）1解：发散. （3）edxx(lnx)解：收敛.edxx(lnx)2edlnx(lnx)21lnxe1（4）发散（4 ）ex解：发散（5）1arctanxx2dx解：收敛.1arctanxx1 1arctanxd( arctanxd( 11x1x) )11xarctanxx1x1 x12dx41(1x1 x2)dx π4 12ln2ln+ -2（6）dxx 2x 2 解：收敛. + -2dxx 2x 2a 0+ -d(x 1)(x 1) 1 2arctan(x 1) + -（7）解：收敛 .2 1a 0d(x) arcsinxaa02（8）解：收敛. 令x sect，则（9）1 12 1arcsec2 arcsec1dt3dxx(x 2)解：发散（10）e 1解：收敛.e 1e 1arcsin(lnx)e1211.用抛物线线法计算x的近似值（取n 10，计算到小数点后三位）.解：简要步骤如下：（1）用分点0 x0，x1，x2，xi，，x9，x10 1，把区间[0，1]10等分，每个小区间的长度为x110，并用yi表示函数y f(x)在分点xi处的函数值，相应的曲线被分成10段，曲线上的分点为Mi(xi,yi)(i 1，2，，10).（2）将通过相邻三点M0M1M2，M2M3M4，，M8M9M10的曲线段，分别用过该三点的抛物线2y px qx r的弧段代替.（3）计算各抛物线弧段下面的面积，设通过M0(x0，y0)，M1(x1，y1)，M2(x2，y2)三点的抛物线方程为则曲线弧段下的面积为S1x2 x02y px qx r(px qx r)dx (213px312x2qx rx)x02p3(x2 x0)33q2(x2 x0) r(x2 x0)22q p2 2(x2 x0) (x2 x2x0 x0) (x2 x0) r 2 31616(x2 x0)[2px2 2px2x0 2px0 3qx2 3qx0 6r]22(x2 x0)[(px2 qx2 r) (px0 qx0 r) p(x2 x0) 2q(x2 x0) 4r]222因为12(x2 x0) x1即x0 x2 2x1且M0，M1，M2都在抛物线上，故它们的坐标都满足方程（5 13），即px2 qx2 r y2222将它们代入上式，化简便得S1x2 x06px1 qx1 r y1px0 qx0 r y0(y2 4y1 y0)b a30(y2 4y1 y0)同理，可分别算出M2M3M4，，Mn 2Mn 1Mn各抛物线弧段下面的面积为S2 S3 S5b a30(y10 4y9 y8)b a30b a30(y4 4y3 y2)(y6 4y5 y4)（4）将S1，S2，，S5加起来，就得曲线梯形面积的近似计算公式x130[y0 4(y1 y3 y9) 2(y2 y4 y8) y10] 1.08912. 求由抛物线y x2 4x 5，直线x 3，x 5及x轴所围成图形的面积. 解：所围成图形的面积A53x 4x 5dx213x 2x 5x32531013. 求由抛物线y 3 2x x2与x轴所围成图形的面积. 解：先求抛物线y 3 2x x2与x轴交点，得x 3,1.所围成图形的面积A1 33 2x xdx 3x x2213x313102314. 求由曲线y ex，y e x及直线x 1所围成图形的面积.解：先求曲线y ex，y e x及直线x 1所围图形的交点，得(0，1)，(1，e 1)与(1，e).所围成图形的面积A10e ex xdx e exe1e215. 求由曲线y x2与直线y x,y 2x所围成图形的面积.解：先求曲线y x2与直线y x,y 2x的交点，得(0，0)，(1，1)和(2，4) 所围成图形的面积分为两部分，图略.A A1 A212 23 762x131[2x x]dx21[2x x]dx21xdx21[2x x]dx20[x2x3]216. 求由抛物线y x2 4x 3及其在点(0，3)和点(3，0)处的切线所围成图形的面积.解：先求抛物线在点(0，3)和点(3，0)处的切线方程y 2x 4，y (0) 4，y (3) 2，从而两切线方程为y 4x 3和y 2x 6.再求抛物线y x2 4x 3和两切线方程y 4x 3，y 2x 6的交点为(0，3)，33)，图略. (3，0)和(，2将所围图形的面积分为两部分3A A1 A2320[4x 3 ( x 4x 3)]dx 3[ 2x 6 ( x2 4x 3)]dx2320xdx 3x2 6x 9dx22398989417. 求下列曲线围成的图形绕指定轴旋转所产生的旋转体的体积. （1）y x2，x y2，绕x轴；解：y x2与x y2所围的图形在第一象限，交点为(0，0)和(1，1).所围图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为V1dx (x)dx=2221.（2）y x2，y x，绕x轴；解：y x2与y x所围的图形在第一象限，交点为(0，0)和(1，1). 所围图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为V10xdx (x)dx=2221215.（3）yrhx，x hrhx（r，h＞0）及x轴，绕x轴；解：曲线y 与x h的交点为(h ，r).所围图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为V(x)dx ()hhr2r2h0xdx2hr32.（4）x2 (y 5)2 16，绕x轴.解：将圆x2 (y 5)2 16分成两部分，分别绕x轴旋转，然后作差. 则旋转体的体积为V4244 425)dx(5)dx424(41 x x (41 x x 104424 x 16018. 弹簧所受压力与所压缩距离x成正比，F k x（k为比例常数）. 今有一弹簧原长为1m，每压缩1cm需5g力，若弹簧自80cm压缩到60cm 时，问做功多少？（取1kg 10N）.解：由题意描述，0.01k 10 5/1000，计算比例常数k 50.那么弹簧自80cm压缩到60cm时，压缩位移由20cm变为40cm，弹簧力做功为W0.4 0.20.4 0.20.4 0.2Fdsf(x)dxkxdx 3(J)。
医用高等数学习题指导答案
医用高等数学习题指导答案医用高等数学习题指导答案在医学领域中，数学作为一门重要的工具学科，被广泛运用于各种医学研究和临床实践中。
医用高等数学作为医学生的必修课程之一，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
然而，由于数学知识的抽象性和复杂性，许多医学生在学习过程中会遇到困难。
因此，本文将为医用高等数学习题提供一些指导答案，帮助医学生更好地理解和掌握数学知识。
一、导数与微分1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x的导函数f'(x)。
解：首先，我们需要使用求导法则来求解该题目。
根据求导法则，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a为常数，n为自然数，其导函数为f'(x) = anx^(n-1)。
因此，对于本题目中的函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x，我们可以得到其导函数为f'(x) = 3x^2 + 4x - 3。
2. 求函数f(x) = sin(x) + cos(x)的导函数f'(x)。
解：对于三角函数的求导，我们需要使用三角函数的导数公式。
根据导数公式，sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)。
因此，对于本题目中的函数f(x) = sin(x) + cos(x)，我们可以得到其导函数为f'(x) = cos(x) - sin(x)。
二、积分与定积分1. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x的不定积分F(x)。
解：不定积分是求函数的原函数，即求导的逆运算。
根据不定积分的求解方法，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a为常数，n为自然数，其不定积分为F(x) = (a/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为常数。
因此，对于本题目中的函数f(x) = 3x^2+ 2x，我们可以得到其不定积分为F(x) = x^3 + x^2 + C。
2. 求函数f(x) = e^x的定积分∫[0,1]f(x)dx。
医学高等数学(第二版)第三章习题解答
第三章 一元函数积分学习题题解(P108)一、判断题题解1. 错。
是)(x f 的所有原函数。
2. 错。
)(x f 的任意两个原函数之差为常数。
3. 错。
是C x F +)(。
4. 正确。
5. 错。
被积函数在x =0处无界。
6. 正确。
x y sin ='，00='=x y7. 正确。
被积函数是奇函数，积分区间对称。
8. 正确。
二、选择题题解1. )()(x f x x x f -=--=-被积函数是奇函数，积分区间对称，定积分为零。
或⎰-11dx x x =⎰⎰+--12012dx x dx x=1030 133131x x+--=[]0)01(31)1(031=-+---。
(A ) 2.⎰+∞∞-+dx x 211=⎰∞-+0 211dx x +⎰+∞+0 211dx x =0 arctan ∞-x ++∞0arctan x =πππ=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--0220。
(A ) 3. 正确的是C 。
4. dx x f aa⎰-- )(xu dudx -=-=====令du u f aa⎰-- )(=dx x f aa⎰- )(。
(D )5.)()(1)(ax b d ax b f a dx ax b f ---=-⎰⎰=C ax b F a+--)(1。
(B ) 6. 令x e x F -=)(，则x e x f --=)(，dx xe dx x xf x ⎰⎰--=)(=()⎰-x e xd =⎰---dx e xe x x =C x e x++-)1(。
(D )7.⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰dt t dx d x 1 41=)()(14'+x x =x xx x +=+1212112。
(D ) 8. ⎰'''dx x f x f )()(=⎰'')()(x f d x f =[][]C x f x f d +'='⎰22)(21)(21，2)(x e x f -=，22)(x xe x f --='[]C x f +'∴2)(21 =()C xe x +--22221=C e x x +-2222。
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不定积分一、填空题1．若()d f x x ⎰是()f x 的原函数,则d[()d ]d f x x x⎰= 2．若()F x 是'()F x 的原函数,则'()d F x x ⎰= 3．3d x ⎰= 4．2(2)d x x x +⎰= 5．21d x x ⎰= 6．6d x e x ⎰= 7．(3cos )d x e x x -⎰=8．42d 1x x x+⎰= 9．1d 32x x +⎰= 10．ln d xx x ⎰=11．2sin 2d x x ⎰= 12、7d x e x ⎰= 13．22d x xe x ⎰= 14．1d 12x x+⎰= 15．x = 16．3sin d x x ⎰=17．设x e -是()f x 的一个原函数,则()d xf x x ⎰= 18．设()f x =xe -,则'(ln )d f x x x⎰= 二、单项选择题1．设3(57)d I x x =+⎰,则I =（ ） A 23(57)x c ++ B 26(57)x c ++ C 41(57)20x c ++ D 41(57)10x c ++ 2．设3d x I a x =⎰,则I =（ ）A 313ln x a c a +B 31ln 3x a a c ⋅+C 31ln x a c a+ D 313x a c + 3．设2d 25xI x x =+⎰,则I =（ ） A 21ln |25|2x c ++ B 25ln |25|2x c ++ C 21ln |25|5x c ++ D21ln |25|10x c ++ 4．设2cos d 3I x x =⎰,则I =（ ）A 22sin 33x c +B 32sin 23x c +C 32cos 23x c +D 22cos 33x c + 5．设sin cos d x I e x x =⎰,则I =（ ）A sin x e c +B sin x e c -+C cos x e c +D cos x e c -+ 6．设41d I x x=⎰,则I =（ ） A 54x c --+ B 313c x -+ C 313x c -+ D 313x c -+7．设sin cos d I x x x =⎰,则I =（ ）A 21sin 2x c -+B 21cos 2x c +C 1cos 24x c +D 1cos 24x c -+8．若22()d x f x x x e c =+⎰,则()f x =（ ）A 22x xeB 222x x eC 2x xeD 22(1)x xe x + 9．设ln d I x x =⎰,则I =（ ）A 1c x +B ln x x c +C ln x x x c -+D 21(ln )2x c + 10．设=arctan d I x x I =⎰，则（ ）A arctan x x c -B 2arctan ln 1x x x c -++C ()21arctan 12x x x c +++ D 211c x ++ 11．设sind I x x x =⎰,则I =（ ）A cos sin x x x c ++B cos sin x x x c -++C sin sin x x x c -++ Dcos sin x x x c -+12．设()d ()f x x F x c =+⎰,则()d x x e f e x --=⎰（ ）A ()xF e c + B ()xF e c --+ C ()xF e c -+ D ()x F e c x-+ 三、计算题 1．52(2)d x x -⎰ 2．22d 1xx x +⎰ 3．12d xex x⎰4．3sin d x x ⎰ 5．1d x xx e e -+⎰6、x ⎰ 7．x8．322(1)d x x --⎰ 9．221d (1)x x +⎰10．x 11．x12．x13．2ln(1)d x x +⎰14．d x xe x ⎰ 15．csccos d x x ⎰ 16．2ln d x x x⎰17．2d x x e x -⎰ 18．32(ln )d x x x ⎰ 19．sin d x e x x ⎰ 20．3sec d x x ⎰21．x ⎰ 22．ln ln d xx x⎰23．sin cos d x x x x ⎰ 24．2ln d x x x ⎰第五章 定积分及其应用一、填空题1．由[],a b 上连续曲线()y f x =,直线(),x a x b a b ==<和x 轴围成的图形的面积为2．()2d sin 1d d ba x x x +=⎰3．设()xF x t =⎰,则()F x '=4．利用定积分的几何意义求10d x x =⎰ 5．积分1213ln d x x x ⎰值的符号是6．定积分()4520sinsin d x x x π-⎰值的符号是7．积分211I ln d x x =⎰与2221I ln d x x =⎰的大小关系为8．积分413I ln d x x =⎰与4223I ln d x x =⎰的大小关系为9．区间[][],,c d a b ⊂,且()0f x >,则()1I d b af x x =⎰与()2I d dcf x x =⎰的大小关系为10．()f x 在[],a b 上连续,则()d baf x x =⎰ ()d abf x x ⎰11．若在区间[],a b 上,()0f x ≥,则()d baf x x ⎰ 012．定积分中值定理中设()f x 在[],a b 上连续,则至少存在一点(),a b ξ∈,使得()f ξ=13．设()20,0x F x t x =>⎰,则()F x '=14．220d sin d d 1cos x t t x t =+⎰15．设()()()33sin d ,x F x t t x ϕϕ=⎰可导,则()F x '=16．0limx t x→=⎰17．02sin d limx x t t x →=⎰18．设()()01d x f x t t t =-⎰,则()f x 的单调减少的区间是19．函数()203d 1x tf x t t t =-+⎰在区间[]0,1上的最大值是 ,最小值是20．设()3131sin d x f x t t +=⎰,则()f x '=21．设()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的任意一个原函数,则()d b af x x =⎰ 22．1023d x x x ⋅=⎰23．sin 22cos d x xe x ππ-=⎰24．设()f x '在[]1,3上连续,则()()321d 1f x x f x '=+⎰25．2x ππ=⎰26．20cos d x x π=⎰27．2101d 1x x e x e -=-⎰28．20sin d x x π=⎰29．21e =⎰30．23545sin d 1x xx x -=+⎰ 31．设()f x 在[],a a -上连续,则()()sin d aax f x f x x -+-=⎡⎤⎣⎦⎰ 32．设()21,0,0x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩,则()11d f x x -=⎰33．设()[]cos ,,02,0,1x x x f x e x π⎧⎡⎫∈-⎪⎪⎢=⎣⎭⎨⎪∈⎩,计算()12d f x x π-=⎰ 34．若广义积分11d q x x +∞⎰发散,则必有q 35．若广义积分101d p x x ⎰收敛,则必有p36．反常积分2d x xex +∞-=⎰37．1x =⎰38．曲线22,y x y x ==所围成的图形的面积为39．曲线1sin 2,1,0,22y x y x x π====所围成的图形的面积为二、单项选择题1．函数()[]0,,f x x a b ≥∈且连续,则()y f x =,x 轴,x a =与x b =围成图形的面积s =( ) A ．()d baf x x ⎰ B ．()d baf x x⎰C ．()d baf x x ⎰D ．()()()2f b f a b a +-⎡⎤⎣⎦ 2．413I ln d x x =⎰,4223I ln d x x =⎰,则1I 与2I 大小关系为( )A ．≥B ．≤C ．>D ．< 3．()f x 连续,()0I d s t t f tx x =⎰,则下列结论正确的是( )A ．I 是s 和t 的函数B ．I 是s 的函数C ．I 是t 的函数D ．I 是常数4．()f x 连续且满足()()2,0f x f a x a =-≠,c 为任意正数,则()d ccf a x x --=⎰( )A ．()022d c f a x x -⎰ B ．()22d c cf a x x --⎰ C ．()02d cf a x x -⎰ D ．05．()f x 连续,()()d xe xF x f t t -=⎰,则()F x '=( )A ．()()x x e f e f x ----B ．()()x x e f e f x ---+C ．()()x x e f e f x ---D ．()()x x e f e f x --+6．设()2I sin d x xx t t =⎰,则()I x '=( )A ．2cos cos x x -B ．22cos cos x x x- C ．22sin sin x x x -D ．22sin sin x x x +7．当0x →时,()sin 20sin d xf x t t =⎰与()34g x x x =+比较是( )A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．同阶但非等价无穷小D ．等价无穷小8.()(),f x x φ在点0x =的某邻域连续,且当0x →时,()f x 是()x φ的高阶无穷小,则0x →时,()0sin d xf t t t ⎰是()0d xt t t φ⎰( )A ．低阶无穷小B ．高阶无穷小C ．同阶但不等价无穷小D ．等价无穷小9．()f x 为连续的奇函数,又()()0d xF x f t t =⎰,则()F x -=( )A ．()F xB ．()F x -C ．0D ．非零常数 10．设()()2d 2xx F x f t t x =-⎰,f 连续,则()2lim x F x →=( ) A ．0 B ．2 C ．()22f D ．()2f 11．设()f x 连续,0x >,且()()221d 1x f t t x x =+⎰,则()2f =( )A ．4 B．12 C．1 D．12-12．设()f x ''在[],a b 上连续,且()(),f a b f b a ''==,则()()d baf x f x x '''=⎰( )A ．a b -B ．()12a b - C ．22a b - D ．()2212a b - 13．若()()2021d ,0,0x t e tx f x x a x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰,且已知()f x 在0x =点连续,则必有( ) A ．1a = B ．2a = C ．0a = D ．1a =- 14．设xe t =,则1x =⎰( )A．t⎰B．et ⎰C．1et ⎰D．1et ⎰15．()f x 在给定区间连续,则()320d ax f x x =⎰( )A ．()01d 2axf x x⎰ B ．()21d 2a xf x x ⎰C ．()22d a xf x x ⎰D ．()0d axf x x ⎰16．积分1ln d exx x⎰的值是( ) A ．2122e - B ．21122e - C ．12D ．1-17．若()4d 2xx f t t =⎰,则40d f x =⎰( )A ．16B ．8C ．4D ．218．积分1x -⎰的值是( )A ． 0B ．1C ．12D.2 19．曲线1,,2y y x x x===所围平面图形的面积为( )A ．211d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰B ．211d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰C ．()221112d 2d y y y y ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ D ．()221112d 2d x x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰⎰20．曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围平面图形的面积为( )A ．()1d xe ex x-⎰ B ．()1ln ln d ey y y y-⎰C ．()1d exx exe x -⎰D ．()10ln ln d y y y y -⎰21．在区间[],a b 上()()()0,0,0f x f x f x '''><>,令()()()()()()1231d ,,2ba s f x x s fb b a s f b f a b a ==-=+-⎡⎤⎣⎦⎰,则有( ) A ．123s s s << B ．213s s s << C ．312s s s << D ．231s s s << 22．曲线cos ,22y x x ππ=-≤≤与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积等于( )A ．2πB ．πC ．212π D ．2π 23．曲边梯形()0,f x y a x b ≤≤≤≤,绕x 轴旋转而成的旋转体体积为( )A ．()2d baxf x x π-⎰ B ．()2d bafx x π⎰ C ．()d ba xf x x -⎰D ．()2d baf x x ⎰24．曲线()2ln 1y x =-上满足102x ≤≤的一段弧的弧长为( )A ．12221d 1x x x +-⎰B ．x C ．xD ．x25. 一无限长直线放在正实轴上,其线密度x e ρ-=,则其质量M =( ) A ．e B ．∞ C ．1 D.226．一变力212F x=把一物体从0.9x =推到 1.1x =,它所做的功W =( )A ． 1.120.912d x x ⎰B ．0.22012d x x ⎰C ． 1.220.912d x x x ⋅⎰D ．0.22012d x x x ⋅⎰三、证明题1．设()f x 是连续函数,证明：()()()10d d ba f x xb a f a b a x x =-+-⎡⎤⎣⎦⎰⎰ . 2．设()f x 是连续函数,证明：()()232001d d ,02a a x f x x xf x x a =>⎰⎰.3．设()f x 是连续函数,证明：()()20sin d sin d f x x f x x ππππ=⎰⎰.4．证明不等式()52441sin d 2x x ππππ≤+≤⎰.四、计算题1．()1001lim 1sin 2d xu x u u x →+⎰2．2001limarctan d xx u u x →⎰3．2001lim cos d xx u u x →⎰4．求21sin d xt t ⎰的导数.5．()()ln 1d xxf x t t φ=⎰,()t φ为连续函数,求()f x '.6．求函数()()()212d xu f x u u e u -=--⎰的极值点.7．计算()2d xe x x -⎰8．计算(2411x ⎰ 9．计算()12032d x x x +-⎰10．计算6251d 2x x x +⎰11．计算4x ⎰ 12．计算254x ⎰13．计算1x ⎰14．计算ln 0x ⎰15．计算21211sin d x x xππ⎰ 16．计算16x ⎰17．计算31e x ⎰18．计算()251d x x -⎰19．计算1d x xe x -⎰20．计算()113d x x x -⎰21．计算40sin d x x x π⎰22．计算()1ln 1d x x +⎰23．计算)221ln d e x x ⎰24．计算2222d x xe x --⎰25．计算221d 1x x +∞-⎰26．计算1x ⎰27．计算1x ⎰28．求曲线22235,1y x x y x =+-=-围成的平面图形的面积. 29．求曲线231,53y x y x =-=-围成的平面图形的面积. 30．求曲线6,7xy x y =+=围成的平面图形的面积. 31．求曲线ln ,0,y x y x e ===围成的平面图形的面积. 32．求曲线,,0x y e y e x ===围成的平面图形的面积. 33．求曲线22235,1x y y x y =+-=-围成的平面图形的面积. 34．求曲线()22,0,0,0y px y x a p a ===>>围成的平面图形绕x 轴旋转而形成的旋转体的体积.35．求曲线2xy a =,0y =,x a =,()20x a a =>围成的平面图形绕x 轴旋转而形成的旋转体的体积.36．求曲线2y x =,2x y =围成的平面图形绕y 轴旋转而形成的旋转体的体积. 37．分别求曲线3y x =,0y =,2x =围成的平面图形绕x 轴,y 轴旋转而成的旋转体的体积.38．求曲线3223y x =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.39．求()()sin 1cos x a y a θθθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩的一拱()02θπ≤≤的长度. 40．求阿基米德螺线(0)r a a θ=>相应于θ从0到2π的一段弧的弧长. 41．圆柱形的水桶高为5m ,底圆半径为3m ,桶盛满了水,试问要把桶的水全部吸出需做多少功？第四章 不定积分 答案一、填空题1．()f x 2.()F x C + 3. 3x C +4. 321ln 23x C x ++5. 1C x-+ 6. 6x e C + 7. 3sin x e x C -+8. 3arctan 3x x x C -++9. 1ln 322x x C ++10. 21ln 2x C + 11. cos2x C -+12. 717x e C + 13. 2x e C +14. 1ln 122x C ++15. C16. 31cos cos 3x x C -++17. ()1x e x C -++ 18. 1C x+二、单项选择题1．C 2．A 3．D 4．B 5．A 6．B 7．D 8．D 9．C 10.A 11.B 12.B 三、计算题1．()()()57222I 2d 227x x x C =---=--+⎰2．()()2221I d 1ln 11x x C x=+=+++⎰3．111I d x xe e C x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰()22334.I sin sin d 1cos d cos 11cos cos cos cos 33x x x x xx x C x x C=⋅=--⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 5. ()()22d I d arctan 11x xx x x e e x e C e e ===+++⎰⎰ 6.令t =()()()()242532322I 12d 2d 2222115353t t t t t t tt t C x x C =-⋅⋅=-=-+=+-++⎰⎰ 7.令t =()5223421113666d d -1+1I d 66d 11161d 6d 1366ln 1366ln 1t t t t t t tt t t t t t t t t t t C x x x C===+++=-++=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰ 8. 令sin x t =()()32222I 1sin cos d cos d sec d tan t t t t tt t t C C--=-===+=⎰⎰⎰9．令tan x t =()()2222422sec d sec I d cos d sec 1tan 1111cos 2d sin 2224111sin cos arctan 2221t ttt t t tt t t t t C x t t t C x C x ===+=+=++⎛⎫=++=++ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 10. 令sec x a t =()()22I sec tan d tan d sec 1d tan arccos arccos a t t t a t ta t t a t t Ca a a C a C x x ===-=-+⎫=++⎪⎪⎝⎭⎰⎰2sec 32sect an d 111. I 21sec tan 1d sec d 3tan 3113ln sec tan ln 332x tt t t t t t t t t t t C x C ======++=++⎰⎰令12.d 311I 313x x C -==-+()()()()2222213. I ln 1dln 12ln 1d 1ln 122arctan x x x x xx x xxx x x x x C =+-+=+-+=+-++⎰⎰ 14. I d d x x x x x x e xe e x xe e C ==-=-+⎰⎰()2 I arccos d arccos arccos 1arccos 12arccos x x x x x x xx x x x x C15. =- =+ =-- =⎰ 16. 211111I ln d ln d ln x x x x C x xx x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭⎰⎰()2222217.I d 2d 2d 22d 22x x x x xxxxx x e x e xe x x e x e x e xe e x x x e C--------- =-=-+ =-- =--+ =---+⎰⎰⎰⎰4442244232442444244118. I (ln )d (ln )(2ln )d 44411(ln )ln d (ln )ln d 4248111(ln )ln d 48811(ln )ln 4832x x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x C==- =-=- =-+⋅ =-++⎰⎰⎰⎰⎰19.I sin d sin cos d sin cos d sin cos d cos (sin cos )sin d 1sin d (sin cos )2x x x x xx x x x x x xx e e x e x x e x x e e x e x e x e x x e x x e x x e x x C ==- =- =-+ =--∴=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2233320.I sec sec d sec d tan sec tan tan tan sec d sec tan (sec -1)sec d sec tan sec d sec d sec tan sec d ln sec tan 1sec d sec tan ln sec tan 2x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C =⋅= =-⋅⋅ =- =-+ =-++∴=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰21. t I=2d 2d 22d 222t t t t t t e t t t e te e tte e C C==-=-+=-+⎰⎰⎰令()()()()22.I ln ln dln ln ln ln ln d ln ln 11ln ln ln ln d ln ln ln ln ln x x x x x x x x xx x xx x x C ==- =- =-+⎰⎰⎰23. ()cos 2sin 2I d cos 2448x x x xx C =-=-++⎰24. 333ln I ln d 339x x x x x C ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭⎰第五章 定积分及其应用 答案一、填空题1．()d ba f x x ⎰2.03. 125.负6.正7. 12I >I8. 12I <I9. 12I >I10.- 11. ≥ 12. ()d ba f x xb a-⎰ 13.2xxe14. 222sin 21cos x x x+ 15. ()()3sin x x φφ'-⎡⎤⎣⎦16.1 17.1 18. ()0,1 19. ()()1,00f f == 20. ()3233sin 1x x +21. ()()F b F a - 22.5ln 6 23. 1e e- 24. ()()arctan 3arctan 1f f - 25.1 26. 2π27. 2e -28.4 29. 2 30.0 31.032. 56 33.e 34. 1≤ 35.<36. 12 37. 2π 38. 13 39. 122π-二、单项选择题1．A 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．C 8．B 9．A 10.C 11.C 12.D 13.C 14.C 15.B 16.C17.A 18.B 19.B 20.A 21.B 22.C 23.B 24.A 25.C 26.A 三、证明题1．证：令()u a b a x =+-,则()d d u b a x =-,所以()()()()111000d d d b a f a b a x x f u u f x x -+-==⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰2．证：令2u x =,则d 2d u x x =,所以()()()223200011d d d 22aa a x f x x uf u u xf x x ==⎰⎰⎰ 3．证：令u x π=-,则d d u x =-,则()()()()()22002sin d sin d sin d xf x x u f u u x f x xππππππ=-=-⎰⎰⎰()()()()()()()202222000sin d sin d sin d sin d sin d sin d xf x x xf x x xf x xxf x x x f x x f x xπππππππππ=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以4．证：5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,有20sin 1x ≤≤,所以211sin 2x ≤+≤()55524444441d 1sin d 2d 2x x x x ππππππππ=≤+≤=⎰⎰⎰四、计算题1．解：()()0sin2sin211lim2sin200I lim 1sin 2lim 1sin 2x x x xxxxx x x x ee →→→⎡⎤=+=+==⎢⎥⎣⎦2．解：2001arctan 11I lim lim 222x x x x x →→+===3．解：20I limcos 1x x →==4．解：221d sin d sin d x t t x x=⎰ ()()()()()()()()ln ln 111ln 2d d 5.d d d d d d d d d d d 11ln ln 111ln x ax a x x xxa a t t t t t t x x t t t tx x x x x x x x x xφφφφφφφφφ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=-+'⎛⎫⎛⎫'=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰解：6．解：由()()()2120x f x x x e -'=--=, 得驻点121,2x x ==,由()()()()223212xf x x x x x e -''=----⎡⎤⎣⎦, 得()()4110,20f f e e-''''=-<=>,所以11x =为()f x 的极大值点,22x =为()f x 的极小值点.7．解：22201I 32x e x e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭8．解：34421122I 2d 233x x x ⎛==-+= ⎝⎰9．解：23101I 222x x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭10．解：66551111121I d ln ln 2222220x x x x x ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭⎰ 11．解：令u =则2,d 2d x u x u u ==()233222321I 2d 21d 1122ln 172ln 2u u u u u u u u u ⎛⎫==++ ⎪--⎝⎭⎡⎤=++-=+⎣⎦⎰⎰ 12．解：令1u =+,则()()21,d 21d x u x u u =-=-()()66331I 2d 2ln 23ln 2u u u u u-==-=-⎰13．解：令u =则2,d 2d x u x u u ==()110I 2d 21e 2u uue u u ==-=⎰14．解：令u =,则()222ln 1,d d 1ux u x u u=+=+ ()21110220021I d 21d 2arctan 2112u u u u u u u π⎛⎫==-=-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 15．解：令1u x =,则21d d x u u=- 22I sin d cos 1u u uππππ==-=⎰16．解：()33161622001122I d 9129933x x x ⎡⎤==++=⎢⎥⎣⎦⎰17．解：令1ln u x =+,则1d d u x x=441I 2u ===⎰18．解：令1u x =-,则d d x u =-115556611110111I d d d 663u u u u u u u u ---==-+=-+=⎰⎰⎰()()()1111111019. I d d d 21xxxx x x e xee x e ex e e e------- =-=---=-+=-+-=-⎰⎰⎰解：()()()1110001021120. I 1d3133d ln 3ln 311ln 3213ln 3ln 3ln 3x x xx x x x ⎡⎤ =-=--⎢⎥⎣⎦-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰⎰解：444021. I dcos cos cos d 124x x x x x x ππππ⎫ =-=-+=-⎪⎝⎭⎰⎰解： ()()1110022. I ln 1d ln 2ln 112ln 21x x x x x x x=+-=--+⎡⎤⎣⎦+ =-⎰解：())()22222222211111123. I 2ln 2ln d 88ln 8881682e e e e e e x x x x e x e x x e e e ⎤ ==-⎥⎦⎫=---⎪⎭=-+=-⎰⎰⎰⎰解：24．解：令2xu =-,则-2,d 2d x u x u ==-,所以()()1221111I 8d 82285u uu e u u u e e e ---==-+=-⎰25．解：因为22221111111111d d lnln ln 1211212123bb b x b x x x x x x b --⎛⎫=-==- ⎪--+++⎝⎭⎰⎰, 所以2211111lim d lim ln ln3ln312122bb b b x x b →+∞→+∞-⎡⎤=+=⎢⎥-+⎣⎦⎰, 所以1I ln 32=26．解：0x =为瑕点,由分部积分法有(()11001100lim ln d lim 2lim 4x x x x εεεεεεε+++→→→=⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-=-⎰⎰⎰ 27．解：1x =为瑕点,令t =, 则21,d 2d x t x t t =-=-,()110122100lim 22lim d lim d 12lim arctan12x xt t t t t tεεεεεπ++++-→→→→=-==++⎡=-=⎣⎰⎰28．解：两曲线交点为（-2,-3）和（1,0）,由图可知,所求面积为()()()112222223121235d 633d 3613.52S x x x x x x x x x x ---⎡⎤=--+-=--⎣⎦⎛⎫=--= ⎪⎝⎭⎰⎰ 29．解：两曲线交点为（-2,11）和（1,2）,由图可知,所求面积为 ()()()11222223125331d 633d 3613.52S x x x x x x x x x ---⎡⎤=---=--⎣⎦⎛⎫=--= ⎪⎝⎭⎰⎰ 30．解：两曲线交点为（1,6）和（6,1）,由图可知,所求面积为()62611617d 76ln 217.56ln 6 6.749S x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=-≈⎰ 31．解：由图可知,所求面积为()11ln d ln 11eeS x x x x ==-=⎰32．解：由图可知,所求面积为()()1100d 1x x S e e x ex e =-=-=⎰33．解：两曲线交点为（-3,-2）和（0,1）,由图可知,所求面积为()()1222312231235d 613.52S y y y y y y y --⎛⎫⎡⎤=--+-=--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰ 34．解：2202d aax V px x px pa πππ===⎰35．解：42423211d 2aa x aaa V x a a x xπππ==-⋅=⎰36．解：两曲线交点为（0,0）,（1,1）,114251000113d d 2510y V y y y y y y ππππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰ 37．解：22262d d 187x V y x x x πππ===⎰⎰258828330032d d 412.85y V y y y y y ππππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰38．解：12y x '=,则d s x x ==, 所以()()()3332222211133ba aS x x b a ⎡⎤⎡⎤==+=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰39.d 2sind 2s a θθθθ===解：所以22002sin d 22cos 822s a a a ππθθθ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰40．解：d s θθ==所以(202ln 22as θπ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰41．解：做x 轴如图所示,深度设为x ,[]0,5x ∈,相应于[]0,5上任一小区间[],d x x x +的一薄层水的高度为d x ,水的比重为39.8/kN m ,所以薄层水重力为29.83d x π⋅,这薄层水吸出桶外需做功 2d 9.83d W x x π=⋅⋅,所以所求功为()5525d 88.2d 88.234622W W x x kJ ππ===⋅≈⎰⎰28题图x2x5-x29题图30题图31题图x 33题图。