全国通用版高考数学二轮复习专题六函数与导数规范答题示例9导数与不等式的恒成立问题学案文

规范答题示例9 导数与不等式的恒成立问题
典例9 (12分)(2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2
＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性；
(2)当a <0时，证明f (x )≤－3
4a －2.
审
题
路
线
图
(1)要讨论f (x )的单调性―→应讨论f ′(x )的符号―→f ′(x )＝(x ＋1)(2ax ＋1)x
――→
x >0
讨论2ax ＋1的符号―→应依据a 分类讨论. (2)要证明f (x )≤－
34a －2―→f (x )max ≤－34a －2―→f (x )max ＋3
4a
＋2≤0 ―――――――――――――――――→令x ＝－1 2a ，造函数g (x )＝f (x )max ＋3
4a ＋2
证明g (x )max ≤0.
评分细则 第(1)问得分点说明： ①正确求出f ′(x )得2分；
②求出a ≥0时，函数的单调性得2分； ③求出a <0时，函数的单调性得2分． 第(2)问得分点说明：
①正确求出f (x )的最大值得2分； ②转化为关于a 的不等式得1分；
③构造函数并正确求出函数的最大值得2分； ④正确写出结论得1分．
跟踪演练9 (2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝1
x
－x ＋a ln x .
(1)讨论f (x )的单调性；
(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2， 证明：
f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
<a －2.
(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝－1
x 2－1＋a x ＝－x 2－ax ＋1
x 2
.
①若a ≤2，则f ′(x )≤0，
当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②若a >2，令f ′(x )＝0，得
x ＝
a －a 2－4
2
或x ＝
a ＋a 2－4
2
.
当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )<0；
当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )>0.
所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫
a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，
在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．
(2)证明 由(1)知，f (x )存在两个极值点当且仅当a >2. 由于f (x )的两个极值点x 1，x 2满足x 2
－ax ＋1＝0， 所以x 1x 2＝1，不妨设0<x 1<x 2，则x 2>1. 由于
f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝－1x 1x 2－1＋a ln x 1－ln x 2
x 1－x 2
＝－2＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a －2ln x 2
1
x 2
－x 2
，
所以
f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2等价于1
x 2
－x 2＋2ln x 2<0.
设函数g (x )＝1
x
－x ＋2ln x ，
由(1)知，g (x )在(0，＋∞)上单调递减． 又g (1)＝0，从而当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0. 所以1
x 2
－x 2＋2ln x 2<0，
即
f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
<a －2.。